1. MEHANIKA
1. UVOD (1.1. - 1.21.)
1.1. Mikrometarskim vijkom odredili ste debljinu jedne vlasi d = 0,12 mm. Kolika je ta debljina izražena potencijama od deset u metrima?
1 [m] = 1000 [mm] = 103 [m]1 [mm] = 0,001 [m] = 10-3 [m]
0,12 [mm] = 1,2 × 10-4 [m]
1.2. Srednji je polumjer Zemlje 6370 km. Koliko je to izraženo potencijama od deset u metrima?
1 [km] = 1000 [m]6370 [km] = 6370000 [m]
6370000 [m] = 6,37 ×106 [m]
1.3. Duljina vala helijeve plave spektralne linije iznosi 4,471 ×10-4 mm. Izrazi taj podatak u centimetrima i metrima potencijama od deset.
1 [mm] = 0,1 [cm] = 10-1 [cm]
4,471 × 10-4 [mm] = 4,471 × 10-5 [cm] = 4,471 × 10-7 [m]
1.4. Srednja je udaljenost između Sunca i Zemlje 150 milijuna kilometara. Kolika je ta udaljenost izražena potencijama od deset u: a) kilometrima, b) metrima?
1000000 = 106
150000000 [km] = 1,5 ×108 [km] = 1,5 × 1011 [m]
1.5. Kojeg je reda veličine vremenski interval od godine dana izražen u sekundama?
1 [god] = 365 [dana] = 8760 [sati] = 31536000 [s]
1 [god] = 3,1536 × 107 [s] ~ 107
1.6. Vrlo velike udaljenosti mjerimo tzv. godinama svjetlosti. To je udaljenost koja je jednaka putu što ga svjetlost prevali u jednoj godini. Koji red veličine ima ta jedinica izražena u metrima?
brzina svjetlosti c = 300000 [km/s] = 300000000 [m/s] = 3 × 108 [m/s]1 [god] = 3,1536 × 107 [s]
3 × 108 × 3,1536 × 107 = 9,4608 × 1015 [m] ~ 1016
1.7. U modelu Sunčeva sustava umanjenome 4,4 × 109 puta prema pravim udaljenostima Neptun je od Sunca udaljen 1,0 km. Koliki je red veličine te udaljenosti izražene u metrima?
1 [km] = 1000 [m] = 103 [m]
4,4 × 109 × 103 = 4,4 × 1012 [m] ~ 1012
1.8. Maglica u Andromedi, galaksija najbliža našoj, nalazi se 1022 m daleko. Koliko je to godina svjetlosti?
1 godina = 3,1536 × 107 [s]brzina svjetlosti = 3 × 108 [m/s]1 svjetlosna godina = 3,1536 × 107 × 3 × 108 = 9,4608 × 1015 [m]
1022 : 9,4608 × 1015 = 1,056993 ×106 [svjetlosnih godina] ~ 106
1.9. Rentgenske su zrake elektromagnetski valovi duljine 1,5 × 10-6 [mm ] do 10-8 [mm]. Koliki je red veličine tih granica ako valne duljine izrazimo metrima?
1 [mm] = 10-3 [m]
1,5 × 10-6 [mm] = 1,5 × 10-9 [m]10-8 [mm] = 10-11[m]
1.10. Koliki je red veličine mase elektrona iskazane jedinicom SI?
m = 1,66 × 10-27 [g]
1,66 × 10-27 [g] = 1,66 × 10-30 [kg] ~ 10-30
1.11. Zbroji zadane podatke imajući na umu pouzdana mjesta: 18,425 cm, 7,21 cm i 5,0 cm.
18,425 + 7,21 5,0 _______________
30,635 ~ 30,6 [cm]
1.12. Koliko će pouzdanih mjesta imati zbroj ovih podataka: 70,3 cm, 7 mm i 0,66 mm?
703+ 7
0,66
________________
710,66 ~ 711 [mm]
1.13. Zbroji zadane vrijednosti pazeći na pouzdane znamenke: 12 m, 20 dm i 16 dm.
12 + 2
1,6 _________________
15,6 ~ 16 [m]
1.14. Oduzmi 0,2 kg od 34 kg i pritom imaj na umu pouzdane znamenke.
34- 0,2
__________________
33,8 ~ 34 [kg]
1.15. Oduzmi 632 mm 148 mm od 4,0 m i pritom pazi na pouzdana mjesta.
4,0 - 0,632
0,148 __________________
3,220 ~ 3,2 [m]
1.16. Pomnoži ove brojeve pazeći na pouzdana mjesta: a) 2,21 × 0,3, b) 2,02 × 4,113.
a) 2,21 × 0,3 ___________________
000 + 663 ____________________
0,663 ~ 0,7
b) 2,02 × 4,113 _____________________
808 + 202 202 606 _____________________
8,30826 ~ 8,31
1.17. Koliki je kvocijent brojeva 14,28 i 0,714 ako pritom ne zaboravimo pouzdana mjesta?
14,28 : 0,714 = 14280 : 714 = 20 ~ 20,0 00 0
1.18. Koliki su rezultati ovih operacija: a) 0,032 : 0,0040, b) 97,52 : 2,54? Imaj na umu pouzdana mjesta.
a) 0,032 : 0,0040 = 320 : 40 = 8 ~ 8,0 0
b) 97,52 : 2,54 = 9752 : 254 = 3,839 ~ 3,84 2132 1000 2380 94...
1.19.Izmjerili ste dimenzije lista papira a = 208 mm i b = 15 cm. Koliki su opseg i površina lista?a = 208 mm = 20,8 cmb = 15 cm
o = 2 × a + 2 × bo = 2 × 20,8 + 2 ×15o = 41,6 + 30o = 71,6 ~ 72 [cm]
P = a × bP = 20,8 × 15P = 312 ~ 310 [cm2]1.20. Pomičnom mjerkom izmjerili ste promjer kugle iz kugličnog ležaja 4,4 mm. Koliki je obujam?
d = 4,4 [mm] ⇒ r = 2,2 [mm]V = ?
[ ]3
3
3
mm44V
2,23
4V
r3
4V
=
π=
π=
1.21 Nekoliko uzastopnih mjerenja debljine staklene pločice dalo je ove podatke: 2,2 mm, 2,25 mm, 2,0 mm, 2,1 mm, 2,17 mm. Kolika je srednja vrijednost tih podataka?
2,2 + 2,25 + 2,0 + 2,1 + 2,17 = 10,7410,7 : 5 = 2,14 ~ 2,1 [mm]
2. JEDNOLIKO PRAVOCRTNO GIBANJE (1.22. - 1.40.)
1.22. Kolika je brzina molekule nekog plina koja bez sudara prevali put 6 m za jednu stotinku sekunde?
∆ s = 6 [m]∆ t = 0,01 [s]v = ?
=
=
∆∆=
s
m600v
01,0
6v
t
sv
1.23. Avion leti brzinom 800 km/h. Kolika je njegova brzina izražena u m/s?
v = 800 [km/h]
[ ][ ]
[ ][ ]
===
s
m222
s3600
m800000
h1
km800v
1.24. Pješak svake sekunde prevali put 1,3 m. Kolika je njegova brzina izražena u km/h?
v = 1,3 [m/s]
[ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ]
≅
==
××==
h
km7,4
h
km68,4
h1000
km4680
h11000
km36003,1
h3600
1
km1000
3,1
v
1.25. Čovjek čuje odjek svoga glasa od vertikalne stijene nakon 2 s. Kolika je udaljenost stijene od čovjeka ako je brzina zvuka 340 m/s?
t = 2 [s] [ ]s1t =∆⇒v = 340 [m/s]∆ s = ?
[ ]m340s
1340s
tvs
=∆×=∆∆×=∆
1.26. Brod prevali put 3000 milja za 5 dana i 20 sati. Kolika je prosječna brzina broda? Izrazi brzinu u m/s i u čvorovima. Jedan čvor jest 1 milja na sat. Jedna morska milja jest 1852 m.
s = 3000 milja = 5556000 [m]t = 5 dana i 20 sati = 140 [h] = 504000 [s]v = ?
=
=
∆∆=
s
m11v
504000
5556000v
t
sv
ili[ ]čvora4,21v
140
3000v
=
=
1.27. Za koje bi vrijeme tane stalne brzine v = 720 m/s prevalilo put jednak udaljenosti Zemlje od Mjeseca? Srednja je udaljenost Mjeseca od Zemlje 382400 km.
v = 720 [m/s]s = 382400 [km] = 382400000 [m]t = ?
[ ]s531111t720
382400000t
v
st
=
=
=
t ~ 6 dana i 4 sata
1.28. Za koliko sati se napuni spremnik obujma 400 m3 vodom koja utječe kroz cijev promjera 120 mm brzinom 2 m/s?
V = 400 [m3]d = 120 [mm] =0,12 [m]v = 2 [m/s]t = ?
[ ]2
2
2
m011,0S
4
12,0S
4
dS
=
π×=
π=
[ ]s17683t
2011,0
400t
vS
Vt
=×
=
×=
t ~ 4 [h] i 56 [min]
1.29. Koliko je sekundi opterećen most dugačak 80 m ako preko njega prelazi vlak dugačak 80 m brzinom 80 km/h?
s = 80 + 80 = 160 [m]
v = 80 [km/h] [ ][ ]
==⇒
s
m22,22
s3600
m80000v
t = ?
[ ]s2,7t
22,22
160t
v
st
=
=
=
1.30. Koliko je opterećen most dugačak 80 m ako preko njega prelazi kolona vojnika dugačka 100 m brzinom 2 m/s?
s = 80 + 100 = 180 [m]v = 2 [m/s]t = ?
[ ]s90t2
180t
v
st
=
=
=
1.31. Kolikom se srednjom brzinom giba Zemlja oko Sunca ako je srednja udaljenost od Zemlje od Sunca 1,507 × 108 km, a jedna godina ima 365,25 dana?
r = 1,507 × 108 [km]∆ t = 365,25 [dana] = 31557600 [s]v = ?
=
π×××=
∆π=
∆∆=
s
km30v
31557600
10507,12v
t
r2v
t
sv
8
1.32. Pješak za 2 minute učini 200 koraka. Odredi brzinu pješaka u km/h i m/s ako je duljina koraka 70 cm.
s = 200[koraka] × 70 [cm] = 14000 [cm] = 140 [m]t = 2 [min] = 120 [s]v = ?
[ ][ ]
≈
=
=
s
m2,1v
s120
m140v
t
sv
ili
[ ][ ]
≈
=
h
km2,4v
h033,0
km14,0v
1.33. Kolika je brzina reaktivnog zrakoplova izražena u km/h ako je zrakoplov dostigao zvučnu brzinu.
(Brzina zvuka je 340 m/s.)
[ ]
[ ]
==
××==
h
km1224
1000
1224000
11000
3600340
h3600
1
km1000
340
v
1.34. Iz Zagreba prema Ljubljani kreće svakih pola sata jedan autobus koji ima srednju brzinu 60 km/h. Udaljenost je od Zagreba do Ljubljane 135 km. a) Prikažite grafički ovisnost puta o vremenu za nekoliko autobusa, b) Kolika bi morala biti brzina drugog autobusa da u Ljubljanu stigne istodobno s prvim? Nađi rezultat računski i grafički.a)
0 1 2 3 4
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
s [ k m ]
t [ h ]
1 3 5
1 . au t o
b u s2 . a
u t ob u s
3 . au t o
b u s4 . a
u t ob u s
Z A G R E B
L J U B L J A N A
b)
[ ]h25,260
135
v
st ==∆=∆
≈=
−=
∆∆=
h
km77
75,1
135
5,025,2
135
t
sv
1.35. Auto se giba srednjom brzinom v = 75 km/h. a) Prikaži grafički put auta za 6 sati. b) Prikaži isti put
ako se auto giba brzinom v1 = 100 km/h i brzinom v2 =50 km/h.
1.36. Kakvo gibanje predočuje grafikon na slijedećoj slici? Što možeš reći o brzini tijela? Odredi put što ga je tijelo prešlo za 3 s, 5 s i za 9 s.
0 1 2 3 4
s [ k m ]
t [ h ]5 6 7 8
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
v = 7 5 [ k m / h ]1 0 0 [ k
m/ h
]
v = 5 0 [ k m / h ]
2
Grafikon predočuje gibanje koje je jednoliko (gibanje stalnom brzinom) do pete sekunde, a nakon toga tijelo se prestalo gibati.Brzina tijela do pete sekunde: Brzina tijela nakon pete sekunde:
==
∆∆=
s
m10
5
50
t
sv
=
s
m0v
Prijeđeni put tijela nakon 3 sekunde:30 [m]Prijeđeni put tijela nakon 5 sekundi: 50 [m]Prijeđeni put tijela nakon 9 sekundi: 50 [m]1.37. a) Kakva gibanja prikazuje grafikon na slijedećoj slici? b) Kolike su brzine? c) Koliko su tijela bila udaljena u času kad se drugo tijelo pokrenulo? d) Za koliko se vremena drugo tijelo pokrenulo kasnije od prvoga? e) Može li drugo tijelo stići prvo?
0 1 2 3 4
s [ m ]
t [ s ]5 6 7 8
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
9 1 0
0 1 2 3 4
s [ m ]
t [ s ]5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
9 1 0
7
a) Gibanja su jednolika.b) Brzine su jednake i iznose 1 [m/s].c) Kad se drugo tijelo pokrenulo prvo je već prošlo put od 4 metra, pa je udaljenost između tijela 4 m.d) Drugo tijelo pokrenulo se 4 sekunde nakon što je krenulo prvo tijelo.e) Drugo tijelo ne može stići prvo tijelo jer se giba istom brzinom kao i prvo tijelo, a krenulo je kasnije 4s.
1.38. Na slijedećoj slici zadan je grafikon puta nekog gibanja. Nacrtaj grafikon brzine za to gibanje. Koliki je put što ga je tijelo prešlo u prvih 0,5 h?
Rješenje:
∆ s = 30 [m]
1.39. Pomoću zadanoga grafikona na slijedećoj slici nacrtaj grafikon brzine. Koliki je put što ga je tijelo
prešlo za prva 3 h?
Rješenje:
0 0 , 2 0 , 4
s [ m ]
t [ h ]0 , 6 0 , 8
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
1 , 0
7 0
0 0 , 2 0 , 4
v [ k m / h ]
t [ h ]0 , 6 0 , 8
2 0
4 0
6 0
1 , 0
8 0
1 0 0
0
s [ k m ]
t [ h ]1 2 3
1
2
3
4
5
6
0
v [ k m / h ]
t [ h ]1 2 3
1
2
3
[ ][ ]
===
h
km33,1
h3
km4
t
sv
1.40. Udaljenost od Zagreba do Beča je 400 km. Istodobno iz oba grada krene po jedan vlak, i to vlak iz
Zagreba srednjom brzinom 100 km/h, a vlak iz Beča srednjom brzinom 120 km/h. a) Nacrtaj ovisnost puta o vremenu za svaki vlak. b) Odredi računski i grafički mjesto susreta vlakova.
a)
b) Vlakovi će se sresti u trenutku kada su im vremena gibanja jednaka, tj. kada je vrijeme gibanja vlaka iz Zagreba tZ jednako vremenu gibanja vlaka iz Beča tB.
vZ = 100 [km/h]vB = 120 [km/h]
Z
ZZ
Z
ZZ
s
vt
t
vs
=
=
tZ = tB
B
BB
B
BB
s
vt
t
vs
=
=
0 1 2 3 4
2 0 0
4 0 0
1 0 0
s [ k m ]
t [ h ]Z A G R E B
B E Č
3 0 0
B
B
Z
Z
s
v
s
v=
ZBBZ svsv ×=× s = sB + sZ ⇒ sB = s - sZ
vZ × (s – sZ) = vB × sZ
vZ × s – vz × sZ = vB × sZ
sZ × (vZ + vB) = vZ × s
[ ]km182s220
40000s
120100
400100s
vv
svs
Z
Z
Z
BZ
ZZ
≅
=
+×=
+×
=
3. JEDNOLIKO UBRZANO I JEDNOLIKO USPORENO PRAVOCRTNO GIBANJE (1.41. - 1.63.)
1.41. Tri minute nakon polaska sa stanice vlak je postigao brzinu 56,2 km/h. Izračunaj njegovo srednje ubrzanje u km/h2 i u m/s2 za te tri minute.
∆ t = 3 [min] = 0,05 [h] = 180 [s]∆ v = 56,2 [km/h] = 15,61 [m/s]a = ?
=
=
∆∆=
2h
km1124a
05,0
2,56a
t
va
ili
=
=
2s
m087,0a
180
61,15a
1.42. Vlak vozi uzbrdo jednoliko usporeno srednjom brzinom 14 m/s. Kolika mu je početna brzina ako je konačna 6 m/s?
v = 14 [m/s]vK =6 [m/s]vP = ?
od Zagreba
=
−×=−×=
+=
s
m22v
6142v
vv2v
2
vvv
P
P
KP
KP
1.43. Tijelo se počinje gibati jednoliko ubrzano i u 10 sekundi prevali 120 m. Koliki put prijeđe to tijelo u prve 4 sekunde?
∆ t = 10 [s]∆ s = 120 [m]t = 4 [s]s = ?
2
2
t
s2at
2
as
×=⇒×=
=
×=
2
2
s
m4,2a
10
1202a
[ ]m2,19s
42
4,2s 2
=
×=
1.44. U trenutku kad se odvojio od zemlje zrakoplov je imao brzinu 255 km/h. Prije toga se ubrzavao na betonskoj pisti prevalivši 850 m. Kako se dugo zrakoplov kretao po zemlji prije nego što je uzletio i kojom akceleracijom? Pretpostavimo da je gibanje bilo jednoliko ubrzano.v = 255 [km/h] = 70,8 [m/s]s = 850 [m]t = ?, a = ?
s2
vasa2v
22
×=⇒××=
a
s2tt
2
as 2 ×=⇒×=
=
×=
2
2
s
m95,2a
8502
8,70a
[ ]s24t
95,2
8502t
=
×=
1.45. Tijelo se giba jednoliko ubrzano i u osmoj sekundi prevali 30 m. Izračunaj: a) kolikom se
akceleracijom tijelo giba, b) kolika mu je brzina na kraju osme sekunde, c) koliki put tijelo prevali u prvoj sekundi?
s8 - s7 = 30 [m]a = ?, v = ?, s1 = ?
=
×=
×=
−×=
−×=
−×=−
2
22
27
2878
s
m4a
15
302a
152
a30
)4964(2
a30
72
a8
2
a30
t2
at
2
ass
=
×=×=
s
m32v
84v
tav
[ ]m2s
12
4s
t2
as
1
21
211
=
×=
×=
1.46. Kolika je akceleracija tijela koje se giba jednoliko ubrzano, a za vrijeme osme i devete sekunde zajedno prevali put 40 m?s9 - s7 = 40 [m]a = ?
=
×=
−=
−=
−=−
2
22
27
2979
s
m5,2a
32
402a
)4981(2
a40
)79(2
a40
)tt(2
ass
1.47. Automobil za vrijeme kočenja vozi jednoliko usporeno i pritom mu se brzina umanjuje za 2 m/s2. Deset sekundi nakon početka kočenja auto se zaustavio. Koliku je brzinu imao auto u času kad je počeo kočiti? Koliki je put prevalio za vrijeme kočenja?
a = 2 [m/s2]t = 10 [s]v = ?, s = ?
=
×=×=
s
m20v
102v
tav
[ ]m100s
102
2s
t2
as
2
2
=
×=
×=
1.48. Vlak koji ima brzinu 20 m/s počinje se usporavati akceleracijom -0,4 m/s2. Kad će se vlak zaustaviti i koliki će put prevaliti za to vrijeme?
v = 20 [m/s]a = 0,4 [m/s2]t = ?, s = ?
[ ]s50t
4,0
20t
a
vt
=
=
=
[ ]m500s
502
4,0s
t2
as
2
2
=
×=
×=
1.49. Tijelo je za 12 s prevalilo put 540 cm. Pritom se prvih 6 sekundi gibalo jednoliko ubrzano, a posljednjih 6 sekundi jednoliko brzinom koju je imalo na kraju šeste sekunde. Odredite put prevaljen u prvoj sekundi i brzinu jednolikoga gibanja.
t = 12 [s]s = 540 [cm] s1 = ?, v = ?
=
=
×+=
×+=
××+×=
×+×=
22
2
2
2
62
s
m1,0
s
cm10a
662
6
540a
t62
t
sa
t6at2
as
tvt2
as
[ ] [ ]m05.0cm5s
12
10s
t2
as
1
21
211
==
×=
×=
=
=
×=×=
s
m6,0
s
cm60v
610v
tav
6
6
66
1.50. Koliko će dugo padati kamen s tornja visokoga 150 m? Otpor zraka možemo zanemariti.
s = 150 [m]t = ?
g
s2ttg
2
1s 2 ×=⇒××=
[ ]s53,5t
81,9
1502t
=
×=
1.51. Papirna vrpca giba se u horizontalnoj ravnini stalnom brzinom 90 cm/s. Na nju padaju istodobno dvije počađene kugle koje se nalaze na istoj vertikali 20 m, odnosno 30 m iznad vrpce. Odredi udaljenost mjesta gdje kugle padaju na vrpcu.v = 90 [cm/s] = 0,9 [m/s]h1 = 20 [m]h2 = 30 [m]s = ?
[ ]s2t
81,9
202t
g
h2t
1
1
11
≈
×=
×=
[ ]s5,2t
81,9
302t
g
h2t
2
2
22
≈
×=
×=
[ ] [ ]cm45m45,0s
)25,2(9,0s
)tt(vs
tvs
12
==−×=
−×=∆×=
1.52. S koje visine mora padati voda na kotač vodenice da bi u času kad udari o kotač njezina brzina bila 15 m/s?
v = 15 [m/s]h = ?
g2
vhhg2v
22
×=⇒××=
[ ]m47,11h
81,92
15h
2
≈×
=
1.53. Kako dugo pada tijelo sa stropa sobe visoke 317 cm? Kojom će brzinom tijelo pasti na pod? Kolika mu je srednja brzina na putu od stropa do poda?
h = 317 [cm] = 3,17 [m]t = ?, v = ?, v = ?
[ ]s8,0t
81,9
17,32t
g
h2t
=
×=
×=
=
××=
××=
s
m8,7v
17,381,92v
hg2v
=
+=
+=
s
m9,3v
2
8,70v
2
vvv KP
1.54. Dva tijela koja padaju s različitih visina, padnu na zemlju istog trenutka. Pri tome prvo tijelo pada1 s, a drugo 2 s. Na kojoj je udaljenosti od zemlje bilo drugo tijelo kad je prvo počelo padati?
t1 = 1 [s]t2 = 2 [s]h2 - h1 = ?
[ ]m905,4h
181,92
1h
tg2
1h
1
21
211
=
××=
××=
[ ]m62,19h
281,92
1h
tg2
1h
2
22
222
=
××=
××=
[ ]m715,14hh
905,462,19hh
12
12
=−−=−
1.55. Tijelo pada slobodno s tornja visokoga 150 m. Razdijelite tu visinu u takva dva dijela tako da za svaki dio tijelu treba jednako vrijeme.
h = 150 [m]t1 = t2
h1 = ?, h2 = ?
[ ]s53,5t
81,9
1502t
g
h2t
=
×=
×=
[ ]s765,2tt2
53,5tt
2
ttt
21
21
21
==
==
==
[ ]m5,37h
765,281,92
1h
tg2
1h
1
21
211
=
××=
××=
[ ]m5,112h
5,37150h
hhh
2
2
12
=−=
−=
1.56. Sa žlijeba na krovu kuće svakih 0,2 s padne kap vode. Koliko će međusobno biti udaljene prve četiri kapi 2 s pošto je počela padati prva kap?
t = 2 [s]∆ t = 0,2 [s]s1 = ?, s2 = ?, s3 = ?, s4 = ?
[ ]m62,19s
281,92
1s
tg2
1s
1
21
211
=
××=
××=
[ ]m89,15s
)2,02(81,92
1s
)tt(g2
1s
2
22
22
=
−××=
∆−××=
[ ]m56,12s
)2,022(81,92
1s
)t2t(g2
1s
3
23
23
=
×−××=
∆×−××=
[ ]m61,9s
)2,032(81,92
1s
)t3t(g2
1s
4
24
24
=
×−××=
∆×−××= [ ][ ]
[ ]m95,261,956,12ss
m33,356,1289,15ss
m73,389,1562,19ss
43
32
21
=−=−=−=−=−=−
1.57. Vlak se giba jednoliko ubrzano akceleracijom a = 10 km/h2. Nacrtaj grafikon prevaljenog puta u ovisnosti o vremenu za tri sata.
a = 10 [km/h2]∆ t = 3 [h]s - t, grafikon = ?
t = 1 [h] t = 2 [h] t = 3 [h]
[ ]m905,4s
181,92
1s
tg2
1s
2
2
=
××=
××=
[ ]m62,19s
281,92
1s
tg2
1s
2
2
=
××=
××=
[ ]m145,44s
381,92
1s
tg2
1s
2
2
=
××=
××=
1.58. Iz zadanoga grafikona brzine gibanja nekog tijela na slijedećoj slici nacrtaj grafikon akceleracije. Iz zadanoga grafikona odredi put što ga je tijelo prevalilo za prva 3 sata te za prvih 5 sati.
Rješenje:
[ ]
[ ]km25,211209025,1012
220245ss
km25,1015,6775,335,1452
5,145s
35
3
=++=×+×+=
=+=×+×=
1.59. Na slijedećoj slici zadana su dva grafikona. Kakva gibanja oni predočuju? Nacrtaj grafikone
2 3 40
1 0
2 0
3 0
4 0
t [ h ]
s [ k m ]
t [ h ]
v [ k m / h ]
1 2 3 4 50
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
t [ h ]
a [ k m / h ]2
1 2 3 4 50
1 0
2 0
3 0
4 0
brzina za oba smjera. Koliki su putovi za oba primjera nakon 8 s gibanja?
Rješenja:
[ ]m6402
1608ss 21 =×==
1.60. Dizalo se u prve dvije sekunde podiže jednoliko ubrzano i postigne brzinu 2 m/s kojom nastavlja gibanje u iduće 4 sekunde. Posljednje dvije sekunde dizalo se podiže jednoliko usporeno jednakom akceleracijom koju je imalo u prve dvije sekunde, ali suprotnog predznaka. Nacrtaj grafikon brzine gibanja dizala te računski i grafički nađi visinu do koje se dizalo podiglo.
t1 = 2 [s]
a [ m / s ]2
t [ s ]0- 1 0
- 2 0
- 3 0
1 0
2 0
3 0
2 4 6 8 1 0
a [ m / s ]2
t [ s ]0- 1 0
- 2 0
- 3 0
1 0
2 0
3 0
2 4 6 8 1 0
0 2 64 t [ s ]8
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
v [ m / s ]
0 2 64 t [ s ]8
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
v [ m / s ]
v2 = 2 [m/s]t2 = 4 [s]t3 = 2 [s]h = ?
Računski:
=
=
∆∆=
2s
m1a
2
2a
t
va
[ ]m2s
212
1s
ta2
1s
1
21
211
=
××=
××=
[ ]m8s
42s
tvs
2
2
222
=×=
×=
[ ]m2s
212
1s
ta2
1s
3
23
233
=
××=
××=
s = s1 + s2 + s3
s = 2 + 8 +2s = 12 [m]
Grafički:
[ ]m122
2224
2
22s =×+×+×=
1.61. Automobil A započeo je vožnju iz mirovanja. U istom ga času pretječe auto B koji vozi stalnom brzinom. Na slijedećoj slici prikazan je grafikon njihovih brzina. Odgovori pomoću grafikona na ova pitanja: a) Kada će oba auta imati jednake brzine? b) Koliko će u tom času auto B biti ispred
0 1 2 3 4
v [ m / s ]
t [ s ]5 6 7 8
1
2
auta A? c) Kada će auto A dostići auto B i koliko je to mjesto daleko od početka gibanja auta A? d) Kolika je njihova međusobna udaljenost nakon 2 minute vožnje?
a) Oba auta imati će jednake brzine nakon 30 sekundi.
b)
[ ]m250303600
30000tvs BB =×=×=
2A ta
2
1s ××=
=
=
∆∆=
2s
m28,0a
603600
60000
a
t
va
[ ]m126s
3028,02
1s
A
2A
=
××=
sB - sA = 250 - 126 = 124 [m]
c) Auto A sustiže auto B nakon 60 s, jer su tada njihovi prijeđeni putovi jednaki (površine ispod grafa su jednake).
[ ]m500s
6027,02
1s
ta2
1s
A
2A
2A
=
××=
××=
[ ]m500s
603600
30000s
tvs
B
B
BB
=
×=
×=
0 2 0 4 0
v [ k m / h ]
t [ s ]6 0 8 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
1 0 0
7 0
1 2 0 1 4 0
A
B
d)
[ ]m1500s
1000500s
603600
600006027,0
2
1s
tvta2
1s
A
A
A
2A
=+=
×+××=
×+××=
[ ]m1000s
1203600
30000s
tvs
B
B
BB
=
×=
×=
sA - sB = 1500 - 1000 = 500 [m]
1.62. Nacrtaj grafikon brzina - vrijeme za auto koji se giba stalnom brzinom 50 km/h. U istome koordinatnom sustavu nacrtaj grafikon brzina - vrijeme za auto koji se počeo gibati iz stanja mirovanja i jednoliko povećava brzinu do najveće brzine 50 km/h. Zaključi iz grafikona kakva veza postoji između udaljenosti koju su oba auta prevalila za vrijeme dok se drugi auto ubrzavao. Vrijedi li ta veza za svaku akceleraciju?
Udaljenost koju prelazi auto A u svakom je trenutku dvostruko veća od udaljenosti koju je prešao auto B (to se vidi pomoću površina nastalih likova ispod grafa). To bi vrijedilo za
svaku akceleraciju.
1.63. Vozač auta koji vozi brzinom 60 km/h, počinje kočiti, jednoliko usporavati vožnju i zaustavlja se za 6 sekundi. Drugi vozač, koji vozi brzinom 40 km/h, slabije pritišće kočnice i zaustavi se za 10 sekundi. a) Prikaži grafički u istome koordinatnom sustavu vezu između brzine i vremena za oba auta. b) Odredi grafikonom koji će auto prijeći veći put za vrijeme usporavanja. c) Dodaj grafikonu pravac koji prikazuje kako drugi automobil usporava vožnju jednakom akceleracijom kao i prvi. Koliko će dugo trajati to usporavanje?
a)
0 2 4
v [ m / s ]
t [ h ]
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
1 3 5 6
A
B
0 2 4
v [ k m / h ]
t [ s ]
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
6 8 1 0
b) [ ]m5062
3600
60000
s1 =×= [ ]m5,55102
3600
40000
s 2 =×=
s2 > s1
c) Da b automobili usporavali jednakom akceleracijom, pravci u v - t, dijagramu moraju biti usporedni. Iz slike slijedi da bi u tom slučaju vrijeme usporavanja drugog automobila iznosilo t = 4 [s].
4. NEJEDNOLIKO GIBANJE (1.64. - 1.73.)
1.64. Vlak kreće iz A u 23 h i 15 min i stiže u B u 7h 10 min. Udaljenost od A do B jest 252 km. Kojom se srednjom brzinom giba vlak? Izrazi rezultat u km/h i u m/s.s = 252 [km] = 252000 [m]t = 7 h 55 min = 7,92 [h] = 28500 [s]
?v =
[ ][ ]
=
=
∆∆=
h
km8,31v
h92,7
km252v
t
sv
ili[ ][ ]
=
=
∆∆=
s
m84,8v
s28500
m252000v
t
sv
1.65. Vlak vozi 30 minuta brzinom 60 km/h, nakon toga 15 minuta brzinom 40 km/h, pa 45 minuta 80 km/h i 30 minuta 20 km/h. Kolika je srednja brzina u prva dva vremenska razmaka, a kolika za sva četiri?∆ t1 = 30 [min] = 0,5 [h]∆ t2 = 15 [min] = 0,25 [h]∆ t3 = 45 [min] = 0,75 [h]∆ t4 = 30 [min] = 0,5 [h]v1 = 60 [km/h]v2 = 40 [km/h]v3 = 80 [km/h]v4 = 20 [km/h]
?v?,v 42 ==
[ ]km30s
5,060s
tvs
1
1
111
=×=
∆×=
[ ]km10s
25,040s
tvs
2
2
222
=×=
∆×=
[ ]km60s
75,080s
tvs
3
3
333
=×=
∆×=
[ ]km10s
5,020s
tvs
4
4
444
=×=
∆×=
=
++=
∆+∆+
=
h
km33,53v
25,05,0
1030v
tt
ssv
2
2
21
212
=
++++++=
∆+∆+∆+∆+++
=
h
km55v
5,075,025,05,0
10601030v
tttt
ssssv
4
4
4321
43214
1.66. Biciklist vozi brzinom 20 km/h i za 10 sekundi poveća brzinu na 30 km/h. Kolika je srednja akceleracija izražena u km/h2 i m/s2?∆ v = 10 [km/h] = 2,8 [m/s]∆ t = 10 [s] = 0,0028 [h]
?a =
[ ]
=
=
∆∆=
2s
m28,0a
s10
s
m8,2
a
t
va
[ ]
=
=
∆∆=
2h
km42,3571a
h0028,0
h
km10
a
t
va
1.67. U tablici navedeni su podaci za trenutačnu brzinu auta u intervalima od jednog sata. Prikaži grafički brzinu u ovisnosti o vremenu i ogovori pomoću grafikona na ova pitanja:a) Kako brzo vozi auto u 3,5 h, a kako u 5,2 h?b) Koliki je put prevalio između 3 h i 5 h?c) Kolika je bila akceleracija u 1 h, a kolika u 3 h?
Tablica:Vrijeme [h] 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Brzina [km/h] 20 27 35 38 34 30 34
milimetarski papir obavezno!!!
1.68. Na slijedećoj slici nalazi se grafikon brzine vlaka za vrijeme 10 minuta. Odredi iz grafikona put što ga prevali vlak za vrijeme tih 10 min.
milimetarski papir obavezno!!! izračunati površinu ispod krivulje!!!
1.69. Iz grafikona iz prošlog zadatka odredi u kojoj je minuti srednja akceleracija vlaka najveća, u kojoj najmanja ta kolike su.
najveća akceleracija je u 1. minuti: ∆ v = 20 [km/h] = 5,56 [m/s] ∆ t = 1 [min] = 60 [s]
=
=
∆∆=
2s
m093,0a
60
56,5a
t
va
najmanja akceleracija je u 10. minuti: ∆ v = 0 ∆ t = 1 min 0a =
1.70. Pomoću grafikona sa slijedeće slike nacrtaj grafikon brzine. Kolika je najveća, a kolika najmanja
brzina i u kojem je to času?
5. OSNOVNI ZAKONI GIBANJA (1.74 - 1.101.)
1.74. Na tijelo mase 5 kg djeluje sila 500 N. Koliku akceleraciju uzrokuje ta sila?
m = 5 [kg]F = 500 [N]a = ?
=
=
=
2s
m100a
5
500a
m
Fa
1.75. Kolika sila daje tijelu mase 1 t akceleraciju 5 m/s2?
m = 1000 [kg]a = 5 [m/s2]
[ ]N5000F
51000F
amF
=×=
×=
1.76. Kolika je masa tijela koje zbog sile 15000 N dobiva akceleraciju 10 m/s2?
F = 15000 [N]a = 10 [m/s2]m = ?
[ ]kg1500m10
15000m
a
Fm
=
=
=
1.77. Kolika je težina tijela mase 5 kg?
m = 5 [kg]G = ?
G = m × gG = 5 × 9,81G = 49,05 [N]
1.78. Kolika je težina tijela mase 600 g?
m = 600 [g] = 0,6 [kg]G = ?
G = m × gG = 0,6 ×9,81G = 5,886 [N]
1.79. Kupac kupuje u Stockholmu i Rimu po 1 kg brašna. Hoće li u oba grada dobiti jednaku količinu brašna: a) ako brašno važu u oba grada vagom s polugom, b) ako važu vagom na pero koja je baždarena u Münchenu?
a) Dobit će jednaku količinu brašna.b) U Rimu će dobiti više, a u Stockholmu manje nego u Münchenu (Rim je južnije, pa je tamo g manje!)
1.80. Kolika je gustoća tijela mase 300 g i obujma 0,5 dm3? Izrazite rezultat jedinicama g/cm3
i kg/m3.
m = 300 [g] = 0,3 [kg]V = 0,5 [dm3] = 500 [cm3] =0,0005 [m3]ρ = ?
[ ][ ]
=ρ
=ρ
=ρ
3
3
cm
g6,0
cm500
g300V
m
ili[ ]
[ ]
=ρ
=ρ
=ρ
3
3
m
kg600
m0005,0
kg3,0V
m
1.81. Koliki obujam ima komad pluta mase 1 kg?
m = 1 [kg]ρ = 250 [kg/m3]V = ?
[ ]3m004,0V
250
1V
mV
=
=
ρ=
1.82. Koliko je težak 1 dm3 leda pri 00 C?
V = 1 [dm3] = 0,001 [m3]t = 00 Cρ = 1000 [kg/m3]G = ?
[ ]kg1m
001,01000m
Vm
=×=
×ρ=
[ ]N81,9G
81,91G
gmG
=×=×=
1.83. Koliko je teška kapljica žive obujma 0,25 cm3?
V = 0,25 [cm3] =0,00000025 [m3]ρ = 13600 [kg/m3]G = ?
[ ]kg0034,0m
00000025,013600m
Vm
=×=
×ρ=
[ ]N033,0G
81,90034,0G
gmG
=×=
×=
1.84. Koliko je puta manji obujam što ga zauzima živa od obujma što ga zauzima jednaka masa petroleja?
mŽ =mP
ρ Ž = 13600 [kg/m3]ρ P = 800 [kg/m3]
?V
V
Z
P =
17V
V
800
13600
V
V
V
V
m
m
V
V
m
m
V
V
P
Z
P
Z
P
Z
Z
P
PZ
ZP
Z
P
Z
Z
P
P
Z
P
=
=
ρρ
=
ρ×ρ×
=
ρ
ρ=
1.85. Koja će sila kolicima mase 2 kg dati akceleraciju 1 m/s2 ako su ona opterećena teretom težine 20 N? Trenje zanemarimo.
m = 2 [kg]Gt = 20 [N] [ ]kg2≈a = 1 [m/s2]muk = 4 [kg]F = ?
F = muk × aF = 4 × 1F = 4 [N]
1.86. Lokomotiva vučnom silom 8 × 104 N daje vlaku akceleraciju 0,1 m/s2. Kojim će se ubrzanjem gibati vlak ako se vučna sila smanji na 6 × 104 N, a ostali uvjeti ostanu nepromijenjeni?
F = 8 ×104 [N]a = 0,1 [m/s2]F1 = 6 × 104 [N]a1 = ?
[ ]kg800000m
1,0
108m
a
Fm
4
=
×=
=
=
×=
=
21
4
1
11
s
m075,0a
800000
106a
m
Fa
1.87. Neka sila daje tijelu mase 3 kg akceleraciju 4 m/s2. Koju će akceleraciju dati ista sila tijelu mase 5 kg?
m = 3 [kg]a = 4 [m/s2]m1 = 5 [kg]a1 = ?
[ ]N12F
43F
amF
=×=×=
=
=
=
21
1
11
s
m4,2a
5
12a
m
Fa
1.88. Padobranac mase 78 kg spušta se otvorenim padobranom stalnom brzinom. Koliki je otpor što ga pruža zrak?
m = 78 [kg]Fotp. = ?
Fotp. = GFotp. = m × gFotp. = 78 × 9,81Fotp. = 7730,28 [N]
1.89. Tijelo mase 20 g pod djelovanjem stalne sile prevali u prvoj sekundi put od 20 cm. Kolika je sila koja djeluje na tijelo?
m = 20 [g] = 0,02 [kg]s = 20 [cm] = 0,2 [m]t = 1 [s]F = ?
2
2
t
s2ata
2
1s
×=⇒××=
=
×=
2
2
s
m4,0a
1
2,02a
F = m × a F = 0,02 × 0,4 F = 0,008 [N]
1.90. Granata mase 5 kg izleti iz topovske cijevi brzinom 700 m/s. Kolikom su srednjom silom plinovi u cijevi djelovali na granatu ako se ona kroz cijev gibala 0,008 s?
m = 5 [kg]v = 700 [m/s]t = 0,008 [s]F = ?
=
=
∆∆=
2s
m87500a
008,0
700a
t
va
[ ]N437500F
875005F
amF
=×=×=
1.91. Na mirno tijelo mase 10 kg počinje djelovati neka sila. Djelovanjem te sile 10 sekundi tijelo je dobilo brzinu 20 m/s. Kolika je ta sila?
m = 10 [kg]t = 10 [s]v = 20 [m/s]F = ?
=
=
∆∆=
2s
m2a
10
20a
t
va
[ ]N20F
210F
amF
=×=×=
1.92. Automobil ima masu 1 t. Za vrijeme gibanja na automobil djeluje trenje koje iznosi 1/10 njegove težine. Kolika je vučna sila motora auta ako se giba: a) jednoliko, b) stalnom akceleracijom 2 m/s2?
m = 1 [t] = 1000 [kg]Ftr = 1/10 Ga = 2 [m/s2]F = ?
G = m × gG = 1000 × 9,81G = 9810 [N]
a) b)
F = Ftr F = Ftr + m × aF = 0,1 × G F = 0,1 × G + 1000 × 2F = 0,1 × 9810 F = 981 + 2000F = 981 [N] F = 2981 [N]
1.93. Kolika sila mora djelovati na vagon koji stoji na pruzi da bi se on počeo kretati jednoliko ubrzano te za 20 s prešao put 16 m? Masa je vagona 20 tona. Za vrijeme gibanja na njega zbog trenja djeluje sila koja iznosi 0,05 težine vagona te ima smjer suprotan gibanju.
t = 20 [s]s = 16 [m]m = 20 [t] = 20000 [kg]Ftr = 0,05 × G
G = m × gG = 20000 × 9,81G = 196200 [N]
2
2
t
s2ata
2
1s
×=⇒××=
=
×=
2
2
s
m08,0a
20
162a
F = Ftr + m × aF = 0,05 × G + m × a F = 0,05 × 196200 + 20000 × 0,08F = 11410 [N]
1.94. Pod utjecajem stalne sile 150 N tijelo za 10 sekundi prijeđe put 50 m. Kolika je težina tog tijela?
F = 150 [N]t = 10 [s]s = 50 [m]G = ?
=
×=
×=
2
2
2
s
m1a
10
502a
t
s2a
[ ]kg150m1
150m
a
Fm
=
=
=
[ ]N5,1471G
81,9150G
gmG
=×=
×=
1.95. Vagon mase 15 tona giba se početnom brzinom 10 m/s i usporenjem 0,2 m/s2. Odredi: a) Kolika je sila kočenja? b) Za koje će se vrijeme vagon zaustaviti? c) Na koliku će se putu vagon zaustavljati?
m = 15 [t] = 15000 [kg]v = 10 [m/s]a = 0,2 [m/s2]F = ?, t = ?, s = ?
[ ]N3000F
2,015000F
amF
=×=
×=
[ ]s50t
2,0
10t
a
vt
=
=
=
[ ]m250s
502,02
1s
ta2
1s
2
2
=
××=
××=
1.96. Koliki put prevali tijelo mase 15 kg za 10 sekundi ako na njega djeluje sila 200 N? Kolika je njegova brzina na kraju tog puta?
m = 15 [kg]t = 10 [s]F = 200 [N]s = ?, v = ?
=
=
=
2s
m33,13a
15
200a
m
Fa
[ ]m67,666s
1033,132
1s
ta2
1s
2
2
=
××=
××=
=
=
××=
××=
s
m31,133v
33,17773v
67,66633,132v
sa2v
1.97. Sila 200 N djeluje na neko tijelo 20 sekundi te ga pomakne za 800 m. Kolika je masa tog tijela?
F = 200 [N]t = 20 [s]s = 800 [m]m = ?
=
×=
×=
2
2
2
s
m4a
20
8002a
t
s2a
[ ]kg50m4
200m
a
Fm
=
=
=
1.98. Vlak mase 50 tona giba se brzinom 50 km/h. Vlak se mora zaustaviti na putu dugome 20 m. Kolika mora biti sila kočenja?
m = 50 [t] = 50000 [kg]v = 50 [km/h] = 13,89 [m/s]s = 20 [m]F = ?
s2
vasa2v
22
×=⇒××=
=
×=
2
2
s
m83,4a
202
89,13a
[ ]N241126F
83,450000F
amF
=×=
×=
1.99. Auto mase 1 tone giba se po horizontalnom putu brzinom 6 m/s. Kolika mora biti sila kočenja da se auto zaustavi na udaljenosti 10 m?
m = 1 [t] = 1000 [kg]v = 6 [m/s]s = 10 [m]F = ?
=
×=
×=
2
2
2
s
m8,1a
102
6a
s2
va
[ ]N1800F
8,11000F
amF
=×=
×=
1.100. Preko nepomične koloture obješena je nit. Na jednom kraju niti visi tijelo mase 4 kg, a na drugome tijelo mase 3 kg. Kolika je akceleracija gibanja koje će nastati pod utjecajem sile teže? Trenje i masu koloture zanemarimo.m1 = 4 [kg]m2 = 3 [kg]a = ?
[ ]N81,9F
81,9)34(F
g)mm(F 21
=×−=
×−=
2121 mm
Faa)mm(F
+=⇒×+=
=
+=
2s
m4,1a
34
81,9a
1.101. Dva utega različitih masa vise na krajevima niti koja je prebačena preko nepomične koloture. Masu koloture i niti možemo zanemariti. Lakši uteg visi 2 m niže od težega. Ako pustimo da se utezi kreću pod utjecajem sile teže, oni će za 2 sekunde biti na jednakoj visini. Koliki je omjer njihovih masa?d = 2 [m]t = 2 [s]m1/m2 = ?
2
2
2121
21
21
t
data
2
1
2
d
a)mm(g)mm(
a)mm(F
g)mm(F
=⇒××=
×+=×−×+=×−=
1,1m
m
31,9
31,10
m
m
m31,10m31,9
5,0m81,9m5,0m81,9m
amgmamgm
amamgmgm
2
1
2
1
21
2211
2211
2121
=
=
×=××+×=×−×
×+×=×−××+×=×−×
=
=
2
2
s
m5,0a
2
2a
6. IMPULS SILE I KOLIČINA GIBANJA (1.102. - 1.130.)
1.102. Koliki impuls daje sila 40 N u jednoj minuti?
F = 40 [N]t = 1 [min] = 60 [s]
F × t = 40 ×60 =2400 [Ns]
d
1.103. Koliki je impuls sile koji tijelu mase 4 kg promijeni brzinu za 5 m/s?
m = 4 [kg]∆ v = 5 [m/s]
F × t = m × ∆ vF × t = 4 × 5F × t = 20 [kgs]
1.104. Odredi silu koja djeluje na tijelo mase 200 g te nakon 10 sekundi djelovanja dade tijelu brzinu 6 m/s?
m = 200 [g] = 0,2 [kg]t = 10 [s]v = 6 [m/s]F = ?
t
vmFvmtF
×=⇒×=×
[ ]N12,0F
10
62,0F
=
×=
1.105. Na tijelo mase 3 kg koje miruje počne djelovati stalna sila. Koliki je impuls sile nakon 5 sekundi ako se tijelo za to vrijeme pomaknulo za 25 m?
m = 3 [kg]t = 5 [s]s = 25 [m]F × t = ?
2
2
t
s2ata
2
1s
×=⇒××=
=
×=
2s
m10a
5
252a
=
×=×=
s
m50v
510v
tav
[ ]Ns150tF
503tF
vmtF
=××=××=×
1.106. Za koliko se promijeni brzina tijela mase 4 kg na koje djeluje impuls sile 4 [Ns]?
m = 4 [kg]F × t = 4 [Ns]∆ v = ?
F × t = m × ∆ v
=∆
=∆
×=∆
s
m1v
4
4v
m
tFv
1.107. Skijaš mase 60 kg udari brzinom 8 m/s u snježni nanos. Zbog toga se zaustavi za 1,5 sekundi. Koliki je bio impuls sile i kolika je srednja sila koja ga je zaustavila?
m = 60 [kg]v = 8 [m/s]t = 1,5 [s]F × t = ?, F = ?
[ ]Ns480tF
860tF
vmtF
=××=××=×
[ ]N320F
5,1
8600F
t
vmF
=
×=
×=
1.108. Kojom sveukupnom silom pritišće puškomitraljez na rame vojnika za vrijeme pucanja ako je masa taneta 10 g, njegova brzina pri izlijetanju 800 m/s i ako u minuti izleti 600 metaka?
m = 10 [g] = 0,01 [kg]v = 800 [m/s]t = 1 [min] = 60 [s]n = 600 [metaka / min]F = ?
[ ]N80F60
80001,0600F
t
vmnF
vmntF
=
××=
××=
××=×
1.109. Koja sila promijeni u 2 sekunde tijelu mase 2 kg brzinu 11 m/s na 5 m/s?
t = 2 [s]m = 2 [kg]∆ v = 5 - 11 = -6 [m/s]F = ?
[ ]N6F2
)6(2F
vmtF
−=
−×=
∆×=×
1.110. Odredi silu otpora koja pri djelovanju na tijelo mase 5 kg u 0,2 sekunde smanji njegovu brzinu od 80 cm/s na 55 cm/s.
m = 5 [kg]t = 0,2 [s]∆ v = 55 - 80 = -25 [cm/s] = - 0,25 [m/s]F = ?
[ ]N25,6F
2,0
)25.0(5F
vmtF
−=
−×=
∆×=×
1.111. Molekula mase 4,65 × 10-26 kg leti brzinom 600 m/s, udari okomito na stijenu posude i odbije se elastično. Treba naći impuls sile koji je stijena posude dala molekuli.
m = 4,65 × 10-26[kg]v = 600 [m/s]F × t = ?
F × t = m × [v - (-v)] F × t = 4,65 × 10-26 × 1200F × t = 5,58 × 10-23 [Ns]
1.112. U stroj lokomotive vlaka prekinemo dovod pare. Vlak mase 5 × 105 kg zaustavi se pod utjecajem sile trenja 105 N za 0,5 minute. Kolika je bila brzina vlaka?
m = 5 × 105 [kg]F = 105 [N]t = 0,5 [min] = 30 [s]v = ?
=
××=
×=
×=×
s
m6v
105
3010v
m
tFv
vmtF
5
5
1.113. Tijelo mase 5 kg giba se jednoliko brzinom 20 m/s. Odjednom počinje na tijelo djelovati neka stalna sila koja uzrokuje da tijelo nakon 5 sekundi ima brzinu 5 m/s u suprotnom smjeru od početne brzine. Izračunaj impuls sile te veličinu i smjer sile.
m = 5 [kg]v1 = 20 [m/s]t = 5 [s]v2 = -5 [m/s]F × t = ?, F = ?
[ ]Ns125tF
)205(5tF
)vv(mtF
vmtF
12
−=×−−×=×−×=×
∆×=×
[ ]N25F5
)25(5F
t
vmF
−=
−×=
∆×=
1.114. Lopta mase 0,4 kg bačena je vertikalno u vis brzinom 2 m/s. Kolika je početna količina gibanja lopte, a kolika na najvišoj točki putanje? Koliki je impuls sile koji je zaustavio loptu i koliko dugo je sila djelovala?
[ ] [ ]N4Fkg4,0m ≈⇒=v1 = 2 [m/s]v2 = 0 [m/s]p1 = ?, p2 = ?, F × t = ?, t = ?
=
×=×=
s
kg8,0p
24,0p
vmp
1
1
11
=
×=×=
s
kg0p
04,0p
vmp
2
2
22
[ ]Ns8,0tF
)2(4,0tF
vmtF
−=×−×=×
∆×=×
[ ]s2,0t4
24,0t
F
vmt
=
×=
∆×=
1.115. Svemirski brod srednjeg presjeka 50 m2 uleti u oblak mikrometeora te ima relativnu brzinu 10 km/s. U svakome kubičnom metru prostora nalazi se prosječno jedan mikrometeor mase 0,02 g. Koliko se mora povećati pogonska sila broda da bi brzina ostala ista? Pretpostavljamo da je sudar broda i mikrometeora neelastičan. S = 50 [m2]v = 10 [km/s] = 10000 [m/s]m1 = 0,02 [g] = 0,00002 [kg]F = ?
Broj meteora koji se sudare s brodom za 1 sekundu: S × v = 50 × 10000 = 500000 meteora
Ukupna masa tih meteora: m = 500000 × m1 = 500000 ×0,00002 = 10 [kg]
[ ]N100000F1
1000010F
t
vmF
vmtF
=
×=
×=
×=×
1.116. Koju brzinu postiže raketa mase 1 kg ako iz nje izađe produkt izgaranja mase 20 g brzinom 1200 m/s?
mR = 1 [kg]mG =20 [g] = 0,02 [kg]vG = -1200 [m/s]vR = ?
∆ pR = ∆ pG
mR × vR = mG × vG
−=
−×=
×=
s
m24v
1
)1200(02,0v
m
vmv
R
R
R
GGR
1.117. Čovjek trči brzinom 8 km/h i stigne kolica mase 80 kg koja se gibaju brzinom 2,9 km/h te skoči u
njih. Masa je čovjeka 60 kg. a) Kolikom će se brzinom sada gibati kolica? b) Kolikom bi se brzinom gibala kolica da je čovjek trčao u susret kolicima i skočio u njih?
v1 = 8 [km/h]m1 = 60 [kg]v2 = 2,9 [km/h]m2 = 80 [kg]v = ?
a) b)
=
+×+×=
+×+×
=
×+=×+×
s
m1,5v
8060
9,280860v
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
21
2211
212211
=
+×−×=
+×−×
=
×+=×−×
s
m8,1v
8060
9,280860v
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
21
2211
212211
1.118. U času kad dvostupanjska raketa mase 1,00 tone ima brzinu 171 m/s, od nje se odijeli njezin drugi stupanj mase 0,40 tona. Pritom se brzina drugog stupnja poveća na 185 m/s. Kolika je sada brzina prvog stupnja rakete?
m = 1 [t] == 1000 [kg]v = 171 [m/s]m2 = 0,4 [t] = 400 [kg]v2 = 185 [m/s]m1 = 0,6 [t] = 600 [kg]v1 = ?
=
×−×=
×−×=
×+×=×
s
m67,161v
600
1854001711000v
m
vmvmv
vmvmvm
1
1
1
221
2211
1.119. Ledolomac mase 5000 tona kreće se ugašenog motora brzinom 10 m/s i nalijeće na nepomičnu santu leda koju gura dalje ispred sebe brzinom 2 m/s. Kolika je masa sante ako zanemarimo otpor vode?m = 5000 [t] v = 10 [m/s]v1 = 2 [m/s]m1 = ?
[ ]t20000m2
25000105000m
v
vmvmm
vmvmvm
v)mm(vm
1
1
1
11
111
11
=
×−×=
×−×=
×+×=××+=×
1.120. Iz oružja mase 450 kg izleti tane mase 5 kg u horizontalnom smjeru brzinom 450 m/s. Pri trzaju natrag oružje se pomaknulo 0,45 m. Kolika je srednja sila otpora koji je zaustavio oružje?
m1 = 450 [kg]m2 = 5 [kg]v2 = 450 [m/s]s = 0,45 [m]F = ?
=
×=
×=
×=×
s
m5v
450
4505v
m
vmv
vmvm
1
1
1
221
2211
=
×=
×=
××=
2
2
2
2
s
m78,27a
45,02
5a
s2
va
sa2v
[ ]N12500F
78,27450F
amF
=×=
×=
1.121. Granata leti brzinom 10 m/s. Pri eksploziji razleti se u dva podjednako velika dijela. Veći dio ima 60 % cijele mase i nastavlja gibanje u istom smjeru brzinom 25 m/s. Kolika je brzina manjeg dijela?
v = 10 [m/s]m1 = 60 %(m) = 0,6 × mv1 = 25 [m/s]v2 = ?
−=
×−=
×××−×=
×−×=
×+×=×
s
m5,12v
4,0
256,010v
m4,0
25m6,010mv
m
vmvmv
vmvmvm
2
2
2
2
112
2211
1.122. Raketa mase 250 g sadrži 350 g goriva. Pri ispaljivanju rakete gorivo je izišlo iz rakete brzinom 0,30 km/s vertikalno dolje. Do koje će visine stići raketa ako joj otpor zraka smanji domet 6 puta?
m1 = 250 [g] = 0,25 [kg]m2 = 350 [g] = 0,35 [kg]v2 = 0,30 [km/s] = 300 [m/s]d = 1/6 (s)d = ?
=
×=
×=
×=×
s
m420v
25,0
30035,0v
m
vmv
vmvm
1
1
1
221
2211
[ ]m8,8990s
81,92
420s
g2
vs
sg2v
2
21
21
=×
=
×=
××=
[ ]m5,1498d
8,89906
1d
s6
1d
=
×=
×=
1.123. Dječak mase 35 kg vozi se na kolicima mase 5 kg brzinom 1 m/s. Kolika će biti brzina kolica ako dječak siđe s kolica i pritom: a) ima brzinu jednaku kolicima prije nego što je iskočio, b) nema brzine s obzirom na tlo, c) ima brzinu dvostruku prema prvobitnoj brzini kolica?
m1 = 35 [kg]m2 =5 [kg]v = 1 [m/s]v2 = ?
a) b)
v1 = v v1 = 0
=
=
×−×+=
×−×+=
×+×=×+
s
m1v
5
5v
5
1351)535(v
m
vmv)mm(v
vmvmv)mm(
2
2
2
2
11212
221121
=
=
×−×+=
×−×+=
×+×=×+
s
m8v
5
40v
5
0351)535(v
m
vmv)mm(v
vmvmv)mm(
2
2
2
2
11212
221121
c)
v1 = 2 × v
−=
−=
×−×+=
×−×+=
×+×=×+
s
m6v
5
30v
5
2351)535(v
m
vmv)mm(v
vmvmv)mm(
2
2
2
2
11212
221121
1.124. Dva tijela masa m1 = 4 kg i m2 = 1 kg povezana su tankim koncem i leže na glatkome horizontalnom stolu. Oba tijela pokrenemo istodobno impulsom od 20 Ns. Pritom konac pukne, tijelo mase m2 odleti velikom brzinom, a tijelo mase m1 kreće se brzinom 50 cm/s u istom smjeru. Trenje možemo zanemariti. Koliki je impuls primilo tijelo mase m1, a koliki tijelo mase m2 te kolika je brzina tijela mase m2?
m1 = 4 [kg]m2 = 1 [kg]F × t = 20 [Ns]v1 = 50 [cm/s] =0,5 [m/s](F × t)1 = ?, (F × t)2 = ?, v2 = ?
[ ]Ns2)tF(
5,04)tF(
vm)tF(
1
1
111
=××=×
∆×=×
[ ]Ns18)tF(
220)tF(
)tF()tF()tF(
)tF()tF()tF(
2
2
12
21
=×−=×
×−×=××+×=×
=
=
×=
∆×=×
s
m18v
1
18v
m
)tF(v
vm)tF(
2
2
2
22
222
1.125. Vagon mase 10 tona giba se brzinom 2 m/s. Njega sustiže vagon mase 15 tona brzinom 3 m/s. Kolika je brzina obaju vagona nakon sudara ako pretpostavimo da je sudar neelastičan?
m1 = 10 [t]v1 = 2 [m/s]m2 = 15 [t]v2 = 3 [m/s]v = ?
m 1 m 2 F
=
+×+×=
+×+×
=
×+=×+×
s
m6,2v
1510
315210v
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
21
2211
212211
1.126. U kamion mase 20 tona, koji stoji na mjestu, udari i zabije se drugi natovareni kamion mase 30 tona. Natovareni je kamion imao prije sudara brzinu 1 m/s. Kolika je brzina nakon sudara ako se oba vozila nakon sudara gibaju zajedno?
m1 = 20 [t]v1 = 0 [m/s]m2 = 30 [t]v2 = 1 [m/s]v = ?
=
+×+×=
+×+×
=
×+=×+×
s
m6,0v
3020
130020v
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
21
2211
212211
1.127. Kada se proton sudari s neutronom, te se dvije čestice mogu sjediniti u novu česticu - deuteron. Kojom će se brzinom kretati deuteron ako se proton kretao brzinom 7,0 × 106 m/s udesno, a neutron brzinom 3,0 × 106 m/s ulijevo, uz pretpostavku da zanemarimo defekt mase.v1 = 7 × 106 [m/s]m1 = 1,6726 × 10-27 [kg] v2 = -3 × 106 [m/s]m2 = 1,675 × 10-27 [kg]v = ?
×=
×+××−××+×××=
+×+×
=
×+=×+×
−−
−−
s
m1099,1v
10675,1106726,1
)103(10675,1107106726,1v
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
6
2727
627627
21
2211
212211
1.128. Neelastična kugla mase 38 g ima brzinu 3,5 m/s. Kojom brzinom mora kugla mase 12 g udariti o prvu da bi obje nakon sudara imale brzinu 5 m/s? Obje se kugle prije sudara gibaju u istom smjeru i sudar je središnji.
m1 = 38 [g]v1 = 3,5 [m/s]m2 = 12 [g]v = 5 [m/s]v2 = ?
=
×−×+=
×−×+=
×+=×+×
s
m75,9v
12
5,3385)1238(v
m
vmv)mm(v
v)mm(vmvm
2
11212
212211
1.129. Na površini jezera nalazi se čamac. On leži okomito na smjer obale i okrenut je prema njoj pramcem. Čamac miruje, a pramac mu je udaljen od obale 0,75 m. U čamcu se nalazi čovjek koji prelazi cijelu duljinu čamca od pramca do krme. Masa čamca je 140 kg, a čovjeka 60 kg. a) Koliki je omjer brzina kretanja čovjeka i čamca u odnosu prema obali? b) Je li pri tom kretanju čamac pristao uz obalu ako je dugačak 2 m? Otpor vode zanemarimo.
m1 = 140 [kg]m2 = 60 [kg]l = 0,75 [m]v1 / v2 = ?, l1 = ?a) b)
3,0v
v
60140
60
v
v
mm
m
v
v
v)mm(vm
2
1
2
1
21
2
2
1
12122
=
+=
+=
×+=×
[ ]m6,0l
23,0l
l3,0l
3,0l
l
mm
m
v
v
l
l
1
1
21
2
1
21
2
2
1
2
1
=×=×=
=
+==
Čamac nije pristao uz
obalu.
1.130. Dva tijela mase m1 i m2 leže na glatkoj horizontalnoj površini i svezana su međusobno nitima koja mogu podnijeti najveću napetost FN. Odredite najveću horizontalnu silu F, kojom možete djelujući na tijelo mase m1 djelovati na sustav a da pritom nit ne pukne. Mijenja li se sila ako ima suprotan smjer i djeluje na tijelo mase m2? Trenje zanemarimo.
a)mm(F 21 ×+=
najveća napetost za gibanje udesno: FN = m2 × a2
N
m
Fa =⇒
najveća napetost za gibanje ulijevo: FN = m1 × a1
N
m
Fa =⇒
najveća sila za gibanje udesno: N2
21 Fm
mmF ×
+=
najveća sila za gibanje ulijevo: N1
21 Fm
mmF ×
+=
7. SLOŽENA GIBANJA (1.131. - 1.180.)
1.131. Na rijeci koja teče brzinom 4 km/h plovi brod uzvodno brzinom 8 km/h sa stajališta opažača na obali. Koju brzinu bi imao brod kad bi istom snagom plovio niz rijeku?
v1 = 4 [km/h]v2 = -8 [km/h]v = ?
m 1 m 2 F
vB = v1 - (-v2) v = vB + v1
vB = 4 - (-8) v = 12 + 4vB = 12 [m/s] v = 16 [m/s]
1.132. Brzina zrakoplova prema zraku iznosi 500 km/h. Kolika je brzina zrakoplova s obzirom na tlo ako vjetar brzine 30 km/h puše: a) u susret zrakoplovu, b) u leđa zrakoplovu?
v1 = 500 [km/h]v2 = 30 [km/h]v = ?
a) b)v = v1 - v2 v = v1 + v2
v = 500 - 30 v = 500 + 30v = 470 [km/h] v = 530 [km/h]
1.133. Parobrod plovi niz rijeku brzinom 19 km/h s obzirom na obalu, a u suprotnom smjeru brzinom 11 km/h. a) Kolika je brzina toka rijeke ako stroj radi uvijek istom snagom? b) Kolika je brzina broda s obzirom na vodu?
v1 = 19 [km/h]v2 = 11 [km/h]vR = ?, vB = ?
a) b) v1 = vB + vR B1R vvv −=⇒ vB = v2 + vR
v2 = vB - vR R2B vvv +=⇒ vB = 11 + 4vB = 15 [m/s]
vR = v1 - (v2 + vR)2 × vR = v1 - v2
=
−=
−=
h
km4v
2
1119v
2
vvv
R
R
21R
1.134. Automobil se giba niz brijeg i u jednom trenutku ima brzinu 17 m/s. Kolika je horizontalna i
vertikalna komponenta njegove brzine u tom trenutku ako brijeg ima nagib 300?
v = 17 [m/s]α = 300
v1, v2 = ?
=
×=
×=
s
m5,14v
172
3v
v2
3v
1
1
1
=
=
=
s
m5,8v
2
17v
2
vv
2
2
2
1.135. Saonice klize niz brijeg koji ima nagib 300. Koliku brzinu imaju saonice pošto su se spustile niz brijeg za 16 m ako pretpostavimo da su se počele gibati iz stanja mirovanja i bez trenja?
α = 300
s = 16 [m]v = ?
1v
2vv
3 00
3 00
3 00
1v
2vv
a
g
a
3 0 0
3 0 0 g
2
ga =
=
×=
×=
×=××=
s
m53,12v
1681,9v
sgv
sgv
sa2v2
2
1.136. Kolika je brzina čamca s obzirom na obalu ako se čamac kreće: a) niz rijeku, b) uz tok rijeke, c) okomito na tok rijeke? Brzina je toka rijeke v1 = 2 m/s, a brzina čamca s obzirom na rijeku v2 = 4 m/s.
v1 = 2 [m/s]v2 = 4 [m/s]v = ?
a) b)
v = v1 + v2 v = v2 - v1
v = 2 + 4 v = 4 - 2v = 6 [m/s] v = 2 [m/s]
c)
=
+=
+=
+=
s
m47,4v
42v
vvv
vvv
22
22
21
22
21
2
1.137. Vozač motorkotača vozi prema sjeveru brzinom 50 km/h, a vjetar puše prema zapadu brzinom 30 km/h. Nađi prividnu brzinu vjetra što je osjeća vozač.
v1 = 50 [km/h]v2 = 30 [km/h]v = ?
=
+=
+=
+=
h
km3,58v
3050v
vvv
vvv
22
22
21
22
21
2
v 1
v 2v
s m j e r t o k a r i j e k e
1.138. Molekula mase 4,65 × 10-26 kg udari brzinom 600 m/s o stijenu pod kutom 300 prema normali na stijenu. Molekula se elastično odbije pod istim kutom bez gubitaka na brzini. Koliki je impuls sile na stijenu za vrijeme udarca molekule?m = 4,65 × 10-26 [kg]v = 600 [m/s]α = 300
F × t = ?
=
×=
×=
s
m61,519v
6002
3v
v2
3v
1
1
1 [ ][ ]
[ ]Ns10832,4tF
)61,519(61,5191065,4tF
)v(vmtF
23
26
11
−
−
×=×
−−××=×
−−×=×
1.139. Zrakoplov leti brzinom 720 km/h s obzirom na zrak. S istoka puše vjetar brzinom 20 m/s. U kojem će smjeru morati letjeti zrakoplov i koju će brzinu s obzirom na Zemlju morati imati ako želi letjeti prema: a) jugu, b) sjeveru, c) istoku, d) zapadu?v1 = 720 [km/h] = 200 [m/s]v2 = 20 [m/s]β = ?, v = ?
a) b)
v v 1 - v1 3 003 00
α
v 1
v 2
v
=
−=
−=
s
m199v
20200v
vvv
22
22
21
=
−=
−=
s
m199v
20200v
vvv
22
22
21
0
0
0
1
2
73,5
90
26,84
1,0cos200
20cos
v
vcos
=βα−=β
=α=α
=α
=α
0
0
0
1
2
73,5
90
26,84
1,0cos200
20cos
v
vcos
=βα−=β
=α=α
=α
=α
c) d)v = v1 - v2 v = v1 + v2
v = 200 - 20 v = 200 + 20v = 180 [m/s] v = 220 [m/s]
1.140. Zrakoplov leti brzinom 400 km/h s obzirom na zrak. Pilot želi stići u grad udaljen 800 km prema jugu. S istoka puše vjetar brzine 50 km/h. Odredi grafički kojim smjerom mora letjeti zrakoplov. Koliko će mu trebati da stigne u grad?
v1 = 400 [km/h]s = 800 [km]v2 = 50 [km/h]
crtati na milimetarskom papiru!!!
(računski:)
α
αv 1
v 2
v
0
1
2
125,7
125,0tg400
50tg
v
vtg
=α=α
=α
=α
=
+=
+=
h
km11,403v
50400v
vvv
22
22
21
[ ]h98,1t
11,403
800t
v
st
=
=
=
1.141. Zrakoplov leti prema odredištu koje je 300 km zapadno od njegova polazišta. Vjetar puše sa sjeveroistoka brzinom 40 km/h. Pilot želi stići na odredište za 30 minuta. Odredi grafički kojim smjerom i kojom brzinom mora letjeti.
s = 300 [km]vV = 40 [km/h]t = 30 [min]
crtati na milimetarskom papiru!!!
1.142. Čovjek pođe u šetnju i prevali 50 m prema istoku, 30 m prema jugu, 20 m prema zapadu i 10 m prema sjeveru. Odredi njegovu udaljenost od mjesta s kojega je pošao u šetnju.
S
Z4 50
αv V
v t
d
30 m
2 0 m1 0 m
3 0 m 2 0 m
20 m
[ ]m1,36d
1300d
400900d
2030d 22
==
+=
+=
1.143. S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 0,8 m/s. Nađi visinu mosta i brzinu kojom kamen padne u vodu ako pada 3 sekunde.
v = 0,8 [m/s]t = 3 [s]s = ?, v = ?
[ ]m145,44s
381,92
1s
tg2
1s
2
2
=
××=
××=
=
××=
××=
s
m43,29v
145,4481,92v
sg2v
1.144. Kad ne bi bilo vjetra, malo krilato sjeme palo bi s vrha drveta vertikalno stalnom brzinom 35 cm/s. Koliko će daleko od podnožja drveta pasti sjemenka ako je padala s visine 50 m, a puhao je vjetar brzinom 36 km/h u horizontalnom smjeru?
v = 0,35 [m/s]s = 50 [m]vV =36 [km/h] = 10 [m/s]sH = ?
[ ]s85,142t
35,0
50t
v
st
=
=
=
[ ]m5,1428s
85,14210s
tvs
H
H
VH
=×=×=
1.145. Čamac prelazi rijeku okomito na njezin tok brzinom 7,2 km/h. Kad je stigao na suprotnu obalu, tok ga je rijeke odnio 150 m nizvodno. Treba naći brzinu toka rijeke ako je ona široka 500 m. Koliko je vremena trebalo da čamac prijeđe rijeku?
vČ = 7,2 [km/h] = 2 [m/s]s = 500 [m]
s1 =150 [m]vR = ?
[ ]s250t2
500t
v
st
Č
=
=
=
=
=
=
s
m6,0v
250
150v
t
sv
R
R
1R
1.146. Čovjek u čamcu koji uvijek ima smjer okomit na tok rijeke vesla preko rijeke brzinom 5 km/h. Rijeka teče brzinom 8 km/h, a širina joj je 200 m. a) U kojem smjeru i kojom se brzinom čamac giba s obzirom na obalu? b) Koliko mu treba vremena da prijeđe rijeku? c) Koliko bi trebalo da nema struje? d) Koliko je udaljena točka pristajanja nizvodno od polazne točke?
v1 = 5 [km/h] = 1,4 [m/s]v2 = 8 [km/h] = 2,2 [m/s]s = 200 [m]α = ?, v0 = ?, t = ?, t1 = ?, sN = ?
a) b)
=
+=
+=
s
m61,2v
2,24,1v
vvv
0
220
22
210
0
2
1
47,32
64,0tg
2,2
4,1tg
v
vtg
=α
=α
=α
=α
[ ]s86,142t
4,1
200t
v
st
1
=
=
=
c) d)
[ ]s86,142t
4,1
200t
v
st
1
=
=
=
[ ]m315s
86,1422,2s
tvs
N
N
2N
=×=×=
1.147. Zrakoplov leti iz točke A u točku B koja se nalazi 400 km zapadno od A. Odredi kako je dugo morao letjeti: a) ako nema vjetra, b) ako puše vjetar s istoka, c) ako puše vjetar s juga? Brzina je vjetra 20 m/s, a brzina zrakoplova s obzirom na zrak 800 km/h.
s = 400 [km] = 400000 [m]vV = 20 [m/s] vZ = 800 [km/h] = 222,22 [m/s]t = ?
a) b) c)
[ ] [ ]min30s1800t22.222
400000t
v
st
Z
==
=
=
[ ] [ ] [ ]s31min27s4,1651t
22,22220
400000t
vv
st
ZV
==+
=
+=
[ ] [ ] [ ]s52min29s77,1792t
11,223
400000t
v
st
s
m11,223v
2022,222v
vvv
22
2V
2Z
==
=
=
=
+=
+=
1.148. Automobil vozi brzinom 50 km/h. Pošto je 5 sekundi kočio, brzina mu se smanjila na 20 km/h. Nađi: a) akceleraciju ako je gibanje bilo jednoliko usporeno, b) put prevaljen u petoj sekundi.
v1 = 50 [km/h] = 13,89 [m/s]v2 = 20 [km/h] = 5,56 [m/s]t = 5 [s]a = ?, s5-4 = ?
a) b)
=
−=
∆∆=
2s
m66,1a
5
56,589,13a
t
va
[ ]m825,20s
566,12
1s
ta2
1s
5
25
255
=
××=
××=
[ ]m28,13s
466,12
1s
ta2
1s
4
24
244
=
××=
××=
[ ]m545,7s
28,13825,20s
sss
45
45
4545
=−=
−=
−
−
−
1.149. Automobil vozi 10 sekundi jednoliko na horizontalnom putu brzinom 40 km/h. Nakon toga dođe do nizbrdice gdje dobiva akceleraciju 1 m/s2. a) Koliku će brzinu imati auto 30 sekundi nakon početka gibanja? b) Koliki će put prevaliti za to vrijeme? c) Nacrtaj grafički prikaz brzine za to gibanje i iz grafikona nađi ukupni put što ga je tijelo prevalilo.
t1 = 10 [s]v0 = 40 [km/h] = 11,11 [m/s]a = 1 [m/s2]t2 = 30 [s]v = ?, s = ?
a) b)
=
×+=×+=
s
m11,31v
20111,11v
tavv 0
[ ]m3,533s
2012
13011,11s
ta2
1tvs
2
20
=
××+×=
××+×=
1.150. Koliki priklon ima ravnina prema horizontalnoj ravnini ako kuglici koja se kotrlja niz nju treba pet puta više vremena nego kad bi padala niz visinu te kosine?
t2 = 5 × t1
a = g × sinαs1 = s2 × sinα
2 0 3 0 4 00
1 0
2 0
3 0
4 0
t [ s ]
v [ m / s ]
1 0
α
α
a
gs 1
s 2
0
2
22
21
22
11
54,11
2,0sin25
1sin
sin25
1sin
sing25
s2
g
sins2
a25
s2
g
s2a
s2t
g
s2t
=α
=α
=α
α×=α
α×××
=α×××
×=
×
×=
×=
1.151. Koliki kut nagiba mora imati krov baze b da bi voda s njega otjecala za najkraće vrijeme?
αb / 2
s =( b
/ 2) ×
c o s α
α××=
α×α×=
α×=
α×××=××=
2sing
b2
sing
cosbt
cos2
bs
sintg2
1ta
2
1s 22
Vrijeme će biti najkraće kad je sin2α najveće, tj. 2α =
900, α = 450.
1.152. Duž kosine kojoj je nagib 320 tijelo se uspinje početnom brzinom 30 m/s. a) Koliki put prevali tijelo gibajući se prema gore i koliko dugo to traje? b) Koliko treba tijelu da iz najviše točke na kosini stigne opet dolje?
α = 320
v0 = 30 [m/s]s = ?, t = ?, t1 = ?
a) b)
[ ]s77,5t
32sin81,9
30t
32sing
vt
a
vt
32singa
0v
tavv
0
00
0
0
0
=×
=
×=
=
×=
=×−=
[ ]m54,86s
77,532sin81,92
1s
ta2
1s
20
2
=
×××=
××=
[ ]s77,5tt1 ==
1.153. Strelica izbačena lukom vertikalno u vis vraća se nakon 20 sekundi. Kolika je bila početna brzina?
t = 20 [s]v0 = ?
[ ]
=
×=×=
=
===
×−=
s
m1,98v
1081,9v
tgv
0v
s102
20
2
tt
tgvv
0
0
00
0
00
1.154. Do koje se visine digne tijelo koje se , vertikalno bačeno u vis, nakon 20 sekundi vrati na zemlju?
t = 20 [s]s = ?
[ ]s102
20
2
tt
0v
t2
gtvs
0
0
2000
===
=
×−×=
[ ]m5,490s
100905,4s
102
81,9s
t2
gs
2
2
=×=
×=
×=
1.155. Tijelo bačeno vertikalno u vis palo je natrag na tlo za 6 sekundi. Koju je visinu tijelo postiglo i koliku brzinu je imalo kad je palo? Otpor zraka zanemarimo.
t = 6 [s]s = ?, v = ?
[ ]m145,44s
32
81,9s
t2
gs
2
20
=
×=
×=
=
×=×=
s
m43,29v
381,9v
tgv 0
1.156. Kamen smo bacili vertikalno do visine 10 m. Za koje će on vrijeme pasti na tlo? Otpor zraka zanemarimo.s = 10 [m]t = ?
[ ]s43,1t
81,9
102t
g
s2t
t2
gs 2
=
×=
×=
×=
1.157. Iz aerostata koji se nalazi na visini 400 m ispadne kamen. Za koje će vrijeme kamen pasti na
zemlju: a) ako se aerostat vertikalno diže brzinom 10 m/s, b) ako se aerostat vertikalno spušta brzinom 10 m/s, c) ako aerostat miruje u zraku, d) ako se aerostat kreće horizontalnom brzinom 10 m/s?
s = 400 [m]v0 = 10 [m/s]v = ?
a) b) c) d)
[ ]s04,10t
01,103,9t
81,9
10
81,9
4002t
g
v
g
s2t 0
=+=
+×=
+×=
[ ]s02,8t
01,103,9t
81,9
10
81,9
4002t
g
v
g
s2t 0
=−=
−×=
−×=
[ ]s03,9t
81,9
4002t
g
s2t
=
×=
×=
[ ]s03,9t
81,9
4002t
g
s2t
=
×=
×=
1.158. Tijelo bacimo vertikalno u vis početnom brzinom v0 = 50 m/s. Za koje vrijeme će stići u najvišu točku i kolika je ta visina (g = 10 m/s2)? b) Za koje će vrijeme tijelo postići prvi put visinu 15 m, a za koje c) drugi put visinu 15 m?
v0 = 50 [m/s]s= 15 [m]t1 = ?, s1 = ?, t2 = ?, t3 = ?
a) b) i c)
[ ]
[ ]m125s102
50s
g2
vs
s5t10
50t
g
vt
1
2
1
20
1
1
1
01
=×
=
×=
=
=
=
[ ][ ]s7,9t
s3,0t10
94,4650t
52
15545050t
015t50t5
0stvt2
g
t2
gtvs
3
2
3,2
2
3,2
2
02
20
==
±=
×××+±=
=−−
=−×−×
×−×=
1.159. Prikaži grafički ovisnost puta s o vremenu t i ovisnost brzine v o vremenu t za tijelo koje je bačeno vertikalno u vis početnom brzinom 10 m/s. Treba obuhvatiti vrijeme prve dvije sekunde u intervalima 0,2 sekunde. Otpor sredstva možemo zanemariti, a za g uzeti 10 m/s2.
crtati na milimetarskom papiru!!!
1.160. Dvije teške kugle bacimo vertikalno uvis jednakim početnim brzinama, jednu za drugom u vremenskom razmaku 2 s. Kugle se sastanu dvije sekunde pošto je bačena druga kugla. Odredi početnu brzinu kugala. Otpor zraka zanemarimo.
∆ t = 2 [s]t = 2 [s]v0 = ?
[ ][ ]s2tt
s422ttt
ss
t2
gtvs
t2
gtvs
2
1
21
22202
21101
===+=+∆=
=
×−×=
×−×=
=
=×−=×−
×−×=×−×
s
m43,29v
68,58v2
2905,4v24905,4v4
t2
gtvt
2
gtv
0
0
20
20
2220
2110
1.161. Elastična kugla padne na zemlju s visine 49 m. Pošto je udarila o zemlju, odbija se vertikalno u vis brzinom koja je jednaka 3/5 brzine kojom je pala. Nađi visinu na koju se digla kugla pošto se odbila.
s = 49 [m]v1 = (3/5) × v0
s1 = ?
=
×=
×=
=
××=
××=
s
m6,18v
315
3v
v5
3v
s
m31v
4981,92v
sg2v
1
1
01
0
0
0
[ ]m64,17s
81,92
6,18s
g2
vs
1
2
1
21
1
=×
=
×=
1.162. Tane i zvuk koji je pritom nastao dopru istodobno do visine 510 m. Kolikom je brzinom izašlo tane iz cijevi ako je brzina zvuka 340 m/s? Otpor zraka zanemarimo.s = 510 [m]v1 = 340 [m/s]v0 = ?
[ ]s5,1340
510t
v
st
t
sv
11
==
=⇒=
=
×+=
+=⇒−=
s
m36,347v
5,1
5,1905,4510v
t
t2
gs
vt2
gtvs
0
2
0
2
02
0
1.163. Tijelo A bačeno je vertikalno uvis početnom brzinom v0. Tijelo B pada po istom pravcu s visine d početnom brzinom 0. Nađi funkciju koja prikazuje ovisnost udaljenosti y između tijela A i B u ovisnosti o vremenu t ako pretpostavimo da su se tijela počela gibati istodobno.
Put što prijeđe tijelo A pri vertikalnom hicu: 201 t
2
gtvs −=
Put što prijeđe tijelo B u slobodnom padu: 22 t
2
gs =
Udaljenost između oba tijela pri gibanju:
tvdy
)t2
gt
2
gtv(dy
)ss(dy
0
220
21
−=
+−−=
+−=
1.164. Tane izleti iz puške u horizontalnom smjeru brzinom 275 m/s. Na kojoj će udaljenosti od mjesta
gdje je ispaljeno tane pasti ako je puška smještena 2,5 m iznad površine zemlje?
v0 = 275 [m/s]y = 2,5 [m]x = ?
g
y2tt
2
gy
tvx
2
0
×=⇒×=
×=
[ ]
[ ]m2,140x
51,0275x
s51,0t
81,9
5,22t
=×=
=
×=
1.165. Iz horizontalne cijevi teče voda početnom brzinom v0 = 15 m/s. Za koliko se mlaz vode spustio na udaljenosti 40 m od izlazne točke (g = 10 m/s2)?
v0 = 15 [m/s]x = 40 [m]y = ?
[ ]s67,2t15
40t
v
xt
0
=
=
=
[ ]m65,35y
67,22
10y
t2
gy
2
2
=
×=
×=
1.166. Loptu bacimo horizontalno. Ona udari o vertikalni zid koji se nalazi 10 m daleko od početnog položaja lopte. Visina mjesta gdje je lopta udarila o zid manja je 2 m od visine mjesta iz kojeg je lopta izbačena. Kojom je početnom brzinom lopta bila izbačena i pod kojim je priklonim kutom udarila o zid?
x = 10 [m]y = 2 [m]v0 = ?, α = ?
[ ]
0
Y
X
YY
Y2Y
XX0
17,68496,226,6
63,15
v
vtg
s
m26,6281,92sg2v
s64,081,9
22
g
s2tt
2
gs
s
m63,15
64,0
10
t
svv
=α⇒===α
=××=××=
=×=×
=⇒×=
====
1.167. Iz zrakoplova koji leti horizontalno na visini 1200 m izbačen je sanduk s hranom. Kojom je brzinom letio zrakoplov u času kad je izbacio sanduk ako je pao 500 m daleko od mjesta na tlu koje se nalazilo vertikalno ispod položaja zrakoplova u času kad je izbacio sanduk?y = 1200 [m]x = 500 [m]v0 = ?
=
=
=
s
m2,100v
99,4
500v
t
xv
0
0
0
[ ]s99,4t
81,9
12002t
g
y2t
=
×=
×=
1.168. S tornja visokog 50 m bacimo horizontalno kamen početnom brzinom 30 m/s. a) Koliko dugo će
1 0 m
2 m
v = v0 x
v x
v yv
x
y
α
kamen padati? b) Na kojoj će udaljenosti od tornja pasti na zemlju? Riješi zadatak grafički i računski.
y = 50 [m]v0 = 30 [m/s]t = ?, x = ?
[ ]s19,3t
81,9
502t
g
y2t
=
×=
×=
[ ]m78,95x
19,330x
tvx 0
=×=×=
1.169. S tornja visokoga 30 m bacimo kamen početnom brzinom 10 m/s u horizontalnom smjeru. Treba odrediti kako dugo će se kamen gibati, koliki mu je domet i kojom će brzinom pasti na zemlju. Otpor zraka zanemarimo.
y = 30 [m]v0 = 10 [m/s]t = ?, x = ?, v = ?
[ ]s47,2t
81,9
302t
g
y2t
=
×=
×=
[ ]m7,24x
47,210x
tvx 0
=×=×=
[ ]
0
X
Y
222Y
2X
Y
0X
57,67423,210
23,24
v
vtg
s
m21,2623,2410vvv
s23,2447,281,9tgv
s
m10vv
=α⇒===α
=+=+=
=×=×=
==
1.170. Odredi funkcionalnu vezu između putova komponentnih gibanja horizontalnog hica.
2
00
t2
gy
v
xttvx
×=
=⇒×=
parabolaxv2
gy
v
x
2
gy
2
20
2
0
→××
=
×=
1.171. S vrha brijega bacimo kamen u horizontalnom smjeru. Padina brijega nagnuta je prema horizontalnoj ravnini za kut α = 300. Kojom je brzinom bačen kamen ako je na padinu brijega pao 200 m daleko od mjesta gdje je izbačen?
α = 300
l = 200 [m]v = ?
=
×××=
α×α××=
α××=α×
α×=×=
α×=×=
s
m36,38
30sin2
30cos20081,9v
sin2
coslgv
v
cosl
2
gsinl
sinlt2
gl
cosltvl
0
02
22
2
22
22
1
1.172. Mlaz vode istječe iz cijevi koja ima kut elevacije: a) 300, b) 400, c) 600. Nacrtaj krivulje koje prikazuju oblik mlaza vode ako je početna brzina mlaza 15 m/s.
α
α
l
l 1
l 2
crtati na milimetarskom papiru!!!
domet:a) b) c)
[ ]m86,19X
81,9
60sin15X
g
2sinvX
02
20
=
×=
α×=
[ ]m59,22X
81,9
80sin15X
g
2sinvX
02
20
=
×=
α×=
[ ]m86,19X
81,9
120sin15X
g
2sinvX
02
20
=
×=
α×=
1.173. Tijelo smo bacili početnom brzinom v0 pod kutom α prema horizontalnoj ravnini. Tijelo se vratilo na tlo za 3 sekunde. Koju je najveću visinu postiglo?
2t = 3 [s]s = ?
[ ]m04,11s
5,12
81,9s
t2
gs
2
2
=
×=
×=
1.174. Iz luka izbacimo strelicu pod kutom 600, početnom brzinom 100 m/s. a) Kolike su vertikalna i horizontalna komponenta početne brzine? Koji je put strelica prešla u horizontalnom i vertikalnom smjeru poslije prve i treće sekunde? c) Do koje se visine penje strelica? d) Za koje vrijeme postiže strelica tu visinu? e) Na kojoj udaljenosti pada strelica opet na zemlju? f) Nakon koliko vremena pada strelica opet na zemlju? g) Nacrtaj stazu strelice u omjeru 1 : 10000. h) Pod kojim kutom treba izbaciti strelicu da padne na tlo na udaljenosti 500 m (g = 10 m/s2)?
α = 600
v0 = 100 [m/s]vX = ?, vY = ?, x1 = ?, y1 = ?, x3 = ?, y3 = ?, Y = ?, t = ?, X = ?, 2t = ?X = 500 [m]α = ?
a) b)
=
×=
α×=
=
×=
α×=
s
m6,86v
60sin100v
sinvv
s
m50v
60cos100v
cosvv
Y
0Y
0Y
X
0X
0X
[ ]
[ ]m150x
60cos3100x
costvx
m50x
60cos1100x
costvx
3
03
303
1
01
101
=××=
α×==
××=
α×=
[ ]
[ ]m67,215y
9905,460sin3100y
t2
gsintvy
m7.81y
1905,460sin1100y
t2
gsintvy
3
03
2303
1
01
2101
=×−××=
×−α×=
=×−××=
−α×=
c) d) e)
[ ]m26,382Y
81,92
60sin100Y
g2
sinvY
022
220
=××=
×α×
=
[ ]s83,8t
81,9
60sin100t
g
sinvt
0
0
=
×=
α×=
[ ]m8,882X
81,9
120sin100X
g
2sinvX
02
20
=
×=
α=
f) h)
[ ]s66,17t2
83,82t2
=×=
2
20
100
81,95002sin
v
gX2sin
×=α
×=α
0
0
69,14
37,292
4905,02sin
=α=α
=α
1.175. a) Odredi jednadžbu krivulje koju tijelo opisuje prilikom kosog hica. b) Izvedi izraz za najveću visinu koju tijelo postigne pri kosom hicu. c) Izvedi izraz za domet hica. d) Izvedi izraz za vrijeme potrebno da se taj domet postigne.
a) b)
2
220
220
2
00
20
00
xcosv2
gxtany
cosv
x
2
gsin
cosv
xvy
t2
gsintvy
cosv
xtcostvx
α×−×α=
α××−α×
α××=
×−α×=
α×=⇒α×=
g2
sinvY
g
sinv
2
gsin
g
sinvvy
g
sinvtgtsinv0v
t2
gsintvy
220
2
2200
0
00Y
20
α=
α−α
α×=
α=⇒−α==
−α=
c) d)
g
cosv2X
cosg
v2vx
costvx
g
v2tt
2
gsintv
t2
gsintv0y
20
00
0
020
20
α×=
α××=
α×=
=⇒×=α×
×−α×==
g
sinv2t2
g
sinvt
0
0
α=
α=
1.176. Kamen bacimo brzinom 10 m/s pod kutom elevacije 400. On padne na zemlju na udaljenosti d od početnog položaja. S koje visine sY treba baciti kamen u horizontalnom smjeru da bi uz jednaku početnu brzinu pao na isto mjesto? Otpor zraka zanemarimo.
v0 = 10 [m/s]α = 400
sY = ?
[ ]m10d
81,9
80sin10d
g
2sinvd
02
20
=
=
α=
[ ]m905,4s10
10
2
81,9s
v
d
2
gst
2
gs
v
dt
Y
2
2
Y
20
2
Y2
Y
0
=
×=
×=⇒=
=
1.177. Kamen bacimo s tornja visine 30 m početnom brzinom 10 m/s pod kutom 350 prema horizontali. Treba odrediti koliko dugo će se tijelo gibati i na kojoj će udaljenosti od podnožja tornja pasti. Otpor zraka zanemarimo.h0 = 30 [m]v0 = 10 [m/s]α = 350
t = ?, D = ?
[ ]
[ ]m67,1h
81,92
35sin10h
g2
sinvh
s51,0t
81,9
30sin10t
g
sinvt
022
220
1
0
1
01
=×
=
×α
=
=
×=
α=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]m6,258,208,4D
35cos54,21081,92
70sin10D
costvg2
2sinvddD
s05,354,251,0ttt
s54,281,9
67,312t
g
H2tt
2
gH
m67,313067,1hhH
002
20
20
0
21
2
222
0
=+=
××+×
=
α+α
=+=
=+=+=
=×=
×=⇒×=
=+=+=
1.178. Dječak baci loptu brzinom 8 m/s pod kutom 450 prema horizontali. Lopta udari o vertikalni zid koji se nalazi 5 m daleko od dječaka. Odredi kad će lopta udariti o zid i na kojoj visini h računajući od visine s koje je lopta bačena. Otpor zraka zanemarimo.v0 = 8 [m/s]α = 450 d + d1 = 5 [m]t = ?, h = ?
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]s3,045cos8
72,1t
cosv
dtcostvd
m72,1d
28,35d
m28,3d
58,045cos8d
tcosvtvd
s58,0t
81,9
45sin8t
g
sinvt
02
0
12201
1
1
0
10X
1
0
1
01
=×
=
α×=⇒α=
=−=
=××=
×α×=×==
×=
α=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]s88,03,058,0t
ttt
m19,1h
44,063,1h
yYh
m63,1Y
81,92
45sin8Y
g2
sinvY
m44,0y
3,02
81,9y
t2
gy
21
022
220
2
22
=+=+=
=−=
−==
××=
×α
=
=
×=
×=
1.179. Kuglica slobodno pada s visine 2m, padne na kosinu i od nje se elastično odbije. Na kojoj će udaljenosti od mjesta gdje je prvi put pala kuglica opet pasti na kosinu? Kut nagiba kosine jest β = 300.
h = 2 [m]β = 300
l = ?
y
x
x 1
y 1
β
α3 00
3 00
3 00
l
S ( x , y )1 1
O
)tgtg(g
tgcosv2y
g
tgcosv2
g
tgtgcosv2y
g
tgcosv2
g
tgcosv2
tg
tgy
tg
y
cosv2
g
tg
tg1
tg
y
cosv2
gtg
tg
yy
xcosv2
gtgxy
cosv
x
2
gsin
cosv
xvy
t2
gsintvy
cosv
xtcostvx
tg
yx
x
ytg
22
1
22222
1
222222
1
21
22
2
21
221
1
222
22
2
2
11
1
1
β−α×β×α××−=
β×α××−α×β×α××−=
β×α××−β×α×××βα−=
β×
α××−
βα−=
β×
α××−α×
β−=
×α××
−α×=
α××−α×
α××=
×−α××=
α×=⇒α××=
β−=⇒−=β
[ ]m464,3y
577,075,08y
30tg30cos222y
g
tgcoshg22y
hg2v
0tgtg
tgtg
1
1
0021
2
1
2
−=××−=
××××−=
β×α××××−=
××=
=β−αβ=α⇒β=α
[ ]m92,6l30sin
464,3l
sin
yl
l
ysin
0
11
=
−−=
β−=⇒−=β
1.180. Granata mase m ispaljena je koso u zrak. Kad je postigla svoj najviši položaj h = 19,6 m, raspala se na dva jednaka dijela. Jedan je pao vertikalno dolje i za 2 sekunde stigao na zemlju 1000 m daleko od mjesta gdje je granata ispaljena. Koliko je daleko pao drugi dio? Otpor zraka zanemarimo.
h = 19,6 [m]t = 2 [s]l = 1000 [m]
l2 = ?
[ ][ ]m300020001000ll
m2000l
21000l
tvl
s
m1000v
5002v
s
m500v
2
1000v
t
lv
v2vv2
mmv
2
2
2
22
2
2
22
=+=+=
×=×=
=
×=
=
=
=
=⇒×=
8. SASTAVLAJNJE I RASTAVLJANJE SILA I TRENJE
1.181. Ma tijelo mase 4 kg djeluju dvije sile svaka 2 N. Kakvi će biti smjer i veličina ubrzanja: a) ako sile djeluju pod kutom 900, b) ako sile imaju isti smjer, c) ako sile imaju suprotan smjer?
m = 4 [kg]F1 = F2 = 2 [N]FR = ?, a = ?
a) b) c)
l 1
h
m
m / 2m / 2
[ ]
0
1
2
2
R
R
22R
22
21R
45
F
Ftg
s
m7,0a
4
828,2a
m
Fa
N828,2F
22F
FFF
=α
=α
=
=
=
=+=
+=
[ ]
=
=
=
=+=+=
2
R
R
R
21R
s
m1a
4
4a
m
Fa
N4F
22F
FFF
=
=
=
=−=−=
2
R
R
R
21R
s
m0a
4
0a
m
Fa
0F
22F
FFF
1.182. Na kruto tijelo djeluju tri jednake sile koje međusobno zatvaraju kut 1200. Hoće li se tijelo pod utjecajem tih sila gibati?
F1 = F2 = F3 α = 1200
FR = 0Tijelo se neće gibati.
1.183. Na tijelo mase 5 kg djeluju sila od 3 N i sila od 4 N, a smjerovi su im pod kutom 600. a) Koliku će brzinu imati tijelo nakon 2 sekunde? b) U kojem će se smjeru tijelo gibati?
m = 5 [kg]F1 = 4 [N]F2 = 3 [N]α = 600
t = 2 [s]v = ?, α 1 = ?
6,2e
32
3e
F2
3e 2
=
×=
×=
5,1f2
3f
2
Ff 2
=
=
=
[ ]N08,6F
76,625,30F
6,2)5,14(F
e)fF(F
R
R
22R
221R
=+=
++=
++=
=
=
=
2s
m22,1a
5
08,6a
m
Fa
=
×=×=
s
m44,2v
222,1v
tav
01
1
1
11
21,28
4727,0sin
5,14
6,2sin
fF
esin
=α
=α+
=α
+=α
m
F 2F R
α α 1
3 00
6 00
F 2 e
f
1.184. Žicu na kojoj visi uteg mase 16 kg dovedemo u novi položaj djelovanjem sile 120 N u horizontalnom smjeru. a) Kolika je napetost žice? b) Koliki je kut otklona α pri tom položaju? Riješi zadatak grafički i računski.
m = 16 [kg]F = 120 [N]N = ?,α = ?
[ ]N58,197R
44,2463614400R
)81,916(120R
GFR
RN
22
22
=+=
×+=
+=
=
039,37a
76452.0tg
81,916
120tg
G
Ftg
==α
×=α
=α
1.185. Pod djelovanjem sile vjetra koji puše u horizontalnom smjeru kapljica kiše mase 0,03 g padne na tlo pod kutom 450. Kojom silom djeluje vjetar na kapljicu? Riješi zadatak grafički i računski.
m = 0,03 [g] = 3 × 10-5 [kg]α = 450
F = ?
α
α
NF
G R
[ ]N103G
10103G
gmG
GF
4
5
vj
−
−
×=
××=
×=
=
1.186. Silu 90 N, koja djeluje vertikalno gore, treba rastaviti na dvije komponente od kojih je jedna horizontalna 20 N. Odredi drugu komponentu računski i grafički.
F = 90 [N]F1 = 20 [N]F2 = ?, α = ?
[ ]N2,92F
2090F
FFF
2
222
21
22
=+=
+=
0
2
54,12
97613,0cos
2,92
90cos
F
Fcos
=α
=α
=α
=α
1.187. O nit je obješena kuglica mase 50 g. Kolikom je silom nategnuta nit kad je otklonjena od položaja ravnoteže za 300.
m = 50 [g] = 5 × 10-2 [kg]
4 50
F v j
GF
F
F 1
F 2
α
α = 300
N = ?
[ ]N566,0R
866,0
4905,0R
30cos
81,9105R
cos
mg
cos
GR
R
Gcos
RN
0
2
=
=
××=
α=
α=⇒=α
=
−
1.188. Svjetiljka mase 15 kg obješena je na sredini žice dugačke 20 m. Sredina žice udaljena je od stropa 0,8 m. Odredi silu kojom je žica napeta.
m = 15 [kg]l = 20 [m]h = 0,8 [m]F = ?
α
α
NF
G R
A B
C
D E
1 0 m
[ ]N75,919F
8,0
1058,73F
AC
BCCDF
BC:ACF:CD
58,732
81,915
2
mgCD
CDEACB
=
×=
×=
=
=×=→
∆≅∆
1.189. Predmet mase 6 kg obješen je u točki A dviju potpornih šipaka koje su dugačke a = 4 dm i b = 5 dm. Kolikom silom djeluje uteg duž oba štapa?
m = 6 [kg]a = 4 [dm]b = 5 [dm]
Ga = ?, Gb = ?
[ ]dm3c
45c
abc
ACBDEA
22
22
=−=
−=
∆≅∆
[ ]N48,78G
81,963
4G
gm3
4G
Gc
aG
G:Gc:a
a
a
a
a
a
=
××=
××=
×=
=
[ ]N1,98G3
581,96G
3
5gmG
c
bGG
G:Gb:c
b
b
b
b
b
=
××=
××=
×=
=
1.190. Kolika sila mora djelovati na tijelo mase 4 kg da bi se ono gibalo vertikalno gore akceleracijom 2 m/s2.
m = 4 [kg]a = 2 [m/s2]F = ?
[ ]N24,47F
)281,9(4F
)ag(mF
amGF
=+×=
+×=×+=
1.191. Tijelo mase 3 kg giba se vertikalno dolje ubrzanjem 12 m/s2. Kolika je sila koja osim sile teže djeluje na tijelo?
Aa
b
Aa
b
G b G
B
C
D
E
c
m = 3 [kg]a = 12 [m/s2]F = ?
[ ]N57,6F
)81,912(3F
)ga(mF
gmamF
GFFFGF
amF
RR
R
=−×=−×=
×−×=−=⇒+=
×=
1.192. Na glatkoj podlozi leže dva utega međusobno povezani tankom niti. Masa m1 utega A iznosi 300 g, a masa m2 utega B 500 g. Na uteg B djeluje sila 2 N, a na uteg A sila 1,5 N. Kojom se akceleracijom kreću utezi?
m1 = 300 [g]m2 = 500 [g]FA = 1,5 [N]FB = 2 [N]a = ?
[ ]N5,0F
5,12F
FFF
R
R
ABR
=−=−=
=
+=
+=
×+=
2
21
R
21R
s
m625,0a
5,03,0
5,0a
mm
Fa
a)mm(F
m 1
m 2
A B1 , 5 N
1.193. Preko nepomične koloture prebačeno je uže. Na jednom kraju užeta visi uteg mase 25 kg. Na drugom kraju užeta visi majmun koji se penje po užetu. Kojom se akceleracijom diže majmun po užetu ako se uteg nalazi uvijek na istoj visini? Masa je majmuna 20 kg. Za koje će vrijeme majmun stići do koloture ako je na početku bio 20 m udaljen od nje?
m1 = 25 [kg]m2 = 20 [kg]s = 20 [m]t = ?
=
×−=
×−
=
×+×=×
2
2
21
221
s
m45,2a
81,920
2025a
gm
mma
amgmgm
[ ]s04,4t
45,2
202t
a
s2tt
2
as 2
=
×=
×=⇒×=
1.194. Kamen mase 0,5 kg pada s vrha nebodera visoka 67 m. U času pada kamen ima brzinu 19 m/s. Kolika je srednja sila otpora zraka?
m = 0,5 [kg]s = 67 [m]v = 19 [m/s]Fo = ?
s
[ ]N52,3F
)77,281,9(5,0F
)ag(mF
FGam
o
o
o
o
=−×=
−×=−=×
=
×=
×=⇒××=
2
2
22
s
m7,2a
672
19a
s2
vasa2v
1.195. Na horizontalnoj pruzi lokomotiva vuče vlak vučnom silom 180000 N. Na dijelu puta dugačku 500 m brzina je vlaka porasla od 36 km/h na 72 km/h. Koliko je trenje ako je masa vlaka 500 tona?
F = 180000 [N]s = 500 [m]v0 = 36 [km/h] = 10 [m/s]v = 72 [km/h] = 20 [m/s] m = 500000 [kg]Ftr = ?
[ ]N30000F
3,0500000180000F
amFF
FFam
tr
tr
tr
tr
=×−=
×−=−=×
=
×−=
×−
=⇒××+=
2
22
20
220
2
s
m3,0a
5002
1020a
s2
vvasa2vv
1.196. Na horizontalnoj dasci leži uteg. Faktor trenja između daske i utega jest 0,1. Koliko horizontalno ubrzanje treba dati da se uteg pomakne s obzirom na dasku?
µ = 0,1a = ?
=
×=×µ=
××µ=×=
2
tr
s
m981,0a
81,91,0a
ga
gmam
FF
1.197. Na glatkome horizontalnom stolu leži tijelo mase m. Faktor trenja između stola i tijela jest µ . Na tijelo je privezana nit koja je prebačena preko koloture učvršćene na rubu stola. Na drugom kraju niti visi tijelo najveće moguće težine koja još ne uzrokuje klizanje prvog tijela po stolu. Kolika je masa m1 tijela koje visi?m1 = ?
mm
gmgm
1
1
×µ=××µ=×
1.198. Automobil vozi brzinom 72 km/h. Na kojoj najmanjoj udaljenosti ispred pješačkog prijelaza mora početi kočiti da bi se pred njim zaustavio? Faktor trenja kotača s cestom jest 0,4 ( g = 10 m/s2).
v = 72 [km/h] = 20 [m/s]µ = 0,4s = ?
=
×=×µ=
××µ=×=
2
tr
s
m4a
104,0a
ga
gmam
FF
[ ]m50s42
20s
a2
vssa2v
2
22
=×
=
×=⇒××=
1.199. Auto vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36 km/h. U jednom času vozač isključi motor i auto se zaustavi pošto je s isključenim motorom prešao 150 m. Koliko se dugo auto kretao isključenog motora? Koliki je faktor trenja pri tom gibanju?
v = 36 [km/h] = 10 [m/s]s = 150 [m]t = ?, µ = ?
m 1
m
=
×=
×=⇒××=
2
2
22
s
m33,0a
1502
10a
s2
vasa2v
[ ]s30t
33,0
10t
a
vt
t
va
=
=
=⇒=
034,0
81,9
33,0
g
a
gmam
=µ
=µ
=µ
××µ=×
1.200. Na drveni kvadar mase 0,5 kg, koji miruje na horizontalnoj drvenoj podlozi, djeluje 3 sekunde horizontalna sila 5 N. Nađi brzinu kvadra na kraju treće sekunde. Faktor trenja gibanja između drvenog kvadra i drvene podloge iznosi 0,4.
m = 0,5 [kg]t = 3 [s]F = 5 [N]µ = 0,4v = ?
=
×−=
×µ−=
××µ−=×−=×
2
tr
s
m08,6a
81,94,05,0
5a
gm
Fa
gmFam
FFam
=
×=
×=⇒=
s
m23,18v
308,6v
tavt
va
1.201. Auto mase 1 t spušta se niz brijeg stalnom brzinom. Odredi silu trenja ako je nagib ceste 10%.m = 1000 [kg](F1 / G) = 10 %Ftr = ?
iz sličnosti trokuta:
αG
1 0 0 m
1 0 m
[ ][ ]N981FF
N981F
81,910001,0F
gm100
10F
100:10G:F
1tr
1
1
1
1
===
××=
××=
=
1.202. Koliki mora biti najmanji faktor trenja između ceste i automobilskog kotača da bi se automobil mogao penjati uz cestu nagiba 300 akceleracijom 0,6 m/s2.α = 300
a = 0,6 [m/s2]µ = ?
65,0
30tg30cos81,9
6,0
tgcosg
a
singmamcosgm
singmG
cosgmF
GamF
0
0
1
tr
1tr
=µ
+×
=µ
α+α×
=µ
α××+×=α×××µα××=
α×××µ=+×=
1.203. Tijelo klizi niz kosinu koja je prema horizontali nagnuta za 450. Pošto je tijelo prešlo put 36,4 cm, dobilo je brzinu 2 m/s. Koliki je faktor trenja između tijela i kosine?
α = 450
s = 36,4 [cm] = 0,364 [m]v = 2 [m/s]µ = ?
3 0 0
3 0 0
3 0 0
G
G 1
G 2
G
G 1
G 2
27,0
45cos81,9
5,545tg
cosg
atg
cosgmsingmam
GGam
00
21
=µ×
−=µ
α×−α=µ
α×××µ−α××=××µ−=×
=
×=
×=⇒××=
2
2
22
s
m5,5a
364,02
2a
s2
vasa2v
1.204. S vrha kosine duge 10 m visoke 5 m počinje se spuštati tijelo bez početne brzine. Koliko će se dugo tijelo gibati niz kosinu ako je faktor trenja 0,2? Kolika će biti brzina tijela na dnu kosine?
s = 10 [m]h = 5 [m]µ = 0,2
t = ?, v = ?
=
×−×=α×µ−α×=
α×××µ−α××=×××µ−=×
=α⇒==α
2
00
21
0
s
m21,3a
)30cos2,030(sin81,9a
)cos(singa
cosgmsingmam
GmGam
305,010
5sin
[ ]
=
=
=
=
×=
×=⇒×=
s
m284,1v
5,2
21,3v
t
av
s5,2t
21,3
102t
a
s2tt
2
as 2
1.205. Nepomična kolotura pričvršćena je na rubu stola. Preko koloture prebačena je nit na krajevima koje se nalaze utezi A i B mase po 1 kg. Koeficijent trenja utega B prema stolu jest 0,1. Nađi: a) akceleraciju kojom se gibaju utezi, b) napetost niti. Trenje koloture zanemarimo.
αG
1 0 m
5 m
G 1
G 2
mA = mB = 1 [kg]µ = 0,1a = ?, N = ?
=
+×−×=
+×µ−×=
××µ−×=×+
2
BA
BA
BABA
s
m4,4a
11
)11,01(81,9a
mm
)mm(ga
gmgma)mm(
[ ]N4,5N
4,4181,91N
amgmN AA
=×−×=
×−×=
1.206. Na vrhu kosine duge 3,5 m i visoke 1,5 m nalazi se nepomična kolotura. Preko koloture prebačena je vrpca. Na jednom kraju vrpce slobodno visi tijelo mase 4,4 kg, a drugi je kraj vrpce privezan za tijelo mase 8,8 kg koje leži na kosini. Izračunaj put što ga tijelo koje visi prevali za 2 sekunde počevši od stanja mirovanja. Trenje zanemarimo.
A
B
s = 3,5 [m]h = 1,5 [m]m1 = 8,8 [kg]m2 = 4,4 [kg]t = 2 [s]s = ?
[ ]N37F
81,98,85,3
5,1F
GsinFG
Fsin
5,3
5,1sin
mm
FGa
FGa)mm(
1
1
111
1
21
12
1221
=
××=
×α=⇒=α
=α
+−
=
−=×+
[ ]m94,0s
22
47,0s
t2
as
s
m47,0a
4,48,8
3781,94,4a
2
2
2
=
×=
×=
=
+−×
=
1.207. Kosina ima kut priklona α koji možemo mijenjati. Niz kosinu teška pločica koja uz kutove
αG 1
3 , 5 m
1,5
m
F 1
G 2
α 1 = 450 i α 2 = 600 u jednakim vremenima prijeđe putove jednake horizontalne
projekcije. Odredi koliki mora biti kut priklona α 3 da pločica ne bi uopće klizila.
α
s
22
22
12
2211
221122
12
111222
22
11
1
2
22
11
2
1
222
111
222
111
1
2
2
1
2
1
2211
22
21
2
1
2
3
2
3
2
1
2
2
2
2
coscos
sincossincos
sincossincos)cos(cos
)cos(sincos)cos(sincos
cossin
cossin
cos
cos
cossin
cossin
a
a
)cos(singa
)cos(singa
cosgmsingmam
cosgmsingmam
cos
cos
a
a
s
s
cosscoss
t2
as
t2
as
−
×−×=µ
α−αα×α−α×α
=µ
α×α−α×α=α−α×µ
αµ−α×α=αµ−α×ααµ−ααµ−α
=αα
αµ−ααµ−α
=
αµ−α×=αµ−α×=
α×××µ−α××=×α×××µ−α××=×
αα
==
α×=α×
×=
×=
033
3
3
33
33
1527,0tg
32tg
tg
cossin
cosgmsingm
32
4
)32(4
=α⇒=α
−=α
µ=αα×µ=α
α××=α××
−=µ
−×=µ
9. RAD, SNAGA, ENERGIJA
1.208. Koliki rad utroši dizalica kad podigne teret 2 t na visinu 120 cm?
m = 2 [t] = 2000 [kg]h = 120 [cm] = 1,2 [m]W = ?
[ ]J23544W
2,181,92000W
hgmW
=××=
××=
1.209. Dva traktora, svaki na jednoj obali rijeke, vuku uz tok rijeke natovareni čamac stalnom brzinom. Koliki otpor pruža voda kretanju čamca? Koliki rad treba utrošiti pri svladavanju tog otpora na putu 500 m ako su sile koje napinju užad međusobno jednake, iznose 4000 N i čine kut 600?
s = 500 [m]F1 = F2 = 4000 [N]α = 600
R = ?, W = ?
[ ]N2,6928R
40003R
F2
32R
=×=
××=
[ ]J3464101W
5002,6928W
sRW
=×=
×=
1.210. Na tijelo mase 2 kg djeluje sila F zbog koje se tijelo kreće po putu s. Sila F se mijenja te je prikazana F, s - grafikonom na slijedećoj slici. Odredi pomoću grafikona koliki je rad izvršila sila pošto je tijelo prešlo put: a) 2 m, b) 5 m, c) 8 m.
F 1
F 2
R6 00
m = 2 [kg]s = 2 [m], s = 5 [m], s = 8 [m]W = ?
a) b) c)
[ ]N6W
23W
sFW
=×=×=
[ ]J5,14W
5,86W
=+=
[ ]J25W
5,105,14W
=+=
0 1 2 3 4
F [ N ]
s [ m ]5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
1.211. Tijelo mase 5,0 kg giba se duž puta djelovanjem sile koja se jednoliko povećava, svaka 2 m po 2 N. Odredi pomoću grafikona koliku je energiju izgubilo tijelo pošto je prešlo put 4 m ako je sila na početku gibanja jednaka nuli.
m = 5 [kg]∆ s = 2 [m]∆ F = 2 [N]s = 4 [m]F0 = 0 [N]∆ E = ?
[ ]J82
44WE =×=∆=∆
1.212. Elastična opruga stisne se za 0,2 m pod djelovanjem sile 20 N. Kolika je konstanta k te opruge? Koliki je rad utrošen pri tom sabijanju?
x = 0,2 [m]F = 20 [N]k = ?, W = ?
=
=
=
m
N100k
2,0
20k
x
Fk
[ ]J2W
2,01002
1W
xk2
1W
2
2
=
××=
××=
2 3 40
1
2
3
4
s [ m ]
F [ N ]
1
∆ ∆W = E
1.213. Na slijedećoj slici grafički je prikazana promjena sile koja je potrebna da stisne elastično pero za određenu udaljenost s. Koliki rad može obaviti opruga ako je stisnemo za 0,3 m?
x = 0,3 [m]W = ?
=
=
=
m
N33,13k
3,0
4k
x
Fk
[ ]J6,0W
3,033,132
1W
xk2
1W
2
2
=
××=
××=
1.214. Pri brzom hodu čovjek je u jednoj minuti učinio 180 koraka. Kolika je snaga čovjeka koju je razvio pri hodu ako za svaki korak utroši rad 30 J?
n = 180 [koraka/min]W1 = 30 [J]P = ?
sek
koraka3
60
180
min
koraka180 ==
[ ]W90P1
W3P
t
WP
1
=
×=
=
0 , 2 0 , 30
1
2
3
4
s [ m ]
F [ N ]
0 , 1
1.215. Dizalica je podigla tijelo mase 4,5 tone na visinu 8 m. Snaga dizalice je 8,832 kW. Za koje vrijeme dizalica digne teret?
m = 4,5 [t] = 4500 [kg]h = 8 [m]P = 8,832 [kW] = 8832 [W]t = ?
[ ]J353160W
881,94500W
hgmW
=××=
××=
[ ]s99,39t8832
353160t
P
Wt
t
WP
=
=
=⇒=
1.216. Pri normalnoj brzini 5 km/h čovjek mase 75 kg razvija snagu otprilike 60 W. Povećanjem brzine ta snaga naglo raste i pri brzini 7,2 km/h naraste do 200 W. Odredi za oba slučaja silu kojom se čovjek pokreće.
m = 75 [kg]v1 = 5 [km/h] = 1,39 [m/s]P1 = 60 [W]v2 = 7,2 [km/h] = 2 [m/s]P2 = 200 [W]F1 = ?, F2 = ?
vFt
sF
t
WP ×=×==
[ ]N17,43F
39,1
60F
v
PF
1
1
1
11
=
=
=
[ ]N100F2
200F
v
PF
2
2
2
22
=
=
=
1.217. Koliku težinu može vući auto motora 22,05 kW po horizontalnom putu pri brzini 54 km/h ako je koeficijent trenja 0,15?
P = 22,05 kW=22050 [W]v = 54 [km/h] = 15 [m/s]µ = 0,15G = ?
[ ]N9800G
1515,0
22050G
v
PGvGP
vFP tr
=×
=
×µ=⇒××µ=
×=
1.218. Vlak mase 106 kg uspinje se stalnom brzinom 30 km/h po strmini koja se na svaki kilometar diže za 10 m. Odredi snagu lokomotive ako je koeficijent trenja 0,002.
m = 106 [kg]v = 30 [km/h] = 8,33 [m/s]s =1000 [m]h = 10 [m]µ = 0,002P = ?
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]W835000P120
100000000200000P
s12033,8
1000
v
st
J10100000000101010hgmW
J200000100001,01010002,0W
m05,1000101000s
01,01000
10sin
ssingmsFWt
WWP
86g
6tr
22
trtr
gtr
=
+=
===
==××=××=
=××××==+=
==α
×α×××µ=×=
+=
1.219. Sila 2 N djelovala je na tijelo 4 sekunde i dala mu energiju 6,4 J. Kolika je masa tijela?
F = 2 [N]t = 4 [s]∆ E =∆ W = 6,4 [J]m = ?
[ ]
[ ]kg54,0
2
a
Fm
s
m4,0
4
2,32a
t
s2at
2
as
m2,32
4,6
F
WssFW
22
2
2
===
=×=
×=⇒×=
===⇒×=
1.220. Stalnom silom F podižemo uteg mase 4 kg do visine 1 m. Pritom utrošimo rad 80 J. Kolikim smo ubrzanjem podizali uteg?
m = 4 [kg]h = 1 [m]W = 80 [J]a = ?
[ ]
=
+=
+=
×+=××−×=
==
=⇒×=
2s
m81,29a
81,94
80a
gm
Fa
gmFam
gmamF
N801
80F
s
WFsFW
1.221. Uteg mase 10 kg podignemo nepomičnom koloturom na visinu 1,5 m. Odredi korisni i utrošeni rad ako je korisnost stroja 90%.
m = 10 [kg]h = 1,5 [m]η = 0,9WD = ?WU = ?
[ ]
[ ]J5,163W
9,0
15,147WW
J15,147W
5,181,910W
hgmW
W
W
U
DU
D
D
D
U
D
=
=η
=
=××=
××=
=η
1.222. Kolika je korisnost hidroelektrane ako za 1 sekundu proteče 6 m3 vode i ako je pad vode 20 m, a snaga elektrane 882 kW?
q = 6 [m3/s]h = 20 [m]PD = 882 [kW] = 882000 [W]η = ?
[ ][ ]
%7575,01177200
882000
P
P
W11772001
1177200
t
WP
J1177200W
2081,9161000W
hgtqW
Vm
tqVt
Vq
hgmW
U
D
UU
U
U
U
U
====η
===
=××××=
××××ρ=×ρ=
×=⇒=
××=
1.223. Dizalicu pokreće motor snage 7,36 kW. Koliku masu ima tijelo koje podiže ta dizalica brzinom 6 m/min ako je korisnost dizalice 80%?
PU = 7,36 kWv = 6 [m/min] = 0,1 [m/s]η = 80% = 0,8m = ?
[ ]
[ ] [ ]t6kg6002m
1,081,9
5888m
vg
Pm
vgmvFP
W5888P
73608,0P
PPP
P
D
D
D
D
UDU
D
≈=×
=
×=
××=×==
×=
×η=⇒=η
1.224. Na kolica mase 1 kg, koja leže na horizontalnoj podlozi i miruju, počinjemo djelovati stalnom silom 5 N u smjeru puta. Pod utjecajem sile kolica su prešla put 4 m bez trenja. a) Koliki rad je utrošila sila? b) Kolika je energija prenesena na kolica? c) Kolika je brzina kolica na kraju puta?
m = 1 [kg]F = 5 [N]
s = 4 [m]W = ?, ∆ E = ?, v = ?
a) b) c)
[ ]J20W
45W
sFW
=×=×=
[ ]J20E
WE
=∆∆=∆
=
××=
××=
===
s
m32,6v
452v
sa2v
s
m5
1
5
m
Fa
2
1.225. Sila 20 N ubrzava predmet mase 1,0 kg duž puta 4,0 m po horizontalnoj površini bez trenja. Predmet je prije toga mirovao. Nakon prevaljena puta 4,0 m sila se promijeni, smanji se na 10 N i djeluje duž iduća 4 m. a) Kolika je konačna kinetička energija tijela? b) Kolika mu je konačna brzina?
m = 1 [kg]F1 = 20 [N]s1 = 4 [m]F2 = 10 [N]s2 = 4 [N]EK = ?, v = ?
a) b)
[ ]J120E
410420E
sFsFE
WWE
K
K
2211K
21K
=×+×=×+×=
+=
=
×=
×=⇒×=
s
m49,15v
1
1202v
m
E2v
2
vmE k
2
K
1.226. Koliki rad može obaviti tijelo mase 100 g pri brzini 15 cm/s na temelju svoje kinetičke energije?
m = 100 [g] = 0,1 [kg]v = 15 [cm/s] = 0,15 [m/s]EK = ?
[ ]J00113,0E2
15,01,0E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
1.227. Tramvaj mase 18 tona postigne 2 sekunde nakon početka gibanja brzinu 10,8 km/h. Odredi srednju vrijednost snage koju je morao razviti motor tramvaja za vrijeme gibanja?
m = 18 [t] = 18000 [kg]t = 2 [s]v = 10,8 [km/h] = 3 [m/s]P = ?
[ ]m3s
22
5,1s
t2
as
s
m5,1a
2
3a
t
va
2
2
2
=
×=
×=
=
=
=
[ ]
[ ]W40500P2
81000P
t
WP
J81000W
35,118000W
samW
sFW
=
=
=
=××=
××=×=
1.228. Iz cijevi mitraljeza izleti u 1 minuti 700 tanadi. Odredi snagu mitraljeza ako je masa jednog taneta 15 g, a njegova brzina u času kad napušta cijev 760 m/s.
n = 700 [tanadi/min] = 11,67 [tanadi/sek]m = 15 [g] = 0,015 [kg]v = 760 [m/s]P = ?
[ ]J4332E2
760015,0E
2
vmE
EW
K
2
K
2
K
K
=∆
×=∆
×=∆
∆=∆
[ ] [ ]kW5,50W50554P1
433267,11P
t
WnP
==
×=
×=
1.229. Da se u zidu probuši rupa potreban je rad 10000 J. Možemo li rupu izbušiti tanetom mase 0,2 kg koje udari o zid brzinom 250 m/s?
W = 10000 [J]m = 0,2 [kg]v = 250 [m/s]
[ ]J6250E2
2502,0E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
→< WE K tane ne može probušiti zid
1.230. Kamion mase 3 t vozi brzinom 45 km/h. Kolika mora biti sila kočenja da se kamion zaustavi na 50 m udaljenosti?
m = 3 [t] = 3000 [kg]v = 45 [km/h] = 12,5 [m/s]s = 50 [m]F = ?
[ ]J234375E2
5,123000E
2
vmE
EW
K
2
K
2
K
K
=
×=
×=
∆=∆
[ ]N5,4687F50
234375F
s
WF
=
=
=
1.231. Na 150 m visoku brežuljku postavljen je top iz kojega izleti u horizontalnom smjeru kugla mase 2 kg i padne na zemlju na udaljenosti 3000 m. Kolika je bila kinetička energija kugle u času kad je izletjela iz topa?
y = 150 [m]x = 3000 [m]m = 2 [kg]EK = ?
[ ]J294301E2
5,5422E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
[ ]
==
=⇒×=
=×=
×=⇒×=
s
m5,542
53,5
3000v
t
xvtvx
s53,581,9
1502t
g
y2tt
2
gy 2
1.232. Na tijelo mase 4 kg djeluje 1 minutu stalna sila koja mu dade brzinu 3 m/s. Odredi veličinu te sile i kinetičku energiju tijela.
m = 4 [kg]t = 1 [min] = 60 [s]v = 3 [m/s]F = ?, EK = ?
=
=
=
2s
m05,0a
60
3a
t
va
[ ]N2,0F
05,04F
amF
=×=×=
[ ]J18E2
34E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
1.233. Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 3 m/s. Faktor trenja između tijela i podloge iznosi 0,4. Odredi put što ga tijelo prevali prije nego što se zaustavi.
v = 3 [m/s]µ = 0,4s = ?
[ ]m146,1s
81,94,02
3s
g2
vs
gm2
vm
s
F
Ws
2
2
2
tr
tr
=××
=
×µ×=
××µ
×
=
=
2
vmE
EW
gmF
2
K
Ktr
tr
×=∆
∆=∆××µ=
1.234. Na horizontalnoj površini leži tijelo mase 3 kg. Na njega djeluje sila 6 N koja prema horizontalnoj površini zatvara kut 450. a) Koliki je rad utrošila sila pošto je tijelo prešlo put 4 m bez trenja? b) Koliku brzinu ima tijelo na kraju puta?
m = 3 [kg]F = 6 [N]α = 450
s = 4 [m]
W = ?, v = ?
[ ]N24,4F
62
2F
2
2FF
F2F
1
1
1
21
2
=
×=
×=
×=
[ ]J97,16W
424,4W
sFW 1
=×=
×=
=
×=
×=⇒×=
=
s
m36,3v
3
97,162v
m
E2v
2
vmE
EW
K2
K
K
1.235. Automobil mase 1 t može se kočnicama zadržati sve do uspona od 24%. Na kojoj će se udaljenosti zaustaviti pomoću kočnica vozeći po horizontalnom putu brzinom 64,8 km/h?
m = 1 [t] = 1000 [kg]n = 24 %v = 64,8 [km/h] = 18 [m/s]s = ?
mF 1
F
4 50
α
α G
F 1
[ ] [ ]089,1324,0
100
24sin
m24h,m100s%24n
=α⇒==α
==⇒=
[ ]N4,2354F
24,081,91000F
singmF
1
1
1
=××=α××=
[ ]J162000E2
181000E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
[ ]m8,68s
4,2354
162000s
F
WssFW
11
=
=
=⇒×=
1.236. Pri β - raspadu jednog atoma radioaktivnog elementa RaB (relativne atomske mase Ar
= 214) iz atoma izleti elektron energije Ee =5 × 10-15 J. Atom RaB pretvori se u novi element RaC iste atomske mase. Odredi kinetičku energiju atoma RaC.
Ar(RaB) =214Ee = 5 ×10-15 [J]EK = ?
==
××=
×=⇒=
−
−
s
m100000001,0v
1052v
E2v2
vE
7e
15e
ee
2e
e
−=
×××××−=
×−=
×−=×
−−
−−
s
m2,10898v
1051067,1
10101,9v
m
vmv
vmvm
1527
731
ee
ee
[ ]J106.1E
2
)2,10898(1051067,1E
2
vmE
17K
21527
K
2
K
−
−−
×=
−××××=
×=
1.237. Čekićem mase 4 kg zabijamo čavao u drvenu podlogu. U času kad čekić udari o čavao, čekić ima brzinu 500 cm/s, a čavao pritom zađe u drvo 30 mm duboko. Kolikom srednjom silom udari čekić o čavao i koliko dugo traje djelovanje te sile?
m = 4 [kg]v = 500 [cm/s] = 5 [m/s]s = 30 [mm] = 0,03 [m]F = ?, ∆ t = ?
[ ]N67,1666F
03,02
54F
s2
vmF
sF2
vm
WE
2
2
2
K
=××=
××=
×=×
∆=∆
[ ]s012,0t
67,1666
54t
F
vmt
vmtF
=∆
×=∆
×=∆
×=∆×
1.238. Kamen mase 2 kg bacimo horizontalno početnom brzinom 10 m/s. Koliku će kinetičku energiju imati kamen nakon 5 sekundi (g = 10 m/s2).
m = 2 [kg]v0 = 10 [m/s]t = 5 [s]EK = ?
=
×+=
×+=
×→→
s
m1,50v
)581,9(10v
)tg(vv
tgy
vx
R
22R
220R
0
[ ]J9,2505E2
1,502E
2
vmE
K
2
K
2R
K
=
×=
×=
1.239. Saonice kližu po horizontalnom ledu brzinom 6 m/s i odjednom dojure na asfalt. Duljina salinaca je l = 2 m, a faktor trenja salinaca na asfaltu 1. Koliki ukupni put prevale saonice dok se zaustavljaju?
v = 6 [m/s]l = 2 [m]µ = 1s = ?
[ ]m835,0x
2
21
81,912
6x
2
l
g2
vx
xgmlgm2
1
2
vm
WE
2
2
2
trK
=
×−××
=
×µ−×µ×
=
×××µ+×××µ×=×
=
[ ]m835,2s
2835,0s
lxs
=+=
+=
1.240. Vagončić s pijeskom mase mV kotrlja se po horizontalnim tračnicama bez trenja brzinom v0. Tane mase m, ispaljeno horizontalno brzinom v1 u istom smjeru što ga ima i v0, pogodi vagon i ostane u njemu. Treba odrediti brzinu v vagončića pošto ga je pogodilo tane i energiju koja je pritom prešla u toplinu.
mm
vmvmv
v)mm(vmvm
V
10V
V10V
+×+×
=
×+=×+×
2v21
20V v
2
mm
2
vm
2
vmE ×
+−
×+
×=
1.241. Mehanički malj mase 500 kg udari o stup koji se pritom zabije u zemlju do dubine 1 cm. Odredi silu kojom se zemlja tomu opire ako pretpostavimo da je sila za vrijeme udarca stalna i ako je brzina malja prije udarca bila 10 m/s. Masu stupa zanemarimo.
m = 500 [kg]s = 1 [cm] = 0,01 [m]v = 10 [m/s]F = ?
[ ]N2500000F
01,02
10500F
s2
vmF
sF2
vm
WE
2
2
2
K
=××=
××=
×=×
∆=∆
1.242. Tramvaj mase 10 tona razvije 5 sekundi pošto se počeo kretati brzinu 7,2 km/h. Kolika je snaga motora?
m = 10 [t] = 10000 [kg]t = 5 [s]v = 7,2 [km/h] = 2 [m/s]P = ?
[ ]J20000E2
210000E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
[ ] [ ]kW4W4000P5
20000P
t
WP
WE K
==
=
=
∆=∆
1.243. Tijelo mase 40 g bačeno je vertikalno uvis brzinom 60 m/s. Kolika mu je kinetička energija: a) na početku gibanja, b) nakon 6 sekundi gibanja?
m = 40 [g] = 0,04 [kg]v = 60 [m/s]t = 6 [s]EK = ?
a) b)
[ ]J72E2
6004,0E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
=
×−=×−=
s
m14,1v
681,960v
tgvv 0
[ ]J026,0E2
14,104,0E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
1.244. Tijelo mase 19,6 kg palo je s neke visine. Padanje je trajalo 0,5 sekundi. Koliku je kinetičku energiju imalo tijelo kad je stiglo do najniže točke?
m = 19,6 [kg]t = 0,5 [s]EK = ?
=
×=×=
s
m905,4v
5,081,9v
tgv
[ ]J78,235E2
905,46,19E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
1.245. Jezgra kadmija apsorbira neutro energije En = 10-15 J. Odredi brzinu v novonastale jezgre. Relativna atomska masa kadmija jest Ar =112,4.
mn = ???En = 10-15 [J]Ar = 112,4v = ?
n
nn m
E2v
×=
nj
nn
mm
vmv
+×
=
1.246. Tane mase m doleti horizontalno do drvene kugle koja je na podu. Tane proleti središtem kugle. Treba odrediti koliko je energije prešlo u toplinu ako je v1 brzina taneta prije nego što je pogodilo kuglu, v2 brzina taneta nakon prolaza kroz kuglu, a mk masa kugle. Trenje između poda i kugle zanemarimo.
−−−=
−=
221
k
22
21
2K1K
)vv(m
mvv
2
mQ
EEQ
1.247. Snop atoma energije 9,8 ×10-17 J izlijeće iz izvora u horizontalnom smjeru. Za koliko će se atomi pod djelovanjem sile teže otkloniti od horizontale na udaljenosti 5 m od izvora? Neka su to atomi srebra atomske mase 108.
E = 9,8 ×10-17 [J]s = 5 [m]h = ?
×=
×××=
×=
××=×=
×=⇒×=
−
−
−
−
s
m103,3
1081,1
108,92v
1081,1m
108106726,1108mm
m
E2v
2
vmE
4
25
17
25
27P
K2
K
[ ]
[ ]m1013,1h
)1052,1(2
81,9h
t2
gh
s1052,110¸3,3
5
v
st
7
24
2
4
4
−
−
−
×=
××=
×=
×=×
==
1.248. Uteg mase 5 kg pao je s visine 2 m. Za koliko se smanjila gravitacijska potencijalna energija utega pri tom padu?
m = 5 [kg]h = 2 [m]∆ EP = ?
[ ]J1,98E
281,95E
hgmE
P
P
P
=∆××=∆
××=∆
1.249. Tijelo mase 10 kg podignemo 20 m visoko. Koliki rad moramo pri tom utrošiti? Za koliko se povećala gravitacijska potencijalna energija tijela?
m = 10 [kg]h = 20 [m]∆ W = ∆ EP = ?
[ ]J1962EW
2081,910EW
hgmEW
P
P
P
=∆=∆××=∆=∆
××=∆=∆
1.250. Tane mase m pogodi komad drva mase md koji visi na niti duljine l. Kad pogodi drvo, tane ostaje u njemu. Za koliko se podigne komad drva ako je brzina taneta bila v0?
)mm(g2
vmh
)mm(
vm
)mm(g2
mmh
vg)mm(2
mmhhg)mm(
2
v)mm(
EE
mm
vmvv)mm(vm
d
20
2
2d
20
2
d
d
2
d
dd
2d
PK
d
0d0
+××=
+×
×+××
+=
××+×
+=⇒××+=
×+
=+
×=⇒×+=×
1.251. Koliki će put prevaliti saonice po horizontalnoj površini ako su se spustile s brda visine 15 m i
nagiba 300? Faktor trenja je 0,2.
h = 15 [m]α = 300
µ = 0,2s = ?
[ ]m50s
)130(sin2,0
15s
)1(sin
hs
s)gmsingm(hgm
WWE
0
2tr1trP
=+×
=
+α×µ=
×××µ+α×××µ=××+=
1.252. Kamen mase 100 g bačen je koso gore iz neke točke koja se nalazi 15 m iznad Zemljine površine brzinom 10 m/s. a) Kolika mu je ukupna mehanička energija u tom času? b) Kolika će mu biti ukupna mehanička energija kad bude 10 m iznad Zemljine površine? c) Kolika će mu biti brzina u tom času? Otpor zraka zanemarimo.
m = 100 [g] = 0,1 [kg]h = 15 [m]v0 = 10 [m/s]h1 = 10 [m]E = ?, E1 = ?, v = ?
a) b) c)
[ ]J715,19E2
101,01581,91,0E
2
vmhgmE
EEE
2
20
KP
=
×+××=
×+××=
+=
[ ]J715,19E
EE
1
1
==
[ ]
=
×=×
=
=−=
××−=−=
s
m07,14v
1,0
905.92
m
E2v
J905,9E
81,9715,19E
1081,91,0715,19E
EEE
1
1K1
1K
1K
1K
1P1K
1.253. Tijelo mase 30 g bacimo s mosta visokog 25 m vertikalno dolje brzinom 8 m/s. Tijelo stigne na površinu vode brzinom 18 m/s. Odredi rad koji je tijelo utrošilo svladavajući otpor zraka (g = 10 m/s2).
m = 30 [g] = 0,03 [kg]h = 25 [m]v0 = 8 [m/s]v1 = 18 [m/s]Wtr = ?
[ ]J46,8E2
803,0251003,0E
2
vmhgmE
EEE
2
2
KP
=
×+××=
×+××=
+=
[ ]
[ ]J6,3W
EEW
J86,42
1803,0
2
vmE
tr
1tr
221
1
=−=
=×=×
=
1.254. S vrha strme ceste dugačke 100 m, visinske razlike 20 m, spuštaju se saonice mase 5 kg. Odredi
trenje koje se javlja pri spuštanju niz brijeg ako su saonice pri dnu brijega imale brzinu 16 m/s. Početna brzina je nula.
s = 100 [m]h = 20 [m]m = 5 [kg]v0 = 0 [m/s]v1 =16 [m/s]Ftr = ?
[ ]J341W2
1652081,95W
2
vmhgmW
WEE
tr
2
tr
21
tr
tr21
=
×−××=
×−××=
+=
[ ]N41,3F100
341F
s
WFsFW
tr
tr
trtrtrtr
=
=
=⇒×=
1.255. Tijelo mase 8 kg slobodno pada s visine 2 m. Kolika je njegova kinetička energija u času kad stigne na zemlju? Pokaži da je ta energija jednaka gravitacijskoj potencijalnoj energiji koju je tijelo imalo prije pada ako se zanemari otpor zraka.
m = 8 [kg]h = 2 [m]EK = ?
=
××=
××=
s
m26,6v
281,92v
hg2v
[ ]J96,156E2
26,68E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
[ ]PK
P
P
P
EE
J96,156E
281,98E
hgmE
==
××=××=
1.256. Tijelo mase 20 kg padne s visine 15 m te pri kraju pada ima brzinu 16 m/s. Koliki rad je utrošilo tijelo gibajući se zrakom?m = 20 [kg]h = 15 [m]v = 16 [m/s]Wtr = ?
[ ]
[ ]J2943E
1581,920E
hgmE
J383W2
16201581,920W
2
vmhgmW
EEW
WEE
P
P
P
tr
2
tr
2
tr
KPtr
trKP
=××=
××==
×−××=
×−××=
−=+=
1.257. Bomba od 300 kg pada s visine 900 m. Kolike su njezina gravitacijska potencijalna energija i kinetička energija u času: a) kad se nalazi 150 m iznad zemlje, b) kad padne na zemlju?m = 300 [kg]h = 900 [m]h1 = 150 [m]EP = ?, EK = ?
a) b)
[ ]
[ ]
[ ]J2207250E
4414502648700E
EEE
J441450E
15081,9300E
hgmE
J2648700E
90081,9300E
hgmE
K
K
PK
P
P
1P
=−=
−==
××=××=
=××=
××=
[ ]J2648700EE
0E
K
P
===
1.258. Na niti duljine 1 m obješena je kuglica. Koliku horizontalnu brzinu moramo dati kuglici da se ona otkloni do iste visine na kojoj se nalazi objesište niti?l = 1 [m]v = ?
=××=
××=⇒×=××
=
s
m43,4181,92v
hg2v2
vmhgm
EE2
KP
1.259. Tijelo bačeno vertikalno u vis padne na zemlju 6 sekundi nakon početka gibanja. Odredi: a) kinetičku energiju tijela u času kad padne na zemlju, b) gravitacijsku potencijalnu energiju u
najvišoj točki. Masa tijela je 50 g.
t = 6 [s]m = 50 [g] = 0,05 [kg]EK = ?, EP = ?
a) b)
[ ]J65,21E2
43,2905,0E
2
vmE
s
m43,29v
381,9v2
tgv
K
2
K
2
K
=
×=
×=
=
×=
×=
[ ]J65,21E
EE
P
KP
==
1.260. Jednostavno njihalo dugo 4 m ima na svojem kraju obješenu kuglu mase 5 kg. a) Koliki rad moramo utrošiti da bismo njihalo pomaknuli iz njegova vertikalnog položaja u horizontalni? b) Kolike će biti brzina i kinetička energija kugle njihala u času kad prolazi najnižom točkom ako smo njihalo ispustili iz horizontalnog položaja?
l = 4 [m]m = 5 [kg]W = ?, v = ?, EK = ?
a) b)
[ ]J2,196W
481,95W
hgmW
EW P
=××=
××=∆=
=
××=
××=
s
m86,8v
481,92v
hg2v
[ ]J2,196E2
86,85E
2
vmE
K
2
K
2
K
=
×=
×=
1.261. Tijelo je palo s visine 240 m i zarilo se u pijesak 0,2 m duboko. Odredi srednju silu otpora pijeska ako je tijelo mase 1 kg, počelo padati brzinom 14 m/s. Riješi zadatak na dva načina: a) pomoću zakona gibanja, b) pomoću zakona održanja energije. Koji je način brži? Otpor zraka zanemarimo.
h = 240 [m]h1 = 0,2 [m]m = 1 [kg]v0 = 14 [m/s]F = ?
a) b)
[ ]N12262F
122621amF
s
m12262a
2,02
24081,9214a
h2
hg2va
hg2vha2
hg2vv
2
2
1
20
201
20
2
=×=×=
=
×××+=
×××+
=
××+=××
××+=
[ ]
[ ]N12262F
2,0
4,2452F
hFWE
J4,2452E
24081,912
141E
hgm2
vmE
1
2
20
=
=
×=∆==
××+×=
××+×
=
1.262. U drvenu metu mase 4 kg, koja visi na užetu, ispalimo tane mase 8 g. Tane ostane u meti koja se pomakne u položaj koji je 6 cm viši od početnoga. Nađi početnu brzinu taneta.
m1 = 4 [kg]m2 = 8 [g] = 0,008 [kg]h = 6 [cm] = 0,06 [m]v2 = ?
=
××=
××=
×+=××+
s
m085,1v
06,081,92v
hg2v
2
v)mm(hg)mm(
221
21
=
×−×+=
×−×+=
×+=×+×
s
m59,543v
008,0
04085,1)008,04(v
m
vmv)mm(v
v)mm(vmvm
2
2
2
11212
212211
1.263. Uže duljine 20 m prebačeno je preko čvrste koloture kojoj možemo zanemariti masu i veličinu.
U početku uže visi na miru, simetrično s obzirom na vertikalu koja ide središtem koloture. Kad koloturu malo stresemo, uže će početi padati. Kolika će mu biti brzina u času kad otpadne s koloture?
l = 20 [m]v = ?
=
×=
×=⇒××=×
s
m91,9v
2
2081,9v
2
lgv
4
lgm
2
vm 2
Tl / 4
T
l / 2
1.264. Matematičko njihalo nalazi se najprije u horizontalnom položaju. Duljina mu je l. Na udaljenosti l/2 ispod točke objesišta njihala postavljena je horizontalna čelična ploča. Na koju će se visinu h odbiti kuglica njihala nakon sudara s pločom ako pretpostavimo da je sudar potpuno elastičan?
2
lg3v
lg2
3cosvv
60
lgv2
lgm
2
vm
V
V
0
2
××=
××=α×=
=α
×=⇒××=×
l8
3h
g8
lg3
g42
lg3
g22
vh
hgm22
vm
2V
2V
×=
×××=
×
××
=××
=
×××=×
l / 2
lα
αh
v vv
1.265. Dvije elastične kugle vise na nitima tako da se nalaze na istoj visini i dodiruju se. Niti su različite duljine: l1 = 10 cm, l2 = 6 cm. Mase dotičnih kugala jesu m1 = 8 g i m2 = 20 g. Kuglu od 8 g otklonimo 600 i ispustimo. Treba odrediti koliko će se kugle otkloniti nakon sudara ako je sudar elastičan.
l1 = 10 [cm] = 0,1 [m]l2 = 6 [cm] = 0,06 [m]m1 = 8 [g] = 0,008 [kg]m2 = 20 [g] = 0,02 [kg]α = 600
α 1 = ?, α 2 = ?
αl 1
l 2l
hm 1 m 2
=
==
−=
α=⇒=α
−=
=
=
+=⇒
−=
+−
=⇒
+=+
+=+
s
m99,0v
981,0glv
60cosllh
coslll
lcos
llh2
mvmgh
s
m565,0
mm
vm2v
s
m424,0v
mm
mmv
vm
2
vm
2
vm
2
vm
vmvmvmvm
1
121
011
11
1
21
21
11'2
121
21'1
2'22
2'11
222
211
'22
'112211
[ ]
[ ]
02
2
222
011
1
1i11111
2'2
2
2'1
1
21,437288,006,0
0162,006,0
l
hlcos
6,24909,01,0
0091,01,0cos
l
hlcoscosllh
m0162,0g2
vh
m0091,0g2
vh
=α⇒=−
=−
=α
=α⇒=−
=α
−=α⇒α−=
=×
=
=×
=
1.266. Dječak puca iz praćke i pritom toliko nategne gumenu vrpcu da je produži 10 cm. Kolikom je brzinom poletio kamen mase 20 g? Da se gumena vrpca produži 1 cm treba sila 9,8 N. Otpor zraka zanemarimo.
x = 10 [cm] = 0,1 [m]m = 20 [g] = 0,02 [kg]k = (9,8/0,01) = 980 [N/m]v = ?
=×=
×=⇒××=××
=
s
m14,22
02,0
1,0980v
m
xkvvm
2
1xk
2
1
EE
2
222
KP
1.267. Svaka elastična opruga odbojnika na vagonu stisnut će se 1 cm zbog djelovanja sile 104
N. Kojom se brzinom kretao vagon ako su se opruge na odbojnicima pri udarcu vagona o stijenu stisnule 10 cm? Masa vagona je 20 tona.
k = 2 × (104/0,01) = 2 ×106 [N/m]x = 10 [cm] = 0,1 [m]m = 20 [t] = 2 × 104 [N]v = ?
=
×××=
×=⇒××=××
=
s
m1
102
1,0102v
m
xkvvm
2
1xk
2
1
EE
4
26
222
KP
1.268. Tijelo mase 3 kg kreće se brzinom 2 m/s i sudara s elastičnom oprugom. Za oprugu vrijedi F = 100 N/m × x. a) Kolika je elastična potencijalna energija sadržana u opruzi kad ju je tijelo stisnulo za 0,1 m? b) Kolika je u tom času kinetička energija tijela mase 3 kg?
m = 3 [kg]v = 2 [m/s]F = 100 × xx = 0,1 [m]EP = ?, EK = ?
[ ]J5,0E
1,01002
1E
xk2
1E
m
N100k
P
2P
2P
=
××=
××=
=
[ ]
[ ]J5,5E
5,06E
EEE
J62
23E
2
vmE
K
K
PK
2
2
=−=−=
=×=
×=
1.269. Tijelo mase 0,5 kg smješteno je na horizontalnom stolu i pričvršćeno za elastičnu oprugu kojoj
je k = 50 N/m. Opruga titra, pri čemu se najviše rastegne odnosno stegne 0,1 m i vuče tijelo za sobom. Trenje po stolu možemo zanemariti. Kolika je najveća brzina tijela?
m = 0,5 [kg]k = 50 [N/m]x = 0,1 [m]v = ?
=×=
×=⇒××=××
=
s
m1
5,0
1,050v
m
xkvvm
2
1xk
2
1
EE
2
222
KP
1.270. Elastična opruga konstante k = 40 N/m visi vertikalno. Na njezinu kraju obješen je uteg mase 0,8 kg koji miruje. Uteg povučemo prema dolje 0,15 m. a) Do koje će se visine h uteg podići kad ga ispustimo? b) Kolika će biti njegova najveća brzina?
k = 40 [N/m]m = 0,8 [kg]x = 0,15 [m]h = ?, v = ?
[ ]m3,0h
15,02h
x2h
=×=×=
=×=
×=⇒××=××
=
s
m06,1
8,0
15,040v
m
xkvvm
2
1xk
2
1
EE
2
222
KP
10. KRUŽNO GIBANJE (1.271. - 1.299.)
1.271. Koliko okreta u sekundi izvrši čelni kotač lokomotive promjera 1,5 m pri brzini 72 km/h?
d = 1,5 [m]v = 72 [km/h] = 20 [m/s]f = ?
[ ]
[ ]Hz24,4235,0
1
T
1f
s235,020
5,1
v
dT
T
d
T
r2v
===
=π×=π×=
π×=π××=
1.272. Minutna kazaljka na nekom satu 3 puta je duža od sekundne. Koliki je omjer između brzina točaka na njihovim vrhovima?
r1 = 3 × r2
(v1 / v2) = ?
!
2
2
1
12
21
2
1
2
22
1
11
T
T3
v
v
Tr
Tr
v
v
T
r2v
T
r2v
×=
××
=
π××=
π××=
20
1
v
v
T60
T3
v
v
T60T
2
1
2
2
2
1
21
=
××
=
×=
1.273. Uteg mase 50 g privezan je na nit duljine 25 cm, koja kruži u horizontalnoj ravnini. Kolika je centripetalna sila koja djeluje na uteg ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi?
m = 50 [g] = 0,05 [kg]r = 25 [cm] = 0,25 [m]f = 2 [Hz]F = ?
=
×π××=
×π××=π××=
=
s
m14,3v
225,02v
fr2T
r2v
T
1f
[ ]N97,1F
25,0
14,305,0F
r
vmF
2
2
=
×=
×=
1.274. Bacač okreće kladivo na užetu dugačkome 2 m. a) Koliko je centripetalno ubrzanje kladiva ako se bacač okrene jedanput u 2/3 s? Koliku centripetalnu silu mora bacač proizvesti ako je masa kladiva 7 kg?
r = 2 [m]T = 2/3 [s]m = 7 [kg]a = ?, F = ?
s
m65,177
9
424
a
T
r4
r
va
2
2
22
=×π×=
×π×==
[ ]N57,1243F
65,1777F
amF
=×=×=
1.275. Tijelo mase 0,5 kg giba se po kružnici polumjera 50 cm frekvencijom 4 Hz. Odredi: a) obodnu brzinu tijela, b) akceleraciju i c) centripetalnu silu koja djeluje na tijelo.
m = 0,5 [kg]r = 50 [cm] = 0,5 [m]f = 4 [Hz]v = ?, a = ?, F = ?
a) b) c)
[ ]
=
π××=
π××=
== −
s
m57,12v
25,0
5,02v
T
r2v
s4
1
f
1T 1
=
=
=
2
2
2
s
m83,315a
5,0
57,12a
r
va
[ ]N91,157F
83,3155,0F
amF
=×=
×=
1.276. Tramvajski vagon mase 5 × 103 kg giba se po kružnom zavoju polumjera 128 m. Kolika horizontalna komponenta sile djeluje na tračnice pri brzini vagona 9 km/h zbog toga što se vagon giba?
m = 5 × 103 [kg]r = 128 [m]v = 9 [km/h] = 2,5 [m/s]F = ?
[ ]N14,244F128
5,2105F
r
vmF
23
2
=
××=
×=
1.277. Kojom se najvećom brzinom može kretati auto na zavoju ceste polumjera zakrivljenosti 150 m bez zanošenja ako je faktor trenja kotača po cesti 0,42 (g = 10 m/s2).
r = 150 [m]µ = 0,42v = ?
=
=××=
××µ=⇒××µ=×
=
h
km36,90
s
m1,251501042,0v
rgvgmr
vm
FF2
trCP
1.278. Kružna ploča okreće se oko vertikalne osi koja ploču probada kroz središte i stoji na njoj okomito. Frekvencija je okretanja 30 okreta u minuti. Na 20 cm udaljenosti od osi na ploči leži tijelo. Koliki mora biti najmanji faktor trenja između ploče i tijela da tijelo ne sklizne s ploče?
f = 30 [okr/min] = 0,5 [Hz]T = 1/0,5 = 2 [s]r = 20 [cm] = 0,2 [m]µ = ?
2,081,92
2,04
gT
r4gm
T
rm4
T
rm4
rT
r4m
r
vmF
FF
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
CP
trCP
=×
π××=µ
×π××=µ⇒××µ=π×××
π×××=
π×××=×=
=
1.279. Kolika mora biti brzina zrakoplova u lupingu polumjera 1 km da ni sjedište ni pojas ne čine na pilota nikakav pritisak kad se avion nalazi u najvišoj točki petlje?
r = 1 [km] = 1000 [m]v = ?
=×=
×=⇒×=×
=
s
m99100081,9v
rgvr
vmgm
FF2
CPg
1.280. Koliko bi trebao biti dugačak dan da tijela na ekvatoru ne pritišću na površinu Zemlje (rZ = 6370 km, g = 10 m/s2)?
rZ = 6370 [km] = 6370000 [m]T = ?
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]s30min23h1min58,83s75,501410
63700004T
g
r4T
T
rm4gm
FF
2
2
2
2
CPg
≈==π××=
π××=⇒π×××=×
=
1.281. Kojom se najmanjom brzinom mora okretati vedro s vodom u vertikalnoj ravnini da se voda ne prolijeva?
v = ?
grvr
vmgm
FF2
CPg
×=⇒×=×
=
1.282. Kablić s vodom privezan je na uže duljine 50 cm. Kojom najmanjom brzinom moramo vrtjeti kablić po krugu u vertikalnoj ravnini da nam voda iz kablića ne isteče?
r = 50 [cm] = 0,5 [m]v = ?
=×=
×=⇒×=×
=
s
m21,281,95,0v
grvr
vmgm
FF2
CPg
1.283. S koje visine h treba skotrljati kolica niz žlijeb da bi u produženju mogla izvršiti potpunu petlju polumjera r? Trenje možemo zanemariti.
r2
5h
r22
rh
r2g2
grh
r2g2
vhr2gm
2
vmhgm
grvr
vmgm
22
2
×=
×+=
×+××=
×+×
=⇒×××+×=××
×=⇒×=×
h
Av
r
1.284. Elektron se kreće po krugu polumjera 2,0 cm zbog djelovanja magnetske sile. Brzina kretanja je 3,0 ×106 m/s. Kojom bi se brzinom kretao proton po istom krugu kad bi na njega djelovala ista magnetska sila.
r = 2 [cm] = 0,02 [m]v = 3 × 106 [m/s]m = 9,11 × 10-31 [kg]m1 = 1,6726 × 10-27 [kg]v1
= ?
[ ]N104F
02,0
)103(1011,9F
r
vmF
16
2631
2
−
−
×=
×××=
×=
×=
×××=
×=⇒×
=
−
−
s
m107v
106726,1
02,0104v
m
rFv
r
vmF
41
27
16
1
11
211
1.285. Uteg privezan na nit duljine 30 cm opisuje u horizontalnoj ravnini kružnicu polumjera 15 cm. Koliko okreta u minuti izvrši uteg pri kruženju?
l = 30 [cm] = 0,3 [m]r = 15 [cm] = 0,15 [m] f = ?
[ ]
=
××=
=×
=×
×
==
−=
s
m92,0v
81,915,026,0
15,0v
26,0
15,0
gr
v
26,0
15,0
gmr
vm
26,0:15,0G:F
m26,0a
15,03,0a
2
2
2
CP
22
[ ]
[ ]
=
×=×=
===
=π××=
π××=⇒π××=
min
okr66,58f
60978,060ff
Hz978,0023,1
1
T
1f
s023,192,0
15,02T
v
r2T
T
r2v
1
1
1.286. Za koliki se kut otkloni centrifugalni regulator ako je štap na kojemu je uteg učvršćen dugačak 200 mm, a regulator se okrene 90 puta u minuti?
l = 200 [mm] = 0,2 [m]f1 = 90 [okr/min]α = ?
l
rN
GF C P
a
[ ]
[ ]
α×=⇒=α
===
===
sinlrl
rsin
s67,05,1
1
f
1T
Hz5,160
90
60
ff 1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
CP
48,56
5522,02,04
81,967,0
l4
gTcos
gT
sinl4
cos
sin
gT
sinl4
gT
r4tg
grT
r4
gr
v
gmr
mv
G
Ftg
=α
=π××
×=π××
×=α
×π×α××=
αα
×π×α××=
×π××=α
×
π××
=×
=×
==α
1.287. Na rubu kružne ploče koja se jednoliko okreće oko svoje osi visi njihalo koje se namjesti pod kutom α = 450 prema vertikali. Udaljenost od objesišta njihala do središta ploče je d = 10 cm, a duljina njihala l = 6 cm. Odredi brzinu kojom kuglica kruži.
l
Gr
F C P
α
α
α = 450
d = 10 [cm] = 0,1 [m]l = 6 [cm] = 0,06 [m]v = ?
m
rFv
r
vmF
sinldrl
drsin
tgGFG
Ftg
CP22
CP
CPCP
×=⇒×=
α×+=⇒−=α
α×=⇒=α
=
×+××=
α×+×α×=
α×+×α××=
s
m18,1v
)45sin06,01,0(45tg81,9v
)sinld(tggv
m
)sinld(tggmv
00
2
d
r
l
F C P
G
α
α
1.288. Biciklist vozi brzinom 18 km/s. Koji najmanji polumjer zakrivljenosti može on opisati ako se nagne prema horizontalnom podu za kut 600.v = 18 [km/h] = 5 [m/s]α = 600
r = ?
[ ]m4,4r
30tg81,9
5
)90(tgg
vr
)90(tggmr
vm
)90(tgGF
0
2
0
2
02
0CP
=×
=α−×
=
α−××=×
α−×=
1.289. Vlak se giba po kružnom zavoju polumjera 800 m brzinom 72 km/h. Odredi za koliko mora vanjska tračnica biti viša od unutarnje ako je razmak tračnica 75 cm (g = 10 m/s2)?r = 800 [m]v = 72 [km/h] = 20 [m/s]l = 75 [cm] = 0,75 [m]x = ?
6 00
3 00G
F C P
[ ] [ ]mm4,37m0374,086,2sin75,0x
sinlxl
xsin
86,205,010800
20tg
gr
v
gmr
vm
G
Ftg
02
2
2
CP
==×=
ϕ×=⇒=ϕ
=ϕ⇒=×
=ϕ
×=
×
×
==ϕ
1.290. Na zavoju polumjera 50 m cesta je tako građena da auto može voziti brzinom 20 m/s neovisno o trenju. Koliki mora biti nagib ceste na tom zavoju?
r = 50 [m]v = 20 [m/s]α = ?
02
2
2
CP
197,398154,081,950
20tg
gr
v
gmr
vm
G
Ftg
=α⇒=×
=α
×=
×
×
==α
1.291. Na kružnom zavoju polumjera 100 m cesta je nagnuta prema unutrašnjoj strani zavoja 100. Na koju je brzinu proračunan zavoj?
r = 100 [m]α = 100
F C P
G
φ
φl
x
F C P
G
N
α
α
v = ?
=
=
××=××α=
×=
×
×
==α
h
km35,47
s
m15,13v
81,910010tggrtgv
gr
v
gmr
vm
G
Ftg
0
2
2
CP
1.292. Automobil mase 1 t vozi preko mosta brzinom 45 km/h. Nađi kolikom silom djeluje na most ako se pod pritiskom automobila most iskrivi i čini kružni luk polumjera 800 m.
m = 1 [t] = 1000 [kg]v = 45 [km/h] = 12,5 [m/s]r = 800 [m]F = ?
[ ]N10005800
5,12100081,91000F
r
vmgmF
FGF
2
2
CP
=×+×=
×+×=
+=
1.293. Automobil se diže po izbočenome mostu u obliku luka kružnice polumjera 40 m. Koliko je najveće moguće horizontalno ubrzanje koje može postići auto na vrhu mosta ako tamo ima brzinu 50,4 km/h? Faktor trenja između automobila i mosta jest 0,6.
r = 40 [m]v = 50,4 [km/h] = 14 [m/s]µ = 0,6a = ?
r
vmgmF
Fgmr
vm
FGF
2
N
N
2
NCP
×−×=
−×=×
−=
=
−×=−×µ=
×−××µ=
×µ=
×µ=×
2
22
2
N
N
s
m95,2a
)40
1481,9(6,0)
r
vg(a
m
)r
vmgm(
m
Fa
Fam
1.294. Automobil prelazi preko izbočenog mosta u obliku kružnog luka brzinom v = 180 km/h. Koliki je polumjer zakrivljenosti mosta ako je na vrhu mosta sila kojom automobil djeluje na most jednaka polovini težine automobila?
v = 180 [km/h] = 50 [m/s]FN = (G/2)r = ?
2
gm
2
GF
2
GGF
FGF
CP
CP
NCP
×==
−=
−=
[ ]m7,509r
81,9
502
g
v2r
2
gm
r
vm
22
2
=
×=×=
×=×
1.295. Pod utjecajem sile teže maleno tijelo s vrha kuglaste kupole polumjera r klizi po njezinoj vanjskoj površini. Na kojoj će vertikalnoj udaljenosti od početnog položaja tijelo napustiti kupolu? Trenje zanemarimo.
l = ?
r
r - l
l
G 1
Gα
α
r
lrcos
lg2v
cosGG
Gr
vm
2
1
1
2
−=α
××=
α×=
=×
3
rl
rl3r
lr
r
l2r
lrgm
r
lg2m
=
=×
−=×
−××=×××
1.296. Akrobat u automobilu vozi po horizontalnom krugu na unutrašnjoj stijeni plašta uspravnog valjka (zid smrti). Koliki mora biti najmanji faktor trenja µ između kotača i uspravne stijene da automobil pri brzini v ne padne sa stijene? Polumjer valjka neka je r.
µ = ?
2
2
CP
tr
CPNtr
2
CPN
v
rgr
vmgm
Fgm
FG
FFFr
vmFF
×=µ
××µ=×
×µ=×=
×µ=×µ=
×==
1.297. Uteg mase 100 g obješen je na niti i njiše se uz najveći otklon α = 600 na obje strane. Koliko je nategnuta nit pri otklonu ß = 300 od vertikale?
m = 100 [g] = 0,1 [g]α = 600
ß = 300
N = ?
hg2v
coslcoslh
cosGGG
Gcos
FGN
2
11
CP1
××=α×−β×=
β×=⇒=β
+=
[ ]N57,1N
)60cos30(cos81,921,030cos81,91,0Nl
)cos(coslg2mcosgmN
l
vmcosgmN
000
2
=−×××+××=
α−β××××+β××=
×+β××=
l
hA
GG 1
αβ
1.298. Na tankoj niti visi kuglica mase 100 g. Najveća napetost koju nit može izdržati iznosi 1,96 N. Odredi najmanji kut α do kojega moramo otkloniti kuglicu na niti da bi nit pukla u času kad kuglica prolazi položajem ravnoteže. Koliku bi čvrstoću nit morala imati da ne pukne ni onda kad kuglicu otklonimo 900?
m = 100 [g] = 0,1 [kg]N = 1,96 [N]α 1 = 900
α = ?, N1 = ?
hg2v
cosllh2 ××=
α×−=
0
2
CP
93,59501,0cos
81,91,02
96,15,1cos
mg2
N
2
11cos
Nmgmg2cosmg2
gmN)cos1(gm2
gmNl
)cos1(lg2m
gmNl
vm
GNF
=α⇒=α××
−=α
−+=α
−+=α×−=α−×××
×−=α−××××
×−=×
−=
hA
α
l
[ ]N943,2N
81,91,0)90cos1(81,91,02N
mg)cos1(mg2N
mgl
)cos1(mgl2N
mgl
mvN
GFN
1
01
11
11
2
!
CP1
=×+−×××=
+α−×=
+α−×
=
+=
+=
1.299. Kamen privezan o nit dugu 80 cm vrtimo u vertikalnoj ravnini tako da učini 3 okreta u sekundi. Na koju će visinu odletjeti kamen ako nit pukne upravo u trenutku kad je brzina kamena usmjerena vertikalno gore.
r = 80 [cm]f = 3 [Hz]h = ?
=
×π××=
×π××=π××=
s
m08,15v
38,02v
fr2T
r2v
[ ]m59,11h
81,92
08,15h
g2
vh
hgm2
vm
EE
2
2
2
PK
=×
=
×=
××=×
=
11. MOMENT SILE (1.300. - 1.319.)
1.300. Na obod kotača vagona djeluje sila kočenja 75 N. Koliki je moment te sile ako je polumjer kotača 0,5 m?
F = 75 [N]r = 0,5 [m]M = ?
[ ]N5,37M
755,0M
FrM
=×=
×=
1.301. Francuskim ključem odvijamo maticu. Duljina ručke ključa jest 300 mm. Koliki je moment sile ako zakrećemo: a) kraj ručke silom 40 N okomito na duljinu ručke, b) ručku na njezinoj polovici
istom silom okomito na duljinu ručke, c) kraj ručke silom 40 N koja s ručkom čini kut 300, d) ručku na njezinoj polovici silom 40 N koja s ručkom čini kut 300?
l1 = 300 [mm] = 0,3 [m]F = 40 [N]α = 300
M = ?
a) b) c) d)
[ ]Nm12M
403,0M
FlM 1
=×=
×=
[ ]Nm6M
4015,0M
FlM 2
=×=
×=
[ ]
[ ]Nm6M
4015,0M
m15,05,03,0l
30sin3,0l
sinll
FlM
3
03
13
3
=×=
=×=×=
α×=×=
[ ]
[ ]Nm3M
40075,0M
m75,05,015,0l
30sin15,0l
sinll
FlM
4
04
24
4
=×=
=×=×=
α×=×=
1.302. Koljenasta poluga ima oblik kao na slici te se može okretati oko točke B. U točki A djeluje sila F = 20 N. Kolika je veličinom najmanja sila kojom u točki D možemo držati polugu u ravnoteži i koji joj je smjer?
α α
F 1F 2
F 3F 4
l 1
l3
l4
F = 20 [N]F1 = ?
[ ]N1,14F2
220F
2
2FF
2
FF2lFlF
1
1
1
11
=
×=
×=
=⇒××=×
2l ×
A B
C D
l
l
l
2l ×
1.303. Sanduk visine 2 m stoji na horizontalnom podu svojim podnožjem dimenzija 1 m × 1 m. S bočne strane na njega puše vjetar i tlači ga 300 N/m2. Hoće li vjetar prevrnuti sanduk mase 100 kg?
h = 2 [m]B = 1 × 1 = 1 [m2]p = 300 [N/m2]m = 100 [kg]
- moment zbog vjetra - moment zbog sile teže oko točke A: oko točke A:
[ ]
[ ]Nm600M2
2600M
2
hFM
N600F
2300F
SpF
=
×=
×=
=×=
×=
[ ]
[ ]
[ ]Nm5,490M
5,0981M
m5,02
1k
kGM
N981G
81,9100G
gmG
=×=
==
×==
×=×=
Sanduk će se prevrnuti, jer je moment sile vjetra veći od momenta sile teže.
1.304. Na krajevima 14 cm dugačke poluge drže međusobno ravnotežu dva tijela masa 2 kg i 3,6 kg. Nađi duljine krakova poluge ako njezinu masu zanemarimo.
l = 14 [cm]m1 = 2 [kg]m2 = 3,6 [kg]k1 = ?, k2 = ?
T
G
F
A
21
12
1221
22211
2221
2211
2121
mm
lmk
lmk)mm(
kmkmlm
km)kl(m
kmkm
klkkkl
+×=
×=×+×=×−×
×=−××=×
−=⇒+=
[ ]
[ ]cm9k
514k
cm5k
6,32
142k
1
1
2
2
=−=
=+×=
1.305. Na dasci dugačkoj 5 m mase 40 kg njišu se dva dječaka od 25 i 45 kg. Na kojemu mjestu treba dasku poduprijeti ako dječaci sjede na njezinim krajevima?
l = 5 [m]m = 40 [kg]m1 = 25 [kg]m2 = 45 [kg]k1 = ?, k2 = ?
lmm2
mm
k
)2
mm(lk)mm(
km2
lmkmlm
km2
lm)kl(m
km2
lmkm
klkkkl
21
1
2
1221
22211
2221
2211
2121
×+
+=
+×=×+
×=×+×−×
×=×+−×
×=×+×
−=⇒+=
[ ]
[ ]m357,4k
643,05k
m643,0k45252
4025
k
1
1
2
2
=−=
=+
+=
1.306. Drvena greda mase 40 kg i duljine 2 m obješena je 45 cm daleko od jednoga svojeg kraja. Kolikom će silom drugi kraj pritiskivati na našu ruku ako gredu držimo u horizontalnom položaju?
m = 40 [kg]l = 2 [m]k1 = 45 [cm]F = ?
F
G
r 1
r 20 , 4 5 m
O
[ ][ ]
2
121
2
1
r
rGFrFrG
m55,145,0245,0lr
m55,045,02
245,0
2
lr
×=⇒×=×
=−=−=
=−=−=
[ ]N24,139F
55,1
55,081,940F
r
rgmF
2
1
=
××=
××=
1.307. Metarski štap položen je na dasku stola tako da četvrtinom duljine viri izvan stola. Najveći uteg m1, koji možemo objesiti na vanjski kraj štapa a da se pritom štap ne preokrene, jest uteg od 250 g. Kolika je masa štapa?
l = 1 [m]k1 = (l/4) =0,25 [m]m1 = 250 [g]m = ?
[ ]
2
11211
2
12
k
kmmkmkm
m25,025,05,0k
k2
lk
×=⇒×=×
=−=
−=
[ ] [ ]kg25,0g250m
25,0
25,0250m
==
×=
1.308. Greda mase 150 kg uzidana je te se opire o točke A i B kao na slici. Na njezinu drugom kraju C obješen je teret 150 kg. Pretpostavimo da točke A i B nose sav teret. Kolike su sile koje djeluju na te točke ako su AC = 1,5 m i AB = 0,5 m ( g = 10 m/s2).
m = 150 [kg]m1 = 150 [kg]AC = 1,5 [m]AB = 0,5 [m]FA = ?, FB = ?
[ ]N6000F
5,0
5,1101505,010150F
AB
ACgmADgmF
ACGADGABF
A
A
1A
1A
=
××+××=
××+××=
×+×=×
[ ]N9000F
5,0
210150110150F
AB
BCgmBDgmF
BCGBDGABF
B
B
1B
1B
=
××+××=
××+××=
×+×=×
1.309. Na tijelo koje ima učvršćenu os djeluju dvije sile F1 = 50 [N] i F2 = 30 [N] u smjeru obrnutom od kazaljke na satu i dvije sile F3 = 20 N i F4 = 60 N u smjeru kazaljke na satu. Krakovi odgovarajućih sila jesu l1 = 50 cm, l2 = 25 cm, l3 = 75 cm i l4 =20 cm. a) U kojem će se smjeru zakrenuti tijelo? b) Koliki moment mora imati sila koja bi mogla tijelu vratiti ravnotežu?
F1 = 50 [N]F2 = 30 [N]F3 = -20 [N]F4 = -60 [N]l1 = 50 [cm]l2 = 25 [cm]l3 = 75 [cm]l4 = 20 [cm]
A
B CD
GG 1
a) b)
[ ]Nm3250M
25305050M
lFlFM
1
1
22111
=×+×=
×+×=
[ ]Nm2700M
20)60(7520M
lFlFM
2
2
44332
−=×−+×−=
×+×=
[ ]Nm550M
27003250M
MMM 21
=−=
−=
- tijelo se zakreće u smjeru obrnutom od kazaljke na satu, jer je M1 > M2
1.310. Željezna šipka mase 10 kg, duljine 1,5 m, leži na sanduku tako da s lijeve strane sanduka strši 0,4 m svoje duljine, a s desne strane 0,6 m. Kojom silom F1 treba dizati lijevi kraj šipke da bismo je podigli, a kojom silom F2 desni kraj?
m = 10 [kg]l = 1,5 [m]l1 = 0,4 [m]l2 =0,6 [m]F1 = ?, F2 = ?
[ ]
[ ][ ]N35,16
9,0
15,081,910F
m9,06,05,1llCB
m15,06.075,0l2
lEB
CB
EBGF
EBGCBF
1
2
2
1
1
=××=
=−=−=
=−=−=
×=
×=×
[ ]
[ ]N2,311,1
35,081,910F
35,04,075,0l2
lAE
m1,14,05,1llAD
AEGADF
2
1
1
2
=××=
=−=−=
=−=−=
×=×
12. ROTACIJA KRUTOG TIJELA (1.320. - 1. 350.)
1.320. Izrazi: a) 30 ophoda radijanima, b) 84π radijana ophodima, c) 50 op/s u rad/s, d) 2100 op/min u rad/s, e) rad/s u 0/s (stupnjevima u sekundi).
l 1 l 2
F 1 F 2A BC D
G
E
a)
1 ophod = 2π radijana 30 × 2π = 60π rad
b)
op 422
84 =π
c)
50 × 2 = 10050 op/s = 100π rad
d)
s
rad70
s
op35
70235s
op35
60
2100
min
op2100
π=
=×
==
e)
0
0
180rad 1
180rad
π=
=π
1.321. Kuglica koja visi na niti duljine 50 cm opisala je luk 20 cm. Nađi pripadni kut α , izražen u radijanima i stupnjevima, što ga je opisala nit njihala.
r = 50 cm = 0,5 ml = 20 cm = 0,2 mα = ? r α
lrad 13,0
18091,2291,22
63452291,22
5,0
1802,0
r
180l
180
rl
0
0
00
0
0
0
π=π⋅=
′′′==απ⋅
⋅=α
π⋅⋅=α⇒α⋅π⋅=
1.322. Kotač bicikla ima polumjer 36 cm. Kojom se brzinom kreće biciklist ako kotač učini 120 okreta u minuti?
r = 36 cm = 0,36 mf = 120 okr/minv = ?
s
m 52,436,04rv
s
rad 422f2
Hz 260
120
60
nf
=⋅π=⋅ω=
π=⋅π⋅=⋅π⋅=ω
===
1.323. Na horizontalnoj ploči, koja se može okretati oko vertikalne osi, miruje tijelo na udaljenosti 2 m od središta ploče. Ploča se počinje okretati tako da joj brzina postupno raste. Koeficijent trenja između tijela i ploče iznosi 0,25. Odredi kutnu brzinu kojom se mora ploča okretati da bi tijelo upravo počelo kliziti s ploče.
r = 2 mµ = 0,25ω = ?
r
s
rad 1,1
2
81,925,0
r
g
gmrm
FF2
TRCP
=ω
⋅=ω
⋅µ=ω
⋅⋅µ=⋅ω⋅
=
1.324. Na površini Zemlje učvršćen je pomoću šarke lagani štap duljine l1 u vertikalnom položaju. Na njemu su učvršćene dvije kugle masa m1 i m2. Kugla mase m1 nalazi se na gornjem kraju štapa, a kugla mase m2 na udaljenosti l2 od donjeg kraja štapa. Masu štapa možemo zanemariti u odnosu prema masi kugala. Kolika je brzina kugle mase m1 kad
padne na Zemlju ako je štap počeo padati brzinom 0?
v1 = ?
l 1
l 2
m 1
m 2
21
22
21
22111
221121
22
2121
221121
222
12
211
1
212
2
2
1
1
21
2
22
1
11
2211
221
211
2P1P2K!K
l
lmm
)lmlm(g2v
)lmlm(g2l
lmmv
lgmlgml
lv
2
m
2
vm
l
lvv
l
v
l
v
l
v
l
v
hgmhgm2
vm
2
vm
EEEE
⋅+
⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅
⋅=⇒=
ω=ω
=ω=ω
⋅⋅+⋅⋅=⋅
+⋅
+=+
1.325. Kotač zamašnjak jednoliko povećava brzinu okretaja te nakon 10 sekundi ima 720 okreta u minuti. Izračunaj kutnu akceleraciju i linearnu akceleraciju točke koja je 1 metar udaljena od središta zamašnjaka.
t = 10 sf = 720 okr/minr = 1mα = ?a = ?
22
2
s
m 54,7
s
m 4,2
10
24
t
va
s
m 24124rv
s
rad 4,2
10
24
t
s
rad 24122f2
Hz 1260
720f
=π=π==
π=⋅π=⋅ω=
π=π=ω=α
π=⋅π⋅=⋅π⋅=ω
==
1.326. Oko nepomične koloture polumjera 20 cm namotana je nit na kojoj visi uteg. Uteg najprije miruje, a onda počinje padati akceleracijom 2 cm/s2 pri čemu se nit odmotava. Nađi kutnu brzinu koloture u času kad je uteg prešao put 100 cm.
r = 20 cm = 0,2 ma = 2 cm/s2 = 0,02 m/s2
s = 100 cm = 1 mω = ?
s
m 2,01002,0v
tavt
va
s 1002,0
12t
a
s2tt
2
as 2
=⋅=
⋅=⇒=
=⋅=
⋅=⇒⋅=
s
rad 1
2,0
2,0r
vrv
==ω
=ω⇒⋅ω=
1.327. Kotač se vrti stalnom akceleracijom 8 rad/s2. Koliko okreta učini u 5 sekundi?
α = 8 rad/s2
t = 5 sn = ?
s
rad4058
tt
=⋅=ω
⋅α=ω⇒ω=α
okreta 16n
52
6,4t
2
fn
Hz 4,62
40f
f2
=
⋅=⋅=
=π⋅
=
⋅π⋅=ω
1.328. Kotač zamašnjak okreće se brzinom 98 okr/min. Dvije minute pošto je isključen stroj koji ga je pokretao stroj se zaustavio. Izračunaj kojom se kutnom akceleracijom zaustavljao kotač i koliko je okreta učinio za vrijeme zaustavljanja. Pretpostavimo da je zaustavljanje bilo jednoliko usporeno.
f = 98 okr/mint = 2 min = 120 sα = ?n = ?
2s
rad 085,0
120
26,10
t
s
rad 10,26
31.62f2
Hz 36,160
98f
==ω=α
=ω
⋅π⋅=⋅π⋅=ω
==
okreta 98n
1202
36,1n
t2
fn
=
⋅=
⋅=
1.329. Na kotač polumjera 0,72 m, momenta tromosti 4,8 kgm2, djeluje tangencijalno na rub stalna sila 10 N. Nađi: a) kutnu akceleraciju, b) kutnu brzinu na kraju četvrte sekunde, c) broj okreta za vrijeme te četiri sekunde, d) pokaži da je rad koji moramo uložiti u rotaciju kotača jednak kinetičkoj energiji koju kotač ima na kraju četvrte sekunde.
r = 0,72 mI = 4,8 kgm2
F = 10 Nt = 4 sα = ?ω = ?n = ?W = EK
a)
2s
rad 5,1
8,4
1072,0I
fr
FrM
I
M
=α
⋅=α
⋅=α
⋅=
=α
b)
s
rad 6
45,1
tt
=ω
⋅=ω
⋅α=ω⇒ω=α
c)
Hz 95,0f2
6f
2ff2
=π⋅
=
π⋅ω=⇒⋅π⋅=ω
d)
J 4,86EW2
68,4EW
2
IEW
K
2
K
2
K
==
⋅==
ω⋅==
1.330. Rotor motora ima moment tromosti 6 kgm2. Koliki stalni moment sile mora djelovati na rotor da bi povećao brzinu rotora od 120 okr/min na 540 okr/min u vremenu 6s?
I = 6 kgm2
n1 = 120 okr/minn2 = 540 okr/mint = 6 sM = ?
Hz 960
540
60
nf
Hz 260
120
60
nf
22
11
===
===
Nm 1463
7M
IMs
rad
3
7
6
14
6
418
6t
s
rad 1892f2
s
rad 422f2
212
22
11
π=⋅π=
⋅α=
π=π=π−π=ω−ω
=∆ω∆=α
π=⋅π⋅=⋅π⋅=ω
π=⋅π⋅=⋅π⋅=ω
1.331. Kako se mijenja kutna akceleracija kružne ploče na koju djeluje stalni zakretni moment ako pri istoj masi povećamo njezin polumjer dva puta?
M = M1 = M2
r2 = 2r1
?1
2 =αα
I
M
rm2
1I 2
=α
⋅⋅=
12
21
21
1
2
22
21
22
21
2
1
1
2
22
11
4
1
4
1
)r2(
r
r
r
2
rm2
rm
I
I
I
M
I
M
α⋅=α
=⋅
=αα
=⋅
⋅
==αα
=α=α
Kutna akceleracija postaje 4 puta manja.
1.332. Kružna se ploča, promjera 1,6 m i mase 490 kg, vrti i čini 600 okr/min. Na njezinu oblu površinu pritišće kočnica silom 196 N. Faktor trenja kočnice o ploču jest 0,4. Koliko će okretaja učiniti ploča dok se ne zaustavi?
d = 1,6 m ⇒ r = 0,8 mm = 490 kgf = 600 okr/min = 10 HzFP = 196 Nµ = 0,4n = ?
2
ptr
2
2
2
s
rad 4,0
8,156
72,62
I
M
Nm 72,628,01964,0M
rFrFM
kgm 8,156I
8,04902
1I
rm2
1I
===α
=⋅⋅=
⋅⋅µ=⋅=
=
⋅⋅=
⋅⋅=
s 1574,0
83,62t
tt
s
rad 83,62102
f2
==
αω=⇒ω=α
=⋅π⋅=ω
⋅π⋅=ω
okreta 785n
1572
10n
t2
fn
=
⋅=
⋅=
1. 333. Homogeni štap dug 1 m, mase 0,5 kg, okreće se u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi koja prolazi sredinom štapa. Koliku će kutnu akceleraciju imati štap ako je zakretni moment 9,8 × 10-2 Nm?
l = 1 mm = 0,5 kgM = 9,8 × 10-2
α = ?2
2
222
s
rad 352,2
6041,0
108,9
I
M
kgm 6041,012
15,0
12
lmI
=⋅==α
=⋅=⋅=
−
1.334. Valjak mase 100 kg, polumjera 0,1 m, okreće se oko svoje osi. Koliki mora biti zakretni moment da bi se valjak vrtio kutnom akceleracijom 2 rad/s2?
m = 100 kgr = 0,1 mα = 2 rad/s2
M = ?
2
2
2
kgm 5,0I
2
1,0100I
2
rmI
=
⋅=
⋅=
Nm 1M
5,02M
IM
=⋅=⋅α=
1.335. Zamašnjak ima oblik kružne ploče, masu 50 kg i polumjer 0,2 m. Zavrtjeli smo ga do brzine 480 okr/min i zatim prepustili samome sebi. Pod utjecajem trenja on se zaustavio. Koliki je moment sile trenja ako pretpostavimo da je trenje stalno i ako se zamašnjak zaustavio nakon 50 sekundi?
m = 50 kgr = 0,2 mf = 480 okr/mint = 50 sMtr = ?
2
2
2
kgm 1I
2
2,050I
2
rmI
=
⋅=
⋅=
s
rad 26,50
60
4802
f2
=ω
⋅π⋅=ω
⋅π⋅=ω
2s
rad 1
50
26,50t
=α
=α
∆ω∆=α
Nm 1M
11M
IM
=⋅=⋅α=
1.336. Na zamašnjak polumjera 1m djeluje zakretni moment 392 Nm. Koliku masu mora imati zamašnjak da bi uz zadani moment dobio kutnu akceleraciju 0,4 rad/s2? Masa zamašnjaka raspoređena je po njegovu obodu.
r = 1mM = 392 Nmα = 0,4 rad/s2
m = ? 2kgm 9804,0
392I
MIIM
==
α=⇒⋅α=
kg 980m1
980m
r
ImrmI
2
2
2
=
=
=⇒⋅=
1.337. Koliki je moment tromosti Zemljine kugle ako uzmemo da su srednji polumjer Zemlje 6400 km i srednja gustoća 5,5 × 103 kg/m3?
r = 6400 km = 6,4 × 106 mρ = 5,5 × 103
kg/m3
I = ?( )
321
36
3
m 10098,1V
104,63
4V
r3
4V
⋅=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅=
kg 1004,6m
10098,1105,5m
Vm
24
213
⋅=
⋅⋅⋅=⋅ρ=
( )237
2624
2
kgm 109,9I
104,61004,65
2I
rm5
2I
⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
1.338. Na učvršćenu koloturu polumjera 0,5 m omotana je nit na kraju koje je učvršćen uteg mase 10 kg. Nađi moment tromosti koloture ako uteg pada akceleracijom 2,04 m/s2.
r = 0,5 mm = 10 kga = 2,04 m/s2
I = ?Nm 05,49M
81,9105,0M
gmrM
FrM
=⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
2s
rad 08,4
5,0
04,2r
a
ra
=α
=α
=α
α⋅=
2kgm 02,12I
08,4
05.49I
MI
IM
=
=
α=
⋅α=
1.339. Moment tromosti kotača promjera 0,2 m jednak je 192,08 Nms2. Na kotač djeluje stalan zakretni moment 96,04 Nm. Nađi kutni brzinu, kutnu akceleraciju i linijsku brzinu točke na obodu kotača nakon 30 sekundi. Početna je brzina kotača 0.
? v , ,
s sm v
Nm
Nms 192,08I
m 0,1rm
0
2
=αω=
=
==
=⇒=
30t
0
04,96M
2,0d
2s
rad 5,0
08,192
04,96I
M
=α
=α
=α
s
rad15
305,0
t
=ω
⋅=ω⋅α=ω
sm 5,1v
151,0v
rv
=
⋅=ω⋅=
1.340. Željezna valjkasta osovina polumjera 0,15 m, duljine 2m, vrti se 300 okr/min. Nađi moment tromosti i kinetičku energiju osovine.
r = 0,15 mρ = 7900 kg/m3
l = 2 mn = 300 okr/minI = ?, EK
= ?
kg 8,1116m
215,07900m
lrm
Vm
2
2
=⋅π⋅⋅=
⋅π⋅⋅ρ=
⋅ρ=
2kgm 56,12I
15,08,11162
1I
rm2
1I
2
2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
Hz 5f60
300f
60
nf
=
=
=
srad 4,31
52
f2
=ω
⋅π⋅=ω⋅π⋅=ω
J 6192E2
14,356,12E
2
IE
2
2
=
⋅=
ω⋅=
1.341. Bakrena kugla polumjera 10 cm vrti se oko osi koja prolazi središtem te učini dva ophoda u sekundi. Koliki rad treba utrošiti da bismo joj kutnu brzinu podvostručili?
r = 10 cmρ = 8900 kg/m3
f = 2 Hzω 2 = 2ω 1
W = ∆ E = ?
kg 28,37m
1.03
48900m
r3
4m
Vm
3
3
=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅⋅ρ=
⋅ρ=
2kgm 149,0I
1,028,375
2I
rm5
2I
2
2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
srad
srad
13,25
56,122
2
56,12
22
f2
2
2
12
1
1
1
=ω
⋅=ωω⋅=ω
=ω
⋅π⋅=ω⋅π⋅=ω
J
EEW
J
E
J
2
2
3,35W
75,1106,47W
EΔ
06,47E2
13,25149,0E
2
I
75,11E2
56,12149,0E
2
IE
1
2
2
2
22
1
2
1
21
1
=−=
−===
⋅=
ω⋅=
=
⋅=
ω⋅=
1.342. Tane mase 360 kg giba se brzinom 800 m/s i vrti 5250 okr/min. Odredi koji dio ukupne energije gibanja čini energija rotacije. Moment tromosti iznosi 4,9 kgm2.
m = 360 kgv = 800 m/sn = 5250 okr/minI = 4,9 kgm2
ER/EUK = ?
srad 549,78
87,52
f2
Hz
=ω
⋅π⋅=ω⋅π⋅=ω
==
=
5,8760
5250f
60
nf
J
E
J
R
740528E2
78,5499,4E
2
I
115200000E2
800360E
2
vmE
R
2
R
2
K
2
K
2
K
=
⋅=
ω⋅=
=
⋅=
⋅=
%64,0
0064,0115940528
740528
115940528E
740528115200000E
EEE
UK
UK
RKUK
=
==
=+=
+=
UK
R
UK
R
E
E
E
E
J
1.343. Obruč i puni valjak imaju jednaku masu 2 kg i koturaju se jednakom brzinom 5 m/s. Nađi kinetičke energije obaju tijela.
m1 = m2 = 2 kgv1 = v2 = 5 m/sEK1, EK2 = ?
J 50E
52E
vmE
2
vm
2
vmE
2
vm
2
r
vrm
E
2
vm
2
IE
1K
21K
2111K
211
211
1K
211
21
212
11
1K
211
211
1K
=⋅=
⋅=
⋅+
⋅=
⋅+
⋅⋅=
⋅+
ω⋅=
J 5,37E
524
3E
vm4
3E
2
vm
4
vmE
2
vm
2
r
v
2
rm
E
2
vm
2
IE
2K
22K
2222K
222
222
2K
222
22
22
222
2K
222
222
2K
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅⋅
=
⋅+ω⋅=
1.344. Izračunaj kinetičku energiju valjka promjera 0,3 m, koji se vrti oko svoje osi, ako mu je masa 2 × 103 kg i učini 200 ophoda u minuti.
?
33,360
200
60
nf
3,0d
=
===⇒=
⋅==⇒=
K
3
E
Hz minokr
200n
kg 102m
m 0,15rm
2kgm 5,22I
2
15,02000I
2
rmI
2
22
=
⋅=
⋅=
srad 21
33,32
f2
=ω
⋅π⋅=ω⋅π⋅=ω
J 25,4961E2
215,22E
2
IE
K
2
K
2
K
=
⋅=
ω⋅=
1.345. Kružna ploča polumjera 1m i mase 196 kg kotrlja se po horizontalnoj površini, pri čemu je brzina njezine osi 4 m/s. Nađi ukupnu energiju gibanja ploče.
r = 1 mm = 196 kgv = 4 m/sEUK = ?
2kgm 98I
2
1196I
2
rmI
2
2
=
⋅=
⋅=
srad 4
1
4r
v
=ω
=ω
=ω
J 2352E2
4196
2
498E
2
vm
2
IE
EEE
UK
22
UK
22
UK
KRUK
=
⋅+⋅=
⋅+ω⋅=
+=
1.346. Niz kosinu kotrljaju se kugla, valjak i obruč. a) Nađi linijsko ubrzanje središta tih tijela. b) Kolika je akceleracija ako se tijela skližu niz kosinu bez trenja? Kut nagiba kosine je 300, a početna brzina tijela 0 (g = 10 m/s2).
α
s h
α = 300
g = 10 m/s2
a) kotrljanje niz kosinu:
2
2
2
2
2
2
22
RKP
r
Im
singma
r
Imasingm
r2
sa2Isamsinsgm
2r
sa2I
samsinsgm
2r
vI
2
sa2msinsgm
2
I
2
vmhgm
EEE
+
α⋅⋅=
+⋅=α⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=α⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅=α⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅=α⋅⋅⋅
ω⋅+⋅=⋅⋅
+=
2
2
2
sm
sm
sm
5,22
30sin10
11
sing
r
rmm
singma.)3
3,3
2
330sin10
2
11
sing
r2
rm
m
singma.)2
5,3
5
730sin10
5
21
sing
r
rm5
2
m
singma.)1
0
2
2
0
2
2
0
2
2
=⋅=+
α⋅=⋅+
α⋅⋅=
=⋅=+
α⋅=⋅
+
α⋅⋅=
=⋅=+
α⋅=⋅⋅
+
α⋅⋅=
b) klizanje niz kosinu:
za sva tri tijela vrijedi:
α⋅=⋅⋅=α⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=α⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅
=
singa
samsinsgm2
sa2msinsgm
2
vmhgm
EE2
KP
2sm
5a
30sin10a 0
=
⋅=
1.347. Kugla se kotrlja niz kosinu nagiba 300. Odredi vrijeme gibanja kugle ako se njezino središte spustilo za 20 cm. Trenje se može zanemariti.
α
l h
α = 300
h = 20 cmt = ?
2sm
5,3a
30sin81,97
5a
sing7
5a
singt14
5t
2
a
singt14
5l
sinlg7
10
t
l4
0
22
2
2
2
=
⋅⋅=
α⋅⋅=
α⋅⋅⋅=⋅
α⋅⋅⋅=
α⋅⋅⋅=⋅
tl2
v 2a
l , ⋅=⇒⋅=⋅=
α⋅=
⋅⋅=
⋅=⋅
⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅
⋅ω+⋅=
+=
2
2
2
2
2
2
2
22
P
RKP
ttav
sinlh
hg7
10v
v10
7hg
2
rm5
2
r
v
2
vmhgm
2
I
2
vmE
EEE
s
2a
l
m
47,0t
5,3
4,02t
a
l2tt
4,0l30sin
2,0l
sin
hlsinlh
2
0
=
⋅=
⋅=⇒⋅=
=
=
α=⇒α⋅=
1.348. Čovjek stoji na rubu horizontalne kružne ploče koja se jednoliko okreće oko svoje osi zbog ustrajnosti. Masa ploče je m1 = 100 kg, masa čovjeka m2 = 60 kg, a frekvencija vrtnje 10 okr/min. Kolikom će se brzinom početi okretati ploča ako čovjek s ruba ploče prijeđe u njezino središte?
mP = 100 kgmČ = 60 kgn = 10 okr/minω 2 = ?
srad
Hz
1
1
16,02
f2
16,060
10f
60
nf
1
1
=ω
⋅π⋅=ω⋅π⋅=ω
==
=
srad 2,2
150
50602
m2
mm
2
rm2
rmrm
2
rm0m
2
rmrm
)II()II(
LL
2
2
1P
PČ
2
12P
2P2
Č
2
2
2P
Č1
2P2
Č
2PČ1PČ
21
=ω
⋅+=ω
ω⋅+
=ω
ω⋅⋅
⋅+⋅=ω
ω⋅
⋅+⋅=ω⋅
⋅+⋅
ω⋅+=ω⋅+=
1.349. Čovjek stoji u središtu kružne ploče koja se zbog ustrajnosti jednoliko vrti brzinom 0,5 okr/s. Moment tromosti čovjeka s obzirom na os vrtnje jest 2,45 Nms2. On ima raširene ruke i u svakoj drži uteg mase 2kg. Utezi su međusobno udaljeni1,6 m. Kojom brzinom će se okretati ploča ako čovjek spusti ruke tako da su utezi udaljeni samo 0,6 m? Moment ploče može se zanemariti.
?
3,06,0d
m8,06,1
2mm
45,2I
5,0
2
21
Č
1
=ω=⇒=
=⇒==⇒==
=
=ω
2
2
11
2
m r m
r m d
kg 4m kg
Nms s
okr
s
okr89,0
5,03,0445,2
8,0445,2
rmI
)rmI(
)rmI()rmI(
)II()II(
II
2
2
2
2
122Č
21Č
2
222Č1
21Č
2UČ1UČ
2211
=ω
⋅⋅+⋅+=ω
ω⋅⋅+⋅+
=ω
ω⋅⋅+=ω⋅⋅+
ω⋅+=ω⋅+ω⋅=ω⋅
1.350. Kružna ploča polumjera 1 m, mase 200 kg, vrti se oko svoje osi zbog ustrajnosti frekvencijom okr/s. Na rubu ploče stoji čovjek mase 50 kg. Kolikom će se brzinom okretati ploča ako čovjek s ruba ode na pola metra bliže središtu?
r1 = 1 mmP =200 kgω 1 = 1 okr/smČ = 50 kgr2 = 0,5 mω 2 = ?
s
okr3,1
1
2
12005,050
2
1200150
2
rmrm
2
rmrm
)2
rmrm()
2
rmrm(
)II()II(
II
2
22
22
2
121P2
2Č
21P2
1Č
2
2
21P2
2Č1
21P2
1Č
2PČ1PČ
2211
=ω
⋅⋅+⋅
⋅+⋅=ω
ω⋅⋅
+⋅
⋅+⋅
=ω
ω⋅⋅
+⋅=ω⋅⋅
+⋅
ω⋅+=ω⋅+ω⋅=ω⋅
13. AKCELERIRANI SUSTAVI (1.351. - 1. 374.)
1.351. Na niti visi uteg mase 2 kg. Nađi kolika je napetost niti: a) ako se nit s utegom diže akceleracijom 2 m/s2, b) ako nit s utegom pada akceleracijom 2 m/s2 (g = 10 m/s2).
m = 2kga = 2 m/s2
N = ?a)
[ ]N 24N
)210(2N
)ag(mN
amgmN
amGN
=+⋅=+⋅=
⋅+⋅=⋅+=
b)
[ ]N 16N
)210(2N
)ag(mN
amgmN
amGN
=−⋅=−⋅=
⋅−⋅=⋅−=
1.352. Čelična žica određene debljine izdrži napetost do 2000 N. Kojim najvećim ubrzanjem možemo tom žicom dizati uteg mase 150 kg (g = 10 m/s2).
N = 2000 Nm = 150 kgg = 10 m/s2
a = ?
2s
m 33,3a
150
101502000a
m
gmNa
amgmN
FGN
=
⋅−=
⋅−=
⋅+⋅=+=
1.353. Odredi silu kojom čovjek mase 70 kg pritišće na pod dizala kad ono: a) miruje, b) podiže se stalnom brzinom, c) podiže se stalnom akceleracijom 1,2 m/s2, d) spušta se stalnom akceleracijom 1,2 m/s2 (g = 10 m/s2).
m = 70 kga = 1,2 m/s2
g = 10 m/s2
F = ?
a) i b)
N 700F
1070F
gmF
=⋅=⋅=
c)
N 784F
)2,110(70F
)ag(mF
amgmF
amGF
=+⋅=
+⋅=⋅+⋅=
⋅+=d)
N 616F
)2,110(70F
)ag(mF
amgmF
amGF
=−⋅=
−⋅=⋅−⋅=
⋅−=
1.354. Na nit je obješen uteg. Ako objesište niti podižemo akceleracijom a1 = 2 m/s2, napetost niti je dva puta manja od napetosti pri kojoj bi nit pukla. Kolikom akceleracijom moramo podizati objesište niti s utegom da nit pukne?
a1 = 2 m/s2
2
NN 2
1 =
a2 = ?
81,11mN
)281,9(2N
)ag(mN
amgmN
FGN
1
1
11
11
11
⋅=+⋅=
+⋅=⋅+⋅=
+=
62,23mN
281,11mN
2NN
2
2
12
⋅=⋅⋅=
⋅=
2sm
81,13a
m
81,9m62,23ma
m
gmNa
amgmN
FGN
2
2
22
22
22
=
⋅−⋅=
⋅−=
⋅+⋅=+=
1.355. Kugla mase 8 kg obješena je na kraju niti. Nađi akceleraciju kugle ako je napetost niti: a) 80 N, b) 40 N (g = 10 m/s2).
m = 8 kgg = 10 m/s2
a) N = 80 Nb) N = 40 Na1, a2 = ?
a)
[ ]
2s
m
N
0a
8
0a
m
Fa
amF
0F
10880F
gmNF
GNF
GFN
1
1
1
1
=
=
=
⋅==
⋅−=⋅−=
−=+=
b)
[ ]
2s
m
N
5a
8
40a
m
Fa
amF
40F
10840F
gmNF
GNF
GFN
2
2
2
2
−=
−=
=
⋅=−=
⋅−=⋅−=
−=+=
kugla se giba prema dolje
1.356. Dizalo s putnicima ima masu 800 kg. Odredi u kojem se smjeru giba dizalo i kolikom akceleracijom ako je napetost užeta: a) 12000 N, b) 6000 N g = 10 m/s2.
m = 800 kga) N = 12000 Nb) N = 6000 Ng = 10 m/s2
a1, a2 = ?
m
gmNa
gmNam
gmNF
GNF
GFN
⋅−=
⋅−=⋅⋅−=
−=+= a)
2s
m 5a
800
4000a
800
1080012000a
1
1
1
=
=
⋅−=
dizalo se giba prema gore
b)
2s
m 5,2a
800
2000a
800
108006000a
1
1
1
−=
−=
⋅−=
dizalo se giba prema dolje
1.357. Autobus se giba horizontalnom cestom po pravcu. a) Po podu autobusa gurnuli smo kuglicu u smjeru okomitome na duljinu autobusa. Staza kuglice je pravac koji leži u istom smjeru u kojemu smo gurnuli kuglicu. b) Poslije smo gurnuli kuglicu kao i prije, ali se ona tog puta kotrljala stazom oblika parabole koja je udubljenom stranom okrenuta prema prednjem dijelu autobusa. Kako se autobus kretao u prvome, a kako u drugom slučaju?
a) Autobus se giba jednoliko prema naprijed.
b) Autobus se giba jednoliko usporeno, ili se giba unatrag jednoliko ubrzano.
1.358. Koji kut s horizontalom zatvara površina bazena u spremniku auta koji se giba horizontalno stalnom akceleracijom 2,44 m/s2.
a = 2,44 m/s2
α = ?
a
g
α 04,14
81,9
44,2sin
g
asin
=α
=α
=α
1.359. Vagon vlaka usporava se jednoliko te za 3 sekunde smanji brzinu 18 km/h na 6 km/h. Za koliko će se pritom iz vertikalnog položaja otkloniti kuglica koja sa stropa visi na niti?
t = 3 sv1 = 18 km/h = 5 m/sv2 = 6 km/h =1,67 m/sα = ? α
α
NF
G R2s
m 11,1a
3
567,1a
t
vva 12
−=
−=
−=
046,6
tg
tg
tg
G
Ftg
=α
=α
=α
⋅⋅=α
=α
9,811,11
ga
gmam
1.360. Dva utega mase 5 kg i 3 kg spaja nit koja je prebačena preko nepomične koloture. Kolika je napetost niti kada se utezi gibaju u polju sile teže? Trenje zanemarimo.
m1 = 5 kgm2 = 3 kgN = ?
( )
2s
m 45,2a
35
81,935a
mm
g)mm(a
gmgma)mm(
GGF
21
21
2121
21
=
+⋅−=
+⋅−
=
⋅−⋅=⋅+−=
[ ]N 8,36N
25,1205,49N
45,2581,95N
amgmN 11
=−=
⋅−⋅=⋅−⋅=
1.361. S tijela A mase 7 kg visi pričvršćeno uže i na njemu drugo tijelo B mase 5 kg. Masa užeta je 4 kg. Na tijelo A djeluje prema gore sila 188,8 N. a) Kolika je akceleracija tog sustava? b) Kolika je napetost užeta na njegovu gornjem kraju? c) Klika je napetost užeta na polovici njegove duljine?
mA = 7 kgmB = 5 kgmU = 4 kgFA = 188,8 Na) a = ?b) N1
= ?c) N2
= ?
m A
m B
F A
m U
a)
2s
m 94,1a
457
81,9)457(8,188a
mmm
g)mmm(Fa
GGGFa)mmm(
UBA
UBA
UBAUBA
=
++⋅++−=
++⋅++−
=
−−−=⋅++b)
[ ]N 75,105N
)94,181,9()45(N
)ag()mm(N
a)mm(g)mm(N
a)mm(GGN
UB
UBUB
UBUB
=+⋅+=+⋅+=
⋅++⋅+=⋅+++=
c)
[ ]N 25,82N
)94,181,9()2
45(N
)ag()2
mm(N
a)2
mm(g)
2
mm(N
a)2
mm(
2
GGN
UB
UB
UB
UB
UB
=
+⋅+=
+⋅+=
⋅++⋅+=
⋅+++=
1.362. U kabini dizalice visi njihalo. Kada kabina miruje, period njihala jednak je T = 1 s. Kad se kabina kreće stalnom akceleracijom a, period mu je T1 = 1,2 s. Odredi smjer i veličinu akceleracije a kabine. b) Što se može reći o smjeru gibanja kabine?
T = 1 sT1 = 1,2 sa = ?
m 248,0l4
81,91l
4
gTl
g
l2T
2
2
2
2
=π⋅
⋅=
π⋅⋅=⇒⋅π⋅=
2sm
3a
2,1
248,0481,9a
T
l4ga
ag
l2T
2
2
21
2
1
=
⋅π⋅−=
⋅π⋅−=
−⋅π⋅=
kabina se giba prema dolje
1.363. U visinskoj raketi smješteni su sat s njihalom koje možemo smatrati matematičkim i sat na pero. Raketa se diže vertikalno u vis ubrzanjem a = 10g. Na visini 50 km isključi se motor i raketa se nastavlja kretati po inerciji. Koje će vrijeme pokazati svaki od satova kad raketa stigne na najveću visinu? Otpor zraka i promjenu sile teže visinom treba zanemariti.
a = 10 gh = 50000 mt1, t2 = ?
sat na pero: sat s njihalom:
s 62,31t1010
500002t
a
h2t
t2
ah
1
1
1
21
=⋅
⋅=
⋅=
⋅=
s isključenim motorom:
s
sm
2,316t
10
3162
g
vt
3162v
tg10v
tav
'1
'1
1
1
=
==
=
⋅⋅=⋅=
ukupno vrijeme:t1 = 31,62 + 316,2t1 = 348,2 s
s 87,104t
62,3111t
t11t
11t
t
g11
lg
l
t
t
ag
l2
g
l2
t
t
g
l2t
ag
l2t
2
2
12
2
1
2
1
2
1
1
2
=⋅=
⋅=
=
⋅
=
+⋅π⋅
⋅π⋅=
⋅π⋅=
+⋅π⋅=
1.364. Astronauti se privikavaju na velike akceleracije u specijalnim centrifugama. a) S koliko okretaja u sekundi mora raditi takva centrifuga da bi njezina akceleracija bila 12 g. Polumjer okretaja je 7 m. b) Koliko će biti težak astronaut pri toj akceleraciji ako mu je masa 70 kg?
r = 7 ma = 12 gm = 70 kgf = ?, G = ?
a)
Hz
sm
657,02
13,4f
2ff2
s
rad13,4
7
9,28
r
v
9,28v
71012v
7g12v
rav
r
va
r
vmam
r
vmF
CP
2
CP
2
CP
2
CP
=π⋅
=
π⋅ω=⇒⋅π⋅=ω
===ω
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
=
⋅=⋅
⋅=
b)
kg 910m
N
==
⋅⋅=⋅⋅=+⋅=+⋅=
⋅+⋅=
9100G
101370G
g13mG
)g12g(mG
)ag(mG
amgmG
1.365. Uže dugo 5 m promjera 2 mm drži predmet koji je toliko težak da uže tek što nije puklo. Kad se predmet počne njihati, uže će puknuti. a) Zašto? b) Koliki bi trebao biti promjer užeta od istog materijala da uže ne bi puklo ako predmet prolazeći položajem ravnoteže ima brzinu 7 m/s?
r = 5 md1 = 2 mmv = 7 m/sd2 = ?
a)
Uže će puknuti jer će se dodatno pojaviti još jedna sila, tj. centripetalna sila.
r
vmgmN
FGN2
CP
⋅+⋅=
+=
b)
G2N
gm2N
6.19mN
5
78,9mN
r
vgmN
r
vmgmN
FGN
2
2
2
CP
⋅=⋅⋅=
⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅+⋅=
+=
mm
mm 2
8,2d
28,64d
S4d
4
dS
28,6S
14,3
22S
4
d2S
S2S
2
2
22
22
2
2
2
2
21
2
12
=π
⋅=
π⋅
=
π⋅=
=
π⋅⋅=
π⋅⋅=
⋅=
1.366. Na konopcu duljine l visi uteg težine Gt. Premjestimo konopac u horizontalan položaj i ispustimo ga. Kolika je napetost niti kad uteg opet prođe vertikalnim položajem?
G t
l
t
2
2
CPt
G3N
gm3Nl
lg2mgmN
lg2v
l
vmgmN
FGN
⋅=⋅⋅=
⋅⋅⋅+⋅=
⋅⋅=
⋅+⋅=
+=
1.367. Kamen privezan na niti dugoj 50 cm kruži jednoliko u vertikalnoj ravnini. Pri kolikom će periodu nit puknuti ako se zna da nit izdrži napetost koja je jednaka deseterostrukoj težini kamena.
l = 50 cm = 0,5 mN = 10 GT = ?
sm 7v
5,081,910v
lg10v
lg10v
gm10l
vm
NF
2
2
CP
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=⋅
=
s f1
T
Hz
srad
45,0T
228,2
1
228,22
14f
2ff2
145,0
7
l
v
=
==
=π⋅
=
π⋅ω=⇒⋅π⋅=ω
===ω
1.368. Uteg mase 1 kg visi na niti koju smo iz vertikalnog položaja otklonili za kut α = 300. Nađi napetost niti kad smo uteg ispustili te on prolazi položajem ravnoteže.
m = 1 kgα = 300
N = ?
G
l
h
αl - h
)cos1(lg2v
hg2v
)cos1(lh
cosllh
hlcosll
hlcos
2
2
α−⋅⋅⋅=⋅⋅=
α−⋅=α⋅−=
−=α⋅
−=α
[ ]N 44,12N
)30cos23(81,91N
)cos23(gmN
)cos1(gm2gmNl
)cos1(lg2mgmN
l
vmgmN
FGN
0
2
CP
=⋅−⋅⋅=
α⋅−⋅⋅=α−⋅⋅⋅+⋅=
α−⋅⋅⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
+=
1.369. Čelična žica podnese najveći teret 300 kg. Na žici visi uteg mase 150 kg. Do kojega najvećeg kuta možemo otkloniti uteg na žici da bi izdržala (g = 10 m/s2).
[ ]
?
150m
3000300m
maks
maks
=α
=
==⇒=
2
maks
s
m 10g
kg
N Nkg
G
l
h
αl - h
)cos1(lg2v
hg2v
)cos1(lh
cosllh
hlcosll
hlcos
2
2
α−⋅⋅⋅=⋅⋅=
α−⋅=α⋅−=
−=α⋅
−=α
0
2
CP
60
5,0cos101502
3000101503cos
gm2
Ngm3cos
l
)cos1(lg2mgmN
l
vmgmN
FGN
=α=α
⋅⋅−⋅⋅=α
⋅⋅−⋅⋅=α
α−⋅⋅⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
+=
1.370. Na niti duljine l visi uteg od 1 kg. Na koju visinu treba iz položaja ravnoteže otkloniti nit da bi uteg u položaju ravnoteže natezao nit silom 15 N?
m = 1 kgN = 15 [N]h = ?
G
l
h
αl - h
)cos1(lg2v
hg2v
)cos1(lh
cosllh
hlcosll
hlcos
2
2
α−⋅⋅⋅=⋅⋅=
α−⋅=α⋅−=
−=α⋅
−=α
0
2
CP
65,42
735,0cos
81,912
1581,913cos
gm2
Ngm3cos
l
)cos1(lg2mgmN
l
vmgmN
FGN
=α
=α⋅⋅
−⋅⋅=α
⋅⋅−⋅⋅=α
α−⋅⋅⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
+=
l27,0h
)735,01(lh
)cos1(lh
⋅=−⋅=
α−⋅=
1.371. Vedro s vodom privezano na nit dugu 60 cm kruži jednoliko u vertikalnoj ravnini. Ako je masa vedra s vodom 2 kg, nađi: a) najmanju brzinu kruženja pri kojoj se voda neće prolijevati, b) napetost niti pri toj brzini u najvišoj točki kruženja, c) u najnižoj točki kruženja.
l = 60 cm = 0,6 mm = 2 kgv, N1, N2 = ?
ml
v 2
v 1
a)
sm 43,2v
6,081,9v
lgv
lgv
gml
vm
GF
2
2
CP
=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
=
b)
0N
7,197,19N
81,926,0
43,22N
gml
vmN
GFN
1
1
2
1
2
1
CP1
=−=
⋅−⋅=
⋅−⋅=
−=
c)
[ ]N 4,39N
7,197,19N
81,926,0
43,22N
gml
vmN
GFN
2
2
2
2
2
2
CP2
=+=
⋅+⋅=
⋅+⋅=
+=
1.372. Uteg mase 30 kg privezan na niti vrtimo po krugu u vertikalnoj ravnini. Za koliko će napetost niti biti veća pri prolazu najnižom točkom kruga od napetosti niti u najvišoj točki kruga?
m = 30 kgN1 - N2 = ?
najniža točka:
gml
vmN
GFN2
1
CP1
⋅+⋅=
+=
najviša točka:
gml
vmN
GFN2
2
CP2
⋅−⋅=
−=
[ ]N 589NN
81,9302NN
gm2NN
G2NN
GFGFNN
)GF()GF(NN
21
21
21
21
CPCP21
CPCP21
=−⋅⋅=−
⋅⋅=−⋅=−
+−+=−−−+=−
1.373. Tenk mase 5,0 × 104 kg prelazi preko mosta brzinom 45 km/h. Most se uganuo te mu je polumjer zakrivljenosti 0,60 km. Kolikom silom pritišće tenk na most kad se nalazi na njegovoj sredini?
m = 5 × 104 kg = 50000 kgv = 45 km/h = 12,5 m/sr = 0,6 km = 600 mF = ?
[ ] [ ]N N 5
2
2
CP
10035,5503520F
81,950000600
5,1250000F
gmr
vmF
GFF
⋅==
⋅+⋅=
⋅+⋅=
+=
1.374. Kolikom bi brzinom morao motorist voziti preko izbočenog dijela ceste ako je polumjer zakrivljenosti izbočine 40 m, a želio bi da na vrhu izbočine sila na cestu bude jednaka nuli (g = 10 m/s2)?
r = 40 mF = 0g = 10 m/s2
v = ?
s
m20v
1040v
grv
gmr
vm
r
vmgm0
FGF
2
2
CP
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅−⋅=
−=
14. OPĆI ZAKON GRAVITACIJE (1.375. - 1. 402.)
1.375. Uporabom jednoga od uređaja za provjeravanje gravitacijske sile izmjereno je da se olovna kugla mase 5 kg i kuglica mase 10 g na udaljenosti 7 cm privlače silom 6,13 × 10-10 N. Kolika je gravitacijska konstanta kad je izračunamo iz tih pokusnih podataka?
m1 = 5 kgm2 = 10 g = 0,01 kgr = 7 cm = 0,07 mF = 6,13 × 10-10 NG = ?
2
2
kg
Nm 11
210
21
2
221
106G
01,05
07,01013,6G
mm
rFG
r
mmGF
−
−
⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
1.376. Koliko se privlače dvije lađe svaka mase 107 kg kad se nalaze na udaljenosti 1 km?
m1 = m2 = 107 kgr = 1 km = 1000 mF = ?
( )
[ ] [ ]N N 3
2
2711
221
1067,600667,0F
1000
101067,6F
r
mmGF
−
−
⋅==
⋅⋅=
⋅⋅=
1.377. Kolikom se silom privlače dvije aluminijske kugle polumjera 0,5 m koje se dodiruju?
r1 = r2 = 0,5 mρ = 2700 kg/m3
F = ?
r 1 r 2
r = r1 + r2
r = 0,5 + 0,5r = 1 m
kg 7,1413m
5,03
42700m
r3
4Vmm
3
321
=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅⋅ρ=⋅ρ==
N 4
2
211
221
103,1F
1
7,14131067,6F
r
mmGF
−
−
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
1.378. Kolika je privlačna sila između dva neutrona koji su udaljeni 10-10 m jedan od drugoga?
r = 10-10 mm = 1,675 × 10-27 kgF = ?
( )( )
N 44
210
22711
2
21
1087,1F
10
10675,11067,6F
r
mmGF
−
−
−−
⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
1.379. Masa Zemlje je 6 × 1024 kg, a masa Mjeseca 7,3 × 1022 kg. Udaljenost između njihovih središta jest 384000 km. Kolikom se silom privlače Zemlja i Mjesec?
m1 = 6 × 1024 kgm2 = 7,3 × 1022 kgr = 384000 km
N 20
2
222411
221
1098,1F
384000000
103,71061067,6F
r
mmGF
⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
−
1.380. Za koliko se puta smanji težina nekog tijela kada ga donesemo na vrh planine visoke 2400 metara?
h = 2400 m
?F
F
1
2 =
( )
( )
2Z
Z
2Z
Z
1
2
2Z
Z2
2Z
Z1
r
mmG
hr
mmG
F
F
hr
mmGF
r
mmGF
⋅⋅
+⋅
⋅=
+⋅
⋅=
⋅⋅=
1F %9,99F
999,0F
F
)24006370000(
6370000
F
F
)hr(
r
F
F
2
1
2
2
2
1
2
2Z
2Z
1
2
=
=
+=
+=
1.381. Koliko put postane tijelo mase 1 kg lakše ako ga dignemo 1 km uvis? Polumjer Zemlje je R = 6367 km te uzmimo g = 9,81 m/s2.
m = 1 kgh = 1 kmr = 6367 kmg = 9,81 m/s2
?F
F
1
2 = ( )
( )
2Z
Z
2Z
Z
1
2
2Z
Z2
2Z
Z1
r
mmG
hr
mmG
F
F
hr
mmGF
r
mmGF
⋅⋅
+⋅
⋅=
+⋅
⋅=
⋅⋅=
2Z
2Z
1
2
)hr(
r
F
F
+=
( )
1g %9,99g
999,0g
g
10006367000
6367000
g
g
)hr(
r
g
g
g
g
gm
gm
F
F
gmF
gmF
2
1
2
2
2
1
2
2Z
2Z
1
2
1
2
1
2
1
2
22
11
=
=
+=
+=
=⋅⋅
=
⋅=⋅=
1.382. Kolika je akceleracija Zemljine sile teže na udaljenosti iznad površine Zemlje koja je jednaka njezinu polumjeru? Koliki je put što ga u prvoj sekundi prijeđe tijelo padajući slobodno na toj visini? Za polumjer Zemlje možemo uzeti R = 6400 km.
h = rZ
rZ = 6400 kmg = ?, s = ?
2s
m 44,2g
)64000002(
1061067,6g
)r2(
mGg
)hr(
mmGgm
)hr(
mmGF
2
2411
2Z
Z
2Z
Z
2Z
Z
=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
+⋅
⋅=⋅
+⋅
⋅=
−
m 22,1s
144,22
1s
tg2
1s
2
2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
1.383. Na kojoj se visini od površine Zemlje mora nalaziti neko tijelo da mu težina bude dva puta manja od težine na površini Zemlje?
?h
G2
1G 12
=
⋅=
2Z
2Z
2Z
2Z
2Z
Z2
Z
Z
12
)hr(r2
r2
1
)hr(
1
r
mmG
2
1
)hr(
mmG
G2
1G
+=⋅
⋅=
+
⋅⋅⋅=
+⋅
⋅
⋅=
km 2651h2
6400000864000002h
2
r4r4r2h
0rhr2h
2
2,1
2Z
2ZZ
2,1
2ZZ
2
=
⋅±⋅−=
⋅+⋅±⋅−=
=−⋅⋅+
1.384. Kolikom silom Mjesec privlači uteg mase 1 kg koji se nalazi na njegovoj površini ako znamo da je polumjer Mjeseca 1,7 × 106 m, a masa 7,3 × 1022 kg?
m = 1 kgrm = 1,7 × 106 kgmm = 7,3 × 1022 kgF = ?
N 68,1F
)107,1(
103,711067,6F
r
mmGF
26
2211
2m
m
=⋅
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
−
1.385. Na dužini koja spaja Zemlju i Mjesec odredi točku u kojoj su sile privlačenja Zemlje i Mjeseca jednake. Udaljenost između Zemlje i Mjeseca jest 60 Zemljinih polumjera, a Zemljina je masa 81 puta veća od Mjesečeve mase.
d = 60 RZ
mZ = 81 mm
FZ = FM
l = ?
m mm
m z
l 1 l 2
1Z2
12
21
lR60l
ldl
lld
−⋅=−=+=
Z1
11Z
21
21Z
21Z
m21
m
22
m21
z
22
m21
z
R54l
l)lR60(9
l)lR60(81
)lR60(
m
l
m81
l
m
l
m
l
mmG
l
mmG
⋅==−⋅⋅
=−⋅⋅
−⋅=
⋅
=
⋅⋅=
⋅⋅
1.386. Znajući da su staze Zemlje i Mjeseca približno kružnice, odredi odnos masa Sunca i Zemlje. Poznato je da Mjesec u jednoj godini 13 puta obiđe Zemlju i da je udaljenost Sunca od Zemlje 390 puta veća nego udaljenost Mjeseca od Zemlje.
TZ = 13 TM
RZ = 390 RM
?m
m
z
s =
2zm
2
2
sz2
GCP
r
mmG
r
vm
r
mmG
r
vm
FF
⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
=
5
2
3
z
s
2m
23m
2m
3m
3
z
s
2z
3m
2m
3z
z
s
2m
mm
2z
zz
2zm
2
sz
1051,313
390
m
m
T13r
Tr390
m
m
Tr
Tr
m
m
T
mr4T
mr4
r
mmG
r
mmG
⋅==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅π⋅⋅
⋅π⋅⋅
=⋅
⋅
⋅⋅
1.387. Kolika je masa Sunca kad znamo da je srednja brzina Zemlje pri kruženju oko Sunca 30 km/s, a polumjer njezine staze 1,5 × 108 km?
?m
km s
km
=⋅=
=
8105,1r
30v
kg 30S
11
82
S
2
S
2
S2
GCP
102m
1067,6
105,130000m
G
rvm
r
mmG
r
vm
FF
⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅
=
−
1.388. Kolika je akceleracija slobodnog pada na površini Sunca ako je njegov polumjer 108 puta veći od polumjera Zemlje i ako je odnos gustoća Sunca i Zemlje 1 : 4 ?
?g4
1
r108r
s
zs
zs
=
ρ⋅=ρ
⋅=
2z
z
2s
s
z
s
2s
ss
2z
zz
r
mmG
r
mmG
gm
gm
r
mmGgm
r
mmGgm
⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
23zz
3ss
z
s
2zz
2zs
z
s
2sz
2zs
z
s
108r3
4
r3
4
g
g
)r108(m
rm
g
g
rm
rm
g
g
⋅π⋅⋅⋅ρ
π⋅⋅⋅ρ=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
2s
m 87,264g
81,927g27g
27g
g
1084
1
g
g
108
g
g
108r
)r108(
g
g
108r
r
g
g
s
zs
z
s
z
z
z
s
z
s
z
s
23zz
3zs
z
s
23zz
3ss
z
s
=
⋅=⋅=
=
ρ
⋅ρ⋅=
ρ⋅ρ
=
⋅⋅ρ⋅⋅ρ
=
⋅⋅ρ⋅ρ
=
1.389. Odredi akceleraciju slobodnog pada tijela na površini Sunca ako znamo da je polumjer Zemljine staze R = 1,5 × 108 km, polumjer Sunca r = 7 × 105 km i vrijeme ophoda Zemlje oko Sunca T = 1 godina.
R = 1,5 × 108 km = 1,5 × 1011 mr = 7 × 105 km = 7 × 108 mT = 1 god = 31536000 sg = ?
2S
2S
2S
rgmG
r
mmGgm
r
mmGF
⋅=⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅=
2s
m 33,273g
)107(31536000
)105,1(4g
rT
R4g
T
R4rg
T
R4mG
RvmG
R
vm
R
mmG
282
2311
22
23
2
232
2
23
S
2S
2
2
S
=
⋅⋅π⋅⋅⋅=
⋅π⋅⋅=
π⋅⋅=⋅
π⋅⋅=⋅
⋅=⋅
⋅=⋅
⋅
1.390. Polumjer Marsa iznosi 0,53 polumjera Zemlje, a masa 0,11 mase Zemlje. Koliko je puta sila teža na Marsu manja nego na Zemlji?
rM = 0,53 rZ
mM = 0,11 mZ
?g
g
M
Z =2M
MM
2Z
ZZ
r
mmGgm
r
mmGgm
⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
55,2g
g
rm11,0
r53,0m
g
g
rm
rm
g
g
r
mmG
r
mmG
gm
gm
M
Z
2ZZ
2Z
2Z
M
Z
2ZM
2MZ
M
Z
2M
M
2Z
Z
M
Z
=
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
1.391. Planet Mars ima dva prirodna satelita, Fobosa i Demiosa. Prvi se nalazi na udaljenosti r1 = 9500 km od središta Marsa, a drugi na udaljenosti r2 = 24000 km. Nađi periode kruženja tih satelita oko Marsa. Masa Marsa iznosi 0,107 mase Zemlje.
r1 = 9500 kmr2 = 24000 kmmM = 0,107 mZ
T1, T2
h 7,8 s ==⋅⋅⋅⋅
π⋅⋅=
⋅π⋅⋅
=
−
28107T
106107,01067,6
95000004T
mG
r4T
1
2411
23
1
M
231
1
h 31,35 s ==⋅⋅⋅⋅
π⋅⋅=
⋅π⋅⋅=
−
112888T
106107,01067,6
240000004T
mG
r4T
1
2411
23
2
M
232
2
= ?
M
23
M2
22
M2
2M
2
mG
r4T
r
mG
T
r4
r
mGv
r
mmG
r
vm
⋅π⋅⋅=
⋅=π⋅⋅
⋅=
⋅⋅=⋅
1.392. Neka je polumjer nekog asteroida 5 km i pretpostavimo da mu je gustoća ρ = 5,5 g/cm3. a) Nađi akceleraciju slobodnog pada ga na njegovoj površini. b) Odredi na koju će visinu poskočiti čovjek na asteroidu ako uporabi isti napor kojim bi na Zemlji poskočio 5 cm visoko. Asteroid ima oblik kugle.
r = 5 km = 5000 mρ = 5,5 g/cm3 = 5500 kg/m3
hZ = 5 cm = 0,05 mga, ha = ?
kg 15a
3a
3a
a
1088,2m
50003
45500m
r3
4m
Vm
⋅=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅⋅ρ=
⋅ρ=
2s
m 0076,0g
5000
1088,21067,6g
r
mGg
r
mmGgm
a
2
1511
a
2
aa
2
aa
=
⋅⋅⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅
−m 54,64h
0076,0
05,081,9h
g
hgh
hgmhgm
a
a
a
zza
aazz
=
⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅⋅
1.393. Koliko je dugačka nit jednostavnog njihala ako zamislimo da se njiše na nekom planetu jednake gustoće kao Zemlja, polumjera dva puta manjeg od Zemlje? Njihalo učini tri titraja u minuti.
ρ = ρ Z
? l
s mintitr
=
=⇒=
⋅=
20T3t
r2
1r Z
π⋅⋅⋅ρ⋅=
π⋅⋅⋅ρ⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅
PP
2P
3P
P
2P
PP
2P
PP
r3
4Gg
r
r3
4
Gg
r
mGg
r
mmGgm
π⋅⋅⋅ρ⋅=
π⋅⋅⋅ρ⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅
ZZZ
2Z
3ZZ
Z
2Z
ZZ
2Z
ZZ
r3
4Gg
r
r3
4
Gg
r
mGg
r
mmGgm
2s
m 905,481,9
2
1g
g2
1g
2
1
g
g
r
r2
1
g
g
r
r
g
g
r3
4G
r3
4G
g
g
P
ZP
Z
P
ZZ
Z
Z
P
ZZ
P
Z
P
ZZ
P
Z
P
=⋅=
⋅=
=
⋅ρ
⋅⋅ρ=
⋅ρ⋅ρ
=
π⋅⋅⋅ρ⋅
π⋅⋅⋅ρ⋅=
m 69,494
905,420l
4
gTl
g
l2T
2
2
2P
2
P
=π⋅
⋅=
π⋅⋅
=⇒⋅π⋅=
1.394. Odredi gustoću planeta na kojemu dan i noć traju T = 24 sata i na ekvatoru kojega su tijela bez težine.
T = 24 h = 86400 sFCP = Gρ = ?
33 cm
g
m
kg 01893,093,18
1067,686400
3GT
3r
r3
4m
GrT
r4m
r
mmG
r
vm
112
2
2
32
22
2P
2
==ρ
⋅⋅π⋅=ρ
⋅π⋅=ρ
π⋅⋅⋅ρ⋅⋅=
π⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅
−
1.395. Znamo da je zbog rotacije planeta sila teža na ekvatoru manja nego na polovima. Na kojoj je visini iznad površine planeta na polu sila teža jednaka sili teži na ekvatoru? Planet neka je kugla polumjera r. Vrijeme jednog okreta planeta oko osi neka je T, a njegova srednja gustoća ρ .
01TrG
3hhr2r
r3
4G
T
r4r
3
4G
)hr(
)hr(T
r4
r
mGmG
T
r4
r
mG
)hr(
mG
r
vm
r
mmG
)hr(
mmG
2
22
3
2
223
2
2
2
22
2P
P
2
22
2P
2P
2
2P
2P
=−⋅⋅ρ⋅
π⋅++⋅⋅+
π⋅⋅⋅ρ⋅
π⋅⋅−π⋅⋅⋅ρ⋅=+
+⋅
π⋅⋅−⋅=⋅
π⋅⋅−⋅=+
⋅
⋅−⋅
⋅=+⋅
⋅
2
1TrG
34)r2(r2
h
01TrG
3hr2h
01TrG
3hhr2r
2
2
2,1
2
2
2
22
−
⋅⋅ρ⋅π⋅⋅−⋅±⋅−
=
=−⋅⋅ρ⋅
π⋅+⋅⋅+
=−⋅⋅ρ⋅
π⋅++⋅⋅+
1.396. Koliko je puta kinetička energija umjetnog Zemljinog satelita manja od njegove potencijalne
energije? Pretpostavimo da je staza satelita kružna.
2
vmE
hgm2)hr(gmE
hr
2
K
P
⋅=
⋅⋅⋅=+⋅⋅==
2
EE
2
1
hgm4
hg2m
hgm22
vm
E
E
PK
2
P
K
=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅
=
1.397. Neki satelit obilazi Zemlju svakih 98 minuta krećući se na srednjoj visinu 500 km. Izračunaj iz tih podataka masu Zemlje.
T = 98 min = 5880 sh = 500 km = 500000 mmZ = ?
GT
r4m
r
mG
T
r4
r
mGv
r
mmG
r
vm
FF
2
32
Z
Z2
2
Z2
2Z
2
GCP
⋅⋅π⋅=
⋅=⋅π⋅
⋅=
⋅⋅=⋅
=
kg
km
24Z
112
32
Z
1062,5m
1067,65880
69000004m
69005006400r
⋅=⋅⋅
⋅π⋅=
=+=
−
1.398. Oko planeta mase mP kruži satelit. Koliki je polumjer staze ako je T ophodno vrijeme satelita?
r
mG
T
r4
r
mGv
r
mmG
r
vm
FF
Z2
2
P2
2P
2
GCP
⋅=⋅π⋅
⋅=
⋅⋅=⋅
=
32
2P
2
2P3
4
TmGr
4
TmGr
π⋅⋅
⋅=
π⋅⋅
⋅=
1.399. Kolika je prva kozmička brzina za Mjesec ako znamo da je polumjer Mjeseca 1,74 × 106 m, a masa 7,3 × 1022 kg?
rM = 1740 km = 1740000 mmM = 7,3 × 1022 kgv = ?
r
mGv
r
mGv
r
mmG
r
vm
FF
M
M2
2M
2
GCP
⋅=
⋅=
⋅⋅=⋅
=
sm 8,1672v
1740000
103,71067,6v
2211
=
⋅⋅⋅= −
1.400. Izračunaj prvu kozmičku brzinu na površini Mjeseca kad znaš da je polumjer Mjeseca 1740 km, a akceleracija slobodnog pada na Mjesecu 0,17 Zemljine akceleracije.
r = 1740 kmgM = 0,17gv = ?
sm 5,1703v
81,917,01740000v
grv
grv
gmr
vm
GF
M
M2
M
2
MCP
=
⋅⋅=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
=
1.401. Koliki moraju biti polumjer kružne staze umjetnog Zemljina satelita i njegova brzina da njegov period bude jednak periodu obrtanja Zemlje, tj. da se sa Zemlje čini nepomičnim?
TS = TZ
rS, vS = ?
r
mG
T
r4
r
mGv
r
mmG
r
vm
FF
Z2
2
P2
2P
2
GCP
⋅=⋅π⋅
⋅=
⋅⋅=⋅
=
m 7
32
22411
32
2P
2
2P3
1022,4r
4
864001061067,6r
4
TmGr
4
TmGr
⋅=π⋅
⋅⋅⋅⋅=
π⋅⋅
⋅=
π⋅⋅
⋅=
− sm 8,3068v
86400
1022,42v
T
r2v
7
=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅=
1.402. Odredi udaljenost x od središta Zemlje do umjetnog satelita mase m i njegovu brzinu v ako satelit kruži u ravnini Zemljina ekvatora, a sa Zemlje se čini nepomičnim. Možemo uzeti da je polumjer Zemlje r = 6400 km.
r = 6400 kmx, v = ?
x
mG
T
x4
x
mGv
x
mmG
x
vm
hrx
Z2
2
Z2
2Z
2
⋅=⋅π⋅
⋅=
⋅⋅=⋅+=
m 7
32
22411
32
2Z
2
2Z3
1022,4x
4
864001061067,6x
4
TmGx
4
TmGx
⋅=π⋅
⋅⋅⋅⋅=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅⋅=
− sm 8,3068v
86400
1022,42v
T
x2v
7
=
π⋅⋅⋅=
π⋅⋅=
15. HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA (1.403. - 1. 460.)
1.403. Koliki je tlak u nekom jezeru na dubini 10 m?
h = 10 mp = ?
Pa 199400p
1081,91000101300p
hgpp 0
=⋅⋅+=
⋅⋅ρ+=
1.404. Tlačna sisaljka podigne u cijevi vodu na visinu 40 m. Kolikom silom djeluje voda na ventil sisaljke ako je površina presjeka ventila 8 cm2?
h = 40 mS = 8 cm2 = 0,0008 m2
F = ? Pa 392400p
4081,91000p
hgp
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
N 92,313F
0008,0392400F
SpFS
Fp
=⋅=
⋅=⇒=
1.405. Na kojoj će dubini tlak vode u jezeru biti tri puta veći od atmosferskog tlaka koji u živinom barometru drži ravnotežu sa stupcem žive visokim 770 mm?
pH = 3pA
pA = 770 mm Hgh = ?
Pa 102730p
77,081,91000p
hgp
A
A
A
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
Pa 205460p
1027302p
p2p
pp3p
ppp
A
AA
AH
=⋅=⋅=
−⋅=−=
m 94,20h
81,91000
205460h
g
ph
=⋅
=
⋅ρ=
1.406. Kolika će biti duljina stupca žive u barometarskoj cijevi smještenoj u zatvorenoj kabini na Mjesecu ako zrak kabini odgovara uvjetima uz koje bi na Zemlji stupac žive u barometru bio dug 760 mm?
hZ = 760 mmhM = ?
Pa 101396p
76,081,913600p
hgp
Z
Z
ZZ
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
MM
MM
MM
g
46,7h
g13600
101396h
g
ph
=
⋅=
⋅ρ=
1.407. Posuda u obliku skraćenog stošca ima površinu donje baze B1 = 200 cm2, a gornjeg otvora B2 = 120 cm2. Visina posude je 42 cm. a)Kolika sila djeluje na dno ako je posuda napunjena vodom? b) Kolika je težina vode u posudi? c) Jesu li sila na dno i težina jednake?
B1 = 200 cm2
= 0,02 m2
B2 = 120 cm2
= 0,012 m2
h = 42 cm = 0,42 ma) F = ?, b) G = ?
a)
N 4,82F
02,042,081,91000F
BhgF
SpF
1
=⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅ρ=⋅=
b)
N
m 31
V
m
m
3
88,6381,9006512,01000G
gVgmG
006512,0)06,008,006,008,0(42,0
06,0012,0B
rrB
08,002,0B
rrB
)rrrr(v3
1V
22
22
222
11
211
2122
21
=⋅⋅=⋅⋅ρ=⋅=
=⋅++⋅⋅π⋅=
=π
=π
=⇒π⋅=
=π
=π
=⇒π⋅=
⋅++⋅⋅π⋅=
c) F > G
1.408. U posudi se nalazi tekući aluminij do visine 60 cm. Na dnu posude je otvor kroz koji ulazi zrak pod tlakom p. Koliki mora biti tlak zraka da aluminij ne bi izlazio?
h = 60 cm = 0,6 mρ = 2700 kg/m3
p = ? Pa 15892p
6,081,92700p
hgp
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
1.409. Manji čep hidrauličke preše ima površinu 15 cm2, a veći 180 cm2. Sila 90 N prenosi se na manji čep dvokrakom polugom kojoj je omjer krakova 6 : 1. Kolikom silom tlači veliki čep?
S1 = 15 cm2
S2 = 180 cm2
F1 = 90 Na : b = 6 : 1F2 = ?
N 540F
1
690F
b
aFF
bFaF
`1
`1
1`1
`11
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
N 6480F
54015
180F
FS
SF
S
F
S
F
pp
2
2
`1
1
22
2
2
1
`1
21
=
⋅=
⋅=
=
=
1.410. U podvodnom dijelu broda nastao je otvor površine 5 cm2. Otvor se nalazi 3 m ispod površine vode. Kojom najmanjom silom moramo djelovati na otvor da bismo spriječili prodiranje vode?
S = 5 cm2 = 0,0005 m2
h = 3 mF = ? Pa 29430p
381,91000p
hgp
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
N 715,14F
0005,029430F
SpFS
Fp
=⋅=
⋅=⇒=
1.411. Kolikom silom djeluje para na otvor sigurnosnog ventila promjera 100 mm ako manometar pokazuje tlak 11,7 × 105 Pa?
d = 100 mm = 0,1 mp = 11,7 × 105 PaF = ?
2m 0079,0S
4
1,0S
4
dS
2
2
=
π⋅=
π⋅=
N 9243F
0079,0107,11F
SpFS
Fp
5
=⋅⋅=
⋅=⇒=
1.412. Pod kojim tlakom mora sisaljka tjerati vodu u cijevi vodovoda visokog nebodera ako se nalazi u podrumu zgrade, a željeli bismo da tlak vode u najvišem dijelu zgrade bude 15 × 104 Pa? Visinska razlika između sisaljke i najvišeg dijela zgrade neka je 100 m.
pUK = 15 × 104 Pah = 100 mp = ? Pa 981000p
10081,91000p
hgp
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
Pa 1082300p
981000101300p
ppp
UK
UK
0UK
=+=
+=
1.413. U valjkastu posudu nalili smo količine žive i vode jednakih težina. Ukupna visina stupca obiju tekućina iznosi h = 29,2 cm. Koliki je tlak tekućina na dno posude?
h = 29,2 cmG1 = G2
p = ?
v o d a
ž i v a
h 2
h 1
h
m
m
02,0272,0292,0hhh
272,0100013600
292,013600h
hh
h)(h
hhh
h)hh(
hhhhhh
hh
ghBghB
gVgV
gmgm
GG
21
2
21
12
1212
22211
2221
2121
2211
2211
2211
21
21
=−=−=
=+⋅=
ρ+ρ⋅ρ=
⋅ρ=ρ+ρ⋅⋅ρ=⋅ρ−⋅ρ
⋅ρ=−⋅ρ−=⇒+=
⋅ρ=⋅ρ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ
⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅=⋅
=
Pa 64,5336p
81,9)272,0100002,013600(p
g)hh(pS
g)hShS(p
S
g)VV(p
S
gmgm
S
Fp
2211
2211
2211
21
=⋅⋅+⋅=
⋅⋅ρ+⋅ρ=
⋅⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=
⋅⋅ρ+⋅ρ=
⋅+⋅==
1.414. Cijev C s dva kraka uronili smo u dvije posude, A i B. Kroz gornji kraj cijevi isisali smo nešto zraka. Zbog toga se tekućina digla u lijevoj cijevi za h1, a u desnoj za h2. Kolika je gustoća tekućine u posudi B ako je u posudi A voda i ako je h1 = 10 cm, a h2 = 12 cm?
ρ 1 = 1000 kg/m3
h1 = 10 cm = 0,1 mh2 = 12 cm = 0,12 mρ 2 = ?
A B
C
h 1
h 2
3m
kg 3,833
12,0
1,01000
h
h
hh
ghgh
pp
2
2
2
112
2211
2211
21
=ρ
⋅=ρ
⋅ρ=ρ
⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
=
1.415. U cijevi oblika slova U nalivena je živa, a zatim u jedan krak tekućina gustoće 1,2 × 103 kg/m3. Visina je stupca žive, mjerena od dodirne površine 1,4 cm. Kolika je visina stupca nepoznate tekućine?
ρ 1 = 13600 kg/m3
ρ 2 = 1,2 × 103 kg/m3
h1 = 1,4 cmh2 = ?
h 1
h 2
m 158,0h1200
014,013600h
hh
hh
ghgh
pp
2
2
2
112
2211
2211
21
=
⋅=
ρ⋅ρ=
⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
=
1.416. U dvije spojene posude različitih presjeka ulijemo najprije živu, a zatim u širu cijev presjeka 5 cm2 dolijemo 300 g vode. Za koliko će visina stupca žive u uskoj cijevi biti veća
od visine u širokoj cijevi?
S1 = 5 cm2 = 0,0005 m2
m1 = 300 g = 0,3 kgh2 = ?
h 1
h 2
m 0441,0h13600
6,01000h
hh
hh
ghgh
pp
2
2
2
112
2211
2211
21
=
⋅=
ρ⋅ρ=
⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
=
m
m 3
6,00005,0
0003,0h
S
Vh
hSV
0003,01000
3,0V
mV
Vm
1
1
11
111
1
1
11
111
==
=
⋅=
==
ρ=
⋅ρ=
1.417. U dva kraka cijevi oblika U naliveni su voda i ulje odijeljeni živom. Granice žive i tekućina u oba kraka na istoj su razini. Kolika je visina h1 stupca vode ako je visina stupca ulja 20 cm?
ρ 2 = 900 kg/m3
h2 = 20 cm = 0,2 mh1 = ?
v o d a
h 1
h 2
u l j e
ž i v am 18,0h
1000
2,0900h
hh
hh
ghgh
pp
2
2
1
221
2211
2211
21
=
⋅=
ρ⋅ρ=
⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
=
1.418. Koliko je visok stupac žive u živinom barometru koji odgovara tlaku 0,98 × 105 Pa?
ρ = 13600 kg/m3
p = 0,98 × 105 Pah = ?
m 73,0h
81,913600
1098,0h
g
phhgp
5
=⋅
⋅=
⋅ρ=⇒⋅⋅ρ=
1.419. Kolikom silom pritišće zrak na površinu stola uz tlak 0,98 × 105 Pa?
S = 1,2 × 0,6 = 0,72 m2
p = 0,98 × 105 PaF = ?
N 70560F
72,01098,0F
SpFS
Fp
5
=⋅⋅=
⋅=⇒=
1.420. Kolikom silom pritišće zrak na ravan krov kuće dimenzija 20 m × 50 m?
S = 20 × 50 = 1000 m2
F = ?
N 101300000F
1000101300F
SpFS
Fp
=⋅=
⋅=⇒=
1.421. Barometarska cijev je prema horizontalnoj ravnini nagnuta pod kutom od 300. Kolika je
duljina stupca žive u cijevi pri normiranome atmosferskom tlaku?
p = 101300 Paα = 300
l = ?
3 007 6 c m
l
m 52,1l30sin
76,0l
sin
76,0l
l
76,0sin
0
=
=
α=
=α
1.422. Odredi najveću visinu do koje se usisavanjem može podići ulje u nekoj cijevi ako je atmosferski tlak 9,86 × 104 Pa.
p = 9,86 × 104 Paρ = 900 kg/m3
h = ?
m 16,11h
81,9900
1086,9h
g
ph
hgp
4
=⋅⋅=
⋅ρ=
⋅⋅ρ=
1.423. Odredi silu koja djeluje na površinu stola ako je površina 1,8 m2, a tlak normiran.
S = 1,8 m2
p = 101300 PaF = ?
N 182340F
8,1101300F
SpF
=⋅=
⋅=
1.424. Koliki je atmosferski tlak na visini 3600 m iznad površine Zemlje? Tlak uz njezinu površinu je normiran, a smanjuje se svakih 10 m iznad Zemlje za otprilike 133,3 Pa.
h = 3600 mp0 = 101300 Pa∆ h = 10 m∆ p = 133,3 Pap = ?
Pa 53312p
3,13310
3600101300p
pΔhΔ
hpp 0
=
⋅−=
⋅−=
1.425. Na kojoj visini iznad Zemlje leti zrakoplov ako je tlak u kabini 100642 Pa, dok je na površini Zemlje tlak normiran?
p = 100642 Pap0 = 101300 Paρ = 1,293 kg/m3
h = ?
m 8,51h
81,9293,1
100642101300h
g
pΔh
hgpΔ
=⋅
−=
⋅ρ=
⋅⋅ρ=
1.426. Koliko je dubok rudnički rov u kojemu je stupac žive u barometru visok 82 cm, a na Zemlji 78 cm?
h1 = 82 cmh2 = 78 cmh = ?
Pa 109401p
82,081,913600p
hgp
1
1
11
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
Pa 104064p
78,081,913600p
hgp
1
1
22
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
m 18,378h
81,9293,1
104064109401h
g
pΔh
hgpΔ
=⋅
−=
⋅ρ=
⋅⋅ρ=
1.427. Koliko je teška mramorna kuglica promjera 1 cm u eteru?
ρ M = 2800 kg/m3
ρ E = 730 kg/m3
d = 1 cmG = ?
3m 7
3
3
1024,5V
005,03
4V
r3
4V
−⋅=
π⋅⋅=
π⋅⋅=
N 01,0G
81,91024,5)7302800(G
gV)(G
gVgVG
FgmG
7
EM
EM
U
=⋅⋅⋅−=
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
−⋅=
−
1.428. Čovjek može pod vodom podići kamen kojega je obujam najviše 35 dm3. Koliki teret može taj čovjek podizati u zraku ako je gustoća kamena 2,4 × 103 kg/m3.
V = 35 dm3 = 0,035 m3
ρ K = 2,4 × 103 kgG = ?
N 69,480G
81,9035,0)10002400(G
gV)(G
gVgVG
FgmG
VK
VK
U
=⋅⋅−=
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
−⋅=
1.429. Odredi obujam komada željeza na koji, kad ga uronimo u alkohol, djeluje uzgon veličine 1,5 N?
FU = 1,5 Nρ = 790 kg/m3
V = ?
33 dm m 19,000019,0V
81,9790
5,1V
g
FVgVF U
U
==⋅
=
⋅ρ=⇒⋅⋅ρ=
1.430. Komad stakla ima u zraku težinu 1,4 N, a u vodi 0,84 N. Nađi gustoću stakla.
GZ = 1,4 NGV = 0,84 Nρ S = ?
gV)(G
gVgVG
FgmG
ZSZ
ZSZ
UZ
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
−⋅=
gV)(G
gVgVG
FgmG
VSV
VSV
UV
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
−⋅=
3m
kg 2498
84,04,1
293,184,010004,1
GG
GG
)(G)(G
G
G
gV)(
gV)(
G
G
S
S
VZ
ZVVZS
ZSVVSZ
VS
ZS
V
Z
VS
ZS
V
Z
=ρ
−⋅−⋅=ρ
−ρ⋅−ρ⋅
=ρ
ρ−ρ⋅=ρ−ρ⋅ρ−ρρ−ρ
=
⋅⋅ρ−ρ⋅⋅ρ−ρ
=
1.431. Poprečni presjek parobroda u ravnini površine vode iznosi 400 m2. Nakon utovara
parobrod zaroni 1 m dublje u vodu. Nađi težinu tereta koji je utovaren u parobrod.
S = 400 m2
h = 1 mG = ? Pa 9810p
181,91000p
hgp
=⋅⋅=
⋅⋅ρ=
N 103,924F
N 6⋅=
=⋅=
⋅=⇒=
3924000F
4009810F
SpFS
Fp
1.432. Komad pluta pliva na vodi tako da je četvrtina njegova obujma pod vodom. Kolika je gustoća pluta?
V4
1VU =
3m
kg 250
4
1000
4
gV
gV4
1
gV
gV
gVgV
gVgm
FG
P
VP
V
P
UVP
UVP
UV
U
=ρ
=ρ
=ρ
⋅
⋅⋅ρ=ρ
⋅⋅⋅ρ
=ρ
⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅⋅ρ=⋅
=
1.433. Komad olova pliva u živi. Koliki je dio njegova obujma uronjen u živu?
ρ O = 11300 kg/m3
ρ Ž = 13600 kg/m3
?V
VU =
% 8383,013600
11300
V
V
V
V
gVgV
gVgm
FG
U
Z
OU
UZO
UZ
U
===
ρρ
=
⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅⋅ρ=⋅
=
1.434. Na tekućinu gustoće ρ 1 nalijemo tekućinu koja se s prvom ne miješa i koja ima gustoću ρ 2 < ρ 1. Očito je da će neko tijelo gustoće ρ (ρ 1 > ρ > ρ 2) lebdjeti negdje u graničnom području između obiju tekućina. Treba odrediti koliki je dio obujma tijela uronjen u tekućinu veće gustoće.
ρ ,Vρ 1
ρ 2
V 1
V 2
VV
)(V)(V
VVVV
VVVVVV
VVV
gVgVgm
FG
12
21
2121
12211
1221
2211
2211
U
⋅ρ−ρρ−ρ
=
ρ−ρ⋅=ρ−ρ⋅⋅ρ−⋅ρ+⋅ρ=⋅ρ
−=⇒+=⋅ρ+⋅ρ=⋅ρ
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅=
1.435. U posudi se nalazi živa i povrh nje ulje. Kugla koju spustimo u posudu lebdi tako da je svojom donjom polovicom uronjena u živu, a gornjom u ulje. Odredi gustoću kugle.
V1 = V2
ρ 1 = 13600 kg/m3
ρ 2 = 900 kg/m3
ρ = ?
ρ ,Vρ 1
ρ 2
V 1
V 2
3m
kg 7250
2
900136002
V
V2
1V
2
1
V2
1VV
V
VV
gVgVgV
gVgVgm
FG
21
21
21
2211
2211
2211
U
=+=ρ
ρ+ρ=ρ
⋅ρ+⋅ρ=ρ
==
⋅ρ+⋅ρ=ρ
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅
=
1.436. Tijelo u obliku kocke pliva na živi tako da je njegova četvrtina uronjena u živu. Koliki će dio tijela biti uronjen u živu ako na nju dolijemo toliko vode da pokriva cijelo tijelo?
3
2
mkg
V
3401
293,14
313600
4
1V
V4
3V
4
1
V4
3V
4
1V
V
VV
gVgVgV
gVgVgm
FG
21
1
2211
2211
2211
U
=ρ
⋅+⋅=ρ
⋅ρ+⋅ρ=ρ
==
⋅ρ+⋅ρ=ρ
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅
=
V19,0V
V100013600
10003401V
VV
)(V)(V
)VV(VV
VVV
gVgVgV
gVgVgm
FG
1
1
31
31
3311
1311
3311
3211
3211
U
⋅=
⋅−
−=
⋅ρ−ρρ−ρ=
ρ−ρ⋅=ρ−ρ⋅−⋅ρ−⋅ρ=⋅ρ
⋅ρ−⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅⋅ρ
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ=⋅=
1.437. Težina tijela tri je puta manja u vodi nego u zraku. Kolika je gustoća tijela?
GZ = 3GV
ρ = ?
UV
U
UVUZ
VZ
FgmG3
Fgm
FgmG3FgmG
G3G
−⋅=
−⋅=
−⋅=⋅⇒−⋅=⋅=
VG
3m
kg 36,1499
293,12
11000
2
3
323
gVgV3
gVgV
gVgm3
gVgm
ZV
VZ
VZ
VZ
=ρ
⋅−⋅=ρ
ρ−ρ⋅=ρ⋅
ρ−ρ=ρ−ρ
⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ
⋅⋅ρ−⋅=⋅⋅ρ−⋅
1.438. Na jednoj zdjelici dvostrane vage leži komad srebra mase 10,5 g, a na drugoj komad stakla mase 13 g. Koja će strana prevagnuti ako vagu uronimo u vodu?
m1 = 10,5 gρ 1 = 10500 kg/m3
m2 = 13 gρ 2 = 2500 kg/m3
srebro:
( )gV9500F
gV100010500F
gV)(F
gVgVF
gVgmF
FGF
V1
v1
v
U
⋅⋅=⋅⋅−=
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
⋅⋅ρ−⋅=−=
staklo:
( )gV1500F
gV10002500F
gV)(F
gVgVF
gVgmF
FGF
V2
v2
v
U
⋅⋅=⋅⋅−=
⋅⋅ρ−ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
⋅⋅ρ−⋅=−=
prevagnuti će srebro
1.439. Dva tijela imaju obujam V i 2V te su na vagi u ravnoteži. Zatim veće tijelo uronimo u ulje. Kolika bi morala biti gustoća tekućine u koju bismo morali uroniti manje tijelo da bi vaga ostala u ravnoteži.
ρ ULJA = 900 kg/m3
ρ = ?V 2 V
u l j eρ = ?
3m
kg 1800
9002
2
2
gV2gVgVgV
gV2gmgVgm
FGFG
U
UTT
UTT
U
UU
=ρ
⋅=ρρ⋅=ρ
ρ⋅−ρ=ρ−ρ⋅⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=⋅⋅ρ−⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ−⋅=⋅⋅ρ−⋅−=−
1.440. Lopticu za stolni tenis, polumjera 15 mm i mase 5g, uronimo u vodu na dubinu 30 cm. Kad lopticu ispustimo, ona iskoči iz vode na visinu 10 cm iznad vode. Koliko se energije pritom pretvorilo u toplinu zbog otpora vode?
r = 15 mm = 0,015 mm = 5 g = 0,005 kgh = 30 cm = 0,3 mh1 = 10 cm = 0,1 mQ = ?
hQhgmhFE
hgmhgmhFQ
UP
1U
−⋅⋅−⋅=
⋅⋅−⋅⋅−⋅=
N 14,0F
81,9015,03
41000F
gVF
U
3U
U
=
⋅π⋅⋅⋅=
⋅⋅ρ=
J 022,0Q
)1,03,0(81,9005,03,014,0Q
=−⋅⋅−⋅=
1.441. Tijelo ima obujam 500 cm3. Pri vaganju je uravnoteženo bakrenim utezima mase 440 g. Odredi težinu tijela u vakuumu.
V = 500 cm3 = 0,0005 m3
mUT = 440 g = 0,44 kgG = ?
N 32,4G
81,90005,0293,181,98900
44,0293,181,944.0G
gVgm
gmG
gVgVgmG
ZUT
UTZUT
ZUTZUT
=
⋅⋅+⋅⋅−⋅=
⋅⋅ρ+⋅ρ
⋅ρ−⋅=
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ−⋅=
1.442. Kolika sila diže dječji balon u vis ako je napunjen vodikom, ima obujam 3 dm3 i ako mu je masa zajedno s vodikom 3,4 g?
V = 3 dm3 = 0,003 m3
m = 3,4 g = 0,0034 kgF = ?
N 0046,0F
81,90034,081,9003,0293,1F
gmgVF
GFF
Z
U
=⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅ρ=−=
1.443. Dječji balon obujma 4 dm3 napunjen je rasvjetnim plinom. Zrak ga podiže uvis silom 9 × 10-3 N. Koliko je težak balon s plinom?
V = 4 dm3 = 0,004 m3
F = 9 × 10-3 N = 0,009 NG = ?
N 0417,0G
009,081,9004,0293,1G
FgVG
FFGGFF
Z
UU
=−⋅⋅=
−⋅⋅ρ=−=⇒−=
1.444. Radiosonda ima obujam 10 m3 i napunjena je vodikom. Koliko tešku radioaparaturu može ponijeti ako ona sama ima masu 600 g?
V = 10 m3
m = 600 g = 0,6 kgF = ?
N 95,120F
81,96,081,910293,1F
gmgVF
GFF U
=⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅ρ=−=
1.445. Stacionarni tok vode prolazi presjekom cijevi od 50 cm2 brzinom 75 cm/s. Kolikom brzinom prolazi tok vode presjekom 10 cm2.
S1 = 50 cm2
v1 = 75 cm/sS2 = 10 cm2
v2 = ?
sm
scm
75,3375v
10
7550v
S
vSv
vSvS
2
2
2
112
2211
==
⋅=
⋅=
⋅=⋅
1.446. Glicerin protječe kroz cijev promjera 10 cm brzinom 2 m/s. Kolika je brzina strujanja u cijevi promjera 4 cm koja se nadovezuje na prvu?
d1 = 10 cm = 0,1 mv1 = 2 m/sd2 = 4 cm = 0,04 mv2 = ?
2
2
m
m
00125,04
04,0S
4
dS
00785,04
1,0S
4
dS
2
2
22
2
2
1
21
1
=π⋅=
π⋅=
=π⋅=
π⋅=
sm 49,12v
00125,0
200785,0v
S
vSv
vSvS
2
2
2
112
2211
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
1.447. Brzina protjecanja vode kroz široki dio horizontalne vodovodne cijevi jest 50 cm/s. Kolika je brzina vode u produžetku iste cijevi koji ima 2 puta manji promjer?
v1 = 50 cm/s
2
dd 1
2 =
v2 = ?
sm
scm 2200v
504v
v4v
4
d
dv
vd
d
4
d
v4
d
S
vSv
vSvS
2
2
1121
21
2
122
21
22
1
21
2
112
2211
==
⋅=
⋅=⋅=
⋅=π⋅
⋅π⋅
=⋅
=
⋅=⋅
1.448. Koliki je rad utrošen na svladavanje trenja pri prenošenju 25 cm3 vode u horizontalnoj cijevi od mjesta na kojemu je tlak 4 × 104 Pa do mjesta s tlakom 2 × 104 Pa?
V = 25 cm3 = 0,000025 m3
p1 = 4 × 104 Pap2 = 2 × 104 PaW = ?
J 5,0W
000025,010)24(W
V)pp(W
VpΔW
4
21
=⋅⋅−=
⋅−=⋅=
1.449. Na svladavanje trenja pri premještanju 0,05 dm3 vode u horizontalnoj cijevi od mjesta na kojemu je tlak 4 × 104 Pa do nekoga drugog mjesta utrošen je rad 0,5 J. Koliki je tlak na drugome mjestu?
V = 0,05 dm3 = 0,00005 m3
p1 = 4 × 104 PaW = 0,5 Jp2 = ?
Pa 42
42
12
21
21
103p
00005,0
5,0104p
V
Wpp
VpVpW
V)pp(W
VpΔW
⋅=
−⋅=
−=
⋅−⋅=⋅−=
⋅=
1.450. Kolika je brzina istjecanja 10-3 m3 zraka koji se nalazi pod tlakom 1,44 × 104 Pa u prostor napunjen zrakom pri tlaku 0,96 × 104 Pa?
V = 10-3 m3
p1 = 1,44 × 104 Pap2 = 0,96 × 104 Pav = ?
sm 17,86v
293,1
10)96,044,1(2v
V
V)pp(2v
V)pp(2
vm
4
21
21
2
=
⋅−⋅=
⋅ρ⋅−⋅
=
⋅−=⋅
1.451. Ulje protječe kroz cijev promjera 6 cm srednjom brzinom 4 m/s. Kolika je jakost struje?
d = 6 cm = 0,06 mv = 4 m/sI = ?
s011,0I
44
06,0I
v4
dI
vSI
2
2
3m =
⋅π⋅=
⋅π⋅=
⋅=
1.452. Kolika je jakost struje vode u cijevi promjera 4 cm ako je brzina toka 15 cm/s?
d = 4 cmv = 15 cm/sI = ?
scm
cm
33
49,188s
60154I
154
4I
v4
dI
vSI
2
2
=π⋅=⋅π⋅=
⋅π⋅=
⋅π⋅=
⋅=
1.453. Kojom se brzinom spušta razina vode u spremniku površine presjeka 2 m2 ako je brzina istjecanja vode u odvodnoj cijevi presjeka 40 cm2 jednaka 4 m/s? Kolika je jakost struje u spremniku?
S1 = 2 m2
S2 = 40 cm2 = 0,004 m2
v2 = 4 m/sv1 = ?, I = ?
sm 008,0v
2
4004,0v
S
vSv
vSvS
1
1
1
221
2211
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
s01,0I
008,02I
vSI
3m6=
⋅=⋅=
1.454. Kolika je teorijska brzina istjecanja tekućine iz otvora koji se nalazi 4,905 m ispod njezine najviše razine?
h = 4,905 mv = ?
sm 81,9905,481,92v
hg2v
=⋅⋅=
⋅⋅=
1.455. Posuda duboka 40 cm ima otvor na dnu. Kolika je brzina istjecanja tekućine kad je posuda posve puna?
h = 40 cm = 0,4 mv = ?
sm 8,24,081,92v
hg2v
=⋅⋅=
⋅⋅=
1.456. Kolika količina vode isteče u jednoj minuti iz spremnika kroz otvor promjera 4 cm koji se nalazi 4,9 m ispod razine vode?
d = 4 cmh = 4,9 mI = ?
sm 8,99,481,92v
hg2v
=⋅⋅=
⋅⋅=
minm
s
m
33
74,00123,0I
8,94
04,0I
v4
dI
vSI
2
2
==
⋅π⋅=
⋅π⋅=
⋅=
1.457. U širokom dijelu horizontalne cijevi voda teče brzinom 8 cm/s pri statičkom tlaku 14,7 × 104 Pa. U uskom dijelu te iste cijevi tlak je 13,3 × 104 Pa. Kolika je brzina u uskom dijelu cijevi? Trenje zanemarimo.
v1 = 8 cm/s = 0,08 m/sp1 = 14,7 × 104 Pap2 = 13,3 × 104 Pav2 = ?
sm 29,5v
08,01000
10)3,137,14(2v
v)pp(2
v
v
2
1pp
v
v2
1ppv
2
1
v2
1pv
2
1p
2
24
2
21
212
21
2122
2121
22
222
211
=
+⋅−⋅=
+ρ−⋅
=
+ρ⋅
−=
⋅ρ⋅+−=⋅ρ⋅
⋅ρ⋅+=⋅ρ⋅+
1.458. U horizontalnoj cijevi promjera 5 cm voda teče brzinom 20 cm/s pri statičkom tlaku 19,6 × 104 Pa. Koliki je tlak u užem dijelu cijevi promjera 2 cm?
d1 = 5 cm = 0,05 mv1 = 20 cm/s = 0,2 m/sp1 = 19,6 × 104 Pad2 = 2 cm = 0,02 mp2 = ?
sm 25,12,0
02,0
05,0v
vd
dv
4
d
v4
d
v
S
vSv
vSvS
2
2
2
122
21
2
22
1
21
2
2
112
2211
=⋅=
⋅=
π⋅
⋅π⋅
=
⋅=
⋅=⋅
Pa 195238p
)25,12,0(2
1000106,19p
v2
1v
2
1pp
v2
1pv
2
1p
2
2242
22
2112
222
211
=
−⋅+⋅=
⋅ρ⋅−⋅ρ⋅+=
⋅ρ⋅+=⋅ρ⋅+
1.459. Na koju će se visinu podići voda u cjevčici utaljenoj u uski dio horizontalne cijevi promjera 2 cm ako je u širokom dijelu cijevi promjera 6 cm brzina vode 30 cm/s pri tlaku 9,8 × 104 Pa?
d1 = 6 cmd2 = 2 cmv1 = 30 cm/s = 0,3 m/sp1 = 9,8 × 104 Pah = ?
h
S 1 S 2
v , p1 1
v , p2 2
sm 7,23,0
02,0
06,0v
vd
dv
4
d
v4
d
v
S
vSv
vSvS
2
2
2
122
21
2
22
1
21
2
2
112
2211
=⋅=
⋅=
π⋅
⋅π⋅
=
⋅=
⋅=⋅
Pa 94400p
)7,23,0(2
1000108,9p
v2
1v
2
1pp
v2
1pv
2
1p
2
2242
22
2112
222
211
=
−⋅+⋅=
⋅ρ⋅−⋅ρ⋅+=
⋅ρ⋅+=⋅ρ⋅+
1.460. Kroz horizontalnu cijev AB teče tekućina. Razlika između razina tekućine u cjevčicama a i b jest h = 10 cm. Kolika je brzina kojom tekućina teče kroz cijev AB?
h = 10 cm = 0,1 mv = ?
h
a b
A B
sm 4,1v
1,081,92v
hΔg2v
hΔg2
v 2
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅ρ=⋅ρ
