Download - Algebraische Kurven von der 8.Klasse bis zum 8.Semester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg,

Algebraische Kurvenvon der 8.Klasse bis zum

8.Semester

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y


Algebraische Kurven von der 8.Klasse bis zum 8. Semester

Hintergrund• 1996 Anregung durch Thomas Weth

•1998 Projekt Klasse 8 Johanneum

• Präsentation bei der EXPO 2000

•2002 Unterrichtseinheit Klasse 8, Johanneum

•Seit 1999 alle zwei Semester Vorlesung (2SWS) „Analytische Geometrie“, Schwerpunkt algebraische Kurven als Fachwissenschaft im Studiengang LBS (Lehramt Berufsbildende Schulen) und LA-GHR (t.w.)

•Seit 2001 diverse LFB-Vorträge (MNU, T3) dazu.



Gliederung• Erläuterung der Grundideen am Beispiel der Konchoiden, Klasse 8

•Vertiefungen, Ideen, Werkzeuge

• Weiteres Vorgehen und gute Strategien für schriftliche Prüfungen

• Skizze einer Vorlesung

• Elemente einer Evaluation

…und alles steht im Internet

www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Sinn 2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

2 2 2 2 2( )( 1) 2 x y y y

Sinngebung! !


Algebraische Kurven in der 8.Klasse

? ?

2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

2 2 2 2 2( )( 1) 2 x y y y! !Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Algebraische Kurven in der 8.Klasse

? ?geometrisches Handeln

Weg:

Einführungsbeispiel: Die Hundekurve

Handeln

Beobachten

Geometrisch

erfassenProf. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes

Realisierenim DGS

Ortskurve

erzeugen

Zeichnen


Handeln, sehen,systematisieren

C:\Programme\DynaGeo\DynaGeo.exe

C:\Programme\DynaGeo\DynaGeo.exe


Realisierenim DGS

Ortskurve erzeugen

Zeichnen



Die Hundekurve gibt es

in drei Typen. Die Form hängt von der Leinenlänge im

Vergleich zur

Baumentfernung ab.

Einflussgrößen

verändern


Algebraische Kurven in Sek II oder Lehramtsstudium

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2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

• Aus Strahlensatz

• und Pythagoras-Satz

• folgt in zwei Schritten

• die Gleichung der Hundekurve

Algebraische Kurven 8. Klasse bis 8. Semester


2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

•

• Jedenfalls:

•Einbau eines Koordinaten-Systems

• Was macht man aber bei den „Kleinen“ ?!?!

• Beschaffung der Gleichung „irgendwoher“

Algebraische Kurven 8. Klasse, was voraus ging:




Merke: • Alle Punkte, deren Koordinaten aus der Kurvengleichung eine wahre Aussage machen, liegen auf der Kurve.• Eine Gleichung, mit der ein sicher auf der Kurve liegender Punkt eine falsche Aussage erzeugt, ist sicher nicht die Kurvengleichung.

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

4 4 43 x y

4 4 42,5 2,5 3

78,125 81

. ?!?!?

falsche Aussage



Stelle dar……

Wie soll das gehen?????

C:\Programme\TI Education\Derive 6\Derive6.exe



Stelle dar……

Merke: Wenn zu der umgeformten Gleichung eine andere Kurve erscheint, war die Umformung sicher falsch. Erscheint dieselbe Kurve, kann die Umformung richtig sein. Es kann aber auch sein, dass der Fehler so klein oder so geartet ist, dass man ihn am Computer nicht sieht.

Algebraische Kurven 8. Klasse bis 8. Semester


2 2 2 2 2( )( )x y y a k y

• • Weiter bei der Hundekurve

2 20k ay a Einsetzen, ergibt:

Bei „vernünftigen“ Hundekurven nicht erfüllbar. y aAsymptote kann also die Gerade sein:

Was bedeuten

a und k ??????

Nun kann man auch mit k experimentieren…..


Der Leinen-Kreis schneidet zweimal

die Gerade BQ.

Der furchtsame

Fiffi hat auch seinen Weg.

Pluto strebt zum Baum,

Fiffi ist furchtsam.


Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des NikomedesKonchoiden-Zirkel Nikomedes (200

v. Chr.)

Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.

Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Allgemeine Kreis-Konchoiden

ErsteVerallgemeinerung

Die Straße, auf der Quo Vadis geht,

kann ein Kreis sein.

….weitere

Pascalsche Schnecken


Kardioide

….und andere

Exoten

Pascalsche Schnecken als Kreis-Konchoiden

Pascalsche Schnecken

Kreis-Straße, R,Baum auf dem Kreis

2 2 2 2 2 2( 2 ) ( ) x R x y k x y

Benannt nach Etienne Pascal (um 1620), dem Vater von Blaise Pascal (um 1650)


Leinenlänge k

Allgemeine Konchoiden

Parabel-Straße

Kosinus-Straße


kann jede beliebige Kurve sein.

Zweite Verallgemeinerung


( ) ( ) Straßer r k Polardarstellung aller

Konchoiden

Allgemeine Konchoiden

Parabel-Straße

Kosinus-Straße


kann jede beliebige Kurve sein.


Und das sollen Sie nun entstehen sehen

Unterrichtsgang


Erkundungen, Parametervariation, „Termsensibilisierung“


Gute Arbeitsmöglichkeiten von Hand für Prüfungen

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1

2

3

4

5

6

7

8

Q

M

B

P

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

F1

F2

Kissoide

Strophoide

Versiera

Ellipse,

Hyperbel

Parabel

In Rastern Abzählen

Vorlesungsaufbau


KonchoidenKegelschnitte, Kurven 2. Grades

Gemeinsame

Erzeugungsweisen

Beweise

Zusammenhänge

Kur

ven

höhe

ren

Gra

des

Verschiedene Darstellungsweisen und Weiterführungen

Vorlesungsaufbau



2 2( , ) ( ) ( ) F x y x c y y c y

Strophoiden ( , ) 0F x y

Ganze Familien erhält man, wenn man nicht in der Höhe 0 schneidet.

Vorlesungsausblick



Produkte ( , ) ( , ) 0F x y G x y

Durch Produktbildung öffnet sich ein ganzes Reich weiterer algebraischer Kurven.

(Felix Klein, ohne Visualisierung)

Evaluation aus Schülersicht

• Bemerkungen eines Schülers Klasse 8:

Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.

....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..

4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.

.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]


Evaluation aus Sicht der Studierenden (anonym)


Sicht der Lehrenden


Die Ästhetik in der Mathematik wird von uns sträflich vernachlässigt!Die Mathematik-

Lehrerschaftstellt die Brille her, durch die die Gesellschaft die Mathematik sieht

Was ist das Termgeturne denn wert, wenn es weder beherrscht noch verstanden wird?

Engagieren wir uns für eine reichhaltige und nachhaltige Mathematik im Lehramtsstudium, in der Lehrerfortbildung und in der Schule!

Algebraische Kurvenvon der 8.Klasse bis zum 8.Semester


2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit




• 22 Seiten: Erkundungsaufgaben, Arbeitsblätter, Beweise, Klausurfragen, Ergänzungen

Hilfen für Sie:

2 €…und alles steht im Internet

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