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Práctica de máquinas Amalia Luque Sendra

Página 1

Índice

Introducción __________________________________________________________2

Análisis Cinemático ____________________________________________________3

Análisis dinámico ______________________________________________________6

Anexos _____________________________________________________________11

• Cálculo de •••sss ,, y sus gráficas _________________________________________ 11

• Cálculo de •••hhh ,, y sus gráficas _________________________________________ 12

• Cálculo del momento motriz y su gráfica _____________________________________ 14

• Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica__________________ 15

• Cálculo de la energía cinética y su gráfica ____________________________________ 16

• Cálculo de la energía potencial y su gráfica ___________________________________ 17

• Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica _____________________________________ 18

• Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia de fricción con susgráficas___________________________________________________________________ 19

• Cálculos para la comprobación ____________________________________________ 21

Movimiento del mecanismo _____________________________________________23

Comprobación _______________________________________________________25


Página 2

Introducción

El yugo escocés realizabásicamente la misma función queuna manivela simple, pero elmovimiento de salida lineal es unasinusoide pura. Según la definicióndel Mechanical Engineering, seentiende por yugo escocés “anapparatus with a four-bar linkagearrangement that converts rotarymotion into simple harmonicmotion” (un aparato con unmecanismo de cuatro barras queconvierte un movimiento rotatorioen un movimiento armónico simple).

Vamos a analizar el movimiento de este mecanismo desde el punto de vista cinemáticoy dinámico, durante una vuelta completa de la barra de entrada. Al dar dicha barra unavuelta completa, el movimiento lineal armónico de salida cubre un periodo completo 1.Podemos ver varias posiciones diferentes del mecanismo en el anexo.

Observamos también, y así se puede constatar mediante los cálculos que siguen, quelas velocidades del pasador y la del seguidor son las proyecciones de la velocidad deldisco según las direcciones de los ejes coordenados.

Todos los programas que se han usado para generar las funciones y las gráficas seadjuntan en un disquete, en formato Mathematica.

1 Se puede ver la animación de dicho movimiento en el disquete que adjunto, bajo el nombre de animación.nb(archivo de Mathematica).


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Análisis Cinemático

El yugo escocés está compuesto de varias piezas, que nosotros vamos a nombrarcomo sigue:

• Pieza 1: Barra fija• Pieza 2: Barra de entrada• Pieza 3: Pasador vertical• Pieza 4: Seguidor

En el mecanismo se supone que la barra de entrada evoluciona con velocidadconstante durante el recorrido considerado, por tanto

;0 t⋅+= ωϕϕ

siendo ω la velocidad angular, constante, y ϕy 0ϕ los valores iniciales y finales del

ángulo que indica la posición de la barra de entrada. Calculamos la posición, velocidad,y aceleración de la barra de salida en función del tiempo, para una vuelta completa.Para ello tomo como valor numérico para ωel último dígito de mi DNI. Como mi DNI es

28811584, srad4=ω .

Para todos los cálculos setoma como origen decoordenadas el punto O.

Por la geometría del problema deducimos que

)()(sen

)()(cos

thtr

tstr

=⋅=⋅

ϕϕ

Derivando respecto al tiempo obtenemos

[ ][ ] )()()(cos

)()()(sen

thttr

tsttr••

••

=⋅⋅

=⋅⋅−

ϕϕ

ϕϕ

De donde obtenemos la velocidad de salida (horizontal), así como la velocidad verticaldel pasador:

M

Kϕ

h

o

r

s

2 3

4


Página 4

[ ] )()(sen ttrvsalida

•⋅⋅−= ϕϕ

Sustituyendo por los valores numéricos

srad

mmr

4

200

=

=•

ϕ

obtenemos la velocidad de salida.

