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PROBABILIDAD

Y

ESTADSTICAGR-1

2015 - A

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

CAPTULO I: ESTADSTICA

2

Es un conjunto de principios y mtodos de apoyo a la

toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Es la ciencia que utiliza mtodos cientficos para

recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar

datos; para obtener conclusiones vlidas para tomar

decisiones.

1.1.1. Introduccin a la Estadstica

CONCEPTO DE ESTADSTICA

3

Su funcin principal es predecir el comportamiento de

una poblacin sobre la base de la informacin de una

muestra, equilibrando: objetivos, costos, tcnicas y

conclusiones que infieran


FUNCIN DE LA ESTADSTICA

4

DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA: Busca describir y analizar

u grupo determinado, sin sacar conclusiones acerca

de un grupo mas grande.

INDUCTIVA O INFERENCIAL: Se ocupa de las

condiciones donde las inferencias son vlidas.


CLASIFICACIN DE LA ESTADSTICA

5

Es el conjunto total de individuos, objetos o medidas

que poseen algunas caractersticas comunes

observables en un lugar y en un momento

determinado

Una poblacin puede ser finita o infinita

1.1.2. Poblacin y Muestra

POBLACIN

6

Es un subconjunto

representativo de la

poblacin. El tipo de

muestra seleccionado

depende de la calidad

del estudio de la

poblacin.

1.1.2. Poblacin y Muestra

MUESTRA

7

Una es un smbolo (X, H, Y, , ) que puedetomar cualquier valor de un conjunto predeterminado,

llamado DOMINIO de la variable.

Si la variable slo toma un valor, se le llama variable

constante. A una variable que toma cualquier valor

entre dos valores, se le llama variable continua. Si no

es as, se denomina variable discreta.

1.1.3. VARIABLES: Discretas y Continuas

8

a) Nmero de acciones vendidas por da en labolsa de valores

b) Las temperaturas registradas cada mediahora en un observatorio

c) El tiempo de vida de los televisores

d) La longitud de 100 tornillos producidos enuna fbrica

9

a) El nmero G de galones de agua en una lavadora

b) El nmero B de libros en el estante de una biblioteca

c) La suma S de los puntos obtenidos al lanzar un parde dados

d) El dimetro D de una esfera

e) El pas C en Europa10

72,8 a la unidad ms cercana es 73; ya que est mas

cerca de 73 que de 72

72,465 a la centsima ms cercana

1.1.4. Matemtica bsica para estadstica

11

REDONDEO DE DATOS

72,46

a) 48,6 unidad ms cercana

b) 136,5 unidad ms cercana

c) 2,484 centsima ms cercana

d) 0,0435 milsima ms cercana

e) 4,50001 unidad ms cercana

f) 143,95 dcima ms cercana

g) 368 centena ms cercana

h) 24448 millar ms cercano

i) 5,56500 centsima ms cercana

j) 5,56501 centsima ms cercana 12

49

136

2,48

0,044

5

144,0

400

24000

5,56

5,57

Sumar los nmeros:

4,35

8,65

2,95

12,45

6,65

7,55

9,7513

a) Directamente

b) Redondeando a la dcimams cercana de acuerdo ala convencin del enteropar

c) Redondeando a fin deincrementar el dgitoantes del 5

Si una altura se registra exactamente como 65,4 pulg,

significa que la verdadera altura est entre 65,35 y

65,45. A los dgitos exactos, aparte de los ceros

necesarios para localizar el punto decimal, se les

llama dgitos o cifras significativas


14

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

65,4 3 cifras significativas

4,5300 5 cifras significativas

0,0018=,0018=1,8x10-3 2 cifras significativas

,001800=0,001800=1,800x10-3 4 cifras significativas


15

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

a) 149,8

b) 149,80

c) 0,0028

d) 0,00280

e) 1,00280

f) 9

g) 7,58400x10-5 16

4

5

2

3

6

1

6

Al realizar clculos que impliquen cualquier

operacin, el resultado final no debe tener

ms cifras significativas que los nmeros

con menos cifras significativas


17

CLCULOS


18

Se les llama a los

datos recolectados que no han sido organizados

numricamente.

