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14IN TERACCIO N EL EC TR IC A

14.1) Inlroducci6n 457

14.1 Introducci6n

Consideremos un experimento muy simple. Supongamos que despues de peinar

nuestro cabello un dia muy seco acercamos el peine a pedacitos ligeros de papel:

observamos que el peine los atrae. Fenorneno similar ocurre si frotamos una

varilla de vidrio con un pano de seda 0 una varilla de ambar con un pedazo de

pie I. Podemos conc!uir que, como resultado del frotamiento, estos materialesadquieren una nueva propiedad que llamamos eleclricidad (del griego elekiron,

que significa ambar), y que estapropiedad electrica da lugar_£!,_Jl l!a_i_I lt~ra_c_ci6n-

!lla.Lfuute_q.lLe..la_grilYitacjQ_Q, Hay, adernas, varias otras diferencias Iundamen-

tales entre las interacciones electrica y gravitacional .

En primer lugar, hay solamente una clase de interaccion gravitacional, que

da como resultado una atraccion universal entre dos masas cualesquiera; por el

cont rario, hay dos clases de interacciones elect ricas, Supongamos que acercamos

una variIIa de vidrio electrizada a una pequeiia esfera de corcho suspendida de

un hilo. Vemos que la varilla atrae la esfera. Si repetimos el experimento con

una varilla de ambar electrizada, observamos el mismo efecto de atraccion, Sin

embargo, si arnbas varillas se acercan a la esfera simultarrearnente, en lugar de'

una mayor atraccion, f:hservamos una fuerza de atraccion men or 0 aun ninguna

atraccion de la esfera (fig. 14-1). Estos experimentos simples indican que, aunqueambas varillas electrizadas, la de vidrio y la de ambar, atraen la bola de corcho,

1 0 hacen debido a procesos Iisicos opuestos. Cuando ambas varillas actuan simul-

tanearnente, sus acciones se contrarrestan produciendo un efecto menor 0 nulo.

Conc!uimos, entonces, que hay Q 2 S clases de estados d ..electrizacicn: uno que se

manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ambar. Al primero Ie llamamos posi-tioo y al otro neqaiioo, -----.----

z ~ 0

14.1 1ntroducci6nI I

I I

14.2I I

Carga electrica I II I

14.3Ley de Coulomb

I Varilla I Varilla

I de vidrio I de arnharI

~

IAmbar14.4 Campo electrico

I I-'- r\,

14.5 La I \

cuantizaci6n de la carga electrica <.'\ J ~-~

14.6 Estructura electrica de la materiaVidrio

14.7 Estructura at6mica(a) (b) (e)

14.8 Potencial electrico Fig. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y ambar electrizadas.

14.9 Relaciones energeticas en un campo electrico

14.10 Corriente electrica

14.11 Dipolo electrico

14.12 Mult ipolos electricos de orden superior

Supongamos, ahora, que tocamos dos esferas de corcho con una varilla d

vidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivamentc.

Si las acerca.!llos, observamos que se repelen (fig. 14-2a). EI mismo r SIIILn(io

se obtiene cuando tocamos las esferas con la varilla dearnbar

de .Lrizud»,<II'

modo que ambas se electri sn ne IDtiv:nncnt (fig. Itl-2i». Sin (·lublll'f.(Cl, ,i lOclt!IIIO.

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45 8 I nieraccion electrica (14.2

una de ellas con la varilla de vidrio yla otra con la de arnbar, de modo que una

adquiera electricidad positiva y la otra negativa, observamos que se atraen

(fig. 14-2c).

;:,

I II I

I I

I II '"

I

I I

+ I +I

I II I I

I,..,l.. . . J . . . _[, ~,_I \ I \ / \ I '

<\ I \ I \ I

\ I

.:>'-/_,

"- '-~, /

(a) (b) (e)

Fig. 14-2. Interacciones electricas' entre cargas de igual y de di:ferente signo ..

Por consiguiente, mientras que la interaccion gravitacional es siempre atrac-

tiva, la interaccion electrica puede ser atractiva 0 repulsiva.' .

D os c ue rp os c on la m is ma c la se d e e le ctr iz ac io n (p os it iv a 0 negativa)se rep ele n, pe ro si lien en di(e re nle s c la ses de ele driza cion (un a po -

sitioa y la olra n eg aliv a), se a tra en .

Este enunciado se ilustra esquematicarnente en la fig. 14-3. Si Ia interaccion

electrica hubiera s ido solo . .repulsiva 0 solo atractiva, probablemente nunca hu-

bierarnos observado la existencia de la gravitacion porque la interaccion electrica

es mas fuerte. Sin embargo, Ia mayoria de los cuerpos estan compuestos de can-

tidades iguales de electricidad positiva y negativa, de modo que la interaccion .

elect ricaentre dos cuerpos macroscopicos es muy pequena 0 cero. De este modo,

como resultado del efecto acumulativo de las masas, la interaccion que aparece

macroscopicamente como dominante, es la interaccion gravitacional, aunque

mucho mas debil,

~------~ -E()------0L- ()E------~

Fig. 14-3. Fuerzas entre cargas de igual y de dife ren te signo.

14.2 Carga electrica

Del mismo modo que caracterizamos Ia intensidad de Ia interaccion gravitac iona l

asignando a cada cuerpo una masa gravitaeional, caracterizamos el estado de

electrizacion de un cuerpo definiendo una ma sa e le ci ri ca , mas comunmente lla-

mada ca rga e le c tr ic a , representada por el simbolo q. Asi, cualquier porcion de

materia, 0 cualquier particula, esta caracterizada por dos propiedades indepen-

dientes fundamentales: masa y carga. .

14.2) Ca rg a e le dr ic a 45 9

Asi como hay dos clases de electrizacion, hay tambien dos clases de carga

electrica : positiva y negativa. Un cuerpo que present a electrizacion positiva

tiene una carga electrica positiva, y uno con electrizacion negativa tiene una

carga electrica negativa. La carga electrica neta de un cuerpo es la sum a alge-

braica de sus cargas positivas y negativas.Un cuerpo que tiene-cahtidades iguales

de e lect ricidad posi tiva y negativa (esto es, carga ne ta cero) se dice e lectri ca rnen te

neuiro, POI' otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama

a menu do ion. Como la materia en conjunto no presenta fuerzas electricas apre-

ciables, debemos suponer que esta compuesta de cantidades iguales de cargas

positivas y negativas .

Cuerpo

de referenciaCuerpo

de ref'erencia

2 (! j) _ - _ <1 (jy-- _FI J::\ d r:::LC._~------\!!_ r+r:

Fig'. 14-4. Comparacion de las cargas e lect ricas q y «, mediantesus interacciones electricas con una tercera carga Q .

Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptarnos

el sigu ien te procedimiento. Tomamosun-ese rpo cargado arbit rario Q (fig. 14-4)y, a una distancia d de el, colocamos la carga q. Entonces medimos Ia 'fue rza F

ejercida sobre q. Segu idamente , colocamos otra carga It a la misma distancia d

de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas q y q -como

proporc iona les a las fuerzas F y F'. Esto es

qjq' = FIF'. (14.1 )

Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga s' . tenemos un medio

de obtener el valor de la carga q. Este metodo de comparacion de cargas es muy

similar al usado en la seccion 13.3 para comparar las masas de dos cuerpos. Nues-

t ra definic ion de carga implica que , siendo iguales todos los facto res geometricos,

la fuerza de la interaccion electrica es proporcional a las cargas de las particulas.

Se ha encontrado que, en todos los procesos. observados en.Ia nataraleza, lacarga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras,

e n c ualquie r p roc eso que o cu rra e n un sistem a aislad o, la c arg a tolal

o n eia no c am bia.

No se ha .halladc excepcion a esta regIa, conocida como el p ri nc ip io d e c on se r-

oacion de la carga. Tendremos ocasion de discutir este principio mas adelantc,

cuando tratemos los procesos que involucran particulas fundarnentales. EI cstu-

diante recordara que ya hemos aplicado este principio en el ejemplo 11.1l~dondc

la reacci6n p: + p+_,.p: + tr + p: + p" fue discutida. A la izquierda la cal" JH

total es dos veces la carga del proton y a la derecha los tres protones contribuycn

tres veces la carga del proton, rnientras que el antiproton contribuye la cargu

del proton negativa. De este modo se obtiene una carga neta igua l a dOt) v~t:\lil

la carga del proton.

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Consideremos la interaccion electrica entre dos particulas cargadas, e n r ep oso ,

en el sistema inercial de referencia del observador 0, cuando mas, moviendose

a una velocidad muy pequeiia; el resultado de tal interaccion constituye la elec-

trostaiica. La interaccion electrostatics entre dos particulas cargadas esta dada

por la le y d e C oulom b, Hamada asi en honor del ingeniero frances Charles A. de

Coulomb (1736-1806) quien fue el primero en enunciarla, como sigue:

460 Interaccion electrica

14.3 Ley de Coulomb

(14.314.3)

Ley de C oulom b 46 1

igual a 10-7 c2 = 8,9874 X 109, donde (como anteriormente) c es la velocida~ de la

luz en el vacio.* En la practica, podemos tomar para K, el valor 9 X 10. En-

tonces, cuando la distancia se mide en metros y la fuerza en newtons, la ec.

(14.2) se escribe

F = 9 X 109 q~' .r

Una vez que hemos decididosobre el valor de Ke, la unidad de carga esta fijada.Esta unidad se llama un coulomb, y se designa por el simbolo C. De aqui que

podamos establecer la siguiente definicion: el coulom b es la carga que, colocada

a un m elro de olra carga iqua! en el vacio, la repele con LIna f uer~a de 8,9874 X 109

newtons. La formula (14.3) es valida solamente para dos particulas cargadas en

el vacio; 0 sea, para dos particulas cargadas en ausencia de toda otra carga 0

materia (ver seccion 16.6). Observese que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre-

samos K; en N m2 C-2 a m" kg S-2 C-2.

Por razones practicas y de calculo numerico es mas conveniente expresar K;

en la forma

(14.3)

La inierac cion elec irosiatica e ntre dos p articulas ca rg adas e s: pro-

porcional a sus cargas e inuersam enle proporcional al cuadrado

de la disiancia entre elias y su diteccion es sequn la" recta que

las une .

Esto puede expresarse maternaticamente por

donde r es la distancia entre las dos cargas q y q' , F es la fuerza que actua sobre

cada carga y K; es una constante a determinar de acuerdo COli nuestra eleccion

de unidades. Esta ley es muy semejante a la ley de interaccion gravitational.

Por consiguiente, podemos aplicar aqui muchos resultados rnatematicos que -de-

mostramos en el capitulo 13 simplemente reemplazando ymm' por Kiqq':

Podemos experimentalmente verificar la ley de la proporcionalidad inversa

del cuadrado de la distancia midiendo las fuerzas entre dos cargas dadas colo-

cadas a distancias distintas. Una posible disposicion experimental se ha indicado

en la fig. 14-5 parecida a la balanza de torsion de Cavendish de la figura 13-3..

La fuerza F entre la carga en B y la carga en D se encuentra midiendo el an-

gulo e segun el cual la fibra DC rota para restablecer el equilibrio.

La constante K; en la ee. (14.2) es semejante

ala constante y en la ec. (13.1). Pero en el capi-

tulo 13 las unidades de masa, distaneia y fuerzaestaban ya definidas y el valor de y se determine

experimentalmente. En el presente caso, sin em-

bargo, aunque las unidades de fuerza y distancia

han sido ya definidas, la unidad de carga no se

ha definido todavia (la definicion dada en la

seccion 2.3 fue solo preliminar). Si hacemos una

proposicion definida aeerea de la unidad de car-

ga, entonces podemos determinar K; experimen-

talmente. Sin embargo, proeederemos en sentido

inverso y asignando a K; un valor conveniente,

fijamos, de este modo, la unidad de carga. Adop-

taremos este segundo metoda y, usando el siste-

ma MKSC establecemos el valor numerico de K;

qq'F=Ke-

2-,r

T

Fig. 14-5. Balanza de tor-

sion de Cavendish para veri-

ficar la ley de la interaccion

electrica entre dos cargas.

(14.2) 1«,= -4--

7tEo

donde la nueva constante EO se llama p er mit iv id ad d el v ac io .valor asignado a Ke, su valor es

(14.4)

De aeuerdo con el

a

(14.5)

Por 10 tanto escribiremos la ee. (14.3) en la forma

F - _ _ _ ! j ! { _ .- 47 tEor2

Cuaudo usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de las ea:~as q y q',

Un valor ncgativo para F corresponde a atraccion y un valor POSltlVO corres-

ponde a repulsion.

(14.6)

EJEMPIJO 14.1. Dada 1a dis poslcicn de car gas de la fig. 14-6, donde ql =+1,5 X

10-3 C, q2 = - 0,50 X 10-3 C, q3 = 0,20 X "10-3 C, Y AC = 1,2 m, BC = 0,50 m,

hallar la fuerza resultante sobre la carga q3'

Soluci6n: La fuerza F; entre ql y q3 es de repulsion, mientras que la fuerza F2 entre

q2 y q3 es de atraccion, Sus respeetivos valores, usando la ee. (14.6), son

F - _!lfb_ =1 9 X 103 N,I - 47 tEori " '

Luego la fuerza result ante es

F=V F i + F: =4,06 x 103 N.

,. La elecci6n de este valor particular para 1(. se expl icara en la secc ion 15.0.

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46 2 Inleracci6n eiectrica (14.4 14.4) Campo elecirico 46 3

Escribamos la ec. (14.6) en la forma F=l(q/4nEor2). Esto da la fuerza pro-

ducida por la carga q sobre la ca rga q' colocada a una distancia r de q. Podriamos

tambien decir, usando la ec. (14.7), que el campo electrico (' en el punto donde

esta colocada q' es tal que F='C. Por consiguiente, comparando las dos expre-

s iones de F, concluimos que el campo electrico a la distancia r de una carga pun-

tual q es (' = q/4nEor2, 0 en forma vectorial

donde u; es el versor en la direccion radial, alejandose de la carga q, ya que F

esta segun esta direccion, La expresion (14.8) es valida para cargas positivas

y negativas, con el sentido de (' respecto a Ur dado por el signo de q. De este

modo (' esta dirigido alejandose de una carga positiva y hacia una carga nega-

tiva. En la formula correspondiente para el campo gravitacional (ec. 13.15), el

signo negativo se escribio explicitamente porque la interaccion gravitacional es

siempre de atraccion. La fig. 14-9(a) representa el campo electrico en las vecin-

dades de una carga positiva y la fig. 14-9(b) muestra el campo electrico en las

cercanias de una carga negativa.

Fig. 14-6. Fuerza electriea resultante

sobre q3 debida a ql Y a Q2'

Fig. 14-7. Campo electrico resuItanteen el punto P, producido por variascargas.

14.4 Campo electrico

Cualquier region del espacio en. donde una carga electrica experimenta una fuerza

se llama un c ampo e le ci ri co . La fuerza se debe a la presencia de otras, cargas· en

aquella region. Por ejernplo, una carga q colocada en una region don de hayan

otras cargas q I' q 2' q 3' etc. ( fig. 14-7) exper imerita una fuerza F=F1+ F2 + F3 + ,y decimos que esta en un campo electrico pfcoducido por.Ias cargas qI' q2 ' q 3 ' .

(l a carga q, por supuesto, tambien e je rce fuerzas sobre q I' q2 ' Q3 "" pero porahora no las tomaremos en cuenta). Como la fuerza que cada carga q l' q 2' q 3' ...

ejerce sobre la carga q es proporcional a q, la fuerza resultante F es proporcio-

nal a q. Asi, la~fuer:z;.1L.§.9b~_!lna__:.arJi.l:llla__cg_rg3.9A,_01.2§.~a_.en un c<illlp.~c-

trico, es prQ'PQX.£_ioQ'!!!!).~_.f_:.)J:g~L.<iea _:R.~!:.12.<:u_l .~.

La in le ns id ad d e u n c am po ele cir ic o en un punto es igual a la fuerza por unidad

de carga colocada ell ese punto. EI simbolo es e . Por 10 tanto

(' = _ ! _ _q

La intensidad de campo electrico (' se expresa en newton/coulomb 0 N C-1, 0,

usando las unidades fundamentales, m kg S-2 C-1.

Observese que, atendiendo a la definicion (14.7), si q es positiva, la fuerza Fque actua sobre la carga tiene la misma direccion del campo (" pero si q es nega-

tiva, la fuerza F tiene la direccion opuesta a (' (fig. 14-8). Por 10 t anto, si apli-

camos un campo electrico en una region don de haya iones positivos y negativos,

el campo tendera a mover los cuerpos cargados positivamente y negativamente

en direcciones opuestas, 10 cual da como resultado una separacion de cargas,

efecto este llamado algunas veces P.2J,f!!JZ~~

o F =q(". (14.7)

(a)

(14.8)

(b)

Fig. 14-9. Campo electrico producido por a) una carga positiva y b) por unanegativa.

Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo electrico puede repre-

sentarse por lineas de fuerza, lineas que son tangentes a la direccion del campo

en cada uno de sus puntos. Las lineas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan

el campo electrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-1O(b) muestran el

campo electrico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan por

la carga.

Cuando varias cargas estan presentes, como en la fig. 14-7, el campo clcc tricoresultante es la suma vectorial de los campos electricos producidos por cadu

carga. 0 sea,

Campo electrico

0~F_=-,q,-e--l.~

F=qe QCarga negativa ....._::..---'"-'--c_;

Carga positiva

Fig. 14-8. Sentido de la fuerza produ-cida .por un campo electrico sobre una

carga positiva y sobre una negativa.

 

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464 In ie racc i6n e lec ir i ca (14.4

(a) (b)

Fig. 14-10. Llneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo electrico deuna carga positiva y de una negativa.

//--

-- -/

/

/

// - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/I,I

\\

\

I

\\\

I

II

Fig. 14-11. Lineas de fuerza y superficies equipotenciales del campo electrico dedos cargas iguales y opuestas.

