ĐỘng lỰc hỌc

- 1 -

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN CƠ HỌC

BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN

(LƢU HÀNH NỘI BỘ)

Theo chƣơng trình 150TC

sử dụng cho năm học 2009 – 2010

2

Số tín chỉ: 2

Thái Nguyên, năm 2009

- 2 -

:

-

BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN

(LƢU HÀNH NỘI BỘ)

Theo chƣơng trình 150TC

sử dụng cho năm học 2009 – 2010

2

Số tín chỉ: 2

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 12 năm 2009

Trƣởng bộ môn Trƣởng khoa Khoa học cơ bản

(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên)

ThS. Nguyễn Thị Hoa TS. Nguyễn Văn Tuấn

- 3 -

MỤC LỤC

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 ................................... - 5 -

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... - 10 -

Chƣơng I. .................................................................................................................... - 12 -

Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học ........................................................... - 12 -

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................................. - 12 -

1.Mô hình các vật thể chuyển động...................................................................... - 12 -

2.Hệ quy chiếu quán tính. .................................................................................... - 13 -

3.Khái niệm cơ bản về lực ................................................................................... - 13 -

§2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC ....................................................................... - 13 -

1.Hệ tiên đề động lực học .................................................................................... - 13 -

2.Cơ hệ không tự do ............................................................................................ - 15 -

3.Tiên đề giải phóng liên kết ............................................................................... - 15 -

Chƣơng II. .................................................................................................................. - 16 -

Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ........................................................ - 16 -

và cơ hệ ...................................................................................................................... - 16 -

§1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM ................ - 16 -

1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. ............................................ - 16 -

2.Các bài toán động lực học chất điểm................................................................. - 18 -

3.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán

tính. ..................................................................................................................... - 24 -

§2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ .......................... - 29 -

1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ. ............................................................... - 29 -

2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ............................................. - 30 -

Chƣơng III .................................................................................................................. - 32 -

Phƣơng pháp Đalămbe ................................................................................................ - 32 -

§1. NGUYÊN LÝ Đ’ALEMBERT .......................................................................... - 33 -

1. Lực quán tính. ................................................................................................. - 33 -

2. Nguyên lý Đa lam be đối với chất điểm ........................................................... - 33 -

3 Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ. .................................................................. - 33 -

§2. CÁC ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC KHỐI LƢỢNG CỦA VẬT RẮN .................. - 36 -

1. Khối tâm của cơ hệ .......................................................................................... - 36 -

2.Mô men quán tính của vật rắn. .......................................................................... - 37 -

§3. THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH ................................................................... - 43 -

TRONG MỘT VÀI CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN ......................................... - 43 -

1. Vectơ chính của hệ lực quán tính. .................................................................... - 43 -

2. Mô men chính của các lực quán tính trong một vài chuyển động của vật rắn.... - 44 -

3. Phản lực ổ trục của các vật quay xung quanh một trục cố định. ........................ - 49 -

§4. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƢỢNG VÀ MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG...................... - 52 -

1. Định lý chuyển động khối tâm ......................................................................... - 52 -

2. Định lý động lƣợng ......................................................................................... - 52 -

3. Định lý mômen động lƣợng ............................................................................. - 55 -

Chƣơng IV .................................................................................................................. - 58 -

Phƣơng pháp Lagrange ............................................................................................... - 58 -

§ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................................ - 59 -

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết. ........................................... - 59 -

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ. ..................................................... - 62 -

3. Toạ độ suy rộng của cơ hệ. .............................................................................. - 64 -

4. Lực suy rộng. .................................................................................................. - 65 -

5. Liên kết lý tƣởng ............................................................................................. - 71 -

§2. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - LAGRANGE ................................................. - 72 -

1.Nguyên lý D’Alembert - Lagrange. .................................................................. - 72 -

- 4 -

2.Định lý động năng. ........................................................................................... - 74 -

§ 3. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ .............................................................. - 82 -

1.Vị trí cân bằng của cơ hệ. ................................................................................. - 83 -

2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ .............................................................................. - 83 -

3.Các ví dụ .......................................................................................................... - 83 -

§4. PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI HAI ..................................................... - 86 -

1. Thiết lập phƣơng trình Lagrange loại hai. ........................................................ - 86 -

2. Biểu thức của động năng trong các toạ độ suy rộng.......................................... - 88 -

3. Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế. ........................... - 89 -

4. Các tích phân chuyển động. ............................................................................. - 95 -

Chƣơng V ................................................................................................................... - 99 -

Va chạm...................................................................................................................... - 99 -

§1. ĐẶT BÀI TOÁN VA CHẠM............................................................................ - 99 -

1. Hiện tƣợng va chạm ........................................................................................ - 99 -

2. Các đặc điểm của quá trình va chạm .............................................................. - 100 -

§2. ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT VÀO LÝ THUYẾT ...................... - 104 -

VA CHẠM ........................................................................................................... - 104 -

1. Định lý động lƣợng của hệ khi va chạm ......................................................... - 104 -

2.Định lý mômen động lƣợng của hệ khi va chạm ............................................. - 105 -

§3. VA CHẠM THẲNG XUYÊN TÂM CỦA HAI VẬT...................................... - 106 -

1.Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật ............................................................. - 106 -

2.Định lý Cacsno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm..................................... - 107 -

§4. TÁC DỤNG LỰC VA CHẠM VÀO VẬT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

VÀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG ................................................................. - 109 -

1. Tác dụng lực va chạm vào vật quay quanh trục cố định. ................................ - 109 -

2. Tác dụng lực va chạm vào vật chuyển động song phẳng ................................ - 109 -

3. Ví dụ ............................................................................................................. - 110 -

§5. TÂM VA CHẠM CỦA VẬT QUAY .............................................................. - 115 -

1. Xác định xung lực va chạm tại trục quay ....................................................... - 115 -

2. Tâm va chạm của vật quay ............................................................................ - 116 -

- 5 -

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 (Học phần bắt buộc)

1. Tên học phần: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 Mã số: BAS202

2. Số tín chỉ: 2

3. Trình độ cho sinh viên: Năm thứ hai

4. Phân bố thời gian:

- Lên lớp lý thuyết:

- Thảo luận:

- Hƣớng dẫn bài tập lớn: Không

- Khác: Không

5. Các học phần học trƣớc: Toán cao cấp 1 & 2, Vật lý đại cƣơng 1& 2

6. Học phần thay thế hoặc tƣơng đƣơng: Không

7. Mục tiêu học phần: Làm cho sinh viên nắm vững các định luật cân bằng và chuyển

động của vật rắn chịu lực, các đặc trƣng động lực học của các mô hình điểm và vật rắn

chuyển động. Biết cách áp dụng các kiến thức đó tính toán các bài toán cân bằng cũng nhƣ

các bài toán động lực học điểm và vật rắn. Các kiến thức đƣợc trang bị là cơ sở cho hầu hết

các lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật công nghiệp.

8. Mô tả vắn tắt nội dung của học phần. Học phần trình bày các đặc trƣng động lực học

của các mô hình điểm và vật rắn chuyển động. Khảo sát chuyển động của điểm và vật rắn

dƣới tác dụng của lực bằng phƣơng pháp D’Alembert và phƣơng pháp Lagrange. Nghiên

cứu bài toán va chạm trong kỹ thuật .

9. Nhiệm vụ của sinh viên

9.1. Tham dự các bài giảng trên lớp %80 tổng số thời lƣợng của học phần;

9.2. Thời gian tự học thực hiện theo tỷ lệ: mỗi tiết trên lớp phải có tối thiểu 3 giờ tự học

bao gồm: Củng cố bài đã học- làm bài tập, chuẩn bị các tài liệu cho các buổi thảo luận và

đọc trƣớc tài liệu của bài giảng lần sau. Các sinh viên cần đề xuất các bài tập khó đề nghị

giáo viên bố trí thời gian giải đáp. Các sinh viên phải hoàn thành tất cả các bài tập (bắt

buộc) giáo viên yêu cầu ra vở bài tập và cần xuất trình vở bài tập khi giáo viên yêu cầu

9.3. Tham dự thảo luận và tất cả các bài kiểm tra thƣờng xuyên và định kỳ của học phần.

10. Tài liệu học tập

* Sách giáo khoa

[1]. Lê Lƣơng Tài, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Thị Hoa. Các bài giảng Cơ học kỹ

thuật. Trƣờng ĐHKTCN, Thái Nguyên, 2009.

[2] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Văn Khang. Cơ học, T1, NXB GD, Hà

Nội, 1996.

[3]. Nguyễn Văn Khang. Cơ sở Cơ học Kỹ thuật, T1. và T2. NXB ĐHQGHN, Hà

Nội, 2005.

[4] GS TSKH Đỗ Sanh. Cơ học kỹ thuật, Tập hai ĐỘNG LỰC HỌC, NXBGD,

2008.

* Sách tham khảo

- 6 -

[5]. Nguyễn Văn Khang. Động lực học hệ nhiều vật. NXB KH&KT, Hà Nội, 2006.

[6] Mc Lean and Nelson. Schaum’s online theory and problems of engineering

mechanics. Statics and Dynamics. 1994

[7] R.C. Hibbler . Engineering Mechanics, Statics

[8]. J.M. Krodkiewski. Dynamics of Machine, The University of Melbourne, 2006.

[9]. J.M. Krodkiewski. Mechanics of a rigid body, The University of Melbourne,

2006.

[10]. R.J. Schilling. Fundamentals of Robotics. Prentice – Hall, Englewood Cliffs,

New Jersey, 1990.

11. Các tiêu chuẩn đánh giá sinh viên và thang điểm

11.1. Các học phần lý thuyết

- Tiêu chuẩn đánh giá

i) Thảo luận, bài tập, chuyên cần

ii) Kiểm tra định kỳ và thường xuyên

iii)Thi kết thúc học phần.

- Thang điểm

i) Điểm đánh giá bộ phận theo thang điểm 10 với trọng số như sau

+ Điểm thảo luận, bài tập, chuyên cần: 20%

+ Điểm kiểm tra thường xuyên và định kỳ (Trung bình cộng): 20%

+ Điểm thi kết thúc học phần: 60%

ii) Điểm học phần là điểm trung bình chung với các trọng số của các điểm đánh giá

bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.

11.2. Các học phần thực nghiệm: Không

12. Lịch trình giảng dạy.

Tuần Nội dung Tài liệu

học tập

Hình thức

học

1 Chương I. Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề

động lực học.

§1. Các khái niệm cơ bản.

1. Các mô hình các vật thể chuyển động.

2. Hệ quy chiếu quán tính.

3. Lực.

§2. Hệ tiên đề động lực học.

1. Hệ tiên đề

2. Cơ hệ không tự do

3. Tiên đề giải phóng liên kết

Chương II. Phương trình vi phân chuyển động

của chất điểm và cơ hệ.

§1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất

điểm

[1,2,3,4,...] Giảng

- 7 -

1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất

điểm

2. Các bài toán cơ bản động lực học và cách

giải. Các ví dụ.

2 Chương II. Phương trình vi phân chuyển động

của chất điểm và cơ hệ. (tiếp)

3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của

chất điểm trong hệ quy chiếu không quán

tính.

§2. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ

hệ.

1. phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ

2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của

cơ hệ

Chương III. Phương pháp D’Alembert.

§1. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phƣơng trình

tĩnh động.

1.Nguyên lý D’Alembert

a.Lực quán tính D’Alembert

b.Đối với chất điểm

c.Đối với cơ hệ.

2.Hệ phƣơng trình tĩnh động.

a.Hệ phƣơng trình tĩnh động.

b.Các ví dụ.

§2.Các đặc trƣng hình học khối lƣợng của vật

rắn.

1. Khối tâm của cơ hệ.

2. Mô men quán tính của vật rắn

2.1. Định nghĩa

2.2. Tính mô men quán tính của một số vật

đồng chất.

2.3. Các định lý về mô men quán tính.

2.4. Mô men quán tính chính và các trục

quán tính chính của vật rắn.

[1,2,3,4,...] Giảng

3 Chương III. Phương pháp Dalembe (tiếp)

§3. Thu gọn hệ lực quán tính trong một vài

chuyển động thƣờng gặp.

1. Véctơ chính của hệ lực quán tính

2. Mô men chính của hệ lực quán tính trong một

vài chuyển động của vật rắn

[1,2,3,4,...] Giảng

- 8 -

2.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến

2.2. Vật rắn chuyển động quay xung quanh một

trục cố định.

2.3. Vật rắn chuyển động song phẳng.

3. Phản lực ổ trục của vật rắn quay xung quanh

một trục cố định

3.1. Phƣơng trình chuyển động của vật rắn và

phƣơng trình xá định phản lực ổ trục.

3.2. Phản lực động lực của các ổ trục. Điều kiện

để phản lực động bằng phản lực tĩnh.

4 Chương III. Phương pháp D’Alembert(tiếp)

§4. Các định lý động lƣợng và mômen động lƣợng.

1. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ.

2. Định lý động lƣợng.

3. Định lý mô men động lƣợng.

[1,2,3,4,...] Giảng

5 Thảo luận 1. [1,2,3,4,...] Thảo luận

6 Thảo luận 2 [1,2,3,4,...] Thảo luận

7 Kiểm tra định kỳ

8 Chương IV. Phương pháp Lagrange


1.Liên kết và phân loại các liên kết

2.Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

3.Toạ độ suy rộng

4. Lực suy rộng.

5.Liên kết lý tƣởng.

[1,2,3,4,...] Giảng

9 Chương IV. Phương pháp Lagrange (tiếp)

§2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

1.Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

2.Định lý động năng

2.1. Định lý động năng

2.2. Động năng của vật rắn chuyển động

§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.

1.Vị trí cân bằng của cơ hệ

2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ

3. Các ví dụ

[1,2,3,4,...] Giảng

10 Chương IV. Phương pháp Lagrange(tiếp)

§4. Phƣơng trình Lagrange loại II.

1.Phƣơng trình Lagrange loại II.

2.Biểu thức của động năng trong các tọa độ

suy rộng.

[1,2,3,4,...] Giảng

- 9 -

3.Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng

hợp lực có thế

4.Các tích phân chuyển động.

11 Chương V. Va chạm. 2 (2 – 0)

§1. Đặt bài toán va chạm

1. Hiện tƣợng va chạm.

2. Các đặc điểm của quá trình va chạm

3. Mô hình nghiên cứu bài toán va chạm và

Bài toán va chạm trong kỹ thuật..

§2. Áp dụng các định lý động lƣợng mô men

động lƣợng trong quá trình va chạm.

1. Định lý động lƣợng

2. Định lý mô men động lƣợng

§3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật.

1. Đặt bài toán. Các phƣơng trình cơ bản.

2. Các kết quả tính toán.

3. Mất động năng trong va chạm.

§4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung

quanh một trục cố định.

[1,2,3,4,...] Giảng



13. Ngày phê duyệt

14 . Cấp phê duyệt

Đề cƣơng chi tiết học phần đã đƣợc Hội đồng khối ngành . . . . . . . . phê duyệt

Trƣởng Bộ môn Chủ tịch Hội đồng Chủ tịch Hội đồng

KH & GD Khoa, Trung tâm Khối ngành

- 10 -

MỞ ĐẦU Nhƣ đã biết, các vật thể xung quanh chúng ta luôn luôn chuyển động và tác

dụng tƣơng hỗ lẫn nhau. Đối tƣợng nghiên cứu của Cơ học là thiết lập mối quan hệ

giữa các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của các vật thể và sự tƣơng tác giữa

chúng.

Phần Động học đã xây dựng các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của

các vật thể: điểm và vật rắn. Phần Động lực học sẽ giải quyết vấn đề tổng quát vừa

nêu ra ở trên.

Để giải quyết bài toán cơ bản của Cơ học đặt ra, nhiều thế hệ các nhà cơ học,

toán học nhƣ Galileo Galileé (1564 - 1642), I. Newton (1642 - 1727), D’Alembert

(1717 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Hamilton (), Xiôn kovxki (1857 - 1935),

Meserxki (1859 - 1935)… đã xây dựng đƣợc các cách tiếp cận khác nhau, đem lại

những thành tựu quan trọng của Cơ học và áp dụng chúng vào thực tiễn. Vì vậy,

chọn lọc các chất liệu cho các bài giảng là một vấn đề cấp thiết và có tầm quan

trọng đặc biệt.

Khi xây dựng bài giảng để giảng dạy cho sinh viên, chúng tôi đã dựa trên hai

yêu cầu chính sau đây:

Một là, quá trình đào tạo đƣợc thực hiện theo học chế tín chỉ, đòi hỏi thay đổi

phƣơng pháp dạy học từ cách thức giảng giải một cách chi tiết cho sinh viên sang

cách thức hƣớng dẫn, kích thích tính tích cực của họ và từ đó, sinh viên là chủ thể

tìm kiếm kiến thức trong khuôn khổ mục đích của môn học.

Hai là, yêu cầu khắc phục tính lạc hậu của nội dung giảng dạy. Nhƣ đã biết,

trong xu hƣớng phát triển tự động hoá, nhiều máy móc, thiết bị (đặc biệt là các rô

bốt) đã đƣợc lắp đặt các chi tiết thực hiện các chuyển động không gian, do đó phần

Động học vật rắn đƣợc nhấn mạnh các đặc trƣng động học của vật rắn trong trƣờng

hợp tổng quát, mà trƣớc đây trong hầu hết các sách giáo khoa Cơ học trong nƣớc

còn bị xem nhẹ nhƣ là một cách “tinh giản” nội dung giảng dạy ở các trƣờng đại

học kỹ thuật.

Từ các yêu cầu đó, các chất liệu sử dụng để đƣa vào các bài giảng này đã

đƣợc chọn lọc nhằm mục đích giúp ngƣời học vừa nắm chắc những nội dung cơ

bản, vừa trang bị khả năng tính toán cho các bài toán Cơ học trong kỹ thuật. Do

vậy, các bài giảng đƣợc thể hiện trong 5 chƣơng, trong đó các chƣơng 2, 3, 4 trình

bày các phƣơng pháp đồng thời cũng là những quan điểm phát triển các kiến thức

Cơ học. Đặc biệt, chúng tôi giành một phần đáng kể để trình bày các ví dụ nhằm

giúp cho sinh viên tự nghiên cứu thuận lợi.

