Het  Stomachion  Raadsel  van  de  puzzel    

Emma  Huig  V6A  Oktober  2012  –  Maart  2013  Meneer  R.  Deinema  Meneer  P.  de  Lange  

What  marvel  of  antiquity  be  this,  This  fabled  square  of  14  parts  comprised?  The  legends  credit  Archimedes'  wit  With  clever  cuts  that  render  every  tile  An  integer.    All  sum  to  twelve  by  twelve.  Solve  18  figures  lore  has  handed  down,  Like  unto  tangrams  of  a  later  time,  And  many  new  designs  discovered  since.  Behold  the  oldest  puzzle  ever  told,  Our  heritage  of  mind,  millennia  old.  Now  scholars  scramble  to  decode,  with  zest,  Archimedes  much-­‐prized  Palimpsest,  A  scroll  long  lost,  inscribed  by  his  own  hands,  A  rarest  find  from  Greek  and  Latin  lands.    Uit  catalogus  van  Kadon  Enterprises  

 

2  

Inhoudsopgave      Voorwoord   3  Inleiding   4  Het  Stomachion   10  Griekse  tekst  en  Nederlandse  vertaling   11  Discussie  over  de  tekst   17  Combinatoriek   21  Conclusie   28  Bronvermelding   29  Bijlagen   30    

     

 

3  

Voorwoord    Als  leerling  in  6  VWO  is  het  een  vereiste  om  een  profielwerkstuk  te  schrijven.  Het  is  dan  aan  de  leerling  zelf  om  een  vak,  een  onderwerp  en  een  onderzoek  te  kiezen.  Dat  vond  ik  nog  niet  zo  makkelijk.  Ik  ben  toen  bij  mezelf  nagegaan:  welk  vak  doe  ik  puur  en  alleen  omdat  ik  het  leuk  vind  en  waar  wil  ik  tachtig  uur  mee  bezig  zijn?  Die  vraag  reduceerde  mijn  opties  tot  Grieks  en  nog  enkele  vakken.  Ik  bedacht  me  dat  ik  door  een  profielwerkstuk  te  maken  over  een  Griekse  wetenschapper  wellicht  een  leuke  combinatie  kon  maken  van  Grieks,  een  vak  dat  ik  gewoon  leuk  vind,  en  een  bètavak,  een  van  mijn  profielvakken,  om  er  toch  een  profielwerkstuk  van  te  maken.    Een  Griekse  wetenschapper  dus.  Ik  had  alleen  nog  geen  idee  van  wat  en  hoe.  Ik  ben  toen  naar  meneer  Deinema  (klassieke  talen)  gegaan  en  heb  hem  mijn  probleem  voorgelegd.  Op  het  moment  zelf  had  hij  ook  nog  geen  idee,  maar  kort  daarop  kwam  hij  naar  me  toe  met  een  onderwerp  waarover  hij  recent  een  boek  gelezen  had:  De  Archimedes  Palimpsest.  Na  me  een  beetje  verdiept  te  hebben  in  dit  onderwerp  was  ik  erg  enthousiast  geworden.  Vooral  de  puzzel  het  Stomachion  sprak  me  erg  aan,  omdat  het  een  wiskundige  figuur  betreft  waar  ik  wellicht  iets  mee  zou  kunnen  doen.  Meneer  De  Lange  (wiskunde)  wilde  me  graag  begeleiden  bij  het  wiskundige  deel.  Op  die  manier  ben  ik  uiteindelijk  bij  dit  onderwerp  gekomen.    In  dit  profielwerkstuk  zal  ik  de  tekst  van  het  Stomachion  vertalen,  zal  ik  een  beschouwing  geven  van  de  al  bekende  gegevens  en  literatuur  over  het  Stomachion  en  zal  ik  zo  veel  als  mogelijk  de  wiskunde  achter  de  puzzel  behandelen.  Dit  zal  veel  te  maken  hebben  met  meetkunde  en  combinatoriek.  Mijn  belangrijkste  vraag  die  ik  mezelf  in  dit  werkstuk  stel  is:  ‘wat  zegt  Archimedes  nou  echt?’.  Door  eerst  de  vertaling  te  maken  en  daarna  de  wiskunde  achter  het  Stomachion  te  beschouwen  zal  ik  een  conclusie  trekken  over  wat  Archimedes  bedoelt  en  wat  er  misschien  geïnterpreteerd  is  in  de  al  bekende  literatuur  over  het  Stomachion.    Tenslotte  mijn  dank  aan  meneer  Deinema  voor  zijn  adviezen  en  enthousiaste  begeleiding  bij  dit  werkstuk  en  aan  meneer  de  Lange  die  bereid  was  mij  te  helpen  bij  het  wiskundige  deel.    

 

4  

Inleiding    Een  unieke  puzzel  Dit  profielwerkstuk  behandelt  het  Stomachion  van  Archimedes  uit  de  Archimedes  Palimpsest.  Het  Stomachion  is  de  oudst  bekende  puzzel  ter  wereld,  ruim  2000  jaar  oud.  In  1906  dook  de  Archimedes  Palimpsest  na  lang  verdwenen  te  zijn  weer  op,  maar  het  was  pas  in  het  jaar  1998  dat  er  een  uitgebreid  onderzoek  naar  begonnen  werd  door  het  Walters  Art  Museum  in  Baltimore,  Maryland  met  als  belangrijkste  doel  het  achterhalen  van  de  onleesbare  Griekse  teksten.  Doordat  bij  dit  laatste  gebruik  wordt  gemaakt  van  de  modernste  stralingstechnieken  zijn  de  volledige  Griekse  teksten  pas  sinds  kortgeleden  zichtbaar  gemaakt.  Er  zijn  dan  ook  nog  geen  vertalingen  van  deze  gereconstrueerde  teksten  uitgegeven.  Het  team  van  het  Walters  Art  Museum  is  op  dit  moment  bezig  met  de  eerste  Engelse  vertaling  en  ik  presenteer  in  dit  werkstuk  de  eerste  Nederlandse  vertaling.    Archimedes  van  Syracuse  Archimedes  is  een  van  de  belangrijkste  wetenschappers  uit  de  klassieke  oudheid.  Over  zijn  leven  is  vrij  weinig  met  zekerheid  bekend.  Hij  zou  geboren  zijn  in  287  v.  Chr.  In  Syracuse,  Sicilië,  maar  ook  dit  is  zeer  onzeker.  Hij  studeerde  wiskunde  in  Alexandrië,  Egypte  waar  hij  les  kreeg  van  leerlingen  van  Euclides.  Na  zijn  studie  keerde  hij  terug  naar  Syracuse,  waar  hij  zijn  onderzoeken  op  het  gebied  van  wiskunde  en  fysica  voortzette.  Archimedes  is  gedood  in  212  v.  Chr.  bij  de  inname  van  Syracuse  door  de  Romeinen.  Het  verhaal  gaat  dat  een  soldaat  zijn  huis  binnendrong  waar  Archimedes  bezig  was  met  een  wiskundig  probleem.  Hierbij  had  hij  cirkels  getekend  in  een  zandbak.  De  soldaat  rende  door  deze  zandbak  heen,  waarop  Archimedes  riep:  ‘  Verstoor  mijn  cirkels  niet!’    Hierop  doodde  de  soldaat  Archimedes  met  zijn  zwaard.  De  Romeinse  bevelvoerder  Marcus  Marcellus  was  een  groot  bewonderaar  van  Archimedes  en  had  opdracht  gegeven  hem  levend  naar  Rome  te  brengen.  In  plaats  daarvan  werden  al  zijn  geschriften  en  modellen  naar  Rome  gebracht.    Veel  van  de  werken  van  Archimedes  worden  tegenwoordig  nog  steeds  gebruikt.  Hier  volgen  enkelen  van  zijn  ontdekkingen.    Natuurkunde  De  Wet  van  Archimedes  –  ‘Een  geheel  of  gedeeltelijk  in  een  vloeistof  gedompeld  lichaam  ondervindt  een  opwaartse  kracht  die  gelijk  is  aan  het  gewicht  van  de  verplaatste  vloeistof.’  Volgens  de  overleveringen  had  Archimedes  de  opdracht  gekregen  te  onderzoeken  of  de  gouden  kroon  van  Hiero  II  wel  van  puur  goud  was.  Hij  zou  in  bad  het  theoretisch  bewijs  bedacht  hebben,  waarna  hij  naakt  uit  bad  sprong  en  riep:  ‘Eureka!’  (‘ευρηκα!’  =  ‘Ik  heb  het  gevonden!’).  De  kroon  bleek  vervalst  en  gedeeltelijk  van  zilver  te  zijn.  Hefboomwet  –  arm*gewicht  =  constant.  Zijn  bekend  kreet  luidt:  ‘Geef  mij  een  steunpunt  en  ik  til  de  aarde  op’  (‘δοσ µοι που στω και κινω την γην’).  Deze  natuurkundige  ontdekking  leidde  tot  vele  toepassingen  in  de  techniek  zoals  de  katapult.          

 

5  

Techniek  De  Schroef  van  Archimedes  –  Hiermee  kunnen  vloeistoffen  en  poeders  getransporteerd  worden.  Het  transport  vindt  zowel  omhoog  als  horizontaal  plaats.      

   

   

                 

Zonnespiegel  –  Het  verhaal  gaat  dat  Archimedes  door  middel  van  zeer  grote  spiegels  en  de  reflectie  van  de  zon  vijandelijke  schepen  verbrand  zou  hebben.  Dit  experiment  is  in  de  afgelopen  jaren  meerdere  malen  herhaald  en  de  conclusie  was  dat  het  theoretisch  mogelijk  is,  maar  in  de  praktijk  niet  haalbaar.    Wiskunde  Goede  benadering  van  π  -­‐  223/71  <  π  <  22/7  à    π  is  ongeveer  3,1415.    Bepaling  van  oppervlakten  en  volumes  van  diverse  meetkundige  figuren  –  hiertoe  gebruikte  hij  een  voorloper  van  integraalrekening,  die  uitgevonden  zou  zijn  door  Eudoxus  van  Cnidus.    Axioma  van  Archimedes:  Als  a  <  b,  dan  bestaat  er  een  natuurlijk  getal  n  zodat  a*n  >  b.    Het  Zandgetal  –  Toen  Archimedes  de  omvang  van  het  heelal  probeerde  te  beschrijven,  stuitte  hij  op  zeer  grote  getallen.  Om  het  werken  met  deze  getallen  makkelijker  te  maken  bedacht  hij  een  systeem  om  zeer  grote  getallen  korter  op  te  schrijven.  Hij  gaf  verschillende  zeer  grote  getallen  namen,  bijvoorbeeld  10.000  =  myrias  (μυριάς).  Voor  het  aantal  zandkorrels  dat  in  het  heelal  zou  passen  vond  hij:  8  vigintillion,  ofwel  8*1063.    Net  als  vrijwel  alle  wetenschappers  bevond  Archimedes  zich  in  een  wetenschappelijk  circuit.  Na  zijn  studie  in  Alexandrië  bleef  hij  corresponderen  met  wetenschappers  aldaar  en  rest  van  de  antieke  wereld.  Het  is  waarschijnlijk  dat  veel  van  zijn  ontdekkingen  niet  enkel  en  alleen  door  hem  zelf  zijn  gedaan,  maar  dat  het  uitgewerkte  versies  zijn  van  ontdekkingen  van  anderen.  Dit  is  gebruikelijk  in  de  wetenschap  en  vindt  heden  ten  dage  ook  plaats.              

Afbeelding  1:  de  Schroef  van  Archimedes

 

6  

Geschriften  Archimedes  schreef  de  resultaten  van  zijn  onderzoeken  op  in  monografieën.  Geen  enkel  overgeleverd  geschrift  is  echter  van  de  hand  van  Archimedes  zelf.  Vaak  zijn  het  onvolledige  vertalingen  of  bewerkingen.  

-­‐ Het  evenwicht  in  het  platte  vlak  -­‐ Drijvende  lichamen  -­‐ Methode  -­‐ Spiralen  -­‐ Bol  en  cilinder  -­‐ Cirkelmeting  -­‐ Stomachion  -­‐ Over  conoïden  en  spheroïden  -­‐ Kwadratuur  van  de  parabool  -­‐ Rundvee-­‐probleem  -­‐ Zandrekenaar  

 Waarschijnlijk  waren  er  oorspronkelijk  nog  veel  meer  geschriften  van  Archimedes,  maar  die  zijn  verloren  gegaan.  Dit  weten  we  omdat  er  in  geschriften  van  andere  wetenschappers  aan  gerefereerd  wordt.    De  Archimedes  Palimpsest  Een  palimpsest  is  een  hergebruikt  stuk  perkament  (bewerkte  dierenhuid)  waarvan  de  oorspronkelijke  tekst  onleesbaar  is  gemaakt.  Het  woord  komt  van  de  Griekse  woorden    παλιν (wederom)  en  ψηστοσ  (vervoeging  van  ψαω:  ik  wrijf).  In  de  Archimedes  Palimpsest  staan  enkele  ‘verborgen  teksten’  van  Archimedes.  De  stukken  perkament  zijn  in  de  dertiende  eeuw  hergebruikt  om  een  gebedenboek  van  te  maken.  Alleen  met  de  modernste  chemische  technieken  zijn  deze  teksten  nog  zichtbaar  te  maken.  Hier  volgt  een  chronologisch  overzicht  van  de  Archimedes  Palimpsest  (bronnen  5  en  17).    Ca.  287  –  212  v.  Chr.  –  Archimedes  schrijft  zijn  monografieën  op  papyrusrollen.  212  v.  Chr.  –  1000  n.  Chr.  –  De  originele  geschriften  van  Archimedes  zijn  verloren  gegaan,  maar  onbekende  personen  hebben  ze  enkele  malen  overgeschreven  op  andere  papyrusrollen.  Ca.  1000  –  Een  onbekende  schrijver  in  Constantinopel  (het  huidige  Istanbul)  kopieert  de  geschriften  met  bijbehorende  figuren  en  berekeningen  op  perkament,  en  voegt  ze  samen  tot  een  boek.  Ca.  1200  –  Een  christelijke  monnik  schrijft  in  het  Grieks  gebeden  over  de  geschriften  van  Archimedes  heen  en  maakt  er  een  gebedenboek  van.  Ca.    1200  -­‐1906  –  Eeuwenlang  wordt  het  boek  gebruikt  door  de  christelijke  kerk  en  uiteindelijk  komt  het  terecht  in  het  Mar  Saba  klooster  in  Constantinopel,  waar  het  verscheidene  rampen  overleeft,  waaronder  de  Vierde  Kruistocht  in  1204,  waarbij  Constantinopel  is  geplunderd.  1906  –  De  Deense  filoloog  (tak  van  taalkunde  die  zich  richt  op  dode  talen)  Johan  Ludvig  Heiberg  ontdekt  het  manuscript  in  de  bibliotheek  van  de  Heilige  Grafkerk  in  Istanbul.  Hij  herkent  de  onderliggende  laag  tekst  als  geschriften  van  Archimedes  en  fotografeert  iedere  bladzijde.  Hiervan  vertaalt  hij  wat  hij  kan  lezen  met  als  enige  hulpmiddel  een  vergrootglas.  

 

7  

1907  –  1930  –  De  Palimpsest  raakt  zoek  en  is  waarschijnlijk  gestolen.  In  deze  tijd  schildert  een  vervalser  met  bladgoud  kopieën  van  middeleeuwse  portretten  van  de  evangelisten  op  vier  bladzijden  van  het  boek,  zich  niet  realiserend  dat  er  geschriften  van  Archimedes  onder  zitten.  Ca.  1930  –  Een  Franse  verzamelaar  Marie  Louis  Sirieix  reist  naar  Istanbul  waar  hij  de  Palimpsest  van  een  plaatselijke  handelaar  verkrijgt.  Het  manuscript  blijft  vervolgens  tientallen  jaren  verborgen  in  Paris.  Ca.  1970  –  Erfgename  Anne  Guersan  onderneemt  stappen  om  de  Palimpsest  te  restaureren.  De  hiervoor  gebruikte  poly(vinyl)acetaat-­‐lijm  (PVAC)  heeft  het  manuscript  echter,  in  plaats  van  het  te  verbeteren,  geen  goed  gedaan  en  heeft  de  problemen  voor  de  latere  ontcijferaars  alleen  maar  vergroot.  1971  –  Nigel  Wilson,  een  professor  klassieke  talen  in  Oxford,  herkent  een  stuk  perkament  als  een  bladzijde  van  de  vermiste  Archimedes  Palimpsest,  die  Heiberg  65  jaar  eerder  gefotografeerd  heeft.  1991  –  De  Franse  eigenaren  van  de  Archimedes  Palimpsest  vragen  een  expert  bij  het  kunstveiling  huis  Christie’s  in  Parijs  om  een  taxatie  van  het  manuscript.  De  taxateur  ontdekt  dat  dit  het  verloren  Palimpsest  van  Archimedes  is  en  schat  het  op  een  waarde  tussen  $  800.000  en  $  1,2  miljoen.  1998  –  Het  manuscript  wordt  geveild  bij  Christie’s  voor  $  2  miljoen  aan  een  onbekende  particulier.  De  andere  gegadigde,  de  Griekse  staat,  vist  achter  het  net.  1998  –  heden  –  De  onbekende  eigenaar  leent  het  manuscript  aan  het  Walters  Art  Museum  in  Baltimore,  Maryland,  waar  een  compleet  team  werkt  aan  het  achterhalen  en  vertalen  van  de  teksten.    Het  originele  document  De  kopiist  uit  de  tiende  eeuw  was  schrijver  van  beroep  en  gewend  aan  het  overschrijven  van  oude  teksten.  Bij  het  overschrijven  van  de  monografieën  van  Archimedes,  die  onder  andere  een  brief  aan  Eratosthenes  bevatte,  hield  hij  zich  aan  een  strak  schema:  elk  folio  was  ongeveer  30  bij  19,5  cm;  hij  schreef  de  tekst  in  twee  kolommen,  elke  kolom  35  regels  lang.  Ook  gebruikte  hij    ruime  marges,  dus  waren  de  kolommen  in  totaal  24  cm  hoog  en  14,5  cm  breed.  Mogelijk  heeft  deze  kopiist,  waarvan  wij  nu  het  werk  overgeleverd  gekregen  hebben,  een  ander  document  uit  de  zesde  eeuw  overgeschreven,  maar  dit  is  zeer  onzeker.  Wat  ook  onduidelijk  is,  is  of  dit  tiende-­‐eeuwse  manuscript  oorspronkelijk  meer  teksten  van  Archimedes  bevatte.    Het  huidige  manuscript  bevat  de  volgende  teksten  van  Archimedes.  

1. Evenwicht  in  het  platte  vlak  (alleen  het  laatste  deel)  2. Drijvende  lichamen  3. Methode  4. Spiralen  5. Bol  en  cilinder  6. Cirkelmeting  7. Stomachion  (alleen  het  begin)  

 Het  maken  van  een  palimpsest  Bij  het  ‘hergebruiken’  van  Archimedes’  geschriften  is  de  kopiist  uit  de  dertiende  eeuw  volgens  een  standaard  schema  te  werk  gegaan.  Eerst  heeft  hij  de  folio’s  van  elkaar  losgemaakt  door  de  stiksels  door  te  snijden.  Daarna  volgde  het  onleesbaar  maken  van  de  teksten.  Dit  is  waarschijnlijk  gebeurd  door  middel  van  een  zuur  mengsel.  In  de  

 

8  

Archimedes  Codex  wordt  genoemd  dat  dit  zelfs  met  sinaasappelsap  en  een  spons  mogelijk  is.  De  geschriften  van  Archimedes  zijn  waarschijnlijk  ook  nog  afgeschuurd  met  puimsteen.    Wat  een  kopiist  daarna  deed  was  een  folio  langs  de  vouwlijn  in  tweeën  snijden.  Gelukkig  heeft  hij  ze  verder  niet  bijgesneden,  zodat  er  geen  inktsporen  van  de  geschriften  van  Archimedes  verdwenen  zijn.  Vervolgens  draaide  hij  de  ‘halve  folio’s’,  vouwde  ze  in  het  midden  en  maakte  er  zo  een  ‘nieuw’  boek  van  (afbeelding  2).  Als  gevolg  hiervan  staan  de  gebeden  onder  een  hoek  van  90˚  met  de  tekst  van  Archimedes  (zie  ook  bijlage  1).      

                             

   Het  achterhalen  van  de  verborgen  teksten  Het  manuscript  heeft  in  de  loop  van  de  eeuwen  veel  te  lijden  gehad.  Het  is  aangetast  door  schimmel,  vuur  en  vocht.  Bovendien  hebben  allerlei  kopiisten,  vervalsers  en  ‘restaurateurs’  hun  steentje  bijgedragen  aan  het  verknoeien  van  dit  eeuwenoude  geschrift.  Het  mag  dus  een  wonder  heten  dat  we  überhaupt  nog  iets  over  hebben  van  de  Archimedes  Palimpsest!      Abigail  Quandt  is  hoofd  van  het  Walters-­‐laboratorium  voor  boek-­‐  en  papierconservering  en  heeft  een  belangrijke  rol  gespeeld  bij  het  achterhalen  van  de  teksten  van  Archimedes.  Ze  ontdekte  dat  het  document  er  extreem  slecht  aan  toe  was  door  voornamelijk  de  inwerking  van  schimmel  op  het  perkament,  maar  ook  door  het  gebruik  van  PVAC  omdat  dit  uitzet  als  het  in  contact  komt  met  water  en  alcohol  en  als  het  eenmaal  is  opgedroogd  is  het  onmogelijk  het  weer  op  te  lossen.  Het  grote  probleem  was  dat  voornamelijk  de  rug  van  het  manuscript  behandeld  was  met  PVAC,  terwijl  juist  dat  de  stukken  waren  die  door  Heiberg  niet  gelezen  konden  worden.  Abigail  is  in  staat  gebleken  de  folio’s  van  elkaar  los  te  halen  zonder  al  te  veel  beschadigingen  aan  te  richten.  Ze  bestreek  het  perkament  bij  de  rug  van  het  boek  met  een  mengsel  van  isopropanol  en  water  waardoor  het  soepel  werd  en  de  folio’s  losgehaald  en  gladgestreken  konden  worden.      

Afbeelding  2:  hoe  een  palimpsest  gemaakt  wordt

 

9  

Nu  volgde  het  zichtbaar  maken  van  de  tekst  door  middel  van  lichttechnieken  (zie  bron  18).  Hiervoor  werd  eerst  ultraviolette  straling  gebruikt,  maar  later  ook  röntgenstraling.  Hiervoor  werd  geen  gewone  röntgenstraling  gebruikt,  maar  synchrotronstraling  die  wordt  geproduceerd  door  een  synchrotron  (zie  bron  19)  en  die  veel  krachtiger  straling  uitzendt  dan  gewone  röntgenstraling.  Een  synchrotron  is  een  soort  deeltjesversneller.  Het  probleem  met  deze  straling  is  dat  het  perkament  mogelijk  kan  beschadigen.  Hiermee  zijn  door  het  Canadian  Conservation  Institute  proeven  uitgevoerd  om  te  zien  hoe  het  perkament  reageert  op  blootstelling  aan  deze  röntgenstraling.  Zoals  blijkt  uit  bron  20  is  dit  effect  te  verwaarlozen.    

 

10  

Het  Stomachion    Het  Stomachion  is  een  geometrische  puzzel  bestaande  uit  veertien  verschillende  puzzelstukjes.  Het  is  met  ruim  2000  jaar  oud  de  oudste  puzzel  die  bekend  is.  Voorheen  werd,  aldus  Netz  en  Noel,  door  Heiberg  aangenomen  dat  het  doel  van  de  puzzel  was  om  zo  veel  mogelijk  figuren  met  de  verschillende  stukjes  te  vormen.  Het  Stomachion  zou  verwant  zijn  aan  de  Chinese  tangram:  een  vergelijkbare  puzzel  waarmee  allerlei  figuren  te  vormen  zijn,  bedoeld  als  spelletje.  Andere  wetenschappers  zoals  James  Gow  in  zijn  boek  Short  History  of  Greek  Mathematics  (1884),  waren  van  mening  dat  het  de  bedoeling  was  de  puzzelstukjes  op  zoveel  mogelijk  manieren  terug  in  het  vierkant  te  krijgen.    Netz  en  Noel  beschrijven  in  hun  boek  (bron  5)  dat  na  de  reconstructie  van  de  tekst  van  het  Stomachion  in  de  Archimedes  Palimpsest  is  gebleken  dat  Archimedes  doelde  op  de  laatste  vorm  en  dat  we  dus  te  maken  hebben  met  serieuze  combinatoriek  en  niet  zomaar  een  spelletje.  De  inhoud  van  het  Griekse  manuscript  bevat  de  wiskundige  uitleg  rondom  de  figuur.  Na  de  inleiding  waarin  Archimedes  uitleg  geeft  over  het  gebruik  van  het  Stomachion,  volgt  een  uiteenlegging  van  de  verschillende  puzzelstukken.  De  tekst  is  echter  verre  van  volledig.  Het  grootste  deel  van  de  tekst  is  verloren  gegaan.  Dit  komt  doordat  het  perkament  waar  het  Stomachion  op  geschreven  was  aan  de  achterkant  van  het  gebedenboek  zat.  Het  tweede  deel  van  het  Stomachion  is  dus  het  ernstigst  aangetast  door  vocht,  schimmel  en  vuur  en  voorgoed  verloren  gegaan.  De  kans  is  klein  dat  we  ooit  te  weten  komen  wat  hierin  gestaan  heeft.    Behalve  de  Griekse  tekst  uit  de  Archimedes  Palimpsest  is  er  ook  nog  een  andere,  Arabische  tekst  over  het  Stomachion  bewaard  gebleven  die  niet  oorspronkelijk  door  Archimedes  geschreven  is.  Dit  manuscript  geeft  een  overzicht  van  hoe  de  figuur  is  opgebouwd,  maar  is  helaas  evenals  het  Griekse  manuscript  fragmentarisch.  Zie  bijlage  3  voor  de  Engelse  vertaling  van  deze  tekst.        

 

11  

Griekse  tekst  en  Nederlandse  vertaling    Werkwijze  bij  de  vertaling  In  dit  hoofdstuk  zal  ik  beschrijven  hoe  ik  te  werk  ben  gegaan  en  welke  moeilijkheden  ik  ben  tegengekomen  tijdens  het  vertalen  van  het  Stomachion.    De  eerste  stap  was  het  vinden  van  de  Griekse  tekst.  Dit  leverde  direct  al  een  probleem  op,  de  tekst  bleek  op  het  internet  moeilijk  vindbaar.  Er  waren  wel  meerdere  versies  van  de  tekst  van  Heiberg  (bron  1)  te  vinden  .  Uiteindelijk  vond  ik  de  aangevulde  tekst  van  het  Stomachion  (bron  2),  alleen  was  de  vraag  of  dit  de  juiste  tekst  was.  Ondertussen  kreeg  ik  van  meneer  Deinema  de  tip  over  de  wetenschappelijke  uitgave  van  The  Archimedes  Palimpsest  (bron  3).  Dit  boek  kon  ik  vinden  in  de  bibliotheek  van  de  Universiteit  van  Amsterdam.  Ik  mocht  het  helaas  niet  mee  naar  huis  nemen,  maar  ik  moest  de  tekst  kopiëren.  Toch  was  ik  allang  blij  dat  ik  nu  eindelijk  de  goede  tekst  te  pakken  had.    Zodra  ik  begon  met  vertalen  merkte  ik  dat  het  een  lastige  klus  zou  gaan  worden  en  dat  het  me  zonder  een  andere  vertaling  niet  ging  lukken.  Ik  ging  op  zoek  naar  deze  vertaling.  Ik  vond  een  e-­‐mailadres  van  William  Noel  op  de  site  van  de  Archimedes  Palimpsest  (bron  4)  en  ik  besloot  hem  te  mailen.  Ik  kreeg  zowaar  antwoord!  Hij  verwees  me  door  naar  Reviel  Netz.  Deze  heeft  echter  geen  antwoord  gegeven,  waarschijnlijk  omdat  van  de  gerestaureerde  tekst  de  volledige  Engelse  vertaling  nog  niet  gepubliceerd  was  en  ze  hem  niet  zo  maar  wilden  afstaan  aan  een  willekeurige  Amsterdamse  scholiere.  Dat  werd  dus  helaas  een  dood  eind.  Een  deel  van  de  inleiding  stond  in  The  Archimedes  Codex  van  William  Noel  en  Reviel  Netz  (bron  5),  maar  dat  was  slechts  een  alinea.  Ik  moest  het  dus  doen  met  de  vertalingen  van  de  tekst  van  Heiberg.  Deze  bleken  ook  al  niet  zo  makkelijk  te  vinden.  Uiteindelijk  vond  ik  in  de  UB  van  de  UvA  een  Frans  boek  Archimède  van  Charles  Mugler  (bron  6)met  daarin  de  Franse  vertaling  van  de  Heibergtekst.  Omdat  mijn  Frans  niet  goed  genoeg  is  bood  mijn  moeder  aan  deze  Franse  tekst  naar  het  Nederlands  te  vertalen,  wat  ik  graag  aanvaardde.  Nu  had  ik  een  Griekse  tekst  en  een  fragmentarische  vertaling.    Met  behulp  van  mijn  Grieks-­‐Nederlands  woordenboek  van  Charles  Hupperts  (bron  7),  het  Beknopt  Grieks-­‐Nederlands  woordenboek  van  Muller  en  Thiel  (bron  8)  en  De  Kleine  Griekse  grammatica  van  Nuchelmans  (bron  9)  ging  ik  aan  de  slag  met  de  vertaling.  Dit  ging  niet  erg  soepel,  maar  het  ging  tenminste,  totdat  ik  stuitte  op  een  aantal  aan  mij  vreemde  woorden  en  werkwoordsvormen.  Hierbij  heb  ik  hulp  gekregen  van  meneer  Deinema  en  zijn  boeken  (bronnen  10+11).  Een  vreemde  uitgang  op  –θω  bleek  de  uitgang  voor  de  3de  persoon  enkelvoud  imperativus  te  zijn,  een  vorm  die  in  de  gebruikelijke  Griekse  literatuur  niet  voor  komt.  Ik  heb  deze  vorm  vertaald  als  een  stellingvorm,  wat  in  de  wiskunde  veel  gebruikt  wordt,  zoals  ‘gegeven:…’,  of  ‘er  moet  zijn:…’.  Van  enkele  tekstelementen  is  het  mij  niet  gelukt  een  goede  vertaling  te  maken.  Oorzaken  hiervan  zijn  het  simpelweg  ontbreken  van  tekstelementen  (r.  67  t/m  71)  of  de  complexiteit  van  een  zin.  Het  is  natuurlijk  altijd  de  vraag  of  alle  tekstelementen  correct  zijn  afgelezen  van  het  voorheen  onleesbare  manuscript.  Van  de  passage  van  r.  21  t/m  24  ben  ik  er  niet  zeker  van  dat  alle  woorden  kloppen.  Een  fatsoenlijke  vertaling  is  er  van  deze  zin  dan  ook  niet  te  formuleren.  

 

12  

Notities  bij  de  Griekse  tekst -­‐ De  blauw  gekleurde  tekstfragmenten  geven  de  verschillen  met  de  tekst  van  

Heiberg  aan.  Deze  kunnen  in  zijn  tekst  ontbreken  of  anders  zijn.  -­‐ In  r.  67  t/m  71  is  de  tekst  fragmentarisch.  Hier  bevinden  zich  delen  van  de  tekst  

die  (nog)  niet  leesbaar  gemaakt  konden  worden.  -­‐ Ten  behoeve  van  de  leesbaarheid  van  de  tekst  heb  ik  alle  haakjes  die  in  de  

originele  Griekse  tekst  stonden  (zie  bron  3)  weggehaald.  De  originele  tekst  heb  ik  bijgevoegd  in  bijlage  1.  

-­‐ Het  rood  gekleurde  tekstfragment  XB  in  r.  55  is  een  fragment  waar  ik  aan  twijfel  of  het  wel  correct  is.  Hierover  meer  in  het  hoofdstuk  De  tekst  in  detail.  

 

13  

Griekse  tekst  en  vertaling    Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικίλαν

ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε

σχηµάτων µεταθέσεως θεωρίαν

ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον

του ὅλου σχάµατος µέγεθος θεωρῶν 5  

ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται,

ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ

ὁµοιον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι

συνοδοιο λαµβανόµεναι καὶ καθ’ ἃς

εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρµόσεις τῶν 10  

ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχαµάτων

γιγνώσκεσθαι , εἴτε ἐπ’ εὐθείας εἰσὶν

αἱ γεννώµεναι ἐν τοῖς σχάµασι

πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι

τᾶι θεωρίαι λανθάνουσιν· τὰ γὰρ 15  

τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν

ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δὲ θεωρίαι

λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦτ’ ἐστὶν

ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν

ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτων 20  

πλῆθος διὰ τὸ εισχεν αυτος εἶναι εἰς

ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ

ἰσογωνίου σχάµατος µετατιθεµένου

καὶ ἑτέραν θέσιν λαµβάνοντος.

 25  

Omdat  het  genoemde  Stomachion  een  

ingewikkelde  beschouwing  met  zich  

meebrengt  van  de  verplaatsing  van  de  

vormen  waaruit  deze  is  samengesteld,  

meende  ik  (het)  noodzakelijk  om,  terwijl  

ik  de  omvang  van  de  beschouwingen  van  

de  gehele  vorm  onderzoek,  ook  (de  

delen)  waarin  hij  verdeeld  is  uiteen  te  

zetten,  en  ieder  van  hen  waaraan  hij  

gelijkvormig  en  identiek  is,  en  

bovendien  worden  de  hoeken  bekend  in  

welke  samenstellingen  ze  aan  elkaar  

vastgemaakt  worden  om  de  schikking  

van  deze  (vormen)  te  weten,  hetzij  dat  

de  zijden  die  zichtbaar  worden  aan  de  

vormen  recht  (zijn),  hetzij  dat  ze  een  

beetje  afwijken  van  de  beschouwing  

zonder  dat  iemand  het  merkt:  want  

dergelijke  dingen  zijn  kunstig:  en  als  hij  

een  klein  beetje  afwijkt,  zonder  dat  het  

wordt  opgemerkt  door  de  

beschouwingen,  kan  dat  wat  gevormd  is  

niet  meer  worden  afgekeurd.  Het  is  dus  

mogelijk  dat  daaruit  een  niet  gering  

aantal  vormen  wordt  gevormd  door  

naar  een  andere  plaats  van  een  gelijke  

en  identieke  vorm  te  verplaatsen  en  een  

andere  rangschikking  te  nemen.  

   

 

14  

ὅτε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ

σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοίων τῶι

ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχηµάτων

συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοιον ὄντων

δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα 30  

σχήµατα συνίσταται ἐκτὸς

µεταθέσεως. προγραφόµενον οὖν τι

θεώρηµα εἰς αὐτὸ συντεῖνον.

ἔστω γὰρ παραλληλόγραµµον

ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δεδικάσθω ἡ 35  

ΕΖ τῶι Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ

τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µείζων

ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσθωσαν

αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέτωσαν κατὰ

τὸ Δ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση 40  

ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ

ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ·

ὥστε µείζων ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ· καὶ γωνία

ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν

ΖΓΔ µείζων ἐστίν . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ 45  

ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡµίσεια γὰρ ὀρθῆς

ἑκατέρα· µείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν

ΓΖΒ·

En  dus  wanneer  twee  vormen  samen  

gelijkvormig  zijn  aan  één  vorm  en  

congruent  aan  één  vorm  zijn,  of  ook  

twee  vormen  samen  gelijkvormig  en  

congruent  zijn  aan  twee  vormen  samen,  

wordt  een  groter  aantal  vormen  

samengesteld  door  de  verplaatsing.  Als  

eerste  wordt  een  of  andere  stelling  

gericht  op  dit  opgeschreven.

Want  er  moet  zijn  het  rechthoekig  

parallellogram  ZG,  en  EZ  moet  worden  

gesneden  in  K  en  vanaf  G  en  E  moeten  

GK  en  BE  worden  verbonden,  nadat  ik  

aantoon,  (dat)  GB  is  groter  is  dan  BH,  

terwijl  GK  en  BZ  moeten  worden  

verlengd  en  samen  moeten  vallen  in  D  

en  GH  moet  worden  verbonden  (met  D).  

Omdat  EK  gelijk  is  aan  KZ,  en  GE  gelijk  is  

aan  ZD,  dat  is  BZ,  zo  is  GZ  groter  dan  ZD:  

ook  is  de  hoek  van  ZDG  groter  dan  die  

van  ZGD.  De  gelijken  (hoeken)  HBD  en  

BGZ  zijn  elk  (van  twee)  de  helft  van  een  

rechte  (hoek)  en  die  (is)  dus  groter  dan  

GZB.      

 

15  

ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ

ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ 50  

ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε

µείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα

δίχα τµηθῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµα

λεία µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ

ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο 55  

δυσὶν ἴσαι· καὶ βάσεις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ

µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας

µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα

ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς.

ἡµίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· 60  

ἰσοπλεύρου ὑποκειµένου τοῦ

παραλληλογράµµου · ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ

ΒΧΗ. ἡµίσειαι δέ εἰσιν ἴσαιαἱ λοιπαὶ

ΓΒΗ. καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται

τὸν τρίποντον τόµον. ἔστω γὰρ ἴδιον 65  

διπλασιόπλευρον ὀρθογώνιον ὡς

πρα . . ες τὸ ΑΒ διπλασιαν ἔχοντα

τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διάµετρον ἔχον ἔχον

τὸ παχος . η . . . . . αθ . . . . . πο τα

τ . . . λι . . . µορι . . . . τει δύνασθαι 70  

ἁρµόζειν ὡς εὐθείας τῶν τοµῶν

ἐχουσῶν τάξιν.

Want  de  hoek  GHB  is  groter  dan  de  hoek  

HGB,  omdat  de  hoek  GHB  gelijk  is  aan  de  

som  van  de  binnenste  

tegenoverliggende  hoeken  HBD  en  HDB,  

zodat  de  lijn  GB  groter  is  dan  BH.  

Als  GH  in  twee  gelijke  stukken  wordt  

(af)gesneden  door  X,  zal  hoek  GXB  

stomp  zijn.  Want  omdat  GX  gelijk  is  aan  

XH,  en  XB  gemeenschappelijk,  zijn  twee  

gelijk  aan  twee,  en  is  basis  GB  groter  dan  

BH,  en  de  ene  hoek  is  dus  groter  dan  de  

andere  hoek,  de  hoek  GXB  is  stomp,  en  

de  aanliggende  (hoek)  scherp:  de  hoek  

GBH  is  de  helft  van  een  rechte  (hoek):  

omdat  het  gelijkzijdig  parallellogram  

hieraan  ten  grondslag  ligt:  de  hoek  BXH  

is  scherp.  GBH  is  gelijk  aan  de  halve  

resterende  (hoeken).  Hij  wordt  

bijeengelegd  en  uit  elkaar  gehaald  in  een  

driebenig  stuk.  Er  moet  een  bijzondere  

rechthoekige  dubbele  zijde  zijn…    

[fragmentarisch]  

   

 

16  

καὶ τετµήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε,

καὶ διὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος

ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ 75  

ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ

ΒΕ Ε Δ, καὶ τετµήσθωσαν δίχα αἱ

ΓΗ ΕΔ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ

τῶν ΟΚ τῆι ΒΔ παράλληλοι 80  

ἤχθωσαν αἱ ΚΛ ΟΞ. διὰ τὸ

προκείµενον ἄρα θεώρηµα τοῦ ΒΓΘ

τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Θ γωνία

ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα. φανερὸν

φανερὸν δὴ ὅτι ὀξεῖά ἐστιν. 85  

Ook  moet  GA  in  tweeën  gesplitst  worden  

door  E,  en  EZ  moet  geleid  worden  door  

E  parallel  aan  BG.  Dus  GZ  en  ZA  zijn  

vierkant.  De  diagonalen  GD,  BE  en  ED  

moeten  worden  getrokken,  en  nadat  GH  

en  ED  moeten  in  tweeën  worden  

gesplitst  in  T  en  X,  en  BT  en  ZX  moeten  

worden  getrokken,  en  de  parallellen  KL  

en  OX  moeten  worden  getrokken  door  O  

en  K  naar  BD.  Door  de  voorliggende  

stelling  is  de  hoek  T  van  driehoek  BLT  

stomp,  de  overblijvende  (hoek)  is  

scherp.  Het  is  dus  overduidelijk  dat  deze  

scherp  is.      

   

 

17  

Discussie  over  de  tekst    Archimedes  opent  met  een  inleiding  waarmee  hij  het  Stomachion  introduceert.  In  de  eerste  alinea  legt  hij  uit  dat  het  Stomachion  een  ingewikkelde  figuur  is,  en  dat  hij  daarom  de  verschillende  puzzelstukjes  zowel  apart  als  in  combinatie  zal  behandelen.  Hij  kondigt  aan  uit  te  leggen  welke  hoeken  aan  elkaar  gelijk  zijn,  om  vervolgens  de  vorm  van  de  puzzelstukken  te  kunnen  verklaren.    Ook  zegt  hij  dat  het  belangrijk  is  nauwkeurig    te  werken.  Het  maakt  een  groot  verschil  of  de  zijden  precies  goed  zijn,  of  dat  ze  een  beetje  afwijken.  Als  er  namelijk  sprake  is  van  een  fout  in  de  figuur,  kan  ‘dat  wat  gevormd  is  niet  meer  worden  teruggelegd’.  Uit  deze  uitspraak  maak  ik  op  dat  Archimedes  doelt  op  het  terugleggen  van  de  puzzelstukken  in  het  vierkant.  Dit  is  ook  de  conclusie  die  Netz  en  Noel  trekken  uit  de  tekst  van  Archimedes  en  op  dit  punt  ben  ik  het  dus  met  ze  eens.    De  rest  van  de  inleiding  brengt  echter  wat  discussie  met  zich  mee.  In  de  vertaling  van  Netz  en  Noel    uit  hun  boek  (bron  5)  wordt  het  woord  μετατιθεμένου  vertaald  met  ‘roteren’.  Hier  zet  ik  mijn  vraagtekens  bij.  Ik  heb  namelijk  voor  dit  woord  alleen  de  vertaling  ‘verplaatsen’  kunnen  vinden.  Het  maakt  voor  de  combinatoriek  veel  uit  welke  van  de  twee  interpretaties  je  gebruikt:  ‘roteren’  brengt  namelijk  veel  meer  oplossingen  met  zich  mee  dan  alleen  ‘verplaatsen’.  Ik  heb  de  Nederlandse  vertaling  van  het  boek  De  Archimedes  Codex  gebruikt,  dus  deze  ietwat  te  vrije  vertaling  zou  ook  gevolg  kunnen  zijn  van  de  vertaling  van  het  Engels  naar  het  Nederlands.  Dit  betwijfel  ik  echter,  omdat  de  betekenis  significant  verschilt  en  het  van  de  vertaler  Boukje  Verheij  (niet  de  minste)  wel  erg  slordig  zou  zijn.  Bovendien  wordt  na  de  vertaling  nog  een  aantal  keer  ‘roteren’  genoemd.  Ik  vermoed  dat  het  een  vrije  vertaling  is  van  Netz  en  Noel  zelf.  Ik  vraag  me  af  waarom  ze  het  zo  vrij  vertaald  hebben  zonder  enige  discussie  of  dit  wel  de  juiste  vertaling  is.  Het  zou  kunnen  dat  ze  een  bepaald  idee  in  hun  hoofd  hadden  over  de  regels  rondom  de  puzzel  en  dat  ze  vervolgens  als  het  ware  naar  dat  idee  toe  vertaald  hebben.      

                                 

Afbeelding  3:  eerste  illustratie  volgens  Heiberg  op  basis  van  de  vertaling  

 

18  

Na  de  inleiding  begint  Archimedes  met  de  uiteenzetting  over  de  puzzelstukken.  Hij  begint  met  een  fragment  van  het  Stomachion,  namelijk  het  vierkant  BZEG  (afbeelding  3)  en  breidt  dit  later  uit  met  een  ander  vierkant  ADZE  (afbeelding  4).  Archimedes  zegt  in  zijn  tekst  letterlijk  ‘rechthoekig  parallellogram’  en  hij  zegt  dat  de  hoek  die  de  diagonaal  maakt  de  helft  is  van  een  rechte  hoek,  en  dat  het  gelijkzijdig  parallellogram  hieraan  ten  grondslag  ligt.  Hieruit  concludeer  ik  dat  Archimedes  zeker  een  vierkant  bedoelt.  Wat  ik  daardoor  niet  snap  is  waarom  er  een  figuur  in  The  Archimedes  Palimpsest  (bron  3)  staat  waarbij  het  geometrische  figuur  BZEG  weliswaar  een  rechthoek  is,  maar  geen  vierkant  (afbeelding  5).      Wat  nog  meer  onduidelijk  is,  en  waar  ik  zelf  eerst  ook  niet  uit  kwam,  is  dat  Archimedes  soms  over  punten  en  bijbehorende  letters  begint  te  spreken,  zonder  uitleg  hoe  die  tot  stand  zijn  gekomen.  Het  grootste  gedeelte  van  de  tekst  gaat  dat  nog  goed  ik  kan  ik,  de  lezer,  het  nog  volgen.  Tegen  het  eind  van  deze  tekst  echter,  duiken  er  een  aantal  letters  op  die  ik  niet  meteen  kon  plaatsen.  Dit  betreft  de  letters:  Α,  Θ,  Χ,  Ο,  Λ  en  Ξ.    Α,  Θ,  Ο,  Λ  en  Ξ  duiken  zomaar  op  zonder  uitleg  en  de  beschrijving  van  Χ  klopt  niet  meer  met  de  omschrijving  die  ervoor  werd  gegeven.  Blijkbaar  snapten  Netz  en  Noel  het  ook  niet  helemaal,  te  zien  aan  hun  figuur  (bron  3  en  afbeelding  5).  Voor  de  letters  Α,  Θ  en  Χ  heeft  Heiberg  hier  wel  iets  op  bedacht  (bron  6):  Archimedes  gebruikt  twee  verschillende  figuren  (afbeeldingen  3  en  4).  Hierbij  verandert  Χ  van  plaats  en  worden  Α  en  Θ  verklaard  door  een  uitbreiding  van  de  eerste  figuur.  

Er  zijn  nog  een  aantal  dingen  die  niet  kloppen  aan  de  figuur  van  Netz  en  Noel.  Archimedes  zegt  duidelijk:  ‘EK  gelijk  aan  KZ’.  Oftewel,  GD  snijdt  EZ  precies  in  het  midden  in  het  punt  K.  In  afbeelding  5  is  dit  niet  het  geval.  Ten  tweede  staat  er  ook  in  de  tekst:’(…)GH  in  twee  gelijke  stukken  wordt  afgesneden  door  X  (…)’.  X  ligt  dus  precies  op  het  midden  van  lijnstuk  GH  en  ook  dit  is  niet  het  geval  in  afbeelding  5.  Vervolgens  heb  ik  nog  een  discussiepunt  over  iets  dat  in  de  Griekse  tekst  mogelijk  niet  klopt.  In  regel  53  staat:  (…)  ἐπεὶ  γὰρ  ἴση  ἡ  ΓΧ  τῆι  ΧΒ,  καὶ  κοινὴ  ἡ  ΧΒ  (...).  Dit  betekent:  (…)  want  omdat  GX  gelijk  is  aan  XB,  en  XB  gemeenschappelijk  (…).  GX  is  echter  niet  gelijk  aan  XB,  maar  aan  XH.  Daarom  denk  ik  dat  er  ἐπεὶ  γὰρ  ἴση  ἡ  ΓΧ  τῆι  ΧH,  καὶ  κοινὴ  ἡ  XB,  moet  staan.        

Afbeelding  4:  tweede  illustratie  volgens  Heiberg  op  basis  van  de  vertaling    

 

19  

Tenslotte  is  mij  nog  het  volgende  opgevallen.  Afbeelding  4  komt  overeen  met  de  beschrijving  die  Archimedes  in  de  tekst  geeft.  Draai  je  deze  figuur  een  kwart  slag  naar  rechts,  dan  wordt  het  Stomachion  zichtbaar,  althans  iets  wat  er  op  lijkt  (afbeelding  7).  Alleen  zijn  dit  twee  vierkanten  naast  elkaar,  terwijl  het  Stomachion  naar  we  veronderstellen  uit  twee  rechthoeken  naast  elkaar  bestaat  die  samen  een  vierkant  vormen.  In  afbeeldingen  6  en  7  is  te  zien  dat  de  verhoudingen  in  deze  twee  figuren  niet  overeenkomen.  

       

Voor  deze  discrepantie  is  een  aantal  mogelijkheden  te  bedenken.  Of  afbeelding  moet  een  rechthoek  zijn,  of  afbeelding  moet  in  vierkant  zijn.  De  vraag  is  alleen,  wat  is  correct?  Stel  afbeelding  moet  een  rechthoek  zijn.  In  dat  geval  kan  de  fout  zitten  in  (de  interpretatie  van)  de  eerder  genoemde  Arabische  tekst.  In  het  geval  dat  afbeelding  een  vierkant  moet  zijn  kan  de  fout  zitten  in  (de  interpretatie  van)  de  tekst  van  Archimedes.    

Afbeelding  5:  illustratie  van  Netz  en  Noel  

Afbeelding  6:  het  vierkante  Stomachion Afbeelding  7:  afbeelding  4  een  kwart  slag  gedraaid  

 

20  

Een  derde  mogelijkheid  is  dat  geen  van  beide  teksten  fout  (geïnterpreteerd)  is,  maar  dat  er  gewoon  twee  versies  van  het  Stomachion  bestaan:  een  vierkante  en  een  rechthoekige.  We  zullen  het  waarschijnlijk  nooit  te  weten  komen.    Het  manuscript  van  het  Stomachion  is  onvolledig:  naar  het  einde  toe  is  het  fragmentarisch  en  het  laatste  deel  ontbreekt  helemaal.  Wat  het  tweede  deel  van  de  tekst  aan  informatie  bevat  zullen  we  dus  waarschijnlijk  nooit  te  weten  kunnen  komen.  Aan  bijlagen  1  en  2  is  goed  te  zien  hoe  bijzonder  het  is  dat  we  überhaupt  iets  overgeleverd  gekregen  hebben  van  het  Stomachion:  de  tekst  van  het  gebedenboek  is  al  nauwelijks  leesbaar  door  schimmel  en  andere  afbraak,  laat  staan  het  manuscript  van  Archimedes!  Het  is  daarom  niet  ondenkbaar  dat  er  hier  en  daar  fouten  kunnen  zitten  in  de  gereconstrueerde  tekst.  Ik  vind  dat  we  daarom  ook  voorzichtig  moeten  zijn  met  interpretaties  en  conclusies  die  we  uit  de  tekst  trekken.  Er  zijn  nog  zo  veel  onzekerheden!  De  laatste  ontdekkingen  en  beschouwingen  suggereren  echter  wel  dat  de  puzzel  het  Stomachion  niet  bedoeld  is  als  tangram,  maar  voor  combinatoriek  en  het  terugleggen  van  de  puzzelstukken  in  het  vierkant.  Dit  is  ook  waarvan  ik  denk  dat  de  meest  waarschijnlijke  mogelijkheid  is.    

 

21  

Combinatoriek    Combinatoriek  is  een  tak  van  wiskunde  waarbij  het  gaat  om  het  combineren  van  bepaalde  objecten  die  aan  bepaalde  voorwaarden  voldoen  en  vervolgens  het  tellen  van  het  aantal  verschillende  mogelijkheden  voor  die  combinaties.  Er  wordt  onderscheidt  gemaakt  tussen  combinaties  en  permutaties.    Naam   Volgorde  van  objecten   Voorbeeld  Combinaties   Niet  van  belang   ABC  =  CAB  Permutaties   Wel  van  belang   ABC  <>  CAB    Verder  is  met  of  zonder  terugleggen  van  belang.  Het  gaat  er  hierbij  om  of  de  verschillende  objecten  meerdere  malen  gebruikt  mogen  worden.  Vaak  wordt  als  voorbeeld  het  vaasmodel  gebruikt.  Hierbij  zitten  een  aantal  knikkers  in  verschillende  kleuren  in  een  vaas.  Uit  deze  vaas  wordt  een  of  meerdere  keren  een  knikker  getrokken.  Je  kunt  dan  de  kans  berekenen  dat  de  persoon  een  bepaalde  kleur  trekt  (bron  22).    Combinatoriek  bij  het  Stomachion  Het  Stomachion  is  uiteraard  moeilijk  te  vergelijken  met  een  vaas  met  knikkers.  Achter  het  aantal  mogelijkheden  om  de  puzzel  weer  terug  in  het  vierkant  te  krijgen  zit  een  lastige  wiskundige  berekening.  De  Amerikaanse  wiskundige  en  systeemanalist  Bill  Cutler  heeft  zich  over  dit  probleem  gebogen  (bronnen  23,  24  en  25).  Hij  gebruikte  een  computer  om  het  aantal  oplossingen  te  berekenen.  Hierbij  sloot  hij  rotaties  en  spiegelingen  van  de  puzzelstukken  uit.  Van  belang  is  te  weten  dat  de  stukken  1&2,  9&10  en  11&12  bij  elke  oplossing  naast  elkaar  liggen  (zie  afbeelding  8).  Bovendien  komen  de  stukken  6  en  7  in  deze  figuur  allebei  twee  maal  voor,  waarmee  het  aantal  oplossingen  gereduceerd  wordt.      

       

Afbeelding  8:  de  stukken  genummerd

 

22  

Hoekensommen  Bernd  Karl  Rennhak  (bron  27)  heeft  van  alle  puzzelstukken  van  een  vereenvoudigde  versie  van  het  Stomachion  (afbeelding  9)  de  hoeken  beschreven.  Bij  deze  vereenvoudigde  weergave  heeft  hij  de  hierboven  genoemde  stukken  1&2,  9&10  en  11&12  samengenomen.  Hierdoor  en  doordat  er  enkele  stukken  dubbel  voorkomen  blijven  er  acht  verschillende  puzzelstukken  over.  Bij  zijn  berekeningen  heeft  hij  gebruik  gemaakt  van  een  vaste  hoek  λ.  Deze  hoek  is  als  volgt  gedefinieerd.  Het  is  de  kleinste  hoek  die  vormt  gemaakt  als  de  diagonaal  van  twee  identieke  vierkanten  getrokken  wordt  (afbeelding  10).        

                         

 Er  blijkt:    de  verhouding  van  de  zijdes  van  de  driehoek  GHL  (afbeelding  11)  is:  GH:HL  =  1:2  tan(λ)  =  GH/HL  =  ½  dus  λ  =  arctan(1/2)  =  26,  57°.    

De  hoekensommen  van  alle  acht  verschillende  puzzelstukken  zijn  uit  te  drukken  in  deze  hoek  λ,  90°,  45°,  180°  en  combinaties  hiervan.  Zou  je  de  puzzelstukken  1&2,  9&10  en  11&12  niet  samennemen,  dan  zouden  niet  alle  hoekensommen  uit  te  drukken  zijn  in  deze  getallen.  Door  dit  wel  te  doen  wordt  de  berekening  en  redenering  iets  eenvoudiger.    

Afbeelding  9:  vereenvoudigde  versie  van  het  Stomachion

Afbeelding  11:  eerste  illustratie  bij  de  hoek  labda Afbeelding  10:  tweede  illustratie  bij  de  hoek  labda  

 

23  

 Puzzelstuk  (afbeelding  9)  

Oppervlakte   Hoekensom   Opmerkingen  

A   24  +  3   90°  +  90°  +  (90°  +  λ)  +  (90°  –  λ)   -­‐Twee  samengevoegde  puzzelstukken  

B   12  +  12   45°  +  λ  +  (135°  -­‐  λ)   -­‐Twee  samengevoegde  puzzelstukken  

C   3  +  6   90°  +  λ  +  (90°  -­‐  λ)   -­‐Twee  samengevoegde  puzzelstukken  -­‐Komt  twee  keer  voor  

D   6   (135°  -­‐  λ)  +  2λ  +  (45°  -­‐  λ)    E   12   λ  +  135°  +  (45°  +  λ)  +  (180°  –  2λ)    F   6   λ  +  45°  +  (135°  -­‐  λ)   -­‐Komt  twee  keer  

voor  G   12   45°  +  (90°  -­‐  λ)  +  (45°  -­‐  λ)   -­‐Komt  twee  keer  

voor  H   21   90°  +  90°  +  135°  +  (180°  -­‐  λ)  +  (45°  +  λ)   -­‐Pentagon    Uitleg  bij  de  hoeksommen  A  (afbeelding  12):  

-­‐ De  hoeken  ABC  en  CBA  zijn  rechte  hoeken,  dat  is  gegeven.  -­‐ Verleng  je  zijden  AB  en  CD  en  verbind  je  H  en  G  zodat  de  vierkanten  AHGI  en  

DFIG  ontstaan,  wordt  zichtbaar  dat  er  twee  hoeken  λ  voorkomen  in  de  figuur.  Hieruit  volgt  dat  hoek  BAD  =  90°  -­‐  λ,  en  hoek  CDA  =  90°  +  λ.  

                                 B  (afbeelding  13):  

-­‐ Hoek  ABH  =  CAB  =  45°,  omdat  AD  de  diagonaal  is  van  het  roostervierkant.  -­‐ Teken  je  de  vierkanten  BEGH  en  CFEG  met  BC  als  diagonaal  van  deze  twee  

vierkanten,  dan  blijkt  dat  hoek  BCA  =  λ  en  dat  hoek  ABC  =  135°  –  λ.  

Afbeelding  12:  puzzelstuk  A  

Afbeelding  13:  puzzelstuk  B  

 

24  

         C  (afbeelding  14):  

-­‐ Hoek  BAC  =  90°,  dat  is  gegeven.  -­‐ Teken  je  de  vierkanten  ABEG  en  GEFC,  dan  

blijkt  dat  hoek  ACB  =  λ,  en  dat  hoek  CBE  =  λ,  waaruit  volgt  dat  hoek  ABC  =  90°  –  λ.  

                           D  (afbeelding  15):  teken  je  de  acht  kleinere  vierkanten,  dan  blijken  de  volgende  hoeken.  

-­‐ Hoek  KCA  =  hoek  ACH  =  45°,  hoek  BCA  =  λ,  dus  hoek  ACB  =  45°  –  λ.  -­‐ Hoek  DAB  =  λ,  waaruit  volgt  dat  CAB  =  135°  –  λ.  -­‐ Hoek  GBA  =  GBC  =  λ,  dus  hoek  ABC  =  2λ.  

                                         

Afbeelding  14:  puzzelstuk  C  

Afbeelding  15:  puzzelstuk  D  

 

25  

E  (afbeelding  16):  teken  je  de  zes  kleinere  vierkant  en  het  grote  vierkant,  te  zien  in  de  figuur,  dan  blijken  de  volgende  hoeken.  

-­‐ Hoek  DAB  =  λ.  -­‐ Hoek  ABC  =  135°.  -­‐ Omdat  hoek  KDA  =  JDC  =  λ,  is  hoek  ADC  =  180°  –  2λ.  -­‐ Uit  het  feit  dat  hoek  DCL  =  λ  volgt  dat  hoek  DCB  =  45°  +  λ.  

                         

 F  (afbeelding  17):  teken  je  de  vijf  kleine  vierkanten  te  zien  in  de  figuur  blijkt  het  volgende.  

-­‐ Hoek  BAC  =  45°.  -­‐ Hoek  ABC  =  λ.  -­‐ Omdat  hoek  DCB  =  λ,  is  hoek  

ACB  =  135°  -­‐  λ.          G  (afbeelding  18):  teken  de  vijf  kleinere  vierkanten  in  de  figuur  en  er  blijkt  het  volgende.  

-­‐ Hoek  ABC  =  45°.  -­‐ Omdat  hoek  DAC  =  λ,  is  hoek  BAC  =  90°  –  λ.  -­‐ Hoek  ACL  =  λ,  dus  hoek  ACB  =  45°  +  λ.  

                           

Afbeelding  16:  puzzelstuk  E  

Afbeelding  17:  puzzelstuk  F  

Afbeelding  18:  puzzelstuk  G  

 

26  

H  (afbeelding  19):    -­‐ Hoek  DEA  =  hoek  BAE  =  90°,  dat  is  gegeven.  -­‐ Hoek  HBJ  =  45°,  dus  Hoek  ABC  =  135°.  -­‐ Omdat  hoek  CDF  =  λ,  is  hoek  CDE  =  180°  –  λ  -­‐ Hoek  DCG  =  λ,  dus  hoek  BCE  =  45°  +  λ.  

           

Afbeelding  19:  puzzelstuk  H  

 

27  

Oppervlakten  De  oppervlakte  van  ieder  puzzelstuk  in  een  12x12  vierkant  is  gegeven  door  de  formule  (bron  29  en  afbeelding  20):  A  =  I  +  (B/2)  -­‐1  Hierin  is:  A:  het  aantal  roostervierkantjes  I:  het  aantal  binnenliggende  roosterpunten  (  o  )  B:  het  aantal  grensroosterpunten  (  o  )    Uit  bron  28  blijkt  dat  wanneer  je  meerdere  veelhoeken  in  een  vierkant  rooster,  in  dit  geval  12x12,  wil  passen,  de  verhouding  tussen  de  oppervlakten  van  de  puzzelstukken  altijd  een  geheel  getal  moet  zijn,  in  dit  geval  is  dat  3.    Uit  deze  gegevens  blijkt  het  volgende  voor  de  verschillende  puzzelstukken.    Puzzelstuk  afbeelding  20  

Berekening  oppervlakte   Uitkomst  =  I  +  (B/2)  -­‐1   Uitkomst/3  

A   5  +  (16/2)  -­‐1   12   4  B   7  +  (12/2)  -­‐1   12   4  C   9  +  (8/2)  -­‐1   12   4  D   4  +  (6/2)  -­‐1   6   2  E   0  +  (8/2)  -­‐1   3   1  F   13  +  (18/2)  -­‐1   21   7  G   2  +  (10/2)  -­‐1   6   2  H   7  +  (12/2)  -­‐1   12   4  I   2  +  (10/2)  -­‐1   6   2  J   7  +  (12/2)  -­‐1   12   4  K   3  +  (18/2)  -­‐1   6   2  L   4  +  (12/2)  -­‐1   9   3  M   1  +  (6/2)  -­‐1   6   2  N   18  +  (14/2)  -­‐1   24   8    

   

Afbeelding  20:  oppervlaktepuntjes  in  het  Stomachion  

 

28  

Conclusie    Archimedes  en  combinatoriek  Omdat  alle  hoekensommen  van  de  puzzelstukken  uit  te  drukken  zijn  in  λ valt  na  te  gaan  welke  stukken  complementair  zijn  en  welke  niet.  Dit  gegeven  gecombineerd  met  de  formules  voor  de  oppervlakten  heeft  Cutler  waarschijnlijk  gebruikt  om  het  aantal  mogelijkheden  te  berekenen.  Door  een  algoritme  in  een  computer  in  te  voeren  is  hij  uitgekomen  op  536  oplossingen.  Sluit  je  rotaties  en  spiegelingen  niet  uit  bij  de  berekening,  dan  blijken  er  17.152  combinaties  mogelijk  te  zijn  (bron  24).  Hieruit  blijkt  dat  het  zeer  veel  uit  maakt  welke    beperkingen  je  stelt  aan  de  verplaatsingen  van  de  puzzelstukken.    De  vraag  is  natuurlijk  of  Archimedes  destijds  op  de  hoogte  was  van  combinatoriek.  Hij  kan  namelijk  ook  zonder  de  wiskunde  op  536  (of  17.152)  mogelijkheden  zijn  uitgekomen,  door  gewoonweg  te  puzzelen.  Zoals  Netz  en  Noel  in  hun  boek  (bron  5)  beschrijven  werd  algemeen  aangenomen  dat  rekenkundige  problemen  met  betrekking  tot  combinatiemogelijkheden  tot  aan  de  zeventiende  eeuw  geen  belangrijk  deel  uitmaakten  van  de  wiskunde.  Volgens  overleveringen  hield  alleen  de  Griekse  astronoom  Hipparchus  (ca.  190  v.  Chr  –  120  v.  Chr.)  zich  voor  die  tijd  bezig  met  combinatoriek.  Dit  blijkt  uit  een  vermelding  van  de  Griekse  schrijver  Plutarchus  waarin  Hipparchus  een  discussie  aangaat  met  de  Griekse  filosoof  Chrysippus  over  het  aantal  combinaties  die  te  vormen  zijn  met  tien  beweringen.  Chrysippus  dacht  dat  het  antwoord  1  miljoen  was,  maar  Hipparchus  bleek  het  bij  het  rechte  eind  te  hebben,  wat  bleek  toen  er  in  de  periode  1994-­‐2002  onderzoek  naar  werd  gedaan.  Wiskundigen  kwamen  er,  net  als  Hipparchus  op  uit  dat  er  of  103.049  of  310.954  mogelijkheden  waren,  afhankelijk  van  de  condities.  Hipparchus  was  jonger  dan  Archimedes  dus  het  is  goed  mogelijk  dat  Archimedes  de  basis  van  de  combinatoriek  legde  waar  Hipparchus  vervolgens  op  voortgebouwd  heeft.  Dit  zou  een  belangrijke  ontdekking  zijn  en  ons  beeld  van  de  Oudgriekse  wiskunde  positief  veranderen.    De  tekst  en  de  wiskunde  Omdat  de  tekst  van  het  Stomachion  onvolledig  is,  is  het  lastig  te  zeggen  waar  Archimedes  met  zijn  wiskundige  beschrijving  heen  wil.  Het  belangrijkste  probleem  is  dat  de  figuur  die  Archimedes  beschrijft  niet  overeenkomt  met  de  figuur  waaruit  door  meerdere  auteurs  conclusies  getrokken  zijn.  De  stelligheid  waarmee  Netz  en  Noel  het  Stomachion  interpreteren  als  een  vierkante  puzzel  waarvan  het  de  bedoeling  is  dat  er  verschillende  mogelijkheden  worden  bedacht  om  de  puzzelstukken  weer  in  dat  vierkant  te  krijgen,  kan  ik  niet  onderschrijven.  Naar  mijn  mening  toont  onderzoek  naar  de  teksten  en  de  figuren  aan  dat  lang  nog  niet  alles  is  ontdekt  en  opgehelderd.  Bovendien  is  het  nog  helemaal  niet  zeker  dat  het  Stomachion  dat  Archimedes  beschrijft  een  vierkant  is.  Zoals  al  eerder  genoemd  heeft  Archimedes  het  in  zijn  tekst  over  twee  vierkanten,  die  samen  een  rechthoek  vormen.  Echter  voorheen  is  men  altijd  uitgegaan  van  de  vierkante  versie  van  het  Stomachion,  maar  daar  heeft  Archimedes  het  helemaal  niet  over.  De  vierkante  versie  van  het  Stomachion  is  niet  per  se  fout,  maar  we  moeten  er  rekening  mee  houden  dat  een  Stomachion  elke  vorm  van  een  rechthoek  kan  zijn.  Met  enige  zekerheid  kunnen  we  er  van  uit  gaan  dat  Archimedes  zich  bezighield  met  combinatoriek,  want  dat  blijkt  uit  zijn  tekst.    

 

29  

Bronvermelding    1.  Tekst  Heiberg  December  2012  http://www.hsaugsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html      2.  Gerestaureerde  tekst,  December  2012  http://4umi.com/play/Stomachion/text.php    3.  Reviel  Netz,  William  Noel,  Nigel  Wilson  &  Natalie  Tchernetska,  The  Archimedes  Palimpsest  Deel  II,  Cambridge  University  Press  2011  4.  http://www.archimedespalimpsest.org/  December  2012  5.  Reviel  Netz  &  William  Noel,  De  Archimedes  Codex,  Athenaeum-­‐Polak  &  Van  Gennep,  Amsterdam  2007  6.  Charles  Mugler,  Archimède,  Société  d’édition  <  Les  Belles  Lettres  >,  Parijs  1971  7.  Charles  Hupperts,  Grieks-­‐Nederlands  woordenboek,  Eisma  Edumedia  BV,  Leeuwarden  2008  8.  Dr.  Fred.  Muller  &  Dr.  J.H.  Thiel,  Beknopt  Grieks-­‐Nederlands  Woordenboek,  Wolters-­‐Noordhoff  NV,  Groningen  1969  9.  Dr.  J.  Nuchelmans,  De  Kleine  Griekse  grammatica,  Paul  Brand,  Nijmegen  1999  10.  Henry  George  Liddell,  Robert  Scott,  Henry  Stuart  Jones,  Greek-­‐English  Lexicon,  Oxford  University  Press,  Oxford,  reprint  1953  11.  Raphael  Kühner,  Ausführliche  Grammatik  der  griechischen  Sprache,  Verlag  Hannover  Buchhandlung,  Hannover  1966  12.  M.  Huig  &  D.F.  Lunsingh  Scheurleer  jr.,  De  klassieke  oudheid,  Aula-­‐eeuwboeken  I,  Het  Spectrum,  Utrecht  1994  13.  http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes  Januari  2013  14.  http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers    Januari  2013  15.  http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes    Januari  2013  16.  http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Archimedes.html  Januari  2013  17.  http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/inside-­‐archimedes-­‐palimpsest.html  Januari  2013  18.  http://www.archimedespalimpsest.org/imaging_experimental4.html    Januari  2013  19.  http://nl.wikipedia.org/wiki/Synchrotronstraling  Januari  2013  20.  Canadian  Conservation  Institute,  Gregory  Young,  Effect  of  high  flux  x-­‐radiation  on  parchment,  report  no.  Proteus  92195,  27  augustus  2005,  in  opdracht  van  Abigail  Quandt,  Walters  Art  Museum  Baltimore,  Maryland    21.  http://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek  Januari  2013  22.  5VWO-­‐wiskunde  B  2011-­‐2012,  Keuzeonderwerp  Kansrekening  23.  http://www.barbecuejoe.com/Stomachion.htm  Januari  2013  24.  http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html  Januari  2013  25.  http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Cutler  Februari  2013  26.  http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html    Februari  2013  27.  http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm  Februari  2013  28.  http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html  Februari  2013  29.  http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/Pick.html  Februari  2013      

 

30  

Bijlage  1:  De  Griekse  tekst  zichtbaar  gemaakt  http://4umi.com/play/Stomachion/text.php      

                                                                       

 