14.4) Campo e le ct ri co 465

Fig. 14-12. Lineas de fuerza y superficies equipotenciales del campo electrlco de'

dos cargas identicas.

La fig. 14-11 indica como obtener el campo electrico resultante en un punto P

en el caso de dos cargas, una positiva y otra negativa de la misma magnitud,

como es el caso de un proton y un electron en un atomo de hidrogeno. La fig. 14-12

muestra las !ineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dos

protones en una molecula de hidrogeno, En ambas figuras tambien se han repre-

sentado las !ineas de fuerza del campo electrico resuItante producido por las

dos cargas.

Distribuci6np

+

.« ++++++

" \" :

;])

;> .

>

F=qf,

q

'-

Fig. 14-13. Calculo del campo electrico Fig. 14-14. Campo electrico uniforrnc.

de una distribuci6n continua de carga.

Si tenemos una distribucion continua de carga (fig. 14-13), Ia dividimos en

elementos diferenciales de carga dq y reernplazamos la surna por '11IlH jlllegl'nl,

 

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466 I nt er ac c io ti e le c ir ic a (14.4

resultando

C =_1_J dqUr•

41 tEO r2

La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas.

Un campo electrico uniforme tiene 1&misma intensidad y direcci6n en todos

sus puntos. Un campo uniforme esta representado, evidentemente, por lineas de

fuerza paralelas y equidistantes (fig. 14 -14 ) . El mejor modo de producir un campo

electrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos pia cas meta-

licas paralelas. La simetria indica que el campo es uniforme; mas adelante, en

la seccion 16.3, verificaremos matematicarnente esta aserci6n. (Recordar el ejem-

plo 13.8 donde aparece un problema semejante relacionado con la interacci6n

gravitacional).

EJEMPLO 14.2. Determinar el campo electrico producido por las cargas ql y q2

en el punto C de la fig. 14-6; dichas cargas se han definido en el ejemplo 14.1.

Soluci6n: Tenemos dos soluciones a escoger. Como hemos hallado en el ejemplo 14.1

la fuerza F sobre la carga q 3 colocada en el punto C, tenemos, usando la ec. (14.7), que

FC =- =2,03 X 107 N C-l.

q 3

Otro procedimiento es calcular primero el campo electrico producido en C (fig. 14-15)por cada una de las cargas, usando la ec. (14.8). Esto da

Q 2 PI

I

l : 2 [ j :I

I

~ C I_________________ I

A 13 s,

y

Fig. 14-15. Campo electrico

resultante en C producido por

ql y q2'

Por consiguiente, el campo electrico resultante es

C = c~+ c~=,03 X 107 N C-l.

Los dos resultados son, evidentemente, identlcos.

EJEMPLO 14.3. Discusi6n del movimiento de una carga electrica en un campo

uniforme.

Soluci6n: La ecuaci6n de movlmiento de una carga electrica en un campo electrico

unifotme esta dada por la ecuaci6n '

rna =qc 6 a = ! j __ c.m

La aceleraci6n que adquiere un cuerpo en un campo electrico depende, por 10 tanto,

de la raz6n qjm. Como esta raz6n es en general diferente para diferentes particulas

cargadas 0 iones, sus aceleraciones en un campo electrico seran tambien diferentes;

es decir, que hay una clara distinci6n entre la aceleracion de un cuerpo cargado

que se mueve en un campo electrrco, y la aceleracion en un campo gravitacional,

que es la misma para todos los cuerpos. Si el campo c es uniforme, la aceleraci6n a

es constante y la trayectoria descrita por la carga electrica en su movimiento es

una parabola, como se explic6 en la secci6n 5.7.

14.4) Cam po e le ct ri co 467

yC

I - 1II d

I

J x

\ I

{I V o-~----, .1,

1 + + + + + +1----(1 I L

s

Fig. 14-16. Desviaci6n de una carga positiva por un campo electrico uniforme.

Un caso interesante es el de una particula cargada moviendose a traves de un

campo electrico que ocupa una regi6n limitada del espacio (fig. 14-16). Suponga-

mos, para simplificar, que la velocidad inicial Vo de la particula cuando entra al

campo electrico sea perpendicular a la direcci6n del campo electrico. Hemos colo-

cado el eje X paralelo a la velocidad inicial de la particula y el eje Y paralelo al.

campo. La trayectoria AE descrita por Ia particula al moverse a traves del campo

es una parabola. Despues de cruzar el campo la particula readquiere el movimiento

rectilineo, pero con una velocidad v diferente en m6dulo y direcci6n. Decimos en-

tonces que el campo electrico ha producido una desviaci6n medida por el angulo ex.Usando los resultados de la seccion 5.7, encontramos que las coordenadas de la

particula mientras se mueve a traves del campo con una aceleracion (q/m)c, estan

dadas por

y =(q/m)Ct2.

Eliminando el tiempo t, obtenemos la ecuaci6n de la trayectoria,

10 cual verifica que es una parabola. Obtenemos la desviaci6n excalculando la pen-

diente dy/dx de la trayectoria para x =a. El resultado es

tg ex=dy/dx)x=a =qca/mv2o.

Si colocamos una pantalla S a la distancia L, la part icula con unqjm.

dado y velo-cidad Vo, llegara a la pantalla en el punto C. Observando que tg exes aproximada-

mente igual a dlL, ya que el desplazamiento vertical ED es pequefio comparado

con d si L es grande, tenemos

qca = . ! ! : _ _

mv~ L

Midiendo d, L, a y c obtenemos la velocidad Vo (0 la energia cinetica) si conocemosla razon qlm ; 0 reciprocamente, podemos obtener qjm si conocemos Vo. POI'10 tanto,

cuando un haz de particulas con la misma relaci6n qlrn, pasa a traves de un campo

electrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades 0 energtas.

Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un anall-zador de energia, el cual separa las particulas cargadas identicas que so 111l! v II

con energias diferentes. Por ejemplo, los rayos f3 son electrones erntudos por IIlgu-

nos materiales radioactivos; si colocamos un ernisor de rayos f3 n ,loIJos 10

electrones se concentraran en el misrno punto de Ia pantalla sl tleu II III 1111 IIIH

(14.9)

 

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468 I n ie ra cc io n e le ct ri ca (14.5

energia. Pero si son emitidos con diferentes energias se dispersaran en una regionde la pantall a. Es esta segunda posibil idad la que se encuen tra experimenta lmente,resultado de mucha importancia desde el punto de vista de la estructura nuclear.

Usando dos juegos de placas paralelas cargadas, podemos producir dos camposmutuamente perpendiculares, uno horizontal segun HH' y otro ver tical segun VV',

como se muestra en la fig. 14-17. Ajustando la intensidad relativa de los dos cam-pos, podemos obtener una desviacion arbitraria del hazde electrones respecto acualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos campos son variables, elpunto luminoso de referencia sobre la pantalla descrlbira una cierta curva. Apli-

caciones practicas de este efecto se present an en los tubos de televisiony

en lososciloscopios. En particular, si los campos electricos varian en intensidad con mo-vimiento armonico simple, se obtendran las figuras de Lissajous (seccion 12.9).

Anodo Pia cas para

de enfoque desviacion horizontal Pia cas paradesviacion m _/verticai _-----__-

Haz de .electrones

Revestimiento

metalico Pantalla

----! fluorescente ~~I

Catodo I

I I

Canon electronico

(0 fuente electronica)

Fig. 14·17. Movimien to de una carga ba jo la accion de campos elec tri cos c ruzados.Los electrones son emitidos por el cato do y acelerados por un campo electricointense, Una ranura en el anodo acelerador, permite a los electrones salir del canonelectroriico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. EI revestimiento me-t.al ico de l in terior del tubo, mant iene e l ext remo derecho libre de campos e lectr icos,producidos por fuentes externas y permi ti endo e l movimiento libre a los elect ronesdel haz.

14.5 Cuantizaci6n de la carga eiectrica

Un aspecto importante que debemos dilucidar antes de proseguir, es el hecho de

que la carga electrica aparece no en cualquier cantidad, sino en multiplos de unaunidad fundamental 0 cuanto.

De los muchos experimentos realizados para determinar esto, es clasico el del

fisico norteamericano Robert A. Millikan (1869-1953), quien, por varios aiios

durante la primera parte de este siglo, llev6 a efecto el experimento conocido

hoy como el experime nto de la gola de ace ite . Mil likan estableci6, en tre dos placas

horizontales y paralelas A y B (fig. 14-18), un campo electrico vertical C que

podia ser eliminado 0 restablecido por medio de un interruptor. La placa superior

tenia en su centro unas pocas perforaciones pequeiias a traves de las cuales podian

pasar gotas de aceite producidas por un atomizador. La mayo ria de estas gotas

se cargaban por fricci6n al pasar por la boquilla del atomizador.

Analicemos primero este experimento desde un punto de vista te6rico. Llama-

remos mala masa y r al radio de la gota de aceite.· Para esta gota, la ecuaci6n

Cuanlizac i6n de la carga electrica 4694.5)

Fig. 14·18. Experimento de Millikan, El movimiento de la gota de aceite car-gada q se observa a t raves del microscopio M.

del movimiento de caida libre sin el campo electrico (, es, usando la ec. (7.20)

con K dado por la ec. (7.19), ma =mg - 6 TC"I)rv.La ve loc idad fina l v, de la gota,

cuando a=, es

2p r2g_---

9 " 1 )(14.10)

donde p representa la densidad del aceite y hemos usado la relaci6n m =i T C r 3 ) p .

(Con el fin de ser precisos debemos tamhien tomar en cuenta el empuje del aire

escribiendo p - p a en lugar de p , siendo p a la densidad del aire).

Suponiendo que la gota tiene carga positiva q, cuando aplicamos el campo

electrico, la ecuaci6n del movimiento en direcci6n vertical hacia arriba es

ma =q{, - mg - 6TC "I)rV ,

y la velocidad final v2 de la gota, cuando a = 0, es

Despejando q, y usando la ec. (14.10) para eliminar mg , tenemos

6 TC"I)r(vl + v2)q=

(,(14.1t)

Podemos hallar el radio de la gota midiendo v1Y despejando r de la ec. (14: .10).

Midiendo v2' obtenemos la carga q aplicando la ec . (14.11). Si la ca rga es nega tivu,

el movimiento hacia arriba se produce aplicando el campo electrico hacia ubu]u,

En la practica se sigue un procedimiento diferente. El movirniento hac ta orrtbu

y hacia abajo de la gota se observa varias veces, aplicando y suprirni .ndo \ . ' 1 r.fllilpO

eleotrico suces ivamente. La velocidad 1J 1perrnane . iuvurinhl -.. p cro In volocklnd U o

 

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47 0 Inieraccion elecirica (14.5

ocasionalmente cambia sugiriendo un cambio en la carga de la gota. Estos cam-

bios son debidos a la ionizacion ocasional del aire ambiente por rayos cosmicos,

La gota puede tomar algunos de estos iones mientras se mueve a traves del aire.

Los cambios en la carga pueden inducirse tarnbien colocando cerca de las placas

una fuente de rayos X 0 y, los cuales aumentan la ionizacion del aire. ,

De acuerdo con la ec. (14.11), los cambios tlq y tlv2 de la carga y de la velo-

cidad hacia arriba estan relacionados por

(14.12)

Algunas veces tlq es positiva y otras veces negativa, segun la naturaleza de la

modificacion de la carga. Repitiendo el experimento de la gota de aceite muchas

veces con diferentes gotas, los fi sicos han concluido que los cambios txq son siern-

pre mul tiples de la carga fundamental e (es to es, tlq = ne), cuyo valor es

e = 1,6021 X 10-19 C. (14.13)

La cantidad e se llama carga elemental. Todas las cargas que se observan en la na-

turaleza son iguales a, 0 multiples de, la carga elemental e; hasta ahora no se han

observado excepciones a esta regIa. Parece ser, entonces, una ley fundamental

de la naturaleza que la carga electrica esta cuantizada. Hasta el presente, nose ha encontrado explicacion a este hecho a partir de conceptos mas fundamentales.

Un segundo aspecto importante de la carga electrica es que la carga elemental

esta siempre asociada con alguna masa determinada, dando lugar a 10 que lla-

mamos una particula fundamental. [En e l proximo capitulo (secc ion 15.4), expli -

caremos algunos metodos para medir la proporcion qlm, de modo que si se co-

noce q, pueda obtenerse m; de esta manera se han identificado varias particulas

fundamentales.] Por el momento, podemos indicar que en la estructura del atorno

entran tres particulas fundamentales: el electron, el proton y el neutron, Sus carac-

teristicas se indican en el siguiente cuadro.

Particula Masa Carga

electron me = 9,1091 X 10-31 kg -e

proton mp = 1,6725 x 10-27 kg + eneutron mn = 1,6748 x 10-27 kg 0

Observese que el neutron no tiene carga electrica ; sin embargo posee otras

propiedades electricas, que seran discutidas en el capitulo 15. El hecho de que la

masa del proton sea cerca de 1840 veces mayor que la masa del electron tiene

gran influencia en muchos Ienornenos fisi cos.

Retornemos ahora a la definicion preliminar del coulomb dada en la seccion 2.3,

y verifiquemos que el nurnero de electrones y protones necesarios para alcanzar

una carga positiva 0 negativa igual a un coulomb es 1/1,6021 X 10-19=6,2418 X 1018

que es el numero que aparece alli,

14.6) Estructura electrica de la materia 47 1

14.6 Estructura electrica de la materia

Hemos recordado al estudiante el hecho frecuentemente observado de que ciertos

cuerpos pueden elect ri zarse frotandolos con tela 0 piel. Muchos otros experimen-

tos de laboratorio senalan el hecho de que los constituyentes basicos de todos los

atomos son particulas cargadas. Por ejemplo, cuando se calienta un filamento,

este emite electrones, tal como se evaporan las moleculas de un liquido al cal en-tarse. Este Ienorneno se llama emision iermoionica.

Anodo

+

Fig. 14-19. Electrolisis. Los iones semueven bajo la accion del campo elec-

trico producido por los electrodoscargados.

Otro fenomeno interesante es el de la elecirolisis, Supongamos que se establece

un campo electrico C (fig. 14-19) en una sal fundida (tal como KHFJ 0 en una

solucion que contiene un acido (tal como HCl), una base (tal como NaOH), 0

una sal (NaCL). Producimos este campo sumergiendo en la solucion dos barras

o pIa cas opuestamente cargadas llamadas eleclrodos. Observamos que las cargas

electricas fluyen y que ciertas clases de atomos cargados se mueven hacia el

electrodo positive 0 atiodo, y otras se mueven hac ia el elec trodo negativo 0 catodo.

Este Ienorneno sugiere que las moleculas de la sustancia disuelta se han separado

(0 disociado) en dos partes di fe rentemente cargadas, 0 iones. Algunas estan car-

gadas positivamente y se mueven en la direccion del campo electrico ; otras estancargadas negativamente y se mueven en direccion opuesta a Ia del campo elec-

trico. Por ejemplo, en el caso del NaCI, los atom os de Na se mueven hacia el

catodo y en consecuencia son iones posi tivos, l lamados cationes, mientras que los

atornos de CI van al anodo y son iones negativos, llamados aniones, La disocia-cion puede escribirse en la forma

NaCI -+Na ' + CI-.

Como las moleculas normales de NaCI no tienen carga electrica, supon !lIOS

que estan formadas de cant idades igua les de cargas positivas y negat ivas. Cu.uul»

las moleculas de NaCl se disocian, las cargas no se separan uniforrnem u t '. U n l l

parte de las rnoleculas transporta un exceso de electricidad negative y In ()t"11

un exceso de electricidad positiva. Cada una de cstas partes ('S, pO l' 10 LII II I0,

un ion. Hemos dicho que todas las carqas son IMillipJos (il)III IIlIidll(i flindllllll'ld,ll

 

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472 I nieraccion electrica (14.6 14.7) E slru ct ura a io mic a 47 3

de carga e. Supongamos que los ion.es positivos transportan la carga + ve , y los

iones negativos una carga - »e donde 'J es un numero entero que determinaremos

mas adelante. Cuando los iones llegan a cada electrodo, se neutralizan, intercam-

biando sus cargas con las cargas disponibles en los electrodos. Generalmente

sigue una serie de reacciones quimicas que no nos interesan ahora, pero que

sirven para identificar la naturaleza de los iones que se mueven hacia cada

electrodo.

Despues de un c ie rto ti empo t, un numero N de atornos ha ido a cada electrodo.La carga total Q transferida a cada electrode es entonces, en valor absoluto,

Q =Nve. Suponiendo que m sea la masa de cada molecula, la mas a total M

depositada en ambos electrodos es M = Nm. Dividiendo la primera relacion

por la segunda, tenemos

materia, y que son 1035 veces menos intensas de 10 necesario. Comparemos ahora

el orden de magnitud de las fuerzas electricas y de las gravitacionales. Supo-

niendo que la distancia sea la misma, la intensidad de la interaccion electrica

esta determinada por la constante de acoplamiento Q ] q 2 / 4 r r : E O ' y la de la inter-

acc ion grav itacional por ym 1m 2• Por 10 tanto

interaccion electrica

interaccion gravitacional

Para obtener el orden de magnitud, hagamos Ql = q2 = e Y m1 = m2 = mp, de

modo que para dos protones 0 dos iones de hidrogeno,

Q/ M = veltn. (14.14)

interaccion electrica

interaccion gravitacional

e 2---- =1,5 X 1036.4rr:Eoym~

Q

M

'J e(14.15)

Este es, aproximadamente, el factor que Ie faltaria a la fuerza gravitacional para

producir la interaccion requerida. Para la interaccion entre un proton y un elec-

tron (m =mp, m2 =me), la relacion anterior resulta todavia mayor: 2,8 x 1040•

POI ' consiguiente concluimos que

la inieraccion eleclrica es del orden de m oqnitud requerido para pm -

ducir el enlace entre aiom os para [orm ar m oleculas, 0 e l en la ce e ntre

el cc ir on es y protones para [orm ar a tom os.