Chúng tôi quan niệm rằng, Cơ học lý thuyết là sự tiếp tục của các kiến thức

Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa Vật lý cho bậc đại học theo

- 11 -

hƣớng nhấn mạnh và áp dụng các kiến thức Cơ học vào việc tính toán các đại lƣợng

Cơ học trong các bài toán kỹ thuật. Do vậy, để hiểu đƣợc các bài giảng này ngƣời

học cần nắm vững các kiến thức Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa

Vật lý và các nội dung toán học cần thiết nhƣ đại số tuyến tính và giải tích toán học.

- 12 -

Chƣơng I.

Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học

- :Trang bị cho sinh viên những khái niệm cơ bản của môn học và phƣơng

pháp để nghiên cứu môn học.

- : Đƣa ra mô hình của vật thể chuyển động, hệ quy chiếu quán tính, lực và

hệ tiên đề Động lực học.

-

, phép tính đạo hàm

.

-

.


1. Các mô hình các vật thể chuyển động.

2. Hệ quy chiếu quán tính.

3. Lực.

§2. Hệ tiên đề động lực học.

4. Hệ tiên đề

5. Cơ hệ không tự do

6. Tiên đề giải phóng liên kết

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.Mô hình các vật thể chuyển động.

Các đối tƣợng chuyển động nghiên cứu trong Cơ học gọi chung là các vật thể.

Các vật thể có kích thƣớc rất bé so với các kích thƣớc khác trong bài toán đƣợc gọi

là chất điểm. Trong các tính toán ta sẽ coi chất điểm là các điểm không có kích

thƣớc và mang vật chất.

Tập hợp nhiều chất điểm trong một bài toán Cơ học gọi là Cơ hệ. Trong giáo

trình này ta sẽ nghiên cứu các cơ hệ sau đây:

- Các cơ hệ chứa một số hữu hạn chất điểm;

- 13 -

- Các cơ hệ có vô hạn chất điểm, nhƣng khoảng cách giữa chúng không đổi

khi chịu lực và chuyển động và gọi là vật rắn tuyệt đối.

2.Hệ quy chiếu quán tính.

Trong Động lực học, ta khảo sát một loại hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy

chiếu quán tính.

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một chất điểm cô lập thì đứng

yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều.

Trong thực tế, các hệ quy chiếu quán tính chỉ có thể chọn gần đúng. Tuỳ theo

mức độ chính xác của bài toán, ngƣời ta có thể chọn gần đúng hệ này hay hệ kia

làm hệ quy chiếu quán tính. Chẳng hạn, trong các bài toán thiên văn hoặc du hành

vũ trụ, ngƣời ta thƣờng lấy hệ quy chiếu gắn vào tâm mặt trời còn các trục toạ độ

hƣớng vào các ngôi sao cố định, còn trong các bài toán kỹ thuật thông thƣờng ngƣời

ta chọn mặt đất làm các hệ quy chiếu quán tính v.v… .

3.Khái niệm cơ bản về lực

Lực là đại lượng dùng để đo tương tác cơ học của các vật thể. Tác dụng cơ

học là các tác dụng mà kết quả của nó là làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển

động hoặc là biến dạng đi. Lực tác dụng giữa các vật thể biểu thị ở cƣờng độ,

phƣơng, chiều và điểm đặt. Vì vậy, lực có thể mô hình toán học bằng một vectơ

buộc. Vectơ lực, ký hiệu là F

đặt tại điểm đặt của lực tác dụng, cùng phƣơng chiều

với lực tác dụng và có cƣờng độ tỷ lệ với cƣờng độ của lực tác dụng. Từ nay ta sẽ

đồng nhất khái niệm lực tác dụng và vectơ biểu diễn lực và gọi chung là lực.

§2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC

Phƣơng pháp tiên đề hay phƣơng pháp mô hình là phƣơng pháp nghiên cứu

dựa trên sự trừu tƣợng hoá các đối tƣợng cụ thể để hình thành các khái niệm, các

định nghĩa cơ bản. Trên cơ sở các khái niệm và định nghĩa này ngƣời ta xây dựng

một hệ các mệnh đề gốc thoả mãn các điều kiện nhất định gọi là các tiên đề và từ đó

bằng các lý luận logic suy diễn ra các quy luật khác. Tập hợp các quy luật xây dựng

đƣợc tạo thành hệ thống lý thuyết của môn học. Chính Newton đã gọi các định luật

cơ bản do ông nêu ra là các axiom (tiên đề) sử dụng các tiên đề đó để xây dựng lý

thuyết về chuyển động cơ học.

1.Hệ tiên đề động lực học

Tiên đề 1. Tiên đề quán tính Galileé.

Một chất điểm cô lập (tức là không chịu tác dụng của lực nào) thì đứng yên

hoặc chuyển động thẳng và đều.Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của nó.

- 14 -

Galileé là ngƣời đã phát hiện ra tiên đề này vào năm 1638 và gọi là Định luật

quán tính. Tiên đề này làm cơ sở để xác định một hệ quy chiếu có phải là hệ quán

tính hay không, hay nói khác đi, nó cho ta tiêu chuẩn để xem xét tính quán tính của

một hệ quy chiếu.

Tiên đề 2. Tiên đề cơ bản Động lực học.

Trong hệ quy chiếu quán tính,dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với

gia tốc hướng với lực và có độ lớn tỷ lệ thuận với cường độ của lực.

Tiên đề này có thể biểu thị bằng công thức sau

Fwm

(1.1)

trong đó m gọi là khối lƣợng của chất điểm.

Dễ dàng nhận thấy rằng hệ số m đặc trƣng cho tính chất chống lại sự thay đổi

chuyển động do lực gây ra. Tính chất này gọi là tính quán tính của vật và do đó m

thƣờng gọi là khối lƣợng quán tính của vật. Đơn vị khối lƣợng là kg và các bội và

ƣớc của nó.

Khi một chất điểm đặt trên mặt đất, nó bị trái đất tác dụng lực hút hƣớng về

tâm trái đất gọi là trọng lực, ký hiệu là P

và sẽ rơi với gia tốc, ký hiệu là g

gọi là

gia tốc rơi tự do (hay gia tốc trọng trường). Theo tiên đề cơ bản ta có thể viết

Pgm

(1.2)

Hệ thức (1.2) cho ta mối quan hệ giữa trọng lực

và khối lƣợng của các chất điểm đặt trên mặt đất.

Tiên đề 3. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai

chất điểm có cùng đường tác dụng, ngược chiều

và cùng cường độ.

Tiên đề 3 làm cơ sở tính toán các lực tác

dụng trong cơ hệ có nhiều chất điểm.

Tiên đề 4. Tiên đề độc lập tác dụng.

Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của một hệ lực chất điểm thu được

gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm có được khi từng lực tác dụng

riêng biệt.

Giả sử trên chất điểm tác dụng hệ lực nFFF

,...,, 21 . Nếu tác dụng riêng rẽ

từng lực một ta sẽ nhận đƣợc các gia tốc nwww

,...., 21 . Khi tác dụng đồng thời hệ lực

trên vào chất điểm, nó sẽ có gia tốc w

:

n

i

iww1

. (1.3)

A

B

ABF

BAF

Hình1.1 Tác dụng và phản tác dụng

- 15 -

Nhân hai vế của đẳng thức vừa viết với m và chú ý rằng kk Fwm

, ta sẽ nhận

đƣợc

n

k

kk wmwm1

n

k

kF1

(1.4)

Đẳng thức (1.4) khẳng định rằng khi tác dụng đồng thời hệ lực nFFF

,...,, 21 chất

điểm sẽ có gia tốc nhƣ khi tác dụng vào chất điểm một lực bằng tổng hình học các

lực thành phần.

2.Cơ hệ không tự do

a) Cơ hệ tự do và không tự do

Cơ hệ tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm của nó có thể thực hiện các di

chuyển bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận từ vị trí đang xét. Trong trƣờng hợp trái lại

cơ hệ là không tự do. Nhƣ thế trong các cơ hệ không tự do, các chất điểm của nó

chịu các ràng buộc, ngăn cản chuyển động của chúng. Các điều kiện cản trở này gọi

là các liên kết.

b) Phản lực liên kết

Về mặt cơ học sự ngăn cản chuyển động các chất điểm của cơ hệ, tức là tác

dụng vào các chất điểm của cơ hệ các lực. Các lực do liên kết tác dụng vào các chất

điểm của cơ hệ gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết là các lực thụ động phụ

thuộc vào các lực khác đã xác định tác dụng vào cơ hệ và có chiều ngƣợc với chiều

ngăn cản chuyển động do liên kết gây ra. Các lực xác định đặt vào các chất điểm

của cơ hệ gọi là các lực hoạt động hay lực cho trƣớc.

3.Tiên đề giải phóng liên kết

Các tiên đề phát biểu ở trên đƣợc áp dụng cho các cơ hệ tự do. Đối với các

cơ hệ không tự do ta cần bổ sung vào 4 tiên đề đã phát biểu ở trên tiên đề giải phóng

liên kết.

Tiên đề 5. Tiên đề giải phóng liên kết.

Cơ hệ không tự do(hay cơ hệ chịu liên kết) có thể khảo sát như các cơ hệ tự

do nếu giải phóng liên kết và thay thế các liên kết được giải phóng bằng các thành

phần phản lực liên kết tương ứng.

- 16 -

Chƣơng II.

Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

và cơ hệ

- :Trang bị cho sinh viên những phƣơng pháp thiết lập phƣơng trình vi

phân chuyển động của chất điểm, cơ hệ và cách giải hai bài toán cơ bản của Động

lực học chất điểm.

- : Phƣơng trình vi phân chuyển động của điểm và cơ hệ trong hệ quy

chiếu quán tính và không quán tính, cách giải bài toán thuận và bài toán ngƣợc.

- phép tính

đạo hàm, tích phân và cách giải phƣơng trình vi phân cấp 2

.

-

.

§1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

2.Các bài toán cơ bản động lực học và cách giải.

3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong

hệ quy chiếu không quán tính.

§2. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ.

3. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ

4. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ

§1,

thảo luận các ví dụ,

§2 sinh viên tự

nghiên cứu.

A. LÝ THUYẾT

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.

Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính 0R . Theo

tiên đề 4, chất điểm khối lƣợng m chịu tác dụng của các lực nFFF

,...,, 21 , sẽ chuyển

động với gia tốc w

thoả mãn phƣơng trình

Fwm

(2.1)

- 17 -

trong đó nFFFF

...21 . Tuỳ theo những điều

kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ

khác nhau để viết phƣơng trình (2.1) dƣới dạng toạ

độ.

Trong trƣờng hợp tổng quát, ta chọn hệ toạ độ

Descarte Oxyz và chiếu phƣơng trình (2.1) lên hệ đã

chọn với chú ý rằng

,xwx ,ywy

zwz

ta đƣợc hệ phƣơng trình vô hƣớng

Xxm , (2.2.a)

Yym , (2.2.b)

Zzm , (2.2.c)

gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ Descarte.

Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động của chất điểm, do

đó ta có thể xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên bn

,, tại mỗi điểm trên đƣờng

cong. Trong các trƣờng hợp đó, ta thƣờng chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết các

phƣơng trình hình chiếu của phƣơng trình (2.1) với chú ý rằng

nv

sw

2

ta đƣợc

Fsm , (2.3.a)

bFv

m2

(2.3.b)

bF0 . (2.3.c)

Hệ phƣơng trình vừa viết gọi là hệ phƣơng trình

vi phân chuyển động của điểm dƣới dạng tự

nhiên.

Trong các chuyển động phẳng ta còn

dùng hệ toạ độ cực ,r để viết các phƣơng

trình hình chiếu. Chú ý rằng

errerrw r

22

ta nhận đƣợc các phƣơng trình hình chiếu của (2.1)

rFrrm 2 , (2.4.a)

Frrm 2 (2.4.b)

O

x y

z

M

F

Hình 2.1

n

b

M

Hình 2.2

re

e

O

Hình 2.3

- 18 -

Hệ phƣơng trình vi phân vừa thu đƣợc gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động

của chất điểm dưới dạng toạ độ cực.

Nói chung, tuỳ theo những bài toán cụ thể ta còn có thể sử dụng các hệ toạ

độ khác để viết các phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm nhƣ hệ toạ độ

cầu, hệ toạ độ trụ v.v…

2.Các bài toán động lực học chất điểm

2.1. Bài toán thuận.

Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng lên chất điểm.

Để giải bài toán này, thoạt tiên ta tìm gia tốc của chất điểm rồi sau đó thay

gia tốc tìm đƣợc vào phƣơng trình (2.1) hoặc các phƣơng

trình ở dạng hìmh chiếu.

Ví dụ 2.1. Một sàng vật liệu dao động điều hoà theo

phương thẳng đứng với biên độ a = 5cm. Hãy xác định tần

số dao động để các hạt có thể bật lên khỏi mặt sàng.

Bài giải.

Khảo sát hạt vật liệu nằm trên mặt sàng.

Các lực tác dụng lên hạt vật liệu gồm trọng lực P

của hạt, phản lực N

của

sàng lên hạt.

Áp dụng phƣơng trình (2.1)

NPwm

.

Trƣớc tiên ta tìm gia tốc của hạt. Do hạt nằm trên sàng nên sẽ dao động điều hoà

cùng với sàng với biên độ a. Do đó, phƣơng trình dao động của hạt có dạng

ktax cos

trong đó k là tần số dao động, là pha ban đầu; k, là các hằng số. Gia tốc của hạt

hƣớng theo phƣơng thẳng đứng và biến đổi theo luật

ktakxw cos2 .

Sử dụng phƣơng trình hình chiếu lên phƣơng x ta đƣợc

NPxg

P ,

ktakg

PPx

g

PPN cos2 .

Khi hạt bật lên khỏi sàng, sàng không tác dụng lực lên hạt nữa, nên 0minN .

Vật điều kiện để hạt bật lên khỏi sàng là

0minN .

Từ đó suy ra

x

N

P

Hình 2.4

x

- 19 -

02

min akg

PPN

Hza

gk 14

05,0

8,9.

Bài toán ngược.

Cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu. Tìm chuyển động

của chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc … của chất điểm) dưới tác dụng

của lực ấy.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một trong các dạng các phƣơng trình hình

chiếu (2.2), (2.3) hoặc (2.4). Khi đó ta đi đến một hệ phƣơng trình vi phân cấp hai.

Từ lý thuyết phƣơng trình vi phân thƣờng ta biết rằng nghiệm tổng quát của các hệ

phƣơng trình vi phân phụ thuộc vào các hằng số tuỳ ý. Do đó, để tìm một dạng

chuyển động cụ thể của chất điểm ta cần biết các điều kiện ban đầu. Về mặt cơ học

các điều kiện ban đầu thể hiện trạng thái ban đầu về vị trí và vận tốc của điểm. Nhƣ

thế, chẳng hạn nếu ta sử dụng hệ phƣơng trình vi phân chuyển động dƣới dạng toạ

độ Descarte, thì các điều kiện ban đầu cần phải cho trƣớc là

000 )(, xtxtt , 00 )( yty ,

00 )( ztz

00 )( xtx , 00 )( yty , 00 )( ztz .

Ví dụ 2.2. Viên đạn có khối lượng m được bắn lên với

vận tốc ban đầu 0v lập với phương nằm ngang góc .

Tìm phương trình chuyển động, quỹ đạo, độ cao và tầm

xa của viên đạn. Bỏ qua sức cản không khí.

Bài giải

Ta lập hệ trục toạ độ đề các Oxyz với gốc O đặt

tại điểm bắn (đầu nòng súng), trục Ox nằm ngang sao cho 0v

và Ox tạo thành mặt

phẳng thẳng đứng; trục Oy nằm ngang và vuông góc với trục Ox còn Oz hƣớng theo

phƣơng thẳng đứng lên trên.

Viên đạn đƣợc xem nhƣ chất điểm chuyển động dƣới tác dụng của trọng lực P.

Ta có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động

0xm

0ym

Pzm

hay là

0x ,

0y ,

gz .

O

x

y

z M

0v

Hình 2.5

- 20 -

Các điều kiện ban đầu

0t , 0)0(x , 0)0(y , 0)0(z ;

cos)0( 0vx , 0)0(y , sin)0( 0vz .

Giải các phƣơng trình này ta đƣợc

1Cx , 21 CtCx ;

3Cy ,

43 CtCy

5Cgtz , 65

2

2CtC

gtz

Thay các điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát tìm đƣợc, ta nhận đƣợc

tvx .cos0,

0y

..sin2

0

2

tvgt

z

Phƣơng trình quỹ đạo

cos

.sincos2 0

022

0

2

v

xv

v

xgz

Ví dụ 2.3 Một vật nặng được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

0v . Biết rằng lực hút của trái đất tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật

đến tâm quả đất. Bỏ qua sức cản của không khí. Khảo sát chuyển động của vật bắn

lên

Bài giải.

Ta xem vật nặng là chất điểm chuyển động

dƣới tác dụng sức hút của trái đất. Chọn trục Oz

xuất phát từ tâm quả đất và hƣớng thẳng đứng

lên. Khi vật ở trên mặt đất Rz và vật có gia tốc

g . Do vậy,

kR

gm

2,

trong đó k

là vectơ đơn vị chỉ phƣơng của trục

Oz. Do đó

2mgR .

Phƣơng trình chuyển động của vật là

2

2

z

mgRzm

hay là

O

kz

F

2

k

Hình 2.6

z

- 21 -

2

2

z

gRz (a)

Các điều kiện ban đầu là

,)0( Rz 0)0( vz (b)

Tích phân phƣơng trình (a) bằng cách nhân hai vế với z ta đƣợc

zz

gRzz

2

2

z

gR

dt

dz

dt

d 22

2

nên

z

gRz 22

2

+ 1C .

Thay điều kiện ban đầu vào ta đƣợc

1

22

0

2C

R

gRvgR

vC

2

2

0

1 (c)

Thay 1, Cvz gRv

2

2

0 vào biểu thức vừa tích phân đƣợc, ta có

z

gRv 22

2gR

v

2

2

0 .