EJEMPLO: Conjunto de pesos (libras) de 40

estudiantes hombres, obtenidas del registro

universitario, que est ordenado alfabticamente.

1.2.1. Datos Sueltos

19

138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

20

Una es un conjunto de datos numricos

en orden creciente o decreciente de magnitud. A la

diferencia entre el nmero mayor y el menor se le

conoce como rango (R) de los datos.

EJEMPLO: Mayor peso de los 40 estudiantes es 176 lb,

menor peso es 119 lb.

1.2.2. Ordenacin

21

119 125 126 128 132 135 135 135

136 138 138 140 140 142 142 144

144 145 145 146 146 147 147 148

149 150 150 152 153 154 156 157

158 161 163 164 165 168 173 176

22

Al organizar una gran cantidad de datos en bruto,

suele resultar til distribuirlos en clases o categoras

() y determinar la cantidad de datos que pertenece acada clase; esta cantidad se conoce como la

frecuencia de clase ().

Para comparar entre dos caractersticas o muestras es

aconsejable usar frecuencias relativas (), que seexpresa en porcentaje.

1.2.3. Distribuciones de Frecuencia

23

A la disposicin tabular de los datos en clases con sus

respectivas frecuencias de clase se le conoce como

distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias


24

PESO (lb)CANTIDAD DE

ESTUDIANTES

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

3

6

10

11

5

3

2

TOTAL 40


25

A los datos organizados y resumidos como en la

distribucin de frecuencias anterior se les llama datos

agrupados.

Aunque al agrupar los datos se pierden muchos de los

detalles originales de los datos, esto tiene la ventaja

de que se obtiene una visin general clara y se hacen

evidentes las relaciones.


26

a) Mtodo emprico: < # <

b) Muestras pequeas: # =

# = = , =

a) Mtodo de Sturges : # = + , log

# = + , log = , =

Clculo del nmero de Clases o Intervalos (#)

27

PESO (lb)CANTIDAD DE

ESTUDIANTES

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

3

6

10

11

5

3

2

TOTAL 40

Nmero de Clases

28

Son los nmeros extremos de una clase.

Un intervalo de clase que, por lo menos tericamente,

no tenga indicado el lmite de clase superior o el lmite

de clase inferior, se conoce como intervalo de clase

abierto. Por ejemplo, al considerar grupos de edades

de personas, un intervalo que sea 65 aos o

mayores es un intervalo de clase abierto.

1.2.4. Intervalos de clase y lmites de clase (LC)

29

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

Lmites de Clase

30

Llamada tambin verdadero lmite de clase, son los

extremos que incluyen todas las medidas de un

intervalo y se los obtiene dividiendo la precisin de la

medida de los datos por 2 y restando/aadiendo este

valor a cada lmite de clase.

En la prctica, las fronteras de clase se obtienen

sumando el lmite superior de un intervalo de clase al

lmite inferior del intervalo de clase inmediato superior

y dividiendo entre 2.

1.2.5. Fronteras de Clase (FC)

31

En el ejemplo, la precisin es 1; ya que estamos

trabajando con unidades.

PRECISIN = 1

PRECISIN/2 = = 0,5

Al lmite inferior de clase se resta 0,5

Al lmite superior de clase se suma 0,5

1.2.5. Fronteras de Clase (FC)

32

118,5 127,5

127,5 136,5

136,5 145,5

145,5 154,5

154,5 163,5

163,5 172,5

172,5 181,5

Frontera de Clase

33

El tamao, o la amplitud, de un intervalo de clase es la

diferencia entre sus fronteras superior e inferior y se le

conoce tambin como amplitud de clase, tamao de

clase o longitud de clase. Si en una distribucin de

frecuencia todos los intervalos de clase tienen la

misma amplitud, esta amplitud comn se denota c.

