ISPITIVANJE FUNKCIJA POMOĆU IZVODA Monotonost, ekstremne vrednosti,konveksnost,

konkavnost, prevojne tačke

MONOTONOST-RAŠĆENJE I OPADANJE FUNKCIJE

• Ako funkcija raste kao na slici, tada

y

x

a b

A

t

0 00 ,90 0

,

0, ,

t t

tg

k tg k y A

y A A a b

MONOTONOSTRAŠĆENJE I OPADANJE FUNKCIJE

Dakle:

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna (ima izvod) na (a,b) i ako je za

• , funkcija je strogo rastuća i obrnuto,

• , funkcija je strogo opadajuća i obrnuto.

,x a b

0f x

0f x

Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:

3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x

x

Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:

Rešenje:

a) Izvod funkcije je . Kako je za

funkcija je stalno rastuća.

b) Izvod funkcije je . Kako je za

funkcija je stalno opadajuća.

c) Izvod funkcije je Kako je za

a, za zaključujemo da funkcija raste za

, a opada za

3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x

x

3f x x 23f x x 0x R f x

1f x

x 2

1f x

x

2 2 3f x x x 2 2.f x x 0f x 1x

0f x 1,x 1,x

,1 .x

0x R f x

EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE

• Funkcija f(x) definisana na (a,b) imaće maksimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke ,

a imaće minimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke .

Minimum i maksimum funkcije se nazivaju ekstremima funkcije.

1 ,x a b 1f x f x

2 ,x a b 2f x f x

ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU IZVODA

• Ako diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u tački ekstrem

(maksimum ili minimum), tada je u toj tački

Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi.

Tačke u kojima je nazivaju se stacionarnim tačkama.

1x x 1 0 .f x

1 0 .f x

• Neka je stacionarna tačka funkcije y=f(x) . Ako je:

• Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz tačku tada funkcija ima ekstrem u toj tački .

1 1 10 0 minf x za x x i f x za x x tada je f x f x

1x

1 1 10 0 maxf x za x x i f x za x x tada je f x f x

1x

• Pri ispitivanju ekstrema funkcije y=f(x) pomoću prvog izvoda određujemo:

2. stacionarne tačke, tj.

3. znak izvoda sa obe strane stacionarnih tačaka.

1. f x

0f x

f x

Primer 2

Odrediti ekstreme funkcije

219 5 .

2f x x x

Primer 2

Odrediti ekstreme funkcije

Rešenje:Prvi izvod funkcije jeStacionarnu tačku i mogući ekstrem dobijamo rešavanjem jednačine

Da bi ova vrednost predstavljala ekstrem funkcije mora da u njoj dođe do promene znaka

prvog izvoda. Zaista za Zaključujemo da funkcija u tački x=9 ima minimum koji iznosi

219 5 .

2f x x x

9f x x

9 0 9f x x x

9, 0 9 0x f x i x f x

min 9 5f

ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU DRUGOG IZVODA

• Predpostavimo da je i da je neprekidna funkcija u nekoj okolini tačke .

• Ako je tada funkcija f(x) ima maksimum u tački

• Ako je tada funkcija f(x) ima minimum u tački

1 0f x f x1x

1 0f x

1 .x 1 0f x

1 .x

Primer 3

Odrediti ekstreme funkcije

3 23 9 5 .f x x x x

Primer 3Odrediti ekstreme funkcije

Rešenje:Prvi izvod funkcije je Nule izvoda su

Drugi izvod funkcije je

Kako je funkcija za x=3 ima

minimum , a za x=-1 ima maksimum

3 23 9 5 .f x x x x

23 6 9 .f x x x 3 , 1.x x

6 6 .f x x

3 12 0 , 1 12 0 ,f a f

min 3 22f f

max 1 10 .f f

ISPITIVANJE TOKA

FUNKCIJE

Ispitivanje funkcija obavljaćemo kroz sledeće korake:

• Određivanje domena funkcije• Određivanje nula i ispitivanje znaka funkcije• Ispitivanje parnosti I neparnosti funkcije• Ispitivanje ponašanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i

određivanje asimptota funkcije• Ispitivanje monotonosti i određivanje ekstrema funkcije primenom prvog

izvoda funkcije• Skiciranje grafika funkcije.

Primer 4Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju

Rešenje: Domen:

Nule funkcije:

Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u koordinatnom početku.

Znak funkcije:

Asimptote: Funkcija nema asimptota.

Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

3 26 9 .y x x x

:xD x R 23 20 6 9 0 3 0 0 3y x x x x x x x

,0 , 0 , 0, , 0 .x y x y

23 12 9y x x

min max

0 1 3

, 3 1, , 0 ,

3, 1 , 0 ,

3 0 , 1 4 .

y x x

x y y

x y y

y y

x

y

-1-3

Primer 5Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju

Rešenje: Domen:

Nule funkcije:

Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački (0,-1).

Znak funkcije:

Asimptote:

Prava x=1 je vertikalna asimptota funkcije.

pa je prava y=1, horizontalna asimptota funkcije.

1

1

xy

x

: ,1 1,xD x

, 1 1, , 0 1,1 0x y x y

1 0 1 0

1 1lim , lim .

1 1x x

x x

x x

lim 1x

f x

0 1 0 1y x x

Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

Funkcija stalno opada i nema ekstrema.

22

1

, 0 ,x

yx

x D y y

x

y

-1-1

Primer 6Ispitati i grafički prikazati sledeću funkciju

Rešenje: Domen:

Nule funkcije: Funkcija nema nule. Presek sa y osom: Funkcija seče y - osu u tački (0,-3).

Znak funkcije:

Asimptote:

Prave x=1 i x=-1 su vertikalne asimptote funkcije.

pa je prava y=0, horizontalna asimptota funkcije.

1

32

x

y

: , 1 1,1 1,xD x

, 1 1, , 0 1,1 0x y x y

2 2 2 21 0 1 0 1 0 1 0

3 3 3 3lim , lim , lim , lim

1 1 1 1x x x xx x x x

lim 0x

f x

Intervali monotonosti i ekstremne vrednosti:

22

max

6, 0 0,

1

,0 , 0,

0, , 0 ,

0 3.

xy y x

x

x y y

x y y

y

x

y

1-1

-3

Zadaci za vežbanje

1. Dokazati da funkcija nema ekstremnih vrednosti.

2. Odrediti ekstremne tačke i intervale monotonosti funkcije

3. Ispitati i grafički prikazati sledeće funkcije:

4 2 22

2

2 2

2) 2 3, ) 3 , ) ,

1

3 4) , ) .

1 1

xa y x x b y x x c y

x

xd y e y

x x

3 22 3 12 1.y x x x

3 23 6 10y x x x