Representamos la posición de la barra de salida (s) y su velocidad (•s ) en sendas

gráficas:

0 . 2 5 0.5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1.5t H s L

- 2 0 0

- 1 0 0

100

200

s H mm L

0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5t H s L

- 7 5 0

- 5 0 0

- 2 5 0

2 5 0

5 0 0

7 5 0

sp H mm ê s L

Del mismo modo, aunque no son pedidas, representamos la posición (h) y velocidad

(•h ) del pasador:

0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5t H s L

- 2 0 0

- 1 0 0

1 0 0

2 0 0

h H m m L


Página 5

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t Hs L

-750

-500

-250

250

500

750

h⋅ H mm ê s L

Derivando de nuevo las ecuaciones de la velocidad obtenemos

[ ] [ ]

[ ] [ ]•••••

•••••

=⋅⋅+⋅⋅−

=⋅⋅−⋅⋅−

htrtr

strtr

)(cos)(sen

)(sen)(cos2

2

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Teniendo en cuenta que cte==•

ωϕ 0=⇒••

ϕ y las ecuaciones quedan

[ ]

[ ]•••

•••

=⋅⋅−

=⋅⋅−

htr

str2

2

)(sen

)(cos

ϕϕ

ϕϕ

Por último representamos la aceleración horizontal de la barra de salida (••s ) y la

aceleración vertical del pasador (••h ).

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5tH sL

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

sp2 H mm ê s 2 L

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

h⋅ ⋅ Hmm ê s 2 L


Página 6

Análisis dinámico

Calculamos el par motriz (M) en función del tiempo, cuando el mecanismo efectúa unavuelta completa y está sometido a la fuerza resistente del muelle. Para ello, elijo lossiguientes valores de las masas:

Kgm

Kgm

Kgm

10

1

2

4

3

2

===

El centro de gravedad de la barra 1 está en punto fijo O (dicha barra se puedeconsiderar como un disco que efectúa una rotación pura). El centro de gravedad delpasador 3 está en el punto medio de dicho pasador, y el del seguidor 4 está en eje sesimetría de dicho seguidor, coincidiendo con el eje x.

Representamos la evolución frente al tiempo del par motriz, el trabajo desarrollado poréste, la energía cinética del sistema, la energía potencial gravitatoria y el trabajo de lafuerza resistente. La fuerza resistente es la provocada por el muelle. El valor numérico

de la rigidez será el del penúltimo dígito del DNI, en mi caso 8 .mKN Posteriormente

realizo los mismos cálculos suponiendo que en la deslizadera existe fricción, siendo elcoeficiente 2.0=µ .

En primer lugar calculamos el valor del momento motriz M:

03433 =⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅•••••••••••

ghmssmssmhhmsFM muelle&ϕ

En esta ecuación de potencias virtuales no incluimos el término debido a la masa 2porque su centro de gravedad es un punto fijo. Por otra parte, tampoco añadimos eltérmino causado por la masa 4, pues su velocidad es horizontal y la gravedad esvertical.

Despejando M:

•

•••••••

•

••••••••••⋅⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=ϕϕ

ghmssmmhhmssrkssmssmhhmsFM muelle

&3433433 )()(

Representamos el momento respecto al tiempo:


Página 7

1 2 3 4tHsL

-3×106

-2×106

-1×10 6

1×106

2×106

3×10 6

Momento HN∗mL

Sabemos por otra parte que el trabajo desarrollado por dicho par es

ϕϕ

ϕ dghmssmmhhmssrk

dMW ⋅⋅⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅

=⋅= ∫∫ •

••••&&&& 3433 )()(

y la evolución del trabajo respecto al tiempo es la siguiente:

1 2 3 4t

-1.5 ×106

-1×10 6

-500000

500000

1×10 6

1.5×106

Trabajo motriz HN∗mL

Sabemos que la energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas decada componente, es decir,

432 EcEcEcEc ++= .

Calculamos por separado cada una de esas energías:

2

44

22

33

2

2

21

)(2121

•

••

•

=

+=

=

smEc

shmEc

IEc G ϕ

Necesitamos calcular el tensor de inercia del disco.


Página 8

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=2

2

22

22

2100

0410

0041

rm

rm

rm

I G

Y por lo tanto la energía cinética queda

+++=

••• 22

43

2

3 )(21

ϕGIsmmhmEc

Y su representación gráfica es la siguiente:

1 2 3 4t H s L1.5×106

2×1062.5×10

6

3×1063.5×106

Energía cinética H J L

Por otra parte la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energíaspotenciales de cada una de las piezas, es decir,

432 EpEpEpEp ++= .

Si tomamos como origen de potencial el eje x, sólo tiene energía potencial no nula elpasador, pues tanto la barra de entrada como el seguidor tienen su centro de masaspermanentemente en dicho eje (aunque el centro del seguidor no es un punto fijo,realiza un movimiento horizontal).

hgmEp ⋅⋅= 3

que representado respecto al tiempo queda:


Página 9

1 2 3 4t H s L

-2000

-1000

1000

2000

Energía potencial H J L

El trabajo de la fuerza resistente es el realizado por el muelle, así

∫ ⋅= dsFW muelleresistente

cuya representación es

1 2 3 4tH s L

-400000

-300000

-200000

-100000

100000

Trabajo resistivo HN ∗m L

Por último, si consideramos que existe fricción en la deslizadera, el momento motriz yel trabajo realizado por este cambian, y quedan de la siguiente forma:

•

•••••••••••⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=ϕ

µ hNghmssmssmhhmsFM

muelle&

3433

,

donde la normal N se debe calcular por equilibrio.

F

N

x

34


Página 10

Haciendo un equilibrio de fuerzas horizontales en el seguidor obtenemos que

••⋅=⋅=− smamFN x 444

rrr

De esta ecuación podemos obtener la normal y con ella el momento:

•

•••••••••••••⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=ϕ

µ hFsmghmssmssmhhmsFM

muellemuelle )( 43433

r&

,

∫ ⋅= ϕdMW

Si los representamos frente al tiempo obtenemos las siguientes gráficas:

1 2 3 4tHsL

-2×106

-1×106

1×106

2×106

3×106

4×106

Momento HN∗mL

1 2 3 4tHsL

5×107

1×108

1.5×108

2×10 8

2.5×108

Trabajo HJL


Página 11

Anexos

• Cálculo de •••sss ,, y sus gráficas

ϕ =π

2+4 t;

ϕ0 =π

2;

ϕf =5 π

2;

s = r Cos@ϕD;sp= ∂t ssp2 = ∂t spr = 200;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

g1= Plot@s, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "sHmmL"<D;g2= Plot@sp, 8t, t0, tf<, AxesLabel → 8"tHsL", "spHmmêsL"<D;g3= PlotAsp2, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 9"tHsL", "sp2Hmmês2L"=E;

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5tH sL

-200

-100

100

200

sH mm L


Página 12

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L

-750

-500

-250

250

500

750

sp H mm ê s L

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

sp2 H mm ê s 2 L

• Cálculo de •••hhh ,, y sus gráficas

Clear@rD;ϕ =

π

2+4 t;

Sϕ0 =π

2;

ϕf =5 π

2;

h = r Sin@ϕD;hp= ∂t hhp2 = ∂t hpr = 200;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

g1= Plot@h, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "hHmmL"<D;g2= PlotAhp, 8t, t0, tf<, AxesLabel → 9"tHsL", "h⋅HmmêsL"=E;g3= PlotAhp2, 8t, t0, tf<, AxesLabel→ 9"tHsL", "h⋅⋅Hmmês2L"=E;


Página 13

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L

-200

-100

100

200

h H mm L

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t Hs L

-750

-500

-250

250

500

750

h⋅ H mm ê sL

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5t H s L

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

h⋅ ⋅H mm ês 2 L


Página 14

• Cálculo del momento motriz y su gráfica

ϕ =π

2+4 t;

ϕ0 =π

2;

ϕp = 4;

ϕf =5 π

2;

s = r Cos@ϕD;sp= ∂t s;sp2 = ∂t sp;h = r Sin@ϕD;hp= ∂t h;hp2 = ∂t hp;r = 200;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

k = 8;m3 = 1;m4 = 10;g = −9.81;

m =k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2− m3∗ hp∗g

ϕp

g1= Plot@m, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "MomentoHN∗mL"<D;

1 2 3 4tHsL

-3×106

-2×106

-1×106

1×106

2×106

3×106

Momento HN∗mL


Página 15

• Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica

ϕp = 4;

ϕ0 =π

2;

s = r Cos@ϕD;sp= −rSin@ϕD ∗ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;

r = 200;k = 8;m3 = 1;m4 = 10;

m =k Hr + sL sp + m3∗ hp∗ hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2+ 9.81∗ hp

ϕp;

w = ‡ m âϕ;

ϕ =π

2+ 4 t;

wt0= 0;

tf=π

2;

g1= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"t", "Trabajo motrizHN∗mL"<D;

1 2 3 4t

-1.5 ×106

-1×10 6

-500000

500000

1×10 6

1.5 ×10 6

Trabajo motriz HN∗mL


Página 16

• Cálculo de la energía cinética y su gráfica

ϕ =π

2+ 4 t;

ϕ 0 =π

2;

ϕ p = 4;

ϕ f =5 π

2;

s = r Cos @ ϕ D ;sp = ∂ t s;

r = 200;

t0 =ϕ 0 − π

2

4;

tf =ϕ f − π

2

4;

h = r Sin @ ϕ D ;hp = ∂ t h;

m2 = 2;

m3 = 1;

m4 = 10;

ec = 0.5 I m3 ∗ hp2 + H m3 + m4 L ∗ sp2 + 0.5 ∗ m2 ∗ r2 ∗ ϕ p2 Mg1 = Plot@ ec, 8 t, t0, 3 ∗ tf< , AxesLabel → 8 "t H sL ", " Energía cinética H JL "< D ;

1 2 3 4t H s L1.5 × 1 0

6

2 × 1 06

2.5 × 1 06

3 × 1 06

3.5 × 1 06

Energía cinética H J L


Página 17

• Cálculo de la energía potencial y su gráfica

ϕ =π

2+ 4 t;

ϕ 0 =π

2;

ϕ f =5 π

2;

h = r S i n@ ϕ D ;

r = 2 0 0 ;

t0 =ϕ 0 − π

2

4;

tf =ϕ f − π

2

4;

m3 = 1 ;g = 9 . 8 1 ;

ep = m3 ∗ g ∗ h

g1 = P l o t@ ep , 8 t , t0 , 3 ∗ tf < , A x e s L a b e l → 8 " tH sL " , " Energía p o t e n c i a lH JL " < D ;

1 2 3 4t H s L

- 2 0 0 0

- 1 0 0 0

1 0 0 0

2 0 0 0

E n e r g í a p o t e n c i a l H J L


Página 18

• Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica

r = 200;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

k = 8;

w = ‡ −k Hr + sL âs

s = r Cos@ϕD;ϕ =

π

2+4 t;

ϕ0 =π

2;

ϕf =5 π

2;

w = −8 ik200 s +s2

2y{;

g1= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "Trabajo resistivoHN∗mL"<D;

1 2 3 4tHsL

-400000

-300000

-200000

-100000

100000

Trabajo resistivo HN∗mL


Página 19

• Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia defricción con sus gráficas

s = r Cos@ϕD;sp= −rSin@ϕD ∗ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;

r = 200;ϕp = 4;k = 8;m3 = 1;m4 = 10;µ = 0.2;g = −9.81;

n = m4∗sp2 +k Hr + sL;m =

k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗ hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2− m3∗ g∗hp −µ ∗n∗hpϕp

;

H∗Nota: El término del rozamiento lo pongo negativo porque se puede comprobarque el producto de la normal por la velocidad vertical es siempre negativo∗L

w = ‡ m âϕ

ϕ =π

2+4 t;

ϕ0 =π

2;

ϕf =5 π

2;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

g1= Plot@m, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "MomentoHN∗mL"<D;g2= Plot@w, 8t, t0, 3∗tf<, AxesLabel→ 8"tHsL", "TrabajoHJL"<D;


Página 20

1 2 3 4tHsL

-2×10 6

-1×106

1×106

2×106

3×10 6

4×106

Momento HN∗mL

1 2 3 4tHsL

5×10 7

1×108

1.5×10 8

2×10 8

2.5×10 8

Trabajo HJL


Página 21

• Cálculos para la comprobación

r = 200;

t0=ϕ0 − π

2

4;

tf=ϕf − π

2

4;

k = 8;

wr = ‡ −k Hr + sL âs;

s = r Cos@ϕD;r = 200;

ϕ0 =π

2;

ϕf =5 π

2;

wr = −8ik200 s +

s2

2y{;

ϕp = 4;

ϕ0 =π

2;

s = r Cos@ϕD;sp= −r Sin@ϕD ∗ ϕp;sp2 = −r Cos@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;h = r Sin@ϕD;hp= r Cos@ϕD ∗ϕp;hp2 = −r Sin@ϕD ∗ϕp ∗ϕp;r = 200;k = 8;m3 = 1;m2 = 2;m4 = 10;

m =k Hr + sL sp + m3 ∗hp∗hp2 + Hm3+ m4L ∗sp ∗sp2 + 9.81∗ hp

ϕp;

wm = ‡ m âϕ;


Página 22

ϕ =π

2+4 t;

t0= π;

tf= 1.1∗ π;

ep= m3∗9.81∗h;ec= 0.5 Im3∗hp2 + Hm3 + m4L ∗sp2 + 0.5∗ m2∗r2 ∗ϕp2M;c = wm + wr− ec −ep

g1= Plot@c, 8t, t0, tf<D;

3 . 1 5 3 . 2 5 3 . 3 3 . 3 5 3 . 4 3 . 4 5

- 2 . 3 2 × 1 06

- 2 . 3 2 × 1 0 6

- 2 . 3 2 × 1 0 6

- 2 . 3 2 × 1 06


Página 23

Movimiento del mecanismo

Muestro en esta sección el movimiento del yugo escocés, generado mediante elsiguiente código:r = 200;

anchopasador= 10;

altopasador = 15;

anchoseguidor= 12;

altoseguidor= 450;largoseguidor= 500;

dt = π ê10;tf = π ê2;ForAt = 0, t < tf, t = t + dt,9

ϕ =π

2+4 t;

xp = r Cos@ϕD;yp = r Sin@ϕD;linea = Graphics@Line@880, 0<, 8xp, yp<<DD;xp1 = xp− anchopasadorê2;yp1 = yp− altopasadorê2;xp2 = xp+ anchopasadorê2;yp2 = yp+ altopasadorê2;pasador = Graphics@8GrayLevel@0D, Rectangle@8xp1, yp1<, 8xp2, yp2<D<D;xs1 = xp− anchoseguidorê2;ys1 = altoseguidorê2;xs2 = xp+ anchoseguidorê2;ys2 = −altoseguidorê2;seguidor = Graphics@[email protected], Rectangle@8xs1, ys1<, 8xs2, ys2<D<D;xs3 = xs2;

ys3 = −anchoseguidorê2;xs4 = xs3+largoseguidor;

ys4 = anchoseguidorê2;seguidor2= Graphics@[email protected], Rectangle@8xs3, ys3<, 8xs4, ys4<D<D;xmin = 1.1 H−r − anchoseguidorê2L;xmax = 1.1 Hr+ anchoseguidorê2 + largoseguidorL;ymin = 1.1 H−altoseguidorê2L;ymax = 1.1 Haltoseguidorê2L;Show@linea, seguidor, pasador, seguidor2,PlotRange−> 88xmin, xmax<, 8ymin, ymax<<D;=E;


Página 24

De este modo generamos una serie de posiciones sucesivas del mecanismo, demanera que al mostrarlas una a continuación de la otra se produce la animación delmecanismo y podemos visualizar su movimiento.


Página 25

Comprobación

Para cerciorarnos de que los resultados obtenidos son correctos, comprobamos quedebe cumplirse que la suma de las energías potencial y cinética sea igual a las sumade los trabajos resistivo y motriz, salvo constante.

CWWEE mrpc ++=+

Para comprobar este resultado generamos la función C y comprobamos que es constante (salvoerrores infinitesimales).

mrpc WWEEC −−+=

Representando C respecto al tiempo en un rango apropiado obtenemos la siguientegráfica:

3 . 1 5 3 . 2 5 3 . 3 3 . 3 5 3 . 4 3 . 4 5

- 2 . 3 2 × 1 06

- 2 . 3 2 × 1 0 6

- 2 . 3 2 × 1 0 6

- 2 . 3 2 × 1 06

Donde podemos observar que la función C resulta ser efectivamente contante exceptopequeñas oscilaciones en los puntos de enlace.

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