Từ đây suy ra độ cao cực đại sẽ đạt đƣợc khi 0v ,

2

0

2

max2

2

vgR

gRz (d)

Từ đó suy ra để maxz , t.l., vƣợt ra khỏi sức hút của trái đất ta cần có

,02 2

0vgR

hay là

gRv 20 .

Với 2/8,9 smg , mR 610.4,6 ta đƣợc

skmsmgRv /11/1100020

Ngƣời ta thƣờng gọi vận tốc này là vận tốc vũ trụ cấp hai.

Ta trở lại phƣơng trình

z

gRz 22

2

gR

v

2

2

0

hay giải ra đối với z

z

bza

dt

dz

- 22 -

trong đó 22gRa , gRvb 22

0 .

Do đó

dtdzbza

z

Tích phân hai vế, ta đƣợc

22

2

)(22ln)(2

Ctbb

b

bzabzbzaabzabz

.

Thay các giá trị của ba, vào ta đƣợc

22

0

2

0

2

0

2

0

22

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

22

0

)2()2(2

22

))2(2()2(2)2(22ln2

)2()2(2

))2(2()2(2

CtgRvgRv

gRv

zgRvgRzgRvzgRvgRgR

gRvgRv

zgRvgRzgRv

Thay giá trị ban đầu ,)0( Rz ta đƣợc

)2()2(2

22

))2(2()2(2)2(22ln2

)2()2(2

))2(2()2(2

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

22

0

2

gRvgRv

gRv

RgRvgRRgRvRgRvgRgR

gRvgRv

RgRvgRRgRvC

Sau khi giản ƣớc ta nhận đƣợc

gRvgRv

gRv

gRvRvgRRvgR

gRv

RvC

22

2

)2(ln

2

2

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

22

0

2

0

0

2

Cuối cùng ta đƣợc

)2()2(2

22

))2(2()2(2)2(22ln2

)2()2(2

))2(2()2(2

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

22

0

gRvgRv

gRv

zgRvgRzgRvzgRvgRgR

gRvgRv

zgRvgRzgRv

- 23 -

gRvgRv

gRv

gRvRvgRRvgR

gRv

Rvt

22

2

)2(ln

2

2

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

22

0

2

0

0

Ví dụ 2.4 Một quả cầu khối lượng m rơi tự do từ một điểm O không có vận tốc ban

đầu dưới tác dụng của trọng lực. Sức cản của không khí đối với quả cầu tỷ lệ bậc

nhất với vận tốc với hệ số tỷ lệ . Hãy xác định chuyển động của quả cầu.

Bài giải

- Chất điểm khảo sát: quả cầu;

- Các lực tác dụng lên chất điểm: Trọng lực P

, lực cản vR

Chọn hệ toạ độ là Oy hƣớng thẳng đứng xuống dƣới. Phƣơng trình vi

phân chuyển động có dạng

ymgyPym

hay là

yngy ; m

n

Điều kiện ban đầu:

0)0()0(,0)0( yvy

Đặt dt

dvvyvy , , ta đƣợc

nvgdt

dv

dtnvg

dv

Tích phân hai vế, với chú ý rằng nvmg ta đƣợc

nteCn

gyv 1

12

ntCgy t e C

n n

Thay các giá trị ban đầu ta đƣợc

10 Cn

g

2

10 Cn

C

Từ đó ta suy ta

n

gC1 ;

22n

gC

R

P

O

M

y

Hình 2.7

- 24 -

Vậy phƣơng trình chuyển động của hệ là

)1(2

nten

gt

n

gy

Xét biểu thức vận tốc

nten

gv 1

ta thấy rằng, khi t thì n

gv . Nhƣ vậy, với t khá lớn, vận tốc v gần nhƣ không

thay đổi. Do đó giá trị n

gv đƣợc gọi là vận tốc giới hạn của chuyển động trong

các môi trƣờng cản (sau này sẽ thấy cả khi lực cản tỷ lệ với bình phƣơng vận tốc

cũng xảy ra điều này).

3.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.

Trong mục này ta sẽ thiết lập phƣơng trình chuyển động trong một hệ quy chiếu

tuỳ ý. Hệ quy chiếu này, đƣơng nhiên là các hệ quy chiếu không quán tính và từ nay

về sau ta sẽ gọi là hệ quy chiếu tƣơng đối, còn hệ quy chiếu quán tính ta sẽ gọi là hệ

quy chiếu tuyệt đối. Trong động lực học, chuyển động đối với hệ quy chiếu tuỳ ý

đƣợc gọi là chuyển động tương đối.

3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu tương

đối.

Ta đã biết, giữa các yếu tố gia tốc trong các hệ quy chiếu tuyệt đối và tƣơng đối

có hệ thức

cera wwww

(2.5)

trong đó, ew

là gia tốc theo và cw

là gia tốc Côriolis

rec vw

2 (2.6)

Thay các biểu thức này vào phƣơng trình chuyển động đối với hệ quán tính

Fwm

,

ta có

Fwwwm cer

.

Chuyển các số hạng ewm

, cwm

sang vế phải và đƣa vào các ký hiệu

e

qt

e wmF

, c

qt

c wmF

(2.7)

ta đƣợc

qt

c

qt

er FFFwm

(2.8)

Các đại lƣợng e

qt

e wmF

, c

qt

c wmF

đƣợc gọi tƣơng ứng là các lực quán tính

theo và lực quán tính Côriôlis.

- 25 -

Nhƣ vậy, trong các hệ quy chiếu không quán tính phƣơng trình vi phân

chuyển động của chất điểm có mặt các thành phần lực mới là các lực quán tính theo

và lực quán tính Côriôlis.

Sự cân bằng tương đối.

Một điểm đứng yên đối với hệ quy chiếu không quán tính đƣợc gọi là cân

bằng tƣơng đối. Đƣơng nhiên trong trƣờng hợp này 0rv

, do đó, 0cw

, suy ra

0qt

cF

. Do vậy, phƣơng trình cân bằng tƣơng đối có dạng

0qt

eFF

(2.9)

Ví dụ 2.5. Sự cân bằng của chất điểm trên mặt đất.

Xét chất điểm đối với mặt đất có kể đến chuyển động quay xung quanh trục

của nó, tức là, đối với hệ quy chiếu tƣơng đối. Do đó trên chất điểm có tác dụng 3

lực:

- Sức hút của trái đất hƣớng từ chất điểm đến tâm quả đất, ký hiệu là P

;

- Lực quán tính theo do sự quay của quả đất

qt

eF

:

2MKmF qt

e

trong đó s/360025

2 là vận tốc góc của trái

đất.

- Phản lực N

của mặt đất lên chất điểm.

Nhƣ thế, phƣơng trình cân bằng là

0NFP qt

e

.

Ký hiệu qt

eFPP

1 và gọi là trọng lực, ta có

1PN

Hƣớng của lực 1P

xác định phƣơng thẳng đứng (phƣơng của dây dọi) tại

điểm đang xét trên mặt đất, còn mặt phẳng vuông góc với 1P

gọi là mặt phẳng nằm

ngang.

Tỷ số giữa lực quán tính theo và của trọng lực bằng

g

R

g

OM

mg

mMK

P

F qt

e coscos 222

1

,

trong đó R là bán kính của quả đất, gọi là vĩ độ của điểm.

Rõ ràng tỷ số 1P

F qt

e có giá trị cực đại tại xích đạo:

,0 kmR 6370 , 2/78,9 smg

O

P

qt

eF

M

K

N

Hình 2.8

1P

- 26 -

00346.01P

F qt

e hay là 290

1

1P

F qt

e .

Từ đó suy ra trọng lƣợng 1P của vật khác rất ít so với lực hút P của quả đất và

hƣớng thẳng đứng lệch với hƣớng của lực hút P

rất nhỏ.

Ví dụ 2.6. Sự rơi của điểm nặng trên mặt đất.

Bài giải

Ta sẽ chọn hệ trục toạ độ nhƣ sau:

- Trục Oz có gốc tại mặt đất, đi qua tâm quả đất và bỏ qua độ lệch nhỏ giữa Oz

với phƣơng thẳng đứng và coi Oz là phƣơng thẳng đứng;

- Trục Oy hƣớng về phía Đông;

- Trục Ox hƣớng về phía Nam.

Các lực tác dụng lên chất điểm bao gồm: trọng lực P

hƣớng vào tâm quả đất (bỏ

qua độ lệch do lực quán tính theo), lực quán tính Côriôlis qt

cF

cos2 r

qt

c vmF

có hƣớng quay về phía Tây.

Từ đó ta viết đƣợc hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm

mgzm

vmym

xm

r

cos2

0

(a)

hay là, do zvr

mgzm

zmym

xm

cos2

0

(b)


0t , Hzyx )0(,0)0(,0)0(

C

z M

y

x

S

N

o M0

M H

y

z

yma x

rv

qt

cF

Hình 2.9a Hình 2.9b x

- 27 -

0)0(x , ,0)0(y 0)0(z

Tích phân phƣơng trình đầu, ta đƣợc

,1Cx 21 CtCx .

Dựa vào điều kiện ban đầu ta suy ra ngay 021 CC ; nên

0x

Bây giờ ta tích phân phƣơng trình đối với z

gz ,

3Cgtz ,

43

2

2

1CtCgtz .

Từ điều kiện ban đầu ta tìm đƣợc

03C , HC4

Nhƣ vậy theo phƣơng z chuyển động của điểm có phƣơng trình

Hgtz 2

2

1

gtz

Thay biểu thức của z vào phƣơng trình thứ hai của (b), ta đƣợc

gty .cos2

Vậy,

5

2 cos Cgty ,

cos3

1 3gty .

Thời điểm chất điểm rơi xuống đến mặt đất là z = 0, t.l.,

02

1 2 HgT , g

HT

2

Lúc đó điểm có các toạ độ:

0x ,

cos2

3

1)(

3

g

HgTy

0)(Tz .

Do trục Oy hƣớng về phía Đông, nên điểm rơi xuống có toạ độ lệch Đông.

Ví dụ 2.7.Thanh OA có độ dài l = 0.5m quay đều với vận tốc góc s/2 xung

quanh trục thẳng đứng đi qua đầu O của thanh. Tại một thời điểm nào đó một chiếc

vòng đang ở giữa thanh bắt đầu rời khỏi vị trí và trượt trơn dọc theo thanh. Tìm

khoảng thời gian để vòng ra tới đầu thanh.

- 28 -

Bài giải

Ta chọn hệ toạ độ động Oxz gắn vào thanh OA . Khảo sát chuyển động của

vòng đối với hệ toạ độ này

- Các lực tác dụng lên vòng: trọng lƣợng P

của vòng hƣớng song song với

trục z; phản lực N

của thanh lên vòng; lực quán tính theo qt

eF

hƣớng dọc theo thanh

đi ra đầu thanh; lực quán tính Cô riô lis qt

cF

nằm ngang và vuông góc với thanh.

- Phƣơng trình vi phân chuyển động của vòng trong hệ Oxz

qt

c

qt

e FFNPwm

.

Phƣơng trình hình chiếu lên trục Ox có dạng

xmOMmmwFxm e

qt

e

22

hay là

02xx .

Các điều kiện ban đầu:

0)0(,25.02

)0(,0 xml

xt

Phƣơng trình đặc trƣng

022 , 2,1 .

Do đó, nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân chuyển động có dạng

tt eCeCx 21

Thay các giá trị ban đầu ta đƣợc

2125.0 CC , 210 CC

Suy ra

125.021 CC

Vậy,

)(125.0 22 tt eex

O O

A A

z

x

z

x

M M

Hình 2.10:

a) Lúc vòng bắt đầu chuyển động b) Lúc ở vị trí đang chuyển động

qt

eF

qt

cF

P

N

- 29 -

Gọi T là thời gian để vòng đạt đến mút thanh OA. Ta có phƣơng trình xác định T:

)(125.05.0 22 TT ee .

Đặt ue T2 , ta có phƣơng trình đối với u

41

uu

hay là

0142 uu

Giải phƣơng trình này ta đƣợc

732,12142u

Vì 0T nên 12 Te , do đó ta chỉ lấy đƣợc giá trị 732.32 ue T

Ta suy ra

sT 21.02

732.3ln

§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ

1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ.

Các lực tác dụng lên cơ hệ có thể phân loại thành các lực trong và lực ngoài,

hoặc thành các lực hoạt động (lực cho trước) và phản lực liên kết.

Các lực trong ký hiệu là i

kF

là các lực do các

chất điểm của cơ hệ tác dụng tương hỗ lẫn nhau. Các

lực này bao giờ cũng xuất hiện từng đôi có cùng

đƣờng tác dụng, cùng cƣờng độ và ngƣợc chiều. Do

đó, tổng các lực trong luôn luôn bằng không,

0i

kF

(2.10)

và tổng mô men của các lực trong đối với điểm bất kỳ

luôn luôn bằng không

0)( i

kO Fm

(2.11)

Các lực do các cơ hệ khác tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đang xét gọi là các

lực ngoài, ký hiệu là e

kF

Nhƣ đã biết, phản lực liên kết là các lực do liên kết tác dụng lên các chất

điểm của cơ hệ. Phản lực liên kết là các lực thụ động và đƣợc ký hiệu là kN

. Ngƣợc

lại, các lực khác không phải là các phản lực liên kết là các lực hoạt động hay các

lực cho trƣớc. Ký hiệu cáclực hoạt động là kF

. Tuỳ theo những cách thức giải

Hình 2.11

- 30 -

quyết bài toán ta có thể dung phƣơng pháp phân loại lực theo kiểu này hoặc kiểu

kia, sẽ đƣợc lần lƣợt trình bày trong các chƣơng sau.

2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ.

2.1. Trong hệ quy chiếu quán tính

Xét cơ hệ gồm N chất điểm có khối lƣợng là Nmmm ,...,, 21

. Ta tách riêng chất

điểm thứ k và giả sử các lực tác dụng lên chất điểm là i

kF

và e

kF

hoặc kF

và kN

.

Nhƣ thế, nếu ta sử dụng cách phân loại lực thành lực trong và lực ngoài thì phƣơng

trình chuyển động cho chất điểm thứ k là

e

k

i

kkk FFwm

, k=1,2,…,N

Do đó, đối với cơ hệ có N chất điểm ta có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động sau

đây

e

N

i

NNN

ei

ei

FFwm

FFwm

FFwm

.........................

2222

1111

(2.12)

Dễ nhận thấy rằng nếu sử dụng phƣơng pháp phân loại các lực thành các lực hoạt

động và phản lực liên kết ta sẽ có hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ là

NNNN NFwm

NFwm

NFwm

.....................

,

2222

1111

(2.13)

2.2. Trong hệ quy chiếu không quán tính

Khi khảo sát chuyển động của các chất điểm trong hệ quy chiếu không quán

tính, ngoài các lực thông thƣờng ta cần phải them vào các lực quán tính theo và

quán tính cô ri ô lis của các chất điểm. Nhƣ thế, hệ phƣơng trình vi phân chuyển

động của cơ hệ trong các hệ quy chiếu không quán tính sẽ là

qtc

N

qte

N

e

N

i

NNN

qtcqteei

qtcqteei

FFFFwm

FFFFwm

FFFFwm

.........................

222222

111111

(2.14)

Việc nghiên cứu trực tiếp hệ phƣơng trình vi phân chuyển động trên đây là một

công việc rất khó khăn vì số phƣơng trình và số ẩn rất lớn (3N phƣơng trình vi phân

vô hƣớng với 6N ẩn là các toạ độ Nkzyx kkk ,...,2,1,,, ) và 3N thành phần phản lực

liên kết. Do đó, sau đây ta sẽ lần lƣợt tìm các phƣơng pháp để nhận đƣợc những

- 31 -

dạng phƣơng trình thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu chúng và áp dụng vào việc

giải quyết các bài toán thực tế.

B. THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP

II.1. Nội dung thảo luận

Vấn đề 1: Phƣơng trình vi phân của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính.

Vấn đề 2: Phƣơng trình vi phân của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.

Vấn đề 3: Phƣơng pháp giải bài toán thuận và bài toán ngƣợc.

II.2. Bài tập

Các bài toán thuận : 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 ( trang 31-32 sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ

Sanh, Lê Doãn Hồng).

Các Bài toán ngƣợc: 1.11, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.21( trang 33-36 sách

bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng).

- 32 -

Chƣơng III

Phƣơng pháp Đalămbe

- c tiêu: Trang bị cho sinh viên một phƣơng pháp hình học giải quyết bài toán

Động lực học vật rắn

- : Trình bày nội dung và ứng dụng nguyên lý Đalămbe, đƣa ra các đặc

trƣng hình học khối lƣợng của vật rắn, cách xác định phản lực ổ trục. Các định lý

động lƣợng và mômen động lƣợng.

- thu gọn hệ

lực không gian và điều kiện cân bằng của hệ lực không gian phần Tĩnh học

.

-

.

§1. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phƣơng trình tĩnh động.

1.Nguyên lý D’Alembert

2.Hệ phƣơng trình tĩnh động.

§2.Các đặc trƣng hình học khối lƣợng của vật rắn.

1. Khối tâm của cơ hệ.

2. Mô men quán tính của vật rắn

§3. Thu gọn hệ lực quán tính trong một vài chuyển động

thƣờng gặp.

1. Véctơ chính của hệ lực quán tính

2. Mô men chính của hệ lực quán tính trong một vài chuyển

động của vật rắn.

3. Phản lực ổ trục của vật rắn quay xung quanh một trục cố

định

§4. Các định lý động lƣợng và mômen động lƣợng.

1. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ.

2. Định lý động lƣợng.

3. Định lý mô men động lƣợng.

các

kiến thức cơ bản,

thảo luận các ví dụ.

Sinh viên tự nghiên

cứu cách chứng

minh các công thức.

A. LÝ THUYẾT

- 33 -

§1. NGUYÊN LÝ Đ’ALEMBERT

1. Lực quán tính.

Lực quán tính của chất điểm là một lực tƣởng tƣợng đặt vào chất điểm, có

chiều ngƣợc với chiều gia tốc và có cƣờng độ bằng tích khối lƣợng và gia tốc của

chất điểm, ký hiệu là qtF

wmF qt . (3.1)

2. Nguyên lý Đa lam be đối với chất điểm

Tại mỗi thời điểm, các lực (có thật) tác dụng lên chất điểm và lực quán tính

của chất điểm tạo thành một hệ lực cân bằng.

0),( qtFF

(3.2)

Chứng minh

Nguyên lý Đalambe có thể suy trực tiếp từ tiên

đề II Newton. Theo tiên đề này

Fwm

.

Ta chuyển vế trái sang phải và đặt qtFwm

)( , ta

đƣợc

0)( wmF

, 0qtFF

.

Đẳng thức cuối cùng này chứng tỏ các lực qtFF

, tạo thành hệ lực cân bằng.

Việc đƣa vào lực quán tính chỉ có ý nghĩa “cân bằng” hình thức trong tính

toán, vì đối với chất điểm lực quán tính đƣợc tƣởng tƣợng đặt vào chất điểm.

3 Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ.

3.1. Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ.

Tại mỗi thời điểm các lực trong, lực ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ

hệ và các lực quán tính của chúng tạo thành một hệ lực cân bằng.

0),,( qt

k

e

k

i

k FFF

. (3.3)

Chứng minh

Đối với chất điểm thứ k, ta có

0qt

k

e

k

i

k FFF

, k = N,...,2,1 (3.4)

Ta suy ra

0),,( qt

k

e

k

i

k FFF

.

3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”

Ta cộng từng vế của phƣơng trình (3.4) theo k , ta đƣợc

m

F

w

qtF

Hình 3.1

- 34 -

0)(k

qt

k

e

k

i

k FFF

.

Nhân có hƣớng hai vế của (3.4) với kr

, rồi cộng lại

0)( qt

k

e

k

i

k

k

k FFFr

.

Chú ý đến tính chất của các lực trong

0k

i

kF

, 0i

k

k

k Fr

Các phƣơng trình trên có thể viết lại dƣới dạng

0k k

qt

k

e

k FF

0k k

qt

kk

e

kk FrFr

hay đƣa vào các ký hiệu

k k

qt

k

qte

k

e FRFR

,

là vectơ chính của các lực ngoài và vectơ chính của các lực quán tính;

k k

qt

kk

qte

kk

e FrMFrM

00 ,

là mô men chính của các lực ngoài và mô men chính của các lực quán tính, các

phƣơng trình trên đƣợc viết nhƣ sau

0qte RR

(3.5)

000

qte MM

(3.6)

Hệ phƣơng trình (3.5), (3.6) đƣợc gọi là hệ phương trình tĩnh động. Hệ

phƣơng trình này về hình thức có dạng nhƣ các phƣơng trình cân bằng tĩnh học,

nhƣng thực chất nó cho ta các phƣơng trình biểu thị trạng thái chuyển động của cơ

hệ. Hệ phƣơng trình tĩnh động cho ta một phƣơng tiện để thiết lập các phƣơng trình

mà trong nhiều trƣờng hợp chúng mô tả

hoàn toàn trạng thái của cơ hệ.

Ví dụ 3. 1. Một trục máy mất cân bằng được

mô hình bằng hai chất điểm 21,MM , có

khối lượng tương ứng là 1m và 2m nằm trong

hai mặt phẳng vuông góc với nhau và chứa

trục quay, khoảng cách của chúng đối với

trục quay tương ứng bằng 1e và 2e . Trục

máy quay đều với vận tốc góc . Xác định

các phản lực tại các ổ trục A và B. Các kích

thước khác được cho trên hình vẽ. Bỏ qua

z

y

x AX

AY

AZ

BX

BY

A

B

1P

2P

a

b

c

Hình 3.2

1

qtF

2

qtF

- 35 -

ma sát tại các trục quay.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: trục AB mang các khối lƣợng;

- Các lực đặt lên hệ:

* Các lực ngoài: ),,,,,( ,21 BBAAA YXZYXPP

* Các lực quán tính: ),( 21

qtqt FF

+ 1

2

1111 emwmF qt ,

+ 2

2

2222 emwmF qt .

- Viết các phƣơng trình tĩnh động

02

qt

BAk FXXX

01

qt

BAk FYYY

021 PPZZ Ak

0)()( 111 abFcbaYePm qt

Bx

0)( 222 aFcbaXePm qt

By .

- Giải hệ phƣơng trình vừa nhận đƣợc ta có

cba

agem

cba

aemgem

cba

aFePX

qt

B

2

222

2

222222 ;

BYcba

abgem

cba

abemgem

cba

abFeP qt )()()( 2

112

2

211111 ;

cba

cbaagemem

cba

agemFXX qt

BA

)(22

222

2

2

2

222

cba

cbgemX A

)(2

22 ;

cba

cbaabgemem

cba

abgemFYY qt

BA

)()()( 22

111

2

1

2

111

cba

cgemYA

2

11 ;

gmmZ A )( 21 .

- 36 -

§2. CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT RẮN

1. Khối tâm của cơ hệ

Ta xét cơ hệ gồm N chất điểm có khối lƣợng tƣơng ứng là nmmm ,...,, 21 và vị

trí của chúng đƣợc xác định bởi các vectơ Nrrr

,...,, 21

Định nghĩa. Khối tâm của cơ hệ là một

điểm hình học C được xác định bởi vectơ Cr

theo

công thức

N

k

k

N

k

kk

C

m

rm

r

1

1

(3.7)

Đại lƣợng

MmN

k

k

1

(3.8)

đƣợc gọi là khối lƣợng của cơ hệ.

Ta lập hệ trục toạ độ Oxyz. Các toạ độ của khối tâm C đƣợc xác định theo

công thức

,1

M

xm

x

N

k

kk

C ,1

M

ym

y

N

k

kk

C M

zm

z

N

k

kk

C1 . (3.9)

ở đây, kkk zyx ,, ),...,2,1( Nk là toạ độ của chất điểm thứ k.

Đối với các cơ hệ nằm gần quả đất, mỗi chất điểm chịu tác dụng một sức hút

kp . Do gmp kk và trọng tâm G của cơ hệ đƣợc xác định bằng công thức

P

rp

r

N

k

kk

G1

nên ta suy ngay ra nó trùng với khối tâm của cơ hệ.

Trƣờng hợp riêng, khi cơ hệ là một vật rắn các công thức trên biến thành các

công thức tích phân

V

C dVrzyxM

r

),,(1

(3.10)

trong đó ),,( zyx là mật độ khối lƣợng của vật. Trƣờng hợp vật đồng chất mật độ

không đổi và bằng

V

M

O y

x

z

m1

m2

mk

mn

C

Hình 3.3

- 37 -

đƣợc gọi là khối lƣợng riêng của vật. Dễ dàng thấy rằng khi vật đồng chất và đối

xứng, nếu ta chọn O là tâm đối xứng của vật, tích phân (3.10) bằng không, t.l., khối

tâm của vật đồng chất có tâm đối xứng sẽ nằm tại tâm đối xứng của vật.

Bằng cách lý luận nhƣ vậy, ta tin rằng đối với các vật đồng chất có trục/mặt phẳng

đối xứng thì khối tâm của vật sẽ nằm trên trục/mặt phẳng đối xứng của vật.

2.Mô men quán tính của vật rắn.

Để đơn giản, ta có thể coi vật rắn là cơ hệ gồm các chất điểm có khối lƣợng

,..., 21 mm . Ta có định nghĩa

2.1.Định nghĩa

Định nghĩa 1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục Oz, ký hiệu là Jzz là bằng

tổng các tích khối lượng của các chất điểm và khoảng cách từ điểm đó đến trục

2

kkzz mJ (3.11)

trong đó k là khoảng cách từ điểm kM đến trục Oz, km

là khối lƣợng của chất điểm kM .

Trong hệ toạ độ Oxyz ,

222

kkk yx

do đó

)( 22

kkkzz yxmJ .

Tƣơng tự, ta có

)( 22

kkkxx zymJ ,

)( 22

kkkyy xzmJ .

Đơn vị của mô men quán tính là Kgm2.

Định nghĩa 2. Mô men quán tính của vật rắn đối với điểm O bằng tổng các tích

khối lượng của các chất điểm với khoảng cách từ điểm đó đến O

2222

kkkkkkO zyxmrmJ (3.12)

Trong kỹ thuật, ngƣời ta còn dung khái niệm bán kính quán tính để thay cho mô

men quán tính đối với một trục. Bán kính quán tính đối với trục Oz, ký hiệu là

z liên hệ với mô men quán tính qua công thức

2

zzz MJ (3.13)

Cùng với các mô men quán tính, ngƣời ta còn đƣa ra các đại lƣợng khác gọi

là các mô men quán tính ly tâm hay các tích quán tính

kkkyxxy yxmJJ ,

kkkzxxz zxmJJ , (3.14)

kkkzyyz yzmJJ .

Mk k

y

z

x Hình 3.4

- 38 -

2.2.Tính mô men quán tính của một số vật đồng chất.

2.2.1. Mô men quán tính của thanh

đồng chất.

Xét thanh OA đồng chất, độ dài

OA = l, khối lƣợng m. Qua A ta vẽ

trục Oz vuông góc với thanh và đi

qua đầu O của thanh.

Ta chia thanh thành các phân tố iii xxx 1 khá bé. Khi đó khối lƣợng của

phân tố thanh là

ii xm ,

trong đó là mật độ khối lƣợng của thanh. Theo định nghĩa mô men quán tính của

thanh đối với trục Oz

iiiizz xxxmJ 22 .

Tổng này với sự phân bố liên tục của các điểm đƣợc tính bằng tích phân

l l

zz

lxdxxJ

0

3

0

32

33.

Do l

M, nên công thức trên trở thành

3

2MlJ zz (3.15)

2.2.2. Mô men quán tính của vòng tròn đồng chất

Giả sử ta có một vòng trong đồng chất, khối lƣợng M, bán kính R. Khi đó, nếu ta

chia vòng tròn thành các cung nhỏ is . Dễ thấy rằng

22 mRRmJ kzz

Vậy

2mRJ zz (3.16)

2.2.3. Mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất

a) Đối với trục Oz vuông góc với đĩa và đi qua tâm đĩa. Giả sử đĩa tròn đồng chất có

bán kính R mật độ khối lƣợng là

2R

M

S

M

Ta xét một phân tố tạo dạng hình vành khăn có bán kính nhỏ là

ir và bán kính lớn là ii rr .

Mô men quán tính của hình vành khăn đối với trục Oz

theo (3.11) là:

x O A

ix

ix

z

Hình 3.5

x O

Hình 3.6

y

- 39 -

2222

iiiiiiz rrrrrmJ .

Bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, ta có

iizz rrJ 2

Do đó, mô men quán tính của tấm tròn sẽ biểu diễn bằng tích phân

24

222

2

0

4

2

3

2

0

3

0

MRr

R

Mdrr

R

MdrrJ

RRR

zz

Vậy,

2

2MRJ zz (3.17)

b) Đối với các trục Ox, Oy nằm trên đĩa, đi qua tâm đĩa.

Do các toạ độ z bằng không nên

2

kkxx ymJ ; 2

kkyy xmJ

Hơn nữa,

yyxxkkkzz JJyxmJ )( 22 .

Ta suy ra

42

1 2MRJJJ zzyyxx . (3.18)

2.2.4. Mô men quán tính của trụ tròn đồng chất.

a) Đối với trục Oz. Giả sử trụ tròn đồng chất có bán kính đáy là R, chiều cao H,

khối lƣợng M. Ta chia hình trụ thành các mặt

tròn song song với đáy với các chiều cao ih .

Ta có

2

2RmJ izz ;

ii hRm 2 ;

HR

M2

.

Do đó

ii

zz hH

MRR

HR

hRMJ

22

22

2

2

nên

iizz hH

MRh

H

MRJ

22

22

22

22 MRH

H

MR.

Vậy,

ih

O

x

Hình 3.7

C x

y’

x’

z

y

- 40 -

2

2MRJ zz (3.19)

b) Đối với các trục Ox’, Oy’ nằm trên mặt tròn vuông góc với đi qua khối tâm khối

trụ.

Ta lại xét mô men quán tính của một phân tố khối trụ đối với Cx’. Ta áp

dụng công thức

2MdJJ xCx .(*)

((*)

công thức này sẽ chứng minh ở mục sau)

Khi đó,

2

'' iixCx zmJJ 22

iixC zhRJ ;

44

222 RhRRmJ ii

x .

nên

4

22 RhR i 22

iixC zhRJ

Do đó,

22

22222

44iiii

ixC z

RzRzzR

RzRJ

2

2

32

22

2

22

2

3

1

44

H

Hi

H

H

iixC zzR

RzdzR

RJ

43

1

4883

1

4

322

3322 HHR

RHHHR

RJ xC.

Thay HR

M2

vào phƣơng trình trên ta đƣợc

2232

2

2 31243

1

4HR

MHHR

HR

MRJ xC

Vậy,

22312

HRM

JJ yCxC ; (3.20)

2.3. Các định lý về mô men quán tính của vật rắn.

Định lý 1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z bằng tổng của mô men quán

tính của vật đó đối với trục z’ đi qua khối tâm C song song với z và tích của khối

lượng M của vật đó với bình phương khoảng cách giữa hai trục.

2MdJJ zCzz (3.21)

trong đó d là khoảng cách giữa hai trục.

Chứng minh

- 41 -

Qua C ta vẽ hệ trục toạ độ Cx’y’z’

sao cho Cx’ nằm trong mặt phẳng (z, Cz’).

Ta ký hiệu các khoảng cách từ kM đến các

trục z và Cz’ tƣơng ứng là k và

k. Ta có

2

kkzz mJ ;

cos2222 dd kkk

do đó

cos222 ddmJ kkkzz

Chú ý rằng

zCkk Jm 2 ,

0cos kkkk xmm

nên thay vào công thức trên ta đƣợc

2MdJJ zCzz .

Định lý đƣợc chứng minh.

Định lý 2. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục Ol bất kỳ qua gốc toạ độ O

được tính theo công thức

.coscos2coscos2coscos2

coscoscos 222

yzxzxy

zzyyxxll

JJJ

JJJJ (3.22)

trong đó cos,cos,cos là các thành phần của vectơ đơn vị 0l

của tia Ol trong hệ

toạ độ Oxyz.

Chứng minh.

Theo định nghĩa

2

kkll dmJ2

0

2 .lOMOMm kkk

2222 coscoscos kkkkkkkll zyxzyxmJ

Chú ý rằng 1coscoscos 222 ,

hay cũng thế

222 coscoscos1 ,

222 coscoscos1 ,

222 coscoscos1

nên hệ thức trên có thể viết lại là

coscos2coscoscos 222222222

kkkkkkkkkll yxzyxzyxmJ

22222222 coscos2coscos2 kkkk zyzx

y’

z

d

k

k

kM

kM

z’

x’

Hình 3.8

- 42 -

)cos(coscoscoscoscos 222222222

kkkkll zyxmJ

coscoscoscoscoscos2 kkkkkkk zyzxyxm

Vậy

222222222 cos)(cos)(cos)( kkkkkkkkkll yxmxzmzymJ

coscos2coscos2coscos2 kkkkkkkkk zymzxmyxm

và từ đây ta suy ra công thức (3.22).

2.4. Các trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm.

2.4.1. Các định nghĩa.

Định nghĩa 1. Trục Oz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu các tích quán

tính yzxz JJ , bằng không

0yzxz JJ (3.23)

Định nghĩa 2. Trục Oz được gọi là trục quán tính trung tâm nếu nó là trục quán

tính chính và đi qua khối tâm.

Từ định nghĩa các tích quán tính, ta dễ thấy rằng nếu hai trục nào đó là các

trục quán tính chính tại O thì trục thứ ba vuông góc với hai trục trên cũng là trục

quán tính chính.

2.4.2. Giải thích hình học phân bố mô men quán tính của vật tại một điểm. Ellipxoit

quán tính.

Nhƣ đã biết, đối với mỗi trục Ol mô men quán

tính của vật rắn đƣợc biểu thị bằng công thức (3.22).

Bây giờ ta khảo sát sự thay đổi của mô men quán

tính llJ khi thay đổi hƣớng của Ol, hay nói khác đi

thay đổi các góc , và . Để có hình ảnh trực

quan, ta đặt trên trục Ol một đoạn ON

llJON

1 (3.24)

Ta biểu diễn các cô sin chỉ phƣơng của Ol qua độ dài ON và toạ độ (x, y z) của nó

llJxON

xcos ,

llJyON

ycos

llJzON

zcos

Thay vào phƣơng trình (3.22) ta đƣợc

zxJJxzJJxyJJzJJyJJxJJJ llxyllxyllxyllzzllyyllxxll 222222

x

y

z

l

O

N

Hình 3.9

- 43 -

Đơn giản hai vế cho llJ ta đƣợc

1222222 zxJxzJxyJzJyJxJ xyxyxyzzyyxx (3.25)

Phƣơng trình (3.25) biểu thị một mặt bậc hai là quỹ tích các điểm N đặc

trƣng cho mô men quán tính của vật rắn đối với trục Ol(N). Đây là mặt ellip xôit vì

khoảng cách tất cả các điểm N đến O là hữu hạn ( llJON /1 ) và gọi là ellipxoit

quán tính. Tâm của ellipxoit nằm ở gốc toạ độ (vì phƣơng trình không chứa các số

hạng bậc nhất), còn các trục đối xứng của nó là

các trục quán tính chính, còn các mô men đối với

các trục này gọi là mô men quán tính chính.

Nếu ta sử dụng các trục quán tính chính

làm các trục toạ độ, phƣơng trình ellipxoit có dạng

đơn giản

1222 ZJYJXJ ZZYYXX.

§3. THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH

TRONG MỘT VÀI CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Khi áp dụng phƣơng pháp tĩnh động ta cần đặt các lực quán tính của các chất

điểm của cơ hệ để viết các phƣơng trình tĩnh động. Tuy nhiên, việc này chỉ thích

hợp đối với các cơ hệ có một số hữu hạn chất điểm, còn đối với các cơ hệ có rất

nhiều chất điểm ta cần phải thu gọn hệ lực quán tính để đƣợc các hệ lực đơn giản

hơn.

