Download - 1 Codierung Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Haydn: Streichquartett op 54.3 aus Largo,

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Codierung

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Haydn: Streichquartett op 54.3 aus Largo, Violine I

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Codierung


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EAN Europäische Artikelnummer


Ziffern 1 und 2 codieren das Hersteller-Land

Ziffer 2 bis 12 codieren Händler und Ware

Die letzte Ziffer ist eine Prüfziffer

4



•Diese Liste wurde von Schulkindernerstellt, 12 Jahre alt

5



6



Die Prüfziffer ist die Ergänzung zum nächsten Zehner.

7

EAN


Zahlendreher werden von der Prüfziffer meist gemerkt

8

EAN


Zahlendreher werden von der Prüfziffer meist gemerkt

aber nicht gemerkt werden die Paare:

•Lösung• x-y=5• x=y+5

9

ISBN veraltet


Zahlendreher wurden von der

Prüfziffer immer gemerkt

•Seit einigen Jahren gibt es eine neue Buchnummer.

•neu: ISBN-13• sie ist eine EAN

10

ISBN veraltet





Alte Buchnummer ohne Prüfziffer

•978 immer vorn•neueEAN Prüfziffer

11

ISBN veraltet


•Prüfziffer musste die 4 sein.




12

EAN


4 0 0 3 2 7 3 1 0 3 8 6 3

Die erste Ziffer ist in der Abfolge AB.... ertsprechend der erstenSpalte codiert

4 -> ABA ABB

•0001101 0100111 0111101 0010011 …… •Parität 1 •Parität 0

•Mit der Parität kann die Leserichtung erkannt werden

•Parität 0

13

EAN


4 0 0 3 2 7 3 1 0 3 8 6 3

Parität=(Zahl der 1) mod 2. •Parität 1 •Parität 0•Parität 0

Die erste Ziffer ist in der Abfolge AB.... ertsprechend der erstenSpalte codiert

4 -> ABA ABB

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Fehlerkorrigierende Codes


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Fehlerkorrigiende Codes


• Wir betrachten binäre Codewörter aus 0 und 1• Die Parität eines Codewortes ist

• 0, wenn das Wort eine gerade Anzahl 1 hat• 1, wenn das Wort eine ungerade Anzahl 1 hat

• Der Hammingabstand zweier Codewörter ist die Anzahl der unterschiedlich besetzten Stellen.

01011110111011

00001010010001

10100001000100

01011110000101

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• Wir betrachten binäre Codewörter aus 0 und 1• Die Parität eines Codewortes ist

• 0, wenn das Wort eine gerade Anzahl 1 hat• 1, wenn das Wort eine ungerade Anzahl 1 hat

• Der Hammingabstand zweier Codewörter ist die Anzahl der unterschiedlich besetzten Stellen.

01011110111011

00001010010001

10100001000100

01011110000101

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Fehler-erkennende Codes


• Wir betrachten binäre Codewörter mit 3 Bit.

010

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Fehler-erkennende Codes


• Wir betrachten binäre Codewörter mit 3 Bit.

• Vier Wörter erlaubt,• h=2

Der Code aus diesen vier Wörtern kann Einzelfehler erkennen, aber nicht korrigieren

010

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• Code mit Hammingabstand mindestens 3• IIIOIIOI IOOIIIOO IOOIOOII• Nun tritt ein einziger Fehler auf.

• IOOIOIOO • Den Fehler entdeckt man dadurch, dass es kein zulässiges Wort ist.• Die letzte Ziffer ist oft die Parität des davor stehenden Wortes. Dann sieht man den Fehler an der falschen Parität.• Das falsche Wort hat vom mittleren Codewort den Hammingabstand 1. Von den anderen Codewörtern hat es den Hammingabstand mind. 2.

• Man nimmt dieses „nahe“ Codewort anstelle des falschen.• IOOIIIOO wird jetzt nach dem Fehler genommen

Nun ist alles wieder richtig.

Erlaubte Codewörter

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Hamming-Code


• Richard Hammming fand 1948 als Erster einen

fehlerkorrigierenden Code.• Wir betrachten einen Code aus vier Bits. • Alle 2^4=16 möglichen Wörter sind erlaubt.

Gesendet wird:

• Die Nachricht:

IOII

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Hamming-Code


• Richard Hammming fand 1948 als Erster einen fehlerkorrigierenden Code.• Wir betrachten einen Code aus vier Bits. • Alle 2^4=16 möglichen Wörter sind erlaubt.

Gesendet wird:

• Die Nachricht:

IOII

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Hamming-Code


• Nachricht. IOII

• Zu je vier eigentlich zu sendenden Bits der Nachricht werden drei „Prüfbits" berechnet und angehängt. Das Kreisbild verdeutlicht das Vorgehen:• Schreibe die Nachricht in die blauen, inneren Felder 1,2,3,4.• Schreibe in die grünen Felder die Parität der im zugehörigen Kreis stehenden Bits.• Hänge die Bits der Felder 5,6,7 an die Nachricht an.• Der Empfänger trägt die sieben Bits in die Felder ein und prüft, ob

alles richtig ist.

•Gesendetes Wort IOIIOIO

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Funktioniert der Hamming-Code ?


• Nachricht. IOII


Sendekanal

• Empfangenes Wort OOIIOIO mit FehlerWir betrachten

nur den Fall:genau ein Fehler.

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• Nachricht. IOII


Sendekanal

Wir betrachtennur den Fall:genau ein Fehler.

• Empfänger sieht: 5 und 6 sind falsch.• Er ändert Platz 1.• Er nimmt also: IOIIOIO •richtig

• Empfangenes Wort OOIIOIO mit Fehler

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•Gesendetes Wort IOIIOIO •Empfangenes Wort

IOIOOIO IOI I I IO•Fehler Platz 4 •Fehler Platz 5

Aufgabe: Sie empfangen: OIOIOOI . Was ist das richtige Wort?

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•Gesendetes Wort IOIIOIO •Empfangenes Wort

IOIOOIO IOI I I IO•Fehler Platz 4 •Fehler Platz 5

Aufgabe: Sie empfangen: OIOIOOI . Was ist das richtige Wort?

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•Gesendetes Wort ???????

OIOIOOI

Aufgabe: Sie empfangen: OIOIOOI . Was ist richtig?

28



•Gesendetes Wort ???????

OIOIOOI

Ja, schon der alte Hammingcode kann Einzelfehler automatisch korrigieren.

Heute gibt es noch bessere fehlerkorrigierende Codes.

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Fehlerkorrigierende Codesoder warum CD nicht knackt


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