Download - 13.3 角的平分线的性质( 2 )
1 、会用尺规作角的平分线 .
角的平分线上的点到角的两边的距离相等2 、角的平分线的性质 :
O C
B
1
A
2P
D
E
PD⊥OA, PE⊥OB∵∵ OC 是∠ AOB 的平分线
∴ PD= PE
用数学语言表述:
• 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图 ,QD⊥OA , QE⊥OB ,点 D 、 E 为垂足, QD = QE .求证:点 Q 在∠ AOB 的平分线上.
证明 : ∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ∴ ∠QDO=∠QEO= 90° (垂直的定义)
在 Rt△QDO和 Rt△QEO中 QO=QO(公共边)
QD=QE ∴ Rt△QDO Rt≌ △QEO( HL )
∴ ∠ QOD =∠ QOE
∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上
已知:如图 ,QD⊥OA , QE⊥OB ,点 D 、 E 为垂足, QD = QE .求证:点 Q 在∠ AOB 的平分线上.
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵∵ QD⊥OA , QE⊥OB , QD =QE .
∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上.
用数学语言表示为:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点 Q 在∠ AOB 的平分
线上∴ QD = QE
思考:要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?(比例尺 1: 20 000 )
S
O
公路 铁路
做角的平分线OC ,然后截取 OP=2.5cm ,即点 P 为所求。
如图 , △ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P,求证:点 P 到三边 AB 、 BC 、 CA 的距离相等
∵BM 是△ ABC 的角平分线 ,点 P 在 BM 上 ,
A
B C
PMN D
E
F
∴PD=PE( 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 ).同理 ,PE=PF.∴PD = PE=PF.即点 P 到三边 AB 、 BC 、 CA 的距离相等
证明:过点 P 作 PD AB⊥ 于 D ,PE BC⊥ 于 E , PF AC⊥ 于 F
如图,已知△ ABC 的外角∠ CBD 和∠ BCE的平分线相交于点 F ,
求证:点 F 在∠ DAE 的平分线上.
证明:过点 F作 FG⊥AE 于 G, FH⊥AD 于 H, FM⊥BC 于 M G
H
M∵点 F在∠ BCE 的平分线上, FG⊥AE , FM⊥BC
∴FG = FM又∵点 F 在∠ CBD 的平分线上, FH⊥AD , FM⊥BC∴FM = FH∴FG = FH∴ 点 F 在∠ DAE 的平分
线上
利用结论,解决问题练一练 1 、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村 . 要使这个度假村到三条公路的距离相等 , 应在何处修建 ?想一想 在确定度假村的位置时 , 一定要画
出三个角的平分线吗 ? 你是怎样思考的 ? 你是如何证明的 ?
拓展与延伸2 、直线表示三条相互交叉的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 则可供选择的地址有 :( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处
分析 : 由于没有限制在何处选址 , 故要求的地址共有四处。
A
B
C
D
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵∵ QD⊥OA , QE⊥OB , QD =QE .
∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上.
用数学语言表示为:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点 Q 在∠ AOB 的平分
线上∴ QD = QE