=

#

1.2.6. Tamao o Amplitud de un Intervalo de clase

34 =

= , =

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

Tamao de Clase con Lmites de Clase

35

8

8

8

8

8

8

8

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

Tamao de Clase con Frontera de Clase

36

9

9

9

9

9

9

9

La marca de clase es el punto medio del intervalo de

clase y se obtiene sumando los lmites de clase

inferior y superior y dividiendo entre 2.

A la marca de clase tambin se le conoce como punto

medio de clase.

= +

1.2.7. Marca de Clase ( )

37

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

Marca de Clase

38

123

132

141

150

159

168

177

En el conjunto de los datos en bruto,

se determina el nmero mayor y el

nmero menor y se halla, as, el

rango (la diferencia entre los

nmeros mayor y menor).

1.2.8. REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNADISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

39

Se divide el rango en una cantidad

adecuada de intervalos de clase de una

misma amplitud. Si esto no es posible,

se usan intervalos de clase de

diferentes amplitudes o intervalos de

clase abiertos.


40

Se determina la cantidad de

observaciones que caen dentro de

cada intervalo de clase; es decir, se

encuentran las frecuencias de clase.

La mejor manera de hacer esto es

utilizando una hoja de conteo


41

INTERVALOS CONTEO FRECUENCIAS

119 127

128 136

137 145

146 154

155 163

164 172

173 181

///

//// /

//// ////

//// //// /

////

///

//

3

6

10

11

5

3

2

TOTAL 40

42

Los histogramas y los polgonos de

frecuencias son dos

de las

distribuciones de frecuencias

1.2.9. HISTOGRAMAS Y POLGONOS DEFRECUENCIAS

44

Conjunto de rectngulos que tienen:

a) Sus bases sobre un eje horizontal (el eje X ),

con sus

de longitudes iguales a la amplitud

del intervalo de clase,

b) reas proporcionales a las frecuencias de

clase.

HISTOGRAMAS

45

Es una grfica de lnea que presenta las

frecuencias de clase graficadas contra las

marcas de clase. Se puede obtener

conectando los puntos medios de las partes

superiores de los rectngulos de un

histograma

POLGONO DE FRECUENCIA

46

Relativa

Acumulada

Ojivas relativas acumuladas

Ojivas de porcentajes

1.2.9. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

47

La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de

la clase dividida entre la suma de las frecuencias de

todas las clases y generalmente se expresa como

porcentaje

Las representaciones grficas de las distribuciones de

frecuencias relativas se obtienen a partir de los

histogramas o polgonos de frecuencias, cambiando

nicamente, en la escala vertical

FRECUENCIAS RELATIVAS

48

A la suma de todas las frecuencias menores que la

frontera superior de un intervalo de clase dado se le

llama frecuencia acumulada MENOS

A la suma de todas las frecuencias mayores que la

frontera inferior de un intervalo de clase dado se le

llama frecuencia acumulada MS

FRECUENCIAS ACUMULADAS

49

Una grfica que muestra las frecuencias

acumuladas menores de cada frontera superior de

clase respecto a cada frontera superior de clase o

viceversa se le conoce como grfica de

frecuencias acumuladas u ojiva.

Siempre al hablar de distribuciones acumuladas o

de ojivas, se tratar del tipo menos que.

OJIVAS

50

La frecuencia acumulada relativa o frecuencia

acumulada porcentual es la frecuencia acumulada

dividida entre la suma de todas las frecuencias

Si se emplean las frecuencias acumuladas relativas en

lugar de las frecuencias acumuladas, se obtiene una

distribucin de frecuencias acumuladas relativas y una

grfica de frecuencias acumuladas relativas

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

RELATIVAS Y OJIVAS PORCENTUALES

51

Cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse

que los polgonos de frecuencias, o los polgonos de

frecuencias relativas, correspondientes a estas

poblaciones estn formados por una gran cantidad de

pequeos segmentos de recta de manera que sus

formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales

se les llama curvas de frecuencias o curvas de

frecuencias relativas, respectivamente.

CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS

52

Es razonable esperar que estas curvas tericas puedan

ser aproximadas suavizando los polgonos de

frecuencias o los polgonos de frecuencias relativas de

la muestra; esta aproximacin mejorar a medida que

aumenta el tamao de la muestra. sta es la razn por

la que a las curvas de frecuencias se les suele llamar

polgonos de frecuencias suavizados.

CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS

53

Simtricas

Sesgadas a la izquierda

Sesgadas a la derecha

Distribuidas uniformemente

En forma de J

En forma de U

Bimodales

Multimodales

TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS

54


55

El smbolo, (que se lee X subndice j) representa

cualquiera de los N valores 1, 2, 3,. . . , quepuede tomar la variable X. A la letra j que aparece en representando a cualquiera de los nmeros 1, 2, 3, . . . ,

N se le llama subndice o ndice. En lugar de j se puede

usar, por supuesto, cualquier otra letra, i, k, p, q o s.

1.3.1. Notacin de ndices

56

El smbolo =1 se emplea para denotar la suma de

todas las desde j = 1 hasta j = N; por definicin,

=1

=1 + 2 + 3 ++

Cuando no puede haber confusin, esta suma se

denota simplemente como , , El smbolo es la letra griega mayscula sigma y denota suma.

1.3.2. Notacin de Sumatoria

57

Un promedio es un valor tpico o representativo de un

conjunto de datos. Como estos valores tpicos tienden a

encontrarse en el centro de los conjuntos de datos,

ordenados de acuerdo con su magnitud, a los

promedios se les conoce tambin como medidas de

tendencia central.

1.3.3.Promedios o medidas de tendencia central

58

Se pueden definir varios tipos de promedios; los ms

usados son la media aritmtica, la mediana, la moda, la

media geomtrica y la media armnica. Cada una de

ellas tiene ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo

de datos y el propsito de su uso.

1.3.3.Promedios o medidas de tendencia central

59

La media aritmtica, o brevemente la media, de un

conjunto de N nmeros 1, 2, 3, . . . , se denotaas: (que se lee X barra) y est definida como:

= + + ++

= =

=

1.3.4. Media

60

Si los nmeros 1, 2, 3,, se presentan 1, 2,3,, veces, respectivamente (es decir, se presentancon frecuencias 1, 2, 3, . . . , ), su media aritmticaes:

= + + ++

+++ . . . += =

=

=

=

1.3.4. Media

61

Algunas veces, a los nmeros 1, 2, 3,, se lesasignan ciertos factores de ponderacin (pesos) 1, 2,3,, que dependen del significado o importanciaque se les asigne a estos nmeros.

= + + ++

+++ . . . +=

1.3.4.1. Media Aritmtica Ponderada

62

Algunas veces, a los nmeros 1, 2, 3,, se lesasignan ciertos factores de ponderacin (pesos) 1, 2,3,, que dependen del significado o importanciaque se les asigne a estos nmeros.

= + + ++

+++ . . . +=

1.3.4.1. Media Aritmtica Ponderada

63

1. En un conjunto de nmeros, la suma algebraica de

las desviaciones de estos nmeros respecto a su

media aritmtica es cero.

1.3.4.2. Propiedades de la Media Aritmtica

64

2. En un conjunto de nmeros , la suma de los

cuadrados de sus desviaciones respecto a un

nmero es un mnimo si y slo si =


65

3. Si la media de nmeros es , la media de nmeros es , . . . , la media de nmeros es, entonces la media de todos estos nmeros es

= + + ++

+++ . . . +

Es decir, una media aritmtica ponderada de todas las

medias.


66

4. Si se cree o se supone que un nmero A (que puede

ser cualquier nmero) es la media aritmtica y si

= son las desviaciones de de A,

entonces:

= + =

= +

= + =

=

= +


67

Cuando se presentan los datos en una distribucin de

frecuencias, se considera que todos los datos que caen

en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o

punto medio del intervalo. Para datos agrupados,

interpretando a las como las marcas de clase, a las

como las correspondientes frecuencias de clase, a A

como cualquier marca de clase supuesta y =

como la desviacin de respecto de A

1.3.4.3. Clculo de la Media Aritmtica para DatosAgrupados

68

Si todos los intervalos de clase son de una misma

amplitud c, las desviaciones = se pueden

expresar como , donde puede tener valores

enteros positivos o negativos o cero (es decir, 0, 1, 2,

3, . . .)

= + =

= +


69

Es equivalente a la ecuacin = + . A estaecuacin se le conoce como mtodo codificado para

calcular la media. Es un mtodo muy breve

recomendado para datos agrupados cuando los

intervalos de clase tienen todos la misma amplitud.

Obsrvese que en el mtodo codificado los valores de la

variable X se transforman en valores de la variable u de

acuerdo con X = A + cu.


70

La mediana de un conjunto de nmeros acomodados en

orden de magnitud (es decir, en una ordenacin) es el

valor central o la media de los dos valores centrales.

En datos agrupados, la mediana se obtiene por

interpolacin, como se expresa por la frmula

= +

1.3.5. Mediana

71

Geomtricamente, la mediana es el valor de X (abscisa)

que corresponde a una recta vertical que divide al

histograma en dos partes que tienen la misma rea. A

este valor de X se le suele denotar .

1.3.5. Mediana

72

La moda de un conjunto de nmeros es el valor que se

presenta con ms frecuencia; es decir, es el valor ms

frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, puede

no ser nica.

A una distribucin que slo tiene una moda se le llama

unimodal.

1.3.6. Moda

73

En el caso de datos agrupados, para los que se ha

construido una curva de frecuencia que se ajuste a los

datos, la moda es el valor (o los valores) de X que

corresponden al punto (o puntos) mximos de la curva.

A este valor de X se le suele denotar .

1.3.6. Moda

74

En una distribucin de frecuencia o en un histograma la

moda se puede obtener mediante la frmula siguiente:

= +

1.3.6. Moda

75

En las curvas de frecuencias unimodales que son

ligeramente sesgadas (asimtricas), se tiene la relacin

emprica siguiente:

= ( )

RELACIN EMPRICA MEDIA-MEDIANA-MODA

76

En las figuras se muestran las posiciones relativas de la

media, la mediana y la moda en curvas de frecuencias

sesgadas a la derecha o a la izquierda, respectivamente

RELACIN EMPRICA MEDIA-MEDIANA-MODA

77

La media geomtrica G de N nmeros positivos 1, 2,3,..., es la raz n-sima del producto de los nmeros:

= 123...

La Media Geomtrica (G)

78

La media armnica H de N nmeros positivos 1, 2,3,..., es el recproco de la media aritmtica de losrecprocos de los nmeros:

=

=

=

La Media Armnica (H)

79

La media geomtrica de un conjunto de nmeros

positivos 1, 2, 3,..., es menor o igual que sumedia aritmtica, pero mayor o igual que su media

armnica.

RELACIN ENTRE MEDIA ARITMTICA,GEOMTRICA Y ARMNICA

80

La raz cuadrada media (RCM) o media cuadrtica de un

conjunto de nmeros 1, 2, 3,..., se denota 2 yse define:

= = =

=

RAZ CUADRADA MEDIA

81

En un conjunto de datos ordenados de acuerdo con su

magnitud, el valor de en medio, que divide al conjunto

en dos partes iguales, es la mediana. Entonces aquellos

valores que dividen al conjunto de datos en cuatro

partes iguales son denotados Q1, Q2 y Q3 son el

primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente; el

valor Q2 coincide con la mediana.

1.3.7. Cuartiles, deciles y percentiles

82

De igual manera, los valores que dividen al conjunto en

diez partes iguales son los deciles y se denotan D1, D2,

. . . , D9, y los valores que dividen al conjunto en 100

partes iguales son los percentiles y se les denota P1,

P2, . . . , P99. El quinto decil y el percentil 50 coinciden

con la mediana. Los percentiles 25 y 75 coinciden con

el primero y tercer cuartiles, respectivamente.


83

A los cuartiles, deciles, percentiles y otros

valores obtenidos dividiendo al conjunto de

datos en partes iguales se les llama en

conjunto cuantiles.


84

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