Download - 9 Time Independent Perturbations

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 9 Time Independent Perturbations 9-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

9 Time Independent Perturbations เนอหา 9.1 Introduction 9.2 Non-Degenerate Perturbation Theory 9.3 Applications 9.4 Degenerate Perturbation Theory 9.5 Application - Relativistic Correction 9.6 Application - Zeeman Effect 9.7 บทสรป 9.8 ปญหาทายบท

9.1 Introduction

เนอหาในทกๆกรณทผานมา ถงแมบางครงจะเปนไปดวยความยากลาบากอยบาง แตเราสามารถนากระบวนการทางคณตศาสตรเขามาทาการวเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบไดอยางแมนยา ยกตวอยางเชน rotation ของ nuclear spin, finite potential well, harmonic potential, หรอแมกระทง central potential ใน 3 มต วธในการคานวณระดบพลงงานของระบบทแตกตางกนเหลาน กมกลไกทคลายคลงกน กลาวคอ กาหนด Hamiltonian ของระบบ จากนนสราง eigen equation

ˆ n n nH Eψ ψ= ผลเฉลยของสมการขางตน กคอเซตของ eigen energy { }nE และ eigenstate { }nψ ของระบบท

เรากาลงศกษานนเอง อยางไรกตาม ในความเปนจรงนน ระบบในทางฟสกสมความซบซอนและมปจจยอนๆทจะมผลกระทบตอระบบทเรากาลงพจารณา ยกตวอยางเชน

Quantum Well ภายใตสนามไฟฟา



ในการศกษา quantum well เราใช finite square well ใน 1 มต เพอเปน model อยางงายในการวเคราะหหาระดบพลงงาน ตลอดจน probability amplitude ของระบบ ในคราวนสมมตวาเราตอแบตเตอรเขากบขวทงสองขางของ quantum well ทาใหเกดสนามไฟฟา E

GaAlAs GaAs

x

2a

สนามไฟฟาภายนอก ทปอนให quantum wellE

model ในการศกษา

x

บอพลงงานศกย2a

( )V x

GaAlAs GaAs

x

2a

สนามไฟฟาภายนอก ทปอนให quantum wellE

model ในการศกษา

x

บอพลงงานศกย2a

( )V x

เมอทบทวนเนอหาของ electrostatic พนฐาน จะพบวา อนตรกรยาระหวาง สนามไฟฟากบอเลกตรอนซงมประจ q e= − สามารถแทนดวยพลงงานศกย

( )electric ( ) ( )V x q x e x aφ= = − −E เมอ ( )xφ กคอ electrical potential ซงมความสมพนธกบ

สนามไฟฟาในรปของ φ= −∇E และเมอรวมกบพลงงานศกยทมอยเดม ซงมลกษณะเปน square well

0

well

0

2( ) 0 2 0

0

V x aV x a x

V x

< −⎧⎪= − < <⎨⎪ <⎩

กจะทาใหไดพลงงานศกย well electric( ) ( ) ( )V x V x V x= + สทธดงแสดงในภาพขางตน อยางไรกตาม พลงงานศกยในลกษณะดงกลาวมความซบซอน และไมงายนกทเราจะคานวณระดบพลงงาน และ eigenstate ของระบบ perturbations เปนกลไกท quantum mechanics ใชในการประมาณคาของระดบพลงงาน และ ประมาณ eigenstate ของระบบทมความซบซอน เกนกวาทเราจะหาคาตอบไดโดยตรง

Polarization ของอะตอม



พจารณา hydrogen atom ในสถานะ ground state ทอยทามกลางสนามไฟฟา E ภายนอก ซงมทศทางตามแนวแกน z แตเดมเมอปราศจากสนามไฟฟาภายนอกนน พลงงานของระบบอยในรปของ

พลงงานจลน และ Coulomb potential หรอ 2 2

00

ˆˆ2 4p e ZHm rπε

= −

E

สนามไฟฟาทาใหกลมหมอกอเลกตรอนของ hydrogen atom เปลยนรปราง

z

สนามไฟฟาทาให spectrum ของ hydrogen atom เปลยนแปลง

E

สนามไฟฟาทาใหกลมหมอกอเลกตรอนของ hydrogen atom เปลยนรปราง

z

สนามไฟฟาทาให spectrum ของ hydrogen atom เปลยนแปลง

ภาพ (9.1) สนามไฟฟาทปอนเขาไปในระบบของ hydrogen atom และมผลทาใหระดบพลงงานของอะตอมเปลยนแปลงไป แตเมออยทามกลางสนามไฟฟาภายนอกดงกลาว ซงมอนตรกรยาอยในรปของพลงงาน

1ˆ ˆH e z= − E นน ทาให Hamiltonian โดยรวมของระบบ กลายเปน

2 2

0 10

ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 4p e ZH H H e zm rπε

⎛ ⎞= + = − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠E

เมอ Hamiltonian เปลยนแปลงไป เปนทแนนอนวา eigen energy และ eigenstate กจะตองปรบเปลยนตามไปดวย ซงจะแสดงออกมาใหเหนไดจากลกษณะของ spectrum และลกษณะของกลมหมอกอเลกตรอนทปรากฏวา เบยงเบนไปจากเดม อยางไรกตาม Hamiltonian H ขางตน มความซบซอนทางคณตศาสตรเกนกวาทเราจะแกสมการหาผลเฉลยของ eigen energy หรอ eigenstate ไดโดยตรง จะทาไดกแตเพยงการประมาณคาตอบโดยคราวๆเทานน ซงกจะตองอาศยสงทเรยกวา perturbation theory เปนเครองมอในการประมาณผลเฉลยดงกลาว



Interaction ระหวางอะตอมและแสง

จากตวอยางใน 2 กรณขางตน จะพบวาเรานยมแทน อนตรกรยาทเพมเขามา (และทาใหระบบมความซบซอนทางคณตศาสตรเพมขน) ดวยสญลกษณ 1H ซงมชอเรยกโดยทวไปวา "perturbations" (แปลวา ปจจยทเขามารบกวนระบบ)

r

En

0( )V r

1E

2E3E

ระดบพลงงานของ atom

อเลกตรอนกระโดดขนไปทระดบพลงงานสงขนภายหลงจากทถกกระตนดวยคลนแมเหลกไฟฟา

fn

in

0ˆ ˆ 2 cosωeH H t= − ⋅ε μ

r

En

0( )V r

1E

2E3E

ระดบพลงงานของ atom

อเลกตรอนกระโดดขนไปทระดบพลงงานสงขนภายหลงจากทถกกระตนดวยคลนแมเหลกไฟฟา

fn

in

0ˆ ˆ 2 cosωeH H t= − ⋅ε μ

นอกจากน perturbation 1H ยงอาจจะมการเปลยนแปลงทเปนฟงชนกของเวลา กลาวคอ

1 1ˆ ˆ ( )H H t= ยกตวอยางเชนในกรณทคลนแมเหลกไฟฟา เคลอนทเขาไปทาอนตรกรยากบอะตอม ทผานมาเรามกจะถอวา เมอพลงงานของคลนแมเหลกไฟฟาดงกลาว มคาเทากบ f iE E EΔ = − ของอะตอม กจะมการดดกลนแสง แตเรายงไมเคยใหความสนใจในกระบวนทแทจรงของการดดกลนดงกลาว วามรายละเอยดเปนอยางไร ในกรณท perturbation เปนฟงชนกของเวลานน กระบวนการทางคณตศาสตรในการประมาณระดบพลงงาน และ eigenstate มความยงยากมากขนไปอก และเรามกจะเรยกกรณเชนนวา time-dependent perturbation theory อยางไรกตาม เราจะไมกลาวถง time dependent perturbation theory ในบทน

Formal Notations

เพอมใหเกดความสบสน เราจาเปนจะตองระมดระวงอยางมากในการใชสญลกษณเมอกลาวถงสถานะตางๆของระบบ ตามระเบยบวธของ perturbation theory ดงจะไดขยายความในลาดบตอไปน



กาหนดให Hamiltonian ของระบบ สามารถเขยนใหอยในรปของ

0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ______________________ สมการ (9.1) ในทนเราสนใจทจะทราบผลเฉลยของ eigenstate { }nψ และ eigen energy { }nE ททาใหสมการ

ˆ n n nH Eψ ψ= ______________________ สมการ (9.2)

เปนจรง แตเนองจากความซบซอนทางคณตศาสตรของ Hamiltonian ดงกลาว เราจงพยายามแบง H ออกเปน 2 สวนดวยกนคอ 1) 0H เปนสวนของ Hamiltonian ทเราสามารถหาผลเฉลยของ eigenstate และ eigen energy ของมน

ได หรออกนยหนง เราจะตองทราบเซตของ { }(0)nψ และ { }(0)

nE ททาใหสมการ

(0) (0) (0)

0ˆ n n nH Eψ ψ= ______________________ สมการ (9.3)

นนเปนจรง ใหสงเกตการใช superscript (0) กากบสถานะและกากบพลงงานในสมการขางตน เพอใหเหนอยางชดเจนวามนเปนผลเฉลยของ Hamiltonian 0H และแตกตางจากสถานะในสมการ (9.2) 2) 1H เปนสวนของ Hamiltonian ทเรยกวา "perturbations" ซงแทนปจจยอนๆทเขามามบทบาทกบระบบทกาลงพจารณา และมผลทาให Hamiltonian 0 1ˆ ˆ ˆH H H= + สทธทเกดขน มความซบซอนทางคณตศาสตรมากเสยจนเราไมสามารถหาคาตอบไดโดยตรง ทงน สมมตวา 1H มขนาดเลกเมอเปรยบเทยบกบ 0H ดวยสมมตฐานประการน ในบางครงเราจงเรยก 1H วาเปน perturbing Hamiltonian และ เรยก 0H วาเปน unperturbed Hamiltonian

perturbations theory เปนกลไกในการประมาณผลเฉลย eigenstate { }nψ และ eigen

energy { }nE ของ Hamiltonian 0 1ˆ ˆ ˆH H H= + โดยอาศยขอมลของ { }(0)nψ และ

{ }(0)nE และอาศยสมมตฐานทวา 1H มขนาดเลกเมอเปรยบเทยบกบ 0H



9.2 Non-Degenerate Perturbation Theory

ในขนตนน เพอความสะดวก เราจะสมมตวา perturbing Hamiltonian 1H ไมมสวนทขนกบเวลา หรอทเรยกวา "time independent perturbation" ท Erwin Schrödinger และ Lord Rayleigh เปนผไดรบการยอมรบวาเปนบคคลทใหกาเนดทฤษฏดงกลาว เพอทจะ derive สตรในการประมาณผลเฉลย eigenstate { }nψ และ eigen energy { }nE เราเรม

ดวยการเขยน Hamiltonian ดงในสมการ (9.1) เสยใหม ใหอยในรปของ

0 1ˆ ˆ ˆH H Hλ= + ______________________ สมการ (9.4) โดยทตวเลข λ นนมขนาดเลก กลาวคอ 0 1λ≤ ≤ การนาตวแปร λ เขามาคณอยกบ perturbing Hamiltonian นนมประโยชนถงสองประการดวยกนคอ 1) เปนการแสดงใหเหนอยางชดเจนวา เทอม

1Hλ นนมขนาดเลก และถอไดวาเปน perturbation ของ Hamiltonian 0H และ 2) เราจะใช λ เปนตวชวยในการจดรปทางคณตศาสตรไดเปนระเบยบ และ งายขน ดงจะไดเหนในลาดบตอไป หวใจสาคญของ perturbation theory นนกคอการสมมตวา เราสามารถเขยนผลเฉลย eigen energy

nE และ eigenstate nψ ใหเปน summation ของเทอมทมขนาดเลกลง ลดหลนกนลงไปเรอยๆ กลาวคอ

(0) (1) 2 (2) 3 (3)n n n n nE E E E Eλ λ λ= + + + + ___________ สมการ (9.5)

จากสมการขางตน เนองจาก 0 1λ≤ ≤ เราจะเหนวา โดยหลกการแลว (0) (1) 2 (2)n n nE E Eλ λ< < ทงน

เทอมแรก (0)

nE คอ eigen energy ของ unperturbed Hamiltonian 0H เทอมทสอง (1)

nE คอ 1st order correction term ซงเปนเทอมเมอเขามารวมกบ (0)nE กจะทาให

ผลบวกมคาใกลเคยงกบ nE ทปรากฏอยทางซายมอของสมการไดดยงขน เทอมทสาม (2)

nE คอ 2nd order correction term ซงเปนเทอมทมขนาดเลกลงไปอก แตเมอ



นามารวมกบเทอมทงสองขางตน กจะทาใหเราประมาณคาของ nE ไดแมนยา มากขนอก เปนลาดบขน เชนนเรอยไป

มาถงจดน เราทราบแตเพยงวา (0)nE มคาเปนเทาใด ซงกจะไดทาการวเคราะหเพอหาสตรสาเรจใน

การคานวณคาของเทอม (1) (2), ,n nE E ในลาดบตอไป

1st order และ 2nd order Perturbations

ในทานองเดยวกนกบ eigen energy nE ดงในสมการ (9.5) เราสามารถเขยน eigenstate nψ ใหอยในรปของ

(0) (1) 2 (2) 3 (3)n n n n nψ ψ λ ψ λ ψ λ ψ= + + + + ___________ สมการ (9.6)

และเมอแทนเทอมของ Hamiltonian H ดงสมการ (9.4) , eigen energy ดงสมการ (9.5) , และ eigenstate ดงสมการ (9.6) ทงสามนน เขาไปในสมการ (9.2) จะไดวา

( )( )( )( )

(0) (1) 2 (2)0 1

(0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2)

ˆ ˆ n n n

n n n n n n

H H

E E E

λ ψ λ ψ λ ψ

λ λ ψ λ ψ λ ψ

+ + + +

= + + + + + +

หรอ

( )( )( )( )

(0) (1) 2 (2)0 1

(0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2)

ˆ ˆ0 n n n

n n n n n n

H H

E E E

λ ψ λ ψ λ ψ

λ λ ψ λ ψ λ ψ

= + + + +

− + + + + + +

___________________ สมการ (9.7) สมการขางตน เมอกระจายออกมาจะประกอบดวยเทอมจานวนมาก เราสามารถจดกลมของเทอมทงหลายเหลาน โดยอาศย เลขยกกาลงของ λ เปนหลก ดงตอไปน เทอมทคณอยกบ 0λ :

{ }(0) (0) (0) 00ˆ n n nH Eψ ψ λ−

เทอมทคณอยกบ 1λ :



{ }(1) (0) (0) (1) (1) (0) 10 1ˆ ˆn n n n n nH H E Eψ ψ ψ ψ λ+ − −

เทอมทคณอยกบ 2λ :

{ }(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) 20 1ˆ ˆn n n n n n n nH H E E Eψ ψ ψ ψ ψ λ+ − − −

เชนนเปนตน และเนองจาก λ เปนตวแปรทเราสมมตขนมาเทานน การทสมการ (9.7) จะเปนจรงไดโดยไมสนใจวา λ จะมคาเปนเทาในนน ทกๆเทอมในวงเลบปกกาทแสดงขางตน จะตองเทากบศนย หรออกนยหนง

(0) (0) (0)0ˆ n n nH Eψ ψ= _________ สมการ (9.8)

(1) (0) (0) (1) (1) (0)0 1ˆ ˆn n n n n nH H E Eψ ψ ψ ψ+ = + _________ สมการ (9.9)

(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0)0 1ˆ ˆn n n n n n n nH H E E Eψ ψ ψ ψ ψ+ = + + ________ สมการ (9.10)

ขนตอนในการวเคราะหหาสตรสาเรจในการคานวณ 1st order energy correction term หรอทเราใช

สญลกษณวา (1)nE สามารถทาไดโดยนาเอาสถานะ bra (0)

nψ เขามาประกบทงสองขางของ

สมการ (9.9) จะทาให

( )(0) (1) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (0)

0 1

†(0) (1) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (0) (0)10

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

H H E E

H H E E

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ


=

+ = +

+ = +

จะสงเกตวาในเทอมแรกนน เราเปลยนเอา Hamiltonian 0H มากระทากบสถานะ bra (0)nψ แทน

ซงพรอมกนนน จะเปลยนใหกลายเปน adjoint operator †0H แตเนองจาก Hamiltonian เปน

Hermitian operator ดงนน †00

ˆ ˆH H= หรออกนยหนง †(0) (0) (0) (0)00

ˆ ˆn n n nH H Eψ ψ ψ= =

เพราะฉะนน สมการขางตน ลดรปเหลอเพยง

(0) (0) (1)n n nEψ ψ (0) (0) (0) (0) (1)

1ˆn n n n nH Eψ ψ ψ ψ+ = (1) (0) (0)

1

n n nE ψ ψ

=

+

หรอ



(1) (0) (0)1ˆn n nE Hψ ψ= ______________ สมการ (9.11)

สมการขางตน เปนสตรสาเรจในการคานวณ 1st order correction ของ eigen energy ซงอยในรปของ bra-ket ทประกบเอา operator 1H ไวภายใน

และในกรณของ 1st order correction ของ eigenstate หรอ (1)nψ เราเรมดวยการตงขอสงเกตวา

เซตของ eigen state { }(0)nψ นนเปน complete เซต เพราะฉะนน เราสามารถเขยนสถานะใดๆก

ได ใหอยในรป linear superposition ของเซตดงกลาว รวมไปถงสถานะ (1)nψ ดวยเชนกน

เพราะฉะนนเราสามารถเขยน

(0)(1)n k k

k ncψ ψ

≠= ∑ เมอ (0) (1)

k nkc ψ ψ=

เมอ kc คอสมประสทธของ expansion ทเราจะตองวเคราะหหาคาทแทจรงในลาดบไป และสาเหต

ท summation ของ k มเงอนไขทวา k n≠ นน เพราะจากสมการ (9.6) จะเหนวาสถานะ (0)k nψ =

ไดปรากฏอยในเทอมแรกของสมการอยแลว และไมมความจาเปนจะตองรวมเขาไปเปนสวนหนงของ linear superposition อก

สวนในกรณของสมประสทธ kc นน สามารถหาไดโดยการนาสถานะ bra (0)kψ เขาไปประกบ

ทงสองขางของสมการ (9.9) และจะไดวา

(0) (0) (0) (0)(1) (0) (0) (1) (1) (0)0 1

(0) (0) (0) (0) (0)(1) (0) (0) (1) (1) (0)1

0

ˆ ˆ

ˆ

n n n n n nk k k k

n n n n n nk k k k k

H H E E

E H E E



=

+ = +

+ = +

หรอ (0) (0)

1(0) (1)(0)(0)

ˆ nknk

n k

H

E E

ψ ψψ ψ =

− เมอ k n≠

เพราะฉะนนแลว



(0) (0)1 (0)(1)(0)(0)

ˆ nkn k

k n n k

H

E E

ψ ψψ ψ

≠=

−∑ ______________ สมการ (9.12)

และกอนทจะยกตวอยางการนา perturbation มาใชงานนน เพอใหไดประโยชนสงสดเราควรจะ derive สตรในการคานวณ 2nd order energy correction เสยกอน ซงทาไดไมยากนกโดยการนา

สถานะ bra (0)nψ เขาประกบทงสองขางของสมการ (9.10) จะไดวา

(0) (2)

0ˆn nHψ ψ (0) (1)1

(0) (0) (2)

ˆn n

n n n

H

E

ψ ψ

ψ ψ

+

= (0) (1) (1) (0) (2) (0)

0

n n n n n nE Eψ ψ ψ ψ

=

+ +

หรอ (2) (0) (1)

1ˆn n nE Hψ ψ=

และเมอแทน (1)nψ ดงในสมการ (9.12) เขาไปทางขวามอของสมการขางตน จะทาให

(0) (0)

1 (0)(2) (0)1(0)(0)

(0) (0)(0) (0)1 1

(0)(0)

(0) (0)(0) (0)1 1(2)

(0)(0)

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

nkn n k

k n n k

n nk k

k n n k

n nk kn

k n n k

HE H

E E

H H

E E

H HE

E E

ψ ψψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

≠

≠

∗

≠

=−

=−

=−

∑

∑

∑

หรออกนยหนง 2(0) (0)

1(2)(0)(0)

ˆ nkn

k n n k

HE

E E

ψ ψ

≠=

−∑ ______________ สมการ (9.13)

ดงทไดกลาวมาแลวขางตนวา ตวแปร λ ทปรากฏในสมการ (9.4) เปนเพยงสงทสมมตขนเพอชวยจดกลมของเทอมตางๆเพอความสะดวกของการ derive สตรสาเรจในการคานวณ correction term



ดงทปรากฏในสมการ (9.11) , (9.12) , และ (9.13) และในทายทสด เมอนาระเบยบวธ perturbation theory มาใชงานจรง เราจะกาหนดให 1λ = กลาวคอ

(0) (1) (2) (3)n n n n nE E E E E= + + + + ______________ สมการ (9.14)

และ (0) (1) (2) (3)

n n n n nψ ψ ψ ψ ψ= + + + + ___________ สมการ (9.15)

Simple Application

เพอเปนการยกตวอยางการนา perturbation theory มาใชเปนเครองมอในการวเคราะหระบบ สมมตวาเราตองการคานวณ eigen energy ของ Hamiltonian

22 2 2ˆ 1ˆ

2 2pH m x bxm

ω= + + ________________ สมการ (9.16)

นกศกษาทมไหวพรบอยบาง ยอมจะสงเกตเหนไดทนทวา Hamiltonian ขางตนนน สามารถหาผลเฉลยของ eigen energy ไดโดยตรง และไมมความจาเปนทจะตองประมาณคาตอบโดยอาศยกลไกของ perturbation theory แตอยางใด แตในขนตนเราจะแสรงทาเปนไมทราบ โดยมองวา Hamiltonian H ดงในสมการ (9.16) นนมความซบซอนเกนกวาจะหาผลเฉลยของ eigen energy ไดโดยตรง และเรมจากการเขยน H ใหอยในรปของ

22 2 2

0 1

ˆ0

ˆ 1ˆ ˆ ˆ2 2

H

pH m x bx H Hm

ω= + + = + _____________ สมการ (9.17)

ซงมองวา 2

1H bx= มลกษณะเปน perturbing term และสมมตฐานขอนจะสมเหตผลกตอเมอ

คาคงท b นนมขนาดเลกมาก สวนในแงของ 2

2 20

ˆ 1ˆ2 2pH m xm

ω= + นน กเปนระบบของ

simple harmonic potential ซงเราไดศกษาและทราบ eigen energy ตลอดจน eigenstate ของมนเปนอยางด กลาวคอ



(0) 12nE nω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ___________________ สมการ (9.18)

ในขณะท eigenstate (0)nψ ของ 0H มสมบตทเกยวของกบ raising และ lowering operator ทวา

(0)(0)1ˆ n na nψ ψ −= และ (0)† (0)

1ˆ 1n na nψ ψ += + _______ สมการ (9.19)

เราจะอาศยสมบตทเกยวของกบ raising และ lowering operator ดงกลาวเพอชวยในการประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian ดงในสมการ (9.16) กอนอนจะตองเขยน perturbing Hamiltonian

21H bx= ใหอยในรป

( ) ( )2

2 † 2 † † †21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2bH bx b a a a aa a a a

m mω ω⎧ ⎫⎪ ⎪= = + = + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

_______ สมการ (9.20)

จากสมการ (9.11) จะไดวา 1st order energy correction กคอ

( )

(1) (0) (0)1

(0) 2 † † †2 (0)

(1) (0) 2 (0) (0) † (0) (0) † (0) (0) †2 (0)

0 01 1

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

n n n

n n

n n n n n n n n n

n n n n

E H

b a aa a a am

bE a aa a a am

ψ ψ

ψ ψω

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψω

= =+ +

=

= + + +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

หรอ

( )(1)2

1 1 22 12 2 2n

b bE n nm m

ωω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

__________ สมการ (9.21)

ในขณะท 2nd order energy correction มคาเทากบ



( )

( ) ( )( )

2(0) (0)1(2)(0)(0)

2(0) 2 † † †2 (0)2

(0)(0)

2(2)

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2

1 1 22 2 2

nkn

k n n k

nk

k n n k

n

HE

E E

a aa a a abm E E

n n n nbEm

ψ ψ

ψ ψ

ω

ω ω ω

≠

≠

=−

+ + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ −

⎧ ⎫− + +⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

∑

∑

หรอ 2

(2)2

1 1 22 8n

bE nm

ωω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

____________ สมการ (9.22)

ซงจาก (0)

nE , (1)nE , และ (2)

nE เราสามารถประมาณคา eigen energy nE ของ Hamiltonian

0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ไดทนทวา

2

2 21 1 2 1 212 2 8n

b bE nm m

ωω ω

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞≅ + + −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

___________ สมการ (9.23)

สมการขางตน เปนผลลพธจาก non-degenerate perturbation theory ทสามารถประมาณคาระดบพลงงาน nE ของระบบ และเพอทจะแสดงใหเหนวา ระดบพลงงานทไดจากการประมาณดงกลาว เปนการประมาณทถกตอง สมเหตผล เราจะไดทาการคานวณ eigen energy nE ทแทจรง โดยปราศจากการประมาณ เพอจะไดเปรยบเทยบกบสมการ (9.23)

จาก Hamiltonian 2

2 2 2ˆ 1ˆ2 2pH m x bxm

ω= + + เราสามารถเขยน

2

2 2 2

22

2 2

22 2

ˆ 1ˆ2 2

ˆ 1 22 2

ˆ 1ˆ2 2

pH m x bxm

p m b m xm

pH m xm

ω

ω

ω

ω

′

= + +

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

′= +



ลกษณะของ Hamiltonian H ขางตนนน เปรยบเสมอนระบบแบบ simple harmonic potential ทม

ความถเทากบ 2 2b mω ω′ = + และในกรณนเอง ระดบพลงงานมคาเทากบ

22

1 1 2 12 12 2 2n

bE n b m n nm

ω ω ωω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ

21 212n

bE nm

ωω

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

________________ สมการ (9.24)

เพอทจะตอบโจทยวา ระดบพลงงาน nE ในสมการ (9.24) มความคลายคลงกบทไดจาก perturbation ในสมการ (9.23) อยางไรนน ลองพจารณา Taylor expansion

2 3 41 1 1 51 12 8 16 128

β β β β β+ = + − + − +

เพราะฉะนนแลว 2 3

2 2 2 22 1 2 1 2 1 21 1

2 8 16b b b b

m m m mω ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรออกนย

หนง สมการ (9.24) สามารถเขยนใหอยในรปของ Taylor expansion ไดวา

2 3

2 2 21 1 2 1 2 1 212 2 8 16n

b b bE nm m m

ωω ω ω

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞= + + − + −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

______ สมการ (9.25)

ดงนนเราสรปไดวา ระดบพลงงานในสมการ (9.23) ทไดจาก perturbation theory นน เปนการประมาณทสมเหตผลของระดบพลงงานในสมการ (9.24) นนเอง

แบบฝกหด 9.1 จงคานวณระดบพลงงานของ Hamiltonian 2

2 2ˆ 1ˆ ˆ2 2pH m x e xm

ω= + − E เมอ e

คอประจของอเลกตรอน และ E คอความเขมของสนามไฟฟาในระบบ

a) ดวยวธการประมาณแบบ perturbation โดยใชความละเอยดในการประมาณอยางนอย 2nd order b) ดวยวธการหาคาตอบทแทจรง c) วาดภาพแสดงระบบทางฟสกสของ Hamiltonian ดงกลาว



9.3 Applications

กระบวนการในการประมาณคาตอบของ eigen energy และ eigenstate ทเรยกวา non-degenerate time-independent perturbation theory ทเราไดศกษาผานไปแลวนน สามารถนามาใชประยกตในการวเคราะหระบบตางๆอยมากพอสมควร ดงจะไดเสนอ 2 ตวอยางดวยกนคอ 1) แบบจาลองทมองวานวเคลยสนน มไดเปน point charge หากแตเปนทรงกลมทมรศม R และ 2) ground state energy ของ helium atom

Nucleus with Finite Size

เมอครงทเราไดศกษาระดบพลงงานของ hydrogen atom หรออะตอมใดๆทประกอบดวยอเลกตรอนเพยงหนงตว ซงเคลอนทอยภายใตอทธพลของ Coulomb potential ของนวเคลยสซงมประจเทากบ

Ze+ นน เรามองวานวเคลยสมลกษณะเปน "point charge" ซงเปรยบเสมอนจดทมรศมเทากบศนย

และในกรณดงกลาวน พลงงานศกยของอเลกตรอนมคาเทากบ 2

04e Z

rπε−

ในคราวน เราจะสราง model ของนวเคลยสใหสมจรงมากขน โดยมองวาประจขนาด Ze+ มไดกระจกตวอยเปนจดทมขนาดเปนศนยแตอยางใด หากแตมการกระจายตวของประจเปนทรงกลมซงมรศมเทากบ R ดงแสดงใน ภาพ (9.2)

ประจ กระจายตวอยภายในทรงกลมรศม Ze+ R

3proton

,( ) 4 3

0 ,

Ze r Rr R

r Rρ π

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

ประจ กระจายตวอยภายในทรงกลมรศม Ze+ R

3proton

,( ) 4 3

0 ,

Ze r Rr R

r Rρ π

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

ภาพ (9.2) แสดง model ของนวเคลยสทประกอบดวยประจบวก กระจายตวอยางสมาเสมอภายในทรงกลมซงมรศม R แบบฝกหด 9.2 จงทบทวนเนอหาของ electrostatic พนฐานเพอพสจนวา พลงงานศกยของอเลกตรอนภายใตอทธพลของการนวเคลยสดงใน ภาพ (9.2) อยในรปของ



22

0

2

0

3 ,4 2

( )

,4

e Z r r RR R

V re Z r R

r

πε

πε

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥− − ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨⎪

− >⎪⎩

____________ สมการ (9.26)

บอกใบ: ใชกฎของ Gauss จากพลงงานศกยขางตนจะพบวา ในกรณทอเลกตรอนอยภายในนวเคลยส รปแบบทางคณตศาสตรของ ( )V r จะมลกษณะแตกตางออกไปจาก Coulomb potential กลาวคอแปรผนกบ 2r∼ เมอเปนเชนน เราสรปไดวา ระดบพลงงานของ hydrogen atom ในกรณดงกลาวน จะตองเปลยนแปลงไปจากเดม ทเราเคยสมมตเอาวา นวเคลยสเปน "point charge" เพอทจะคานวณระดบพลงงานของระบบ เราเขยน Hamiltonian ไดวา

2ˆˆ ( )2pH V rm

= + ______________________ สมการ (9.27)

เมอ ( )V r เปนพลงงานศกยดงแสดงในสมการ (9.26) อยางไรกตาม เราไมทราบ eigen energy ของ Hamiltonian ดงกลาว เนองจากความซบซอนของพลงงานศกย ( )V r ดงนนเราจะใช time-independent perturbation โดยเรมจากการเขยน Hamiltonian ใหอยในรป

2 21

0ˆ0

ˆˆ ˆ ( )2 4

H

p e ZH H rm rπε

= − + ________________ สมการ (9.28)

เมอ 22

1 0

23 ,ˆ ( ) 4 2

0 ,

e Z r R r RH r R R r

r R

πε

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥− − − ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪>⎪⎩

____________ สมการ (9.29)

ในขนตอนตอไป เราสงเกตเหนวา eigen energy และ eigenstate ของ Hamiltonian 0H นน กคอระดบพลงงาน และ wave function ของ hydrogen atom นนเอง กลาวคอ ในสถานะ ground state

(0) (0) 010 0ground ground, , ( , , ) ( ) ( , )r r R r Yθ ϕ ψ ψ θ ϕ θ ϕ= =



โดยท 3 2

0100

( ) 2 Zr aZR r ea

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ เมอ 0a คอ Bohr radius และ 0

01( , )2

Y θ ϕπ

=

และระดบพลงงาน ground state กคอ 22

ground 204 2Ze mEπε

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ เมอเปนเชนน เราสามารถ

คานวณ 1st order correction ของระดบพลงงาน ground state ไดวา

(1) (0) (0)1ground ground groundˆE Hψ ψ=

ซงสามารถเขยนใหอยในรปของ integration ไดกคอ

(1)ground

(0) (0)31ground ground

222 22 010 10 0

0 0 0 01

32 42

20 0

ˆd r ( , , ) ( , , )

2( ) 3 ( ) sin ( , )4 2

4 3 24 2

R

E

r H r

e Z r Rdrr R r R r d d YR R r

e Z Z rdr rR a R

π π

ψ θ ϕ ψ θ ϕ

ϕ θ θ θ ϕπε

πε

∗

∗

=

=

⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥= − − −⎨ ⎬⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

2 0

0

RZr aRr e−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

เนองจากเทอม 2 0Zr ae− ทปรากฏอยในสมการขางตน ทาใหการ integrate มความซบซอนมากขน แตถาเราประมาณวา รศมของนวเคลยสนนมขนาดเลกกวา Bohr radii มาก หรอ 0R a เมอเปน

เชนน ภายในชวงของการ integrate 0

Rdr∫ นน 1

0

ra

และจะมผลให 2 0 1Zr ae− ≅ ดงนน

แลว

4 4 322 20

2 210 0

3 2 3 25

R RZr ar r Rdr r Rr e dr r Rr

R R−

≅

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ≅ − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

ทาให 3 22 3

(1) (0)ground ground

0 0 0

444 2 5 5e Z Z R ZRE E

R a aπε⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เมอ 0R a



ทงนเมอเรารวมเทอม (0)

groundE และ (1)groundE เขาดวยกน เพอเปนการประมาณ ground state

energy ของระบบดงกลาวน จะไดวา

2(0) (1) (0)

ground ground ground ground0

415

ZRE E E Ea

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥≅ + = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ เมอ 0R a ___ สมการ (9.30)

จากสมการขางตนจะพบวา การทเรามองนวเคลยสเปนการกระจายตวของประจแบบทรงกลม ทม

รศมเทากบ R นน มผลทาใหระดบพลงงานเพมขนเปนอตราสวนเทากบ 2

0

45

ZRa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(ทเพมขน

เพราะระดบพลงงานเดมนน ตดลบ) และเพอทจะทราบขนาดของ correction energy อยางคราวๆ เราอาจจะลองแทนคารศมของนวเคลยสใหมคาเทากบ 151 10 m−× และกาหนดให 1Z = ซงจะไดวา

215(1) 9ground 11

4 1 10 m13.6eV 3.89 10 eV5 5.29 10 m

E−

−−

⎛ ⎞×= × = ×⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠

หรอมพลงงานเทากบคลนความถวทย 0.941MHz ซงนบวานอยมาก และเปนการยากทจะตรวจสอบดวยกลไกของการทดลอง โจทยขอนจงถอไดวาเปนเพยงแบบฝกหดทางทฤษฏทเกยวของกบ perturbation แตเพยงเทานน

Ground State Energy ของ Helium Atom

เมอเราพจารณา Hamiltonian ของอเลกตรอนทอยภายใน helium atom กจะพบวามนมความซบซอนไมแพกน ดงแสดงใน ภาพ (9.3) จะเหนวา helium atom ประกอบดวย 2 อเลกตรอน และ นวเคลยสทม atomic number เปน 2Z = เพราะฉะนน Hamiltonian จะอยในรปของ



x

y

z

2Z = +

1r2r

อะตอมของ helium ทประกอบดวยอเลกตรอน 2 ตว

x

y

z

2Z = +

1r2r

อะตอมของ helium ทประกอบดวยอเลกตรอน 2 ตว

ภาพ (9.3) อะตอมของ helium ทประกอบดวยอเลกตรอน 2 ตว ซงมแรงผลกกนจากกฎของ Coulomb

2 22 2 21 2

0 1 0 2 0 1 21st electron 2nd electron repulsion term

ˆ ˆ 1ˆ2 4 2 4 4p pe Z e Z eHm r m r r rπε πε πε

= − + − +−

________ สมการ (9.31)

เทอมตางๆภายใน Hamiltonian ขางตนแบงออกเปน 3 กลมใหญๆดวยกนคอ

1) 2 21

0 1

ˆ2 4p e Zm rπε− คอพลงงานเฉพาะทเกยวของกบอเลกตรอนตวแรก ซงรวมทงพลงงานจลน

และพลงงานศกยทมนกระทากบนวเคลยส

2) 2 22

0 2

ˆ2 4p e Zm rπε− คอพลงงานเฉพาะทเกยวของกบอเลกตรอนตวทสอง

3) 2

0 1 2

14e

r rπε − คอ Coulomb interaction ระหวางอเลกตรอนทงสอง ใหสงเกตวาฟงชนก

ของพลงงานเปนบวก ซงหมายถงแรงผลก ในโจทยขอน เราสนใจทจะทราบ ground state energy หรอระดบพลงงานตาสดของ Hamiltonian ดงในสมการ (9.31) ซงในปจจบน ยงไมมใครสามารถหาคาตอบทแทจรงโดยไมมการประมาณไดเลย เพราะฉะนน ในขนตนน เราจาเปนจะตองใช perturbation theory เขามาชวย และจะทาการเปรยบเทยบคาตอบทได กบคาตอบทไดจากการทดลองในโอกาสตอไป



ในขนตน เราเขยน Hamiltonian ใหอยในรป 0 1ˆ ˆ ˆH H H= + โดยท

2 22 21 2

00 1 0 2

ˆ ˆˆ2 4 2 4p pe Z e ZHm r m rπε πε

= − + − ________ สมการ (9.32)

และ 2

10 1 2

1ˆ4eH

r rπε=

− ___________________ สมการ (9.33)

ในขนทสอง เราจะตองทาการหา eigenstate หรอ ทเรยกวา wave function ของ 0H เสยกอน ซงจะมความสะดวกในการอธบายความ ถาเราใชภาษาของ wave function เปนหลก พจารณา

(0) (0) (0)0H Eψ ψ=

จากสมการ (9.32) จะเหนวา 0H เปนฟงชนกของทง 1r และ 2r เพราะฉะนน โดยหลกของการแกสมการอนพนธแลว wave function ควรจะตองเปนฟงชนกของ 1r และ 2r ดวยเชนกน กลาวคอ

( ) ( )2 2 2 2

(0) (0) (0)2 21 2 1 2 1 2

0 1 0 2, ,

2 4 2 4e Z e Z r r E r r

m r m rψ ψ

πε πε

⎡ ⎤− ∇ − − ∇ − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

_____________________ สมการ (9.34) เมอเครองหมาย Laplacian 2

1∇ ทประกอบดวย subscript 1 นนหมายถง Laplacian เทยบกบพกดของ

อเลกตรอนตวแรกเพยงเทานน ยกตวอยางเชน 2 2 2

21 2 2 2

1 1 1x y z∂ ∂ ∂

∇ ≡ + +∂ ∂ ∂

และ

2 2 222 2 2 2

2 2 2x y z∂ ∂ ∂

∇ ≡ + +∂ ∂ ∂

เชนนเปนตน

อนง เมอกลาวถงระบบทประกอบดวย 2 อเลกตรอนขนไป โดยทวไปแลวนอกจากพกดบอกตาแหนงแลว เราจะตองวเคราะหถง spin ของมนทงสองดวย แตในขนตนน เนองจากเรากาลงกลาวถงระดบพลงงาน ground state ซงอเลกตรอนทงสองม spin ตรงกนขามกนพอด จงพอจะอนโลมขามประเดนของ spin ไปเสยกอน



ผลเฉลยของสมการ (9.34) นนสามารถหาไดโดยใชเทคนคทเรยกวา separation of variables กลาวคอ สมมตให

( ) ( ) ( )(0)1 2 1 2,r r r rψ φ φ=

เมอ ( )rφ คอฟงชนกใดๆ และถาแทนสมมตฐานขางตนเขาไปในสมการ (9.34) ประกอบกบทกษะเชงพชคณตขนพนฐาน จะนาไปสผลลพธทวา

ground state energy ของ 0H 22

(0)ground 20

24 2Ze mEπε

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ เมอ 2Z =

ground state wave function ( ) ( ) ( )(0)1 2 1 2ground ,r r r rψ φ φ= เมอ 0

10 0( ) ( ) ( , )r R r Yφ θ ϕ=

_____________________ สมการ (9.35) แบบฝกหด 9.3 จงพสจนสมการขางตน โดยใชเทคนค separation of variables อยางไรกตาม ระดบพลงงาน ground state ดงแสดงในสมการ (9.35) นน เปนเพยง ground state ของ Hamiltonian 0H ทปราศจาก interaction ซงเปนแรงผลกระหวางอเลกตรอนทงสอง จงไมใชระดบพลงงานของ helium atom เสยเลยทเดยว Hamiltonian 0 1ˆ ˆ ˆH H H= + ตางหาก ทเปนแสดงถงระบบของ helium atom อยางแทจรง เพยงแตวา การทจะคานวณระดบพลงงาน ground state โดยตรงนน ทาไดยาก เราจงตองใช perturbation

theory แทน โดยมองวา 2

10 1 2

1ˆ4eH

r rπε=

− เปน perturbation ซงจะไดวา 1st order energy ของ

ground state กคอ

(1) (0) (0) (0) (0)3 31 1 2 1 2 1 1 2ground ground ground ground groundˆ ˆd r d r ( , ) ( , )E H r r H r rψ ψ ψ ψ∗= = ∫∫

และเมอแทน ( )(0)

1 2ground ,r rψ จากสมการ (9.35) จะไดวา

2 2 2 2 2(1) 3 0 3 0

1 10 1 0 1 1 2 10 2 0 2 2ground0 1 2

1d r ( ) ( , ) d r ( ) ( , )4eE R r Y R r Y

r rθ ϕ θ ϕ

πε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ ∫



_____________________ สมการ (9.36)

มอยหลายวธทเราจะสามารถคานวณผลของ integration 2 23 0

2 10 2 0 2 21 2

1d r ( ) ( , )R r Yr r

θ ϕ−∫

ได วธหนงกคอการเขยน 2 21 2 1 1 2 2

1 1

2r r r r r r=

− − ⋅ + ซงในการ integrate ตวแปร 3

2d r นน

เราสามารถกาหนดให 2 1z r ดงนน

2 21 2 1 1 2 2 2

1 1

2 cosr r r r r rθ=

− − +

และจะทาให 2 1 02 2 23 0 1 02 10 2 0 2 2

1 2 1 1 0

1 1d r ( ) ( , )Zr a

Zr ae ZR r Y er r r r a

θ ϕ−

−= − −−∫ ซง

เมอแทนผลลพธดงกลาวเขาไปในสมการ (9.36) จะไดวา

22(1)ground 20

58 4 2

Ze mEπε

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ _____________________ สมการ (9.37)

โดยทเราจะปลอยใหเปนหนาทของนกศกษาทจะตอง พสจนในทางคณตศาสตร เพอทจะทราบทมาของสมการขางตน อยางถองแท แบบฝกหด 9.4 จงพสจนสมการ (9.37) โดยเรมจากสมการ (9.36) บอกใบ: นกศกษาสามารถศกษาขนตอนในการ integrate อยางละเอยดไดใน "Theoretical Physics: ทายเลมวชาแกน", Chapter Two-Electron System, Dr. Teepanis Chachiyo. เพราะฉะนน เมอแทน 2Z = เราสามารถประมาณ ground state energy ของ helium atom ไดวา

22ground 20

52 74.8eV4 82Ze mEπε

⎛ ⎞ ⎡ ⎤≅ ⋅ − + = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ________________ สมการ (9.38)



ซงเมอเปรยบเทยบกบผลการทดลอง (exp.)ground 79.0eVE = − จะมคา error อยท 5% โดยประมาณ

และนบวาเปนทนาพอใจในระดบหนง อยางไรกตาม ยงมวธในการประมาณทใหผลแมนยากวานมากนก อาทเชน Hartree-Fock, หรอ CI calculation

9.4 Degenerate Perturbation Theory

จากการศกษา perturbation theory ทผานมาจะพบวา เมอพจารณาเทอมทปรากฏอยบอยครง ซงกคอ

(0) (0)1(0)(0)

ˆ nk

n k

H

E E

ψ ψ

−

ในกรณท eigen energy ของ unperturbed Hamiltonian 0H มลกษณะทเรยกวา degenerate กลาวคอ

degeneracy: เกดกรณท (0)(0)n kE E= ทงๆท n k≠

จะมผลทาใหเทอมดงแสดงขางตน ลเขาส infinity และเกดปญหาในการคานวณตามมาอยางหลกเลยงไมได ดวยเหตนเอง ถา eigenstate ของ 0H อยในสภาวะทเปน degeneracy เสยแลว เราจะตองมาวเคราะหหาสตรสาเรจในการประมาณ correction energy จากเดมทเขยนไวในสมการ (9.11) และ (9.13) กนเสยใหมทงหมด นอกจากน correction เทอมของ eigenstate ดงแสดงในสมการ (9.12) กจาเปนจะตองมการเปลยนแปลงดวย หากแตดวยความซบซอนทจะตามมา และเกนขอบเขตของเนอหา เราจะไมกลาวถงในกรณ correction ของ eigenstate

1st order Energy Correction

เพอทจะรบมอกบสถานการณของ degeneracy เราจะตองเรมพจารณากนตงแตตน สมมตวา eigenstate ของ Hamiltonian 0H มอย N สถานะทมพลงงาน (0)

nE เทากน กลาวคอ

(0), 1, 2, ,n i i Nψ = มพลงงาน (0)

nE ________________ สมการ (9.39)



จะสงเกตวา เราใชเลขกากบดชนของสถานะขางตนถง 2 ตวเลขดวยกนคอ ,n i โดยท n แสดงถงระดบพลงงาน ในขณะท i แสดงถงสถานะตางๆทมโอกาสเปนไปได ในชนระดบพลงงานดงกลาวน และเพอทจะใหนกศกษาเขาใจความหมายของสญลกษณดงในสมการ (9.39) อยางเปนรปธรรม เราจะยกตวอยางในกรณของ hydrogen atom เมอกลาวถงสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom เรามกจะใชสญลกษณ , ,n l m เมอ 1,2,n = คอเลข quantum number ทบงบอกถงระดบชนของพลงงาน ในขณะท l และ m

แสดงถงสมบตเชง orbital angular momentum ของอเลกตรอน โดยท ( ){ }0,1, 1l n=∈ − และ

( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − + ดวยเหตทในแตละคาของ n ม { },l m ทเปนไปไดอย

หลายคาดวยกน สถานะ eigenstate ของ hydrogen atom , ,n l m จงมลกษณะทเปน degeneracy ซงถาเราคานวณกนใหด ณ ระดบพลงงาน n ใดๆ จะม eigenstate อยทงหมด 2N n= สถานะทมระดบพลงงานเทากน หรอ กลาวเปนภาษาทคอนขางเปนทางการวา

hydrogen atom ณ ระดบพลงงาน n มอยอยางนอย 2N n= fold degeneracy ยกตวอยางเชน ในระดบ 1n = มอยอยางนอย 1N = fold degeneracy ซงกคอ , , 1,0,0n l m = ในระดบ 2n = มอยอยางนอย 4N = fold degeneracy ซงกคอ , , 2,0,0 , 2,1, 1 , 2,1,0 , 2,1, 1n l m = − + แบบฝกหด 9.5 จงพสจนวา hydrogen atom ณ ระดบพลงงาน n มอยอยางนอย 2N n= fold

degeneracy และถานา spin ของอเลกตรอนเขามาคดรวมดวย กจะม 22N n= fold degeneracy และถาเราจะโยงสญลกษณทเราไดกลาวถงในสมการ (9.39) มาใชอธบายกรณขางตน จะไดวา

hydrogen atom ณ 2n = ม eigenstate { }(0)2, 1, 2,3,4i iψ ∈ _________ สมการ (9.40)



เชนนเปนตน eigenstate ทมลกษณะ degenerate ดงกลาวน ยงมชอเรยกโดยทวไปวา

กาหนดให (0), 1, 2, ,n i i Nψ = เปน "sub-space" ของ degenerate eigenstate

____________________ สมการ (9.41)

เมอเปนเชนน ถายอนกลบไปถงการเขยน eigenstate nψ ดงในสมการ (9.6) โดยทในคราวน เรา

นาเอาความเปน degeneracy เขามาวเคราะหรวมดวย จะไดวา

(0) (1) 2 (2) 3 (3),

1

Nn i n n nn i

icψ ψ λ ψ λ ψ λ ψ

== + + + +∑ ___________ สมการ (9.42)

เมอ { }ic เปนเซตของสมประสทธทเหมาะสม ทจะตองทาการวเคราะหหาในลาดบตอไป และเมอ

เรานา nψ ดงในสมการ (9.42) แทนเขาไปในสมการ (9.2) จากนนแยกเขยนเฉพาะเทอมทคณอย

กบ 1λ จะไดวา

(0) (0)(1) (0) (1) (1)0 1 , ,

1 1

ˆ ˆN N

n i n n n in i n ii i

H H c E E cψ ψ ψ ψ= =

+ = +∑ ∑ _________ สมการ (9.43)

สมการขางตนนน มลกษณะทคลายกบสมการ (9.9) เปนอยางมาก เพยงแตวา สมการ (9.9) นนเปนกรณของ non-degenerate ในขณะทสมการ (9.43) เปนกรณของ degenerate 1st order perturbation นนเอง

เมอเรานาสถานะ bra (0),n jψ เขาประกบทงสองขางของสมการขางตน จะไดวา

(0) (1)0,ˆ nn j Hψ ψ (0) (0) (0) (0) (1)

1, , ,1

ˆN

i n nn j n i n ji

H c Eψ ψ ψ ψ=

+ =∑ (0) (0)(1), ,

1

(0) (0) (0) (0)(1)1, , , ,

1 1

(0) (0) (1)1, ,

1

ˆ

ˆ

Nn in j n i

iN N

i n in j n i n j n ii i

ijN

i n jn j n ii

E c

c H E c

c H E c

δ

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

=

= =

=

+

=

=

∑

∑ ∑

∑



________________ สมการ (9.44) ถาเราเขยนสมการขางตนใหอยในรปของ vector และ matrix โดยนยามให

vector

1

2

N

cc

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥≡⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c

และ matrix

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1 ,,1 ,1 ,1 ,2 ,1

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1 ,,2 ,1 ,2 ,2 ,2

1

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1, , , ,,1 ,2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

n Nn n n n n

n Nn n n n n

n N n N n N n Nn n

H H H

H H H

H H H

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H

___________________ สมการ (9.45) ดงนนสมการ (9.44) แปรสภาพเปน

(1)1 nE=H c c ___________________ สมการ (9.46)

matrix element ของ degenerate sub-space ในสมการ (9.45) และสมการทอยในรป eigen matrix

equation ในสมการ (9.46) เปนสมการทสาคญในการคานวณ 1st order energy correction (1)nE

และเพอทจะใหนกศกษาคนเคยกบการนาสมการทงสองมาใชงาน เราลองมาวเคราะห Stark effect ทเกดขนกบ hydrogen atom

Stark Effect

Stark effect เปนปรากฏการณท absorption spectrum หรอ ระดบพลงงานของอะตอม มการเปลยนแปลงสบเนองมาจากสนามไฟฟาทปอนเขาไป เพอเปนตวอยางในการนา degenerate perturbation theory มาประยกตใชงาน เราจะพจารณา hydrogen atom ในสถานะ ground state

1n = และ สถานะ excited state 2n = ดงแสดงใน ภาพ (9.1) Hamiltonian ของระบบทประกอบดวย hydrogen atom และสนามไฟฟาภายนอกนน อยในรปของ



2 2

0ˆ0

ˆˆ ˆ2 4

H

p e ZH e zm rπε

= − − E

และเมอตองการทราบ energy eigenstate ของ H โดยใชวธของ perturbation เรากาหนดให

unperturbed Hamiltonian คอ 2 2

00


= − และ perturbing Hamiltonian คอ

1ˆ ˆH e z= − E

ในสถานะ ground state 1n = จะเหนวา eigenstate ของ unperturbed Hamiltonian 0H นนอยในสภาวะทเปน non-degenerate กลาวคอ , , 1,0,0n l m = และ 1st order energy correction ของ ground state นนกคอ

(1) (0) (0)1ground ground groundˆE Hψ ψ=

เมอ (0) 0

10 0ground ( ) ( ) ( , )r R r Yψ θ ϕ= คอ ground state wave function ของ hydrogen atom ซงเมอ

ทาการ integrate จะพบวา

( )(1) (0) (0)3ground ground ground

2 223 010 0

0 0 0

d r ( ) cos ( )

( ) sin cos ( , )

E r e r r

e dr r R r d d Yπ π

ψ θ ψ

θ ϕ θ θ θ ϕ

∗

∞

= −

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

∫

∫ ∫ ∫

E

E

สมการขางตน เกดจากการเขยน perturbing Hamiltonian 1ˆ ˆ cosH e z e r θ= − = −E E และ

แยกการ integrate ออกเปนสองสวนดวยกนคอ 2dr r และ sind dθ ϕ θ

อยางไรกตาม เนองจาก 2 20

00 0

sin cos ( , ) 0d d Yπ π

θ ϕ θ θ θ ϕ =∫ ∫ จะมผลทาให 1st order energy

correction เนองจากสนามไฟฟา

(1)ground 0E = ___________________ สมการ (9.47)



เพราะฉะนนแลว เราสรปไดวา เมอปอนสนามไฟฟาภายนอกทมความเขม E เขาไปใน hydrogen

atom ระดบพลงงาน ground state แทบจะไมมการเปลยนแปลงเลย หรอถงจะม กนอยมาก ซงอยในระดบ 2nd order correction เพยงเทานน ในสถานะ 1st excited state 2n = จะเหนวา eigenstate ของ unperturbed Hamiltonian 0H นนอยในสภาวะทเปน 4-fold degeneracy กลาวคอ , , 2,0,0 , 2,1, 1 , 2,1,0 , 2,1, 1n l m = − +

ในโจทยขอนเราตองการทราบ 1st order energy correction (1)1st exciteE ของระบบ

แตเนองจากความเปน 4-fold degeneracy ของ eigenstate ดงกลาว เราจาเปนจะตองใช degenerate perturbation theory ดงแสดงในสมการ (9.46) และเพอความชดเจน เรากาหนดให

(0), 1, 2,3,4n i iψ = เปน sub-space ของ degenerate eigenstate

1i = (0),1 2,0,0nψ =

2i = (0),2 2,1, 1nψ = −

3i = (0),3 2,1,0nψ =

4i = (0),4 2,1, 1nψ = +

ขนตอนตอไป คอการสราง sub-space perturbation matrix ขนาด 4x4 ดงแสดงในสมการ (9.45) ไดดงตอไปน

1 1 1 1

1 1 1 11

1 1 1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ2,0,0 2,0,0 2,0,0 2,1, 1 2,0,0 2,1,0 2,0,0 2,1, 1ˆ ˆ ˆ ˆ2,1, 1 2,0,0 2,1, 1 2,1, 1 2,1, 1 2,1,0 2,1, 1 2,1, 1ˆ ˆ ˆ ˆ2,1,0 2,0,0 2,1,0 2,1, 1 2,1,0 2,1,0 2,1,0 2,1, 1ˆ ˆ2,1, 1 2,0,0 2,1, 1 2,1, 1 2

H H H H

H H H H

H H H H

H H

− +

− − − − − +≡

− +

+ + −

H

1 1ˆ ˆ,1, 1 2,1,0 2,1, 1 2,1, 1H H

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

ไมใชเรองงายนกทเราจะทาการ integrate matrix element ทง 16 ชด แตกไมใชเรองทเกนความสามารถของนกศกษาจนเกนไป ถาทราบเทคนค และมกระบวนการคดอยางเปนขนตอน integration ทง 16 เทอมขางตนสามารถลดรปใหอยในรปของ

3, , , ,d r ( ) ( )n m n mr z rψ ψ

∗′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫



เมอ

( ), , ,, , ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ θ ϕ θ ϕ=

( )( )

3 2(2 1)2

, 10

1 !2( ) ( )2 !

lln l n l

n lZR r ena n n l

ρρ ρ+−− −

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

L และ 0

2Z rn a

ρ = ⋅

( )( )

!2 1( , ) (cos )4 !

m m iml l

l mlY P el m

ϕθ ϕ θπ

−+= ⋅

+

(2 1)

1( )l

n l ρ+− −L คอ associated Laguerre polynomial , ( , )m

lY θ ϕ คอ spherical harmonics , และ

( )mlP x คอ associated Legendre polynomial

และอาศยเวลาพอสมควรเราจะบอกไดวา

( ) ( )( )( )

2 22 23 0

, , , ,1 13d r ( ) ( )

2 2 1 2 3n m n m

n mar z r nZ

ψ ψ∗

′ ′− + + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + +∫ ถา 1′ = +

และ m m′ = ___________________ สมการ (9.48)

ซงเมอแทน 1Z = และ 2n = จะได

0

10

0 0 3 0

0 0 0 0

3 0 0 0

0 0 0 0

a e

a e

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E

HE

___________________ สมการ (9.49) แบบฝกหด 9.6 จงพสจนสมการ (9.48) แบบฝกหด 9.7 นาสมการ (9.48) มาประยกตใชในการคานวณ perturbation matrix ดงในสมการ (9.49) เมอนา matrix ขางตนมาคานวณหา eigen values ซงเปนขนตอนสดทายของ 1st order energy correction ดงแสดงในสมการ (9.46) ซงจะพบวาม eigenvalue ทงสน 4 คาดวยกนคอ



{ }(1)0 01st excite 3 ,0,0, 3E a e a e= − +E E ______________ สมการ (9.50)

ground

1st excited

0H 0 1ˆ ˆH H+

Stark Effect ของ Hydrogen Atom

ระดบพลงงานของ hydrogen atom มการเปลยนแปลงสบเนองจากสนามไฟฟา ทปอนเขาไปในระบบE

3e+ E

3e− Eground

1st excited

0H 0 1ˆ ˆH H+

Stark Effect ของ Hydrogen Atom

ระดบพลงงานของ hydrogen atom มการเปลยนแปลงสบเนองจากสนามไฟฟา ทปอนเขาไปในระบบE

3e+ E

3e− E

ภาพ (9.4) แสดงผลของสนามไฟฟาตอระดบพลงงานของ hydrogen atom จากการคานวณทผานมา ในแงของ Stark effect ซงมผลลพธดงในสมการ (9.47) และ สมการ (9.50) เราสามารถสรปโดยอาศย ภาพ (9.4) ไดดงตอไปน hydrogen atom โดยตวมนเอง ขณะทยงไมมสนามไฟฟาภายนอก มสถานะตางๆ ซงอยในระดบพลงงานตางๆกน หนงในนน กคอ ground state และ 1st excited state 1) ในระดบพลงงาน ground state อเลกตรอนอยในสถานะ , , 1,0,0n l m = และมพลงงานตาทสด 2) ในระดบพลงงาน 1st excited state อเลกตรอนมไดทงสน 4 สถานะดวยกนคอ 2,0,0 , 2,1, 1 , 2,1,0 , 2,1, 1− + ซงมพลงงานเทากนทงหมด ดงจะเหนไดจากภาพซกซายมอ ซงแสดงดวยเสนตรง 4 เสนทอยในระดบเดยวกน เมอมสนามไฟฟาภายนอก ทมความเขมเทากบ E เขามาในระบบ ปรากฏวาระดบพลงงานชน

ตางๆกจะตองมการเปลยนแปลง โดยประมาณแลว (1st order energy correction) จาก ภาพ (9.4) จะเหนวา ระดบพลงงาน ground state ยงคงไมมการเปลยนแปลงแตอยางใด ในขณะทระดบพลงงาน 1st excited state นน แยกออกเปน 3 ระดบ: 03a e− E , 0 , และ 03a e+ E จะเปนวา ขนาดของ

พลงงานทแยกออกมานน แปรผนตรงกบขนาดความเขมของสนามไฟฟาทปอนเขาไป



Stark effect ทเราไดหยบมาเปนตวอยางของการคานวณ 1st order energy correction (1)nE นนก

เพอใหนกศกษาสามารถเหนการนา degenerate perturbation theory มาประยกตใชงานอยางเปนรปธรรม ซงในทนเราจะสรปขนตอนโดยทวไป ดงตอไปน 1. กาหนด Hamiltonian 0 1ˆ ˆ ˆH H H= +

2. พจารณา sub-space ของ degenerate eigenstate (0), 1, 2, ,n i i Nψ =

3. สราง sub-space perturbation matrix 1H ซงคานวณไดจากสมการ (9.45)

4. คานวณ eigenvalue ของ matrix ในขอ 3 ซงจะไดผลลพธเปนเซตของ { }(1)nE

9.5 Application - Relativistic Corrections

ระดบพลงงาน ground state ของ hydrogen atom ท quantum mechanics ไดทานายเอาไววามคาเทากบ ground 13.6eVE = − ตลอดจน absorption spectrum ของ hydrogen atom ทผลการคานวณ

ตรงกนอยางนาทงกบผลการทดลอง อยางไรกตาม ถาพจารณาโดยละเอยดถถวนแลว ยงมอนตรกรยาอนๆทเกดขนภายใน hydrogen atom ทเรายงไมไดนามาวเคราะหรวมดวย อาทเชน relativistic correction ของพลงงานจลน และ spin-orbit interaction ซงจะไดกลาวถงโดยละเอยดในลาดบตอไป อนตกรยาทเกดขนเหลาน จะเปนทมาของสงทเรยกวา Lamb shift ซงเปนงานททาให W.E. Lamb ไดรบรางวล Noble prize ในป 1953. (W.E. Lamb and R.C. Retherford, Phys.Rev.72: 241 (1947) และ Phys.Rev.86: 1014 (1952))

Relativistic Correction ของพลงงานจลน เมอเราพจารณา Hamiltonian ของ hydrogen atom โดยทวไปนน เรามองวาพลงงานจลนของอเลกตรอนซงมมวล m มคาเทากบ

classical kinetic energy: 2ˆˆ2pKm

= ______________ สมการ (9.51)

อยางไรกตาม ถาเราพจารณาใหละเอยดถงปรากฏการณเชง special relativity ทเมออเลกตรอนเคลอนทดวยความเรวสงขน มวลของมนกจะเพมขนดวย สงผลใหสมการในการคานวณพลงงานจลนในขางตน มความผดพลาดอยเลกนอย



ถาเราทบทวนเนอหาของ special relativity พนฐาน จะพบวา พลงงานจลนของอนภาคควรจะอยในรปของ

relativistic kinetic energy: ( )22 2 2 2ˆ ˆK p c mc mc= + − ______________ สมการ (9.52)

เมอ c คอความเรวแสง และ m คอ rest mass ของอเลกตรอน ดผวเผนนน ราวกบวา รปแบบทางคณตศาสตรในสมการ (9.52) มความแตกตางโดยสนเชงกบสมการ (9.51) แตวาถาเราเขยน relativistic kinetic energy ใหอยในรปของ Taylor expansion ไดดงน

relativistic kinetic energy: 2 4 6

3 2 5 4ˆ ˆ ˆˆ2 8 16p p pKm m c m c

= − + + ______________ สมการ (9.53)

ซงจะเหนวา เทอมแรกของ relativistic kinetic energy นน ตรงกนพอดกบ classical kinetic

energy เพยงแตวาพลงงานจลนดงในสมการ (9.53) ม correction เทอม 4

3 2ˆ

8p

m c− เพราะฉะนนถา

เราจะเขยน Hamiltonian ของ hydrogen atom เสยใหม โดยนาเอา relativistic correction ของพลงงานจลนเขามารวมวเคราะหดวย ซงกคอ

2 2 4

3 20ˆˆ0

ˆ ˆˆ2 4 8

HH K

p e Z pHm r m cπε

= − − ______________ สมการ (9.54)

เมอ 4

3 2ˆˆ

8K

pHm c

= − ______________ สมการ (9.55)

คอ relativistic correction Hamiltonian ของพลงงานจลน และในโจทยขอนเราตองการทจะทราบวา eigen energy ของ Hamiltonian ดงในสมการ (9.54) มคาเทาใด และจะเปลยนแปลงไปจาก Hamiltonian 0H เดมอยางไร เนองจาก Hamiltonian 0H เปนของ hydrogen atom ซงม eigenstate ทแสดงดวยสญลกษณ , ,n l m

และเมอพจารณาเฉพาะระดบพลงงาน n ใดๆ จะพบวามอยทงสน 2n fold degeneracy ดงนนเราจาเปนตองใช degenerate perturbation theory ในการตอบโจทยทตงไวขางตน



พจารณา ณ ระดบพลงงาน n ของ hydrogen atom กาหนดให sub-space eigenstate คอ (0), 1, 2, ,n i i Nψ = เมอ 2N n= เพอความชดเจน เราจะกาหนดใหดชน i ทมคาตงแต 1

จนถง N นน แสดงถงสถานะตางๆของ hydrogen atom ดงตอไปน

1i = (0),1 , 0, 0n n l mψ = = =

2i = (0),2 , 1, 1n n l mψ = = = −

3i = (0),3 , 1, 0n n l mψ = = =

4i = (0),4 , 1, 1n n l mψ = = = +

5i = (0),5 , 2, 2n n l mψ = = = −

i N= ( )(0)

, , 1 ,n N n l n m lψ = = − = +

กลาวโดยสรปกคอเราแบง (0), 1, 2, ,n i i Nψ = ออกเปนกลมๆ โดยอาศย orbital angular

momentum l เปนเกณฑ และในกลมทม l เดยวกน เรากเรยง m quantum number จากนอยไปหามาก ( ) ( ), 1 , , 1 ,m l l l l= − − − + − + ขนตอนตอไปของ degenerate perturbation theory กคอการคานวณ matrix element

{ } (0) (0)1 , ,

ˆKn i n jijHψ ψ=H เหมอนดงสมการ (9.45) ทงนสมมตให

(0),n iψ แทนอเลกตรอนอยในสถานะ , ,n l m′ ′

(0),n jψ แทนอเลกตรอนอยในสถานะ , ,n l m

ดงนน (0) (0), ,ˆ ˆ, , , ,K Kn i n jH n l m H n l mψ ψ ′ ′=

เพอความสะดวกในการคานวณ matrix element ขางตน เราเขยน operator ˆKH เสยใหมไดวา



2 24 2 203 2 2 2 0

ˆ ˆ1 1ˆ ˆ2 48 2 2

Kp p e ZH H

m rm c mc mc πε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เพราะฉะนน

( )

2202 0

2(0)

2(0)

2 022

20

1ˆ ˆ, , , , , , , ,42

, , , ,

1 12 , , , ,42

1, , , ,4

K

n

n

e Zn l m H n l m n l m H n l mrmc

E n l m n l m

eE n l m n l mrmc

eZ n l m n l mr

πε

πε

πε

⎛ ⎞′ ′ ′ ′= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎧ ⎫⎪ ⎪

′ ′⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′ ′= − +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

⎛ ⎞⎪ ⎪′ ′+ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

__________________ สมการ (9.56) จะเหนวา ผลลพธของสมการขางตนประกอบดวย 3 เทอมดวยกน สงทเราสรปไดทนทกคอ

ˆ, , , , 0Kn l m H n l m′ ′ = ถา l l′ ≠ ______________ สมการ (9.57)

แบบฝกหด 9.8 จงพสจนสมการ (9.57) โดยการเขยน , , , ,n l m n l m′ ′ , 1, , , ,n l m n l mr

′ ′ ,

21, , , ,n l m n l mr

′ ′ ใหอยในรป integral ของ wave function และสงเกต integral ในสวนของ

2

0 0sind d

π πθ ϕ θ∫ ∫

แบบฝกหด 9.9 จงพสจนสมการ (9.57) โดยเรมจากสมบตทวา 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0K K KH L H L L H⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦

บอกใบ: พจารณา 2ˆ ˆ, , , , ,Kn l m H L n l m⎡ ⎤′ ′⎣ ⎦

สมบตทวา ˆ, , , , 0Kn l m H n l m′ ′ = ถา l l′ ≠ ดงกลาวนมความสาคญมาก เพราะจะทาให

matrix element { } (0) (0)1 , ,

ˆKn i n jijHψ ψ=H มลกษณะเปน block ยอยๆในแนวทแยง ทซอนอย

ภายในตว matrix อกทหนง ดงแสดงใน ภาพ (9.5)



0

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

0

sub-space perturbing matrix มลกษณะเปน block ในแนวทแยงทซอนอยภายใน

ทฤษฏบท: eigenvalue ของ matrix ลดรปเหลอเพยงeigenvalue ของแตละ block ยอยๆเหลาน

1H

0

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

0

sub-space perturbing matrix มลกษณะเปน block ในแนวทแยงทซอนอยภายใน

ทฤษฏบท: eigenvalue ของ matrix ลดรปเหลอเพยงeigenvalue ของแตละ block ยอยๆเหลาน

1Hทฤษฏบท: eigenvalue ของ matrix ลดรปเหลอเพยงeigenvalue ของแตละ block ยอยๆเหลาน

1H

ภาพ (9.5) แสดงลกษณะของ matrix 1H ทเปนผลสบเนองมากจากสมบตทวา

ˆ, , , , 0Kn l m H n l m′ ′ = ถา l l′ ≠

จากภาพ เมอเราทาการจาแนก (0),n iψ ออกเปนกลมๆโดยอาศยขนาดของ orbital angular

momentum l เปนเกณฑ ดงนนสมการ (9.57) จะมผลให matrix element ระหวางสถานะทอยคนละกลมกน มคาเทากบศนย ดงจะเหนในภาพทใหญของ matrix element มคาเปนศนย ยกเวนในแนวทแยงเพยงเทานน ลกษณะเชนนเรามกจะเรยกวา matrix 1H แบงออกเปน block ยอยๆในแนวทแยง หรอ "block

diagonal matrix" ซงในแตละ block ทคอกลมของ (0),n iψ ทมขนาดของ angular orbital

momentum l เทากน ในลาดบสดทายของ degenerate perturbation theory กคอการคานวณ eigenvalue ของ matrix 1H ซงลกษณะของ 1H ดงใน ภาพ (9.5) มความสาคญมากทจะชวยใหเราสามารถหา eigenvalue ไดอยางไมยากนก อาศยทฤษฏบททเกยวของกบ matrix และ eigenvalue ของ matrix ทวา

eigenvalue ของ block diagonal matrix มคาเทากบ eigenvalue ของแตละ block ดวยเหตนเอง เราจะพจารณาเฉพาะ eigenvalue ของแตละ block ทม quantum number n และ l เทากน



block ของ quantum number ,n l { }( , )1

ˆ, , , ,n lK

m mn l m H n l m

′′=H

และจากสมการ (9.56) ประกอบกบเอกลกษณทเราไดวเคราะหมาแลวในกรณของ hydrogen atom

ทวา 20

1 Zr n a

= และ ( )

2

2 3 20

1 22 1

Zr n a l

=+

จะพบวา

( ) ( )2 2(0) (0)( , )1 2 2

1 0 00 1 04 8 4 81 1

2 1 2 10 0 1

n nn lE En n

Z l Z lmc mc

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

H I

เนองจาก matrix ขางตนอยในรปของ diagonal matrix อยเรยบรอยแลว เราบอกไดทนทวา eigenvalue ของมนมคาเทากบ

relativistic kinetic energy correction ( )2(0)

(1)2

2 4 12 1 2

nn

E nEZ lmc

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠ _____ สมการ (9.58)

ซงในความหมายของ degenerate perturbation theory สมการขางตนกคอ 1st order energy correction เนองจาก relativistic correction ของพลงงานจลน ซงเปนปรากฏการณทเกดจากผลของทฤษฏ special relativity ของ Einstein

Spin-Orbit Coupling

พจารณาการเคลอนทของอเลกตรอนภายใน hydrogen atom ถาในขณะหนงๆ อเลกตรอนมความเรว v ในมมมองของอเลกตรอน หรอทเรยกวา ใน reference frame ของอเลกตรอน จะมองเหนนวเคลยสเคลอนทดวยความเรว −v และถาเราทบทวนเนอหาของ electromagnetic พนฐานจะพบวา จากกฎของ Biot-Savart เมออนภาคทมประจ Q Ze= + เคลอนทดวยความเรว −v จะทาใหเกดสนามแมเหลกขน ดงแสดงใน ภาพ (9.6)



อเลกตรอน

Q Ze= +

Spin-Orbit Coupling

v r

e−

034

Zer

μπ

×= −

v rB

ใน frame ของอเลกตรอน มองเหนนวเคลยสเคลอนทดวยความเรว −v

จากกฎของ Biot-Savart เมอมประจขนาด เคลอนทดวยความเรว ยอมเกดสนามแมเหลกขน

Q Ze= +

−v

อเลกตรอน

Q Ze= +

Spin-Orbit Coupling

v r

e−

034

Zer

μπ

×= −

v rB

ใน frame ของอเลกตรอน มองเหนนวเคลยสเคลอนทดวยความเรว −v

จากกฎของ Biot-Savart เมอมประจขนาด เคลอนทดวยความเรว ยอมเกดสนามแมเหลกขน

Q Ze= +

−v

ภาพ (9.6) แสดงกลไกของอนตรกรยาทเรยกวา spin-orbit coupling

034

Zer

μπ

×= −

v rB ___________________ สมการ (9.59)

เมอ 7

0 4 10 T m Aμ π −= × ⋅ คอ permeability of free space ในหนวยของ SI unit จะสงเกตวาเทอม ×v r ทปรากฏอยทางขวามอของสมการขางตน มความสมพนธกบคานยามของ orbital angular momentum ของอเลกตรอนทวา m= × = − ×L r p v r และเมอแทนเขาไปในสมการ จะทาให

034

Zem rμπ

=LB ___________________ สมการ (9.60)

นนกหมายถง สนามแมเหลก B ทเกดขน มความสมพนธโดยตรงกบ orbital angular momentum L ของอเลกตรอน ในขณะทมนกาลงเคลอนท ซงเราสามารถสรปตนกาเนดของสนามแมเหลกดงในสมการ (9.60) อกครงหนง ดงตอไปน 1. อเลกตรอนเคลอนทภายในอะตอมดวยความเรว v 2. ใน reference frame ของอเลกตรอน มนเหนนวเคลยสเคลอนทดวยความเรว −v 3. จากกฎของ Biot-Savart และ ทฤษฏ electromagnetic พนฐาน เมออนภาคทมประจ Ze+ มการเคลอนท ยอมทาใหเกดสนามแมเหลกขน ในบรเวณใกลเคยง ดงในสมการ (9.59)



4. เนองจากเทอม ×v r ทปรากฏ เราสามารรถโยงความสมพนธระหวางสนามแมเหลก และ orbital angular momentum ของอเลกตรอน การวเคราะหในเรองของ spin-orbit coupling จะมความซบซอนมากขน เมอเรามองตอไปอกวา สนามแมเหลก B เกดมอนตกรยากบ magnetic moment ของอเลกตรอน เพราะฉะนน interaction energy ของอนตกรยาดงกลาวกคอ

( ) 20 03 2 32 4 4

g e Ze Zem m r m r

μ μπ π

⎡ ⎤− ⎡ ⎤− ⋅ = − ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

Lμ B S L S

จะเหนวา magnetic moment 2gqm

=μ S นน มแหลงกาเนดมาจาก spin ของอเลกตรอนเอง และ g-

factor 2g = ในกรณของอเลกตรอน แตในบางครงเรานยมทจะทาให permeability of free space

0μ หายไปจากสมการ โดยอาศยความสมพนธทวา 20 0 1 cε μ = เมอ c คอความเรวของแสง

ในสญญากาศ และเขยน อนตรกรยาดงกลาวในรปทวไป ไดวา

2

2 2 304Ze

m c rπε⋅

− ⋅ =L Sμ B ___________________ สมการ (9.61)

เพอทจะวเคราะห interaction ดงกลาวในกรอบระเบยบวธของ quantum mechanics เราจะตองเขยน interaction energy ทปรากฏในสมการขางตน ใหอยในรปของ operator

2SO 32 20

ˆˆ ˆ4 ˆe ZH L S

m c rπε= ⋅ ___________________ สมการ (9.62)

Hamiltonian ดงในสมการขางตนมชอวา "spin-orbit" interaction หรอมกจะเขยนโดยยอวา SO Hamiltonian ดงกลาว แสดงถงอนตรกรยาระหวางสมบตเชงฟสกส 2 ปจจยดวยกนคอ

1) magnetic moment 2gqm

=μ S ของอเลกตรอน ซงมทมาจาก spin และ

2) สนามแมเหลก B ทเกดขนภายในอะตอม 034

Zem rμπ

=LB ซงมทมาจาก orbital angular

momentum ของอเลกตรอนเอง



จงเปนทมาของชอ spin-orbit interaction ดงกลาว อยางไรกตาม spin-orbit Hamiltonian ดงในสมการ (9.62) นนมขอผดพลาดซงคนพบเปนครงแรกโดย Llewellyn Thomas เรยกวา Thomas precession เนองจากเราลมนาเอาผลเชง special relativity ของการเคลอนทของอเลกตรอนเขามาเกยวของ ดวยขอจากดของเนอหา เราจะไมขยายความ Thomas effect ไปมากกวาน (L.H. Thomas, Nature. 117,514 (1926)) แตในทายทสดแลว มผลให Hamiltonian SOH ในสมการ (9.62) มขนาดลดลงเปนครงหนง หรอ

2SO 32 20

ˆˆ ˆ4 ˆ2

e ZH L Sm c rπε

= ⋅ ________________ สมการ (9.63)

ดงนน เมอเราพจารณา hydrogen atom และนา spin-orbit interaction เขามาวเคราะหรวมดวย จะทาให Hamiltonian อยในรปของ

2 2 2

32 20 0ˆ ˆ0 SO

ˆ ˆˆ ˆ2 4 4 ˆ2

H H

p e Z e ZH L Sm r m c rπε πε

= − + ⋅ ________________ สมการ (9.64)

โดยทเราสามารถทจะมองวา ˆSOH เปน perturbing Hamiltonian และสามารถนากลไกของ degenerate perturbation theory มาชวยในการประมาณ energy eigen value ของ Hamiltonian ในสมการ (9.64) ได ดงทไดเหนในสมการ (9.41) จดเรมตนกคอ เราจะตองกาหนด sub-space eigenstate กนเสยกอน ทงนเมอเราพจารณาระดบพลงงาน n ของ hydrogen atom จะพบวามอยอยางนอย 2N n= fold degeneracy อยางไรกตาม degeneracy ดงกลาว เกดขนจากการทเราพจารณาเพยง orbital angular momentum ของอเลกตรอนเพยงเทานน ซงถานา spin ของอเลกตรอนเขามาวเคราะหรวมดวยจะพบวา ในแตละสถานะ , ,n l m ของอเลกตรอนนน มนอาจจะม spin quantum number เปน 1 2sm = + หรอ 1 2sm = − กได ทาใหจานวน degeneracy ของอเลกตรอนในระดบพลงงาน n มคาเทากบ 22n



อนง การทเราจะตองนา spin degree of freedom เขามาวเคราะหรวมดวย กเพราะวา Hamiltonian

SOH ในสมการ (9.64) มสวนทเกยวของอยกบ spin ของอเลกตรอน ซงแตกตางจากในอดตทเรา

พจารณาเฉพาะ Hamiltonian 2 2

00


= − ทไมขนอย spin แตอยางใด

เมอเปนเชนน เราจะเขยนสถานะของอเลกตรอนดวย เลข quantum number ถง 4 ตวดวยกนคอ

สถานะของอเลกตรอน ใน hydrogen atom , , , sn l m m ___________ สมการ (9.65) โดยท 1,2,n = , ( ){ }0,1, , 1l n∈ − , ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − + และ

{ }1 2sm ∈ ± และจะพบวา เมอพจารณา ณ ระดบพลงงาน n ใดๆ เราจะม sub-space eigenstate

ทงสน 22N n= สถานะ ดวยกน ในขนตอนตอไปของ degenerate perturbation theory กคอการคานวณ matrix element ของ perturbing Hamiltonian SOH ดงทไดอธบายในสมการ (9.45) หรออกนยหนง ตองคานวณ

2SO 2 2 30

ˆˆ2ˆ, , , , , , , , , , , ,4 4 ˆ

s s s se Z L Sn l m m H n l m m n l m m n l m m

m c rπε⋅′ ′ ′ ′ ′ ′=

____________________ สมการ (9.66) operator ˆˆ2L S⋅ ทปรากฏอยทางขวามอของสมการนน สามารถเขยนใหอยในรป

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2x x y y z z z zL S L S L S L S L S L S L S+ − − +⋅ = + + = + + ____________ สมการ (9.67)

เมอ L± และ S± นนเปน raising หรอ lowering operator ของ orbital angular momentum และ spin angular momentum ตามลาดบ ซงมสมบตทเมอกระทากบสถานะ , , , sn l m m จะมผลทาให ( ) ( )ˆ , , , 1 1 , , 1,s sL n l m m l l m m n l m m+ = + − + +

( ) ( )ˆ , , , 1 1 , , 1,s sL n l m m l l m m n l m m− = + − − −

ˆ , , , 1 2 , , , 1 2s sS n l m m n l m m+ = − = = + ˆ , , , 1 2 0sS n l m m+ = + = ˆ , , , 1 2 0sS n l m m− = − = ˆ , , , 1 2 , , , 1 2s sS n l m m n l m m− = + = = −

____________ สมการ (9.68)



จากสมบตดงกลาว ผนวกกบสมการ (9.67) เราบอกไดทนทวา

SOˆ, , , , , , 0s sn l m m H n l m m′ ′ ′ = ถา l l′ ≠ ____________ สมการ (9.69) สมบตขางตนขอน มผลคลายกบในกรณของ relativistic kinetic energy correction ดงแสดงใน ภาพ (9.5) ททาให matrix element มลกษณะทเปน block diagonal matrix เพราะฉะนนเราจะพจารณา integral ขางตนเฉพาะในกรณท l l′ = กลาวคอ

SO2

2 2 30

22

2 2 30 0

13

ˆ, , , , , ,

ˆˆ2, , , , , ,4 4 ˆ

1 ˆˆ( ) ( ) , , 2 , ,4 4 ˆ

s s

s s

nl nl s s

r

n l m m H n l m m

e Z L Sn l m m n l m mm c r

e Z dr r R r R r l m m L S l m mm c r

πε

πε

∞∗

′ ′

⋅′ ′=

′ ′= ⋅∫

สาเหตทเราสามารถแยก integral ออกมาเปนสองสวน คอ 13r

และ ˆˆ, , 2 , ,s sl m m L S l m m′ ′ ⋅

กเนองมาจากการท operator 31

r นนเกยวของกบรศม r ของ wave function แตอยางเดยว

ในขณะท operator ˆˆ2L S⋅ นนเกยวของกบมม ( ),θ ϕ แตเพยงเทานน และอาศยสมการ (9.67) และ สมการ (9.68) ทาใหเราสามารถคานวณผลลพธของ matrix element

ˆˆ, , 2 , ,s sl m m L S l m m′ ′ ⋅ ในกรณตางๆ ซงจาแนกได 4 กรณดวยกน 1) m m′ = and s sm m′ =



2SO 2 2 30

2

2 2 302

22 2 30

1 ˆˆ ˆ, , , , , , , , , 2 , , ,4 4

1 ˆˆ, , , 2 , , ,4 4

1 24 4

s s s s

s z z s

s

e Zn l m m H n l m m n l m m L S n l m mm c r

e Z n l m m L S n l m mm c r

e Z m mm c r

πε

πε

πε

= ⋅

=

=

____________ สมการ (9.70) 2) 1m m′ = + and 1 2, 1 2s sm m′ = − = +

( ) ( )

SO

2

2 2 302

2 2 302

22 2 30

1 1ˆ, , 1, , , ,2 2

1 1 1ˆˆ, , 1, , , ,4 2 24

1 1 1ˆˆ, , 1, , , ,4 2 24

1 1 14 4

n l m H n l m

e Z n l m L S n l mm c r


e Z l l m mm c r

πε

πε

πε

+ −

+ −

+ − +

= + − +

= + − +

= + − +

____________ สมการ (9.71) 3) 1m m′ = − and 1 2, 1 2s sm m′ = + = −

( ) ( )

SO

2

2 2 302

2 2 302

22 2 30

1 1ˆ, , 1, , , ,2 2

1 1 1ˆˆ, , 1, , , ,4 2 24

1 1 1ˆˆ, , 1, , , ,4 2 24

1 1 14 4

n l m H n l m



e Z l l m mm c r

πε

πε

πε

− +

− +

− + −

= − + −

= − + −

= + − −

____________ สมการ (9.72) 4) อนๆทนอกเหนอจากกรณ 1)-3)

ˆˆ, , 2 , , 0s sl m m L S l m m′ ′ ⋅ =



โดยอาศยผลทางคณตศาสตรทง 4 ขอ เราสามารถเขยน block ยอยๆของ sub-space perturbation matrix ไดดงภาพขางลาง

( , )1n l =H

0

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

00

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

0

12

−

− 12

+

+12

−

+

( )112

− −

−

( )112

− −

+

m =

sm =( , )sm m

1,2

− −

1,2

− +

1,2

+ +

ลาดบในการจดกลม ททาให matrix block diagonal ขนาด 2x2

2x2

2x2

( , )1n l =H

0

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

00

0

000

0

0l = 1l = 2l =

1 =H

( )1l n= −

0l =1l =

( )1l n= −0

0

12

−

− 12

+

+12

−

+

( )112

− −

−

( )112

− −

+

m =

sm =( , )sm m

1,2

− −

1,2

− +

1,2

+ +

ลาดบในการจดกลม ททาให matrix block diagonal ขนาด 2x2

2x2

2x2

ลาดบในการจดกลมของสถานะทดจะเปนธรรมชาตทสดกคอ ให , sm m = , 1,2

− − ,

1,2

− + , ( ) 11 ,2

− − − , ( ) 11 ,2

− − + , , 1,2

+ + กลาวคอ เรยง m จากนอยไป

หามาก โดยทในแตละคาของ m กาหนดให 12sm = − และ 1

2+ ตามลาดบ

นกศกษาสามารถพสจนไดจากสมการ (9.70) , (9.72) , และ (9.72) ถาเราจดกลมในลกษณะดงภาพ จะมผลทาให matrix ( , )

1n lH มลกษณะเปน block diagonal ยอยๆขนาด 2x2 โดยทแตละ block ม

ลกษณะดงตอไปน

( ) ( )( ) ( ) ( )

2( , ) 21 2 2 30

1 11sub4 4 1 1 1

n l m m me Zm c r m m mπε

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥=⎢ ⎥+ − + − +⎣ ⎦

H

และเนองจากเปน sub matrix ขนาด 2x2 กจะตองม eigenvalue อย 2 คาดวยกนคอ



( )2

(1) 22 2 30

114 4

nle ZElm c rπε

⎧= ×⎨− +⎩

และเมอแทน ( )( )

3

3 3 30

1 2 , 01 2 1

Z lr n a l l l

= ≠+ +

จะไดวา

spin-orbit correction ( )

( )( ) ( )

2(0)(1)

22 , 0

11 2 1n

nE lnE l

ll l lmc

⎧= × ≠⎨− ++ + ⎩

__ สมการ (9.73)

จะสงเกตเหนวา correction term ดงกลาวมขนาด (order of magnitude) ใกลเคยงกบในกรณของ relativistic kinetic energy correction แตตางกนตรงทระดบพลงงานแยกออกเปน 2 สวนยอยๆดวยกน สวนกรณท 0l = กลาวคอ อเลกตรอนม orbital angular momentum เทากบศนยพอดนน ในทางฟสกสเราบอกไดวา spin-orbit coupling (ซงเปนอนตรกรยาระหวาง L และ S ) กควรจะมคาเปน

ศนยดวยเชนกน แตในทางคณตศาสตร เนองจากเทอม 31r

แปรผนกบ 1l

จงอาจจะทาใหกลไก

ในการคานวณดงในสมการ (9.73) เกดปญหาตามมา ขอขดแยงในทางคณตศาสตรดงกลาวนสามารถแกไขไดดวยกระบวนการทเรยกวา Dirac equation ซงเปนการนา ทฤษฏ quantum mechanics และ special relativity เขามาผนวกรวมกน และเปนรายละเอยดทเกนขอบเขตของเนอหาในบทน แตโดยสรปแลว เมอนา relativistic effect เขามา

วเคราะหจะพบวา 31 0r

→ เมอ 0l = และจะสงผลให

spin-orbit correction (1) 0 , 0nE l= = __________ สมการ (9.74) แบบฝกหด 9.10 ในทานองเดยวกน ภาพ (9.4) จงวาดภาพระดบพลงงานของ hydrogen atom กอนและหลงจากทนา spin-orbit coupling เขามารวมวเคราะห

Spin-Orbit Coupling Revisited



ในหวขอทผานมา เราพยายามทจะเขยนสถานะเชง angular momentum ของอเลกตรอนดวย quantum number 3 ตวดวยกนคอ , , sl m m โดยเฉพาะอยางยงเซตของ ( ), sm m นน กเพอเปนการแยกangular momentum ทง 2 ชนดออกจากกนใหชดเจนระหวาง orbital angular momentum m และ spin angular momentum sm อยางไรกตาม ในเนอหาของวชา quantum mechanics ทเกยวของกบ spin-orbit interaction นน ในบางครงเรานยมทจะรวม angular momentum ทง 2 ชนดนเขาดวยกน โดยนยาม

= +J L S ___________________________ สมการ (9.75) เมอ = +J L S กคอ total angular momentum ของอเลกตรอน ซงเขยนโดยใชสญลกษณของ vector หรอโดยใชสญลกษณของ operator ใน quantum mechanics ไดวา

ˆˆ ˆz z zJ L S= + _______________________ สมการ (9.76) 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ2J L L S S= + ⋅ + _______________________ สมการ (9.77)

ทงน นกศกษาทยงไมคนเคยกบกลไกในการรวม angular momentum ทงสองเขาดวยกน สามารถทบทวนเนอหาของ Chapter "Angular Momentum" และ Chapter "Interaction ของ Spin"

1, 1l m= = +

z

x yorbital:

L S

x y

J

z

spin: 1 1,2 2ss m= = −

total: 3 1,2 2jj m= = +

ตวอยางของการมอง angular momentum ของอเลกตรอนใน 2 รปแบบ1. orbital และ spin แยกออกจากกน 2. total angular momentum

1, 1l m= = +

zz

x yorbital:

L S

x y

J

z

spin: 1 1,2 2ss m= = −

total: 3 1,2 2jj m= = +

ตวอยางของการมอง angular momentum ของอเลกตรอนใน 2 รปแบบ1. orbital และ spin แยกออกจากกน 2. total angular momentum

ภาพ (9.7) (ซาย) สมมตใหอเลกตรอนอยในสถานะ , , 2,1, 1n l m = + และม spin down หรอ

12sm = − (ขวา) เราสามารถรวม angular momentum ทง 2 ชนด หรอ = +J L S ซงจะไดวา



3 1, ,2 2jj m = +

ดง ภาพ (9.7) แทนทเราจะแสดงสถานะของอเลกตรอนดวย , , , sn l m m เหมอนทผานมาในสมการ (9.65) เรานยมกาหนดให

สถานะของอเลกตรอน ใน hydrogen atom , , , jn l j m ___________ สมการ (9.78)

โดยท ระดบพลงงาน: 1,2,n = , ขนาดของ orbital angular momentum: ( ){ }0,1, , 1l n∈ − ,

ขนาดของ total angular momentum: 1 1,2 2

j l l⎧ ⎫∈ − +⎨ ⎬⎩ ⎭

, และ องคประกอบตามแกน z ของ J :

( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,jm j j j j∈ − − − + − +

ตามความเปนจรงแลว สาเหตทเราใชรปแบบดงสมการ (9.78) ในการอธบายสถานะของอเลกตรอน แทนทจะใชรปแบบดงสมการ (9.65) นน กเพอความสะดวกในทางคณตศาสตร นกศกษาจะตองไมลมวา ขนตอนสาคญของ degenerate perturbation theory กคอการคานวณ eigenvalue ของ sub-space matrix ( , )

1n lH ดงแสดงในสมการ (9.70) , (9.71) , (9.72) และการแทน

สถานะของอเลกตรอนดวย , , , jn l j m มผลทาใหกระบวนการทางคณตศาสตรงายขนมาก

spin-orbit coupling Hamiltonian ดงในสมการ (9.63) มเทอม ˆL S⋅ ปรากฏอย ซงถาเราอาศยสมการ (9.77) เขาชวย จะไดวา

22 2 2

SO 32 20

1 ˆˆ ˆ ˆ4 2ˆ2

e ZH J L Sm c rπε

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

จะสงเกตเหนวา สถานะ , , , jn l j m นน เปน eigenstate ของ operator

2 2 21ˆ ˆˆ ˆ ˆ2

L S J L S⎡ ⎤⋅ = − −⎣ ⎦ อยแลวโดยอตโนมต กลาวคอ

( ) ( )2

2 2 21 3ˆˆ ˆ , , , 1 1 , , ,2 2 4j jJ L S n l j m j j l l n l j m⎡ ⎤⎡ ⎤− − = + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



และมผลทาให matrix element ของ sub-space matrix ( , )1n lH อยในรปของ

( ) ( )2

2SO 2 2 30

1 3ˆ, , , , , , 1 14 44

j j j j m mj je Zn l j m H n l j m j j l l

m c rδ δ

πε ′ ′⎡ ⎤′ ′ = + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Kronecker delta function j j m mj jδ δ′ ′ ทาให matrix element อยในรปของ diagonal matrix และ

อาศยทฤษฏบททาง matrix algebra ทวา eigenvalue ของ diagonal matrix กคอ สมาชกทเรยงตวอยในแนวทแยงดงกลาวนนเอง ดงนน eigenvalue กคอ

( ) ( )2

(1) 22 2 30

1 31 14 44

ne ZE j j l l

m c rπε⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

_______________ สมการ (9.79)

และเนองจาก 1 1,2 2

j l l⎧ ⎫∈ − +⎨ ⎬⎩ ⎭

มอย 2 คาทเปนไปได เราสามารถคานวณผลลพธของสมการ

(9.79) ออกเปน 2 กรณดวยกนคอ

spin-orbit correction ( ) ( )

( )( )

2(0)(1)

2

1 1,2 1 2

2 , 01 1,

1 2 1 2

nn

j lE j jE n l

mc j lj j

⎧ = +⎪ +⎪= × ≠⎨⎪− = −⎪ + +⎩

______________________ สมการ (9.80) spin-orbit correction ทไดจากสมการ (9.80) ขางตน มคาเทากนกบสมการ (9.73) เพยงแตวาสมการขางตนนน เขยนอยในรปของ total angular momentum เพยงเทานน

แบบฝกหด 9.11 เขยนสมการ (9.80) ใหอยในรปของ l โดยการแทนคา 12

j l= + และ 12

j l= −

แลวแสดงใหเหนวาผลลพธทได ลดรปไปเปนสมการ (9.73)

Fine Structure



เราสามารถวเคราะหระดบพลงงานของ hydrogen atom ( 1Z = ) โดยนาเอา relativistic kinetic energy correction ในสมการ (9.58) และ spin-orbit correction ในสมการ (9.80) เขามารวมวเคราะหดวย

1 SOˆ ˆ ˆKH H H= + ______________________ สมการ (9.81) และเนองจาก Hamiltonian 1H มขนาดเลกและมลกษณะทเปน perturbation ของ 0H กยอมทาให energy correction มขนาดเลกตามไปดวย เรานยมเรยก correction energy ในลกษณะดงกลาวนวา "fine structure" (fine หมายถง โดยละเอยด) fine structure มทมาจากอนตรกรยาทางฟสกสหลายอยางดวยกน อาทเชน relativistic correction ทเรากาลงกลาวถง interaction ระหวางสนามแมเหลกภายนอกและ magnetic moment ของอเลกตรอน หรอแมกระทง interaction ระหวาง magnetic moment ของนวเคลยส กบ สนามแมเหลกทเกดขนจากการเคลอนทของอเลกตรอน เปนตน อนตกรยาเหลานลวนทาใหระดบพลงงานของ hydrogen atom มความสลบซบซอนมากขน สงผลใหแถบพลงงานของมนมรปแบบการเรยงตวทแตกตางในกรณของ 0H นนเอง อนง fine structure ในสวนทเปนปรากฏการณสบเนองจากผลของ special relativity โดยหลกการแลว การศกษาในเรองของ fine structure จะตองเรมจาก Dirac equation และมหนงสออยหลายเลมไดรวมเอาสงทเรยกวา Darwin term หรอ ˆDH เขารวมกบ Hamiltonian ในสมการ (9.81) ดวย แตในทายทสดแลว ผลลพธสทธทจะเกดขน กคอสมการ (9.81) นนเอง นกศกษาทประสงคจะศกษาในเรองของ Dirac equation และ relativistic quantum mechanics สามารถอานเพมเตมไดจาก R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics" J.D.Bjorken และ S.D.Drell, "Relativistic Quantum Mechanics" และ J.J.Sakurai,"Advanced Quantum Mechanics" ทงน เมอรวมสมการ (9.58) และ (9.80) เขาดวยกน และกาหนดให 1Z = จะไดวา

( )2(0)(1)

23 2

122

nn

E nEmc j

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

___________________ สมการ (9.82)



และถาเราเขยนสมการขางตนใหอยในรปของ fine structure constant 2

0

14e

cα

πε= ซงเปนคาคงท

ทไมมหนวยและจากการทดลองมคาเทากบ 1137

α ≅ จะไดวา

fine structure correction 2 4

(1)4

3 21242

nmc nE

n j

α⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

___________________ สมการ (9.83)

และเมอผนวกกบระดบพลงงานของ hydrogen atom ทวา 2 2

(0)22

nmcE

nα

= − เราสามารถสราง

แผนภาพของระดบพลงงานดงใน ภาพ (9.8)

1n =

1st excited state

ground state

1 1 3 3 3 1, , 0, , , 1, , , 1, ,2 2 2 2 2 2jl j m = ± ± ±

2n =

1 1, , 0, ,2 2jl j m = ±

1 10, ,2 2±

3 3 3 11, , , 1, ,2 2 2 2± ±

1 10, ,2 2±

54.53 10 eV−×

.10 96GHzหรอ

ระดบพลงงานของ hydrogen atom ทเปลยนไปเนองจาก Relativistic Correction

0H 0 SOˆ ˆ ˆKH H H+ +

1 21s

1 2 1 22 ,2s p

3 22p

1n =

1st excited state

ground state

1 1 3 3 3 1, , 0, , , 1, , , 1, ,2 2 2 2 2 2jl j m = ± ± ±

2n =

1 1, , 0, ,2 2jl j m = ±

1 10, ,2 2±

3 3 3 11, , , 1, ,2 2 2 2± ±

1 10, ,2 2±

54.53 10 eV−×

.10 96GHzหรอ

ระดบพลงงานของ hydrogen atom ทเปลยนไปเนองจาก Relativistic Correction

0H 0 SOˆ ˆ ˆKH H H+ +

1 21s

1 2 1 22 ,2s p

3 22p

ภาพ (9.8) ระดบพลงงานของ hydrogen atom ทเปลยนแปลงไปเนองจาก relativistic correction ดง Hamiltonian ในสมการ (9.81) พจารณา 1st excited state ของ hydrogen atom จะพบวาเมอเรานา relativistic correction เขามารวม

วเคราะห ปรากฏวาระดบพลงงานแยกออกเปน 2 กลมดวยกน คอ 1) กลมท 12

j = และ 2) กลม

ท 32

j =



ทเปนเชนนกเพราะระดบพลงงานในสมการ (9.83) นน ขนอยกบ j ซงถาเราคานวณผลตางของระดบพลงงานทงสองดงกลาวน จะไดวา

2 4 2 2 25

43 1 13.6eV2 2

3 2 3 2 4.53 10 eV1 12 2 2 1642 2j j

mc n n mcEn j j

α α α −

= =

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪

Δ = − − − = = ×⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

อนง สญลกษณทเรามกจะใช เมอกลาวถง fine structure นน คอนขางจะซบซอนอยบาง เพราะ ในการอธบายสถานะของอเลกตรอนนน เราใช quantum number ถง 4 ตวดวยกน คอ , , , jn l j m

ในการบงชถง l นน เราจะใชรหสตวอกษร s เมอ 0l = , p เมอ 2l = , d เมอ 3l = เชนนเปนตน ในขณะทเราจะใชตวเลข sub-script เพอบงชถง j ยกตวอยางเชน 1 21s หมายถง , , , 1, 0, 1 2,j jn l j m n l j m= = = =

1 22s หมายถง , , , 2, 0, 1 2,j jn l j m n l j m= = = =

1 22p หมายถง , , , 2, 2, 1 2,j jn l j m n l j m= = = =

3 22p หมายถง , , , 2, 2, 3 2,j jn l j m n l j m= = = =

จาก ภาพ (9.8) จะพบวา relativistic effect 1 SOˆ ˆ ˆKH H H= + มผลทาใหระดบพลงงาน 1 22s ,

