AB C
D
+ :ÜNİTE 8. SINIF+
90
8.1.3 Kareköklü İfadeler
8.1.3.5 Kareköklü ifadeler-de çarpma ve bölme işlemle-
rini yapar.UYGULAMA BÖLÜMÜ
Anla-Uygula 1
Aşağıda verilen kareköklü sayıları çarpınız.
Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi:a ve b birer 0 veya pozitif reel sayılar olmak üzere
‘dir. Yani iki ya da daha fazla kareköklü ifadeyi çarpar-ken kök içlerini çarpıp ortak köke yazabiliyoruz. Burada kök içlerinin aynı olması gerekmez. Eğer katsayı varsa,
şeklinde olacaktır.
a b a b. .=
Örnekler
Ö1) 3 5 3 5 15. .= =
Ö2)
Ö3)
5 2 7 5 2 7 5 14. .= =
6 2 9 5 6 9 2 5 54 10. . . .= =
Yukarıdaki örnekleri incelediğimizde, kareköklü sayıların çarpımı yapılırken, kök içindeki sayılar ayrı kök dışındaki sayılar da ayrı çarpılması gerekir.
7 6. =
12 5. =
20 14. =
2 3 8. =
7 6 5. =
9 2 3. =
13 4 2. =
3 8 1 2. =
15 25 2 5. =
16 3 8 9. =
3 2 5. . =
a b c d a c b d. . . . . .=
91
8.1.3 Kareköklü İfadeler
2 12 5 3 =
10 15 2 2 3 6. . . =
5 8 3 10. =
−( ) −( ) =2 7 7.
4 2 9 3( ) −( ) =.
3 3 5 6( ) ( ) ( ) =. .
21 2 5 7 10 3( ) ( ) −( ) =. .
16 4 9. . =
11 2 3 5 2 7( ) ( ) ( ) ( ) =. . .
! UYARI LEVHASI ! Örnekte görüldüğü gibi kök için- deki sayı ile kök dışındaki sayı asla çarpılmaz. Ayrıca köklü sayı ile kat sayı arasına çarpma işareti konul- mayabilir.
2 3 6
2 3 2 3
.
.
=
≠
5 2 5 2. = 14 3 14 3. =
Anla-Uygula 2
Kareköklü bir sayının kendisiyle çarpımı kök içindeki sayıya eşit olacaktır.
Kareköklü bir sayının karesi, kök içindeki sayıya eşittir.
a a a a a a. .= = =2
Örnekler
Ö1)
Ö2)
Ö3)
Ö4)
2 2 2 2 2 22. .= = =
2 3 2 3 2 2 3 3 4 3 4 3 122( ) ( ) = = = =. . . . .
7 7 7 72( ) = =.
5 6 5 6 25 6 1502
22( ) = ( ) = =. .
a a a a( ) = =2
.
Aşağıdaki kareköklü çarpımların sonucunu bulunuz.
3 5 5. =
6 6 2 2. . . =
4 12 2 15 3 12 15( ) ( ) ( ) =. . .
15 15. =
7 7. =
2 13 13. =
92
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Anla-Uygula 3Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi:
İki köklü sayının bölümü yapılırken kökler ortak olarak birleştirilir ve bölme işlemine geçilir. Katsayılı bölme işlemi varsa da katsayılar kök ile karıştırılmadan ayrı ayrı bölme işlemi gerçekleştirilir.
a b ab
ab
: = =
a bc d
ac
bd
=
Örnekler
15 3 15 3 5
248
248
3
9 213 7
93
217
3 3
12 183
12 183
12 6
: :
.
= =
= =
= =
= =
Ö1)
Ö2)
Ö3)
Ö4)
Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili bölme işlemlerini yapınız.
255
=
6012
=
753
=
28 7: =
80 40: =
100 10: =
4 322 16
36 3612 12
=
50 12025 40
=
15 8421
=
− =90 452 15
522 13
=
3 722 36
=
38 142 15
=
106 25
=
27 189 36
=
40 3311
=
24 1216 48
=
93
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Aşağıda kareköklü sayılarla ilgili hem çarpma hem de bölme işlemlerini yapınız.