Từ lý thuyết thu gọn hệ lực ta biết rằng, một hệ lực trong trƣờng hợp tổng

quát sẽ tƣơng đƣơng với một lực và một ngẫu lực. Lực thu gọn bằng vectơ chính

của hệ lực, t.l. bằng tổng vectơ các lực thành phần, còn ngẫu lực có mô men bằng

mô men chính của hệ lực đối với tâm thu gọn t.l. bằng tổng mô men của các lực đối

với tâm thu gọn. Ta áp dụng lý thuyết này để thu gọn hệ lực quán tính của một vài

chuyển động hay gặp nhất của vật rắn.

1. Vectơ chính của hệ lực quán tính.

Theo định nghĩa, vectơ chính của hệ lực quán tính là

Ckk

qt

k

qt wMwmFR

.

Vậy, vectơ chính của hệ lực quán tính trong mọi trƣờng hợp luôn luôn tính

bằng tích khối lƣợng của hệ với gia tốc khối tâm của hệ với dấu ngƣợc lại:

C

qt wMR

(3.26)

X

Y

Z

O

Hình 3.10

- 44 -

2. Mô men chính của các lực quán tính trong một vài chuyển động của vật rắn.

2.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến.

Theo tính chất của vật rắn chuyển động tịnh

tiến, gia tốc của mọi điểm đều bằng nhau, nên

wwk

không phụ thuộc chỉ số k. Do vậy, ta lấy tâm thu gọn

là khối tâm C, ta đƣợc

0wrwrmwmrwmrM Ckkkk

qt

Ctt

.

Nhƣ vậy, thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động tịnh tiến về khối tâm

C của vật ta được một lực quán tính đặt tại khối tâm xác định bằng công thức (3.26)

còn mô men chính của các lực quán tính bằng không.

2.2. Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định với vận

tốc góc và gia tốc góc .

Để tìm biểu thức của mô men chính của các lực quán tính,

ta đƣa vào khảo sát hệ toạ độ đề các Oxyz . Khi đó đối với điểm

kM bất kỳ của vật sẽ đƣợc xác định bằng vectơ bán kính kr

có các

thành phần ),,( kkk zyx . Thu gọn hệ lực quán tính về gốc toạ độ O,

ta đƣợc

n

kkkkkkk

qt wwrmwmrM

0

)( kkkkkk rrmrrm

))(())(.( 22

kkkkkkkk rrrmrrrm

)()))(().(( 222

kkkkzkykxkkkkk zrmzezeyexzyxm

))(()( 222

xkkykkkykkkxkkkzkkk ezyezxmezymezxmeyxm

Cuối cùng, với chú ý

yzkkkxzkkkzzkkk JzymJzxmJyxm ,,)( 22

ta nhận đƣợc

zzzyxzyzxyzxz

qt eJeJJeJJM

)()( 22

0 .

(3.28)

Nhƣ vậy, thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn

chuyển động quay về một tâm nằm trên trục quay ta được

C

Hình 3.11

kw

n

kw

kr

O

Hình 3.12

C

qt

CR

qt

CM

Hình 3.13

z’

x’

y’

- 45 -

một lực quán tính xác định bằng công thức (3.23) và một mô men chính xác định

bằng công thức (3.24).

2.3. Vật chuyển động song phẳng.

Trong trƣờng hợp vật chuyển động song phẳng, ta chọn điểm thu gọn là khối

tâm. Khi đó bằng cách tính toán hoàn toàn tƣơng tự, ta nhận đƣợc các kết quả thu

gọn hệ lực quán tính về khối tâm: Hệ lực quán tính của vật thực hiện chuyển động

song phẳng thu về một lực quán tính đặt tại khối tâm theo công thức (3.23) và một

mô men chính đối với khối tâm xác định bằng công thức

zzzyxzyzxyzxz

qt

C eJeJJeJJM

)()( 22 , (3.29)

trong đó zzyzxz JJJ ,, là các tích quán tính và mô men quán tính của vật đối với hệ

trục gắn vào khối tâm của vật.

Thông thƣờng ta hay gặp các vật chuyển động song phẳng là các tấm phẳng

chuyển động. Khi đó, nếu lấy trục Cz vuông góc với tấm, các tích quán tính bằng

không vì 0kz , nên mô men chính của các lực quán tính có dạng đơn giản

zzz

qt

C eJM

(3.30)

Ví dụ 3.2. Một dây treo vật nặng có trọng lượng Q quấn

vào một tang tời có trọng lượng P, bán kính r. Bỏ qua

khối lượng dây và cho rằng ma sát tại ổ trục của tời tạo

ra ngẫu lực cản có mô men tỷ lệ thuận với vận tốc góc

của tăng tời: CM . Hãy xác định vận tốc góc của

tang tời khi vật nặng rơi xuống theo phương thẳng đứng

từ trạng thái đứng yên. Cho biết bán kính quán tính của

tang tời đối với trục quay của nó là .

Bài giải

Cơ hệ khảo sát gồm bộ tời và vật nặng A

Các lực ngoài: ),,,( 0RMQP ms

Các lực quán tính ( qtqt RM

, ),

2

0g

QJM qt , r

g

Pw

g

PR A

qt ,

Phƣơng trình tĩnh động có dạng

0PrrRMM qt

ms

qt

0Pr 2

2 rPgg

Q

gQ

rP

dt

d22 Pr

,

A

O

Q

0R

P

qtM

msM

qtR

Hình 3.14

- 46 -

22 PrQ

gdt

rP

d

Phƣơng trình vừa viết là phƣơng trình vi phân chuyển động của hệ. Để tìm sự biến

thiên của vận tốc góc, ta cần đƣa vào các điều kiện ban đầu rồi tích phân phƣơng

trình trên

Điều kiện ban đầu: 00,0t (c)

Tích phân hai vế phƣơng trình chuyển động ta đƣợc

'lnPr

Prln1

22Ct

Q

g

CtQ

gln

Pr)ln(Pr

22

Nâng hai vế lên mũ cơ số e

t

Q

g

Ce22 PrPr .

Thay điều kiện ban đầu (c) ta đƣợc PrC

Vậy,

t

Q

g

e22 PrPrPr

Giải phƣơng trình vừa nhận đƣợc đối với ta đƣợc

t

Q

g

e22 Pr1

Pr.

Nhận xét, khi t , 022 Pr

tQ

g

e , Pr

. Do hàm 022 Pr

tQ

g

e rất nhanh nên ta

có thể thấy ý nghĩa của hệ thức này là sau một khoảng thời gian không lớn vận tốc

góc Pr

. Vì vậy ta gọi giá trị Pr

là vận tốc góc giới hạn của vật.

Ví dụ 3.3. Một đĩa tròn đồng chất trọng lượng P bán kính r chuyển động trên mặt

phẳng nghiêng nhám. Cho biết hệ số ma sát tĩnh giữa đĩa và mặt đường là f0 và hệ

số ma sát động là f. Tìm gia tốc của tâm C đĩa. Với

điều kiện nào thì đĩa chuyển động lăn không trượt.

Bài giải

Ta giải bài toán này bằng cách áp dụng Nguyên lý

D’Alembert.

- Vật khảo sát: Đĩa tròn chuyển động trên mặt

nghiêng

- Đặt các lực ngoài và các lực quán tính

+ Lực ngoài: msFNP

,, đƣợc biểu thị trên hình vẽ.

C

P

N

msF

y

Cw

qt

CM

qt

CF

x

Hình 3.15

- 47 -

+ Lực quán tính. Ta thu gọn hệ lực về khối tâm C.

Lực quán tính: C

qt

C wg

PF

;

Mô men chính của các lực quán tính: C

qt

C JM .

- Viết các phƣơng trình tĩnh động

0sin qt

Cmsk FFPX

0cos NPYk

0qt

CmsC MrFm .

a) Trƣờng hợp vật lăn không trƣợt.

Ta có

fNFms;

rwC.

Thay các hệ thức này vào phƣơng trình trên ta nhận đƣợc

0sin Cms wg

PFP

cosPN ;

02

Pr 2

grFms hay là 0

2Cms w

g

PF .

Giải hệ phƣơng trình này ta có

02

3sin Cw

g

PP , gwC

3

sin2.

3

sin

3

sin2

22

Pg

g

Pw

g

PF Cms

Điều kiện lăn không trƣợt là

cosfPFms . cos3

sinfP

P.

Vậy

f3tan .

b) Trƣờng hợp có trƣợt (không thoả mãn bất đẳng thức cuối cùng)

Trong trƣờng hợp này lực ma sát đạt đƣợc giá trị giới hạn của nó,

cosfPfNFms .

Phƣơng trình đầu của hệ phƣơng trình tĩnh động trở thành

0cossin Cwg

PfPP ,

gfwC )cos(sin .

- 48 -

Chú ý :Trong trƣờng hợp này giữa gia tốcCw và gia tốc góc không còn đúng quan

hệ rwC. Phƣơng trình cuối của hệ phƣơng trình tĩnh động cho ta tìm đƣợc gia tốc

góc.

Ví dụ 3.4.

Thanh mảnh đồng chất AB có độ dài l trọng lượng P được buộc đầu B vào

sợi dây treo thẳng đứng BD, đầu A tựa trên nền nhẵn nằm ngang, tạo với phương

ngang góc 0

0 45 . Tại một thời điểm nào đó, sợi dây bị đứt làm thanh bắt đầu

chuyển động. Xác định phản lực của nền tại đầu A.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: thanh AB sau khi dây bị đứt.

- Lực ngoài: NP

, .

- Các lực quán tính ( qt

C

qt MR

, )

C

q wMR

, CC

qt

C JJM , 12

2MlJC .

Ta sẽ chọn gốc toạ độ tại hình chiếu của khối tâm xuống phƣơng nằm ngang,

trục Ox nằm ngang, còn trục Oy thẳng đứng nhƣ hình vẽ.

- Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của thanh có dạng

0CxM (a)

0CyMNP (b)

.012

cos2

2

Mll

N (c)


0)0(,)0(;0)0()0(,0 CC xxt

Từ phƣơng trình đầu, ta có

21 CtCxC

A

B

D

A

B

x P

N

C C

x

y

Hình 3.16

y

- 49 -

nên dựa vào các điều kiện ban đầu ta suy ra 00

CC xx

Hai phƣơng trình (b) và (c) chứa 3 ẩn ,Cy và N . Tuy nhiên, ta có các liên hệ

sin2

lyC

cos2

l

yC , sin2

cos2

2ll

yC .

Thay các hệ thức này vào (b) và (c) ta đƣợc

PNMl

sincos2

2 , (b’)

cos212

2 lN

Ml . (c’)

Nhân phƣơng trình (c’) với cos6 rồi cộng vào phƣơng trình (a’) ta đƣợc

22 cos3sin2

NPNMl

Suy ra

.cos31

sin2

2

2Ml

P

N (d)

Tại lúc dây vừa đứt ta có

.cos31 2

PN

Phƣơng trình chuyển động của thanh đƣợc tính theo góc :

coscos312

sin2

12 2

22

MlP

lMl

(e)

3. Phản lực ổ trục của các vật quay xung quanh một trục cố định.

3.1. Phương trình chuyển động của vật và các phương trình xác định phản lực ổ

trục.

Ta xét vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định chịu tác dụng

của hệ lực hoạt động nFFF

,...,, 21 . Ký hiệu các phản lực tại các ổ trục A và B tƣơng

ứng là AAA ZYX ,, và BB YX , . Các lực quán tính là C

qt wMF

0 và mô men chính của

các lực quán tính là qtM 0

. Nhƣ đã biết mô men này đƣợc xác định bằng công thức

(3.28)

- 50 -

zzzyxzyzxyzxz

qt eJeJJeJJM

)()( 22

0

Áp dụng hệ phƣơng trình tĩnh động ta có đƣợc hệ

phƣơng trình

01

CxBA

n

k

k MwXXX

01

CyBA

n

k

k MwYYY

01

A

n

k

k ZZ , (3.31)

0)()( 2

1

xzyzB

n

k

kx JJhYFm

0)()( 2

1

yzxzB

n

k

ky JJhXFm

,

0)(1

z

n

k

kz JFm

Phƣơng trình cuối cùng

0)(1

z

n

k

kz JFm

là phương trình chuyển động của vật rắn, năm phƣơng trình đầu là các phương

trình xác định các phản lực ổ trục.

Các phản lực động lực. Điều kiện để phản lực động bằng phản lực “tĩnh”.

Bây giờ ta xét xem khi vật chuyển động các phản lực ở trạng thái chuyển

động, đƣợc gọi là các phản lực động khác với phản lực xuất hiện tại các ổ trục khi

vật không chuyển động, đƣợc gọi là các phản lực “tĩnh”. Muốn vậy, ta viết các phản

lực dƣới dạng tổng hai thành phần: thành phần phản lực động lực có ký hiệu bằng

chỉ số trên bởi chữ (d) và thành phần phản lực “tĩnh” có ký hiệu bằng chỉ số trên bởi

chữ (t) :

)()( t

k

d

kk XXX , )()( t

k

d

kk YYY .

Hơn nữa, ta có

2

zCyCxCCzCyCxCz

CCC

ezeyexzezeyexe

rrw

yCCxCCyCxCxCyCC exyeyxeyexeyexw

)()()()( 222

Thay các biểu thức này vào 5 phƣơng trình đầu của (3.31) ta đƣợc:

0)( 2)()()()(

1

CC

t

B

d

B

t

A

d

A

n

k

k yxMXXXXX

1F

kF

AX

AY

BX

BY

Hình 3.17

AZ

- 51 -

0)( 2)()()()(

1

CC

t

B

d

B

t

A

d

A

n

k

k xyMYYYYY

01

A

n

k

k ZZ ,

0)()()( 2)()(

1

xzyz

d

B

d

B

n

k

kx JJhYYFm

0)()()( 2)()(

1

yzxz

d

B

d

B

n

k

ky JJhXXFm

,

Do tính tuyến tính của hệ phƣơng trình nên ta có thể tách ra thành hai hệ phƣơng

trình tuyến tính sau

0)( 2)()(

CC

d

B

d

A yxMXX

0)( 2)()(

CC

d

B

d

A xyMYY (3.32)

0)( 2)(

xzyz

d

B JJhY

0)( 2)(

yzxz

d

B JJhX ;

và hệ phƣơng trình

0)()(

1

t

B

t

A

n

k

k XXX

)()(

1

t

B

t

A

n

k

k YYY

01

A

n

k

k ZZ , (3.33)

0)( )(

1

hYFm t

B

n

k

kx

0)()( 2)(

1

yzxz

t

B

n

k

ky JJhXFm

.

Hệ phƣơng trình thứ hai cho ta xác định các phản lực “tĩnh”, t.l. các phản lực

chỉ do các lực hoạt động tạo ra nhƣ vật ở trạng thái tĩnh, còn hệ phƣơng trình đầu

cho ta xác định các phản lực động lực chỉ do các đặc trƣng chuyển động của vật tạo

ra. Các phản lực này có khi rất lớn và gây ra nhiều sự cố khi vận hành các thiết bị

có các vật chuyển động quay nhƣ các tuyếc bin, các động cơ, các trục máy v.v… .

Vì vậy đây là loại phản lực cần đƣợc loại bỏ nếu có thể loại đƣợc.

Để đạt đƣợc mong muốn đó ta hãy viết hệ phƣơng trình đầu dƣới dạng

)( 2)()(

CC

d

B

d

A yxMXX

)( 2)()(

CC

d

B

d

A xyMYY

)( 2)(

xzyz

d

B JJhY

)( 2)(

yzxz

d

B JJhX .

- 52 -

Rõ ràng, điều kiện để các phản lực động lực đều bằng không là

0)( 2

CC yxM

0)( 2

CC xyM

0)( 2

xzyz JJ

0)( 2

yzxz JJ .

Từ hai phƣơng trình đầu của hệ cuối cùng ta suy ra

0CC yx , (3.34)

t.l. khối tâm của vật nằm trên trục quay, còn từ hệ hai phƣơng trình sau ta suy ra

0yzxz JJ , (3.35)

t.l. trục quay là trục quán tính chính.

Nhƣ vậy để các ổ trục của vật quay không xuất hiện các phản lực động lực,

hay nói cách khác, phản lực động của các ổ trục bằng phản lực “tĩnh” thì trục quay

phải là trục quán tính chính trung tâm.

§4. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƯỢNG VÀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

1. Định lý chuyển động khối tâm

Định lý. Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm tại đó tập trung toàn

bộ khối lượng của cơ hệ dưới tác dụng của các lực ngoài.

e

kC FwM

(3.36)

Chứng minh.

Theo Nguyên lý D’Alembert ta có:

0qte RR

,

Chú ý rằng e

k

e FR

, còn C

qt wMR

, nên thay vào phƣơng trình trên rồi chuyển

vế ta nhận đƣợc

e

kC FwM

.

Định lý đƣợc chứng minh.

2. Định lý động lƣợng

Ta biết rằng, dt

vdw C

C

. Thay biểu thức này vào (3.29) ta đƣợc

e

kC FvMdt

d )( .

Đại lƣợng

CvMQ

(3.37)

- 53 -

đƣợc gọi là động lƣợng của cơ hệ. Do vậy định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ

còn có thể phát biểu dƣới dạng khác gọi là định lý động lƣợng

Đạo hàm động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng các lực ngoài tác

dụng lên các chất điểm của cơ hệ.

e

kFdt

Qd

(3.38)

Theo định nghĩa khối tâm

kkC rmrM

,

Nên nếu đạo hàm đẳng thức này theo thời gian, động lƣợng của cơ hệ còn có thể

biểu thị qua động lƣợng của từng chất điểm của nó

kkkC qrmrMQ

,

trong đó ta đã đƣa vào ký hiệu

vkkkk vmrmq

(3.39)

gọi là động lượng của chất điểm thứ k.

Nhân hai vế của (3.38) với dt, ta đƣợc

e

k

e

k dSdtFQd

(3.40)

Đại lƣợng

dtFdS e

k

e

k

(3.41)

gọi là xung lƣợng yếu tố của lực e

kF

. Dƣới dạng (3.40) định lý động lƣợng còn có

thể phát biểu

Vi phân động lượng của cơ hệ bằng tổng các xung lượng yếu tố của các lực

ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ

e

k

e

k dSdtFQd

(3.42)

Dễ thấy rằng, khi 0e

kF

, 0QQ

. Ta nói rằng động lƣợng của cơ hệ bào

toàn giá trị của nó trong quá trình chuyển động.

Ví dụ 3.5. Một dòng chất lỏng lý tưởng đồng nhất

không nén được chảy qua ống dẫn có khuỷu đổi

hướng với góc . Lưu lượng khối của dòng chảy là

m kg/s. Cho biết vận tốc ở tiết diện vào và ra tương

ứng là 1v , 2v . Tính áp lực của ống lên gối đỡ, bỏ

qua trọng lực chất lỏng và các áp suất thuỷ tĩnh

Bài giải

Cơ hệ khảo sát: Khối chất lỏng abcd.

Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ: R

1v

a b

d

a’ b’

c’

d’

c

1Q

2Q

3Q

2v

Hình 3.18

- 54 -

Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng

dtRQQQd

12

Ta xét khoảng thời gian dt khá bé

21

1 QQabcdQQ

32

2 '''' QQdcbaQQ

.

23

12 QQQQ

23

3 vmQ

; 11

1 vmQ

.

Do chất lỏng không nén đƣợc, nên mdtmm 31

Vậy ta có phƣơng trình

dtRvvmdt

12

hay là

cos2mvRx

sin21 vvmRy

Ví dụ 3.6. Một vật A có trọng lượng P nằm trên mặt phẳng nghiêng của hình lăng

trụ trọng lượng Q góc nghiêng . Ban đầu hệ đứng yên, sau đó vật A bắt đầu trượt

xuống. Xác định vận tốc của vật B nếu vận tốc tương đối của vật A đối với mặt

phẳng nghiêng là u. Bỏ qua các lực ma sát.

Bài giải

- Khảo sát cơ hệ gồm lăng trụ và vật nặng A.

- Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ:

NQP

,, .

Ta thấy 0kX .

- Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng

0

xx QQ .

Tính xQ

AALT vg

Pv

g

QQQQ

(a)

Do A chuyển động trên mặt lăng trụ nên

erA vvav

)( ; uvr

, vve

.

Vậy, vuavA

)( .

Thay vào công thức (a) ta đƣợc

)( vug

Pv

g

QQ

.

Q

N

P

u

Hình 3.19

A

B v

v

- 55 -

Chiếu đẳng thức này xuống các trục x và y ta đƣợc

)cos( vug

Pv

g

QQx .

Theo đầu bài ra, lúc đầu hệ đứng yên nên 0.,.,0 0

0 xQltQ

.

Vậy ta có phƣơng trình

cosug

Pv

g

PQ

Giải ra ta đƣợc

cosuQP

Pv (b)

3. Định lý mômen động lƣợng

3.1. Định lý mô men động lượng.

Từ phƣơng trình “tĩnh động” đối với mô men

0)()( 00

qt

k

e

k FmFm

, (3.43)

nếu ta chọn O là điểm cố định, đối với tổng mô men của các lực quán tính có thể

viết

kkkkkk

qt

kk

qt

k

qt wmrwmrFrFmM

)()(00

Chú ý rằng dt

vdw k

k

, ta có:

)()(0 kkkkkk

kkkk

kk

qt vmrdt

dvm

dt

rdvmr

dt

d

dt

vdmrM

vì O là điểm cố định nên kk v

dt

rd

, kéo theo số hạng thứ hai trong đẳng thức trên

bằng không. Vậy

kkkkk

qt qrdt

dvmr

dt

dM

0

Nhƣ vậy, mô men chính của các lực quán tính đối với điểm cố định O bằng đạo hàm

theo thời gian của tổng các mô men động lƣợng của chất điểm thứ k đối với điểm O

lấy với dấu ngƣợc lại. Đại lƣợng này gọi là mô men động lượng của cơ hệ đối với

điểm O, ký hiệu là 0L

:

kk qrL

0 (3.44)

Nhƣ thế, thay vào phƣơng trình “tĩnh động” (3.43), ta đƣợc

)(000 e

k

e FmMdt

Ld

(3.45)

Đẳng thức cuối cùng này biểu thị định lý mô men động lƣợng sau đây

- 56 -

Định lý: Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng của cơ hệ đối với điểm cố

định O bằng tổng mô men các lực ngoài tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đối

với điểm cố định đó.

Trong trƣờng hợp tổng mô men của các lực ngoài đối với điểm cố định O

bằng không ta có constLL 0

00

. Ta nói rằng mômen động lƣợng của cơ hệ bảo

toàn hay giữ nguyên giá trị không đổi trong suốt quá trình chuyển động.

3.2. Mô men động lượng của cơ hệ đối với một trục.

Hình chiếu của mô men động lƣợng lên các trục toạ độ có dạng

.)(

),(

),(

0

0

0

kkkkkz

kkkkky

kkkkkx

xyyxmL

zxxzmL

yzzymL

(3.46)

Các thành phần này cũng đƣợc gọi là mô men động lượng của cơ hệ tương ứng đối

với các trục Ox, Oy, Oz.

Ví dụ 3.7. Tính mô men động lượng của vật rắn quay xung quanh một trục cố định

đối với trục quay Oz.

Nhƣ đã biết, phƣơng trình chuyển động của các điểm thuộc vật rắn quay

xung quanh một trục cố định có dạng

constzzdydx kkkkkkkk

0),sin(),cos( ,

0),cos(),sin( kkkkkkk zdydx .

Do đó

zkkkkkkz JdmdmL 2222

0 )(sin)(cos .

Vậy

zz JL0 (3.47)

Ví dụ 3.8. Hai trục máy có đường trục trùng nhau quay đều với vận tốc góc 1 và

2 . Tại một thời điểm nào đó người ta nối hai trục máy với nhau nhờ bộ ly hợp.

Tìm vận tốc góc của trục máy sau khi chúng được nối với nhau.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: Hai trục quay

Hình 3.20

- 57 -

Các lực ngoài tác dụng lên hệ có tổng mô men đối với trục quay bằng không

ví các trục quay đều.

Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lƣợng, ta có

zz LL0

.2211

0

)2(

0

)1(

0 JJLLL zzz

)( 2121)2()1( JJJJLLL zzz

vì hai trục đã đƣợc nối với nhau.

Thay các giá trị của mô men động lƣợng vào (a) ta đƣợc

2211 JJ )( 21 JJ

Do đó

21

2211

JJ

JJ.



Vấn đề 1: Cách xác định lực quán tính và kết quả khi thu gọn hệ lực quán

tính.

Vấn đề 2: Nguyên lý D’Alembert và ứng dụng.

Vấn đề 3: Định lý chuyển động khối tâm

Vấn đề 4: Định lý biến thiên động lƣợng

Vấn đề 5: Định lý mômen động lƣợng

II.2. Bài tập

o Định lý biến thiên động lượng: 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7(trang 88→89,

sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)

o Định lý chuyển động khối tâm:2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.15, 2.16

(trang 90→92, sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)

o Định lý mô men động lượng: 2.19, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26

(trang 94→97, sách bài tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng)

o Nguyên lý D’Alembert: 4.3, 4.4, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.11 (trang

159→163),

6.3, 6.4, 6.7, 6.8, 6.10, 6.11, 6.12, 6.25, 6.26 (trang 231→241), sách bài

tập Cơ học (tập 2)-Đỗ Sanh-Lê Doãn Hồng.

- 58 -

Chƣơng IV

Phƣơng pháp Lagrange

- : Trang bị cho sinh viên một phƣơng pháp năng lƣợng giải quyết bài toán

Động lực học vật rắn

- : Tìm hiểu các liên kết, phân loại liên kết, các khái niệm về di chuyển

khả dĩ, số bậc tự do của cơ hệ, công khả dĩ, lực suy rộng, cách tính động năng, thế

năng của cơ hệ. Thiết lập và ứng dụng phƣơng trình Lagrange loại II.

-

.

-

.


1.Liên kết và phân loại các liên kết

2.Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

3.Toạ độ suy rộng


5.Liên kết lý tƣởng.

§2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

1.Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

2.Định lý động năng

2.1. Định lý động năng

2.2. Động năng của vật rắn chuyển động

§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.

1.Vị trí cân bằng của cơ hệ


3. Các ví dụ

§4. Phƣơng trình Lagrange loại II.

1.Phƣơng trình Lagrange loại II.

2.Biểu thức của động năng trong các tọa độ suy rộng.

3.Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế

4.Các tích phân chuyển động.

phần lý

thuyết cơ bản, thảo

luận các ví dụ, sinh

viên tự nghiên cứu tài

liệu cách chứng minh

các định lý, công thức.

- 59 -

A. LÝ THUYẾT

§ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết.

1.1. Cơ hệ không tự do.

Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các chất điểm của nó có thể thực hiện những di

chuyển vô cùng bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận. Ngƣợc lại, có các cơ hệ trong đó

các chất điểm của nó chịu các ràng buộc bởi một số các điều kiện hình học và động

học. Những ràng buộc đó làm cho các chất điểm không thể thực hiện các di chuyển

vô cùng bé một cách tuỳ ý sang các vị trí lân cận đƣợc. Các cơ hệ nhƣ thế gọi là các

cơ hệ không tự do.

Ví dụ : cơ cấu bốn khâu bản lề là một cơ

hệ không tự do, những điều kiện ràng buộc ở đây

là: điểm A chỉ có thể chuyển động trên vòng tròn

tâm O bán kính là OA; điểm B chỉ có thể chuyển

động trên vòng tròn tâm O1 bán kính O1B;

khoảng cách AB luôn luôn không đổi. Đó là các

điều kiện hình học.

1.2. Liên kết và phân loại các liên kết.

1.2.1. Liên kết

Các điều kiện ràng buộc lên vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ

đƣợc gọi là các liên kết. Cơ học giải tích biểu thị các liên kết bằng các biểu thức

toán học. Nói chung, biểu thức toán học biểu thị liên kết là những bất phƣơng trình

hoặc phƣơng trình có dạng

0),,...,,,,...,,( 2121 trrrrrrf NN

, s,...,2,1 (4.1)

trong đó: , 1,kr k N là véc tơ định vị, , 1,kr k N là véctơ vận tốc của các chất điểm thuộc

hệ, t là thời gian, s là số liên kết.

Hay biểu thức (4.1) thƣờng viết ngắn gọn

0),,( trrf kk

Hoặc còn đƣợc viết dƣới dạng toạ độ

0),,,,,,( tzyxzyxf kkkkkk (4.2)

Ví dụ 4.1. Phương trình liên kết đối với con lắc toán học

phẳng

x O

O1

A B

y

Hình 4.1

O

A

l

y

x

Hình 4.2

- 60 -

Ta ký hiệu toạ độ của điểm A là ),,( zyx . Ta có phƣơng trình

222 lyx .

0z

Ví dụ 4.2. Viết phương trình liên kết đối với cơ cấu bốn khâu bản lề

Ta ký hiệu toạ độ của điểm A là ),,( AAA zyx ,

của điểm B là ),,( BBB zyx .Ta có các phƣơng

trình sau:

2 2 2

22 2

2 2 2

1

0

( ) 0

( ) 0

0

0

A A

B A B A

B B

A

B

x y OA

x x y y AB

OO x y OB

z

z

Ví dụ 4.3. Viết phương trình liên kết cho một chất điểm nằm trên một mặt cầu tâm

O bán kính R = R(t)

Do chất điểm luôn luôn nằm trên mặt cầu nên các toạ độ ),,( zyx của nó phải

thoả mãn phƣơng trình mặt cầu

)(2222 tRzyx .

Ví dụ 4.4. Viết phương trình liên kết cho cơ hệ là quả cầu bán kính R chuyển động

lăn không trượt trên một mặt phẳng.

Gọi véctơ vận tốc góc của quả

cầu là

và hình chiếu của nó

lên hệ trục C là x , y ,

z . Vận tốc điểm A, nhƣ đã

biết, đƣợc tính theo công thức

rvv CA

trong đó r

là vectơ nối từ C

đến A. Do chuyển động lăn

không trƣợt nên 0Av

. Vậy

ta có phƣơng trình vectơ

0rvC

Chiếu phƣơng trình này lên hệ trục toạ độ C ta đƣợc

0yC Rx , 0xC Ry , 0Cz .

x O

O1

A B

y

Hình 4.3

O

C

x

y z

A x

y

z

Hình 4.4

- 61 -

Chú ý rằng các thành phần của vectơ vận tốc góc lên hệ trục C đƣợc tính theo

công thức

cossinsin x ,

sinsincos y

cosz .

Thay các công thức này vào các phƣơng trình hình chiếu vận tốc của điểm A ta

đƣợc

0)sinsincos( RxC ,

0)cossinsin( RyC ,

0Cz

Đó là các phƣơng trình liên kết đối với quả cầu lăn không trƣợt trên mặt phẳng.

1.2.2. Phân loại liên kết.

Dựa vào dạng biểu thức toán học biểu diễn liên kết ta phân loại các liên kết nhƣ sau:

Liên kết giữ và không giữ. Nếu liên kết biểu diễn bằng các phƣơng trình thì

liên kết đƣợc gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía, còn biểu diễn bằng bất

phƣơng trình thì liên kết đƣợc gọi là liên kết không giữ hay liên kết một phía.

Vậy các liên kết giữ biểu diễn bằng các phƣơng trình

0),,,,,,( tzyxzyxf kkkkkk (4.3)

Liên kết dừng và không dừng. Nếu phƣơng trình liên kết không chứa hiện

thời gian thì liên kết gọi là liên kết dừng (scléronome), còn nếu chứa hiện

thời gian thì liên kết gọi là không dừng (réonome).

Liên kết hôlônôm và không hôlônôm. Nếu phƣơng trình liên kết không chứa

các yếu tố vận tốc, hoặc có chứa các yếu tố vận tốc, nhƣng có thể biến đổi về

dạng phƣơng trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc, phương trình liên

kết loại này gọi là phương trình khả tích và liên kết đƣợc gọi là liên kết

hôlônôm. Trong trƣờng hợp trái lại, khi phƣơng trình liên kết chứa hiện các

yếu tố vận tốc bất khả tích thì liên kết gọi là liên kết không hôlônôm. Ví dụ

4.4 cho ta một cơ hệ chịu liên kết không hôlônôm.

Các cơ hệ cũng thƣờng đƣợc gắn tên của liên kết. Ta nói cơ hệ hôlônôm là các cơ

hệ chịu các liên kết hôlônôm, và nói cơ hệ không hôlônôm, t.l cơ hệ chịu cả các liên

kết không hôlônôm.

Trong các bài giảng này, ta chỉ nghiên cứu các hệ hôlônôm, chịu các liên kết

giữ, còn các cơ hệ không hôlônôm đƣợc trình bày trong các chuyên khảo riêng về

Cơ học giải tích. Nhƣ thế các phƣơng trình liên kết sẽ nhận dạng

- 62 -

0),,,( tzyxf kkk, m,...,2,1 (4.4)

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ.

2.1. Di chuyển khả dĩ.

Định nghĩa 1. Di chuyển khả dĩ của chất điểm, ký

hiệu ,r

là di chuyển vô cùng bé tại thời điểm cho

trước mà liên kết cho phép.

Ví dụ 4.5. Xét di chuyển khả dĩ của chất điểm ở trên

mặt. Ta thấy do đặc điểm của liên kết, di chuyển của

chất điểm là các vectơ vô cùng bé trên mặt. Các

vectơ này nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt.

Ví dụ 4.6. Xét di chuyển khả dĩ của chất điểm trong

con lắc toán học. Trong trƣờng hợp này các vectơ di

chuyển của chất điểm vuông góc với OM (tiếp xúc

với vòng tròn tâm O bán kính l )

Định nghĩa 2. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập hợp

các di chuyển khả dĩ của các chất điểm của cơ hệ

tại thời điểm khảo sát.

,..),...,,( 21 Nrrr

.

Ví dụ 4.7. Xét di chuyển khả dĩ của cơ cấu tay

quay – con trượt.

Trong trƣờng hợp này, các chất điểm của cơ cấu

có các di chuyển nhƣ hình 38.

Nhƣ vậy, các di chuyển khả dĩ của cơ hệ bị ràng

buộc bởi kết cấu của cơ hệ theo những quy luật

hình học xác định. Chính những quy luật này tạo

ra sự khác biệt về khả năng chuyển động của cơ

hệ này và cơ hệ khác. Những quy luật này, về

mặt toán học đƣợc biểu thị bởi các phƣơng trình.

Đó là các phƣơng trình đối với các di chuyển khả

dĩ.

2.2. Các di chuyển thực và các di chuyển khả dĩ.

r

Hình 4.5

r

Hình 4.6

O

A

P

Mr

M

Hình 4.7

- 63 -

Giả sử cơ hệ chịu các liên kết hô lô nôm, giữ (4.4). Hệ thực hiện một di

chuyển khả dĩ

NNNN zyxzyxzyxrrr ,,,...,,,,,,),...,,( 22211121

,

ở đây, ta ký hiệu ),,( kkk zyx là các thành phần của vectơ di chuyển khả dĩ kr

,

Nk ,...,2,1 và gọi là các biến phân của các toạ độ. Do liên kết cho phép nên di

chuyển khả dĩ này phải thoả mãn phƣơng trình liên kết, t.l. thoả mãn phƣơng trình

0),,,( tzzyyxxf kkkkkk (4.5)

Trừ (4.5) vào (4.4) rồi khai triển thành chuỗi luỹ thừa và chỉ viết ra các số hạng bậc

nhất ta đƣợc

),,,(),,,( tzyxftzzyyxxf kkkkkkkkk

N

k

k

k

k

k

k

k

zz

fy

y

fx

x

f

1

0... .

Bây giờ ta chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất, ta nhận đƣợc phƣơng trình cho các di

chuyển khả dĩ

,01

N

k

k

k

k

k

k

k

zz

fy

y

fx

x

f m,...,2,1 (4.6)

Nhƣ thông thƣờng, ta ký hiệu di chuyển thực của cơ hệ là ,krd

Nk ,...,2,1 .

Đƣơng nhiên, các di chuyển thực xảy ra theo thời gian dt . Vì vậy, chúng thoả mãn

phƣơng trình

0),,,( dttdzzdyydxxf kkkkkk (4.7)

Ta lại trừ (4.7) vào (4.4) rồi khai triển thành chuỗi luỹ thừa và chỉ giữ lại các số

hạng bậc nhất la đƣợc phƣơng trình cho các di chuyển thực

,01

N

k

k

k

k

k

k

k

dtt

fdz

z

fdy

y

fdx

x

f m,...,2,1 (4.8)

Nhƣ vậy, các di cuyển thực và di chuyển khả dĩ của cơ hệ là khác nhau do

chúng phải thoả mãn các phƣơng trình (4.6) và (4.8) khác nhau. Di chuyển thực sẽ

là một trong các di chuyển khả dĩ khi cơ hệ chịu liên kết dừng. Thật vậy, trong

trƣờng hợp này, phƣơng trình (4.4), (4.7) không phụ thuộc vào thời gian nên hệ

phƣơng trình (4.8) trở thành

,01

N

k

k

k

k

k

k

k

dzz

fdy

y

fdx

x

f m,...,2,1 . (4.9)

2.3. Số bậc tự do của cơ hệ.

Trong mục 2.2 ở trên ta đã chỉ ra rằng N3 thành phần kkk zyx ,, , m,...,2,1

của các vectơ di chuyển khả dĩ thoả mãn m phƣơng trình của hệ (4.6). Điều đó nói

lên rằng tập hợp các di chuyển khả dĩ tạo thành một không gian mN3 chiều, và do

đó, số vectơ độc lập cực đại là mN3 . Từ nhận xét đó ta đƣa ra định nghĩa

- 64 -

Số bậc tự do của cơ hệ là số di chuyển khả dĩ độc lập cực đại của tập hợp

các di chuyển khả dĩ.

Từ định nghĩa này và hệ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng số bậc tự do của cơ

hệ phản ánh khả năng thực hiện các di chuyển của cơ hệ. Cơ hệ có số bậc tự do lớn

có nhiều khả năng chuyển động, cơ hệ không có bậc tự do nào thì không thể chuyển

động đƣợc. Do vậy, trong thực tế ta thƣờng xác định số bậc tự do bằng cách phân

tích các khả năng chuyển động của cơ hệ. Chẳng hạn cơ cấu tay quay con trƣợt có

một bậc tự do, một điển chuyển động trên mặt có hai bậc tự do v.v…

3. Toạ độ suy rộng của cơ hệ.

Trong Cơ học giải tích, ngƣời ta không chỉ sử dụng các toạ độ Descarte để

biểu thị vị trí của các cơ hệ mà còn có thể sử dụng hệ các tham số bất kỳ để xác

định vị trí của chúng.

Các tham số bất kỳ đủ để xác định vị trí cơ hệ gọi là các toạ độ suy rộng.

Chẳng hạn, để các định vị trí của cơ cấu tay quay – con trƣợt ta có thể sử dụng góc

quay của tay quay; để xác định vị trí của con lắc

xyclôit ta có thể sử dụng các tham số độ dài x và

góc lắc .

Các toạ độ suy rộng đƣợc ký hiệu bằng các chữ q

),...,,( 21 nqqq .

Nhƣ thế, vị trí của cơ hệ có thể xác định bằng N3 toạ độ Descarte, đồng thời cũng

có thể xác định bằng n các toạ độ suy rộng. Do đó, giữa các toạ độ Descarte và các

toạ độ suy rộng tồn tại một quan hệ tƣơng ứng hai chiều

).,,...,,(

),,,...,,(

),,,...,,(

21

21

21

tqqqzz

tqqqyy

tqqqxx

nkk

nkk

nkk

(4.10)

hay là viết ở dạng vectơ

),...,,( 21 nkk qqqrr

.

Ta xét xem số toạ độ suy rộng đủ bằng bao nhiêu. Từ hệ m phƣơng trình liên

kết (4.4) ta thấy ngay số toạ độ độc lập bằng

mN3 .

Do vậy, dù cho chọn hệ các tham số nào để xác định vị trí của cơ hệ thì số

toạ độ độc lập phải bằng mN3 , nói khác đi, số toạ độ đủ để xác định vị trí cơ hệ là

mN3 . Nhƣ vậy, đối với các cơ hệ hô lô nôm chịu các liên kết giữ số các toạ độ

suy rộng đủ bằng số bậc tự do của cơ hệ.

Trong nhiều tính toán, ta còn sử dụng hệ các toạ độ suy rộng dƣ. Đó là hệ có

số các tham số lớn hơn mN3 .

Hình 4.8

- 65 -


4.1. Công khả dĩ của lực. Công khả dĩ của lực ,F

ký hiệu là A được tính bằng

công thức

rFA

(4.11)

hay viết dƣới các dạng khác

zZyYxXrFA cos. (4.12)

4.2. Lực suy rộng

Giả sử trên các chất điểm của cơ hệ có tác dụng hệ lực

NFFF

,...,, 21 . Ta tính công khả dĩ A của hệ lực trên di chuyển

khả dĩ của cơ hệ

),...,,( 21 Nrrr

N

k

kkkkkk

N

k

kk zZyYxXrFA11

)(.

.

Giả sử cơ hệ có n bậc tự do và ta chọn đƣợc các tọa độ suy rộng đủ qi, i=1,2,…,n

Ta có:

n

i

i

i

kk q

q

xx

1

, n

i

i

i

kk q

q

yy

1

, n

i

i

i

kk q

q

zz

1

,

ta thay vào biểu thức của công khả dĩ và nhận đƣợc

N

k

n

i

i

i

kk

i

kk

i

kk

N

k

kkkkkk qq

zZ

q

yY

q

xXzZyYxXA

1 11

)(

n

i

ii

n

i

N

k

i

i

kk

i

kk

i

kk qQq

q

zZ

q

yY

q

xX

11 1

,

trong đó

N

k i

kk

i

kk

i

kki

q

zZ

q

yY

q

xXQ

1

. (4.13)

4.3. Trường lực thế. Biểu thức lực suy rộng trong trường hợp các lực có thế.

4.3.1. Khái niệm về trường lực thế. Thế năng của cơ hệ.

Trường lực là khoảng không gian trong đó mỗi điểm của nó có tác dụng lực

khi có chất điểm đứng tại vị trí đó. Nhƣ vậy, tại mỗi điểm của trƣờng nếu chất điểm

chịu lực thì lực đó chỉ phụ thuộc vào vị trí của không gian mà nó chiếm, nói khác

đi, lực là hàm của vị trí

),,()( zyxFrFF

.

F

r

x y

z

Hình 4.9

- 66 -

Ví dụ khoảng không gian bao quanh trái đất là trƣờng trọng lực mà mỗi điểm của nó

chịu tác dụng một lực hƣớng vào tâm trái đất, có trị số gần đúng bằng m.g; trƣờng

hấp dẫn tĩnh điện v.v….

Trong số các trƣờng lực, trƣờng lực thế có vai trò rất quan trọng. Trường lực

thế là trường lực trong đó tồn tạo một hàm ),,,( tzyxUU , gọi là hàm lực, sao cho

mỗi lực F

sinh ra bởi trường được tính theo công thức

x

UX ,

y

UY ,

z

UZ (4.14)

Ví dụ, trƣờng trọng lực là một trong các trƣờng lực thế với hàm lực CPzU .

4.3.2. Thế năng.

Hàm số

),...,,( 21 NrrrU

(4.15)

đƣợc gọi là thế năng của cơ hệ.

Nếu cơ hệ chuyển động trong trƣờng lực thế, tức là, tồn tại hàm lực U phụ

thuộc vào vị trí của các chất điểm của cơ hệ, do đó nó phụ thuộc cả vào các toạ độ

suy rộng

),,...,,( 21 tqqqUU n .

Dễ thấy rằng lực suy rộng trong trƣờng hợp này đƣợc tính bằng công thức

niq

UQ

i

i ,...,2,1, (4.16)

Thật vậy, ta có theo (4.13)

N

k i

kk

i

kk

i

kki

q

zZ

q

yY

q

xXQ

1

.

Do các lực có thế, nên các thành phần lực đƣợc tính theo công thức

k

kx

UX ,

k

ky

UY ,

k

kz

UZ .

Thay các công thức này vào biểu thức của lực suy rộng ta đƣợc

i

N

k i

k

ki

k

ki

k

k

iq

U

q

z

z

U

q

y

y

U

q

x

x

UQ

1

.

Ta cũng có thể viết biểu thức lực suy rộng qua thế năng của cơ hệ

i

iq

Q . (4.17)

4.4. Các ví dụ về tìm lực suy rộng

- 67 -

Ví dụ 4.8. Con lăn A có trọng lượng P1 lăn không trượt trên đường thẳng nằm

ngang dưới tác dụng của mô men quay M. Dây quấn vào vabhs trong của A, vắt

qua ròng rọc B có bán kính r1 và buộc vào vật nặng B trọng lượng P2. Hệ số ma sát

lăn giữa A với mặt ngang là k. Tại trục quay cử ròng rọc có mô men cản MC.Các

bán kính vành trong và vành ngoài của A là r, R.

Tìm lực suy rộng của cơ hệ đó.

Bài giải

Cơ hệ có một bậc tự do, chọn q = x xác định vị trí cúa C đối với đất. Tại vị

trí tùy ý, cho x số gia x 0. Con lăn A chuyển động song phẳng quay quanh tâm

vân tốc tức thời góc . Ròng rọc B quay quanh trục O góc . Vật D di chuyển

một đoạn rD. Tìm tổng công phân tố của tất cả các lực chủ động trong do chuyển

khả dĩ ta đƣợc:

2

e

C DA M kN M P r (a)

Trong đó

1 1 1 1

1 1

,

( ) ( )

;

C

K I

D

r x

R R

r r R r R rx

r r r Rr

R rr r x N P

R

(b)

Thay các giá trị trên vào (a)

1 2

1

1 1 2

1

1( )( )

e

C

C

x R r R rA M kP M x P x

R Rr R

R rM kP M r P x

R r

Vậy, lực suy rộng tƣơng ứng với tọa độ suy rộng x là:

x

M

Ml

R

r

C O

Mc

r1

Dr

2P

D

B

A

Cr

Ir I

Hình 4.10

- 68 -

1 1 2

1

1( )( )x C

R rQ M kP M r P

R r

Ví dụ 4.9. Cơ cấu tay quay thanh truyền nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Tay

quay OA có chiều dài r, trọng lượng P1, chịu tác dụng của ngẫu có mômen M.

Thanh truyền AB có chiều dài l, trọng lượng P2. Con trượt B chuyển động trong

rãnh nằm ngang, có phương đi qua trục O. Bỏ qua ma sát. Tay quay và thanh

truyền được coi như đồng chất. Tìm lực suy rộng của cơ hệ đó.

Bài giải

Cơ cấu tay quay thanh truyền là hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng q

= , góc tạo bởi OA với trục Ox. Các lực chủ động tác dụng vào cơ hệ gồm các

trọng lực: 1 2 3, ,P P P và ngẫu lực có mômen M.

Cho tay quay di chuyển góc 0 (theo chiều tăng của góc ) quanh trục O,

thanh truyền AB chuyển động song phẳng, quay quanh tâm vận tốc tức thời P góc

có chiều nhƣ hình vẽ.

Tổng công phân tố của các lực chủ động trong di chuyển đó bằng

1 2os . -P os .2 2

e r lA M P c c (a)

Tìm liên hệ giữa các di chuyển, xét điểm A, ta đƣợc:

;A

rr r AP

AP (b)

Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABP

r l

O

A

B

P

y

x

1P

2P

3P

Ar

Hình 4.11

- 69 -

0 0sin(90 ) sin(90 )

AP l

Suy ra

. os

os

l cAP

c (c)

Thay các kết quả tìm đƣợc vào (a), đƣợc kết quả

1 2

1 2

rcos( os ) os .

2 2 lcos

( ) os2

e r lA M P c P c

rM P P c

Lực suy rộng với tọa độ suy rộng là:

1 2( ) os2

rQ M P P c

Ví dụ 4.10. Vật A có trọng lượng P1 được đặt trên mặt phẳng ngang không nhẵn,

có hệ số ma sát trượt f, được buộc dây vắt qua ròng rọc B đồng chất bán kính r,

quay quanh trục nằm ngang O cố định, đồng chất trọng lượng P2. Moomen cản tại

trục quay O là Mc.Vật A chịu tác dụng của lực kéo F nằm ngang có chiều như hình

vẽ.

Tìm các lực suy rộng của cơ hệ đó.

Bài giải

Cơ hệ gồm có ba vật A,B,D chịu liên kết nhƣ hình vẽ.

Hệ có hai bậc tự do các tọa độ suy rộng đƣợc chọn nhƣ sau:

q1 = , xác định vị trí của vật A với mặt phẳng ngang,

q2 = y, xác định vị trí của trục C của con lăn đối với hệ động O1xy tịnh tiến

cùng với dây.

Mc

O

C

y

x

y

rC

D

B

A

F

msF 1P

2P

3P O1

Mc

O

C

y

x

y

D

B

A

F

msF 1P

2P

3P O1

P

Hình 4.12

- 70 -

Để tìm Q ta cho hệ di chuyển khả dĩ 0, y = 0 (t.l. y = const). Vật A chuyển

động tịnh tiến một đoạn . Vật B quay quanh O một góc . Vật D chuyển động

tịnh liến một đoạn rC. Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm: trọng lực

1 2 3, ,P P P , lực kéo F , lực ma sát msF và ngẫu lực có mômen Mc.

Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trên di chuyển đó bằng:

2

1 2

1 2

e

ms CA F F M P r

F fP M Pr

MF fP P

r

Do đó, lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng là:

1 2

MQ F fP P

r

Để tìm Qy, ta cho hệ di chuyển khả dĩ y 0, = 0 (t.l. = const). Vật A, B đứng

yên trong di chuyển đó. Vật D chuyển động song phẳng quay quanh tâm vận tốc tức

thời P góc y

R. Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trên di chuyển đó

bằng:

2

eA P y

Do đó

2yQ P

Ví dụ 4.11. Khối trụ hình tròn A đồng chất khối lượng m1, lăn không truuwowtj trên

mặt phẳng nghiêng góc so với phương ngang. Trục O của khối trụ được gắn với

thanh thẳng OB đồng chất, có khối lượng m2, chiều dài l. Trục o còn được nối với

lò xo có hệ số cúng c, song song với mặt phẳng nghiêng và một đầu gắn cố định. Bỏ

qua ma sát lăn và ma sát tại bản lề. Tìm các lực suy rộng của hệ đó.

Bài giải

Cơ hệ đƣợc khảo sát gồm khối trụ

A và thanh OB. Hệ có hai bậc tự do,

chọn hai tọa độ suy rộng là: q1 = s, có

gốc tại O1 là vị trí lò xo chƣa biến dạng,

xác định vị trí trục O của khối trụ đối với

mặt phẳng nghiêng; q2 = , xác định vị

trí của thanh OB đối với hệ động Oxy

tịnh tiến cùng với O.

s

O

B

c

O1 y0

yC

C

2P

1P

dhF

Hình 4.13

- 71 -

Tại vị trí bất kì, lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm: 1 2 dh, , ( )dhP P F F cs .

Các lực đó đều là các lực thế. Chọn O1 là gốc thế năng, ta có:

1 1 0 1 1

2 2 2

2

3

. .sin . .sin

. ( .sin os )2

1

2

C

P y Ps m g s

lP y m g s c

cs

Thế năng của cả cơ hệ:

2

1 2 3 1 2 2

1( ) . .sin os

2 2

lm m g s m g c cs

Ta nhận đƣợc các lực suy rộng từ công thức (4.17):

1 2

2

( ) sin

sin2

sQ m m g css

lQ m g

5. Liên kết lý tƣởng

Định nghĩa. Liên kết lý tưởng là liên kết mà tổng công của tất cả các phản lực liên

kết trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không

0)(k

kk

k

k rRRA

(4.18)

Khái niệm liên kết lý tƣởng cho phép khi mô tả các phƣơng trình chuyển động

không cần đề cập tới các phản lực liên kết, do đó làm giảm một cách rất cơ bản các

ẩn của bài toán. Đó là một ƣu thế rất đặc biệt của Cơ học giải tích. Hơn nữa, có thể

chỉ ra rằng phần lớn các liên kết thƣờng gặp trong thực tế là các liên kết lý tƣởng.

Ta sẽ lần lƣợt nêu ra một vài phản lực liên kết thƣờng gặp dƣới đây.

a) Liên kết giữa các chất điểm tạo thành vật rắn tuyệt đối là liên kết lý tưởng vì

tổng công của tất cả các nội lực liên kết giữa các chất điểm bằng không.

b) Liên kết tựa trơn giữa hai vật rắn là liên kết lý tưởng;

c) Dây mềm không dãn, có trọng lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc là liên kết

lý tưởng nếu bỏ qua sự trượt giữa dây và ròng rọc và ma sát ở ổ trục quay.

d) Các khớp động nối hai vật chuyển động là liên kết lý tưởng nếu bỏ qua ma sát

giữa các mặt tựa của chúng (trơn tuyệt đối) hoặc bỏ qua sự trượt giữa chúng(nhám

tuyệt đối) v.v…

Trong trƣờng hợp các liên kết không thoả mãn các điều kiện trên đây, ngƣời

ta tách phản lực liên kết thành hai loại phản lực. Loại thứ nhất có tổng công khả dĩ

bằng không và gọi là phản lực liên kết của hệ, loại kia có tổng công khả dĩ khác

không ta xem chúng là các lực hoạt động và đƣa vào các lực hoạt động để tính toán.

- 72 -

Cách làm đó đƣợc gọi là lý tưởng hoá liên kết cho phép ta giải quyết đƣợc phần lớn

các bài toán thực tế đặt ra.

§2. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - LAGRANGE

1.Nguyên lý D’Alembert - Lagrange.

