Download - 2Fungsi Konveks Dan Konkaf
Fungsi Konveks dan Konkaf
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Fungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linier
• Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya
• Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Definisi Himpunan Konveks
• Himpunan R konveks jika x’, y” , maka z= c x’ + (1-c) x’’ , c [0, 1 ]
Himpunan titik titik di , di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di
x z y
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
(a) dan (b) himpunan konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x’, x” : f(cx ‘+ (1-c) x”) < cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]
f(x’)
Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)
f(x”)
Y*
Y**Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
•Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x’, x” : f(cx’+ (1-c) x”) ≥ cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]
f(x’)
f(x”)
Y*
Y**
Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan
TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada maka lokaI maksimum adalah global maksimum.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 2:• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)
C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 2 (lanjut):• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)
C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 3:• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)
C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x) C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:
Contoh: f(x) = ex dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
f(x) = adalahfungsikonkaf
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn
Rn adalah himpunan konveks jikax’, x” z = cx’ +(1 - c)x” , c [0,1] di mana x’ = (x’1 ,…,x’n) dan x” = (x”1 ,…,x”")
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
TEOREMA: • f : R adalah fungsi konveks jika x, y :– f(cx’ +(1 - c)x” ) ≤cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan – f(y) > f(x) + (y-x)' f(x)
• f : R adalah fungsi konkaf jika x, y : – f(cx’ +(1 - c)x” ) ≥cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan – f(y) ≤f(x) + (y-x)' f(x)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• di mana:
Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing xi
Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi - Matriks Hessian
Matriks Hessian suatu fungsi
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Matriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,…, xn) adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya adalah:
ji xx
f
2
TEOREMA: • Jikabersifatpositif semi definitmaka f
adalahfungsikonveksdalam• Jikabersifatpositifdefinitmakaf
adalahfungsikonveksketatdalamDefinisi:• MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi definitjika:
Q(x) = x’Ax>0 x 0• Bersifatpositifdefinitjika:
Q(x) = x’Ax>0 x 0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
TEOREMA: • Jikabersifatnegatifsemi definitmaka f
adalahfungsikonkafdalam• Jikabersifatnegatifdefinitmakaf
adalahfungsikonkafketatdalamDefinisi:• MatriksAberukurannxn
adaiahmatriksnegatifsemi definitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x 0
• Bersifatnagatifdefinitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x 0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Definisi: • Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah determinan
dari matriks i×i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut
• Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n minor utama
• Minor utama ke-1 adalah diagonal utama.Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh perhitungan minor utama suatu matriks
• Pada matriks berukuran 2×2 berikut• Dimiliki 2 minor utama
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II):
• Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb determinan dari matriks itu sendiri
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7
TEOREMA: • Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh
minor utama dari A bernilai >0 (non negatif)
• Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif)
• Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.
• Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks Hessian
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi
• Diberikan fungsi berikut:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah:
=
• Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utama
• Minor utama ke-1 adalah:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Untuk x1≥0 maka minor utama ke-1:
• 2 >0 dan 6x1 ≥0
• Minor utama ke-2 adalah determinan dari:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Yang bernilai 12x1 – 4
• Hanya akan bernilai ≥0 untuk x1 ≥ 1/3
• Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 ≥ 1/3
• Fungsi bersifat konveks untuk x1 ≥ 1/3
Latihan
• Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc