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TEORIA Y PROBLE]I,|AS

NIF DOSE HIDRAULICA

PROBTE]I|AS RESIJEI.TOS

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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMAS

MECANICA DE LOS FLUIDOSE HIDRAULICA

SEGUNDA EDICION

RANALD V. GILES, B. S., M. S. en C. E.

Professor of Ciuil EngineeringDrexel Institute of Technology

TRADUCCION Y ADAPTACION

J¡.rrr.r¿ MoNnve MoNnvl

Ingeniero de Armamento y MaterialLicencíado en Ciencias

Profesor de Ia Escuela Politécnica Superior, Madrid

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LIBROS McGRAW-HILLPANAMA MEXICO NEW YORK

LONDON TORONTO SYDNEY JOHANNESBURG

Derecho de propiedad Registrado en 1969 @ por McGraw-Hill,Todos los Derechos Reservados. Impreso en Colombia.

Queda terminantemente prohibido reproducir este libro

total o parcialmente sin permiso expreso de los editores.

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IMPRESO EN COLOMBIAPRINTED IN COLOMBIA

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Prólogo

Este libro ha sido concebido con el principal propósito de complementar los textos ordinariosde mecánica de los fluidos e hidráulica. Se basa en la convicción del autor de que el esclarecimiento y

comprensión de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecánica se obtienen mejor me-

diante numerosos ejercicios ilustrativos.La anterior edición de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edición,

muchos de los capítulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al día determinados temas

de acuerdo con los más recientes conceptos, métodos y terminología. Se ha dedicado especial atenciónal análisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Capítulo 5. La revisión más extensa se

ha llevado a cabo en los capítulos que tratan los fundamentos del flujo de fluidos, flujo de fluidos en

tuberías y flujo en canales abiertos.La materia se divide en capítulos que abarcan áreas bien definidas de teoria y estudio. Cada capí-

tulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas, junto conel material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propues-

tos. Los problemas resueltos ilustran y amplían la teoría, presentan métodos de análisis, proporcio-nan ejemplos prácticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitanal estudiante para aplicar los principios fundamentales con corrección y seguridad. El análisis del cuerpo

libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energía de la cantidad de movimiento y las

leyes de Newton se utilizan a lo largo de todo el libro. No se ha regateado esfuerzo para presentar pro-blemas originales desarrollados por el autor en los largos años dedicados a la enseñanza de esta mate-ria. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deduccionesde fórmulas. El elevado número de problemas propuestos asegura un repaso completo del materialde cada capítulo.

Los alumnos de las Escuelas de Ingeniería reconocerán la utilidad de este libro al estudiar la me-

cánica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharán la ventaja de su posterior empleo como libro de

referencia en su práctica profesional. Encontrarán soluciones muy detalladas de numerosos problemasprácticos y, cuando lo necesiten, podrán recurrir siempre al resumen de la teoría. Asimismo, el libropuede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribu-nal examinador o por cualesquiera otras razones.

Deseo expresar mi agradecimiento a mi colega Robert C. Stiefel, que ha comprobado cuidado-samente la solución de muchos de los nuevos problemas. También he de expresar mi gratitud a la redac-ción de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo,por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperación.

Philadelphia, Pa.

Junio 1962

RANALD V. GILES

Capitulo

Tabla de materias

Páginas

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS. . . 1

La mecánica de los fluidos y la hidráulica. Definición de fluido. Sistema téc-nico de unidades. Peso específico. Densidad de un cuerpo. Densidad relativa deun cuerpo. Viscosidad de un fluido. Presión de vapor. Tensión superficial.Capilaridad. Presión de un fluido. La presión. Dilerencia de presiones. Varia-ciones de la presión en un fluido compresible. Altura o carga de presión á.

' Módulo volumétrico de elasticidad (E). Compresión de los gases. Para con-diciones isotérmicas. Para condiciones adiabáticas o isoentrópicas. Pertur-baciones en la presión.

2 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES ",,,

Introducción. Fuerza ejercida por un líquido sobre un área plana. Tensióncircunferencial o tangencial. Tensión longitudinal en cilindros de pared delgada.

3 EMPUJE Y FLOTACION

Principio de Arquímedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes

36

424 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS.

Introducción. Movimiento horizontal. Movimiento vertical. Rotación demasas fluidas. Recipientes abiertos. Rotación de masas fluidas. Recipientescerrados.

Capítulo J ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA.

Introducción. Análisis dimensional. Modelos hidráulicos. Semejanza geomé-trica. Semejanza ci¡emática. Semejanza dinámica. La relación entre las fuer-zas de inercia. Relación de las fuerzas de inercia a las de presión. Relación delas fuerzas de inercia a las viscosas. Relación de las fuerzas de inercia a lasgravitatorias. Relación de las fuerzas de inercia a las elásticas. Relación delas fuerzas de inercia a la de tensión suoerficial. Relación de tiemoos.

50

6 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Introducción. Flujo de fluidos. Flujo permanente. Flujo uniforme. Líneas decorriente. Tubos de corriente. Ecuación de continuidad. Red de corriente.Ecuación de la energía. Altura de velocidad. Aplicación del teorema de Bernoul-li. Línea de energías o de alturas totales. Línea de alturas piezométricas.Potencia.

70

TABLA DE MATERIAS

Capitulo FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

Páginas

96

Introducción. Flujo laminar. Velocidad crítica. Número deturbulento. Tensión cortante en Ia pared de una tubería.velocidades. Pérdida de carga en flujo laminar. Fórmula deCoeficiente de fricción. Otras pérdidas de carga.

Reynolds. FlujoDistribución de

Darcy-Weisbach.

Capíhrlo 8 SISTEMAS DEPARALELO Y

TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, ENRAMIFICADAS

Sistemas de tuberías. Sistemas de tuberías equivalentes. Sistemas de tuberíascompuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Métodos de resolución.Fórmula de Hazen-Williams.

rl5

Capíhrlo 9 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS.

Introducción. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de veloci-dad. Coeficiente de contracción. Pérdida de carga. Vertederos de aforo. Fórmu-la teórica de un vertedero. Fórmula de Francis. Fórmula de Banzin. Fórmulade Fteley y Stearns. Fórmula del vertedero triangular. La fórmula del ver-tedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. El tiempo devaciado de depósitos. El tiempo para establecer el flujo.

Capíhrlo I0 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo lamr-nar. La fórmula de Chezy. El coeficiente C. El caudal Q. La pérdida de carga.Distribución vertical de la velocidad. Energía específica. Profundidad crítica.Caudal unitario máximo. En canales no rectangulares y para un flujo crítico.Flujo no uniforme. Los vertederos de aforo de pared gruesa. Resalto hi-dráulico.

Capítulo 11 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS ENMOVIMIENTO

Introducción. El principio de impulso-cantidad de movimiento. El coeficientede corrección de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentación. Resrs-tencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentación. Númerode Mach. Teoria db la capa limite. Placas planas. Golpe de ariete. Veloci-dades supersónicas.

MAQUINARIA HIDRAULICA

Maquinaria hidráulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidráulicas, bombas ysoplantes, Velocidad específica. Rendimiento. Cavitación. Propulsión por hé-lices. Los coeficientes de la hélice.

Capítulo 12 225

TABLA DE MATERIAS

APENDICES Páginas

Tabla 1. Propiedades aproximadas de algunos gases.. 246

2. Densidad relativa y viscosidad cinemática de algunos líquidos 2473. Coeficiente de fricción f para agua solamente. . . . . 2484. Pérdidas de carga en accesorios 249

5. Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. 2506. Algunos valores del coeficiente C, de Hazen-Williams. 2507. Coeficientes de desagüe para orificios circulares de arista viva. . . . . . . 2518. Algunos factores de expansión Y para flujo... 2529. Algunos valores medios de n empleados en las fórmulas de Kutter y de

Manning y de m en la fórmula de Bazin. 25210. Valores de C de la fórmula de Kutter. 25311. Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales 25412. Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales 25513. Areas de círculos 25614. Pesos v dimensiones de tuberías de fundición 256

DIAGRAMAS

Diagramas l-1.A-2.

B.C.D.E,F.G.

H.

Diagrama de Moody para coeficientes de fricción f .. ........ 257

Diagrama de Moody modificado para coeficientes de fricción /(solución directa para el flujo O). 258

Nomograma de caudales, fórmula de Hazen-Williams (Ct : 100). 259Coeficiente para orificios medidores 260Coeficientes para boquillas de aforo 261Coeficientes para venturímetros. . 262

Coeficiente de resistencia en función de Rr. 263Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas... 264

Coeficientes de resistencia a velocidades supersónicas 265

TNDICE 261

cc

cu

C

a

/

b

c

CG

ce

CD

CF

CL

CT

c1

cfs

d,D

D1

Dr

e

E

J

SIMBOLOS Y ABREVIATURAS

En la siguiente lista se da el significado de las letras empleadas en este libro. Porimposible evitar la utilización de la misma letra para representar más de una magnitud.al introducirlo por primera vez, no existe confusión posible.

potencra enwQHl75

momento de

la limitación del alfabeto es

Como cada símbolo se define

caballos de vapor (CV) :

inercia en mo o cmo

producto de inercia en ma o cma

relación de los calores específicos, exponen-te isoentrópico (adiabático), constante deVon Karman

coeficiente de desagüe en canales trapezoi-dales, coeficiente de pérdida de carga enensanchamientos, constante

::."L"1.*. de pérdida de carga en contrac-

longitud de mezcla en m

longitud en m

longitud equivalente en m

coeficiente de rugosidad en la fórmula deBazin, coeficiente de vertedero en presas

masa en UTM (unidad técnica de masa) okg seg2/m, peso molecular

coeficiente de rugosidad, exponente, coefi-ciente de rugosidad en las fórmulas de Kut-ter y de Manning

velocidad de rotación en rpm

velocidad especifica en rpm

velocidad unitaria en rpm

número de Froude

número de Mach

número de Weber

presión el kglm2, perímetro mojado en m

presión en k!/cm2

fuerza en kg, potencia en kgm/seg

potencia uritaria en kgm/seg

libras/pie'? (lb/ft'?)

fibras/pulgada'z (lblin2), absoluta. En el sis-tema técnico europeo kg/cm'? (ab)

lb/in2, manométrica. En el sistema técni-co europeo simplemente kglcm2

caudal por unidad de anchura en m3/segpor unidad de anchura

caudal en volumen en m3/seg

aceleración en m/seg2, área en m2

área en m2

longitud de un vertedero en m, anchura enla superficie libre del agua en m, anchurade solera de un canal abierto en m

coeficiente de desagüe o descarga, celeridadde la onda de presión en m/seg (velocidaddel sonido)

coeficiente de contracción

coeficiente de velocidad

coeficiente de Chezy, constante de integra-ción

centro de gravedad

centro de presión, coeficiente de potenciaen hélices

coeficiente de arrastre o resistencia

coeficiente de empuje en hélices

coeficiente de sustentación

coeficiente del par en hélices

coeñciente de Hazen-Williams

pies cúbicos por segundo

diámetro en m

diámetro unitario en cm

densidad relativa

rendimiento

módulo de elasticidad volumétrico en kg/m2,en kg/cm2 o en kg/mm2, energía específicaen kgm/kg

factor o coeficiente de rozamiento de Darcy

hp

I1,,

k

K

K,

I

f

LE

m

M

n

N

NF

Nv

p

p'

P

D

psf

psla

psrg

q

o

en flujo en tuberías

F fuerza en kg, empuje en kg

g aceleración de la gravedad : 9,81 m/seg'z -)JZ.r ples/seg-

gpm galones americanos por minuto

h altura de carga en m, altura o profundidaden m, altura o carga de presión en m

H altura o carga total (energía por unidad depeso)enmokgm/kg

H, h" pérdida de carga en m (algunas veces se

designa por LH)

SIMBOLOS Y ABREVIATURAS

Dr

V

v"

w

W

v

!"

Q.

r

ro

R

RE

s

,so

t

descarga o caudal unitario en mr/seg

radio en m

radio de una tubería en m

constante de los gases, radio hidráulico en m

número de Reynolds

pendiente de la línea de alturas piezométri-cas, pendiente de la línea de alturas totales

pendiente de la solera de un canal

tiempo en seg, espesor en cm, viscosidaden grados Saybolt

T temperatura, par en mkg, tiempo en seg

u velocidad periférica de un elemento que estágirando en m/seg

u, u, rD componentes de la velocidad en las direc-cionesX,YyZ

r; volumen en m3, velocidad local en m/seg,

velocidad relativa en maquinaria hidráuli-ca en m/seg

volumen específico : llw en m3lkg

velocidad de corte : Jrt, en m/seg

velocidad media en m/seg (o como vengadefinida)

velocidad crítica en m/seg

peso específico en kg/m3

peso en kg, caudal en peso : wQ enkglseg

distancia en m

proflundidad en m. distancia en m

profundidad crítica en m

profundidad normal en m

coeficientes de expansión en flujos com-presibles

elevación, altura topográfica o cota (car-ga) en m

altura de la cresta de un vertedero sobre

la solera del canal en m

lnY

z

Z

a (alfa) ángulo, coeficiente de corrección de la energía cinética

B @eta) ángulo, coeficiente de corrección de la cantidad de movimientoó (delta) espesor de la capa límite en mA (delta) término correctivo del flujoe (épsilon) rugosidad superficial en cm

n @ta) viscosidad de remolino0 (theta) ángulo genéricop (mi) viscosidad absoluta o dinámica en kg seg/m2 (o en poises)

v (ni) viscosidad cinemática : plp en m2/seg (o en stokes)n (pi) parámetro adimensionalp (ro) densidad : ülg en kg seg2/ma o UTM/m3o (sigma) tensión superficial en kg/m, tensión o esfuerzo normal en kg/cm2

r (tau) tensión o esfuerzo cortante o tangencial en kg/m2

d (fi) coeficiente de velocidad, potencial de velocidad, relación

ú (psil función de corrienteco (omega) velocidad angular en rad/seg

FACTORES DE CONVERSION

1 pie cúbico (ft3) : 7,48 galones americanos : 28,32 litrosI galón americano : 8,338 libras de agua a 60' F : 3,7854 litros1 pie cúbico por segundo : 0,646 millones de galones por día : 448,8 galones por minuto1 libra-segundo por pie cuadrado (p) : 478,7 poises : 4.88 kg seg/m2

I poise : I glcm seg : l/98.1 kg seg/m21 pie cuadrado por segundo (v) : 929 stokes (cm2/seg¡

t horsepower (HP) : 550 pieJibras por segundo : 0,746 kilovatios : 1,014 caballos de vapor (CV) : 7ó kgrn/seg

I caballo de vapor (CV) : 75 kgm/seg : 0,736 kilovatios (kW) : 0,986 horsepower (HP)760 mm Hg : ¡O pulgadas de mercurio (in Hg)

: 34 pies de agua (ft HrO): 14,7 libras por pulgada cuadrada 1lb/in'z;: 1,033 kglcm2 : I Atm (atmósfera fisica)

I kg/cm'z : I at (atmósfera técnica) : 0,9678 Atm : 14,22 lblin2I libra por pie cuadrado (lb/ft'? o Rsf) : 4,33 ¡tr-'

Capítulo 1

Propiedades de los fluidos

LA MECANICA DE LOS FLUIDOS Y LA HIDRAULICA

La rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en reposoo en movimiento constituye la mecánica de los fluidos y la hidráulica. En el desarrollo de los principiosde la mecánica de los fluidos algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante,mientras que otras o influyen muy poco o nada. En la estática de los fluidos, el peso específico es la pro-piedad importante, mientras que en el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predo-minan. Cuando tiene lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios de

la termodinámica. Al intervenir presiones manométricas negativas la tensión de vapor pasa a ser im-portante y la tensión superficial afecta a la estática o cinemática de los fluidos cuando las secciones depaso son pequeñas.

DEFINICION DE FLUIDO

Los fluidos son sustancias capaces de <fluir> y que se adaptan a la forma de los recipientes que loscontienen. Cuando están en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes.Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma.

Los fluidos puedeu dividirse en líquidos y gases. Las diferencia,s esenciales entre líquidos y gases

son (a) Ios líquidos son práclic¡mente incompresibles y los gas€s Éon compresibles, por lo que en muchasocasiones hay que fratarlqs ppr¡g gales y (ó) los líquidos @uBan un volu¡trcn definido y tienen super-frcies libres rnientras qu€ unl masa dad'ade ga$ se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipienteque lg contenga.

SISTEMA TECNICO DE UNIDADES

Las magnitudes fundamentales seleccionadas son la longitud, fuerza y tiempo. Las tres unidadesfundamentales correspondientes son el metro para la longitud, el kilogramo fuerza (o kilogramo peso)y el segundo. Las otras unidades pueden deducirse a partir de éstas. Así, la unidad de volumen es el m3,la unidad de la aceleración el m/seg2, la de trabajo el kgm y la unidad de presión elkglm2. Algunos datospueden venir dados en otras unidades y deben convertirse al sistema metro-kilogramo fuerza-segundoantes de aplicarlos a la solución de los problemas.

La unidad de masa en este sistema, la UTM (unidad técnica de masa), se establece a partir de lasunidades de fuerza y de aceleración. Para un cuerpo que cae en el vacío la aceleración a que está some-tido es la de la gravedad (g : 9,81 m/seg2 al nivel del mar) y la única fuerza que actúa es su peso.A partir del segundo principio de Newton,

fuerza en kg - masa en UTM x aceleración en m/seg2

peso en kg : masa en UTM x 9(9,81 m/seg2)

masa M en UTM : P:=to=,II'"3 E9(9,81 m/seg2)

De aquí

o (1)

lPROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1

PESO ESPECIFICO

El peso específico ru de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. Enlos líquidos, ru puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presión. El peso espe-cífico del agua para las temperaturas más comunes es de 1000 kg/mt. Véase el Apéndice, Tablas 1(C)y 2, para valores adicionales.

Los pesos específicos de los gases pueden calcularse mediante la ecuación de estado de los gases o

(leyes de Charles y Boyle)

dondep es la presión absoluta en kg/m2, u" el vólumen específico o volumen ocupado por la unidad depeso en m'lkg, Zla temperatura absoluta en grados Kelvin ("K': "C + 273) y R la constante del gasen m/'K. Como w : Ilu", la ecuación anterior puede escribirse

lJil:=.'

RT

DENSIDAD DE UN CUERPO p (ro) : rnaso por unidad de volumen : talg.

En el sistema técnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665 : 101,972 (- 102) UTM/m3o kg seg2/ma. En el sistema cgs la densidad del agua es I glcm3 a4'C. Véase Apéndice, Tabla 1(C).

DENSIDAD RELATIVA DE UN CUERPO

La densidad relativa de un cuerpo es un número adimensional que viene dado por la relación delpeso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los sólidosy líquidos se refieren al agua a 4" C, mientras que los gases se refieren al aire libre de CO, e hidróge-no a 0" C y Atm de presión, como condiciones normales. Por ejemplo,

densidad relativa de una sustancia : peso de la sustanciapeso de igual volumen de agua

peso específico de la sustanciapeso específico del agua

Asi, si la densidad relativa de un aceite es 0,750 su peso específico será 0,750(1000 kg/m3) : 750 kg/m..La densidad relativa del agua es 1,00 y la del mercurio 13,57. La densidad relativa de una sustancia

viene dada por el mismo número en cualquier sistema de unidades. Véase Apéndice, Tabla 2.

(2\pls D

fL

T

(3)

(4)

VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

La viscosidad de un fluido es aquella propiedadque determina la cantidad de resistencia opuesta a lasfuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmen-te a las interacciones entre las moléculas del fluido.

Con referencia a la Fig. 1-1, se consideran dos pla-cas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadasuna pequeña distancia /, y con el espacio entre ellaslleno de un fluido. Se supone que la placa superior se

mueve a una velocidad constante U al actuar sobre ella Fig. l-1

cAP. 1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

una fuerza 4 también constante. El fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella moviéndo-se a la misma velocidad [/, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecerá en reposo.Si la separación y y la velocidad U no son muy grandes, la variación de las velocidades (gradiente) vendrádada por una línea recta. La experiencia ha demostrado que la fuerza F varia con el área de la placa,con la velocidad U e invbrsamente con la separación y. Como por triángulos semejantes, Uly : dVldy,tenemos

donde r : FIA: tensión o esfuerzo cortante. Al introducir la constante de proporcionalidad p (mi),llamada uiscosidad absoluta o dinámica.

dVr_r = l¿¡ o .ip =

AU dVIG-4, u au

Fdv"Adv

dV/du

Las unidades de ¡.r ,on kg--ttg,

ya que ,-\F-l:1,,..: 9# Los fluidos que siguen la relación (5) sem' (m/seg)/m m-llaman fluidos newtonianos (véase Problema 9).

Otro coeficiente de viscosidad, llamado uiscosidad cinemática, viene definido por

(5)

(6)

üscosidad cinemáüca v (ni)l: viscosidad absoluta ¡r

densidad

l'.!J

lt)o

Las unidades de v sc m2rn

-' y?

-ll

^ 1t1/ nI' wvl:,

^.,^ (kg seg, m2 )(m, seg2 ) m2v-'l Kg/m" seg

Las viscosidades en los manuales vienen dadas normalmente en poises y stokes (unidades del sis-tema cgs) y en ocasiones en grados o segundos Saybolt, a partir de medidas en viscosímetros. Algunasconversiones de un sistema a otro de unidades se dan en los Problemas 6-8. En las Tablas I v 2 delApéndice se dan algunos valores de viscosidades.

En los líquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, pero no se ve afectada apre-ciablemente por las variaciones de presión. La viscosidad absoluta de los gases aumenta al aumentarla temperatura, pero casi no varía con la presión. Como el peso específico de los gases varía con la presión(a temperatura constante), la viscosidad cinemática es inversamente proporcional a la presión. Sin em-bargo. de la ecuación anterior, lg: wv.

PRESION DE VAPOR

Cuando tiene lugar el fenómeno de la evaporación dentro de un espacio cerrado, la presión parciala que dan lugar las moléculas de vapor se llama presión de vapor. Las presiones de vapor dependende la temperatura, aumentando con ella. En la Tabla 1(C) se dan valores para el agua.

TENSION SUPERFICIAL

Una molécula en el interior de un líquido está sometida a la acción de fuerzas atractivas en todaslas direcciones, siendo la resultante nula. Pero si la molécula está en la superficie del líquido, sufre laacción de un conjunto de fuerzas de cohesión, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aquíque sea necesario consumir cierto trabajo para mover las moléculas hacia la superficie venciendo laresistencia de estas fuerzas, por lo que las moléculas superficiales tienen más energía que las interiores.

La tensión superficial de un líquido es el trabajo que debe realizarse para llevar moléculas en nú-mero suficiente desde el interior del líquido hasta la superficie para crear una nueva unidad de super-

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. I

ficie (kgm/m2¡. Este trabajo es numéricamente igual a lafierza tangencial de contracción que actuarasobre una línea hipotética de longitud unidad situada en la superficie (kg/m).

En la mayoría de los problemas presentados en las mecánicas de fluidos elementales la tensiónsuperficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tensión superficial o (sig-ma) para el agua en contacto con el aire.

CAPILARIDAD

La elevación o descenso de un líquido en un tubo capilar (o en situaciones fisicas análogas, talescomo en medios porosos) vienen producidos por la tensión superficial, dependiendo de las magnitu-des relativas de la cohesión del líquido y de la adhesión del líquido a las paredes del tubo. Los líquidosascienden en tubos que mojan (adhesión > cohesión) y descienden en tubos a los que no mojan (cohe-sión > adhesión). La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente meno-res de 10 mm.

PRESION DE UN FLUIDO

La presión de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa normal-mente a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presión en un líquidoes igual en cualquier punto. Las medidas de presión se realizan con los manómetros, que pueden serde diversas formas. De no advertir lo contrario, a través de todo el libro las presiones serán las presio-nes relativas o manométricas. La presión manométrica representa el valor de la presión con relacióna la presión atmosférica.

LA PRESION viene expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general,

P lkglm2l: m,Cuando la fuerza P actua uniformemente distribuida sobre una superficie, tenemos

,-, ,,.^t - 2. P (kg)D lKslcm"l: -r \!\6/vrr¡,_Aqcm2¡(kg/m') :iffiDIFERENCIA DE PRESIONES

La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un líquido viene dada por

- Pt : w(h, - ht)¡ en kglm2

donde ru : peso específico de líquido (kg/mt) y hz - ftr : diferencia en elevación (m).Si el punto 1 está en la superficie libre del líquido y /r es positiva hacia abajo, la ecuación anterior

se transforma en

P:wh

Para obtener la presión en kgfcm2,

[en kglm2 (man)]

[en kg/cm2(man)]

Estas ecuaciones son aplicables en tanto que ru se mantenga constante (o varía tan ligeramentecon h, que no introduzca un error significativo en el resultado).

(7)

,pwhP - rco--Tú

(8)

(e)


VARIACIONES DE LA PRESION EN UN FLUIDO COMPRESIBLE

Las variaciones de presión en un fluido compresible son, por lo general, muy pequeñas ya que lospesos específicos son pequeños, como también lo son las diferencias en elevación consideradas en lamayoría de los cálculos en la hidráulica. Cuando se han de tener en cuenta para pequeñas diferenciasen elevación dh, la Iey de variación de la presión puede escribirse en la forma

dp : -w dh (10)

El signo negativo indica que la presión disminuye al aumentar la altitud, con /r positiva hacia arriba.En los Problemas 29-31 se dan aplicaciones de esta fórmula.

ALTURA O CARGA DE PRESION ¿

La altura de presión ft representa la altura de una columna de fluido homogéneo que dé la presióndada. Así

h (m de nuido) : ffi#j (ltl

MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD (')

El módulo volumétrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relación de

la variación de presión a la variación de volumen por unidad de volumen.

^ dp' ks/cm2E:'f,, :Kg,rcm2 (12)-clD/D m"/m"

COMPRESION DE LOS GASES

La compresión de los gases puede tener lugar de acuerdo con diversas leyes de termodinámica.Para la misma masa de gas sujeta a dos estados diferentes,

P'!:\ly = wR n J* P¡ ,)T' 7't ' 7t)tt t fu' : I¿ (13)

donde p : presión absoluta en kglm2, u : volumen en m3, W : peso en kg,¿{, : peso específico en kg/m3, R : constante del gas en m/oK,7 : temperatura absoluta en grados Kelvin (C + 273).

PARA CONDICIONES ISOTERMICAS (temperatura constante) la expresión anterior (13) se trans-forma en

'Pfl)t:PzLtzY#:#=constante(14)

También Módulo volumétrico E : p (en kg/m2) (15)

PARA CONDICIONES ADIABATICAS O ISOENTROPICAS (sin intercambio de calor) las ex-presiones anteriores se convierten en

Pfll = p¿u.) v (#)- = tt; = constante u6)

6

También

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Tz ¡4i1 ,r, r'.rTt \pt)

[cAP. I

(17)

y Módulo volumétrico E : kp (en kel^') (18)

donde k es la relación de calores específicos a presión constante y a volumen constante. Se le llama tam-bién exponente adiabático.

La Tabla I(A) d,el Apéndice da algunos valores típicos de R y k.Para muchos gases, el productode R por el peso molecular es aproximadamente 848.

PERTURBACIONES EN LA PRESION

Cualquier perturbación en la presión de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas depresión se mueven a una velocidad igual a la de propagación del sonido a través del fluido. La veloci-dad de propagación o celeridad, en m/seg, viene dada por

c : \/E/p U9)

donde E viene medido en kgfmz. Para los gases, la velocidad de sonido es

6 = y1q/p = 1ñgilt (20)

Problemas resueltos

ü f . Calcular el peso específico w, elvolumen específico u" y la densid ad, p del metano a 38" C y 8,50 kg/cm2de presión absoluta.

Solución:

De la Tabla 1(,a) del Apéndice, R : 53.

Peso específic o * : +: #:,% : 5,16 kglm3RT 53(273 + 38)

volumen específico ,": :: * : 0,194 m3/kg

Densidad o:*:5:r=1 :o,szl urM/m3' c 9,81

* 2. Si 6 m3 de un aceite pesan 5080 kg, calcular su peso específico ru, densidad p y densidad relativa.

Solución:

Peso específico, : 5080 $ : 8¿8 kg/m3

Densidad p:w :-t1? ut/-',:86,5 urM/m3g y.ó l m/seg-

Densidad relativa : *u" : tot : o.ro,D^o 1000


¿é 3. A 32" C y 2,10 kgf cm2, el volumen específico u" de cierto gas es 0,71 mt/kg. Determinar la constan-te del gas R y su densidad p.

Solución:

Como ru : P, R: P :Pu"- (2'10 x loa)(o'7l)RT wT T 273+32 -hi q\'r\

Densidad ,:!:W I I

c c :'oJl

" 9"81 : o'1436 urM/m3

* ¿. (n) Determinar la variación de volumen de 1 m3 de agua a27" C al aumentar la presión en2Lkglcm2 .

(ó) A partir de los siguientes datos experimentales determinar el módulo de elasticidad volumé-trico del agua: a 35 kglcm2 el volumen era de 30 dm3 y a 250 kglcrn2 de 29,70 dm3.

Solución:

(a\ De la Tabla 1(C) del Apéndice, E a 27" C es de 22,90 x 103 kglcm2. Mediante la fórmula (12),

,Jr: -'dP'- -1 x 21 x loa:

-9.15 x ro-a m3E 22,9 x 101

(b) La definición asociada con la fórmula (12) indica que las variaciones correspondienfes en la presión y volumenson las que deben considerarse en la fórmula. De aqui, un aumento en la presión se corresponde con una

disminución de volumen.

dn'E-L

- --;--- -aulL)

(250-35)x104(29,70- 30)x 103/30x I0r

: 21,50 x 107 kg/m'?

x 5. Un cilindro contiene 356 dm3 de aire a 49' C y una presión absoluta de 2,80 kglcmz . Se comprime* el aire hasta 70 dm3. (c) Suponiendo condiciones isotérmicas, ¿cuál es la presión en el nuevo volu-men y cuál el módulo de elasticidad volumétrico? (á) Al suponer condiciones adiabáticas, ¿cuáles la presión final, la temperatura final y el módulo de elasticidad volumétrico?

Solución:(a) Para condiciones isotérmicas, pJ)t : pzDz

De aquí, 2,80 x 104 x 0,356 : pi \ 104 x 0,070

El módulo volumétrico E : p' : 14,20 kglcm2.

! pz : 14,20 kglcm2 (ab)

(b) Para condiciones adiabáticas, pru\: pzu\. I la Tabla 1(,a) del Apéndice da k:1,40. De aquí,

2,80 x 104(0,356)1'40 : pt x 104(0,070)1'40 y p;:27,22 kglcm2 (ab).

La temperatura final se obtiene a partir de la ecuación (17):

T?: ¡P'¡,u-r>,*, _:, ^ : 12J4 ¡o,nu,r.nu, T2: 616" K : 343. cTt pz 2'73 + 49 ' 2,80 '

El módulo volumétrico E: kp': 1,40 x 27,22:38.10 kglcm2.

6. De las International Critical Tables,la viscosidad del agua a20" C es 0,01008 poises. Calcular (a)laviscosidad absoluta en kg seg/mt. (á) Si la densidad relativa a20" C es 0,998, calcular el valor de la

viscosidad cinemática en m2/seg.

Solución:

Elpoiseestámedidoendinasseg/cm2. Como l kg:9,81 x lOsdinasy 1m: l00cm,obtenemos

ks ses 9.81 x 105 dinas seel--: ; i -:9E.1 porses

(o) I en

(b) v en

kg seg/m2 : 0,01008/98,1 : 10,28 x 10-s

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1

.-.., -á: 1,01 x 10-s

10- 3 m2/seg.

15,5" C en viscosidad cinemática v en m2/seg.

SOLIDO RICIDO IDEAL

SOLIDO REAL

) tt p pC 10,28 x 10-s x 9,81ru- 5€E : p wlq w 0,998 x 1000

\ 7. Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya viscosidad absoluta es de 15,14 poises y su den-sidad relativa 0,964 dando el resultado en m2/seg.

Solución:

Procediendo como en el Problema 6,

15,14 x 9,81

' : is,trii: t'57 x

Convertir una viscosidad de 510 segundos Saybolt a

Solución:

Cuando para la determinación se ha utilizado un viscosímetro universal Saybolt, parala conversión se utili-za uno de los dos grupos de fórmulas siguientes:

(a) para I < 100, ¡r en poises : (0,00226t - l,95lt) x densidad relativapara t > 100, ¡r en poises : (0,00220t - l,35lt) x densidad relativa

(b) para / < 100, v en stokes -- (0,00226t - l,95lt)para / > 100, v en stokes : (0,00220t - l,35lt)

donde / mide los segundos Saybolt. Para convertir stokes (cm2/seg) en m2/seg solo es necesario dividir por 10a.

Mediante el segundo grupo (ó) de fórmulas, ya que / > 100, v: (0,00220 x 510 - l:]l¡ " fO--' 5t0': l,ll94 x 10-a m2fseg.

8.

9. Estudiar las características de velocidad de de-formación bajo esfuerzo cortante, que se repre-sentan para diversos tipos de fluidos en la Figu-fa I-2.

Solución:

(a) Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdocon la ley t : p(dvldy), o bien que la tensión cor-tante es proporcional al gradiente de velocidadeso velocidad de deformación tangencial. Por tanto,para estos fluidos, la gráfica de la tensión cortanteen función del gradiente de velocidades es una línearecta que pasa por el origen. La pendiente de estarecta determina la viscosidad.

(b) En un fluido <ideab> la resistencia a la deforma-ción cortante o tangencial es nula, de aquí que sugráfica coincida con el eje de abscisas. Aunque losfluidos ideales no existen, en ciertos análisis estájustificada y es útil la hipótesis de fluido ideal.

(c) Para un sólido rígido <ideal> no hay deformación bajo ningún estado de carga, y la gráfica coincide con eleje y de ordenadas. Los sólidos reales sufren siempre alguna deformación y, dentro del límite de proporcio-nalidad (ley de Hooke), la gráfica es una línea recta casi vertical.

(d) Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tensión cortante no es proporcional a la veloci-dad de deformación tangencial, excepto quizá a tensiones cortantes muy pequeñas. La deformación de estosfluidos pudiera clasificarse como plástica.

(") Los materiales plásticos <ideales> pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, ya partir de un cierto valor de aquél se deforman con una velocidad proporcional a la tensión cortante.

tI

.2

-a

'óFLUIDO IDEAL

Gradiente de velocidades 4I +dy

Fig. l-2

..,.99{,99P *.Y.'ft "ü.Ctg

(Y

cAP. rl PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Con referencia ala Fig. 1-3, el fluido tiene unaviscosidad absoluta de 4,88 x 10-3 kg seg/m2y una densidad relativa de 0,913. Calcular elgradiente de velocidades y el módulo de latensión cortante en el contorno y en los pun-tos situados a 25 mm, 50 mm y 75 mm delcontorno, suponiendo (a) una distribuciónde velocidades lineal y (á) una distribución develocidades parabólica. La parábola en el di-bujo tiene su vértice en A. El origen está en ,8.

Solución:(a) Para la hipótesis de distribución lineal, la re-

lación entre la velocidad y la distancia y es

V : 15y. De aqui dV : 15 dy, y el gradientede velocidades es dVldy : lJ.

Para Y:0, V:0, dvldY: 15 seg-t Y

t: ¡t(dVldy):4,88 x 10 3 x 15:7,32 x l0-2 k'lm2

Análogamente, para los otros valores de y, también se obtiene r :7,32 x l0-2 kglm2.

(b) La ecuación de la parábola debe satisfacer la condición de que la velocidad sea cero en el contorno -8. Laecuación de la parábolaes V:1,125 - 200(0,075 - y)2.Luego dvldy:400(0,075 - y)y la tabulaciónde los resultados conduce a lo sieuiente:

yx103 V dVldy 4,88 x lO-3(dVldy

0255075

00,6251,000|,125

JI,,

20100

0,1464 kslm20,0976 kglm20,M88 kglm'z

0

Se observará que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el ejede las tuberías en conducción forzada, como se verá más adelante) la tensión cortante es cero.

Las unidades del gradiente de velocidades son seg-t y el producto p(:dvldy): (kg seg/m'z)(seg-1.¡ :kg/m2, dimensiones correctas de la tensión cortante r.

\ 11. Un cilindro de 12 cm de radio gira concéntricamente en el interior de un cilindro fijo de 12,6 cmde radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determinar la viscosidad del líquido quellena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 9,0 cm kg para mantener una velocidadangular de 60 revoluciones por minuto.Solución:

(a) El par se transmite al cilindro exterior a través de la capa de fluido. Como el espaciado entre los cilindroses pequeño, los cálculos pueden realizarse sin integración.

Velocidad tangencial del cilindro interior : ra : (0,12 m)(2n radlseg) : 0,755 m/seg.En el pequeño espacio entre los cilindros puede suponerse lineal el gradiente de velocidades y utilizar

el radio medio. Así, dvldy:0J551Q,120 - 0,126):125,8 (m/seg)/m o seg-1.

Par aplicado : par resistente

0,09 : r(área)(brazo) : r(Zn x 0,123 x 0,30)(0,123) y

De aquí, ¡t: tl@Vldy) : 3,151125,7 : 0,02500 kg seg/m2.

10.

Fig. 1-3

vi

t:3,l5kglm2.

t0 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. I

(b) En un método matemático más exacto se utiliza el cálculo como sisue:Como antes, 0,09: t(2nr x 0,30)r, de donde t:0,04'76112.

Ahora bien, {:::9!+' donde las variables son la velocidad V y el radio r. La velocidad es'dy p pr"

cero en el radio mayor e igual a 0,755 m/seg en el radio menor.

Ordenando la expresión anterior y sustituyendo -dr por dy (el signo menos indica que r disminuyecuando y aumenta), se obtiene

[''" o' :0'0476 [o'"o -o'tr,* l"l Jt.tzo 7 Y

. 0,0476 f l1o.t:ov. _v :_t_l' ex | || | r Jo,tzo

Fig. 1-4

Por tanto, (0,755 - o) : o'ootu(-l - ^!l de donde p : 0,02500 kg seg/m2.¡t '0,120 0,126'

12. Demostrar que la presión en un punto es la misma entodas las direcciones.Solución:

Considérese un pequeño prisma triangular de líquido enreposo, bajo la acción del fluido que lo rodea. Los valores me-dios de la presión sobre las tres superficies son pl, pz ! pt. Enla di¡ección z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan en-tre ellas.Sumando las fuerzas en las direcciones n e y se obtiene

EX:0, Pr-Pt sen0:0o pr(dy dz) - pt(ds dz) sen 0 : 0

IY:0, Pr-Prcos0-dW:0o pr(dx dz) - pr(ds dz) cos 0 - u(+ dx dy dz) : 0

Deducir la expresión (pz - pt) : w(hz - hr).Solución:

Considérese una porción de liquido AB (Fig. 1-5) como uncuerpo libre de sección recta transversal dA que se mantiene enequilibrio bajo la acción de su propio peso y la acción de lasotras partículas de liquido sobre el cuerpo AB.

En A la fuerza que actúa es p, dA (la presión en kg/m2 pore\ área en m2); en B es prdA. El peso del cuerpo libre lB es

W : tt¡D : wL dA. Las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpolibre AB son normales a sus lados, de las que se muestran solounas pocas en la figura. Al establecer 2X : 0, dichas fuerzasnormales no es necesario considerarlas en la ecuación. Por con-slgurente,

pzdA-ptdA-wLdAsen

Como Z sen 0 : h, - h,,, la ecuación anterior se reduce a (p,

Como dy: ds sen 0 y dx: ds cos 0, las ecuaciones se reducen a las siguientes:

ptdydz - ptdydz:0 o pz:pzy pldxdz - pzdxdz - w(ldxdydz):0 o pt - pz - w(|dy):0

Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un ptnto, dy tiende a cero en el límite, y la presión media sevuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda defi¡rida la presión en un punto. Por tanto, al ponerdy : O en Ia ecuación (2) se obtiene pt : pt y de aqui pr : pz: pt.

(1)

(2)

13.

-lrt x

0/,

Fig. r-5

0:0

- Pt) : w(h.t - ht)'

cAP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 11

* 14. Determinar la presión en kgf cmz sobre una superñcie sumergida a 6 m de profundidad en unamasa de agua.

Solución:

Utilizando el valor medio de 1000 kg/m3 para tD,

wh 1000 x 6e : lo"

: o'60 kglcm2 (man)

* fS. Determinar la presión en kg/cm2 a una profundidad de 9 m en un aceite de densidad relativade 0,750.

Solución:

, wh (0.750 x 1000)9e : 1F : o'675 kglcm2 (man)

* 16. Encontrar la presión absoluta en kg/cm2 en el Problema 14 si la lectura barométrica es de 75,6 cm

de mercurio (densidad relativa 13,57).

Solución:

Presión absoluta : presión atmosférica * presión debida a los 6 m de agua

(13.57 x 1000X0.756) 1000 x 6* r:ft| : r.628 kg/cm, (ab)

*17. ¿A qué profundidad de un aceite, de densidad' 2,80 kglcm2? ¿A cuál si el líquido es agua?

Solución:, p 2.80x104n--:- :37.30m.

w^. 0.750 x 1000

relativa 0,750, se producirá una presión de

, p 2,80x104n^r: i.: =jl]r* : 28,00 m

+ 18. (a) Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite, de densidad relativa 0,750.

(b) Convertir una altura de presión de 60 cm de mercurio en altura de aceite, de densidad rela-tiva 0,750.

Solución: (.'66h s /"

lal /t" : ¿.,'ffu""i,. : a-rt : F ^

19. Preparar un gráfico de forma quepuedan compararse fácilmente las pre-siones manométricas (man) y absolutas(ab) con las limitaciones que se haránnotar.Solución:

Sea I un punto, Fig. 1-6, a una presiónabsoluta de 3,85 kglcm2. La presión mano:'métrica dependerá de la presión atmosféricareinante. Si tal presión es la atmosférica nor-mal al nivel del mar (1,033 kg/cm'z), la pre-sión manométrica en A setá 3.850 - 1.033: 2,817 kg/cm2. La lectura barométrica máscorriente equivale a una presión de 1,014kglcm2, con lo que la presión manométricaobtenida sería 3,850 - 1,0t4 : 2,836kglcm2lmanl.

bt h--: hu, -

13'57 x o'60 = ,0.r, -den. rel. aceite 0.750

IPRESIONES." Or'".tl-

2 836 man

-0 544 man 0.561 man

rl-+ó o.¿t o6

Cero abtoluto(\'acío total )

385ab

\ P atmós reinante= I.014

| 031 ab

Fie. l-6

f cero ¿bs

,/ -1.033 man o

t, - 1.014 man

t2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1

Sea .B un punto a una presión absoluta de 0,47 kglcm2. Este valor viene representado gráficamente por de-

bajo de la presión atmosférica normal 1,033 kg/cm2 y la presión manométrica para B será 0,470 - 1,033 :-0,563 kglcm2 (man). Si la presión atmosférica reinante es de 1,014 kglcm2,la presión manométrica para este

valor será 0,470 - 1,014 : -0J4 kglcm2 (man).

Sea C un punto a una presión absoluta igual a cero. Esta condición es equivalente a una presión manomé-trica <normal> negativa de - 1,033 kglcm2 y a una presión manométrica, representativa del valor más corrien-te, de -1,014 kg/cm2.

Las conclusiones que se pueden sacar son importantes. Las presiones manométricas negativas no pueden

exceder de un límite teórico de la presión manométrica reinante o del valor normal de -1,033 kglcm2. Las pre-siones absolutas no pueden tomar valores negativos.

*ZO. Con referencia a la Fig. 1-7, las áreas del pistón.4y del cilindro .B son, respectivamente, de 40 y4000 cm2 y .B pesa 4000 kg. Los depósitos y lasconducciones de conexión están llenos de aceitede densidad relativa 0,750. ¿Cuál es la fuerza Pnecesaria para mantener el equilibrio si se des-precia el peso de A?

Solución:

Se determina primero la presión que actúa so-bre L Como Xt ! Xn están al mismo nivel en la mis-ma masa de liouido. se tiene

presión en X" en kglcm' :

presión bajo A * presión debida a los 5 m de aceite :

Fig. r-7

presión en X^ en kglcm2

peso de -B

área de B

Sustituyendo,wh 4000 ke

' 104 4000 cm2

kglcm2 : 1,0 kglcm2 po : 0,625 kglcm2

Fuerza p : presión uniforme x área : 0,625 kglcn2 x 40 cm2 : 25,0 kg.

*Zt. Determinar la presión manométrica en A enkgfcm2 debidaa la columna de mercurio (den. rel. 13.57) en el manómetroen U mostrado en la Fisura 1-8.

Solución:

.B y C están al mismo nivel y en el mismo líquido, el mercurio;por tanto, podemos igualar las presiones en B y C en kgfm2 (man).

Presión en B: presión en Cpt * wh (para el agua) : po + wh (para el mercurio)p,{ + 1000(3,60 - 3,00) : 0 + (13,57 x 1000)(3,80 - 3,00)

Al despejar, po: 10.256kelm'y p): 10.2561104 : l,0256kglcm2(man).

Otro procedimiento de resolución consiste en emplear las al-turas de presión en metros de agua, lo que conduce por lo general amenos operaciones aritméticas, como se ve a continuación:

Altura de presión en -B : altura de presión en Cp,tlw -l 0,60 m de agua : 0,80 x 13,57 m de agua

Al despejar p,clw : 10,256 m de agua y pi: (1000 x 10,256)1104 :

_3,80 m

_3,60 rn

Fig. l-8

1,0256 kglcm2 (man), como antes.

CAP

* 22.

1l PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 13

Aceite de densidad relativa 0,750 está fluyendo a través de la boquilla mostrada en la Fig. 1-9 ydesequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar el valor de á si la presiónen ,4 es de 1,40 kglcm2.

Solución:Presión en 8: presión en C

o,alutilizarcomounidadkg/cm2, o; * #(aceite) : p; + *4 (-...u.io)

,,oo * (o't5o " 1000X0,82s + ¿) (13,57 x 1000)fr

104h: l,l4 m

Ofro método:

Al utilizar ahora como unidad la altura de presión en m de agua,

Altura de presión en .B : altura de presión en C

104

!H# - (0,825 - h)o,7so: t3,s7h y h: l,l4 m, como antes

3,00 m

Líquido I

Fig.1-9 Fig. 1-10

X 23. Para una presión manométrica en A de -0,11 kgfcm2, encontrar la densidad relativa (Dr) dellíquido manométrico .B de la Figura 1-!0.

3,15 m

Presión "" 9: presión en DP'a-wn:oo

-0,11 x 104 + (1,60 x 1000)0,45 : po: -380 kglm2

Solución:

o, en kg/m2,

Ahora bien, po: pn: -380 kglm2, ya que el peso de los 0,68 m de aire pueden despreciarse sin errorapreciable. Además pt : pp: 0 en kg/m2 (man).

Por tanto, presión en G : presión en E - presión de (3,38 - 3,00) m del líquido manométricope : pn - (Dr x 1000X3,38 - 3,00)

-380 : 0 - (Dr x 1000)0,38 y Dr : 1,00

14 PRoPIEDADES DE LoS FLUIDoS

* Zl. Para una lectura manométrica en A de -0,18kgfcm2, determinar (c) la elevación en las ramasabiertas de los piezómetros -8, F y G y (á) la lec-tura del manómetro en U de mercurio de la Fi-gura 1-11.

Solución:(a) Como el peso específico del aire (aproximada-

mente 1,28 kg/mt) es muy pequeño comparadocon el de los líquidos, la presión en la elevaciónde 15 m puede considerarse igual a -0,18 kglcm2sin introducir error aoreciable en los cálculos.

Para la columna E:

Supuesta la elevación de Z, como la mos-trada, se tiene

en kg/m2 (man)

Por tanto,

[cAP. 1

Pr: Pt

Ps*wh:0o bien -0,18 x 104 + (0,700 x 1000)¿ : 0

y h:2,57 m.

De aquí, la elevación de Z será 15,00 - 2,57: 12,43 m.

Fig. l-ll

Para la columna F:

Presión en El. 12 m : presión en El. 15 m * presión del líquido de Dr 0,700

: -0,18 +(0,700x1000X15-12) : 0,03 kglcm2

104

que debe ser igual a la presión en M. Por tanto, la altura de presión en M seráqrffiq : 0.30 m de

aglua, y la columna -F ascenderá 0,30 m por encima de M o bien la elevación en N es igual a 12,30 m.

Para la columna G:

Presión en El. 8 ¡¡: presión en El. 12 m + presión de 4 m de agua

o bien, po:0.03. f%# :0.43 kstcmz

que debe ser igual a la presión en R. Por tanto, la altura de presión en R será *i##

: 2,69 m del

líquido y la columna G ascenderá 2,69 m sobre R o hasta una elevación de 10,69 m en Q.

(b) Para el manómetro de tubo en U, al utilizar como unidades metros de agua,

altura de presión en D: altura de presión en C.

13,57h1: altura de presión en El. de 12 m * altura de presión de 8 m de agua

r3,s7h:0,30+8,00

de donde ht : 0,61 m.


k ZS. Un manómetro diferencial está unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizon':al porla que circula agua. La lectura en el manómetro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel más cer-cano a A elmás bajo. Calcular la diferencia de presiones entre Ay B enkglcm2. Véase la Figura 1-12.

Solución:

Nota'. Un croquis o dibujo ayrtdaa esclarecer el análisis de todos los problemas y a reducir las equivoca-ciones. Aun un simple diagrama de una línea puede servir.

Altura de presión en C: altura de presión en D

o, al utilizar como unidad el m de agua, p,tlw- t:lpolw -(t + 0,60)] + 13,57(0,60)

De aquí, p,s,lw - palw: diferencia en alturas de presión :0,60(13,57 - 1): 7,54 m de aguay p^ - ph: 0,54 x 1000)/104 : 0,754 kslcm2.

Si (pi - p")furra negativa, la interpretación correcta del signo sería que la presión en I era 0,754kglcm2mayor que la presión en l.

Los manómetros J.iferenciales deben ser purgados del aire de todos los tubos antes de tomar lecturas.

4,50 m

3,60 m

3,00 m

Fig. l-12

X 26. Se quiere medir la pérdida de carga a través del dispositivo X mediante un manómetro diferencialcuyo líquido manométrico tiene una densidad relativa de 0,750. El líquido que circula tiene unadensidad relativa de 1,50. Hallar la caída en altura de presión entre A y B a partir de la lectura ma-nométrica en el aceite, mostrada en la Figura l-I3.Solución:

Presión en C en kglm2 : presión en D en kg/m2p" - (1,50 x 1000)0,60 - (0,750 x 1000)0,90 : p.c - (1,50 x 1000)3,30

De aqui, po - pn : 3375 kglm2 y la diferencia en alturas de presión :34: : , =="", -.= : 2,25 mde ]íquido.ru 1.50 x 1000

Otro método:

Al utilizar como unidad el m de líquido (Dr : 1,50),

15

altura de presión en C: altura de presión en D

D- nzs910;10:pn__11o!" - 0.60 - -= r.r0 w

De aquí, p,tlw - pnlw : diferencia en alturas de presión : 2,25 m de líquido, como antes.

16

27.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. 1

y,B contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kglcmz. ¿Cuál es

manómetro diferencial de mercurio, mostrado en la Figura 1-I4?

Altura de presión en C : altura de presión en D

2.80 x lOa 1.40 x lOa

ff -t x-r h - y + 13.57h (en m de agua)

Los recipientes Ila lectura en el

Solución:

Ordenando,(104/1000X2,80-1,40)lxry:(13,57-l)h.Alsustituirx+y:2,00mydespejarseob-tieneá:7,2'7m.

El lector habrá observado que empleando como unidades el kg/m2 o el kg/cm2 se hacen más operacrones

aritméticas, pero como la probabilidad de cometer errores de concepto es menor se recomienda el uso de tales

unidades en lugar de las alturas de presión.

3.00 m

Fig. l-14 Fis. l-15

28. La altura de presión al nivel A-A es de 0,09 m de agua y los pesos específicos del gas y del

aire son, respectivamente,0,560 y I,260 kg/mt. Determinar la lectura en el manólnetro de agua

de tubo en [J, que mide la presión del gas al nivel -8, según se muestra en la Figura 1-15.

Solución:

Se supone que tanto el peso específico del aire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de dife-rencia en elevación. Como los pesos específicos del gas y del aire son del mismo orden de magnitud, debe tener-

se en cuenta el cambio en la presión atmosférica con la altitud. Se utilizarán presiones absolutas.

(absoluta) p. : (absoluta) p¡ Gg/m')(atmosférica) p¿ + 1000h : (absoluta) p; - 0,560 x 90 (A)

Se calcula ahora la presión absoluta en A et función de la presión atmosférica en E, obteniendo primerola presión atmosférica en -F y hego pn.

(absoluta)pr: [(atmos.) p"+ 1,260(h + 90 - 0,09)] + 0,09 x 1000 (lkelm2)

Sustituyendo este valor en (A), eliminando p6 y despreciando los términos muy pequeños, se obtiene

1000á : 90(1,260 - 0,560) + 0,09(1000) y h: 0,153 m de agua

cAP. ll PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

29. ¿Cuál es la presión en el océano a una profundidad de 1500 m, suponiendo (a) que el agua saladaes incompresible y (ó) el agua del mar es compresible y tiene un peso específico en la superficie de1025 kglm3? E : 2l:000 kglcm2 (constanre).

Solución:

(a) Presión p : wh: 1025 x 1500 : 15,375 x 10s kg/m2 (man).

(b) Como la masa no varía al comprimirla ni su peso, dW : 0; de aquí

dW:d(wu):wdu+udw:O o dulu:-dwlw (A)

De las ecuaciones (10) y (12), dp: -wdh Y dulu: -dplE. Sustituyendo en (A),

l7

dplE : dwlw

Integrando, p : E lo&' w 1- C. En la superficie, p : po,

p:Elog"tD*po-Elog"wo

(B)

E log" wo y

Poniendo dp: -*dh en (B), #:4! o dh:

h: Elw + Ct

w:üoi de aquí, C:P"-(p-p,):Elog"(wlw")

Edw- 1 ' Integrando,

1032,6 kglml

(c)

(D)

(A)

(r)

En la superficie, h:0, w : ¿ro; entonces, Ct: -Elw., h : (Elw - Elw") y, por tanto,

woE (1025X21.000 x 104)

":*"n+r:(l025x-|500)+(2l.000'10n):recordando que /z es positiva hacia arriba y dando E en kglm2

p : (2r.000 x 104) lo& (1032,611025): 15,4'76 x 10s kg/m2 (man)

30. Calcular la presión barométrica en kgfcm2 a una altitud de 1200 m si la presión al nivel del mares de 1,033 kglcm2. Supónganse condiciones isotérmicas a 21" C.Solución:

El peso específico del aire

dp:

Integrando (A),1og" p: -0,000116h + C, donde C es la constante de integración.

ParacalcularC:cuandoh:0,p:l,033xl}akglm2(ab).Deaquí,C:log"(1,033x104)log" p: -0,000116¿ + log" (1,033 x 104) o 0,000116h: lop," (1,033 x 104/p)

Pasando (B) a logaritmos decimales

2,3026 los (1,033 x roalfl :0,0001/6(1200),

log (1,033 x l\alp):0,06045, 1,033 x l\alp: antilog 0,06045 :1,14935

1.033 x lOade la cual p :

ffi: 9.0 x 103 kg/'m2 : 0.90 kg7cm2.

31. Deducir la expresión general que da la relación entre la presión y la elevación, cuando las condi-ciones son isotérmicas, mediante dp : -w dh.Solución:

Para condiciones isotérmicas, la ecuació" +: f+ ," transforma "n

P- -- b o * - *oL

lDr wolo lD wo Po

por tanto. d¿ = -dp = -2t ,4?. Intesrando. f^ an = -!t f' 42 v

, ,: o",.*'n- ho = --(log"p- togep"l = t *;ltog"po- togeu = ;lo9" pEn realidad, la temperatura de la atmósfera disminuye con la altitud. De aquí, que una solución exacta re-

quiera el conocimiento de las variaciones de la temperatura con la altitud para utilizar la ley de los gasesnlwT : constante.

a2l"Cesr': P

29,3(273 + 2D' Por tanto' de la ecuación (10)'

-.. ),- P ,,. o o, : _0,000116 dh- w an : 2\ieg4rdn p

l8

32. Desarrollar una expresión que rela-cione la presión manométrica p quereina en el interior de una gota de líqui-do y la tensión superficial o.

Solución:La tensión superfrcial que actúa sobre

la superficie de una gota de líquido da lugara que la presión en el interior de la gota sea

superior a la presión exterior.La Fig. 1-16 muestra las fuerzas que

producen el equilibrio en la dirección X demedia gota de diámetro d. Las fte¡zas o dLse deben a la tensión superficial que actúasobre el perímetro y las fuerzas dP, son lascomponentes en la dirección X de las fuer-zas p dA (véase Capítulo 2). Por tanto, de2X :0.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

+-

dP,

- dP.

[cAP. 1

dP,

odL

odL

odL

odL

33.

34.

Fig. l-16

le fuerzas hacia la derecha : suma de fuerzas hacia la izquierdaoldL:!dP,

tensión superficial x perímetro : presión x proyección del áreao(nd) : p(:nd2l4)

o p : 4old en kg/m2 (man). Las unidades de la tensión superficial son kg/m.Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presión.

Una pequeña gota de agua a 27" C está en contacto con el aire y tiene un diámetro de 0,50 mm.Si la presión en el interior de la gota es 5,80 x t0-3 kglcmz mayor que la atmosférica, ¿cuál es

el valor de la tensión superficial?

solución: o: lpd: +(58) kgfm2 x (0,5 x 10-3) m:0,029 kg/m

Calcular la altura aproximada a la que ascenderá un líquido que moja el vidrio en un tubo capilaren contacto con la atmósfera.

Solución:

La elevación en un tubo de diámetro pequeño puede calcularse aproximadamente considerando como cuer-po libre la masa de líquido ABCD qlue se muestra en la Figura 1-17.

Como EI¡ debe ser igual a cero, se obtienecomponentes verticales de las fuerzas debidas a la tensión superficial - peso del volumen ABCD hacia abajo

* fuerza de la presión sobre l.B hacia arriba - fierza de la presión sobre CD hacia abajo : 0.

+ (o ! dL) sen d - w(nd2l4 x h) + p(área AB) - p(área CD):0Se ve que las presiones en los niveles lB y

CD son iguales ambas a la atmosférica. Por tan-to, los dos últimos términos del primer miem-bro se anulan entre sí y, como o I dL : o(nd),se obtiene

en metros

Para un mojado total, como ocurre con elagua en contacto con vidrio muy limpio, el án-gulo c es prácticamente 90". No puede garanti-zarse una mayor aproximación.

En los trabajos experimentales, para eütarerrores de consideración debidos a la capilari-dad deben utilizarse tubos de diámetro de apro-ximadamente l0 mm o mayores.

sdLo d.L

, 4osenan: *¿


35. Calcular la altura a la que ascenderá en un tubo capilar, de 3,00 mm de diámetro, aguia a 21" C.

Solución: De la Tabla I(C), o : 0,00740 kg/m. Suponiendo un ángulo c : 90', supuesto el tubo limpio,

t9

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

4.

45.

. 4o 4 x 0.00740 ke/mh: ,: ffi:0,00ee m:9,90 mm.

Problemas propuestos

Si la densidad de un líquido es de 85 UTM/m3, determinar su peso específico y su densidad relativa.Sol. 834 kg/m3, 0,834

Comprobar los valores de la densidad y del peso específico del aire a 30'C dados en la Tabla l(,8).

Comprobar los valores de los pesos específlcos del anhídrido carbónico y del nitrógeno dados en la Tabla 1(l).

¿A qué presión tendrá el aire un peso específico de 1,910 kg/m3 si la temperatura es de 50' C?Sol. 1,80 kg/cm'z (ab)

Dos metros cúbicos de aire, inicialmente a la presión atmosférica, se comprimen hasta ocupar 0,500 m3. parauna compresión isotérmica, ¿cuál es la presión final? Sol. 4,132 kglcm2 (ab\

En el problema precedente, ¿cuál será la presión final si no hay pérdidas de calor durante la compresión?Sol. 7,20 kglcm2 (ab)

Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg seg/m2 si en poises es igual a 0,0158.Sol. 1,61 x 10-a kg seg/m2

Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, ¿cuál es la viscosidad en el sistema kg-m-seg?Sol. 5,210 kg seg/m2

¿Qué valores tienen las viscosidades absoluta y cinemática en el sistema técnico de unidades (kg-m-seg) de unaceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 seg y una densidad relativa de 0,932?Sol. 315 x 10-s y 33,3 x 10-6

Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25 mm y el espacio entre ellas está lleno con unlíquido cuya viscosidad absoluta es 0,10 kg s9g/m2. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿quéfuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dm2 de área a la velocidad constante de32 cmlseg si la placa dista 8 mm de una de las superficies? Soi. 2,35 kg

46. El depósito de la Fig. 1-18 contiene un aceite de densidad relativa 0.75C. Determinar la lectura del manómetroA en kglcm2. Sol. -8,71 x 10-2 kg/cm2 (man)

Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa0,750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo del depósito es de 3,00kglcm2, ¿cuál será la lectura manométrica en la parte superior del depósito? Sot. 1,860 kg/cm, (man)

Con referencia a la Fig. 1-19, el punto I está 53 cm por debajo de la superficie libre del líquido, de densidad re-lativa 1,25, en el recipiente. ¿Cuál es la presión manométrica en I si el mercurio asciende 34,30 cm en el tubo?So/. -0,40 kglcm2 (man)

23 cm

T13,57

47.

48.

Fig. l-18 Fig. l-19

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [cAP. 1

t49. Con referencia a la Fig. 1-20 y despreciandoel rozamiento entre el pistón I y el cilindroque contiene el gas, determinar la presión

manométrica en ,B en cm de agua. Supónga-se que el gas y el aire tienen pesos específicos

constantes e iguales, respectivamente, a 0,560y 1,200 kg/m3. So/. 60.60 cm de asua

50. Los recipientes A y B, que contienen aceitey glicerina de densidades relativas 0,780 y

1,250, respectivamente, están conectados me-diante un manómetro dilerencial. El mercu-rio del manómetro está a una elevación de

50 cm en el lado de A y a una elevación de

35 cm en el lado de.B. Si la cota de la super-ficie libre de la glicerina en el depósito B es

de 6,40 m, ¿a qué cota está la superficie libredel aceite en el recipiente ,4?

Sol. Cota 7.60 m

51. Un depósito A, a una elevación de 2,50 m, contiene agua a una presión de 1,05 kglcm2. Otro depósito B, a waelevación de 3,70 m, contiene un líquido a una presión de 0,70 kglcmz. Si la lectura de un manómetro diferencial

es de 30 cm de mercurio, estando la parte más baja en el lado de A y a una cota de 30 cm, determinar la

densidad relativa del líquido contenido en B. Sol. 0,525

52. El aire del recipiente de la izquierda de la Fig. 1-21 está a unapresión de -23 cm de mercurio. Determinar la cota del líquidomanométrico en la parte derecha, en l.So/. Elevación 26.30 m

53. Los compartimientos B y C de la Fig. 1-22 están cerrados y lle-nos de aire. La lectura barométrica es 1,020 kg/cm2. Cuando los

manómetros A y D marcan las lecturas indicadas, ¿qué valor ten-drá x en el manómetro .E de mercurio?Sol. 1,80 m

X 54. El cilindro y el tubo mostrados en la Fig. 1-23 contienen aceite

de densidad relativa 0,902. Para una lectura manométrica de 2,20

kglcm2, ¿cuál es el peso total del pistón y la placa W?

Sol. 60.100 kg

0,20 kg/cm'z

Fig.

20

3óm Aire AireAcelte

Dr 0,80

i

5¿m

_A

33,5 m

l_25 cm

t-I

Y

-I_I

A rre

FiE.l-22 Fig. l-23

2lrl PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Con referencia a la Fig. l-24, ¿qué presión manométrica de Ihará que la glicerina suba hasta el nivel B? Los pesos específicosdel aceite y glicerina son 832 y 1250 kglm3, respectivamente.Sol. 0,35 kg/cm2

Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gatohidráulico. Si en el pistón actria una presión de 12 kg/cm2 y estransmitida por un aceite de densidad relativa 0,810, ¿qué diá-metro se requiere? So/. 32,60 cm

Si el peso específico de la glicerina es 1260 kg/m3, ¿qué presiónde succión se requerirá para elevar la glicerina 22 cm en un tubode 12,50 mm de diámetro?Sol. -277 kglm2

¿Cuál es el valor de la presión interior en una gota de lluvia de1,50 mm de diámetro si la temperatura es de 21. C?Sol. 19,70 kglm2 (man)

Fig. l-24

Fuerzas hidrostáticas sobre las superficies

Capitulo 2

INTRODUCCION

El ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder diseñar satisfac-

toriamente las estructuras que los contienen. En este capítulo se evaluarán las tres características de las

fuerzas hidrostáticas, a saber: módulo, dirección y sentido. Además se determinará también la locali-

zación de la fuerza.

FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANA

La fuerza P ejercida por un líquido sobre un área plana I es igual al producto del peso específico ru

del líquido por la profundidad h,ndel centro de gravedad de la superficie y por el área de la misma. La

ecuación es

't P : ¡D h"nA ,

kg:kg/mtxmxm2

Se observa que el producto del peso específico ru por la profundidad del centro de gravedad de la super-

ficie es igual a la presión en el centro de gravedad del área.

La línea de acción de la fuerza pasa por el centro de presión, que se localiza mediante la fórmula

I I";,lU,t' : A - U,s'. llco ^

donde do es el momento de inercia del área respecto de un eje que pasa por su centro de gravedad. Las

distanciai y se miden a lo largo del plano y a partir de un eje determinado por la intersección del plano

que contiene la superficie y de la superficie libre del líquido.

La componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre una superficie cualquiera (plana o irre-gular) es igual a la fuerza normal sobre la proyección vertical de la superficie.La componente pasa por

el centro de presión de la proyección vertical.

La componente uertical de la fuerza hidrostática sobre cualquier superficie (plana o irregular) es

igual al peso del líquido situado sobre el área, real o imaginario.Laftterza pasa por el centro de grave-

dad del volumen.

TENSION CIRCUNFERENCIAL O TANGENCIAL

siendo las unidades

La tensión circunferencial o tangenciala presión interna. Para cilindros de pared

(kg/cm2) se origina en las paredes de un cilindro sometidodelgada (t < 0,ld),

presión p' (kg/cm2) x radio r (cm) I ?\espesor / (cm)

(1)

\z)

Tensión o (kglcm2¡ :

22

cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 23

TENSION LONGITUDINAL EN CILINDROS DE PARED DELGADA

La tensión longitudinal (kg/cm2) en un cilindro de pared delgada cerrado por los extremos es iguala la mitad de la tensión circunferencial.

Problemas resueltos

1. Desarrollar (a) la ecuación que da la fuerza hidrostática que actúa sobre un fuea plana y (á) locali-zat la fuerza.

Solución:

(a) La traza l8 representa un área plana cualquiera sobre la que actrla un fluido y que forma el ángulo 0 con

la horizontal,tomo se muestra en la Fig.2-1. Se considera un área elemental de forma quertodas sus par-

tículas estiin situadas a la misma distancia ft por debajo de la superficie libre del líquido. En la figura viene

representada por la banda con rayado inclinado, y la presión sobre esta área es uniforme. Por tanto, la fuer-

za que actúa sobre esta á¡ea dA es igual al producto de la presión p por el área dA o bien

dp : pd.A = wtclA

Sumando todas las fuerzas elementales y considerando que i -- y sen 0,

P = (ruhdA = (utesene)dAJJ

: (z¿.sen e) (udA - (utssno)y",AJ

donde r¿ y 0 son constantes y, por esüitica, I y dA -- l"l. Como h"n : y"s sen 0,

P : u;h"sA (r)

ela,qü"Ub

Fig.2-l @' 1'* &\ clc á' u +.-- o L

24 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2

(2\

Se observa que la posición del centro de presión está siempre por'debajo del centro de gravedad de la, superficie o bien (y", - !"g) es siempre positivo ya que 1"n es esencialmente positivo.

2. Situar lateralmente la posición del centro de presión. Referirse a la Figura 2-1.

Solución:

Si bien, en general, no se requiere conocer la posición lateral del centro de presión, en algunas ocasiones es

necesaria dicha información. Utilizando el dibujo del problema precedente, el área elemental dA está ahora for-mada por (dx dy) de forma que para los momentos puede tomarse la distancia x convenientemente. Tomandomomentos respecto de un eje IrIr,

pt:"p = f Ue"l

Al utilizar los valores obtenidos en el Problema I anterror,

(b) Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos como en estática. El eje OX se escoge como la intersec-ción del plano que contiene la superficie con la superficie libre del agua. Todas las distancias y se miden apartir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por l"p, que mide la distancia al centrode presión. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto del eje OX: al momento de lafuerza resultante, se obtiene

f taf '' !t) = P w !J'PI

Pero dP : wh dA : ¿{r(/ sen Q)dA y P : (w sen O)y"oA. De aquí,

(¡,u sen a) ( u' dA = (r¿' sen 0)(lJ"! AllJ.pt-

Como J y2 dA es el momento de inercia del área plana respecto del e1e OX,

I. , u.,,A"cA

En forma más conveniente, a partir del teorema de Steiner,

I.T

ll"qA

(u.th,oA)t", -= .f n@* d.y)t: = -f u,h(dx dy)x

(uL sen e)(u",A)/.r = (ru sen a) .f ry@r clg)

ya que lr : / sen 0. La integral representa el producto de inercia del área plana respecto de los ejes X e I¡ selec-cionados, representado por 1,u. Por tanto,

(3)

u.)I,I

!,1, u A

/I \A ^ cq

!'l "s ^

St uno u oTro de los ejes centroidales fuera un eje de simetría del área plana, I*, sería nulo y la posición lateraldel ientro de presión estaría sobre el eje I que pasa a través del centro de gravedad (no se muestra en la figura).Obsérvese que el producto de inercia respecto de un sistema de ejes que pasan por el centro de gravedad, (1,r)"r,puede ser positivo o negativo, de forma que la posición lateral del centro de presión puede caer a uno u otolado del eje centroidal 7.

CAP. 2] FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 25

V ¡. Determinar la fteruaresultante P debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangularAB de medidas 1 m x 2 m que se muestra en la Figura 2-2.

Solucirfur:

P: wh"eA: (1000 kg/m') x (1,20 + 1,00) m x (l x'2) m':4400 kg

Esta fuerza actúa sobre el centro de presión. que está a unídistanciay"odeleje Ory es igual a

v,,: I:o. + v", -- ^tgII^ + 2.20 :2.352 m de o,JcP

l,oA '"n 2,20(1 x 2) -'--

ü ¿. Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área rectangular CD de1,20 m x 1,80 m mostrada en la Fig. 2-2. C es un vértice del triángulo.

Solución: úq6'2+PcD : 1000(l + !,x 0J07 x 1,8)(i x r,2 x t,g¡ : y.0l ue

- Esta fuerza actúa a una distancia y.o del eje O2,estando medida esta diítancia sobre el plano al que perte-nece ef área CD.

,",: -_,- _1_',',1'l''1',! -

+ -$l : 0.07 + 2.61:2.68 m der e1e o,(1,8s10,707)G x 1,2 x 1,8) 0,707

1,2 m

Fis.2-2 Fig.2-3

.l

ü S. El agua alcanza el nivel .E en la tubería unida al depósito ABCD que se muestra en la Fig. 2-3. Des-preciando el peso del depósito y de la tubería de elevación, (a) determinar y situar la fuerza resul-tante que actúa sobre el área AB de 2,40'm de anchura, (b) la fuerza total sobre el fondo del depósi-to y (c) comperar el peso total del agua con la resultante obtenida en (ó) y explicar la diferencia.

Solución:

(a) La profundidad del centro de gravedad del área,4.B, respecto de la superficie libre del agua en d es de 4,50 m.Por tanto,

P : whA : 1000(3,60 + 0,90X1,80 x 2,40\ : 19.440 kg, que actúa a la distancia

2,4(r,83)112v"e: 4,sÍi;A + 4.s : 4.56 m de o

La presión en el fondo 8C es uniforme; por consiguiente, la fterza

P : pA : (wh)A: 1000(5,40X6 x 2,40\:77.760 kc

El peso total del agua es W:1000(6 x 1,8 x 2,4 + 3,6 x 0,10) :26.280 ke.

(b)

(c)


El cuerpo libre constituido por la parte inferior del depósito (cortado por un plano horizontal justamenteencima del nivel BC) pondrá de manifiesto una fuerza, dirigida hacia abajo, sobre el área BC de77.760 kg, fuerzavertical de tracción sobre las paredes del depósito y fterza de reacción sobre el plano soporte. La reacción ha deser igual al peso total del agua, es dectr,26.280 kg. La tracción en las paredes del depósito es producida por lafuerza vertical, dirigida hacia arriba, que actúa sobre Ia parte superior AD del depósito, que es igual

Poo: (wh)A: 1000(3,6X14,4 - 0,1): 51.480 kg hacia arriba

Se ha aclarado así una aparente paradoja, pues para el cuerpo libre considerado, la suma de las fuerzas ver-ticales es igual a cero, es decir,

con lo que se satisface la condición

77.760 - 26.280 - 51.480 : 0

de equilibrio.

-T1,80 m

J

l. 6. La compuerfa AB de la Fig. 2-4(a) tiene 1,20 m de anchura y está articulada en A. La lecfura ma-nométrica en G es -0,15 kglcm2 y el aceite que ocupa el depósito de la derecha tiene una densidadrelativa de 0,750. ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse en -B para que la compuerta AB se manten-ga en equilibrio?

Fig.2-4(o) Fig.2-4(b)Solución:

Deben calcularse el valor de las fuerzas debidas a la acción de los líquidos y su posición. Para el lado derecho,

x 1,2) : 1460 kg hacia la izquierda

0,9 : 1,20 m de A

Se observa que la presión que actúa sobre la parte derecha de la compuerta AB rectangular varía linealmen-te desde una presión manométrica nula hasta el valor que corresponde a los 1,80 m de aceite Qt : wh es una ecua-ción lineal). El diagrama de cargas ABC pone de manifiesto este hecho. Solo para el caso de áreas rectangulares,el centro de gravedad de este diagrama de cargas coincide con el centro de presión. El centro de gravedad estálocalizado a (213)(1,8) : 1,2 m de l, como ya se ha obtenido.

Para el lado izquierdo, es necesario convertir la presión negativa, debida al aire, en su equivalente en me-tros de agua.

h: 0,15 x 104 kg/m2- 1,50 m

1000 kg/m3

Esta altura de presión negativa es equivalente a un descenso del nivel del agua de 1,50 m. Es útil y conve-niente el empleo de una superficie de agua imaginaria (IWS: Imaginary Water Surface) 1,50 m por debajo de tasuperficie real y resolver el problema por aplicación directa de las ecuaciones fundamentales. Así,

P"e : 1000(2,1 + 0,9X1,8 x 1,2):6480 kg, que actúa hacia la derecha sobre el centro de

Paraelárearectangularsumergida,!"p:#f:#+3:3,0gmdeoobienelcentrodepresiónestáa(3,09 - 2,r0) : 0,99 m de A.

En la Fig. 2-4(b) se muestra el diagrama del cuerpo libre de la compuerta AB con las fuerzas actuantes. Lasuma de momentos respecto de I debe ser igual a cero. Tomando como positivo el giro de las agujas del reloj,

A

y actúa en

P^" : wh"nA : (0,750 x 1000)(0,9)(1,8

r,2(1,83\l12rcP 0.9(1,2 x 1,8)

Agua /

+ 1460 x 1,2 + 1,8F - 6480 x 0,99 : 0 F:2590 kg hacia la izquierda

cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES

)¿ 7. El depósito de la Fig. 2-5 contiene aceite y agua. Encontrar la' fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1,20 m de

anchura.

Solución:

La fuerza total sobre ABC es igual a (P,n" * P"r). Hay que en-

contrar cada una de las fuerzas, situar su posición y, aplicando el prin-cipio de los momentos, hallar la posición de la fuerza total resultante

sobre la pared ABC.

(a) P,{u : (0,800 x 1000X1,5X3 x 1,2) : 4320 kg, que actúa en el

punto (2/3X3) mde A, o sea,2 m por debajo. Puede obtenerse

este mismo aplicando la fórmula conocida, como sigue:

r,2Q3)l12!"0: ffifr + 1,5 : o,s + 1,5 -- 2,oo m de A

(b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido superiorpuede tenerse en cuenta por la altura o profundidad de agua

equivalente. Se emplea en este segundo cálculo la superficie de

agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambio de los 3 m

de aceite en los 0,800 x 3 :2,40 m de agua. Por tanto,

27

IWI

So.óm_T2,4 m

-l-

P¡c : 1000(2,4 + 0;9)(1,8 x 1,2) :7128 kg, que actúa

r,2(r,83)112Y"o:ffi)+3'3:,3'38 m de o o bien

Fis.2-5

en el centro de presión

0,6 + 3,38 : 3,98 m de ,4

La fuerza resultante total : 4320 + 7128 : 11.448 kg, que actúa en el centro de presión que corresponde

alárea total. El momento de esta resultante : la suma de los momentos de las dos fuerzas parciales anteriores.

Tomando momentos respecto de ,4,

Y,p: 3,23 m de A11.448 Y,e:4320 x2+7128 x3,98 e

Pueden emplearse para estos cálculos otros métodos, pero el presentado aquí reduce los errores tanto en el

planteamiento como en los cálculos

* g. En la Fig. 2-6la compuerta ABC está articulada en .B y tieneI,2 m de longitud. Despreciando el peso de la compuerta,determinar el momento no equilibrado debido a la accióndel agua sobre la compuerta.Solución:

Po: 1000(1,25X2,88 x 1,2):4325kg, que actúa a l(2'88) :1,92 m de A.

Psc: 1000(2,5)(l x 1,2):3000 kg, que actúa sobre el centro

de gravedad de BC, ya que la presión es uniforme sobre.BC. Toman-

de momentos respecto de B (positivo el sentido de giro de las agujas

de un reloj),

Momento no equilibrado : +4325 x 0,96 - 3000 x 0,50

: +2650 m kg (sentido de las agujas del reloi)

9. Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre laen la Fig. 2-7(a) y situar el centro de presión en las direcciones x e

Solución:Se considéra la superficie dividida en un triángulo y un rectángulo. La fterza total que actúa es igual a la

suma de la fuerza P, que actúa sobre el rectángulo más la P, que actúa sobre el triángulo.

(a\ Pr : 1000(1,2)(2,4 x 1,2) : 3456 kg, que act'6a a 3Q,4): 1,60 m por debajo de la superficie XX'

P, : 1000(3Xj x 1,8 x I,2) : 3240kg, que actúa & t"o :r,2(r,83)p6

+ 3 : 3,06 m por debajo de XX.

momentos respecto de XX,

3(]x1,2x1,8)La fuerza resultante P :3456 + 3240 : 6696 kg. Tomando

Fig.2-6

superflcie vertical mostradat,

t3m

I

Aceite

Pr 0,80 -

6696 Y"" : 3456(1,6) + 3240(3,06) e Y"o : 2,31 m por debajo de XX

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES [cAP. 2

(ó) Paralocalizar el centro de presión en Iadirección X (cosa necesaria raras veces)se utiliza el principio de los momentos,después de conocer xt y xz para el rec-tángulo y el triángulo. respectivamente.Para el rectángulo, el centro de presiónde cada banda elemental horizontal deárea dA está a 0,6 m del eje YY; portanto, el centro de presión del área to-tal del rectángulo está también a 0,6 mde dicho eje. Para el triángulo, cad,a áreaelemental dA ttene su propio centro depresión en el centro de la banda; porconsiguiente, la mediana contiene a to-dos estos centros de presión, y el cen-tro de presión del triángulo completopuede calcularse ahora. Con referenciaa la Fig. 2-1(b), por triángulos seme-jantes, xrl0,6 : 1,1411,8, de la cualrz : 0,38 m de fll. Tomando mo-mentos.

Fis.2-7(a) Fig.2-7(ó)

6696 X"e: 3456(0,ó) + 3240(0,38) Y X,p:0,494 m del eje lI

Puede utilizarse otro método para situar el centro de presión. En lugar de dividir el área en dos partes, se

calcula la posición del centro de gravedad del área total. Mediante el teorema de Steiner, se determina el mo-mento de inercia y el producto de inercia del área total respecto de los ejes paralelos por el crcntro de gravodad.Entonces se calculan los valores de l"oy x.o mediante las fórmulas (2)V @), Problemas I y 2. Generalmente, este

otro método no tiene ninguna ventaja en particular y entraña más operaciones.

10. La compuerta AB de 1,80 m de diámetro de la Fig. 2-8 puedegirar alrededor del eje horizontal C, situado 10 cm por deba-jo del centro de gravedad. ¿Hasta qué altura ft puede ascenderel agua sin que se produzca un momento no equilibrado res-pecto de C, del sentido de las agujas de un reloj?Solución:

Cuando el centro de presión coincida con el eje C no actuará so-bre la compuerta ningún momento no equilibrado. Calculando la dis-tancia del centro de o¡esión.

0,6 - 0,6 ,"l

r "^lJtt' . gt'l

U"tA¡d'/64

=

-

+ 11.,,y"uQd'zl4)

ftt,84164 : 0,10 m (dado)De aquí, !"p - !,g (h + 0,9)(rr,8214)

de donde h: 1.125 m por encima de A. Fig.2-E

11. Con referencia a la Fig.2-9, ¿cuál es la anchura mínima b dela base de la presa de gravedad deuna altura de 30 m al suponer que la presión hidroslitica ascensional en la base de la presa varíauniformemente desde la altura de presión total en el borde de aguas afflba hasta el valor cero enel borde de aguas abajo, y suponiendo además un empuje P, debido a una capa de hielo de 18.600 kgpor metro lineal de presa y que actúa en la parte superior? Para este estudio se supone que las fuer-zas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio de la base del borde de aguas abajo (en O)y que el peso específico del material de la presa es 2,50w (ru es el peso específico del agua).

Solución:

En la figura aparecen las componentes I/y V dela reacción de la cimentación sobre la presa, que pasan através de O. Se considera una longitud de un metro de Dresa y se calculan todas las fuerzas en función de ru yó. como sisue:

cAP. 2l FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE LAS SUPERFICIES 29

Pa: w(15)(30 x l) : 450w kg

Pv : área del diagrama de carga: j(30w)(b x 1) : ríwb ks

Wt:2,50w(6 x 30 x 1) : 450ru kg

wz:2,50w1i x 30(ó-6)l x I: 37,5w(b - 6) ke : Q75wb - 225w) kg

P¡ : 18.600 kg, supuestos para el empuje del hielo

Para determinar el valor de ó, en el equilibrio, se toman momen-tos respecto del eje O de estas fuerzas. Considerando como positivos losmomentos que producen giros en el sentido de las agujas de un reloj,

+sorutf) + swt(r¡_ +sowQt- 3) - (37,5wb-22sü11@-6) -fl * tt.uoo{ro): o

Simplificando y haciendo operaciones, b2 +l\b-734,4:0 y b:22,5 m de anchura.

* tZ. Determinar y situar las componentes de la fuerza debida a la acción del agua sobre la compuerta

de sector AB de la Fig. 2-10 por metro de longitud de compuerta.

Solución:Pn : fierza sobre la proyección vertical de CB : w h,nAro

: 1000(1X2 x 1):2000 kg, que actúa a (213)(2): 1,33 m de CPn : peso del agua sobre el área AB: 1000(n2214 x 1) : 3140 kg

que pasa por el centro de gravedad del volumen de líquido. El centro de gravedad del cuadrante de un círculoestá situado a una distancta de 413 x rf n de cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto,

x"p : 413 x 2ln : 0,85 m a la izquierda del radio 8C

Nota'. Cada una de las fuerzas elementales dP actúa normal a la curva AB y, por tanto, su línea de acciónpasa por el eje C. Lafuerza resultante también pasará por C.Para confirmar esta proposición, se toman mo-mentos respecto de C, como sigue,

LMc: -2000 x 1,33 + 3140 x 0,85 : 0 (luego se satisface)

Eje de giro

Fig.2-r0 Fig. 2-t 1

*ff. El cilindro de la Fig. 2-lI, de 2 m de diámetro, pesa 2500 kg y tiene una longitud de 1,50 m.Determinar las reaceiones en I y B despreciando el rozamiento.Solución:(a) La reacción en I es debida a la componente horizontal de la fuerza que el líquido ejerce sobre el cilindro

o bien P'' : (0,800 x 1000)(1)(2 x 1,5) : 2400 kg

Aceite

D

Dr 0,800 I

dirigida hacia la derecha. Por tanto, la reacción en,4 es igual a 2400k9 dirigida hacia la izquierda.


(á) La reacción en -B es igual a la suma algebraica del peso del cilindro y la componente vertical neta de lafuerza debida a la acción del líquido. La acción del líquido sobre la superficie curvada CDB se componede la fuerza sobre la parte CD, dirigida hacia abajo, y la fuerza sobre DB, dirigida hacia arriba. La com-ponente vertical neta es la suma algebraica de estas dos fuerzas.

Hacia arriba P', : peso de líquido (real o imaginario) sobre D.B: 0,800 x 1000 x 1,5(área del sector DOB + área del cuadrado DOCEI

Hacia abajo Py : 0,800 x 1000 x 1,5(área rayada DEC)

Se observa que el cuadrado DOCE mer'os el área DEC es igual al cuadrante del círculo DOC,y la com-ponente vertical neta será

(neta) Pn : 0,800 x 1000 x l,5(sectores DOB + DOC\ hacia ariba: 0,800 x 1000 x 1,5$nl2\: 1894 kg hacia arriba

Finalmente, E l: 0, 2500 - 1894 - B :0 y B :606 kg hacia arriba

En este problema particular la componente hacia a¡riba (empuje) es igual al peso del líquido despla-zado a la izquierda del plano vertical COB.

S'14. Con referenciaalaFig.2-12, determinar las fuerzas horizontal y vertical, debidas a la acción delagua sobre el cilindro de 1,8 m de diámetro, por metro de longitud del mismo.

30

1,272 m F--l-Solución:

(a) (Neta) P" : fte¡za sobre CDA - fuerza sobre lB.

Mediante las proyecciones verticales de CDA y de AB,

I

¡r,2 m

I

PE (CDA) : 1000(1,2 + 0,768)(1,536 x 1)3023 kg hacia la derecha

PH(AB): looo(1,2 + l,4M)(0,264 x l):687 kg hacia la izquierda

(Neta) P,r : 3023 - 687 : 2336 hacia la derecha.

(b) (Neta) Py : fuerza hacia arriba sobre DAB

-fuerza hacia abajo sobre DC: peso del (volumen DABFED

-volumen DCGED\. Fis.2-12

El área rayada (volumen) esLl contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, estando las fuerzasdirigidas en sentidos contrarios. Por tanto, se equilibran y

(neta) P, : peso del volumen DABFGCD

Dividiendo este volumen en formas geométricas convenientes,

(neta) Pn : peso de (rectángulo GFJC + triángulo CJB + semicírculo CDAB\

: 1000(1,2 x 1,272 + | x 1,272 x 1,272 + +n0,9,)$): 1000(1,5264 + 0,809 + 1,2717): 3600 kg hacia arriba

Si se deseara situar esta componente vertical de la resultante, debería aplicarse el principio de los momentos.Cada una de las partes de la resultante de 3600 kg actúa a través del centro de gravedad del.volumen que la ori-gina. Por estática se determinan los centros de gravedad y puede escribirse la ecuación de momentos (véanselos Problemas 7 y 9 anteriores)

__){á:'ii('" I

i rQl


XfS. En la Fig. 2-l3,wcilindro de 2,4 m de diámetro cierra un agujero rectangular en un depósito de

0,9 m. ¿Con qué fuerza queda presionado el cilindro contra el fondo del depósito por la acción

de los 2,7 m de profundidad de agua?

Solución:

(Neta) Pn : fuerza hacia abajo sobre CDE - fuerza hacia arriba sobre CA y BE:1000x 0,9[(2,1 x2,4-lnl,22)-2(2,1 x0,162+$n1,22 |x0,6 x 1,038)]: 2500 - 810 : ló90 kg hacia abajo

Fig.2.13 Fig.2-14

* te . En la Fig. 2-14, el cilindro de 2,4 m de diámetro pesa 250 kg y reposa sobre el fondo de un depó-sito de 1 m de longitud. Se vierten agua y aceite en la parte izquierda y derecha del depó-sito hasta unas profundidades de 0,6 y 1,2 m, respectivamente. Hallar los módulos de las com-ponentes horizontal y vertical de la fuerza quE mantiene al cilindro justamente en contacto con eldepósito en ,8.

Solución:

(Neta) P" : componente sobre AB hacia la izquierda - componente sobre CB hacia la derecha:0,750 x 1000 x 0,6(1,2 x 1) - 1000 x 0,3(0,6 x 1):360 kg hacia la izquierda

(Neta) Pn : componente hacia arriba sobre AB + componente hacia arriba sobre C.B: peso del cuadrante de aceite * peso de (sector - triángulo) de agua

: 0,750 x 1000 x I x Lnnl,22 + 1000 x t(fur1,22 - * x o,oJt,os) : 1290 kg hacia arriba

Las componentes para mantener el cilindro en su sitio serán 360 kg hacia la derecha y 1040 kg hacia abajo

17. El estribo semicónico ABE, que se muestra en la Fig. 2-15, se utilizapara soportar la torre semicilíndrica ABCD. Calcular las componen-tes horizontal y vertical debidas alafierza que produce la acción delagua sobre el estribo ,4.8,8.

Solución:

Ps : fiierza sobre la proyección vertical del semicono:1000(1,5+lXlx3x2):7500 kg hacia la derecha

Pn : peso del volumen de agua sobre la superficie curvada (imaginaria): 1000(volumen del semicono + volumen del semicilindro): looo(+ x 3nl2l3 + L2nl2 x 1,5):3925 ks hacia arriba

31

'rl2.7\ ll

Fig.2-15


18. Una tubería de acero de 120 cm de diámetro y 6 mm de espesor transporta aceite de densidad re-lativa 0,822 bajo una carga de 120 m de aceite. Calcular (a) la tensión en el acero y (á) el espesordel acero que se necesita para transportar el aceite bajo una presión de 18 kg/cm2 si la tensión detrabajo admisible en el acero es de 13 kglmmz.Solución:

o (tensión en kg/cm2) : p' (presión en kg/cm2) x r (radio en cm)

t (espesor en cm)

(0,822 x 1000 x 120)/104 x 60-- 986 kglcm2

(b) o : p'rlt, 1300 : 18 x 601t, ¡ : 0,83 cm.

la)

0.6

19. Una gran tina de almacenamiento, de madera, tiene 6 mde diámetro exterior y está llena con 7,20 m de salmue-ra, de densidad relativa 1,06. Las duelas de madera estánzunchadas con bandas planas de acero de 5 cm de anchurapor 6 mm de espesor, y la tensión de trabajo admisiblees de 11 kg/mm2. ¿Cuál debe ser el espaciado entre lasbandas cercanas al fondo de la tina si se desprecian lastensiones iniciales? Referirse a la Fieura 2-16.

Solución:

La fuerza P representa Ia suma de las componentes hori-zontales de las fuerzas elementales dP sobre la longitud y de latina y las fuerzas Irepresentan la fuerza de tracción total sopor-tadas por la banda centrada sobre la misma longitud y. Como lasuma de fuerzas en la dirección X debe ser igual a cero, 2T (kg)-P(kg) :0obien

2(área del

De aquí,

+p 6m

acero x tensión en el acero) : p' x proyección sobre Zy del semicilindro

2(5 x 0,6)1100: (1,06 x 1000 x 7,21104)(600 x y)

| : 14,40 cm de espaciado entre bandas

Fig.2-16

---TTA

20.

21.


Encontrar para la compuerta AB (Fig.2-17) de 2,50 m de longitud la fuerza decompresión sobre eljabalcón CD ejercida por la presión del agua (8, C y D sonpuntos articulados).Sol. 7160 kg

Una compuerta vertical rectangular AB de 3,6 m de altura y 1,5 m de anchurapuede girar alrededor de un eje situado 15 cm por debajo del centro de grave-dad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6 m. ¿eué fuerzahorizontal .F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el equi-librio?So/. 1490 kg

Determinar el valor de z (Fig. 2-18) de forma que la fiierza total sobre la ba-rra BD no sobrepase los 8000 kg al suponer que la longitud en dirección per-pendicular al dibujo es de 1,20 m y que la barra BD esfá articulada en ambosextremos.Sol. 1,84 m

,,,

Fig.2-U


Un aceite de densidad relativa 0,800 actúa sobre un área

triangular vertical cuyo vértice está en la superficie libredel aceite. El triángulo tiene una altura de 2,70 m y unabase de 3,60 m. Una superficie rectangular vertical de2,40 m de altura está unida a la base de 3,60 m del trián-gulo y sobre ella actúa agua. Encontrar el módulo y posi-ción de la fuerza resultante sobre la superficie total.Sol. 36.029 kg a 3,57 m de profundidad

En la Fig. 2-19 la compuerfa AB tiene su eje de giro en B ysu anchura es de 1,20 m. ¿Qué fuerza vertical, aplicada ensu centro de gravedad, será necesaria para mantener lacompuerta en equilibrio, si pesa 2000 kg?Sol. 5200 kg

Un depósito tiene 6 m de longitud y la sección recta mos-trada en la Fig. 2-20. El agua llega al nivel AE. Determi-nar (a) la fuerza total que actúa sobre el lado BC y (b) elmódulo y la posición de la fuerza total sobre el extremoABCDE.Sol. 86.400 kg, 42.336 kg a 3,33 m de profundidad

3,6 m

33

23.

) 24.

* 2s.Fig.2-18

t__J_Bt4 2,4mtl

Fig.2-19 Fig.2-20 Fis.2-21

V 26. En la Fig. 2-2lla compuerta semicilíndrica de 1,2 m de diámetro tiene una longitud de I m. Si el coeficiente de

rozamiento entre la compuerta y sus guías es 0,100, determinar lafterza P requerida para elevar la compuerta

si su peso es de 500 kg Sol. 187 kg

27. Un depósito de paredes laterales verticales contiene 1 m de mercurio y 5,5 m de agua. Encontrar la fuerza que

actúa sobre una porción cuadrada de una de las paredes laterales, de 50 cm por 50 cm de área, la mitad de lacual está bajo la superficie de mercurio. Los lados del cuadrado están situados verticales y horizontales respec-

trvamente. So/. 1572 kg a 5,52 m de profundidad

?A. Un triángulo isósceles, de base 6 m y altura 8 m, está sumergido vertical-mente en un aceite de densidad relativa 0,800, con su eje de simetría horizontal. Si la altura de aceite sobre el eje horizontal es de 4,3 m, determinarla luerza total sobre una de las caras del triángulo y localizat verticalmente

el centro de presión. Sol. 82.560 kg, 4,65 m

29. ¿A qué profundidad se debe sumergir verticalmente en agua un cuadrado,de 4 m de lado, con dos lados horizontales, para que el centro de presión esté

situado 25 cm por debajo del centro de gravedad? ¿Qué valor tendrá la fuer-za Lotal sobre una cara del cuadrado?Sol. 3,33 m (lado superior), 85.330 kg

30. En la Fig. 2-22 e\ ctl'lndro de 2 m de diámetro y 2 m de longitud está some-tido a la acción del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidadrelativa 0,800 por su lado derecho. Determinar (a) la fterza normal en Bsi el cilindro pesa 6000 kg y (á) la fuerza horizontal debida al aceite y alagua si el nivel de aceite desciende 0,50 m.So/. 350 kg, 6200 kg hacia la derecha Fig.2-22


F lt. En la Fig. 2-23, para una longitud de 4 m de Ia compuerta, determinar el momento no compensado respecto aleje de giro O, debido al agua, cuando ésta alcanza el nivel l.Sol. 18.000 mkg en el sentido de las agujas de un reloj

32. El depósito, cuya sección recta se muestra en la Fig. 2-24, tiene 2 m de longitud y está lleno de agua a presión.Determinar las componentes dela fuerza requerida para mantener el cilindro en su posición, despreciando el

34

peso del mismo. sot. (+6í-fu hacia ábajo, ó750 kg hacia la izquierdaV

| \- o,l5 kg/cm2 (man)

33.

34.

35.

Fig.2-23 Fig.2-24 Fig.2-25

Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la presión delagua sobre la compuerta del tipo Tainter mostrada en la Figura 2-25. So/. 4500 kg y 1630 kg

Determinar la fuerza vertical que actúa sobre la bóveda semicilíndrica mostrada en la Fig. 2-26 cuando la pre-sión manométrica leída en I es de 0,60 kglcmz. La bóveda tiene 2 m de longitud. Sot. 12.600kg

Si la bóveda del Problema 34 es ahora hemisférica y del mismo diámetro, ¿cuál es el valor de la fuerza verticalsobre la misma? So/. ó050 ke

36.

37.

Fig.2-26

Con referencia a la Fig. 2-27, determinar (a)la fuerza ejer-cida por el agua sobre la placa del fo¡do AB de la tuberíade 60 cm de diámetro y (b)la fuerza total sobre el plano C.Sol. 1410 kg, 21.200 kg

El cilindro mostrado en la Fig. 2-28 tiene 3 m de longitud.Si se supone que en I el ajuste no deja pasar el agua y queel cilindro no puede girar, ¿qué peso debe de tener el ci-lindro para impedir su movimiento hacia arriba?So/. 5490 kg

Una tubería de duelas de madera, de 1 m de diámetro in-terior, está zunchada con aros planos constituidos porbandas de acero de 10 cm de anchura y 18 mm de espesor.Para una tensión de trabajo admisible en el acero de 12kg/mm2 y una presión en el interior de la tubería de 12kglcm2, determinar el espaciado entre aros.Sol. 36 cm

Fig.2-27

2r tt : 0,150

0,15 kg/cm2 (man)

38.

Fig.2-28


39. En el muro de retención del agua del mar mostrado en la Fig. 2-29, ¿qlué momento respecto de A, por metro-de

longitud del muro, se origina por la exclusiva acción de los 3 m de profundidad del agua (w : 1025 kg/m3)?

Sol. 16.200 mkg de sentido contrario a las agujas de un reloj

Fig.2-29 Fig.2-30

40. El depósito mostrado en la Fig. 2-30 tiene 3 m de longitud, y el fondo inclinado BC fiene 2,5 m de anchura. ¿Qué

profundidad de mercurio dará lugar a un momento respecto de C, por la acción de los dos líquidos, igual a

14.000 mkg en el sentido de las agujas de un reloj? So/. 63 cm

41. La compuerta de la Fig. 2-31 tiene 6 m de longitud. ¿Qué valores tienen las reacciones en el eje O debidas a la

acción del agua? Comprobar que el par respecto de O es nulo. Sol. 12.000 kg, 33.300 kg

42. Con referencia a la Fig. 2-32, vn placa plana con un eje de giro en C tiene una forma exterior dada por laecuación x2 + 0,5y: 1. ¿Cuál es la fuerza del aceite sobre la placa y cuál es el momento respecto a C debido

a la acción del agua? So/. 3800 kg, 5740 mkg

P

Fig.2-31 Fig.2-32

43. En la Fig. 2-33 la compuerta ABC de forma parabólica puede girar alrededor de A y está sometida a la acción

de un aceite de peso específico 800 kg/m3. Si el centro de gravedad de la compuerta está en B, ¿qué peso debe de

tener la compuerta, por metro de longitud (perpendicular al dibujo), para que esté en equilibrio? El vértice de

la parábola es ,4. So/. 590 kg/m

U. En la Fig. 2-34 |a compuerta automática ABC pesa 3300 kg/m de longitud y su centro de gravedad está situado

180 cm a la derecha del eje de giro A. ¿Se abrirá la compuerta con la profundidad de agua que se muestra en

la figura? Sol. Sí

35

Fig.2-33 Fig.2-34

Capitulo 3

Empuje y flotación

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

El principio de Arquímedes viene siendo utilizado por el hombre desde hace unos 2200 años. Elvolumen de un sólido irregular puede determinarse midiendo la pérdida aparente de peso cuando seintroduce completamente en un líquido de densidad relativa conocida. La densidad relativa de los líqui-dos puede determinarse por la profundidad de inmersión de un hidrómetro. Otras aplicaciones com-prenden la teoria general de la flotación y problemas de ingeniería naval.

Todo cuerpo, sumergido total o parcialmente en un líquido, sufre un empuje vertical hacia arribaigual al peso del líquido desplazado. El punto en el que actuala fuerza se llamá centro de emptrje. Coin-cide con el centro de gravedad del líquido desplazado.

ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTESPara la estabilidad de un cuerpo sumergido el centro de gravedad debe estar directamente debajo

del centro del empuje (centro de gravedad del líquido desplazado). Si los dos puntos coinciden, el cuer-po sumergido está en equilibrio indiferente.

Para la estabilidad de cilindros y esferas flotantes el centro de gravedad del cuerpo debe estar pordebajo del centro de empuje.

La estabilidad de otros cuerpos flotanles depende de si se desarrolla un momento adrizante cuandoel centro de gravedad y el centro de empuje se desalinean de la vertical debido al desplazamiento delcentro de empuje. El centro de empuje se desplaza porque cuando el objeto flotante se inclina, varíala forma del volumen de líquido desplazado y, por tanto, su centro de gravedad pasa a otra posición.

Problemas resueltos

l. Una piedra pesa 54 kg en el aire y 24 kg cuando está sumergida enel agua. Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.

Solución:

Todos los problemas en trabajos de ingeniería se analizan mucho mejormediante el empleo del diagrama del cuerpo libre. Con referencia a la figuraadjunta, se indica en ella el peso total de 54 kg que actúa hacia abajo, la tracciónen la cuerda de unión a la balanza de 24 kg dirigida hacia arriba y el empujeP, gue actúa también hacia arriba. De

>Y:054 - 24 - Pv:0 y Pr:30 kg

36

se trene Fig.3-l

cAP. 3l EMPUJE Y FLOTACION 5t

Como el empuje : al peso del líquido desplazado,24kg: 1000 kg/m3 x u

Densidad relativa :peso de la piedra 54

y u :0,024 m3

:))5peso de un volumen igual de agua 1A

2. Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20 cm de anchura y40 cm de longitud se pesa en el agua a una profundidad de 50 cm,

dando la medida 5,0 kg. ¿Cuánto pesa en el aire y cuál es su densidadrelativa ?

Solución:

Con referencia al diagrama del cuerpo libre de la Fig. 3-2, I Y : 0; de aquíW-Pr-5,0:0 o (1) W:5,0+Pv

Empuje Pn : peso del líquido desplazado: 1000(0,2 x 0,2 x 0,4) : 16,0 kg.

Por tanto, de (l\, W: 5 + 16 : 2l kCY Dr : 2Ul6 : l,3l

5. ¿Qué fracción del volumen de una pieza sólida de metal de densidadrelativa 7,25 flofará sobre la superficie del mercurio, de densidad re-Iativa 13,57, contenido en un recipiente?

Solución:

El diagrama del cuerpo libre indica que de E I: 0, W - Pn : Q speso del cuerpo : empuje (peso del mercurio desplazado)

'7,25 x 1000u : 13,57 x 1000u'y, por tanto, la relación de los volúmenes u'fu :7,25113,57 : 0,535.

De aquí la fracción del volumen sobre el mercurio : I - 0,535 : 0;465.

3. Un hidrómetro pesa 2,20 g y su extremo superior es un vástago cilíndrico de 0,2800 cm de diáme-tro. ¿Cuál será la diferencia entre las longitudes de emergencia del vástago cuando flota en aceite

de densidad relativa 0,780 y en alcohol de densidad relativa 0,82I?

Solución:

Para la posición 1 de la Fig. 3-3 en el alcohol,peso del hidrómetro : peso del líquido desplazado

0,0022:0821 x 1000 x u'de donde ur : 0,00000268 m3 (en alcohol).

Para la posición 2,

0,0022:0,780 x 1000(ut+ Ah): 0,780 x 1000[0,00000268 + ln(0,281100)zhf

de donde h : 0,0228 m : 2,28 cm.

Fig.3-3

4. rJnapieza de madera de densidad relativa 0,651 es de sección cuadrada 7,50 cm de lado y 1,50 m

de longitud. ¿Cuántos kilogramos de plomo de peso específico 11.200 kg/-t deben unirse a uno

de los extremos del listón de madera para que flote verticalmente con 30 cm fuera del agua?

Solución:Peso total de madera y plomo : peso del agua desplazada

[0,651 x 1000 x 1,5(0,07sF + 11.200u]: 1000[(0,075\2 x r,2-t u]

oe donde u : 0,0001232 m3 y peso del plomo : ll.200u: 11.200 x 0,0001232 : 1,38 kc.

Dr 0,821

Fig.3-2

1""

Fig.3-4

38 EMPUJE Y FLOTACION [cAP. 3

6. Unagabarrarectangular, de l0mpor4mde basey 5 mdeprofundidad, pesa54toneladasyflotasobre agua dulce. (a) ¿Qué profundidad se sumerge? (ó) Si el agua tiene una profundidad de 5 m,¿,qué peso de piedras debe cargarse en la gabarra para que ésta repose sobre el fondo?

Solución:

\a)

(b)

Como (a) : (á),

r000A(h - 0,0s): 1,35 x r000A(h - 0,075)

Dr x 10001 x 0,1464: 1000 x A(0,1464 - 0,05)

h: 0,1464 m

Dr : 0,660

8. ¿A qué profundidad se hundirá un tronco de2,40 m de diámetro y 4,50 m de longitud, en agua dulce,si la densidad relativa de la madera es de 0.425?

Solución:

En la Fig. 3-5 se dibuja con el centro O del tronco sobre la superficie libre del agla, ya que su densidad re-laüva es menor de 0,500. Si la densidad relativa fuera 0,500 estaria sumergida la mitad del tronco.

Peso total del tronco : peso del líquido desplazado

sector - 2 triángulos

0,425x 1000x n1,22 x4,5:1000 x 4,5(-1,44n-2xlx 1,2 sen 0x 1,2 cos 0)JÓU

Simplificando y sustituyendo ] sen 20 por sen 0 cos 0,

0,425n:0nll80-lsen20

Resolüendo por aproximaciones sucesivas:

1,335 i 852/180 - +(0,1737)

r,335 + t,397

1,335: r,44s-+(0,242)

r,335 + r,328

El valor buscado est¡i entre los dos ensayados.

Para 0: 83"10': 1,335 f 1.451 - +(0.236)

: 1,333 (suficiente aproximado).

La profundidad con que flota DC : r - OD : 1,2 - 1,2 cos 83'10'

Peso de la gabarra : peso del agua desplazada54x1000:1000(10x4xY) f:1,35msumergida

Peso de la gabarra más las piedras : peso del agua desplazada54 x 1000 +Ws: 1000(10 x 4 x 5) Ws: 146.000 kg de piedras

7. Un bloque de madera flota en el agua sobresaliendo de la superficie 5 cm. Cuando se pone en gli-cerina, de densidad relativa 1,35, sobresalen 7,5 cm de la superficie del líquido. Determinar la den-sidad relativa de la madera.

Solución:

El peso total de la pieza es (a) W : Dr x 1000(l x á), y los pesos del agua y la glicerina desplazados son,respectivamente, (b) Ww:1000(¿ - 0,05) y (c) We : 1,35 x 1000(¿ - 0,075).

Como cada uno de los pesos de líquidos desplazados es igual al peso del bloque, (á) : (c), o bien,

Para 0 : 85':

Para 0 : 83':

: 1.2(l - 0,119) : 1,057 m.

Fig.3-5

cAP. 3l EMPUJE Y FLOTACION

(a) Despreciando el espesor de las paredes deldepósito en la Fig" 3-6(a), si el depósito flotaen la posición indicada, ¿cuál es su peso? (á) Si

el depósito se mantiene de forma que su partesuperior está 3 m por debajo de la superficielibre, ¿cuál es la fuerza que actúa sobre laparte interior de la base del depósito?Solución:(a) peso der depósito

= ffi"#ü:11.j'ilril.

(ó) El espacio ocupado por el aire será menor en lanueva profundidad, según se muestra en la Fi-gura 3-6(á). Suponiendo que la temperatura delaire es constante, se verficará para las posicio-nes (a) y (á),

p,p,t : pruo (hay que utilizar presiones absolutas)

w(10,33 + 0,3X1,2 x área) : w(10,33 + 3 + y)0 x área)

de la que se deduce y2 + 13,33y - 12,15 : 0 y como la raiz ha de ser positiva _y : 0,90 m.

La presión en D : 3,90 m de agua (man) : presión en .8. De aquí, la fuerza sobre el interior del ex-

tremo superior del cilindro es w hA: 1000(3,9)(n0,62) : tAl| kg'

lJn barco, con los costados verticales a la altu-ra de la línea de flotación, pesa 4000 toneladasy en agua salada (w : 1025 kg/mt) tiene uncalado de 6,60 m. Al descaryar 200 toneladasla profundidad de inmersión disminuye a

6,30 m. ¿Cuál será el calado d del barco en

agua dulce?

Solución:Como se desconoce la forma de la parte del

barco sumergida en el agua, es preferible resolver elproblema a partir de los vohlmenes desplazados.

En 0,30 m disminuye el calado cuando se reduce

el peso en 200 toneladas o bien

200 x 1000 -- ut) : 1025(l x 0,3)

donde u representa el volumen entre los calados 6,6

y 6,3 m y (A x 0,3) representa el área de la sección

recta a la altura de la línea de agua por 0,3, es decir,

el mismo volumen u. Por tanto,

Empuj e " ::-:;11; Tl Tlll]'i.;,il#'f;1 "l.i i;::'::,*; ::[::.. desp,azad.

En la figura, el volumen con rayado vertical representa la diferencia entre los volúmenes desplazados en

agua dulce y en agua salada. Esta diferencia puede expresarse en la ro.-u {ryffi - "oor#rtooo, ,,

por otra parte, es también igual a 650y. Igualando estos valores, ,/:0,154 m.

El calado d: 6,3 + 0,154 : 6,454 o bien 6,50 m.

11. Un barril que contiene agua pesa 128,5 kg. ¿Cuál será la lectura en una balanza si se mantiene su-

mergido vérticalmente en el agua a una profundidad de 60 cm un listón de madera de 5 cm

por 5 cm?Solución:

A toda fuerza se opone otra fuerza de reacción igual y opuesta. El empuje vertical hacia arriba ejercido por

39

9.

F R*{t-il

0,30 m

Fig.3-6(ó)Fig.3-6(o)

Fig.3-7

_T0,90 m

-T0,60 m

I

10.

6,30m ¿ 6.66t

40 EMPUJE Y FLOTACION [cAP. 3

el agua sobre la cara inferior del listón de madera da lugar a la acción ejercida por dicha área de 5 cm por5 cm sobre el agua hacia abajo y de igual módulo. Esta fuerza dará lugar a un aumento de la lectura en labalarrza.

Pr:1000x0,05x0,05x0,60:l,50kC.Lalecturaenlabalanza:128,5+1,5:130,0kg.

12. Un bloque de madera de 1,80 m por 2,40 m por 3,00 m flota en un aceite de densidad relativa 0,751.Un par del sentido de las agujas de un reloj mantiene el bloque en la posición mostrada en la Figu-ra 3-8. Determinar (a) el empuje que actúa sobre el bloque en esa posición, (á) el valor del par queactúa sobre el bloque y (c) la situación del metacentro en la posición indicada.

Fig.3-E

Solución:

Peso del bloque : peso del prisma triangular de aceite (o empuje)W : B' : (0,751 x 1000)(j x 2,40 x 1,3854 x 3): 3746 kg

Por tanto, B' : 3746 kg que actúa hacia arriba a través del centro de gravedad O' del aceite desplazado.El centro de gravedad está situado a 1,5999 m de A y 0,4620 m de D, como se muestra en la figura.

AC : AR + RC : AR + LO' -- 1,5999 cos 30o + 0,4620 sen 30o : 1,6164 m

El empuje de 3746 kg actúa hacia arriba a través del centro de gravedad del aceite desplazado, queestá situado a 1,62 m a la derecha de l.Un procedimiento para obtener el valor del par adrizante (que debe ser igual al valor del par exterior quelo mantiene en equilibrio) es el de encontrar la excentricidad e. Esta viene definida por la distancia entrelas dos fuerzas W y B', iguales y paralelas, que dan lugar al par adrizante o restaurador.

e : FC : AC - AF : 1,6164 - AF : 1,6164 - 1,4889 : 0,1275 mya que AF : AR + R¡ : AR + GR sen 30. : 1,3854 + 0,2073É): 1,4889 m

F,lpar lle o B'e :3746 x 0,12'75 :478 mkg. Así, el momento o par para mantener el bloque en laposición mostrada es de 478 mkg del sentido de las agujas de un reloj.

El punto de intersección de la recta de acción del empuje con el eje de simetría S-S se llama metacentro(punto M de la figura). Si el metacentro está situado sobre el centro de gravedad del objeto flotante, el pesodel objeto y el empuje dan lugar a un par restaurador o adrizante para posiciones inclinadas.

La distancia metacéntrica MG : MR - GR: ^Í-- - GR : Y - 0,2073 :0,255 m.sen JU' u,)

Se observará que la distancia MG mútiplicada por el seno del ángulo 0 es igual a la excentricidad e(calculada anteriormente por otro procedimiento).

En ingeniería naval, un ángulo máximo de 10' es el que se toma como límite de escora para el que ladistancia metacéntrica MG tie¡e que mantenerse constante. Existen fórmulas para situar exactamente laposición del metacentro, pero éstas caen fuera del objeto de una introducción a la mecánica de los fluidos.

la)

(b)

(c)

cAP. 3l EMPUJE Y FLOTACION


13. Un objeto pesa 30 kg en el aire y 19 kg en el agua. Determinar su volumen y su densidad relativa.

Sol. 1,1 x 10-2 m3, 2,73

14. Un cuerpo pesa 30 kg en el aire y 19 kg sumergido en un aceite de densidad relativa 0,750. Determinar su volu-

men y su densidad relativa. Sol. 1,47 x l0-2 m3, 2,04

Si el peso específico del aluminio es 2700 kg/m3, ¿cuánto pesará una esfera de 30 cm de diámetro sumergida en

agua? ¿Cuánto si estli sumergida en un aceite de densidad relativa 0,750? Sol. 24,0 kg,27,5 kg

Un cubo de aluminio de 15 cm de arista pesa 5,5 kg sumergido en el agua. ¿Qué peso aparente tendrá al sumer-

girlo en un líquido de densidad relativa 1,25? Sol. 4,66 kg

Un bloque de piedra pesa 60 kg y al introducirlo en un depósito cuadrado de 60 cm de lado, lleno de agua, el

bloque pesa 33 kg. ¿Qué altura se elevará el agua en el depósito? Sol. 7,5 cm

Un cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,5 m de altura pesa 400 kg. (a) ¿Cuántos kilogramos de plomo, de peso

específico 11.200 kg/m3, deben unirse al fondo por su parte exterior para que el cilindro flote verticalmente con

I m del mismo sumergido? (ó) ¿Cuántos kilogramos se necesitarán si se colocan en el interior del cilindro?So/. 423,2 kg, 385,4 kg

Un hidrómetro pesa 1l g y el área de la sección recta de su vástago es 0,16 cm2. ¿Cuál es la diferencia de

alturas sumergidas en dos üíquidos de densidades relativas 1,25 y 0,90, respectivamente? Sol. 21,4 cm

¿Qué longtud debe de tener un tablón de madera de 7,5 cm por 30 cm de sección y densidad relativa 0,50 en

agua salada para soportar encima a un niño que pesa 45 kg? Sol. 3,81 m

Un cuerpo que tiene un volumen de 170 dm3 requiere una fuerza de27 kg para mantenerlo sumergido en el agua.

Si para mantenerlo sumergido en otro líquido se necesita una fuerza de 16 kg, ¿cuál es la densidad relativa de

este último líquido? Sol. 0,935

Unagabarrade3mdeprofundidadtieneunasecciónrectatrapezoidaldebasessuperioreinferior9my6m,respectivamente. La gabarra tiene 15 m de longitud y las caras de popa y proa son verticales. Determinar (a) su

peso si la altura sumergida en agua es de 1,8 m y (á) la profundidad de calado si la gabarra transporta 86 tone'

ladas de piedra. So/. 186.300 kg, 2,50 m

Una esfera de 120 cm de diámetro flota en agua salada (w : 1025 kg/mt), la mitad de ella sumergida. ¿Qué peso

mínimo de cemento (w : 2400 kg/-t), utilizado como anclaje, será necesario para sumergir completamente

la esfera? So/. 810 kg

Un iceberg de peso específico 912 kglm3 flota en el océano (1025 kg/m3), emergiendo del agua un volumen de

lO0 m3. ¿Cuál es el volumen total del iceberg? So/. 5440 m3

Un globo vacío y su equipo pesan 50 kg. Al iffiarlo con un gas de peso específico 0,553 kg/m3 el globo adopta

forma esférica de 6 m de diámetro. ¿Cuál es la máxima carga que puede elevar el globo, suponiendo un peso es-

pecífico del ai¡e igual a 1,230 kglm3? Sol. 26,5 kg.

Un flotador cúbico de 120 cm de lado pesa 180 kg y se ancla mediante un bloque de cemento que pesa 680 kg

en el aire. La boya está sumergida23 cm cuando la cadena que la une al bloque de cemento está tensa. ¿Quésubida del nivel de agua hará separarse del fondo al bloque de cemento? El peso específico del cemento es de

24Cf|. kglm3. Sol. 17,10 cm

27. Una gabarra, de forma paralelepipédica rectangular de dimensiones 6 m de anchura, 18 m de longitud y 3 m de

altura,pesa160.000kg.Flotaenaguasalada(ru:1025kg/mt)yel centrodegravedadcargadoestál,35mpordebajo de la parte superior de la gabarra. (a) Situar el centro de empuje cuando flota horizontalmente en agua

tranquila, (ó) cuando ha girado 10'alrededor del eje longitudinal y (c) determinar el metacentro para la inclina-

ción de 10'. Sol. 0,122 m del fondo y sobre el eje, 0,362 m del eje, 1,152 m sobre el CG

28. Un cubo de aluminio de 15 cm de lado estii suspendido de un resorte. La mitad del cubo está sumergido en

aceite de densidad relativa 0.80 v la otra mitad en agua. Determinar Ia fuerza de tracción en el resorte si el peso

específico del aluminio es de 2640 kg/m'. Sol. 5,87 kg

29. Si el cubo del problema anterior estuviera sumergido la mitad en aceite y la otra mitad en el aire, ¿qué valor

tendría \a fiierza de tracción sobre el resorte? So/. 7,56 kg

4l

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

))

23.

u.

25.

26.

Capitulo 4

Traslación y rotación de masas líquidas

INTRODUCCION

Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido a unaaceleración constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de las condiciones delequilibrio relativo y el fluido está libre de tensiones cortantes. En general no existirá movimiento entre

- el fluido y el recipiente que lo contiene. Son aplicables aún los principios de la estática, modificadospara tener en cuenta los efectos de la aceleración.

MOVIMIENTO HORIZONTAL

En el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posición incli-nada y plana. La pendiente del plano se determina mediante

tgo:

La deducción de la ecuación general para Ia traslación se da en el Problema 4.

MOVIMIENTO VERTICAL

Para el movimiento vertical la presión (lkglm') en un punto cualquiera del líquido viene dada por

p - u,h(l t:)

en la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración .l fru.iu arriba y el negativo cuando la ace-leración constante es hacia abaio.

ROTACION DE MASAS FLUIDAS. RECIPTENTES ABIERTOS

La forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene es un para-boloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolución corta a la superficielibre según una parábola. La ecuación de esta parábola es

donde x e / son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie, medidas con el ori-gen en el vértice situado en el eje de revoluciót, y ü la velocidad angular constante, medida en radia-nes por segundo. La demostración de esta fórmula se da en el Problema 7.

ROTACION DE MASAS FLUIDAS. RECIPIENTES CERRADOSEn los recipientes cerrados aumenta la pregión al girar los recipientes. (Véase también Capítu-

?l == 6r"

42

cAP. 4l TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS

lo 12.) El aumento de presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje,

en el mismo plano horizontal, es

P (kglm2¡ = *{*"¿ll

y el aumento de la altura de presión (m) será

que es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como la velocidad linealV : xu), el término x2alf2g : V2l2s da la altura de velocidad, en m, como se verá más adelante.

Problemas resueltos

V1. Undepósitorectangularde 8 mdelongitud,3 m deprofundidad y2mde anchuracontiene 1,5 mde agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2,45 mfseg2,(a) calcular lafierza total sobre cada uno de los extremos del depósito debido a la acción del aguay (ó) demostrar que la diferencia entre estas fuerzas es igual a la fierza no equilibrada, necesariapara acelerar la masa líquida. Referirse a la Figura 4-1.

Solución:

la)

A partir de la figura, la profundidad d en el extremo d. -.no. profundidad es d : 1,5 - | : 1,5 -4 tg l4'2' : 0,500 m, y en el extremo más profundo será 2,50 m. Por tanto,

Pae: wh"nA : 1000(2,5012)(2,50 x 2) : 6250 kgP¿p: wh"nA: 1000(0,500/2X0,500 x 2) :250 kg

b\ Fuerza necesaria: masa del asua x aceleración lineal : 8x2x1,5x1000 x 2,45 :6000 kg,9,80

! P.tn - Pco: 6250 ' 250 :6000 kg, que coincide con el valor antehor.

43

I:u-{a."

teo: :2!:o,zso y o:r4"2'9,80

:J-auJ-1.5 mI ld r

¡ n, ---*]Dl

Fig.4-1

l*- a'' --+Fig.1-2

* 2. Si el depósito del Problema 1 se llena de agua y se acelera en la dirección de su longitud a

1,52 mfseg2, ¿cuántos litros de agua se verterán del depósito? Referirse alaFigwa 4-2.Solución:

Pendiente de la superficie : tg e : 1,5219,8 : 0,155, y la diferencia de niveles entre los extremos de la su-perficie:8 tg 0:1,24m.

Volumen derramado : 2 x sección recta triangular mostrada en la Fig:¡a 4-2: 2G , 8 x 1,24) :9,92 m3 :9920 l.

TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS [cAP. 4

13. Un depósito de base cuadrada de 1,50 m de lado contiene I m de agua. ¿Qué altura deben de tenersus lados para que no se derrame agua al someterlo a una aceleración de 3,66 mlseg2 en direcciónparalela a un par de lados?

Solución:Pendiente de la superficie : tg 0 : 3,6619,8 : 0,373.Elevación (o descenso) de la superficie:0,75 W e:0,j5 x 0,373 :0,28 m.El depósito debe tener al menos 1 + 0,28 : 1.28 m de profundidad.

(ü.ui,**t\ ñ,qi)}. 4. Un recipiente que contiene agua se ace-

Iera paralelamente y hacia arriba de unplano inclinado 30", con el horizontala 3,66 m/seg2. ¿Qué ángulo formará lasuperficie libre con la horizontal?Solución:

Con referencia a la figura, las fuerzas queactúan sobre cada partícula dM son su.pesoW, vertical y dirigido hacia abajo, y la fuer-za P ejerctda por el resto de partículas que larodean. Esta fuerza P es normal a la superfi-cie, ya que no actúan fuerzas cortantes. Lafuerza resultante F, (debida a W y P) sobrecada partícula de líquido debe ser paralela alplano XX, que forma un ángulo de a : 30'con el horizontal, y estar dirigida hacia arn-ba, de forma que dé lugar a la aceleracióncomún c,. La Fig. 4-3(á) muestra el diagramavectorial correspondiente. Ahora pueden es-establecerse las relaciones sisuientes:

W(1) F,:-a, oo

(2) { sen a: P cos

(J) F,cosa:Psen0-w0 del diagrama

se llega aMultiplicando (2) por sen 0 y (3) por cos 0 y operando,

sen 0

44

(b)

F':o'WC

Fig.l-3

vectorial

cosdcos0-senasen0{ sen a sen 0 + W sen 0- { cos a cos 0: 0

Sustituyendo en (1) y simplificando,

F,'W

.4,(:4) --:cosdctg0-sena de la que por ser a: 30"

(A) cts 0 :tg 30' +t** : 0.s7i* *jf,*: :,os y 0 : 15"12'

Nota'. Para un plano horizontal, el ángulo a es igual a 0' y la ecuación (4) se transforma en af g : tg g, quees la ecuación dada para el movimiento con aceleración horizontal. Para una aceleración paralela al plano, perodirigida hacia abajo, la tg 30' de la ecuación (A) lleva un signo menos delante.

¡.5. Un depósito cúbico está lleno con 1,50 m de aceite de Dr 0,752.Determinar la fuerza que actúasobre uno de los lados del depósito (c) cuando se somete a una aceleración vertical y dirigida haciaarriba de 4,90 m/seg2 y (á) cuando la aceleración de 4,90 mfseg2 es vertical y dirigida hacia abajo.

Solución:

(a) La Fig. 4-4 muestra la distribución de presiones sobre el lado vertical AB. En.B el valor de la presión enkgfm2 es


a 4.9pn: wh(l + :) : 0,752 x 1000(1,5X1 + =)

: 1692 kglm2g Y,ó

Fuerza Pou: área del diagrama de'carga x 1,5 m de longitud: (+ x 1692 x r,5)(r,5) : 1900 kg

Otra forma de hallarla sería

Del segundo principio de Newton, F, : Ma, o

De EI¡: 0

Dividiendo (I) por (2),

45

TI

1,50 m

I

-lpa6: wh"nA: p"sA:10,752 x 1000(0,75x1 * 3ll (1.5 x 1,5)Y,ó

: 1900 kC

(b) pAa: lo,7s2 x r000(0,75x1 - ffi,r (1,5 x 1,5) : 635 kcFis.l-1

* 0. Determinar la presión en el fondo del depósito del Problema 5 cuando está sometido a una ace-leración vertical hacia abajo de 9,80 m/seg2.Solución:

pD:0,752 x 1000(1,5)(t -9,819,8):0 kslm2

De aquí, para una masa líquida en caída libre, la presión en el interior de su masa, en cualquier punto, es

nula, es decir, igual a la presión atmosférica de los alrededores. Esta conclusión es importante al considerar co-rrientes de agua que caen libremente a través de la atmósfera.

7. Un recipiente abierto, parcialmente lleno de un líquido, gira alrededor de su eje vertical con unavelocidad angular constante. Determinar la ecuación de la superficie libre del líquido cuando éstehaya adquirido la velocidad angular del recipiente.

C

Pcos a

(¿) (b)

Fig.1-5

Solución:En la Fig. 4-5(a) se representa una sección del recipiente sometido a rotación y una partícula genéica A sí-

tuada a una distancia x del eje de rotación. Las fuerzas que actúan sobre la masa A son su peso W, vertical ydirigido hacia abajo, y P que es normal a la superficie libre del liquido, ya que no existen tensiones cortantes. Laaceleración de la masa A es xa2, dirigida hacia el eje de rotación. La resultante de las fuerzas W y P debe acfiaren la misma dirección que esta aceleración, como se muestra en la Figura 4-5(á).

WQ) P sen 0 : -¡s12o

(2) Pcos0:W^ xa2(J) tgu:-

o

Ahora bien, 0 es también el ángulo entre el eje X y la tangente en A a la curva, Fig. 4-5a. La pendientede esta tangente es tg 0 o bien dyldx. Sustituyendo este valor en (3)

X:+ de la cual, Por intesración, , : Ex2 + C,

Para calcular la constante de integración Cr: Cuando x : 0, y: 0 debe ser Cl : 0.

46

*s.TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS [cAP. 4

Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1,5 m de agua. Si elcilindro gira alrededor de su eje geométrico, (a) ¿qué velocidad angular se puede alcanzar sin quese derrame nada de agua? (b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y D cuandorr¡ : 6,00 rad/seg?

Solución:(a) Volumen del paraboloide de revoluci5¡ : |(volumen del cilindro circunscrito): llinl'z(O,s + y)]

Si no se derrama líquido, este volumen ha de ser igualal volumen sobre el nivel original del agua A-A, es decir,

lllnr, (0,s + _yr)l : +nr2 (o,s)

e i/r : 0,5 m.Para generalizar, el punto de la superficie libre en el

eje de rotación desciende una altura igual a la elevaciónque sufren los puntos del líquido en contacto con las pa-redes del recipiente.

A partir de esta información, las coordenadas x e J,de los puntos B son, respectivamente, 0,50 y 1,00 m, to-mando el origen en S. Por tanto,

@2

': ,r*'1,0 ^ Ú)2

u :

-

{u,)u)¿

de donde, r¡ : 8,86 rad/seg.

(b) Para a: 6,00 radlseg,

. t\\y

I AIAr

_l_

a)2It:

-x'

:t )o " ffi,0,t,' : 0.458 m de S

El origen S cae jy : 0,229 m y S, por tanto, está a1,50 - 0,229 : 1,271 m del fondo del depósito. En lasparedes del depósito la profundidad: 1,271* 0,458 = .

1,729 m (o bien 1,50 + 0,229 : 1,729 m).En C, p¿: wh : 1000 x 1,271 : t2'71 kglm2En D, p¡: wh : 1000 x 1,729 : 1729 kelm2

-* g. Considérese el depósito del Problema 8 cerrado y conel aire sobre la superficie libre a una presión de1,09 kglcm2. Cuando la velocidad angular es deL2,0 ra4lseg, ¿cuáles son las presiones, en kgfcm2,en los luntos C y D de la Figura 4-7?

Solueión:

Como no hay variación de volumen en el aire interior al

recipiente,

volumen sobre el nivel A-A: volumen del paraboloide

o bien (1) tnr2 x s,5s: lnxltz

Además (2) ,, : ffi rZ

Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas (I) V Q),xt : 0,034. De donde xz : 0,43 m e lz: 1,35 m.

A partir de la figura, ^S

está situada a 2,00 - 1,35 : 0,65 msobre C. Por tanto,

pc' : 1,09 + whllla : 1,09 + 1000(0,65)/104 : 1,155 kglcmz

Fig.4-6

B-T0,5 m

,+I

I

1,5 m

c

Fig.l-7


Para calcular la presión en D, la altura de presión es -/r : ffi(0,5)' : W{^ sobre ^s y

p¿' : 1000(1,65 + 0,65)/104 + 1,09 : r,320 kglcm2

\D¿r 10. (a) ¿A qué velocidad debe girar el depósito del Problemag para que el centro del fondo tenga una

profundidad de agua igual a cero? (á) Si la pared lateral del depósito tiene un espesor de 6 mm,¿cuál será la tensión que soporta a la altura del fondo?

Solución:

(a) El origen S coincidirá ahora con el punto C de la Figttra 4-7.

47

Volumen sobre la superficie del líquido : volumen del paraboloide

(/) f,nl2 x 0,50 : lnxlQ,}})

(2t Yz: 2'00 : #*fiDe (1) y (2) se obtiene a¡2 :313,6 y a:17,7 radlseg.

(b) po' : t,on * ft, donde ft : lt:g#W:4,0 m,

: 1,0e * toor%i o : r,4e kslcm'. l-u t.r'.ion en D : oo:4: qilf : r24 kslcm2.

o bien

Además

\.N 11. Un depósito cilíndrico cerrado de 2 m de altura y 1 m de diámetro

contiene 1,50 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular cons-tante de 20,0 radfseg, ¿qué área del fondo quedará al descubierto?Solución:

Con el fin de determinar la parábola dibujada en la figura adjunta hayque determinar primero el valor de y.. Ahora bien,

Q0f). : t;-e,8

(o.so)2 : 5,lo m

con lo que puede dibujarse la superficie del agua, mostrando que ^S está por

debajo del fondo del depósito. Ahora,

(/) v, : .Qof = x12x9.8'

T-IIIrlllllilá

(2)

(r)

(20)'lz:2 t yt:

taag_g xl, y como el volumen del aire es constante,

inlt , 0,50 : volumen (paraboloide SAB - paraboloide SCD): t"t1y, - fuxtyr.

Sustituyendo los valores de (1) y (2) y despejando,

x? : 0,0136 ! xt:0,1166 m.

De donde área descubierta : n(0,1166)2 :0,M28 m2.

Fig.4-8

12. Un cilindro cerrado de 1,80 m de diámetroy 2,70 m de altura está completamente lleno de glice-rina, Dr : 1,60, bajo una presión en el extremo superior de 2,50kglcm2. Las chapas de que estáformado el cilindro tienen 13 mm de espesor y son de acero con una tensión de trabajo admisiblede 850 kglcmz. ¿A qué velocidad rnáxima, en rpm, puede girar el cilindro?Solución:

A partir de las especificaciones del cilindro y de la fórmula que da la tensión circunferencial o : p'rlt,

TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS [cAP. 4

p2 : otlr: 850(1,3)/90 : 12,30 kslcm2

Además, pi: 2 presiones (2,50 impuesta * debida a los 2,70 m de glicerina * debida a la rotación)

(,)2 l,6o x looo*zrg,axu,9"x 10- kg/cm-

Despejando, a:37,58 rad/seg o bien 360 rpm.Las condiciones de presión se representan gráficamente, aunque no a escala, en la Fig. 4-9. La horizontal

RS? indica la altura de presión de 15,6 m de la glicerina, antes de la rotación, en la parte superior del depósi-to. La curva que da la distribución parabólica de presiones con vértice en S es producida por la velocidad an-gular constante de 37,58 rad/seg. Si el recipiente estuviese lleno, pero sin presión, el vértice S estaría situado en

la parte superior e interior al recipiente.

Fig.4-9 Fig.1-10

13. Un tubo de 7,50 cm de diámetro y 1,20 m de longitud se llena con un aceite de Dr 0,822 ya continuación se cierra en sus dos extremos. Puesto en posición horizontal, se le' hace g;rar a27,5 radfseg alrededor de un eje que dista 30 cm de uno de los extremos.¿Qué presión se desarro-

llará en el extremo del tubo más alejado del eje, medida enkgfcm2?

Solución:

Como se hizo notar anteriormente, la presión aumenta a lo largo de la longitud AB enla Fig.4-10 por larotación. Para algún valor de la velocidad de giro el aumento de la presión tiende a comprimir el elemento de

líquido, haciendo disminuir la presión en zl. Como los líquidos son prácticamente incompresibles, la rotaciónni hará aumentar ni disminuir la presión en ,4. Entre A y B La presión aumentará proporcionalmente al cua-

drado de la distancia al eje YY.Para calcular la presión en .B:

(r) y,:ry x 0,32 : 3,47 m

1000 x 2,70o bien 12.30 : 2.50 +

100

mf+-r,zo m

t)1 5P(21 rz:T x 1.52:86.8 m

ps : 0,822(r000x86,8 - 3,47)1104 : 6,85 kslcm2


Problemas propuestosUn recipiente parcialmente lleno de agua está sometido horizontalmente a una aceleración constante. La incli-nación de la superficie libre es de 30'. ¿A qué aceleración está sometido el recipiente? Sol. 5,66 m/seg2

Un depoeito abierto de sección cuadrada de 1,80 m de lado pesa 350 kg y contiene 90 cm de agua. Está some-tido a la acción de una luerza no equilibrada de 10ó0 kg, paralela a uno de los lados. ¿Cuál debe ser la alturade las paredes del depósito para que no se derrame el agua? ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pareddortde la profundidad es mayor? So/. 1,192 m, 1280 kg

Un depósito abierto d€ 9,00 m de longitud, 1,20 m de anchura y 1,20 m de profundidad está lleno con 1,00 mde aceite de Dr : 0,822. Se acelera en la dirección de su longitud uniformemente desde el reposo hasta una ve-locidad de 14 m/seg. ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo para acelerar el depósito hasta dicha velocidad sinque se derrame el líquido? So1. 32,1 seg

Un depósito rectangular abierto de 1,50 m de anchura,3,00 m de longitud y 1,80 m de profundidad, que con-tiene 1,20 m de agua, se acelera horizontalmente, paralelo a su longitud, a 4,90 mlseg2. ¿Qué volumen de aguase derrama? So/. 0,675 m3

¿A qué aceleración debe someterse el depósito del problema anterior para que sea nula la profundidad en la aris-ta anterior? Sol. 5,88 m/seg'?

Un depósito abierto, que contiene agua, está sometido a una aceleración de 4,90 mlseg2 hacia abajo sobre unplano inclinado l5'. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la superficie libre? Sol. 23"9'

Un recipiente que contiene aceite de densidad relativa 0,762 se mueve verticalmente hacia arriba con una ace-leración de +2.45 mfseg2. ¿Qué presión existe a una profundidad de 180 cm? Sol. 1715 kglm'1

21. Si en el Problema 2O Ia aceleración es de -2,45 mlseg2, ¿cuál es la presión a una profundidad de 180 cm?So/. 1029 kelm2

Una fuerza vertical no equilibrada y dirigida hacia arriba, de módulo 30 kg, acelera un volumen de 45 | de agua.Si el agua ocupa una profundidad de 90 cm en un depósito cilíndrico, ¿cuál es la fuerza que actúa sobre elfondo del depósito? So/. 75 kg

Un depósito abierto cilindrico de 120 cm de diámetro y 180 cm de profundidad se llena de agua y se le hace gi-rar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cu1ü es la profundidad en el eje? Sol. 0,410 m3, 1,0't.4 m

¿A qué velocidad debe girar el depósito del Problgma 23 para que en el centro del fondo del depósito la profun-didad del agua sea nula? So/. 9,90 rad/seg

25. Un recipiente cerrado, de 60 cm de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el recipiente está girando a

1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia de la parte superior del depósito?Sol. 7,25 kglcm2

26. Un recipiente abierto de 46 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velo-cidad que la superficie del agua a 10 cm del eje forma un ángulo de 40'con la horizontal. Calcular la velocidadde rotacién. So/. 9,07 radlseg

Un h¡bo en U con codos en ángulo recto liene 32 cm de anchura y contiene mercurio que asciende 24 cm e¡cada rama cuando el tubo está en reposo. ¿A qué velocidad debe girar el tubo alrededor de un eje vertical, quedista 8 cm de uno de los brazos, para que el tubo del brazo más próximo al eje quede sin mercurio?Sa/. 15,65 radlseg

Un tubo de 2 m de longitud y 5 cm de diámetro tiene sus extremos cerrados y está lleno de agua a una presiónde 0,88 kglcm2. Situado en posición horizontal se le hace girar alrededor de un eje vertical que pasa por uno desus extremos a una velocidad de 3 rad/seg. ¿Cuál será la presión en el extremo más alejado del eje de giro?Sol. 9412 kglm2

El impulsor de 1,50 m de diámetro de una bomba centrífuga de agua gira a 1500 rpm. Si el cuerpo de la bombaestá totalmente lleno de agua, ¿qué altura de presirSn se desarrolla por la rotación? So/. 700 m

49

14.

t5.

ló.

t7.

18.

19.

20.

))

23.

24.

t1

28.

29.

Capitulo 5

Análisis dimensional y semejanza hidráulica

INTRODUCCION

Lateoria matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de mu-chos problemas hidráulicos. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y cons-truyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisisdimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias,así como el análisis de los resultados obtenidos.

ANALISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudesfísicas y constituye otra herramienta muy útil de la moderna mecánica de los fluidos. En toda ecuaciónque exprese una relación fisica entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudéspor sus valores numéricos y también por sus dimensiones. En general, todas las relaciones fisicas pueden

reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales, fuerza d longitud Z y tiempo I (o bienla masa M, longitud Z y tiempo I). Entre las aplicaciones se incluyen (1)conversión de un sistema de

unidades en otro, (2) desarrollo de ecuaciones, (3) reducción del número de variables requeridas en unprograma experimental V (a) establecimiento de los principios para el diseño de modelos.

El teorema de Pi de Buckinsham se establecerá e ilustrará en los Problemas 13 a 17.

MODELOS HIDRAULICOS

Los modelos hidráulicos, en general, pueden ser o bien modelos verdaderos o modelos distorsio-nados. Los modelos verdaderos tienen todas las características significativas del prototipo reprodu-cidas a escala (semejanza geométrica) y satisfacen todas las restricciones de diseño (semejanza cinemá-tica y dinámica). El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencia que lacorrespondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones esperadas,como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseñadas a partir de ensayos sobremodelos.

SEMEJANZA GEOMETRICA

Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geométrica cuando las relaciones entre todas las di-mensiones correspondientes u homólogas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones pueden

escribirse

Z-od"lo _f" rel, '

tü: t, (1)¿prototipo

lmod"lo-

L2mo¿rlo - ¡z - Iz

- ¡2 - L¡el. - LtLp¡ototipolprototipo

50

(2)

cAP. 5l ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

SEMEJANZA CINEMATICA

Entre modelo y prototipo existe semejanza cinemática si (1) las trayectorias de las partículas móvileshomólogas son geométricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las partículashomólogas son iguales. A continuación se dan las siguientes relaci¡ones útiles:

51

Velocidad:

Aceleración:

Caudal:

lt,,,f 7',n

L'/T'

Lrrr/Ti,

I'o/T;:

LL/T,,,f:,:tp/ T ),

P L,t (v2lLr)'p L2

V,,,

v,)

ü,n

ap

Q,N

Qo

L,u

L,

Ir,,,

Lp

LI,,

L"

(3)

&)

(c)

Tu,: L,TI' T'

T], : L,T'zD T7

T'u : LX

TD T"

SEMEJANZA DINAMICA

Entre dos sistemas semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza dinámica si las re-laciones entre las fuerzas homólogas en modelo y prototipo son las mismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principiodel movimiento de Newton, 2F, : M a*. Las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de las siguien-tes, o una combinación de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas gravita-torias, fuerzas debidas a la tensión superficial y fuerzas elásticas. Entre modelo y prototipo se desarro-lla la siguiente relación de fuerZas:

X fuerzas (viscosas -r' de presión -+-+ gravitatorias -r-+ tensión superf. -r-+ elásticas) ^ _ M^ e^X fuerzas (viscosas -r- de-presión -r+ gravitatorias .++ tensión superf. -rr elásticas)o Mo ao

LA RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA se desarrolla en la sisuiente forma:

F, : ff#*'",.".*": ffi:: ur:,:li"!¡r: o,Ll(l',),

F, = p,LiV',, - p,A"V? (d)

Esta ecuación expresa la ley general de la semejanza dinámica entre modelo y prototipo y se la conocecon el nombre de ecuación newtonrana.

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA ,A LAS DE PRESION fuúmero de Euler). Yienedada por (utilizando T : LIV)

MapA

pL:\ x L/72pL'

PL"V" pvtpL' 1)

(7)

RELACION DEtiene a partir de

LAS FUERZAS DE INERCIA

Ma,d v.p(-)A'du'

Ma,A

A LAS VISCOSAS (número de Reynolds). Se ob-

p L',V" pvL

,,(r) L" tl(8)

52

RELACION

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS GRAVITATORIAS. Se obtiene de

[cAP. 5

Se ob-

(10)

MahIs

MuEA

: PL"V' :pLtg

v2 (e)Ls

vLa raiz cuadrada de esta relación, t-, se llama número de Froude.

vLg

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS ELASTICAS (número de Cauchy).

tiene a partir de

p L',V',EL2

: PT'-E

T

T

¡f

L?

V,(véase Problema 20)

(véase Problema 18)

(12)

(1s)

(1)+)

(1 5)

La raiz cuadrada de esta relación. llama número de Mach.

A LA DE LA TEI\SION SUPERFICIItL (núme-RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIAro de Weber). Se obtiene de

Ma pL'V'oL oL

p LV'(1 1)

En general, el ingeniero estudia únicamente los efectos de la fuerza predominante. En la mayoríade los problemas de flujos fluidos son fuerzas predominurtes las de la gravedad, vi*osidad y/o elasti-

cidad, pero no necesariamente de forma simultánea. En este libro se tratarán únicamente los casos en

que una sola fuerza predominante influye sobre la configuración del flujo, mientras que el resto de las

fuerzas producen efectos despreciables o que se compensan. Si son varias las fuerzas que simultánea-mente influyen en las condiciones del flujo, el problema se complica en exceso, quedando fuera del pro-pósito de este texto. Los Problemas 2l y 34 sugbren posibilidades.

RELACION DE TIEMPOS O

Las relaciones de tiempos establecidas para configuraciones del flujo gobernadas esencialmente

por la viscosidad, o por la gravedad, o por la tensión superficial, o bien por la elasticidad, son, respec-

tivamente,

T',\a:


Problemas resueltos

1. Expresar cada una de las siguientes magnitudes (c) en función de la fuerza fl la longitud Z y deltiempo T y (b) en función de la masa M,la \ongitud Z y el tiempo ?-

Solución:

53

Magnitud

(o) Area A en m2

(b\ Volumen u en m3

(c) Velocidad V en mfseg

(d) Aceleración a o g en mfseg2

(") Velocidad angular co en rad/seg

(f) Fuerza F en kg

k) Masa M en kg seg2/m

(h) Peso específico ru en kg/m3

(4 Densidad p en kg seg2 fma

(/) Presión p en kglm2

(k) Viscosidad absoluta ¡.r en kg seg/m2

(l) Viscosidad cinemática v en m2/seg

(m) Módulo de elasticidad E en kglm2

(n) Potencia P en kgm/seg

(o) Par I en mkg

(p\ Caudal p en m3/seg

(q) Tensión cortante r en kgfm2

(r) Tensión superficial o en kgfm(s) Peso IZ en kg

A) Caudal en peso W en kglseg

Símbolo

A

(a)

F-L-TL2

L1

L T-IL T_2

T-rFF T. !,-tF L_3

F T2 L-4F L_2

FTL_2L2 T*rF L_2

FLT_IFLL3 T_IF L_2

F L_IFF T_I

(b)

M-L-7:

L2

L3

L T_I

L T_2

T-L

M LT_2MM L-2 T-2

M L_3

M L-1 T_2

M L_I T_I

L2 T-1

M L-1 T_2

M L2 T_3

M L2 T"2

L3 T_I

M L-1 T_2

M T_2

MLT_2M LT_3

u

V.a,g

aFMw

o

p

p

v

E

P

T

af

o

W

,V

2. Desarrollar una expresión que dé la distancia recorrida en el tiempo T por un cuerpo que cae libre-mente, suponiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración de la gravedady'del tiempo.

Solución:

Distancia s : f(W, g, f)s: KW g" 7-

donde K es un coeficiente adimensional que se determina por 1o general experimentalmente.

Esta ecuación ha de ser dimensionalmente homogénea. Los exponentes de cada una de las magnitudes debenser iguales en los dos miembros de la ecuación. Se puede escribir

Fa LL Tn : (1") (Lu T-to) (7")

Igualando los exponentes de F, L y T, respectivamente, se obtiene 0 : a, | : b y 0 : -2b * c, de donde a : 0,b : I y c : 2. Sustituyendo,

s:KWsT2 o s : KgT"Obsérvese que el exponente del peso W es cero, lo que significa que la distancia recorrida es independiente

del peso. El coeficiente K se determina por análisis fisico y/o por experimentación.

54

3.

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. 5

El número de Reynolds es una función de la densidad, la viscosidad y la velocidad del fluido, así comode una longitud característica. Establecer la expresión del número de Reynolds mediante el análi-sis dimensional.

Solución:Rt = f (p, p,V, L)

Rx = Kp"pbv'Ld

De aquí, dimensionalmente, Fo Lo To = (F" T2" L-A")(Fb 7a a-zo)(Lc T-")(L")

Igualando, respectivamente, los exponentes de F, L y I, se obtiene

0 = a*b, 0 = -4a-2b*c*d', 0 = 2a*b-c

de la cual a: -b, c : -b, d: -b. Sustituyendo,

R" = K p-o po V-b L-b = X(Y JO;a

LosvaloresdeKyátienenquedeterminarseporanálisisfísicoy/oporexperimentación.Aquí,K: lyb: -1.

4. Para el caso de unsidad del líquido,

Solución:

o

Pero g = n'lp; de donde

líquido ideal, expresar el caudal Q através de un orificio en función de la den-

el diámetro del orificio y la diferencia de presiones.

Q = f b,p,dlQ = Kp"pod"

5. Determinar la presión dinámica ejercida sobre un cuerpo totalmente sumergido en la corrientede un fluido incompresible al suponer que la presión es función de la densidad y de la velocidad.

Solución:

P = f (P'V\

P = KP"Vb

Ft L-2 To = (F" T2" L-Ao)(Lb T-b)

0 :2a - b, de donde a : l, b :2. Sustituyendo,

P = KPV"

De aqui, dimensionalmente, ¡;to Ls T-t = (F" T21 L-Aa)(Fb "-zu¡(L")

y 0:a*b, 3=-4a-2b*c, -l='2a

de donde a: -tr, b : L, ,: 2. Sustituyendo,

Q = K P-t/2 Pt/2 d2

(ideal)Q : Kcl"t/ph

El coeficiente K ha de obtenerse mediante el análisis fisico y/o por experimentación.

Para un orificio en la pared lateral de un depósito y bajo una altura de carga h, p : w h. Para obtener la

conocida fórmula del caudal desaguado por un orificio, que se dará en el Capítulo 9, se pone K : J, (nl4). Por

tanto,(ideal)8 = tE G/+\ a' t/*t /p

(ideal) Q = +n d'{2s h

o

De aquí, dimensionalmente,

yl:a,-2:-4a*b,


G. Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso específico del fluido,

dei caudal .n -t7r.g y de la altura comunicada a la corriente, establecer una ecuación por análisis

dimensional.

Solución:

P = -f (w,Q,H)o P - Kw"QbH.

De aquí, dimensionalmente, F t Lt T-1 - (.F" L-*)(L"u T-o)(L")

y l: a, l: -3a + 3b + c, -!: -b, de donde a -- l, b:1, c: l. Sustituyendo,

P = KwQH

7. Se dispara un proyectil con un ángulo 0 y una velocidad inicial V.Encontrar el alcance R en el planohorizontal, suponiéndolo función de V, 0 y de g.Solución:

Dimensionalmente,

Dimensionalmente.

R = f (V,s,e) - Kv(sboclt - (ff T-n)(Lb T-2b\

(A)(B)

Como 0 es adimensional, no aparece en la ecuación (.8).

Despejando ay b, a:2y b: -1. Sustituyendo, R : KV2lg. Evidentemente, esta ecuación es incorrectaya que carece de la variable 0. En el Problema 8 se muestra cómo obtener una solución correcta.

8. Resolver el Problema 7 mediante una descomposición vectorial.

Solución:

En los casos de movimientos bidimensionales pueden introducirse las componentes según X o Y para ob-tener una solución más completa. Así, la ecuación (l) del Problema 7 puede escribirse

R. = KY"V,cieot l = @! T-")(Li, T-b)(Lc T-'c\

que da L.:l=aT: 0 = -a-b-2c

Lo: 0 = bÍcDe aquí, a: l, b: t y c: -1. Sustituyendo en (C),

(c)

R = K¡Y:lt¡ (D)\g,l

A partir del diagrama vectorial, cos 0 : V*f V, sen 0 : VrlV I cos 0 sen 0 : V,VylV2 . Sustituyendo en (D),

R = KY'?cosdsend _ yYtt"2ls2s@)

Por mecánica. R toma la forma v2 sen 20 . de donde K : 2 en la ecuación (E).

I

9. Suponiendo que la fuerza de arrastre ejercida sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluidaes función de la densidad, la viscosidad y la velocidad del fluido, y de una longitud característicadel cuerpo, desarrollar la ecuación general.

Solución:

F = f (p, p, L,V\o ¡l - Kp"pbLcvd

De aquí, ptt Lo To : (F" 72" L-4o\(Fb Tb L-rb)(Lc)(Ld T-d)

y 1: a}-b,0: -4a-2b+cld,0:2aIb-d.

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. s

Se observa que hay más exponentes desconocidos que ecuaciones. (Jn procedimiento de resolución con-siste en expresar tres de las incógnitas en función de la cuarta. Resolviendo en función de ó, se obtiene

Sustituyendo,

a=l-b, d,:2-b, c=2-bF = K p1-b pb Lz-b Vz-b

Con el fin de expresar esta ecuación en la forma comúnmente usada, se multiplica por 212 y se ordenan tér-minos, obteniendo:

F = 2K e(Y la)-b uTComo se ," '

t ' es el número de Reynolds y Z2 representa un área, y se puede poner

p

p = l2K n;,1, AT o P = CroAT

f0. Desarrollar una expresión para la tensión cortante en una corriente fluida en una tubería supo-niendo que la tensión es función del diámetro y de la rugosidad de la tubería, y de la densidad, laviscosidad y la velocidad del fluido.

Solución:

r = f (V,d,p,r,K)r = CvadbpcpdKe

La rugosidad K se expresa normalmente como la relación entre la altura de las protuberancias superficialesde la tubería y su diámetro, eld, q:ue es un número adimensional.

Por tanto, Itt L-2 To = (L" T-")(Lb¡1F" T'" L-4c)(Fd Td L-'zd)(L"/Le)

v l: c+ d. -2: a* b-4c-2d+ e -e.0: -a*2c * d. Resolviendo en función de d, se obtiene

Sustituyendo,

Reuniendo términos,

o

c=7-d, a=2-d, Jj=-d

r = c v2-d d-d pr-d pd Ke

vn^¡ = cl':i')-'K"v'p\lr

, = (C, R;o) V" p

11. Desarrollar una expresión que dé la pérdida de carga en una tubería horizontal, para un flujo tur-bulento incompresible.

Solución:

Para un fluido cualquiera la pérdida de carga viene dada por la caída de presión y es una medida de la re-

sistencia presentada al flujo a través de la tubería. La resistencia es una función del diámetro de la tubería, laviscosidad y la densidad del fluido, la longitud de la tubería, la velocidad del fluido y la rugosidad K de la tu-bería. Se puede escribir

(pt - pr)

(p, - p,)

f (d, p, p, L,v, K)

C d" po p' Ld V" (,/cl)l

A partir de datos experimentales se ve que el exponente de la longitud I es la unidad. El valor de K se ex-

presa usualmente como la relación entre el tamaño de las protuberancias superficiales e y el diámetro d de la tu-bería, resultando adimensional. Se puede escribir, por tanto,

¡ttl L-2 To : (L")(Fb Tb L-zb)(Fc T,c L-ac)(Lt)(L" T-")(Lt/Lt)

cAP. sl ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

yl:b+c,-2:a-2b-4c*l-let-f-f0:b+2c-e,apartirdelascualessepuedendeter-minar los valores de a, b y c en función de e o bien

Sustituyendo en (1),

c = e-!, b = 2-e, a = e-B

(Pr- Pr) : C de-tt p2-e pe-t LrV" (€/d)l

Dividiendo el primer miembro de la ecuación por ¿r; y el segundo por su equivalente pg,

ry = pérdida de carga = c (e/d)r L 1¿'-zvP pc-t pz-e)

que puede transformarse en (al introductr 2 en el numerador y en el denominador)

pérdida de carga : ,, (;),1'-l*+"a1

= "'<*-" \*)(#) = ,i# (rórmura de Darcy)

12. Establecer una expresión para la potencia de entrada en una hélice al suponer que la potenciapuede expresarse en función de la densidad del aire, el diámetro, la velocidad de la corriente de

aire, la velocidad de rotación, el coeficiente de viscosidad y la velocidad del sonido.

Solución:

Potencia = K oo db V" ad L" ct

y, utilizando como unidades fundamentales la masa, la longitud y el tiempo,

M L'T-a = (M" L-s")(Lb)(L. T-")(T-a¡1M" L-" T-")(Lt T-t)

57

De aquí,

Sustituyendo, Potencia = K pt-" ¿f,s-ze-c-t Vc o3-c-e-l pe ct

Ordenando y reuniendo términos con los mismos exponentes, se obtiene

r ^)2.. ,:t ) -'lpotencia = KI(T), (-v) "(, )-'|".d'oL'

Al observar los términos entre paréntesis se ve c¡ue todos son adimensionales. El primer factor puede es-

cribirse como un número de Reynolds, ya que velocidad lineal : radio x velocidad angular. El segundo factores una relación adimensional característica de la hélice y el tercer factor, cociente de la velocidad a la celeridaddel sonido, es el número de Mach. Combinando todos estos términos se llega a la ecuación

Potencia = C' o os d."

13. Resumir el procedimiento a seguir para aplicar el Teorema de Pi de Buckingham.Introducción:

Cuando el número de variables o magnitudes fisicas son cuatro o más, el Teorema de Pi de Buckinghamconstituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un número menorde grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adi-mensionales se llaman grupos o números Pi. Si en el fenómeno fisico en cuestión intervienen n magnitudes fisi-cas 4 de las cuales k son dimensiones fundamentales ('por ejemplo, fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, lon-gitud y tiempo) y otras 4 (tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemática-mente

| = a*e2: -Ba*b*c-e+f

-B = -c-d-e-f

a = l- e

dedonde b = 5-2e-c-fd, = 3-c-e-Í

58 ANALISIS DIMENSIoNAL Y SEMEJANZA HIDRAULIcA

Y esta ecuación puede remplazarse por Ia relación

[cAP. s

$(t11 ;2tÍrr..., o.-r) : 0

donde cualquier número z no depende más que de (k + l) magnitudes fisicas 4 y cada uno de los números nson funciones monómicas independientes, adimensionalmente, de las magnitudes 4.

Procedimiento:l. Se escriben las n magnitudes fisicas q, que intervienen en un problema en particular, anotando sus dimen-

siones y el número k de dimensiones fundamentales. Existirán (n - &) números z.2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas di-

mensiones' Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las maenitudes selec-cionadas.

3. El primer grupo 7r puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a unexponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente setoma igual a uno).

4, Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variablespara establecer el nuevo número n. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números z.

5. En cada uno de los grupos n determinailos expánentes desconócidos mediante el análisis dimensional.

Relaciones útiles:(a) Si una magnitud es adimensional constituye un grupo n sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.(b) Si dos magnitudes fisicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimen-

sional n. Por ejemplo, LIL es adimensional y, por tanto, un número z.(c) Cualquier número z puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida ¡ - t. por ejemplo, z. puede

remplazarse por nl, o n, por lfnr.(d) Cualquier número z puede sustituirse por su producto po¡ una constante numérica. Por ejemplo, 1r1 pue-

de remplazarse por 3zr.(e) Cualquier número z puede expresarse como función de otros números n. Por ejemplo, si hay dos números

n. t, : Q(n2\.

14. Resolver el Problema 2 mediante el Teorema de Pi de Buckinsham.Solución:

El problema puede resolverse estableciendo que cierta lunción de la distancia s, el peso Il', Ia aceleractónde la gravedad g y el tiempo I es igual a cero, o bien matemáticamente

f'(s,W,g,T) = 0

Paso ISe enumeran las magnitudes y sus unidades.

s: longitud Z, W: fuerza F, g: aceleración LlT2, Z: tiempo ?.

Existen 4 magnitudes fisicas, 3 de ellas fundamentales, de donde (4 - 3): un número n.

Paso 2Escogidas s, W y Z como magnitudes fisicas proporcionan las tres dimensiones fundamentales F, L y T.

Paso 3

Como las magnitudes fisicas de dimensiones distintas no pueden sumarse ni restarse, el número 7¡ se ex-presa en forma de producto, como sigue:

z, = (s'r) (W!t) (T,t) (g\

Aplicando la homogeneidad dimensional

Fo Lo To - (L',) (Ptr) (T't) (LT-'z)

Igualando los exponentes de .F, r y T, respectivamente, se obtiene 0 : I t, 0 : xr * l, 0 : z t - 2, de dondext : -1, yt : 0, z, :2. Sustituyendo en (1),

Tr = s-|Wo T2 g :

Despejando s y poniendo llnr: y, se obtiene s: KgT2

(r)

WO T'g

CAP. 5] ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

15. Resolver el Problema 6 aplicando el Teorema de Pi de Buckingham.

Solución:

El problema se establece matemáticamente así

f(P, w, Q, H\ : 0

Las magnitudes fisicas con sus dimensiones en el sistema F, Z y I son

59

Potencia P: FLT-l. Pesoespecífico w:FL-3

Caudaf Q: L3 T-'Carga H : L

0:

Existen 4 magnitudes fisicas y de ellas 3 fundamentales, de donde (4 - 3) : 1 grupo ¡.Escogidas Q, w y H como magnitudes con exponentes desconocidos, el grupo z se establece como sigue:

r, = (Q"r) (utut) (H,t) P ||\r, : (Ll,r ?--'¡ 1Fv' L-3!t) (L.') (F L T-,)

Igualando los exponentes de f', I y Z, respectivamente, se obtiene 0: -vr * 1,0: 3xr - 3yt I z1 t 7,

-r1 - 1, de donde rr : -I, yt: -t, zr: -1. Sustituyendo en (1),

que puede escribirse

Í\ = Q-1 w-t H-t P = trQH P = KwQH

16. Resolver el Problema 9. aolicando el Teorema de Pi de tsuckineham.Solución:

El problema puede establecerse así

ó@,p,¡t,L,V):0Las magnitudes lísicas y sus dimensiones en el sistema F, L y T son

Fuerza F : FDensidad P:FT2L-a

Viscosidad absoluta tt: FTL 2

Existen 5 magnitudes físicas, de ellas 3 fundamentales, de donde (5 - 3) : 2 números z.Escogidas la longitud I, la velocidad V y la densidad p como 3 variables repetidas con exponentes desco-

nocidos, se establecen los números 7¡ como slgue:

Tt = (L"t) (Lb, T-b') (F"t T2"t L-a"t) (,F) (r)

IgualandolosexponentesdeF, IyT,respectivamente,seobtiene0:crf1,0:atlbr-4cr,0:-b,* 2cr, de donde c, : -1, bt : -2, ar: -2. Sustituyendo en (1), n1 : FlL2 V2 p.

Para calcular el segundo número n se mantienen las tres primeras magnitudes físicas y se añade otra magni-tud, en este caso la viscosidad absoluta p. (Véase Problema 13, Apartado 4.)

r, = (L"z) (Lbz T-bz) (Fcz T2"z L-a"t) (F T fu-z¡ \2)

IgualandolosexponentesdeF,l,yZ,respectivamente,seobtiene0:cz-l!,0:aztbr-4c2-2,0:-b, + 2c, * 1, de donde c, : -1, bz: -1, az: -1. Por faÍto, n2 : plLV p. Esta expresión puedeponerse en la forma n2: LV pl¡t, que es una forma del número de Reynolds.

La nueva ¡elación, escnta en función de los grupos .nL y r.2, es

Longitud ¿ : ¿Velocidad V: LT-l

¡'G]r¡,"#) = o

Fuerza F = (L, V, p) f "(ry)

F : (ZKRE)0",7

vzSustituyendo L2 por un área, la ecuación puede establecerse finalmente en la forma F : Co p A V' (Yéase

CaDítulo 11.)

60 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. 5

17. Resolver el Problema 11 mediante el reorema de Pi de Buckineham

Solución:

Matemáticamente, el problema puede escribirse en la forma

| (tp,d,p,p,L,V,K) : 0

donde K es la rugosidad relativa o relación del tamaño de las irregularidades de la superficie e al diámetro d dela tubería. (Véase Capítulo 7.)

Las magnitudes fisicas con sus dimensiones en el sistema F, L y T son' Caída de presión Lp : F L-t

Diámetro d : LViscosidad absoluta p: FT L-2

Densidad P:FT2L-4

Existen 7 magnitudes fisicas, 3 de ellas dimensiones fundamentales, de donde (7 - 3): 4 números z. Es-cogidos el diámetro, la velocidad y la densidad como variables repetidas con exponentes desconocidos, los nú-meros n son

n, = (L't) (Lur l-u'¡ (F't 7z', L-l't) (F L-z¡

t, = (L'z) (Lv2 T-!2) (F,2 T2,2 L-a,z) (F T L-r)r., = (L'z) (Lut T-tt¡ (F's 72," L-t,") (L)

na=K=Lt/L"Calculando los exponentes término a término se llega a

nti 0 = zt*1,0 = xt*Ut-42,-2,0 = -gr*22¡ luego tr=0, llt=-2,2t=-1,;¿i 0 = zz*1, 0 = xz*!t-4zz-2, 0 = -Azl2zz+ 1; luego xz=-1, !!z=-!, zz=-L;:i 0=zr, 0 = xs*As-4zt * 1, 0 = -ytl2zs; luego 13 =-7, At=0, z3=0,

De donde los números n son

rAz = ¿i; o

Ttt = d-lVo Po L

v4 = L,/L, =

La nueva relación puede escribirse ahora

;r = do V-2 p- t Lp = At¡

pV'

Longitud Z : ZVelocidad V: LT-l

Rugosidad relativa K : LtlLz

(número de Euler)

(número de Reynolds)

(como podía esperarse;véase Apartado á, Problema 13)

(véase Capitulo 7)

dvplt

L-;d

f.;d

,,(#,,+,"r, 1) = o

Despejando Ap,

Lp=

donde p : w/g. De aquí, la caída de presión en pérdida de altura sería

?'' ''(''' "a';)

:t¿ = Y,rl.f,(B,,L,L\w 29 '-' '- \---' ,I ' ,t)

Si lo que se desea es obtener una expresión del tipo de la de Darcy, la experiencia y el análisis indican quela caída de presión es proporcional a la primera potencia de Lld; por tanto,

cAP. 5l ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA 6l

^P=1.t) #'"r' 2 ' r,(8",;)

que puede ponerse en la forma

Qo L"r/ T o T"

Hay que establecer la relación de tiempos para las condiciones que influyen en el flujo. Las expresiones parala gravedad y las fuerzas de inercia pueden escribirse como sigue

Gravedad: E = # = ?;"r¡ = to,Ll

F^ M^ a^lnercla: = - p,L1Fp M, a,

Igualando las relaciones de fuerzas,

1D, L"" = p" Lt. x

de la que, despejando la relación de tiempos, se llega a

f

T? = L.'P' -'w.5,

Como g. es igual a la unidad, la sustitución en la relación de caudales conduce a la expresión buscada

. Q.=* =#:L""'',Para las condiciones establecidas en el problema precedente obtener (a) la relación de velocida-des y (ó) la relación de presiones y la relación de fuerzas.Solución:

(:a) Al diüdir los dos miembros de la ecuación (/) del problema anterior por L!, se obtiene

x_p-.Ll".L,.=;'Í¡"nL,m2¡¡

(f)

(2)

^# = (coeficiente f)H(#)

Nota ISi el flujo fuera compresible habría que incluir otra magnitud fisica, el módulo volumétrico de elasticidad E,

y el quinto grupo 7r conduciría a la relación adimensional -E ' pr,. se escribe normalmente en la forma +,p V' J4p

que es el número de Mach.

Nota 2Si la gravedad influye en el problema general del flujo habría que incluir la fuerza de la gravedad como nue-

va magnitud fisica, y el sexto número n conduciría a la relación adimensional \'U"r"grupo se llama númeropLde Froude.

Nota 3

Si en el problema general interviniera también la tensión superficial o habría que tenerla en cuenta comonueva magnitud física, lo que conduciría a un séptimo grupo 7r adimensional. El número n tomaria la formav"Lp

que es el número de Weber.

Cuando únicamente influyen la gravedad y la inercia, demostrar que, para modelo y prototipo,la relación de caudales Q es igual a la relación de longitudes elevada a cinco medios.Solución:

a^ r,i"/r^ L1j

62 ANALISN DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. 5

r: L, ,,_L a,2

ü = L",s" ocomo ' = T' v; = l"g"

Pero el valor de gr puede considerarse igual a la unidad. Esto significa que, para modelo y prototipo,V? : L,, que puede llamarse la ley de modelos de Froude para la relación de velocidades.

(b) Relación de fuerzas para fuerzas de presión =

Relación de fuerzas para fuerzas de inercia =

Igualando éstas, se obtiene

P, L,,

p,. Ln,

t;

= p"L?.

w, L'",

p.L1 = w,L1

p" = w,L,

Para los estudios sobre modelos en flujos con superficie libre, los números de Froude en modelo y pro-totipo han de ser iguales. También han de ser iguales los números de Euler en modelo y prototipo.

Utilizando V? : t,, la ecuación (1) puede ponerse en la forma

y,comofuerza F = pA,

P" = wrV?

F,=F"L?=w,L",

20. Desarrollar la ley de modelos de Reynolds para las relaciones de tiempos y de velocidades de líqui-dos incompresibles.

Solución:

Para configuraciones de flujos solo dependientes de las fuerzas de inercia y viscosas (siendo el resto de in-fluencias despreciables) es necesario calcular estas fuerzas p¿ra modelo y prototipo.

(r)

(2)

Inercia:

Viscosidad:

L"1'2

rr-=-

r'

= p"Ll x (del problema precedente)

p^(dV /dy)^ A^ p^(L^/T^ x l/L^) L;.A

-rrA,

*^LT/T^;,LrT

t',(dV /dY),4,

P, L,,

1.

lo(Lo/Te x tlLp) L3

Igualando las dos relaciones de fuerzas, se obtiene ,""; = + de la cualo- L'-

t, -

- - '

se puede poner

Relación de velocidades

Escribiendo estas relaciones en función del modelo y prototipo a partir de (2), se obtiene

v^ ,y x L_l

Vp rp L^

Reuniendo términos para modelo y prototipo se llega a V^Llv^: VoLJt* igualdad que el lector pue-de identiflcar como: Número de Reynolds para el modelo: número de Reynolds para el prototipo.

lr = vf

pLOmO y = :,

p (t)

(o\vf

L,


21. Un aceite de viscosidad cinemática 4,70 x 10-s m2/seg vaautilizarse en un prototipo en el que

son fuerzas predominantes las debidas a la viscosidad y a la gravedad. También se desea experi-

mentar sobre un modelo a escala de 1 : 5. ¿Qué valor debe tener la viscosidad del líquido del mo-

delo para que tanto el número de Froude como el de Reynolds sean iguales en modelo y prototipo?

Solución:Mediante las escalas de velocidades de las leyes de Froude y de Reynolds (véanse Problemas 19 y 20) se es-

tablece la igualdad (L'g')'t' : vJL'

Ya que g,: l, L?t2 : v, y v,: (ll5)3t2 : 0,0894.

Esto significa que l! : 0,0894 : , -- n-.^-.

)', por tanto, v^:4,20 x 10-6 mz/seg.' uo 4.lO x l0-' ' 'Mediante las escalas de tiempos, aceleraciones y caudales se llegaría a los mismos resultados. Por ejem-

plo, igualando la relación de tiempos (Problemas 18 y 20) se llega a

63

L:' p"Li p,q; = ; o, como g, = 1, i = ,, = Ll'', como antes

22. A través de una tubería de 20 cm de diámetro está fluyendo aguaa 15' C a una velocidad de 4,0 m/seg'

¿A qué velocidad debe fluir un fuel-oil medio a a 32 C por el interior de una tubería de 10 cm de

diámetro para que los dos flujos sean dinámicamente semejantes?

Solución:

Como los flujos en ambas tuberías están sujetos únicamente a las fuerzas debidas a la viscosidad y a la iner-

cia, el criterio de semejanza será la igualdad de los números de Reynolds. Otras propiedades del fluido que circu-

la, tales como la elasticidad, la tensión superficial y lLas fuerzas gravitatorias, no afectarán a la configuración

del flujo. Por tanto, para la semejanza dinámica,

Número de Reynolds para el agua : número de Reynolds para el aceite

Sustituvendo los valores obtenidos de las viscosidades en la Tabla 2 del Apéndice,

4,0 x 0,2 V' x 0,1

1,13 x 10-6 2,97 x 10-6

y V' :21,0 m/seg para el aceite.

A través de'una tubería de 60 cm de diámetro está circulando aire a20" C a una velocidad media

de2,0 m/seg. ¿Cuál debe ser el diámetro de la tubería que al transportar agua a 15'C y a una ve-

locidad de I,22 m/seg dé lugar a un flujo dinámicamente semejante?

Solución:

Igualando los dos números de Reynolds: #:* :

#:ñ*' d:0,075 m:7,5 cm

Un modelo de submarino a escala I : 15 va a ser ensayado en un canal hidrodinámico de agua

salada. Si el submarino se mueve a una velocidad de 12,0 mph (millas por hora), ¿a qué velocidad

deberá ser arrastrado el modelo para que existil semejanza dinámica?

Solución:

Igualando los números de Reynolds para modelo y prototipo: l2'0 x L

-v x Llrí' z: 180 mph.

vv

V cl V'd'

- = Ivv

23.

24.

64 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. 5

25. Un modelo de avión a escala I : 80 es ensayado en una corriente de aire a20" C y a una velocidadde 45 m/seg. (a) ¿A qué velocidad habrá de arrastrarse el modelo si está totalmente sumergidoen agua a 27" C? (á) ¿Qué arrastre sobre el prototipo en el aire corresponderá a una resistenciasobre el modelo en el agua de 0,55 kg?

Solución:

(a) Igualando los números de Reynolds, , ,o! " .! r : ^!,' t

l,4g x lo-s 0,gó4 x. 10{ o v : 2'60 m/seg en el agua'

(b) Como p varía proporcionalmente a p V2, igualando los números de Euler, se obtiene

p^vi" p,,v,",op," pp

P," p,,,V'^

PP PrVS

Pero las fuerzas que actúan son (presión x área), es decir, p L2; de aqui

.F_ p^L'^ p^Vil,,^F;- e;4 = %41F, = p,V?r? [ecuación (ó), páginaó1].

Para obtener la velocidad del prototipo en el aire se igualan los números de Reynolds, con lo que se

obtieneV^ L^

Vaire

V, Lo

Vai¡e

45 x L"180 Vo Lou-t

Vaire VaireVp: 0,563 mlseg

24.0 x Llxv

Por tanto. Y Fr: 0'200 kg

26. Un modelo de torpedo es ensayado en un canal hidrodinámico a una velocidad de 24,0 m/seg. Se

espera que el prototipo se mueva a una velocidad de 6,0 m/seg en agua a 15'C. (a) ¿A qué esca-la se ha construido el modelo? (ó) ¿A qué velocidad se ensayará el modelo en un túnel aerodiná-mico si la presión es de 20 atmósferas y la temperatura constante de 27" C?

Solución:

0,55 t02 .2,60 ". t "

-:|-ll-1.|-1.Fo 0.123', 0.563', '80',

(o) Igualando los números de Reynolds para prototipo y modelo. 6'0 x L

v

escala seométrica del modelo es 1:4.

(á) La viscosidad absoluta para el aire, de la Tabla 1(B), es 1,88 x 10-6 kg seg/m2 y la densidad p:u :c

p 20 x 1,033 x lOa : 2,410 UTM/m3 (o bien p : 20 veces el valor de la Tabla l(B) a 27" C :c RT 9,8(2e,3)(273 + 27)20 x 0.120 :2,40). Por tanto,

6,0xL VxLl4l.l3 ,.1¡{ : 1,8il to-ftlo ) V: 16,50 mlseg

27. Una bomba centrífuga, girando a 1200 rpm, bombea un aceite lubricante medio a 15" C. Se vaa ensayar un modelo de la bomba que utiliza aire a 20' C. Si el diámetro del modelo es 3 vecesmayor que el del prototipo, ¿a qué velocidad debe girar el modelo?Solución:

Utilizando como velocidades en los números de Reynolds las velocidades periféricas (que son iguales alradio por la velocidad angular en radianes/seg), se obtiene

(dl2) a, (d) (3d12) a^ (3d)

I7,5 x lO-s 1,49 x lo-s

De aquí, @p: l06a^ y velocidad de giro del modelo:12001106: 11,3 rpm.


28, Un ala de avión de 90 cm de cuerda se ha de mover a 90 mph en el aire. En el túnel aerodinámi-

co se va a ensayar un modelo de 7,50 cm de cuerda con una velocidad del aire de 108 mph. Para

una remperatura del aire en ambos casos de 20' C, ¿cuáldebe ser la presión en el túnel aerodinámico?

Solución:

Igualando los núrneros de Reynolds, en modelo y prototipo, y utilizando las mismas unidades para las ve-

locidades.v^ L^ v^ L^ 108 x 0,075 . 90 x 0,90

vm Vp Vtúnel: r/9 x ro-' ltJner : 1,49 x 10-6 m2/seg

La presión que da lugar a esta viscosidad cinemática a 20" C puede calcularse recordando que la viscosi-

dad absoluta no se ve afectada por los cambios de presión. La viscosidad cinemática es igual a la viscosidad ab-

soluta dividida por la densidad. Pero la densidad aumenta con la presión (a temperatura constante); por tanto.

,:F y v-:1'1?'19]:tu,up ' rp 1,49 x 10-"

De aquí, la densidad del aire en el túnel debe ser diez veces mayor que la normal (20' C) del aire y, por

tanto, la presión del aire en el túnel habrá de ser de diez atmósferas.

29. Un barco cuyo casco tiene una longitud de 140 m ha de moverse a 7,50 m/seg. (a) Calcular el nú-

mero de Froude Nr. (á) Para la semejanza dinámica, ¿a qué velocidad debe remolcarse en agua

un modelo construido a una escala 1 : 30?

Solución:

N.: -L: -g:0.20-1Jct /l.ax t+o

(ó) Cuando las conflguraciones de los flujos, con contornos geométricamente semejantes, se ven influencia-

das por las fuerzas de inercia y las gravitatorias, el número de Froude es el grupo adimensional significa-

tivo en los estudios sobre modelo. Por tanto,

Número de Froude del prototipo : número de Froude del modelo

vv'

Como g : g' en todos

VV'tt ,¡'

tFs L ,/ll'los casos prácticos, puede escribirse

JMo Jl4ol:o

30. A través de una acequia de 60 cm de anchura se va a construir un modelo de aliviadero a escala

1 : 25. El prototipo tiene 12,5 m de altura y se espera una altura de carga máxima de 1,50 m. (c) ¿Quéaltura y qué carga deben utilizarse en el modelo ? (ó) Si el caudal vertido sobre el modelo es de 20 l/seg

con una carga de 6,0 cm, ¿qué caudal por metro de prototipo puede esperarse? (c) Si en el modelo

aparece un resalto hidráulico de 2,50 cm, ¿qué altura tendrá el resalto en el prototipo? (d) Si laenergía disipada en el resalto hidráulico del modelo es de 0,15 CV, ¿cuál será la energía disipadaen el prototipo?

65

\a)

7,50 _f./

V' : 1,37 m/seg en el modelo

Solución:

(a) Comolonsitudes en modelo

longitudes en prototipo

altura

1

altura del modelo : B x 12,50 : 0,50 m

de carga sobre el modelo : + , 1,50 : 0,06 m

25r

:6cm

(b) Por predominar las fuerzas gravitatorias, del Problema 18, Q,: L?tt, y de aquí

66 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

Además,

[cAP. 5

(c,

o,: #: 2o x 10-3(25 x 25 x s) : 62,s0 m3/seg

Este caudal puede esperarse en 0,6 x 25 : l5 m de longitud del prototipo. Por tanto, caudal por me-tro de prototipo -- 62,5115 : 4,17 m3lse1.

f;: t, o h, : ?,: #: 62,50 cm (altura del resatto)

(d) Relación de potencias p.: (kgm/see),:F=L' :rE+ pero g. : I y u,: l. De aquí,r, J L,IS,

'i,: tr'' : tlr'' y po: p^(25)1/2 :0,rs(2s)it2: 11.700 cv

El modelo de un recipiente se vacía en 4 minutos al abrir una compuerta de tajadera. El modeloestá construido a una escala 1 :225. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse el prototipo?Solución:

Como Ia fuerza debida a la gravedad es la dominante, la relación de las Q, por el Problema 18, es igual a Llt2.

Además. O,:+: # , $ ao, tanto, Llt2: L! , * v r,: TJL:tr:4(225)u2: ó0 minutos.Qo Li Te - -- ------' -¡ -' " T^' ''

Un espigón rectangular en un río tiene 1,20 m de anchura por 3,60 m de longitud, siendo la pro-fundidad media del agua de 2,70 m. Se construye un modelo a una escala de 1 : 16. Sobre el mode-lo se mantiene un flujo de una velocidad media de 0,75 m/segy lafuerza que actúa sobre el mo-delo es de 400 g. (a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad y de la fuerza sobre el prototipo? (ó) Sidelante del modelo se forma una ola estacionaria de 5,0 cm de altura, ¿cuál será la altura espera-da de la ola que se forme en la tajamar del espigón? (c) ¿Cuál es el valor del coeficiente de arras-tre o resistencia?

Solución:

(a) Como predominan las fuerzas debidas a la gravedad, del Problema l9 se obtiene

V^ - t- ,, r/ - o'75

ñ: J t' ! v' : (r^rf1: 3'o m/ses

E-- *,t, ! Fo: #ifu: 1640 kc

31.

32.

(á) como 3:+ J4:J0,05r1q y h":0,g0mdealruradelaola.ve JLo ' 0,75

(c) Fuerza de arrastre : c,pA+, 0,40: cp(102)(# r'¿,9!Y y co: r,r0.

Si se hubieran utilizado los valores del prototipo para estos cálculos, se habria obtenido lo sieuiente:

1640 : CDOO2)(1,2 x 2,T19ü y Co:1,10, como era de esperar

33. La resistencia medida en agua dulce, presentada a un modelo de barco de 2,50 m, moviéndosea una velocidad de 2,0 mfseg, fue de 4,40kg. (a) ¿Cuál será la velocidad del prototipo de 40 m?(á) ¿Cuál será la fuerza necesaria para mover a esta velocidad el barco en agna salada?Solución:

(a) Como predominan las fuerzas debidas a la gravedad, se obtiene

V )^# : J t, : Ja¡na y V,: L_: 8.0 m/sesv p (I /t 6)'t'

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

4,40 : 18.470 kg(1000/102sx1/16r

6',1cAP. 5l

(ó) ?: *,r, y F,:

Este último valor puede encontrarse mediante la fórmula que da la resiStencia o fuerza de arrastre:

AResistencia:C¡p.V'.

1000 A . c,A 4,4(16\24'40: Cr * ,*yrz'oY Y -2s : roooep),Para el modelo. (1)

(2)Para el prototipo, fuerza: crffO,of t T:.ffihComo el valor de C¡ ha de ser el mismo para modelo y prototipo, al igualar (t) V Q) se obtiene

4,40(lq2 fuerza

rooo(2p)z: 1o-(8¡t de la cual fuerza : 18.470 kg, como antes

y. (a) Calcular la escala geométrica del modelo cuando sea necesario tener en cuenta las fuerzas vis-

cosas y gravitatorias para asegurar la semejanza. (b) ¿Cuál será la escala geométrica del modelo

si el acéiti empleado en el ensayo sobre modelo tiene una viscosidad cinemática de 10 x 10- s m2lseg

y el líquido en el prototipo tiene una viscosidad de 80 x 10-s m2/seg? (c) ¿Cuáles serán las re-

laciones de velocidades y caudales para estos líquidos si la escala geométrica modelo-prototipoes1:4?Solución:

b) En esta situación deben satisfacerse simultáneamente las igualdades de los números de Reynolds y de Frou-

de. Se igualarán las relaciones de velocidades para cada una de las leyes de modelos. Mediante los resul-

tados obtenidos en los Problemas 19 y 20,

Número de Revnolds Z. : número de Froude Z.

(vlL),: JL,s,

Como g, : 1, se obtiene L,: Y213.

(á) Utitizando la relación de longitudes anterior, a,: (iH# y't :!' La escala del modelo es 1:4'

(c) Mediante la ley de modelos de,Froude (véanse Problemas 18 y 19)'

v,=\/ W,=\/ r^=JT= 1 y Q,=r':it' =(1)"'=#

O mediante la ley de modelos de Reynolds (véase Problema 20)'

t_

'Lr0/80

rl41

óa

1r=-v2' Q" = A,v, = Li"; = L,v, =jf#l =

68 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA [cAP. s


35. Comprobar dimensionalmente la expresión r : p (dvldy).

3ó. Demostrar mediante los métodos del análisis dimensional que la energía cinética de un cuerpo es igual a K M V2.

37. Mediante los métodos del análisis dimensional probar que la fuerza centrífuga viene dada por K M V2lr.

38. Un cuerpo cae libremente una distancia s partiendo del reposo. Desarrollar una ecuación para la velocidad.Sol. V: K\Fg

39. Un cuerpo cae libremente durante un tiempo I partiendo del reposo. Desarrollar una ecuación para la velocidad.Sol. V: KCT

q. Desarrollar una expresión que dé la frecuencia de un péndulo simple, suponiendo que es función de Ia longitudy de la masa del péndulo y de la aceleración de la gravedad. So/. Frecuencia : K JclL

41. Suponiendo que el caudal Q sobre rin vertedero rectangular varía directamente con la longitud Z y es funciónde la altura de carga total 11 y de la aceleración de la gravedad g, establecer la fórmula del vertedero.Sol. Q:KL¡lttzttlz

42. Establecer la fórmula que da la distancia recorrida r por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que dichadistancia depende de la velocidad inicial Z, el tiempo T y la aceleración de la gravedad g.So/. s:KVT(cTlmo

43. Establecer la expresión del número de Froude al ser éste función de la velocida d V, la aceleración de la gravedadg y de la longitud ¿. So/. Nr: K (V2lLd-"

4. Establecer la expresión del número de Weber si es función de la velocidad, V, la densidad p,dela longitud Iy de la tensión superficial o. Sol. Nw : K (p L V2lo)-d

45. Establecer un número adimensional que sea función de la aceleración de la gravedad g, la tensión superficial o,la viscosidad absoluta p y la densidad p. Sol. Número : X(orplSUnY

6. Suponiendo que la fuerza de arrastre o resistencia de un barco es función de la viscosidad absoluta p y de ladensidad p del fluido, de la velocidad V, la aceleración de la gravedad g y del tamaño (longitud Z) del barco,establecer la fórmula que da la resistencia. So/. Fuerza : K(R;'N;d p V2 L2¡

47- Resolver el Problema 9 incluyendo los efectos de la compresibilidad mediante la magnitud celeridad c, veloci-dad de propagación del sonido. Sol. Fuerza : K' R;b N*" p A v2l2

'18. Demostrar que, para orificios geométricamente semejantes, la relación de velocidades es esencialmente iguala la raíz cuadrada de la relación de alturas de carga.

49. Demostrar que las relaciones de tiempos y de velocidades, cuando la magnitud predominante es la tensión super-ficial, vienen dadas por

r" = {c"i t/ respecuvamente

$. Demostrar que las relaciones de tiempos y velocidades, cuando los efectos predominantes son los elásticos, vie-nen dadas por

^ L.t-- v

t/E /^v "r'Yr

t=I F,

l',. = L respectlvamente

51.

52.

El modelo de un aliviadero se construye a una escala 1:36. Si en el modelo la velocidad y caudal desaguado son,respectivamente, 0,40 m/seg y 62 llseg, ¿cuáles son los valores correspondientes en el prototipo?Sol. 2,40 mlseg, 482 m3lseg

¿A qué velocidad debe ensayarse en un túnel aerodinámico un modelo de ala de avión de 15 cm de cuerda paraque el número de Reynolds sea el mismo que en el prototipo de 90 cm de cuerda y que se mueve a una velocidadde 150 km/h? En el túnel el aire est¿i a la presión atmosférica. So/. 900 km/h

53. A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye un aceite (v : 5,65 x 10-6 m2/seg) a una velocidad de4 m/seg. ¿A qué velocidad debe circular agua a 15' C a través de una tuberia de 30 cm de diámetro para quelos números de Reynolds sean iguales? Sol. 0,40 m/seg


A 15" C fluye gasolina a 4 mlseg por una tubería de 10 cm. ¿Qué diámetro debe tener una tubería que transpor-

ta a¡¡¡a a 15' C a una velocidad de 2 m/seg para que los números de Reynolds sean los mismos?

Sol. 33,3 cm

Agua a 15' C fluye a 4 mfseg a través de una tubería de 15 cm. Para que exista semejanza dinámica, (a) ¿a qué

velocidad debe fluir un fuel-oil medio a 27" C por una tubería de 30 cm? (á) ¿Qué diámetro de tubería se

utilizaria si la velocidad del fuel-oil fuera de 20 m/seg? Sol. 5,24 mlseg, d: 7,86 cm

56. Un modelo es ensayado en atmósfera de aire normal a 20" C y a una velocidad de 30,0 m/seg. ¿A qué velocidad

debe ensayarse sumergido totalmente en el agua a 15' C de un canal hidrodinámico Para que se satisfagan las

condiciones de semejanza dinámica? Sol. 2,28 mlseg

57. Un navío de superficie de 155 m de longitud ha de moverse a 7 m/seg. ¿A qué velocidad ha de ensayarse un mo-

delo geométricamente semejante de 2,50 m de longitud? Sol. 0,89 m/seg

58. ¿Qué fuerza por metro de longitud se ejercerá sobre un muro de contención del agua de mar si un modelo a

escala 1:36 de una longitud de I m experimenta una fuerza de las olas de 12 kg? Sol. 15.550 kg/m

59. Un cuerpo anclado está sumergido en agua dulce a 15" C, que fluye a una velocidad de 2,50 m/seg. La resistencia

medida sobre un modelo a escala 1:5 en un túnel aerodinámico en condiciones normales es de 2 kg. ¿Qué fuerza

actúa sobre el prototipo si se dan las condiciones de la semejanza dinámica? Sol. 9,60 kg

Determinar las expresiones de las relaciones o escalas de velocidades y pérdidas de carga entre modelo y proto-

tipo para un flujo en que las fuerzas dominantes son las viscosas y las debidas a la presión.

Sol. V, : p, LJlt, y Perd. H, : V, lt,lw, L,

Obtener una expresión que dé el coeficiente de fricción/si se sabe que depende del diámetro de la tubería d, de

la velocidad media V, de la densidad del fluido p, dela viscosidad del fluido ¡ty dela rugosidad absoluta de la

tubería e. Utilizar el teorema de Pi de Buckingham. Sol. f -- $ (R', eld)

69

54.

55.

60.

61.

Capitulo 6

Fundamentos del flujo de fluidos

INTRODUCCION

Del Capítulo 1 al 4 se han considerado los fluidos en reposo y la única propiedad significativa erael peso del fluido. En este capítulo se expondrán conceptos adicionales, requeridos para el estudio delmovimiento de los fluidos. El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de formaexacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículasde un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleracio-nes. Tres principios fundamentales que se aplican al flujo de fluidos son:

(q) el principio de conservación de la masa, a partir del cual se establece la ecuación de con-tinuidad,

(b) el principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen ciertas ecuaciones aplicablesal flujo, y

(c) el principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcu-lar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento (véanse Capítulos ll y l2).

FLUJO DE FLUIDOS

El flujo de los fluidos puede ser permanente o no peflnanente; uniforme o no uniforme; laminaro turbulento (Capítulo 7); unidimensional, bidimensional o tridimensional, y rotacional o irrotacional.

Verdaderamente. el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el módulo,dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis comoflujo unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que depen-den todas las características, la línea de corriente central del flujo pueden considerarse como despre-ciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corrien-te. En tales casos, se consideran como representativas del flujo completo los valores medios de la ve-locidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. Por ejemplo, el flujo en tuberíascurvas se analiza mediante los principios del flujo unidimensional, a pesar de que la geometría es tri-diinensional y la velocidad varia en las secciones rectas de la tubería.

Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en planosparalelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano.

Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tienenlugar moümientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad.Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se llamanflujos irrotacionales.

En el Capítulo 4, los líquidos en depósitos que están girando constituyen un ejemplo de flujo rota-cional en los que la velocidad de cada partícula varía en proporción directa a la distancia del centrode rotación.

70

cAP. 6l

FLUJO PERMANENTE

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas par-

tículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es cons-

tante reipecto áel tiempl o bien |VlAt : 0, pero puede variar de un punto a otro, es decir, ser varia-

ble respecto de las coordenadas espaciales. Este supuesto da por sentado que las otras variables o mag-

nitudea del fluido y del flujo no varían con el tiempo o AplAt :0, Apl6t:0, AQIAt:0,.etc. La mayoría

de los problemas iécnicos-prácticos implican condiciones permanentes del flujo. Por ejemplo, el trans-

porte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de depósitos por orificios,

Lajo alturi de carga constante, ilustran flujos permanentes. Estos flujos pueden ser uniformes o no

uniformes.La complejidad de los flujos no permanentes hacen que su estudio caiga fuera del propósito de

un texto de introducción a la mecánica de los fluidos. Un flujo es no pennanente cuando las condicio-

nes en un punto cualquiera del fluido varían con el tiempo o bien AflAt { 0. El Problema 7 da a co'

nocer una ecuación general para el flujo no permanente y en el Capítulo 9 se presentarán unos pocos

problemas sencillos, en los cuales la altura de carga y el caudal varían con el tiempo.

FLUJO UNIFORME

El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían

de un punio a otro del fluido, és decir, AVl\s : 0. Este supuesto implica que las otras magnitudes fisicas

del fluido no varían con las coordenadas espaciales o bien |yl1s : 0, Apl1s : 0, 0pl0s: 0' etc. El

flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme

tanto si el régimen es permanente como si es no permanente.

El flujo eJ no unifoime cuando la velocidad, la profundidad, la presión, etc., varían de un punto

a otro en la región del flujo, es decir, AVl1s t' 0, etc. (Véase Capítulo 10.)

LINEAS DE CORRIENTE

Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y

que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo fluido. La tangente en un punto de la

cgrva representa la dirección instantánea de la velocidad de las partículas fluidas en dicho punto. Las

tangentei a las líneas de corriente pueden representar de esta forma la dirección media de la velocidad'

Como la componente de la velocidad normal a la línea de corriente es nula, queda claro que no existe

en ninguno de sus puntos flujo perpendicular a la línea de corriente.

TUBOS DE CORRIENTE

Un tubo de corriente está constituido por una región parcial del flujo fluido delimitada por una fa-

milia de líneas de corriente, que lo confinan. Si la sección recta del tubo de corriente es suficientemente

pequeña, la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velo-

ci¿a¿ me¿la en dicha sección. El concepto de tubo de corriente se utilizará para deducir la ecuación

de continuidad en el caso de fluido incompresible, o régimen permanente y unidimensional (Problema 1).

ECUACION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa. Para

un flujo permanente, la masa de fluido que atraviesa cualquier sección de una corriente de fluido, por

unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue

pt At Vt : pz Az Zz : constante

w, A1V, : wz Az Vz (en kg/seg)

7l

(1)

(2)

72 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [cAP. 6

Para fluidos incompresibles y para todos los casos prácticos en que ü1 : tD2; la ecuación se transforma en

Q : At Vt : Az Zz : constante (en m3/seg) (J)

donde At Y Vt son, respectivamente, el área de la sección recta en m2 y la velocidad media de la corrien-te en m/seg en la sección 1, con significado análogo en la sección 2. fVéase Problema 1.) El caudal semide normalmente en m3/seg o bien en l/seg. En los Estados Unidos de Norteamérica en el abasteci-miento de ciudades se emplea frecuentemente como unidad el millón de galones por día (mgd).

La ecuación de continuidad para un flujo permanente incompresible bidimensional es

Ar, V, : An, Vz : An, Vt : constante

donde las magnitudes An representan las áreas normales a los respectivos vectores velocidad (véanseProblemas 10 y 11).

La ecuación de continuidad para flujos tridimensionales se deducirá en el Problema 7, para rég¡-men permanente y no permanente. Para régimen permanente se reducirá la ecuación general para flujosuni y bidimensionales.

RED DE CORRIENTE

Las redes de corriente se dibujan para representar la configuración del flujo en casos de flujos bi-dimensionales y en algunos casos también en tridimensionales. La red de corriente está formaáa por(c) una familia de líneas de corriente espaciadas de tal forma que el caudal 4 es el mismo entre cada dospares de líneas y (á) otra familia de curvas ortogonales a las líneas de corriente, y espaciadas de tal formaque la separación entre ellas es igual a la separación entre las líneas de corriente ádyacentes. para des-cribir completamente un flujo, con condiciones de contorno dadas, se requiere un número infinito delíneas de corriente. No obstante, el número de líneas de corriente empleádas prácticamente es el mí-nimo necesario para obtener la precisión deseada.

Aunque la técnica del trazado de la red de corriente se sale del propósito de un texto de introduc-ción, el significado de dicha red de corriente sí es importante (véanse Froblemas 13 y la). Cuando seha obtenido la red de corriente para una forma de los contornos que limitan el flujo, dicha red puedeutilizarse para todos los flujos irrotacionales en tanto que los contornos sean geométricamente semejánbs.

ECUACION DE LA ENERGIA

Se obtiene la ecuación de energía al aplicar al flujo fluido el principio de conservación de la energía.La energla que posee un fluido en movimiento está integrada por la énergía interna y las energías te-bidas a la presión, a la velocidad y a su posición en el espacio. En la dirección del flujo, el principio deIa energía se traduce en la siguiente ecuación, al hacer el balance de la misma:

(4)

Esta ecuación, en los flujos permanentes de fluidos incompresibles con variaciones en su energíainterna es despreciable, se reduce a

Energía en la , Energía Energía Energía Energía en lasección I - añadida perdida - extraída

: sección 2

,'Dt V; . r r rr rpz V2z ,l',¡-V¡- z,) 'r Ho. - Ht - Hn : (ff+2¡rrr¡ (5)

La ecuación anterior se conoce con el nombre de teorema de Bernoulli. En el Problema 20 se daráuna demostración de la ecuación (5) y las modificaciones para adaptarla al caso de fluidos compresibles.

cAP. 6l FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Las unidades de cada término son kgm/kg de fluido o bien metros de fluido. Prácticamente, todoslos problemas que entrañan flujos de líquidos se resuelven básicamente con esta ecuación. El flujo de

gases, en muchos casos, va acompañado de transferencia de calor y se necesita la aplicación de los prin-cipios de la termodinámica, lo que se sale fuera del propósito de este libro.

ALTI.JRA DE VELOCIDAD

La altura de velocidad representa la energía cinética por unidad de peso que existe en un puntoen particular. Si la velocidad en una sección recta fuera uniforme, la altura de velocidad calculada conesta velocidad uniforme (o velocidad media) daria la energía cinética correcta por unidad de peso del

fluido. Pero, en general, la distribución de velocidades no es uniforme. La energía cinética verdadera

se determina por integración de las energías cinéticas diferenciales de una a otra línea de corriente (véa-

se Problema 16). El factor de corrección q de la energía cinética, por el que hay que multiplicar el tér-mino V],12g viene dado por la expresión

donde Z : velocidad media en la sección rectau : velocidad en un punto genérico de la sección rectaA : área de la sección recta.

Teóricamente puede verse que a : 1,0 para una distribución uniforme de velocidades, a : 1,02

a 1,15 para flujos turbulentos y a:2,00 para flujo laminar. En la mayoría de los cálculos en la mecá-

nica de fluidos se toma a igual a 1,0, lo que no introduce serios errores en los resultados ya que la

altura de velocidad representa, por lo general, un pequeño porcentaje de la altura total (energÍa).

APLICACION DEL TEOREMA DE BERNOULLI

La aplicación del teorema de Bernoulli debe hacerse de forma racional y sistemática. El procedi-

miento sugerido es el siguiente:(1) Dibujar un esquema del sistema, seleccionando y marcando cada una de las secciones rectas

bajo consideración.(2\ Aplicar la ecuación de Bernoulli en la dirección del flujo. Seleccionar el plano de referencia

para cada una de las ecuaciones escritas. Se escoge para esto el punto de menor elevaciónpara que no existan signos negativos, reduciendo así el número de errores.

(3) Calcular la energía aguas arriba en la sección 1. La energía se mide en kgm/kg que se reducen

en definitiva a metros de fluido. En los líquidos, la altura de presión puede expresarse en uni-dades manométricas o absolutas, manteniendo las mismas unidades para la altura de

presión en la sección 2. Para los líquidos resulta más sencillo utilizar unidades mano-métricas, por lo que se usarán a lo largo de todo el libro. Deben utilizarse alturas de

presión absoluta cuando no es constante el peso específico u. Como en la ecuación

de continuidad, V, es la velocidad media en la sección, sin apreciable pérdida de precisión.(4) Añadir, en metros de fluido, toda energía adicionada al fluido mediante cualquier dispositi-

vo mecánico, tal como bombas.(5) Restar, en metros de fluido, cualquier energía perdida durante el flujo.(6) Restar, en metros de fluido, cualquier energía extraída mediante dispositivos mecánicos, tal

como turbinas.(7) Igualar la anterior suma algebraica ala suma de las alturas de presión, de velocidad y topo-

gráfica o elevación en la sección 2.(8) Si las dos alturas de velocidad son desconocidas, relacionarlas mediante la ecuación de con-

tinuidad.

t)

(6)i Í ̂ (i)'ao

74 FUNDAMENToS DEL FLUJo DE FLUIDoS

LINEA DE ENERGIA O DE ALTURAS TOTALES

La línea de alturas totales es la representación gráfica de la energía de cada sección. Para cada sec-ción representativa puede representarse, respecto de un plano de referencia, la energía total (como valorlineal en metros de fluido) y la línea obtenida de esta forma es de gran ayuda en muchos problemas deflujos. La línea de energías totales tiene una pendiente decreciente (cae) en el sentido del flujo, exceptoen las secciones donde se añade energía mediante dispositivos mecánicos.

LINEA DE ALTURAS PIEZOMETRICAS

La línea de alturas piezométricas está situada por debajo de la línea de alturas totales en una can-tidad igual a la altura de velocidad en la sección correspondiente. Las dos líneas son paralelas para todoslos tramos en que las secciones rectas tienen la misma área. La ordenada entre el eje de la corriente yla línea de alturas piezométricas es igual a la altura de presión en la sección en cuestión.

POTENCIA

La potencia se calcula multiplicando el caudal en peso, kg/seg, (wQ) por la energía 11 en kgm/kg.Así resulta la ecuación

Potencia P : w Q H : kg/mt x m3/seg x kgm/kg : kgm/segPotenciaenCV:wOHl75.

Problemas resueltos

Deducir la ecuación de continuidad para un flujopermanente en el caso (a) de un fluido compresibley (á) de un fluido incompresible.

Solución:(a) Se considera un flujo a través de un tubo de corriente,

siendo las secciones 1 y 2 normales a las líneas de co-rriente que forman el tubo. Para un valor de la densi-d,ad p, y una velocidad normal Vr, el caudal en masapor unidad de tiempo que atraviesa la sección I esp, V, dAr, ya que V, dA, es el volumen por unidadde tiempo. Análogamente, el caudal en masa que atra-viesa la sección 2 es p, V, dAr. Como en un flujo per-manente la masa no puede variar con el tiempo, ycomo no hay paso de fluido a través de la superficieque contornea el tubo de corriente, el caudal en masaa través del tubo de corriente es constante. Por tanto.

Fig. 6-1

prV, dA, = prV"d,A, (A)

Lasdensidadespty pz semantienenconstantesencadaseccióngenérica dA,ylas velocidades VryVrre-presentan las velocidades del fluido en el tubo de corriente en las secciones I y 2, respectivamente. De aquí,

[cAP. 6

1.

0,,, .f^d"A, = erv,

fo"dA,p,VrA, = pzvzAz o MrVrA, = wrV"A,Integrando (B)

cAP.6l FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUTDOS 75

(b) Para fluidos incompresibles (y para algunos casos de flujos compresibles) la densidad es constante, es decir,pt: pz.por tanto,

Q : At Vt : Az % : constante (en m3/seg) (c)

Así, el caudal es constante a través de un haz de tubos de corriente. En muchos casos de flujos de fluidospueden utilizarse en las ecuaciones de continuidad (B) y (C) las velocidades medias en la sección transversal.

2. Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800 l/min, reduciéndose después el diámetro dela tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.

Solución:

Q en m3/seg : # x lo-3 m3/seg : o,o3o

O en m3/ses 0.030v*: ffi : r-r(o3or : o'43 m,seg Y vts :

m3/seg

0,030

;n¡(.lsP: r'/u m/seg

3.

4.

Si la velocidad en una tubería de 30 cm es de 0,50 m/seg, ¿cuál será la velocidad en el chorro de7,5 cm de diámetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubería?

Solución:

Q : An Vn : At,s Zt,r o bien como las áreas son proporcionales al cuadrado de los diámetros (30)2 Z.o :Q,r2 h,s. Por tanto, h' : QOl7,5)2 Vzo:16 x 0,50 : 8,0 m/seg.

A través de una tubería de 15 cm de diámetro circula aire a una presión manométricade2,l0kglcm2y una temperatura de 38" C. Si la presión barométrica es de 1,030 kglcm2 y la velocidad de 3,20 m/seg,¿cuál es el caudal en peso que está fluyendo?

Solución:

En la ley de los gases hay que emplear unidades absolutas tanto en la temperatura como en la presión (kg/m').Por tanto,

p 12,10 + 1.03) x lOaüaire: i¡: =a¡otiztl : 3'43 kslm3

donde R :29,3, constante de los gases para el aire, se ha obtenido de la Tabla I del Apéndice.

W en kglseg : wQ : wArrVr, : 3,43 kglm3 x !n(0,15)2 m2 x 3,20 m/seg : 0,194 kg/seg

5. Por la sección A de una tubería de 7,5 cm de diámetro circula anhídrido carbónico a una veloci-dad de 4,50 m/seg. La presión en ,4 es de 2,70 kglcmz y la temperatura de 21" C. Aguas abajo enel punto B la presión es de 1,40 kglcm2 y la temperatura de 32" C. Para una lectura barométrica de1,030 kg/cm2, calcular la velocidad en -B y comparar los caudales volumétricos en A y B. El valorde R para el anhídrido carbónico es de 19,30, obtenido de la Tabla 1 del Apéndice.

solución: P,q 3.13 x loa 2.43 x loa

u'o : l-r: ,rt : 5.52 kg¡mr. tDs : iffi : 4.13 ks/'m3

(a) I4 en kglseg : waAaVa: w6A6Vs. Pero como At : An, se tiene

b.qV,c: wsV, : 5,52 x 4,50 : 4,l3Vn y Vn : 6,0 m/seg

(b) El caudal en peso es constante, pero el caudal en volumen variará por diferir el peso específico.

Q,q:AtVe:+TE(0,075)2 x4,50:19,9x 10-3m3/seg, Qn:AnVa:in(0,075)2 x6,00:26,5x 10-3m3/seg


Solución:Fig. 6-2

(a) Sean las componentes de la velocidad en las direcciones x, y y z, respectivamente, u, u y u. Se considera elflujo a través de un paralelepípedo rectángulo de aristas dx, dy y dz. La masa de fluido entrante, a tr4vés deuna de sus caras, en dicho volumen por unidad de tiempo es igual al producto de la densidad del fluido porel área de la cara y por la velocidad normal a la cata, es decir, en la dirección x, pu(dy dz). En la direcciónx los flujos aproximados son (véase Fig. 6-2)

Flujo entrante pu(dy dz) y Flujo saliente pu(dy dz) + ! fpu dy dz)dx,ox

o el flujo entrante aproximado * -*@udydz)dx o bien -r9 @udxdydz).

Si se escriben expresiones análogas para los flujos entrantes netos en las direcciones l, y z, y sumamoslos tres, el flujo neto entrante será

[d á ó I- lmo" + *ou + *ow)dxdudz

Estas magnitudes son más precisas al hacer tender a cero dx, dy y dz.

El aumento de masa por unidad de tiempo en el interior del paralelepípedo será

6. ¿Qué diámetro máximo de tubería será necesario para transportar 0,230 kg/seg de aire a una velo-cidad máxima de 5,50 m/seg? La temperatura del aire es de27" C y la presión absoluta de2,40kglcm2.Solución:

p 2.40 x lDaüai'¡e:;i: ffi:2'73 kglm3

w : 0,230 kslses : y1g o e : Y :o:']) ,o4,*:: 0,084 m3/seg.

Area mínima r necesaria : *a*;r l;: ""necesaria : ,,o

:0.0153 m2 : 153 cm2

De aquí, diámetro mínimo : 14 cm

7. Desarrollar la ecuación general de continuidad para un flujo tridimensional de un fluido compre-sible (a) en el caso de flujo no permanente, y (á) en el de flujo permanente.

pu(dy d.z) + fr|" ds d.z)dr

a

lt\p dfr da dz) !ldlt du dzl3t'


donde )plAt es la variación por unidad de tiempo de la densidad en el interior del volumen. Como el flujoentrante neto ha de ser igual al aumento por unidad de tiempo de la masa, se obtiene

-[*0,, + ]pu * + r,,1 itrdsctz = fi@*au a")Idx da dz

l

Por tanto, la ecuación- de continuidad tridimension al para un flujo no permanente de un fluido compre-sible toma la forma

7',|

(A)

(b) Para un flujo permanente no varian las propiedades del fluido con el tiempo, es decir, 0pl0t :0. Para unflujo permanente y compresible la ecuación de continuidad es

l(rddldp- l-p¿f f ;-pu -r;-pLU | = -:

Ld, da dz _) dt

l,ir,*****,*f = o (B)

Si el flujo además de permanente es incompresible (p : constante) la ecuación tridimensional adoptala forma

)zt 0u ]toa;'aatE=u

Si Awl4z : 0, el flujo permanente es bidimensional y

0u 6'u

^ T" = 0 (D)dÍ du

Cuando simultáneamene Awl1z y AulAy: 0, el flujo permanente es unidimensional y

lLodx

Esta ecuación es la del flujo uniforme.

8. Comprobar si se satisface la ecuación de continuidad para un flujo permanente e incompresible,cuando las componentes de la velocidad vienen dadas por

1t : 2r2 - rA + 22, 1) = 12 - 4ry I y2, ut : -ZrU -'!lz + A2

Solución:

Derivando cada componente respecto de la coordenada apropiada,

0u/0r - 4*- A, 0u/0y = -4ul2y, Aw/Az = -ASustituyendo en la ecuación (C) del problema anterior, (4* - y) + (-4x + 2y) + (-y):0. Luego se sa-

tisface.

Las componentes de la velocidad de un flujo incompresible no permanente son , : (2x - 3y)t,u : (x - 2y)t y w :0. ¿Se satisface la ecuación de continuidad?Solución:

Derivando cada componente iespecto de la coordenada apropiada,

lzt/0u = 2t, Au/óg = -2¿, ]y.t/62 = 0

Sustituyendo en la ecuación (C) del Problema 7 da 0. Luego se satisface.

¿Son posibles los siguientes valores de u y u para un flujo permanente e incompresible?

(a) u:4rytU2, a :6ry-tBr (b) u:2r2+y2, u : --4r?J

Solución:

Para el flujo bidimensional dado debe satisfacerse la ecuación (D) del Problema 7.

@) Au/6r - 4y, 0ul0y - 6x, 4A 16r - 0 (b) c)u/ar - 4r, 0D/0U - -4x, 4x- 4r -- 0

(c)

(E)

9.

10.

El flujo no es posible. El flujo es posible.

78 FUNDAMENTOS DEL IILJJO i-:F- PLUIDOS

11. Entre dos placas convergentes de 45 cm de an-chura circula un fluido y la distribución de r':-locidades viene dada por la expresión

D - zL(r- L\?,nax 7Zo \ 'llo/

Para los valores flo: 5 cm y ümax : 0,30 m/segdeterminar (a) el caudal total en m3/seg, (á) lavelocidad media en la sección considerada y(c) la velocidad media en la sección en la quc:

n: 2 cm.Solución:

(a) El flujo por unidad de anchura, perpendicular aldibuio. será

[cAP. 6

!'ig. 6-3

o = fo"o ron = +f 1""'(n-n,/no),.tt¡

5 x 10-3 ru3fseg m de anchura

y el caudal total Q: 5 x 10-3(0,45):2,25 >: 10 3 :r-',:;e.-

La velocidad media Zo : qlno :0,10 m/seg, donde zn - 0.()5 rn. C) bieri V-o .- QIA .- 0,10 m/seg.

Mediante la ecuación (4), VoA^.: VtAn,,0,10(0,0i){{),4í) - f'r(0.1')2}(0.''l-<), rie ilold,e, I'., .. 0,25 m/seg.

12. Si los módulos y direcciones de las velocidades s'.: nliiier¡ i'ir rrri irl¿ino ',ctijr:ai YY en puntos dis-tanciados Ay, demostrar que el caudal 4 por uniciaci dq irncir¡r'¿ ilri:ile crpresarse por LurLy.

Fis. 6-4

Solución:

Caudal por unidad de anchura : a : 2 Aq, dc'il<l.e c¿d:, h¿l ''r:¡t-- daCo pc,r" r(Alni.De la Fig. 6-4(b), A'B' : LA^: Ay cos c. De rjr,.-¡de ri = f r(Al, cr¡s e) '.. ! 1;,Ay pctr ur'idad de anchura.

13. (a) Explicar brevemente el procedimiento para ciibujar ia red de corriente en ei caso de un flujobidimensional permanente de un fluido ideai entre los contr¡rnos daclos en la Figura 6-5.

(b) Si la velocidad uniforme en la sección 2 es i¡lu¿tl a 9.C m/seg y los 'alore-" de Ant son igualesa 3 cm, determiiar el caudal q y la velocicllci ii¡iifori'iie er: la s,tcciórr ! " donde los An t soniguales a 9 cm.

I;

,¿,n,rx ?¿q

(b)

(c)

(¡ l

cAP. 6l 79

Solución:

(o) Ei ¡r:';-r:edimicntr pai,, riibi:j:ri i:r ,:i' Ll;:

co¡¡icilte eit r:tie rt.rs() ¡r;c,':¡ 1i,l.1';;1s,: :r. r,r-sos rlt,s cct;flEir,s. i)¡.¡í: tt., ii,"r(t /.i4,iJ 'ri-

pfarc$ic c('n]0 lli¡lr€ :

1. E¡i tur¡ :-.glcirir c:'ir-; coi'tür'ii,r:, ;:,-rllrlil.r -l-' divirir cl i1u¡r .rrt rrn r-1,.' l.r ii.r-r: -

l:l ,i¿ hi¡ncl.i¡ tie ,*r.rrll .'ncl1 ir:r ''i,r i-..

pti{:st[¡ '-jlie s., ]'ii.\..:rjrtdi) li*i I'ii¡ir i-it:i,ciii:il. :il c5"¡esc: lririJ¿l(i,, rlr:l¿nilr,::li,:.-' ::i .'r.i-.ir:,.,, i,l¿d:; i:ti;,r:." ;, i\ie'riL!:iuii ;i..i:1i) ilr) Ji'i,i.:rl:: Jirti:.' .., r;..'t' i'. Fig. 6-5nga_s ne ,lcit-lt,-,,,..: ,. ,',,e:r -)ir - t.r:f t. :_:

CO;,i.'; :' ' : , {1.- r'\ ') )i.,';- ¡

el f rr.;r' ,,'.'li cr¡rr-l'i rllr;irrit.lr. rii i':i,..r . ¿irciales iguales por cada una de las bandas y Lq = u(An) :: s6n5-

tantr:. rl;¡nile lr. ,i,r r.'¡r,i¡: i: :r':r:.,,,,ii)lc a la velocidad local. Como Lq = urLn, = D2Ln2, se deduce

u1f D2 ;: ,'.t,t., n, : . ,'i"'r'r t', \-'l -. ri) menores son los valores de Ln y AS más exactas son las fela-cionei ir.r i -l.r'i:.; :'r, ¡-:.-:cq¡::' 1:l -:rr':,.iro suficiente de líneas de corriente para que la exactitud sea acep-

table, .,.. .'l:rir,' ,:ri t,,1t.,,¡,;,:'r,,; ..'i:ramientos y detalles en el dibujo.2. Para r¡ri,:, .:,, i;: -r,¡.', ,,;r,r j' ;:,ir líneas de corriente se dibujan las líneas normales a aquéllas o lí-

neas cquij-¡,',rr',,,.';::;rl i.:¡,:r, \t,t,,j, "'{!án espaciadas de forma que ^.t:

Ln.Las líneas equipotencialesson orror¡',¡¡iír! ¡. 'is 1i-re:,, 'ri' ¡ rri:nte en cada punto de intersección y a los contornos ya que éstossonl;rlearr.ii¡:ir¡:¡i¿;,,¡"r)rr,:ir,r '',,'r;iil€ldiagramaobtenidoseasemejaaungrupodecuadrados(apro-ximacla¡n"r :) íi I

';i :,'r, "le i .,1'. ;;t ¡ed de corriente.3. En la: zo:ri'. ú,iirirris 1,',':ii: '.r';ji: los contornos cambian de forma no se pueden mantener los cua-

dradcs. ,i..-:1,v,.:.\? l:, c.rliigr,iii,.'i.¡i. ,l;: la red de corriente,y paru obtenerla de la manera más correctasera nec*;:r';, ití¡-i¡i.ii-'iiarl¿, 'l ill.;1,;Co las diagonales a través de todos los <cuadrados> (curvilíneos).Las dos ra;i,.',¡i ,,' ,t,.li.:li jr! iclmarán también una red aproximadamente cuadrada.

4. Mucha\ ';ricur ¡ r

rrientJ 1'rú ''rl 'i i. ril ,

tomo- {,1-} :ti¡ ',:l-il!las línl:ls r1 - :., '":r:

de la sc:,l-'.'',: '

lu c¡-.j:1,,.ri1; r'r'r1

r r iente, cuy¿ (i*¡!-!:r;,ii rl

caudal ry' eilr.r:-' r-irr.: l,,l::,neas de cort.r .ir:). ,/ :-ir i..

logamente, la. lil'¡,: r;

siones es faci,',ri:. ,';r.i;.i

Y:.;"Estas ecuacionc! r'. ,l

y la ecuación de cr

':' t' : -ArllAx

,, r : -aólay

para las líneas de corriente

para las líneas equipotenciales

,.: ,'( i.í,:ir(rr son líneas de corriente verdaderas. Si no sucede así, la red de co-, : r.:"i,:.r:::...an real del flujo. Por ejemplo, cuando el flujo se (separa) del con-'' ,-.,,i;:1; :'l:iizarse el contorno como una línea de corriente. En general, cuando1-,;, .,-.;'.i \:.¡f-es se dan las condiciones para que se pueda producir el fenómeno

,',i:er i,..: 1i,: flujos irrotacionales está basada en la definicióndelafunción de co-'ic i'., " ,:rcipio de continuidad y las propiedades de una línea de corriente. El

I ':..:'..'¡rrrr'cualesquiera es constante (ya que el flujo no puede atravesar las lí-;:tJ : c: .t, r:rrlrse en función de x e y pueden dibujarse las líneas de corriente. Aná-

,11.',,¡:.-'¡,,¡11;.- pueden definirse por Q@,y): constante. A partir de estas expre-:r:--

| !r: a la ecuación de Laplace, es decir,

d'\,AA'

^ d'ó d'ó= u o -; ---, = u0r' da'

3u a1;

dr da

En general, se dete; rbujan las funciones equipotenciales. A continuación se trazan las líneas decorriente, ortogona nteriores, obteniendo la red de corriente.

Este tipo de solu xactas pueden verse en textos de Mecánica de Fluidos Superiores, en Hidro-dinámicas o en los dc -Jría de Funciones de Variable Compleja.

(b) Caudal/unidad de anchura: q:2Lq-- q, l qt* Q"* Q¿* Q"-- S\ur)(A,,).

Para I unidad de anchura, A.,: l(Lnr) y q : 5(9,0X1 x 0,03) : 1,35 m3/seg por unidad de anchura.

Por tanto, DÉ,ra Lnr: 0,09 m, 5 u1(0,09 x 1) : 1,35, de donde ut : 3,0 m/seg.

ul puede determinarse también a partir de: utfut = LnzlLnt, arf9,0 = 0,03/0,09, ur : 3,0 m/seg.


14. Dibujar las líneas de corriente y equipotenciales para las condiciones de contorno dadas en laFig. 6-6. (Las áreas que están sin terminar de dibujar se dejan para que las utilice el lector.)

Solución:

l.

ACB

Fig' 6-6

En las zonas donde el flujo tiene lugar entre contornos paralelos se divide la anchura total en 4 partes igualeso tubos de corriente (en AA y er BB). Hay que tratar de dibujar la trayectoria de una partícula a lo largo deuna de estas líneas de corriente, dibujando, por ejemplo, la línea 1-1 (véase el problema precedente). Se pro-cede en igual forma con el resto de las líneas de corriente.

Las líneas equipotenciales han de ser ortogonales, tanto a las líneas de corriente como a los contornos, entodos los puntos. Se han de esquematizar de manera que formen aproximadamente cuadrados. Partiendode la sección central. se dibujan estas líneas ortogonales en cada dirección. Antes de obtener una red dg co-rrrente de manera satisfactoria será necesario utilizar con frecuencia la goma de borrar.

Se dibujan las diagonales (a trazos en la figura) para comprobar la bondad de la red de corriente. Estas dia-gonales deben formar también una red cuadrada.

En la figura la zona C se ha dividido en 8 tubos de corriente. Se observa que los cuadriláteros curvilíneosmás pequeños se aproximan en su forma a cuadrados más que los de mayor tamaño. Cuanto mayor sea elnúmero de tubos de corriente, la red de corriente será más <cuadrada>.

15. En la Fig. 6-7 se representa una línea de co-rriente correspondiente a un flujo bidimensio-nal y las líneas equipotenciales, ortogonales alas primeras, y representadas por los segmentosnumerados del 1 al 10. La separación entre laslíneas equipotenciales se da en la segunda co-lumna de la tabla que figura más adelante. Sila velocidad media entre 1 y 2 es 0,500 m/seg,calcular (a) las velocidades medias entre cadados líneas equipotenciales y (á) el tiempo quetaróatá una partícula fluida en recorrer el es-pacio entre 1 y 10 a lo largo de la línea de co-rriente.

Solución:

{a) Utilizando las relaciones entre la velocidad y Ar del Problema 13,

Vt-zLnt-z = Vr-"Lnz-s = Vs-t\ns-n =,...

Además ASr-¿ = Azr-2, ASz-s = A7¿z-¡,

Por tanto, Vz-t ? VL-2(LSL-2lLSr-.) : 0,500(0,500/0,400) : 0,625 mlseg. Análogamente, Vt-+ :0,500(0,500/0,300) : 0,833 m/seg, etc. Los valores así obtenidos para las velocidades medias se dan en lasiguiente tabla.

Fig. 6-7

^S constante a partir de l0

cAP. 6l FUNDAMENTOS DEL FL.UJO DE FLUIDOS

Posición A.l (m) asl _2/asz: 0,500(0,500/As)

m/segl : (LS)lv

seg

t1

z-JJ-44-55-66-77-88-99- l0

0,5000,4000,3000,2000,1000,07000,04500,03000,0208

1,0001,250|,6672,5005,0007,r43

11,1116,6724,00

0,5000,6250,833r,2502,5003,57r

8,33t 2,00

1,0000,6400,3600,1 600,0400,0200,0080,0040,002

2 : 2,234 seg

(b) El tiempo que tarda una partícula en recorrer de I a2 es igual a la distancia entre 1 y 2 diüdida porlavelocidadmediaentre l y2obien tr-r: (0,50010,500) : 1,000seg.Análogamente,tz-t: Q,40010,625): 0,640 seg. El tiempo total que tarda en recorrer la distancia entre 1 y 10 es igual a la suma de los tér-minos de la última columna, es decir, 2,234 seg.

16. Deducir la expresión del coeficiente a de corrección de la energía cinética para un flujo perma-nente e incompresible.Solución:

La energía cinética de una partícula esldMo2,y la energía total de un flujo fluido será

f,f ̂ ,0u,,' - ;Í,?ronr,' = # Í^(udA)uz

Para calcular esta expresión debe extenderse la integral a toda el área A.La energía cinética calculada mediante Ja velocidad media en una sección transversal es |(wQldvz* :

i(wAldVL. Aplicando a esta expresión un coeficiente de corrección a e igualando el resultado a la energía ci-nética verdadera, se obtiene

81

"{fi){':'¡ =

17. Un líquido está fluyendo a través de una tubería circular. Para una distribución de velocidadesdada por la ecuación u : u^u*(rf; - r')1r3, calcular el coeficiente de corrección de la energía ci-nética a.

Fig. 6-8

Solución:

Es necesario calcular la velocidad media para aplicar la fórmula obtenida en el Problema 16. A partir dela ecuación de continuidad,

rl a t u dA J @^*/rZ)@3 - r2)(2tr clr) 2u-^* f 'o ?)m.*

-l

\'^' -' '(¡'' A rr: "r: rl .t, 2

Este valor podría haberse obtenido también al considerar que la ecuación dada representa una parábola y queel volumen del paraboloide generado por dicha distribución es igual a la mitad del volumen del cilindro circuns-crito. Por tanto.

*Y ! ̂ tu anr" o I Í ̂ t¿¡'oo

(b)(¿)

I/", =volumen/seg

área de la basel?rl)u^^*

¡12, 2


Utilizando el valor de la velocidad media en la ecuación que da a,

', ( (#\"oo = \-, ('"(:a!:!!5\s2rrdr : 2,ooa = A Jo'v^", rrí Jo. É"-.,(Véase Flujo laminar en el Capítulo 7.)

[cAP. 6

f8. A través de una tubería de 15 cm de diámetro está fluyendo aceite de densidad relativa 0,750 auna presión de 1,05 kglcmz. Si la energía total respecto de un plano de referencia situado 2,40mpor debajo del eje de la tubería es de 17,6 kgm/kg, determinar el caudal de aceite en m3/seg.

Solución:

Energía por kg de aceite : energía de * energía cinética (altura * energíapresión de velocidad) potencial

17.6 : l,o5 x lo¿ * r?t *,_oo

0,750 x 1000 29

dedondeVl5:4,85m/seg.Portanto,Q:AtsVts:*ft(0,15)'zx4,85:86x10-3m3/seg.

Una turbina produce 600 CV cuando el caudal de agua a través de la misma es de 0,60 m3/seg.Suponiendo un rendimiento del 87 /,, ¿qué altura actúa sobre la turbina?Solución:

Potencia de salida (CV) : potencia consumida (CV) x rendimiento : (wQHrl75) x rendimiento

600 : (1000 x 0,60 x Hrl75)(0,87) ! Hr: 86,3 m.

Deducir las ecuaciones del movimiento para un flujo permanente y un fluido cualquiera.Solución:

Se considera como cuerpo libre la masa elemental de fluido dM mostrada en la Fig. 6-9(a)y (ó). El movi-miento tiene lugar en el plano del papel y se escoge el eje x paralelo a la dirección del movimiento. No se hanrepresentado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre dM en dirección normal al movimiento. Las fuerzasque actúan en la direcoión x se deben a (1) las presiones que actúan sobre las caras de los extremos,.(2) la com-ponente del peso y (3) las fuerzas cortantes (dF" en kilogramos) ejercidas por las partículas fluidas adyacentes.

(p * dp)dA

-,,E- I

W = us illdA

19.

20.

Fig. 6-9(a)

De la ecuación del movimiento E.F, : Mo*, se obtiene

l+ p dA - (p -t dp)dA - w clA dI sen a" - dtr'"1

Dividiendo (1) por w dA y sustituyendo dlldt por la velocidad

(f )

I z _p- _dp - drsen a_ - i+-l = v dvL1D w 1.0 ' wdAJ S

(2)


dFrEl término --j representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dl. Las fuerzas cor-

tantes dFt pueden sustituirse por el producto de la tensión cortante r por el área sobre la que actúa (perímetro xlongttud), es decir, dFt : 7 ¿P ¿¡.

dFt rdPdl tdlAsi, -i :

* dA :

*, donde R se conoce con el nombre de radio hidráulico y se define como el co-

ciente del área de la sección recta por el perímetro mojado o, en este caso, dAldP. La suma del trabajo realizadopor todas las fuerzas cortantes mide la pérdida de energía debida al flujo, y, medida en kgm/kg, será

83

Para [uturas relerencias,

Volviendo sobre la expresión (2),

pérdida de carga dh, :4: -kslT1l+-: mwR kg/m3 x m2/m

r _ *n(#)

como dl sen 0, : dz, adopta finalmente la forma

dp VdV'tD s

Esta expresión se conoce con el nombre de ecuación de Euler cuando se aplica a un fluido ideal (pérdidade carga : 0). Al integrar la ecuación anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la llamada ecua-ción de Bernoulli. La ecuación diferencial (4\, para flujos permanentes, es una de las ecuaciones fundamentalesdel flujo de fluidos.

CASO 1. Flujo de fluidos incompresibles

Para fluidos incompresibles la integración es como srgue:

Í:,'#+ Í"'Yr+ !.",'a,+ f ,'an" = o

(3)

(/')

(A)

Los métodos de cálculo del último término se discutirán en los capítulos siguientes. El término de la pér-dida de carga total se representa por Hr. Al integrar y sustituir límites,

ptlwt : plw : constanfe o w : (wtlp)p

tPz Prr, ,Vi V?tl;-;) +(zs-w)+tr,-2,\*Hr = o

,P,.V? , - tt2(# * rf+ z,) - H' = (-,o* ro*,,)

que es la forma más conocida del teorema de Bernoulli, aplicable al flujo de fluidos incompresibles (sin adiciónde energía exterior).

CASO 2. Flujo de fluidos compresibles.

Para fluidos compresibles el término (" d, no puede integrarse hasta no conocer la expresión de ru enJ v1 lts

función de la variable p. La relación entre u y p depende de las condiciones termodinámicas implicadas.

(a) Para condicio¡es isotérmicas (temperatura constante) la ecuación general de los gases puede expresarseen la forma

donde wrf pt es una constante yp viene en kg/m2, siendo presión absoluta. Sustituyendo en la ecuación (l),

r" -g' + f'"vdv * f"a'+ ('a"' = o),, (*'/P)P J ', I .t 't ,'' t

Integrando y sustituyendo límites, pt 6 Pz 'v3 yi'en la forma más conociáa, t' o:* lu- ü * k'-z') I Ht = 0 o bien puesta

#n o, -# * zt - Ht = oi,rn o, +fi + ",.

(B)


Combinando esta ecuaclón con la de continuidad y con la ley de los gases perfectos, para condicio-nes adiabáticas, se llega a una expresión en que solo figura una velocidad como incógnita.

Mediante wtAtvt = p2AzVz , *:^: -- # - constante, v, = #* = (X)'r (fi¡r,y la ecuación de usrnoulli adopta la forma

Al combinar esta ecuación con la de continuidad y la ley de los gases perfectos, para condiciones isotér-micas, se llega a una expresión en la que solo es desconocida una velocidad. Así, para un flujo permanente,

lntArvt=wzAzvz y # : # = RT dedonde vr: ffi#" = *{71r,Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli en su forma (B),

[g ,n e, + (*\"ey# + "f, - a" = lpt tn v; ILxa), '' \A,t \p1) 29 J Llt)t nz + fi

+ z') (c)

(b\ Para condicio¡es adiabóticas (sin pérdida ni ganancia de calor) la ley general de los gases perfectos se re-duce a

(!\,=4 " +=t:=constante, yasi ut=u,(?\,,*\11)r/ pr r0r W - \pr/

donde k es el exoonente adiabático.

Hallando el valor de dplw e integrando se obtiene

Í),'r*-*r,,", = #l:,'# = t*l "#l(tr)'.-'rr'-']y la ecuación de Bernoulli toma la forma

fr=l #. # + ",)- u, = [t*x#lcl"¡'*'"'' * fi * *) (D)

[rÉl #*(t),,.rfy#+ ",f - u" = [t*x-,tlthyr-",**fi* ") (E)

fi =o.otm21. En la Fig. 6-10 están circulando 0,370 m3/seg

de agua de A a,B, existiendo en A una alturade presión de 6,6 m. Suponiendo que no exis-ten pérdidas de energía entre A y ,8, determinarla altura de presión en ,8. Dibujar la línea dealturas totales.

Solución:Se aplica la ecuación de Bernoulli entre -A y B,

tomando como plano de referencia el horizontal quepasa por ,4.

Energia en A + energía añadida - energía per-dida : energía en .B D

^ r,/2 ^ r./2

(#*-ri*zo) + o - o = (#* #* "")donde Z3o : QlAn : 0,3701(tn0,3') : S,Zq m/seg y

l/60 : (+)26,24) : l,3L m/seg. Sustituyendo,

g5 +Q4 + 0) - 0: (-!+ (l'JlF + 4,5) y

p-!: t,qt m de agua2g tD 2g "u)

Puede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre un plano horizontal de

referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D,

Altura total e¡ A:p,tlw*V3ol2S+ z,E:6,6 +1,4 + 3,0:11,0 mAltura total en B: pnlw -t Vlol2g + zs:3,41 + 0,09 + 7,5: 11,0 m

Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de energía en otra durante el flujo. En el casopresente, parte de la energía de presión y de la energía cinética en I se transforma en energía potencial en .B.

I

tl

e.l

Plano de referencia

Fig. 6-10

Línea de alturas totales

E = t,4rm

]_l_0

I

2, = 7,5 m


22. En el venturímetro mostrado en la Fig. 6-11 la lectura del ma-nómetro diferencial de mercurio es 35,8 cm. Determinar elcaudal de agua a través del venturímetro si se desprecian laspérdidas enfie Ay B.

Solución:Aplicando la ecuación de Bernoulli entre - A y B, tomando como

plano de referencia el'horizontal que pasa por A,

,Pn, Vlo, n, n ,pn, V?,r ri+U)-0:('j+

=+0'75)z8 tD ¿g

y (U _ Us: (+ _ 3 * o,rr¡ (r)wtD¿g¿gPor la ecuación de continuidad A3oV3o : ArsVts, de donde

ho : (#)2vts : iVts, y V2to : |6Vlr. por la lectura manométrica,

altura de presión en L: altura de presión en R (m de agua)

p.tlw I z * 0,358 : pnlw + 0,75 + z + (0,358)(13,6)

de la cual (polw - pnlw) : 5,26 m de agua. Sustituyendo en (1), se ob-tiene V15 : 9,7 mlseg y Q : in(0,15)2 x 9,7 : 0,172 m3/seg.

85

-T75,0 cm

I

-r+35,8 cm

_l_R

Fig. 6-U

23. Una tubería, que transporta aceite de densidad relativa 0,877, pasa de 15 cm de diámetro, en lasección E, a 45 cm en la sección R. La sección E está 3,6 m por debajo de R y las presiones sonrespectivamente 0,930 kglcm2 y 0,615 kglcm2. Si el caudal es de 146 l/seg, determinar la pérdidade carga en la dirección del flujo.

Solución:Velocidad media en una sección : QlA.Por tanto,

0.146,,, : ##,¿ : 8.26 m/ses y v+s:

Lne.qst,: 0.e2 m/seg

Utilizando, como plano de referencia, el horizontal que pasa por la sección más baja E, la energ¡a en cadasección será:

- p v?, 0.930 x lOa (8.26fenE. ('-L ::r:):_ ! ' r0

w 29 0.877 x 1000 29: 13,75 kgmTkg

^ p vi, 0.ó15 x loa 10,92)2

E' nujo ,,"". ,"1", ,':)^-;,- l; nnloll." ":r^,:,;i;:';Tffidida de carsa sedetermina haciendo el balance de energía entre ,E y R, tomando como plano de referencia el horizontal que pasapor E: 13,75 - pérdida de carga : 10,65 o bien pérdida de carga : 3,10 m, de E a R.

24. Considerar que a través del venturímetro del Problema 22 fluye aire a 27" C y que la presión ma-nométrica en ,4 es igual a 2,65 kglcmz . La lectura del manómetro es de 35,8 cm de agua. Suponien-do que el peso específico del aire no varía enfre A y,B y que la pérdida de energía es despreciable,determinar el caudal en peso, kg/seg, de aire que está circulando.Solución:

Aplicando la ecuación de la energía e¡tre A y.B, tomando como plano de referencia el que pasa por l, como

en el Problem a 22, se obtiene fa - 4t : E+ + 0.75. (1)

Para obtener la altura o. o..ln oí orro" o#circula es necesario calcular el peso específico del aire.

3-: e9'-I.t'o?19- : 4,20 kstm3RT 29,3(27 + 273)


En el manómetro diferencial. pt-: pn (en kg/m2. manométrica)

o bien pt^ t 4,20(z + 0,358) : pn * 4,20(0,75 + z) + 1000(0,358)

I @t - p) -- 359,6 kg/m2. Sustituyendo en (/), se obtiene Vs : 42,2 mlseg y

W : wQ : a,20lin(0,r5)2 x 42,2): 3,r2 kslses de aire

25. Un conducto por el que circula aire reduce su sección recta de 7,0 x l0-2 m2 a2,0 x 10-2 m2.

Suponiendo que no existen pérdidas, ¿cuál es la variación de presión que tiene lugar si están flu-yendo 0,70 kg/seg de aire? (Utilizar w:3,200 kg/mt para la presión y temperatura implicadas.)

Solución:

0.70 ke/sro: #: 0,218 m3/seg, v,: ft: # :3,r2 mlsel, vz: i:W: 10,e m/ses.

Al apliiar la ecuación de Bernoulli entre las secciones I y 2 se obtiene

1L * Q,lz)' + 0) - o : (-2* (19.e)' * o) o bien 14 - 4¡: 5,60 m de aire'w 29 'tt) 29 w w

y pl - p2':6,60 x 3,200)lfia: 1,8 x l0-3 kglcm2, como variación de presión. Esta pequeña variación

en la presión justifica la hipótesis de densidad constante del fluido.

Una tubería de 15 cm de diámetro y 180 m de longitud transporta agua desde A, a wa elevación

de 24,0 m, hasta B, a una elevación de 36,0 m. La tensión debida a la fricción entre el líquido y las

paredes de la tubería es igual a 3,05 kglmt. Determinar la variación de presión en la tubería y lapérdida de carga.

Solución:(a\ Las fuerzas que actúan sobre la masa de agua son las mismas que aparecen en la Figura (ó) del Problema 20.

Mediante P1 : p1A15, Pz : pzAts se obtiene, aplicando EF' : 0,

ptAts - pzAts - Il' sen 0, - r(nd)L : 0

Ahorabien, W:w(yoltmen):1000ftn(0,15)'zx l80l y sen0,:(36,0 -24,0)1180. Portanto,

pLlltP,ls)'f-p2lln(0,15)'z1 -1000[tr(0,15)'zx180]xl2l180-3,05(2x0,15x180) :0de donde Pt - Pz:26.640 k9lm' -- 2,664 kglcm2.

(b\ Mediante la ecuación de la energía, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por ,4,

energía et A - pérdida de carga : energía en I

P + 3+ o) - pérdida de carga : tU + ! + nt'w 2g w 2g

o pérdida de carga : (ptlw - p"lw) - 12: 26.64011000 - 12 : 14,64 m.

Otro método:

Mediante la (3) del Problema 20, pérdida de carga : #: #:Hj - 14,64 m.

El agua, a32" C, contenida en un pozo debe ser extraída a una velocidad de 2,0 mfseg a través de

la tubería de succión de una bomba. Calcular la altura teórica máxima a que Puede colocarse labomba bajo las siguientes condiciones: presión atmosférica : 1,00 kglcm2 (ab), presión de vapor :0,05 kg/cm2 (ab) [véase Tabla 1(C)] y pérdida de carga en la tubería de succión = 3 veces la al-

tura de velocidad.

26.

27.

cAP. 6l FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 87

Solución:

El peso específico del agua a 32" C es, según la Tabla 1(C), 995 kglm3. La presión mínima a la entradade la bomba no puede exceder a la presión del vapor del liquido. Se aplica ahora la ecuación de la energíaentre la superficie libre del agua fuera de la tubería de succión y la sección de entrada en la bomba, utilizandoalturas de presión absolutas.

Energía en la superficie del agua - pérdida de carga - energía en la entrada de la bomba

1.00 x 104( +0+0) -995

,0,05 x 104 Q,q2:l +-+zl' 995 29

3Q,0)'z

)o

de donde z : 8,74 m sobre la superficie libre del agua.

En estas condiciones es probable que tengan lugar serios deterioros debidos a la cavitación. Véase Capí-tulo 12.

28. En el sistema mostrado en la Fig. 6-12 labomba .BC debe producir un caudal de160 l/seg de aceite, Dr : 0,162, hacia elrecipiente D. Suponiendo que la pérdida deenergía entre A y B es de 2,50 kgm/kg yentre C y D es de 6,50 kgm/kg, (a) ¿qué po-tencia en CV debe suministrar la bomba ala corriente? (á) Dibujar la línea de alturas Er 15 n.totales.

Solución:(a) La velocidad de las partículas en I y D es tan

pequeña que pueden despreciarse las alturasde velocidad.

La ecuación de la energia enÍe A y D,con plano dc referencia el que pasa por BC(también podría tomarse el que pasa por l),

(oi, fr- z^) t Hbo-b" - Hp,,a = ('l, t #' r')

(0+ desprec. + 12)+ flbo-b" - (2,50 + 6,50) - (0 + desprec. + 57)

y l/¡.-¡" : 54,0 m (o kgm/kg).

Potencia (CV) : **QHb"-b,175: (0,162 x 1000)(0,16)(54)115:88 CV suministrada al sistema.

Obsérvese que la bomba ha de suministrar una carga suficiente para subir el líquido 45,0 m y vencerlas cargas debidas a las pérdidas en las tuberías. Por tanto, comunica al sistema una carga de 54,0 m.

(ó) La línea de alturas totales en A tiene una elevación de 15,0 m sobre el plano de referencia de cota cero.De A a B la pérdida de energía es de 2,5 m y la línea de alturas totales caerá esta misma altura, lo que daen .B una elevación de 12,5 m. La bomba comunica una energía por unidad de peso de 54,0 m y la eleva-ción en C será de 66,5 m. Finalmente, la pérdida de energía entre C y D es de 6,5 m y la elevaciónen D : 66,5 - 6,5 : 60,0 m. Estos resultados se reflejan en la Figura 6-12.

29. A través de la turbina de la Fig.6-13 circulan 0,22m3fseg de aguay las presiones en I y .B son iguales, respectivamente, a 1,50 kglcm2y -0,35 kglcmz. Determinar la potencia en CV comunicada por lacorriente de agua a la bomba.

Solución:

Mediante la ecuación de la energía entre A y I (plano de referencia por ,B), con

Fig.6-12

I

El 12.5 m

V3s : 0,221A3o : 3,12 y Veo: 3,1214: 0,78 m/seg,


(b) AtoVn: AeoVao o

[cAP. 6

,+ -+ * rnl +o - Hru,ui," : r# *'* * r",

,1,5 x 10a , 3,122 0.35 ,< 104 * oÍt' * o¡ y Hr:20,0 m.(-ffi* k +1.00) -Hr: (-rooo 29

Potencia (CV) : wQHrlTS: 1000(0,22X20'0)175 : 59,0 CV comunicados a la turbina'

30. En la turbina del Problema 29, si la potencia extraída de la corriente es de 68,0 CV y las presio-

nes manométricas en Ay B son 1,45 kglcm2 y -0,34kgfcm2, respectivamente, ¿cuál es el caudalde agua que está fluyendo?

Solución:

Aplicando la ecuación de la energía entre A y .B (plano de referencia el que pasa por .B),

,!%;g *2 * t,o) - Hr: ,-o'11# '0. *fr * ot v

(a) o:,t'tni;oto" + r,o+ +-+,vzo ,t ,n v3o I v3o

29 '2' 29 16 2s

(c) 68.0 cv : ry - fi00 x in(0'19)2vn x Hr " ', :X

Mediante las ecuaciones (a)y (c) (sustituyendo la altura de velocidad), 72,21V3o: 18,9 + (l5ll6)(V!ol2g) o bien

18,9 V3o + 0,048 Vio : 72,2

Resolviendo esta ecuación por tanteos:

Tanteo l: V3o: 3,5 m/seg, 66,2 + 2,10 * 72,2 (debe aumentarse Z)Tanteo 2: V3o: 4,0 m/seg, 75,6 + 3,07 | 72,2 (solttción entre ambas)Tanteo 3: V3o -- 3,7 mlseg, 70,0 + 2,43 : 72,2 (solución)

El caudal Q : AtoVto: |r(0,3)'z x 3,7 :0,262 mrlseg.

31. IJn aceite, de densidad relativa 0,761, estáfluyendo desde el depósito I al E, segúnse muestra en la Fig. 6-14. Las distintaspérdidas de carga puede suponerse vienendadas como sigue:

tt2 v2 -de A aB:0,60:3o de C a D :0,40+:'¿gzg

t¡2 v? -deBaC: g,o+e de DaE: 9,0+:¿g zg

Determinar (a) el caudal Q en m3/seg,(ó) la presión en C en kglcm2 Y

(c) la potencia en C, en CV, to-mando como plano de re-ferencia el que pasa por E.

Solución:(a) Aplicando la ecuación de la energía entre A y E, plano de referencia el que pasa por E,

et A deAaB deBaC deCaD deDaE en E

(0 + despr. + 40.0) - [ro,eo 3 * n,o?, * 0,40+ + ep+ü: (0 + despr. + 0)29 29' 29 2g -

Fig. 6-14


o bien 12,0 :9,6(V3ol2s) + 9,avípg). Además, V3o: (i)ov',., : #V?.r. Sustituyendo y despe¡ando,

V?rl2e : 1,2 m, Vrr: 4,85 m/seg y Q : ln(0,15)2 x 4,85 : 0,086 m3/seg

(b) Aplicando la ecuación de la energía entre A y C, plano de referencia el que pasa por A,

{0*despr.+0) - (0.60+ s.It+: t4+p+o,oor y +::+:.!.,t,r,:0.075 m' 29 w 29 29 1629 16 "Portanto,prfw : -1,395 m de aceite (man)y pi: QJ61 x 1000)(- 1,395)1104 : -0,106 kg/cm2 (man).

Los mismos resultados podrían haberse obtenido también aplicando la ecuación de Bernoulli entre

C y E. Las dos ecuaciones obtenidas por los dos caminos /¡¿ constituirían, naturalmente, un sistema de ecua-

ciones independientes.

uQHc _(0,761 x 1000X0,086X-1,395 + 0,075 + 12,6) : 9,85 CV, plano de referen-

89

(c) Potencia en C:cia el que pasa

75

por E.

75

32. La carga extraída por la turbina CR de la Fig. 6-15 es de 60 m y la presión en 7 es de 5,10 kglcmz.Para unas pérdidas entre W y R de 2,0(Vfol2g) y de 3,0(V3ol2g) entre C y Z, determinat (a) el cau-dal de agua que circula y (b) la altura de presión en R. Dibujar la línea de alturas totales.

El 45m

Fig. 6-15Solución:

Como la elevación de la línea de alturas totales en 7es igual a (75 +

de la elevación en W, el agua circulará hacia el recipiette W.

(a) Aplicando la ecuación de la energía entre I y W, tomando como plano de referencia el de cota cero,

enT deTaC deRaW Hr enW

(t't9:lo- *3 * 75) - [3.0 ? *r.o?l_ 60: (0 + despr. + 45)' 1000 29 - 29 2s'

Sustituyendo VZo : iVSo y operando, Vtol2T :9,88 m, de donde Vto : 13,9 m/seg. Por tanto,

Q : in(0,3)2 x 13,9 : 0,98 m3/seg

(b) Aplicando la ecuación de la energía entre R y W, con plano de referencia el que pasa por R,

@^lw+frx9,88+0) -2(1fx9,88):(0+despr.*15)yp^lw:15,62m.Ellectorpuedecompro-bar esta altura de presión aplicando la ecuación de Bernoulli entre T y R.

Para dibujar la línea de alturas totales se calcula la altura total en las secciones indicadas.Altura total en I: 51,0 + 9,9 + 75,0 : 135,9 m

en C: 135.9 - 3 x 9.9 : 106.2 men R:106.2-60.0 46,2 m

5.10 x loa V<"

looo * É' muY Por enctma

en W : 46,2 - 2x 1f x 9,9 : 45,0 m


En los siguientes capítulos se demostrará que la línea de alturas totales es una línea recta en el caso deflujo permanente en una tubería de diámetro constante. La línea de alturas piezométricas será paralela ala línea de alturas totales y situada por debajo de ella a una distancia igtal a V2l2g, altura de velocidad (enla figura dibujada a trazos).

33. (a) ¿Cuál es la presión en la ojiva de un torpedo que se mueve en agua salada a 30 m/seg y a unaprofundidad de 9,0 m? (ó) Si la presión en un punto lateral C del torpedo, y a la misma profundidadque la ojiva, es de 0,70 kglcm2 (man), ¿cuál es la velocidad relativa en ese punto?

Solución:

(a) En este caso se obtiene una mayor claridad, en la aplicación de la ecuación de Bernoulli, al considerar eltorpedo en reposo y sumergido en una corriente de agua a la misma velocidad relativa que en el caso real.La velocidad en la punta anterior del torpedo será ahora cero. Suponiendo que no hay pérdida de cargaen un tubo de corriente que vaya desde un punto l, delante del torpedo y a suficiente distancia para queel flujo no esté perturbado, y un punto B, situado en la punta de la ojiva del torpedo, la ecuación de Ber-noulli toma la forma

Por tanto, pnlw : 55 m de agua de mar, y pu : nhllja : 1025(55)/104 : 5,65 kg/cm2 (man).Esta presión se llama presión de estancamiento (también presión de parada o de remanso) y puede

expresarse en la forma ps: po + ipV'o, en kg/m2. Para un estudio más detallado, véase Capítulos 9 y 11.

(b) Se puede aplicarla ecuación de Bernoulli entre los puntos I y Co bienentre.By C. Escogiend,o Ay C,

,+.X Í,) - o : {,,ry +fi +,"t o bien

,P¿. vi Pe v?(;* 2c-z¿)- O:(;+

r'- +zc\ obien

de la cual Vc : 30,7 mlseg.

es+!y+o) : (4+o+o)

o,o+ff+o):,T;g +fi+ot

34. Una esfera está colocada en una corriente de aire, donde reina la presión atmosférica, y que se muevea una velocidad de 30,0 m/seg. Suponiendo que no hay variación en la densidad del aire y que éstaes igual a 0,125 UTM/m3, (a) calcular la presión de estancamiento y (ó) calcular la presión sobreun punto de la superficie de la esfera, punto,B, a75'del punto de estancamiento, si la velocidaden dicho punto es de 66,0 m/seg.

Solución:(a) Aplicando la fórmula dada en el problema anterior se obtiene

Ps: Po + ipv'o: 1,033(104) + +(0,125x30,0)'z : 10.330 + 56,25: 10.386 kg/m'?

(b) Peso específico del aire : pC :0,125(9,8) : 1,225 kglm3.Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el punto de estancamiento y el B, se obtiene

^ t'2 D. Vl("t +3+0)- 0: ("! +;9+0l o bienw¿gw¿g

de donde pnlw :8238 m de aire, y ph: whll\a :

r!i86 + o + o) : (" +(ó6'o)'z + o)1.225 La 29

1,225(8238)lr0a : 1,010 kglcm2.

35. Un gran depósito cerrado está lleno de amoniaco a una presión manométrica de 0,37 kglcm2 ya una temperatura de 18' C. El amoniaco descarga en la atmósfera a través de un pequeño orificiopracticado en uno de los lados del depósito. Despreciando las pérdidas por fricción, calcular lavelocidad con que el amoniaco abandona el depósito (a) suponiendo su densidad constante y (á) su-poniendo que el flujo tiene lugar en condiciones adiabáticas.

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 91cAP. 6l

Solución:(a) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el depósito y la atmósfera,

o'17 x lOa V2 Dt (0,37 + 1,030)104(%-f:-+0+0):(0+*+o) donde *,:ou --0,97 kslm3

Sustituyendo y despejando, V:273 mlse5.Para un peso específico ¿o constante puede utilizarse indistintamente la presión manométrica o la ab-

soluta. Sin embargo, cuando ru no es constante debe emplearse la carga de presión absoluta.

(b) Para Vr:0 y zt: zz, la ecuación (D), para procesos adiabáticos, del Problema 20 puede escribirse

¡ k ¡pt l-, _ ¡p,1,*-,,,"1 = V;\I=/1¿, L' \pr., ) zg

Para el amoniaco, de la Tabla 1 del Apéndice, k : 1,32 y

1,32 1,40 x 10a .. 1,03 x 10a v?

ó " fftt - tffi to'242f :, : +ttz, de donde Vz : 285 mlses

Al utilizar la hipótesis de densidad oonstante, el error en la velocidad es del 4,2 f, aproxímadamente'

El peso específico del amoniaco en el chorro se calcula mediante la expresión

Pt : rwt r* . ry : 10,97;,,r, y wz: o,774 kglm3pz u)2' 1.03 w2 '

A pesar de esta variación de un 20,3 \ en la densidad, el error en la velocidad fue solo de un 4'2\.

36. Comparar las velocidades en los casos (a) y (ó) del Problema 35 para una presión en el depósito

de 1,08 kglcm2 (man).

Solución:

Pt 21

=- : 1,460 kg/m' y. a partir del problema anterior'lat u,t :

-RT: qg.o , zgt

l'08 x !04 -

v^2 y v: 380 m/segr,46 29

(b) Mediante la expresión dada en el problema anterior para procesos adiabáticos,

v2 132 2,ll x 10a .. ,1,0? - loax

-ll

-t '" " -"')o'242-l :9410. de donde V-430mlseg29 0,32

" 1,46 L- '2.11 x loa' r '

El error cometido, al suponer la densidad constante, en la velocidad es del 11,6/.aptonmadamente.La variación de densidad es del 41 /o aproximadamente.

Las limitaciones impuestas en el módulo de la velocidad se discutirán en el Capítulo 11. Se verá que

la velocidad límite, para la temperatura considerada, es de 430 m/seg.

37. IJna corriente de nitrógeno está fluyendo desde una tubería de 5,0 cm, donde la temperatura es

de 4,5o C y la presión 2,8Okg!cm', a una tubería de2,5 cm en la que la presión es 1,50 kglcmz'Las presiones son manométricas. Calcular la velocidad en cada una de las tuberías, suponiendoque no hay pérdidas y aplicando el proceso isotérmico.

Solución:Aplicando la ecuación (C) del Problema 20 para condiciones isotérmicas y despejando Zr, teniendo en cuen-

ta qrJe 21 -- 22'

92

permanente e incompresible(a) u:3xy' * 2x + y2

u:x2-2y-y,Sol. (a) Sí (b) No

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

(b) u:2x2 + 3y2

u : -3xy

[cAP. 6

Xl,-(f#)'f =#^f#> = nrn(ft) o v, =

Sustituyendo valores, y teniendo en cuenta que R : 30,3 para el nitrógeno, Tabla 1 del Apéndice,

Vz: :265 mfteg

Además, V¡ : (A2lA)(prlpr)Vz: G)2Q,5313,83X265) : 43,8 m/seg.

38. En el Problema 3'7, siendo la presión, velocidad y temperatura, respectivamente, en la tuberíade 5,0 cm, 2,67 kglcmz (man), 43 m/seg y 0o C, calcular la presión y la velocidad en la tubería de2,5 cm. Se supone que no hay pérdidas y que las condiciones son isotérmicas.

Solución:Utilizando la ecuación (C\, para condiciones isotérmicas del Problema 20, poniéndola en función de I/,

en lugar de Vr,

@3f .. 4 .,3.70 x l0a)r.l :30.3 x 2.,3 tn pL x l}a.lat E'' - \l't ,', x toa

r-l: ¡u'¡ " 3,70 r, lo*

Aunque solo aparece una incógnita, la solución directa es difícil. Se utiliza el método de aproximacionessucesivas, dando un valor a pi, qve figura en el denominador de la fracción entre corchetes.

(1) Se supone p', : 3,70 kglcm2 (ab) y se despeja pi del segundo miembro de la ecuación.

e4,4U - 16(1Fl : 8272 tn (pi13,70)

de donde P, : 3,11 kg/cm'z (ab).(2) Al utilizar el valor pL : 3,ll kglcm2 en (a) resultaría una nueva desigualdad. Anticipando el resul-

tado, se supone el valor pz : 2,45 kg/cm3, y se procede como anteriormente.

e4,4lr - r6(3,7012,4s)21: 8272 tt (p\13,70)

de donde p2 : 2,44 kglcm2 (ab), que puede considerarse como solución operando con regla de cálculo. Parala velocidad,

v" : *'A'v.' wzAz

v,: errf,iv, :'#:#<lr " ot :26t mtses


¿Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de agua transportado es de 3800 ml¡dia?Sol. 2,48 mlseg

¿Qué diámetro debe de tener una tubería para transportar 2 m3fseg a una velocidad media de 3 m/seg?So/. 92 cm

Una tubería de 30 cm de diámetro, que transporta 110 l/seg, está conectada a una tubería de 15 cm. Determinarla altura de velocidad en la tubería de 15 cm. Sol. 1.97 m

42. Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 l/seg. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm y laotra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/seg, ¿cuál es la velocidad en latubería de 10 cm? So/. 7,20 mlseg

43. Determinar si las expresiones siguientes de las componentes de la velocidad satisfacen las condiciones de flujo

39.

40.

41.

RT ln (pt/p,)I - (Azpz/Atp)2


U. Una tubería de 30 cm de diámetro transporta áceite, viniendo dada la distribución de velocidades por u :30(rfr - 12). Determinar la velocidad media y el valor del coeficiente de corrección de la energía cinética'

Sol. u: 2,00, V^u : 34 cm/seg

45. Demostrar que la ecuación de continuidad puede escribirse en la forma 1 =

Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 l/seg de un aceite de densidad relativa 0,812 y la presión ma-

nométrica en I es de 0,20 kglcm2. Si el punto,4 está situado 1,80 m por encima del plano de referencia, calcular

la energía en A en kgm/kg. So/. 4,27 kgmlkg

¿Cuántos kg/seg de anhídrido carbónico fluyen a través de una tubería de 15 cm de diámetro si la presión mano-

ile,.i"" .r ¿1 tiS kglcm2,la temperatura de 27" C y la velocidad media de 2,50 m/seg? Sol' 0,213 kgiseg

Una tubería de 20 cm de diámetro transporta aire a24 m/seg, 1,51 kglcm2 de presión absoluta y 27" C. ¿Cuál

es el caudal de aire en peso que fluye? La tubería de 20 cm se reduce a 10 cm de diámetro y la presión y

temperatura en esta última son 1,33 kglcm2 (ab) y 11' C, respectivamente. Determinar la velocidad en la tube-

ría de 10 cm y los caudales en m3/seg en ambas tuberías'

Sot. 1,29 kglseg, 103 m/seg, 0,75 m3/seg, 0,81 m3/seg

A través de una tubería de 10 cm está fluyendo aire a una velocidad de 5,00 m/seg. La presión manométrica me-

dida es de 2,00 kglcm2 y la temperatura 15" C. En otro punto, aguas abajo, la presión manométrica es 1,40 kg/cm2

y la ternperaturi2i" C. Para una lectura barométrica correspondiente a la presión atmosférica normal calcular

la velocidad en el punto aguas abajo y los caudales en volumen en ambas secciones'

Sol. 6,54 mlseg, 39,3 l/seg, 51,4 llseg

Anhídrido sulfuroso fluye a través de una tubería de 30 cm de diámetro, que se reduce a l0 cm de diámetro al

desaguar en el interior de una chimenea. Las presiones en la tubería y en el chorro que desagua son, respectlva-

ment-e, 1,40 kglcm2 (ab) y la presión atmosférica (1,033 kg/cm'?). La velocidad en la tubería es de 15,0 m/seg y

la temperaturá 27" C. Deterrninar la velocidad en la corriente de desagüe si la temperatura del gas es allí de - 5' C'

So/. 72,5 mlseg

A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4,20kglcm2. Suponiendo que no

hay pérdidas, ¿cuál es el caudal si en una reducción de 7,5 cm de diámetro la presión es de 1,40 kglcm2?

So/. Q: 107 llseg

52. Si en el Problema 51 fluye un aceite de densidad relativa 0,752, calcúar el caudal. Sol. 123 llseg

53. Si lo que fluye en el Problema 51 es tetracloruro de carbono (densidad relativa 1,594), determinar Q.

Sol. 85 l/seg

A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 220 l/seg de agua. En el punto I de

la tubería la presión es 2,20 kglcrn2. En el punto B, 4,60 m por encima de A, el diámetro es de 60 cm y lapérdida de carga entre A y 3 es igual a 1,80 m. Determinar la presión en -B en kglcm2. So/' l,6l kglcm2

Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm

y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección ,4, situada en la tuberia

ie 30 cm, donde la presión es de 5,25 kglcmz. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro di-

ferencial de mercurio, ¿cuál es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de l20llseg?

Supóngase que no existen pérdidas. Sol. 17,6 cm

Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite de densidad relativa 0,811 a una velocidad de 24 m/seg. En

los puntos A y B las medidas de la presión y elevación fueron, respectivamente, 3,70 kglcm2 y 2,96 kglcm2 y

30 m y 33 m. Para un flujo permanente, determinar la pérdida de carga entre A y B. Sol. 6'12 m

Un chorro de agua, de 7,5 crn de diámetro, descarga en la atmósfera a una velocidad de 24 mlseg. Calcular la

potencia, en cabiallos de vapor del chorro, utilizando como plano de referencia el horizontal que pasa por el eje

del chorro. Sol. 41,6 CV

Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 300 m de longitud. El

flujo esá tubería llena y deiagua en la atmósfera un caudal de 65 l/seg. ¿Cuál es la presión en la mitad de la lon-

gitud de la tubería al suponer que la única pérdida de carga es de 6,20 m cada 100 m de tubería?

Sol. 0,93 kg/cm2

Un aceite de densidad relativa 0,750 es bombeado desde un depósito por encima de una colina a través de una

tubería de 60 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 1,80 kglcm2. La

93

i l^(*)^46.

47.

48.

49.

50.

51.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

94

ó0.

65.

66.

61.

62.

63.

u.

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [cAP. 6

parte superior de la tubería está 75 m sobre la superficie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado esde 620 l/seg. Si la pérdida de carga desde el depósito hasta la cima es de4,70 m, ¿qué potencia debe suministrarla bomba al líquido? Sol. 645 CV

Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 cm. La bomba desagua a través de unatubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada 3,20m sobre el nivel del agua del pozo. Cuando se bombean35 l/seg, las lecturas de los manómetros colocados a la entrada y a la salida de la bomba son -0,32 kglcm2 y*1,80 kg/cm2, respectivamente. El manómetro de descarga está situado 1,0 m por encima del manómetro desucción. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.Sol. 10,4 CV, 0,80 mCalcular la pérdida de carga en una tubería de 15 cm de diámetro si es necesario mantener una presión de2,35kglcm2 en un punto aguas arriba y situado 1,80 m por debajo de la sección de la tubería por la que desagua enla atmósfera 55 l/seg de agua. Sol. 21j0 mUn depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno de agua, y el espacio superior con aire apresión. Una manguera de 5 cm de diámetro, conectada al depósito, desagua sobre la azotea de un edificio, 15 mpor encima de la superficie libre del agua del depósito. Las pérdidas por fricción son de 5,50 m. ¿eué presión deaire debe mantenerse en el depósito para desaguar sobre la azotea un caudal de 12llseg? Sol. 2)4kglcrrt2Mediante una bomba se bombea agua desde un recipiente A, a una elevación de 225 m, hasta otro depósito E,a una elevación de 240 m, a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la tubería de 30 cm enel punto D, a una elevación de 195 m, es de 5,60 kflcm2. Las pérdidas de carga son: de A ala entrada de labomba,B:0,60 m, de la salida de la bomba C hasta D:38V212s y desde D a E:40V212g. Determinar elcatdal Q y la potencia en cv suministrada por la bomba BC. so/. 166 l/seg, g3 cvUn venturímetro horizontal tiene diámetros de 60 y 45 cm en la entrada y Earganta, respectivamente. La lecturade un manómetro diferencial de agua es de l0 cm cuando está conectado entre la entrada y la garganta y fluyeaire a través del aparato. Considerando constante e igual a 1,28 kg/m3 el peso específico del aire y despreciandola fricción, determinar el caudal en m3/seg. So/. 6,66 m3/seg

Desde un depósito hay que transvasar un caudal de agua de 89 l/seg mediante un sifón. El extremo por el quedesagua el sifón ha de estar 4,20 m por debajo de la superficie libre del agua en el depósito. Los términos de pér-dida de carga son: l,50V2l2g desde el depósito hasta la parte más elevada del sifón y l,00V2l2g desde ésta aldesagüe. La parte superior del sifón está 1,50 m por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetrode la tubería necesaria y la presión en la parte superior del sifón. Sol. 15,3 cm, -0,45 kglcm2

Una tubería horizontal de 60 cm de diámetro transporta 4,y';0llseg de un aceite de densidad relativa 0,825. Las cua-tro bombas instaladas a lo largo de la línea son iguales, es decir, las presiones a la entrada y a la salida son,respectivamente, -0,56 kglcm2 y 24,50kglcm2. Si la pérdida de carga, en las condiciones en que desagua, es de6,00 m cada 1000 m de tubería, ¿con qué separación deben colocarse las bombas? S;t. 50.600 m

Un depósito de grandes dimensiones está lleno de aire a una presión manométrica de 0,40 kg/cm2 y una tempera-tura de 18' C. El aire se descarga en la atmósfera (1,030 kg/cm2) a través de un pequeño orificio abierto en unode los lados del depósito. Despreciando las pérdidas por fricción, calcular la velocidad de salida del aire al su-poner (a) densidad constante del aire, (ó) condiciones de fluio adiabático. Sol. 216 m/seg, 229 mlseg

En el Problema 67, cuando la presión sea de 0,70 kg/crn2 (man), ¿cuáles serán las velocidades en los casos (a) y (b)?Sol. 260 mlseg, 286 m/seg

Desde una tubería de 30 mm, donde la presión manométrica es de 4,20 kglcm2 y la temperatura de 4o C, estáfluyendo anhídrido carbónico en el interior de una tuberia de 15 mm un caudal en peso ¿e O,O+O kg/seg. Despre-ciando el rozamiento y suponiendo el flujo isotérmico, determinar la presión en la tubería de 15 mm.So/. 900 kg/m2 (absoluta)

Un soplador de aire ha de proporcionar 1140 m37min. Dos manómetros de tubo en U miden las presiones desucción y de descarga. La lectura del manómetro de succión es negativa de 5 cm de agua. El manómetro de des-carga, colocado 1,0 m por encima del orificio manométrico de succión, da una lectura de * 7,5 cm de agua. Losconductos de descarga y de succión son del mismo diámetro. ¿Qué potencia debe de tener el motor que muevael soplador si el rendimiento global es del 68 % (* : 1,20 kglm3 para el aire)? so/. 4g,l cvSe está ensayando una tubería de 30 cm para evaluar las pérdidas de carga. Cuando el caudal de agua es de180 l/seg, la presión en el punto A dela tubería es de 2,80 kglcm2. Entre el punto I y el punto.B, aguas abajoy 3,0 m más elevado que l, se conecta un manómetro diferencial. La lectura manométrica es de 1,0 m, siendoel líquido mercurio e indicándo mayor presión e¡ A. ¿Cuál es la pérdida de carga entre A y B?Sol. 12,57 m

67.

68.

69.

70.

7t.

72. Prandtl ha sugerido que la distribución de velocidades, para flujo turbulento en conductos, viene representada


muy aproximadamente por la expresión u : u**(ylr)t/' , donde ro es el radio de la tubería e y la distancia me-

dida a partir de la pared. Determinar la expresión de la velocidad media en función de la velocidad en el eje u-"*.

Sol. V :0,817tt**

73. ¿Cuál es el coeficiente de corrección de la energía cinética para la distribución de velocidades del Problema 72?

Sol. ¿ : 1,06

74. Dos placas planas de grandes dimensiones están separadas 1,0 cm. Demostrar 9ue d : 1,43 si la distribución

de velocidades viene representada por u : u-"*(1 - 620012), donde r se mide desde el plano medio entre las

placas.

A través de un conducto de sección variable está fluyendo aire isoentrópicamente. Para un flujo permanente,

demostrar que la velocidad V, en una sección aguas abajo de la sección I puede escribirse

vz : VJpJp)ttu(AtlAt) para un conducto de forma cualquiera' yV, -- Vt(pJp)'tr(DrlDr)' para conductos circulares

Con referencia a la Fig. 6-16, la presión absoluta en el interior de la tubería en .S no debe ser inferior a 0,24

kglcm2. Despreciando las pérdidas, ¿hasta qué altura sobre la superficie llbre A del agua puede elevarse S?

Sol. 6.73 m

La bomba .B comunica una altura de 42,20 m al agua que fluye hacia E, como se muestra en la Fig. 6-17. Si

la presión en C es de -0,15 kglcm2 y la pérdida de óarga entre D y -E es 8,0V212g), ¿óuál es el caudal?

So/. 275 llseg

= El 60,0 m

El 24,0 m

Fig. 6-16 Fig. 6-U Fis. 6-1E

78. El agua fluye radialmente entre dos bridas situadas en el extremo de una tubería de 15 cm de diámetro, como se

muestra en la Fig. 6-18. Despreciando las pérdidas, si la altura de presión en I es -0,30 m, determinar la altura

de presión en .B y el caudal en l/seg. So/. -0,048 m, 105,5 l/seg

Demostrar que la velocidad media Z en una tubería circular de radio ro es igual a2u^^*l ^** ^ lr"t"

una distribución de velocidades que venga expresada por u : u-",(l - ,¡rJi. L(K+ lxrr+ 2)l'

Encontrar el coeficiente de corrección de la energía cinética d pafa el Problema 79.

c^r (K+ 1)3 (K+2)3out a - +$K+t)(sK+z)

95

75.

76.

77.

79.

t0.

Capitulo 7

Flujo de fluidos en tuberíasINTRODUCCION

Se va a aplicar el principio de la energía a la solución de problemas prácticos de flujos en tuberías,que frecueptemente se presentan en las diversas ramas de la ingeniería. El flujo de un fluido real es muchomás complejo que el de un fluido ideal. Debido a la viscosidad de los fluidos reales, en su movimientoaparecen fuerzas cortantes entre las partículas fluidas y las paredes del contorno y entre las diferentescapas de fluido. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que resolverían de forma generalel problema del flujo (ecuaciones de Euler) no admiten, por lo común, una solución. Como consecuen-cia, los problemas de flujos reales se resuelven aprovechando datos experimentales y utilizando méto-dos semiempíricos.

Existen dos tipos de flujos permanentes en el caso de fluidos reales, que es necesario considerary entender. Estós se llaman flujo laminar y flujo turbulento. Ambos tipos de flujos vienen gobernadospor leyes distintas.

FLUJO LAMINAREn el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas, formando el con-

junto de ellas capas o láminas. Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismovalor. El flujo laminar está gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante con la velocidad dedeformación angular, es decir, la tensión cortante es igual al producto de la viscosidad del fluido por elgradiente de las velocidades o bien x: ¡tduldy (véase Capítulo 1). La viscosidad del fluido es la mag-nitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia.

VELOCIDAD CRITICA

La velocidad crítica de interés práctico para el ingeniero es aquella velocidad por debajo de la cualtoda turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido. La experiencia demuestraque un límite superior para el régimen laminar, en tuberías, viene fijado por un valor del número deReynolds alrededor de 2000, en la mayoría de los casos prácticos.

NUMERO DE REYNOLDS

El número de Reynolds, que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las fuerzasde inercia por las fuerzas debidas a la viscosidad (véase Capítulo 5 sobre semejanza dinámica).

Para tuberías circulares, en flujo a tubería llena,

Número de Reynolds Ra : VdP ^ Vd V(2r")u-=vv (1a)

(1b)

donde Z : velocidad media en m/segd : rudio de la tubería en m, ro : radio de la tubería en mv : viscosidad cinemática del fluido en m2lsegp : densidad del fluido en UTM/m. o kg seg2 f rnn

I : viscosidad absoluta en kg seg/m2

En el caso de conductos de sección recta no circular se utiliza como longitud característica en elnúmero de Reynolds el radio hidráulico R, igual al cociente del área de la sección recta por el períme-tro mojado, expresando el cociente en m. El número de Reynolds es ahora

Re = v(4R)

FLUJO TURBULENTO

En el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven de forma desordenada en-todas las direccio-nes. Es imposible conocer la trayectoria de una partícula individualmente.

96

cAP. 7l FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 97

La tensión cortante en el flujo turbulento puede expresarse así

r : (r,+r\*\, '/ A1l

donde 4 @ta): un factor que depende de la densidad del fluido y de las características del movimiento.El primer término entre paréntesis (¡r) representa los efectos debidos a la viscosidad y el segundo (4)

tiene en cuenta los efectos debidos a la turbulencra.Mediante los resultados obtenidos experimentalmente puede obtenerse la solución de las tensio-

nes cortantes en el caso de fluios turbulentos. Prandtl ha suserido la forma

r : ,r(f), (2b)

para expresar las tensiones cortantes en flujos turbulentos. Esta fórmula tiene el inconveniente de quela longitud de mezcla / es función de y. Cuanto mayor es y, distancia a la pared de la tubería, mayor es

el valor de /. Posteriormente, Von Karman ha sugerido la fórmula

r : "Q-L): 'u'#ffi (Qr\

Aunque k no es una constante, este número adimensional se mantiene aproximadamente igual a 0,40.

La integración de esta expresión conduce a fórmulas del tipo de la (7b), que se da más adelante.

TENSION CORTANTE EN LA PARED DE UNA TUBERIA

La tensión cortante en la pared de una tubería, como se desarrollará en el Problema 5, es

. r,, : f pV2/8 enkglm2 (3)

donde / es el coeficiente de fricción, adimensional, que se describe más adelante.Se demostrará en el Problema 4 que la tensión cortante varía linealmente a lo largo de la sección

recta y que r--ry, o r: r*1,El término .r/;J p se llama velocidad de corte o de fricción y se representa por el símbolo u*.

A partir de la expresión (3 ) se obtiene

u : \/Tfp

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES

La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de variación parabólica en elflujo laminar. La velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería y es igual al doble de la velocidadmedia. La ecuación que da el perfil de velocidades en el flujo laminar (véase Problema 6) puede expre-sarse como slsue

'l) : rr - gnr;) r'

En los flujos turbulentos resulta una distribución de velocidades más uniforme. A partir de los datosexperimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan a continuación las ecuaciones de los per-

files de velocidades en función de la velocidad en el eje de la tubería üc o en función de la velocidad de

corte u-. (a) Una fórmula experimental es

L) : a"(ylro)"

donde n = +, para tuberías lisas, hasta Ru : 100.000n : *, para tuberías lisas y R, de 100.000 a 400.000

(2a)

(.4)

(5)

(6)

(7a)

98 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS [cAP. 7

(b) Para tuberías /¡sas,

, - 7t (5,5 + 5,75logyu ./,) (7b)

Para el término yu.fv, véase la parte (e) del Problema 8

(c) Para tuberías /rsas (y 5000 < RE < 3.000.000) y para tuberías rugosas enlazona de exclusivainfluencia de la rugosidad,

(u,-u) = -2,ó\/uJt,lnA/r" = -2.|u.lny¡r" (7")

En función de la velocidad media V,Yennard ha sugerido que Vfu" puede escribirse en la formaf7v

(d) Para tuberías rugosas,

uc 7+4,07\fflí

z" = ¿',,(8,5 +5,75losu/,)

Pérdida de carga : 32'LVgdt

(8)

(ea)

donde e es la rugosidad absoluta de la pared de la tubería.

(e) Para contornos rugosos o lisos,

a-Viñ = 2logy/r',, + 1,32 (eb)

También a"lV = 1,48rt+L @c)

PERDIDA DE CARGA EN FLUJO LAMINAREn el flujo laminar la pérdida de carga viene dada por la fórmula de Hagen-Poiseuille, que se de-

ducirá en el Problema 6. Su expresión es

Pérdida de carga (m) :

32 p.LVu-s d2

En función de la viscosidad cinemática, como Ulw : vfg, se obtiene

(10a)

(1ob)

FORMULA DE DARCY-WEISBACH

La fórmula de Darcy-Weisbach, desarrollada en el Problema 5 del Capítulo 5, es la fórmula bá-sica para el cálculo de las pérdidas de carga en las tuberías y conductos. La ecuación es la siguiente:

Pérdida de carga (m) : coeficiente de fricción f ,. l**#*{H x altura de velocidad fi ml

. LV2= r arn GI)

Como ya se señaló en el Capítulo 6, la altura de velocidad exacta, en una sección recta, se obtienedividiendo el cuadrado de la velocidad media (QlA)'por 29 y multiplicando el resultado por un coe-ficiente a. En régimen turbulento en tuberías y conductos a puede considerarse igual a la unidad sinapreciable error en el resultado.

CAP. 7] FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

COEFICIENTE DE FRICCION

El factor o coeficiente de fricción/puede deducirse matemáticamente en el caso de régimen lami-

nar, mas en el caso de flujo turbulento no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para obtener

la variación de / con el número de Reynolds. Todavía más, Nikuradse y otros investigadores han en-

contrado que sobre el valor de/también influye la rugosidad relativa de la tubería (igual a la relación

de la altura de las imperfecciones superficiales e al diámetro interior de la tubería).

(a) Para flujo laminar la ecuación (I\b), dada anteriormente, puede ordenarse como sigue:

99

por tanto, para régimen laminar en todas las tuberías y para cualquier fluido, eI valot de/vrenedado por

f : 64/Rr (12b)

Ro tiene un valor práctico máximo de 2000 para que el flujo sea laminar.

(b) Para flujo turbulento, muchos ingenieros hidráulicos e investigadores se han esforzado en

el cálóulo del tanto a partir de sus propios resultados como de los resultados obtenidos por

otros investigadores.(1) Para flujo turbulento en tuberías rugosas o lisas las leyes de resistencia universales

pueden deducirse a partir de

f : 8,"/pV2 : 8V,'llV'z QS)

(2) Para tuberías lisas, Blasius ha sugerido, con el número de Reynolds comprendidoentre 3000 y 100.000,

f : 0,316/R8'2r (1 4)

Para valores de Ro hasta 3.000.000, aproximadamente, la ecuación de Von Karman,modificada por Prandtl, es

Pérdida de carga : t^ h"d# : #Lr#

1 : _2los[' *2'51=]{i - ll,ld RE\/f -)

(12a)

Urt -- 2tog(Rxli) - 0,8

(3) Para tuberías rugosas,

I 1 F\\r¿ )

(16)'ll\/T = 2log r.l, + 1,?J

(4) Para todas las tuberías, el Hydraulic Institute de los Estados Unidos de Norteamértcay la mayoría de los ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más acep-

table para,calcular f. La ecuación es

\tt )

Aunque la ecuación (/Z) es de resolución muy engorrosa, se dispone de diagramas que dan las re-

laciones existentes entre el coeficiente de fricción/ el número de Reynolds R" y la rugosidad relativa ef d.

De estos diagramas se incluyen dos en el Apéndice. El Diagrama A-1 (Diagrama de Moody, publicado

por cortesía de la American Society of Mechanical Engineers) se utiliza normalmente cuando se co-

noce Q,y el Diagrama A-2 se utiliza cuando se desea calcular el caudal. La última forma fue sugerida

primeramente por S. P. Johnson y por Hunter Rouse.

Se observa que para tuberías lisai, en las que el valor de eld es muy pequeño, puede despreciarse

el primer términó enire corchetes de (17); en este caso las (17)y (15) son análogas. Del mismo modo,

paia números de Reynolds Ru muy elevados, el segundo término entre corchetes de la (17) es despre-

"iubl"; en tales

""ro, lu üscosidad no influye prácticamente y/depende tan solo de la rugosidad rela-

tiva de la tubería. Este hecho se pone de manifiesto en el Diagrama A-1 ya que las curvas se vuelven ho-

rizontales para números de Reynolds elevados.

100 FLUJO DE FLUTDOS EN TUBERTAS tcAp. 7

Antes de utilizar los diagramas, el ingeniero ha de poder estimar la rugosidad relativa de la tube-ria a partir de su propia experiencia ylo de la de los demás. Los valores sugeridos para el tamaño de lasimperfecciones superficiales €, en el caso de tuberías nuevas, se incluyen los Diagramas A-1 y A-2.

OTRAS PERDIDAS DE CARGA

Otras pérdidas de carga, tales como las que tienen lugar en los accesorios de tuberías, se dan ge-neralmente en la forma

Pérdida de carga (m) : K(V'zl2g) (18)

En las Tablas 4 y 5 del Apéndice se da una serie de valores de las pérdidas de carga en los acceso-rios más comúnmente utilizados.

Problemas resueltos

1. Determinar la velocidad crítica para (a) un fuel-oil medio que fluye a 15" C a través de una tuberíade 15 cm de diámetro y (b)el agua a 15" C que circula por una tubería de 15 cm.

Solución:

(o) Para que el flujo sea laminar, el máximo número de Reynolds es 2000. De la Tabla 2 del Apéndice, la vis-cosidad cinemática a 15' C es 4,42 x 10-6 m2/seg.

2000: Rn: Vcdlv: Vcl0.l5)19.42 x 10-6¡ Zc:0,059 m/seg

(b) De la Tabla 2, v:1,13 x 10-6 m2/seg, para el agua a 15'C.

2000 : vc9,l5)10.r3 x 10-6) zc : 0,015 m/ses

2. Determinar el tipo de flujo que tiene lugar en una tubería de 30 cm cuando (a) fluye agua a 15" Ca una velocidad de 1,00 m/seg y (á) fluye un fuel-oil pesado a 15' C y a la misma velocidad.

Solución:

(a) R¿: vdlv: 1.00(0,3)/(1.13 x 10-6¡ : 265.000 > 2000. El flujo es turbulento.

(b) De la Tabla 2 del Apéndic€, v : 2,06 x l}-a m2lseg.Rn: Vdlv : 1,00(0,3y(2,06 x 10-a) : 1450 < 2000. El flujo es laminar.

3. Para un flujo en régimen laminar, ¿qué diámetro de tubería será necesario para transportar 350 l/minde un fuel-oil medio a 4,5" C? (v:7,00 x 10-ó m2/seg).

Solución:

Q:0,350160: 5,83 x 10-3 m3/seg. V: QIA:4Qlnd2 :23,33 x l0-3lnd2 mlseg.

Vd 23.33 x l0-r dRE:-_-.'2000:T(^o"'¡-|,d--0.530m.Seutilizarálatuberíanormalizadadediá-metro rnmechato superlor.

4, Determinar la distribución de las tensiones cortantes a lo largo de una sección recta de una tube-ría circular, horizontal y el flujo en régimen permanente.

Solución:

(a) Para el cuerpo libre de la Fig. 7 -l(a), como el flujo es permanente, cada una de las partículas se mueve haciala derecha sin aceleración. Por tanto, Ia suma de todas las fuerzas en la dirección x debe ser nula.

p(rrz) - pz(;r2) - r(ZrrL) = Q o - (pt-p')r,=T (A)

cAP. 7l FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

Pérdida de carga lr¿

dA

dr

Fig.7-1

Cuando r : 0, la tensión cortante r se anula; cuando ,: ,o,la tensión sobre la pared coincide con el

máximo de la tensión. La variación es lineal, tal como se ha representado en la Fig. 7-1(á). La ecuación (l)es válida tanto para flujo laminar como turbulento ya que en la deducción de la misma no se ha impuesto

limitación alguna respecto al tipo de flujo.Como (p1 - pz\lw representa la caída de la línea de alturas totales, o pérdida de carga ftr, multiplican-

do la ecuación (l) por wfw, se obtiene

Wf /pr - p2

2L\ u)

whr2L,

en la pared de una tubería.Desarrollar una expresión que dé la tensión cortanteSolución:

101

(d)(c)(b)(@)

(B)

5.

Del Problema 4, ht =2r,L 4r.L1.Dro u.¡d ' La fórmula de Darcy-Weisbach es

. "LV2"" - r d.2g'

Igualando estas expresiones, # = f 1# y ,o = f tT = fpV,tse¡k7lm2.

6. Para un flujo laminar y permanente (a) ¿cuál es la relación entre la velocidad en un punto de la sec-

ción recta y la velocidad en el eje de la tubería? y (ó) ¿cuál es la ecuación de la distribución de

las velocidades?Solución:(a) En el caso de flujo laminar la tensión cortante (véase Cap. 1)es r : -tt(duldr). Igualando éste con el valor

dado para r por la ecuación (l) del Problema 4, se obtiene

d.u _ (pt-p,)r-tt dr 2L

Como (p, - pz)lL no es función de r,

fo ¡'

- l- O, = t'*? ( , a, y -(u - u., - (P': ?)t-Ju. 2pL Jo ' "' 4PLo"

u : ,"-(F'.p-')r"4pL

Pero la pérdida de carga en Z m de tubería es h, : (pt - p)lw; por tanto,

whu124pL

(b) Como la velocidad en el contorno es cero, cuando ,: ,o, u : 0 en (,4), y se tiene

= (pt - p,\rZ

len el eje) (c)4uL

Por tanto, en general, ü = W(rZ- r') @)

(A)

(B) y (6)


7. Desarrollar una expresión para la pérdida de carga en una tubería para el caso de flujo laminarpermanente y fluido incompresible. Referirse a la Fig. 7-l(d) del Problema 4.

Solución:

v. = 3de la cual

Por tanto, para un flujo laminar la velocidad media es la mitad de la velocidad máxima a", dada por la ecua-ción (C) del Problema 6. Volüendo a ordenar (,4). se obtiene

!]-p = pérdida de carga - SpLY* = s2pL=I!:r-'tt) - wrl wdz

(B)

Estas expresiones son aplicables al caso de flujo laminar de cualquier fluido y para todas las tuberías y conductos.Como ya se estableció al principio de este capítulo, la expresión de la pérdida de carga para flujo laminar en

Ia forma de Darcy es

pérdida de carga = V*"rU f 'A#

8. Determinar (a)la tensión cortante en la pared de una tubería de 30 cm de diámetro si el líquido quefluye es agua y la pérdida de carga medida en 100 m de tubería es de 5,0 m, (á) la tensión cor-tante a 5 cm del eje de la tubería, (c) la velocidad de corte, (d) la velocidad media para un valor def igual a 0,050, (e) la relación vfu..

Solución:

(a) utirizando ^ :"":"::"::):":ffi,','ñ:,1ffi:' ;r:'-:;:::,:,;":'T:.'lJ:j,"*'

*'"

(b) Como ¡ varía linealmente desde el eje a la pared, r: f5Q,lS x l0-4) :1,25.x l0-a kglcm2.

(c) Por la ecuación (5). ,,: ,F¡: Jrl\lt\r: 0,19t m/ses.

(dl Mediante h, : 'L v' loo v2I ¡ U,

se tiene 5 : 0,050 0,n k, de donde V : 2,93 mlseg.

De otra forma: De la ecuación (3), r" : .fpVtl8, 3,75 : 0,050(l0Dy2l\, de donde V : 2,93 mlseg.

(e) De ro: p@ly)y v: plp se obtiene t": pv(uly)o fp:y1¿1r¡.Como t,f p: u3, se tiene u3 : v(u|il, olu? : ylt, y ulu.: u,yltt.

9. Si en el problema precedente el agua circula a través de un conducto rectangular de 90 cm por 120 cmde la misma longitud y con la misma pérdida de carga, ¿cuál es la tensión cortante entre el agua yla pared del conducto?

Solución:

En el caso de conductos no circulares se utiliza como dimensión lineal conveniente el radio hidráulico. Parauna tubéría circular,

Radio hidráulico R: área de la sección recta -

nd2l4 -d _ 'o

-perimet.o

mojado :

"d : 4: t

Sustituyendo r : 2R en la ecuación (B) del Problema 4,

(A)

,:Yh'R - 1000(5). (0'9 x l'21

L 100 ,i09iÉ): 12'85 kslm' :1'285 x r0-3 kslcm2


10. Un aceite lubricante medio, de densidad relativa 0,860, es bombeado a través de una tubería hori-

zontal de 5,0 cm de diámetro y 300 m de longitud. El caudal bombeado es de 1,20 l/seg. Si la caída

de presión es de 2,10 kglcm2, ¿cuál es la viscosidad absoluta del aceite?

Solución:Suponiendo el flujo laminar y utilizando la expresión (A) del Problema 7, se obtiene

(^ ^r-32¡tLV* O l)v 1o-3',!t - p) donde V^" : i: ffi

: o,6l m/seg

Por tanto, 2,1 x 10a : 32¡r(300X0,6r)l(0,05)'z y p:0,00896 kg seg/m'

para comprobar la hipótesis hecha al principio de flujo laminar es necesario calcular el valor del número de

Reynolds para las condiciones en que se desarrolla el flujo. Así

Vd Vdu) 0,ó1 x 0,05 x 0,860 " 1000 : 300Ru:i: tc: 0.00896t9J

Como el número de Reynolds es menor de 2000, el flujo es lamina¡ y el valor hallado de ¡ es correcto.

ll. Un caudal de 44 l/seg de un aceite de viscosidad absoluta 0,0103 kg seg/m2 y densidad relativa

0,850 está circulando po. u.ru tubería de 30 cm de diámetro y 3000 m de longitud. ¿Cuál es la pér-

dida de carga en la tubería?

103

Solución:O 44 x l0-3

V : 1: ;-_ : 0.61 m./seg yA ilt (u.J r

que el flujo es laminar. De aquí

f : X: 0,040e y pérdida de carga : t+ #: 0.040e ' # ^ ry: 8,02 m

lZ. Del punto A al B está fluyendo un fuel-oil pesado a través de una tubería de acero horizontal de

900 m de longitud y 15 cm de diámetro. La presión en .4 es de 11,0 kglcmz y en B de 0,35 kglcmz '

La viscosidad cinemáticg es 4,13 x 10-a m2/seg y la densidad relativa 0,918. ¿Cuál es el caudal

en l/seg?

Solución:

La ecuación de Bernoulli entre A y -8, plano de referencia el horizontal que pasa por l, es

'#j-iffi * * *',,,'#)¿n",:,ff+*" + ft + ot

VdwD -_-¡\E - pg 0,0103 x 9,8

0,ó2x0,3x0,850x1000 : 1565, lo que significa

o bien

Tanto V como / son incógnitas que dependen una de otra. Si el flujo es laminar, por la ecuación (B) del

Problema 7.

\P, - Pzld2v :-:zY 32pL

(11,0 - 0,35X104) x (0,15)'z-- 2,16 mlseg

32(4,13 x 10-a x 0,918 x 1000/9,8X900)

y R¿ : 2,11p,15¡¡¡4,t3 x 10 o) : ZgS, por lo que el flujo es laminar. Por tanto, Q : ArrV1, : tn(Q,lJ)2 7

2,16: 3,8 x 10-2 m3/seg : 38 l/seg.

Si el flujo hubiera sido turbulento no podría aplicarse la ecuación (,8) del Problema 7. En el Problema 15

se utilizará otro método. Todavía más, si entre los puntos I y -B existiera una diferencia de cota topográfica o

elevación habria que sustituir el término (pr, - p) de la ecuación (.8) por la caida en la línea de alturas piezo-

métricas. medida en kg/m2.

13. ¿Qué diámetro de tubería será necesario utilizar para transpofiat 22,0 l/seg de un fuel-oil pesado

á iS. C si la pérdida de carga de que se dispone en 1000 m de longitud de tubería horizontal es

de 22,0 m?

Solución:para el fuel-oil, v : 2,05 x 10-a m2/seg y la densidad relativa : 0,912. Como el valor de la viscosidad

cinemática es muy elevado, se supondrá que el flujo es laminar. Entonces,


Pérdida de carga - v'" x 32PL

ud'.. ,, o 22 z t0 3 0.028J a' A [nd2 d2

Sustituyendo, 22,0 : (0,028 I d'? )Q2\(2,05 x 1 0-a x 0,912 x 1000/9,8 X1 000)' d:0,1'7 m

10.912 z 1000)d'¿

la hipótesis de flujo laminar utilizando d : 0,17 m.

(0.0281d?)d 0.028

v 0,17 x 2.05 x ,-+ : 804. luego el flujo es laminar.

Se utilizará tubería normalizada de 8 pulgadas o de 20 cm.

Determinar la pérdida de carga en un tramo de tubería nueva de fundición sin recubrimiento,de 30 cm de diámetro interior y 1000 m de longitud, cuando (a) fluye aguaa 15" C y a una velo-cidad de 1,50 m/seg, y (á) cuando circula un fuel-oil medio a l5' C y a la misma velocidad.Solución:

(a) Para utilizar el Diagrama A-l es necesario conocer la rugosidad relativa y calcular el valor del número deReynolds. A partir de la tabla dada en el Diagrama A-1 se ve que los valores de las rugosidades, para tu-berías de fundición sin recubrimiento, van de 0,012 cm a 0,060 cm. Para un diámet¡o interior de 30 cm ytomando como valor del diseño e : 0,024 cm, la rugosidad relativa será eld : 0,024130 : 0,0008.

Tomando el valor de la viscosidad cinemática de la Tabla 2 del Apéndice,

RB:'Vdlv: t.50(0,3)/(1,13 x 10-6) : 3,98 x 10s (flujo turbulento)

En el Diagrama A-1, para e/d: 0,0008 y Re :3,98 x l0s, f :0,0194 y

Pérdida de carga : 0,0194(1000/0,3)(2,2512s) : 7,40 m

O, mediante la Tabla 3 del Apéndice (aplicable al agua solamente), ./: 0,0200 y

Pérdida de carga : f(Lld)(vrl2g) : 0,0200(100010,3)(2,2512d : 7,65 m

(b\ Para el fuel-oil, mediante la Tabla 2, RE: 1,5(0,3)l@,42 x l0 6) : t,02 x l0s. para flujo turbulento,del Diagrama A-1, f :0,0215 y pérdida de carga : 0,0215(1000/0,3)(2,25129): 8,20 m.

En general, el valor de la rugosidad de las tuberías en serticio no puede est'imarse con gran precisióny, por tanto, en estos casos no es necesario un valor de/muy preciso. Por las razones dichas, cuando seutilicen los Diagramas A-1 y A-2y la Tabla 3 para superficies que no sean nuevas, se sugrere que la terceracifra significativa del valor de/se lea o interpole solo tomando los valores cero o cinco, ya que no puedegarantizarse una precisión mayor en la mayoría de los casos prácticos.

Para flujo laminar, y cualquier tuberia o fluido, debe utilizarse -f :641R¿.

Los puntos A y B están unidos por una tubería nueva de acero de 15 cm de diámetro interior yl200mdelongitud.ElpuntoBestásituadol5,0mporencimadelAylaspresionesenAyBson,respectivamente,8,60 kglcm2 y 3,40kglcm2. ¿Qué caudal de un fuel-oil medio a2l" C circularáentre A y B? (Del Diagrama A-1, e : 0,006 cm.)

Solución:

El valor del número de Reynolds no puede calcularse directamente. Al establecer la ecuación de Bernoullientre A y B, tomando como plano de refe¡encia el horizontal que pasa por A,

Se comprueba ahora

t/)

RE::: -v

14.

15.

8,ó x lOa V?, 1200 V?. 3.4 , t}a Vl.f_r -r{)l_l(_ l____j_::( _ __,.rl<nl0.854 x 1000 2s ''0.15' 29 '0.854 ' 1000 2s

Además, Rc: Vdlv. Sustituyendo V por el valor anterior,

t/2/ t5J^

45,8

8000/

o It¡1/ [ : 4v

Como el término 45,8 es h" o descenso de la línea de alturas piezométricas, y 8000 representa Lld, laexpre-sión general que ha de utilizarse cuando se quiere determinar Q es

qv

¿Itr =

v (A)

2g(d)(hr)L

p..,fi (véase también Diagrama A-2) (B\

cAP. 7l

Por tanto,

FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS 105

r o,l5 \ ¡9,6 " 4s,8p- / f :"Ev"/ - 3.g3 x 10-óV SOOO

La observación del Diagrama A-2 indica que el flujo es turbulento. Entonces, del Diagrama A-2, -f : 0,020 para

eld : 0,006115: 0,0004. Se completa la solución mediante la ecuación de Bernoulli anterior

Ú:: -:I--:0,286, v,s:2,37 mlses v. 29 8000(0.020)

Q : ArrVt, : in(0,15)2 x 2,37 :0,042 m3/seg de fuel-oil

El lector puede comprobar el resultado calculando el valor del número de Reynolds y determinando el va-

lor de f a partir del Diagrama A-1.Cuando el flujo es laminar, se seguirá el método desarrollado en el Problema 12.

16. ¿Qué caudal de agua (a 15" C) circularía en las condiciones del Problema 15? Utllizar la Tabla 3.

Solución:

La ecuación de Bernoulli conduce a (86 - 4g):8000f+' + : J*' 2g 2s 8000/

La solución más directa es suponer, en este caso, un valor del De la Tabla 3, para tubería nueva de 15 cm,

f varía entre 0,0275 y 0,0175. Se ensaya el valor f: 0,0225. Entonces'

v?rl2s : 37l(8000 x 0,0225): 0,20ó m y vts : 2,01 m/seg

Se comprueba ahora tanto el tipo de flujo como el valor de / en la Tabla 3:

X¡:2,01(0,15)lí,13 x 10-6) :266.000, luego el flujo es turbulento

Ahora, por interpolación en la Tabla 3, f : 0,0210' Al repetir los cálculos

V?'l2s -- 37i(8000 x 0,0210) : 0,22r m ! Vts : 2,08 m/seg

De la Tabla 3, y con una precisión razonable, f : 0,0210 (comprobación)' De aquí

Q : AtrVr, : in(0,15)2 x 2,08 : 37 x l0-3 m3/seg de agua

Este procedimiento puede utilizarse también con el Diagrama A-1, pero se prefiere el método utilizado en

el Problema 15.

17. ¿Qué caudal de aire a20" C puede transportarse mediante una tubería de acero nueva y horizon-

tal de 5 cm de diámetro interior a una presión absoluta de 3 atmósferas y con una pérdida de pre-

sión de 3,50 x 10-2 kg/cm2 en 100 m de tuberia? Utllizat e : 0,0075 cm.

Solución:

Del Apéndice! para una temperatura de 20' C, w : 1,20 kgl^' y v : 1,49 x 10-s m2/seg a la presión at-

mosféricanormal.A3atmósferas,w:3x1,20:3,60kg/m3yv:+xl,49xlO-s:4,97x10-6m2/seg.Esta viscosidad cinemática podría haberse obtenido también de la siguiente forma

w 1,20 x 1,49 x l0-s ks ses|l:-v_-_:l,82x10_6-+a20"Cy1,033kglcm2depresiónabsoluta'C9,8m'Además, a 3 x 1,033 kglcm2 de presión absoluta, w^¡,.: 3,60 kg/-t y

v a 3 at: tti:1,82 x 10-6 t ,nI

: 4,97 x 10-6 m2lseg

Para determinar el caudal puede considerarse el aire como incompresible. Por tanto,

pt - pz: pérdida de carga : f: f,

0'035 r lOa - n- ^ -t'o v2 v2 0'0487

Lú d2s 3,óo t's:JWE Y E: f

106 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

Del manómetro diferencial (véase Capítulo 7), p": pa o

pclw -r 1,93 : polw + 13,57(1,93), y (prl* - pnlw) : 24,3 m

Igualando (1) v Q), 24,3 : f(750)(5,66)212g de la cual /: 0,0193.

[cAP. 7

EI 54m

Del Diagrama A-2, J : 0,025 para ef d: 0,0075/5 : 0,0015. De aquí,

V2l2g:0,04871f : 1,948 m, Vs:6,18 mlseg, y Q: AsVs: ln(0,05)2 x 6,18 : 12,15 x 10-3 m3lseg

18. ¿Qué diámetro debe de tener una tubería nueva de fundición de 2400 m de longitud para trans-portar 1,0 m3/seg de agua con una caída en la línea de alturas piezométricas de 64 m? Utilizar enlos cálculos la Tabla 3.

sofución: Er teorema de Bernourri

J,^* *':::';.':^a t #A

^.'+

+ fi + ""¡

l\* '^, tut -"t) ' d 29

El miembro de la izquierda, entre corchetes, representa la caída de la línea de alturas piezométricas. Susti-tuyendo V : QIA y suponiendo el flujo turbulento

.2400 lL,\llnd'z)'z64 : f d que simplificada da d5 : 3,10f

Suponiendo/: 0,020 (como tanto d como Zson desconocidos, es necesaria una hipótesis). De aquí,

d5 : f\]}): 0,020(3,10) : 0,062, d : 0,573 m

De la Tabla 3, para V: -#--r-:3,87 m/seg, /:0,0165.' lt (0,573)'14

Para este valor de la velocidad del agua el flujo es turbulento en la mayoría de las tuberías. Repitiendo loscálculos,

ds : 0,0165(3,10) : 0,0511, d :0,552 m

Se comprueba el valor de f, V : 4,17 mlseg y la Tabla 3 da f : 0,0165 (correcto).Se seleccionará el diámetro normal inmediato superior:60 cm o 24 pulgadas, parala tubería. (Es necesario

comprobar el valor de R", utilizando el valor de v para el agua a 21" C.)

19. Los puntos C y D, con la misma elevación, están unidos por una tubería de 150 m de longitud y20 cm de diámetro y conectados a un manómetro diferencial mediante dos tubos de pequeño diá-metro. Cuando el caudal de agua que circula es de 178 l/seg, la lectura en el manómetro de mer-curio es de 193 cm. Determinar el factor o coeficiente de fricción ÍSolución:

,+.++o)-,#+:r?*?*0, o (4-P-Pt:f(1sot+ (1)t0 u) ¿g

(2)

20. Un fuel-oil medio a 15" C se bombea aldepósito C (véase Fig. 7-2) a través de1800 m de una tubería nueva de aceroroblonado de 40 cm de diámetro interior.La presión en l-es de 0,14 kg/cm2, cuan-do el caudal es de I97 llseg. (a) ¿Qué po-tencia debe suministrar la bomba a la co-rriente de fuel-oil? y (ó) ¿qué presióndebe mantenerse en B? Dibujar la líneade alturas piezométricas.

Solución:

V^":1 0.197 : 1.565 mlsepn(0,4],'z14

1,565 x 0,4

5,16

Fig.7-2

x 106 : 121.000RE

FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

Del Diagrama A-1, para eld:0,18140: 0,0045, /: 0,030.

La ecuación de Bernoulli erftre A y C, con plano de referencia el horizontal que pasa por A, da

,0.t4x lOa +(1.565)2+0) +H-_ 1800 fi.565), (1.5j5r:(0+ 0+24)

0,8ól x looo 29 o'03(o^) ,r -'r1-

0,861 x 1000 x 0.197 x 39.3

107cAP. 7l

\a)

: 88 CV.

El último término del primer miembro de la ecuación de la energía representa la pérdida de carga en

]a sección de desagüe de la tubería en el depósito (véase Tabla 4 del Apéndice). En la práctica, cuando la

relación de longitud a diámetro (Lld) es superior a 2000 se desprecian las alturas de velocidad y las pérdi-

das menores en la ecuación de la energía (en el caso presente se eliminan entre sí). La precisión de los re-

sultados obtenidos al tener en cuenta las pérdidas menores es ficticia ya que / no se conoce con ese grado

de precisión.

(b) La altura de presión en B puede determinarse estableciendo la ecuación de la energía entre A y -B o entre

B y C. En el primer caso los cálculos son más reducidos; así

(1.62 +4ro * ot+ 3e.3 : P * ? * ot

Por tanto, palw:40,92 m y pB: whll\a : (0,861 x 1000X40,92)/104 :3,52 kglcm2'

La línea de alturas piezométricas aparece dibujada en la Figva 7-2.

En ,4, (30,0 + r,62) m : 31,62 mEn ,8, (30,0 + 40,92\ m : '70,92 m (o 31,62 + 39,3)

En C. elevación : 54 m

21. En el punto,4 de una tubería horizontal de 30 cm (f : 0,020) la altura de presión es de 60 m' A una

distaniia de 60 m de A,latubería de 30 cm sufre una contracción brusca hasta un diámetro de 15 cm

de la nueva tubería. A una distancia de esta contracción brusca de 30 m la tubería de 15 cm

(/ : 0,015) sufre un ensanchamiento brusco, conectándose con una tubería de 30 cm' El punto -F

está 30 m aguas abajo de este cambio de sección. Para una velocidad de2,4l m/seg en las tuberías

de 30 cm, dibujar la línea de alturas piezométricas. Referirse a la Figura 7-3.

Solución:

Las alturas de velocidad son Vlol2g: (2,41)2129:0,30 m y Vltl2s:4'80 m.

La línea de alturas totales cae en la dirección del flujo en cantidades iguales a las pérdidas de carga. La línea

de alturas piezométricas está por debajo de la de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad

correspondiente a cada sección. Obsérvese en la Fig. 7-3 que la línea de alturas piezométricas puede elevarse

cuando tiene luear un ensanchamiento brusco.

iilA 60ñ-30cmo B f,30m-lscmDpB 30m-30cmD tr'

wOH-De donde, Hr: 39,3 m y potencia (CV) : É -- '75

39,6 m

39.3 m

Fig.7-B

r08 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS [cAP. 7

* [K. se ha obtenido de la Tabla 5; el término correspondiente al ensanchamiento brusco (de D a E) se ha to-mado de la Tabla 4.]

22. Está fluyendo un aceite desde el depósito ,4a través de una tubería nueva de fundiciónasfaltada de 15 cm y 150 m de longitud hastael punto B, a una elevación de 30,0 m, comose muestra en la Fig. 7-4. ¿Qué presión,en kgf cm2, tendrá que actuar sobre I paraque circulen 13,0 l/seg de aceite? (Dr : 0,840y y : 2,10 x 10-6 m2/seg.) Utilizar € :0,012 cm.

Solución:

O 13.0 x l0-3vrt: l

El. 30.0 m

Fig.7-4

0,735 x 0,15

) 1ll

:(o+g{*ut(4 + o+ o) - o,soq!#- o,or5#

2s dp 2dVv"*- v 1-

Vd

Del Diagrama A-1, f : 0,0235 y aplicando la ecuación de Bernoulli ettre A y .8, con plano de referenciael horizontal que pasa por A, se obtiene

(0,n5)2)o

Despejando, ptlw:6,7 m de aceite y p¡: whll\a : (0.840 x 1000X6,7)/104 :0,56 kglcm2.

23. La presión en el punto ,4 de una tubería nuev€ horizontal de fundición, de 10 cm de diámetro in-terior, es de 3,50 kglcm2 (ab), cuando el caudal que circula es de 0,34 kg/seg de aire en condicio-nes isotérmicas. Calcular la presión que reina en el interior de la tubería en la sección -8, situada540 m aguas abajo de la sección .4. (Viscosidad absoluta : 1,90 x 10-6 kg seg/m2 y t : 32 C.)Utilizare:0,009cm.Solución:

La densidad del aire varía a lo largo del flujo al ir variando la presión.En el Capítulo 6 se aplicó el teorema de Bernoulli a fluidos compresibles cuando las condiciones no impli-

caban pérdidas de carga (flujo ideal). La ecuación de la energía, teniendo en cuenta la pérdida de carga, parauna longitud de tubería dL y cuando zt: zz será

v dv .dL v2s 'd2s

V2Dividiendo por

E

dp'11)

l¿r=od

Para un flujo permanente, el número de kg/seg que están fluyendo es constante; por tanto, W : wQ : wAVy puede sustituirse V por WlwA en el término que da la altura de presión, obteniéndose

Tabulando los resultados con una aoroximación de 0.1 m.

Pérdidas de carga en m Alturastotales,

m

v-^m

Alturaspiezométricas,

mDesde CálculosEn

A

B

C

D

E

F

(Elev. 0,01

AaBBaCCaD

DaE

EaF

0.020x60/0,3x0,3:1,2

K.*x4,8:0,37x4.8:1,80,015 x 30/0,15 x 4,8 : 14,4

tv,. - v,^f t9.6 - 2,4)'¿ . a

29 19.6

0,020x30/0,3x0,3:0,6

60,3

5q1

57 1

42,9

40,2

19,6

0,3

01

4,8

4,8

01

0.3

60,0

58,8

52s

38, I

39,9

lq?

2ow2A2 zdv t ,-w-a-dp- v lidL = u

cAp. 7l FLUJO DE FLUTDOS EN TUBERTAS 109

Comolascondicionessonisotérmicas,prfwt : pzltoz: RI o bien ¡¡ : plRT. Sustituyendoelvalorderu,

2sA" (',, | 2(',ry T L(tn" = owrET )r,pop . ,Jr, v a),en la que / puede considerarse constante, como se verá más abajo. Integrando y sustituyendo límites,

0a',, 2.

fuln'"-pi\ + 2(ln Vz - ln I/') -l f(L/d) = O (A)

Para compararla con la forma más común (con z, : zz) se pone en la forma

grp1 +2ln v,) - Íe/(t) : (Kpi*2ln vz)

oA2donde /( : =j::_-*. Ordenando términos,

W'RT

Pi - Pi = wz?Tf ' v'z L1sA, lz tn vt - tA)

Ahora bien, WlAt : w2rAlv2rl,l2r: w?V1 y RT: ptlwt; de aquí

W'RT wrVlp,gA', o

-,r_Entonces (C) se puede poner (t), - p,)(p, + p,) *'Pr' ,

| 2 lnsl

(B)

(c)

(D\

V, "L)v,* I d)

\Pt - P2)

zlz n r;. ,"n1#lat (I * pz/ttt) Pérdida de carga (E\

Los límites de las presiones y las velocidades se estudiarán en el Capítulo ll.Antes de sustituir valores en esta expresión es importante estudiar la posible variación def ya que la velo-

cidad V no se mantiene constante en los sases cuando su densidad varia.

^ vd _vdpnt:-ilp- ,, -#* comoe_ 1q,hxgo*"=H

W 0,34

wzA 3,61 x 7,87 x l0-: 12,0 mlseg.

(F)

Se observará que el número de Reynolds es constante para el flujo permanente ya que ¡r solo varía cuandolo hace la temperatura. De aquí, el coeficiente de rozamiento/es constante en este problema a pesar de que lavelocidad aumentará al disminuir la presión. Sustituyendo valores en (fl, utilizando la viscosidad absoluta dada,

n": ,--0'3a-l l'19 t-l0u :232.000. Del Diagrama A-1, para eld:0,0009, f :0,0205." hl4)(0.10)' x 9.8 x 1,90

Mediante la (C) anterior, despreciando 2 ln VrlVr, que es muy pequeño comparado al término f(Lld),

(3,50 x lo4l', - o3 : (o't1l'^rx 29'3(32 + 273) ' ' 540 -

''o¡Gffi fdesP' + (0'0205)

oJo-'l

de la cual pz : 3,22 x l}a kglm2 y pz :3,22 kglcm2 (ab).

En .B: *,: jfffi:3,61 kstm3, vz:

En A: *,: ###,:3.e2 kgtm3, vt: **#-;-ñ.: rl,0 m/ses.

De aquí, 2ln VtlVt : 2ln (12,0111,0) : 2 x 0,077 : 0,l5T, que es despreciable frente al término f(Lld): 111. Por tanto, la presión en la sección B es p'r:3,22 kglcm2.Si el aire se supone incompresible, se tiene

Pt - Pz : f: f: o.o2o5 ' !19 * qY[ : 687 m/seswr ' d 2e 0.10 2S

Lp : wth:3,92 x 687 :2680 kglm2 :0,268 kglcm2

y pi : 3,50 - 0,27 : 3,23 k9lcm2, acuerdo poco frecuente.


24. Una tubería horizontal de hierro forjado, de 15 cm de diámetro interior y algo corroída, trans-porta 2,00 kg de aire por segundo desde,4 a B.En I la presión absoluta es 4,90 kglcmz y en,Bdebe mantenerse una presión absoluta de 4,60 kglcm2. El flujo es isotérmico a20'C. ¿Cuál es lalongitud de la tubería que une A con B? Utllizar e : 0,039 cm.

Solución:

Se calculan los valores de partida (véase Apéndice para 20" C y 1,033 kg/cm'?),

wt: 1,205(4,90/1,033) : 5,70 kglm', uz: r,205(4,6011,033) : 5,35 kg/m'

w 2,00V1 :-

wtA 5.70 x ]n (0. 15 )2 -

,';t#r?m$

2,00 :21,2 mlseg5,35 x fz(0,15)2

19,8 x 0,15R¿:(1.033/4.90X1.499 z t0's ¡

: 943.000. Del Diagrama A-1, f : 0,025, para eld: 0,0026.

Mediante la ecuación (E) del Problema 23,

(4,90 - 4,60)104 _ 212 tn 2r,21r9,8 + 0,025(L10,15)l(19.8\, 12e, r _ r {) n5,n 0+4,6014,90)

-

v L:t)zm

Nota'. Paraelflujodegasesentuberías,cuandoelvalordeprnoesmenordelr10\queelvalordepr,secomete un error menor del 5 I en la pérdida de presión al utilizar la ecuación de Bernoulli en su forma habitual,suponiendo el fluido como incompresible.

25. Las elevaciones de las líneas de alturas totales y de alturas piezométricas en el punto G son, res-pectivamente, 13,0 m y 12,4 m. Para el sistema mostrado en la Fig. 7-5 calcular (a) la potencia ex-traída entre G y H, si la altura total en .É1 es de 1,0 m y (ó) las alturas de presión en E y F, cuyaelevación es de 6,0 m. (c) Dibujar, con aproximación de 0,1 m, las líneas de alturas totales y dealturas piezométricas, suponiendo para la válvula CD K : 0,40 y ,f : 0,010 para las tuberíasde 15 cm.

El 38,4 m

El 33.ó m

El 28,E m

60cmD

f = 0,ü0 El 3,0 n

Solución:

La corriente debe de circular hacia G, desde el depósito, ya que la línea de alturas totales en G está pordebajo de la superficie libre del depósito. G.ÉI es una turbina. Antes de poder determinar la potencia extraídaes necesario calcular el caudal Q y la pérdida de altura en la turbina.

(a) En G, Vlol2g : 0,6 m (diferencia entre las líneas de alturas totales y piezométricas).

Además VÍrl2s : 16 x 0,6 : 9,6 m y VZol2C : +(0,6) : 0,04 m. Para obtener Q,

Vto :3,43 mfte1 y Q : +7r(03)2 x 3,43 :0,242 m3lseg

Potencia (cv) : wQHrlTS : 1000(0,242)(13,0 - 1,0)175 :38,8 CV extraídos

(b) De f- a G, cota cero: (Energía en F) - 0,030(30/0,3)(0,6) : (Energía en G: 13,0)

lom-Jocm I El 12.4ú

Fig.7-5

Energía en -F : 13,0 + 1,8 : 14,8 m

CAP. 7] FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS

De E a d cota cero: (Energía en E) - (13,72 - 3,43)2129: (Energía en F: 14,8)

Energía en E : 14,8 + 5,4 : 20,2 m

z + V2l2gAltura de presión en E : 20,2 - (6,0 + 9,6) :4,6 m de agua.Altura de presión en .F: 14,8 - (6,0 + 0,6) : 8,2 m de agua.

k\ Yendo hacia atrás desde .E:

Pérdida de altura total de D a E : 0,010(7,5/0,15X9,6) : 4,8 mPérdida de altura total de C a D :0,40(9,6) : 3,8 mPérdida de altura total de B a C : pérdida de D a E : 4,8 mPérdida de altura total de A a B:0,50(9,6) :4,8m

(Elev. en D - 4,8\: Elev. en E : 20,2, Elev. D : 25,0 m(EIev. en C - 3,8) : Elev. en D : 25,0, Elev. C : 28,8 m(Elev. en B - 4,8): Elev. en C : 28,8, Elev. B : 33,6 m(Elev. en A - 4,8): Elev. en B : 33,6, Elev. A : 38,4 m

La línea de alturas piezométricas está situada por debajo de la línea de alturas totales una cantidadigual a V2l2g:9,6 m en la tubería de 15 cm,0,6 m en la de 30 cm y 0,04 m en la de 60 cm. Estos valoresse han representado en -la figura.

26. Un conducto rectangular usado, de 30 cm x 45 cm de sección, y 450 m de longitud transportaaire a 20" C y a una presión en la sección de entrada de 1,07 kglcmz (ab) con una velocidad mediade 2,90 m/seg. Determinar la pérdida de carga y la caida de presión, suponiendo el conducto ho-rizontal y las imperfecciones superficiales de un tamaño igual a 0,054 cm.

Solución:

La fórmula que da la pérdida de carga debe escribirse de forma conveniente para poderla aplicar a con-ductos de sección recta, no circular. La ecuación resultante se aplica a flujos turbulentos con una precisión ra-zonable. Se sustituye el diámetro, en la fórmula, por el cuádruplo del radio hidráulico, que se define por el co-ciente del área de la sección Tecta por el perímetro mojado, es decir, R : alp.

Para una tubería circular, R: tnd2lnd: dl4, y la fórmula de Darcy puede escribirse en la forma

Pérdida de carsa : f L- v'" 4R29

Paraf en relación con la rugosidad del conducto y el número de Reynolds se emplea en lugar de d el valor

4R, asíR¿:Vdlv:V(4R)lv

para el conducto de 30 cm x 45 cm, p: ! : *3: t++ : 0,09 m , yp 2(0,30 + 0,45)

111

4VRD-,\E---4x2,90x0,09

(1,03311,070)(r,4ee)x 10s :72.600

Del Diagrama A-1, f : 0,024 para eld : el4R: 0,0541(é x 9) : 0,0015. Por tanto,

F' "' 0'020 " I x

(2'90)2 : l2'9 m de aire'erorda de catga : 4 0.09 29

y la caída de presión : whll\a: (1,07011,033)(1,205)(12,9)110a: 1,60 x l0-3 kglcrn2.

Puede observarse que la hipótesis de densidad constante en el aire es satisfactoria.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

v.

35.

36.

37.

3E.

39.

40.

41.

tt2 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS [cAP. 7


Si la tensión cortante en la pared de una tubería de 30 cm es de 5,0 kglm2 y f:0,040, ¿cuál es la velocidadmedia (a) si fluye agua a 2L" C, (b) si fluye un líquido de densidad relativa 0,70?

So/. 3,13 m/seg, 3,74 mlseg

¿Cuáles son las velocidades de corte en el problema precedente? So/. 0,22I mlseg, 0,264 mlseg

A través de una tubería de 15 cm y 60 m de longitud está fluyendo agua y la tensión cortante en las paredes

es 4,60 kg/m2. Determinar la pérdida de carga. So/. 7,36 m

¿eué radio ha de tener una tubería para que la tensión cortante en la pared sea de 3,12 kg/m2 cuando al fluir

ágtu u lo largo de 100 m de tubería produce una pérdida de carga de 6 m? Sol' r : 10,4 cm

Calcular la velocidad crítica (inferior) para una tubería de 10 cm que transporta agua a 27" C.

Sol. 1,730 x 10-2 m/seg

Calcular la velocidad crítica (inferior) para una tubería de 10 cm que transporta un fuel-oil pesado a 43" C.Sol. 0,892 m/seg

¿Cuál será la caída de la altura de presión en 100 m de una tubería nueva de fundición, horizontal, de 10 cm dediámetro, que transporta un fuel-oil medio a 10" C, si la velocidad es de 7,5 cm/seg? Sol. 1,26 x l0-2 m

¿Curíl será la caída de la altura de presión en el Problema 33 si la velocidad del fuel-oil es de 1,20 m/seg?

Sol. 2,20 m

Considerando únicamente las pérdidas en la tuberia, ¿qué altura de carga se necesita para transportar 220 llsegde un fuel-oil pesado a 38" C a través de 1000 m de una tubería nueva de fundición de 30 cm de diámetrointerior? Utilizar e:0,024 cm. So/. 47,70 m

En el Problema 35, ¿qué valor mínimo de la viscosidad cinemática del fuel-oil producirá un flujo laminar?So/. 4,67 x l}-a m2/seg

Al considerar las pérdidas en la tubería únicamente, ¿qué diferencia en la elevación de dos depósitos, que distan250 m, dará un caudal de 30 l/seg de un aceite lubricante medio a 10' C, a través de una tubería de 15 cm de

diámetro? So/. 16,60 m

Un aceite de densidad relativa 0,802 y viscosidad cinemática 1,86 x 10-a m2fseg fluye desde el depósito,4 aldepósito .B a través de 300 m de tubería nueva, siendo el caudal de 88 l/seg. La altura disponible es de 16 cm.

¿Qué tamaño de tubería deberá utilizarse? Sol. 60 cm

Mediante una bomba se transporta fuel-oil pesado, a 15" C, a través de 1000 m de tubería-de 5 cm de diámetrohasta un depósito 10 m más elevado que el depósito de alimentación. Despreciando las pérdidas menores, de-

terminar la potencia de la bomba en CV si su rendimiento es del 80 f paratncatdal de 3,5 l/seg. Sol. 78,4CV

Aguaa38"CestáfluyendoentreAyBatravésde250mdetuberíadefundición(e:0,06cm)de30cmdediámetro interior. El punto ,B está 10 m por encima de A y la presión en I debe mantenerse a 1,4 kg/cm2. Si

por la tubería circulan 220 llseg, ¿qué presión ha de existi¡ en l? Sol. 3,38 kg/cm'z

Una tubería comercial usada de 100 cm de diámetro interior y 2500 m de longitud, situada horizontalmente, trans-porta 1,20 m3/seg de fuel-oil pesado, de densidad relativa 0,912, con una pérdida de carga de 22,0 m. ¿Qué pre-

sión debe mantenerse en la sección de entrada A para que la presión en B sea de l,4kglcm2 ? Utilizar e : 1,37 cm.So/. 3,41 kglcm2

Una tubería vieja, de 60 cm de diámetro interior y 1200 m de longitud, transporta un fuel-oil medio a 27" Cdesde,4aB.LaspresionesenAyBson,respectivamente,4,0kglcm2yl,4kg/ém2,yelpuntoBestásituado20 m por encima de l. Calcular el caudal en m3/seg utilizando e : 0,048 cm. Sol. 0,65 m3/seg

43. Desde un depósito A, cuya superñcie libre está a una cota de 25 m, fluye agua hacia otro depósito ,8, cuya su-perficie está a una cota de 18 m. Los depósitos están conectados por una tubería de 30 cm de diámetro y 30 mde longitud (f : 0,020) seguida por otros 30 m de tubería de 15 cm (/: 0,015). Existen dos codos de 90" en cadatubería (K : 0,50 para cada uno de ellos), K parala contracción es igual a0,75 y la tubería de 30 crn es entran-te en el depósito l. Si la cota de la contracción brusca es de 16 m, determinar la altura de presión en las

42.

tuberías de 30 y 15 cm en el cambio de sección. Sol. 8,51 m, 5,90 m


4. En la Fig. 7-6 el punto ,B dista 180 m del recipiente. Si circulan 15 l/seg de agua, calcular (a) la pérdida decarga debida a la obstrucción parcial C V @) la presión absoluta en _8.

Sol. 1,68 m, 0,98 kg/cm2 (ab)

113

45.

46.

47.

/=_oE ?lFig.7-6

Un disolvente comercial a 27' C fluye desde un depósito A a otro.B a través de 150 m de una tubería nuevade fundición asfaltada de 15 cm de diámetro. La diferencia de elevación entre las superficies libres es de 7 m. Latuuería es entrante en el depósito I y dos codos en la línea producen una pérdida de carga igual a dos veces laaltura de velocidad. ¿Cuál es el caudal que tiene lugar? Utilizar e :0,0135 cm. Sol. 41,6 llseg

Un conducto de acero de sección rectangular de 5 cm x 10 cm transporta 18 l/seg de agua a una remperaturamedia de 15'C y a presión constante al hacer que la línea de alturas piezométlicas sea paralela al eje del con-ducto. ¿Qué altura ha de descender el conducto en 100 m al suponer la rugosidad absoluta de la superficie delconducto igual a 0,025 cm? (Utilizar v:1,132 x 10-6 m2/seg.) So/. 2j,g m

Cuando circulan 40 l/seg de un fuel-oil medio a 15" C entre Ay B a través de 1000 m de una tubería nueva defundición de 15 cm de diámetro, la pérdida de carga es de 40 cm. Las secciones A y B tiener. cotas de 0,0 m y18,0 m, respectivamente, siendo la presión en .B de 3,50 kg/cm2. ¿Qué presión debe mantenerse en ,4 para quetenga Iugar el caudal establecido? Sol. 8,48 kg/cm2

(c) Determinar el caudal de agua que circula a través de las tuberías nuevas de fundición mostradas en la Fig. 7 -7 .

(á) ¿Cuál es la presión en -B si está a 30 m del depósito A? (lJtilizar la Tabla 3.) So/. 98 l/seg, 703kglÑ

A través del sistema mostrado en la Fig. 7-8 fluye agua a 38o C. Las tuberías son nuevas de fundición asfaltaday sus longitudes 50 m la de 7,5 cm y 30 m la de 15 cm. Los coeficientes de pérdida de los accesorios y válwlasson: Codos de 7,5 cm, K:0,40 cada uno; codo de 15 cm, K: 0,60 y válvula de 15 cm, K: 3,0. Determinarel caudal. Sol. 13,6 l/seg

Fig.7-9 Fig.7-8

f). Si la bomba -B de la Fig.7-9 transfiere al fluido 70 CV cuando el caudal de agua es de 220 l/seg, ¿a qué eleva-ción puede situarse el depósito D? Sol. 21,0 m

,f8.

49.

n4 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERIAS [cAP. 7

51. Una bomba situada a una cota topográfica de 3 m mueve 210 l/seg de agua a través de un sistema de tuberías

horizontales hasta un depósito cerrado, cuya superficie libre está a una cota de ó,0 m. La altura de presión en la

sección de succión, de 30 cm de diámetro, de la bomba es dc -1,20 m y en la sección de descarga, de 15 cm de

diámetro, de 58,0 m. La tubería de 15 cm (/: 0,030) tiene 30 m de longitud, sufre un ensanchamiento brusco

hasta 30 cm, continuando con una tubería de este diámetro lf :0,020) y una longitud de 180 m hasta el depó-

sito. Una válvula de 30 cm,.¡(: 1,0, está situada a 30 m del depósito. Determinar la presión sobre la superficie

libre del agua del depósito. Dibujar las líneas de alturas totales y piezométricas. Sol. 0,88 kg/cm2

52. ¿Qué diámetro debe de tener una tubería medio nueva de fundición para transportar 30 l/seg de agua a 21" C através de 1200 m con una pérdida de altura piezométrica de 20 m? (Utilizar la Tabla 3.) Sol. 16,5 m

53. La bomba.BC transporta agua hasta el depósito -Fy en la Fig. 7-10 se muestra la línea de alturas piezométricas.

Determinar (a) la potencia suministrada al agua por la bomba BC, (b) la potencia extraída por la turbina DE y(c) la cota de la superficie libre mantenida en el depósito F. So/. 950 CV, 67,3 Cy,89,6 m

A través de una tubería de 5 crn de diámetro circulan 68 g/seg de aire a la temperatura constante de 20' C. Latubería es usada y el material de fundición. En la sección,4 ta presión absoluta es de 3,80 kglcm2. ¿Cuál será lapresión absoluta 150 m aguas abajo de A si la tubería es horizontal? Ufllizar e : 0,0249 cm.

So/. 3,68 kg/cm'z (ab)

A través de un tramo horizontal de 60 m de longitud de una tube¡ía nueva de hierro forjado de 10 cm de diáme-

tro fluye anhídrido carbónico a 38' C. La presión manométrica en la sección I de agui.s arriba es de 8,40 kg/cm2

y la velocidad media de 12 m/seg. Suponiendo las variaciones de densidad despreciables, ¿cuál-es la caída de pre-

sión en los 60 m de tubería? (La viscosidad absoluta del co2 a 38'c es l: ló x l0-? kg seg/m2')

So/. 0,123 kglcm2

A través de un conducto de sección rectangular de 20 cm de altura tiene lugar un flujo en régimen laminar. Supo-

niendo que la distribución de velocidades viene dada por la ecuación u : 48y(l - 5y), calcular (a) el caudal por

metro de anchura, (ó) el coeficiente de corrección de la energía cinética y (c) la relación de la velocidad media a

la máxima. Sol. 320 l/(seg m), a : 1,543, 0,67

En un ensayo de laboratorio se utiliza una tuberia de plástico de 25 cm de diámetro interior para demostrar el

flujo en régimen laminar. Si la velocidad crítica inferior resultó ser 3,0 m/seg, ¿qué valor tendrá la viscosidad ci-

nemática del líquido utilizado? So/. 3,75 x 10-s m2/seg

Para el flujo laminar en tuberías f : 64lRE. Mediante esta información, desarrollar una expresión de la velo-

cidad media en función de la pérdida de carga, diámetro y otras magnitudes oportunas.

Sol. lt : gd2h"l32vL

Determinar el caudal en una tuberia de 30 cm de diámetro si la ecuación de la distribución de velocidades es

u2 :70(y - y2), con el origen de distancias en la pared de la tubería. sol. 126 llseg

54.

55.

56.

f,/.

58.

El 114,0 m

59.

Capitulo 8

Sistemas de tuberías equivalentes, compuestas,en paralelo y ¡amificadas

SISTEMAS DE TUBERIAS

Los sistemas de tuberías que distribuyen el agua en las ciudades o en grandes plantas industrialespueden ser extremadamente complicados. En este capítulo solo se considerarán unos pocos casos bajocondiciones relativamente sencillas. En la mayoría de los casos, el fluido que circula es el agua, si bienlos procedimientos de análisis y resolución pueden aplicarse a otros fluidos. Por lo general, la relaciónde longitud a diámetro será grande (véase Capítulo 7, Problema 20) y podrán despreciarse las pérdi-das menores.

En los Problemas 18, 19 y 20 se presentará el método de Hardy Cross para analizar los flujos enredes de tuberías. Los caudales y caídas de presión en los sistemas de distribución muy extensos de lasciudades pueden analizarse mediante calculadores analógicos.

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES

Una tubería es equivalente a otra tubería, o a un sistema de tuberías, si para una pérdida de cargadada tiene lugar el mismo caudal en la tubería equivalente que en el sistema de tuberías dado. Frecuen-temente, es conveniente sustituir un sistema de tuberías complejo por una sola tubería equivalente.

SISTEMAS DE TUBERIAS COMPUESTAS O EN SERIE, EN PARALELO Y RAMIFICADASUn sistema compuesto está constituido por varias tuberías en serie.Un sistema de tuberías en paralelo está constituido por dos o más tuberías que, partiendo de un

punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero.Un sistema de tuberías ramificadas está constituido por dos o más tuberías que se ramifican en

cierto punto y no vuelven a unirse aguas abajo otra vez.

METODOS DE RESOLUCION

Los métodos de resolución implican el establecimiento en número suficiente de un sistema de ecua-ciones simultáneas o el empleo de modificaciones especiales de la fórmula de Darcy en las que el coe-ficiente de fricción depende únicamente de la rugosidad relativa de la tubería. Para el caso dil agua (ode otros líquidos de viscosidad parecida), dichas fórmulas han sido obtenidas por Manning, Scñoder,Scobey, Hazen-Williams y otros.

FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS

En este capitulo se utilizará la fórmula de Hazen-Williams. La resolución se hará con la ayuda delDiagrama B del Apéndice, en lugar de utilizar, en la mayoría de los casos, procedimientos algebraicosmás laboriosos. La fórmula que da la velocidad es

V : 0,8494C1Ro'63S0,s4 (1)

donde Z : velocidad en m/seg, R : radio hidráulico en m, S : pendiente de la línea de alturas pie-

115

I I6 SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES. COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS ICAP 8

zométricas y ct: coeficiente de la rugosidad relativa de Hazen-williams. Los valores recomenda-

dos para Cr se dan en la Tabla 6 del Apéndice'

La relación entre esta fórmula empírica y la de Darcy se da en el Problema 1. La principal ventaja

de la fórmula de Hazen-Williams ., qu" el coeficiente C, depende únicamente de la rugosidad relativa'

En el Diagrama .8, el caudal Q se expresa en l/seg y en millones de galones por día (mgd)' Los fac-

tores de conversión son

I mgd = 1,54'7 ft3/seg : 43,656 l/seg

1. Transformar

Solución:

Problemas resueltos

la fórmula de Hazen-Williams en una del tipo de la de Darcy.

V : O,84g4CtRo'63so'54

R : dl4 (véase Capítulo 7, Problema 2ó). Despejando I'Se trene S - h'L y

, o s¿ 40 ol Lo'54 vtt" :

0.g4g4 do.u3 q

. 2Sl4lt t"s L V2, (/-o or t - 133-4d o'ots ,L .V'. I

I/' : {0.g494tr.8sol ¿l 2rL r".t*O"r*=ol

=-

-Clrso

t rltTgLdorsoVo:.soJ

Para incluir el número de Reynolds en la ecuación se multiplica por (v/v)o'tto, y tt obtiene

,, : t' :o!.-i'll^,t-r" | ^','o,l^',1^

,,^l : ., 11:'1',=:'"'' L vz L v2

-1.srouo., sot¡l 4L yutsodfo,rsor Cl.8sovo.r5oRo.rro( ¿l ZX : J't¿l ,f

'

Se observará que si se omite el lactor 1-o'ots, muy próximo a la unidad, el coeficiente de fricción/t depende

únicamente del número de Reynolds y del coeficiente de rugosidad C, para todos los líquidos cuya viscosidad

no varíe apreciablementc (en tanto por ciento) con los cambios de temperatura. En tales casos, se utilizará un va-

lor medio (o representativo) de la viscosidad, que se supondrá constante en esta fórmula del tipo de la de Darcy.

2. Comparar los resultados obtenidos por resolución algebraica y mediante el Diagrama B para (a) el

caudal que circula por una tubería nueva de 30 cm de diámetro con una pérdida de altura piezo-

métrica de 4,30 m en 1500 m de tubería y (b)la pérdida de carga que tiene lugar en 1800 m de una

tubería vieja de fundición de 60 cm de diámetro, cuando el caudal que circula es de 250 l/seg.

Solución:

(a) Algebraicamente. S : 4,30/1500 : 0,00287 y R : dl4 : 7,5 cm.De la Tabla 6 del Apéndice, C, : 130. De aquí,

Q - AV: jz(0,30)'?[0,8494 x 130(0,075)0'63(0,00287)0's4] : 0,061 m3/seg : 61 l/seg

Por el diagrama. El Diagrama B está construido para Cr:100.D : 30 cm y S : 0,00287 o 2,87 m/1000 m.

Con estos valores. Qtoo : 48 l/seg (leyendo el nomograma de acuerdo con las instrucciones que se dan

en el mismo).Al observar la fórmula de Hazen-Williams se ve que Zy 0 son directamente proporcionales a Ct. Así,

ef caudal para C, : I 30 será

Qtn: (130/100X48) l/seg : 62,3 llseg

CAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS'

(b) Afgebraicamente. (C1 : 100). e -- 250 llseg.

0,2s0 : ]z(0,60),[0,8494 x 100(0,60/4)0,635'0's4] y

Por ef diagrama. Q : 250 l/seg, D : 60 cm.S : 0,002 m/1000 m : 0,002 (del diagrama).

It7

S : 0,00195

3. Una tubería usada de 30 cm de diámetro de fundición transporta 100 l/seg de agua. ¿Cuál será lapérdida de altura en 1200 m de tubería (a) mediante la fórmula de Darcy y (ó) utilizando la fórmu-la de Hazen-Williams?

Solución:

(o) ho:0,l00lllz(0,30)'z1 :1,413 m/seg. De la Tabla 3 del Apéndice,.f :0,0260.

pérdida de carga : f:': :0.02601-2-09 {l'113F : 10,6 m- "d2s 0.30 29

(b) Q: 100l/seg y C, : 119. Qtoo: (100/110)100 : 82,8 l/seg.

Del Diagrama B, S: 8,4 m/1000 m y pérdida de carga : 8,4 x 1,2 : 10,1 m.La coincidencia de resultados es notoria.La experiencia y buen juicio en la elección de C, conducirán a resultados satisfactorios para el caso en

que circula agua o bien líquidos de viscosidad parecida.

Para una pérdida de carga de 5,0 m/1000 m y utilizando C, : 100 para todas las conducciones,¿cuántas tuberías de 20 cm son equivalentes a una de 40 cm?, ¿y a una de 60 cm?

Solución:

Mediante el Diagrama B, para s: 5,0 m/1000 m: e para tubería de 20 cm : 22 llsegQ para tubería de 40 cm : 140 l/seg

Q para tubería de 60 cm : 380 l/seg

Por tanto, tomamos 140122 o bien 6,4 tuberías de 20 cm, equivalentes hidráulicamente, a una de 40 cm dela misma rugosidad relativa. Del mismo modo,380122 ó 17,3 tuberías de 20 cm son equivalentes a una de 60 cmpara una pérdida de carga de 5,0 m/1000 m o para cualesquiera otras condiciones de pérdida de carga.

5. Un sistema de tuberías en serie está constituido por un tramo de 1800 m de tubería de 50 cm, otrode 1200 m de 40 cm y 600 m de 30 cm. Todas las tuberías son nuevas de fundición. Hallar a partirdel sistema (a) la longitud equivalente de una tubería de 40 cm y (á) el diámetro equivalentJ si lalongitud de la tubería fuera de 3600 m.

Solución:

Utilícese Cr : 130 para tubería nueva de fundición.(a) Como la magnitud hidráulica común para un sistema de tuberías en serie es el caudal, supóngase que éste

es de 130 l/seg (cualquier otro valor serviría). Para utilizar el Diagrama,B, se cambia Q,ttoen eroo, es decir,

Qtoo: (100/130X130) : 100 l/seg

Sso: 0,93 m/1000 m y la pérdida de carga: 0,93 x 1,8: 1,675 m (15,0%)S+o : 2,62 mll0D} m pérdida de carga : 2,62 x 1,2 : 3,141 m (25,2%)S¡o: 10,60 m/1000 m pérdida de carga: 10,60 x 0,6: 6,360 m (56,8%)

Para Q: 130 l/seg: Pérdida de carga total: ll,lj6 m (100,0%)

Latuberíaequivalentede40cmdebetransportarl30l/segconunapérdidadecargadell,lT6m(C :130).

pérdida de carga en m ll.176

4.

Y LB: 4260 m.

S+o : 2,62 m/1000 m :longitud equivalente en m LE

118 SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS [CAP. 8

(á) Los 3600 m de tubería, (Cl : 130), deben transportar 130 l/seg con una pérdida de carga de 11,176 m.

5" _ pér9ida.de_carsa en m- :*6:3,10 m/1000 m

longitud en m 3600

Y en el Diagrama .8, utilizando Qtoo: 100 l/seg, D : 38 cm (aproximadamente).

6. Hallar la longitud equivalente, en tubería de 15 cm, del sistema mostrado en la Figura 8-1.

Coeficientes K

Filtro o alcachofa B

TeDde30cmVálvula .E de 30 cm

K Codos C.]C, de de 30 cm (cada uno) : 0,5

: 8,0

: 0,7

: 1,0

45 m - 30 cm DU = 0,025) < Crtz G de 30 cm x 15 crn (x Vltl2g) : 9,7

Aparato de medida 11 de 15 crn : 6,0

Codos "/. rK. de 15 cm (cada uno) : 0,5

Válvula I de 15 cm :10Fig.8-l

Solución:

Este problema se resolverá aplicando la ecuación de Bernoulli ent¡e A y M. tomando como plano de refe-

rencia de cotas el horizontal que pasa por M, como slgue

Codos 45 V?^(0 + 0 + ¿)- (8,0 + 2 x 0,5 + 0,7 + 1,0 + 0.025 I o:o)-;

Codos Desagüe

- (0,7 + 6,0 + 2 x 0,5 * 3,0 + 1,0 + 0,020 x

vl" t/2 | _ v?. .,,v2De aquí. h: 14.4511^

0 .. 15.7'^t:: ¡1a,a5 , ,'. + 15.7)1"-s : 16.6 ;ls29 29 ló 29 2g

]Lt!it:(o+o+o)0,15 29

Para cualquier valor de h, la pérdida de carga es 16,6(Vl5l2g). La pérdida de carga en Lum de tubería de

15 crn es f(LEld)(V?sl2g). Igualando los dos valores,

rr2 f f/2Y 1< - LÉ Y 15

t6.6 á : 0.020

"" E ! L¿: 124'5 m

La altura de velocidad puede'suprimirse en esta igualdad. Debe recordarse que una equivalencia hidráulica

exacta depende de f, que no se mantiene constante para grandes intervalos de velocidades.

7. Para el sistema de tuberías en serie del Problema 5, ¿cuál será el caudal que circula para una pérdi-da de carga total de 2I,0 m, (a) utilizando el método de la tubería equivalente y (ó) mediante el mé-

todo del porcentaje?

Solución:

(a\ Según el Problema 5,4260 m de tubería de 40 cm son equivalentes al sistema de tuberías en serie. Para una

pérdida de carga de 21,0 m

S+o :2114260 : 4,93 m/1000 m y del Diagrama B, Qrco: 140 l/seg

De aquí, Qtto: (130/100)140 : 182 l/seg

(b) El método del porcentaje requiere el cálculo de las pérdidas de carga para un caudal supuesto p. Aunquese dispone de estos valores por el Problema 5, se van a calcular de nuevo, lo que servirá para comprobar lasolución. Suponiendo Qtto:65 l/seg, Qrco: (100/130)65 : 50 l/seg, y a partir del Diagrama 8,

CAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS 119

Sso : 0,27 m/1000 m y pérdida de carga : 0,27 x 1,8 : 0,512 m (15,7 %)S¿o : 0,77 m/1000 m y pérdida de carga: 0,77 x 1,2:0,922 m (28,5%)S¡o: 10,70 m/1000 m y pérdida de carga :10,70 x 0,6: 1,800 m (55,8%)

Para Q:65 l/seg: Pérdida de carga total:3,234 m (100,0%)

Los porcentajes son del mismo orden que los obtenidos en el Problema 5. Aplicando estos porcentajesa la pérdida total de carga dada de 21,0 m, se obtiene

Hrso:21 x15,7)(:3,30m, 5r: 3,30/1800: 1,83m/1000m, Q:l30ll00xl42:185 lisegHuo:21 x 28,5\: 6,00 m, S: 6,0011200: 5,00 m/1000 m, Q: l30ll00 x 140: 182 l/segHt-to:21 x 55,8 %: 11,70 m, S : 11,701600 : 19,50 m/1000 m, Q: l30ll00 x 139 : 181 liseg

El cálculo con uno de los diámetros es suficiente para calcular el caudal Q, pero los demás sirven de com-probación y dan la seguridad de que no se han cometido equivocaciones.

8. En el sistema mostrado en la Fig. 8-2, cuan-do el caudal desde el depósito ,4 al nudoprincipal D es de 140 l/seg, la presión en Des 1,40 kglcrn2. Se quiere aumentar el cau-dal hasta 184 l/seg, con una presión en D de2,80 kglcm2. ¿Qué diámetro debe de tenerla tubería de 1500 m de longitud, que ha deponerse entre -B y C en paralelo (dibujadaa trazos en la figura), con la existente de30 cm de diámetro para satisfacer las con-diciones exisidas?

Solución:

La elevación del depósito I puede determinarse a partir de las condiciones iniciales. Del Diagrama B,

para Q : t40 l/seg, S¿o : 4,8 m/1000 m, pérdida de carga : 4,8 x 2,4 : ll,5 mS¡o - 20,0 m/1000 m, pérdida de carga : 20,0 x 1,5 : 30,0 m

Pérdida de carga total : 41,5 m

La 1ínea de alturas piezométricas cae ctesde 41,5 m hasta una elevación de 14,0 m por encima de D (equivalen-tes a 1,40 kglcm2). Por tanto, el depósito A está a (41,5 + 14,0) : 55,5 m por encima de D.

Para una presión de 2,80 kglcm2,la elevación de la línea de alturas piezométricas sobre D será de 28,0 m, deforma que la altura de carga disponible para el caudal de 184 fseg es de (55,5 - 28,0) :27,5 m.

En la tuberia de 40 cm, Q : l84l/seg, ^S

: 8,2 m/1000 m, pérdida de carga :8,2 x 2,4 : 19,7 m. De aquí,

Pérdida de carga entre I y C:27,5 - 19,7:7,8 mPara la tubería existente de 30 cm, S : 7,8/1500 : 5,2 m/1000 m, Q -- 68,0 l/seg y el caudal en la tubería

nueva, puesta en paralelo, será (184,0 - 68,0) : 116,0 l/seg con una altura de carga disponible (caída de la líneade alturas piezométricas) de 7,8 m entre B y C.

.S : 7,8/1500 : 5,2 m/1000 m y Qrco: (100/130)116 : 89,3 l/seg

El Diagrama B da D : 34 cm aproximadamente (se toma la tubería de diámetro normalizado inmediato su-perior).

C¡ = 130

Fig.8-2

9. En el sistema de tuberías en paralelo de la Figu-ra 8-3 la altura de presión en I es de 36,0 m deagua y la altura de presión en ,E de 22,0 mde agua. Suponiendo que las tuberías están en unplano horizontal, ¿qué caudal circula por cadauna de las ramas en paralelo?

24OOn-25 cmrCr = 100

Fig.8-3

I2O SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS TCAP. 8

Solución:

Lacaida de la línea de las alturas piezométricas entre A y Ees (36 - 22): 14 m, despreciando los peque-ños valores de las diferencias de las alturas de velocidad. Los caudales pueden conocerse, sin más, a partir delas pendientes de las líneas de las alturas piezométricas, que se determinan fácilmente. Así, mediante el Dia-grama B,

58 l/seg, (42,0 "/;)35 l/seg, (2s.4:,';)45 llseg, (32,67;)

138 l/seg, (100,0:,")

10. Si en el Problema 9 el caudal total Q fuera de 280 l/seg. ¿qué pérdida de carga liene lugar enffe AyEy cómo se reparte el caudal en las ramas del circuito? Utilizar dos métodos, el del porcentajey el de la tubería equivalente.

Solución:

En un sistema de tuberías en paralelo la magnitud hidráulica común es la perdida de carga entre los nu-dos (lE). La resolución se llevará a cabo como si no se hubiera resuelto el Problema 9.

Al suponer una pérdida de carga entre A y E de 8,0 m, los caudales para la pérdida de carga supuesta

pueden obtenerse a partir del Diagrama B.

S¡o : 8/3600 :2,22 mll000 m, Qx : 45 liseg. (42,8 ''1,)

Szo : 8/1200 : 6,67 m/1000 m. Qzo: 27 l,tseg, (25.7 ",,¡Szs :812400: 3,33 m/1000 m, Qzs : 33 l,iseg. (31.5',,)

Q total: 105 l/seg, (100.0:1")

(:a) Método del porcentaje.

El caudal en cada rama del circuito será un porcentaje constante del clud¿l total ¿ trar'és del circuitopara un intervalo razonable de las pérdidas de carga entre los nudos. Los porccntajcs cncontrados coin-ciden razonablemente con los tabulados en el Problema 9 (dentro de la precisirin obtenida en el Diagra-ma B y con la regla de cálculo). Aplicando los porcentajes al caudal dado de 280 l,'seg,

Qto : 42,8\ x 280 : 120,0 l/'scg, S¡o : 15,0 m.il000 m, (H,,)n-r': -s4 m

Qzo : 25,7)l x 280 : 72,0 l,"seg, Szo : 43,0 mil000 m, (Htl¡-r,: -52 rn

Qzs:31,5\ x 280: 88,0 liseg, Szs:22,0 m,'1000 m, (H"ln ':

53 m

O:280,0 lisee

Este método da una comprobación de los cálculos, como se deduce dc los tres valores de la pérdidade carga obtenidos. Es el método de cálculo recomendado.

(b) Método de la tubería equivalente (utilizar cl diámetro dc 30 cm)'

Deben calcularse los caudales para una pérdida de carga supuesta, como en cl método anterior. Em-pleando los mismos valores, para una pérdida de carga de 8,0 m, el caudal total a través del sistema de tu-berías en paralelo es de 105 l/seg. Una tubería equivalente daría el mismo caudal p¿rra una pérdida de cargade 8.0 m, es decir,

Q:105 Usee, H¿: 8,0 m Y S¡o : 11,8 m/1000 m. obtenida del Diagrama .8.

De S : hlL, 11,8 : 8,0 mlL, m, y Ln -- 678 m (de tubería dc 30 cm. Cr : 100).Para el caudal dado de 280 l¡seg, S¡o : 80 mi 1000 m y la pérdida de carga enlre A-E: 80 x 678¡'1000

: 54 m. Con esta pérdida de carga pueden obtenerse los valores de los tres caudales.

11. Para el sistema mostrado en la Fig. 8-4, (u) ¿cuál es el caudal si la caída de la línea de alturas pie-zométricas entre A y -B es de 60 cm? (ó)¿Qué longitud de una tuberia dc 50 crn (Cr : 120) es equiva-lente al sistema ,4,8?

.S3o : 1413600 : 3,90 m/1000 m, Qzo:Szo: l4ll2Q0 : 11,70 m/1000 m, Qzo:S2s : 1412400 : 5,85 m/1000 m, Qzs :

Q total:

CAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS t21

Solución:(a) La solución más directa puede obte-

nerse suponiendo una caída de la líneade alturas piezométricas (pérdida decarga) entre 14 y Z y sacar de esta hi-pótesis una conclusión lógica.

Por ejemplo, suponiendo una pér-dida de carga entre W y Z de 9 m, apartir del Diagrarna B,

s3o : 9/1500 : 6,0 mi1000 m,S4o : 9/900 : 10,0 m/1000 m

De A a l[/,

DeWaZ,DeZaB,

Pérdida

En el sistema de la Fig. 8-5, determinarlas alturas de presión en A y .B cuandola bomba manda un caudal de 140l/seg.Dibujar la línea de alturas piezométricas.

Solución:

Se determina la tuberia equivalente alsistema en paralelo entre BC, en tubería de40 cm de diámetro, C1 : 100. Una vez de-terminada, se tiene únicamente una tuberíade la misma rugosidad relativa, con la quelos cálculos son sencillos para cualquiercondición de flujo. Suponiendo una caídaen la línea de alturas piezométricas de 7 mentre -B y C, se obtienen los siguientes valo-res, mediante el Diagrama ,8,

s2s:713000:2,23s2o:713300 :2,12

900m-40cmDCt - 120

Fig.8-4

t Qn: 0201100)72 86,4 l/seg, (26,4%)! Q+o: 0201100)200 :240,0 llseg, (13,6%)

Q total : 326,4 Usee, 000,0 %)

Ahora puede calcularse la pérdida de carga ent¡e Ay B para el caudal total de 326,4llseg. Al emplearel Diagrama ,8, se utiliza Qrco : 0001120)326,4 : 272,0 Useg.

Seo : 2.6 m/1000 m, Hr: 2,6# : 7.8 m,

(el supuesto) 9,0 m,

Sso : 6,5 m/1000 m, Ht :6,5ffi: 15,6 m,

(24,0%)

(28,0%)

(48,0%\

de carga total (para Q:326,4l/seg) : 32,4 m, (100,0%)

Aplicando estos porcentajes a la pérdida de carga dada de 60 m, se obtiene:

(Hr)n-w (real): 60 x 24%: 14.4 m. "..

: #: 4,8 m/1000 m;

(Ht)w-z (real) : 60 x 28 % : 16,8 m;

(H")"-" (real) : 60 x 48 'l: 28,8 m, Sro : # : 12 m/1000 m.2400

Del Diagrama B, el caudal en la tubería de 60 cm será (120/100X380) : 456 l/seg.Como comprobación, en la tubería de 50 cm el caudal será e: (120/100X380) : 456 17r.t.Este caudal se divide en el circuito VI/Z enlos porcentajes calculados antes, es d,ecir,26,4ly 73,6/".

(b) Utilizando la información anterior para el sistema e¡tre A y 8, un caudal de 326,4 llsegproduce una caídaen la línea de alturas piezométricas de 32,4 m. Para este caudal de 326,4 l/seg y en una tubería de 50 cm,C, : r20

Sso : 6,0 m/1000 m: 32,4lLn o bien L¿,: 5400 m

12.

| 52.5 mN

t\ \ 128,5 m

Et ó5,0 m

El en)/= t5,0m

m 40cnDl

m/1000 m,m/1000 m,

o

Ct=100 BEl 15.0 m

Fig.8-b

Qzs : 27'0 UsegQzo : l4'0 Useg

total : 41,0 l/seg

A 3ooom 60cmD W Z ztoo^ 50cmD B

I22 SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIvALENTES, coMPUESTAS, EN PARALELo Y RAMIFIcADAS [cAP. 8

Paru Q: 41,0 l/seg y D : 40 cm (C, : 100), S¿o : 0,55 m/1000 m:7,0lLn y La: 12.700 m.El caudal enviado por la bomba al depósito es de 140 l/seg. Para una longitud de (12.700 + 4800) : 17.500 m

de tuberia equivalente de 40 cm, la pérdida de carga ertre A y C será

S¿o - 5,00 m/1000 m, HL : 5,00(17.500/1000) : 87,5 m

Por tanto, la altura piezométrica en I será (ó5,0 + 87,5) : 152,5 m, según se muestra en la figura. La caí-dadeAaA:5,00(4800/1000) :24,0mylaelevaciónen.Bserá(152,5-24,0):128,5m.

Altura de presión en A : 152,5 - 15,0 : 137,5 mAltura de presión en B: 128,5 - 15,0: 113,5 m

13. En la Fig. 8-6, ¿qué sistema tiene más capacidad, el ABCD o el EFGH? (C | : 120 para todas lastuberías. )

2700m-40cmD 1800m-30cmD 900m-25cmD

1500m-20cnD 750m-25cmD

Fig. 8-6

Solución:

Suponiendo Q : 90 l/seg en ABCD, mediante el Diagrama B, cort Qrco: (100/120)90 : 75 llsee,

S+o : 1,6 m/1000 m, Ht : 1,6(2700/1000) : 4,3 mS.o : 6,5 m/1000 m, Ht : 6,5(1800/1000) : 11,7 mSzs : 15,0 m/1000 m, Ht : 15,0( 900/1000) : 13,5 m

Para Q : 90 l/seg, Pérd. Carga total : 29,5 m

Para hallar el porcentaje de un caudal cualquiera Q, que circula por cada una de las ramas del circuito ,FG,en el sistema EFGH, se supone una pérdida de carga entre F y G de 8,0 m. Entonces,

S:o : 8/1500 : 5,33 m/1000 m I Qzo : 24,0 llseg, (40,7 %)Su s : 8/2100 : 3,81 m/1000 m y Qzs: 35,0 l/seg, (59,3%)

Qroo total : 59,0 l/seg, (100,0 %)

Para dictaminar sobre la capacidad de cada uno de los sistemas pueden seguirse varios caminos. Mejor queutilizar tuberías equivalentes se podrían calcular las pérdidas de carga producidas por un caudal de 90 fseg, porejemplo, a través de cada uno de los sistemas. El sistema que dé lugar a una pérdida de carga menor sería el demayor capacidad. O bien podría determinarse el caudal Q que circula por cada uno de los sistemas para la mis-ma pérdida de carga. El sistema por el que circule un caudal mayor sería el de mayor capacidad. En el casopresente, se va a comparar la pérdida de carga de 29,5 m, que tiene lugar en ABCD, para Q : 90 l/seg (Qno :75 l/seg), con el valor de la pérdida de carga obtenido en el sistema EFGH, para el mismo caudal.

(a) Paru Qot: 75 l/seg, S+s : 0,90 m/1000 m, (H¿)¡r : 3,0 m.

(b) Para Qro : 40,7 % x 75 : 30,5 l/seg, Szo : 8,7 m/1000 m, (HL)re : 13,1 m,

opara Qtt : 59,3% x 75 : 44,5 Ilseg, Szs : 6,2 m/1000 m, (II)rc : 13,0 m.

(c) Para Qtr: 75 l/seg, S:s : 15,5 m/1000 m, (Ht)ea: 11,6 m.Luego la pérdida de carga total de E a H : 27,7 m.

Por tanto, el sistema EFGH tiene mayor capacidad.

3300m-45cmD

2100m-25cmD

cAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS 123

14. En la Fig. 8-7 el caudal que sale del depósito I es de 430 l/seg. Determinar la potencia extraídapor la turbina DE s\la altura de presión en.E es de -3,0 m. Dibujar las líneas de alturas piezo-métricas.Solución:

El análisis del sistema ramificado debe concentrarse sobre el punto C. En primer lugar la suma de caudales

que llegan a C ha de ser igual a la suma de caudales que salen de C. En segundo lugar, la elevación de la línea

de alturas piezométricas en C es, por 1o general, la clave de la solución.

E1.66,2

.tü,nú

a,

Cr : 120 (pa¡a lodas las tuberias)

E El,24.o m

-ñ

Fig.8-?

Para calcular la altura de la línea de alturas piezométricas en C se supone que la pérdida de carga de A a C

es de 7,0 m. Entonces,

3:: : ií1i33 =

1,3! ;ry1333 il, 3:::3i3'l,iz?', ,1?Ít;lQ total:506 l/seg, (100,0%)

Aplicando estos porcentajes al caudal dado de 430 l/seg de A a C, teniendo en cuenta que para Cr : 100,

Q : Í001120)430 : 358 l/seg,

Qso : l5l Useg' Sso : 2,00 m/1000 m, Ht: 3,6 m

Qso : 207 UseE, Soo : 1,50 m/1000 m, Ht: 3,6 m (comprobación)

Así, la elevación de la línea de alturas piezométricas en C : 66,2 - 3,6 : 62,6 m. Con esta información,

la línea de alturas piezométricas cae 2,8 m de -B a C y el flujo circulará desde .B hacia C. De aquí,

Sts : 2,812400 -- 1,1'7 m/1000 m, Qtoo.¡ : 340 l/seg, Qtzo> -- (1201100)340 : 408 l/seg

Además, caudal que sale de C: caudal que entra en CQc-o:430 + 408 : 838 l/seg

para C, : 120, y para Ct : 100, Q : 698 l/seg.Por tanto, Srs : 4,5 m/1000 m, (H)c-o: 13,5 m, y la elevación de la línea de alturas piezométricas et D :62,6 - 13,5 : 49,1 m.

Potencia extraída (CV ) : 1000(0,838x49,r - 2r,0) : 314 CV.75

15. En la Fig. 8-8 la válvula,Festá parcialmente cerrada, lo que produce una pérdida dr carga de 1,00 mcuando el caudal que circula a través de ella es de 28 l/seg. ¿Cuál es la longitud de la tubería de

25 cm que parte del depósito ,4?

| 7o.on

-?;i.ñla-*9

3g,o

- E|.75 cm,

/-u, ,,,0 ^

l6,0 m

fu"c,_-ro_i

Fig.8-8

'q

M


Solución:Para DB el caudal Q : 28 l/seg (C, : 80) y para C, : 100, Q : (100/80)28 : 35,0 l/seg, y S3e : 1,50

m/1000 m.Pérdida total de carga de D a B:1,50(300/1000) + 1,00 : 1,45 m, lo que da una elevación de la línea

de alturas piezométricas en .B de 4,55 m (tomando elevación en E : 0).ParaBE,S30:(4,55-0,0)/1500:3,03m/1000myQ:52 llseg(Cr:100),paraC':120,Q:

62,4 llseg.ParaAB,elcaudalQ:62,4-28,0:34,4 llsegYSzs:3,50m/1000m(porelDiagrama-B).Por tanto, de S : hlL, L: hls : (0,85/3,50)1000 : 243 m.

Se han de bombear 55 l/seg de agua a través de 1200 m de una tubería nueva de fundición hastaun recipiente, cuya superficie libre está 36 m sobre el nivel del agua que se bombea. El coste anualdel bombeo de 55 l/seg es de 16,40$ por m de.carga contra la que se bombea, y el coste anual de

la tubería es el 10 /o de su precio inicial. Suponiendo que el precio de la tubería de fundición enel lugar de emplazamiento es de 140,00$ por tonelada, para el tipo B (50 m de carga) de tubería,que tiene los siguientes pesos por metro de longitud: de 15 cm, 49,5k9; de 20 cm,71,0 kg; de

25 cm,95,0 kg; de 30 cm, 122,0kg y de 40 cm, 186,0 kg. Determinar el diámetro de tubeiía más

económico para esta instalación.

Solución:

Se hacen con detalle los cáleulos para la tubería de 30 cm y los resultados para todas las tuberías se resu-

men en la tabla que se da más abajo. La pérdida de carga en la tubería de 30 cm, por el Diagrama I, teniendo en

cuenta que para C1 : 100, Q: (100/130)55 : 42,3 llseg, será 2,10 m/1000 m.De aquí, altura total contra la que se bombea: 36 + 1200(2,10110000) : 38,5 m.

Coste de bombeo : 38,5 x 16,40$ : 631$ por añoCoste de la tubería a pie de obra : 140$ x 1200 x 12211000: 20.500$

Coste anual de la tubería : l0% x 20.500$ : 2050$

Tabulando estos resultados para su comparación con los costes de las tuberías de los otros diámetros con-siderados, se obtiene la siguiente tabla:

16.

Dcm

sm/I000 m

Pérd. Cargaenm

Altura total debombeo:36+HL

Coste anual para 55 lisegBombeo + Coste tubería : Total

l520253040

6s.016.2

)l0.6

78.019.5

o.+

2.5

0.7

I14.0 m55,5 m42.4 m38.5 m36,7 m

I 870 $ 830 S 2700 $910 l 190 2100694 1600 2294ó31 2050 2681602 3130 3732

El diámetro más económico es el de 20 cm.

17. Cuando las superficies libres de los depósitos que se muestran en la Fig. 8-9(a) se mantienen a unaelevación constante, ¿qué caudales tienen lugar?

EI 57,0 m

(ch." Q^,,",1

Fig.8-9(ü)

290

Fig. E-9(o)

El 30,0 m

CAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS

Solución:Como la elevación de la línea de alturas piezométricas en C no puede determinarse, por ser desconocidos

todos los caudales, el problema se resolverá por tanteos. En el primero es conveniente elegir como altura piezo-

métrica en C, 57 m. Con esto, el caudal que sale o entra en el recipiente -B será nulo, lo que reduce el número de

cálculos.Para una altura piezométrica en C : 57,0 m,

560 : (64 - 51)12400 : 2,91 m/1000 m y Q :290 l/seg hacia C

536 : (57 - 30)11200 :22,5 m/1000 m y Q:150 l/seg desde C

De los valores de estos caudales se infiere que la altura piezométrica en C debe ser mayor, de forma que se

reduzca el caudal desde l, aumente el que va a D y circule cierto caudal hacia B. Con el fin de <horquillar> la

verdadera altura piezométrica de C, se supone ahora igual a 60 m. Así, para una elevación en C : 60,0 m,

560: (64 -60\12400:1,67 m/1000 m y Q:222 l,tseghacia CS4o : (60 - 57]l1200: 2,50 m¡1000 m y Q: 98 l/seg desde C,S30: (60 - 30¡,i1 260:25,0 mr'1000 m V Q:156 l/seg desde C

El caudal que sale de C es de 254 liseg, mientras que el caudal que llega a C es de 222 llseg. Mediante

la Fig. 8-9(ó) puede obtenerse una tercera aproximación mucho más cercana a la verdadera, uniendo mediante

una recta los puntos R y S. La recta así dibujada corta al eje vertical, trazado Por (Qi,n"¡, - Ou..o") : 0, en

Q¡^"¡u : 235 l/seg (apreciado por el dibujo a escala). Como, además, los valores representados no varían en rea-

lidad linealmente, puede utilizarse para el caudal que va hacia C un valor ligeramente mayor, por ejemplo,

245 llseg.Para Q:245 llsel (hacia C). Soo:2,00 m/1 000 mt (H)t-c:2,00 x 2400i1000:4,8 m y Ia altura

piezométrica en C : (64.0 - 4,8) : 59,2 m. De aquí,

Sas -- 2,20,'1200 : 1,83 m/1000 m, a : 80 liseg desde CS3o: 29,2,ir200 : 24,30 m/1000 m, Q : 155 l/seg desde C

Q total desde C: 235 liseg

Estos dos caudáles son 1o suficiente parecidos para no requerir cálculos posteriores. (Para una altura pie-

zométrica en C de 59,5 m, da para los caudales que entran y salen de C valores iguales aproximadamente a

238 l/seg.)

Desarrollar la expresión empleada en el estudio de los cau-dales en redes de tuberías.

Solución:

El método de cálculo. desarrollado por el profesor Hardy Cross.consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a con-

tinuación hacer un balance de las pérdidas de carga calculadas. En el

lazo o circuito único, mostrado en la Fig. 8-10, para que los caudalesen cada rama del lazo sean los correctos se habrá de verificar

(H),tnc -- (.Ht)nc o (H),c,Bc - (H),toc: 0 (/) ['ig. 8-I 0

Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del caudal ha de ponerse en la forma Hr : kQ . En

el caso de utilizar la fórmula de Hazen-Williams, la expresión anterior toma la forma H": kQ1'8s.

Como se suponen unos caudales Q", el caudal verdadero Q en una tubería cualquiera de la red puede ex-

presarse Q: Q. * A, donde A es la corrección que ha de aplicarse a Qo. Entonces, mediante el desarrollo del

binomio,kqr'ss _ k(e.+ a)r'ss - k(Q:'"t + 1,850l'Es-14+ " ')

Se desprecian los términos a partir del segundo por ser pequeño A comparado con Qo.

Para el lazo o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación (1) se obtiene

k(Q:'"' + 1,85 03'85 g - k(Q|,8s + 1,85 Q!,8s A) : 0

125

18.

k(Q:'"'- Ql,"') + 1,85k(03'8s - Qp.')A:0

. k@:'8s - 0r'8s)^

+w

t.85k(03'8s - e3,")Despejando A,


En general, para un circuito más complicado, se tiene

No es necesario hacer una nueva aproximación ya que en el Diagrama ,B no puede conseguirse una mayorprecisión de 3,0 l/seg aproximadamente. Teóricamente,2H" debería ser igual a cero, peto esta condición se ob-trene muy raramente.

SeobservaráqueenelProblema 11 elcaudalquefluyeporlatuberíade30cm erael 26,4\de456 llseg,es decir, 120,4 llseg, lo que constituye una comprobación satisfactoria.

A:- ' -k0:'':-

Pero kQ!'8s : Hr ! kQ1'"' : HJQ". Por,u.t,o, t'tt 2 kQ|'"t

L:- 2H" --

+11'l :-27.8r/sep1,8s t (HLIQ) 1,85(0,216)

Entonces, los valores de Q, serán (150,0 - 27,8): 122,2 llseg y (-306,0 - 27,8): -333,8 l/seg. Repitiendo,

de nuevo el oroceso de cálculo

(r)

n - - 2 (Ht)

oara cada lazo de la red @l1,85 > (HLIQ.)

Al utilizar la fórmula (4) debe ponerse cuidado en el signo del numerador. La expresión (1) pone de ma-nifiesto que los caudales que coinciden con el giro de las agujas de un reloj producen pérdidas de carga en elmismo sentido, y que los caudales no coincidentes con el giro de las agujas de un reloj producen caídas de car-ga también en sentido contrario. Es decir, el signo menos se asigna a todas las magnitudes hidráulicas cuyo sen-tido sea cont¡ario al de las agujas de un reloj, o, lo que es lo mismo, al caudal Q y a las pérdidas de car-ga H".Para evitar errores en los cálculos debe observarse siempre este convenio de signos. Por otra parte, el de-nominador de (4) tiene siempre signo positivo.

En los dos problemas siguientes se ilustra el procedimiento de aplicación de la ecuación (4)

19. El sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la Fig. 8-11, es el mismo que aparece como partedel sistema del Problema 1 1 . Determinar, para Q : 456 l/seg (caudal total), los caudales en las dosramas del circuito utilizando el método de Hardy Cross.

Solución:Se supone que los caudales Qzo y Q+o son iguales, respecti-

vamente, a 150 l/seg y 306 l/seg. Los cálculos se realizan en latabla que sigue (obsérvese que se ha puesto - 306 l/seg), proce-diendo asi: se calculan los valores de S mediante el Diagrama B,o por cualquier otro procedimiento, luego Hr: S x Z y a con-tinuación se determinan HrlQ.. Se notará que cuanto mayor sea

IFl. más alejados de los correctos estarán los caudales Q. (Losvalores de Q se han elegido deliberadamente distintos de los co-rrectos para que den lugar a valores grandes deL H" y así ilus-trar el procedimiento.)

Hr, ^ HrlQo

2s,5 0, 1 70

- 14,4 0,04ó

>: +11,1 0.216

HL H"IQ,

16.5 0. I 35

- 1',7 ,t 0,05 r

t: -0.6 0.186

CAP, 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS 127

20. El agua fluye a través del sistema de tuberías mostrado en la Fig. 8-12, en el que se conocen ciertoscaudales, como se indica en la figura. En el punto A,la elevación es de 60,0 m y la altura de pre-

sión de 45,0 m. La elevación en 1es de 30,0 m. Determinar (a) los caudales a través de la red de

tuberías y (b) la altura de presión en L (Utilizar C, : 1gg¡.

Solución:

(a) El método de cálculo puede resumirse como sigue:(1) Se suponen una serie de caudales iniciales, pro-

cediendo circuito por circuito ----en este casoi;i;;;;";;;;;;;.";;'.r r, rr, rrr y rv- Hay '?que poner cuidado en que los caudales que lle-gan a cada nudo sean igual en valor a la sumade los caudales salientes del mismo (principiode continuidad).

(2) Para cada lazo se calcula la pérdida de carga encada una de las tuberías del circuito (analítica-

mente, por el Diagrama .B o bien mediante unaregla de cálculo hidráulica).

(3) Se suman las pérdidas de carga en cada circuitoen el sentido de las agujas de un reloj, teniendoen cuenta la colocación correcta de los signos(si la suma de las pérdidas de carga fuera nula,los caudales Q, supuestos serían los correctos).

(4) Se suman los valores de HJQ., calculando a

continuación el término A de co¡rección de loscaudales en cada Lazo.

-> 40 l/seg

;

D+ 100 l/seg

T

\6o ,.,rC*

I

l{\ Se corrige el caudal en cada una de las tuberíasen A, con lo que se aumenta o disminuye en esa

cantidad cada caudal Q supuesto. Para los ca-sos en que una tubería pertenece a dos circui-tos, debe aplicarse como corrección al caudalsupuesto en esta tubería la diferencia entre losdos A (véase la aplicación siguiente).Se continúa de forma análoga hasta que los va-lores de los A sean despreciables.

80 l/seg

Fig.8-12

(6)

A 9oo. - 50 ". B 9oo. - 50 c-

I

E

160 l/seg

I

80 | 'seg

F

I

E

F

120 l/ség

II

{l:l¡ól

It

D 60i:g

:I

G

900m-40cm

III

80 | seB-

E

I

H 40 llse9

900m-40cm 900m-30cm

Tramo D, cm L,MQt,llseg

(supuesto)s

m/1000 m Hu mHL

Q, A Qz

ABBEEFFA

50404060

900t200900

1200

16040

-80-240

2,200,50

- 1,90

- 1,92

1,980 0,01240,600 0,0150

- r,710 0,0214

-2,304 0,0096

++++

3,3??-15 1r:+RO3,3 - (24,2): -10,9

r73,348,0

- 90,9

-226.7>, : -r.434 0.0584

BCCDDEEB

50403040

9001200900

1200

r2080

-60-40

1,301,90

-4,30- 0,50

1,170 0,00982,t60 0,0270

-3,870 0,0645

-0,600 0,0150

+51+51+s,3 - (-4,9): +r0,2+s,3-(13,3):-8,0

t25,385,3

-49,8-48,0

X : -1.140 0,1163

FEEHHGGF

40304040

9001200900

1200

8C

40

-80- 160

1,902,00

- r,80

- 6,50

1,710 0,02142,400 0,0600

- r,620 0,0203

-9,800 0,0ó13

+24,2- (13,3): +10,9+24,2 - (-4,9): +ZS,tr-)4')+24,2

90,969,r

-55R- 135,8

E : -7,310 0,1630

EDDIIHHE

30303030

9001200900

t200

6040

-+u-40

4,302,00

-2,00-2,00

3,870 0,0ó452,400 0,0600

- 1,800 0,0450

-2,400 0,0600

-49 - (s,3): -r0,2-49-4,9-4,9-(24,2\= -29,r

49,835, l

-44,9-69,1

2 : +2,0'70 0,2295

128 SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS ICAP. 8

Los pasos de los cálculos resumidos se han desarrollado en forma tabular, utilizando el Diagrama Bpara obtener las pérdidas de cargas en metros por mil metros (S). Los valores de 11" se obtienen por mul-tiplicación de S por la longitud de la tuberia que se considere. También se han tabulado los valores del co-ciente de H" por el Q correspondiente.

Los términos A

ar:

se calculan [expresión (4), Problema

- ( - 1.434\

rss(0p584): +13'3 A"'

- t- I 140)/\.. : -" -' : *51-" 1.85(0.1163)

l8] como sigue:

-t-7 r0)t- t1A1- ts5(oJ63o, - T'-''

- I + 2.070)

^,. :-rv 1,85(0,2295)

Para la tubería EFy el lazo I, el término ^

neto es (Ar - Au), es decir, [+13,3 - (+24,2)]: -10,9. Se

obse¡va que el A para el circuito I se combina con el A del circuito III ya que la tubería .EF pertenece a

los dos lazos. En forma análoga, la tubería EFcomo perteneciente al lazo III, el término A neto es (Au, - A,),es decir, l+24,2 - (+13,3)] : +10,9. Obsérvese que los valores A netos tienen el mismo valor absoluto,pero signo opue,eto, Esto se comprende fácilmente ya que el flujo en la tubería Elqes contrario al de las agu-jas de un reloj en el circuito I, mientras que en el lazolll es del sentido de las agujas de un reloj.

Los valores de los Q, para la segunda aproximación se calculan así:

2n" : Q60,0 + 13,3) : 173,3 l,seg

mlentras que

QEf - (-80,0 - 10,9) : -90,9 l/seg y Q¡t : e240,0 + 13,3) : -226,7 llses

El método consiste en continuar las aproximaciones hasta que los términos A sean lo suficientementepequeños, de acuerdo con la precisión que se busque, recordando siempre que los valores de C, tienen unaprecisión limitada. En referencia con la columna de la derecha de la última de las tablas, se hace notar quedan los valores finales de Q en las diversas tuberías.

Como las sumas de las pérdidas de carga son pequeñas para todos los circuitos pueden considerarselos valores de los caudales que figuran en la columna de la de¡echa de la última tabla como los valores co-r¡ectos, dentro de la precisión esperada. El lector puede practicar, calculando los nuevos valores de A, acontinuación los Q., etc.

(b) La altura piezorrétrica en I es (60,0 + 45.0) : 105,0 m. La pérdida de carga de A a I puede calcularse porcualquiera de las rutas que lrnen A con I, sumando las pérdidas de la forma usual, es decir; en la dirección

Tramo o- s HL HrtQ A

ABBEEFFA

173,34U,0

- 90,9

- z_o. I

2.700,70

- 2,30

- 1,70

2,430 0.0r400,840 0,01752,010 0,0228

-2,040 0,0090

ta1

¡'/,2 - (- 1,2) : +4,¿+7,2-(-6,4): +13,6+'7 )

r : -0,840 0.0633

BCCDDEEB

t)5 lR5

.l

-.19.8- 48.0

1,402,10

- 3,00

- 0.70

1,260 0,01012,s20 0.0295

-2,700 0,0542

- 0,840 0,0175

.2,2

,2-8,9: -10,1', -'7): -?,¿

, : +0,240 0,1 I 13

FEEHHGGF

90,969,r

- 55 R

- 13,s,8

2,30550

- 0.91

- 4.80

2,070 0,02286.600 0,0955

- 0,819 0,0147

- 5.760 0.0424

-6,1-7,2: -13,6-6,4- 8,9: -15,3-64- 6,,1

I: +2.091 0,17-s4

EDDTIHHE

49,835,1

- 41,9

- 69.1

3,001,61

- 2,50

- 5.50

2J00 0,0542r,932 0.0550

- 2,250 0,0501

- 6,600 0,09_s5

+8,9 - (-1,2) : +10,1+ 8,9+ 8,9+8,9 - (-6.4¡ : -1. 15,3

, : -4.2t8 0.2518

CAP. SI SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS I29

del flujo. utilizando el camino ABEHI se obtiene (H")n-,: (2,520 + 1,116 + 4,200 + 1,440):9'276m.como comprobación, al utilizar la ruta ABEDI, HL: Q,520 + 1,116 + 3'780 + 3,000) : 10'416 m.

Utilizando é1 valor 9,8 m, la altura piezométrica en 1 será : (105,0 - 9,8) : 95'2 m. De aquí' la altura

de presión en I : (95,2 - 30,0) : 65,2 m.

Tramo Q, S HL H"lQ A Qn

ABBEEFFA

180,556,4

-2r9,5

2,800,93

- 1,76

- 1.60

2,520 0,01401,1 16 0,0198

- 1,584 0,0205

- r,920 0,0087

- l,l-1,1 -4,9:-6,0- 1,1 - 4,8 : -5,9tt

t79,450,4

-83,2-))o 6

t : +0.132 0,0630

BCCDDEEB

r24,184,1

- 59,9

-564

|,412,10

-4)O- 0.93

t,269 0,01022,520 0,0300

- 3,780 0,0631

- 1.116 0,0198

+4,9+49+4,9 - (-2,5): +7,4+4,9 - (-1,1): +O,o

t29,089,0

- 50.4

E : -1,107 0,1231

FEEHHGGF

11 1

_6) )I A1 1

r,'763,50

-1)O- 5,10

1,584 0,02054,200 0,0781

- 1,080 0,0174

-6,120 0,0430

+ 4,8 - (- 1,1) : + 5,e

+4,8 - (-2,s\: +7,3+ 4,8+ 4,8

83,261,1<1 A

- r37,4

2: -1,416 0,1590

EDDIIHHE

5qq44,0

- 35,1

- s3.8

4,202,s0

- 1,60_1<fl

3,780 0,06313,000 0,0682

- t,440 0,0410

-4,200 0,0781

-?5-4q:-14

-? 5 - 4?, - -1 '1

5?541 5

-3'7.6- 61.1

I: +1,140 4,2504


Mediante el Diagrama .8, calcular el caudal esperado en una tubería de 40 cm si la línea de alturas piezométri-

cas cae 1,10 m en I kilómetro' (Utilizar Cr : 100') so/' 62 llseg

Si la tubería del Problema 21 fuera de fundición nueva, ¿cuál sería el caudal? Sol. 80,6 l/seg

En el ensayo de una tubería de fundición de 50 cm, el caudal en flujo permanente fue de 175 l/seg y la línea de al-

turas piezámétricas cayó 1,20 m en un tramo de tubería de 600 m. ¿Cuál es el valor de Ct? Sol- 116

¿Qué diámetro debe de tener una tubería nueva de fundición para transportar, en régimen permanente' 550 l/seg

á"- ugr,u a través de una longitud de 1800 m con una pérdida de carga de 9 m? Sol. 62 cm

Se quieren transportar 520 l/seg a través de una tubería de fundición vieja (Cr : 100) con una pendiente de la

línea de alturas piezométricas de 1,0 m/1000 m. Teóricamente, ¿qué número de tuberías de 40 cm serán necesa-

rías?, ¿y de 50 cm?, ¿y de 60 cm?, ¿y de 90 cm? Sa/. 8,97,5'07' 3'06, 1

Comprobar las relaciones del Problema 25 cuando se transportan 520 l/seg para una pendiente cualquiera de la

línea de alturas piezométricas.

¿Qué pérdida de carga producirá en una tubería nueva de fundición de 40 cm un caudal que, en una tubería de

fundición de 50 cm, también nueva, da lugar a una caída de la línea de alturas piezométricas de 1,0 m/1000 m?

So/. 2.90 m/1000 m

21.

22.

23.

24.

t<

26.

'r1

130

28.

SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS [CAP. 8

La tubería compuesta (sistema de tuberías en serie) ABCD está constituida por 6000 m de tubería de 40 cm,

3000 m de 30 cm y 1500 m de 20 cm (Cr : 100). (a) Calcular el caudal cuando la pérdida de carga erÍre A y Des de 60 m. (ó) ¿Qué diámetro ha de tener una tubería de 1500 m de longitud, colocada en paralelo con la exis-

tentede20cmyconnudos enCy D, paraquelanuevasección C-Dsea equivalentealasección ABC(rttllizarCr : 100). (c) Si entre los puntos C y D se pone en paralelo con la tubería de 20 cm CD otra de 30 cm y2400 m de longrtud, ¿cuál será la pérdida de carga total entre A y D para Q: 80 l/seg?Soi. 58 l/seg, 16,5 cm, 42,8 m

Un sistema de tuberías en serie ABCD está formado por una tubería de 50 cm y 3000 m de longitud, una de40 cm y 2400 m y otra de 30 cm y L m (C, : 120). ¿Qué longitud Z hará que el sistema ABCD sea equivalente auna tubería de 37,5 cm de diámetro,4900 m de longitud y Ct:100? Si la longitud de la tubería de 30 cm queva de C a D fuera de 900 m, ¿qué caudal circulará para una pérdida de carga entre A y D de 40 m?So/. 1320 m, 180 liseg

Hallar la longitud de una tubería de 20 cm equivalente al sistema de tuberías en serie constituido por una tuberíade25cmy900mdelongitud,unade20cmy450myotrade15cmyl50mdelongitud(paratodaslastu-berías Ct : 120). Sol. 1320 m

Los depósitos A y D esfán conectados por el siguiente sistema de tuberías en serie: la tubería (l-B) de 50 cmy 2400 m de longitud, \a (B-C) de 40 cm y 1800 m y la (C-D) de diámetro desconocido y 600 m de longitud. Ladiferéncia de elevación entre las superficies libres de los depósitos es de 25 m. (a) Determinar el diámetro de latubería CD para que el caudal que circula enfre A y D sea de 180 l/seg si C, : 120 para todas las tuberías.(ó) ¿Qué caudal circula¡á entre A y D si la tuberia CD es de 35 cm de diámetro y si, además, conectada entre.B y D existe otra tube¡ía en paralelo con BCD de 2700 m de longitud y 30 cm de diámetro?Sol. 32 cn, 258 l;seg

Un sistema de tuberías (Cl :120) está constituido por una tubería de 75 cm y 3000 m (AB), otra de 60 cm y2400m(BC)ydeCaDdostuberíasenparalelode40cmy1800mdelongitudcadauna.(a)Parauncaudal entre A y D de 360 l,'seg, ¿cuál es la pérdida de carga? (á) Si se cierra la llave en una de las tuberíasde 40 cm, ¿qué variación se producirá en la pérdida de carga para el misno caudal anterior?So/. 21,2 m, variación : 31,1 m

En la Fig. 8-13, para una altura de presión en D igual a 30 m (a) calcular la potencia comunicada a la turbinaDE. (b) Si se instala la tubería dibujada a trazos en la figura (60 cm y 900 m de longrtud), ¿qué potencia podrácomunicarse a la turbina si el caudal es de 540 l/seg? (C, : 120). Sol. 144 CV, 207 CV

Er 40,0 mm - 60ch 18ü)m-20cmD

600m - 50cm

2100n - 75cm1500 m - 15 cm D, 6',$-7

25cmD \r El 0.0 lIp-et t,o

El 0.0 m

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

Fig.8-I3 *'-----Fig.8-14

En la Fig. 8-14, cuando las alturas de presión en A y -B son de 3,0 m y 90,0 m, respectivamente, la bombaAB está comunicando al sistema una potencia de 100 CV. ¿Qué elevación puede mantenerse en el depósito D?So/. 46,8 m

En el sistema de tuberías mostrado en la Fig. 8-15 es necesario transportar 600 l/seg hasta D, con una presión

en este punto de 2,80 kglcm2. Determinar la presión en A en kglcm2. So/. 3,40 kglcm2

EI en,.1 = 300m El enD:l-t0m

1800 m D60cmDC, : 120 fpara todas Ias tuberras)

El. 30.0 m

El enr:17.0m

Fig.8-15 Fig.8-16

36. (a) En la Fig. 8-16, la presión en D es de2,l0kglcm2, cuando el caudal suministrado desde el depósito I es de250 l/seg. Las válvulas B y C están cerradas. Determinar la elevación de la superficie libre del depósito A. (b) Elcaudal y la presión dados en (a) no se cambian, pero Ia válvula C está totalmente abierta y la .B solo parcialmen-

4 - 25cm D

CAP. 8] SISTEMAS DE TUBERIAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS 131

te abierta. Si la nueva elevación del depósito I es de 64 m, ¿clál es la pérdida de carga a través de la válvula.B?Sol. El. 68 m. 5.8 m

37. Determinar el caudal que circula a través de cada una de las tuberías del sistema mostrado en la Figura 8-17.Sol. 190 l/seg, 140 l/seg, 50 l/seg

l20o ^

lo ";';

38.

El. 30,0 m

¡¿oo a !El. 21,0 m El 48,0 m

Fig. E-r7 Fig.8-18

La bomba X.Y, auna elevación de 6,0 m, hace circular l20llsega través de una tubería nueva de ftndjción yW de40 cm y 1800 m de tongitud. La presión de descarga en I es de 2,70 kglcm2 . En el extremo W de la tubería de40 cm están conectadas dos tuberías, una de 30 cm y 750 m de longitud (Cl : 100), que termina en el depósitoA, a wa elevación de 30,0 m, y otra de 25 cm y 600 m (Cl : 130), que termina en él depósito -8. Determinarla elevación de .B y el caudal que llega o sare de cada uno de los depósitos.Sol. El. 7,1 m, 35 l/seg, 155 l/seg

En la Fig. 8-18, cuando Q¿o: Qoc -- 280 llseg, determinar la presión manométrica en E' en kglcm2, y la ele-vación del depósito .8. Sol. 5,26 kglcm2,53,9 m

En el sistema mostrado en la Fig. 8-19, a través de la tubería de 90 cm, circuian 900 l/seg. Determinar la poten-cia en CV de la bomba xA (rendimiento igual al 78,5 %) que da lugar a los caudales y elévaciones mostrados enIa figura si la altura de presión en X es nula. (Dibujar las líneas di alturas piezométricas .) Sol. 272 Cy

_ Et, 30,0 n

Fig.8-19 Fig.8-20

¿Qué caudal debe suministrar la bomba de la Fig. 8-20 cuando el caudal a través de la tubería de 90 cm es de1200 l/seg y cuál es la alrura de presión en l? Sol. 9g4 llseg,56,6 m

La altura de presión en l, sección de descarga de la bomba AB, es 36,0 m debido a la acción de dicha bomba,de una potencia de 140 CV (véase Fig. 8-21). La pérdida de carga en la váh'ula Z es de 3,0 m. Determinar todoslos caudales y la elevación del depósito ?". Dibujar las líneas de alturas piezométricas.So/. Q.¿w: QsB:360 lr'seg, 8"^ :64 llsee, Qrs:424 l/seg, El. en T 27,0 m

39.

40.

41.

42.

Et 30,0 m

w

.-_Ju' ,o'0.

t\\

Et. ?

2400 m -60cmD

lr,4mCr : 120(todas ¡astuberias)

7,0 m

Et 3,0 m\

Fig.8-21 Fig.8-22

43. El caudal total que sale de l, véase Fig. 8-22, es de 380 l/seg y el caudal que llega a -B es de 295 llseg. Determi-nar (a) la elevación de I y (ó) la longitud de la tubería de 60 cm, sol. 26.5 m. 7:,00 m

t'q" rzoo*-#

| 6,0 m Cr : 120 (todas las trberias)

132 STSTEMAS DE TUBERTAS EQUTVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS [CAP. 8

4. ¿Cuáles son los caudales que llegan o parten de cada uno de los depósitos de la Figura 8-23?Sol. Qm : lN llseg, Q"": 3 l/seg, Qnc : 79 llseg, Q¿p : 64 Usee

El. 72,0 mm-20cmD,C^:1¡g

ler aa,o t5h

El. 69,0 m

Fig.8-23 Fig.8-24

45. Si la altura de presión en F es de 45,0 m, determinar los caudales que circulan a través del sistema mostradoen la Fizura 8-24. Sol. Qrn: 98 llseg, Qoo: 104 Vseg, Qno : 48 llseg, Qor: 250 l/seg

Si en el sistema de tuberías del Problema 9, Q : 200 l/seg, ¿qué caudal circula por cada rama y cuál es la pér-

dida de carga? Utilízar el método de Hardy Cross.Sol. 28,0 m, Qzo : 82 llseg, Qto: 53 l/seg, Qzs : 65 UseB

Resolver el Problema 35 mediante el método de Hardy Cross.

Se están estudiando tres sistemas de tuberías A, B y C. ¿Cuá1 és el sistema de mayor capacidad? Utilizar Cr : 100

para todas las tuberías del dibujo. Sol. B

.LMNla\#900m-40cmD 900m-40cmD

(c)

6.

47.

48.

(B)900m-45cm ó00m-35cmD

Fig.8-25

49. En el problema precedente, ¿qué diámetro debe tener una tubería de 900 m de longitud para que puesta en pa-ralelo entre M y N, en el sistema A (demanera que se foÍne un lazo o circuito de M a .|ü), haga que el sistema,{ modificado tenga el 501 más de capacidad que el sistema C? Sol. 38 cm

.,Nj'/-El. 3o,o m Cr = ¡00 (todas las tub€rias)

l20Om-25cmD

Capitulo 9

Medidas en flujo de fluidos

INTRODUCCION

Para medidas en el flujo de fluidos se emplean en la práctica de ingeniería numerosos dispositivos.

Las medidas de velocidad se realizan con tubos de Pitot, medidores de corriente y anemómetros rota-

tivos y de hilo caliente. En estudios de modelos se utilizan con frecuencia métodos fotográficos. Las

medidas se llevan a cabo mediante orificios, tubos, toberas o boquillas, venturímetros y canales Venturi,

medidores de codo, vertederos de aforo, numerosas modificaciones de los precedentes y varios medi-

dores patentados. A fin de aplicar correctamente estos aparatos, es imperativo emplear la ecuación

de Bernoulli y conocer las características y coeficientes de cada aparato. En ausencia de valores seguros

de estos coefióientes, un aparato debe calibrarse para las condiciones de operación en que va a emplearse'

Las fórmulas desarrolladas para fluidos incompresibles pueden aplicarse a fluidos compresibles

en donde la presión diferencial es pequeña en comparación con la presión total. En muchos casos prác-

ticos se dan tales presiones diferenciales pequeñas. Sin embargo, cuando se debe considerar la com-

presibidad, se desarrollarán y se emplearán fórmulas especiales (véanse Problemas 5-8 y 23-28).

TUBO DE PITOT

El tubo de Pitot mide la velocidad en un punto en virtud del hecho de que el tubo mide la presión

de estancamiento, la cual supera a la presión est¡itica local en w(Vz l2g) kglm' . En una corriente de fluido

abierta, como la presión manométrica local es cero, la altura a la cual el líquido asciende en el tubo coin-

cide con la alturá de velocidad. Los Problemas 1 y 5 desarrollan expresiones para el flujo de fluidos in-

compresibles y compresibles, respectivamente.

COEFICIENTE DE DESCARGA

El coeficiente de descarga (c) es la relación entre el caudal real que pasa a través del aparato y el

caudal ideal. Este coeficiente se expresa así

caudal real Q en m3/seg

caudal ideal Q en m3/seg

Más prácticamente, cuando el coeficiente de descarga c se ha determinado experimentalmente,

Q: cAlzgn en m3/seg

donde A : área de la sección recta del dispositivo en m2

H : car$a total que produce el flujo en m del fluido.

El coeficiente de descarga puede escribirse también en función del coeficiente de velocidad y del

coeficiente de contracción. o sea.

c:cvxcc

133

(1)

(2)

(3)

t34 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. 9

El coeficiente de descarga no es constante. Para un dispositivo dado, varía con el número de Reynolds.En el Apéndice se dan los datos siguientes:

(1) La Tabla 7 contiene los coeficiQntes de descarga para orificios circulares en el caso de aguaa 15' C evacuándola en la atmósfera. Para fluidos dentro de amplios márgenes del númerode Reynolds, estos datos son utilizables con poca garanfia.

(2) El Diagrama C indica la variación de c'con el número de Reynolds para tres relaciones diá-metro de orificio-diámetro de tubería. Para números de Reynolds aproximadamente infe-riores a 10.000, estos datos no ofrecen garantia.

(3) El Diagrama D muestra la variación de c con el número de Reynolds para tres relaciones diá-metro de boquilla-diámetro de tubería (boquillas de aforo).

(4) El Diagrama ,E indica la variación de c con el número de Reynolds para cinco dimensionesde venturímetros cuya relación de diámetros es de 0,500.

COEFICIENTE DE VELOCIDAD

El coeficiente de velocidad (c,) es la relación entre la velocidadla corriente (chorro) y la velocidad media ideal que se tendría sin

C,:velocidad media real en m/seg

velocidad media ideal en m/seg uI-ZgA

COEFICIENTE DE CONTRACCION

El coeficiente de contracción (c") es lacorriente (chorro) y el área del orificio a

media real en la sección recta derozamiento. Así, pues,

V

relación entre el área de la sección recta contraída de unatravés del cual fluye el fluido. Entonces,

(4)

área del chorro A.¡oc - área del orificio Ao

PERDIDA DE CARGA

La pérdida de carga en orificios, tubos, toberas o boquillas y venturímetros se expresa así:

(5)

Pérdida de carga en m del fluido: (6),I(--¡ -D+Cuando esta expresión se aplica a un venturímetro, Z.r, : velocidad en la garganta y cu : c.

VERTEDEROS DE AFORO

Los vertederos de aforo miden el caudal de líquidos en canales abiertos, corrientemente agua. Uncierto número de fórmulas empíricas se emplean en la literatura técnica, todas ellas con sus limitacio-nes. A continuación se citan solamente algunas de ellas. La mayoría de los vertederos son rectangula-res: el uertedero sin contracciónlateral de la lámina y generalmente empleado para grandes caudales,y el uertedero con contracción lateral de la lámina para caudales pequeños. Otros vertederos son trian-gulares, trapezoidales, parabólicos y de flujo proporcional. Para obtener resultados precisos un ver-tedero debe calibrarse en el lugar de utilización bajo las condiciones en que va a ser empleado.

cAp. 9l MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS 135

FORMI.'LA TEORICA DE UN VERTEDERO

La fórmula teórica de un vertedero para vertederos rectangulares, desarrollada en el Problema 29, es

2. -f

. V2. 172 -a = i,ul* f{a * z),,, - (í)',, ) (T)

donde Q : caudal en m3/segc : coeficiente (a determinar experimentalmente)ó : anchura de la cresta del vertedero en mH : car}a sobre el vertedero en m (altura de la superficie del nivel del líquido por encima de

la crestaZ : velocidad media de aproximación en m/seg

FORMULA DE FRANCIS

L,a fórmula de Francis, basada en experiencias sobre vertederos rectangulares de 1,067 m (3,5 ft)a 5,182 m (17 ft) de anchura bajo cargas de 0,183 m (0,6 ft) a 0,488 m (1,6 ft), es:

a : 1,84 (b - frl [i" * Y¡,,, - (#)',,)

donde la notación es la misma que anteriormente y

n :0 para un vertedero sin contracciónn : I para un vertedero con contracción en un extremon : 2 para un vertedero con contracción total.

FORMULA DE BAZIN

La fórmula de Bazin (anchuras de 0,5 m a2 m bajo cargas de 0,05 m a 0,6 m) es:

a : (r,ts+ + Yl [r * o,ss {¡ft2¡')t'n'''donde Z : altura de la cresta del vertedero sobre la solera del canal.

El término entre corchetes se hace despreciable para bajas velocidades de aproximación.

FORMULA DE FTELEY Y STEARNS

La fórmula de Fteley y Stearns [anchura de I,524 m (5 ft) a 5,79I m (19 ft)] bajo cargas de 0,021 m(0,07 ft) a 0,497 m (1,63 ft) para vertederos sin contracción es:

a = 1,83 b(¡I * .fi)'',', + 0,00065 b (10)

donde d : factor dependiente de la altura de cresta L 1r" ,"qriere una tabla de valores).

FORMULA DEL VERTEDERO TRIANGULAR (desarrollada en el Problema 30)

Estafórmulaes: a::ctg!{zgT''' (11)15 - 2'

o, para un vertedero dado, Q - ,nHt'' (12)

LA FORMULA DEL VERTEDERO TRAPEZOIDAL (de Cipolletti) es:

a - I,g6lbH3/2 (13)

En este vertedero la pendiente de los lados (extremidades) es de t horizontal a 4 vertical.

(8)

(e)

136 MEDIDAS EN FLUJo DE FLUIDoS

PARA PRESAS EMPLEADAS COMO YERTEDEROS la expresión aproximada del

Q - mbHtt'

donde m : factor experimental, tomado generalmente de estudios sobre modelos.En el Capítulo 10, Problema 52, se discute el caso de flujo no uniforme en vertederos de pared gruesa.

EL TTEMPO DE vAcrADo DE DEPosrros por medio de un orificio es (véase problema 3g):

lcAP. e

caudal es:

(14)

t - ?o- Q,( - nugc,4.1/29

h¡

t _ ('-ArdhJ¡, Q,"r - Q.n

Para un depósito cuya sección

(sección recta constante, sin flujo entrante) (15)

(flujo de entrada < flujo de salida, sección recta constante) (16)

recta no es constante, véase el Problema 41.

(17)

(r8)

Fig.9-l

EL TIEMPO DE VACIADO DE DEPOSITOS por medio de vertederos se calcula empleando lafórmula (véase Problema 43):

t - ffirrr"-H,,h)

EL TIEMPO PARA ESTABLECER EL FLUJO en una tubería es (véase Problema 45):

n : LV' rn rvt+v,ZSH 'Vt - V'

Problemas

1. Un tubo de Pitot, teniendo un coeficientede 0,98, se emplea para medir la velocidaddel agua en el centro de una tubería. Laaltura de presión de estancamiento es 5,58 my la altura de presión estática en la tuberíaes de 4,65 m. ¿Cuál es la velocidad?

Solución:

Si el tubo se adapta y posiciona correcta-mente, un punto de velocidad cero (punto de es-tancamiento) se desarrolla en .B enfrente del ex-tremo abierto del tubo (véase Fig. 9-l). Aplicandoel teorema de Bernoulli desde I en el líquido enreposo hasta -B se trene

resueltos

¡Pt , V'?t

6 * ü+ 0) - sin pérdidas (supuesro) : (ff + o + o;

Entonces, para un fluido ideal <desprovisto> de fricción,

Vi pa pA2s = *- * o

(f)

,'(T -#)tf (2)

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS t37cAP. el

para el tubo real debe introducirse un coeficiente c que depende de la forma del tubo. La velocidad real para

el problema anterior sería

vo: ,Jlg@ul* - pJ*): o,s8J2s6,s8 - 4,6r: 4'18 m/ses

La ecuación anterior se aplica a todos los fluidos incompresibles. El valor de c puede tomarse como la mi-

tad en la mayoría de los problimas de ingeniería. Resolviendo (1) para la presión de estancamiento en B se tiene

pu = pr * !pV' donde p=wlg @)

2. A través de un conducto fluye aire, y el tubo de Pitot estático que mide la velocidad está conecta-

do a un manómetro diferenCial conteniendo agua. Si la desviación del manómetro es 10 cm, calcu-

lar la velocidad del aire, suponiendo que el peio específico del aire es contante e igual a 1,22 kg/m'y que el coeficiente del tubo es 0,98.

Solución:

Para el manómetro diferencial,

@" - p,ilw: (10/100)(10001r,22): 82 m aire. Entonces, V:0.g8Jl\6(8U:39.3 m/seg

(Véanse los Problemas 26-28 y Capítulo 11 para consideraciones sobre velocidad del sonido.)

3. por una tubería fluye tetracloruro de carbono (Dr : 1,60). El manómetro diferencial conectado

al tubo de pitot estático indica una desviación de 7,5 cm de mercurio. Suponiendo c : 1,00, hallar

la velocidad.

Solución:

pn - pt: (7,5/100x13,6 - 1,6)1000 : 900 ke/m'z v : !/D,6lcoolo'6 " r}w: 3,31 m/seg

4. Fluye agua a una velocidad de 1,4 mf seg. Un manómetro diferencial que contiene un líquido cuya

densidad relativa es 1,25 se conecta u ,rn tnbo de Pitot estático. ¿Cuál es la diferencia de nivel del

fluido en el manómetro?

Solución:

v : ,r/zs( plü, r,4 : r,0ov4Fí(Lphr) y Lplw: 0,1 m asua

Aplicando el principio de los manómetros diferenciales, 0,1 -- (1,25 - l)h y h : 0,4 m de diferencia'

5. Desarrollar la expresión para medir el flujo de un gas con un tubo de Pitot.

Solución:

El flujo de A a B en la figura del Problema I anterior puede considerarse adiabático y con pérdidas despre-

ciables. Aplicando la ecuación de Bernoulli D del Problema 20 del Capítulo 6, desde ,4 hasta B, obtenemos

[rJ-'¡ i:*Y:+0-l - pérdidasdespreciables = [fr!X}l(f)'- ' *-o'olL\k-r,^, Ls L\L-l)\P¡l\P1) J

vi ¡_a .1¡r.,,¡ [¡r".¡ -_, - _ 1-l (l)2s = \,t - l/\2r,r/ L\P^/

^J

El término po es la presión de estancamiento. Esta expresión (1) corrientemente se transforma introduciendo

la relación entre la velocidad en A y la velocidad del sonido c del fluido no perturbado.

Del Capítulo l, la velocidad del sonido ,:,/nJp: !6lp: JkpCl-. Combinando con la ecuación (1)

precedente,

v-:, = f,-f -l[loo),--'--1lZ \k _ I,/|\¡r.r/ |

Desarrollando en serie,

o, X= [r*C?X:),]-"--" (z)

PB rlr\ l, I tVnv k-2 ¡V;¡,-t\t)-%\7) - \3)

138 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

A fin de comparar esta expresión con la fórmula (-3) del Problema 1, se multiplicapot pAy se sustituye kpr/c2por p,q, obteniéndose

pB = p^ + +'.,v;[t *!¡(;)'_L- ? t{.l'* ]Las expresiones anteriores se aplican a todos los fluidos compresibles para relaciones de Vlc menores que

la unidad. Para relaciones mayores que la unidad, se producen ondas de choque y otros fenómenos, no teniendosuficiente precisión la hipótesis adiabática y, por consiguiente, la aplicación de estas expresiones. La relación Vlcse denomina número de Mach.

El término entre corchetes en (4) es mayor que la unidad y los dos primeros términos dan suficiente aproxi-mación. El efecto de la compresibilidad es incrementar la presión del punto de estancamiento respecto a la deun fluido incompresible [véase expresión (3) del Problema 1].

En los Problemas 26-28 y en el Capítulo 11 se discutirá el caso de velocidades del sonido.

Mediante un tubo de Pitot se mide un flujo de aire en condiciones atmosféricas (rrl : I,221 kg/m'a 15'C) a una velocidad de 90 m/seg. Calcular el error en la presión de estancamiento al suponerincompresible el aire.Solución:

Aplicando la fórmula (3) del Problema 1 anrerior,

pn: pt + ipv' : 1,033(10.000) + +(r,22r19,8x90)' : 10.836 kg/m2 absolutos

Aplicando la fórmula (4) del Problema 5 anrerior y haciendo , : Jt gRI : JIAp,8)er,3)eB8) : 340 m/seg,

pa : 1,033(10.000) + +(r,22119,8)(90),[l + +(901340), . ]: 10.330 + 506[1 + 0,0175] : 10.842 kg/-m2 absoluros

El error en la presión de estancamiento es menor que el 0,1 /oy el error eí (pB - pr) es aproximadamenter,75 %.

La diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática medida por el tubo de Pitotestático es 2000 kgl^' . La presión estática es 1 kg/cm2 absoluto y la temperatura de la corriente de airees 15'C. ¿Cuál es la velocidad del aire, (a) suponiendo que el aire es compresibley (b) suponiendoque es incompresible?

Solución:(a) p¿,: 1(10.000) : 10.000 kglm2 absoluros y c : JksRr: JIAe,t¡¡'l,SJ;(r88r:340 m/ses.

De la ecuación (2) del prob. 5. 'n: lt + (k .t,r\rrlo''n'"Pt L 2 c )

Ur)

6.

7.

10.000+2000 | 1.4_I V, 11,4to.4

lo.ooo :lt+e 2 xt;)'J ' vA:178m/ses

1(l0.000)(b\ *: zi:.ltzu't: 1.186 kg/mr y V : !/2sra"/,tL- pf tL) : Jzsel\\ll,t8q : 1g2 -7..*.

8. A través de un conducto circula aire a 240 m/seg. En condiciones normales de presión, la presiónmanométrica de estancamiento es de -I,77 m de columna de agua. La temperatura de estanca-miento es de 63" C. ¿Cuál es la presión estiítica en el conducto?

Solución:Con dos incógnitas en la ecuación (2) del Problema 5, vamos a suponer una velocidad Vlc (número de Mach)

igual a 0,72. Entonces,(-1,'tr + 10,33)1000 : pnlr + +(1,4 - t)(0,72)21r,4to,4

Y P,¿.:8,62(1000)11,4: 6155 kglm2 absolutos.

cAP. 9l MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

A fin de comprobar la suposición anterior, aplicamos la relación adiabática

TB .p8.,,_,,,0 273 + 63 ,8.62 x 1000 ^^,,r): (o;l'--"'r'

-:

(-'- uirt---t'"it'"' r¡:305'Kelvin

Por otra parte , : JWr: jl4l\8[r9.3x305): 350 mises.

Entonces, Vlc :2401350: 0,686 y 8'ó2 x 1000o^ - ¡ *ffi: 6285 kglm2 absolutos'

No se precisa nueva aproximación.

9. Un orificio normal de 10 cm de diámetro evacua agua bajo una alturade carga de 6 m. ¿Cuál es el caudal en m3/seg?

Solución:Aplicando la ecuación de Bernoulli enfre A y B en la figura adjunta, tomando

.B como plano de referencia,

to + o + 6)- (+ - n5 : t5 + 4 + o)c; ¿g ¿g u'

Pero la altura de presión en -B es cero (según se vio en el Cap. 4, Prob. 6). En-tonces,

V"n: c,uEg xi

Por otra parte, Q : A"nV.¡ que, aplicando las definiciones de los coeficientes, da

e: @"A,)cuJrg r 6: r,s,"r/2c r 6 Fig'9'2

De la Tabla 7, c : 0,594 para D : 10 cm y h : 6 m. Por consiguiente, Q : 0,5941*n(0,1)tlr/Eg x 6 :0,051 m3/seg.

La velocidad real en la secoión contraída de un chorro de un líquido circulando por un orificiode 5 cm de diámetro es 8,4 m/seg bajo una carga de 4,5 m. (a) ¿Cuál es el valor del coeficiente develocidad? (ó) Si el desagüe medido es 0,0114 m3/seg, determinar los coeficientes de contraccióny descarga.

Solución:

(a) Velocidad ,"ul : ",rF2gH, 8,q : ,"r/tg,e , q,S, c, : 0,895.

(b) Q reat: ceJ2gH, 0,0il4 : cl!n(0,0s)rlr/t9,6 x 4,5, c :0,627.

Como c : co x cc, c" : 0,62710,895 : 0,690.

A través de un orificio normal de 2,5 cm de diámetro circula aceite bajo una carga de 5,4 m a razónde 0,00315 m/seg. El chorro choca contra una pared situada a 1,5 m de distancia horizontal y a0,12 m verticalmente por debajo del centro de la sección contraída del chorro. Calcular los coe-ficientes.

Solución:

(a) e:cAJzgH, 0,00315:cl[n(0,025),]r/8s6,4), c:0,625.

(b) Delasecuacionescinemáticas,x: Vtey: )gt2, endondereJrrepresentanlascoordenadasmedidasdelchorro.Eliminando / se obtiene x2 : ev2ldy.Sustituyendo, (1,5)': (2V219,8\(0,12) y V real:9,6 m/seg en el chorro.

Entonces, 9,6 : c,: JUn y c,: 0,934. Finalmente, c": cfcu: 0,670.

139

10.

11.

140

12.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

El depósito del Problema 9 está cerrado y el aire que ocupa el espacio por encima del agua estábajo presión, aumentando el caudal hasta 0,075 m3/seg. Hallar la presión del aire en kg/cm2.

Solución:

e: cA.n/2gH o 0,075 : cl!',Q,\'fJze6 + plü

La Tabla 7 indica que c apenas cambia dentro del margen de carga considerado. Tomando c : 0,593 y

calculando, se tiene plw : 7,05 m de agua (el c supuesto se comprueba para la carga total I1). Entonces,

p' : whlr002 : 1000(7,05)/10.000 : 0,705 kslcm2

f3. A través de un orificio de 7,5 m de diámetro, cuyos coeficientes de ve-

locidad y contracción son 0,950 y 0,650, respectivamente, circula

aceite de 0,720 de densidad relativa. ¿Qué debe leerse en el manóme-

tro A de la Fig. 9-3 para que la potencia en el chorro C sea 8,00 CV?

Solución:

La velocidad del chorro puede calcularse a partir del valor de la potencia

del chorro:

caballos de vapor del chorro : + - w(c"A"v')(O j- vlJ2g + 0)

,,oo _ l0.7zo x 1000X0,610][i¡(0,07s)'?]zil2g

Despejando, V:h: 57W Y V.¡ : 17,8 m/seg.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre .B y C, tomando C como referencia,

(pr + derpr. + 2.jt _t,o,rrF - ¡l1jf : (0 + ff * o,

y p,tlw:15,25 m de aceite. Entonces, pn-- whll0.000: (0,720 x 1000)15,25/10.000: l,l kglcm2-

Nota: El lector no debe confundir la altura de carga total H, que origina el flujo, con el valor de 1/"0

la expresión que nos da la potencia del chorro. Ambos valores no son iguales.

14. Para el caso de la boquilla de 10 cm de diámetro indicada en laFig. 9-4, (a) ¿Cuál 24" C baio una altura de

caiga de 9 m? (á) presión en la sección 'B?(c) ¿Cu¿t es la má emplearse si el tubo está

completamente lleno? (Utilizar c,: 0,82.)

Solución:Para una boquilla normal, la corriente se contrae en .B aproximadamen-

te un 0,62 del área del tubo. La pérdida de carga entre A y .B se ha valorado

en 0,M2 veces la altura de velocidad en -8.

(a) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y C, tomando c como refe-

rencra' 1 vz. v?-

(0 * despr. + 9) - tto¡t - |6: (0 + 2j + 0l

!v.¡:10,88m/seg.LrcgoQ:A"¡V"¡:[1,00x]z(0,1)'?1(10,8S):0,0855m3/seg.

(b) Ahora, la ecuación de Bernoulli entre A y -8, tomando -B como referencia, nos da

(o + despr. + e) - o.o42? : (A +9 * o,","._2s ,w 29

Fig.9-3

Fig.9-4

(A)

2,7 m

lIAceite

cAP. el MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

Por otra pafte, Q : AaVn: AcVc o ccAVB: AVc o VB: V"Jc,: 10,8810,62 : 17,6 mlse5.

Pn- /.) m qe agua.

w

(c) Como la carga que produce el flujo a través de la boquilla se incrementa, la altura de presión en ,B irá de-creciendo. Para un flujo estacionario (y con el tubo completamente lleno), la altura de presión en .B no debeser menor que la de la presión de vapor para líquidos a la temperatura considerada. De la Tabla I en elApéndice, para el agua a24' C este valor es de 0,030 kglcm2 absolutos o 0,3 m absolutos aproximadamenteal nivel del mar (-10,0 m).

t4r

Sustituyendo en la ecuación (,4), 9 : p¿ + 1,042U!f

2s

De (A\ se tiene

Por otra parte,

De donde

,: ,o4

+ r,o42f: rc,0 + r,o+2fi

c"AVe: AVc : Ac,J2gh

(8)

v": ?,Esh o

Sustituyendo en (B), h: -10,0 + 1,042(1,75h) y h:12,15 m de agua (24' C).Toda carga superior a 12 mhará que la corriente salga sin tocar las paredes del tubo. El tubo funciona

entonces como un orificio.En condiciones de presión de vapor resultarían fenómenos de cavitación (véase Capítulo 12).

15. A través de una tubería de 10 cm circula agua a razónde0,027 m3fseg y de ahí a través de unaboquilla conectada al final de la tubería. La boquilla tiene 5 cm de diámetro interior y los coe-ficientes de velocidad y contracción para la boquilla son 0,950 y 0,930, respectivamente. ¿Quéaltura de presión debe mantenerse en la base mayor de la boquilla si la presión que rodea al chorroes la atmosférica?

Solución:

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la base mayor de la boquilla y el chorro,

tL * h+ o) - f--!---- - tG: ro + ví * o,'H ' 29 I v' L1o.95o¡' 'r2g- 29 "'

y las velocidades se calculan de Q : AV: 0,027 : AroVro : A"tV.¡ : @,A)V.¡. Así, pues,

v," : ffi: 3,44 mlses ! v"t

fi: rirr: rffirn:,,75h

_ 1000[á7¡(0,05)r(12,e5)][0 + (12,95)r/28 + 0] : 2,e1 Cy'75

0,027

0,930$z(0,0s)'z1: 14,8 m/seg

Sustituyendo y operando, plw : 12,4 - 0,6 : 11,8 m de agua.

Aplicando la fórmula V"n: ,,uEgH y siendo H : (pl* + Vl¡l2g), se tiene

r4,8 :O,95\u5slpfu + Q,44)'l2slde donde trF" + O,A:3,51 y plw: ll,8 m de aguá, como antes.

16. Una boquilla de 10 cm de diámetro en la base mayor por 5 cm de diámetro en el extremo de sa-lida apunta hacia abajo y la altura de presión en la base mayor de la boquilla es 7,8 m de agua.La base mayor de la boquilla dista 0,9 m de la sección de salida y el coeficiente de velocidad es 0,962.Determinar la potencia en el chorro de agua.

Solución:Para una boquilla, salvo si se da c", este coeficiente se toma como la unidad. Por consiguiente, V.n : V5.Antes de calcular la potencia deben hallarse V y Q. lJsando la ecuación de Bernoulli entre la base mayor

y la sección de salida de la boquilla, tomando como referencia esta última, tenemos

os +v^b+ o.e) - l=]^. - tjf: (o + 5 * o,zg '(0.962\2 't 29 29

! A,oVro: AsVs o Vlo: éll0)4v?. Operando, Vs:12,95 mlse1.

wQH"¡Potencia en el chorro :

75


17. Por un venturímetro de 30 cm x 15 cm circula aguaarazónde 0,0395 m3/seg y el manómetrodiferencial indica una desviación de 1,0 m, como muestra la Fig. 9-5. La densidad relativa del líqui-do del manómetro es 1.25. Determinar el coeficiente del venturímetro.

Fie.9-5

Solución:

El coeficiente de un venturímetro es el mismo que el de descarga (c" : 1,00 y, por consiguiente, c : c,).Elcoeficiente de flujo K no debe confundirse con el coeficiente c del niedidor. Al final de este problema se hace unaaclaración.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y .8, caso ideal, se tiene

,+.++ o) - sin pérdidas : <ff *ft * ot

y v4o : (AtslA3)2v?s. Operando, Zr, : (sin pérdidas).

La velocidad real (y, por tanto, el valor real del caludal Q) se obtendrá multiplicando el valor ideal por el

coeficiente c del medidor. Así, pues,

Q: A,rvrr: Atsc ^fsVll--tl! (1)'" \l-(ArslAn)'' Para obtener la altura de presión diferencial indicada anteriormente, se emplearán los principios del ma-nómetro diferencial.

Pc: Pc'@olw - z):polw - (z + 1,0) + 1,25(1,0) o (tnl* - Palw):0,25 m

Sustituyendo en (1), 0,0395 : !n(0,t5¡'cJzsl0,25)lÍ - 1116) y c : 0,980.

Nota'. La ecuación (1) suele escribirse así: Q: KArrE( pld donde Kes el llamado coeflciente de flu-jo. Está claro que

K=\/- (AJA,Y

Para obtener, si se desea, c se utilizan tablas o ábacos en los que puede leerse el coeficiente K. Los factores

de conversión para obtener los valores de K para ciertas relaciones de diámetros de instrumentos se indican en

el Apéndice en varios diagramas.

| - (A1slA3J2


18. Circula agua hacia arriba a través de un venturímetro ver-tical de 30 cm x 15 cm cuyo coeficiente es 0,980. La des-

viación del manómetro diferencial es 1,16 m de líquido de

densidad relativa 1,25, como se muestra en la figura adjunta.Determinar el caudal en m3/seg.

Solución:

Aplicando la ecuación de Bernoulli como en el Problema 17 yteniendo en cuenta que en este caso zA: 0 y zn: 0,45 m, se tiene

Q : cAtt

Aplicando los principios del manómetro difereÍrcial para ob-teller Lplw,

pclw : pnlw (en m de agua)p.tlw -r (n + l,16): Pnlw + m + 1,25(1,16)

l@ol* - pnlw) - (^ - n\l: r,r6(r,2s - 1,00)

l@olw - pnlw) - 0,451 : 2,29 m de agua

Sustituyendo en la ecuación que da el caudal, se tiene0,0426 m3 lseg.

r43

I

rn

I+I,lq mDT

19. Agua a 37'C circulaarazónde0,0142 m3/seg a través de un orificio de 10 cm de diámetro ins-talado en un tubo de 20 cm. ¿Cuál es la diferencia de altura de presión entre la sección aguas arri-ba y la sección contraída (sección de <vena contracta>)?

Solución:

En el Diagrama C del Apéndice se observa que c' varía con el número de Reynolds. Hay que advertir que

el número de Reynolds debe calcularse para la sección recta del orificio y no para la sección contraída del chorro

ni tampoco para la sección de la tubería. Este valor es

4(0,0142) : 263.000n(6,87 x 10-?X0,1)

El Diagrama C para P : 0,500 da c' : 0,605.

Aplicando el teorema de Bernoulli entre la sección de la tubería y la sección del chorro se obtiene la siguien-

te ecuación general para fluidos incompresibles:

+0) -

Fig.9-6

q : o.esorlltrt(..lsf \EQ2sv\ - tlt6\:

^ V^D^ AQIftD:ID. 4QÁE:-:--vlvnDo

e:AroVro:(c"Arc)V.¡Sustituyendo Vro por trln y operando,

v'n--r,pzolw-P.Jwl , ^ v :a trrtúU-tl-,,f : cit1_ rzr¿¿;t o Ych: Ca'rl I - ¿tO¿Utf

Luego e : A.nv"n: tc,Alst , ,,J'f###,] :-cAto

.4.^O : ----:=:]L:,EcAp!u)

Jl - (DlolD2o)"

o

-q:rc'aroJzgltpl*¡

Q)

donde K es el llamado coeficiente de flujo. El coeficiente del medidor c' puede determinarse experimentalmente

para una relación de diámetro de oriflcio a diámetro de tubería dada, o bien puede preferirse el coeficiente de

flujo K.

,P" , V2B,;- k ,i-'r*:,T*ft*ot

Para un orificio con velocidad de aproximación y un chorro contraído, es más conveniente escribi¡ la ecua-

ción de la forma

(1)

r - c2(DrclD2o\4

t44 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

de donde

: 0,0367 kglcm2.

Sustituyendo en la anterior expresión (1), se obtiene

0.605 x *n(0.1)20.0|42:#J2s6plwlyLplw:(Pzolw_P"¡lw'|:0,428mdeagua.Jt _ (U2Y

20. Para el orificio y tubería del Problema 19, ¿qué diferencia de presión en kg/cm2 causaría el mis-mo caudal de trementina a 20" C? (Véase Apéndice para densidad relativa y v.)

Solución:4(0,0142) : 104,500. Del Diagrama C, para P : 0,500, c' :0,607.

z(0,00000173X0,1 )

40R":;d

Entonces, o.ot42 : 0'607 x tr(o'lP Jzg6pl*1.Jt -Iurf

whA^'-_-" - lo.ooo

21. Determinar el caudal de agua a 21" C a través de un orificio de 15 cm instalado en una tubería de25 cm si la altura de presión diferencial entre la sección aguas arriba y la sécción contraída es 1,10 mde agua.

Solución:

Este tipo de problema ha sido tratado en el capítulo dedicado al flujo de fluidos en tuberías. El valor de c'

no puede hallarse puesto que el número de Reynolds no puede calcularse. Refiriéndose al Diagrama C, para

É : 0,600, se supondrá un valor de c' igual a 0,610. Empleando este valor,

0.610 x *n(0.15)2o - -'-'- ' +'-\-' -' 850¡0): 0,0536 m3/segY - vf:lbóof v

e _ dJzs(Lpld _v.^A,o Jt - rD;lD;f

Pero Ru:v'oD'o - ''uEs(LPlü ' ?'o ov yuflJzf

o, en general,RE D.Jzs@plw)c' ,,F1DJ4Y

En el Diagrama C se han trazado dos líneas rectas llamadas líneas 7, una para RBlc' :700.000 y otra paraRBlc' : 800.000. En el caso del Problema 2l

RE_ (0,15)/1ef(1Jo :760.000c' 0,00000098sJ1 - (0,60r

Con la exactitud que puede leerse, la línea 760.000 corta a la curva P : 0,600 en c' :0,609. El flujo Q se

calcula, pues, rápidamente.

tL : tp-:l - Pcrr¡ : 0,426 m de rrementinawww(0,862 x 1000)(0,426)

10.000

ya que Q: AV

Entonces, Rs: 4(0,0536) : 462.000 (valor de tanteo)(0,000000985x0,1 5 )

Del Diagrama C, para P : 0,600, se deduce c' : 0,609. Recalculando el caudal para c' : 0,609 nos da

Q : 0,0532 m3/seg (el número de Reynolds apenas queda afectado).Nota especial: El profesor R. C. Binder, de la Universidad de Purdue, sugiere en las páginas 132-3 de su

obra Fluid Mechanics (segunda edición) que este tipo de problema necesita no ser una proposición de tanteo.

Propone que se dibujen líneas especiales sobre el diagrama coeficiente-número de Reynolds. En el caso de ori-ficio en tuberia, la ecuación (1) del Problema 19 puede escribirse así


22. Una boquilla cuya sección de salida tiene 10 cm de diámetro se instala en una tubería de 25 cm.A través de la boquilla fluye fuel-oil medio a27'Cy arazón de 0,094 m3/seg. Se supone que lacalibración de la boquilla está representada por la curva p : 0,4 del Diagrama D. Calcular lapresión diferencial leída si el líquido del manómetro tiene una densidad relativa de 13,6.

Solución:

La ecuación de Bernoulli, entre la sección de la tuberia y la sección del chorro, conduce a la misma ecua-

ción que se obtuvo en el Problema l7 para el venturímetro, puesto que la boquilla se diseña para un coeficiente

t45

de contracción igual a la unidad.

Q: Aro,ro: ur*rf'ffffiEl Diagrama D indica que c varía con el número de Reynolds.

o 0'094- : 11.25 m/ses ll'95 x o 1v": i" in(0.1)' Y R¿ : 353'ooo

La curva da, para P : 0,40, c : 0,993. Entonces,

(1)

0,094:ln(0,r)2x0,993

Y (P¿lw - Pslto):7,25 m de fuel-oil.

Empleando la Dr del fuel-oil : 0,851, tomada del Apéndice y por aplicación de los principios del manó-metro diferencial, tenemos

7,25: h(13,6/0,851 - l) y h:0,483 m (lectura en el manómetro)

Si se da la lectura del manómetro diferencial, el procedimiento empleado en el precedente problema sería

utilizar, por ejemplo, un valor supuesto de c con el que se calcularía Q y con el número de Reynolds obtenidose leería sobre la curva apropiada del Diagrama D un nuevo c. Si c difiere del valor supuesto, el cálculo se re-pite hasta encontrar el coeficiente adecuado.

23. Deducir una expresión para el caudal de un fluido compresible a través de un caudalímetro de

tobera y un venturímetro.Solución:

Puesto que el cambio de velocidad se produce en un corto periodo de tiempo, se sustraerá poco calor, porlo que se supondrán unas condiciones adiabáticas. El teorema de Bernoulli para un flujo compresible se ha ex-

puesto en el Capítulo 6, ecuación (D) del Problema 20, y se expresa así:

f f _,. .. r,: _r T r. ,. ,, ,^_r, r _Vi * ,.)Lh-')1,',n'rn+z')- H' = fu=)frt;;l zs, --)

Para un medidor de tobera y un venturímetro horizontal, z, : z, y la pérdrda de carga será consideradamediante el coeficiente de descarga. También, puesto que c" : 1,00,

Il : wrAtVt : w2A2V2 ftg/seg)

Luego V, aguas arriba : V[4wtAy V, aguas abajo : WlwrAr. Sustituyendo y operando,

#E - #*, = ,'(h)(#) ['- (Pr)'--"'"]

(ideal) W = rr-@,/.,)\AJAü Yk-1''" " t

Es más práctico eliminar w, bajo el radical. Puesto que wzlwt: (prlp)'ft,

, dl-.

,j-!-'.(p,/w,t x f1 - (prlp')'*-t''*l

| - (Az/A')"(pz/pt)'z/k(ideal) W = il)zAz (f)


El valor real de W en kglseg se obtiene multiplicando la expresión anterior por el coeficiente c.

A efectos de comparación, la ecuación (.1)del Problema 17 y la ecuación (.1)del Problema 22 (para fluidosincompresibles) pueden escribi¡se de la forma

w = ue =-J4!9-\/w@p/*)1/r - (Az/At)'z

o w = *KA,l-zs(Lp/*)

La ecuación anterior puede expresarse de una forma más general de manera que sea aplicable a fluidoscompresibles e incompresibles. Se introduce un factor de expansión (adiabático) I y se especifica el valor de ur,

a la entrada. La relación fundamental es entonces

1l/ = 7a,7KA:Y\Egélt/*) (2)

Para fluidos incompresibles, I/ : l. Para fluidos compresibles, igualando las expresiones (1) y (2) y despe-jando I, se tiene

Este factor de expansión I es una función de tres relaciones adimensionales. La Tabla 8 da algunos valorestípicos para medidores de tobera y venturímetros.

Nota: Para orificios y medidores de orificio los valores de f' se determinarán experimentalmente. Losvalores difieren del anterior valor de I porque el coeficiente de contracción no es la unidad ni es una constante.Conociendo f', las soluciones son idénticas a las que resultan para boquillas y venturímetros. Como fuentesbibliolográficas se remite al lector a los experimentos realizados por H. B. Reynolds y J. A. Perry.

24, Circula aire a la temperatura de 27" C a través de una tubería de 10 cm de diámetro y de unatobera de 5 cm. La presión diferencial es de 0,160 m de aceite (Dr : 0,910). La presión manomé-trica aguas arriba de la tobera es de 2,0 kglcm2. ¿Cuántos kilogramos por segundo circulan parauna lectura barométrica de 1,03 kglcm2, (a) suponiendo que la densidad del aire es constante y(á) suponiendo unas condiciones adiabáticas?

Solución:

la)(2,0 + 1,03)10.000 : 3,45 kelm3

29,3(273 + 27)

Aplicando los principios del manómetro diferencial y expresando la altura de presión en metros dealre! se trene

L,o u, 0.910 x 1000-1 :0,160(-"' - l): 0,160( - l): 42.0 m de airerur Dai¡ 3,45

Suponiendo c : 0,980 y empleando la ecuación (/)-del Problema 22 después de multiplicar por wL,

lenemos

w : wtQ : 3,45 x in(strxl)'?(0s*,J !ffi: 0,1e6 ke/see

Para comprobar el valor de c se calcula el número de Reynolds y se utiliza la curva apropiada en elDiagrama D. [En este caso, to1 : wz! y : 1,57 x 10-3 a la presión normal, dato tomado de la Tabla 1(,8).]

v"d"D-¡\fl -

-

-v

W I4-

A.tL': (;tlil1)tt z

4W 4(0,196)Entonces, : 2'71.500

nd2vu2 n(51100)(r,57 x 1,03/3,03)10- (3,4s)

Del Diagrama D se deduce c:0,986. Recalculando, W:0,197 kg/seg.No es necesaria mayor precisión en el cálculo puesto que tanto el número de Reynolds como el valo¡

de c, leído en el Diagrama D, prácticamente no varían.

cAP. el

(bl

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

En primer lugar se calcula la presión y los pesos específicos.

pr : Q,00 + 1,03)10.000 : 30.300 kg/m2, p, : (30.300 - 42,0 x 3,45) : 30.152 kglcm'z

o-' :3:*: 0,995 y (2f : 0,995 (véase cap. 1). Luego wz:3,44 kglm3pt 30.300 'w2'

La Tabla 8 da algunos valores del coeficiente de expansión I definido en el Problema 23. En este casose debe interpolar entre las relaciones de presiones 0,95 y 1,00 a fin de obtener Y para prfpt : 0,995. Parak:1,40 y dtldt:0,50, obtenemos Y:0,997.

Suponiendo c : 0,980, del examen del Diagrama D y observando que K : 1,032c, la ecuación (2)

del Problema 23 da

w: u'tKAzv.rFzg*pl*): (3,4s\(1,032 x 0,980) x {z(0,05)'? x 0,997J19,6(42,0) :0,195 kg/seg

Para comprobar c, Rr: 4W 4(0,195) :271.000nd2vw2 z(0,05)(1,57 x 1,03/3,03)10-'(3,44)

y c : 0,986 (Diagrama D, curva p : 0,50).Recalculando, W :0,196 kg/seg. No es preciso afinar más. Se observa que apenas se introduce error

en la parte (a) al suponer constante la densidad del aire.

25, Se utiliza un venturímetro de 20 cm x 10 cm para medir el caudal de dióxido de carbono a20'C.La diferencia de lecturas en la columna de agua del manómetro diferencial es de 179,5 cm y el ba-rómetro indica 76,0 cm de mercurio. Para una presión de entrada de 1,26 kglcm2 absolutos, calcu-lar el caudal en kg/seg.

Solución:

La presión absoluta a la entrada espr : 1,26 x 104 kglmt y el peso específico ru, del dióxido de carbono es

*,::::10:,:2,24kstm2t9,2(273 + 20)

La presión diferencial : (179,5i100)(1000 - 2,24): 1790kglm2 y, por consiguiente, la presión en la gar-ganta : pt : 12.600 - 1790 : 10.810 kg/m2 absolutos.

Para obtener el peso específico r, utilizamos pt:::::0,860 y *t:

(0,860)1/r (véase cap. l).pt 12.600 wlAsi, pues, w, : 2,24(0,860¡trt'r : 2,00 kg/m3.

W : wtKAzVu/2gtLplu-r) en kgiseg

Usando k:1,30,d21dt:0,50y prlpl:0,860, Y ('labla 8):0,910 porinterpolación. Suponiendo c:0.985, del Diagrama E y teniendo en cuenta que K : 1,032c, tenemos

w: (2,24)(r,032 x 0,985) x ]r(10/100), " O,S\OJZgUsOl22a¡:2.05 kg/seg

Para comprobar el valor supuesto de c, se determina el número de Reynolds y se emplea la curva adecua-da en el Diagrama E. Del Problema 24,

4W 4(2,0s) : 1,89 x 106R¡: ndrvwr rT(10/100X0.846 x 1,03311,260 x 10 s)(2,00)

W :2,046 kglseg.Del Diagrama E, c :0,984. Recalculando,

26. Establecer la relación que limita la velocidad de un fluido compresible en pasos convergentes (ve-locidad del sonido).

Solución:

Despreciando la velocidad de aproximación en la ecuación de Bernoulli (D) del Problema 20, Capítulo 6,para un fluido ideal obtenemos

147

# = ;\(#)['-(#)*-"*-t (r)


Además, si se sustituye (prl*)'B por Qtrfwr)rtk antes de la integración que conduce a la ecuación (D), laaltura de velocidad serla

,oYi = *(#)l{y¡"-"^ -

ffi = hrYl [{fr),--',,,' -'1

X = (rft;"''-"

'] (2)

Vz: czv V3 : c| : kprglw, (véa-Si el fluido alcanza la velocidad del sonido c, en la Sección 2, entonces

se Capítulo 1). Sustituyendo en la ecuación (2),

y simplificando (3)

Esta relación pzlpt se denomina relación de Ia presión crítica y depende del fluido que fluye. Para valores

de prlp,, iguales o menores que la relación de la presión crítica, un gas circulará a la velocidad del sonido. Lapresión en un chorro libre circulando a la velocidad del sonido será igual o mayor que la presión que lo rodea.

27. Sale dióxido de carbono a través de un orificio de un depósito en el que la presión manométricaes de 1,733 kglcmz y la temperatura 20" C. ¿Cuál es la velocidad en el chorro (presión barométri-ca normal)?

Solución:

De la Tabla l(A), R : 19,2 y k : 1,30.

pt 0.733 + 1.033)10.000 , Ez ,._ _ 3: t.]h Ks,m_RT, 19.2(273 + 20)

(4¡ critica : 1, 2 - ¡rrr-'' : 1-2 ,'''0/0'30 - 0'542pt k+1' '2.30

atmósfera I,033Relación t*r.ffior-" | : a.766:

o'll8

Puesto que esta última relación es menor que !a relación de presión crítica, la presión de escape del gas :0,542 x pr. Por consiguiente, pz:0,542 x 8,733 : 4,'14 kglcm2 absolutos'

vz:cz:@:Jusfdonde TrlTr: (p2lp)G-l'tk : (0,542)0'30/1'30 - 0,868, 72 :254" K. Entonces. Vr: J245 " 254:

24,9 mlseg.

28. Circula nitrógeno a través de un conducto en el que existen cambios de sección. En una seccrón

recta particular la velocidad es de 360 m/seg, la presión 0,84 kg/cm2 absolutos y la temperatura32" C. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento y que se dan condiciones adiabáticas,(a) hallar la velocidad en una sección donde la presión es 1,26 kglcm2 y (á) determinar el númerode Mach en esa sección.Solución:

Para el nitrógeno, R: 30,25 y k:1,40 fde la Tabla 1(l) del Apéndice].

(a\ La ecuación (D) del Problema 20, Capítulo 6, para condiciones adiabáticas puede escribirse de la forma

V3 vi k tqt.r- - -'l

ú - '; = E=(;') | '- (;)'--'

-l

en donde no se ha considerado la pérdida de carga y zt : zz..

wl

cAP. el MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS t49

El peso específico del nitrógeno en la sección 1

Dr 0.84 x tOa: : ogl' RT, 30,25(273 + 32\

^ vl Gíol' 1.40 0.84 x lOa -bntonces. ^ - - :-l

-)l

l-29 29 0.40' 0,91 'L

Número de Mach - vt

- -L, dorrde a :c2 Jkgnrt Tl

ES

kg/mt (o usar prlw, : RTr)

(b)

1)6(ffi)o'aort'+o] de donde

(p2\$-1vk o Tt:

'pt' 305

227

Vz:227 mlse$.

1.26 ^._(O*'1"' ' :1,123

0,605.Luego Tz:342 K y número de Mach :

29. Desarrollar la fórmula teórica que da el caudal para un vertedero rectangular.

htht

A

l.ltz

l*-'=w-4Fig.9-7

Solución:

Consideremos la abertura rectangular de la Fig. 9-7, que se extiende a toda la anchura W del canal (b : W).Con la superficie del líquido en la posición dibujada a trazos, la aplicación del teorema de Bernoulli entre A yuna banda elemental de dy de altura en el chorro conduce, para condiciones ideales, a

(0 + V1l2s + y) - sin pérdidas : (0 + VlJ2g + 0)

donde Vn representa la velocidad media de las partículas que se aproximan a la abertura.

Así. la Z"n ideal : ,ECL7 +nilrC)

y (ideal)clQ - d.A V"¡ = (b d.y\V"¡ = U{2g (U + V"o/2g),/" da

- nh,

(ideal)Q = bt/2s Jo, fu +V,o/zs), , da

Un vertedero existe cuando h, : 0. Sustituyendo h, por H e introduciendo un coeficiente de descarga cpara obtener el caudal real se tiene

_f"Q = cbt/2s I ty+v|/zs)',da

vo

= ficb1/zs [(H +v1/zg¡"/2 - (v'zA/2s)s/,1

= mbl(H +v"o/2gl'/" - (v1/2g)",r1

Nctas:(1) En un vertedero rectangular con contracciones laterales de la lámina, éstas originan una reducción

del caudal. La longitud ó se corrige para tener en cuenta esta condición y la fórmula se transforma en

(r)

Q = m(b-hH)l(H*v,^/2s)"/, _ (v,o/2g)"/"1 (21


(2) En vertederos grandes y en la mayor parte de los vertederos con contracción lateral de la lámina, la

altura de velocidad es despreciable y entonces

Q : m(b - hmutt' para vertederos con contracción

Q : mbH3tz para vertederos sin contraccrón

Fig.9-8

o

y m: 1,87.

(r)

(4)

30.

(3) El coeficiente de descarga c no es constante. Comprende numerosos factores no incluidos en la deri-

vación, tales como la tensión superficial, viscosidad, distribución no uniforme de la velocidad, flujos secunda-

rios y otros.

Deducir la fórmula teórica del caudal a través

de un vertedero triangular. Véase la figuraadjunta.Solución:

Del Problema 29 anterior,

'V"¡:@Y (ideal) dQ : dAV.h: x dYJ2gY

Por semejanza de triángulos,

!:H -' y b: zn te2b H ' -'2

Luego (real) Q: @ln)cJzs l! (H - y\y't' dy.

Integrando y sustituyendo a:+cu@n5r2tglo (1)

Un vertedero en V corriente es el que tiene una abertura de 90". En este caso, la expresión (1) se transforma

en e:2,36c1ft2, en donde, para alturas de carga superiores a 0,3 m, un valor medío de c es 0,60 aproxima-

damente.

31. Durante un ensayo sobre un vertedero sin contracciones de 2,4 m de ancho y 0,9 m de altura, la

altura de carga se mantuvo constante e igual a 0,300 m. En 36 seg se recogieron 27.000 litros de agua.

Hallar el factor n del vertedero en las ecuaciones (1) y (4) del Problema 29.

Solución:

(a) Caudal en m3/seg. Q:27.OOOIÍ000 x 36):0,75 m3/seg.

(b) Velocidad de aproximación. V : Ql,S -- O,lSlQ,4 x 1,2):0,260 m/seg' Luego

V'l2s : Q,26)212s : 0,00345 m

(c) Aplicando (1), Q : mbl(H + V2l2s)3t2 - (V2lZg¡ztz1

0,75 : m x 2,a[(0,300 + 0,00345)3/2 - (0,00345)3/'z]

Aplicando(4),Q:0,75:mbH3t2:mx2,4x(0,300)3t2y m : 1,90 (aproximadamente 1,6 \ mayor al despreciar el término de la velocidad de aproximación).

32. Determinar el caudal a través de un vertedero sin contracciones de 3,0 m de largo y t,2 m de alto,

bajo una altura de carga de 0,900 m. El valor de ru es L,90.

Solución:

Puesto que el término de la altura de velocidad no puede calcularse, un caudal aproximado es

Q : mbH3t2 : 1,90(3x0,900¡trz - 4,867 m3/seg

cAP. gl

Para este caudal,blema 29,

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS

V:4,8671Q x 2,1):0,772 mlsegy V'l2g:0,030 m. Aplicando la ecuación (1) del Pro-

0 : 1,90(3)[(0,900 + 0,030¡:rz - (0,030)3/,] : 5,082 m3/seg

t5r

Este segundo cálculo muestra un incremento de 0,215 m3/seg, o sea, aproximadamente un 4,4/. sobre elprimer cálculo. Generalmente no están justificados cálculos más finos, es decir, más allá de la exactitud de lapropia fórmula. Sin embargo, y a título ilustrativo, la velocidad de aproximación revisada sería

V: 5,0821Q x 2,1) :0,807 m/seg y V'l2s: 0,033 m

0 : 1,90(3)[(0,900 + 0,033)3/2 - (0,0:l¡:rz1 : 5,102 m3lseg

33. Un vertedero sin contracciones de 7,5 m de largo desagua 10 m3/seg a un canal. El factor del ver-tedero es m : 1,88. ¿Qué altuna Z (precisión de 1 cm) debe tener el vertedero si la profundidad delagua detrás del vertedero no excede de 1,8 m?

Solución:

Velocidad de aproximaciót V: QIA: l\l],5 x 1,8): 0,74 mlseg.

Entonces, t0: 1,88 x 7,51(H *(0']41'r..r, - l\']a)'y,r1 , H:0,71 m.29 29

Altura del vertedero Z : 1,80 - 0,77 : 1,03 m.

34. Sevaainstalarenuncanal de2,4 mdeanchounvertederoconcontraccionesde l,2mde altura.El caudal máximo a través del vertedero es de I,62m3 lseg cuando la profundidad total detrás delvertedero es 2,1 m. ¿Cuál será la anchura del vertedero a instalar si m:1,87?Solución:

Velocidad de aproximación V : QIA : 1,621Q,4 x 2,1): 0,321 m/seg. Como en este caso la altura de

velocidad es despreciable, se tiene

Q: m(b - hn¡1s¡'r" 1,62:1,87(b -rt x 0,90x0,90)3/'z, b:1,20 m.

El agua evacuada a través de un orificio de 15 cm de diámetro (c : 0,600), bajo una altura de cargade 3,0 m, pasa a un canal rectangular y por un vertedero con contracciones. El canal tiene 1,8 mde ancho y,para el vertedero, Z: l,50my b:0,30 m. Determinar la profundidad de agua enel canal si m : 1,84.

Solución:

La descarga a través del orificio es

e: c,aJ2gh: o,áoo , in(0,t5)'r/2se,o): 0,081 m3/seg

Para el vertedero, Q : m(b - hn¡1n¡'rt (se desprecia la altura de velocidád)

o 0,081 : 1,94(0,30 _ 0,20H)H3t2 y l,5H3t2 _ Hstz :0,220

Por tanteos sucesivos, H:0,33 m; y la profundidad:Z+ H --1,50 + 0,33:1,83 m.

El caudal de agua a través de un vertedero triangular de 45" es de 0,020 m3/seg. Determinar la al-tura de carga sobre el vertedero para c: 0,580.

Solución:

35.

36.

a : trJzc 1ts !0¡nsr2, 0,020 : g1o,saoffi Gs 22,s.)Hst2, H : 0,263 m

t52 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

37. ¿Cuál deberá ser la longitud de un vertedero trapezoidal (Cipolletti) de manera que la altura decarga sea 0,47 m para un caudal de 3,45 m3/seg?

Solución:Q : 1,861bH3t2, 3,45 : t,86tb(0,47)3t2, b : 5,75 m

38. Establecer la fórmula para determinar el tiempo de descenso delnivel de un líquido en un depósito de sección recta constante me-diante un orificio. Véase la fisura adiunta.

Solución:Puesto que la altura de car:ga varía con el tiempo, sabemos que AVl1t I 0,

es decir, el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energíadebe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complica muchola solución. En tanto que la altura de carga no varíe demasiado rápidamente,no se introducirá un apreciable error al suponer el flujo estacionario y, porconsiguiente, despreciar el término de carga de aceleración. En el Problema 39

se da una comprobación apr,rximada sobre el error introducido.

CASO A.Si no existe fluio de ent.rada. el caudal instantáneo será

Fis.9-9

e = cA.t/W m3/seg

En un intervalo de tiempo dt, el pequeño volumen dV evacuado será Q dt. En el mismo intervalo de tiempo,la altura de carga disminuirá dh m y el volumen evacuado será el área del depósito A, por dy'r. Igualando estosvalores.

(c A"l/zsh) dt = -Ar dl¿

donde el signo negativo indica que á disminuye al aumentar l. Despejando t, se obtiene

^t^ , ^h^| = l"a, = -tr=l"h-tt'zdhJ t, cA.l/29 J h,

| = tz - tt = 'o= (htrz - ¡trz¡ (r)cA"t/2s

Al aplicar esta expresión puede emplearse un valor medio del coeficiente de descarga c sin que ello produz-ca un error significativo en el resultado. Como /r, es próximo de cero, se formará un vórtice y el orificio dejaráde dar un flujo completo. Sin r:mbargo, haciendo hz : 0 no se originará en la mayoría de los casos un error im-portante.

La ecuación (.1) puede escribirse también, al multiplicar y dividir por (hlt2 + hrt'), de la forma

A,(h- hz\

[email protected]/zon' + cA"tQgh,)

Teniendo en cuenta que el volumen evacuado en el tiempo (tt - tt) es Ay(h1 - hr), esta ecuación se sim-plifica a

t - t2 ,, : uol:T:" :u1"Tdo : (.3)

l(e, + e)El Problema 14 ilustrará un caso en que la sección recta del depósito no es constante aunque pueda expre-

sarse como una función de á. Otros casos, tales como recipientes vaciándose, se salen del objeto de este libro(véanse los textos de Water Supply Engineering).

Caso B.Con un flujo de entrada constante menor que el flujo a través del orificio,

-A,d.tt. = (Q""t-Q")dt y t = tz-r, = Í:,#+^Si Q. es superior a Q", la altura de carga aumentaría como es lógico.

(2)

"--=-dh

I

t


39. Un depósito de I,2 m de diámetro contiene aceite de 0,75 de densidaddel depósito se instala un corto tubo de 7,5 cm de diámetro (c: 0,85).en bajar el nivel del aceite de 1,8 m a 1,2 m por encima del tubo?

Solución:

2 x f,n(1,2)2

tr5cí,8) - Jrdr2)

0,85 x inr,,ols¡"@'-'

4,42s(r,340 - 1,09s)

r53

relativa. Cerca del fondo¿Cuánto tiempo tardará

(l,8ttz - l,2rt2) : 33,3 seg

: 0,0325 m/seg2

2,40 m D

t : tz - ,, : -241--(h|z - httr¡ :cA.J29

poA fin de evaluar el efecto aproximado al suponer el flujo estacionario, el cambio de velocidad con el tiem-

¡esav _LV _At- Lt

Esto representa aproximadamente j % de S, o sea, una despreciable adición a la aceleración g. Una tal pre-

cisión no está justificada en estos ejemplos de flujo estacionario, particularmente cuando los coeficientes de los

orificios no se conocen con tanta exactitud.

40. La altura de carga inicial sobre un orificio era2,7 m y cuando el flujo se detuvo la altura de cargamedida era 1,2 m. ¿Bajo qué altura de carga fI constante evacuaría el mismo orificio el mismovolumen de agua en el mismo intervalo de tiempo? Se supone constante el coeficiente c.

Solución:Volumen bajo carga decreciente : volumen bajo carga constante

+cA"l2s (hi/' + hL/\ x ¿ : ¿¿"1f2sH x t

Sustituyendo y operando, +tF + "tV¡:

trtr y H :1,88 m.

41. Un depósito tiene la forma de un cono truncado con2,4mde diámetro en la base superior y 1,2 m de diámetro enla base inferior. El fondo contiene un orificio cuyocoeficiente medio de descarga es 0,60. ¿Cuál deberá serel diámetro del orificio para vaciar el depósito en 6 mi-nutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m? Véase lafigura adjunta.

Solución:

Del Problema 38.

Q d,t = -A, d.h

cA,l/-Zgndt = -rr'dhy, por semejanza de triángulos, xll,2 : (3 + h\16. Entonces,

(0,60 x +rd?.\/Z dt : -o(3 !-h)z h-t/zdlL

azf at : ,*#kr/uJ'r, * tl\2tr-'\/2dh

Puesto que I dt : 360 segundos,

dz = *n

ft (9lt-'t'l6ht''*¡atz\d.h360 x 25 x0,60V2sro

,l

Dü,20 m

--i-

I:t'-t

¡

h,L

Integrando y operando, obtenemos d2 : 0,00975 y d:0,0987 m. Emplear d : l0 cm.

Fig.9-r0


42, Dos depósitos cuadrados tienen una pared común en la que está dispuesto un orificio que tiene230 cm2 de área y un coeficiente igual a 0,80. El depósito A tíene 2,4 m de lado y el nivel inicialde agua está a 3 m por encima del orificio. El tanque B tiene I,2 m de lado y el nivel inicial de aguaestá a 0,9 m por encima del orificio. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en alcanzar el mismo nivelen los dos depósitos?

Solución:

En un instante dado la diferencia de nivel de las superficies puede tomarse como altura de carga i. En-Ionces.

Q:0,80x0,02312gh

y la variación de volumen du : Q dt : 0,0814!th dt.

En este intervalo de tiempo dtlavariación de la altura de carga es dú. Considérese que el nivel en el depó-sito ,4 desciende dy; entonces el correspondiente ascenso de nivel en el depósito -B será la relación de las áreaspor dy, o sea, (5,76/l,44)dy. La variación de la altura de carga es, pues,

La variación de

o, en función de dú,

dh : dy + (5,7611,44)dy : sdy

volumen es dD -- 2,4 x 2,4 x dy l: 1,2 x 1,2 x (5,1611,44)dyf

du : (5,7615)dh : r,r52dh

Igualando los valores de r/u, 0,0u4!ndt: -1,1520dh, *:;t:!1,?,0[o h-u'z dh, ¡:41,0 seg.0,0814J 2,r

El problema puede resolverse también aplicando el caudal medio expresado en la ecuación (3) del Pro-blema 38.

O- : 1[0,80 " o.oüJzg2¡] : 0,059 m3/seg

El depósito A baja ¡ metros mientras el B sube (5,7611,4$y metros con la variación total de nivel de 2.1 m;entonces, y + 4y : 2,1 e y : 0,42 m. Así, pues, variación en volumen : 2,4 x 2,4 x 0,42 : 2,42 m3 y

variación en volumen 2,42t:- :41,0segQ medio 0,059

43. Desarrollar la expresión que da el tiempo de descenso del nivel de un líquido en un depósito, tan-que o canal mediante un vertedero sin contracclones.

Solución:

8dt - -ArdH (comoantes) o (mLHs/2)d.t = -ArdH.

Luego r = f," o, = # f,: H 32dH o r = tz-r, - 24ru|, - H,,,).Jtt mL JHl

t_-:l :21.9see.

"/0,:oo-

U, Un canal rectangular de 15 m de largo y 3 m de ancho alimenta un vertedero sin contraccionesbajo una altura de carga de 0,300 m. Si la alimentación del canal se corta, ¿cuánto tiempo |ardaráen descender la altura de carga sobre el vertedero a 10 cm? Emplear m : 1,83.

Solución:

Del Problema 43,

45. Determinar el tiempo necesario para establecer el flujo en una tubería de longitud L bajo una al-tura de carga H constante descargando en la atmósfera, suponiendo una tubería inelástica, unfluido incompresible y un factor de fricción / constante.


En la ecuación (/), para todos los valores intermedios de V el término entre corchetes no es cero, sino laaltura de carga efectiva utilizable para causar la aceleración del líquido. Por consiguiente, la expresión (2) pue-de escribirse de la forma

r55

Solución:

La velocidad final V, puede determinarse a partir de la ecuación de Bernoulli

Lvi .v7 ,^ , viH-fi*-r¡i = (o+fr+o)En esta ecuación, las pérdidas menores se representan por el término kvll2g, y la energía en el chorro al

final de la tubería es energía cinética representada por Vll2s.Esta ecuación puede escribirse de la forma

fr-,+g = o (r)L- d 2s-)

donde Zu es la longitud equivalente de la tubería para el sistema (véase Problema 6, Capítulo 8).

De la ecuación del movimiento de Newton, en un instante dado

w(AH,\ M+ - YAtt4!.dtgdt

donde I/" es la altura de carga efectiva en ese instante y V es una función del tiempo y no de la longitud.Reagrupando la ecuación,

,t+ - | wAL \sv\sLUAHJ "'

.. LdvsH"

(2)

If ;r;enl¡---

Puesto que de (7), *¡ : fr, I ot = f f@+#WI^t , nl', tr2lsr-Ll'vrdr'Jn"' - sH J" V=W""

. LV¡ ,V¡ * V,t = 2gH- tn lv, - y)

Ldv^L, V",Iz w)

(34)

(38\

(lr)

reagruparse de la forma

(5)

(6)

o

Integrando,

Integrando,

ycuando t=0,C=0. Luego

Se observará que cuando Zse aproxima a V¡, (V¡ - Z) tiende a cero y, por tanto, matemáticamente, l tien-de a infinito.

Empleando el símbolo $ para la relación VlVr, la ecuación (3,8) puede

# nfrt-rlrp = #r,-r',Haciendo V = V¡a V tkló/dt), obtenemos

d6 sH dtl-e" V¡L

,,^tllú¡ gHt. r,) 'n (fi/ i,L . t

.. dv_'dt

'l-fÁ^2otlr/V, L

l-OUtilizando las funciones hiperbólicas, d : Th (gHtlVrL), y puesto qte Q : y¡yr,

v = vt Th{!:Y f L

La ventaja de la expresión (ó) es que el valor de la velocidad V e¡ función de la velocidad final Z, puedecalcularse para cualquier tiempo.

r56 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

6. Simplificar la ecuación (4) del problema anterior que da el tiempo necesario para establecer elflujo en los casos en los que la velocidad Z sea igual a (a) 0,75, (ó) 0,90, (c) 0,99 veces la veloci-dad final Vr.

Solución:

LV, vt ]4^ _' I : l!.x23026t te ! : s.er L!!@l t: útnLv¡ - o.t5vr- 2gH u.¿) gH

(bt , : tJt ln

l'90 : tLVt x2.3026t ln l'90 : r.472LVl- 2gH

"' 0.10 ' 2sH "-'- --- ' -- 0.l0 " ' - gH

rc) ,:Ut ln l'99:

tLVtx2.3o26t ln l'99 :2.64'7Lyr' 2gH"'0,01 '2eH"-'---"' '- 0.01 -'- gH

47. De un depósito sale agua a través de una tubería U : 0,02) de 600 m de longitud y 30 cm de diá-metro. La altura de carga es constante e igual a 6 m. Las válvulas y conexiones en la línea produ-cen unas pérdidas evaluadas en 2l(V2 l2g). Después de abrir una válvula, ¿cuánto tiempo tarda-rá en alcanzarse una velocidad equivalente al 90/" de la velocidad final?

Solución:

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la superficie del depósito y el extremo de la tubería da

(0 + 0 + H) - U@ld) + 2r,0lV2l2g: (0 + v2l2g + 0)

o sea, 11 : [0,02(600/0,3) + 22)V2l2s:62(V2l2g). Aplicando el procedimiento empleado en el Problema 6

del Capítulo 8,

62(V2l2d : 0,02(LEl0,3)(V'l2d o Ln : 930 m

Puesto que la ecuación (4) del Problema 45 no contiene el término lr, la velocidad final debe calcularsecomo slgue:

H : rL-! ü o v, :^ l'¿gl: @ : r,38 m/ses'd2s " r \,1 fL, !0,02(930)

Sustiruyendo en (á) en el Problema 4ó, se obtiene t: l.472f0ol!:st:20.7 segundos.

48. En el Problema 47, ¿qué velocidad alcanzará en 10 segundos y en 15 segundos?

Solución:

En la ecuación (ó) del Problema 45, se calcula gHtlVrL.

para r0 seg. 2#4r, . *o:0.710. Para 15 seg. T+=#: r.065

Empleando una tabla de funciones hiperbólicas y la ecuación (6), V : Vt Th gHtlVtZ, obtenemos

para 10 seg, V:1,38 Th 0,710: 1,38 x 0,611 :0,843 m/segpara 15 seg, V:1,38 Th 1,065: 1,38 x 0,788: 1,087 m/seg

Se observará que el valor de VlV, está representado por el valor de la tangente hiperbólica. En la soluciónanterior, el 6l%y el79\dela velocidad final se alcanzan en 10 y 15 segundos, respectivamente.



A través de una tubería en la que está centrado un tubo de Pitot estáticq, que tiene un coeficiente de 0,97,circula trementina a 20' C. El manómetro diferencial de mercurio indica una diferencia de lecturas de 10 cm.

¿Cuál es la velocidad en el centro? So/. 5,22 mlseg

Por un tubo de Pitot estático circula aire a 49" C a la velocidad de 18 m/seg. Si el coeficiente del tubo es

0,95, calcular la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de agua, suponiendo que el peso específico

del aire a la presión atmosférica es constante. So/. 2,0 cm

La pérdida de carga a través de un orificio de 5 cm de diámetro bajo una cierta altura de carga es 0,162 m y lavelocidad del agua en el chorro es 6,75 m/seg. Si el coeficiente de descarga es 0,61, determinar la carga que pro-duce el flujo, el diámetro del chorro y el coeficiente de velocidad. Sol. 2,49 m, 3,97 cm, 0,967

¿Qué diámetro de orificio normal se requiere para evacuar 0,0151 m3/seg de agua bajo una altura de carga de

8,55 m? Sol. 5 cm

Un orificio agvado tiene un diámetro de 2,5 cm y unos coeficientes de velocidad y contracción de 0,98 y 0,62,

respectivamente. Si el chorro cae 0,924m en una distancia horizontal de2,457 m, determinar el caudal en m3/segy la altura de carga sobre el orificio Sa/. 0,0017 m3/seg, 1,666 m

A través de un orificio de 7,5 cm de diámetro circula, desde un depósito cerrado, aceite de densidad relativa 0,800

arazór de 0,025 m3/seg. El diámetro del chorro es 5,76 cm. El nivel del aceite es 7,35 m por encima del orificioy la presión de aire es equivalente a - 15 cm de mercurio. Determinar los tres coeficientes del orificio.Sol. 0,584, 0,590, 0,990

Con referencia a la Fig.9-11, el orificio de 7,5 cm de diámetro tiene coeficientes de velocidad y contracción de

0,950 y 0,632, respectivamente. Determinar (a) el caudal para la lectura manométrica de mercurio indicada y(á) la potencia del chorro. Sol. 0,0281 m3/seg. 1,94 CV

El 3,40 m

7,5 cm D

Fie.9-11 Fig.9-12

Con referencia a la Fig. 9-12, fuel-oil pesado a 15,5'C circula a través de un orificio de 7,5 cm al final de la tu-bería, originando la diferencia de nivel de mercurio en el tubo manométrico. Determinar la potencia del chorro.Sol. 2,8 CV

En algunos casos, las locomotoras de vapor toman agua por medio de una cuchara que se sumerge en un largoy estrecho canal situado entre los raíles. Si la elevación sobre el canal es de 2,7 m, calcular la velocidad en km,/ha que debe marchar el tren (despreciando el rozamiento). Sol. 26,2 kmlh.

Circula aire a 15,5" C a través de un amplio conducto y de ahí a través de un orificio de 7,5 cm de diámetro prac-ticado en capa fina (c : 0,62). Un tubo manométrico conteniendo agua da una lectura de 3,1 cm. Considerandoque el peso específico del aire se mantiene constante, ¿cuál es el caudal, en kg/min, a través del orificio?Sol. 4,48 kglmin

Un aceite de 0,926 de densidad relativa y viscosidad de 350 Saybolt-segundos circula a través de un orificio de7,5 cm de diámetro situado en una tubería de 12,5 cm de diámetro. El manómetro diferencial registra una caída

t5l

49.

50.

51.

52.

53.

v.

!5.

56.

57.

58.

59.

de presión de 1,5 kg/cm2. Determinar el catdal Q. So/. 0,05235 m3/seg

61.

62.

63.

158

60.

MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS [cAP. e

Una boquilla de 5 cm de diámetro en la sección de salida, se conecta en la extremidad de una tubería horizontalde 20 cm de diámetro. Los coeficientes de velocidad y contracción son, respectivamente, 0,976y 0,909. Un manó-metro coneCtado en la base mayor de la boquilla y situado a 2.15 m sobre su linea central da una lectura de2,25 kglcm2. Determinar el caudal de agua en m3/seg. Sol. 0,0384 m3/seg

Cuando el caudal de agua que atraviesa un venturímetro horizontal (c:0,95) de 30 cm x 15 cm es de 0,111m3/seg, hallar la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de mercurio conectado al medidor.Sol. 16.6 cm

Cuando el caudal de agua que pasa a través de un venturimetro de 30 cm x 15 cm es de 0,115 m3/seg, el ma-nómetro diferencial indica una diferencia de lecturas de 2,20 m. ¿Cuál es el coeficiente de descarga del venturí-metro ? So/. 0,960

La pérdida de carga a la entrada de la garganta de un venturimetro de 25 cm x 12,5 cm es l/16 la altura de ve-locidad en la garganta. Cuando el manómetro diferencial de mercurio señala una diferencia de lecturas de 10 cm,¿cuál es el caudal? Sol. 0,061 m3/seg

64. Por un venturímetro de 30 cm x 15 cm (c : 0,985) pasan 0,0547 m3/seg de agua, siendo la diferencia de lecturasdel manómetro diferencial 0,63 m. l,Cuál es la densidad relativa del líquido del manómetro? So/. |,7 5

65. A través de un venturímetro de 30 cm x 15 cm circula metano a 15,5" C a razón de 7,5 kg/seg. La presión a laentrada del medidor es 3,5 kg/cm2 absolutos. Empleando k:1,31, R - 52,8, v:1,8 x 10 s m2/seg a 1at-mósfera y W:0,666 kg7m3a 20 Cy I atmósfera,calcularladiferenciadelecturasenelmanómetrodiferencialde mercurio Sol. 0,354 m

Circula agua por una tubería de 15 cm en la que se ha instalado una boquilla de aforo del Problema 66 a27'C a

razón de 0,045 m3/seg. ¿,Cuál será la diferencia de lectu¡as en el manómetro diferencial? (Emplear Diagrama D.)So/. 0,403 m

Por la boquilla de aforo del Problema 66 circula agua a 27o C a razón de 0,045 m3/seg. ¿,Cuál será la diferenciade lecturas en el manómetro diferencial? lEmolear el Diasrama D.) Sol. 0,403 m

68. Si en el Problema 67 circula un aceite impermeable al polvo a 27" C a razón de 0.045 m3/ses. ,:.cuál será la di-lerencia de lecturas en el manómetro diferencial de mercurio? So/. 0.382 m

Si circula aire a 20" C por la misma tubería y boquilla del Problema 66, ¿cuántos kilogramos por segundo circu-larán si las presiones absolutas en la tubería y en el chorro son 2,10 kg,/crn2 y 1,75 kg/cm2. respectivamente'lSo/. 1.662 kglseg

¿Qué profundidad de agua debe existir aguas arriba de un vertedero sin contracciones de cresta viva de 1,5 mde largo y 1,2 m de alto cuando pasa a través de un canal de 0,2'7 msiseg? (Aplica¡ la fórmula de Francis.)So/. 1.414 m

Un caudal de 0,85 m3/seg circula en un canal rectangular de 1,20 m de profundidad y 1.8 m de anchura. Hallarla altura a la que debería colocarse la cresta de un vertedero sin contracciones de cresta viva para que el aguano rebose los bordes del canal. fu - 1.84.\ So/. 0,80 m

72. Un caudal de 10,5 m3/seg pasa a través de un vertedero sin contracciones cuya longitud es 4,8 m. La profundi-dad total aguas arriba del vertedero no debe exceder de 2,4 m. Determinar la altura a que debería situarse la cres-ta del vertedero para transportar este caudal. (m:1,84.) So1. 1.326 m

Un vertedero sin contracciones (m : 1,84) bajo una carga constante de 0,10 m alimenta un depósito que tieneun orihcio de 7,5 cm de diámetro. El vertedero, de 0,60 m de largo y 0,80 m de alto, se instala en un canal rec-tangular. La pérdida de carga a través del orificio es 0,60 m y c. : 0,65. Determinar la altura de carga a lacual asciende el agua en el depósito y el coeficiente de velocidad para el orificio.So/. h : 8,28 m, c, : 0,96

Un vertedero con contracciones de 1,2 m de largo está situado en un canal rectangular de 2,7 m de ancho. Laaltura de la cresta del vertedero es 1,10 m y la altura de carga 37,5 cm. Determinar el caudal, empleando m - 1.87Sol. 0,483 m3/seg

75, Un vertedero triangular tiene un ángulo de 90". ¿Qué altura de carga producirá 4800 l,/¡¡i¡r Sol 0,322 m

76. Una tubería de 90 cm de diámetro, que contiene un venturímetro de 90 cm x 30 cm, suministra agua a un ca-nal rectangular. La presión a Ia entrada del venturímetro es 2,10 kg/cm2 y en la garganta 0,60 kgicm2 Un ver-tedero sin contracciones (nt:1,84), de 0,90 rn de alto, situado en el canal, descarga bajo una altura de carga

66.

67.

69.

70.

71.

73.

74.

de 22,5 cm. ¿Cuál es la anchura probable del canal? So/. 6,20 m

cAP. 9l MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS 159

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

Circula agua a través de un vertedero sin contracciones (ru : 1,84) de 3,6 m de largo y 0,6 m de alto. Para una

carga de 0,360 m, hallar el caudal en m3/seg. Sol. 1,477 m3lseg

Un depósito de 3,6 m de largo y l,2m de ancho contiene l,2mde agua. ¿Cuánto tiempo tardará en bajar el

agua a 0,3 m de profundidad si en el fondo del depósito se abre un orificio (c : 0,60) de 7,5 cm de diámetro?Sol. 404 seg

Un depósito rectangular de 4,8 m por 1,2 m contiene 1,2 m de aceite de 0,75 de densidad relativa. Si tarda 10

minutos y 5 segundos en vaciarse el depósito a través de un orificio de l0 cm de diámetro situado en el fondo,

determinar el valor medio del coeficiente de descarga. So/. 0,60

En el ProblemaTg,para un coeficiente de descarga de 0,60, ¿a qué altura quedará el aceite en el depósito después

de estar fluyendo por el orificio durante 5 minutos? Sol. 0,305 m

Un depósito de sección recta trapezoidal tiene una longitud constante e igual a 1,5 m. Cuando el agua está a una

altura de 2,4 por encima de un orificio (c : 0,65) de 5 cm de diámetro, la anchura de la superficie de agua es

1,8 m y, a 0,9 m de altura, la anchura de la superficie de agua es 1,2 m. ¿Cuánto tiempo tardará en bajar el ni-vel del agua de 2,4 m a 0,9 m? Sol. 470 seg

Al final de un depósito de sección cuadrada de 3 m de lado está situado un vertedero sin contracciones. Si la

altura de carga sobre el vertedero es 0,6 m, ¿cuánto tiempo tardarán en salir 3,6 m3 de agua del depósito? (nr :1,84.) Sol. 3,08 seg

Un canal rectangular de 18 m de largo por 3 m de ancho desagua su flujo a través de un vertedero sin contrac-ciones de 3 m de largo bajo una altura de carga de 0,3 m. Si la alimentación se corta instantáneamente, ¿cuálsera la altura de carga sobre el vertedero a los 36 segundos? (m -- 1,84.) Sol. 0,074 m

Dos orificios situados en la pared de un depósito están distanciados 1,8 m verticalmente uno de otro. La pro-

fundidad total del agua en el depósito es 4,2 m y la altura de carga sobre el orificio superior es 1,2 m. Para

los mismos valores de c,, demostrar que los chorros chocan en el mismo punto del plano horizontal sobre el que

reposa el depósito.

Un orificio de 15 cm de diámetro evacua 0,34 m3/seg de agua bajo una altura de carga de 44 m. Este caudalpasa un canal rectangular de 3,6 m de ancho alcanzando una altura de 0,9 m, y de ahí a un vertedero con con-tracciones. La altura de carga sobre el vertedero es 0,3 m. ¿Cuál es la longitud del vertedero y el coeficiente del

orificio? Sol. 1,186 m, c : 0,655

La altura de carga sobre un vertedero sin contracciones G de 3,6 m de largo es 0,33 m y la velocidad de aproxi-mación puede despreciarse. Para el sistema indicado en la Fig. 9-13, ¿cuál es la altura de presión en .B? Dibujarlas líneas de alturas piezométricas. Sol. 63,6 m

El 24.0 m

y=3r2-lFig.9-13

c., : 0.968

/- c: : 0.620

Fig.9-14 Fig.9'r5

En la Fig. 9-l4 la elevación de la línea de alturas piezométricas en ,B es 15 m y las tuberías BC y BD están dis-

puestas de modo que el caudal se divida por igual a partir de 8. ¿Cuál es la elevación de la extremidad de la

iubería en D y ouál es la altura de carga que habní sobre el orificio E de 10 cm de diámetro?

Sol. El. 7,2 m, h:6,33 m

Para el depósito representado en la Fig. 9-15, empleando un coeficiente medio de descarga de 0,65 para el orifi-

cio de 5 cm de diámetro, ¿cuánto tiempo tardará en bajar el nivel del líquido 1,2 m? So/. 660 seg

86.

87.

m-40cmD,Cr:130) . El. l2.Um

3-90cmD

É

Fig.9-11

88.

Capitulo 10

Flujo en canales abiertos

CANAL ABMRTO

Un canal abierto es un conducto en el que el líquido fluye con una superficie sometida a la presiónatmósferica. El flujo se origina por la pendiente del canal y de la superficie del líquido. La solución exac-ta de los'problemas de flujo es difícil y depende de datos experimentales que deben cumplir una ampliagama de condiciones.

FLUJO UNIFORME Y PERMANENTE

El flujo uniforme y permanente comprende dos condiciones de flujo. El flujo permanente, comose define para flujo en tuberías, se refiere a la condición según la cual las características del flujo en unpunto no varían con el tiempo (evlót :0,lylet: 0, etc.). El flujo uniforme se refiere a la condiciónsegún la cual la profundidad, pendiente, velocidad y sección recta permanecen constantes en una lon-gitud dada del canal (Ayl6L :0, 1VIAL: 0, etc.).

La línea de alturas totales es paralela a la superficie del líquido (línea de alturas piezométricas) yV2 l2g por encima de ella. Esto no se cumple en el caso de flujo no uniforme y permánente.

FLUJO NO UNIFORME

El flujo no uniforme ocurre cuando la profundidad del líquido varía a lo largo de la longitud delcanal abierto, o sea, AyIAL I 0. El flujo no uniforme puede ser permanente o no permanente. Tambiénpuede clasificarse en tranquilo, rápido o crítico.

FLUJO LAMINAR

El flujo laminar en canales abiertos se dará para valores del número de Reynolds R, de 2000 o me-nores. El flujo puede ser laminar por encima de Ru : 10.000. Para el flujo en canales abiertos, Rr :4RVlv,donde R es el radio hidráulico.

LA FORMULA DE CIIF'ZY para flujo uniforme y permanent¿, desarrollada en el Problema 1, es

(t)

donde V:R:

V : CtrES

velocidad media en m/seg, C : coeficiente,radio hidráulico, S : pendiente de la superficie delsolera del canal; estas líneas son paralelas para el

agua o de la línea de energía o de laflujo uniforme y permanente.

(Véase Problema I )

(Kutter)

EL COEFICIENTE C puede obtenerse aplicando cualquiera de las expresiones siguientes:

mC: ./:i\.1at ,/a +

1+ n t)\-\--JR

(2)

C:

160

ll)

cAP. 1ol 161

(4)

(5)

(6)

87

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

C:l Pt¡a

C: | + mluF

C : -23,21g (1,81IRq + ;)

En las expresiones (3), (4)y (5),n y m son factores de rugosidad determinados experimentalmente

solo para el agua. Algunos valores se dan en la Tabla 9 del Apéndice. En general, se prefiere el empleo

de la fórmula de Manning. La fórmula de Powell se discutirá en los Problemas 9 y 10.

EL CAUDAL (Q) para flujo uniforme y permanente, aplicando la fórmula de Manning. es

Q : AV : t1!¡PzF 3'rz

Las condiciones ligadas al flujo uniforme y permanente se llaman normales. De ahí los términos

profundidad normal y pendiente normal.

LA PERDIDA DE CARGA (/zr), expresada en términos de la fórmula de Manning, es

hr: l#l' z, haciendo S : hLlL (8)

En el caso de flujo no uniforme pueden emplearse los valores medios de V y R con aceptable preci-

sión. Para un canal largo se emplearán longitudés cortas en las que los cambios en profundidad sean de

la misma magnitud.

DISTRIBUCION VERTICAL DE LA VELOCIDAD

La distribución vertical de la velocidad en un canal abierto puede suponerse parabólica para flujo

laminar y logarítmica para flujo turbulento.Para un iujo laminar uniforme en canales abiertos amplios de profundidad media y,,la distribución

de velocidad puede expresarse así

(Manning)*

(Bazin)

(Powell)

(7)

, : ftur. - iy't oruS r r,u:¡Al^-iY-l (e)

La velocidad media Z. deducida de esta ecuación en el Problema 3, es

t/ ssyt^ ^ t/ wSy'z^

':3u u t: 3u

Para un flujo turbulenlo uniforme en canales abiertos anchos

arrollada en el Problema 4) puede expresarse así

(r0)

la distribución de velocidad (des-

(1r)

ENERGIA ESPECIFICALa energía específica (E) se define como la energía por unidad de peso (m kg/kg) con relación a

la solera del canal, o sea,

¿: profundidad + altura de velocidad : y + V2l2g (r2A)

Una expresión más exacta del término de energía cinética seria aV2 f2g. Véase el Capítulo 6 para

la discusión del factor de corrección de la energía cinética a.

En función del caudal q por unidad de anchura ó del canal (o sea, q : Qlb),

E:y+Íl2g)(qly)'z o q: (128)

* En la literatura técnica en castellano se conserva n en unidades inglesas (ft1/6), por lo que la constante 1,486, que apa-

rece en la literatura técnica en inglés, se reduce a la unidad. N. del T.

u : 2,5r/tJpln(vlyi o ü : s,l|'/tolpleOlvo)

2glv'E - v'l

162 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [CAP. 10

Para un flujo uniforme, la energía específica permanece constante de una sección a otra. Para unflujo no uniforme, la energía específica a lo largo del canal puede aumentar o disminuir.

PROFUNDIDAD CRITICALa profundidad crítica (y,) para un caudal unidad constante q en un canal rectangular es aque-

lla para la cual la energía específica es mínima. Como se demuestra en los Problemas 27 y 28,

?t" : i/rln : !8" : V!/s eg)Esta expresión puede transformarse en

V" = \/ga" o V"/l/-gu" = 1 para flujo crítico (1.4)

Por consiguiente, si el número de Froude No: V"lJCy,: 1, existe el flujo crítico. Si NF > 1hay flujo supercrítico (flujo rápido); y si N, < 1, el flujó es subcrítico (flujo tianquilo).

CAUDAL UNITARIO MAXIMO

El caudal unitario máximo (4^.*) en un canal rectangular, para una energía específica dada -E', es,como se demuestra en el Problema 28.

8.u* : \/nú : /seE-f es)

EN CANALES NO RECTANGULARES Y PARA UN FLUJO CRITICO. como se ha desarrolladoen el Problema 27,

Q2 A2

s:uo ff#: , (16)

(17)

(r8)

(1e)

donde á'es la anchura de la superficie de agua. La expresión (16)la podemos transformar, dividiendopor Al , en la forma

Vi/t = A,/b' o V" : IsAJU : \FW.donde el término A"fb' se denomina profundidad media y-.

s = (4,t#1"

FLUJO NO UNIFORME

Para estudiar el flujo no uniforme en canales abiertos, éstos suelen dividirse en longitudes Z lla-madas tramos. Para calcular las curvas de perfil, la ecuación de energía (véase problema 39) conduce a

Lenm : V?/zs+uz)-(v?/zg+ui: Ez-8, : Er-8"s.-s s.-s s-s"donde So : la pendiente de la solera del canal y S: la pendiente de la línea de energía.

Para sucesivos tramos, donde los cambios en profundidad son aproximadamente los mismos, elgradiente de energía S puede escribirse así

Los perfiles superficiales para condiciones de flujo gradualmente variable en canales rectangula-res anchos pueden analizarse empleando la expresión

dy S.-SdL 1t - V,/ou) (20)

El término dyldL representa la pendiente de la superficie del agua en relación con la solera del canal.Así, pues, si dyldL es positivo, la profundidad aumenta aguas abajo. Los Problemas44y 45 desarrolla-rán la ecuación y un sistema de clasificación de los perfiles superficiales.

cAP. 101 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

LOS VERTEDEROS DE AFORO DE PARED GRUESA pueden emplearse para medir el caudalen un canal.

El caudal unitario es q:,/EGn)',', donde E es la energía específica referida a la cresta del

vertedero o la altura de carga aguas arriba más la altura de velocidad de aproximación. Debido al ro-zamiento, el caudal real es del 90 al 92 I del valor dado por esta fórmula. La ecuación aproximada es

4: í,67H3t2 (véase Problema 52).

RESALTO HIDRAULICO

El resalto hidráulico se produce cuando un flujo supercrítico cambia a flujo subcrítico. En tales

casos, la elevación de la superficie líquida aumenta súbitamente en la dirección del flujo. En el caso de

un flujo constante en un canal rectangular, como se ha deducido en el Problema 46,

# = a'a'(a+P) (21)

Problemas resueltos

1. Desarrollar la ecuación general (Chezy) para el flujo uniforme y permanente en un canal abierto.

F..o."[.A.P.

-x+

Fig. 10.1

Solución:

En la Fig. 10-1, considérese el volumen de líquido,lBCD de sección recta constante Ay de longitud ¿. Elvolumen puede considerarse en equilibrio puesto que el flujo es permanente (aceleración nula). Sumando las fuer-zas que actúan en la dirección X,

fuerza sobre superficie AD - ftterza sobre superficie BC 4 Vl sen 0 - fuerzas resistentes : 0(h")

wñ,A - wñA + wAL sen 0 - r¿tL: 0

donde to es la tensión cortante en la pared (lkglm') que actúa sobre una superficie de Z m de longitud y p mde ancho, siendo p el perímetro mojado. Entonces,

wAL sen 0 : r"pL y to: (wA sen 0)lp : wRS

ya que R: Alp y sen 0 : tg 0: S para pequeños valores de 0.En el Problema 5 del Capítulo 7 se ha visto que %: (wlg)f(V2/8). Luego

ruRS: (uldfT':8) o v: J$fnñ: c/-nsPara un fltlo lamínar, / puede tomarse igual a 64/R". De donde

c : J$st6qr-: LrciJ-Rú

r63

(A)

(B)

(c)

t64 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [cAP. 10

2. Demostrar que la distribución vertical de velocidad es parabólica en un canal abierto ancho paraun flujo laminar uniforme 1y, : profundidad media del canal).

Fig. r0-2

Solución:

Cuando la velocidad y la profundidad son pequeñas, reflejando un número de Reynolds < 2000, la viscosi-dad se convierte en el factor de flujo dominante. El flujo resultante es laminar. (Para canales abiertos, R, se de-fine como 4RVlv.) Para el volumen libre representado en la figura por la sección rayada, aplicando X4 : 0,obtenemos

Ft -Ft * w(y^ -y)dLdz sen d -r dLdz :0

Puesto que Ft : Fz, se tiene

Para un flujo laminar, r : ¡t duldy,." ;;";;::- "

(A)

Para pequeños valores del ángulo a, asociado a la pendiente de canales abiertos, sen o¿: tg a : pendien-te S. Integrando (A), se obtiene

,=?l{or^-iu,\+c (B)

Como u = 0 cuando ! :0, el valor de la constante C: 0. La ecuación (.8) es una ecuación cuadrática que re-presenta una parábola.

i. ¿Cuál es la velocidad media V en el Problema 2?

Solución:

(velocidadmedia)v = 9 = ldQ !udA -@s/ül@a^-$u'ld'udz' A ldA-idA - fdsdz=y^d.zdonde dz es una constante (dimensión perpendicular al plano del papel).

v = ffi f,"^ ,rr^- f,u,)du = ry4. Para un flujo uniforme y permanente en canales abiertos anchos, establecer una ecuación teórica

que dé la velocidad media para superficies lisas.

Solución¿ :

Para flujo turbulento, en general, la tensión cortante t puede expresarse de la forma

1 : pt2lduldz)2

donde / es la longitud de mezcla y una función de z (véase Capítulo 7).

¿o = !1y^-u)sen ady = Tro^-úda

cAP. lol FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Fig.l0-3

Por otra parte, de la expresión (,4) del Problema I, ro : ruRS : whS, ya que el radio hidráulico R para ca-nales anchos es igual a la profundidad.

En la capa límite, puesto que ,, es muy pequeño, z = h y Í = ro. Luego podemos igualar los valores de ro,

¡'|'z(du/dz)2 : uzS o clr/dz = +tf-gzS/l2

Para integrar esta expresión se ensaya un valor de l: k(h -z)(zlh)It2. Entonces,

165

,1,' -f

"1 2 -l

-;= VsSl-j- r-L^ \l¿ - z)(z/h\, , )

Setieneg:(h-z\ I dA =-clz;luegoudur v gsh''Yla) = -i- Y du

Como ,"lp - u:hS/p - gSh,

y g¡n /da\= ----l

- lK \A /

| -

,du,= EVr./e\;)1-u = |l/r"/elng -l C

= (-r/k)t/,Jpl"a. y1_, = i 1/ r"/p ln (a/u"\

Nota; Al despreciar la curva logarítmica a la izquierda de y., lo que introduce una aproximación, se con-siguen resultados satisfactorios dentro de los limites de precisión esperados, ya que yo es muy peque-ño. Véase Problema 5 para el valor de yo.

En esta expresión (A), k = 0,40 y se llama constante de Von Karman. Puésto que el término u/r-Jp tienelasdimensiones de m/seg, este término se denomina velocidad de corte y se designa por o*. Asi, pues,

(B)

De e : Ar, : (h x t)v : ! u(dy x,,, j,;.'j", j, "?ll;'.. ra verocidad media v.Así, pues,

v = !u\duxr) = ,,?r,(" (lny_ tnu.)cru(h 1) h J. '"'"Aplicando la regla de L'Hópital, la velocidad media en el caso de superficies lisas donde existe una capa límitepuede evaluarse en

\/ñi, 1 \--;-l-lk \n- z/

du

Para y=!t",r=0;luego C

(A)

V :2,5\Un h -ln y. 1l (c)

En el Problema 5 se demostrará que y. es igual avfg*.Por consiguiente, las ecuaciones (B)V G) pueden es-cribirse de la forma

u : 2,5u¿, ln (9a*y¡v¡

V:2,5u*l1n h -ln(vl9u*) -lf(D)

(E\

166 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [cAP. l0

Frecuentemente la velocidad media en un canal abierto se toma como la velocidad observada en un puntosituado a 0,6 de la profundidad (medida desde la superficie). Si aceptamos este valor de f, entonces podemos es-cribir la velocidad media, a partir de la ecuación (B) anterior, de la forma

V : 2,5u* tn (0,4h1y.)

Del Problema 5, y": ó/103. Entonces, para los canales anchos, puesto que el radio hidráulico R: h, lavelocidad media es

V :2,5u* ln 41,2R16

5. Determinar el valor de yo en el problema anterior.

Solución:

Para superficies lisas, en una capa límite (laminar),

. r": p(duldy): vp(duldy) o hldy : (tJp)lr: ullv (constante)

Designando por ó el espesor de la capa límite,

t o, = t 3,t,l !." au O 1rO = a2*6/v = n¡-ur

De datos experimentales, R¿* = 11,6 (prácticamente constante). Entonces,

ul6lv : ll,6u* o ó : ll,6vlu*

Haciendo I : 6 en la ecuación (B) del problema precedente,

u6 : 2,5u* ln 6ly.

Combinando (C) con (l), ln óly. : u¿12,5u,,, -- RE*12,5 = 4,64,

ófyo:¿a'64:193 y 6:103_y. (D)

Entonces, de (B), y": !- = l!^'6' = ^u (E)' 103 - 103u* - 9u*

L6. Por un canal rectangular ancho y liso (n : 0,009) circula agrra a 15' C con una profirndida#de 7,2 my con una pendiente de 0,0004. Comparar el valor de C obtenido por la fórmula de Manning conel que da la aplicación de la expresión V : 2,5u.ln 41,2R16.

Solución:

(a) Aplicando la fórmula de Manning, C : (l,0ln)Rt/6 : (1,0/0,009)(l,2tt6) : 114,5.

(b) Igualando la fórmula de Chezy para la velocidad media V con la expresión dada,

C: [nS :2,51)* ln 4l,2Rl6

Sustituyendo ,* : .r{Sn del Problema 4, obtenemos

c :2,5!E ln 41.2R16 (A)

Para el agua a 15" C, v :1,132 x 10-6 y, tomando 6: ll,6vlu* de (,8) del Problema 5, hallamos C:97,5.

7. (a) Por un canal rectangular ancho circula agua con una profundidad de 7,2 m y una pendientede 4 m sobre 10.000 m. Aplicando la fórmula teórica pará Ia velocidad del Problema 4, calcularlos valores de las velocidades teóricas a intervalos de profundidad de llI0 de ésta, suponiendo queel canal es liso. (ó) Comparar la media de los valores de velocidad a0,2 y 0,8 con la velocidad a 0,6 deprofundidad. (c) Calcular la posición de la velocidad media por debajo de la superficie del agua.Emplear como viscosidad cinemática el valor 1,40 x 10-6 m2/seg.

(F)

(A)

(B)

(c)


Solución:

(a) Puesto que ,*: '/-rJo: V?Rs : J-ghS v v": tfgu*'

u : 2,5u*, tn ylyl": 2,5(2,3$\J-si3 ts 9u*v¡v

: s.zs.,6str:¡o.ooo+r rg

: 0,3945 x 19 4,41 x 10s¡

A partir de (l) obtenemos los siguientes valores de velocidad u:

Dist. haciaabajo (\) f (m) 441.000y lg 44r.000y u(miseg)

010)n30405060'70

809092,5q5no?<99.75

t,201,080,960,840,'720,600,480,360.240,120,090,060,030,003

529.200476.280423.3603',70.4403r7.520264.6002l 1.680158.760105.840

52.92039.69026.46013.230

t -Jz-)

\ 1)76s 61795,62665,56875,50185,42265 1?57

5,20075,02464 7)764,59874,42264,r2t611)lÁ

2,2612,2432,2232,200z,rtJ2,1422,r04) o54I qRs

1,8661,81ót,747r,628| )11

(b) La media de los valores a 0,2 y 0,8 de profundidad es V : +(2,223 + 1,985) : 2,104 mlseg.

El valor a 0,6 de profundidad es 2,104. Normalmente no suele darse tal concordancia de valores.

8. Suponiendo correcta la fórmula de Manning para el cálculo de C, ¿qué valor de n satisfará el cri-

terio de <liso> en el Problema 6?Solución:

Iguhando los valores de C, aplicando la expresión (A) del Problema 6, se tiene

Rrro - -- r , .41,2R. . -. r, ,4l,2RJgsR,;: s,lsjg tg ( ¿ l: 5.75t1s tg (--lrñ-)

Sustituyendo valores y operando, n : 0,0106.

g. Aplicando la ecuación de Powell, ¿qué cantidad de líquido circulará en un canal rectangular liso

de 0,6 m de ancho con una pendiente de 0,10 si la profundidad es 0,3 m? (Emplear v :0,000039 m2/seg).

Solución:

La ecuación (ó) es C : J3.20lg t1.811fi . ;,Para canales liSos, e/R es pequeño y puede despreciarse; lue!

C :23,20 lg 0,552lRulC V)

R"/C puede calcularse a partir de los datos conocidos mediante V : CInS:

Rr: 4RVlv : +ncfnslv0,552t R El C : 4R3t 2 Srt2 lv : 0,5521 (4X0,15)3/2 (0,01 )1/2/0'000039 : 329

Entonces, C : 23,2 lg 329 : 58,4 y

e: cA6s: 58,4(0,18)v6'Jf0,01) :0,407 m3/seg

167

(A)

168 FLUJO EN CANALES ABIERTOS ICAP. 10

10. Determinar C mediante la fórmula de Powell para un canal rectangular de 0,6 m por 0,3 m si Z :1,65 m/seg, elR: 0,002 y v : 0,000039 m2/seg.

Solución:

Primero se calcula R¿ : 4RVlv : 4(0,15X1,65)/0,000039 : 25.385. Luego

C : -23,2019 (l,att-g-^ + 0,002)25.385

Por aproximaciones sucesivas encontramos que C : 52 es satisfactorio.

Powell ha representado gráficos de C en función de Ru para varios valores de la rugosidad relativa e/R. Lasgráficas simplifican los cálculos. Por otra parte indican una estrecha analogía con la fórmula de Colebrook parael flujo en tuberías.

11. (a) Encontrar una correlación entre el factor de rugosidad/y el factor de rugosidad n. (b) ¿Cuáles la tensión tangencial media en los flancos y solera de un canal rectangular de 3,6 m de anchopor I,2 m de profundidad y trazado con una pendiente de 1,60 m/1000 m?

Solución:

(a) Tomando la fórmula de Manning como base de correlación,

c=rE = Rt'u 1= Rt'u f - 8gry'Y/ n ' lT- n{w ' ! Rrr¡

(b\ Del Problema

¡o : ruRS: ,t';#h""-)(pendiente) : roool--!f-112-rtffir : t,r52 kslm2

12. ¿Qué caudal puede alcanzarse en un canal revestido de cemento de 1,2 mde ancho trazado con unapendiente de 4 m sobre 10.000 m, si el agua circula con 0,6 m de profundidad? Aplicar los coe-ficientes C de Kutter y de Manning.Solución:

(a) Aplicando el coeficiente C de Kutter. De la Tabla 9, n : 0,015. Radio hidráulico R : 1,2(0,6)12,4: 0,30 m.

De la Tabla 10, para S : 0,0004, R : 0,30 y r : 0,015, el valor de C -_ 54.

Q : AV : AC6s : 0,2 x 0,6X54)v6J0 x 0"0004 : 0,426 m3/seg

(ó) Aplicando el coeficiente C de Manning,

e: AV: a!pr,rsr,z :0,2 x 0,6)* (0,30)r/3(0,0004¡rrz - 0,430 m3/segtr 0.01 5

13. En un laboratorio hidráulico se ha medido un caudal de 0,393 m3/seg en un canal rectangular de1,2 m de ancllo y 0,6 m de profundidad. Si la pendiente del canal era-de 0,0004, ¿cuál es el factorde rugosidad-para el revestimiento del canal?

Solución:

(a) Aplicando la fórmula de Kutter,

Q:0,3s3 : AC6S : Q,2 x qqc@ y c: 50

Interpolando en la Tabla 10. z : 0.016.

(b) Aplicando la fórmula de Manning,

e:0,393 : a7 Rr,rgr,2 : í,2 x o,o¡110,:¡,tr{0,0004¡rrr, n:0,0164. Emplear n:0,016.nn

cAP. lol FLUJO EN CANALES ABIERTOS

14. ¿Con qué pendiente se trazará una tubería de alcantarillado vitrificada de 60 cm de diámetro para

que circulen 0,162 m3/seg cuando la tubería está semillena? ¿C:uál será la pendiente si la tubería

está completamente llena? (La Tabla 9 da n :0,013.)Solución:

Radio hidráulico R : áÍea

perímetro mojado

169

1tl-s2t:'\u'j'",.' : +d :0.15 m.

i\na )

(1/0,013X0,15)2t351t2, V6: O,OSZS v S : 0'OO27g.(a) e :0,t62 : AlnRzttsttz : LGn)(0,6)' x

(b) R: +d: 0,15 m, como antes, y A : f,n(0,6)2. Luego $: O,OZA+ y S : 0,00070.

15. Por un canalfrapezoidal de 6 m de anchura de solera y pendientes de las paredes de 1 sobre 1 circu-

la agua al,2m de profundidad con una pendiente de 0,0009.Para un valor den:0,025, ¿cuál

es el caudal?Solución:

AreaA:6(1,2)+

16. Dos tuberías de hormigón (C : 55) deben transportar el flujo desde un canal abierto de sección

semicuadrada de 1,8 m de ancho y 0,9 m de profundidad (C : 66). La pendiente de ambas estruc-

turas es de 0,0009. (a) Determinar el diámetro de las tuberías. (á) Haltar la profundidad de agua

en el canal rectangular, después de haberse estabilizado el flujo, si la pendiente cambia a 0,0016,

empleando C :66.Solución:

\a) Qcan^t : Otub".iu"

ACtrFS :2ACIRS

fsq2(+)(r,2) :9& ^, R : 8,64[6 + 2(r,2J-4] : 0,e2 m.

: gln)AR2t3Stt2 : (110,025)(8,64)(0,942t3(0,03) : 9,8 m3/sego

t1,8 x 0,9X66) j to,ooonl+# {o.oooe) : 2(lnd'ztt55l

2,15 : t,30dst2 y d : 1,225 m

(b) Para una profundidad y, el átea A : l,8y y el radio hidráulico ^

: i.rt l¡;'

Para el mismo caudal Q

,,rrr[-9r,r * rr: 0,814,2,1s: (1,8yX66) y' -0,2275v : 0,2050

Por aproximaciones sucesivas: Para y : 0'720 m, (0,373 -0,164) + 0'205 (disminuir y)'

Para v :0,717 m, (0,368 -0,163) :0'205 (satisfactorio)'

Así, pues, la profundidad, con precisión del orden del milimetro, es 0'717 m'

17. Una tubería de alcantarillado de revestimiento vitrificado or-dinario se traza con una pendiente de 0.00020 y conduce 2.30 mr/segcuando la tubería está llena al 90 /". ¿Qué dimensión tendrá latubería ?

Solución: rDe la Tabla 9. r : 0.015.

Se calcula el radio hidráulico R (véase la Fig. 10-4).

- A circulo - (sector AOCE - triángulo AOCD)D-

P arco ABC

Angulo 0 : arc cos (0,40dl0,50d) : arc cos 0,800, 0 : 36" 52'.

t.. io)'

Fis.10-1

r70 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Area del secfor AOCE: l2(36'52')1360"1ftnd,): 0,1612d2.Longitud del arco ABC : nd -12(36"52')1360'f(nd) :2,498d.Area del triángulo AOCD : 2(.i\(0,40d)(0,40d fg 36.52,):0,1200d2.

R _iitd2 -(0,r6_r2d2 -0,r200d2) :oJ!!?d,, :0.2e8d2.498d 2,398d

Empleando el coeficiente c de Kutter (para un primer cálculo se supone igual a 55),

Q : cAtrFs, 2,30 : 55(0,7442dr¡rfo2xap,ooozo¡, dstz :.t,278, d:2,212 m

Para revisar c, R : 0,298 x 2,212 : 0,659 m y la Tabla l0 da c : 62. Recalculando,

dst2 :7,278(55162): 6,456 o tl:2,109 m (el C revisado es satisfactorio).

Empleando el coeficiente C de Manning (y datos anteriores),

[cAP. 10

\a)

(b)

Q : |

trPz't5rrzn

2,30 : --+

e,7442d1e,2g8d)2t3e,oo02r¡tt2, d't3 :7,347, d :2,112 mU.UT )

18. Por un canal rectangular de 6 m de ancho, trazad,o con una pendiente de 0,00010, circula aguaa razón de 6,00 m3/seg. Determinar la profundidad del agua. Emplear z : 0,015.Solución:

Aplicando la fórmula de Manning,

g : lapzrtgtrz, 6,00 : ^!- ft,vl - 6r= )2/3(0.0r). r.5 : ,( 6! pt,n 0.015 -''6 + 2y "6 + 2y'

Calculando por aproximaciones sucesivas, encontramos que el valor de -y:1,50 m satisface la ecuación. Elagua circulará a una profundidad de 1,50 m, llamada profundidad normal.

la fórmula de Manning se transforma en

lOnQ : -(F,y2l(F2yPt3stt2 o -# : FrFits : K

l-'-J '' -

Análogamente, en función de la anchura b, A : F.bt y R: F+b. Luego

On

tdtrSr¿:Ffát":K'

19. ¿Con qué anchura se construirá un canal rectangular para transportar 13,5 m3/seg de agua a unaprofundidad de 1,8 m bajo una pendiente de 0,00040? Emplear n : 0,010.Solución:

AplicandolafórmuladeManning,conA:1,8óyR:1,81(ú.+3,6),ycalculandoporaproximacionessucesivas, hallamos la anchura requerida á : 3,91 m.

20. Deducir, a partir de la ecuación de Manning, los factores de descar ga K y K' indicados en las Ta-blas 11 y 12 d,el Apéndice.Solución:

Los factores de descarga aplicados a la fórmula de Manning pueden calcularse como sigue. El área de unasección recta cualquiera puede expresarse de la forma A: FJ2, donde d es un factor adimensional e y2 es elcuadrado de la profundidad. De manera análoga, el radio hidráulico R puede expresarse así R : Jqry. Entonces

(r)

Q)

Las Tablas 11 y 12 dan los valores de Ky K'para canales trapezoidales. Los valores de Ky K'pueden calcu-larse para cualquier forma de sección recta.

cAP. 101 FLUJO EN CANALES ABIERTOS 171

21. ¿Cuálessonlosfactoresdedescarga Ky K' parauncanalrectangularde6mdeanchoy l,2mdeprofundidad? Comparar con los valores dados por las Tablas ll y 12.

Soh¡ción:(:a) A : FJ2, 7,2 : FJl,2), Fz : 5,0. R: Fzy, 7,218,4 : F2Í,2), Fz : 0,714. K : Ff?t3 : 4,00.

La Tabla 11 indica que para ylb : 1,216 :0,20, K: 4,00. (Comprobado.)

(b) A : Fzb2, 7,2 : \(36), \ : 0,20. R : F+b, 7 ,218,4 : F46), F4 : 0,143. K' : FtF2t3 : 0,0546.

La Tabla 12 indica que para ylb : 1,216 :0,20, K' :0,0546. (Comprobado.)

22. Resolver el Problema 18, empleando los factores de descarga de la Tabla 12.

Sdución:Del Problema 20. ecuación (2),

Qn ó(0.015)

Pí¡t': rc" G

:0'0757 : K'

La Tabla 12 indica que para canales trapezoidales de taludes verticales, un K' de 0,0757 representa una re-

lación profundidad-anchura {¿lb) entre 0,24 y 0,26. Interpolando, ylb : 0,250. Luego y : 0,250(ó) : 1,50 m,

al igual que se halló en el Problema 18.

23. Resolver el Problema 19 empleando los factores de descarga de la Tabla 11.

Solución:

Del Problema 20, ecuación (1),

Qn ,, 13,5(0.010)pír.': x. (rs,rlüooo4p

: t.4t : K

K : l,4l corresponde exactamente a una relación ylb igual a 0,46. Luego b : 1,810,46 : 3,91, como se

calculó en el Problema 19.

24. Un canal de sección recla lrapezoidal transporta 24,3 m3/seg. Si la pendiente S: 0,000144,

r : 0,015, anchura de la base b:6m y las pendientes de las paredes son de l vertical sobre 1,5

horizontal, determinar la profundidad normal de flujo ./w por la fórmula y usando las Tablas.

' Solución:

(a) Por la fórmula,

24,3 : | (6yn + r,5y2*)rJU

J $)2t3(0,000r44)Lt20.015 6 + 2yrJ3.25

t Á4.4 + 8.641sl3Ensayando !* :2,4: 39,4 :- '- "' 'i-:' o 30,4 I 31,2 (bastante ajustado).

(6 + 4,8J3,25)2t3

La profundidad de flujo puede calcularse por aproximaciones sucesivas hasta la precisión que se quie-

ra. La profundidad normal es ligeramente menor qlue 2,4 m.

(ó) Cálculo previo para utilizar la Tabla 12 del Apéndice:

Qn 211ooQ_ :0.256: K,t"¡Sa :

(6fÉ(o.ooo 144¡trz -

172 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [CAP. IO

En la Tabla 12, para una pendiente de las paredes del canal de 1 vertical sobre 1,5 horizontal,

ylb :0,38, K' : 0,238 y ylb : 0,40, K' : 0,262

Interpolando para K' : 0,256, tenemos ylb : 0,395. Entonces, y, : 0,395(6) -- 2,370 m.

Para un área de una sección recta dada determinarlas dimensiones óptimas de un canal trapezoidal.

Solución:

El examen de la ecuación de Chezy indica que paraun área de una sección recta y una pendiente dadas elcaudal a través de un canal con una rugosidad dada serámáximo cuando el radio hidráulico sea máximo. El radiohidráulico será máximo cuando el perímetro mojado sea

mínimo. Refiriéndose a la Fig. 10-5,

A : by + 2Éy)0t te 0l

o b:Aly-yte9p: b +2), sec 0 o p : Aly - y fg0 +2y sec 0

Derivando p con respecto a y e igualando a cero,

Fig.10-5

dpldy: -Aly' -:¿e+2sec 0:0 o A: (2sec 0- te|)yt

25.

(Máximo) R: A :p

(2sec0-tg?)yt _y(2 sec 0-tg|)ytly - y tg0 +2y sec 0 2

Notas'.(1) Para todos los canales trapezcidales, la sección hidráulica óptima se obtiene cuando R : yl2.La sec-

ción simétrica será un semihexágono.

(2) Parauncanal rectangular (cuando 0:0'), A:2y2 y también A:by, dandoy: bl2,ademásdela condición R : yl2.Así, pues, la profundidad óptima es la mitad de la anchura con el radio hidráulico iguala la mitad de la profundidad.

(3) El círculo tiene el menor perímetro para un área dada. Un canal abierto semicircular desaguará másagua que cualquier otro de distinta forma (para la misma área, pendiente y factor n).

26. (a) Determinar la sección óptima de un canal trapezoidal, n : 0,025, para transportar 12,6 m3/seg.Para evitar la erosión, la velocidad máxima ha de ser 0,90 m/seg y las pendientes de las paredesdel canal trapezoidal son I vertical sobre 2 horizontaL (á) ¿Cuál deberá ser la pendiente S del ca-nal? Referirse a la fieura del Problema 25.Solución:

la) o b:2yuE - qy

o b:(r4-2y2)ly

Igualando (l) V Q), obtenemos ! :2,38 m. Sustiruyendo en (2), b -- 1,2 m.Para este canal trapezoidal, b : l,l2 m e y :2,38 m.

^ y A by+2(¡)\2y)2 p b+2yJs

A : QIV : r2,6010,e0: by + 2y2

(1)

(2)

I

I

(b) v : (tln\R2t3su2, 0,90 : (u0,025\Q,38¡2¡ztt5rtz, S : 0,000405

cAp. l0l FLUJO EN CANALES ABTERTOS 173

27, Desarrollar la expresión para la profundidad crítica, energía específica crítica y velocidad crítica(a) en canales rectangulares y (á) en cualquier canal.

E^¡"

E^¡^

Flujo subcrítico

Flujo supercríticoT=u.

1_E

Q Constante

\d)

Solución:

(o) Canales rectangulares.

(b) Cualquier canal.

normal de cálculo,

9=lf ,,-lfcl'l -1- q' =0, q,dy dul" Zsryt I - s!J"

Efiminando q enfre (l) V Q),

E" - ¡'^+J4 ='c ' 2su7

Puesto que q : yV (ó : unidad), la expresión (2) da

^."-Q'-a\V?sc- g- S

E = ,*# = ,*h&)"Para un O constante, y puesto que el área A varia con la profundidad ¡,

dE _ 1 'Q't_2 -dA\ . Q',dA,ra = t rfi(-1|'dr) = 1-i'da = o

El área dl se define como la anchura de la superficie de agua b' x dy. Sustituyendo en la ecuación

anterior, se obtiene

Q'b'" = IsAi

'*"'";:"""/

€

v" = lll",

o Q'=+go

3-u" = \/q'/g (2)

(r,

= gul,

a

ta" (3)

(/t')v? _a"2g2

Esta ecuación debe satisfacerse para las condiciones críticas del flujo. El segundo miembro es una fun-ción de la profundidad ¡, y generalmente se precisa una solución por aproximaciones sucesivas para de-

terminar el valor de y" para el que se satisface la ecuación (5).

E = a +# =, *+(T)'=, + fiQ)"

0.8 Constante

(b)Fig. l0-6

Por definición,

La profundidad crítica para un caudal dado Q ocurre cuando E es mínimo. Siguiendo el procedimiento

(r)

174 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [cAP. 10

Dividiendo Qt po, Al, o en función de la velocidad media, (5) puede escribirse de la forma

V'"/g = A"/b' o y" = yeA-M (6)

Introduciendo la profundidad media y-, igual al área I dividida por la dimensión á', la ecuación (5)puede escribirse de la forma

Por otra parte,

Q-AlsAlU=Atfsa,.y" = yQl,JU = y/-sa,, o Vllsy^:r

(7)

(8)

La energÍa específica minima es, aplicando (8),

E^i^ : u" -l V\/Zs = y" * tu^

Para un canal rectangtlar A": b'y", y (ó) se reduce a la ecuación (4) anterior.La Fig. 10-6 representa la ecuación (/) para Q constante y pal.a E constante. Cuando el flujo está pró-

ximo de ser crítico, la superficie se hace inestable produciendo olas. No es deseable diseñar canales conpendientes próximas a la crítica.

28. Deducir la expresión que da el caudal máximo por unidad de anchura q en un canal rectangularpara una energía específica E dada.

Solución:

Despejando q enla ecuación (/) del Problema2T, se tiene S: yJk@ - yft'. Derivando con respectoa 7 e igualando a cero, obtenemos y" : 4E. La ecuación (2) del Problema 27 se transforma ahora en

{f ., = s(:}E ")s = gyx q^^- = t/ wl

Resumiendo, para canales rectangulares, las características de flujo crítico son:

^3-(o) E^i^ = :ilq'/s

(ó) e,nax = t/gv\ = {gGE"f

(c) a" = '&8" = Vi/g = W/s(d') V"/\/ sa. = N¡ = 1

(e) El flujo tranquilo o subcrítico se produce cuando No < I e yly" > l.(f) El flujo rápido o supercrítico se produce cuando ¡fF > 1 e yly" < l.

Un canal rectangular conduce 5,4 m3/seg. Hallar la profundidad qitica l, y Ia velocidad qifica V,para (a) una anchura de 3,6 m y (á) una anchura de 2,7 m. (c) ¿Qué pendiente producirá la veloci-dad crítica en (a) si n : 0,020?

Solución:

(a) y,: lsrc : {oAFdm: 0,612 m. v": y6,: ,1's,t " o.otz:2.4s mlses.

(b\ y": lsri -- TtflNrp.8:0.742 m. v,:.,1e": $8 " ai4r:2.70 m,'ses.

| , 1 3.6x0.611(c) v": ll7zttgtrz, 2,45 : 0Á(l'-l-!1"¡zrtStrz, S : 0,00683.

Un canal trapezoidal cuyas paredes tienen una pendiente de2 horizontal sobre 1 vertical transpor-ta un caudal de 16 m3/seg. Si la solera del canal tiene una anchura de 3,6 m, calcular (a) la pro-fundidad crítica y (b\ la velocidad crítica.

(e)

29.

30.

cAP. 1ol

Solución:


(b) La velocidad crifica V" se determina mediante la ecuación (ó) del Problema 27.

Como comprobación, haciendo | : /" : 1,035, V": QlA, -- 16113,6(1,035) + 2(1,035)'?): 2,73 mlseg.

31. Un canal trapezoidal tiene una solera de 6 m de anchura, la pendiente de las paredes es de 1 so-bre 1 y el agua circula a una profundidad de 1,00 m. Para n : 0,015 y un caudal de 10 m3/seg,calcular (a) la pendiente normal, (ó) la pendiente crítica y la profundidad crítica para 10 m3/segy (c) la pendiente crítica a la profundidad normal de 1,00 m.

Solución:

(a) e : Ar R2ttsuz, 10 : (6 + rlf--]=X -1 - \'t'Sll', S,v : 0,000626"0,015 6 + zlz

(a) El Area A":3,6y, + 2(t" x 2y"):3,6y" * 2y!, y anchura de superficie b' :3,6 + 4y".(16)' (3,6y, + 2y2,)3

La expresión (5) del Problema 2'7 da ;+ :9.8 3.6 + 4y,

Resolviendo esta ecuación por aproximaciones sucesivas, -y. : 1,035 m'

o10I:1: - " l t;:A 6y-ty'

p¡,Ya(b)

Igualando los términos de velocidad, operando y simplificando, obtenemos,

[y.(ó + y"¡]3

3*h :"u'"

que, resolviendo por aproximaciones sucesivas, da la profundidad crítica /" : 0,634 m.

La pendiente crítica S" se calcula aplicando la ecuación de Manning:

r0: [6(0,634) + (0,634),]( ,]¡rffffi),,.s:t,, .s.:0,002E

Si esta pendiente se mantiene uniforme, el flujo será crítico con una profundidad crítica de 0,634 m y con

lnQ:10m3/seg'

(c) De (a), parayN:1,00m, R: U,793 my A:7,00m2. Porotraparte, aplicandolaecuación (ó) delPro-blema 27,

v,: Js.4la : "6¡trpol116

+ 2(1)l:2,e28 mlses

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Manning, tenemos

2,928 : (1/0,015)(0,793)'t'S:t', E : 0,00263

Esta pendiente producirá un flujo crítico uniforme en el canal trapezoidal a una profundidad de 1,00 m.

Se observará que en este caso el caudal será Q : AV -- 7,00(2,928) : 20,496 m3/seg.

32. Un canal rectangular de 9 m de ancho transporta 7,30 m3/seg con una profundidad de 0,90 m.(a) ¿Cuál es la energía específica? (á) Determinar si el flujo es subcrítico o supercrítico.

Solución:v2 | o- 1 7.30lal E:!+^ :t +-ti)'z:0.90+_(^ "1=^)2:0.941 m(kgm/m¡.' 29 2e A 19,6 9 x 0,90

(b) v": l/k: iQnQf try: 0,406 m.

El flujo es subcrítico porque la profundidad del flujo es superior a la profundidad crítica. (Véase Pro-

blema 28.)

6+2y,

r76 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [cAP. 10

33. Un canal trapezoidal tiene una anchura de solera de 6 m y las paredes una pendiente de 2horizon-tal sobre 1 vertical. Cuando la profundidad del agua es de 1,00 m, el caudal es de 10 m3/seg.(c) ¿Cuál es la energía específica? (á) El flujo, ¿es subcrítico o supercrítico?

Solución:

(a) Area A: 6(1,00) + 2(j)(1,00X2,00) : 8,00 m'z.

I o- I 10E: ) + _(i)r:1,00 + _( ^)':1,08 m' 2sA 19,ó8

02 A: (10)2 (6y. 1 r''2 rrbl Empleando E - -.

'r" ' Resolviendo por aproximaciones sucesivas. /c : 0.61 m.g b' 9,8 6++y"La profundidad real supera a la profundidad critica, luego el flujo es subcrítico.

34. El caudal que pasa a través de un canal rectangular (n :0,012) de 4,5 m de ancho es de

10,80 m3/seg cuando la pendiente es de 1 m sobre 100 m. Determinar si el flujo es subcrítico o

supercrítico.

Solución:(1) Se examinan las condiciones críticas para el canal.

q^"*: 10,80f4,5 : ,Ey? e t,: 0,838 m

(2) La pendiente óritica para la profundidad crítica anterior puede hallarse mediante la fórmula de Chezy-Manning

Q : A^ R2t3Srt2,,

I 0. 8 0 : ( 4. 50 x 0. s 3 8 ) (

0 p I 2-1 " ¡Í*1jqlr, o 38) ),

/. S.,,, . + : 0. 002 I 5 +

Puesto que la pendiente del canal supera a la crítica, el flujo es supercrítico.

35. Un canal rectangular de 3 m de ancho transporta un caudal de 12 m3/seg. (a) Tabular (como parapreparar un diagrama) la energía específica en función de la profundidad de flujo para profundi-dades de 0,3 a 2,4 m. (á) Determinar la energía específica mínima. (c) ¿Qué tipo de flujo existe cuan-do la profundidad es 0,6 m y 2,4 m? (d) Para C -- 55, ¿qué pendientes son necesarias para man-tener las profundidades de (c)?

Solución:

(a) De E:r++:r.g# obtenemos:

Para y: 0,30 m, .E : 0,30 + Í212'90f : 3.02 m kg/kgzg

: 0,60 : 0,60 + 1,36 : 1,96: 0,90 : 0,90 + 0,907 : 1,807: 1,20 : 1,20 + 0,680 : 1,880: 1,50 : 1,50 + 0,544 :2,044: 1,80 : 1,80 + 0,453 : 2,253: 2,r0 : 2,10 + 0,389 : 2,489

-- 2,40 : 2,40 + 0,340 : 2,740 m kg/kg

(b) El valor mínimo de .E está situado entre 1,9ó y 1,880 m kgAg.

Aplicando la ecuación (2) del Problema 27, y,::/q1c: IIOPW: 1,178 m.

Entonces, E-in : E,: ]y,: +(1.178) : 1,767 m kg/kg.

Se observa que ¿' : 7,96 para.y : 0,60 m y 2,04 a 1,50 m de profundidad. La Figura (a) del Proble-

ma 27 indica este hecho, o sea, dos profundidades para una energía específica dada cuando el caudal Q es

constante.


(c) Para 0,6 m de profundidad (por debajo de la prolundidad crítica) el flujo es supercrítico y para 2,4 m de

profundidad el flujo es subcrítico.

dI Q: CAIRS

Para ¡:0,6 m, A:1,8 m2 y R :1,814,2:0,429 m, 12 : 55{1.8)V't729S y S:0,0343.

Para y : 2,4 m, A : 7,2 m' y R : 7,217 ,8 : 0,923 m, 12 : 55(7.2lJUn3S y S : 0,000995.

36. Una acequia rectangular (n : 0,012) se trazacon una pendiente de 0,0036 y transporta 16,0 m3/seg.

En condiciones críticas de flujo, ¿qué anchura deberá tener la acequia?

Solución:Del Problema 28, Q^u*: .r,Gñ De ahí l6,0lb : JfÑPor aproximaciones sucesivas se comprueba el caudal calculado frente al caudal dado.

Tanteo l. Haciendo b:2.5 m, y,: tttO.OZS)2 9.8: l.ól m.

Entonces, R : Alp: (2,5 x l,6l)15,72: 0,704 m

v Q : AV : 12.5 ' l.Oll[o.irz(0.70412 3(0.0036)r 'z] : 15.9 m3 seg.

Tanteo 2. Puesto que el caudal debe aumentarse, hacemos b : 2,53 m.

Entonces. y": tr4taolzszl1s,8: 1,60 m, R: (2,53 x 1,60)15,73:0,706 m

y Q: AV: (2.53 x l.ó0)[0.;12(0.706)2/r(0.0036)"2]: ló.0 m37seg.

Este resultado es probablemente de suficiente exactitud.

37. Para una energía específica constante e igual a 1,98 m kg/kg, ¿qué caudal máximo deberá pasar

por un canal rectangular de 3,00 m de ancho?

Solución:

Profundidad critica y. : ZE:3(1,98): 1,32 m. (Véase ecuación (/) del Problema 28.)

Vefocidad critica V": JEl,: Jr,8 " t,3r: 3,60 m/seg y

Caudaf máximo Q: AV: (3,00 x 1,32)(3,60) :14,2 m3 lseg.

Apficando q^ *: \Eyl [ecuación (ó) del Problema 28], obtenemos

Caudal máximo Q: bq^*: 3.00.r63(lJ2P : 14,2 m3 lseg.

38. Por un canal rectangular de 6 m de ancho, n:0,025, circula aguaa 1,50 m de profundidad conuna pendiente de 14,7 m sobre 10.000 m. A lo ancho del canal se construye un vertedero sin con-tracciones C, de 0,735 m de altura (m : 1,90). Tomando la elevación de la solera del canal jus-

tamente aguas arriba del vertedero como 30,00, estimar (usando un tramo) la elevación de la su-

perficie del agua en el punto A, 300 m aguas arriba del vertedero.

Solución:Se calcula la nueva elevación de la superficie del agua en -B en la Fig. 10-7 (la profundidad en el sentido

de la corriente disminuye). Se observa que el flujo es no uniforme puesto que las profundidades, velocidades y

áreas no son constantes desde el momento en que se instala el vertedero.

r78 FLUJO EN CANALES ABIERTOS [cAP. 10

Fis. 10-7

Q -- 6 x 1,50)(1/0,025x9/9)'z/3(0,00147¡trz - 13,80 m3/seg

Para una profundidad supuesta de 1,80 m justo aguas arriba del vertedero.

Velocidad de aproximación V : QIA : 13,801(6 x 1,8) : 1,28 m/seg

La fórmula del vertedero da 13.80: t.90 x 6[(H * (14)'¡r,, - tl'?8)'rr,rt. Luego29 29

(¡1 + 0,0836)3t2 : 1,210 + 0,024 : 1,234 y H : 1,066 mAltura Z:0.735 m

Profundidad y : 1,801 m (hipótesis comprobada)

La nueva elevación en,4 debe estar comprendida entre 31,941 y 32,241. Ensayando una elevación de 32,10(y comprobando en la ecuación de Bernoulli),

Nueva área en A:6(32,10-30,44):9,96 m2 y V:13,8019,96:1,39 m/seg.Velocidad media : +(1,28 + 1,39) : 1,33 m/seg.Radio hidráulico medio R: +(10,80 + 9,96)ll+e,60 + 9,32)l: 110 m.

Péri ' vn "' '

l'33 x 0'025 '2''lrda de carga h": (

^utf r: {: ,r,*rn )'(300) : 0,292 m.

Aplicando ahora la ecuación de Bernoulli entre A y 8, tomando .B como referencia,

que se reduce a

32,10 + (r,39)212g:31,80 + (r,28)212g

31,91 : 31,88 (aproximadamente)

La diferencia de 0,03 m está dentro del error del factor de rugosidad n. Por consiguiente, no se precisa ma-yor aproximación. Se empleará, pues, la elevación de 32,10 m.

39. Desarrollar una fórmula que relacione la longitud, energía y pendiente para flujo no uniformeen el caso de problemas similares al precedente.

Solución:

Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones I y 2 en la dirección del flujo, tomando como refe-rencia la sección inferior a la solera del canal, obtenemos

energía en 1 - pérdida de carga : energía en 2

(2, I y, + V?l2g) - ht: Q, * y, + V3l2g)

La pendiente de la línea de alturas totales S es hrlL; entonces, hL:-SL. La pendiente de la solera del ca-nal S" es (21 - z2)lL; luego zt - Zz: S"Z. Reagrupando y sustituyendo,

S"Z + (y' - y) + (v?l2e - Vll2g): SL


Esta expresión se resuelve generalmente para la longitud Z en estudios de canales abiertos. Así, pues,

L en m = (a,+vilzg) - g"+vilzs) = E:- !" (A)

-s-s" s-s.

Los siguientes problemas ilustrarán la aplicación de la expresión ('4)'

40. Una acequia rectangular (n:0,013) tiene 1,80 m de ancho y transporta 1,78 m3/seg de agua.

En una cierta sección F la profundidad es de 0,96 m. Si la pendiente de la solera del canal es cons-

tante e igual a 0,000400, determinar la distancia que hay entre la sección F y la sección donde laprofundidad es 0,81 m. (Emplear un tramo.)Solución:

Se supone que la sección cuya profundidad es 0,81 m está aguas arriba de F. Empleamos los subíndices Iy 2 como es usual.

lr : 1,80(0,81) : 1,458 m2, Vt: 1,78211,458: 1,221 mlseg, &: 1,45813,42 :0,426 mAz: 1,80(0,96\: 1J28 m2, vz: 1,78211,728: 1,032 mlseg, R2: 1,72813,72:0,465 m

De ahí, V^.¿¡u: 1,126 mlseg Y R-"¿;o : 0,445 m. Entonces para flujo no uniforme,

,_(vtrl2s+y)-(v?l2s+ y,) _ : _556,5 ms.-s

El signo menos significa que la sección cuya profundidad es 0,81 m está aguas abajo de Fy no aguas arribacomo se ha supuesto.

Estos problemas ilustran cómo debe emplearse el método. Una mayor precisión se obtendría suponiendoprofundidades intermedias de 0,900 m y 0,855 m (o profundidades exactas por interpolación de valores), calcu-lando valores de AZ y sumando éstos. De esta forma debe calcularse vÍa curt)a de perfil. La curva de perfil noes una línea recta.

41. Un canal rectangular de 12 m de ancho conduce 25 m3/seg de agua. La pendiente del canal es 0,00283.

En la sección 1 la profundidad es 1,35 m y en la sección 2,90m aguas abajo, la profundidad es

1,50 m. ¿Cuál es el valor medio del factor de rugosidad n?

Solución:Az: 12(1,50) : 18 m2, vz:25118: 1,39 m/seg, Rr: 18/15 : 1,20 mAt : 12(1,35) : 16,20 m2, V1:25116,20: 1,54 m/seg, Rr : 16,20114'70: l'10 m

De ahí, V^.di. : 1,465 mlseg Y R-.¿¡o : 1,15 m. Para flujo no uniforme,

L -Vtl2s + vr) - v?l2s + v), 90 -

(0.0984 + 1'500)- (0,1215 + 1'3s0)

nV ^ nxl-465^q-(Rrrr)' o.orRl -t \z

y n:0.0282. 'R2t3' ' (l't5¡zrt '

42. Un canal rectangular de 6 m de.ancho tiene una pendiente de 1 m por 1000 m. La profundidaden la sección 1 es 2,550 m y en la sección 2, 600 m aguas abajo, la profundidad es 3,075 m. Sin : 0,01t, determinar el caudal probable en m3/seg.Solución:

Empleando como referencia el plano del lecho de la corriente en la sección 2,

energía en I : yt + V?l2g * z, : 2,550 + V2rl2g + 0,600energía en 2 : y2 + Vtl2g I z, : 3,075 + Vll2g + 0

La caida de la línea de alturas totales : energía en 1 - energía en 2. Puesto que el valor es desconocido,se supondrá un valor de la pendiente.

pendiente , _ pérdida de carga _(3,150 - 3,075) + (V?l2s - V3l2g) (1)L 600

Se supone que ,S : 0,000144. Por otra parte son necesarios los valores de A^"or^ y R-e¿io

At:6(2,550) : 15,300 m2, R1 : 15,300/11,10: 1,38 mA2 - 6(3,075): 18,450 m2, Rz: 18,450112,15 : 1,52 m

De ahí, A^,di^: 16,8't.5 m2 y Rme¿¡o : 1,45 m.

t79

180 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Primera aproximación.

Q : A^(lln)R43Stt2 - 1ó,875(1/0,011)(1,45)2/3(0,000144)tt2 : n58 m3/seg

En la ecuación (1) anterior se comprueba el valor de la pendiente S:

[cAP. l0

So = 0'00090

N- Zaom

Fig. l0-E

Solución:

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1, tomando como referencia 1, tenemos

(0 + despr. + 1,87) - 0,25vll2g: (0 + V?l2s + y) (1)

y L = (v3/2s+ñ-(vi/2s+al

^a , nV^ \z

@)r.-\ E'# /-

Estas ecuaciones se resuelven por aproximaciones sucesivas hasta que Z se aproxime o iguale a 240 m.

Haciendolr:1,50 m, de (1) se tiene V?l2S: (1,87 - 1,50)11,25:0,296m, Vt:2,41 mlsegy q:ltVt : 1,50(2,41): 3,61 m3/seE, Vz : 3,6111,24 :2,91 m3lseg.

(1)

h : 23,58115,30 : 1,54, V'z1l2g : 0,121vz: 23,581t8,4s : r,28, Vll2g : 0,083

5: QJIO - 3'o7s) + 0'038

600 : 0.000188

El gradiente de la línea de altura total es de 0,113 m en 600 m, superior al valor supuesto.

(2) Segunda aproximación.

Haciendo S: 0.000210. O : 23.58(.Jq!ffi#)1/2 : 28.50 m3/seg.

Comprobando , Vt :28,50/15,30 : ,,rU -4., , V?l2S :0,177 mV2 : 28,50118,45 : 1,54 mlseg, v3l2s : 0,122 m

, _ (3.150 - 3.075) + 0,055 : 0,000217600

Esta pendiente comprueba (razonablemente) la hipótesis hecha. Por consiguiente, Q aproximado : 28,50m3/seg.

43, Un depósito alimenta un canal rectangular de 4,50 m de ancho y n : 0,015. A la entrada, la pro-fundidad de agua en el depósito es de 1,87 m por encima de la solera del canal. (Véase la Fig. 10-8.)El canal tiene 240 m de longitud y un desnivel de 0,216 m en esa longitud. La profundidad detrásde un vertedero situado en el extremo de descarga del canal es de 1,24 m. Determinar, empleandoun solo tramo, la capacidad del canal suponiendo que la pérdida a la entrada es 0,25V112g.

CAP. 10] FLUJO EN CANALES ABIERTOS 18I

Vm"diu: +Q,41 + 2,91) : 2,66 mlsegy Rmedio : á(R, + Rr): +l(4,5 x 1,50)17,5 + (4,5 x 1,24)16,981: 0,85 m

Sustituyendo en la ecuación (2) anterior, hallamos L : ll3 m.

Se aumenta el valor de y, a 1,60 m y se repiten los cálculos. Los resultados en forma tabulada son:

lr Vr Qt V2 V^ R- L Notas

1,60 2,06 3,30 2,66 2,36 0,867 345 m se disminuye yt1,57 2,17 3,40 2,75 2,46 0,862 246 m resultado satisfactorio

La capacidad del canal : 3,40 x 4,5 : 15.30 m3/seg.Si se requiriese mayor precisión, se comienza por el extremo inferior y, para un caudal por unidad de an-

cbl¡a q: 3,40 m3/seg, se halla la longitud del tramo en el punto en que la profundidad sea aproximadamentew l0\ mayor que 1,24, o sea, aproximadamente 1,36 m, luego a una profundidad de 1,48 m, y así sucesiva-mente. Si la suma de las longitudes excede de 240 m, se disminuye el valor de yr, obteniendo un valor ma-yor de q.

4. Deducir la expresión que da la pendiente de la superficie de un líquido en canales rectangularesanchos para flujo gradualmente no uniforme.

Solución:La energía total por kilogramo de fluido con respecto a un plano arbitrario de referencia es

H_AtV,/2gIz

donde el factor de corrección de la energía cinética d se toma como la unidad. Derivando esta expresión con res-

pecto a I, distancia a lo largo del canal, se tiene

d.H da _ d(V'z/2g) - dz ra\,tL dL -r ,tL r dL \'^/

Para canales rectangulares (o para canales anchos de profundidad media y^), Vt : (:qly)2 y

dtq'l2ga') _ 2q' rja ¡ = _V' r4L¡,tL - Zst/\ail w\aflSustituyendo en (A), haciendo dHldL: -S (pendiente de la linea de alturas totales), y dzldL: -S" (pen-

diente de la solera del canal). obtenemos

r = ,tL - ñl¿) - s" " ii ¡-Trsil = 1-N; \b)

El término dyldL representa la pendiente de la superficie del agua respecto a la solera del canal. Cuando el ca-

nal se inclina hacia abajo en la dirección del flujo, S. es positivo. Análogamente, S es positivo (siempre). Para

flujo uniforme S : S" y dyldL : 0.

Otra forma de la ecuación (B) puede obtenerse como se indica a continuación. La fórmula de Manning es

Q : \ln)ARzttsttz

Resolviendo,esta ecuación para la pendiente de la linea de alturas totales, haciendo s: Qlb, A : by y R: ypara canales rectangulares anchos, se obtiene

dH o _ n'(q2b'/b'g'),lLr-

Análogamente, la pendiente de la solera del canal, en función de la profundidad normal y,t y del coeficiente nn,

puede escribirse de la forma

dz o _ n\(qrbr/b"aí),lL J" =

yfr',

Entonces la ecuación (-B) se transforma en

-n2(q2b"/b'!'2\ ¡Lt

- r'*(q'b"/b'U'*)

v¿t3 '! = tL-v'/gY\;L - t--4;-

t82 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Pero V2 : q2ly2, n = nN y q2l7 : yl. Entonces,

-n'q' dy,, 1, r, ntq'- y'ó" : dLtt - Y;/Y-' - ylot3

dy (nq)2ftly7ort - lly'ot'ldL | - @"ly\'

Haciendo Qlb : q : yrllln)ytltS;1r'z] o (nq)' : -vrlo/tS., la ecuación (D) se conüerte en

[cAP. 10

#: ".[ ]

(c)

(D)

(E\

Hay condiciones límites para los perfiles superficiales. Por ejemplo, cuando y se aproxima a y", el deno-minador de (.8) tiende hacia cero. Por consiguiente, dyldL se hace infinito y las curvas cortan perpendicular-mente a la línea de profundidad crítica. De ahí que los perfiles de superficie en las proximidades de y : yc seansolo aproximados.

Análogamente, cuando y se aproxima a y*, el numerador tiende a cero. Por tanto, las curvas tienden asin-tóticamente a la profundidad normal.

Finalmente, cuando y tiende a cero, el perfil de superficie se aproxima a la solera del canal perpendicular-mente, lo que es imposible bajo la condición referente al flujo gradualmente no uniforme.

45. Resumir el sistema de clasificación de perfiles superficiales para flujo gradualmente no uniformeen canales anchos.

Solución:

Existe un cierto número de diferentes condiciones en un canal que dan origen a unos doce tipos distintosde flujo no uniforme. En la expiesión (E) del Problema 44, para valores positivos de dyldL, la profundidad yaumenta aguas abajo a lo largo del canal, y para valores negativos de dyldL la profundidad y disminuirá aguasabajo a lo largo del canal.

En la tabla que sigue se presenta un resumen de los doce tipos diferentes de flujo no uniforme. Algunos deellos se examinarán aquí y el lector puede analizar los tipos restantes de flujo de manera similar.

La clasificación (suave)) resulta de la pendiente del canal S", siendo tal que la profundidad normal ln ) 1".Si la profundidad y es mayor que lN e J",la curva se llama <tipo 1>; si la profundidad y está comprendida entre

lx e 1", típo 2; y si la profundidad J, es menor gue -hv e ¿, tipo 3.

Se observará que, para las curvas del tipo 1, puesto que la velocidad es decreciente debido al aumento dela profundidad, la superficie del agua debe aproximarse a una asíntota horizontal (véase Mr, C, y Sr).Análo-gamente, las curvas que se acercan a la línea de profundidad normal lo hacen también asintóticamente. Comose ha dicho anteriormente, las curvas que se aproximan a la línea de profundidad crítica cortan a ésta perpen-dicularmente, puesto que el denominador de la expresión (E) del Problema 44 se hace cero en tales casos. Sin em-bargo, las curvas para pendientes críticas son una excepción a las afirmaciones anteriores ya que es imposibletener una superficie de agua al mismo tiempo tangente y perpendicular ala línea de profundidad crítica.

En cada perfil de la siguiente tabla la escala vertical está muy ampliada respecto a la escala horizontal. Comose indica en los problemas numéricos para las curvas M1, tales perfiles pueden tener cientos de metros de ex-tensión.

La tabla siguiente da las relaciones entre pendientes y profundidades, el signo de dyldL, el tipo de perfil,el símbolo del perfil, el tipo de flujo, y un esquema representando la forma del perfil. Los valores de y dentrode cada perfil pueden observarse que son mayores o menores gue -7r yfo y, examinando cada esquema.

cAP. lol FLUJO EN CANALES ABIERTOS 183

Pendientedel canal

Relaciones deprofundidad e) Prof. en el sent

de la corriente Simbolo Tipo de flujo Forma del perfil

Suave0<s<s"

ylyNly" + Aumenta Mt Subcrítico

UNIU)U" Disminuye Mz Subcrítico

UulU")U + Aumenta Ms Supercrítico

Horizontals:0

./¡v : ó

a>a" Disminuye Hz Subcrítico

a"> a + Aumenta Hs Supercrítico

CríticaS,v : S"

f¡t:Ic

lt / Ac - AN + Aumenta Ct Subcrítico

U"=A=Ux Constante CzUniforme,

crítico

!c,= lN ) Y + Aumenta Cs Supercrítico

Pronunciadas>s">o

E)y")yN + Aumenta Sr Subcrítico

y")ylyN Disminuye S, Supercrítico

A")Yx)Y + Aumentar Sa Supercrítico L

Adversas<0

fx:@

a>a" Disminuye Az Subcrítico

a"> a -f Aumenta' As Supercrítico


6. Desarrollar para un canal rectangular una expresión que dé la relación entre las profundidadesantes y después de un resalto hidráulico. (Véase la Figura 10-9.)Solución:

Para el volumen libre conrprendido entre las secciones I y 2, considerando una anchura de canal unidady un caudal por unidad de anchura q,

P, : wñA : u|2y)yt : i*yi y análogamente pr: t yZ

Aplicando el principio de la cantidad de movimrento,

LP*dt: A cantidad de movimiento:{Or,l

i*03 - yldt :Y! v, - n,t

Fig. l0-9

Puesto que Vzlz.: VJt Y Vt -- qlyr la ecuación anterior se convierte en

Comoq2fg:yt,q'ls:iytyz(ytryz)v?:4v'v'0'+vt)

La longitud del resalto se establece de manera que varíe entre 4,3y, y 5,2y2.

Para la relación entre Lfy, y el número de Froude VrlJcyr, véase página 73 de Engineering Hydraulics,Hunter Rouse, John Wiley & Sons, 1950.

El resalto hidráulico es un disipador de energía. En el diseño de cuencos protectores de resalto hidráulicoes importante conocer la longitud del resalto y la profundidad yr. Una buena disipación de energía se tiene cuan-do VllgY': 20 a 80.

47. Un canal rectangular de 6 m de ancho transporta 11 m3/seg de agua y descarga en una solera pro-tectora de 6 m de ancho, de pendiente nula, a una velocidad media de 6 m/seg. ¿Cuál es la alturadel resalto hidráulico? ¿Qué energía se absorbe (pérdida) en el resalto?Solución:(a) Vt:6mlseg, q:lU6:1,833 m3/seg/m de anchura, e y:qlVr:0,306 m. Entonces,

q2ls : iyryz\t * y), (r,$r'z19,8 : l(0,306)y.r(0,306 + y), 2,245 :0,306y2 + y2

de donde lz : - 1,659 m, + 1,353 m. Siendo extraña la ra:¿ negatla, lz : 1,353 m y la altura del resaltohidráulico es (1,353 - 0,306) : 1,047 m.

Se observa que y" : :re,$3Fñ o tlrtz|, + yzl :0,70 m.

Por consiguiente, el flujo a 0,306 m de profundidad es supercrítico y a 1,353 m, subcrítico.

(1)

(2)

CAP. FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Antes del resalto, Er: V2rl2g * yt: 6)2129 + 0,306 : 2,143 m kglkg.

Después del resalto, Et: Vll2g r yz: [11/(6 x 1,353)]2129 + 1,353 -- 1,47 m kg/kg.

Pérdida de energía por segundo : wQH: 1000(11X2,143 - 1,447):7656 m kg/seg.

48. Un canal rectangular de 4,80 m de ancho transporta un caudal de 5,20 m3/seg. La profundidadaguas abajo del resalto hidráulico es 1,26 m. (¿) ¿Cuál es la profundidad aguas arriba? (ó) ¿Cuáles la pérdida de carga?

Solución:(a) qtls : tvtvr(vt * vz\, (5,2014,8q2p,8:0,63y{yt + 1,26), .yr : 0,135 m

(b) ,4r : 4,80(0,135) : 9,64 -2, Vt: 5,2010,648 : 8'025 m/segAz: 4,80(1,26) : 6,048 m2, vz: 5,2016,048 : 0,860 m/seg

Et : V?lzs * rt : $,025)2129 + 0,135 : 3,42r m ks/kcE2 : V22l2s * lz = Q,860)212g + t,26 : 1,298 m kgkg

Pérdida de energía : 3,421 - 1,298 : 2,123 m kg7&g o m.

49. Después de pasar por el aliviadero de una presa, 243 mtlsegpasan a través de un cuenco de hor-migón (n : 0,013) plano. La velocidad del agua en la base del aliviadero es de 12,60 mlseg y laanchura del cuenco es 54 m. Estas condiciones producirán un resalto hidráulico, siendo 3,00 mla profundidad en el canal situado después del cuenco. A fin de que el resalto esté dentro del cuen-

co, (a) ¿con qué longitud deberá construirse el cuenco? (á) ¿Cuánta energía se pierde desde el pie

del aliviadero hasta la sección de aguas abajo del resalto?

Fis. r0-r0

Solución:

(a) Según la Fig. 10-10, primero se calcula la profundidad y2 en el extremo aguas arriba del resalto.

q'ls : tryzy{yz-r y), (24315q2p,8: l!)yrry, + 3), rz:0,405 m

Por otra parte, rt : QlVt : Q43ls4)112,6 : 0,357 m

Ahora se calcula la longitud Lo" del flujo retardado

Vt: 12,60 mlseg, VTlZe :8,10 m, Rl : (54 x 0,357)154,714 :0,352 mVz: elyz: 4,5010,405: 11,11 m/seg, V?l2s:6,30 m, R2: é4 x 0,405)154,81: 0,399 m

185l0l

(b)

186 FLUJO EN CANALES ABIERTOS

De ahí, Vm.di": 11,855 m/seg, R-c¿io : 0,376 m, y

[cAP. 10

f_LAB _(vílzs + yr) - (Vll2g + y) (6,30 + 0,405) - (8,10 + 0,357) : 20,0 m,S.-s

La longitud del resalto I¡ entre By C está comprendida eítre 4,3hy 5,2y2 m. Suponiendo el valorconservativo de 5,0y3,

Zn : 5'0 x 3,0 : 15,0 m

Por consiguiente, longitud to¡al ABC: 20,0 * 15,0 : 35,0 m (aproximadamente).

(b) Energía en A: yt + V?l2s : 0,357 + 8,100 :8,457 m kglkg.Energía en C : h + V3l2g : 3,000 + (1,5)2129 : 3,115 m kg/kg.Pérdida total de energia : wQH: 1000(243X5,342):1,40 x 106 m kglkC.

f). Con el fin de que el resalto hidráulico situado después de un aliviadero no se desplace aguas abajo,establecer la relación entre las variables indicadas en la Fig. 10-11. (El profesor E. A. Elevatorskisugiere el empleo de parámetros adimensionales, como se hace a continuación. Véase <Civil Engi-neering)), agosto de 1958.)

Fig. l0-llSolrrción:

.. I-a ecuación de energía se aplica entre una sección aguas arriba de la presa donde l¡ puede medirse y la sec-ción 1, despreciando la altura de velocidad de aproximación, o sea,

(h + d)* 0 * despr. - pérdidas (despreciadas) : 0 + 0 + V?l2g

o vt = t/zg(h+-g(h+ d.).

Como q : ltVt (m3/seg/m de ancho), o, = #, = ftr^* U,

oar-Qll29 (d/h * l)'tc h't"

Del Problema 46, la relación del resalto hidráulico es

f,'A? _ qVt ¡Uz- A\--r- = i\=;¡ o sa;* sataz = 2qv'

-y, + 1/y'r+ SqVJosz2

una expresión adimensional

= -¡ = gt/-+ aqv,tulo = +jF + aq,/sai - tl

(A)

Despejando,

Dividiendo for 7, se tiene

Az

Ar(B)

cAP. l0l FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Puesto que yz : @ - D), yrly, : (d - D)yt se sustituye en (-B) junto con el valor de y, de (A)

+ = +lt/-+aqtwi-t)2(d - D\t/2s (d/h + 1¡'r' ¡'r' I get 'zt(g3,')(d/h r l¡t'z ¡etz

r r \i r |

-

Yq9

La ecuación se pone en forma adimensional multiplicando el primer miembro por hlh, dividiendo ambos

miembros po. f y agrupando térmrnos:

tY#x!?1(**\'^ + 0,353 =

Los términos adimensionales en (C) pueden escribirse así:

- =h"'"g''' -:2 n ="t q '

Entonces la ecuación (C) se convierte en

¡,(r"- r,)(r"* 1)1/' + 0,353 = G + Z,g2V, kJ IY

El profesor Elevatorski ha preparado una gráfica de la ecuación (D) que permite deducir una fácil solu-ción. Para valores calculados de z, y n2,la gráfica da el valor de n3. (Véase <Civil Engineering>, agosto de 1958).

El profesor Elevatorski, al comentar Ia omisión de la pérdida de energía sobre la cara del aliviadero, diceque <al despreciar la pérdida debida a la fricción se producirá un ligero exceso del nivel de agua en el cuencoprotector. Un resalto ligeramente inundado es mejor disipador de energía comparado con otro diseñado parala profundidad yr>.

51. Determinar la elevación del cuenco de un aliüadero si q: 5 m3 lseglm, h: 3 tn, D:21 m,yla cresta del aliviadero tiene una elevación de 60 m.

Solución:

Empleando las relaciones adimensionales deducidas en el problema precedente,

nL: gtt2h3t2lq:3,8G3t2)15:3,253, nz.: Dlh:2113:7,00, 4 -- dlh: dl3

La ecuación lD) del Problema 50 puede escribirse entonces de la forma

3,253(dl3 - 7,000)(dl3 + Dv2 + 0,353 :,@r¡nResolviendo por aproximaciones sucesivas para n3 : dl3, hallamos n3 : 77,4, o d: 25,8 m. La elevación del

cuenco del aliüadero es (60 - 25,8) : 34,2 m por encima del plano de referencia.

187

(c)

d'n

(D)

52. Establecer la ecuación que da el caudal a travésde un vertedero de pared gruesa suponiendo queno existen pérdidas de carga.

Solución:En la sección donde se produce el flujo crítico, q:

V"y". Pero y": V?ls : 4E,, y V": GGL). por consi-guiente, el valor teórico del caudal q es

q: JieD x !E": r,7oE3t2

Sin embargo, el valor de E" es difícil de medir conprecisión porque la profundidad crítica es dificil de 1o-

calizar. La ecuación práctica es

Q:CH3t2=1,67H3t2El vertedero se calibrará en el lugar de utilización

para obtener resultados precisos.

Fis. r0-r2

188

53. Desarrollar una expresión

oComo 4 : Vtly


para un caudalímetro crítico e ilustrar el

[cAP. 10

uso de la fórmula.

vi2s

-L ..- -{3" de al.uras

ro

--...-

-:'-o':^'

I

Fig. l0-r3

Solución:

Un método excelente para medir el caudal en canales abiertos es por medio de un estrechamiento. La me-dida de la profundidad crítica no es necesaria. La profundidad 7t se mide a una distancia corta aguas arriba delestrechamiento. La solera construida tendrá aproximadamente 3y. de largo y una altura igual a la de velocidadcrítica.

Para un canal rectangular de anchura constante, la ecuación de Bernoulli se aplica entre las secciones I y 2,en donde la pérdida de carga en flujo acelerado se toma como un décimo de la diferencia de alturas de veloci-dad, es decir,

.vi I,vZ v1, , .vza' + u - ld6-r;) = (a'+ *+ z)

en donde se desprecia la ligera pendiente en el lecho del canal entre I y 2. Admitiendo que E" : /" + Vll2g yagrupando términos, obtenemos

O)t + r,r\Vll2d : lz + 1,04 + +G^B")l(rt - z + r,l\Vll2g) : 1,033E, : l,83elq1s)

q : 1,620t - z + r,r0Vll2g)3/2q : 1,62(yt - z + 0,0561q'ly?)'t'

Para ilustrar la aplicación de la expresión (8), consideremos un canal rectangular de 3 m de ancho con unmedidor de profundidad crítica que tiene como dimensión z : 0,330 m. Si la profundidad medida 7, es 0,726 m,¿cuál es el caudal Q?

En una primera aproximación se desprecia el último término de (.8). Entonces,

q : 1,62(0,726 - 0,330)3t2 : 0,404 m3/seg/m de ancho

Ahora, aplicando por completo la ecuación (,8), por aproximaciones sucesivas hallamos a : 0,435. Por con-siguiente,

Q : qQ): 0,435(3) : 1,305 m3/seg

(A)(B)



g. Designando por y,, la profundidad en la figura del Problema 1, deducir una expresión para el flujo laminar a lo

largo-delrnu ptuáptuttu de anchura infinita, considerando el volumen libre en el Problema 1 con anchura unidad'

So/. Yk : lvVlsS

55. El factor de fricción de Darcy f se asocia generalmente a tuberías. Sin embargo, para el problema precedente,

evaluar el factor de Darcy / empleando la solución dada para dicho problema. Sol. 96lRr

56. Demostrar que la velocidad media I/ puede expresarse de la forma 0,32u*R[l6fn.

57. Demostrar que los factores n de Manning y / de Darcy se relacionan entre sí por la expresi ón n : 0,113¡rtz ¡¿ta .

58. Calcular la velocidad media en el canal rectangular del Problema 7 sumando el área bajo la curva profundidad-

velocidad. Sol. 2,087 mlseg

59. ¿Con qué pendiente se trazaria el canal representado en la Fig. 10-14 para transportar 14,80 m3/seg? (C : 55.)

Sol. 0,00407

T_1,2 m

l_

Fig.10-14 Fig.10-15

El canal representado en la Fig. 10-15 se tfaza con una pendiente de 0,00016. Cuando llega a un desnivel' el flujo

se transporta mediante dos tuberías de hormigón (n : 0,012) trazadas con una pendiente de2,5 m sobre 1000 m.

¿Qué dimensión deberán tener las tuberías? Sol. l'245 m

Por un canal semicuadrado circula un caudal de 2,20 m3/seg. El canal tiene 1200 m de largo y un desnivel de

0,6 m en esa longitud. Aplicando la fórmula de Manning y n :0,012, determinar las dimensiones.

Sol. 1,952 m x 0,976 m

Circula agua a una profundidad de 1,90 m en un caaal rectangular de 2,45 m de ancho. La velocidad media es

de 0,58 m/seg. ¿Con qué pendiente probable estará ttazado el canal si C: 55? Sol. 0'000149

Un canal labrado en roca (n : 0,030) es de sección trapezoidal con una anchura de solera de 6 m y una pendien-

te de los lados de I sobre 1. La velocidad media permitida es de 0,75 m/seg. ¿Qué pendiente del canal producirá

5,40 m3/seg? Sol. 0,00067

¿Cuál es el caudal de agua en una tubería de alcantarillado vitrificado nueva de 60 cm de diámetro, estando la

iubería semillena y teniendo una pendiente de 0,0025? Sol. 0,153 m3/seg

Un canal (n : 0,017) tiene una pendiente de 0,00040 y una longitud de 3000 m. Suponiendo que el radio hidráu-

lico es 1,44 m, ¿qué corrección debe realizarse en la pendiente para producir el mismo caudal si el factor de ru-

gosidad cambia a 0,0207 So/. Nueva S : 0,000554

¿Qué profundidad tendrá el flujo de agua en una acequia en V con ángulo de 90' (n : 0,013), trazada con una

pendiente de 0,00040 si transporta 2,43 m3lseg? Sol. 1,54 m

Para construir una acequia de sección triangular se emplea madera aserrada. ¿Cuál deberá ser el ángulo en el

vértice para poder transportar el máximo caudal con una pendiente dada? Sol. 90'

Poruncanalrectangularde6mdeancho,n:0,013yS:0,0144,circulaaguaconunaprofundidadde0'9m.¿Qué profundidad tendría para poder transportar el mismo caudal con una pendiente de 0,00144?

So/. 1,98 m

Una acequia desagua 1,20 m3/seg con una pendiente de 0,50 m sobre 1000 m. La sección es rectangular y el fac-

tor de rugosidad n:0,012. Determinar las dimensiones óptimas, o sea, las dimensiones que dan el menor pe-

-f3,0 m

_t

ó0.

61.

62.

63.

g.

ó5.

6.

67.

68.

a-2,4

69.

rímetro mojado. So/. 0.778 m x 1.556 m


70. Un canal rectangular revestido, de 5 m de anchura, transporta un caudal de 11,50 m3/seg con una profundidadde 0'85 m. Hallar n si la pendiente del canal es de 1,0 m sobre 500 m. (Aplicar la iórmula di Manning.)Sol. 0.0122

Hallar la tensión cortante media sobre el perímetro mojado, en el problema 70. .So/. 1,269 kglm2Aplicando la fórmula de Manning, demostrar que la profundidad teórica para una velocidad máxima en un con-ducto circular es 0,81 veces el diámetro.

Diseñar el canal trapezoidal óptimo para transportar 17 m3fsega una velocidad máxima de 1,00 m/seg. Emplearn:0,025 y como pendiente delas paredes I virtical sobre 2 horizontal. sol. | :2,622m, b :1,23g mCalcular la pendiente del canal del problema anterior. Sol. 0,000436

¿Cuál de los dos canales representados en la Fig. 10-16 conducirá el mayor caudal si ambos están trazados conla misma pendiente? Sol. (ó) Sección trapezoidal

71.

1'

73.

74.

75.

(ó)

Fig. r0-17

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

I o.o- |t_I z:0,010 I

Fig. l0-16

Una alcantarilla de sección cuadrada tie¡e 2,4 m de lado y se instala según se indica en la Fig. 10-17. ¿Cuál esel radio hidráulico si la profundidad es 2,3 m? So/. 0,70 m

¿Cuál es el radio de la acequia semicircular,B, representada en la Fig. 10-18, si su pendiente ,l : 0,0200 y C : 50?Sol. r _-- 0,538 m

Fig. l0-lE €7;Calcular la energía específica cuando circula un caudal de 6 m3/seg por un canal rectangular de 3 m de ancho conuna profundidad de 0,90. Sol. 1,152 m

Calcular la energía específica cuando crrcula un caudal de 8,4 m3/seg por un canal trapezoidal cuya solera tiene2,4 m de ancho, las pendientes de las paredes 1 sobre r y la profundidad 1,17 m. sol. l,3g mUna tubería de alcantarillado de 1,8 m de diámetro interior transporta un caudal de 2,18 m3/seg cuando la pro-fundidad es de 1,2 m" ¿Cuál es la energía específica? Sol. 1,275 m

En el Problema 78, ¿con qué profundidades debe circular el caudal de 6 m3/seg para que la energía específica sea1,5 m kglkg? ¿Cuál es la profundidad crítica? Sol. 0,43g m y 1,395 m, 0,1,42 m

En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7,16 m3/seg. Con profundidades de 0,6 m, 0,9 my 1,2 m,determinar si el flujo es subcrítico o supercrítico. So/. Supercrítico, subcrítico, subcrítico

En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7,16 m3/seg cuando la velocidad esde2,4 m/seg. De-terminar la naturaleza {el flujo. So/. Subcrítico

83.

84.

85.

cAP. 1ol FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Para una profundidad crítica de 0,966 m en un canal rectangular de 3 m de ancho, calcular el caudal.

Sol. 8,92 m3/seg

Determinar la pendiente crítica de un canal rectangular de 6 m de ancho y n : 0,012, cuando el caudal es de

26,5 m3 lseg Sol. 0,00208

86. Un canal trapezoidal, cuyas paredes tienen una pendiente de 1 sobre 1, transporta un caudal de 20 m3/seg. Para

una anchura de solera de 4.8 m, calcular la velocidad crítica. So/. 3,03 m/seg

Un canal rectangular de 1800 m de longitud, 18 m de ancho y 3 m de profundidad transporta 54 m3/seg de agua

(C: 40). Lalimpieza del canal hace que aumente C a 55. Si la profundidad en el extremo superior permanece

en 3 m, hallar la profundidad en el extremo inferior para el mismo caudal (apticando un solo tramo)'

Sol. lz: 3,274 m

Un canal rectangular (n : 0,016) trazado con una pendiente de 0,0064 transporta 16 m3/seg de agua. En con-

diciones de flujo crítico, ¿qué anchura deberá tener el canal? Sol. 2,54 m

Un canal rectangular (n:0,012) de 3 m de ancho y trazado con una pendiente de 0,0049, transporta 4,5 m'/seg

de agua. Para producir un flujo crítico, el canal se contrae. ¿Qué anchura deberá tener la sección cohtraída para

cumplir esta condición si se desprecian las pérdidas producidas en la gradual reducción de anchura?

Sol. 1,335 m

En un canal rectangular de 3,6 m de ancho, C : 55, S :0,0225, el caudal es de 13,5 m3/seg. La pendiente del

canal cambia a 0,00250. ¿A qué distancia del punto de cambio de pendiente se tendrá la profundidad de 0,825 m?

(Empléese un tramo.) So/. 31,50 m

91. Usando los datos del Problema 90, (a) calcular la profundidad crítica en el canal más plano, (ó) calcular la pro-

fundidad requerida para tener flujo uniforme en el canal más plano, (c) calcular la profundidad justamente antes

del resalto hidráulico, aplicando la ecuación del Problema 46. (Se observa que esta profundidad oourre a 31,50 m

del cambio de pendiente, según el Problema 90.) Sol. 1,125 m, 1,512 m, 0,825 m

Un vertedero de pared gruesa tiene una altura de 0,40 m sobre la solera de un canal rectangular de 3 m de ancho.

La altura de carga medida por encima de la cresta del vertedero es de 0,60 m. Determinar el caudal aproximado

en el canal. (Emplear c : 0,92.) So/. 2,35 m3/seg

Demostrar que la profundidad crítica en un canal rectangular es 2V!lg.

Demostrar que la profundidad crítica en un canal triangular puede expresarse como 415 dela energía específica

mínima.

Demostrar que la profundidad crítica en un canal parabólico es 3/4 de la energía específica mínima si las dimen-

siones del canal son y" de profundidad y b' de anchura de la superficie de agua.

Para un canal rectangular, demostrar que el caudal 4 por metro de anchura es igual a l.'70aE!1.

Para un canal triangular, demostrar que el caudal Q -- 0,6335(b'lfiE!¡f,.

Para un canal parabólico, demostrar que el ca:udal Q: l,l068b'trf3.

87.

88.

89.

90.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

Capitulo 11

Fuerzas desarrolladas por los fluidos en movimiento

INTRODUCCIONEl conocimiento de las fuerzas ejercidas por los fluidos en movimiento son de gran importancia

en el análisis y diseño de dispositivos tales como bombas, turbinas, aviones, cohetes, hélices, barcos,cuerpos en movimiento, edificios y multitud de dispositivos hidráulicos. Las ecuaciones fundamenta-les de la energía no son suficientes para resolver la mayoría de estos problemas. Es más decisivo el em-pleo de otro principio de la mecánica, el de la cantidad de movimiento. La teoría de la capa límite pro-porciona una nueva base para un análisis más minucioso. La experimentación, cada vez más continuay extensa, proporciona sin cesar nuevos datos para conocer las leyes de variación de los coeficientesfundamentales.

EL PRINCIPIO DEL IMPULSO-CANTIDAD

Impulso : variación

DE MOVIMIENTO de la dinámica establece que

de la cantidad de movimiento

M(IV\()F')¿ :

Las magnitudes físicas que intervienen en la ecuación son magnitudes vectoriales y han de tratar-se de acuerdo con el álgebra vectorial. Por lo general, es más conveniente utilizar componentes, y paraevitar posibles errores en los signos se sugiere utllizar las siguientes formas:

(o) En la dirección X,

cantidad de movimiento inicial * impulso : cantidad de movimiento final

(b) En la dirección Y,

donde M : masa cuya cantidad de movimiento varía en el tiempo f.

Estas expresiones pueden escribirse, utilizando los subíndices apropiados x, y o z, enla siguienteforma:

) F'. : pQ(V, - V r),, etc. (3)

EL COEFICENTE DE CORRECCION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO É, que se calcu-lará en el Problema l. es

a- (/')

tuberías, B varía de 1,01 a 1,01 . EnPara flujo laminar en tuberías, P : 1,33. Para flujo turbulento enla mayoría de los casos puede considerarse igual a la unidad.

MV,rt )F,.¿ - MV,2

¡4V0, * 2Fo. t - O,[Vuz

(r)

(2)

j [ ̂orrr

oo

192

cAP. 111

Objeto

Esferas.

Cilindros (eje perpendicular a la velocidad).

Discos y placas delgadas (perpendicular a

la velocidad).

Placas delgadas (paralelas a la velocidad).

Objetos fl uidodinámicos.

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO 193

(5)

(6)

RESISTENCIA

La resistencia o arrastre es la componente de la fuerza resultante, ejercida por el fluido sobre el

cuerpo en dirección paralela al movimiento relativo del fluido. Usualmente se da en la forma

Resistencia en kg = C,,rO'r1

SUSTENTACION

La sustentación es la componente de la fuerza resultante, ejercida por el fluido sobre el cuerpo en

dirección perpendicular al movimiento relativo del fluido. Usualmente se da en la forma

Sustentación en kg - C, pAv22

donde C¡ : coeficiente de resistencia, adimensionalC¿ : coeficiente de sustentación, adimensionalp : densidad del fluido, en UTM/m3A : un área característica, en m2, que normalmente es la proyección del cuerpo sobre

un plano perpendicular al movimiento relativo del fluidoZ : velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo, en m/seg.

RESISTENCIA TOTAL

La resistencia total está originada por la resistencia superficial y la resistencia de forma, debida a

la presión. No obstante, muy raramente se presentan ambos efectos simultáneamente con el mismo

orden de magnitud. En el caso de objetos, que no sufren una sustentación apreciable, la resistencia del

perfil o superficial es sinónima de resistencia total.

I

2

J.

4

5

Resis i encia supe rf ic ial

despreciable

despreciable

cero

resistencia superficial

resistencia superficial

Resistencia de forma Resistencia total

resistencia de forma : resistencia total

resistencia de forma : resistencia total

+ resistencia de forma resistencia total

despreciable o nula : resistencia total

pequeña o despreciable : resistencia total

COEFICIENTES DE RESISTENCIA

Los coeficientes de resistencia dependen del número de Reynolds para las velocidades bajas e in-termedias, y se hacen independientes de dicho número para velocidades elevadas. Para velocidades muyaltas el coeficiente de resistencia depende del número de Mach, cuya influencia es despreciable a veloci-dades bajas. Los Diagramas F, G y H dan las variaciones de los coeficientes de resistenciapara algunas

formas geométricas. En los Problemas 24 y 40 se estudian estas relaciones.Para placas planas y perfiles de ala, los coeficientes de resistencia se tabulan, usualmente, para el

área de la placa y para el producto de la cuerda por la longitud, respectivamente.

T94 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. 1r

COEFICIENTES DE SUSTENTACION

Kutta ha determinado teóricamente los valores máximos de los coeficientes de sustentación paraplacas planas delgadas, en posición no perpendicular a la velocidad relativa del fluido, por

Ct:2n sen q

donde a : ángulo de ataque o ángulo que forma la placa con la velocidad relativa del fluido. para losángulos normales de funcionamiento, las secciones de los perfiles de ala actuales dan valores del 90 \aproximadamente del valor máximo teórico. El ángulo a no deberá exceder de 25" aproximadamente.

NUMERO DE MACH

El número de Mach es una relación adimensional, que viene dada por el cociente de la velocidaddel fluido por la velocidad del sonido (llamada más frecuentemente celeridad).

{ETp(8)

Para valores de Vlc hasta el valor crítico de 1,0 el flujo es subsónico, para el valor 1,0 el flujo essónico y paru valores mayores que 1,0 el flujo es supersónico (véase Diagrama f1).

TEORIA DE LA CAPA LIMITELa teoría de la capa límite fue introducida por Prandtl. Esta teoría establece que, para un fluido

en movimiento, todas las pérdidas por fricción tienen lugar en una delgada capa adyacente al contornodel sólido (llamada capa límite), y que el flujo exterior a dicha capa puede considerarse como carentede viscosidad. La distribución de velocidades en la zona próxima al contorno es influenciada por latensión cortante en el contorno. En general, la capa límite es muy delgada en la parte de aguas arribadel contorno y va aumentando su espesor hacia aguas abajo por la acción continuada de las tensionescortantes.

Para números de Reynolds bajos, toda la capa límite es gobernada por la acción de las fuerzas vis-cosas y en su interior el flujo es laminar. Para valores intermedios del número de Reynolds la capa límitees laminar cerca de la superficie del contorno y turbulenta en las zonas algo más alejadas. Para valoresdel número de Reynolds muy elevados la capa límite es totalmente turbulenta.

PLACAS PLANAS

En el caso de una placa plana de Z m de longitud, mantenida paralela al movimiento relativo delfluido, se aplican las siguientes ecuaciones.

l. Capa límite laminar (hasta números de Reynolds alrededor de 500.000).

(a) Coeficiente de resistencia medio (C,,\ : 1,328 1,328

lR, I vu,

(7)

Número de Mach = Nn, : 17 =c

Para gases, , : u/tgRf (véase Capítulo 1).

(b) Espesor de la capa límite d (en

E

m) a una distancia genérica x viene dada por5,20 5.20

v

(e)

r \/tr;, \/i.h(c) Tensión cortante ro en kg/m2; se calcula por

zo : 0,BB pvr/2\frn: 0,BB (p.v/e{Ea - 0,33 pV2

fi\donde Z : velocidad de aproximación del fluido al contorno (velocidad no perturbada)

x: distancia al borde de ataque en mZ : longitud total de la placa en m

R¡_ : número de Reynolds local para la distancia x.

(10)

(1 1)

CAP FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

Como ponen de manifiesto las fórmulas dadas, el espesor de la capa límite es directamente pro-

porcional a Ia raíz cuadrada de la longitud x y a la raiz cuadrada de la viscosidad cinemática e inversa-

mente proporcional alaníz cuadrada de la velocidad. Análogamente, la tensión cortante en la super-

ficie del contorno ro es directamente proporcional alaraíz cuadrada del producto de p y ¡ty alapo-tencia tres medios de V e inversamente proporcional a la raiz cuadrada de x.

2. Capa límite turbulenta (contorno liso).

(:a) Coeficiente de resistencia medio (Cr) : *# para2 x 10s < RE < 107 Q2)1\¿

0,455 para lo6 < RE < loe Q3)

Para contornos rugosos, el coeficiente de resistencia varía con la rugosidad relativa e/I y no conel número de Reynolds.

K. E. Schoenherr ha sugerido el empleo de la fórmuta tllCo:4,l3lg (CrRu-), ecuación con-siderada de mayor precisión que las (12) y (13), particularmente para números de Reynolds por enci-ma de 2 x 101 .

(b) El espesor ó de la capa límite se calcula

ó 0,38

" Rg'to

o))

para5xlOa<RE<106

RF" Para 106<R¿<5x108

(c) La tensión cortante en la pared se estima por

195

(r4)

(.r5)

(r6)

3. Capa límite en la transición de laminar a turbulenta sobre la placa (R" de 500.000 a 20.000.000,

aproximadamente).

,":ffiffi: o,ossr+p(#)'^

(a) Coeficiente de resistencia medio (Cr) : 0'455- -- - 1700

- (lgro Ru)''tt Rr(r7)

El Diagrama G ilustra la variación de Co con el número de Reynolds para estos tres regímenesdel flujo.

GOLPE DE ARMTE

El golpe de ariete es un término que se utlliza para describir el choque producido por una súbitadisminución en la velocidad del fluido. En una tubería, al cerrar una válvula, el tiempo que tarda la ondade presión en viajar aguas arriba hasta la embocadura de la tubería y volver aguas abajo hasta la vál-vula viene dado por

Tiempo en seg : 2 x longitud de la tubería en mceleridad de la onda de presión en m/seg

El aumento de presión producido por el cierre rápido de una válvula se calcula por

Variación de presión en kg/m2 : densidad x celeridad x variación de velocidado dp:pcdV obien dh:cdVlgdonde dh es \a variación de la altura de presión.

(18)T :2L

c

(1e)

196 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. ll

Para tuberías rígidas, la celeridad de la onda de presión es

módulo de elasticidad volumétrico en kg/m2 (20)

Para tuberías deformables. la

densidad de fluido

expresión toma la forma

(21)

donde E : módulo de elasticidad de la pared de la tubería, kgl^'d : diámetro de la tubería en cmt : espesor de la pared de la tubería en cm.

VELOCIDADES SUPERSOMCAS

A velocidades supersónicas cambia totalmente la nattraleza del flujo. El coeficiente de resistenciaestá relacionado con el número de Mach N, (véase Diagrama H), ya que la viscosidad tiene una in-fluencia muy pequeña sobre la resistencia. La perturbación producida en la presión forma un cono,cuyo vértice está en la parte delantera del cuerpo u ojiva en el caso de un proyectil. El cono representael frente de onda u onda de choque, y puede ser fotografiado. El ángulo del cono o ángulo de Mach s vienedado por

celeridad 1 1SeOa = (22)

velocidad V/c N¡¿

Problemas resueltosl. Determinar el coeficiente de corrección B de la cantidad de movimiento, que ha de aplicarse cuando

se emplea la velocidad media V en el principio de la cantidad de movimiento, en el caso de flujobidimensional.

4""

Solución:

El caudal en masa dM que circula a través del tubo de corriente mostrado en la Fig. 11-1 es igual ap dQ. La cantidad de movimiento correcta en la dirección X es

(Cont. mov.),= faur" = fpd.Qr, = (pv,(udAlJJJ

Utilizando la velocidad media, en la sección recta, la cantidad de movimiento correcta sería

+ (EB/E)(d/t\)

4ti'/Fig. ll'l

(Cant. mov.), : P(MV,): F@QV,): pp(AV)V,

CAP 1II FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

Igualando los dos valores antenores

lt = LelA'lD = L ( ,rtvra¿.' pAV1V,) AJ^

197

ya que del diagrama vectorial de las velocidades de la figura se deduce uJV,: ¡¡y'

2. Calcular el coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento cuando el perfil de velocidades

satisface la ecuación u: u^"*l(r! - rt)lrlf. (Véase Capítulo 6, Problema lT,pata el croquis).

Solución:

Del Problema 17 del Capítulo 6, la velocidad media es igual z\D^,. Utilizando este valor de la velocidad me-

dia para Z. se obtiene

. 1 f ,r.z I ¡'.[u" "f r?.- r,t/rl' ^B - Á) G)dA = ;4J" l-1,-* Jt2;rttrtA

-4rl"i-lri-lrjr = j = r,¡s

3. Un chorro de agua de 10 cm de diámetro que se mueve hacia la derecha incide sobre una placa planasituada normalmente al eje del chorro. (a) Para una velocidad de 20,0 m/seg, ¿qué fuerza se reque-

rirápara mantener la placa en equilibrio? (á) Comparar la presión dinámica media sobre la placa

con la presión máxima (presión de estancamiento) si la placa tiene un área 20 veces mayor que ladel chorro.

Solución:Se toma el eje X en la dirección del eje del chorro. Así, la placa anula toda la cantidad de movimiento inicial

en la dirección X. Llamando M ala masa de agua que reduce su cantidad de movimiento a ctro en df segun-

dos y { la fuerza ejercida por la placa sobre el agua hacia la izquierda, se tiene:

h) Cantidad de movimiento inicial - impulso : cantidad de movimiento final

M(20,0) - F, dt : M(0)

!2¿, eo,,¡ - F,ttt : oq

AVV_ 1000[(n 4x0.10)'z]{20.0¡ x 20.0yF':ff:320kc@acialaizquierdaparamantenereIequilibrio).

No existe componente según la dirección Y de la fuerza en este problema, ya que las dos componentes, según

esta dirección, en la placa se compensan una con otra. Se observa que también se va dt, por lo que hubierapodido escogerse igual a 1 segundo.

Es fácil ver que esta expresión del impulso-cantidad de movimiento puede ordenarse en la forma

F = Lrv -*Qv -!6v¡v - pAV, (kg) (l)s9

(b) Para obtener la presión media se divide la fuerza dinámica total por el área sobre la que actúa.

presión media - qglze 4I = { = u¡ 'v2'

o.,", r..0;:::; , *, 5;;,-, '-:#*,,""

Jl.,-"":",.,-','"' :i,'l-^),',r,t2g) (kstm,)Por tanto, la presión media es 1/10 de la presión de estancamiento, en este caso.

4. Una placa curvada desvía un ángulo de 45" un chorro de agua de 10 cm de diámetro. Para una ve-

locidad del chorro de 40 m/seg, dirigida hacia la derecha, calcular el valor de las componentes de

la fuerza desarrollada contra la placa curvada (se supone que no existe rozamiento).

Solución:Las componentes se elegirán en la dirección inicial del chorro y en la dirección perpendicular a la anterior.

El agua cambia su cantidad de movimiento por la acción ejercida por la fuerza que produce la placa sobre el chorro.

I98 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO ICAP. 11

(a) Para la dirección X, tomando el signo * hacia la derecha y suponiendo .( positiva,

Cantidad de movimiento inicial + impulso : cantidad de movimiento final.

MV"t+ F"dt = MV.¿

yQ!v,,+ F,dt _ *erdtv",g9

Ordenando, y al observar que V,,: *V,, cos 45', se obtiene

- 1000[(z/4)(0.10)'¿'l(40)..^4: _=..fr:$o x 0.707 _ 40): _375 kg

donde el signo menos indica que .Q se dirige hacia la izquierda (se supuso dirigida hacia la derecha). Si .F]se hubiera supuesto dirigida hacia la izquierda se hubiera obtenido la solución +375, indicando el signo quela hipótesis había sido la correcta.

La acción del agua sobre la placa es igual y opuesta a la ejercida por la placa sobre el agua. De aquí,componente X sobre la placa : 375 kg y dirigida hacia la derecha.

(b) Para la dirección )2, tomando hacia arriba el sentido positivo,MVy, + Fy dt : MVy,

o + Fy dt - r000(0'0!'!-9)(40)dt e,707 x 40)' 9,8

Y Fy: +906 kg dirigida hacia arriba y actuando sobre el agua. Por tanto, la componente Í sobre laplaca:906 kg y dirigida hacia abajo.

5. La fierza ejercida por un chorro de agua de 2 cm de diámetro sobre una placa plana, mantenidanormalmente al eje del chorro, es de 70 kg. ¿Cuál es el caudal en l/seg?

Solución i

De la ecuación (1) del Problema 3.

,,:toy?' : pAV2- 9.8

,O _ I 000[(z /4t0.02\21V2-t y V: 46.8 mlsee.

De aquí, Q : AV : lful4)(0,02)rl(46,8)103 : r4,.1 tlsec.

6. Si la placa del Problema 3 se estuviera moviendo hacia la derecha a una velocidad de 10,0 m/seg,¿qué fuerza ejerceria el chorro sobre la placa?

Solución:

Utilizando ¡ : 1 segundo, MV,, inicial + F_(1) : MV*, final.En este caso, la masa de agua que, por unidad de tiempo, está cambiando su cantidad de movimiento no es

igual a la que lo hace en el caso de placa en reposo. En el caso de placa en reposo, en un segundo, unamasa de agua de

(ru/g)(volumen): (wls)(A x 20,0)

cambia su cantidad de movimiento. Para la placa moviéndose, en un segundo la masa que incide contra la placa es -

M : (wlg)lA(20,0 - 10,0)l

donde (20,0 - 10,0) es la velocidad relativa del agua respecto de la placa.

De aquí, F,: (10,0 - 20,0)

Y F,: fuerza de la placa sobre el agua : -80 kg dirigida hacia la izquierda. Por tanto, lafuerza del agua sobrela placa será de 80 kg dirigida hacia la derecha.

cAP. 111 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO 199

Si la placa se hubiera movido hacia la izquierda a una velocidad de 10,0 m/seg, la masa de agua, que en un

segundo cambia su cantidad de movimiento, sería mayor. El valor de 2,, es ahora igual a - 10,0 m/seg. El rnó-

dulo de la fuerza sería

F,: 1000(0'0079)[20'0 - (- l0'0)](- 10,0-20,0) : -725kg di'igida hacia la izquierda y que actúa sobre el agua.

9,8

6\)1

|"El álabe fijo mostrado en la Fig. 11-2 divide el,.iqhorrode forma que salen en cada una de las direcciones QQl/seg.Para una velocidad inicial de 15,0 m/seg, determinar losvalores de las componentes en las direcciones X e Y deIa fuerza necesaria para mantener el álabe en equilibrio(suponer que no existe fricción).

Solución:

(a\ En la dirección X, tomando , : I segundo,

MV,, - F,(1) :

1000(30 x l0- 3lr_r(10.6) _ 4

9,8 Fig. ll-2

y F* -- +32,4 - 11,5 : +20,9 kg dirigida hacia la izquierda.

(b) En la dirección )2,

MVr,- 4,(l) : +MVy,-rMV;.

rytqfil91(10,6) - t: #,lL#fx+15,0 - 13'o)

Y Fy: +32,4 - 3,1 :29,3 kg dirigida hacia abajo.

8. Un chorro de 10 cm de diámetro y a una velocidad de 30 m/seg, incide sobre un álabe móvil, que lleva

una velocidad de 20 m/seg en la misma dirección del chorro. La dirección de salida del álabe forma

un ángulo de 150" con la de entrada. Suponiendo que no existe rozamiento, calcular las compo-

nentes en las direcciones Xe I'de la fuerza que ejerce e! agua sobre el álabe. [Véase Fig. 11-3(a)']

,MV,, + +MV',,

1000 30 x l0-3 .^: -(--

XU + /.))aR )

Solución: Fig. n-3

La velocidad relativa V,, : 30 - 20 : l0 m/seg hacia la derecha'

La velocidad del agua en 2: V,s,"1tr"t"# Vh^r. [véase Fig. 11-3(ó)] de la cual Vz.: 11,33 m/seg hacia

la derecha y Vz" : 5,00 m/seg hacia arriba.Se aplica aúora el principio del impulso-cantidad de movimiento en la dirección X.

30 m/seg+

(b)(¿)

200 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. 11

la) i0 gniciattMV, - 4(1) : (final)MV,

\ Mt3o) - F,: M(+r1,33)

y F,:*P¡11¡,19¡ ' 10f0) 11.33) : 149,5 kghacia la izquierda y actuando sobre el agua.9.8 '4 -\_/

(b) (rnicial\MV, - 4(1) : (finat)MV,

M(0) - F': M(+S)1000 zy Fy : frtitO.tOl'

x 10](0 - 5) : -40,0 kg hacia arriba y actuando sobre el agua.

Las componentes de la fuerza ejercida por el agua sobre el álabe son 149,5 kg hacia la derecha y 40,0 kghacia abajo.

9. Si en el Problema 8 el rozamiento reduce la velocidad del agua respecto del álabe de 10,0 m/seg a9,0 m/seg, (a) ¿cuáles serán las componentes de la fuerza ejercida por el álabe sobre el agua? y(á) ¿cuál será la velocidad final absoluta del agua?

Solución:

Las componentes de la velocidad absoluta en (2) se determinarán resolviendo un triángulo análogo al dela Fig. ll-3(á) del Problema 8, utilizando un vector horizontal igual a 20,0 y otro igual a 9,0 dirigido hacia laizquierda y hacia arriba formando un ángulo de 30' con el anterior. Así,

V2* : 12,2 m/seg hacia la derecha ! Vr" : 4,5 mlseg hacia arriba

(a) Por tanto, A : *3tir0,10)2 x lOlt¡o,o - 12,2):142,5 kg hacia la izquierda y actuando sobre el agua.v,ó +

+: ff1jf0.10)2 x 101(0 - 4,5): -36,0 kg hacia arriba y actuando sobre el agua.

(b) A partir de las componentes dadas antes, la velocidad absoluta con que el agua abandona el álabe será

Vt : !4.n,4t + (4,5f : 13,0 m/seg hacia arriba y hacia la derecha formando un ángulo con la horizontal0,: &ra te 9,5112,2) : 20,2.

10. Para una velocidad dada de un chorro,determinar las condiciones que produciránun trabajo (o potencia) máximo sobre unaserie de álabes móviles (despreciando el ro-zamiento a lo largo de los álabes).

Solución:

Se considera en primer lugar la velocidadde los álabes que proporciona una potencia má-xima. Con referencia a la Fig. 11-4, se va aobtener una expresión que dé la potencia des-arrollada en la dirección X, suponiendo que los álabes se mueven a lo largo del eje X. Como el chorro comple-to incide sobre uno u otro álabe de los diversos que forman la serie, la masa total que está fluyendo es la que cam-bia su cantidad de movimiento, es dectr, M : (wldAv.

Potencia : trabajo por segundo : fiierza x distancia recorrida en un segundo en la dirección de la fuerza.(1) Se determina ahora la fuerza aplicando el principio de la cantidad de movimiento. La velocidad abso-

luta final en la dirección X es

V|:, + (V-o) coso"

y cantidad de movimiento inicial - impulso : cantidad de movimiento final

1)

vllt6l

l*3-]6

I

'i Iut t"

Mv - ry"o)tr

Fig. ll-4

Mlu + (V - a) cos d"l

@AV/o)l$ - z)(1 - cos o")l

cAP. 111 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

Potencia p : (wAVlillV - uX1 - cos O,)lu

lcl

Velocidad del agua : velocidad del agua/álabes -c' velocidad de los álabes

201

Q)

Como (Z- u)u es la variable que debe tomar un válor máximo parala potencia máxima, al igualarsu primera derivada a cero se obtiene

dPldu : (wAvlg\Í - cos 0,)(V - 2u) : g

Dedondeu : V12,esdecir, losálabesdebenmoverseaunavelocidadigualalamitaddelavelocidaddelchorro.

(2) Por simple inspección de la fórmula (1)anterior se ve que para unos valores dados de V y u, lamáxi-ma potencia se obtiene cuando 0,: 180'. Como, por lo general, este ángulo no puede conseguirse

en la práctica, un ángulo alrededor de 170' es el adecuado. La reducción de potencia es pequeña en

tanto por crento.

(3) En la dirección Y, la fuerza no compensada se equilibra utilizando álabes o cazoletas cuspidales, que

desvian la mitad del caudal de agua del chorro a cada uno de los lados del eje I/.

11. (c) Con referencia a la Fig. 11-5, ¿con qué ángulo debe incidir un chorro de agua, que se mueve

a una velocidad de 15,0 m/seg, sobre una serie de álabes, que se mueven a una velocidad de

6,0 m/seg, para que el agua entre tangencialmente en los álabes, es decir, no haya choque? (ó) ¿Quépotencia se desarrollará si el caudal es de 125 l/seg? (c)¿Cuál es el rendimiento de los álabes?

I

Fis. 1l-5

Entonces,

Solución:

\a)

o 15,0 en L0, : ? en 40'-r' f,Q+

Del diagrama vectorial, Fig. 11-5(ó), 15 cos 0, : 6,0 + ¡, 15 sen 0,: | ! tg 40' : ¡'/r : 0,8391.

Resolviendo estas ecuaciones, 0, : 25'5'.

(b) De la Fig. 11-5(á) puede determinarse la velocidad del agua respecto de los álabes,

y : 15 sen 0" : 15 sen 25"5' : 6,3ó m/seg y V^etut: y/(sen 40') : 9,99 -7..t.

Además, Z*, (absoluta) : 0,99 m/seg, hacia la izquierda, como se deduce de la Fig. l1-5(c). Por tanto,

M V, cos 0,1000 x 0 lr5

tuerzaF* [15 x 0.906 - (-0,99)] : 161 kC y la potencia E,: 16l x 6:966 kgm/seg.

x/'46o

I

099

966

t435

966lc) Rendimiento :

:M(ts)'z

202

12.

13. La tubería de 60 cm del Problema 12

está conectada a una tubería de 30 cmmediante un cono reduclor normal.Para el mismo caudal de 900 fseg deaceite, y una presión de 2,80 kglcm2en la sección 1 (Fig. 11-7), ¿cuál es

la fuerza ejercida por el aceite sobreel cono reductor si se desprecian laspérdidas de carga en el mismo?

Solución:

Como Zt:3,2 mlse&, V2:Qll)2 x3,2:12,8 m/seg. Además, al aplicar la ecuación deBernoulli entre las secciones I y 2, a la entraday salida del reductor, se obtiene

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. lr

Una tubería de 60 cm de diámetro, que transporta 900l/segde un aceite (Dr : 0,85), tiene un codo de 90' en un planohorizontal. La pérdida de carga en el codo es de 1,10 m deaceite y la presión a la entrada de 3,00 kglcmz. Determinarla fuerza resultante ejercida por el aceite sobre el codo.

Solución:

Con referencia a la Fig. 11-6, el diagrama del cuerpo libre, que se

muestra, pone de manifiesto las fuerzas estiiticas y dinámicas queactúan sobre la masa de aceite que ocupa el codo. Dichas fuerzas se

calculan como sisue:

Fig. lr-G

("\ P, : p1A: 3,00 x f,n(60)2 : 8480 kg.

(ó) Pz : pzA, donde p, : pt - pérdida en kgf cm2, como se deduce a partir de la ecuación de Bernoulli, yaquezr:zz!Vt:Vz.Portanto,Pr:(3,00-0,85x1000x1,10/104)xf,n(60\2:8220k8.

(c) Mediante el principio del impulso-cantidad de movimiento y sabiendo que Z1 : Vz : QIA : 3,2 mlseg,

MV,, + E (fuerzas en la direcbión X) x 1 : MV,,

8480 - 4: (0,85 x 1000 x 0,9000/9,8)(0 - 3,2): -250 ksy F,: 8730 kg hacia la izquierda y sobre el aceite

(d) Análogamente,para t: I segundo,

MVy, + E (fuerzas en la dirección I) x 1 : MVr,

Fy - 8220: (0,85 x 1000 x 0,900/9,8)(3,2 - 0): +250 kc! Fr: +8270 kg hacia abajo y sobre el aceite.

Sobre el codo la fuerza resultante R actúa hacia la derecha y hacia abajo, y su valor es igual a

R : J@nf + $270f : P.02s kg con 0, : arc tg (821018730) : 43,4

Fig. ll-7

+ 0) - (pérdidas desp.) : +0)

p2 2'80_I*: + +: - 9: 25,r m de aceite y pi:2,r3 kglcmz.uesPeJanoo' ; :

oJ5 r., rooo - E - E'En la Fig. 1l-7 se representan las fuerzas que actúan sobre la masa de aceite que ocupa el reductor.

i: =

í:1: =

1:,1\ i, #Ítli: =

"2?3

ff ffiff [ l1'::]?",

.D¡ ,12.8f('--: +'ü 29

.Dt 3.212l-' I'w 29

cAP. 111 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDqS EN MOVIMIENTO 203

Varía la cantidad de movimiento del aceite en la dirección X. Por tanto,

MV*, + E (fuerzas en la di¡ección X) x | - MV,.

(7920 - 1510 -,4)l - (0,85 x 1000 x 0,900/9,8)(12,8 - 3,2)

y F, - 5660 kg, actuando hacia la izquierda sobre el aceite.

Las fuerzas en la dirección I se equiübran unas con otras y 4, : 0.

De aquí, I fuerza ejercida por el aceite sobre el cono reductor es de 5660 kg actuando hacia le derecha.

Por urr codg reductor de 45o, de 60 cm de diá-metro en la sección de aguas arriba y 30 cm enla de aguas abajo, circulan 450 l/seg de aguacon una presión de 1,50 kglcm2 en la sección 1

(Fig. 11-8). Despreciando cualquier pérdida enel codg, calcular la fuerza ejercida por el aguasobre el c6rdo retuctor.

Soh¡ci¡io:

\: 0,4501At: 1,60 m/seg

Y Vz: 6,40 m/seg

La ecuación de Bernoulli, entre las secciones I y 2,da

14.

1.50 x lOa 2.56 D¡ 40.96( ,* *E* 0)-(perdidadesp.)-(--:+ 2s +0)

de la cual, pzlw:13,0 m y pi:1,30 kglcm2.

En la Fig. l1-8 se mu€stran las fuerzas estáticas y dinámicas ele actúan sobre la masa de agua.

En la dirección X,

Pt : ptAt: 1,50 x Lnn(60)t :4240 kCPz : pzAz: 1,30 x *n(30)2 : 920 kgPz* - Pz,: 920 x 0,707 : 650 kg

MV*, + E (fuerzas en la dirección X) x | : MV*,(4240 - 650 - 4)1 : (1000 x 0,a50l9,8)(6,40 x 0,707 - 1,60)

Y F,: 3455 kg hacia la izquierda.

En la dirección I,

(* F" - 650)1 : (1000 x 0,450/9,8X6,40 x 0,707 - 0)

Y Fy:860 kg hacia arriba'

La f:uena ejercida por el agua sobre el codo reductor ., f - .r(f+SS;' + laOO¡' : 3560 kg dirigida haciala derecha y hacia abajo, siendo el ángulo que forma con la horizontal 0, : arc tg (860/3455) : 13'59'.

15. Con referencia a la Fig. 11-9, un chorro de agua de 5 cm de diámetro choca con una compuertacuadrada de 1,20 m de lado y que forma con la dirección del chorro un ángulo de 30". La veloci-dad del chorro es de 20 m/seg e incide en el centro de gravedad de la compuerta. Despreciandoel rozamiento, ¿qué fuerza normal a la compuerta habrá que aplicar en el extremo opuesto a labisagre para mantenerla en equilibrio?


Fig. ll-9Solución:La fuerza ejercida por la compuerta sobre el agua será perpendicular a la compuerta, por no existir rozamien-

to. De aquí, por no actuar ninguna fuerza en la dirección I,l/, mostrada en la figura, no habrá variación de la can-tidad de movimiento en esta dirección. Por tanto, utilizando las componentes en la direcctó¡ W,

Cantidad de movimiento inicial *0 : cantidad de movimiento final+M(V cos 30") : tMtvt - M2V2

(wlg\(A.o",V)(Z cos 30') : (wlq)@'V')V, - (wlg)(A'V2)V2

Pero V : Vt : Vt (por despreciarse el rozamierito). Entonces,

,4"no.. cos 30" : At - Az !, por la ecuación de continuidad, l"no,. : At t Az

Resolviendo este sistema,

A1 : A"¡,o,.(l + cos 30')/2: A",.o,. x 0,933 ! Az: A"¡o,.(l -cos 30")12: A"ho,. x 0,067

La corriente de agua se divide como se ha indicado y la ecuación de la cantidad de movimiento en la direc-ción X da

_1000 I _1000 I _1000 I

[#(;zxo.osf20]20_r,(ll_¡:1_2x0.05)10.933(20)117.3+[#t;"lto.os),0.067(20)](_17.31-9,8 4 ^ -9,E 4 - -9,E 4

de donde F, :20,5 kg.

Análogamente, en la dirección )2,

M(ot + 4,(l): t*Pro.oozx0.e33)201 r0 + t+P(0.002x0.067)201(-r0)' -v,6 - -v,óde donde {,: 35,3 kg.

Para la compuerta, como cuerpo libre, IMo,."*.. : 0 y+20,s(0,3) + 35,3(0,ó x 0,866) - P(r,2): 0

Deterniinar la reacción que produce un chorro que fluye porun orificio practicado en la pared lateral del depósito que con-tiene el líquido.

Solución:

En la figura adjunta se toma como un cuerpo libre la masa de líqui-do ABCD. Las únicas fuerzas horizontales presentes son d y 4, queproducen la variación en la cantidad de movimiento del agua.

(Fr- Fr)x 1: M(V, - Z, ), donde Z, puede considerarse despreciable.

o P :20,4 kg

16.

Fie. ll-10

cAP. 1ll FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO 205

ReacciónF:Ft-F,

Pero A, = c"Ao y

- wQ v" = @v,.gg

V, = c,tF2gh.

De dondeF = w(ctA.) desh) = (cc.,)uA,(zh)o

(hacia la derecha sobre el líquido)

Fig. l1-11

(1) Para los valores medios c : 0,60 ! c,: 0,98, la fuerza de reacción es -F: l,l76whAo. De aquí, lafuerza que actúa hacia la izquierda sobre el depósito es, aproximadamente, el 18\ mayor que la fuer-za estática que actuaría sobre un tapón que cerrara justamente el oriflcio.

(2) Para un flujo ideal (sin rozamiento y sin contracción), F -- 2(whA).Esta fuerza es igual al doble de la que actuaría sobre el tapón que cerrara el orificio.

(3) Para el caso de una boquilla (c" : 1,00), la reacción es F : clwA(2h), donde ú representa la alturade carga efectiva que da lugar al flujo.

17. Los chorros de un aparato de riego por asper-sión tienen 3 cm de diámetro y salen en direc-ción normal al radio de 60 crn. Si la presión enlas bases de las boquillas es de 3,50 kgfcm2,¿qüé fuerza debe aplicarse sobre cada uno delos brazos, a 30 cm del eje de giro, para man-tener el aspersor en reposo? (Utilizar c, : 0,80

Y c" : 1,00.)

Solución:

La reacción producida por el chorro del aspersor puede calcularse por el principio de la cantidad de mo-vimiento. Además, como la fuerza que produce el cambio en la cantidad de movimiento en la dirección X actúaa 1o largo del eje X, no da lugar a ningún par. Interesa, por tanto, la variación de la cantidad de movimiento enla dirección I. Pero la cantidad de movimiento inicial en la dirección I es nula. La velocidad del chorro será

Vy: c,JW:0,80.rtb5p + altura de velocidad despreciable) :21,0 m/seg

F,dt: M(V,\: t# r In(0,03)2 x 2r,0 dtl(2r,o)Así,

de donde Fr : -31,8 kg dirigida hacia abaio y actuando sobre el agua. De aquí, la fuerza que el chorro ejercesobre el aspersor es de +31,8 kg y dirigida hacia arriba. Finalmente,

ZMo : g, ,r'(0,3) - 0,6(31,8) : 0, F : 63,6 kg para el equilibrio

18. Desarrollar las ecuaciones básicas que dan el empule en los dispositivos de propulsión.

Fig. il-12

Solución:

En la Fig. 11-12 se muestra un motor a reacción d que utiliza W kgde aire por segundo. En la sección 1,

la velocidad V, del aire que entra en el motor es igual a la velocidad de vuelo. También se considera que el aireentra a la presión atmosférica (a la que no tienen lugar ondas de choque). En el motor E el aire es comprimidoy calentado por combustión. El aire abandona la tobera en la sección 3 a una gran velocidad, con lo que su can-tidad de movimiento ha aumentado notablemente.

(c)


En la mayoría de los motores a reacción, el peso por segundo de aire que sale del motor es mayor que elque entra, debido a la adición del combustible. Este aumento viene a ser del 2 \. El peso de aire a la salida se

mide, por lo general, en la sección 3.

El empuje se evalúa en función de la variación en la cantidad de movimiento como sigue:

(A)

En los casos en que la presión en la sección 3 es mayor que la atmosférica se obtiene todavía una acelera-ción adicional del gas. La fuerza adicional es igual al producto de la diferencia de presiones por el áréa de lasección 3. Así, para la variación de la cantidad de movimiento entre las secciones I y 3, se obtiene

F tiL t Az(pa-o,¡ - W* (B)

Si se quiere determinar la velocidad efectiva de eyección, se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas(A) v @),

v, = r,*#(p"-p^)Se observará que si p. : pn, Vo: Vr.

El término WrVrlg se conoce con el nombre de empuje negativo o resistencia de atraque. El empuje bruto(producido por la tobera) es WrVnlg en la ecuación (A) y WrVrlg -f Ar(p, - p+) en la ecuación (.B).

Para un motor cohete el empuje se calcula mediante la ecuación (A) por ser V, : 0 en estos dispositivos.

19. En el laboratorio se ensaya un motor a chorro. El motor consume 23,0 kglseg de aire y 0,20 kglsegde combustible. Si la velocidad de salida de los gases es de 450 m/seg, ¿qué valor tiene el empuje?

Solución:

Mediante la fórmula (A) del Problema 18, empuje F : (23,2 x 450 - 23 x 0)19,8: 1060 ke.

20. lJn motor a chorro funciona a 180 m/seg y consum€ un caudal en peso de aire de 23,0 kg/seg.

¿A qué velocidad ha de descargar el aire para que el empuje sea igual a 680 kg?

Solución:

Empuje F : 680 : (2319,8)(V,il - 180), de donde V"^r. : 470 mfseg.

21. En el laboratorio se ensaya un motor turborreactor bajo unas condiciones semejantes a las quereinan en cierta altitud, donde la presión atmosférica es de 3830 kglm' (ab), la temperatura Z :238,5" K y el peso específico Lt) : 0,549 kg/m3. Si el área de la sección de salida del motor es de1400 cm2 y la presión de salida la atmosférica, ¿cuál es el número de Mach si el empuje bruto es

de 670 kg? (Utilizar k: 1,33.\

Solución:

Como en la ecuación (B) del Problema 18, p, : P¿ Y Vt : 0,

F : W"VJg : @A"V")VJg, 670 : 0,5a9Q,140)Vls, V": 292 mlseg

El número de Mach Nu : vJc : vr,j*sRr : ZSZt¡l.lltc:sltZS.lXZlZ^Sl : o.lt

22. En el Problema2l, ¿cuál será el empuje bruto si la presión de salida fuera de 0,70 kg/cm2 (ab) yel número de Mach igual a 1,00? (Utilizar k : 1,33.)

Solución:

Con el fin de calcular la velocidad de salida para las nuevas condiciones en la salida, se calcula la tempe-ratura en dicha sección a partir de

lV,¡Vn WrV,EmpuJe¡ = g - g

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

TJ238,5: (0,70 x 104/3830)(r-1tk, de donde I":277" K.

Entonces, V": Nuc : NrJt gLr : \O0rI.:f,e,Ul29,re77): 325 m/seg.

Además, se calculará el peso específico en Ia salida a partir de

(*rlwr)o : ptlpz, @J0,549)1'33 : 0,70 x 104/3830, u.," - 0,864 kg/m3

Mediante la ecuación (B) del Problema 18,

207

F : 0,864(0,140)(321219,8 + 0,140(7000 _ 3830) _ o : 1746 ke.

23. Un motor cohete quema su propulsor a raz,ón de 6,90 kg/seg. Los gases, productos de la combus-el cohete'a la presión atmosférica y a una velocidad relativa de 980 mlseg. Latiene un área de salida de 320 m2 y el peso bruto del cohete es de 230 kg. En -unado, el motor cohete desarrolla una potencia de 2500 cv. ¿cuál es la velocidad

del cohete?Solución:

En un motor cohete no entra aire del exterior de forma que los términos de la sección I en la ecuación (.8)del Problema 18 se anulan. Además, como la presión de salida es la atmosférica, p3: pa. Asi, el empuje

Fr: (t4tJg)V": (6,90/9,8X980) : 690 kg

y como 2500 CV : F7V""¡.J75, Vcohete: 272 mlse1

24, Suponiendo que la resistencia es función de las magnitudes físicas: densidad, viscosidad, elasti-cidad y velocidad del fluido, y de un área característica, demostrar que la resistencia es funciónde los números de Mach y de Reynolds (véase capítulo 5, problemai 9 y 16).Solución:

Como ya quedó establecido en el Capítulo 5, un estudio mediante el análisis dimensional conducirá a larelación deseada, como se indica a continuación.

Fo = f t (p, p, E,V, A)o Fn = CoaubEcv¿Lze

Entonces, dimensionalmente, -F r Lo To = (F" 7r" L-4a) (Fb Tb L-2b) @" f-*¡ (Ld T-d) L2"

y 1=a*blc, 0=-4a--2b--Zc*dl2c, 0=2a+b-d

Resolviendo el sistema en función de b y c 'se obtrene

a = I-b-c, d = 2-b-2c,Sustituyendo, Fo = C pt-b-c lb Ec V2-b-2c L2-b

Expresando esta ecuación en la forma usual se llesa a

e = l-b/2

F=C'r"/ttr"E''^p, \Tpv)" \pw)'o ¡r = A pV, f"(B",Nr)

Esta ecuación pone de manifiesto que el coeficiente de resistencia de objetos sumergidos en corrientes flui-das de forma geométrica dada y orientados de forma definida respecto de la corriente, dependen únicamentede los números de Reynolds y de Mach.

En el caso de fluidos incompresibles el número de Reynolds es el predominante, y la influencia del númerode Mach es pequeña o despreciable; por tanto, los coeficientes de resistencia son función exclusiva del númerode Reynolds Rr. (Véanse Diagramas F y G del Apéndice.) En realidad, para valores pequeños de Nnn el fluido

puede considerarse incompresible en lo que se refiere al coeficiente de resistencia.

208 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. r r

Cuando el número de Mach N, es igual o mayor que 1,0 (con velocidades del fluido iguales o mayores que

la velocidad de propagación del sonido) el coeficiente de resistencia es solo función de N¡a. (Véase Diagrama ,I1

del Apéndice.) No obstante, frecuentemente se presentan situaciones en que el coeficiente de resistencia depende

tanto de Ru como de Nr.Puede hacerse un estudio análogo del coeficiente de sustentación, y las conclusiones a que se han llegado

son aplicables a este coeficiente de sustentación. Se sugiere el empleo del teorema de Pi de Buckingham.

25. Un viento de una velocidad de 80 km/h choca contra una pancarta de señalizacrón de 2,0 m por

2,5 m incidiendo normalmente a su superficie. Para una lectura barométrica normal, ¿cuál es la

fuerza que actúa contra la señal ? (w : 1,200 kg/m'.)Solución:

Para un chorro de fluido. de peQueña sección transversal. que incide sobre una placa en reposo de grandes

dimensiones, se ha visto que la fuerza ejercida por el fluido es

(Fuerza), : L(MV,): (nls)lqV)V,: pAVl

La placa en reposo que se considera en este problema afecta a una gran cantidad de aire. Su cantidad de

movimiento no se reduce a cero en la dirección X como sucedia en el caso del chorro de agua. Los ensayos

realizados con placas que se mueven a través de fluidos a diferentes ve'locidades muestran que el coeficiente de

resistencia varía con la relación de longitud a anchura y que su valor es prácticamente constante por encima de

números de Reynolds iguales a 1000. (Véase Diagrama.F del Apéndice.) Es indiferente que el objeto se mueva

a través de un fluido en reposo o sea el fluido el que se mueva alrededor del objeto en reposo; los coeficientes

de resistencia y las resistencias totales son iguales en ambos casos. La velocidad relativa es la magnitud significativa.

El coeficiente (Cr) se emplea en la siguiente ecuación: Fuerza F: C",AT'

Esta ecuación se escribe a veces para incluir la altura de velocidad. en la siguiente forma:

t/2tucrza F : Coue;;

utilizando Co : 120. obtenido en elDiagrama F. Fuerza F r.zorlQltsÉ91]9I4I : 181 kg.''-"' g.rJ "-' 2

26. Una placa plana de 1,2 m por 1,2 m se mueve a una velocidad de 6,5 m/seg en dirección normal

a su plano. Determinar la resistencia que se opone al movimiento (a) cuando se mueve a través

del aire a20" C y presión atmosférica normal y (ó) cuando lo hace a través de agua a 15'C'Solución:(a) Del Diagrama F, para longitud/anchura - l, Co: l'16.

Resistencia : CopA+ - t rorfflrr.z LrPy:4.3 kg.

v2 {6.5 t2(b) Resistencia - CoPA t : l.l6(102)(1.2 / t2;: 1600 kg.

27. Un hilo de cobre de gran longitud y l2 mm de diámetro está tensado y expuesto a un viento de

27,0 mfseg, que incide normalmente al eje del hilo. Calcular la resistencia por metro de longitud.

Solución:

Para aire a 20" C la Tabla I da p :

,/dRE:-:

v

0,1224 UTM/m3 y

2'7x12x10-31.488

v : 1,488 x lO-s m2/seg. Entonces,

los:21.800

Del Diagrama F, Cp: 1,30. De aquí,

Resistencia : CopA{ : r,roto., 224)(1 - 0.0t29= : 0.696 kg por metro de longitud/.L

28. Una placa plana de 0,9 m por 1,2 m se mueve a una velocidad de 12mlseg a través de aire en re-

poso, formándo un ángulo de 12" con la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia de-C

D : 0,11 y un coeficiente de sustentación de C, : 0,72, determinar (a) \a fuerza resultante que

ejérce el aire sobre la placa, (b)lafuerza debida al rozamiento y (c) la potencia, en CV, necesaria

para manrener el movimiento. (utilizaf u : 1.200 kg m3.)

cAP. 111 FUERzAS DESARRoLLADAS PoR Los

Solución:

lal Resistencia : CréV(o/

1.200 tl2f' 0.17(

- Xl.08F-- : 1.62 kc.9,8 2

Sustentación : Cr(Ve(o/

1.200 t2f: 0.72( 9¡ )fl.08)-J- : 6.85 kc.

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

ComDonente normal

Sustentación

+V = 12 mlseg

209

Resistencia

Componente de rozamiento

Con referencia a la Fig. ll-13, la resultante de las compo-nentes de resistencia y sustentación será

Fig. l1-13

R : \reEf-l 6,8f : 7,02 kg, que actúa sobre la placa formando un ángulo 0, : zrc tg (6,8511,62) :'16"42' co¡ la horizontal.

La resultante puede descomponerse también en una componente normal a la placa y una tangencial o derozamiento (dibujadas a trazos en la figura). Del triángulo vectorial,

componente del rozamiento: R cos (e, + D): (7,02)(0,0227):0,16 kg.

Potencia (CV) : (fuerza en dirección del movimiento x velocidad)|ls : (1,62 x 12)175 :0,259 CV

29. Si un avión pesa 1800 kg y la superficie de sus alas es de 28 m2 , ¿qué ángulo de ataque han de for-mar las alas con la horizontal a una velocidad de 160 km/h? Suponer que el coeficiente de sus-tentación varía linealmente de 0,35 a 0" hasta 0,80 a 6'y utilizar para el aire w: 1,200 kg/-t.Solución:

Para el equilibrio en dirección vertical, Ey: 0. Por tanto, sustentación - peso : 0, es decir,

(,b)

(c)

_ v' (160 x 1000/3600)'?Peso: C¿wA ^ , 1800: C¿( 1.200X28)l:::--i- ' ' CL:0.53--'-- )- )o-g

Por interpolación entre 0" y ó', ángulo de ataqve :2,4".

30. ¿Qué superficie de alas se necesita para soportar un avión de 2300 kg, cuando vuela a una velo-cidad de 28 m/seg con un dngulo de ataque de 5"? Utilizar los coeficientes dados en el Problema29.Solución:

Por los datos del problema anterior, o bien de una curva, Ct:0,725 para 5". Como en el Problema 29,

Peso : sustentación, 2300 :0,725(1,20019,8)A(2U,12, A : 66,16 m2

31. Un perfil de ala de 40 m2 de área y con un ángulo de ataque de 6o se mueve a una velocidad de

, 25 rnlseg. Si el coeficiente de resistencia varía linealmente de 0,040 a 4' hasta 0,120 a 14', ¿qué po-tencia se requiere para mantener dicha velocidad en aire a 5" C y 0,90 kglcm2 de presión absoluta?

Solución:

*:L--o'9oxloaRT zffil: l'105 kglm3' Para el aire

Para un ángulo de ataque de 6',-por interpolación, CD : 0,056.

Resistencia : CopA V'12 :0,056(1,105/9,8)(40)(25)212 : 79 kcPotencia (CV) : (79 küQs mlseg)175 :26,3 CV

Il,ilI

2t0

32.

FUERZAS DESARR.OLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. 1l

En el problema precedente, para un coeficiente de sustentación de 0,70 y una cuerda de 1,50 m delongitud, determinar (a) la sustentación y (ó) los números de Reynolds y Mach.

Solución:

(a) Sustentación Ft : C t PA V212 : 0,70(1,105/gX40)(2r'z 12 : 985 kg.

(b) La longitud característica en el número de Reynolds es la longitud de la cuerda. Así,

^,:'2: =:r+ll9 : 2 386 400

u tt,77 x l0-óX9,8)

Se recordará que la viscosidad absoluta no varia con la presión.

N M : v I J El p : vl J ksRr : 2sl,re,qg,B)ee,3\nq : 0,075

Un perfil de ala de 25 m2 de área se mueve a una velocidad de 25,0 m/seg. Si la potencia reque-ridapan mantener el movimiento es de 14,0 CV, ¿cuál es el ángulo de ataque eenpleado si las va-riaciones del coeficiente de resistencia son las dadas en el Problema 3l? Utilizar. como en el Pro-blema 31, w : 1,105 kg/m3.

Soluciút:14,0 CV : (fuena)(25,0 mlseü175, fuerza : 42,0 kg

Fuerza : CopAV2l2, 42,0 : CoÍ,10519,8)(25)(25)'112, Cp - 0,0477

' Mediante los datos que relacionan el ángulo de ataque con C¡, por interpolación, sc obtiene como ángulode ataque 5,0'.

Un furgón tiene 50 m2 de área de uno de sus lados. Calcular lafuerza resultante sobre dicho l¡dodel furgón cuando el viento está soplando a una velocidad de 16 km/h normal al área lateral delfurgón (a) si el furgón está en reposo y (á) cuando se mueve a una velocidad de 45 km/h normala la dirección del viento. En (a) utilizar C¿ : 1,30, y en (,b) Co - 0,25 y C¿ : 0,ó0.(p :0,1245 UTM/m3.)

(b)Fig. ll-14

Solución:

(a) Fuerza que actúa normal tl área: Co@12)AV2. I'sí,

Fr¡erza resultante : 1,30(0,1245/2X50X16.000 1360q2 : 80 kg normal ¡t árca

(b) Es necesario calcular la veloci&¿d relativa del viento respecto del furgón. Por compdción vectorial,

Vvie¡¡o : /vienrc¡rurgo'n + V f"rgu'n

La Fig. ll-14(a) indica eS reiación vectorial, es decir,

OB : OA ++ AB : 45,Q-+- V,,,

Por tanto, la velocidad ¿fr?iva : J@5F + OÚ: 47,8 krn/h, dirigrda hacia la dodr y haciCabajo, formando $h ángul.o 0 : frc t6 06145): 19,6".

33.

34.

(o)


La componente de la resultante, perpendicular a la velocidad relativa del viento respecto del furgón es

Susrentación : C "(p

l2)AV, : 0,60(0, I 2 4s l2)(50)(4j 900 l36oq,: 329 kC normal a Ia velocidad relativa

La componente de la resultante, paralela a la velocidad relativa del viento respecto del furgón, es

Resis tencia : C o@ I 2\ A V 2 : 0,25 (0,1245 I 2)(50)(47 800 I 3 60q2: 137 kg paralela a la velocidad relativa

Con referencia a la Fig. ll-14(b), la fuerza resultante : JÉrrPTBfF : 356 kg, formando unángulo a : arc tg (3291137) : 67 ,4' . De aquí, el ángulo con el eje longitudinal (eje X) será 19,6 + 67 ,4 : 87 ,0" .

211

35. lJna cometa pesa 1,10 kg y tiene un área de 0,75 m2.La fuerza de tracción en el hilo de sujeción de la cometaes de 3,00 kg cuando dicho hilo forma un ángulo con lahorizontal de 45". Para un viento de 32 km/h, ¿cuálesson los coeficientes de sustentación y de resistencia sila cometa forma con la horizontal un ángulo de g.?Considerar la cometa como una placa plana y üut," :1,205 kglm3.Solución:

En la Fig. 11-15 se muestran las fuerzas que actúan sobrela cometa, considerada como un cuerpo libre. Las componentesde fa fuerza de tracción sob¡e el hilo son iguales a 2.12 ks.. Fig. ll-r5

De EX: 0, resistencia : 2,12 kg.

De Ef : 0, sustentación : 2,12 + l,l0 : 3,22kg.

Resisrencia : CopAV212, 2,12 : CD0,205/9,8X0,75x32.0001360u212, cD : 0,58.

C¿ : 0,88'Sustentación : C úAV2 12, 3,22 : C 10,205/9,8X0,75X32.000 13600\2 12,

36. Un hombre que pesa 77 kg se lanza desde un avión con un paracaídas de 5,50 m de diámetro. Su-poniendo que el coeficiente de resistencia es igual a 1,00 y despreciando el peso del paracaídas,¿cuál será la velocidad límite de descenso?Solución:

Las fuerzas que actúan sobre el paracaídas son el peso del hombre, dirigida hacia abajo, y la resistencia,dirigida hacia arriba:

Para el equilibrio, Il:0 (para velocidad de descenso constanret.

W : CopAV2l2, jj : r,0O(1,20519,8)(n2,752)V212, V :7,3 mlseg

37. Una bola de acero de 3 mm de diámetro y peso específico 7,81 glcm3 cae a través de una masa deaceite de densidad relativa 0,908 y viscosidad cinemática 1,46 x 10-a m2/seg. ¿Cuál es la velo-cidad límite alcanzada por la bola?Solución:

Las fuerzas que actúan sobre la bola de acero son: el peso de la misma, dirigida hacia abajo;el empuje hi-drostático, dirigida hacia arriba, y la resistencia, dirigida hacia arriba. Cuando se alcance la velocidad constante.>,Y : 0, y transponiendo términos,

o 0""'"i'ff;::l, -T:ff'l*x','!'"3,;u'i2istencia

Utilizando kg/cm3 x cm3 : peso,

4 o q08 x 1000, ^ .0.908 x 1000 0,003 "V2;z(0.15)r{0.00787 - - 10--,: (Dr -n}_.YY,"f?fZ

l2I2 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [CAP. 11

Suponiendo un valor de c, de 3,00 (véase Diagrama .F, esferas) y despejando,

V2 : 0,30lCD: 0,100 Y V: 0,316 m/seg

Se comprueba ahora el valor supuesto para CD, se calcula el número de Reynolds y se entra en el Diagrama lt

Vd 0.31ó x 0-003RE : '-: : ffi

: 6.5 y Co: 6.0 (aumenta Co)

Se repiten los cálculos y se comprueba, para Co:'7,0,

v2 :0,3017,0:0,04i8, v:0,207, Rr,:4,22, Co:8,1 (aumenta Cr)

EnsaYando Co : 8,5,

V2 : 0,3018,5: 0,0353, V : 0,188' RE : 3,86, Co: 8,5 (correcto)

Por tanto, la velocidad límite : 0,19 m/seg.

Cuando el número de Reynolds es menor de 0,60, la ecuación para determinar la resistencia'puede escribir-

se en la forma

C Dp AV2 12 : (24 I R ) p A V2 12 : (24v I Vd)p (nd2 I 4)V2 12.

Como ¡r : pv, resistencia: 3nPdV.

38. Una esfera de plomo de 25 mm de diámetro y peso específico 11.400 kg/mt desciende a través de

una masa de aceite a una velocidad constante de 35 cm/seg. Calcular la viscosidad absoluta del

aceite si su densidad relativa es 0,93.

Solución:

Como en el problema precedente, al utilizar peso : kg/m3 x m3,

(ru" - ru,)(volumen) : CDPAV212

Luego (11.400 - 0,93 x 1000Xaz/3)(0,0125)3 : Co(0,93 x 1000/9,8)z(0,0125)2Q35)212 Y Co: 30,0'

Del Diagrama F, Para CD: 30,0, R¡ : 0'85 Y

0,85: Vdlv: (0,35X0,025)/v, v:0'0103 m2lseg

Por tanto, tt : vp : 0,0103(0,93 x 1000)/9,8 : 0,978 kg seg/m2

39. IJna esfera de 13 mm de diámetro asciende en una masa de aceite a la velocidad límite de 3,6 cm/seg.

¿Cuál es el peso específico de la esfera si la densidad del aceite es 93 UTM/m3 y su viscosidad ab-

soluta 0,00347 kg seg/m2 ?

Solución:

Para la velocidad límite, constante, 11: 0 y

empuje hidrostático - peso - resistencia : 0

(nl3)(0,0r3 l2)3 (93 x 9,8 - ru,) : C¡(93)z(0,0 13 l2)2 (0,$q2 P(911 - ru") : 6,96Co (1)

El coeficiente de resistencia puede evaluarse mediante el Diagrama F y el número de Reynolds.

Número de Reynords :ry:q{A#4 : D.53

Ahora, del Diagrama F, CD:3'9 (para esferas) y, a partit de (1)'

w" : 9ll - 6,96 x 3,9 : 884 kglm3


v-v>

v-v>

2t3

40.Paraflujoslaminares,connúmero.s.deReynoldsbajos,demostrarqueelcoeficientederesisten-cia de la esfera es igual a 24 dividido p"r-ál número de Reynolds (se muestra gráficamente en el

Diagrama F del APéndice)'

Solución:

La resistencra F : CopAV2 12' como se vio anterloffnente'

para flujo laminar la iásistencia depende de la viscosidad y velocidad del fluido y del diámetro d de la es-

fera' Así' Fu = lo"v'cl) = c IL"vt'¿."

Entonces, F' Lo To = (F" T" L-'")(Lo T-')(L"\

Y I=o' 0=--Za-lblc' 0--a-b

de donde a: l, b: I y c: 1' Por tanto' resistencia Fo ' G' Stokes ha demostrado matemáti-

;U.-::; Í;l!"',i: :::Iil|,:#TJffi:,'ffi.'; er área provectada por !nd2 v despe-

jando Co.

3t¡rVcl= Crr,(l,cl")V'12 Y "' = #=#

41. Desarrollar una expresión que dé el espesor. ó de la cana lllite' para el flujo laminar de un fluido

quepasaporunaplacadelgada,,,,po.'ie,'doquelaecuaciónquedaladistribucióndevelocida-

des es ,t) = v(+

Fig' lr-16

Solución:

movimiento por unidad de tiempo será

^O

I otV - u)u(d/ ^ I)

Esta expresión es igual al impulso producido por la fuerza cortante' también en la unidad de tiempo' es decir'

r^(dr x ll = p(V - u)u(duxt)f^6t

Contorno de la caPa llmite

Resistencia/unidad de anchura' Fo =

2I4 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [CAP. 11

Sustituyendo la velocidad por su expresión como distribución parabólica en la ecuación ante'or?6,L = J" p(V - zyV/s * s,V/6,)(V)(2a/a _ u,/3,¡ds

,"' f: G - 2u/s j- u"/6,)(2u/t - a,/32)d.y = ftpv,ó (A)con el fin de obtener una útil expresión de ó, se tiene en cuenta q.ue el flujo es laminar y que r0 dx : laresistencia unitária diferencial dFo- Éntonces, en zo : ¡t(duldy)o, er termrno

í;rl' : *!1, {rr,u - a2/6'z)l = { r, - rtul

:#:'::T:-1",i::J".fi:::iü';,Zl1 ,,!iflü;,;i?,{# estabreciendo que ra tensión cortante es iguar a ro

(B)

fD ^xJ" sd6 = ffJ"0,de la que se obtiene

30uró-=pV

La solución, más exacta. de Blasius da 5,20 como numerador de lC).

42' Para un flujo laminar deducir la expresión que dé (a) la tensión cortante en la pared (en la super-

:ff",dr:,t" praca) en er probrema piecedenti y (b¡'.í

"á.n.i""re de resisten.ruio.ár cr.(a)

}:.t'*:.ootema41'cuando-t:0,r0:2¡tvl6'Entonces,medianteer varordeó,dadoporraecuación(c)

ro=ffiñ = o,uur,{ú = OSAS'V{E;

Experimen talmente se ha determinado la fórmula más exacta

Ao:(c)

5,48

rE;

(A)

(B)ro = u,rr1@= o.Bz'vv ¡ ",-" \/E;(b) El coeficiente de resistencia local cr. se obtiene al igualar toA a laresrstencra local, es decir.

Fo -- t"A : CorpAVr/2

c,.-4pv - pv,\/E; \/E;

^, tiii i

verse que la resistencia total sobre una de las caras de la placa es igual a la suma de todas

^t' nLFo = | r"@t.l) = f' O,SZfi'u(.r lzdxt = g.g312¿r.,¡yey1Jo JoPara la forma usuar, F¡: c¡pAV2l2. Teniend,o en cuenta que en este caso r : L x l,se obtiene

C opLV'/2 = o,s}(z)t/ pWpL vr--;;-c'=1,32{if=# (D)

R¿: VLlv : 3(1,2)10,48 x 10-s) : 243.000 (intervato laminar)

. a una cornente de aire de 3 m/seg en condicio_1,20 m por 1,20 m. Calcular (o)'lu'."rirt"ncia su_: en el borde de salida (arista posterior de la placa)

Solución:

t' ::il:"t:ff:ltt"t;,tt^t:

resistencia por <rozamiento superficiar> depende der número de Reynolds, es ne-

(c)

43.

cA+. ¿Jl FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUTDOS EN MOVTMTENTO

Suponiendo que reina el flujo laminar sobre toda la placa,

coeficiente C D : 1.3281 $E : 1 .3281 \,8 -0OO : 0.00269

Resistencia D (sobre las dos caras): 2CDpAV2l2: (0,00269X1 ,20519,8)(1,2 x 1,2)(3)2:0,0042 kg

. ó 5,20 5.2011.2\(bl

, J Ru. J243.000

^ ^^ ¡tv E:0.33 (l'84 x l0-6)103

JE.0o0: 0.00075 kg/m2.tcl ¡:U.JJ-V 1.2

215

44. Una placa lisa de 3,0 m por 1,2 m se mueve a través del aire (15" C) con una velocidad relativa del,2mlseg, manteniéndose el movimiento paralelo a su superficie y a su longitud. Calcular la resis-tencia en una de las caras de la placa (a) suponiendo condiciones laminares, y (á) suponiendo con-diciones turbulentas sobre toda la placa. (c) Para condiciones laminares, calcular el espesor dela capa límite en el centro de la placa y en el borde de salida.

Solución:

(") Se calcula el número de Reynolds: RB: VLlv:1,2(3)lí,47 x 10-s) :245.000.

Para condiciones laminares , Co :'+ : -:]?9- : 0,00268 (véase también Diagrama G).vR, J24s.000

Resistencia : CrpAV2l2: 0,00263(0,1 2a\Q x 1,2)(1,2)'z12: 0,000865 kg : 0,865 g

(b) Para régimen turbulento, con Ru < 10?. CD: ffi [véase ecuación (12)f.

Así, c, : ¿¡ffi- =W: 0,00618 (véase también Diagrama G).

Resistencia : CopAV212: 0,00618(0,1245)(3 x 1,2)(1,4'z12: 0,00200 kg

(c) Para x: 1,5 m, Rn.:1,2(1,5)lÍ,a7 x 10-s): 122.500.

Obsérvese que el número de Reynolds se ha calculado para L : x m. Este valor del número de Reynoldsse llama número de Reynolds local. Entonces,

" 5,20x 15.20)1.56 : _.=: :-t:::0.0222 m:22,2 mm

J Ru, Jt22.s00

Para¡:3 m, R¿:245.000 y 6:ry:g:0,0315 m:31,5 mmJ R", J24s.o0o

45. Una placa rectangular lisa de 1,2 m por 24 m se mueve a través de una masa de agva a 21" C enla dirección de su longitud. La resistencia sobre la placa (ambos lados) es de 820 kg. Determinar(a) la velocidad de la placa, (b) el espesor de la capa límite en el borde de salida y (c) la longitud x"de la capa límite laminar si en el borde de ataque reinan las condiciones laminares.

Solución:

(") Para la longitud de la placa y el fluido agua puede considerarse como buena la hipótesis de flujo turbulen-to. Del Diagrama G, se supone Co: 0,002.

Resistencia : 2CopAV2l2, 820 : CDfrlz)(l,z x 24)v2

y v2 _0278 :Y, v: rr,B m6escD 0,002

216

6. La placa de 3 m por 1,2 m del Problema 44 se

mantiene sumergida en una corriente de 1,2 m/segde agua a 10o C, paralelamente a su longitud. Su-poniendo las condiciones laminares, en el bordede ataque de la placa, en la capa límite, (a) deter-minar la posición de paso de capa límite laminara turbulenta, (ó) calcular el espesor de la capalímite en el punto anterior, y (c) calcular la re-sistencia superficial sobre la placa.

Solución:

L R, para toda la placa

FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. 11

Número de Reynolds R¿: ll,8(24)/(9,8 x 10-7) :289 x 106. Por tanto, 1a capa límite es turbu-lenta, como se había supuesto. Haciendo una nueva aproximación,

co: 0,4s5 : 0,00186,(log 289 x 106)2's8

m/seg

(b) El espesor de la capa límite, para flujo turbulento, se calcula mediante la ecuación (15)

ó 0,22

x R2'161

0.22Q4\y ó :0.204m

(c) Suponiendo que el número de Reynolds crítico es 500.000, aproximadamente, es decir, el límite inferiorde la zona de transición,

Vx^ 12.3x.R¡- : -----, 500.000 : :-:----.=. r. : 0.04 mv 9,8 x l0-

Al calcular de nuevo el número de Revnolds. se obtiene 298 x

0 455CD -

-' -- = = ==: 0,00184, Y(1og 298 x 106)2's8

Este valor está dentro de la precisión esperada.

- 0.278V': :0,00186

o bien ".

: ,tffi): 0,55 m

de aquí,

V: 12,3 mlseg

*-I Laminar I- rurburento

---]Fig. ll-rZ

______.>

-----+

(a) Número de Reynolds Rn : VLlv : 1,2(3)10,31 x 10-6) : 2.740.000.

Este valor del número de Reynolds indica que el flujo en la capa límite está en la zona de transición.Suponiendo que el valor crítico del número de Reynolds es igual a 500.000, la localización del punto en queterminan las condiciones laminares puede calcularse mediante la relación

xc R" crítico

(b) El espesor de la capa límite en este punto se evalúa mediante

5-20x- : 5.2010.55)ó, : --= : --: 0,00405 m : 4.05 mm

J Ro. J500.000

lc) La resistencia superficial se calcula sumando a la resistencia producida por la zona de capa límite láminar,que llega hasta x" (véase Fig. 1l-17), la resistencia a que da lugar la zona de capa límite turbulenta, de B a C.Este último valor se determina calculando la resistencia como si toda la placa estuviera con capa límite tur-bulenta y restando a continuación la resistencia producida por la capa límite turbulenta ficticia de A a B.

Resistencia laminar, de A a .8, sobre una de las caras

Resistencia : CopA" : ''3?:pAr: -]!4--ÍOr¡1¡.2 ,. 6.55¡1'4 : 0,091 ks2 J R"" 2 J500.000 2

(1)

cAP. 1ll FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

0. 1 14 : C p(0.1231!nl0.t 5)'z (V'z /2),

137.500. Del Diagrama F, Co: 0,56.

m/seg (precisión satisfactoria).

2r7

(A)

(2) Resistencia turbulenta, de A a C, si las condiciones fueran turbulentas en la longitud total de la placa.

Resistencia : cri,l( (sobre una de las caras)L

0.074 v2 0.074 1.22: fgr"oet: (2,40,00)0a.id(102X1'2 x 0'55)'f : t'oto te

(3) Resistencia turbulenta ficticia. de A a B.

Resistencia : Crp,q( (sobre una de las caras)z

0,074 V2 0.074 1 12: ffirnt: Tffi (to2xt.2 x osr;: 0.260 kc

Resistencia total (ambas caras):2[0,091 + (1,010 - 0,260)]: t,682 kg

Si el número de Reynolds, para la placa entera, fuera superior a 107, habría que haber utilizado la:cuación (13) del principio del capítulo en la parte (2) anterior.

Podria, ahora, determinarse un valor medio Cj, para la placa entera, igualando la resistencia totalanterior a la expresión que da la resistencia, como srgue.

Resistencia total : 2c;pA+, r,682:2c;(r02)(r,2 * 3\+, cá : 0,00318LZ

47. IJna esfera de 15 cm de diámetro está inmersa en una corriente de aire a20" C. Se midió la fuer-zapara mantener la esfera en reposo dando 0,114 kg. ¿Qué velocidad tenía la corriente de aire?Solución:

Resistencia total: CopAV2l2, donde Cr: coeficiente de resistencia global.Como no pueden determinarse directamente ni el número de Reynolds ni Cr, se supone C¡ : 1,00. Entonces,

^ 105V": Co, V:l0,2mlseg

Se carcula, ahora, R, : + :,.j#*+!: 103.000. Det Diagram a F, co: 0,5e (para esferas).

Entonces, vt : ::: fi8, v: 13,3 m/seg. Anticipando el resultado, se ensaya V : 13,6 mlseg.0,59

Se recalcula R':U: , l]-uto'tt' . :- v 1,488x10-s

De aquí, V2 : 10510,56 : 188, V : 13,7

48. Determinar el aumento de presión que se produce al cerrar instantáneamente una válvula en unatubería de transporte.Solución:

Sea p' la variación de presión debida al cierre de la válvula. Al aplicar la ecuación del impulso-cantidad demovimiento, para obtener la variación de presión, se llega a

F, = lLqv " - V ,) en la dirección x

Despreciando la influencia del rozamiento, la fuerza no equilibrada que produce el cambio en la cantidad demovimiento del líquido de la tubería será p'A. Entonces la ecuación (l) queda

-p,A = YfO-v,¡ (B)

2r8 FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO [cAP. ll

donde u;Aclg representa la masa de líquido que ha cambiado su cantidad de movimiento y c es la celeridad de

la onda de presión. Esta onda de presión reduce a cero la velocidad del fluido al pasar por cada una de

las secciones. Así,pt = pcVt

La ecuación (C) puede escribirse en función de la altura de presión l', es decir,

t-, cV,tt-"

49. ¿Cuál es la fórmula que da la celeridad de la onda de presión producida por el cierre rápido de unaválvula en una tubería de transporte, considerando la tubería rígida (no deformable)?

Solución:

Los términos <cierre rápido> o <cierre instantáneo> significan un tiempo de cierre de la válwla cualquiera,siempre que sea <2Llc. Para obtener una expresión de la celeridad c se aplicarán los principios de la energía

y de la cantidad de movimiento.La energía cinética del agua se convierte por compresión en energía elástica. La energía cinética del agua

es MV2rl2: (wALldvll2, dorde I es el área de la sección recta de la tubería y I su longitud.

El módulo de elasticidad volumétrico del agua es .EB : (kg/m').

Por tanto, la reducción de volumen, A volumen _ (vofumen)(Lp) _ (AL)(wh) .

EB EE

Trabajo de compresió¡ : presión media por la reducción de volumen, es decir,

\(uAL/ g)Vi = l,uli(ALu;h/E n)

o lt, : V',Eu/gu¡

Mediante el principio de la cantidad de movimiento (despreciando el rozamiento), se obtiene

XIVL - >@.dt) - MV", -whA = (wQ/s\(0-V'), uthA = (w/s)(Ac)V,

o h - cV'/g

Sustituyendo en (,8), se llega a c2vl1g2 : V2Etgw, de la cual

" = t/Eo/p

50. Desarrollar una expresión que dé la celeridad de una onda de presión, debida al cierre rápido de

una válvula en una tubería de transporte, considerando la tubería como deformable.

Solución:

En este caso hay que considerar la elasticidad de las paredes de la tubería, en adición a las magnitudes in-cluidas en la solución del problema precedente.

Para la tubería, el trabajo por la tracción de las paredes de la tubería es igual al producto de la fuerza mediaejercida en las paredes de la tubería por la deformación. A partir del diagrama de cuerpo libre de la mitad de

la sección recta de la tubería, sabiendo que EI :0, 2T -- pdL: whdL. Además, la deformación unitariae: olE donde o : prlt : whrlt. (Yéase tensión en anillos o tubos de pared delgada en el Capítulo 2.) En esta

deducción, la altura á representa la altura de presión sobre la normal de funcionamiento causada por el cierrerápido de la válwla.

Traba.jo : fuerza media x deformación : j(|whdL\(2nre) en kgm: f,whdL(2nr)(whrltE)

Sumando este valor al de la ecuación (A) del problema anterior, se obtiene

l@A Ll flvl : lwh(ALwhl E ) + whdL(2nwhrz I t E)

que, después de sustituir h : cVJg, por (C) del Problema 49, da

(c)

(D)

(A)

q)

(c)

(D)

Eap(I * E ad/Et)

wdt- tg)

cAP. l1l FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO 219

51. Determinar las celeridades de las ondas de presión que se propagan a lo largo de una tuberia rí-gida que contiene (a) agua a 15" C, (á) glicerina a 20" C y (c)un aceite de Dr : 0,800.'Utlli¿ar,como. valores del módulo de elasticidad volumétrico, de la glicerina y del aceite 44.350 y14. 100 kgf cmz, respectivamente.

Solución:

,:=.t[.* ,, : r47o m/sesY toz(a)

(b)

(c) c=

44.350 x 104

1,262 x 1000/9.8= 1850 m/seg

: 1310 m/seg

52. En el Problema 51, si los líquidos fluyeran por una tubería de 30 cm de diámetro a I,2 mlseg y fueranfrenados instantáneamente, ¿qué aumento de presión podría esperarse, suponiendo la tuberíarígida?Solución:

Aumento de presión : pc x variación de la velocidad(o) Aumento de presión :102(1470)(1,2 - 0): 180.000 kglm2 :18,0 kg/cm2.(b) Aumento de presión: 129(1850X1,2) :286.000 kglm2 :28,6 kglcm2.(c) Aumpnto de presión : 82(1310X1,2): 129.000 kglm2 : 12,9 k{cm2.

-53. Una tubería de acero de 120 cm de diámetro y paredes de 9,5 mm de espesor transporta agua a15' C y a una velocidad de 1,8 m/seg. Si el tramo de tubería tiene una longitud de 3000 m yuna válvula existente en el extremo de descarga se cierra en 2,50 seg, ¿qué aumento en la tensiónde las paredes de la tubería puede esperarse?

Solución:La onda de presión se propagará desde la válwla hasta la embocadura de la tubería, retrocediendo de nuevo

hasta la válvula en un

Tiempo : 2(lonsitud de la tubería

celeridad de la onda de presión

La celeridad de la onda de presión, para una tubería deformable, viene dada por

r = "rekslÑ) -- I Pl7+(EB/E)@/t)l

donde las dos relaciones del denominador son adimensionales al utilizar unidades acordes.

Tomando para el acero -E : 2,10 x 106 kg/cm2, c = = 964 mlseg

y tiempo : 2(30001964) : 6,22 seg.Como el tiempo de cierre de la válvula es de 2,50 seg, es equivalente a un cierre instanttineo,ya que el tiem-

po de recorrido de ida y vuelta de la onda de presión es superior al tiempo de cierre.Aumento de presión : pc(dv):102(964)(1,8) : 176.990 kglmt :17,70 kglcm2.Por la fórmula que da la tensión en anillos de pared delgada,

Tensión de rracción o - presión x radio :t'''!^\.uo : rl20 kglcm2 de aumentoespesor 0.95


Este aumento de la tensión añadido al valor de diseño de 1130 kglcmz hace que el valor final se aproximeal del límite elástico del acero. La duración del cierre de la válvula debería aumentarse al menos a 6,50 seg, aunquees preferible hacerlo varias veces mayor que los 6,35 seg calculados.

Para el cierre lento de válvulas. cuando el tiempo de cierre es mayor que 2Llc, Norman R. Gibson ha su-gerido un método de integración aritmética. En caso necesario, puede consultarse el volumen 83 de las <Trans-actions of the American Societv of Civil Ensineers)) de 1919.

En una tubería de 7,5 cm que transporta glicerina a20" C se efectúa el cierre rápido de una válvu-la. El aumento de presión es de 7,0 kg,,cm2. ¿Cuál es el caudal probable en l/seg? Utllizarp : 129 UTM/m3 y En: 44.350 kgicm2'

Solución:

El valor de la celeridad, igual a 1850 m,seg. se ha calculado ya en el Problema 51.

Aumento de presión : pc x variación de la velocidad7,0 x 104 : 1290850)V, de donde V : 0,293 mlseg.

Por tanto, Q : AV : ln(0,075)2 x 0.293 x 103 : 1.29 llseg.

A través de un conducto de ventilación de sección cuadrada de 1,5 m de lado circula aire a unavelocidad de 6,0 mi'seg y 2l' C. Si los dispositivos de control se cierran rápidamente, ¿qué fuerzase ejercerá sobre la superficie de cierre de 1,5 m por 1,5 m?

Solución:

Para aire a 27" C. o:120 UTM'mr v la celeridad

6 : a kgRT : \ 1.419,8)(29.31(2'73 + 27\ : 347,5 m/seg.

Utilizando ahora Lp : pcV, la fuerza

F: Lp x área: (pcV)A:0.120(34'1,5X6)(1,5 x 1,5): 563 kg

56. Un transmisor de sonar opera a 2 impulsos por segundo. Si el dispositivo se mantiene en la super-

ficie libre de agua dulce a 2' C y el eco se recibe en la mitad entre la emisión de dos impulsos, ¿quéprofundidad tiene el agua? (Se sabe que la profundidad es menor de 600 m.)

Solución:

La celeridad de la onda sonora en el agua a 2'' C se calcula mediante

: 1430 m/seg

La distancia recorrida por la onda sonora (hasta llegar al fondo y volver a la superficie) en ] de ] seg, o

sea, en I seg, (la mitad entre dos impulsos) es

2 x profundidad : velocidad x tiempo:1430 x * y .profundidad:179 m (mínimaprofundidad)

Si la profundidad excediera de 179 m, para que el eco se oiga entre dos impulsos (en su punto medio), la

onda sonora habrá viajado 3i2 de 1,2 seg, o sea, 314 seg. Entonces,

profundidad : +(1430) x i: 537 m

Para profundidades mayores de 600 m se obtendría

profundidad : +(1430) x i: 895 m., profundidad : +(1430) x ] : 1253 m, y así sucesivamente

54.

5f,.

\a)

(b)

(c,


57. Un proyectil se mueve a 660 m/seg a través de aire en reposo a 38'C y l,02kglcm2 (ab). Deter-minar (a) el número de Mach, (á) el ángulo de Mach y (c) la resistencia para la forma.B del Dia-grama I1, suponiendo que el diámetro es igual a 20 cm.

Solución:

ta) celeridad , : Ft sRr : Jr,4rr,8)Qnxn3 + 38) : 354 -7r.r.Número de Mach N, : V: $ : t,tu

\54

(b)

(c)

Angulo de Mach d.: arc *t #:

¿.. ,"n1¡64 :32,5'.

Del Diagrama H, forma B, pa:a un número de Mach de 1,86, Co: 0,60.

El peso específico del aire será ru : "+r:;##:

t,1193 kslm3.

Resistencia : CopAV2l2: 0,60(1,119319,8) x In(0,20)2 x (660)212: 468 kg.

58.

59.

El ángulo de Mach, medido en una fotografía del proyectil moviéndose en el aire, fue de 40'. Calcu-lar la velocidad del proyectil, para el aire en las condiciones del problema anterior. (Celeridadc : 354 m/seg.)

Solución:

^cl3S4Sen a: ar: ** Luego sen OO":; y Z:550 m/seg.

¿Qué diámetro debería tener una esfera, de densidad relativa 2,50, para que en caída libre la ve-

locidad límite fuera la velocidad de propagación del sonido? lJtilizar p : 0,1245 UTM/m3.

Solución:

Para la caída libre de un cuerpo, cuando se alcance la velocidad límite, resistencia - peso : 0 y, delDiagrama H, CD: 0,80.

Para el aire a 15" C. c : J-ksRT: IAP,U@3)(2'73 + 15) : 340 m/seg.

Como Peso : resistencia

(2,50 x 100Q(nl3)(dl\3 : 0,80(0,124s)(rcd'zl4)(340)212, d: t,45 m

fl.

61.

62.

63.

g.

65.

66.

67.



Demostrar que el coeficiente de corrección B de la cantidad de movimiento en el Problema74 de| Capítulo 6 es 1,20.

Demostrar que el coeficiente de corrección p de la cantidad de movimiento en el Problema72 del Capítulo 7 es 1,02.

Determinar el coeficiente de corrección p dela cantidad de movimiento para el Problema 79 del Capítulo 6.

So/. (K +7)'z(K + 2)'z

2(2K+1)(2K+2)

Demostrar que el coeficiente de corrección p de la cantidad de movimiento en el Problema 59 del Capítulo 7 es 1,L2.

Un chorro de aceite de 5 cm de diámetro choca contra una placa plana mantenida en posición normal al eje del

chorro. Para una velocidad del chorro de 25 m/seg, calcular lafiterza ejercida sobre la placa por el aceite, de den-

sidad relativa 0,85. Sol. 106 kg

En el Problema ó4, si la placa se mueve en la misma dirección y sentido que el chorro a una velocidad de 9 m/seg,

¿qué fuerza ejercerá el aceite sobre la placa? Si la velocidad de 9 m/seg tiene sentido opuesto al del chorro, ¿qué

valor tendría la fierza anterior? So/. 44 kg, L91 kg

Un chorro de agua de 5 cm de diámetro ejerce una fuerza de 270 kg sobre una placa plana mantenida normal-mente a la trayectoria del chorro. ¿Cuál es el caudal de desagüe del chorro? Sol. 72 llseg

Un chorro de agua con un caudal de 35 l/seg incide sobre una placa plana mantenida normalmente al eje del chorro.Si la fuerza ejercida sobre la placa es de 75 kg, calcular el diámetro del chorro. So/. 4,6 cm

68. Un chorro de agua de 5 cm de diámetro incide sobre un álabe curvo en reposo que desvía el chorro 135'respec-to de su dirección y sentido originales. Despreciando el rozamiento a lo largo del álabe, determinar la fuerza re-

sultante ejercida sobre el álabe si la velocidad del chorro es de 28 m/seg, So/. 290 kg, 0*: -22,5'

Si en el problema precedente el álabe se mueve en la misma dirección y sentido contrario al del chorro de agua,

a una velocidad de 6 m/seg, ¿cuál es la fixrza ejercida sobre el álabe y cuál la potencia requerida para mantener

el movimiento? Sol. 428. 31.6 CV

Un álabe fijo desvía 180" un chorro de agua de 5 cm de diámetro y que se mueve a una velocidad de 35 m/seg. ¿Quéfuerza ejerce el álabe sobre el agua? Sol. 492 kg

Una tubería horizontal de 30 cm de diámetro se contrae a 15 crn de diámetro. Si el caudal es de 130 l/seg de unaceite de densidad relativa 0,88 y la presión en la tubería de diámetro menor es de2,70kglcm2, ¿cuiil es la fue¡-za resultante ejercida sobre la contracción si se desprecia el rozamiento? Sol. 1525 kg

Por un codo reductor vertical (véase Fig. 1l-18) circulan350 l/seg de un aceite, Dr : 0,85, con una presióna la entrada del codo en A de 1,40 kglcm2. El diámetroen ,4 es de 40 cm y en .B de 30 cm y el volumen entre A yB de 0,10 m3. Despreciando el rozamiento, determinarla fuerza sobre el codo.So/. 2220 kg, 0*: -76,2

El modelo de una lancha motora es movido a 450 m/segmediante un chorro de agua de 25 mm de diámetro,expulsado directamente por la popa. La velocidad delchorro con relación al modelo es de 36 m/seg. ¿Cuáles la fuerza motora? Sol. 50 ke

Fig. rr-lE

Una boquilla de 5 cm de diámetro, c,:0,97, descarga un chorro horizontal de aceite, Dr : 0,80, por la pared

lateral de un depósito, bajo una carga de 12 m. ¿Qué fuerza horizontal se ejerce sobre el depósito? So/. 35,5 kg

El globo de un niño, de peso 0,10 kg' está lleno de aire, I : 0,132 urM/m3' El tubo de llenado' de

6 mm de diámetro, se dirige hacia abajo al mismo tiempo que se abre. Si el caudal con que inicialmente se vacía

es de 8 l/seg, ¿qué valor tiene la aceleración instantánea si se desprecia el rozamiento? Sol. 19,5 m/seg2

69.

70.

71.

17

73.

74.

\0cmD

75.

79.

80.


76. Una lancha accionada por un dispositivo de propulsión a choro se mueve hacia aguas arriba en un río con una

velocidad absoluta de 8,ó0 m/seg. La corriente del río es de 2,30 m/seg. El chorro de agua que arroja el disposi-

tivo tiene una velocidad de 18,0 m/seg respecto de la lancha. Si el caudal del chorro es de 1400 l/seg, ¿qué empu-je desarrolla el dispositivo de propulsión? Sol. 1015 kg

77. ¿Qué peso sustentará un ala de avión de 50 m2 con un ángulo de ataque de 4'y una velocidad de 30 m/seg? Uti-lizar C": 0,65 y aire a 15' C. Sol. 1830 kg

7E. ¿rA qué velocidad vuela un avión que pesa 2700 kg si la superficie de sus alas es de 50 m2 y el ángulo de ataque

8"? Utilizar C¡,: 0,90. So/. 31,0 m/seg

¿Qué superflcie de ala debe tener un avión que pesa 900 kg para que pueda aterrizar a una velocidad de 56 km/h?

Utilizar el valor máximo de C" : 1,5¡. Sol. 39,7 m2

Si la resistencia sobre un ala de avión de 30 m2 de superficie es de 310 kg, ¿a qué velocidad debe moverse el per-

fil con un ángulo de ataque de 7"? Utilizar C¡ : 0,05. Sol. 58 m/seg

81. Sobre el plano de úna señal de tráfico de 3,60 m por 0,60 m incide el viento a una velocidad de 46 km/h y con

un ángulo de 8'. Utilizando los valores CL:0,52y Co:0,09, calcular (a)lafuerza ejercida sobre la señal per-

pendicularmente a la dirección del viento y (b) la fuerza ejercida paralelamente a la dirección del viento. Supo-

ner aire normal a 15' C. Sol. 11,5 kg, 2,0 kg

Demostrar que para un ángulo de ataque dado la resistencia sobre un perfil de ala es la misma para cualquier al-

titud. (Para un ángulo de ataque determinado, Co no varia con la altitud.)

Un modelo de ala de avión de 1,00 m de alargamiento (longitud) y 10 cm de cuerda se ensaya en el túnel aero-

dinámico con un ángulo de ataque constante. El aire a presión normal y 27" C circula a 100 km/h. La sustenta-

ción y resistencia medidas son, respectivamente, 2,80 kg y 0,23 kg. Determinar los coeficientes de sustentación

y reslstencra. Sol. 0,605, 0,050

Calcular el número de Mach pa:,a (a) un avión que se mueve a una velocidad de 480 km/h, (á) un cohete que va

a 3840 km/h y (c) un proyectil cuya vglocidad es de 1920 km/h. Los tres se mueven a través de aire normal a 20' C.

Sol. 0,388, 3,106, 1,553

Un motor turborreactor toma por el difusor de entrada 20kglseg de aire cuando se mueve a una velocidad de

2I0 mlseg. Si el empuje desarrollado es de 1220 kg cuando la velocidad de eyección de los gases es de 750 m/seg,

¿cual es el peso del combustible consumido por segundo? Sol. 1,28 kglseg

Por el conducto de entrada de un motor a reacción penetra el aire a la presión atmosféricd y a una velocidad de

150 m/seg. El combustible se quema en el motor arazórt de I parte por 50 partes de aire entrante en peso. EIáteade la sección de entrada es de 1550 cm2 y la densidad del aire 0,126 UTM/m3. Si la velocidad de eyección de losgases es de 1500 m/seg y la presión la atmosférica, ¿qué empuje desarrolla el motor? Sol. 4045 kg

Un automóvil tiene un área proyectada de 3,20 m2 y se mueve a una velocidad de 80 km/h en aire en reposo a

27" C. Si Co : 0,45, ¿qué potencia se consume para vencer la resistencia? Sol. 12,6 CV

Un tren de 150 m de longitud se mueve a través de aire normal a 15' C a una velocidad de 120 km/h. Se consi-deran los 1500 m2 de superficie del tren como si pertenecieran a una placa plana. Para una capa límite turbulen-ta desde el borde de ataque, ¿cuál es la resistencia superficial debida a la fricción? Sol. 187 kg

Un cilindro de 60 cm de diámetro y 4,5 m de longitud se mueve a 50 km,lh a través de agua a 15" C (paralelamen-te a su longitud). ¿Cuál es el coeficiente de resistencia si la resistencia superficial es de 165 kg? Sol. C o : 0,002

Calcular la resistencia superflcial debida al rozamiento sobre una placa plana de 30 cm de anchura y 90 cm de lon-gitud, colocada longitudinalmente (a) en una corriente de agua a 21" C que fluye a una velocidad de 30 cm/seg

y (ó) en una corriente de un fuel-oil pesado a2l" C y una velocidad de 30 cm/seg. Sol. 0.00ó4 kg, 0.0696 kg

91. Un globo de 1,20 m de diámetro, que pesa 1,80 kg, es&i sometido a un empuje hidrostático medio de 2,25 kg.Utilizando p:0,120 UTM/n3 y v: 1,58 x 10-s m2fseg, evaluar la velocidad con que ascenderá.So/. 6,07 m/seg

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.


92. Calcular la velocidad límite a que caerá un grano de granizo de 13 mm de diámetro si la tempetatura del aire esigual a 4,5' C y la densidad relativa del granizo 0,90. So/. 16,5 m/seg

Un objeto que tiene un área proyectada de 0,60 m2 se mueve a una velocidad de 50 km/h. Si el coeficiente deresistencia es de 0,30r calcular la resistencia al moverse a través de agua a 15" C y a través de aire normal a15' C. Sol. 1770 kg, 2,16 kg

Un cuerpo se mueve a través de aire normal a 15" C a una velocidad de 80 km,/tr y para mantener esta veloci-dad se requiere una potencia de 5,5 CV. Si el área proyectada es de 1,20 m2, determinar el coeficiente de resis-tencia. Sol. 0,503

Una placa rectangular lisa de 0,60 m de anchura por 24,0 m de longitud se mueve a una velocidad de 12,0 m/segen la dirección de su longitud a través de una masa de aceite. Calcular la resistencia sobre la placa y el espesorde la capa límite en el borde de salida. ¿Sobre qué longitud de la placa se mañtiene la capa límite laminar? Utili-zar la viscosidad cinemática : 1,49 x 10-s m2/seg y ru : 850 kg/m3 Sol. 471 kg,0,321 m,0,622 m

Suponiendo rígida una tubería de acero de 60 cm, ¿qué aumento de presión tiene lugar.cuando se frena instan-táneamente un flujo de 560 l/seg de aceite, de densidad relativa 0,85 y módulo de elasticidad volumétrico17.500 kglcm2? Sol. 24,4 kglcm2

Si la tubería del Problema 96 tiene 2400 m de longitud, ¿qué tiempo debe durar la operación de cierre de unaválvula para evitar el golpe de ariete? Sol. Más de 3,38 seg

Si una tubería de 60 cm de diámetro y 2400 m de longitud se ha diseñado para una tensión de trabajo de1050 kg/cm2, bajo una presión estática máxima de 325 m de agua, ¿cuál será el aumento de tensión en las pa-redes de la tubería por el cierre instantáneo de una válvula que frena un flujo de 840 l/seg? (En : 21.000 kglcm2.)Sol, 33,90 kglcm2

Calcular el ángulo de Mach para una bala que lleva una velocidad de 510 m/seg a través del aire a 1,033 kglcm2y 15' C. Sol. 41'51'

100. ¿Cuál es el valor de la resistencia de un proyectil (forma A, Diagrama I/) de 100 mm de calibre cuando lleva unavelocidad de 570 m/seg a través del aire a l0' C y 1,033 kglcm2? Sol. 84,3 kg

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

Capitulo 12

Maquinaria hidráulica

MAQUINARIA HIDRAULICA

Se dan aquí unas consideraciones sobre los principios fundamentales en que se basa el diseño de

bombas, soplantes, turbinas y hélices. Las bases esenciales son los principios del impulso-cantidad de

movimiento (Capítulo 11)y del vórtice forzado (Capítulo 4), y las leyes de semejanza (Capítulo 5). Lasmodernas turbinas hidráulicas y bombas centrífugas son máquinas de gran rendimiento con pocas di-ferencias en sus características. Para cada diseño hay una relación definida entre la velocidad de giro N,el gasto o caudal Q, \a altura de carga ^É1, el diámetro D del rodete y la potencia P.

EN EL CASO DE RODETES, el par y la potencia producida vienen definidos por

Par T en mkg : YP (Vrr, cos a2 - Vrr, cos ar)c'y Potencia P en mkg/s"g: + (Vru, cos a, - Vru, cos ar)

El desarrollo y notación se explican en el Problema 1.

RUEDAS HIDRAULICAS, BOMBAS Y SOPLANTES

Estas máquinas tienen un cierto número de constantes que, comúnmente, se determinan. En el

Problema 5 se dan detalles.

l. El factor de uelocidad @ se define como

, velocidad periférica del rodete u .^,A_LY - \:2;H ,/2sH

donde u: radio del rodete en m x velocidad angular en radianes/seg : r@ m/seg.

Este factor se exDresa también de la forma

, diámetro en cm x rpm DrNo:W:ñ s)

2a. La relación de uelocidad puede expresarse así

diámetro D en m x velocidacl{lUpa: consrante ci ea)@

También ,:o':' Qb)Li

en donde g se engloba en el coeficiente C*

(t)

(2\

225

226 MAQUINARIA HIDRAULICA [cAP. 12

2b. La uelocidad unitaria se define como la velocidad de un rodete geométricamente semejante(homólogo) que tiene un diámetro de I cm, operando bajo una altura de 1 m. Esta velocidadunida (N, en rpm) se expresa normalmente en función de D, en cm y N en rpm. Así, pues,

r¡ Denl\u : --

También N : l{,1

3a. La relación de caudal puede expresarse de

caudal Q en m3/seg

También

(diámetro D en m)'.,,Gltura a en m: constante Ce

Q : caD'zyfH : coD'P:t : cbD3 NL¡

DtN- J-"

forma

(6a)

(6b)

(7a)

(7b)

JEDL

la

El coeficiente C9 puede expresarse también tomando como unidad de caudal l/min.Al tomar estos coeficientes de textos o manuales, las unidades deberán comprobarse parano incurrir en errores.

Si Cn es igual para dos unidades homólogas, entonces C*, C, y el rendimiento serán losmismos, salvo en el caso de fluidos muy viscosos.

3b. El caudal unitario se define como el caudal de un rodete homólogo de 1 cm de diámetro, ope-rando bajo una altura de 1 m. El caudal unitario Q,enm3fseg se escribe de la forma

caudal Q en m3/segQ.:(diámetro D en cm)2.f altura Ilenm

También Q: Q,D\",[H

4a. La relación de potencia, obtenida al emplear los valores de Q y(54) es

aD?.,8

(8a)

(8b)

11 en las ecuaciones (7á) y

Potencia en CV P : #rambién ,:w(clT3\),

75e

'#: CipDsN3

cPD2 H3l2 (ea)

(:eb)

u0)

UIa)

(1 rb)

4b. La potencia unitaria se define como la potencia desarrollada por un rodete homólogo de 1 cmde diámetro, operando bajo una altura de 1 m. La potencia unitaria P, es

VELOCIDAD ESPECIFICA

La velocidad específica $e define como la velocidad de un rodete con un diámetro tal que desarro-lla 1 caballo de vapor de potencia para una altura de 1 m (véase Problema 5). La velocidad específica N"puede expresarse de las dos siguientes formas:

1. Para turbinas:

P":Dú",, y P:P,D?H3:2

*, : lJF ' que representa la ecuación general.

J p@H)'rc

también Nr: N,:/P,: # de corriente aplicación en turbinas de agua.

cAP. 121 MAQUTNARTA HTDRAULTCA

2. Para bombas y soplantes:

N" : !Q-, representa la ecuación general."s - g¡¡¡tt+ '"

TambiénN"ñNs: N,JQ,: ffi de corriente aplicación.

227

(12a\

(12b)

(15 )

(r6)

(17 )

(18)

Pueden ex-

RENDIMIENTO

El rendimiento se expresa como una relación adimensional. Varía con la velocidad y el caudal.

(r 3)Para turbinas, rendimiento total e : potencia en el eje

rendimiento hidráulico e, :

potencia suministrada por el agua

potencia utilizadapotencia suministrada por el agua

Para bombas, rendimiento e : potencia a la salida WQH (r4)potencia a la entrada potencia a la entrada

CAVITACION

La cavitación causa la destrucción rápida del metal constituyente de los rodetes de las bombas yturbinas, de los álabes, de los venturímetros y, en ocasiones, de las tuberías. Esto sucede cuando la pre-sión del líquido se hace menor que su tensión de vapor. Se remite al lector a obras tales como EngineeringHydraulics, Actas de la Cuarta Conferencia de Hidráulica,para una ampliación de este tema concreto.

PROPULSION POR HELICES

La propulsión por hélices ha sido durante mucho tiempo la potencia motriz de aviones y barcos.Por otra parte, las hélices se han empleado como ventiladores y como medios para producir potenciaa partir del viento. El diseño de hélices no se aborda aquí, pero se dan las importantes expresiones enmecánica de fluidos del empuje y potencia. Tales expresiones, desarrolladas en el Problema 23, son:

u¡OEmpuie F:-z\Vrnuto ""ó

Potencia a la salida Po :

Vrn.rur) en kg

ff {,rt^^, - Vrni"¡ur) Vrn.ro, en kg/seg

Potencia a la entrada P. : *Q ¡V?'^ '

V|t,,ur,

-)'q

ó

potencia a la salida

2

Rendimiento e :potencia a la entrada

2Vrn "¡.,

vtinut I vrn "in

LOS COEFICIENTES DE LA HELICE se refieren al empuje, al par y a la potencia.

presarse de la forma siguiente:

Valores altos de C,

coeficiente de par C, Par T en m kg" : ----ÑT r-

CoeÁciente de empuje ".

: gT#PEproducen una buena propulsión,

(re)

(20)

Valores altos de C" son normales en turbinas y molinos de viento.

228 MAQUINARIA

Coeficiente de potencia C"

HIDRAULICA

potencia P

[cAP. 12

(21)en kg m/seg

pN

Este último coeficiente tiene la misma forma que

Estos tres coeficientes son adimensionales si N se expresa en

Problemas resueltos

1. Determinar el par y la potencia desarro-llados por un rodete (tal como el de unabomba o turbina) en condiciones de flujopermanente.

Solución:

La Fig. 12-1 representa un rodete formadopor canales curvos por los que el agua entrapor el lado de radio r, y sale por el lado de radiorr. Las velocidades relativas del agua con respec-to a un álabe se representan por u, entrando por (1 )y por u2 saliendo por (2). La velocidad lineal delálabe es u, en (l) y u2 en (2). Los diagramas vec-toriales indican las velocidades absolutas delagua (V, y Vt).

Para la masa elemental de agua que pasa endl segundos, la variación del momento de la can-tidad de movimiento se origina por el momentocinético ejercido por el rodete. Es decir,momento de la cantidad de movimiento inicial + momento cinético : momento de la cantidad de movimiento final

D

en la ecuación (9á) anterior.

revoluciones por segundo.

Fig. l2-r

(d.M)Vt Xrrcosa, * par xdt = (dM)V, Xrzcosa,

Pero dM: (wlg)Qdl. Sustituyendo y despejando el par ejercido sobre el agua, obtenemos

par T - ?qlvrrrcosc2 - 7¡lrcoSa,)g

Por consiguiente, el par ejercido por el fluido sobre el rodete es

7 = lglv rrr cos dl - Vzl'z cos ar) en kg ms

La potencia es igual al par por la velocidad angular. Luego

P = Ta = !!!g1V,rr cos.ar - Vzrzcos a2)og

Puesto que ur : r{D Y uz : rra, la expresión se transforma en

p = !!g1V,'rLLcosdL - Vzuzcosaz) en kg m/seg (r)

Las expresiones desarrolladas aquí son aplicables tanto a las bombas como a las turbinas. El punto impor-tante es que, en el desarrollo, el punto (1) estaba aguas arriba y el (2), aguas abajo.

cAP. 121 MAQUINARIA HIDRAULICA 229

2. Establecer la ecuación de Bernoulli para un rodete de turbina.

Solución:Escribiendo la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) en la figura del Problema 1, obtenemos

(9+Pz+ ",\\29w'/-tZ01D/

Del diagrama vectorial del Problema 1

Vi = ul, + oi * 2ututcos B,

y V3 = uf, * o?" r l¿rtr2cos P,

Por otra parte, haciendo Z1 cos üt: ety V, cos ü2 = d2t podemos calcular a partir del diagrama vectorial

at = xLt * trl cos Ér y az : üz I uzcos P"

Además, I/tm kg,/kg = !!9{Vrurcosar - Vzüzcasa") : utQ

L: j(urVrcosdr - uzVzcosar) (f)

Los términos de altura de velocidad y altura de carga de la turbina en la ecuación de Bernoulli anterior serían

entonces

u?, + ui I 2uror cos B, 2(ura, - u"ar) u1, + ts| I 2uru, cos p,

29'29'29

Simplificando e incorporando estos términos en la ecuación de Bernoulli, se obtiene

(h- #*# * ",¡ + !z* - u, = (fi *ff* ""¡

en donde las velocidades D son valores relativos y el término en el segundo paréntesis se designa como altura de

carga creada por el vórtice forzado o altura de carga centrífuga.

3. Una turbina gira a 100 rpm y desagua0,810 m3/seg. La altura de presión a lasalida es 0,30 m y el rendimiento hi-dráulico en estas condiciones es del78,5%. Los datos fisicos Sonr 11 :0,45 m, rz:0,2I fll, d1 : 15", fz:135", Ar: 0,115 rr¡'2, Az: 0,075 m2,zt : zz. Suponiendo una pérdida decarga de 1,20 m, determinar (a) la po-tencia dada a la turbina, (b\ la altura decarga total disponible y la altura de cargautilizada y (c) la presión a la entrada.

Solución:(o) Antes de sustituir en la ecuación de po-

tencia fecuación (1) del Problema 1] de-ben hacerse cálculos preliminares.

(2)


h: QIAL: 0,810/0,115 : 7,043 mlses, Vz: 0,81010,075 : 10,800 m/seg.Vtcosat : 7,043 x 0,966 : 6,804 m/seg.ut: 0,45(2n)(100/60) : 4,712 mlseg, u2: 0,21(2n\(100/60) : 2,199 mlser.

Del diagrama vectorial de la Fig. l2-2, donde l: arc sen 1,555/10,800: 8'17', obtenemos

az: 135" - y : 126"43' y Vrcosur: 10,800(-0,598): -6,458 m/seg

1000 x 0-810 -Luego potencia P :---::----::-16,804(4,712) - 2,199(-6,458)l : 50,98 CV.i) x y,ó

(b\ Rendimiento : potencia de salida _ altura de carga utrlizadapotencia de entrada altura de carga disponible

Pero carga utilizada :

Por consiguiente,

caballos de vapor utilizados x 75

: 4,72010,785 : 6,013 m

A fin de aplicar la ecuación (2) del problema anterior, debemos calcular las dos velocidades relativas. Re-firiéndose otra vez al diasrama vectorial anterior. obtenemos

X :7,043 cos 15' :7,043(0,966) : 6,804 m/seg [como en (c)]y : 7,043 sen 15" : 7,043(0,259) : 1,824 mlsegx : (X - u) :6,804 - 4,712 : 2,092 mlseg

,,: J1t,tz+f + B,oe2Y : ,nJB :2,7i5 mlses

De manera análoga,

uz: Vz cos 1, + u.rcos45" : 10,800(0,990) + 2,199(0,707): 12,247 ^,t"t

50.98 x 75t' : tooo t o¡t : 4'720 m

wQ

carga disponible

(.)

La ecuación de Bernoulli da

r(2.775)2 , p, , n-, J4.712)z - (2,199f 1: _ T vt _ t_l _

'2Sw29

de donde ptlw :9,646 m.

t,2oo : rv#+ o,3oo + ol

4. Determinar el valor de la altura de carga desarrollada por el rodete de una bomba.

(a)

Fig.12-3

(b)

az co9 Fz

CAP. 12] MAQUINARIA HIDRAULICA 231

Solución:

La expresión (1)del Problema 1, aplicada en la dirección del flujo en una bomba (donde rr es el radio inte-rior, etc.), da

potencia de entrada - ?9ervrcos a2 - ¿¿r Vr coS ar)

y la cargacomunicada por el rodete se obtiene d"ividien¿o por uQ, luego

carga H' = ! prrVrcos 0¿ - ?.{.r I/r coS a,)

En muchas bombas el flujo en el punto (l) pue¿e suponerse radial y el valor del término urVrcosdl es cero.

Entonces la ecuación anterior se transforma en

carga H' - L lurll: cos ar) (l)v

En la Fig. 12-3(a)y (á) se ve que V2 cos a, puede expresarse en función de ury ur, es decir,

V: CoS a, = lLz I ?r CoS Éz

en donde hay que tener en cuenta el signo de cos fr. Entonces,

carga H, : !2 6, * ,uz cos pr) (p)

Por otra parte, de los triángulos vectoriales,

Vi = u3 + ai - Zuzt¡zcos (180'- pr)

que podemos escribir de la forma

La ecuación (2) se transforma en 'It2'Üzcos B' = !(vi-u"- o3)

carsaH'= #.#-*La carga desarrollada por la bomba será menor que el valor dado por esta expresión ya que existen pérdidas

en el rodete y pérdidas a la salida. Luego

Carga desarrollada H = ffi-#- H - pérdida en el rodete - pérdida en la salida

,u', , V' "2 ^'2 ViH = (ú*rr-fl-K,fr-K"2s-

5. Calcular para bombas y turbinas (a) el factor de velocidad $, (b)la velocidad unitaria N,, (c) el cau-

dal unitario Q", @) la potencia unitaria P, y (e) la velocidad específica.

Solución:(a) Pordefinición, ó:++. Pero '¿L = 16 = r'ou| = # = -#r#, dondeD, eseldiámetroencm

t/ZsHy N la velocidad en revoluciones por minuto. Finalmente,

g : rD'N .. I D'N -(l¿)6000^lrrH=s.a,6o\[H

(b) Si Dr : I cm y H : I m, obtenemos de la ecuación (1a) anterior la velocidad unitaria N,. Así, pues,

N" = 8.460,a (lb)

que es constante para todas las ruedas de diseño semejante si f se refiere a la velocidad óptima. También,de la (1a) anterior.

N. = ry en rpm (2)

\/HAsí, pues, para rodetes homólogos, la velocidad óptima N varía inversamente al diámetro y directa-

mente a la raiz cuadrada de H.


Para la turbina tangencial, el caudal Q puede expresarse como

e: c,e,/2gn :,n:k ran:'ffi,f,rol¡,: (factor) D?"8 : Q,D1" H (J)

Para Dt: 1 cm y H : I m, el lactor se define como caudal unitario Q,.Para turbinas de reacción y bombas, el caudal Q puede expresarse como el producto de

(c)(,4)(componente de velocidad)

La componente de velocidad depende d,ela raiz cuadrada de H y el seno del ángulo a, (véase Fig. 12-1 delProblema 1). Por consiguiente, el caudal Q puede escribirse en la forma de la ecuación (3) anterior.

Aplicando la expresión (3) anterior,

PotenciaP = Y9! = *@"D"\E)H'15 '75

Para D, : I cm y H : I m, la potencia -- wQ,l75 : (factor). Cuando el rendimiento se incluye enla potencia de salida para turbinas y la potencia del agua para bombas, el factor se transforma en la poten-cia unitaria P,. Luego,

potencrap = p"D1H3/2 (4)

En la ecuación (r') podemos sustituir D, por su valor dado en la expresión (2) anterior, obteniendo

potencia P -- P,ffn"

También P,,N:,=H o N.t/P"=# (5)

El término N,JP, se llama velocidad específica Nr.La expresión (5) se convierte entonces en

Ns = # (para turbinas) (6)

Si P se sustituye por Q, eliminando D, en las ecuaciones (2) V @, obtenemos

^rz t-t QN'¿t ü yr

H3/2

, "" = # (para bombas \ (z)

donde esta velocidad específica indica la velocidad a la que circularía 1 m3/seg bajo 1 m de carga.

Estas son las expresiones comunes para bombas y ruedas de agua. Para rodetes homólogos en los quepueden emplearse diferentes fluidos, véanse las expresiones (9b), (IIa)y (I2a) al comienzo de este capítulo.

6. Una turbina tangencial desarrolla 7300 CV a 200 rpm bajo una carga de 240 m con un rendimientodeI82fl. (a) Si el factor de velocidad es 0,46, calcular el diámetro de la rueda, el caudal, la veloci-dad unitaria, el caudal unitario y la velocidad específica. (b)Paru esta turbina, ¿cuál será la veloci-dad, la potencia y el caudal bajo una carga de 161 m? (c) Para una turbina que tenga el mismo diseño,¿cuál deberá ser el diámetro de la rueda para desarrollar 3850 CV bajo una carga de 180 m y cuálserá su velocidad y caudal? Suponer que el rendimiento no varía.Solución:

Teniendo en cuenta las fórmulas del Problema 5, se procede como sigue:

(ar puesro que ó: D'*=.

Dt:8460!t240 x 0'46:301,44

cm8460JH 200

De caballos de vapor a la salida :ry n: --J!P-:JL:2,782 m3/seg.

\c)

(d)

\e)

\ cAP. 121 MAQUINARIA HIDRAULICA

ND, 200 z 301.4N,: --= 3891 rpmJ H J240

p..: .P ,,- : - 73oo : : o.oooo216 cV- u Dl¡1ttz (301.4)2(240)3t2 """""-' " - '

o" - -9 - - 2'18? : o,oooooteTT m3/seg.

DíJ H (30t.4)"240

*- - *J' -2ooJnoo: 18.09 rpm1\s: Hw @úlr

(b) verocidad * : *'{: 38?1/y : 163,8 rpm.D1 301,4

Potencia P : P,D?H3t2 : 0,0000216(301,4F(161)3/2 : 4010 CV.

caudal e : Q,D?.,[H: 0,000001977(3}r,q'z\Fot : 2,279 m3/seg

Los tres valores anteriores han podido obtenerse observando que, para la misma turbina (D, invaria-ble), la velocidad varía como Hrt2,la potencia como H3t2 y Q como Hrt2. Por consiguiente,

.f¡¡ 16r-- ./l6tN: 200V; : 163.8 rpm. p :7300(;40)3/2 : 4010 cV, Q:L782\* : 2.27e m3lses

(c) De P : P,D?H3|2 obtenemos

3850 : 0,0000216(D1)'{189¡'r', de donde D1:73.807 ! Dt : 271,7 cm

N...,8 389r./4¡oN : --:]- : --;;; _ : 192 rpm

Dr zt r.l

e: e,D|,F: 0,000001977(73807)/rso : 1,es8 m3/seg.

7. Una turbina desarrolla l44Cy girando a 100 rpm bajo una carga de 8,0 m. (¿)¿Qué potencia des-arrollaría bajo una carga de 11,0 m, suponiendo el mismo caudal? (ó) ¿A qué velocidad giraría laturbina?Solución:

(a\ Potencia desarrollada : wQHefiS, de donde wQe[|5: CYIH:14418.Para el mismo caudal (y rendimiento), bajo la carga de 11 m, obtenemos

wQell5 : 14418 : CVlll o CV : 198

(b) N, : * : t09-g: 8e,re rpm

: :,';," j;l;;,,,,,:Luego N: -: -

:l2]rpmJ P J1e8

8. Una rueda de impulsión a la velocidad óptima produce I25 CV bajo una carga de 64 m. (a) ¿Enqué tanto por ciento se incrementariala velocidad para una carga de 88 m? (á) Suponiendo rendi-mientos iguales, ¿qué potencia resultaría?

Solución:(a) Parala misma rueda, la velocidad es proporcional ala ran cuadrada de la altura de carga. Entonces,

NllJn: N,lJH, o N, : NrJHf,Hr: N,J8V64: t,t726Nl

La velocidad se incrementaría en un 17,26%.

234 MAeUTNARTA HTDRAULTCA fcAp. 12

(b\ Para obtener la nueva potencia producida podemos aplicar la relación de velocidad específica.

u fp N,,/1L N,,/p,De N,: ffi ,.n.'." i6iÉ:iñ#,, de donde

P, : lt.rku,?:stfrr.l': 20r.54 cv

El mismo valor puede obtenerse observando que, para la misma rueda, la potencia varía como¡1ztz, datdo P2: 125(88164¡zrz - 201,54 Cv.

9. Hallar el diámetro aproximado y la velocidad angular de una rueda Pelton con un rendimientodel 85 \y una carga efectiva de 67 m, cuando el caudal es de 0,027 m3/seg. Suponer los valoresde$:0,46y c:0,975.Solución:

Para una rueda de impulsión la expresión general de la potencia es

p:*q-!, -1000kAJ2sHtHe ::y*-¿)¡1,,, - 0,00384d2H3t2 (1)75 75 75x4x10.000donded:diámetrodeboquillaencentímetrosylosvaloresdecy¿son0,975y0,85,respectivamente.

porencia :ry- 1000 x 0'027 x 66 x 0'85:20,5 cv75 75

Sustituyendo este valor en la expresión (1)anterior obtenemos d:3,12 cm. (Este mismo valor del diámetro dpuede calcularse también aplicando la ecuación q : c,efzg H del Capítulo 9.)

Ahora se establecerá la relación de diámetro de la boquilla a diámetro de la rueda. Esta relación resultaráde dividir la velocidad específica por [a velocidad unrtarra, o sea,

N" _ N/F ND, ,IFxt/nN" H3/1 \/ H - D,H"'n

Sustituyendo el valor de P de la ecuación (,/) anterror,

N" Joñn4FWlnN, DtH

:0.062!'DrComo N, : 84600 (véase Problema 5), se tiene

Ns : (8460 x 0,+6)(0,062!) :24t,28! Q)Dt DrSe precisa suponer un valor de N" en (2). Empleando N, : 10, tenemos

to:NJF _NJnsHst+ $7¡sr+

N:423 rpm

La velocidad de una rueda de impulsión debe sincronizarse con la velocidad del generador. Para un gene-rador de 50 ciclos con 8 pares de polos, la velocidad N:60001Q x8):375 rpm; y con 7 pares,N : 60001Q x 7) : 429 rpm. Empleando, por ejemplo, el generador de 7 pares de polos, el cálculo da

*,:Pfi: ro.r3316 | l't-

De la ecuación (2) anterior, D, : 24l,28dlNs: 241,28(3,12)110,133 :74,29 cm.Para el generádor de 7 pares de polos, N : 429 rpm.

10. Las turbinas de reacción en la instalación de la presa del Hoover tienen una capacidad estimadade 116.600 CV a 180 rpm bajo una carga de 148 m. El diámetro de cada turbina es 3,35 m y el cau-dal es 66,5 m3/seg. Calcular el factor de velocidad, la velocidad unitaria, el caudal unitario, la po-tencia unitaria y la velocidad específica.Solución:

Aplicando las ecuaciones @) a (lI) del principio de este Capítulo, obtenemos los valores siguientes:

cAP. 121 MAQUINARIA HIDRAULICA

DrN (3,35 x 100)1800: : 0,586846oJH 8460t848

235

N, : Dj!JH

(3,35 x 100)180 :4957 rpmJM8

ÁÁ5Q": ^Q =:DíJH

: 0,0000487 m3/seg@r'z!448

1 16.600P, : fW: (335t(14óiz

: o'ooo577 cv

Ns: N"Jh: 119,1

11. Una rueda de impulsión gira a 400 rpm bajo una carga efectiva de 60 m y desarrolla 90 CV al freno.Para valores de { : 0,46, c, : 0,97 y rendimiento e : 83 f, determinar (a) el diámetro delchorro, (á) el caudal en m3/seg, (c) el diámetro de la rueda y (d)laalttna de presión en la base dela boquilla de 20 cm de diámetro.

Solución:(a) La velocidad del chorro "t u : ,,JÑ : 0,g7J19,6 " 60 : 33,264 mlseg.

Antes debe determinarse el caudal para poder calcular el diámetro del chorro.

Potencia en cv desarrollada : wQHel75, 90 : 10000(60X0,83)/75 y e :0,137 m3/seg.

Entonces, área del chorro : Qlu : 0,00407 m2 y diámetro del chorro : 0,072 m : 7,20 cm.

(b) Resuelto en (a).

, D,N(c.l

8460JHo,qa: Dt(40\

Y8460J60

(d) Carga efectiva h : (plw + V2l2g), donde p y I/ son valores medios de la presión y la velocidad medidasen la base de la boquilla. El valor de Vro -- QlAro : 4,314 mlseg.

Lrcso L:',-?:60 - ryr: 5e,05 m

12. Una rueda Pelton desarrolla 6000 CV al freno bajo una carga neta de I20 m a una velocidad de200 rpm. Suponiendo cu : 0,98, ó : 0,46, rendimiento : S8 % y la relación diámetro del chorro-diámetro de la rueda igual a 1/9, determinat (a) el caudal requerido, (á) el diámetro de la rueda,(c) el diámetro y el número de chorros requeridos y (d) la velocidad específica.

Solución:

(a) Potencia en CV del agua : weH175,6000f0,88 : l000el2)lj5 Y Q:4,261 m3lseg

(b) Velocidad del chorro , : ,"Jzgi -- 0,9}rf\6@0) : 47,527 mlseg.

Velocidad periférica u: ó\Eü : 0,46Jtg5(W : 22,309 mlsec.

Luego u: ra : nDNl60, 22,309 : nD(200160) y D :2,13 m.

(c) Puesto que dlD : U9, d: 2,1319 : 0,237 m de diámetro.

oNúmero de chorros : caudal Q 4,261

Dt :75,36 cm

caudal por chorro AchD"¡ +TE(0,ni)2@7,527):2,03. Se emplean 2 chorros.

(d) La velocidad específica para las dos boquillas es ¡/s : #:'f@',,.,*: 39,0.

236 MAQUINARIA HIDRAULICA [cAP- 12

13. En la planta de Pickwick de TVA las turbinas de hélice tienen una potencia de 48.000 CV a 81,8 rpmbajo una carga de 13 m. El diámetro de desagüe es742,4 cm. Para una turbina geométricamentesemejatrte que desarrolle 36.000 CV bajo una carga de 11 m, ¿cuáles serán la velocidad y el diá-metro? ¿Cuál será el porcentaje de variación del caudal?

Solución:La velocidad específica de turbinas geométricamente semejantes puede expresarse de la forma

N":w tu"ro sffi:ry"t# v N :76,6 rpm

El mismo resultado puede obtenerse calculando N,, luego P, V N". Estos valores se aplican a la turbina quese va a diseñar. Así, pues,

D,N 742.4(8r.8\¡¡,: -:- : ----+- : 16.843

JH Jr3o: P : 48.000- u DlHtrz O4rAF¡¡V:

o'oo186

N": N"JP,: l6.843v6.ools6 : 726.4

y N : \+ -'726,4(lDst4 : 76.6 rpm. como antes

J P J3ó.000

Para el cálculo del diámetro de la nueva turbina, aplicando N,:D4, Dr:y,'fH :rc3BJt :729 cm.Jn N 76,6

Para hallar el porcentaje de variación del caudal Q, la relación de caudal para Pickwick y las nuevas tur-binas es

O a Q"r"* Qnu."'ntreva

D2Jftt2: rrcKwrcK D2tHLtz' n42AFlrf,t

y nuevo Q:0,887Qyt"¡ o aproximadamente un ll/" de reducción de Q.

14. Un modelo de turbina de37,5 cm desarrolla 12CY a una velocidad de 1500 rpm bajo una cargade 7,5 m. Una turbina geométricamente semejante de 187,5 cm de diámetro frabaja con el mismorendimiento bajo una carga de 14,7 m. ¿Qué velocidad y potencia se alcanzarán?

Solución:De la expresión (5a) del principio de este capítulo,

NDC;{ :

JgH: constante para turbinas homólogas

Por consiguiente, mo¿elop : prototipo{, 1500 x 37'5 : ry y N :420 rpm.

"G-n ' --' ,/cn G " 7,s Js " w

De la expresi ón (9a), C, : D+zD: constante. Por tanto,

PPI2modelo ofittz

: prototipo¡+w' Ajjf7,fD : P :823,2 CY

(r87,r2Q4,7)3t2

15. Una turbina de reacción, de 50 cm de diámetro, cuando gira a 600 rpm, desarrolla 26I CV al freno,siendo el caudal de 0,710 m3/seg. La altura de presión a la entrada de la turbina es de 27,50 myla elevación de la carcasa de la turbina sobre el nivel de aguas abajo es de 1,88 m. El agua entraen la turbina con una velocidad de 3,60 m/seg. Calcular (a)lacarga efectiva, (ó) el rendimiento,(c)la velocidad resultante bajo una carga de67,50 m y (d)la potencia al freno y el caudal bajo lacarga de 67,50 m.

Solución:

(a) Carga efectiva n : ! *E * z : 27.50,_ry+ 1.88 : 30.0 m

cAP. l2l MAQUINARIA HIDRAULICA

(á) Potencia suministrada por el agua : wQHl75 :

237

N: 900 rpm.(c)

Rendimiento :

(d) Para la misma

P

potencia en el eje 261

potenciasuministrada 284

261

para ra misma turbina, la relación fr* consrante. Lueco

ffi : tfft

turbina, las relaciones -: * y -2 -son también constantes. Luego

D2rHztz _

D?JH

1000(0,710x30,0)l7s : 284 cy.

:9r,9%.

o6oYJ67,so (soF\ñ

P: 881 CV y0,710

Q : 1,065 m3/seg.(50)2 (67 ,50)3t2 (50)2(30)3/2

16. Un rodete de una bomba de 30 cm de diámetro desagua 0,142 m3lseg cuando gira a 1200 rpm.El ángulo p, del álabe es 160' y el área de salida A, es 0,023 m2. Suponiendo unas pérdidasde 2,8(ull2g) v 0,38(Vll2g), calcular el rendimiento de la bomba (el área de salida se mide nor-mal a ur).

Solución:

Las velocidades absoluta y relativa a la salida deben calcularse en primer lugar. Las velocidades u2 y t)2 son

u2 : 12@ : Q5ll00)(2n x 1200160): 18,850 m/seg, ur : QlAr : 0,14210,023 : 6,174 mfeg

Fig. r2-4

Del diagrama vectorial representado en Ia Fig. l2-4, el valor de la velocidad absoluta a la salida esVz : 13,218 m/seg. Del Problema 4,

carga suministrada por Ia bomba, H':! - ! * 4 - lts'!so)' -(6'17q2 +03'21q2: 25,1 m29 2g'2s- 29 29 29

Carga cedida al asta, H: H' - pérdidas :25.r - (23ffy!* o.¡s(13:218)'): 16,3 m.zg zgRendimiento e : HIH' : 16,3125,1 : 64,9%.El valor de ,F/' puede calcularse también mediante la expresión comúnmente usada

H' : 2(r, * u, cos ú" I 18'850

s _ g Lla.850+6.174(-0.940)l:25.1 m

17. Una bomba centrífuga proporciona un caudal de 1000 l/min contra una carga de 15 m cuandola velocidad es de 1500 rpm. El diámetro del rodete impulsor es de 30 cm y la potencia al frenode 6 CV. Una bomba geométricamente semejante de 35 cm de diámetro gira arazón de 1750 rpm.Suponiendo que los rendimientos son iguales, (a) ¿qué carga desarrollará? (á) ¿Cuánta agua bom-beará y (c) ¿qué potencia al freno desarrollará?

Solución:

(a) Las relaciones de velocidad. DN,

para el modero y prototipo son iguales. Luego

IH30 x 1500

Jts

Vz = 13,218

35 x 1750f

/ÍfH : 27,789 m


(b) Las relaciones de caudal -+son iguales. LuegoD'JH1000 o

(3orvfi 6y'r,Eiw

Otra relación de caudal muy emplead u ", fi

o 1000

(3 s)' ( I ? 5o)- (3oF ( | 5oo )

P(c) La relación de potencia. D*" : constante. puede

P6(3 s )s ( I 750 )3

: (30fu 5oo f-

y Q:1852,6 l/min

: constante, de la cual

y Q: 1852,6 l/min

aplicarse para el modelo y el prototipo. Luego

y P: 20,593 CV

18. Una bomba de 15 cm de diámetro suministra 5200 l/min contra una altura de carga de22,5 m cuan-

do gira a 1750 rpm. En la Fig. 12-5 se representan las curvas altura de carga-caudal y rendimiento-caudal. Para una bomba de 20 cm geométricamente semejante girando a 1450 rpm y suministran-do 7200 l/min, determinar (a) la altura de carga probable desarrollada por la bomba de 20 cm.(á) Suponiendo una curva de rendimiento semejante para la bomba de 20 cm, ¿qué potencia será

requerida para tener el caudal de 7200 l/min?

20m 4000 ó000 8000

gpm

Fig. 12-5

Solución:

(a) Las bombas homólogas tendrán idénticas características a caudales correspondientes. Se eligen varios cau-

dales para la bomba de 15 cm y se leen las correspondientes alturas de carga. Se calculan los valores de fIy Q de manera que pueda representarse una curva para la bomba de 20 cm. Uno de tales cálculos se detalla

a continuación y se establece una tabla de valores para cálculos semejantes.

E

0,

o¡

€zo

l) 60^

o

¿oEq)

20


Empleando el caudal dado de 5200 l/min y los 22,5 de carga, obtenemos de la relación de velocidad,

H2s: (D2slDrr)r(NrolNrr)2Htr: QOl15)2045011750)2H1s:1,221H1s:1,221(22,5):27,5 m

De la relación de caud,' Otl, DiN

: constante. obtenemos

Qro: (DrolD,r).(NrolN,.)Qn : Q0lrr3Í45011750)Qts : t,964Qts : 1,964(5200) : 10.213 UminSe han obtenido los siguientes valores adicionales que han servido para representar la curva a trazos

de la Figura 12-5.

Bomba de 15 cm a l7f) rpm

Q enllmin 11 en m Rendimiento0 31,0 4

2000 29,s s4 %3200 28,0 64%4000 26,0 68 %5200 22,5 70%6400 17,0 67 %

Bomba de 20 crn a 1450 rpm

Q en llmin 11 en m Rendimiento0 37,8 0

3928 36,0 s4%6285 34,2 64%7856 31,7 68 %10213 27,s 70%r2s70 20,7 67 %

De la curva altura de carga-caudal, para Q : 7200 l/min la altura de carga es 32,5 m.

(b) El rendimiento de la bomba de 20 cm sería probablemente algo mayor que el de la bomba de 15 cm pararelaciones comparables de caudal. En este caso, la hipótesis es que las curvas de rendimiento son las mismaspara relac'iones de caudal comparables. La tabla anterior da los valores para los caudales indicados. Lafigura representa Ia curva de rendimiento para la bomba de 20 cm y, para los 7200 l/min, el valor del ren-dimiento es de 67 \. Luego

P: UQH 1000[7200/(60 x 1000)](32,s)77,6 CV

7 5e 7 5(0,67)

19. Hay que suministrar 1225 llmin contra una carga de 126 m a 3600 rpm. Suponiendo un rendimien-to aceptable de la bomba a velocidades específicas del rodete impulsor comprendidas entre 6000 y19.000 rpm cuando el caudal Q se expresa en l/min, ¿cuántas etapas de bombeo se necesitarán?Solución:

Para I etapa,

Si se toman 3 etapas, entonces la cargafetapa : 12613 : 42 m y ^¡s

: *9W : 7640.

Comparemos este valor con el valor para 4 etapas, para el cual 11 - 12614: 31,5 m, o sea, con

,ry 3600^ n22ss (3É3r- : 9480

Esta última velocidad específica parece atractiva. Sin embargo, en la práctica, el costo adicional de la bombade 4 etapas puede tener más importancia que el aumento del rendimiento de la unidad. Deberá realizarse un es-tudio económico de los costes.

20. A fin de predecir el comportamiento de una pequeña bomba de aceite, se realizan ensayos sobreun modelo que emplea aire. La bomba de aceite va a ser arrastrada por un motor de Il20 CY a1800 rpm y para la bomba de aire se dispone de un motor de ll4 CV que gira a 600 rpm. Emplean-do como densidad relativa del aceite 0,912 y como densidad del aire (constante) 1,221 kg masa/m3,¿cuál será la dimensión del modelo?

Solución:

Aplicando la relación de potencia, obtenemos

rl20

.. N,tQ 3600./1225^/-: '*

Htt+ (126f t4

prototipo #*: modero #*Luego

El modelo será 10

0,e12(r000)D;(1800f114

- 1,227D160q3D_v "': 10'De

veces mayor que la bomba de aceite.


21. Una bomba, girando a 1750 rpm, tiene una curva altura de carga-caudal como la representada

en la Fig. 12-6. La bomba impulsa agtra a través de una tubería de 15 cm de diámetro y 450 m de

largo, con f : 0,025. La carga estática es 10,0 m y las pérdidas menores pueden despreciarse.

Calcular el caudal y la altura de carga de la bomba en estas condiciones.

25

E

6zo€a¡6e15€¡E6Eto

f

Solución:

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,&0 0,045

mt/seg

Fig. r2.6

La pérdida de carga a través de la tubería aumenta con el caudal. Puede dibujarse una curva que represen-

te la altura de carga total de bombeo en función del caudal (curva a trazos). Pero

altura de carga total de la bomba : carga estática * pérdidas en tubería

1o,o + o,o2s( 2[: 1o,o + lspfU,l) ¿g ¿g

Podemos calcular esta altura de la manera siguiente:

Q: 0,010v : QIA: 0,s6675V2l2g : 1,226

Altura total : 11,226

0,015 0,020 0,025 0,030 m3/seg

0,849 r,132 1,415 1,698 m/seg2,758 4,903 7,662 11,033 m (Pérdida)

t2,758 14,903 17,662 2r,033 m

La Fig. 12-6 indica que cuando el caudal es 0,0265 m3/seg la altura desarrollada por la bomba será igual

a la altura total de bombeo, es decir, 18,5 m.Para el cálculo económico de las dimensiones de la tubería, véase Capítulo 8, Problema 18.

22. ¿Cuá1 es la relación de potencia de una bomba y su modelo a escala 1/5 si la relación de alturas

es 4 a 1?

Solución:

Para bombas geométricamente semejantes,PP

OFA para la bomba : pr¡r*Pura el modelo. Entonces,

Pb P^

ODf gnfn: DzHrit Y Po:2514¡trzP-:200P-

23. Desarrollar las expresiones que dan el empuje y la po-tencia de salida de una hélice, la velocidad a través de lahélice y el rendimiento de la hélice.

Solución:(a\ Aplicando el principio de la cantidad de movimiento, el

empuje F de la hélice varía la cantidad de moümiento de

la masa M de aire de la Fig. l2-7 . La hélice puede estar fijaen un fluido que se mueve con velocidad de aproximación Zt

o puede moverse hacia la izquierda, a velocidad Vt en el

, fluido en reposo. Así, pues, despreciando los vórtices y el

rozamiento.

P4+Vt

T-I

I

D

cAP. 121 MAQUINARIA HIDRAULICA

Empuje, = ?9$v¡ = Yglvn-V)

= 911oD,v)(v4- v,)s

(b) La potencia de salida es simplemente P : fierza de empuje x velocidad

= wQ (vt- v )v,s

(c) El empuje f'es también igual a (pt - p)(tnD2). Por tanto, de (/á),

p3_ pz = Lv(v,-v,)g

Aplicando el principio del trabajo y la energía cinética, tomando como unidad I m3 y suponiendo queno existen pérdidas de carga, se trene

Energía cinética inicial/m3 * trabajo realizadofml : energa cinética final/m3

$(w/o\Vi * (p.- p,) : $(t'o/o)Vi

Pz-Fz = ?(4*)

241

(1a)

(1b)

(6a)

(6b)

(2\

(3)

de donde (4)

Puede obtenerse el mismo resultado aplicando la ecuación de Bernoulli entre I y 2,y 3y 4 y despejan-do (p. - pr). Obsérvese que (p. - pr) viene dado en kg/m2 x m/m o m kg/m3.

Igualando (3) V @),

V = Vtt^Vt = V,l-(Y,-lLV) = V,+LV (5)222indicando que la velocidad a través de la hélice es la media de las velocidades delante y detrás de la hélice.

El caudal de fluido Q puede expresarse en función de esta velocidad V, o sea,

e = AV - f,nDzV = +,O,(W, )

t¿l ¡l rendimiento de la hélice

n"r= r"o'''r + +ay)

- potenciadesalida (we/g)(V^-V,)Vt 2Vt Vtpotencia de entrada $(utQ/o\Vi-Vl V¿ * Vt V

representando el denominador la variación de Ia energía cinética creada por la potencia de entrada.

(7)

24. Un modelo de hélice, de 36 cm de diámetro, desarrolla un empuje de 22 kg a una velocidad de3 m/seg en el agua. (a) ¿Qué empuje desarrollaría una hélice semejante de 180 cm a la misma ve-locidad en el agua? (b) ¿Y a la velocidad de 6 m/seg? (c) ¿Cuál sería la velocidad en la estela en (á)?

Solución:

(a) Velocidad lineal V : ra o varía como Dly'. Luego podemos escribir

V^ cr 36N^ ! Vo cc 180N,

Puesto que las velocidades son iguales, 36N.: 180Ne.

Empleando la expresión del coeficiente de empuje, ecuación (./9), obtenemos

242 MAQUINARIA

-{-modelo : .j*prororrpo.pN'D" pN"D"

HIDRAULICA

22

lRnn(-"" N f t16/'' 36'p''-"'

[cAP. 12

Fp(No)'?(180)4'

F: 550 kg

En la ecuación (/9) el diámetro D está en m y N en revoluciones por segundo. Sin embargo, cuandolas relaciones se igualan entre sí, en tanto se empleen las mismas unidades en cada relación (m/m, cm/cm,rpm/rpm), se llega a una solución correcta.

(b) En este caso Z- cc 36N- y (2V^: Vp) d:180 Ne. Estos valores dan 72N^: 180No. Luego

22 -..L* y F :2200 kc

.180-, " ^-, pNo'(180)"9( ^ Nrl'(36)"

Nota: La relación anterior velocidad lineal-velocidad angular-diámetro puede escribirse de la forma

VVND-para

modelo : -¡r}Para

prototipo (1)

(c) La velocidad en la estela (o cambio de velocidad) puede obtenerse resolviendo la ecuación (6b) del proble-

ma anterior pan LV una vez sustituido g po, 2 [de la ecuación (1a)]. Luego' oA,V -

Ffu = (f,"D,)V, + (+rD,)(+^v)

Despejando AZ y tomando la raíz real se tiene

y (^v)'+|2VL^V-#=o

Esta relación se llama relación avance-diámetro puesto quc VIN es el recorrido de avance de la héliceen una revolución.

: 578 CV.

A,V = -Vt *

Con los valores anteriores, tomando D en m,

LV: -6,0 + (6,0)'z +8 x 2200

(1000/9,8 )z(1,8)'z: 1,28 m/seg V+ : 7,28 mlseg

Determinar el coeficiente de empuje de una hélice de 10 cm de diámetro que gira a 1800 rpm y des-

arrolla un empuje de 1,25 kg en agua dulce.

Solución:

coeflciente de empuje : #*: ffi:0'136.El coeficiente es adimensional cuando -F üene dado en kg, N en revoluciones/seg y D en m.

Los coeficientes de potencia y de empuje de una hélice de 2,4 m de diámetro, moviéndose haciaadelante a 30 m/seg con una velocidad de giro de 2400 rpm, son 0,068 y 0,095, respectivamente.(a) Determinar la potencia requerida y el empuje en aire (p : 0,t25 UTM/m3). (á) Si la relaciónavance-diámetro para el rendimiento máximo es 0,70, ¿cuál es la velocidad del aire para el ren-dimiento máximo?Solución:(a) Potencia P: CopN3Ds en m kg/seg : 0,068 (0, 1 25 X2 400 I 60)3 Q,qs

75

Empuje F: CrpN2Da en kg:0,095(0,125)(240016q2?,4)a: ó30 kg.

(b) Puesto que VIND : 0,70, V :0,70(2400160)(2,4): 67,2 mlses.

(2)

25.

26.

rr2 | 8Fv, --


27. Un avión vuela a 290kmlh en aire tranquilo, w: 1,200 kg/-t.La hélice tiene 1,70 m de diáme-tro y la velocidad del aire a través de la hélice es de 97 m/seg. Determinar (a)la velocidad en la es-tela, (b) el empuje, (c) la potencia de entrada, (d)Ia potencia de salida, (e)el rendimiento y (/)ladiferencia de presión a través de la hélice.Solución:

Aplicando las expresiones desarrolladas en el Problema 23 anterior, obtenemos, de (5),

(a) V : +(n + V), 97 : +1290(1000/3600) + Vnf, V+: 113,4 m/seg (relativa al fuselaje).

(b)

(c)

(d)

(:e)

Empuje r : lovo - v,.) : *Pt+ntt,to ),pi)f(rr3,4 - 80,6) : 884 kg.g v,ó-

Potencia de entrada P": FVl75 :884(97\175: ll43 CV.

Potencia de salida P" : FVtl75 : 884(80,6)/75 : 950 CV.

Rendimiento e :95011143 :83,1 %

o, de la ecuación (7) del Problema 23,2V, 2(80.6)-

V4 + Vt 113.4 + 80,6 e¿" /o'

tf) Diferencia de presión : #t# : #rrrf: 38e kslm2

o, de la ecuación (4) del Problema 23, diferencia de presión - l'200(

8,8

Í8.4\2 - t80.6)'z

z

28.

29.

30.

31.

32.


Una rueda de impulsión trabaja bajo una carga efectiva de 190 m. El diámetro del chorro es 10 cm. Para valo-res de @:0,45, c,:0,98, P:160 y Dz:0,85(Vt - z). Calcular la potenciaen el eje. Sol. g72cy

Una rueda de impulsión desarrolla 2500 CV bajo una carga efectiva de 274 m. El diámetro de la boquilla es de12,50 cm, c, : 0,98, ó : 0,46 y Dld : 10. calcular el rendimiento y la velocidad de giro.So/. 77,7 %, 515 rpm

Un modelo de turbina, construido a escala I : 5, se ha proyectado para desarrollar 4,25 CV al freno a una ve-locidad de 400 rpm bajo una carga de 1,80 m. Suponiendo rendimientos equivalentes y bajo una carga de 9 m,¿cuáles serán la velocidad y la potencia de la turbina a escala normal? Sol. 178,9 rpm, 1188 CV

Determinar el diámetro de la rueda de impulsión y su velocidad de giro a partir de los datos siguientes: ó : 0,46,e : 82 %, c, : 0,98, Dld : t2, car9a : 400 m y potencia cedida : 4800 CV. Sol. 152,4 cm,510,4 rpm

Una turbina de reacción girando a velocidad óptima produce 34 CV dl freno a 620 rpm bajo una carga de 30 m.Si el rendimiento es del 70,0\y la relación de velocidad ó : 0,75, determinar (a) el diámetro de la rueda, (á) elcaudal en m3/seg, (c) la velocidad caracteristica Ns y (d) la potencia al freno y el caudal para una carga de 60 m.Sol. 56,1 cm, 0,121 m3/seg, 51,49 rpm, 96,2 CV y 0,171 CV

En condiciones de máximo rendimiento una turbina de 125 cm de diámetro desarrolla 300 CV bajo una cargade 4,5 m y a 95 rpm. ¿A qué velocidad giraría una turbina homóloga de 62,5 cm de diámetro si trabaja bajo unacarga de 7,5 m2 ¿Qué potencia desarrollaría? Sol. 245,3 rpm, 161,4 CV

33.


34. Una turbina de impulsión de 150 cm de diámetro desarrolla 625 Cy al freno cuando trabaja a 360 rpm bajo unacarga de 120 m. (a) ¿Bajo qué carga trabajaría una turbina semejante a la misma velocidad a fin de desarrollar2500 CV al freno? (b)Parala carga calculada, ¿qué diámetro debería emplearse? Sol. 208,8 m, 197,9 cm

La relación de velocidad @ de una turbina es 0,70 y la velocidad específica es 90. Determinar el diámetro de la

turbina para que la potencia sea 2500 CV con una carga de 100 m. Sol. 104 cm

De un ensayo sobre una turbina se sacan los siguientes datos: potencia al freno :22,5 CY, carga:4,80 m,

N : 140 rpm, diámetro de la turbina 90 cm y q : 0,380 m3/seg. Calcular la potencia de entrada, el rendimien-to, la relación de velocidad y la velocidad específica. Sol. 24,32 CV,92,5%, 0,70,96,25

Una bomba centrífuga gira a ó00 rpm. Se dan los siguientes datos: rr : 5 cm, rz : 20 cm, A, (radial\ : 75n cm2,A, (radial): 1802 cm2, Pr: 135", 0z : 120", flu-io radial a la entrada de los álabes. Despreciando el rozamien-to, calcular las velocidades relativas a la entrada y a la salida y la potencia transmitida al agua.

Sol. 4,443 mlseg, 1,451 m/seg, 14,4 CV

¿Cuál será el diámetro de una bomba centrífuga que gira a 750 rpm y bombea 0,250 m3/seg contra una carga de

9 m? Emplear C" : 39. So/. 32 cm

39. Una bomba centrífuga suministra 0,070 m3/seg contra una altura de carga de 7 ,50 m a 1450 rpm y requiere unapotencia de 9,0 CV. Si se reduce la velocidad a 1200 rpm, calcular el caudal, altura y potencia, suponiendo el mis-mo rendimiento. So1. 0,058 m3/seg, 5,14 m, 5,1 CV

40. Una hélice de 200 cm de diámetro gira a 1200 rpm en una corriente de aire que se mueve a 40 m/seg. Las pruebas

realizadas indican un empuje de 325 kg y una potencia absorbida de220 CY. Calcular, para una densidad del airede 0,125 UTM/m3, los coeficientes de empuje y potencia. Sol. 0,406, 0,516

Una hélice de 1,50 m de diámetro se mueve en agua a 9 m/seg y desarrolla un empuje de 1600 kg. ¿Cuál es el

aumento en la velocidad de la estela? So/. 0,937 m/seg

Una hélice de 20 cm desarrolla un empuje de 7,20 kg a 140 rpm y una velocidad del agua de 3,6 m/seg. Para unahélice semejante de un barco que se mueve a 7 ,2 mlseg, ¿qué dimensión deberá tener la hélice para que desarrolle

un empuje de 18.000 kg? ¿A qué velocidad deberá girar Ia hélice? Sol. 500 cm, 11,2 rpm

En una chimenea de ventilación un ventilador produce una velocidad de aire de 25 m/seg cuando gira a 1200 rpm.(a) ¿Qué velocidad producirá si el ventilador gira a 1750 rpm? (á) Si un motor de 3,25 CV arrastra al ventiladora 1200 rpm, ¿qué potencia deberá tener el motor para llevar al ventilador a 1750 rpm?Sol. 36,458 m/seg, 10,08 CV

Para suministrar 2500 m3/min de aire a un túnel de ventilación, ¿qué potencia deberá tener el motor de un ven-tilador si las pérdidas en el túnel son 14,4 cm de agua y si el rendimiento del ventilador es del 68 )(?Emplear uaire: 1,200 kglm3 Sol. 117,65 CV

45. Una hélice de 3 m de diámetro se mueve a través del aire, w : l,222kglm3, a 90 m/seg. Si se suministran 1200 CVa la hélice, ¿qué empuje desarrollará y cuál será el rendimiento de la hélice? Sol. 941,5 kg, 94,15%

35.

36.

37.

38.

4t.

42.

43.

4.

APENDICES

Tablas y diagramas

246 APENDICE

TABLA 1

(A) PROPIEDADES APROXIMADAS DE ALGUNOS GASES

(B) ALGUNAS PROPTEDADES DEL AIRE A LA PRESION ATMOSFERICA

(C) PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA A LA PRESION ATMOSFERICA

GasPeso específico ru

a 20'' C, I Atm.kg/t'

Constante R del gas

m/'KExponente

adiabático k

Viscosidad cinemática v

a 20'C, I Atm.m-/seg

AireAmoniacoAnhídrido carbónicoMetanoNitrógenoOxígenoAnhídrido sulfuroso

1 )O4'l0,71771,83590,66641,16311,32972,1154

7q149)tq )51 0

26,613,0

1.401,32r.30t,321,401,401.26

1,488 x 10-s1,5350,846l 7q5

1,5901,5900,521

Temperatura.C

Densidad pUTM/m3

Peso específico ru,

kg/m'Viscosidad ^cinemática

v

m-lsegViscosidad dinámica p

kg seg/m2

-20- t0

0l020304050

0,14240,13700,13190,r2'730,12290,1 1 880,r 1500,1115

10s5

,3426)q)6)4'7 S

,2047,1642,1270,0927

1,188 x 10-sr 211

r,320I ¿15

1,4881,6001,6881,769 x l0-s

16,91'r. x l0-116,89217,41118,01318,28819,008t9,4r219,724 x l0'1

Temp.'c

DensidadUTM/m3

Peso especificokg/m'

Viscosidaddinámicakg seg/m2

Tensiónsuperficial

kg/m

Presiónde vapor

kg/cm'z (ab)

Módulo deelasticidadvolumétrico

ks.lcm2

0

5

10l))A

2530354050

101.9610r,97101,95101,88101,79101,67101,53101,37101,18100.76

999,81999,99999,73999,r2998,23997,07995,68994,11992,25988,07

18,27 x l0-5l 5,5013,34|,6310,259,128,171 1,'7

6,695,60 x 10-s

0,0077 1

0,007640,007560,007510,007380,007350,007280,007180,0071 1

0,00693

0,00560,00880,01200,01760,02390,03270,04390,04010,07800,1249

202002090021 50022000224002280023100232002330023400

APENDICE 247

TABLA 2

DENSIDAD RELATIVA Y VISCOSIDAD CINEMATICA DE ALGUNOS LIQUIDOS

(Viscosidad cinemática : valor de la tabla x 10-6.¡

Algunos otros líquidos

* Kessler y Lenz, Universidad de Wisconsin, Madison** ASCE Manual 25.

Agua**Disolventecomercial

Tetraclorurode carbono

Aceite lubric¡ntemedio

Temp..C

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Viscos. cinemm2/seg

5

1015

2q253035405065

1,000

1,0000,9990,9980,9970,9950,9930,9910,9900,980

1,520I,3081,1421,0070,8970,8040,7270,6ó10,5560,442

0,728¡ 1)\0,7210,7180,7t40,7100,7060.703

1,4761,3761,3011,1891,1011,0490,9840.932

,620,608,595,584s1')

,544.522

0,7630,6960,6550,612n s1)n 51t

0,5040.482

0,9050,9000,8960,8930,8900,8860,8830,8750,86ó0.865

471260186122927l54,939,4)5715.4

Aceite a pruebade polvo* Fuel-oil medio* Fuel-oil pesado* G¡solina+

Temp..C

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Visó. cinem.m2/seg

Densid.relat.

Visc. cinem.m2/seg

5

10

15

2025303540

0,9170.91 l0,9100,9060,9030,9000,8970,893

72,952,439,029,723,r

,18,5ls?12.9

0,8650,8610,8570,8550,8520,8490,84ó0,842

6,015,164,473,943,443,1 1

)112,39

0,9180,9150,9t20,9090,90ó0,9040,9010,898

40029020r156118896'l,9I'R

0,7370,7330,7290,7250,72r0,7r70,7130,709

0,7490,7100,ó830,6480,6250,5950,5700,545

Líquido y temperaturaDensid.

relat.Visc. cinem,

m2/seg

Turpentina a20'CAceite de linaza a 30' CAlcohol etílico a 20'CBenceno a 20" CGlicerina a 20" CAceite de castor a 20' CAceite ligero de máq. a 16,5'C

0,8620,9250,7890,879r,2620,9600,907

t,tJ159

1,540,745

6621030

LJ I

248 APENDICE

TABLA 3

COEFICIENTES DE FRICCION / PARA AGUA SOLAMENTE(Intervalo de temperatura aproximado de 10. C a 21. C)

Para tuberías viejas - intervalo aproximado de e: 0,12 cm a 0,60 cmPara tuberías usadas - intervalo aproximado de e: 0,06 cm a 0,09 cmPara tuberías nuevas - intervalo aproximado de e: 0,015 cm a 0,03 cm

(/ : valor tabulado x 10-4)

Diámetro ytipo de tubería

VELOCIDAD (m/seg)

A<10)41,8l5t,20.90,6o1 9,06,0

Comercial vieja

l0 cm go,me:cial usadaI UDena nuevaMuy lisa

435 415 410 405355 320 310 300300 265 250 240240 205 190 180

375 370250 250190 185130 t20

395285225165

385260200140

400290tan170

395 390280 270220 2I0155 150

Comercial viejaComercial usadat)cm _, ,I UDena nuevaMuy lisa

425 410 405 .100

335 310 300 285275 250 240 225220 190 175 165

395 390 385 380 375275 265 260 250 2402r0 205 200 190 180150 r45 140 130 120

395280220160

óoo235L75115

Comercial viejaComercial usadaTuberia nuevaMuy lisa

20 cm

420 405 400320 300 285265 240 225205 180 165

395 390 385 380280 270 265 260220 2t0 205 200155 150 140 135

375 370 365 360250 240 235 225190 185 I75 170130 720 115 110


25 cm

375 370 365 360245 240 230 225185 180 I70 165725 115 110 105

415 405 400 395315 295 280 270260 230 220 210200 170 160 150

390 385265 260205 200r45 135

380255190130

Comercial vieja

30 cm :o,melcial usada

I UDena nuevaMuy lisa

355220160105

395265205140

41.5 400 395310 285 275250 225 2I0190 165 150

390. 385 380 315 365 360260 255 250 240 235 225200 195 190 180 775 165140 135 725 120 115 110


40 cm

360 350 350225 215 2I0I70 160 155110 105 100

390 385 380266 260 255205 200 195140 135 130

405300240180

370240180t20

óoDoc<

I75115

375250190t25

395280220155

Comercial vieja

50 cm :o,me:cial usada

l uDena nuevaMuy lisa

360 350 350220 215 205165 160 150105 100 95

390 385 380 375265 255 250 245200 195 190 180135 130 I25 I20

370235175I-|.D

400290230r70

395275210150

365230170110

Comercial viejaComercial usadaoucm _,I UDena nuevaMuy lisa

385 380 3?5 370255 250 245 240195 190 185 180135 125 t20 r20

365 360 355 350230 225 220 2t0r75 r70 165 155115 110 105 100

345200150

:,D

.100

285225165

395265200t40

Comercial viejaComercial usada/)cm -, ,luDerla nuevaMuy lisa

360225t70110

350205155

100

355220165

110

400 385280 255220 195160 135

375 370245 240185 180r20 115

380250190130

óoD

230I75rlo

óDU

270160

105

345200150

95

Comercial vieja

90 cm :o]e:cial usadaIUDerla nuevaMuy lisa

395 385 375 370 365 360275 255 245 240 235 23021ó 195 185 180 t75 170150 135 t25 t20 115 110

355 355 350 345 340225 220 2t0 200 195165 160 155 150 146110 105 100 95 90


120 cm

355220165

110

350 350 345 340 33521,5 2L0 200 195 190160 155 150 745 140105 100 95 90 90

395 385 3?0 365265 250 240 230205 190 180 I75140 I25 120 115

360225170110

APENDICE

TABLA 4

PERDIDAS DE CARGA EN ACCESORIOS

(Subíndice I : aguas arriba y subíndice 2: aguas abajo)

249

Accesorio Pérdida de carga media

l. De depósito a tubería -conexión a ras de la pared(pérdida a la entrada)

- tubería entrante

-conexión abocinada

0,50x

', nnvS-r-" 29

0,05r^

2. De tubería a depósito (pérdida a la salida) r.oo#

3. Ensanchamiento brusco(V, - V,l2

2g

4. Ensanchamiento gradual (véase Tabla 5)

5. Venturímetros, boquillas y orificios (i,-t*4

6. Contracción brusca (véase Tabla 5) K"#

7. Codos, accesorios, válwlas*

Algunos valores corrientes de K son:

45", codo 0,35 a 0,4590", codo 0,50 a 0,75Tes 1 50r ?OO

K#

Válvulas de compuerta (abierta). . . . . aprox. 0,25Válvulas de control (abierta). aprox. 3,0

* Véanse manuales de hidráulica oara más detalles

250 APENDICE

TABLA 5

VALORES DE K*Contracciones y enssnchamig¡¡os

* Valores tomados de King, Handbook of Hydraulics, McGraw-Hill Book Company.

TABLA 6

ALGUNOS VALORES DEL COEFTCTENTE C, DE HAZEN-WTLLTAMS

Tuberíasrectasymuylisas ........ 140

Tuberías de fundición lisas v nuevas...... ........ 130

Tuberías de fundición usadas v de acero roblonado nuevas 110

Tuberias de alcantarillado ütrificadas. . . ... 110

Tuberias de fundición con alsunos años de servicio 100

Tuberías de fundición en malas condiciones. 80

Contracción brusc¡ Ensa¡ch¡miento gradual p¡ro un ángulo total del cono

d¡ld,¿ K" 4o 100 150 200 300 500 600

t,21,41,61,82,02,53,04,05,0

0,080,170,260,340,370,410,430,450,46

0,020,030,030,040,040,040,040,040,04

0,M0,060,070,070,070,080,080,080,08

0,090,120,140,150,160,160,160,160,16

0,160,230,260,280,290,300,310,310,31

0,250,360,420,40,460,480,480,490,50

0,350,500,570,ól0,630,650,660,670,67

0,370,530,610,650,680,?00,7r0,720,72

APENDICE

TABLA 7

COEFICIENTES DE DESAGÜE PARA ORIFICIOS CIRCULARES DE ARISTA VIVA

Para agua a 15" C vertiendo en ai¡e a la misfta temperatura

Alturade cargaen metfos

Diámetro del orificio en cm

0,625 1,250 1,875 2,500 5,00 10.00

0,240,420,601,201,802,403,003,604,204,806,007,509,00

12,0015,00r8,00

0,6470,6350,6290,6210,6170,6140,6130,6120,6110,ó100,6090,6080,6070,ó060,6050,60s

0,6270,6190,6150,6090,6070,6050,6040,603t,6030,6020,6020,6010,6000,6000,5990,599

0,61ó0,6100,6070,6030,6010,ó000,6000,5990,5980,5980,5980,5970,5970,59ó0,5960,596

0,6090,6050,6030,6000,5990,5980,5970,5970,59ó0,5960,5960,5960,5950,5950,5950.594

0,6030,ó010,6000,5980,5970,5960,5960,5950,5950,5950,5950,5940,5940,5940,5940,593

0,6010,6000,5990,5970,5960,5950,5950,5950,5940,5940,5940,s940,594c,5930,5930,593

Fuente: F. W. Medaugh y G. D. Johnson, Civil Engr., julio 1940, pág. 424.

25r

252 APENDICE

TABLA 8

ALGUNOS FACTORES DE EXPANSION T PARA FLUJO COMPRESIBLEA TRAVES DE TOBERAS Y VENTURIMETROS

Pt/Pt ¡.Relación de diámetros (drld,)

0.30 0,40 0.50 0,60 0,70

0.951,401,301,20

0,9730,9700,968

0,9720,9'700,967

0,97 |0,9680,966

0,9680,9650,963

0,9620,9590,956

0,901,401,301,20

0,9440,9400.935

0,9430,9390.933

0,9410,93ó0,931

0,935o 911n q)5

0,9250,9180.912

0,85t,401,301,20

0,9150,9100.902

0,9140,90'70.900

0,9100,9040,896

0,9020,89ó0,887

0,8870,8800,870

0.801,401,30t,20

0,8860,8760,866

0,8840,8730,864

0,8800,8ó90,859

0,8ó80,8570,848

0,8500,8390,829

0751,401,301,20

0,8560,8440,820

0,8530,8410.818

0,8460,8360.812

0,83ó0,8230,798

0,8140,8020,776

0,701,401,30r,20

0,8240,8120,'794

0,8200,8080,791

0,8150,8020,784

0,8000,7880,770

0,7780,7630,'745

Para prlpr: 1,00, Í: 1,00.

TABLA 9ALGUNOS VALORES MEDIOS DE n EMPLEADOS EN LAS FORMULAS

DE KUTTER Y MANNING Y DE m EN LA FORMULA DE BAZIN

Tipo de canal abierto n m

Cemento muy pulido, madera muy bien acepilladaMadera acepillada, acequias de duelas de madera nuevas, fun-

diciónTubería de alcantarillado bien vitrificada, buena mampostería,

tubería de hormigón, ordinario, madera sin acepillar, acequiasde balasto liso

Tubería de alcantarillado de arcilla ordinaria y tubería de fun-dición ordinaria, cemento con pulido ordinario

Canales de tierra, rectos y bien conservadosCanales de tierra dragados en condiciones ordinanasCanales labrados en rocaRíos en buenas condiciones

0,010

0,012

0,013

0,0150,0230,0270,0400,030

0,1 1

0,20

0,29

0,40|,54

3,00

APENDICE 253

TABLA 10

VALORES DE C DE LA FORMULA DE KUTTER

Pendiente¡ )¿

Radio hidráulico R en metros

0,06 0,09 0,12 0,18 0,24 0,30 0,45 0.60 0,75 0,90 1,20 1,80 2,40 3,00 4,50

0,00005 0,0100,0120,0t50,0170,0200,0250,030

98 103 I 10 rr4 I 18 12182 87 93 97 100 10465 70 '76 80 83 8857 62 67 71 74 7849 52 58 61 64 6939 43 47 51 53 5732 36 41 43 46 50

85 91 9570 7s '78

55 s9 624'7 51 5440 44 4631 34 3626 28 30

77oz4943352722

48 54 60 68 '73

38 43 49 54 5929 32 36 42 4624 28 31 36 4019 23 2s 29 33t4 t7 t9 23 2512 14 15 18 20

0,0001 0,0100,0120,0150,0170,0200,0250,030

98 103 108 rr2 rt4 lt782 8ó 91 94 96 9965 69 74 17 79 8351 61 65 69 7l 7549 52 56 59 61 6539 43 46 49 51 5433 35 40 41 44 47

54 60 65 72 '77 81 8'7 92 9542 47 52 58 62 66 72 76 7931 35 40 45 49 51 57 60 63

26 30 34 39 41 44 49 52 55

21 25 28 31 35 37 41 45 47

15 19 21 24 26 28 33 35 3'7

13 15 l7 t9 22 23 26 29 30

0,0002 0,0100,0120,0150,0170,0200,0250,030

98 102 r07 109 n2 r1482 85 89 92 94 9'7

65 68 73 76 77 8057 61 65 67 69 7249 52 55 58 60 6239 42 46 47 50 5233 35 38 4l 43 45

58 63 69 76 80 83 89 93 9646 51 55 61 6s 68 13 '7'7 7934 38 42 46 50 53 58 61 6329 33 36 40 43 46 50 s4 5523 26 29 33 36 38 42 4s 41r7 19 22 2s 28 30 33 36 38

t4 15 18 20 22 24 27 29 3l

0,0004 0,0100,0120,0i s0,0170,0200,0250,030

98 102 106 108 1 10 ll282 84 89 91 93 9565 68 72 74 76 7857 61 64 66 68 '71

49 52 55 51 59 6l39 41 45 47 49 51

33 35 38 40 41 44

61 67 't 1 '77 82 84 91 94 9648 52 57 62 66 69 '14 78 8035 40 43 48 51 54 59 62 6330 34 38 41 44 46 5l s4 5624 28 30 34 37 39 43 46 4718 20 23 26 28 30 33 36 38t4 t7 l8 21 23 24 28 30 31

0,00r 0,0100,0120,0150,0170,0200,0250,030

98 102 105 108 109 111

82 85 88 91 92 9466 68 72 73 75 '78

58 61 63 66 67 7049 51 54 57 58 6039 4t 45 46 48 50

33 35 38 40 41 43

62 ó8 73 79 83 86 91 95 9'7

49 54 58 63 67 70 7s 78 8036 4t 44 49 52 54 59 62 6430 35 38 42 45 4'7 5l s4 5625 28 31 34 38 39 43 46 4818 21 24 26 29 30 34 36 3815 t'7 19 2t 23 25 28 30 3r

0,01 0,0100,0120,0150,0170,0200,0250,030

98 102 105 107 108 I l082 85 88 90 92 9466 68 7r 73 '75 77

58 60 63 65 67 7049 51 54 56 58 6039 41 44 46 47 5033 35 31 39 40 43

63 69 '13 79 83 8ó 91 95 9'7

49 55 59 64 67 7r 75 78 803't 42 45 49 52 55 59 62 6431 35 38 43 45 47 51 55 s',|

25 29 31 35 38 40 43 46 4819 22 24 27 29 31 34 36 3815 l7 19 22 24 25 28 30 32

254 APENDICE

TABLA 11*VALORES DEL FACTOR DE DESCARGA K EN Q: (Kln)ysttgrrz

PARA CANALES TRAPEZOIDALES

I : profundidad de la corriente, á : anchura de la solera del canal)

Pendientes de los lados de la sección del canal (horizontal a vertical)

a/b Vertical á'1 4,1 3,1 1:1 r{:1 2:L 2!:L 3:1 4l0,01

0,020,030,040,050,060,070,080,090,100,11

0,r20,130,140,150,160,170,180,190,200,220,240,260,280,300,320,340,360,380,400,420,440,460,480,500,550,600,700,800,901,001,201,401,ó01,802,00))\

98,748,732,023,818,8

15,5

13,12

l 1,31

9,968,887,961))6,606,065,605,204,844,534,254,003,571?l2,912,662,44))\2,081,941,80r,69r,591,49|,41l,331,26r,1 1

0,9830,7940,6610,5590,4810,3690,2930,2400,2010,17 |0,143

99,1

49,1

32,424,1

l9,l15,8

13,46

r1,6410,309,228,307,566,926,395,925{)5,164,854,564,313,883,51

3,21

2,95)112,542,362,212,081,971,861,76|,671,591 <')

1,36

1,23

1,03

0,8820,7740,6860,5630,4760,4150,3670,3300,295

99,349,47)124,419,4

16,1

13,73

1l,98r0,579,498,597,847,21

6,676,205,795,445,124,844,584,153,783,477)12,992,792,62¿,+ I2,342,212,tl2,0r1,92

1,83

1,761,591,461,261,100,9890,8950,7670,6720,6040,5520,5110,471

99,649,633,024,619,7

16,4r4,0t2,1810,83

9,698,828,087,44ó,906,44ó,035,675,365,074,824,384,013,71?¿57 )')3,022,852,702,562,44)77))?2,142,06r,981,821,68

1,47

l,3lr,201,100,9620,8680,7940,7400,700

0,655

99,849,8??224,8r9,916,6

14,2

12,38

l1,M9,969,038,287,6s7,tl6,656,245,885,575?R

5,034,594,223,923,653,43

3,062,902,772,642,542,442,342,262,192,02I,881,67

1,51

1,391,301,161,06

0,9830,9290,882

0,834

100,1

50,111 5

)\)20,216,9

14,5

12,72

1t,3710,309,358,61

8,01

7,477,006,606,255,935,655,394,954,594,294,023,803,60

3,433,283,r43,01

2,912,81)1)2,632,562,39))\2,041,88

1,76

1,66

1,521,42

1,35

1,291,24I,l9

100,450,4??R

25,420,517,2

14,8

13,06tl,7l10,57

9,698,958,347,81

7,346,926,586,265,98s1)5,294,934,624,364,143,947113,623,483,36?t53,l53,062,982,902,742,602,39))72,ll2,011,86

1,761,691,63

1,58

1,53

r00,650,7

34,1)\120,817,5

15,I13,33

I1,98r0,9010,03

9,298,61

8,087,677)16,886,576,296,045,61

5,244,954,684,464,274,103,943,81

3,693,583,483,393,31

3,243,072,93)1))\Á2,442,342,202,102,02r,96t,9l1,86

100,9

50,934,326,021,017,7

15,3

13,59

12,25

rt,t710,309,568,958,417,947,547,196,876,606,35s,925,565,265,004,784,594,414,274,134,013,903,81

3,7r16?3,563,403,26?ol2,892,772,67,{?2,42,152,292,242,19

101,3

51,334,726,421,518,2

15,9

14,13

12,79

11,7 |10,83

r0,099,499,02

8,14.

7,8r7,477,206,936,536,185,885,635,41\))50s4,904,774,654,544,444,354,214,204,043,903,693,543,42?1?3,183,082,992,932,892,84

i Vafores tomados de King, de Handbook of Hydraulics, 4." ed., McGraw-Hill Co.

APENDICE

TABLA 12*VALORES DEL FACTOR DE DESCARGA K' EN Q: (K'ln)b8t35rt2

PARA CANALES TRAPEZOIDALES

(y : profundidad de la corriente, á : anchura de la solera del canal)

Pendientes de los lados de la sección del canal (horizontal a vertical)

255

a/bVerti-

cal +1 +1 *'r 1:1 1$:1 2:L 2!:l 31 4T

0,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,1 I0,120,130,140,150,160,170,180,190,200,220,240,260,28

0,300,320,340,360,380,400,42O,M0,460,480,50il \\

0,600,700,800,901,001,20r,401,60l,802,00') )\

0,000460,001430,002790,004440,006370,008550,010900,013460,01620,01910,02210,02530,02860,03200,03550,03920,04290,04680,05070,05460,06290,07140,08010,0888

0,09830,10770,1 1 71

0,r2720,1370,1470,1 57

0,1670,1780,1880,1990,2250,2520,3080,3650,4230,4800,6000,7200,8410,9621,083

t,238

0,000460,001450,002820,004510,006490,008750,011170,01390,01680,01980,02310,02640,03000,03380,03760,u170,04580,05010,05440,05900,06830,07810,08820,0989

0,10970,tzlr0,1330,1450,1570,1700,1840,19'l0,2110,2250,2390,2760,3150,3980,4880,5850,ó880,915r,t7l1,4541,763

2,1002,564

0,000460,001450,002850,004570,006590,008880,01140,01420,0r720,02050,02380,02750,03120,03530,03940,M370,04820,05290,05770,06270,07340,08410,09560,1080,1200,1340,t470,1620,1770,1920,2080,2250,2420,2590,2770,3240,3750,4850,6100,7470,8951,245t,&92,1132,6453,2444,098

0,000460,001460,002870,004610,006670,009020,011640,01450,0r760,02090,02450,02830,03230,03650,04090,04550,05030,05530,06050,06590,07740,08950,10230,1160,1 300,1450,1600,r770,1940,2120,2300,2500,2700,2910,3120,3690,4310,5ó80,72s0,9021,1041,568

2,127

4786? 55?

4,4285,693

0,000460,001470,002880,0(X650,006740,009150,011780,01470,01800,02140,02510,02900,03320,03760,04220,04710,05220,05750,06300,06870,08080,09420,t0770,r220,1 38

0,1550,1720,1900,2100,2290,2510,2730,2950,3190,3440,4100,4830,6450,8341,0501,2991,878

2,5913,4454,4415,5997,268

0,000460,001480,002910,004710,006860,009290,012110,01510,01850,02210,02600,03030,03470,03950,0M50,04980,05540,06120,07640,07380,08750,10230,1 178

0,13 5

0,1 53

0,r720,1930,2r50,2380,2620,2870,3140,3430,3720,4020,4860,5770,7871,036r,3321,662

2,4703,4'79

4,7046,1577,873

10,363

0,000460,001490,002930,004'160,006950,009490,012310,01550,01900,02280,02690,03140,03610,Mr20,04660,05230,05830,06460,07130,07830,09350,10970,12720,1460,1670,1890,2r30,2380,2640,2920,3220,3530,3860,4210,4570,5560,6660,9221,231l,5882,0123,0354,3205,9087,806

r0,02113,324

0,000460,001490,002950,004820,007050,009620,012580,01590,01940,02340,02780,03240,03740,04280,04850,05460,06100,06780,07500,08260,09890,11640,13590,1 57

0,1800,2050,231

0,2590,2890,3200,3540,3900,4280,4680,5090,6230,7521,0501,4r31,8442,3423,5805,1417,0799,421

12,1 80

t6,218

0,000470,001500,002980,004890,007130,009760,012770,01620,01990,02410,02850,03340,03870,04430,05040,05ó90,06370,07100,07870,08680,10430,12380,14470,1ó80,1930,2200,2560,2800,3130,3490,38ó0,4260,4680,5130,5610,6900,8341,178

1,595, nql2,6724,1125,9498,210

10,96914,266t9,rL2

0,000470,001510,003020,004950,007310,010090,013260,01680,02090,02530,03010,03550,04130,04750,05420,06140,06900,07730,08590,09520,1 15r0,t3730,16220,1 890,2180,2500,2850,3220,3610,4040,4500,4980,5490,6040,6620,82r1,003

1,4271,952) \11

3,3185,t627 511

10,49814,06518,371

24.697

* Valores tomados de King, de Handbook of Hydraulics, 4." ed., McGraw-Hill Co'

256 APENDICE

TABLA 13

AREAS DE CIRCULOS

Diámetro interior(cm¡

Area(cmt )

Diámetro interior(cm2)

Area(cm')

)(\

3,0

4,0455,0556,07,08,09,0

10,015,020.0

3,144,91'7,07

9,6212,5'7

15.9019.64)7 76)R )138.4850.2763,62'78.54

17 6.7314,2

253035404550'75

100t25r50175200225250300

490,9706,9962,1

1.2571.5901.9644.4187.854

t2.272l'7.67224.0533l.41639.76149.08770.68ó

TABLA 14

PESOS Y DIMENSIONES DE TUBERIAS DE FUNDICION

Diám. Nom.

de tuberia

Tuberia tipo A(carga 30 m)

Tubería tipo B(carga 60 m)

Tubería tipo C(carga 90 m)

Espesorde

pared(cm)

Diám.interior

(cm)

Peso(kelm)

Espesorde

pared(cm)

Diám.interior

(cm)

Peso(ke/m)

Espesorde

pared(cm)

Diám.interior

(cm)

Peso(kelm)

(in)(cm

aprox.

A

o

8

10

l214l618)^1A

30JO

4248<A

607284

t0l)20253035404550607590

105

r20r351501802to

r,0'71,12l,l71,2'7117145I S)tÁ11,701,93a 1^

)512,19,1)n1¿11 51

4,11

10,0615,2920,6s75 Á5

30,7835.9741,1546,2851,466l,67'76,15

91,39106,68l2l,87r37,06152,45I 83, 13

213,61

)aR45,863,985,0

lo'7,9r11 416r,2r92,3

304,0434,2583,1'762,9

992,41.190,8t.364,51.908,32.435,2

1,14I 1a

l,301,451 <?

I,681,78|,912,032,262,62)q)1?53,6r3,944,244,9s5,64

10,4115,6020.402s,3030,3815 5r

40,6445,'7250,8061,0 r

76,0591,44

r 06,53121,82137,16t(l <<

183,13213,61

49,670,'l95,0

1)) )r52,6186,1

260,5147 7

496,1676,1880,8

1.116,41.389,21.643,32.302,73.131,9

1,221,30t,421,57r,'731,882,03))12,342,643,053,453,914,344,835,086,07

t0,261\ 4420,7825,8130,843s,9941,1546,1 851 ,3661,5776,2091,39

106,7312r,8'7r3'7,t6r52,91183,13

34,'l51 1

77,6105,4136,5r73,7214,0260,5310, l415,659s,4812,4

1.066,8I .3 52,01.699,91.997,62.834.2

3 4 5 67810' 3 4 5678105 3 4 5 678 106

Turbulencia comDleta

.100

.090

.080

.0?0

.060

.050

.040

It-l+ lranslclonI

3 4 5 678

.050 =./d.040

.030

.025

.020 = cld

.015

.010

Lam.030

.025

z(.)(.)

ú

Fz(J-U

.030

-o25

.020

inar 't64¿-"

I*l

.008

.006

.004

_ .002= ¿/d

.0015

.0010

.0008

.0006

.0004

.0002

.0001

.00006

.00004

678105 r-t 2 3 4 56?8106 1.5 2 3 4 5678107 1.5 2 4 5678

NUMERO DE REYNOLDS : vdt

IJ\¡

DIAGRAMA A-1FICIENTES DE FRICCION

PARACUALOUIER CLASE O TAMANDE TUBERIA)

Curvas para rugosidades relativas

e/d de .000001 a .050

G - tamaño de las imperfecciones super-ficiales en cm.

/: diámetro interior real en cm

Tipo de tub€r¡¡ o de

rev6tiEieoto (Duevo)

V¡lor6 de € en cm

Inaen¡lo I Velo¡ de di*ñoL¿tón 000t 5 0001 5

Cobre .0001 5 0001 5

Hormigon 03- 3 ot2Fundición desnuda 0t2-0ó tt24

Fundición asfaltada 006- 0t 8 o2n reveslida de cemento ooo24 oon) 4

Fund ¡evestimi€nto hr!uminoso 00024 00024

Fundición centrifugada 0003 OOUJ

Hierro galvanizado 006- 024 05Hrerro lorlado 006

Acero comercial y soidado 003- 009 006

Acero robloDado 09- 9

Tubo estirado 00024 00024

Madera .0 018- 09 06

Nota: Por razones tipográficas, se ha conservado en estos diagramas la notación decimal de la edición en inglés

N)@

0.10019

.090

.080

.070

.060

Turbulencia completa

.090

.080

.070

.060

.050 = ¿ld

.040

.030 =./d.026.o20

.0L6 = clil

.004

.003

z(JL)

*

trz(Jl-

I

.010

.008

.030

.026

.0001 = y'd

.00006

.012

.010

.009

.008

.010

.009

.008

.007

VALORES DE R"rt = g I 2g q-n",{ L

DIAGRAMA A.2*FICIENTES DE FRICCION

PARA CUALQUIER CI..ASE O TAMAÑDE TUBERIA)

Curvas para rugosidades ¡elativas

e/d de .00000t a .050

€ : tamaño de las imperfeccrones super-ficiales en cm.

d: diámetro interior real en cm-

'Para la resolución directa, cuando 0 es

desconocido, se calcula Rrrf/. que es igual a

lrt "tllt geuncapiruto 7)

TiDo de tub€ri¡ o derevesaiúieolo (trúevo)

V¡lo¡es de É en cD

lnaerv¡lo V¡lor de di*ño00015 0001 5

Cobre 000 5 0001 5

Hormigón 0J- 3 t2Fundición desnuda 012-.06 o24Fundición asfaltada .006- 018 ot2Fundición rcvestida de 00024 00024

Fund revestim¡entobituminoso ooo24 ooo24tund¡ción centrifugada 0003 0003Hierro galvanizado 006- o)4 05Hierro lbrjado 00t-.009 006Acero comercial v soldado 001- 009 006Ace¡o roblonado .09- 9Tubo estirado ooo24 . 00024Madera 018- 09 06

259

DIAGRAMA B

MONOGRAMA DE CAUDALES

FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS, C':100

r00

9.000

7.000

5.000

r50

3.000

2.500

2.000(9trJoaofEFJ

z.ltJ

)of(J

50

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30

d)Szo=rsr.¡:- ro

tluorE:so((9

z.ul

aJ

o:lL)l

r.500

t.000

750

500

250

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r30r20I r0r0090

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25

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r5

t0

Eooo+tril!!trooo

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3,00

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sq0

aofrFLrJ

FzturJzt!oÉ,Ful

o

LN<t5o9e12

ñr08BFtrJ

á6

6051

¿8

L2

36

30

Ver(2) obojo _---"/'--''-"/

Ver (1) obojo

0,15

0r 20

0,30

0,400,5 0

0,? 0

1,00

1,50

2,00

0,5

q¿

q3

79----.-:- ""/l50'-'/20

25

20

t5

r0

¡I

UTILIZACION DEL MONOGRAMA

(1) Dqdo D=60cm., S=1,0m/1000m, C¡= 120;determinqr et cqudol Q.

El nomogrqmo dó Qroo=170 t.r/seg.

Poro C¡=llQ, O = (lz0/.l00) 170 = 201 t. /seg.(2) Dqdo O=156 l./seg., D= 60cm., Cl =120; determinor to pirdido de corgo.

Combiendo Orzo o Oroo : er00 = (100y'20)156 =130 t./q.El nomogromo dó S=0,60rn./tooorrl.

NJ

lare

Ui:

U

100,000

NUMERO DE REYNOLDS = VoDo/v

1x106

F*i

=¡:U

.93

1000

N)o\

NUMERO DE REYNOLDS: VzDzlv

262

q\]

.¿9:a(

qla

\e

) qJNTI)HgOJ

FERAS(ESCALA SUPERIOR

Cr=#paraft"5o.60-nEDIAGRAMA F

COEFICIENTE DE RESISTENCIAEN FUNCION DE R"

.02 .03 .05 .0? .l .2 .3 .5 .? I

UsQ-Iqq

l¡lt\Rl¡¡

U

l¡¡

Q̂

100

80

6050,10

30

n

I

.6

.5

.4

.3

,

2tt 2r,

NUMERO DE REYNOLDS (VDlv)

t\)

l..Jo\A

DIAGRAMA G

COEFICIENTES DE RESISTENCIA PARA PLACAS PLANAS Y LISAS

.005

.004

U\(-)

Rl'lC^{(^a0<

\lt¡

=r\¡aU

cn= 0.455 (Rr > 107)(logro ffr)2'58

.@2

.m15

.2100

NUMERO DE

C, = o'?7: 1ft" < to?, turbulento )

RLttú

TRANSICION

r _ 0.455 t?00_t)---------_------F- (locr¡ fr)"'oo Rf

lparaR¡, > b0O,0O0)

REYNOLDS (Vxlvl

265

COEFICIENTES

DIAGRAMA H

DE RESISTENCIA A VELOCIDADES SUPERSONICAS

U\(-)

R|\c^{C^

A<

KJLiell¡U:U

1.8

1.6

1.4

r.2

1.0

.8

.6

.4

.2

0

1.6 2.O 2.4 2.8

NUMERO DE MACH

4.03.63.2

INDICE

Aceleración hneal,42-45 Bernoulli, ecuación de, 73, 83-92, Canales abiertos, de sección circularAdhesión, 4 103-109, 136-145, 149, 155, 229, incompleta, 169,170Adrizante, momento, en cuerpos 230,241 distribución de velocidad, 161,

flotantes, 36, 40 Bomba, rendimiento de utta, 227, 165, 167

Agua, ruedas de,225 237-239 energía especifica, 16l, 173-177

Aire, propiedades del, 246 Bombas, altura desarrollada en,230, factores de descarga K y K', 170'Altura de carga, de presión, 5, I l-15, 231, 237, 238 172, 254, 255

73,84,107,110,111,136,139, caudal unitario,226,23l,232 flujoen,crítico,162,173-177,182-140 curvas altura-caudal en. 238.240 188

de velocidad, 73,84-92, 135, 16l, en tuberías de transporte, 87, 10ó, no uniforme, 162, 178-188

229,231 121,240 subcrítico, 162' 173-176

desarrollada por bombas, 230, factordevelocidad,225,23l,232 supercrítico, 162,173-l'16

231, 237, 238 geométricamente semejantes,225- flujo laminar, 160, 16l, 164

decreciente, 152-154 227,236-240 flujo no uniforme en, 160, 162,

desagüe bajo, 152-154 homólogas, 226,237-240 177-188

elevación o cota topográfica,13 leyes y constantes para, 231-240 flujo normal, 161

estática,73 modelos de,237,239 flujo turbulento, 16l-188pérdida de, 56, 83, 98-100, 102, pérdida de carga en, 231,237 flujo uniforme, 160, 163-177

249 potencia unitaria, 226,231,232 fórmula de Bazin para, 16len boquillas, 134,141,145,146, relación de velocidad, 225, 237 - fórmula de Chezy para, 160, 163,

261 239 166,168-172en canales abiertos, 16l, 178- velocidadespecífica,227,231,239 fórmuladeKutterpara,160,168-

180, 184, 185 velocidad unitaria, 226, 231, 232 170,253en orificios, 134, 139,140,249, Boquillas, coeficientes de, 134, l4l, fórmula de Manning para, 160,

260 145, 146,261 166-172, 175, r82entuberías,85,86,98-111,116- deaforo,145-147,252,261 líneadealturaspiezométricasen,

129 en tuberías, 134,141,145,146 163

en tubos, 134,140 flujo a través de, fluidos compre- línea de alturas totales en, 160,

en venturímetros, 134, 142,143, sibles, 145, 146,252 162, l8l147,262 de fluidos incompresibles, 141 medidor de caudal, 188

sobreturbinas,230,233-236 pérdidas de carga en,134,141, pendiente critica,l74,l'75sobre vertederos, 135, 149-152. 145, 146,249 pendiente de, 160-165, 168-l'72,

154 Boyle, ley de,2 1'75-182

tota1,73,84,133, 139,140 Brusca, contracción, 107,108,249, pérdidas de carga en, 161, 178-

Altura de succión de una bomba.87 250 180, 184, 185

Análisis dimensional, 50, 67, 207, Brusco, ensanchamiento, 106, 107, perfiles, 182,'183

213 110,249,250 profundidad crítica en, 162, 173-

Angulo, de ataque, 194, 209, Zl0 Buckingham, teorema de Pi de, 50, l7'7, 182-188

delcono, 196,221 57-61 radio hidráulico, 160-162, 166-

Areas de círculos, 256 172, 175-181,185, 18ó

Arquímedes, principio de, 36 rectangulares, 162-164, 166-110,

Atmósfera, normal, 11 Canales abiertos, 160-188 l'73-175, 176-195

caudal unitario máximo e¡, 162, resalto hidráulico, 163, 183-187

173-177 sección óptirna, L72

Barómetro, 11 coeficientes de rugosidad, 161, tensión cortante en, 163-165

Bazin, fórmula del vertedero, 135 163-168,252 tramos en, 162, 177, 178

fórmula para C, 16l curvas de perfil, 177-183 trapezoidales, l7l,172,174-176

267

268

Canales abiertos, velocidad críticaen, 162, I73-l'77

Cantid¿d de movimiento, coeficien-te de corrección de la. 192,196,197

ecuación de la, 192

lineal, 192-20'7, 240momento de La,228variación de la, 192, l9'7 -20'7, 228,

240Capa límite, coeficiente de resisten-

cia, 194, 195,214-217en placas planas, 194, 213-217,

264espesor de, 166, 194,195,213-217laminar, l¿6, tg4, 213-217tensión cortante en, 165, 194,195,

213,2r4turbulento, 195, 215-217, 264

Capilaridad, 4, 18

Cauchy, número de, 52

Caudal,'70-72ideal, 133, 134

medida de, 133-156Cavitación, l4l,227Celeridad, 6, 57, 137, 148, 196,206,

207, 21'7-22rCentro, de flotación, 36, 40

de gravedad,22-29de presión, 22-29

Cero, presión, 12

Cilindro, coeficientes de resistencia,263

Cinemática, semejanza, 51, 6l-6'7viscosidad, 3,'7, 8, 246, 247

Cinética, energía, 73, 241factor de corrección de la, 73, 81,

161

Cipolletti, vertedero de, 135, 152

Codos, fuerzas sobre, 202, 203pérdidas en, 118,249

Coeficiente, de boquillas y toberas,145-147, 261

de contracción, 134, 139-l4lde descarga, 133, 139-145, 251,

260-262variación con el número de

Reynolds, 260-262de orificios medidores, 143, 144,

260de resistencia, 55, 66, 67, 193-

195, 207 -217 , 263-265de rugosidad, 116

de sustentación, 193, 194,208-2llde velocidad, 134, 139-141de venturímetros, 134, 142,143,

147,262Coeficientes de flujo, 142-145,260-

262

Cohesión, 4

INDICE

Colebrook, ecuación de, 99

Componente horizontal de una fuer-2a,22,29-32

Componentes de fuerza hidrostáti-ca,22,29-32

Compresibilidad, de gases, 5-7, 17

de líquidos, 5

Compresión de gases, 5-7, 17

Condiciones adiabáticas, 5,7, 145

Conservación, de energia, 72

de masa, 70-71

Contracción de un chorro, 134, 139,l4r, 143, r44

Cortante, tensión, en fluidos, 3, 9,

10, 56, 83, 97,100-102, r94,195,214

Cortantes, fuerzas,82, 83, 101

Cortos, tubos, 140, 153

Cuerpos sumergidos, empuje hidros-tático de, 36-40

resistencia sobre, 193, 207-218Curva de perfil, 177-183

Charles, ley de, 2

Chezy, fórmula de, 160, 163, 166,168-172

Choque, onda de, 196

Chorro, contracción de un, 134, 141,

r43, r44energía de un, 140, 141

fuerza de un, 197-201,204,205presión en un,45, 139, 148

reacción de w'204-207trayectoria de un, 139

velocidad de un, 134, 139-141,t43, 148

Darcy, factor de fricción de, 57, 98,99, r02-rr1,116, 118, 160, 168,

248, 25'7,258Darcy-Weisbach, fórmula de, 98,

r02-r11,116, 118

Densidad, 2, 6,246Depósitos, tiempo de vaciado de,

66, 136, 152-154Diagramas:

coeficientes de boquillas de afo-ro,26l

coeficientes de medidores de ori-ficio, 260

coeficientes de resistencia, 263-265

coefi cientes de venturímet r os, 262factor/de Darcy en función del

número de Reynolds, 257,258nomograma de Hazen-Williams,

2s9

Diferencia de presión, 4, 12-17, 195,219,220

Dimensiones, 1

Distribución de velocidades, 73, 81,97, 101, 161, 165, 167, r97, 213

Ecuación, de continuidad, 7 l, 7 4-77de la energía (ulase Ecuación de

Bernoulli)Ecuaciones, empíricas para flujo en

tuberias, 115

generales del movimiento, 82, 84Elasticidad, módulo de,5-'l ,52, 196,

218-220,246Empuje, 206, 207, 227, 240-243

del hielo sobre las presas, 29

hidrostático, 36-40hidrostático sobre la base de unapresa, 29

Energía, cinética, 73, 241conservación de la,72debida a Ia presión, 73

específica, 16l, 173-17'linterna, 73

potencial, 73

total, 82, 84transformación, de la, 84

Ensanchamiento, brusco, 107, 110,

249gradual,249,250pérdidas, 249,250

Esferas, coeficientes de resistencia,263

resistencia de, 193, 2ll, 212,217,221

Específica, energía, 16l, 173-1'77

velocidad, 226, 227, 231-236, 239Específico, calor, 6

peso,2, 6,246volumen, 2, 6, 7

Estabilidad, de cuerpos flotantes,36,40

de cuerpos sumergidos, 36

Estacionaria, ola, 66Estancamiento, presión de, 90, 133,

l3't, 138, 19'7

punto de, 90,136, l3'7temperatura de, 138

Estática, presión, 136, 138

Estela,242,243Euler, ecuación de, 83

número de, 51,64Exponente adiabático, 5, 84, 246

Factores de expansión Y, 146,252Flotación, 36-40

centro de, 36, 40

Fluidos, Ipropiedades de, 1-19, 246,247

Flujo, adiabático, 84, 91, 137-139,r45-149

crítico, 96, 100, 162, 173-177, 182-

188

de fluidos compresibles, 83, 84,

92, 108-1 10, r37 -139, 145-149

a través de boquillas de aforo,145-14'l,252

a través de orificios, 9, 90, 148

a través de secciones conver-gentes, 145, 147 , 148

a través de tuberías, 91,92, 108,109.137-139. 145-149

a través de venturímetros, 145,

147,252ecuaciones generales del, 82-84

en canales abiertos, 160-188

en tuberias, 85-89, 91, 92, 96-lll,rL6-129,136-138

isotérmico, 83,.92, 108-110

laminar, 96, 98-104, 160, 194, 214-medida de. 133-15ó l2r7neto, 72, 78-81no permanente,71,76, 136, 152-

156

no uniforme, 7 1, 7 6, 152-156, 160,162, 178-188

permanente, 7 l, 7 4, 77, 82, 85, 89,

91, 96-rll, 115-129, 163-167

radial,23lsónico,194subsónico,194supersónico, 194, 196, 221

suponiendo densidad constante,8ó, 90, 105, 111, 138, 14ó

tridimensional. 76. 77

turbulento, 96, 104-111, ll5-129,r95,215-217

uniforme, 7 0-72, 96-lll, ll5-129,160, t63-t77

Francis, fórmula del verte{ero de,135

Fricción, factores para tuberías, 57,

99, 101-111, 116, 118, 160, 168,

248.257.25?Hazen-Williams, 115-129número de Reynolds y,99, l0l-

ttt,257,258tablas de, 248

Froude, número de, 52, 63, 65-67

Fteley y Stearns, fórmula del verte-dero de, 135

Fuerza dinámica. 192-212

sobre codos en tuberías. 202.203sobre placas planas, 197-198,204,

208.210sobre reductores en tuberías. 202.

203

INDICE

Fuerza dinámica, sobre superficiescurvas, 192,197-203

Fuerzas, componentes horizontalesde,22,29-32

componentes verticales de, 22,

29-32de gravedad, 52, 6l-63, 65-67

de presión, relación de,51,62dinámicas, 192-212

elásticas, 52, 6lempuje hidrostático, 36-40

localización de. 22. 24-29sobre álabes, 199-201

sobre 6reas,22-23sobre codos. 202.203sobre cuerpos flotantes, 36-40

sobre placas planas, 197, 198, 204,208,2t0

sobre presas, 28, 29

sobre reductores, 202, 203sobre superficies curvas, 22,29-32

Fundamentos de flujo de fluidos,70-95

Gases, compresión de, 5-7, l7definición, Iflujo de, adiabático, 84,91,137,

138, 145-148flujo de, densidad constante, 86,

90, 105, 111, 138, 146

flujo de, isotérmico, 83-92pesos específicos de,2, 5,246viscosidad de,3,246

Giro, de masas líquidas,42,45-48en vasijas abiertas, 42,45,46en vasijas cerradas, 42,46-48

Golpe de ariete, 195, 217-220Gradiente, de alturas de presión

(uéase a continuación, de altu-ras piezométricas)

de alturas piezométricas, 74, 84,89, 106-108, 110, 111, r2l, r23,t24,163

de alturas totales, 74,84,87,89,107-110, 160-182, 187, 188

Hardy Cross, método de, 125-129Hazen-Williams, fórmula de, 115

diagrama de la,259empleo de la, 116-129

Hélice. turbina de.236Hélices, características de las, 227,

240-243coeficientes de las, 227, 242, 243empuje en, 227, 240, 241, 243

potencia de entrada en, 57,227,243

269

Hélices, potencia de salida en,227,240,24r,243

relación avance-diámetro, 242

Hidráulica, 1

Hidrómetro, 37

Hidrostática, 22-40

Impulso, 192, 197 -207, 240

Impulso-cantidad de movimiento,principio del, 192, 197-207,228'240

Inercia-elasticidad, relación de fuer-zas de,52

Inercia-gravedad, relación de fuer-zas de, 52,63,65-67

Inercia-presión, relación de fuerzas

de, 51

Inercia, relación de fuerzas de, 51'

62Inercia-tensión superficial, relación

de fuerzas de, 52

Inercia-viscosidad, relación de fuer-zas de. 51. 63-65

Isotérmica, flujo, 83, 92, 108-110

Isotérmicas, condiciones, 5, 7, l7

Kutter, coeficiente de, 160, 168-170'

253

Laminar, capa límite, 166, 194,213-2r7

fl ujo, 96, 98-10 4, 160, 194, 213-217

en canales abiertos, 160, 161,

r64en capas límites, 194,213-217en tuberías, 96, 98-104

Límite, velocidad, 2ll, 212, 22tLínea de alturas piezométricas, 5ó,

7 4, 84, 89, 106-108, rl0, lrr, l2l,123, 124,163

Línea de corriente, 71,79,80Líneas, de alturas totales, 74, 84,

87,89, 107, 108, 110, 111, 160,

162, l8lequipotenciales, 72, 79, 80

Líquidos, propiedades de los, 1-19,

246.247Longitudinal, tensión, 23

Mach, ángulo de, 196,221número de, 52, 61, 138, 148, 194,

196, 206, 207, 210, 22rManning, fórmula de, 160, 166-172,

175-182

270

Manómetro diferencial, 13, 15,

85, 137, 142, r43,145,147de tubo enU, 12-14

Máquinas hidráulicas, 225-243Máxima, potencial, 200Máxima, desagüe, 162, 172Mecánica de fluidos, IMedia velocidad, 72, 73, 78,

164-166Medidas de flujo de fluidos compre-

sibles, 137, 138, 145-149Medidor de flujo crítico, 188Medidores, de boquilla, 134,

r45, 146,252,261de orificio, 143, 144,260Venturi, 85, 134, 142, 143,

147. 252. 262

t4I,

Menores, pérdidas, en tuberías, 107,rr8,249

Metacentro, 40Modelos y prototipos, 50-52, oi-67,

236-242Módulo de elasticidad, 5-7,52, 196,

2t8-220,246volumétrico, 5-7, 52, 196, 218-

220,246Mojado, perímetro, en canales abier-

tos, 163, 164, 167-172, 175-181. 185. 186

en tuberías, 83, 96, 102-ll1Mon¡ento, adrizante de cuerpo flo-

tante. 36. 40cinético,228

Momentos d,e inercia, 22-29

Newton. ecuación de. 51

No permanente, flujo, 71, 76, 152-156, 160, 162,177-188

No uniforme, flujo, 71, 76, 152-156,160, 162, 177-188

Nominal, potencia, 82, 234-237Número de Reynolds crítico, 99,

100,216,217

Onda, de compresión, 218-220de presión, velocidad de la ,6, 137 -

t39, 148, 196, 206, 207, 2r7 -221Optimización económica de tube-

rias, I24Orificios. 139. UA

cóeficientes de, 133, 139,251,260desagüe bajo altura de carga de-

creciente, 152-154en flujo compresitile, 90, 91, 148ed tuberías, 143, 144,260medidor de, 143, 144,260pérdidas de carga en, 134, 139,

r40.249.260

INDICE

Par, 225,227,228Parabólica, superflcie de agua, 45-48Paralelo, tuberías en, 115, ll9-123,

125-129Pelicular, rozamiento (uéase Resis-

tencra)Pendiente, critica, 17 4, 17 5

de canales abiertos, 160-165, 168-172, 175-182

de la línea de alturas piezométri-cas, 56, 74, 89, 106-108, ll0,ttl, t2t, 123, 124, 163

de la línea de alturas totales, 74,87, 89, 107, 108, 110, 111; 160,162, r8l

Pérdida, de energía (uéase Pérdid,asde carga)

por fricción (uéase Pérdidas decarga)

Pérdidas, a la entrada, 108,110,249a la salida, 106, 118, 231,249de carga, 56, 83, 98-100,102,249

a la entrada, 108, 110,249a la salida, 107, 118,249debidas a codos, 118,249debidas a contracciones, 107,

249,250debidas a ensanchamientos,

107,110,249,250debidas a válvulas, 110, 118,

123.149debidas a venturímetros. 134.

142, 143, 145, 147,262en accesorios, 107, 108,249en boquillas, 134, l4l, 145, 146,

261en canales abiertos, 161, 178-

180. 184. 185

en flujo compresible, 109

en flujo laminar, 98

en orificios, 134, 139,140,249,260

en resalto hidráulico, 163, 183-r87

en tuberías, 56, 83, 86, 98-100,r02-ltt, tt6-129

en tubos. 134.140menores, 107, 118,249otras, 100, ll8,249

Perfil de ala. 193.203Periférica, factor de velocidad, 225,

231-237Perímetro mojado, 83,96, 102-lll,

163, 164, 167-172, 175-181, 185,18ó

Permanente, flujo, 71, 74, 77, 82, 85,89, 91, 92, 96-llr, 115-129, 163-r77

Peso, caudal en,75,76, 146, 147específico, 2,6,246

Pesos, fluidos, 2de tuberías de fundición, 256

Piezométricos. tubos. 14Piezómetro mojado, 83, 9 6, 102-lll,

163, 164, 167 -172, 175-181, 186Piezómetros, 14Pitot, tubos de, 133, 136-138Placas planas, capa límite en,

195,213-217fuerza dinámica sobre, t97,198.

204,208,2r0número de Reynolds para, 194,

r95,214-216resistencia de, 193, 194,208-210,

2lt,213-216,217Planos, superficies, fuerzas sobre,

22-29Poise, 3, 7, 8

Poiseuille, ecuación de, 98, 102-104Potencia, de un chorro, 140, l4l

expresiones de La,74, 123, 201',209, 225-228

nominal. 82.234-237suministrada a una turbina, 82,

87, 89, 110, 123, 228-230suministrada por una bomba, 87,

106. 121.228Potencial, energia, T3

Powell, fórmula de, 161, 167, 168Presas, curva de remanso originada

por, 177-183de gravedad, 29empuje hidrostático sobre, 29fuerzas sobre,29resalto hidráulico después de, I 83-

Presión, absoluta, 5, ll, 16 [1S7altura de, 5, 11-15, 73,84, 107,

110, 111, 136, 139,140atmosférica, 11

barométrica, 11

centro de,22-29crítica, relación de, 148de estancamiento, 90, 133, 137,

138, 197

de vapor, 3,87, 141,246de vapor de agua, 3,87, 141,246diferencia de,4, 12-17dinámica, 54, 197en el golpe de ariete, 195,217-220en un chorro, 45,139,148en un fluido, 4energía de, 73

estática. 136. 138manométrica. 4. 1l-16negativa, 11

transmisión de, 4unitaria. 4. 10-17

Principio de Arquímedes, 36Profundidad, cntica, 162, 173-17i,

I 82-1 85

t6,

INDICE

Profundidad, de flotación, 36-40 Rugosidad,encanalesabiertos, 16l, Tablas, exponentes adiabáticas,246Propiedades de los fluidos. 10-19, 163-168,252 factores de descarga Ky K'.254,

246,241 en tuberias.56,60,99. 104, 115. 255Propulsión, a reacción, dispositivos 116 factores de expansión ),. 252

de,205-207 relativa, 56, 60, 115, I 16 lactores de rugosidad n (canalespor hélices, 227 abiertos), 252

Prototipo, 50-52,61-67,236-242 factores de rugosidad r (canalesProyectil, resistencia de un,221,265 Saybolt segundos. 8 abiertos), 252

Sección, recta óptima, 172 módulos de elasticidad, 246transversal óptima,172 pérdidas de carga en accesorios,

Radial, flujo, 231 Semejanza, cinemática, 51, 6l-67 249velocidad, 231 dinámica, 51,52,61-67 en contracciones bruscas, 250

Radio hidráulico, 83, 96, 115, 116, geométrica, 50, 61-67, 225-22'7, en ensanchamientos graduaies,160-162, t66-172. 175-181, 185, 235-240 250186 hidráulica, 50-67 peso específico, 246

Reacción, de un chorro, 204-20'7 relación de caudales, 51, 6l pesos de tuberias de fundición,turbina de,228-230,234,236 relación de fuerzas, 51,52,61- 256

Rectangulares, canales abiertos, 64 presiones de vapor, 246162-164,166-170. 173-175,1'16- relación de presiones, 51, 6l tensión superficial, 246185 relación de tiempos, 52, 62 viscosidad absoluta, 246

vertederos, 134, 135, 149-151, 154 relación de velocidades,51,6l- viscosidad cinemática,246,241Red de tuberías, método de Hardy 63 viscosidad dinámica,246

Cross, 125-129 leyes de, 50-52,61-67,225-228 Tainter, compuerta tipo, 34

Relación, avance-diámetro,242 Sin contracción, vertederos, 134, Tamaño de una tuberia, más econó-de presión crítica, 148 135, 149-151, 154, l7'7 mica,124

Relaciones, de caudal, 51, 61 Sistemas, de tuberias, ll5-129 requerido, 76, 100, lO3, 106, I l9de fuerza, 51, 52, 6l-64 de unidades, 1 Temperatura, absoluta (Kelvin). 2,

de presión, 51,52,62 Sonido, velocidad del, 6, 57, 137- 5. 7

de tiempo, 52, 62 139, 147-149, 194,218-221 de estancamiento, 138

de velocidad, 51, 61-63 Subcritico, flujo, 163, 113-176 Tensión en anillos, 22,32,219Relativa, densidad, 2,36-38,247 Subsónica, velocidad, 194 Tensiones en tuberias. 22, 23, 32,

velocidad, 193, 198-201,210,215, Subsónico, flujo, 194 219228,229,231,231 Succión, altura de, 87 Tiempo, necesario para establecer

Rendimiento, en héIices,241,243 Supercrítico,flujo,162,173-l'/6.221 un flujo, 136,154-156en bombas, 227,237-239 Superficial, resistencia, 193,214-215 necesario para depósitos, 66, 136,

en turbinas, 82,227,230,235,236 tensión, 3, 18,246 152-154Resalto hidráulico, 163. 183-187 Superficies curvas, fuerzas dinámi- Tiempos. relaciones de,52,62Resistencia, 55, 56, 193, 207-217 cas sobre, 192,197-203 Total, altura de carga, 13,84, 133,

coeficiente de, 66, 67, 193-195, fuerzas estáticas sobre,22,29-32 139, 140

20'7-217, 263-265 Supersónica, velocidad, 196, 221, energía, 82, 84de cuerpos sumergidos (ulase Re- 265 Transición, en capas limites, 195,

sistencia) Sustentación. 193,201-211 216,264de esferas, 193,211,212,217,221 coeficiente de, 194, 20'l-211 Transmisión de presión, 4de forma, 193, 208, 2ll, 212, 211 Stoke, 3, 7, 8 Trapezoidales, canales abiertos, 171,

de placas, 193,208, 210,211,214- 172,174-176217, 264 vertederos. 135, 152

de un perfil, 193 ?'líneas en, 144,260 Traslación, de masas líquidas, 42-45superficial, 193, 194,213-217 Tablas, áreas de círculos, 256 Trayectoria de un chorro, 139

Reynolds, número de,5l,54,59-67, coeficientes C de Kutter, 253 Triangulares, vertederos, 135, 149-96-100, 103-111, 116. 134, coeficientes C, de Hazen-Wil- 151

143-147, 166-168, 193-195, liams, 250 Tuberias, con bombas, 87,106, l2l,207,208,210,212-217 coeficientes de desagüe para ori- 240

critico, 96, 100, 216,217 ficios normales, 251 con boquilla, 134, l4l, 145, 146Rodete impulsor,230,231 coeñcientes de Fricción f para con turbinas,89, 110, 123

Rodetes, 225-227 agua, 248 de fundición, dimensiones,256Rozarniento, diagrama para facto- constante de los gases R, 246 de pesos, 256

res de, 257, 258 densidad, 246 diagramas de flujo para,257-259Rueda de impulsión, 232-234 densidad relativa,24'/ diámetro económico de, 124Rugosidad, coeficiente de Kutter. dimensiones de tuberias de fundi- dimensión requerida para, 76,

160, 168-170,253 cíón,256 100.103. 106. ll9

271

272

Tuberías, distribución de velocidad,e¡,97,98, 101, 102

en paralelo, ll5, ll9-123,125-129en serie, 115, 117-119, l2l, 122

equivalentes, ll5, ll'7 -120

espesor de,32,219factores de fricción para, 57,99,

101-111, 1r6, 1r8, 160, 168,248,)57 )5?,

flujo ccrmpresible en, 91,92, 108-110. 137. 138.145-149

flujo en, 85-89, 91, 92,96-lll, 116-r29, 136, r37

flujo laminar en, 96, 98-104flujo turbulento en, 96, 97, 99,

104-1 1 1

lórmula de Hazen-Williams. para.1r5,259

golpe de ariete en, 195,217-220línea de alturas piezométricas en,

56,74,84,89, 106-108, 1 10, 111,

r2l, 123, r24, 163línea de alturas totales en, 84, 87,

89, 107, 110

medida de caudal en, por boqui-lla de aforo, 134

por orificios, 143, 144,260por tubos de Pitot, 133, 136-138por venturímetros, 85, 134, 142,

143, 145, 147,252,262no circulares. 111

número de Reynolds y f para,99,103-111, 116,2s7,2s8

parcialmente llenas, t69, 170pérdidas de carga en, 56, 83, 8ó,

98-100, 102-111, tr6-129a Ia entrada, 108, 110, 249a la salida, 107, ll8,249debidaacodos,118,249debida a contracciones, 107,

249,250debida a válvulas, I 10, I 18, 123,

249debida a venturímetros, 134,

r42, t43, 145, 197, 262menores, 107, 118,249

radio, hidráulico de, 83, 96, 115,

116, 169

ramificadas, ll5, 123

relación longitud-diámetro, 107

rugosidad de, 56, 60, 99, 104, I 15,

116

semejanza entre modelo y pro-totipo, 50, 51, 6l-67,236,239,241

tensiones en las paredes de,22,23,32,219

tiempo necesario para establecerel flujo en, 136, 154-156

velocidad crítica en, 96, 100

INDICE

Turbinas, altura de carga sobre,230,233-236

altura útil, 89, 232, 236caudal unitario, 226, 231-235de impulsión, 232-234de reacción, 228-230, 234, 236en tuberías de transporte, 89, 1 10,

LZ5

factor de velocidad, 225,231-235geométricamente semejantes, 236homólogas, 226, 232, 236f eyes y constantes, 225-243par en el eje,225,228potencia de entrada, 82, 87, 89,

1r0, 123,228-230potencia de salida, 230,232,235-

237potencia unitaria, 226, 231-236relación de velocidad, 225, 231-

235rendimiento, 82, 22'7, 230, 235,

236rendimiento hidráulico, 227, 230velocidad específi ca, 226, 23 1 -236velocidad óptima, 231, 234velocidad unitaria, 226, 231-236

Tubos, capilares, 18

cortos, 140, 153

de corrientes, 7 1, 79, 80de Pitot, 133, 136-138piezométricos, l4Venturi, 85, 134, 142, 143, 145,

r4'7, 252, 262Turbulenta, capa límite, 195, 215-

2r7, 264

U, manómetro de tubo e¡, 12-14Unidades empleadas, 1, 53

Uniforme, flujo, 70-92, 96-1 I I, I 15-

r29, 160, 163-r'77Unitaria, presión, 4, 10-17

vefocidad, 226, 231-236Unitario, caudal, 78, 161, 173-177UTM, 1

V, vertederos en, 135, 149-l5lVáh'r,rla, tiempo de cierre de, 195,

217-220Váh.ulas, pérdidas de carga en, 110,

tl8, 123,249Vapor, de agua, 87, 141,246

efecto de cavitación por la, 141,

227presión de, 3, 87, l4l,246

Variable, altura de carga,152-154flujo, 71, 76, 152-156, 160, 162,

177-188

Variaciones de presión, con la alti-tud, 5, 12

en fluidos compresibles, 5, 17

en líquidos, 4,12-17Vasija, giro de,42, 45-48

trasfación de,42-45Velocidad, absoluta, 199-201, 237

altura de, 73, 84-92, 135, 161, 229,

23rcoeficiente de. 134. 139-141critica,96, 100, 162, 173-177

en canales abiertos, 173-l'17en tuberías. 96. 100

de aproximación, 135, 143, 149-151

de un chorro, 134,139-141,143,148

de una onda de presión, 6,137-139, r48, 196, 206, 207, 2r7 -221

del sonido, 6, 57, 137, 138,147-r49, 194, 196, 206, 207, 217 -221

distribución de, 73,81, 97, 101,

161, 165, 167,197,213efecto sobre la altura de veloci-

dad. 73. 161

en canales abiertos, 160-188gradiente de, 3, 8, 9ideal. 134. 142límite, 211, 212,221media,72,73,78, 134, 160, 164-

r66rnedida de la. 133. 136-139periférica, factor de, 225, 231 -237relativa, 193, 198-201, 210, 215,

228,229,231,237sónica, 6, 57, 137, 138, 147-149,

194,2t8-22rsubsónica, 194

supersónica, 194, 221, 265Velocidades, relación de, 51, 62

Vena contracta, 143, 144Venturímetro, 85, 1 34, 142, 143, 145,

147.252.262Vertederos, altura de, 135, 151

altura de carga sobre, 135, 149-152, 154

con altura de carga decreciente.154

con contracción, 134,135, 151

de cipolleui, 135, 152de pared gruesa, 163,187factor m,135, 136, 150, 151

fórmulas para, 135

presas como, 136

rectangulares, 134, 135, 149-15I,154

sin contracción, 134, 135, 149-15r. 154. 177

teoría fundamental, 149, 150

trapezoidales, 135, 152

Vertederos, triangulares, 135, 149-151

velocidad de aproximación en,

135, 149-151

Verticales, componentes, de unafiierua,22,29-32

Vértice forzado, 42, 45-48

INDICE

Viscosidad, 2, 3, 7-10, 212,24absoluta, 3, 8, 10, 212,246cinemática, 3, 7,246, 247

de algunos líquidos, 246,247del agua, 246,24Xdinámica, 3, 8-10, 212,246fuerzas de, 32, 63-65, 67

273

Viscosidad, unidades de, 3,7, 8

Volumen específico, 2, 6, 7

Weber, número de, 52

SGHAUM'S OUTLINE SERIES' CÍII.IEGE PHYSIGS

Induding ó25 SOIVED PtOllEfrtslditcd by CAREI W. von dcr |IERWE, Ph.D.,

?¡olotsq ol Pfitticr, N.t Yo¡h U¡ivc¡sil,.

COII.EGE CHEIÍISIRYincluding 385 SOIVED PROltEl/|s

ldiled by JEROME 1.. ROSENBERG, Ph.D.,Ptolttto¡ ol Chañitl¡t, lJnfu.rt¡af ol Piattbu.glt

' fk¡t Yr. C0ttEGE MATllEfilATlCSin<luding I85O SOTVED PROStEl/lS

By IRANK AYRES, Jr., Ph.D.,Ptolcsso¡ ol Molhcmolict, Diclinron Coll.ga

. CÍ¡IIEGE ATGEBRAincluding I94O SOTVED PROBIEI S

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ltATltEitAilGs 0t flllAilcEincluding 500 SOIVED PROEIEMS

By ÍRANK AYRES, Jr., Ph.D..P¡olcsso¡ ol rMot¡.norrcr, D;clitr¡od Collagc

. srATtsTtcsincluding 875 SOwED PROIIE¡/IS

Bv MURRAY R. SPIEGE[, Ph.D.,Prolcssot ol l,loth., l.n¡!.1o.. Poly¡a.h, tntl.

AIIATYTIC GE|ITIETRYinrluding 345 SOIVED PROBLETVIS

Bv JOSEPH H. KlNDtE, Ph.D.,Ptole¡to¡ ol Moth.ñolict, Uñiv.tsill of Circrñroli

. GALCUIUSincluding I t75 SOIVEO PROBtErvls

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