Allokation von Potentialfaktoren zur Informationsproduktion mit Hilfe von
kombinatorischen Auktionen
Anreizkompatible Auktionsformen
Agenda
1.1 Definition Anreizkompatibilität1.2 Beispiel
2.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die Vickrey-Auktion2.2 Beispiel
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA3.2 Beispiel3.3 Probleme der GVA3.4 Beispiel
4.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Der VCG-Mechanismus4.2 Beispiel4.3 Probleme
1.1 Definition Anreizkompatibilität
Anreizkompatibilität (allgemein): alle haben einen Anreiz das zu tun, was für ein effizientes Ergebnis erforderlich ist
Anreizkompatibilität in der Auktionstheorie: alle Bieter haben einen Anreiz, ihre wahren Wertschätzungen für alle Güter bzw. Güterbündel zu offenbaren
Können dem Auktionator durch Gebote unterhalb der Zahlungsbereitschaft Verluste entstehen?
1.2 Beispiel I
3 Bieter (1, 2, 3); 2 Güter (A, B)
Zahlungsbereitschaften:
Gut A Gut B Gut A + Gut B
Bieter 1 8 € 6 € 13 €
Bieter 2 3 € 7 € 8 €
Bieter 3 7 € 6 € 18 €
Auktionsform: first-price sealed bid auction
1.2 Beispiel II
Alle bieten entsprechend ihrer Zahlungsbereitschaft: Bieter 1={}, Bieter 2={}, Bieter 3={A; B}, Erlös des Auktionators: 18 €
Bieter 3 weicht ab ( 14 € für {A + B}): Bieter 1={A}, Bieter 2={B}, Bieter 3={}, Erlös des Auktionators: 15 €
Verlust des Auktionators in diesem Beispiel: 3 €
2.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die Vickrey-Auktion I
Anwendbar für die Versteigerung eines Gutes oder mehrerer identischer Güter
Auch Second Price Sealed Bid Auction genannt
Die Gebote werden verdeckt abgegeben
Im Ein-Gut Fall: Bieter des höchsten Gebots erhält Zuschlag und zahlt das zweithöchste Gebot (=Marktpreis)
Im Mehr-Gut Fall (X ME): Bieter der X höchsten Gebote erhalten Zuschlag und zahlen das (X+1)ste Gebot (X+1)ste Gebot
2.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die Vickrey-Auktion II
Warum ist Vickrey-Auktion anreizkompatibel?
Das eigene gebot bestimmt nur, ob man den Zuschlag bekommt
Der zu bezahlende Betrag wird durch die Gebote der anderen bestimmt (vom einzelnen Bieter nicht beeinflussbar)
Überbieten erhöht die sowohl Wahrscheinlichkeit, den Zuschlag zu erhalten, als auch die Wahrscheinlichkeit mit einem negativen Nettonutzen aus der Auktion herauszugehen
Unterbieten verringert die Wahrscheinlichkeit den Zuschlag zu erhalten, am zu bezahlenden Betrag ändert sich nichts
2.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die Vickrey-Auktion III
In einer Vickrey-Auktion kann man sich durch Unter- oder Überbieten nicht verbessern
Unter- oder Überbieten kann aber schaden
In einer Vickrey-Auktion ist es deshalb eine dominante Strategie, entsprechend der eigenen Zahlungsbereitschaft zu bieten
2.2 Beispiel Vickrey-Auktion I
5 Bieter (1, 2, 3, 4, 5), 1 Gut (A)
Zahlungsbereitschaften:
Bieter 1 Bieter 2 Bieter 3 Bieter 4 Bieter 5
10 € 8 € 6 € 4 € 2 €
Ergebnis (alle bieten entsprechend ihrer Zahlungsbereitschaft): Bieter 1 erhält das Gut und zahlt 8 €
2.2 Beispiel Vickrey-Auktion II
Überbietet Bieter 2, ändert sich nichts solange sein gebot unter 10 liegt
Bietet er 10+ €, erhält er den Zuschlag und zahlt 10 € Nettonutzen (Bieter 2) = 8 – 10 = -2
Unterbietet Bieter 1, ändert sich nichts solange sein gebot über 8 € liegt
Bietet er 8- €, erhält Bieter 2 den Zuschlag und zahlt 8- € Nettonutzen (Bieter 1) = 0
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA I
GVA (Generalized Vickrey Auction) ist ein anreizkompatibler Mechanismus für kombinatorische Auktionen
Wie in der Vickrey-Auktion bestimmt bei der GVA das eigenen Gebot nur, ob man einen Zuschlag erhält
Der zu bezahlende Preis ist unabhängig vom eignen Gebot
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA II
Jeder Bieter i teilen dem Auktionator eine Nutzenfunktion ri (.) mit
ri (.) gibt an, wie viele € dem i jedes Gut bzw. Güterbündel wert
ist (diese Angaben können der Wahrheit entsprechen, müssen sie aber nicht)
Der Auktionator berechnet diejenige Allokation (xi*), die seinen
Erlös maximiert
Um zu bestimmen, was jeder Bieter i zu zahlen hat, berechnet der Auktionator für alle i diejenige Allokation, die sich ohne die Teilnahme von Bieter i einstellen würden
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA III
Teilnehmer i erhält nun das Bündel xi* und erhält einen
Betrag für diejenigen, die einen Zuschlag erhalten haben, ist dieser Betrag negativ, für alle anderen gleich 0 Beachte: Dieser Betrag ist durch den Bieter i nicht zu beeinflussen
Der Nettonutzen jedes Bieters i sieht demnach so aus
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA IV
Zum gleichen Ergebnis kommt man auf diesem Weg:
Für jeden Bieter i wird die Differenz zwischen der optimalen Allokation und der Allokation ohne i berechnet
Ergebnis: Erlös, der dem Auktionator aufgrund der Teilnahme von i zufließt
Jeder Bieter, der einen Zuschlag erhält, zahlt sein gebot abzüglich dieser Differenz
3.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Die GVA V
Die GVA berechnet keinen Marktpreis wie die Vickrey-Auktion
Für jeden Bieter wird ein eigener Preis bestimmt
Folge: es kann passieren, dass zwei Bieter ein identisches Gut bzw. Güterbündel ersteigern, und unterschiedliche Preise bezahlen
3.2 Beispiel GVA
Drei Bieter (1, 2, 3) und zwei Güter (A, B)
Zahlungsbereitschaften:
Gut A Gut B Gut A + Gut B
Bieter 1 5 € 10 € 16 €
Bieter 2 12 € 6 € 21 €
Bieter 3 2 € 3 € 17 €
3.2 Beispiel GVA II
Ergebnis (alle bieten entsprechend ihrer Zahlungsbereitschaft): Bieter 1={B}, Bieter 2={A}, Bieter 3={}
Methode 1: Bieter 1: 12 € – 21 € = -9 € Bieter 2: 10 € – 17 € = -7 € Bieter 3: 22 € – 22 € = 0 €
Methode 2: Bieter 1: 10 € – ( 22 € – 21 € ) = 9 € Bieter 2: 12 € - ( 22 € – 17 € ) = 7 €
3.2 Beispiel GVA III
Unterbietet Bieter 1 für A, passiert nichts, solange sein gebot 9+ € beträgt
Sobald er weniger als 9 € bietet, erhält Bieter 2 beide Güter
3.3 Probleme der GVA I
Bieterseite: Alle Bieter müssen im Vorfeld der Auktion alle sie interessierenden Güter bzw. Güterbündel bestimmen und bewerten
Besonders problematisch bei Agenten mit begrenzter Rationalität, begrenzter/teurer Rechenleistung, Schwierigkeiten bei der Bestim- mung der Zahlungsbereitschaft
Auktionatorenseite: CAP muss einmal gelöst werden, um optimale Allokation zu bestimmen, und dann für jeden Bieter noch einmal
Anfälligkeit für Betrug: - Kollusion: Bieter kooperieren durch kollektives Unterbieten
3.3 Probleme der GVA II
- Bieten unter falschem Namen: ohne sich mit anderen Bietern absprechen zu müssen, ist Steigerung des Nettonutzens möglich
3.4 Beispiel Bieten unter falschen Namen I
Zwei Bieter (1, 2) und zwei Güter (A, B), Auktionsform GVA
Zahlungsbereitschaften:
Gut A Gut B Gut A + Gut B
Bieter 1 6 € 6 € 12 €
Bieter 2 3 € 5 € 8 €
Ergebnis: Bieter 1 bekommt beide Güter, zahlt 8 € mit einem Nettonutzen von 4 €
3.4 Beispiel Bieten unter falschem Namen II
Bieter 1 kann seinen Nettonutzen durch Bieten unter falschem Namen (Bieter X) erhöhen:
Gut A Gut B Gut A + Gut B
Bieter 1 6 € 0 € 6 €
Bieter 2 3 € 4 € 8 €
Bieter X 0 € 6 € 6 €
Ergebnis: Bieter 1 bekommt Gut A für 3 €, Bieter X bekommt Gut B für 4 € Bieter 1 erhält beide Güter für 7 €, Nettonutzen 5 €
4.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Der VCG-Mechanismus I
VGC-Mechanismus: soll eine Gruppe von Personen mit einem bestimmten öffentlichem Gut versorgt werden? Wie hoch ist die Steuer, die jeder bezahlen muss?
Öffentliche Güter: Nicht-Rivalität und Nicht-Ausschließbarkeit
Wie bei GVA bestimmt das eigene Gebot beim VGC- Mechanismus nur, ob das öffentliche Gut bereitgestellt wird
Von jedem Individuum zu zahlender Betrag/Steuer ist vom eigenen Gebot unabhängig
4.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Der VCG-Mechanismus II
Zielsetzung: Maximierung des Nutzens aller Teilnehmer
Jeder Teilnehmer i teilt dem Auktionator mit, welchen Nutzen ihm die Bereitstellung des öffentlichen Gutes stiften würde
Diese Nutzenangabe muss nicht der Wahrheit entsprechen
Öffentliches Gut wird bereitgestellt, wenn die Summe der angegebenen Nutzen höher als die Kosten sind
Die von jedem zu zahlende Steuer setzt sich analog zur GVA zusammen
4.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Der VCG-Mechanismus III
Jeder Teilnehmer i zahlt einen Betrag, der folgender Differenz entspricht:
Wohlfahrt aller Personen außer i, die sich ergibt, wenn i nicht teilnimmt, abzüglich der Wohlfahrt aller außer i, die sich ergibt, wenn i teilnimmt
Wie bei der GVA entspricht die Steuer, die i zu zahlen hat,genau dem externen Effekt, den i durch seine Teilnahme bei allen anderen erzeugt
4.1 Anreizkompatible Auktionsformen: Der VCG-Mechanismus IV
Formal: Menge K = {1, 2, ..., K) sozialer Alternativen, I Indi- viduen mit einem Typ ti = (ti (1), ti (2),..., ti (K)), der angibt, wie viel Nutzen die soziale Alternative K dem Individuum i stiftet
k*(0, t –i) steht für eine effizient Alternative, die sich einstellt,
wenn i eine Typ ti =(0) berichtet.
4.2 Beispiel VCG
5 Wähler (1, 2, 3, 4, 5); 3 mögliche Ausprägungen des öffentlichen Gutes (A, B, C) Nutzen:
A B C
Wähler 1 0 35 40
Wähler 2 50 0 30
Wähler 3 10 55 0
Wähler 4 0 20 65
Wähler 5 45 0 25
Summe 105 110 160
4.2 Beispiel VCG II
Ergebnis (alle teilen ihre wahren Wertschätzungen mit): Ausprägung CZu zahlende Steuern: Wähler 1: 120 – ( 160 – 40 ) = 0 € Nettonutzen: 40 € Wähler 2: 130 – ( 160 – 30 ) = 0 € Nettonutzen: 30 € Wähler 3: 160 – ( 160 – 0 ) = 0 € Nettonutzen: 0 € Wähler 4: 105 – ( 160 – 65 ) = 10 € Nettonutzen: 45 € Wähler 5: 135 – ( 160 – 25 ) = 0 € Nettonutzen: 25 €
Gibt Wähler 4 für Ausprägung C einen geringeren Nutzen an, passiert für ihn nichts, solange er 15€ angibt; sobald er weniger als 15 € angibt, wird eine andere Ausprägung gewählt (Nettonutzen 20 bzw. 0 €)
4.3 Probleme des VCG-Mechanismus
nicht gewährleistet, dass die Summe der Nettonutzen immer nicht-negativ ist
Keine Garantie, dass keiner der Teilnehmer durch die Teilnahme nicht schlechter gestellt wird als ohne Teilnahme
5. Fazit
Es existiert eine anreizkompatible Auktionsform für kombinatorische Auktionen
Aber: Ausgang der GVA nicht immer effizient
Auch VGC-Mechanismus nicht ohne Probleme
Allokation von Potentialfaktoren zur Informationsproduktion mit Hilfe von
kombinatorischen Auktionen
Anreizkompatible Auktionsformen
ENDE