3 2 155.
=
3 7 4060
.=
21 62 7
..
=
120 320 2
:.
=
3 15 15.
=
24 9 16 2
..
=
906
204
: =
20025
1204
. =
3 2 6 328
. .( )
=
12 18 152 3 5. .. .
=
25 36 494 9 16. .. .
=
5 6
30
2 2( ) ( )=
.
30 4815
123
. . =
1505 27
13550.
. =
12
23
34
2425
. . ... =
800 1000125 40
..
=
8 15
2 5
3 3
2 2
( ) ( )( ) ( )
=.
.
AB C
D
+ : 8. SINIF+
94
ÜNİTE 18.1.3 Kareköklü
İfadeler
8.1.3.6 Kareköklü bir ifadeyi a şeklinde yazar ve
a şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır.
UYGULAMA BÖLÜMÜ
Anla-Uygula 1
Tam kare olmayan ama içinde tam kare doğal sayı çar-panı bulunan kareköklü bir ifadede, tam kare olan doğal sayı dışarı çıkartılabilir. a,b,c birer doğal sayı olsun.
şeklindedir. Kısaca özetleyecek olursak karekök içinde-ki sayının çarpanları arasında tam kare doğal bir çarpan varsa bu çarpanın karekökü alınıp dışarı çarpım olarak çıkarılabilir. Diğer çarpan ise kök içinde kalır.
c a b
c a b a b
=
= =
2
2
.
.
Örnekler
1
2
3
12 4 3 2 3 2 3
18 9 2 3 2 3 2
48 4 12 2 12 2 12
2
2
2
)
)
)
. .
. .
. .
= = =
= = =
= = =
448 16 3 4 3 4 3
72 9 8 3 8 3 8
72 36 2 6 2 6 2
4
2
2
2
= = =
= = =
= = =
. .
. .
. .
)
Bu tür ifadelerde kareköklü sayının çarpanlarına bakılıp genellikle en büyük tam kare doğal sayı çarpanı tespit edilir. Bu sayı kök dışına çıkabilirken, kalan çarpan ise kök içinde kalır.
Aşağıdaki kareköklü sayıları yukarıdaki örnekteki gibi çarpanlarına bakarak en büyük tam kare doğal sayı çarpanını belirleyip kök dışına alınız.
Örnek
Örnek
32’nin tam kare çarpanları 1, 4, 16
1 x 32 4 x 8 16 x 2
162’nin tam kare çarpanları 1, 9, 81
1 x 162 9 x 18 81 x 2
32 2 2 216 4 42= = =. .
162 2 2 281 9 92= = =. .
bb
27 =
18 =
8 =
28 =
40 =
45 =
50 =
52 =
54 =
20 5 5 54 2 22= = =. .
95
72 =
90 =
108 =
120 =
125 =
135 =
150 =
160 =
180 =
200 =
216 =
1000 =
8.1.3 Kareköklü İfadeler
360 =
Bazı durumlarda kareköklü sayının önünde çarpan ola-bilir. Bu durumda dışarı çıkabilen çarpan, kök dışındaki sayıyla çarpım durumuna geçer.
Örnek
2 12 2 3 2 3 2 3 4 34 2 22
4= = = =. . .
Aşağıdaki uygulamaları yukarıdaki örnekteki gibi yapınız.
5 18 =
6 24 =
15 48 =
10 48 =
20 32 =
12 8 =
15 402
=
16 7524
=
Anla-Uygula 2
96
Anla-Uygula 3
Karekök aslında bir sayının üssünün 2’ye bölünmesidir. Buna göre üssü 2’ye tam bölünebilen çarpanlar dışarı tam olarak çıkabilir. a, b, c birer doğal sayı olmak üzere
dir. Yani kök içindeki bir çarpanın dışarı tam olarak çıkabilmesi için üssünün çift olması yeterlidir. Eğer çar-panın üssü 1’se ve tam kare doğal sayı değilse, çarpan kök içinde bırakılır. Kök içindeki tüm sayılar çıkabiliyorsa o zaman kök işareti kaybolur.