La conclusion es, entonces, obvia: los procesos quimicos (en general el com-

portamiento de la materia en su totalidad) se deben a las interacciones electricas

entre atomos y moleculas. Una cornprension completa de la estructura elect.rica

tie los atornos y moleculas es, pues, esencial para explicar los procesos quimicos

y, en general, para explicar todos los Jenomenos que observamos corrientemente

a nuestro alrededor, tanto en la materia inerte como en la viviente, EI objetivo

de la fisica es, como vimos en el capitulo 1, capacitarnos para comprender la

estructura de los constituyentes fundamentales de la materia y explicar, en fun-

cion de sus interacciones, el comportamiento de la materia como un todo. Para

cumplir con este program a debemos comprender previamente las inleracciones

electricas. Por esta razon muchos de los, capitulos siguientes estaran dedicados

a los fenomenos electricos.

Dondequiera que haya cuerpos cargados electricarnente, las fuerzas gravita-

cionales son desprec iables. Estas fuerzas son importan tes s610 cuando estudiamos

cuerpos de gran masa sin carga electrica, 0 cuando las cargas son peq uenas en

cornparacion con sus masas. Este es el caso del movimiento planetario 0 del mo-

vimiento de cuerpos en la superficie terrestre.

Si NA es la c on sl an le d e A vo ga dr o (el numero de moleculas en un mol de cualquier

sustancia), la mas a de un mol de la sustancia es MA = NAm. En consecuencia,

la ec. (14.14) puede escribirse en la forma

m

La cantidad

(14.16)

es una constan te universa l ll amada c on sl an le d e F ar ad ay . Esta representa la carga

de un mol de iones que tiene 'J =1. Su valor experimental es

F= ,6487 X 104 C mol:". (14.17)

De este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante

de Avogadro

NA = ,0225 X 1023 mol ", (14.18)

de acuerdo con otros cal c uI os de esta constante.

La ec. (14.15) ha sido verificada experimentalmente y se ha hallado que 'J es

igual a la v al en ci a q ui mi ca del ion correspandiente. El hecho de que 'J sea la va-

lencia quimica sugiere que cuando dos atornos se unen para formal' una molecula,

intercambian la carga ve , convirtiendose uno en un ion positivoy el otro en un

ion negativo. La interaccion electric a entre los dos iones los mantiene unidos.

Podemos tarnbien suponer, con bastante confianza, que las particulas intercam-

biadas son los electrones, ya que se mueven mas Iacilmente por ser mas ligeros

que los protones. Esta imagen del enlace quimico, Hamada e nl ac e i on ic o, debe

considerarse solo como una descripcion preliminar suj eta a revision' y critica

ulteriores.

En la seccion 13.9 indicamos que las fuerzas gravitacionales no eran suficien-

temente fuertes como para producir la atraccion necesaria para mantener unidos

dos atornos y formar una molecula, 0 dos moleculas y formar una porcion de

14.7 Estructura alOmica

Por 10 dicho en la seccion anterior, el estudiante se habra dado cuen ta q lie com-

prender la estructura atomics es uno de los problemas basicos de la Iisica. EXPOIl-

gamos, por 10 t anto, algunas ideas preliminares y desarroll mos un modclo ~:ll i,-

factorio del atorno. Sabcmos qu los {rtoll1os SOli rI\C'lricHlll(,lllr ]]( ' l II. I'ClH eii 'II

 

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47 4 I nteraccion electrica (14.7

estado normal, ~a que en la materia en conjunto no se manifiestan fuerzas elec-

tricasgrandes. Por consiguiente, los atomos deben contener cantidades iguales

de e lectr icidad posit iva y negativa 0, en otras palabras, igual numero de protones

y de electrones. El nurnero igual de protones y electrones se llama numero atomico y

se designa por Z. EI atorno consta entonces de una carga positiva -l-Ze debida

a los protones y de una carga negativa de igual magnitud debida a los electrones.

Acuden a nuestra mente dos posibles modelos para el atorno. En uno de ellos

po~emos suponer que los protones, como tienen mayor masa que los electrones,

estan agrupados alrededor del centro de masa del atorno, formando una especie

de nucleo y los e lec trones gi ran a su a lrededor, como en nuestro sistema p lane ta rio.

En el otro modelo los protones podrian estar esparcidos en todo el vol urn en del

atomo, con los electrones moviendose entre ellos y formando algo asi como una

mezcla de gases con cargas positivas y negativas lIamada plasma. El primer

modelo es mas lIamativo dada nuestra familiaridad con el sistema solar. Sin em-

bargo, entre las dificultades a que debemos hacer frente en este modelo, esta la

de explicar como los protones se mantienen unidos entre si, en el nucleo, a pesar de

la fuerte repulsion electrica entre ellos. Esta cornplicacion requiere la existencia

de otras interacciones, ademas de la interaccion electrica,

Para dilucidar el problema de la distribucion de electrones y protones en un

atorno, debemos investigar el interior del atorno experimentalmente, lanzando

un haz de particulas rapidas cargadas tales como iones de hidrogeno (es decir

protones) 0 iones de helio (Uamados parliculas alfa) , contra el atorno, y observar

las interacciones producidas. Este es un experimento de dispersion, cuyo Iunda-

mento maternatico se ha dado ya en el capitulo 7. La simetria sugiere que pode-

mos considerar los atom os como esferas con un radio del orden de 10-10 m, como

se ha indicado previamente. Debido a que la interaccion electrica sigue la ley 1 / 1 ' 2 ,

los resultados demostrados en la seccion 13.7 para el campo gravitacional, son

validos tarnbien para el campo electrico. Solo es necesario reemplazar -rmm' por

qq' /4 rrEo' Por 10 tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q uniforme-

mente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos extern os (r > a)

un campo electrico dado por

QI' >a, (14.19)

y un campo electrico en todos los puntos interiores (r < a) dado por

C'(

Qrr <a. (14.20)

Este campo esta representado en la fig. 14-20.

En el modelo de plasma, el radio a es el mismo que el radio del atorno y la

carga efectiva Q es muy pequena porque las cargas positivas de los protones

y las cargas negativas de los electrones estan mezcladas uniformemente. La des-

viacion experimentada por Ja particula de carga q al aproximarse ~I atomo, pero

14.7) Estruclura alomica 476

E l e c l ~ t - ~ s ~ ' ; t ~ ~ ; : : :(carga - Ze)' , .

Fig. 14-20. Campo electrico de una es-fer a de radio a cargada.

Fig. 14-21. Distribucion de elect rones

en un atorno.

sin pasar a traves de el, se calcula usando la ec, (7.42) con k = Qq/41tEo; resulta

~-I. 41tEomU~ bcotg 7~= .

, Qq(14.21)

En este caso el parametro de impacto b debe ser mayor que el radio del atorno

a ~ 10-10m. Suponiendo que la energia de las particulas es del orden de 1.6 X 1O-13J,

o un MeV (que es el rango de energias proporcionado por los laboratorios en

esta clase de experirnentos}, y que Q y q son del orden de e, encontramos que ~

es menor que 30" de arco. Es decir que practicarnente no hay desviacion. Para

val ores menores de b, si la particula incidente tiene energia suficiente para pe-

netrar al interior del atorno, inmediatamente actua sobre ella un campo deere-

ciente y la ec. (14.21) ya no es aplicable. Pero entonces, la desviacion, en lugar

de ser mayor, es de nuevo muy pequefia porque el campo es menor. En otras

palabras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviaciones de las

particulas que bombardean un atorno. Sin embargo, se ha encontrado experi-

mentalmente que muchas particulas se desvian en angulos grandes, en algunos

casos hasta 180°. Por consiguiente debemos desechar el modelo de plasma basan-

donos en este experimento simple pero concluyente.

Consideremos ahora el modelo nuclear, en el cual los protones estan agrupados

en una pequena region al centro del atomo (fig. 14-21). Entonces la ec. (14.21)

se mantiene para val ores de b mucho menores que el radio atomico, y son posi-

bies desviaciones mayores. Aqui nos damos cuenta que los electrones en rapido

movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualqui T

particula cargada que este mas alla del radio del atorno, reduciendo de este modo

la carga ef'ectiva del nucleo, EI resultado es que, para valores de b mayor s qu '

10-10 m del centro, el atomo nuclear y el a torno p lasma son esencialmcntc 10

mismo. Para pequenos valores de b, sin embargo, pueden ocurrir mayorcs d(,l1~

viaciones en e l mode lo nuclear, haciendolo cornpletarncnte dilerentc c l P l mo Iclo

de plasma. POI' ej emplo, para b ~ 10-14 In Y Q ~ 10(', usando cl mi J1 10 ulor tit

 

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47 6 I nteraccion elecirica(14.7

energia que antes, obtenemos cotg - !z f , .. _, 1 o f , . ._ , 9 0 ° . En el modelo nuclear,

Q = Ze , y poniendo q = ve para la particula que bombardea (v = 1 para pro-

tones, v = 2 para particulas aJfa), obtenemos de la ec. (14.21),

vZ e2b = cotg - ! z f .

41CEomvg

En I .os expenmentos se dirigen varias particulas contra una delgadisima lamina

y se observan las deflecciones. Como bn o puede controlarse porque es imposible

~puntar a un atorno en particular, debemos hacer un analisis estadistico paramterpretar los resultados exper imentales.

Supongarnos que tenemos una delgada lamina metalica de espesor t, que tiene

n atomos por umdad de volumen. Si N particulas por unidad de area inciden

~n la lamina, ~lgunas p~saran cerca de un atorno de la misma (parametro de

Im~acto ~eque~o), exp~nmentando entonces una gran desviacion ; algunas pa-

sar~n a distancias relatrvam~nte grandes de los atornos de la lamina (parametro

de impacto grande) y expertrnentarnn una pequeiIa desviacion, El resultado del

anali.sis estadistico (ver ejemplo 14.4) muestra que el numero de partlculas dN

d.~svIadas dentro de l angulo solido d Q (correspondiente a los angulos de disper-

SIOn f y f + d f respecto a la direccion de incidencia) esta dado por

dN

dQ (14.22)

~I .signo negativo se debe a que dN representa las particulas sacadas del haz

mCl?ente como consecuencia de la dispersion, y esto corresponde a una dismi-nucion de N.

~l resulta~o que p~e?ice la ec. (14.22) es que las particulas dispersadas por

Ul11d~dl de angu!o solido, deb~n. ~istribuirse estadisticamente segun la ley

cosec zf: AI verificar esta prediccion para todos los angulos, se prueba, indi-

~ectall1ente, que todas las cargas positivas se concentran cerca del centro del

atomo. Esta prue?a se obtuvo mediante experimentos ejecutados por primera

vez durante el periodo 1911-1913 por H. Geiger y E. Marsden bajo la direceion

del fi si co bri tanico Ernest Rutherford (1871-1937). Estos expe~imen tos constitu-

yeron el fundamento del modelo nuclear del atorno, que ha sido aceptado desdeentonces como el correcto.

Para cada valor del parametro de impacto b, existe una distancia de maximo

acercamiento para la cual la particula que bombardea esta 10 mas cerca posible

del cen.tro. La distancia minima ocurre para b = O . El calculo de esta distancia

p~ra dIfe rentes. c~ndiciones experimenta les, empleando metod os dinarnicos (ver

ejemplo 14.5) indica que esta distancia es del orden de 10-14 m para energias

del. orden d.e 10-13!~un Me V). Esta distancia da un limite superior para el

radio del nucleo atornico. POI' consiguiente concluimos que los protones se con-

c.entran en una region cuyas dimensiones son del orden de 10-14 m. Cuando con-

siderarnos el hecho de que el radio del atorno es del orden de 10-10 m, nos damos

cuenta que la. m~yor parte del volurnen del atorno esta ocupado por los elec-

trones en movmuento, y esta en realidad vacio.

14.7) E slru clu ra a icm ica 477

Para pequeiIos valores del pararnetro de impacto y altas energias, cuando la

particula incidente Ilega muy cerca del nucleo, observamos que la ley cosec4- ! z f

no se cump Ie. Esto indica la presencia de otras interacciones, las [ u er za s nucl e ar e s.

Analizando las discrepancias con respecto a la dispersion puramente culombiana

dada por Ja ec. (14.22), obtenemos informacion valiosa acerca de las fuerzas

nucleares.

Los mas simples y Iivianos de todos los atom os son los atornos de hidrogeno.

Su masa es igual a la de un proton mas la de un electron. Por consiguiente con-cluimos que un atorno de hidrogeno esta compuesto de un electron girando alre-

dedor de un solo proton. Entonces, Z =1, Y el nucleo de un atorno de hidrogeno

es precisamente un proton (esto podria tomarse tarnbien como definicion de

proton). Como el electron esta sujeto a la fuerza de atraccion 1 / 1 ' 2 , deberiamos

esperar, por las mismas razones dadas en el capitulo 13 para el movimiento pla-

Pletario , que las orbitas fueran elipses con el proton en uno de los focos . Las

orbitas electronicas, sin embargo, requieren que dispongamos de tecnicas espe-

ciales antes de poder discutirlas, porque ellas poseen caracteristicas propias que

las hacen diferentes de las orbit as planetarias. Estas tecnicas corresponden a ia

mecanica cuantica, Sin embargo, podemos adelantar dos de los mas import antes

resultados de la rnecanica cuantica.

(1 ) La energia del m ovim ienlo electronico esia cuaniizada. Esto significa que

la energia de los elect rones puede tomar solo c iertos val ores EI' E 2, E 3, • , ., E n, ...

Los estados correspondientes a estas energias se Haman e s tados e s ia c ionar io s . El

estado con la mas baja energia posible es el e si ado fundamen t al . Determinar las

energias de los estados .estacionarios es una de las tareas de la mecanica cuantica,

Como la energia (en un sentido clasico) determina el "tamano" de la orbita,

solarnente ciertas regionesdel espacio son posibles para el movimiento electronico.

Esto esta indica do esquematicarnente por Ia region sombreada de la fig. 14-21.

(2) E l momentum angular del movim ienlo electronico estt i cuaniizado tanto en

m aqnitud com o en direcciori. Esto significa que el momentum angular de un

electron puede tener solo valores discretos y que, como el momentum angular

es un vector, puede orientarse solo en ciertas direcciones. A esta ultima pro-

pied ad nos referimos cuando hablamos de c ua ni iz ac io n e sp ac ia l. Para usar ter-

minologia clasica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como

implicando que las orbitas del electron solo pueden tener ciertas "Iorrnas".

Para atom os mas pesados que el hidrogeno, la masa es mayor que la masaI

de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuicla a Ia

presenc ia de neulroties en el nucleo. EI numero total de particulas en un nuclco

se llama el n um e ro m a si co , y se designa pOI' A. Por 10 tanto, un atorno ticne Z

electrones, Z protones y A - Z neutrones. Los neutrones son necesarios, apa-

rente mente, para estabilizar el nucleo, Si los protones estuvieran solarucntc

sometidos a su propia interaccion electrica, se repelerian entre si, por ester cal"-

gados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en UII I ILI re o

indica que, ademas de las interacciones electricas, hay otras interaccioncs muy

fuertes , correspondientes a las I1amadas [uerza s nuc lea tes , las cua les eon LnllTI:HLIlII

la repulsion electrica. Los neutrones contribuyen a cr ur las JIIl'l'ZliS IIl1ell'I\I"I','

s il l anadir repulsion clcctrica, prcducicnrlu (1(, cstc modo 1111 dedo ('slnllili7,lIdol'.

 

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47 8 I nt er ac c io n e l ec ir ic a (14.7

En este punto debemos decir que nuestro conocimiento de las fuerzas nucleares

no es tan completo como 10 es e l .de las fuerzas electricas.

El comportamiento quimico de un atorno, siendo un efecto electrico, esta

determinado por el nurnero atomico Z. Sin embargo, para un valor de Z puede

haber varios valcres del numero masico A.,En otras palabras, a un numero dado

de protones en ei nucleo puede corresponder diferente numero de neutrones.

Los atomos que tienen el mismo numero atomico, pero diferente numero masico,

se l laman isotopes. Todos ellos corresponden al mismo elemento quimico. Los

diferentes isotopes de un elemento quimico se design an por el simbolo del ele-

mento quimico (que tam bien identifi ca e lriumero at ornico) con un indice coloeadoI

en la parte superior a la izquierda indicando el numero masico, Por ejemplo,

hidrogeno (Z = 1) tiene tres isotopes: IH, 2H 0 deuterio, y 3H 0 tritio. Analo-

gamente, dos de los mas importantes isotopes del carbona (Z =) son 12 C y 14C.

El isotopo 12 C es el que se usa para definir la unidad de masa atornica.

EJEMPLO 14.4. Obtener la ecuac ion (14.22) para la dispersion culombiana.

Soluci6n: Sea n el numero de atornos por unidad de volumen del dispersor. Enton-ces nt sera el numero de atornos dispersados por una lamina delgada de espesor ty area unidad. El numero de atornos en un anillo de radio b y ancho db y por 10

tanto de area 2 rrb db ) sera (n l)( 2rrb d b) , como se muestra en la fig. 14-22. Si N par-ticulas inciden sobre la unidad de area de la lamina, el numero de atornos cuyopara rnetro de impacto esta ent re b y b + db es dN =N (nl) (2rrb db). Diferenciandola expresion del parametro de impacto dado anteriormente, se obtiene:

rrNnv2Z2e41dN =- (4 )2 2 ' 4 cotg !cp cosec- '!;:cpdcp.

rrEo m Vo(14.23)

~1I11--#-n-----------

1(,-1 J~/

+Ze

Fig. 14-22. Desviacion de un ion positivo de-bido a la repulsion coulombiana del nucleo.

Plgura 14-23

Para atornos livianos, debemos reemplazar la masa m de la particula porIa masareduc ida del sistema de parti culas.

Si trazamos dos conos de angulus cp y ¢ + dcp a lrededor del atorno (fig. 14-23)

todas las particulas dadas por la ec. (14 .23) seran desviadas a traves del angulosolido ent re las dos superficies conicas, El area sombreada es (2rrr sen cp) (r dcp) =

2rrr2 sen cp dcp . Por consiguiente, en vi sta de la definicion (2.7), el angulo sol ido esdO .

= 2rr senc p d cp

= 4rr sen tcp cos.!;:cpdcp,

donde hemos usado la relacion sencp =

2 sen !cp cos !cp. La distribucion angular est a dada por el nurnero de particulas

I)

14.7)

dispersadas pOI' unidad de angulo solido. Entonees

dN

dO .

Estruciura aiomica 47 9

que es la ec. (14.22). . . . .Alzunas veces los resultados de los experimentos de dispersion se expresan mejor

usando el concepto de s e cc i 6n e ji c az , La seccion eficaz para un proceso esta definida

por

1 \ dN \cr(cp)=N ln dO . . (14.24)

Las harras verticales estan para indicar que usamos el valor absoluto de dNjdo..

La cantidad cr(cp)representa la probabil idad de que una particula incidente se desvieun angulo ent re cp y cp + dcp. Se expresa en unidades de area ( n : 2), ya que n es unadensidad (m-3) y I es una distancia (m); (observese que las unidades de N se can-celan). POI' 10 tanto, sustituyendo la ee. (14.22) en la ec. (14.24), obtenemos la sec-

cion eficaz diferencial para la dispersion culombiana,

EJEMPLO 14.5. Obtener la distancia de maximo acercamiento de una particulade carga ve dirigida con velocidad Vo contra un atorno de numero atomico Z.

Solucion : La fig. 14-24 muest ra la geometria del rproblema. De acuerdo con la discusion hecha enla seccion 13.5, la particula describe una ramade hiperbola con el nucleo +Ze en el foco masdistante F'. La distancia de maximo acerca-miento es R=F'A. Sea b=F'D el pararnetrode impaeto. Demostraremos primero que b esigual al eje ver tical OB de la hiperbola, El an-gulo cp = POQ, entre las dos asintotas, e.s el an-gulo de desvtacion de la par ticula debido a larepulsion coulombiana del nucleo. La distanciaOA =OA' = se mide en el eje horizontal, yde las propiedades de la hiperbola tenemos queOF' =C. POl' 10 tanto, los triangulos OF'D

y OCA' son iguales, de modo que b =F'D=

='CA' = OB. En la geometria de la figura ve-mos que OF' = b cosec ex y OA = a =b cotg IX.

Por consiguiente R =F' A = (cosec IX + cotg I X ) .

P ero 20c + cp =e, de modo que oc=:-rr- ,!;:cp.

Por 10 tanto Figura 14-24

b(l + cosec J : - ~ )R =(sec .!;:cp+ tg tcp) = t 1 - 1 . . •

co g 2,/,

Usando e l result ado (14.21), con Q = Ze y q = »e , obtenemos

vZc2R = (1 + cosec !cp),

4rrEo(mlJ~)

que da la distancia de maximo acercamiento ' 1 1 . tun ' i 6 1 1 de la cncrutu 1 1 1 11 ', 1 11 1 ( )( , I II

partlcula, -!·mv 2, y del angulo de d i s p c r s t o n cpo Para li n chuquc <1 0 1'''1'1\1" I I I ( l 1 1 1 ' 1 1 ( ,l I ll I

 

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48 0 1nieraccion elecirica (14.8

rebota de modo que se dispersa en un angulo igual a rr, resultando cosec t c p =1 Y

-z»R = -__:_:::._::__--4 r r € { J ( 1-mv~) .

Por ejemplo, sustituyendo valores numericos con v=1, Z =6 (correspondienteal carbono) y E =!mv~ =1,6 x 10-13 J 6 1 MeV, obtenemos R,._, 10-14 m, quees el orden de magnitud sefialado antes para las dimensiones nucleares.

14.8 Potencial etectrico

Una carga electrica colocada en un campo electrico tiene energia potencial debido

a su interaccion con el campo. EI po tencia l e l ec i ri co en un punto se define como

la energia potenci,al por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando

el potencial electrico pOl' V y la energia potencial de una carga q pOl' Ep, tenemos

V = Ep

qEp =qV. (14.26)

El potencial electrico se mide en joule/coulomb 0 .J C-l, unidad que recibe el

nombre de vall, abreviado V, en honor del cientifico italiano Alejandro Volta

(1745-1827). En Iuncion de las unidades fundamentales, V = m2 kg S-2 C-l_

Observemos que las definiciones de campo electrico y de potencial electrico

son analogas a las de campo y de potencial gravitacional. Ellas se relacionan

del mismo modo que en la ec. (13.21). 0 sea, las componentes cartesianas del

campo electrico t estan dadas por

C 'x =_ ava x '

(' _ avY --Ty'

('z =_ av.a z

(14.27)

En general, la componente segun la direccion correspondiente a un des plaza-

miento ds es

(8 = _ av.a s

(14.28)

Esto puede escribirse en la forma compacta

{_=- grad V , (14.29)

como se ha mostrado antes en los capitulos 8 y 13. Las ecuaciones (14.27) 0 (14.28)

se usan para encontrar el potencial electrico V cuando se conoce el campo elec-

trico C, y reciprocamente.

Consideremos el caso simple de un campo electrico uniforme (fig. 14-25). La

primera de las ecuaciones (14.27) da, para un campo paralelo al eje X, (,'=-d V/dx.

Como ( es constante y suponemos V = 0 para x = 0, tenemos, pOI ' integra cion,

dV = - dx = - (' dx o V = -C'x. (14.30)

)

14.8)Po te nc ia l e le ct ri c» 48 1

: v = ( )I

E, F

v = -Ex

f,=const

I().~----.r ----I

Fig. 14-26. Variaciones de (' y V en un

campo electrico unifOl:me.Fig. 14-20. Campo electrico uniforme.

Esta relacion muy util ha sido representada graficamente en la fig. 14-26. Obser-

vemos que, debido al signo negativo en la ec. (14.29) 0 en la ec. (14.~0), el campo

electrico se orienta hacia los potenciales decrecientes. Cuando consideramos dos

puntos Xl y X2' la ec. (14.30) da VI = - (Xl Y V2 = - c"x 2• Restando, tenemos

V2- VI = - c"(x

2- Xl); 0, haciendo d = x2 - Xl' obtenemos

v -V(' = __ 2__-1-

d

(14.31,)

Aunque esta ralacion es valida solamente para campos electricos uniformes, pue?e

usarse para eslimar el campo electrico entre dos puntas separados pOI' una ? l S -tancia d, cuan do se conoce la diferencia de potencial VI - V2 entre ellos. Si la

difcrencia de potencial VI - V2es positiva el campo esta dirigido de Xl a x2,

y si es negativa, esta dirigido en sentido opuesto. La ecuacion (14:31). [0 de hecho

tam bien la ec. (14.27) 0 la ec. (14.28)] indica que el campo electnco se puedc

expresar tambien en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dada

anteriormente. Esto puede verse del siguiente modo:

joule newton-metro

coulomb-metro

ne,vton

coulombvolt

metro coulomb-metro

En la practica se prefiere usar el termino volt/metro, abreviado V m! en Illg:t·1

de NC-l.Para obtener el potencial eleotrico debido a una carga puntual, USCIml lS In

ec. (14.28), reemplazando s porIa distanc ia T, ya que el campo elcctri 0 prorlu-

cido yace segun el radio; esto es, ( =- av/ar. Recordando la ec. ( 1 1 1 . 8 ) , pod 'JllOH

escribirI1 q av

 

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48 2 I nieraccioti electrica (14.8

Integrando, suponiendo V = 0 para r = 00 como en el caso gravitacional, ob-

tenemos

qV=-.

41 tEo1 '(14.32)

Esta expresion podria haberse obtenido tambien reemplazando en la ec. (13.18)

- ym por q / 4 1 t E o ' El potencial electrico V es positivo 0 negativo dependiendo

del signo de la carga q que 10 produce.

Si tenemos varias cargas ql' q2' Q3' ... , el potencial electrico en un punto P

(fig. 14-7) es la suma escalar de sus potenciales individuales. 0 sea,

(14.33)

En general es mas Iacil, por 10 tanto, calcular el potencial resultante debido

a una distribucion de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder

en el orden inverse. Para calcular el potencial debido a una distrihucion continua

de cargas, dividimos esta en cargas elementales d q y sustituimos la suma de

la ec. (14.33) por la integral (recordar la fig. 14-13), obteniendo

V--I-fd- 4 1 tE o 1"

(14.34)

donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas.

Las superficies que tienen el rnismo potencial electrico en todos sus puntos

- 0 sea, V = constante - se lIaman super fi c ie s equipolenc iale s. La direccion

del campo electrico es perpendicular a Ja superficie equipotencial en cada uno

de sus puntos. (La justificacion de. esto se dio en la seccion 13.6). Para un campo

uniforme, deducimos de la ec. (14.30) que V = const. implica x =onst., y que

por 10 tanto las superficies equipotenciales son planas, como se indica con las

lineas de trazos en la fig. 14-25. La' ec. (14.32) indica que para una carga puntual,

las superficies equipotenciales son esferas r = const, sefialadas por las lineas

de trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipoten-ciales es tan dadas por L.i(qi/r,) = const, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su-

perficies equipotenciales para dos cargas se han indicado con lineas de trazos

en las figs, 14-11 y 14-12. . .

EJEMPLO 14.6. Calcular la energia potencial electrica de la carga q3 del ejemplo 14.1.

Soluci6n: Reflrarnonos a la fig. 14-6 y usemos la ec. (14.32). Los potenciales elec-

tricos producidos en C por las cargas ql Y q2 situadas en AyE, respectivamente, son

V2=_q_2_ =- 9 X 10 6 V.

41tEo1 '2

Luego, el potencial electrico en el punto C es

V = V1 + V2 = 2 ,2 5 X 106

V.

14.8) Po te nc ia l e le ci ri co 48 3

La energia potencial de la carga q3 es entonces

Ep = q3 V = (0 ,2 X 10-3 C) (2 ,2 5 X 10 6 V) = 4 ,5 X 102 J.

Si comparamos este ejemplo con el 14.2, vemos la diferencia entre trabajar con el

campo electrico y con el potencial electrico.

~EJEMPLO 14~7: Calcular el campo electrico y el potencial electrico producidos

por un filamento muy largo que porta la carga A por unidad de longitud.

Soluci6n: Dividamos el fiJamento en pequefias porciones de longitud ds (fig. 14.27).La carga de cada una de estas porciones es dq= ds. La magnitud del campo

electrico que cada elemento produce en P es

.. de=~,4r rEor2

dirigido segun la linea AP. Pero, debido a la

simetria del problema, a cada elemento ds, a la

distancia s por encima de 0, corresponde otro

elemento a la misma distancia por debajo de O.

Por 10 tanto, debemos considerar solamente las

componentes paralelas a OP, dadas por de cos C(,

y el campo electrico resultante segun OP es

J

A J ds" e = de cos C( = -- - cos 0(.

41 tEo 1'2

De la figura se deduce que r =R sec C( y

s = R tg C( luego, ds =R sec" C( d.«. Haciendo

estas sustituciones, integrando desde C( =0 a

0(=t / 2 , Y multiplicando por dos (ya que las dos

mitades del filamento 'dan la misma contribu-

cion), obtenemos

Fig. 14·27. Campo electrico pro-

ducido por un filamento cargado.

e =~ J " ' / 2 CDS C( do: =___.

41 tEoR 0 . 21 tEo :R

De modo que el campo electncedel filamento varia como R>. En forma vectorial,

c =____UR

21 tEoR

Para hallar el potencial electrico usamos la relaci6n t=- a v / a R , 10 cual nos da

dV

d.R 21 tEoR

La integraci6n produce

AV =- -- In R + C.

21 tEo

Se acostumbra en este caso asignar el valor cero al potencial en el punto dond

R=, 10 cual da C =O. Luego el potencial electrlco es

V =__A_InR.21 tEo

Sugerimos al estudiante resolver este problema lnvhtlcndo el 01'(1011, ,11I\110Iltll) prl-

mero el potencial y despucs cl campo,

 

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484 I nieraccioti electrica

14.9 Relaciones enerqeiicas en un campo electrico

(14.9

La energia total de una particula cargada 0 de un ion de masa m y carga q mo-

viendose en un campo electrico es

(14.35)

Cuando el ion se mueve de la posicion PI (donde el potencia l electrico es VI) ala

posicion P2 (donde el potencial es V2),]a ec. (14.35) combinada con el principio

de conservacion de la energia, da

- t m v i + qVI = - tmv~ + qV2•

0, recordando que segun la ec. (8.11) W =tm v~ - - t m v i es

sobre la particula cargada al moverse desde PI aP2' tenemos

TV - 1 2 1 2 - (V V)y - zm v2 - zm v, - q I - 2'

el trabajo hecho

(14.36),;

(14.37)

Esta ultima ecuacion nos permite dar una definicion precisa del volt: es la dife-

rencia de potencial a traves de la cual la carga de un coulomb debe moverse,

para ganar una cantidad de energia igual a un joule.

Observese que segun la ec. (14.37), una part icula cargada posit ivamente (q > 0)

gana energia cinetica cuando se mueve, desde puntos de mayor potencial, a pun-tos de menor potencial (VI> V2), mientras que una particula cargada negati-

vamente (q <0), para ganar energia, debe moverse desde puntos de menor

potencial, a puntos de mayor potencial (V, < V2).

Si escogemos el valor cero para el potencial electrico en P2 (V2 =) Y dis-

ponernos nuestro experimento de modo que en PI los· iones tengan velocidad

cero (VI =), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subindices) en

-tmv 2 = qV, (14.38)

expresion que da la energia cinetica adquirida por una particula cuando se mueve

a traves de una diferencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio apli-

cado en los aee le radores e l ec i ros i ai icos .

Un acelerador tipico (fig. 14-28) consiste en un tubo al vacio a traves del cual

se aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. En uno de sus extremosesta una fuente de iones inyectando particulas cargadas dentro del tubo. Las

particulas llegan al otro extremo con una energia dada por la ec. (14.38). Estos

iones rapidos golpean un blanco T, construido de un material escogido segun

la naturaleza del experimento a ejecutar. El resultado de estas colisiones es algun

tipo de reaccion nuclear. La energia producida por el choque de los iones se trans-

fiere al blanco, por 10 cual este debe ser constantemente enfriado, ya que de otro

modo se Iundiria 0 vaporizaria.

Hay varios tipos de aceleradores electrostaticos (Cockroft-Walton, Van de

Graaff, etc.). Cad a uno de ellos produce la di ferencia de potencial V por diferentes

metodos, En cualquier caso, la energia de los aceleradores electrostaticos esta

limitada por la diferencia de potencial maxima que se les puede aplicar sin que

salten chispas entre los materiales usados. Esta diferencia de potencial no excede

de unos pocos mill ones de volts.

R elaciones enerqeticas en un cam po elecirico 48 54.9)

Recipiente a presion

Esfera cargada

positivamente

Fuente de iones, S

Colector

Resistores para la dist ribucion

del voltaje

Anillos aisladores

- Entrada de gas a alta presion

acelerador al vacio e

, IParticulas aceleradas=-«

- Blanco, T

Fig. 14-28. Secci6n transversal simplificada de un acelerador electrostatico deVan de Graaff. Un motor de alta velocidad transporta sobre dos poleas una correahecha de un material aislador. La correa toma en ·su extremo inferior la carga elec-trica provenientc dc una fuente de vol taje y la transporta hacia arriba . Un colectorreti ra la carga y la coloca en la esfera metalica situada en la parte superior, la queadquiere un alto potencial electrico. En este extremo de alto voltaje se produceniones posit ivos que son acelerados hacia abajo porIa dif.e rencia de potencial entre

Ia esfera cargada y el potencial de tierra al otro extremo.

Considerando que las particulas fundamentales y los nucleos tienen una carga

que es igual a, 0 es un multiple de la carga fundamental e, la ec. (14.37) sugiere que

definamos una nueva unidad de energia, Hamada elecironuoll, abreviado eV,

que se introdujo por primera vez en la seccion 8.5. Un electron volt es la energia

adquirida pOI' una particula de carga e al moverse a traves de una diferencia

de potencial de un volt. Asi, usando el valor de e de la ec. (14.13), t enemos

eV = (1,6021 X 10-19 C)(l V) = 1,6021 X 10-19 J,

que es la equivalencia dada en la seccion 8.5. Una particula de carga vC 1110 i11 -

dose a traves de una difercncia de potcncia 1 ~ V rnna 1:1 enel'gill v V llV. M I'd-

 

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486 Inleracci6n electrica (14.9

tiplos convenientes del electronvolt son el kiloelectronuoli (ke V) y el megaelec-

tronvoll (M eV ) .

Es muy util expresar la masa en reposo de las particulas fundamentales en

esta unidad. Los resultados son:

E; = mec2 = 8,1867 X 10-14 J = 0,5110 MeV,

Ep = mpc2 = 1,5032 X 10-10 J = 938,26 MeV,

En = mnc2 = 1,5053 X 10 -10 J = 939,55 MeV.

EJEMPLO 14.8. Suponiendo que el movimiento de un electron en un atorno pueda

ser descrito por las leyes de la mecanica newtoniana, discutir las orbit as posibles

de un electron unico alrededor de una carga nuclear Ze . El caso Z =1 corresponde

al atomo de hidrogeno, Z =2 a un atorno de helio ionizado He (es decir, un atornode helio que ha perdido un electron), Z = 3 a un atorno de litio doblemente ioni-

zado Li'" (es decir, un atomo de litio que ha perdido dos electrones) y asi sucesi-

vamente.

Soluci6n: La interacclon electrica inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia, involucrada en el movimiento de un electron alrededor de un nucleo,

es dinarnicamente identica a la interaccion gravitacional involucrada en el movi-

miento de un planeta alrededor del sol, y por 10 tanto los resultados obtenidos en

el capitulo 13 son aplicables direc tamente si, en las expresiones correspondientes,

reemplazamos ymm ' por Ze2j4nEo. Por ejemplo, .las orbitas seran eJipses (0 circun-

ferencias) con el nucleo en uno de los focos. Sin embargo, para mayor claridad,

repetiremos algunos de los pasos.

Consideremos dos cargas, ql y q2 ' separadas a una distancia r y moviendose con

velocidades VI y v2. La energla potencial electrica del sistema es E;=Qlq2j4nEor,y la energ!a total es

En el caso de varias particulas cargadas, como en un atomo 0 en una molecuia,

la energia total es

E =2:t odas la s

pa rticulas

Como se explico en el ejemplo 9.9, la energia, en el caso de dos particulas referidas

a su centro de masa, puede escribirse de la forma

E =[LV2 + QlQ~_,4nEor

don de [L es la masa reducida del sistema de dos particulas [ec. (9.17) 1 y v su velo-

cidad relativa.

En el caso de un electron moviendose alrededor de un nucleo, Ql = - e Y Q2 = Ze .Ademas, como Ia masa del nucleo es mayor que la masa del electron, podemos

reemplazar la masa reducida del sistema electron-nucleo por la masa del electron me.

Solamente en los atomos muy ligeros tales como los de hidrogeno y helio, puede

comprobarse el efecto de la mas a reducida. Con esta aproximacion tenemos para

la energia total del atorno,

(14.39)

Relaciones enerqeiicas en un campo electrico4.9) 48 7

Suponiendo que la orbita sea circular, la ecuacion del movimiento del electron es,

segun la ec. (7.28), mev 2jr =N , 0

meV2 Ze2--- =---,

r 4 nE or2

de donde, meV2 =e2j4nEor. Substituyendo este valor en la expresion previa de

la energia total, se obtiene

Ze 2 Ze 2=9 x 109 --,

4 nE o(2r) 2r

E (14.40)

donde la constante electrica esta expresada en el sistema MKSC de unidades. Con

este valor, E se expresa en J cuando r esta en m y e en C. Esta ecuaclon esta de

acuerdo con la ec. (13.6) para el caso gravi tacional si reemplazamos ymm ' por

Ze 2j4rrEo·La expresion (14.40) para la energia del sistema electron-nucleo, sera revisada

mas adelante para tomar en conslderacion los efectos relativista y magnetico (ejern-

plos 14.10 y 15.15). Para el atomo de hidrogeno (Z =1), E representa la energia

requerida para separar el electron del proton; 0 sea, la energia de ionizacion del

atorno de hidrogeno. El valor experimental para esta energia de ionizacion es

2,177 x 10-18 J 0 13,6 eV; con este valor encontramos que el radio de la orbita

del electron es r =,53 x 10-10 m. El hecho de que este radio sea del mismo orden'

de magnitud que el estimado para las dimensiones atomicas, nos proporciona una

buena veriflcacion de nuestro modelo del atomo.En la seccion 14.7 indicamos que la energia del movimiento electronlco en un

atorno est a cuantizada. En el caso de atomos con un solo electron, las energiasposibles de los estados estacionarios estan dadas, segun la mecanica cuantica, por

la expresion

E __ _!!!ee4Z2

n - 8 E ~h 2n 2 '

donde n es un numero entero que puede tomar los valores 1,2, 3, ... Y h =nn =

6,6256 =10-34 J s es la constante de Planck, que se introdujo en el ejemplo 7.15

en relacion con el momentum angular del electron en el atorno de hidrogeno. Intro-

duciendo valores numericos, tenemos que

En =_2,177 X 10-18Z2J=_ 13 ,598Z

2eV.

n2 n2

El est ado fundamental corresponde a n =1, ya que esta es la minima energia

posible para el atorno. Comparando la expresion anterior de En con la ec. (14.40),

tenemos una estimacion del tarnafio de las correspondientes orbitas electronicas

permitidas. Este resultado es

=n2ao

Zr =

donde

ao =2Eojne2me =5,292 X 10-11 m

se llama radio de B ohr. Corresponde al radio del atorno de hidrogeno en su est.ado

fundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electronico no (;0-

rresponde a orbit as electronicas bien definidas, como en el caso de los planet us.Por consiguiente, el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes hi >1'1 , slrv

solo para dar una idea del orden de magnitud de la region en la ual es 11111 pro-

bable que se encuentre el electron.

 

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48 8 Ln ieracc io t i e lec trica (14.9

EJEMPLO 14.9. Usando el principio de conservacion de la energia, calcular la

distancia minima de aproximacion de una parttcula cargada que choca de frente

contra un nucleo atornico.

Soluci6n: Si la carga del nucleo es Ze y la del proyectil es »e, que corresponden

a ql y q2 de la ec. (14.39), la energia total del sistema del proyectil mas nucleo es

Ze2E =fLv2 + ---,

47tEor

siendo fL la masa reducida del sistema. Si la masa del nucleo es mucho mayor que

la del proyectil, 0 si el nucleo esta alojado en un cristal, podemos reemplazar fL

por la masa del proyectil m, resultando

vZe2E =mv2 + ---.

47tEor

Pero si, por ejemplo, dirigimos protones contra protones (v = Z = 1), debemos

usar la masa reducida, que es fL=mp (recordar el ejemplo 9.3). Cuando la particula

esta muy distante, toda su energia es cinetica e igual a tmv~. Llamamos v a su

velocidad en el punto A de maximo acercamiento (fig. 14-24) cuando r =R. La

conservacion de la energia requiere que

vZe2tmv2 + --- =mvg.

47tEoR

En el punto A de maxima aproxirnacion, la velocidad es totalmente transversaly por 10 tanto el momentum angular es L=mRv. Como L es una constante del

movimiento, podemos usar esta relacion para eliminar la velocidad v en el punto A

obteniendo '

L2 vZe2

2mR2 + =mvg.

47tEoR

Ecuacion de segundo grado en 1/R que permite obtener R en funcion de la energia

y del momentum angular de la particula. Para una colision de frente, L =0 Y

R = vZe2

47tEoC1-mvn '

10 cual esta de acuerdo con el resultado previamente obtenido en el ejemplo 14.5.

Observese que para una colision de frente, v F 0 en el punto de maxima aproxi-

macion 's toda la energia cinetica se ha transtormado en potencial.

EJEMPLO 14.10. Estimar el orden de magnitud de la correccion debida a los

efectos relativistas que hay que hacer a la energia de un electron en un atorno.

Soluci6n: En el capitulo 13 y en este capitulo, siempre que hemos tratado el mo-vimiento regido por la ley de proporcionalidad inversa del cuadrado de la distancia

como se hizo en el ejemplo 14.8, hemos usado la mecanica newtoniana despreciando

los efectos relativistas. EI procedimiento es correcto para el movimiento planetario,

pero cuando se trata del movimiento de electrones en un atorno no siempre se jus-tifica. En un atomo, los electrones se mueven con velocidades suficientemente

gra~des de modo que la correccion relativista puede medirse experimentalmente.

Estimemos el orden de magnitud de este efecto.

Usando la ec. (11.18), encontramos que la energia total de un electron que se

mueve con gran velocidad en un atorno (restando su energia en reposo) es

E = V m~c2 + p2 + (- e V) - meC2.

14.10)Co rr ie nl e e le dr ic a 48 9

Suponiendo que el momentum p es menor que m-e, ~odemos desatrollar el radical

hasta terminos de segundo orden, con 10 que se obtiene

E=_1_p2 __ 1_p4+ ... + (-eV)

2me 8mk2

=[__2 + (-eV) I I _ _ 1_4 -l-

2me . 8m~c2

Los dos t.errnlnos encerrados dentro del corchete dan la energia sin tomar en cuenta

el efecto relativista, el cual, para orbit.as circulares, esta dado por la ec. (14.40).Por 10 tanto el ultimo t.errnino es la correccion relativista de la energia total del

electron, con'aproximacion hast a del primer orden, que designaremospor C1Er.Luego

C1ET 1_4 =__1__ _ E _ _ ) ( _ _ E _ _ ) .- 8mk2 2mec2 2me 2me

Los dos terminos encerrados en el parentesis corresponden a la energia cinetlca

no relativista del electron. Entonces podemos escribir (con razonable aproximacion)

para el primero, usando el resultado del ejemplo 14.8,

p2 Ze 2 Ze 2

--=E-Ep=- +_-2me 47tEu(2r) 47tEor

__ Z_e_2_=_E.

47tEo(2r)

EI segundo puede escribirse p2/2me =meV2. Por consiguiente

1 1 v2

C1ET= - (- E)(tmeV2) = - -, E.2mec2 4 c 2

Luezo la correccion relativista es del orden de (V/C)2 veces la energia del electron.

En ~I'Momo de hidrogeno, por ejemplo, (v/c) es del orden de 10-2y por,l? tanto

C1Er~ 10-5 E, 0 cerca de 0,001 % de E, una cantidad que puede ser Iacilmente

medicia en el laboratorio con tecnicas experimentales ahora en uso.

14.10 CQrriente eiectric«

El ejemplo del acelerador electrostatico con particulas cargadas aceleradas segun

la direcci6n del eje del tubo, dado en la secci6n 14.9, sugiere que introduzcamos

ahora elconcepto muy importante de co rr ien le e lec trica. Una corriente electrica

consiste en un chorro de particulas cargadas 0 iones. Esta definici6n es aplicable alos iones en un acelerador de cualquier clase, a los de una soluci6n electrolitica,

a los de un gas ionizado 0 plasma, 0 a los electrones en un conductor metalico.

A fin de que se produzca una corriente electrica, debe aplicarse un campo elec-

trico para mover las particulas cargadas en una direcci6n determin~da ..

La intensidad de una corriente electrica se define como la carga electnca qu '

pasa pOI'unidad de tiempo a traves de una secci6n de la region dondc esta flu.ye,

como, pm ejemplo, la secci6n del tubo de un acelerador 0 de un alambre metulico.

En consecuencia, si en el tiempo i, pasan N particulas, cada una con carga q,

a traves de una secci6n del medio conductor, la carga total Q que ha pasado

es Q = Nq, Y la intensidad de la corriente es

1 = Nq]! = Qll.(I Jj .tli

 

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490 I nieraccion electrica (14.10

En realidad, la expresi6n anterior da la corriente media en el tiempo t; la corriente

instantanea es

I = dQ/dt. (14.42)

La corriente e lec tri ca se expresa en coulomb/segundo 0 S-1C, unidad Hamada

ampere (abreviado A) en honor del fisico frances Andre M. Ampere (1775-1836).

Un ampere es la intensidad de una corriente electrica que corresponde al paso

de un coulomb a traves de una secci6n del material en un segundo.La direcci6n de una corriente electrfca se supone que es Ia del movimiento

de las particulas cargadas positivamente. Es la misma direcci6n del campo elec-

trico aplicado a de la diferencia de potencial que produce el movimiento de las

particulas cargadas (fig. 14-29a). De ahi que, si una corriente se debe al movi-

(a) Cargas posil ivas (c) Cargas positivas

y negativas

(b) Car gas negativas

Fig. 14-29. Corriente electrica I result ante de l movimien to de iones posit ivos y

negativos producido- por un campo electrico,

miento de particulas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentido

de la corriente es opuesto al del movimiento real de los mismos (fig. 14-29b).

Mantener una corriente electrica requiere energia porque los iones son acele-

rados par el campo electrico. Supongamos que en el tiempo t haya. N iones, cada

uno can carga q, moviendose a traves de una diferencia de potencial V. Cadaion adquiere la energ ia qV, y la energia total adquirida es NqV =QV. La energia

por unidad de tiempo, 0 la potencia requerida para mantener la corriente, es

entonces

P = QV/t = VI. (14.43)

Esta expresi6n da, par ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar el

acelerador estudiado en la secci6n anterior. Tambien da la rapidez can que se

transflere.energta al blanco del acelerador, y por 10 tanto la rapidez con la cual

el sistema de enfriamiento del blanco debe sa car energia. Vemos asi, que la ex-

presi6n (14.43) tiene validez general y 'da la potencia necesaria para mantener

una corriente elect rica I a traves de una diferencia de potencial V aplicada a

dos puntas de cualquier medic-conductor. N6tese que, segun la ec. (14.43),

14.11) D ipo lo e le ct ri co 49 1

joule coulombvolt X ampere = X --~-

coulomb segundo

joule-~-- =wattsegundo

de modo que las unidades son compatibles.

p

Figura 14-30

14.11 Dipolo eiecirico

Una disposicion interesante de cargas es el dipolo electrico, Este consiste en dos

cargas opuestas, + q y - q, separadas pOl ' una di stancia muy pequei ia (f ig. 14-30).

El momento dipolar e lectri co p* se define por

p =qa, (14.44)

donde a es el vector desplazamiento orientado de la carga negativa a la positiva.

EI potencial electrico en el punto P debido al dipolo electrico es, usando la

ec. (14.33),

Si la distancia a es muy pequeiia com parada con r, podemos poner

y

resultando

. (V I . .4 : -)6

* Observese que el simbolo convencional de momentum es el mismo que 1d InOI.IIClllO «' I Ipohll'

electrico. •

 

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49 2 I n le r ac c i6 n e l ec t ri c a (14.11

Podemos expresar la ec. (14.45) en coordenadas rectangulares y usar la ec. (14.29)

para obtener la intensidad del campo electrico (recordar el ejemplo 13.7). De-

jamos esto como ejercicio al estudiante. En su lugar determinaremos las cornpo-

nentes de (. en coordenadas polares, usando la ec. (14.28). Para obtener la com-

ponente radial Cr, observemos que ds = dr, entonces

Cr= _ av = 2p cos!l .

ar 4rr~or3(14.46)

Para la componente transversal (0, usamos ds = de, con 10 cual se obtiene

(14.47)

r

Estas dos componentes se ilustran en la

figura 14-31. Las lineas de fuerzas estan in-

dicadas en la fig. 14-32. Aunque en un di-

polo electrico, par ser las dos cargas iguales

y opuestas, 1a carga neta es cero, el ligero

desplazamiento que hay entre ellas es sufi-

ciente para producir un campo electrico di-

feren te de cero.

En general, si tenemos varias cargas ql'

q2' Q3' . " en los pun tas PI' P2, P3, ... , el

momenta dipolar electrico de la distribu-

cion de cargas es

-,,-,-,, Linea de fuerza

a

Figura 14-31

[Esta definicion coincide con la ec. (14.44), porque, siendo dos cargas iguales

y opuestas, el momenta es p = qrl - Qr2= q(rl - r2) = qa.] Tomando el eje Z

en la direccion de p, la expresion anterior para el momento dipolar electrioo devarias cargas es, en modulo

(14.48)

siendo r la distancia de cada carga al origen, 6i el angulo que ri forma con el

eje Z y Zi = r; cos ! li .

En los atornos, el centro de masa de los electrones coincide can el nucleo, y

por consiguiente, el promedio del momento dipolar electrico del atorno es cero

(fig. 14-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electronico se

perturba, 10 que ocasiona que el centro de masa de los electrones se desplace

una distancia x con respecto al nucleo (fig. 14-33b). Se dice que el atomo se ha

polarizado convirtiendose en un dipolo electrico de momento p. Este momento

es proporcional al campo electrico externo c.

Dipolo electrico 49 34.11)

Pig, 14-32. Lineas de fuerza del campo elect rico de un dipolo electrico,

(a) Campo externo nulo (b) Campo externo

Fig. 14-33. Polarizac i6n de un at omo bajo la accion de un campo elect rico ext c rno.

Por otra parte, algunas moleculas pueden tener un m~mento dipolar elec,trico

permanente. Tales moleculas se llaman polares. POl' eJe ,mp~o , .en la mol ' 1 I 1 . 1 I

de HCl (fig. 14-34), el electron del atomo de H tarda I~as t ie rnpo en ~Sll 1110 I·

miento alrededor del atorno de Cl, que alrededor del atomo de II. J. II .(~I!~t'-

cuencia, el centro de las cargas negativas no coi n cide con el de las earglll{ p O S I L Iv I, ,

 

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4 9 4 I nteraccion elecirica ( 1 4 . 1 1

+0-----@

Fig. 14-34. Moleculas diat6micas polares.

y la molecula presenta un momento dipolar dirigido del atomo de CI al atorno

de H. ° sea que podemos escribir H+GI-. EI momento dipolar electrico de lamolecula de HCI es p = 3.43 X 10-30 C m. En la molecula de CO, la distribuci6n

de cargas es ligeramente asimetrica y el momento dipolar electrico es relativa-

mente pequeno, aproximadamente iguai a 0.4 X 10-30 C m, .estando el atorno de

carbono en el extremo positivo de la molecula y el de oxigeno en el negativo.

+H

B

\'~I

P2 /PI P2.

_ _p=O

+ H

Fig. 14-35. Dipolo eleotrico de la mo-lecula H20.

Fig. 14-36. La molecula de CO2 notiene dipolo electrlco.

En una molecula tal como H20, donde los enlaces H-O forman un angulo

un poco mayor de 900

(fig. 14 -35), los e lect rones t ratan de concent rarse a lrededor

del atorno de oxigeno, por 10 cual este parece ligeramente negativo respecto a

lo~ at?mos de H. Cada enlace H-O contribuye de este modo al momento dipolar

electrico resultante, el cual, debido a la simetria, yace segun el eje de la molecula

y tiene un valor igual a 6,2 X 10-30 C m. Pero en la molecula de CO , todos los

atornos estan en linea recta (fig. 14-36), y el momento dipolar eleetrico resultantees igual a cero por simetria. Por 10 tanto los momentos dipolares electricos sumi-

nistran informaci6n util acerca de la estructura de las rnoleculas. En la tabla 14-1

se dan val ores de p para varias molecu las pola res.

Cuando un dipolo electrico se coloca en un campo electrico, se produce una

fuerza sobre cada carga del dipolo (fig. 14-37). La resultante de estas fuerzas es

F p p, (p P')= q. - q. = q l. - l. •

Consideremos el caso especial en que el campo electrico esta dirigido segun el

eje X y el dipolo esta orientado paralelamente al campo. Entonces, considerando

s610 los m6dulos, {: - (' = (dc''jdx)a, y por 10 t anto F = p(d(jdx). Este resultado

prueba que un dipolo elecirico paralelo al campo eiectrico liende a moverse en la

D ipo le e le c ir ic o 4 9 514.11)

lTABLA 14-1 Momentos dipolares eleet rlcos

de algunas moleoulas seleccionadas* z

Molecula p, m C

HCI 3,43 x 10-ao

HBr 2,60 x 10-ao

HI 1,26 x 10-ao

CO 0,40 X 10-ao

H2O 6,2 X 10-aoH2S 5,3 X 10-ao

S02 5,3 X 10-30

NHa 5,0 x ro=C2HsOH 3,66 x io=

* Entre las moleculas con momento dipola relectrico igual a cero estan : CO2, H2, CH4

(metano), C2Hs (etano) y CCl4 (tetraclorurode carbono).

Fig. 14-37. Dipolo electrico en uncampo electrico externo.

direccion en que el campo crece. Se obtiene un resultado contrario si el dipolo se

orienta antiparalelamente al campo. EI estudiante observara que si el campo

electrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo electrico es cero.La energia potencial del dipolo es

Ep=qV-qV'=q(V-V')=-qa(-'!__ a V'),

y usando la ec. (14.31), encontramos que si e es el angulo entre el dipolo y el campo

electrico, el ultimo factor es Ia componente Ca = (' cos e del campo { paralelo

a a. Por 10 cual Ep= - qa{a 6

E p = - p c cos e = - p.( _ o . (14.49)

La energia potencial tiene un valor minimo cuando e =, 10 que indica que

el dipole esia en equilibria wando se orienta paralelamente al campo. Si despre-

c iamos la pequefia d iferencia entre (_ o y C las fuerzas qtO y - q{' sobre las cargas

que componen el dipolo forman un par cuyo torque, de acuerdo con la ec. (4.13), es

t" = a x (qt_") = (qa) x (_ o = p x c. (14.50)

De la expresi6n anterior, asi como de la fig. 14-37, deducimos que el torque del

campo elecirico tiende a al inear el dipolo parale lamenie al campo. EI modulo del

torque es t" = p( sen e y su direcci6n estan indicados en la fig. 14-37. Si usamos

Ia ec. (8.26), t"z = - aEp/ae, podemos usar la ec. (14.49) para obtener t"z = p csen e . La diferencia de signo para t" se debe al hecho que t" da el modulo del

torque, mientras que t"z da la componente del torque segun la direcciou Z, per-

pendicular al plano en el cua! se mide el angulo e , y orientada en e1 sentido en

que avanza un tornillo de rosca derecha, que. rota en el sentidc in que 0 1'(1(1(\,

 

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496 Interaccion elecirica (14.11

Fig. 14-38. Efectos de polarlzacion de un ion en solucion.

El signo negativo de 't'z confirma que el torque tiende a disminuir el angulo e .Estas propiedades de un dipolo colocado en un campo electrico tienen impor-

tan tes apl icaciones. Por ejemplo, como mencionamos en la di scusi6n de la fig . 14.19

cuando hablamos acerca de la electr61isis, el campo electrico de un ion en solu-

cion, polariza las moleculas del sol vente que rodea al ion, y entonces se orientan

en la forma indicada en la fig. 14-38. Estas moleculas orientadas se ligan mas 0

menos al ion. aumentando su masa efectiva y disminuyendo su carga efectiva,

la cual queda parcialmente sin influencia externa, por la pantalla que forman

las moleculas, EI efecto neto es que la movilidad del ion en el campo externo

disminuye. Tarnbien, cuando un gas0

un l iquido cuyas moleculas forman dipolospermanentes, se coloca en un lugar donde exista un campo electrico, las molecu-

las, como resultado de los moment os debidos al campo electrico, tienden a ali-

nearse con sus dipolos paralelos al campo. En este caso decimos que la sustancia

ha sido polarizada (ver la secci6n 16.5).

EJEMPLO 14.11. Expresar el campo electrico de un dipolo en forma vectorial.

Soluci6n: En la fig. 14-31 observamos que

1(=Ur{r + UO(O =--- (ur2p cos e + uep sen e ) .

47tEo13

De la misma figura obtenemos

P =(Ur cose -

uo sene ).

Usando est a re lac ion para el iminar p sen e en la expresion de [ obtenemos

{=__1_3urp cos e - p).47tEo13

Adernas, p cos e =Ur' p. Por consiguiente

l:=3ur(ur'P) -P ,

47tEor3

que da el campo del dipolo electrico en forma vectorial.

EJEMPLO 14.12. Obtener la energia de interaccton entre dos dipolos electricos.Usar e l resul tado obtenido para estimar la energia de .inter acc ion entre dos molecu-las de agua . Discut ir adernas los efectos de orientacion rela tiva.

Dipo lo e le d ri co4.11) 49 7

Soluci6n: En el ejemplo 14.11 obtuvimos el campo elect rico producido por un dipo loa Ia dis tancia 1. Llamando PI su momen ta dipolar e lectri co, podemos escribir

(I =3Ur(Ur'Pl) - PI .

47tEo13

Designando por P2 el momento del segundo dipolo, y usando la ec. (14.49) encon-tramos que la energia de interaccion entre los dos dipolos es

E __ .{:' __ 3(Ur'Pl)(Ur'P2)-PI'P2

P,12- P2 1 - 4 3 •7tEor (14.51)

Importantes conclusiones pueden derivarse de este resultado. Una de elias es quela energia de interaccion Ep,12 es simetrica en los dos dipolos porque si intercam-biamos PI y P2 todo permanece igual. Este result ado era de esperarse. Otra es quela interaccion entre los dos dipolos no es central porque depende de los angulosque el vector de posic ion r 0 el versor Ur forma con PI YP.2' Como consecuencia, enel movimiento deb ido a la inte raccion dipolo-d ipolo, el momentum angular orbi ta lde los dipolos no se conserva. Otra consecuencia es que la fuerza entre los dos di-polos no yace segun la linea que los une (excepto para ciertas posiciones especi-ficas). Una conclusion adic ional es que, como la energia potencial entr e dos dipo loselectricos varia con Ia distancia de acuerdo a 1'-'1, la fuerza, que es el gradiente de'l a energia potenc ial , disminuye segun 1'-4, y por 10 tanto la iriteraccion entre dosdipolos elect ricos di sminuye con la distancia mas rapidament .e que la in ter acc ionent re las cargas.

P21' 2

+-r+I

u r t i I

I

_ _ _ l _ _ _ _ _PI

1--1--1

I

I

n I t : I

I

II'1 1'2~---______..

~ 1'1

( iJ) (e) (d):l)

Fig. 14-39. Interaccion ent re dos dipo los elect ricos.

La geometria correspondiente a la ec. (14.51) se ilustra en la fig. 14-39, donde (a)

corresponde al caso general. En (b) los dos dipolos estan alineados segun la rectaque los une. De este modo PI' P2 = PIP2' Ur' PI = PI Y Ur' P2 = P2' luego

resultando una atraccion entre los dipolos ya que el signo es negativo. En (c) tene-

mos PI' P2 = PIP2' pero Ur' PI = ° Y Ur' P2 = 0, de modo que

Como este va lor es posi tivo, indica una repulsion ent re los dos dipoles. Ftna tmcntc,en (d) tenemos PI' P2=- PIP2 Y entonces

E PIP2P,12 =- -4--. -",

.rr 0""

 

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498 In te r ac c io n e te c tr ic a (14.12

que s ignifica que hay atraccion de los dipolos . Es tos resultados estan evidentementede acuerdo con la imagen fi sica del problema.La interaccion entre dos dipoles electricos es de gran importancia porque las

fuerzas moleculares se deben, en gran parte, a este tipo de interaccion. Considere-

rnos dos moleculas de agua en la posicion relat iva de la f ig . 14-39b a dis tancia normalen la fase I1quida de 3.1 x 10-10 m. Su momento dipolar electrico es 6.1 x 10-30 C m.Por 10 tanto, Ja energia po tenc ial de interaccion es

9 x 109 X 2 x (6,1 X 10-30)2

=2,22 X 10-20 J.

(3,1 X lj}-10)3

Este resultado es diez veces mayor que la energia de interaccion mencionada enla seccion 13.9, que se estirno usando el valor del calor de vaporizacion. El estu-diante cornprendera , sin embargo, que el presente resul tado corresponde a la energiade interaccion instonianea entre dos moleculas de agua en la posicion relativa dela fig. 14-39b. Pero eomo las molcculas de agua estan en continuo movimiento,su orientacion relativa cambia continuamente. Por consiguiente, para obtener laenergia Ep,12 debemos promediar los valores dados por la ec. (14.51) en todas lasorientac iones relat ivas posibles. Asi obtenemos resultados mas concordan tes.

Sugerimos que el estudiante compare el result.ado anterior para la energia deinteraccton electrica Ep,12, entre dos moleculas de agua, eon la correspondienteinteraccion gravi tac iona l para la misma posicion rela tiva .

14.12 Multipolos electricos de orden superior

Es posible definir momentos multipola res e lec tricos de orden superior a l segundo.

Por ejemplo, una distribucion de cargas como la indicada en la fig. 14-40 cons-

tituye un cu ad r up o lo e ie c tr ic o , Observese que -su carga total es cero y que su

momento dipolar electrico es tam bien cero, en virtud de la ec. (14.48). No es

Iacil dar aqui una definicion general del momen lo cu ad ru p ol ar elecirico, de un

modo elemental. Sin embargo, podemos decir, que el momento cuadrup.olar

electrico de una distribucion de cargas respecto a un eje de simetria, tal como'

el eje Z, se define por

Q =t 2: q ; r f (3 cos- a ; - 1), (14.52)i

z

z

j + q

-q -q

0y

+IJ

lif,

I

I1,

, I

-. ' - - - - - - - - - - -I'-.J Y

x

I;'IK. 14-40. Cuadrupolo electrico. Figura 14-4-1

14.12) M l ii po lo s e le ci ric os d e o rd en s up er io r 49 9

z

y y y

(a) (b) (c)

Fig. 14-42. Cuadrupolo e lec tri co de d istribuc iones el ipsoida les de carga .

donde r, es la distancia desde la carga i al centro, y 6; es el angulo que r, formacon el eje (fig. 14-41). Observamos que Zi =, cos a i. Entonces podemos escribir

la ec. (14.52) como

Q = t 2: q; ( 3zr - r;).i

(14.53)

EI momento cuadrupolar electrico es cero para una distribucion esferica de car-

gas, positivo para una distribucion de cargas alargada, y negativo para una dis-

tribucion de cargas achatada (fig. 14-42). Por consiguiente el momento cuadru-

polar electrico da el grado en que una distribucion de cargas se aparta de la forma

esferica, Por ejemplo, en la seccion 14.7 sugerimos que los nucleos atornicos eran

esf'eri cos. Sin embargo, medic iones cuidadosas indican que cie rtos nucleos ti enen

mementos cuadrupolares relativamente grandes, 10 que se ha interpretado como

'!rjndicacion de que tales nucleos estan muy deformados y en consecuencia el campo

eleetricoque ellos producen diflere del de una carga puntual. Esto a su vez afecta

a la energia de l movimiento elect ronico.

Debernos observar que el potencial de una carga puntual disminuye como r-)

y el campo como r» . Analogamente hemos visto (sec c ion 14.11) que para un

dipolo electrico el potencial disminuye como 1'-2 y el campo como r-3• De un

modo similar puede probarse que el potencial de un cuadrupolo electrico variacomo /,-3 y el campo como 1'-4. Resultados similares se obtienen para mul tipolos

de orden superior. Concluimos entonces que cuanto mas alto sea el orden de

multipolo, menor es el alcance dentro del cual el campo electrico tiene ef'ectos

observables.

EJEMPLO 14.1.3. Calcular el potencial electrico para la distribuci6n de car g as doIa fig. (14.13), Hamada cuadrupolo elect rico lineal .

Solueitm : La carga total del sistema es cero. Tarnbien el momento dipolar 1 .ctrl '0

es cero porque , usando la ec. (14.48), t enemos p =+ q( + a) - 2q(0) + q(-o) O .Sin embargo, el campo electrico no es identicamente nulo. EJ poten i~l'I\ ld '0

en el punto P es

v = 1 _ ( . ! L _ 2q_ -I- q) = q ( 1 _ 24rr I) /; r ,.~ ~hr I) 1'; l'

(itU;II)

 

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50 0 Interacci6n electrica (14.12

De la figura deducimos que

r1 =r2 - 2ar cos 8 + a2)1/2.

Suponiendo que a es muy pequefio comparado con r, podemos escribir

r1 = (1 _ 2a ~os 8 + ;: t 2y

_ _ ! _ = !_ ( 1 _ 2a cos 8 ~ ~)-1/2

r1 r r r2(14.55)

Usando el desarrollo del binomio dado porIa ec. (M. 22) hasta el tercer termino

con n = - t, obtenemos (1 + X)-1/2 = 1 - tx + ix2 + ... En el presente caso,

tenemos x =- 2a cos 81r + a21r2. Luego

_ ! _ _ = !_ [ 1 _ _ ! _ ( _ ~a cos 8 +~) + ~ (_ 2a cos_! +r1 r 2 r r2 8 r

a 2 ) 2+- +

r2... .

p Desarrollando el corchete y dejando solo los t.er-

minos hasta el orden r3 en el denominador, ob-

tenemos

1 1 a cos 8 a2 <

~=~+ --- + -. (3 cos- 8 - 1) +r1

r r2 2r3

(14.56)

Analogamente, r2 = (r2 + 2ar cos 8 + a2)1/2; por

consiguiente

1 1 a cos 8 a2 2~=~- -_ + - (3 cos 8 - 1) + ...r2 r r» 2r3

(14.57)Figura 14-43

Sus tituyendo los resultados (14.56) y (14.57) en la ec. (14.54) y simplif icando, obte-nemos para el potencial

v =qa2(3 cos2 8 - 1) .

4Tt :Eor3

Aplicando la ec. (14.52), encontramos que el momento cuadrupolar electrico de

la distrfbuclon de carga es

Q =Hq(3a2 - a2) - 2q(0) + q[3(- a)2 - a2j} =2qa2•

Por 10 tanto

v _ Q(3 cos2 8 - 1)

- 2( 4T t:Eo)r3 '

que da el potencial electrico de un cuadruplo electrico Iineal. Podemos obtener el

campo electrico aplicando la ec. (14.28), como hicimos para el dipoJo electrico,

(14.58)

Bibliografia 50 1

Bibliografia

1. "Resource Letter ECAN-l on the Electronic Charge and Avogadro's Number,"

D. L.· Anderson, Am. J. Phys. 34, 2 (1966)

2. "Nonuniform Electric Fields", H. Pohl; Sci. Am., diciembre 1960, pag, 106

3. "Robert Andrews Millikan", E. Watson; The Physics Teacher 2, 7 (1964)

4. "Rutherford and His IX-Particles", T. Osgood y H. Hirst; Am. J. Phys. 32,681 (1964)

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9. "The Linear Accelerator", W. Panofsky; Sci. Am., octubre 1954, pag, 40

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New York, 1959; cap. 5, C. Coulomb; cap. 10, M. Faraday; cap. 14, J. J. Thom-

son; cap. 18, R. A. Millikan

15. The Feynman Lectures on Physics, vol. II, R. Feynman, R. Leighton y M. Sands.

Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963, caps. 4, 6, 7 Y 8

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Mass., 1963, pag. 97, Coulomb; pag. 387, Gilbert; pag. 408, Coulomb; pag, 420,

Galvani; pag, '165, Ohm; pag. 583, Thomson

17. Foundations of Modern Physical Science, G. Holton y D. H., D. Roller. Addison-

Wesley, Reading Mass., 1958, caps. 26, 27, 28 Y 34

 

Page 24: 14 interaccion electrica

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.~ 14.1 Encontrar la fuerza electrica de .....14.7 Entre las pIa c as de defleccion de

repulsion entre dos protones en una mo- un osciloscopio de rayos catodicos, existe

lecula de hidrogeno, siehdo la separacion un campo electrico de 30.000 N C-1.

entre ellos de 0,74 x 10-10 m. Compa- l,Que fuerza se ejerce sobre un electron

rarla con la fuerza de atraccion- gravi- colocado en esta region? (b) l,Que ace-

tacional correspondiente. leracion adquiere el electron debido a

14.2 Encontrar la fuerza de atraccion esta fuerza? Compararla con la acelera-

electrica entre el proton y el electron '" c ion de la gravedad.

de un atorno de hidrogeno, suponiendo

que el electron describa una orbita circu-

lar de 0,53 x 10-10m de radio. Compa-

rarla con su atraccion gravitacional.

14.3 Comparar la repulsion electrosta-

tica entre dos electrones, con su atrac-

cion gravitacional a la misma distancia.

Repet ir para dos protones.

14.4 Dos esferas identtcas de corcho de

masa m y carga q (fig. 14.44), estan sus-

pendidas del mismo punto pOI' medio de

dos cuerdas de longitud I. Encontrar el

angulo e que las cuerdas forman con la

vertical, una vez logrado el equilibrio.

502 Inieraccion elecirica

Problemas

m In

Figura 14-44 q

14.5 Repetlf el problema 14.4, supo-

niendo que las cuerdas estan unidas a

puntos situ ados a la distancia d (fig.

14-45). l,Como se podria usar esta dispo-

sicion para verificar experimentalmente

la ley de la proporcionalidad inversa del

cuadrado de la dis tancia, varian do la dis -

tan cia d y observando el angulo e?

Figura 14-40q

14.6 l,CuaI debe ser la carga de una

particula de mas a 2 g para que perma-

nezca en reposo en el laboratorio al

colo carse donde el campo electrico est a

dirigido hacia abajo y es de intensidad

igual a 500 N C-1?

......4.8 Una carga de 2,5 x 10-8 C se co-

loca en un campo electrico uniforme de

intens idad 5,0 x 104 NC-1 dirigido ha-

cia arriba. l,Cual es el trabajo que la

fuerza electrica etectua sobre la carga

cuando esta se mueve (a) 45 em hacia

la derecha ? (b) 80cm,.hacia abajo?

(c) 260 cm a un angtrlU -de 45° por en-

cima de la horizontal?

-14.11 Se lanza un electron en un campo

elect .r ico uniforme de intens idad 5000 N

C-1 dirigido verticalmente hacia abajo.

La velocidad inicial del electron es de

107 m S-1 y forma un angulo de 30° pOI '

encima de la horizontal. (a) Calcular el

tiempo requerido para que el electron

alcance su altura maxima. (b) Calcular

la eleva cion maxima que aleanza a par-

tir de su posicion inicial. (c) (.Que dis-tancia horizontal recorre el electron para

alcanzar su nivel inicial ? (d) Dibujar la

trayectoria del electron.

14.12 Una gota de aceite de masa

3,0 x 10-14 kg Y de radio 2,0 x 10-6 m

transporta 10 electrones en exceso.

l,Cual es su velocidad final (a) cuando

cae en una region donde no hay campo

electrico ? (b) cuando· cae en un campo

electrico de intensidad 3,0 x 105 N C-l

dirigido hacia abaj o? La viscosidad del

aire es 1,8 x 10-s N s m=. Despreciar

el empuje del aire.

14.13 En un aparato de Millikan se

observa que una gota de aceite cargadacae a traves de una distancia de 1 mmen 27,4 seg, en ausencia de un campo

electrico externo. La misma gota per-

manece estacionaria en un campo de

2,37 x 104 NC-l. "Cuantos electrones en

exceso ha adquirido la gota? La viscosi-

dad del aire es de 1,80 x lO-s N s m'=.La densidad del aceite es 800 kg m? y

la densidad del aire es 1,30 kg m",

14.14 Una gota de aceite cargada cae

en el aire 4,00 mm en 16,0 seg a velocidad

cons tante, en ausencia de un campo elec-trico. La densidad del aceite es 800 kg

m=, la del aire es 1,30 kg m= y el coe-

ficiente de viscosidad del aire 1,80 x 10-s

Ns m=, (a) Caleular el radio y la masa

dela gota. (b) Si la gota lIeva una unidad

fundamental de carga y esta en un campo

electrico de 2,00 x 105 N C>, l,cual es el

cociente entre la fuerza electrica sobre la

gota y su peso?

14.15 Cuando la gota de aceite del pro-

blema 14.14 se encuentra en un campo

electrico constante de 2,00 x lO S N C-l,

se observaron varios tiempos diferentes

en que la gota asciende la distancia de

4,00 mm. Los tiempos medidos fueron

40,65; 25,46; 18,53; 12,00 Y 7,85 seg.

Calcular (a) lavelocidad de caida Iibre,

(b) la velocidad de ascension en ada

-14.9 Entre dos placas planas y para-

lelas cargadas con cargas iguales y de

signos opuestos existe un campo elec-trico uniforme. Se lib e ra un electron de

la superficie de la placa negativa ychoca en la superficie de la placa opuesta,

distante 2,0 ern de la primera, en un

intervalo de 1,5 x 10-S segundos. (a)

Calcular el campo electrico ; (b) calcular

la velocidad del electron al chocar con

la placa.

Figura 14-46

14.10 En la figura 14-46 ~e lanza un

electron con una velocidad inicial de

2 x 107 m S-1 en la direccion de un eje

equidistante de las placas de un tubo de

rayos catodicos. EI campo electrico uni-

forme entre las placas, tiene una in ten-

s idad de 20.000 NC-1 y est a dirigido

hacia arriba. (a) l ,Que distancia perpen-

dicular al eje ha recorrido el electron

cuando pasa pOI' el extremo de las pla-

cas? (b) l ,Que angulo con el eje forma

su velocidad cuando abandona las placas ?

(c) I,A que distancia pOI' debajo del eje

choca con la pantalla fluorescente S?

Problemas 503

caso, y (c) la suma de la velocidad en la

parte (a) y cad a una de las velocidades

en la parte (b). (d) Verificar que las su-

mas en la parte (c) son multiples enteros

de algun numero, e interpretar este re-

sultado. (e) Calcular el valor de la carga

fundamental a partir de estos datos.

14.16 Se tienen dos car gas puntuales,

5[J.C y - 10[J.C, distantes 1 m. (a) En-

contrar el modulo y la direccion delcampo electrico en un punto situado a

0,6 m de la primera carga y a 0,8 m de

la segunda. (b) Hallar el punto donde

el campo electrico de estas dos cargas

es cero.

14.17 En un aparato para medir la

carga electrica e por el metodo de

Millikan se requiere un campo electricode intensidad 6,34 x 104 V m-i para

mantener en reposo una gota de aceite

cargada. Si la distancia entre placas es

1,50 em, i,cual es la diferencia de po-

tencial entre elias?

14.18 Tres cargas positivas de 2 x 10-7

C,l X 10-7

C Y 3 X 10-7

C estan en li-nea recta, con la segunda carga .en elcentro, de modo que la separacion entre

dos cargas adyacentes es 0,1 m. Calcu-

lar (a) la fuerza resultante sobre cadacarga debida a las otras, (b) la energia

potencial de cada carga deb ida a las

otras, (c) la energia potencial intern a

del sistema. Comparar (c) con la suma

de los resultados obtenidos en (b) y

explicar.

14.19 Resolver el problema precedent '

en el caso de que la segunda carga sea

negativa.

14.20 En una fision de un nucleo de

uranio, los dos fragmentos son 9Sy y141I, con masas practicamente iguales a

95 uma y 141 uma, respectivamente,

Sus radios pueden calcularse por medlo

de la expresion R=1,2 X 10-15 Al/3 I'll,

donde A es el numero masico. Supo-niendo que los fragmentos es tan i icial-mente en reposo y tangentes uno al otro,encontrar (a) la fuerza y la encrgta po

tencial iniciales, (b) su velocidad rein-

tiva final, (c) la veJocidad final do 'adll

fragmento con respecto al 'ell l.ro d(

masa.

14-.21 Cuando uu nu Jc o rto 111 '1 1 . 11 1 " I I I

dcsintcgra rnitl ' Il ( lO unn [ l1 l 1' 1 1I : 1I 1 1 1 I Jl rl l

(0· s a till 1li'1(:kn d IlOilo, II ; • I III

 

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504 I nieracci6n electrica

nucleo resultante es el torio (Z =0).

Suponiendo que la particula alfa estainicialmente en reposo, a una distancia

de 8,5 x 10-1& m del centro del nucleo

de uranio, calcular (a) la aceleracion

inicial y la energia de la particula,

(b) la energia y la velocidad de la par-

ticula cuando se encuentra a gran dis-

tancia del nucleo.

14.22 En los vertices de un cuadrado

de lado 2 x 10-9 m se colocan cuatro

protones . Otro proton esta inicialmente

sobre la perpendicular al cuadrado por

su centro, a una distancia de 2 x 10--11m

del mismo. Calcular (a) la velocidad ini-

cial minima que este ultimo proton ne-

cesita para lIegar al centro del cuadrado,

(b) sus aceleraciones inicial y final.

(c) Hacer un graftco de la energia po-

tencial del proton en Iuncion de su

distancia al centro del cuadrado. Des-

cribir su movimiento en el caso de que

la energia inicial sea menor 0 mayor que

la encontrada en (ia).

~14.23 El potencial a una cierta distan-cia de una carga puntual es 600 V Y el

campo electrico es 200 N C:". i,Cual es

la distancia ala carga puntual? (b) i,Cual

es la magnitud de la carga?

14.24 La maxima carga que puede re-

tener uno de los terminales es ferrtc'os de

un generador de Van de Graaff(es cerca

de 10-3 C. Supongase una carga ~gsitiva

de esta magnitud, dist ribuida uniforme-

mente sobre la superficie de una esfera

situ ada en el vacio. (a) Ca1cular el mo-

dulo de la intens idad del campo electrico

en un punto fuera de la esfera, a 5 m de

su centro. (b) Si se liberara un electron

en es te punto, i,cual seria el modulo y ladireccion de su aceleraclon inicial? i ,cual

seria ~su velocidad al lIegar a la es fera?

C 14.25, Una pequeiia esfera de 0,2 g

cuelga.por medio de una cuerda entre dos

placas paralelas separadas 5 cm. La carga

sobre la esfera es de 6 x 10-9 C. i,Cual

es la diferencia de potencial entre las

pla cas si el hilo forma un angulo de 10°

con la vertical?

14.26 Dos car gas puntuales de 2 x 10-7

C Y 3 X 10-7 C estan separadas por una

distancla de 0,1 m. Calcular el campo y

el potencial electrico resultantes (a) en

el punto medio de la distancia entre

elIas, (b) en un punto situado a 0,04 m

de la primera, sobre la recta que pasa

por elIas, pero fuera del segmento que

las une, (d) en un punto situ ado a

0,1 m de cada carga. (e) i,En que punto

el campo electrico es cero?

14.27 Resolver el problema anterior

para el caso en que la segunda carga sea

negativa.

14.28 Reftriendonos de nuevo al pro-blema 14.26, ca1cular el trabajo reque-

rido para mover una carga de 4 x 10-7 C

desde el punto indicado en (c) al punto

indicado en (d). l,Es necesario especi-

ficar la trayectoria?

14.29 Dos cargas positivas puntuales,

cada una de magnitud q, estan fijas sobre

el eje Y en los puntos y =+ a,y=a.(a) Trazar un diagrama mostrando las

posiciones de las cargas. (b) i,Cual es el

potencial en el origen? (c) Probar que

el potencial en cualquier punto sobre el

eje X es

v=2gj4rrE

oV a2

+X2.

(d) Hacer un grafico del potencial sobre

el eje X en funcion de x en el intervalo

- 5a, + 5a. (e) l,Para que valor de x

el potencial tiene la mitad de su valor

en el origen? A partir de (c) obtener el

campo electrico sobre el eje X.

14.30 Con referencia al problema ante-

rior, supongarnos que una particula de

carga + g y masa m se separa ligera-

mente del origen en la direccion del eje

X, y entonces se suelta. (a) i,Cual es su

velocidad a dis tancia infinita? (b) Hacer

un graflco de la velocidad de la particula

en funcion de x. (c) Si la particula se

lanza hacia la izquierda segun el eje Xdesde un punto situado a gran distancia

a la derecha del origen con la mitad de

la velocidad adquirida en la parte (a),

i,a que distancia del origen queda en

reposo? (d) Si una part icula cargada ne-gativamente fuera liberada a partir del

reposo sobre el eje X, a gran distancia

a la izquierda del origen, i,cual seria su

velocidad al pasar por el origen?

14.31 Refiriendose de nuevo a las car-

gas descritas en el problema 14.29, hacer

un grafico de la variacion del potencial

segun el eje Y. Comparar con el graflcode la parte (d) del problema 14.29. l,Es

eJ potencial minima en el origen ?

14.32 Una vez mas considerar las car-

gas del problema 14.29. (a) Supongamos

que se coloca una parti~ula_ de carga +g'

en el origen, y se la deja l ibre. i,Que su-

cede? (b) i,Que sucederia si la carga a

que nos referimos en la parte (a) se s~-

parara del origen ligerament~ en la d.l-

reccion del eje Y? (c) i,Que sucedena

si se separara del origen en la direccion

del eje X?

14 33 En un sistema de coordenadas

re~tangulares una carga de 25 x 10-iJ C

se coloca en el origen y otra carga de

_ 25 x 10-iJ C se coloca en el punto

x = m, y =O. i,Cual es el campo

electrico (a) en x =3 m, y =O?, (b) en

x =3 m, Y =4 m ?

14.34 Cargas electricas iguales a 1 C

cada una se colo can en los vertices de

un triangulo equilat.ero de 10 cm de lado.

Calcular (a) la fuerza sobre cada carga

y la energia potencial de ~ada un.a de

elias como resultado de las rnteraccionescon las otras, (b) el campo y el potencial

electrico resultantes en el centro del

t.riangulo, (c) la energia potencial in-

terna del sistema.

14.35 Refiriendose al problema ante-

rior, dibujar las Iineas de fuerza del

campo electrico producido por las t~es

cargas . Dibujar tarnbien las superflcies

equipotenciales.

14.36 Demostrar que las componentes

cartesianas del campo electrico produ-

cicio por una carga gala distancia r son, .

etc.

14.37 En un atomo de hidrogeno en

su estado de menor energia (tambien

llamado estado fundamental) el electronse mueve alrededor del proton en 10 que

se puede considerar una orhita circular

de radio 053 x 10-10 m. Calcular (a)

la energia ~otencial, (b) la energia cin~-

tica, (c) la energia total, (d) la frecuencia

del movimiento. (A modo de compara-

cion, la frecuencia de radiacion emitida

por el atomo de hidrogeno es del orden

de 101& Hz).

14.38 Usando el teorema virial para

una particula, determinar la en_ergia de

un electron (carga - e) que gira alre-

dedor de un nucleo de carga +Ze a una

distancia r. Aplicarlos al atomo de hi-

Problemas 505

drogeno (r ~ 0,53 x 10-10 m) y compa-

rar el resultado con el obtenido en (c)

del problema 14.37.

14.39 Escribir la expresion que da la

energia potencial electrica interna total

(a) de un atorno de heIio, (b) de una

molecula de hldrogeno.

14.40 i,Que energia cinet ic~, en joule~,

y que velociclad, en m S-I, trene ur: nu-

cleo de carbono (carga +6e) despues dehaber s ido acelerado por una diferencia

de potencial de 107 V?

14.41 Establecer una relacion nume-

rica que de la velocidad (en m S-1) de

un electron y un proton en Iuncion de la

diferencia de potencial (en volts) a tra-

ves de la cual se mueven, suponiendo

que estaban inicialmente en reposo.

14.42 (a) I,Cual es la diferencia de po-

tencial maxima a traves de la cual un

electron puede ser acelerado si su masa

no debe exceder en mas del 1% a su

masa en reposo? (b) i,Cual es la veloci-

dad de tal electron, expresada como frac-

cion de la velocidad de la luz e? (c) Hacerlos mismos calculos para un proton.

14.43 Calcular, usando la relat ividad,

la diferencia de potencial requerida (a)

para que un electron alcance la velocidacl

de 0,4e a partir del reposo (b) para

aumentar su velocidad de 0,4e has t a

0,8e y (c) para aumentar su vel~cidad

desde 0,8e hasta 0,95e. Repetir los

calculos para un proton.

14.44 Una cierta maquina de alta ener-

gia acelera electrones a traves de unadiferencia de potencial de 6,5 x 109 V.

(a) l,Cual es la relacion entre la masa m

del electron y su masa mo en reposo,

cuando sale del acelerador'? (b) l,Cual esel cociente entre su velocidad y la de la

luz ? (c) i,Cual seria la velocidad cal~ll-

lada con los principles cle la mecanica

clasica?

14.45 l,Cual es la velocidacl final de _llll

electron acelerado a traves cle una dif'c-

rencia de potencial de 12.000 volts ~I

tiene una velociclad inicial de 107 m s-' 't

14.46 En un cierto tubo de rayos 'soacelera un electron inicialmentc 11 1(·

poso al pasar desde el c~~lO(\O.1 {"IOIi() II

traves de una ditcrcn 10 . de p o lC '1 1 _ I II

de. 180.000 ·V. Al II'gar ~\I1)110(10, ~rll(d

 

Problemas 507

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506 Interaccion electrica

Fuente

de iones, S

Oscilador

RFFigura 14·47

Conexi on Electrodos

electrica tubulares

I tie aceleracion

14.55 La diferencia de potencial entre

las dos placas paralelas de la fig. 14.48

es de 100 V, la separaci6n entre ellas es

de 1 ern, Y su longitud es 2 cm. Se lanza

un electr6n con una velocidad de 107 m

S-1 en direccion perpendicular al campo.

(a) Hallar su desviaci6n transversal y su

velocidad transversal cuando emerge de

las placas. (b) Si se coloca una pantalla

a 0,50 mala derecha del extremo de las

placas, I,a que posicion sobre la pantallaUega el electron?

14.56 Se establece una diferencia de

potencial de 1600 Ventre dos placas

paralelas separadas 4 cm. Un electron

se lib era de la placa negativa en el

mismo instante en que un proton se

lib era de la placa positiva. (a) I,A que

dis tancia de la placa pos it iva se cruzan?

(b) Comparar sus velocidades cuando in-

ciden sobre las placas opues tas . (c) Com-

parar sus energias al incidir sobre las

placas.

Tanque

al vacio

I

es (a) su energia cinetica en eV, (b) su ' potencial electrica nuclear en J y enmasa, (c) su velocidad. MeV en Iuncion de Z y A.

14.47 En un acelerador lineal, como el

ilustrado en la fig. 14-47, las secciones

altern as del tubo se conectan entre si y

se aplica una diferencia de potencial os-

cilant.e entre los dos conjuntos. (a) De-

mostrar que, a fin de que un ion este err

fase con el potencial oscilante cuando

cruz a desde un tubo al otro (siendo las

energias no relativis tas ), las longitudes

de los tub os sucesivos debe ser L, VIi,donde L, es la longitud del primer tubo.

(b) Hallar L, si el voltaje acelerador es

Vo Y su frecuencia es v. (c) Calcular la

energia del ion que emerge del enesimotubo. (d) I,Cuales deben ser las longitudes

de los tubos sucesivos despues que el ion

alcanza energias relat ivis t as ?