31  

ἈΡΧ ΙΜΉΔΟ Υ Σ ΣΤΟΜΆ ΧI ΟΝ Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικί λαν ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε σχηµάτων µεταθέσεως θεωρία θεωρ ί αν ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον του ὅλο υ σ χάµ ατ ος µέγε θ ος θεω ρῶν ἐκθέσθαι, ε ἴς τ ε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε α ὐτ ῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ ὁ µ οι ον , ἔτι δὲ καὶ πο ῖ αι γ ωνίαι συ νοδοιο λαµβανόµ εναι καὶ κ α θ’ ἃς εἴρηται πρὸς τὸ τ ὰ ς ἐνα ρ µόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχα µ άτων γ ιγνώσκεσθαι , ε ἴ τε ἐπ’ εὐ θείας εἰσὶν αἱ γεννώµεναι ἐν τ οῖ ς σχάµασι πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι τᾶι θεωρίαι λανθά νουσιν· τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δ ὲ θεωρίαι λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦ τ’ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτ σχ α µάτων    

 

32  

   

 

33  

πλῆθος διὰ τὸ ει σ χεν α υ το ς εἶν αι εἰς ἕτερον τόπου τ οῦ ἴσου καὶ ἰσο γωνίου σχάµατος µετατιθεµέν µετατιθεµένου καὶ ἑ τ έραν θέσιν λαµβ ά νοντος . ὅ τε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοί ων τῶ ι ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχη µάτων συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοι ον ὄντων δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα σχήµα τ α συνίσταται ἐ κτὸς µ ετ αθέσεως . προγραφόµε νον οὖν τι θεώρηµα εἰς αὐτὸ συ ν τεῖ νον. ἔστω γὰρ παραλληλ ό γρα µ µον ὀρθογώνιον τὸ Ζ Γ, καὶ δεδι κ ά σ θω ἡ ΕΖ τῶ ι Κ, καὶ ἐ π ε ζεύχθω σ α ν ἀπὸ τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µ εί ζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσ θ ω σαν αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέ τωσαν κατ ὰ τὸ Δ καὶ ἐ π εζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· ὥ στ ε µείζω ν ἡ Γ Ζ τ ῆς Ζ Δ· καὶ γωνί α ἄρα ἡ ὑπὸ τ ῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ µ εί ζων ἐστίν . ἴσα ι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡ µ ί σει α γ ὰρ ὀ ρ θῆς ἑκατέρα· µεί ζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τ ῶν Γ Ζ Β· ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐν τ ὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑ πὸ ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε µείζων ἐστὶν ἡ Γ Β τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα δίχα τµη θῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµ α λεία µ µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δ υσὶν ἴσαι· καὶ βά σ ε ι ς ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖ α δὲ ἡ ἐφεξῆς. ἡµίσεια δ ὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· ἰσ ο πλε ύρο υ ὑποκειµέ νο υ τοῦ παραλλη λ ογράµµου · ὀξεῖ α δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. ἡµ ί σειαι δ έ εἰσιν ἴσ αι αἱ λοιπαὶ ΓΒΗ. καὶ συνίστ α τ α ι καὶ διαιρεῖται τὸ ν τρ ί ποντο ν τόµ. τ ό µ ον. ἔστω γ ὰ ρ ἴδιον διπλασιόπ λευ ρ ο ν ὀρ θογώνιον ὡ ς πρα ες τὸ Α Β δ ιπλα σιαν ἔχοντα τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διά µετρον ἔχον ἔχον τὸ παχοσ η αθ πο τα τ λι µορι τει δύνασθαι ἁρµόζειν ὡς εὐθεί εὐθεί ας τῶ ν τοµῶν ἐχουσῶν τάξιν. καὶ τ ε τµ ή σθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ δι ὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ ΒΕ Ε Δ, καὶ τετ µ ήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ Ε Δ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ τῶν Ο Κ τῆι ΒΔ πα ράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ Λ Ο Ξ. δι ὰ τὸ προκείµενον ἄρα θεώρηµα το ῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τ ῶι Θ γ ωνία ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖ α . φα νερὸν φανερὸν δὴ ὅτι ὀ ξ εῖ ά ἐσ τι ν .    

 

34  

Bijlage  2:  Het  onleesbare  manuscript  http://4umi.com/play/Stomachion/text.php          

 

35  

 

36  

Bijlage  3:  Engelse  vertaling  van  de  Arabische  tekst  http://www.hs-­‐augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost2.html  http://en.wikipedia.org/wiki/Ostomachion      We  draw  a  [rectangular]  parallelogram  ABGD,  we  bisect  BG  in  E  and  draw  EZ  perpendicular  to  BG  [to  intersect  AD],  we  draw  the  diagonals  AG,  BZ  [intersecting  AG  at  L],  and  ZG,  we  also  bisect  BE  in  H,  and  draw  HT  perpendicular  to  BE  [to  intersect  BZ],  then  we  put  the  ruler  at  point  H  and  -­‐  looking  to  point  A  -­‐  we  draw  HK  [to  intersect  BZ],  then  bisect  AL  in  M,  and  draw  BM.  So  the  A-­‐E  rectangle  is  divided  into  seven  parts.  Now  we  bisect  DG  in  N,  ZG  in  C,  we  draw  EC  and  attaching  the  ruler  to  the  points  B  and  C  we  draw  CO  [to  intersect  DG],  furthermore  CN.  Thus  the  rectangle  ZG  is  also  divided  in  seven  parts,  but  in  another  way  than  the  first  one.  Therefore,  the  whole  square  has  fourteen  parts.  

 We  now  demonstrate  that  each  of  the  fourteen  parts  is  in  rational  relationship  to  the  whole  square.  Because  ZG  is  the  diagonal  of  the  rectangle  Z-­‐G,  the  triangle  DZG  is  half  of  this  rectangle,  that  means  1/4  of  the  square.  But  the  triangle  GNC  is  1/4  of  triangle  DZG,  because,  if  we  extend  the  line  EC,  it  comes  to  point  D,  and  that  means  triangle  GDC  has  half  area  of  the  triangle  DZG  and  is  equal  to  the  two  triangles  GNC  and  DNC  taken  together;  that  means  triangle  GNC  is  1/16  of  the  square.  If  we  presume  that  line  OC  is  orientated  to  point  B,  as  we  have  drawn  it  before,  so  the  line  NC  is  parallel  to  BG,  which  is  the  side  of  the  square  and  of  the  triangle  OBG,  so  we  get  the  proportion  BG  :  NC  =  GO  :  NO.  But  BG  is  four  times  NC,  and  in  the  same  way  GO  four  times  NO;  therefore  is  GN  three  times  NO,  and  triangle  GNC  =  3  ONC.  However,  as  we  have  shown,  triangle  GNC  is  1/16  of  the  square,  that  means  triangle  ONC  =  1/48  of  the  square.  Furthermore,  as  triangle  GDZ  =  1/4  of  the  square,  and  therefore  GNC  =  1/16  of  that  triangle  and  NCO  =  1/48  of  that,  it  remains  for  the  quadrilateral  DOCZ  =  1/6  of  the  square’s  area.  According  to  the  proposition  that  line  NC  [extended]  intersects  [ZE  at]  point  F,  and  GE  is  parallel  to  CF,  [and  labelling  the  intersection  of  AG  and  CE  as  Q,]  we  get  the  proportion  EC  :  CF  =  EQ  :  CQ  =  GQ  :  FQ.  Because  EQ  =  2  CQ  and  GQ  =  2  FQ,  triangle  EQG  is  double  to  the  two  triangles  GCQ  and  EFQ.  It  is  clear,  that  triangle  EGZ  =  2  times  triangle  EFG,  because  ZE  =  2  FE.  As  the  triangle  EGZ  =  1/4  of  the  square,  that  means  triangle  EFG  =  1/8  of  the  square.  This  triangle  is  three  times  as  big  as  each  of  the  two  triangles  EFQ  and  GCQ,  so  each  of  these  

 

37  

two  triangles  =  1/24  of  the  square  A-­‐G.  And  the  triangle  EGQ  is  double  to  each  of  the  two  triangles  EFQ  and  GCQ,  so  it  is  =  1/12  of  the  square.  Furthermore  because  ZF  =  EF,  triangle  ZFG  =  triangle  EFG.  If  we  now  take  away  triangle  GCQ  (=  triangle  EFQ),  it  leaves  quadrilateral  FQCZ  (=  triangle  EGQ),  therefore  quadrilateral  FQCZ  =  1/12  of  the  square  A-­‐G.  If  an  Ostomachion  were  to  be  imposed  onto  a  12-­‐unit  square,  this  diagram  shows  the  area  of  each  piece.  We  have  now  divided  the  rectangle  Z-­‐G  in  7  parts,  and  go  on  to  divide  the  other  rectangle.  Because  BZ  and  EC  are  two  parallel  diagonals,  and  ZF  =  EF,  therefore  triangle  ZLF  =  EFQ,  and  also  triangle  ZLF  =  1/24  of  the  square  A-­‐G.  Because  BH  =  HE,  triangle  BEZ  is  four  times  the  triangle  BHT,  because  each  of  them  is  rectangular.  As  triangle  BEZ  =  1/4  of  the  square  ABGD,  triangle  BHT  =  1/16  of  that.  According  to  our  proposition  the  line  HK  [extended]  intersects  point  A,  so  we  get  the  proportion  AB  :  HT  =  BK  :  KT.  Because  AB  =  2  HT,  and  BK  =  2  KT  and  BT  =  3  KT,  triangle  BHT  is  three  times  the  triangle  KHT.  However,  because  triangle  BHT  =  1/16  of  the  whole  square,  triangle  KHT  =  1/48  of  that.  Triangle  BKH  is  double  the  triangle  KHT,  so  =  1/24  of  the  square.  Further,  as  BL  =  2  ZL,  and  AL  =  2  LF,  triangle  ABL  is  twice  the  triangle  ALZ,  and  ALZ  double  the  triangle  ZLF.  However,  because  triangle  ZLF  =  1/24  of  the  whole  square,  triangle  ALZ  =  1/12  of  that,  so  triangle  ABL  =  1/6.  But  triangle  ABM  =  triangle  BML,  so  each  of  these  two  triangles  =  1/12  of  the  square.  It  leaves  the  pentagon  LFEHT  =  7/48  of  the  entire  square.  We  have  now  also  divided  the  square  AE  into  7  sections,  therefore,  the  whole  figure  ABGD  in  14  parts.  Each  of  these  fourteen  parts  is  in  rational  relationship  to  the  whole,  and  that  is  what  we  wanted."