1 22p , และ 3 22p แยกออกเปน 2 กลม ทงๆทเดมถาเราพจารณาเฉพาะ Hamiltonian 0H

สถานะเหลานลวนมพลงงานเทากนทงหมด อยางไรกตาม จากแผนภาพเราจะพบวา สถานะ 1 22s และ 1 22p ยงมระดบพลงงานเทากนอย

เมอป 1947 W.E.Lamb และ R.C.Retherford สงเกตเหนวาระดบพลงงานของสถานะ 1 22s และ

1 22p นนมคาแตกตางกนอยเลกนอย จากการทดลองพบวาผลตางของพลงงานนนเทากบ 64.4 10 eV−× หรอ 1058MHz เรยกกนโดยทวไปวา "Lamb Shift" ผลงานชนนทาให Lamb

ไดรบรางวล Noble prize เมอป 1953 (W.E. Lamb and R.C. Retherford, Phys.Rev.72: 241 (1947) และ Phys.Rev.86: 1014 (1952))



ในเชงทฤษฏ Lamb shift เปนปรากกฎการณทางฟสกสอกอนหนงททาใหเกด fine structure ขน เปนผลสบเนองจากทฤษฏทเรยกวา quantum electrodynamics (QED) และผลการทดลองซงตรงกบผลการคานวณนน นบวาเปนปรมาณทางฟสกสทแมนยาทสดอนหนงในโลก เพราะตวเลขของพลงงาน 1058MHz นน เปนการวดทมเลขทศนยมถง 11 ตาแหนง ! Richard Feynman มกจะเปรยบเทยบวา เปนการวดระยะทางจาก Los Angeles ไปถง New York โดยใชไมบรรทดทละเอยดขนาดเทาเสนผมของคนเลยทเดยว

9.6 Application - Zeeman Effect

ในป 1896 Zeeman คนพบวาถาปอนสนามแมเหลกภายนอก มผลตอแถบ spectrum ของแสงทอะตอมเปลงออกมา กลาวคอสนามแมเหลกมผลตอระดบพลงงานของอเลกตรอนภายในอะตอมนนเอง อนตกรยาทเกดขนนน สบเนองมาจาก interaction ระหวาง magnetic moment ของอเลกตรอนและสนามแมเหลก B

( ) ( )2

e em m

⎡ ⎤− −− ⋅ = − + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦μ B L S B

เพอความสะดวกเราจะกาหนดใหสนามแมเหลกดงกลาว มทศทางอยในแกน z และมขนาดความเขมเทากบ B=B เพราะฉะนนแลว

( )ˆˆ ˆ 22B z zeBH L Sm

= + ___________________ สมการ (9.84)

เมอ ˆ BH คอ Hamiltonian ทแสดงถง interaction ระหวาง magnetic moment ของอเลกตรอน และ สนามแมเหลก B และเพอทจะคานวณ energy correction ทเกดจาก Hamiltonian ดงกลาว เราจาเปนจะตองใช degenerate perturbation theory ในทานองเดยวกนกบกรณของ spin-orbit coupling เราจะเขยนสถานะของอเลกตรอนโดยใช basis state , , , jn l j m เนองจาก



ˆ, , , , , , 0j B jn l j m H n l j m′ ′ ′ = ถา l l′ ≠

นนกหมายความวา perturbation matrix element มลกษณะดงใน ภาพ (9.5) และจะทาให eigenvalue ของ matrix ทงหมด มคาเทากบ eigenvalue ของ block ยอยๆในกลมทม l เดยวกน เพราฉะนน เราพจารณา

( )ˆˆ ˆ, , , , , , , , , , , ,2j B j j z z jeBn l j m H n l j m n l j m J S n l j mm

′ ′ ′ ′= + ____ สมการ (9.85)

โดยทในสมการขางตน เราใช total angular momentum ˆzJ แทน orbital angular momentum ˆzL ทงนกเพอใหเหมาะสมกบ basis state , , , jn l j m ทเรากาลงใชอยนนเอง สมการ (9.85) ขางตน

สามารถกระจายออกเปนสองเทอมดวยกน คอเทอมแรก

ˆ, , , , , ,2 2j z j j m mj jeB eBn l j m J n l j m mm m

δ ′′ =

และเทอมทสอง ˆ, , , , , ,2j z jeBn l j m S n l j mm

′ ซงเราจะคานวณเทอมทสองนได จะตอง

กระจายสถานะ , , , jn l j m ใหอยในรป superposition ของ { }, , , sn l m m โดยใชกลไกของ

Clebsch-Gordan coefficient กลาวคอ

1 11 1 1 1 12 2, , , , ,2 2 1 2 2 2 1 2 2

j jj j j

l m l mj l m l m l m

l l

± + += ± = − + ± + −

+ +

∓

___________________ สมการ (9.86) แบบฝกหด 9.12 จงพสจนสมการ (9.86) บอกใบ: ทบทวน Chapter 5 Interaction ของ Spin ในหวขอเรอง การรวมกนของ "Angular Momentum"

เพอใหการคานวณมความซบซอนนอยลง เราจะประมาณวา ˆ, , , , , , 02j z jeBn l j m S n l j mm

′ ′ ≅

ถา j j′ ≠ และเนองจาก 1 1,2 2

j l l⎧ ⎫∈ + −⎨ ⎬⎩ ⎭

ซงเราจะแยกคดใน 2 กรณดวยกนคอ



1) 12

j l= + ( )

ˆ, , , , , ,2 2 2 1

jj z j m mj j

meB eBn l j m S n l j mm m l

δ ′′ = ++

2) 12

j l= − ( )

ˆ, , , , , ,2 2 2 1

jj z j m mj j

meB eBn l j m S n l j mm m l

δ ′′ = −+

ซงเมอรวมสองเทอมเขาดวยกน จะไดวา sub-space perturbation matrix อยในรปของ

( , )1

11 02 1sub

12 0 12 1

n lj

eB lmm

l

⎡ ⎤+⎢ ⎥+= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎣ ⎦

H

และจะมผลทาให eigenvalue ของ matrix ขางตน (หรอ ในความหมายของ degenerate perturbation theory กคอ 1st order energy correction term เนองจากสนามแมเหลกภายนอก) มคาเทากบ

(1)

1 11 ,2 1 21 12 1 ,2 1 2

jB

j leB lE mm j l

l

⎧ + = +⎪⎪ += ×⎨⎪ − = −⎪ +⎩

_______________ สมการ (9.87)

อนง สมประสทธ 112 1l

⎛ ⎞±⎜ ⎟+⎝ ⎠ มชอเรยกวา Lande-g factor เพราะมนทาหนาทคลายๆกน g-factor

ของอนภาคเมอเราตองการคานวณ magnetic momentum ของมน กลาวคอ 2z zgq Sm

μ =

จากสมการ (9.87) จะเหนวาระดบของ energy correction ขนอยกบ jm และ l ของระบบ ดงแสดง

ใน ภาพ (9.9) ททาใหเหนการเปลยนแปลงของระดบพลงงานของอเลกตรอนในสถานะ 1 2s , 1 2p

, และ 3 2p เมอปอนสนามแมเหลกเขาไปในระบบ ทาใหเกดการแยกชนของระดบพลงงานยอยๆ

หรอทเรยกวา Zeeman splitting นนเอง



ผลของ Zeeman Effect ตอระดบพลงงานตางๆกน

1 2s 1 1, , 0, ,2 2jl j m = ±

1 2p

3 2p3 11, ,2 2

, ,3 31, ,2 2

jl j m

⎧±⎪⎪= ⎨

⎪ ±⎪⎩

1 1, , 1, ,2 2jl j m = ±

3 3, , 1, ,2 2jl j m = +

3 1, , 1, ,2 2jl j m = +

3 1, , 1, ,2 2jl j m = −

3 3, , 1, ,2 2jl j m = −

1 1, , 1, ,2 2jl j m = +

1 1, , 1, ,2 2jl j m = −

1 1, , 0, ,2 2jl j m = +

1 1, , 0, ,2 2jl j m = −

ผลของ Zeeman Effect ตอระดบพลงงานตางๆกน

1 2s 1 1, , 0, ,2 2jl j m = ±

1 2p

3 2p3 11, ,2 2

, ,3 31, ,2 2

jl j m

⎧±⎪⎪= ⎨

⎪ ±⎪⎩

1 1, , 1, ,2 2jl j m = ±

3 3, , 1, ,2 2jl j m = +

3 1, , 1, ,2 2jl j m = +

3 1, , 1, ,2 2jl j m = −

3 3, , 1, ,2 2jl j m = −

1 1, , 1, ,2 2jl j m = +

1 1, , 1, ,2 2jl j m = −

1 1, , 0, ,2 2jl j m = +

1 1, , 0, ,2 2jl j m = −

ภาพ (9.9) ผลของ Zeeman effect ตออเลกตรอนในสถานะ 1 2s , 1 2p , 3 2p ลกศรในแนวดง

แสดงถงโอกาสทอเลกตรอนจะสามารถการกระโดดและเปลงแสงออกมาได โดยอาศย selection rule 1lΔ = และ 0, 1jmΔ = ±

9.7 บทสรป

time independent perturbation theory เปนกลไกในทาง quantum mechanics ทใชในการประมาณ eigen energy และ eigenstate ของระบบทม Hamiltonian H ทคอนขางซบซอน สมมตวาเราสามารถเขยน

0 1ˆ ˆ ˆH H H= +

โดยท 0H คอ unperturbed Hamiltonian ทเราทราบคาตอบ { }(0)nψ และ { }(0)

nE อยแลว

กลาวคอ

(0) (0) (0)0ˆ n n nH Eψ ψ=



และ 1H คอ perturbing Hamiltonian ซงไมขนกบเวลาและจาเปนจะตองมขนาดเลกเมอเทยบกบ

0H time independent perturbation theory มสมมตฐานเบองตนกคอวา เราสามารถเขยนระดบพลงงานของ H ใหอยในรป

(0) (1) (2) (3)n n n n nE E E E E= + + + +

โดยทเทอมทางขวามอ มขนาดเลกลง ลดหลนกนไปเรอยๆ และมลกษณะเปน correction energy อาทเชน เรยก (1)

nE วาเปน first order correction หรอ (2)nE วาเปน 2nd order correction เปนตน

และในแงของ eigenstate กเชนเดยวกน

(0) (1) (2) (3)n n n n nψ ψ ψ ψ ψ= + + + +

perturbation theory เปนขนตอนทวาดวยการคานวณ correction term ณ order ตางๆเหลาน โดยแบงออกเปน 2 กรณใหญดวยกน คอ 1) non-degenerate perturbation theory และ 2) degenerate perturbation theory

ในกรณของ non-degenerate perturbation theory นน เซตของ eigen energy { }(0)nE จะตองมคาไม

ซากน ยกตวอยางเชน harmonic potential ซงในกรณดงกลาวน จะไดวา

(1) (0) (0)1ˆn n nE Hψ ψ= ,

2(0) (0)1(2)(0)(0)

ˆ nkn

k n n k

HE

E E

ψ ψ

≠=

−∑

และ (0) (0)

1 (0)(1)(0)(0)

ˆ nkn k

k n n k

H

E E

ψ ψψ ψ

≠=

−∑

ในกรณของ degenerate perturbation theory นน เซตของ eigen energy { }(0)nE มโอกาสทจะซากน

ได ยกตวอยางเชนในกรณของ hydrogen atom ซงระดบพลงงานของอเลกตรอนในสถานะ 2s และ 2p มคาเทากน เนองจากความซบซอน โดยทวไป เรามกจะกลาวถงเฉพาะ 1st order energy correction เพยงเทากน โดยท



(1)1 nE=H c c

เนองจาก eigenstate { }(0)nψ มความเปน degeneracy 1st order energy correction (1)

nE กจะมอย

ดวยกนหลายคา ซงกคอ เซตของ eigen value ของสมการขางตนนนเอง สาหรบ sub-space perturbation matrix 1H นน สามารถคานวณไดจาก

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1 ,,1 ,1 ,1 ,2 ,1

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1 ,,2 ,1 ,2 ,2 ,2

1

(0) (0) (0) (0) (0) (0)1 1 1, , , ,,1 ,2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

n Nn n n n n

n Nn n n n n

n N n N n N n Nn n

H H H

H H H

H H H

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H

เมอ (0), 1, 2, ,n i i Nψ = เปน "sub-space" ของ degenerate eigenstate

และเพอทจะใหนกศกษาคนเคยกบการนา perturbation theory ทงสองชนดมาประยกตใชในการวเคราะหระดบพลงงานของระบบ เราไดทาการศกษาตวอยางในหลายๆกรณดวยกนคอ perturbing harmonic potential, nucleus with finite size, ground state energy ของ helium atom, stark effect, relativistic correction, spin-orbit coupling, และ Zeeman effect เปนตน

9.8 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 9.13 จงพสจนวา 2nd order perturbation ของ eigenstate ในกรณของ non-degenerate perturbation อยในรปของ

{ } { }( )( )

{ } { }( )

1 1 1 1 (0)(2)2(0) (0)(0) (0) (0)(0)

ˆ ˆ ˆ ˆki in nn kn

n kk n i n n n ik n k

H H H H

E E E E E Eψ ψ

≠ ≠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬

− −⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑

เมอ { } (0) (0)1 1ˆ ˆ

ikkiH Hψ ψ≡ , { } (0) (0)

1 1ˆ ˆ niinH Hψ ψ≡ , { } (0) (0)

1 1ˆ ˆn nnnH Hψ ψ≡

แบบฝกหด 9.14 พจารณา perturbing Hamiltonian 41ˆ ˆH bx= ในกรณของ un-perturbed

Hamiltonian ทอยในรปของ harmonic potential 2

2 20

ˆ 1ˆ ˆ2 2pH m xm

ω= +



จงคานวณหา 1st order energy correction term

เฉลย: ( )2

(1) 22 2

3 1 2 24

nbE n n

m ω= + +

แบบฝกหด 9.15 ประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian 2ˆˆ ( )2pH V xm

= + เมอ

,0( )

0 ,elsewhere

e x x LV x

⎧− < <⎪= ⎨⎪⎩

E ซงเปนกรณของ infinite square well ทมกนบอเฉยงแบบฟนปลา

เนองจากสนามไฟฟาความเขม E

แบบฝกหด 9.16 พจารณา harmonic potential ใน 2 มต

222 2 2 2

0ˆˆ 1 1ˆ ˆ ˆ

2 2 2 2yx ppH m x m y

m mω ω= + + + จงประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian

0ˆ ˆ ˆˆ2H H bxy= + เมอ b คอคาคงทซง 1b



This page is intentionally left blank

Download - 9 Time Independent Perturbations

Top Related