14.48 Supongamos que la diferencia de

potencial entre el terminal es ferico de un

generador de Van de Graaff y el punto

en el cual las cargas son esparcidas sobre

la correa en su movimiento hacia arriba

sea de 2 x 106 V. Si la correa entrega

carga negativa a la esfera a razon de

2 x 10-3 C S-1 Y toma carga positiva

con la misma rapidez, I,que potencia se

necesita para mover la correa contra

las fuerzas electricas ?

14.49 La separaclon media entre losprotones en un nucleo atornico es del

orden de 10-15 m. Estimar en J y en

MeVel orden de magnitud de la energia

potencial electrica entre dos protones

del nucleo,

14.50 Suponiendo que los protones en

un nucleo at6mico de radio R esten uni-

formemente distribuidos, la energia po-

tencial electrica interna puede calcularse

con la cxpresion ~Z(Z-1)e2/41tEoR (ver

el problema 14.80 y el ejemplo 16.13).

El radio nuclear se puede a su vez calcu-

lar por R =1,2 x 10-15A1/3 m. Escri-

bir las expresiones que dan la energia

14.51 Usando los resultados del pro-

blema 14.50, calcular la energia poten-

cial electrica total y la energia por

proton para los siguientes nucleos :160(Z = 8), 40Ca(Z = 20), 91Zr(Z = 40),

144Nd (Z = 60), 200Hg (Z = 80) Y 238U

(Z =2). I,Que Ie dicen sus resultados

acerca del efecto de la Interaccion elec-

trica entre protones sobre la es tabilidad

del nucleo ? Us an do sus datos, haga el

grafico de la energia potencial en Iuncion

del numero masico.

14.52 Un proton producido en un ace-

lerador de Van de Graaff de 1MeV se

hace incidir sobre una lamina de oro.

Calcular la distancia de maxima apro-

ximacion (a) para un choque de frente,

(b) para choques con parametres de im-

pacto de 10-15 m y 10-14 m. I,Cual es la

defleccion del proton en cad a caso?

14.53 Una particula alfa con una ener-

gia cinetica de 4 MeV se lanza en linea

recta hacia el nucleo de un atorno de

mercurio. El numero at6mico del mer-

curio es 80, y por 10 tanto el nucleo

tiene una carga pos it iva igual a 80 cargas

electronicas, (a) Hallar la distancia de

maxima aproximacion de la particula

alfa al nucleo, (b) Comparar el result adocon el radio nuclear, ~ 10-14m.

14.54 Protones acelerados por un vol-

taje de 8 x 105 V inciden sobre una la-

mina de oro (Z =79). Calcular la seccion

eficaz diferencial para dispersion coulorn-

biana en intervalos de 20° para e p com-

prendido entre 20° y 180°. Hacer un

graflco, util izando coordenadas polares,

de c r e e p ) . [Observacion: la ec. (14.25) se

hace infinita para e p =O. Esto se debe

a que hemos supuesto que el micleo dis-

persor es una earga puntual. Cuando se

toma en consideraci6n el tamafio finito

del nucleo esta anornalla desaparece. J

e 1 '1 ) . .

®I---~ 1 "Ill

II

Figura 14·481-----2rm

14.57 Un triodo cons iste fundamental-

mente en los siguientes elementos: una

superficie plana (el catodo) que emite

electrones con, velocidades iniciales des-

preciables ; paralela al cato do y a 3 mm

de distancia esta la rejilla de alambre

fino y a una diferencia de potencial de

18 V con respecto al catodo. La estruc-

tura de la rejilla es tal que permite que

los electrones pasen libremente. Una

segunda superficie plana (el anodo) esta

12 mm mas alla de la grilla y a un po-

tencial de 15 V con respecto al catodo.

Supongamos que el campo electr ico entre

el catodo y la rej illa , y entre la rejilla

y el anode, sea uniforme. (a) Trazar un

diagrama del potencial en funcion de la

distancia, a 10 largo de la linea entre el

catodo y el anode. (b) I,Con que veloci-

dad cruzan la rejilla los eleetrones?

(c) i,Con que velocidad llegan al anodo ?

(d) Determinar el modulo y la direccion

del campo elect. rico entre el catodo y Ja

rejilla, y entre la rej ilia y el {modo.

(e) Calcular el modulo y la direccion

de la aeeleracion del electron en cada

region.

14.58 Un acelerador lineal con un vol-

taje de 800 kV produce un haz de pro-

tones equivalente a una corriente de

1 rnA. Calcular (a) el numero de proto-

nes pOI'segundo que inciden en el blanco,

(b) la potencia requerida para acelerar

los protones, (c) la velocidad de los pro-

tones al ineidir sobre el blanco. (d) Su-poniendo que los protones pierdan el

80% de su energia en el blanco, calcular

la rapidez, expresada en cal s-t, con la

cual se debe remover energia del blanco.

14.59 Un electron, despues de haber

sido acelerado por una diferencia de

potencial de 565 V, entra a un campo

electrico uniforme de 3500 V m " a un

angulo de 60° con la direccion del campo.

Despues de 5 x 10-8 s, I,cuales son (a)

las componentes de su velocidad para-

lela y perpendicular al campo, (b) la

magnitud y direccion de su velocidad,

(c) sus coordenadas respecto al punto de

entrada? (d) I,Cual es su energia total?

14.60 Dos placas metalicas grandes y

planas, montadas verticalmente y sepa-

radas 4 em, estan cargadas a una dife-

rencia de potencial de 200 V. (a) I,Con

qu e velocidad debe lanzarse un elec.t~on

horizontalmente des de la placa pos it .iva

para que lIegue a la placa negativa con

la velocidad de 107 m S-I? (b) /,Con que

velocidad debe lanzarse desde la placa

positiva a un angulo de 37° por encima

de la horizontal para que, cuando llegue

a la placa negativa, la componente ho-

rizontal de su velocidad sea 107 m S-l?

(c) I,Cual es la magnitud de la cornpo-

nente vertical de la velocidad cuando elelectron lIega a la placa negativa? (d)

I,Cuanto tarda el electron en ir de una

placa a la otra en cada caso? (e) ;,Con

que velocidad llegara el electr6n a la

placa negativa si se lanza horizontal-

mente desde la placa positiva con In

velocidad de 106 m S-I?

14.61 Un electron se encuentra entr

dos pla cas separadas 2 em y cargadas a

una diferencia de potencial de 2000 V.

Comparar la fuerza electrica quo so

ejerce sobre el electr6n con la tu 1'r,1I

gravitacional sobre el mismo. .R·p Ilr'

para un proton. I.Justiflcan cates 1 ' 0 1 1 1 1 ,

 

~\

l

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50 8 Interacci6n elecirica

tados el haber ignorado los efectos gra-

vitacionales en este capi tu lo?

14.62 Adaptar el resultado del ejem-

plo 13.8 al caso de un plano con una

densidad de carga a para probar que

el campo y el potencial electricos son

C . = a/2€o y V = - az/2€o.

14.63 Una carga - q de mas a m se

coloca a una distancia z de un plano

cargado posit ivamente con una densidad,

de carga uniforme a. La carga se libera.

Calcular su aceleracion, la velocidad con

la cual incidira en el plano y el tiempo

necesario para llegar a el, -

14.64 Suponiendo que a la carga del

problema 14.63 se le de una velocidad

inicial Vo paralela al plano. Determinar

(a) la trayectoria que sigue, (b) el tiempo

que transcurre hasta que incide en el

plano, (c) la distancia que recorre para-

lelamente al plano antes de regresar al

mismo.

14.65 Reflriendonos de nuevo al pro-

blema 14.63, suponer que la carga sea

inicialmente en z =0 y que sea lan-

zada a una velocidad Vo a un angulo oc

con el plano. Determihar (a) la trayec-

toria que sigue, (b) su separacion ma-

xima del' plano, (c) la distancia que

recorre paralelamente al plano antes de

regresar al mismo.

14.66 Se disponen en forma altern ada

un infinito numero de cargas positivas

y negativas ± q sobre una linea recta.

Laseparacion entre las cargas adyacen-

tes es la misma e igual, r (fig. 14-49).

Demostrar que la energia potencial de

una carga es (- q2/27C€or)ln z. [Suge-rencia: usar la ec. (M. 24).]

1 - 1 ' - - 1

< : B G < : B 8 C ± ) 8 C ± ) G c ± )q

Figura 14-49

14.67 Una disposicion plana regular de

cargas de igual magnitud, positivas y

negativas alternadas, se obtiene colo-

cando las cargas en los centros de cua-

drados de lado a (fig. 14-50). Encontrar

la energta potencial de una carga tal

como la A.

14.68 Un anillo de radio a transport a

ffi 8 c ± ) 8 ffi 8 ffi

8ffi 8(B 8c ± ) 8

(B 8c ± ) 8 (B 8 ffi

8(B 8 ffiA 8 c ± ) 8

c ± ) 8 ffi G (B G ffi

8 ® 8 ® 8 E B 8

(B G < :B 8 < :B G ®

Figura 14-00

una carga q. Calcular el potencial y el

campo electricos en puntos situados so-

bre el eje perpendicular al plano del

anillo.

14.69 Hallar el potencial y el campo

electrico en puntos situados sobre el eje

de un disco de radio R que contiene una

carga a por unidad de area. [Sugerencia:dividir el disco en anillos y sumar las

cont ribuciones de todos el los .]

14.70 Reflriendose al problema 14.69

obtener el campo y el potencialelectrico

de una distribucion de cargas sobre un

plano que tiene la misma densidad de

carga que el disco. [Sugerencia: Hacer

R muy grande y mantener solo el ter-mino predominante.]

14.71 Se tiene un alambre de longitud

L con una densidad lineal de carga 'A

(fig. 14-51) (a) Probar que el campo

p

l ! 0 , [101 82 -,

/ / l ! ' I I i " "" " "t-X--I "....

& +-X~--------L-------~

Figura 14-01

electrico en un punto a una distancia R

del alambre esta dado por

C.L ='A/47C€oR)(sen62 -_sen 61)

y

I

donde {.L Y (II son las componentes de c .perpendicular y paralela al alambre y

61y6

2son los angulus que forman las

Iineas trazadas desde el punto a los ex-

t remos del alambre con la perpendicular

desde el punto al alambre .. (b) Hallar el

campo en un punto equidistante de los

extremos. (Los signos de los angulos 61

y 62se indican en Ia figura).

14.72 Con un alambre de carga 'A porunidad de longitud se forma un cuadrado

de lado L. Calcular el campo y el poten-

cial electricos en puntos situados sobre

la perpendicular al cuadrado por su

centro.

14.73 Obtener las expresiones para el

campo y el potencial electricos produ-

cidos por un plano con una distribucion

uniforme de carga a por unidad de area,

suponiendo que el plano est a for~ado

por una serie de filamentos de longitud

infinita y de ancho dx.

14.74 i,Que masa de cobre (bivalente)

deposita sobre un electrodo una corriente

de 2 A durante una hora? i,Cuantos

atomos se han depositado?

14.75 Estimar el promedio de las fuer-

zas electricas de atraccion entre dos

moleculas de agua en la fase gaseosa en

condiciones norm ales, debidas a sus mo-

mentos dipolares. Considerar varias orien-

taciones posibles de sus dipolos electri-

cos. Comparar con su atraccion gravita-

cional.

14.76 Adaptar los resultados del pro-

blema 13.81 al caso de Ia dist.ribucion

de cargas elcctricas que definen los mo-

z

///

///

+q.",:","

Figura 14-02

Problemas 50 9

mentos dipolar y cuadrupolar para las

direcciones consideradas.

14.77 Hallar los momentos dipolar y

cuadrupolar con respecto al eje Z de la

dlstribucion de cargas mostrada en la

fig. 14-52. Hallar el potencial y el campo

en los puntos del eje Z, suponiendo que

z es muy grande comparado con a. Re-

petir los calculos para los puntos del

eje Y.

Figura 14-53

14.78 Repetir el problema 14.77, su-poniendo que todas las cargas son posi-

tivas.

14.79 Un proton muy rapido con ve-

locidad Vo pasa a la distancia a de un

electron inicialmente en reposo (fig. 14-

53). Suponiendo que el movimiento del

proton no se perturb a debido a su gran

masa respecto a la del proton, (a) hacer

el graflco en Iuncion de x de la compo-

nente de la fuerza perpendicular a Vo

que el proton ejerce sobre el electron.

(b) Demostrar que el momentum trans-

ferido al electron es

(e2 /47C€o)(2voa)

en direccion perpendicular a vo ' (c) Es-

timar la desviaclon del proton en funci6n

de su velocidad. Este ejemplo sirve de

base para analizar el movimiento de par-ticulas cargadas que pasan a traves de

la materia. [Sugerencia: Suponiendo que

el electron permanece practicamente en

su posicion inicial mientras el proton

pasa, el momentum transferido al elec-

tron est a dado por ! : > . p = F dl Y SO I::l-

mente la componente perpendi.cular a Vo

tiene que ser calculada. En vista e l l ) II I

simetria de la Iuerza, en lugar de 1111( '-

grar desde - 00 a + 00 intcgrnr (1<,~t1( '

o a 00 y multi plical' pol' 2. ,I

14-,80 Dernostrar que 1 :1 I~n r rg lu . putml-cial elc tri 'a int crua de 1 1 1 1 s ls t( )1 l1 1 \ t il l

e ar ~a s ] )l Ic (l (\ c sn l!) lr Sl l (II ( '111111 'qllll'l'Il

 

1

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61 0 Interaccion electrica

de las formas:

(a) e,=) .ss:,i:Oclos 4rrEoriJlos pares

(b) ti,= t . 2 S qiVi,todaslas cargas

donde V i es el potencial producido en qc

por las oiras cargas. (c) Usarido el resul-tado hallado en (b), pro bar que la energia

electrica de una distribucion continua de

cargas de den sidad p es Ep =t J p V dr.

(d) Usar esta expresion para demos! iar

que la energia de un conductor esferico

con una carga Q dis tr ibuida uni forme-

mente sobrc su volumen es !(j2/4;:EoR.

(e) Aplicar el ultimo result ado al caso de

un nucleo de numero atomico Z.

14.81 Probar que las ecuaciones difc-

renciales para las lincas de fuerza son

dxj(x =y/ty =z/tz, doude dx, dy y

dz correspondcn a la separacion entre

dos puntos muy cercanos de la linea de

fuerza. Aplicar estas ecuaciones paraobtener la ecuacion de las Iineas de

fuerza de un dipolo electrico. [Sugercn-

cia : Observese que, como en este casu

las !ineas de fuerza son curvas planas,

la componente (z es nula, Expresar c;y (y de un dipolo elect rico en coorde-

nadas rectangulares.j

14.82 Pro bar que en coordenadas pola-

res la ecuacion diferencial de las lineas

de fuerza es drlc, = dO/to. Usar este

resultado para obtener la ecuacion de las

lineas de fuerza de uu dipolo elect rico

en coordenadas polares. Veriflcar con el

resultado del problema 14.81.

14.83 EI statcoulomb (stC) es una uni-dad de carga que se define como la carga

que, colocada a 1 cm de otra carga igual

en el vacio, la repele con una fuerza de

1 dina. (a) Probar que un statcoulomb

es n,-c C (donde c es la velocidad de laluz), 0 aproximadamente ,\ x 10-9 C..

(b) Expresar la carga elemental e en

statcoulomb. (c) Calcular el valor de la

constante K; y Eo cuando la carga sc

expresa en statcoulombs, la fuerza en

dinas, y la distancia en centimetros.

(d) Hallar Ia relacion entre las unidades

dina/statcoulornb y N C-l para medir el

campo elect rico.

14.84 I,Cuantos clectrones equivalen a

un statcoulomb?

14.85 EI abcoulomb es una unidad de

carga equivalente a 10 C. Hallar ('I valor

de Jas constautes K« y Eo cuando la

carga se expresa en abcoulombs, la fuerza

en dinas y la distancia en centimctros.

I,Cual es la relacion entre el abcoulornby e l s ta tcoulomb?

14.86 EI statvolt (st V) cs la diferencia

de potencial que debe existir entre dos

punt os para que al mover una carga de

un statcoulomb de u n punta al OtTO se

efcctue el trabajo de u n erg. (a) Probar

que un stat volt cs igual a c] III 6 0 apro-

ximadarncnte 300 v . (b) Hallar la rela-

cion ent re el st V cm" v d \' 111-1 como

unidades para mc dir el' campo elcctrico.

Cornparar con cl result ado (d) del pro-

blema 14 .83.

14.87 Escribir la cxprcsion para el po-

tencial creado por una carga q a la dis-

t ancia r cuando el potencial se mide en

stY, la carga en stC, y la distancia en em.

Repetir para un campo clcctrlco mcdidoen stY em:".

14.88 Se acost urnbra escribir la expre-

sion para la encrgla del est ado est acio-

nario de los arornos con un electron en

la forma En =- UZh2c/n2, donde I? es

la l lamada constuntr de lti jdber«. Usando

la cxprosion dar la vu cl cjcmplo 14.1- :p ara

E" probar que R cs igllal a 1,0074 " 107

In-I.

14.89 Calcular la cucrgia de los euatro

primeros est.ados cst acionarios del H Y

del He ' . Hallar, en cad a caso, la cuergia

rcquerida para cle v ar el sistema, dcsde

cl estado fundamental, al primer est ado

excit ado. Represcnt ar las cncrgias sobre

una escala por rued io de lln cas hor izon-

tales adecuadamcn te cspaciadu s. Obscr-

vese que algunas cnergias colnciden. i,Es

po sible deducir una regia general?

14.90 Usando el resultado del pro-

blema 14.37, estimar la velocidad del

electron en un at orno de hidrogeno en

su est ado fundamental y vcriflcar los

calculos hechos al final del ejemplo 14.10.


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