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Örnekler
a a a a a a a
b b b b b b b
3 2 122
5 4 142 2
= = =
= = =
.
.
Ö
Ö
Ö
1
2
3
16 25 4 5 4 5 20
5 3 2 5 3 2 5 3 2 375 2
2 2
6 262
22 3
)
)
. . .
. . . . . .
)
= = =
= = =
2 2 2 2 2 2 2 4 25 442 2= = = =.
a b c a b c a b c2 422
42 2. . . . . . = =
Aşağıda kök içleri verilmiş olan üslü ifadeli çarpanı ya da çarpanları tam çıkabilecek şekilde kök dışına çıkarınız. Tam çıkamayan çarpanları da kök içinde bırakınız.
4 9 2 3 2 3 2 3 62 222
22. . . .= = = =
25 16. =
64 36 2. . =
3 81. =
9 49 100. . =
3 2 3 2 3 2 9 16 1444 842
82 2 4. . . .= = = =
4 52 2. =
2 3 46 2. . =
2 5 92 2. . =
1 3 918 4. . =
25 62. =
35 =
2 43 4. =
3 25 7. =
16 73. =
8 92. =
24 63. =
97
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Anla-Uygula 4
şeklindeki bir ifadede a sayısını kök içine alabili-riz. Bir üslü sayı kök dışına çıkarken üssü 2 ile bölü-nüyordu. Bu sefer tam tersini düşünmemiz gerekecek. Yani burda yapmamız gereken karekök dışındaki çarpanı kök içine almak için üssünü 2 ile çarpmamız yeterlidir.
a b
a ab b= 2.
a b a bd d2 3 4 6. . .=
Örnekler
Ö
Ö
Ö
1
2
3
2 2 4
3 3 9
2 2 64
5 5 5 20
6 6 6 54
5 53 3
2
2
3 62 4
)
)
)
. .
. .
. . . .
= = =
= = =
= = 881 5 25920. =
Aşağıda kök dışındaki çarpanları kök içine alarak sonucu yazınız.
4 3 4 3 16 3 482= = =. .
5 2 =
6 10 =
7 3 =
8 5 =
10 2 =
8 3 =
10 5 =
5 12 =
2 3 7. =
6 5 2. =
2 4 52. =
9 2 32. =
2 2 33 4. =
4 9 5. =
2 3 4 5. . =
2 3 4 74 2 1. . =
10 5 23 2. =
AB C
D
+ : 8. SINIF+
98
ÜNİTE 18.1.3 Kareköklü
İfadeler
8.1.3.7 Kareköklü bir ifade ile çarpıldığında, sonucu bir
doğal sayı yapan çarpanlara örnek verir.UYGULAMA BÖLÜMÜ
Anla-Uygula 1
Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili çarpımları yapınız.
Kareköklü bir sayıyı herhangi bir sayı ile çarptığımızda sonucu doğal sayı yapan ifadeleri, örnekler üzerinden inceleyelim.
Görüldüğü gibi köklü çarpımların sonucu tam kare doğal sayıya eşit oluyorsa çarpım kökten kurtulur. Bu durumda çıkan sonuç da doğal sayıya eşit olacaktır.
Ö
Ö
Ö
1
2
3
2 8 16 4
5 5 25 5
3 3 27 3 81 3 9 27
)
)
)
.
.
. .
= =
= =
= = =
32 2. =
6 54. =
2 2. =
7 7. =
5 2 8. =
2 12 7 3( ) ( ) =.
9 24 3 6( ) ( ) =.
2 72. =
2 23 5. =
5 57 . =
20 5. =
28 6 7. =
3 45 5. =
2 8 10 5. . =
2 10 5. . =
2 6 3. . =
5 5 7 4 7. . . . =
3 12 2 2. . . =
10 5 6 3. . . =
99
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Aşağıdakilerden hangisinin sonucunun doğal bir sayı-ya eşit olduğunu belirleyiniz.
Aşağıdaki tablodaki kareköklü sayıların satır ve sütun-ları çarpıldığında doğal sayı yapanlarını işaretleyiniz.
10 5 6 3. . . =
3 7 21. =
60 15 900 30 302. = = =
2 75 3. =
4 12 2 3. =
25 2 2. =
18 5. =
5 11. =
3 24 6. =
6 3 2. . =
20 5 5. . =
2 3 4 6. . . =
sayısı tam kare bir doğal sayı olmadığından sonuç doğal bir sayıya eşit olmayacaktır.
sayısı tam kare bir doğal sayı olduğundan çıkan sonuç doğal bir sayıya eşit olacaktır.
xx x
2 3 5 6 8
2
75
80
96
108
125
128
135
150
180
200
12
18
27
32
45
50
54
72
AB C
D
+ : 8. SINIF+
100
ÜNİTE 18.1.3 Kareköklü
İfadeler
8.1.3.8 Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini
yapar.UYGULAMA BÖLÜMÜ
Anla-Uygula 1
Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkar-ma İşlemi:
İki ya da daha fazla kareköklü sayıyla toplama ve çıkar-ma işlemi yaparken öncelikle kök içlerinin aynı olmasına dikkat etmeliyiz. Buna göre bu durumu iki başlık altında inceleyim.
1) Kök içleri aynı olan kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi:
a, b, c, d doğal sayılar olmak üzere
şeklindedir. Kısaca özetlersek, kök içleri aynı olan ka-reköklü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yaparken sadece köklü ifadelerin katsayılarıyla işlem yapılır. Kök içleri kesinlikle toplanmaz veya çıkarılmaz.
a c a cb b b± = ±( ).
Örnekler
Ö
Ö
Ö
1
2
3
2 3 5 3 2 5 3 7 3
6 2 4 2 3 2 6 4 3 2 5 2
4 15 15 4 1
)
)
)
+ = +( ) =
− + = − +( ) =
− = −( )) 15
Aşağıdaki kareköklü sayılarla ilgili toplama ve çıkar-ma işlemlerinin yapınız.
2 3 4 3+ =
3 5 7 5+ =
8 3 8+ =
6 5 4 5− =
6 11 16 11− =
18 3 15 3− =
30 17 2 17 7 17− + =
5 13 4 13 13+ + =
12 2 15 2 3 2− − =
8 6 9 6 11 6+ − =
− − + =21 19 15 19 12 19
− + + =20 2 20 13 20
7 9 3 9 5 9− + =
5 3 8 3 12 3 8 3−( ) + −( ) =
10 10 2 10 8 10 4 10+( ) − +( ) =
101
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Aşağıda verilmeyen harflerin yerine gelmesi gereken sayıları bulunuz.
Aşağıdaki toplama ve çıkarma tablolarının boş yerle-rini doldurunuz.
a 3 3 3 7 3+ =
11 7 7 4 7− =b
c 12 4 12 5 12− =
2 13 7 13 13 13− + =d
5 5 5 6 5 11 5− + =e
8 10 3 10 10 5 10+ + =f
+ + − =g 15 15 4 15 7 15
− + − =3 2 2 6 2 0h
− − − =4 3 3 3 3 12 3i
20 17 17 17 1 17+ − =j
k 5 5 5 5 2 5+ − + =
2 13 13 4 13 5 13 9 13− + − =l
+ 2 3 3− 3 3 4 3
5 3−
10 3
7 3−
3 3−
+ 5 2 5 3 5− 4 5−
7 5
10 5
20 5−
12 5
+ 6 10− 5 10 10 10 10−
3 10−
15 10
11 10−
18 10−
102
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Anla-Uygula 2
2) Kök içleri aynı olmayan kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi:
Bu tür durumlarda eğer kök içindeki sayıların tam kare çarpanları dışarı alındığında kök içleri aynı hale getirile-biliyorsa, toplama ve çıkarma işlemine geçilebilir. Kare-kök içleri aynı olmadan kesinlikle kök içleri toplanmaz veya çıkarılmaz.
Örnek 1
50 8 18+ + işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
50 25 5
8 4 2
18 9 3
5 2 3 10
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
= =
= =
= =
+ + =
.
.
.
Görüldüğü gibi karekök içindeki sayıların tam kare çarpanlarını ortaya çıkardığımızda diğer çarpanları aynı olduğundan kök içleri eşitlenmiştir.
Örnek 2
27 5 12 2 3− + işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
27 3
5 12 5 5 2 10
27 5 12 2 3 3 10 2
9
4
3 3
3 3 3
3 3 3 5 3
= =
− = − = − = −
− + = − + = −
.
. .
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
2 3 5 12+ =
7 8 32+ =
3 18 5 27− =
50 2 2− =
6 20 80− =
3 28 2 63− =
7 6 5 24 6− + =
2 40 7 160 3 10+ + =
2 75 5 300 8 3+ − =
9 128 10 72 7 2− − =
3 44 2 99 1100+ − =
− + + =60 15 2 135
− − + =2 180 3 80 4 20
103
52 117 325− − =
− + + =6 72 5 288 4 200
5 98 2 63 112+ + =
52
12 34
48+ =
15
75 37
147− =
2 5 3 202 3− =
2 2 3 8 6 32 3 98+( ) + −( ) =
5 27 2 75 4 3 48−( ) − −( ) =
50 9 98 6 2 200+( ) − +( ) =
2 80 2 45 8 500 6 720+( ) − −( ) =
72 3 8 288 6 800+( ) − −( ) =
Bazı durumlarda kök içleri tamamen tam kare bir doğal sayı olabilir. Kök içindeki sayı kök dışına çıktığı zaman kök işareti kaybolur ve işlemlere geçilir.
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Örnek 1
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
16 2 25+
16 2 25 4 2 5 4 2 5 142 2+ = + = + =.
3 4 5 1+ =
7 16 6 9− =
2 64 5 9+ =
49 2 25 3 81− + =
100 169 144+ − =
2 121 16 225− − =
400 2 4 6 256− + =
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Anla-Uygula 3
AB C
D
+ : 8. SINIF+
104
ÜNİTE 18.1.3 Kareköklü
İfadeler8.1.3.9 Ondalık ifadelerin
kareköklerini belirler.UYGULAMA BÖLÜMÜ
Anla-Uygula 1
Ondalık İfadelerin Karekökü:
Bir ondalık gösterimin karekökünü almak için önce bu sayıyı rasyonel biçimde göstermemiz gerekir. Daha son-ra da pay ve paydasının karekökü alınır.
Örnekler
Ö
Ö
Ö
1
2
3
0 04 4100
4100
210
0 2
0 36 36100
36100
610
0 6
)
)
)
, ,
, ,
= = = =
= = = =
11 44 144100
144100
1210
1 2, ,= = = =
Siz de aşağıdaki ondalık gösterimlerin kareköklerini alınız.
0 16, =
0 49, =
1 21, =
1 69, =
0 81, =
0 0004, =
0 01, =
0 64, =
2 25, =
2 89, =
3 24, =
1 96, =
6 25, =
5 76, =
2 56, =
3 61, =
105
8.1.3 Kareköklü İfadeler
Aşağıdaki ondalık gösterimli köklü işlemleri yapınız.
0 04 0 09, ,+ =
3 0 16 0 25, ,+ =
0 36 2 0 01, ,− =
3 2 25 2 0 81, ,− =
1 44 1 21, ,+ =
0 09 0 040 01
, ,,+
=
1 69 0 641 96 0 04, ,, ,
+−
=
16 0 16144 1 44
+−
=,,
0 090 01
1 211 44
,,
: ,,
=
360 36
810 81, ,
+ =
0 497
0 255
0 0001, , . ,−
=
− +( ) −( ) =2 0 01 3 0 09 5 0 64 3 0 81, , . , ,
0 36 0 04 50 25
, , .,
+( ) =
2 25 120 36
1 44, .,
. , =
360 36
490 49
1, ,
+ − =
20 04
50 25
90 81
0 0110, , ,
. ,+ −
=
− +=
2 89 2533
,
15 0 160 64
2
. ,,
=