Theo tiên đề 2 cửa hệ tiên đề Động lực học, chuyển động của cơ hệ đƣợc mô

tả bởi hệ phƣơng trình

kkkk RFwm

, Nk ,...,2,1 , (4.19)

hay là

kkkk wmFR

, Nk ,...,2,1 . (4.19’)

Cho hệ một di chuyển khả dĩ Nrrr

,...,, 21, nhân các phƣơng trình (4.19’)

tƣơng ứng với kr

, Nk ,...,2,1 rồi cộng lại ta đƣợc

k

N

k

kkkk

N

k

k rwmFrR

11

)( ,

Do giả thiết liên kết lý tƣởng

01

N

k

kk rR

, (4.20)

nên phƣơng trình cuối cùng trở thành

0)(1

k

N

k

kkk rwmF

(4.21)

Phƣơng trình (4.21) gọi là phương trình tổng quát động lực học. Nhƣ thế,

phƣơng trình tổng quát động lực học luôn luôn đƣợc thực hiện đối với chuyển động

bất kỳ phù hợp với liên kết và dƣới tác dụng của các lực hoạt động NFFF

,...,, 21 .

Ngƣợc lại, giả sử cho một chuyển động nào đó phù hợp với liên kết của cơ

hệ thoả mãn phƣơng trình tổng quát động lực học (4.21), ta chứng minh rằng nó

cũng thoả mãn các phƣơng trình Newton (4.19), trong đó các phản lực liên kết kR

phù hợp với liên kết. Thật vậy, đặt

kkkk wmFR

, Nk ,...,2,1 .

ta sẽ có ngay (4.19)

kkkk RFwm

, Nk ,...,2,1 ,

và (4.20)

0kk rR

.

Nhƣ vậy, tại thời điểm bất kỳ có thể chọn các phản lực liên kết kR

phù hợp với liên

kết, t.l. thoả mãn (4.20) đồng thời thoả mãn hệ phƣơng trình Newton (4.19). Các

- 73 -

phản lực liên kết này là thực hiện đƣợc và do đó, chuyển động của hệ tƣơng ứng với

các lực hoạt động NFFF

,...,, 21 cho trƣớc.

Tất cả những điều trình bày ở trên có thể phát biểu nhƣ sau:

Nguyên lý D’Alembert – Lagrange: Điều kiện cần và đủ để chuyển động

của cơ hệ phù hợp với liên kết và tương ứng với các lực hoạt động đặt lên cơ hệ là

xảy ra phương trình (4.21)

0)(1

k

N

k

kkk rwmF

Phƣơng trình (4.21) có thể dùng làm cơ sở để suy ra tất cả các phƣơng trình

chuyển động khác của cơ hệ tuỳ ý, các định lý tổng quát động lực học v.v… nên nó

biểu thị một Nguyên lý của cơ học : Nguyên lý D’Alembert – Lagrange. Vì Nguyên

lý này đƣợc biểu thị thông qua biến phân và các đạo hàm của các toạ độ, nên nó

thuộc vào các Nguyên lý biến phân vi phân.

Phƣơng trình (4.21) còn viết dƣới dạng toạ độ

0)()()(1

N

k

kkkkkkkkkkkk zzmZyymYxxmX (4.22)

Ví dụ 4.12. Cơ cấu điều tiết ly tâm quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc

góc không đổi . Trọng lượng của mỗi quả cầu bằng 1P , của ống N bằng P. Một lò

xo có độ cứng c được gắn đầu dưới vào ống, còn đầu kia gắn vào đòn OO1. Khi góc

0 lò xo không bị biến dạng; độ dài của mỗi thanh treo OA =O1A1 = l và có các

điểm treo O và O1 cách trục quay một khoảng bằng a.

Xác định vận tốc góc của máy điều tiết tương

ứng với góc . Bỏ qua trọng lượng các thanh treo và

lò xo.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: bộ điều tiết ly tâm mang 3 khối

lƣợng 1, AA và N .

- Các lực:

+ Các lực hoạt động đặt vào cơ hệ ),,( 21 PPP

.

Chú ý rằng, lò xo thuộc loại liên kết không phải

lý tƣởng, nên ta phải thay nó bằng phản lực lò xo.

Theo định luật Hooke, phản lực của lò so xuất hiện khi

lò xo bị biến dạng theo công thức

cxFdh

dhF

1O

O

1A

l

N

1P

P

A A1

1P

Hình 4.14

- 74 -

và có chiều đƣa điểm đặt của lực về vị trí cân bằng. Nhƣ thế, hệ lực “hoạt động” tác

dụng lên cơ hệ là

),,,( 21 dhFPPP

.

+Các lực quán tính ),( 1

qt

N

qt

A

qt

A FFF

,sin2

1la

g

Pw

g

PFF A

qt

A

qt

A

Chú ý rằng, trong trƣờng hợp chuyển động dừng, t.l với const , const thì

0Nw , nên 0qt

NF .

- Áp dụng phƣơng trình tổng quát động lực học (4.22) ta đƣợc

0)()sin()sin( 11

22

NdhAAAA yFQyPyPxlag

Pxla

g

P.

Từ hình vẽ, ta có các hệ thức sau

cos1 lyy AA , sin1 lyy AA ;

sin1 lxx AA , cos1 lxx AA

cos2lyN , sin2lyN .

Thay các hệ thức này vào phƣơng trình tổng quát động lực học ta đƣợc

0)sin2))(cos1(2()sin()sin(

)cos)(sin()cos)(sin( 22

llcQlPlP

llag

Plla

g

P

hay là

0)sin2()cos1(2sin2cos)sin(2 2 llcQlPlag

Pl

Do tuỳ ý, nên ta nhận đƣợc phƣơng trình

0sin)cos1(2sincos)sin(2 lcQPlag

P

Từ đây ta giải ra 2

tan)sin(

)cos1(22 glaP

lcQP.

2.Định lý động năng.

2.1.Định lý động năng

Ta xét một di chuyển thực ),...,,( 21 Nrdrdrd

của cơ hệ. Trong trƣờng hợp liên kết

dừng di chuyển thực này trùng với một trong các di chuyển khả dĩ ),...,,( 21 Nrrr

,

do đó cũng thoả mãn Nguyên lý D’Alembert – Lagrange:

- 75 -

0)(1

k

N

k

kkk rdwmF

. (4.23)

Đại lƣợng

rdFAd

' (4.24)

gọi là công của lực F

trên di chuyển thực rd

hay công yếu tố của lực F

.

Dễ thấy rằng công của lực F

trên di chuyển thực có thể tính theo các công

thức

dsFAd cos (4.25)

hoặc

ZdzYdyXdxAd (4.26)

Nhƣ thế, đại lƣợng

N

k

krdFAd1

(4.27)

gọi là tổng công của các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ.

Trong kỹ thuật, ngƣời ta cùng với công của lực, ngƣời ta còn dùng đại lƣợng

dt

AdW

gọi là công suất của lực F

tác dụng lên cơ hệ. Đơn vị công suất đƣợc tính là oát, ký

hiệu là W.

1s

1Nm

1

1W1

s

J.

Bây giờ ta xét đại lƣợng k

N

k

kk rdwm

1

. Chú ý rằng

dtvrddt

vdw kk

kk

, ,

ta thay vào biểu thức trên rồi biến đổi

N

k

kkk

N

k

kkk

N

k

kk

kk

N

k

kk vvmdvvmddtvdt

vdmrdwm

1111

.2

1).(

2

1

.

Đại lƣợng

N

k

kk

N

k

kkk vmvvmT1

2

1 2

1.

2

1 (4.28)

gọi là động năng của cơ hệ.

Nhƣ vậy, Nguyên lý D’Alembert – Lagrange áp dụng cho các cơ hệ chịu liên kết

giữ, dừng và lý tƣởng trên các di chuyển thực có dạng

F

M

rd

Hình 4.15

- 76 -

N

k

kk

N

k

kk rdFvmd11

2

2

1 , (4.29)

hay là

AddT

biểu thị định lý biến thiên động năng của cơ hệ

Định lý động năng. Vi phân động năng của cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng và lý

tưởng bằng tổng công yêú tố của tất cả các lực hoạt động tác dụng lên các chất

điểm của cơ hệ

AddT . (4.30)

hay là đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các lực hoạt động

đặt vào các chất điểm của cơ hệ

Wdt

dT (4.31)

Bây giờ, nếu ta đƣa dấu vi phân vào trong dấu tổng ở vế trái của (4.29), ta đƣợc

N

k

kk

N

k

kk rdFvmd11

2

2

1

Tích phân hai vế với các cận tƣơng ứng trong cùng thời gian chuyển động từ 0t đến

t ta đƣợc

N

k

r

r

kk

N

k

v

v

kk

k

k

k

k

rdFvm

d11

2

002

Suy ra

N

k

k

N

k

kkN

k

kk Avmvm

11

2

0

1

2

22,

trong đó ta đã đƣa vào ký hiệu

r

r

kkk

k

rdFA

0

và gọi là công của lực kF

trên di chuyển hữu hạn từ )( 00 kk rM

đến )( kk rM

. Đẳng

thức trên có thể viết dƣới dạng

kATT 0

và biểu thị định lý động năng dƣới dạng hữu hạn

Định lý động năng dƣới dạng hữu hạn. Biến thiên động năng của cơ hệ trong

khoảng thời gian ),( 0 tt bằng tổng công của tất cả các lực hoạt động sinh ra trên các

đoạn đường di chuyển tương ứng của các điểm đặt của các lực đó.

kATT 0 . (4.32)

2.2. Động năng của vật rắn chuyển động.

- 77 -

2.2.1. Công thức tổng quát tính động năng của vật rắn

Trong cơ học ta thƣờng gặp các cơ hệ là các vật rắn chuyển động. Ở đây ta sẽ

thiết lập công thức tính động năng của chúng.

Giả sử vất rắn có vận tốc góc

và khối tâm C của

nó chuyển động với vận tốc Cv

. Khi đó, vận tốc của điểm

thứ k, ký hiệu là kv

đƣợc tính theo công thức

kCk rvv

, (4.33)

trong đó kr

là vectơ định vị của điểm thứ k trong hệ quy

chiếu có gốc tại C. Vậy

2)(2

1kCk rvmT

.)(2

1

2

1 22

kkkkCCk rmrmvvm

Do Mmk , 0kk rm

, nên tổng thứ nhất bằng 2

2

1CMv , còn tổng thứ hai bằng

không, do đó,

.)(2

1

2

1 22

kkC rmMvT

(4.34)

Ta tính đại lƣợng .)(2

1 2

kkq rmT

Ta gọi các hình chiếu của

lên các

trục toạ độ Cxyztƣơng ứng là 321 ,, , còn các hình chiếu của kr

là kkk zyx ,, . Khi

đó ta có mạch các kết quả tính toán sau

))(()(2 2

kkkkkq rrmrmT

2

211332 )()()( zkkykkxkkk exyezxeyzm

2

21

2

13

2

32 )()()( kkkkkkk xyzxyzm

).2

22(

21

22

2

22

1

31

22

3

22

132

22

3

22

2

kkkk

kkkkkkkkk

yxxy

zxxzzyyzm

Ta rút gọn biểu thức trên

).222

)()()(2

213132

222

3

222

2

222

1

kkkkkkkkk

kkkkkkkkkq

yxmzxmzym

yxmxzmyzmT

Cuối cùng ta nhận đƣợc

.2222 213132

2

3

2

2

2

1 xyzxyzzzyyxxq JJJJJJT

Chú ý rằng, nếu các trục CzCyCx ,, là các trục quán tính chính công thức trên trở

thành

.2 2

3

2

2

2

1 ZZYYXXq JJJT

C

kr

Hình 4.16

- 78 -

Vậy động năng của vật rắn đƣợc tính theo công thức

3

2

1

3

2

1

2

2

1

2

1

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

C

JJJ

JJJ

JJJ

MvT (4.35)

2.2. 2. Các trường hợp riêng.

a) Vật chuyển động tịnh tiến. Nhƣ đã biết, trong chuyển động

tịnh tiến, vận tốc góc của vật bằng không, do đó

2

2

1Ctt MvT . (4.36)

b) Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định. Trong

trƣờng hợp này vận tốc góc ze

, t.l. 021 , 3

.

2222222

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1zzzzzzCq JMdJMdJMvT .

Vậy, đối với vật rắn quay xung quanh một trục cố định, ta có

2

2

1zzq JT (4.37)

c) Vật chuyển động song phẳng.

Cũng nhƣ đối với vật chuyển động quay xung

quanh một trục cố định, trong trƣờng hợp này ta có

021 , ze

3.

Do đó

22

2

1

2

1CzCsp JMvT (4.36)

2.3.Ví dụ.

Ví dụ 4.13.Cần lắc của cơ cấu cu lit quay quanh trục O làm thanh AB chuyển động

lên xuống theo máng trượt K.

Cần lắc là thanh đồng chất, khối lượng m1, chiều dài R. Con chạy A có khối

lượng m2 , thanh AB có khối lượng m3. Khoảng cách giữa trục Ovà máng trượt là l.

Xem con trượt như chất điểm, hãy tìm động năng của cơ cấu theo góc quay và

vận tốc góc của tay quay.

Bài giải

ABAOC TTTT

22

1

22

1

2

6

1

3.2

1

2

1 RmRmJTOC

2

22

1AA vmT ; reA vvv

;

ze

C

z z

Hình 4.17

C

x

z

y

Hình 4.18

O

A

K

l

C

Hình 4.19

- 79 -

cos

.l

OAve

2coscos

lvv e

A.

2

32

1AAB vmT

4

22

32

22

1cos

)(2

1

6

1

lmmRmT

Ví dụ 4.14. Một rơmooc chở hàng chuyển động trên đường ngang dưới tác dụng

của lực F

nằm ngang có giá trị không đổi. Thùng xe và vật liệu có khối lượng M,

hai bánh có khối lượng m mỗi cái, bán kính r và bán kính quán tính đối với trục

quay là . Giả thiết các bánh xe lăn không trượt. Bỏ qua sức cản lăn và sức cán

không khí.

1. Tính gia tốc của thùng xe

2. Tính vận tốc của thùng xe theo quãng đường s đi được.

Cho biết lúc đầu hệ đứng yên.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: thùng xe chở vật liệu và hai bánh xe;

- Các lực sinh công: F

A. Tính gia tốc của thùng xe

Áp dụng định lý động năng

AddT ' (a)

+ Tính động năng

bxtx TTT ;

2

2

1MvTtx ; 22

2

1

2

12 Obx mvJT ; vv0 ; 2mJ

Suy ra 2

2

22

22

1v

r

rmMT

Ta có vwdtr

rmMdT

2

22 )(2 (b)

+ Tính công nguyên tố

FvdtFdsAd ' (c)

Thay (b), (c) vào công thức (a), ta có:

2

32

42

14

2

3coscos6

lmmRmT

1O

2O

v

F

Hình 4.20

- 80 -

Fvdtvwdtr

rmM

2

22 )(2

Suy ra:

B. Tính vận tốc thùng xe sau khi đi được đoạn đường s

Áp dụng định lý động năng dƣới dạng hữu hạn

ATT 0

Ở đây 00T ; FsA

Do đó

Fsvr

rmM 2

2

22

22

1

222

2

2

2

rmMr

sFrv

Ví dụ 4.15. Một hệ thống chuyển tải gồm hai trục là các trục đặc tròn đồng chất có

trọng lượng Q, bán kính R quay quanh các trục quay riêng rẽ cố định O1 và O2 còn

băng tải là đoạn dây khép kín không dãn, có khối lượng m.Các gầu xúc có trọng

lượng tương ứng là P1, P2. Trục quay O1 chịu tác dụng của ngẫu lực có mô men M

= const. Tìm

1. Vận tốc gầu xúc theo đoạn đường di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên;

2. Công suất cần thiết để hệ thống chuyển động với vận tốc V và gia tốc W.

Bài giải

Cơ hệ khảo sát: các trục quay, băng tải các gầu xúc.

Các lực hoạt động: ),,,,( 2121 MQQPP

1. Áp dụng định lý động năng dưới dạng hữu hạn

k

kATT 0 (a)

Tính động năng

BAtrtr TTTTT 21 ;

,2

1 2

111 ztr JT ,2

1 2

222 ztr JT

21

2

1AA v

g

PT , 21

2

1BB v

g

PT

Ta có các liên hệ động học

21 , vvv BA , Rv

Hơn nữa

222

2

2 rmMr

Frw

A

B

O1

O2

M 1P

2P

P

P

Hình 4.21

- 81 -

g

QRJJ zz

2

2

21 .

Thay các biểu thức này vào biểu thức động năng rồi cộng lại, ta đƣợc

222212222

2

1

2

1

2

1

22

1

22

1mvv

g

Pv

g

PR

g

QR

g

QT

221

2v

g

mgPPQT ; 00T (b)

Tính công trên quãng đƣờng di chuyển s của dây.

0)(21 PAQAQA

; sPPA 11)(

; sPPA 22 )(

; R

sMMA )(

Thay các kết quả tìm đƣợc vào phƣơng trình động năng (a), ta đƣợc

sR

MRPPv

g

mgPPQ )(

2

12221

gsmgPPQR

MRPPv 2

)( 21

12 (c)

2. Áp dụng định lý động năng dưới dạng vi phân

Ta biết rằng, ngẫu lực có mô men M chính là do động cơ tạo ra. Do đó ta có

thể viết định lý động năng ở dạng đạo hàm

vPPNNdt

dTdc )( 12 ;

vwg

mgPPQ

dt

dT 21 ,

vPPwg

mgPPQvPP

dt

dTNdc )( 21

2112 .

Vậy công suất động cơ cần tìm là.

vPPwg

mgPPQNdc )( 21

21

Ở chế độ bình ổn constv , 0w , nên

vPPNdc 21 .

Ví dụ 4.16. Ba vật nặng trọng lượng tương ứng là PPP 21 và Q nối với nhau

bằng sợi dây mềm không dãn có trọng lượng không đáng kể.Hai vật có trọng lượng

bằng nhau được buộc vào hai đầu sợi dây, còn vật thứ ba buộc ơt chính giữa dây

rồi vắt qua hai ròng rọc mắc trên cùng độ cao (hình vẽ). Từ trạng thái ban đầu

đứng yên vật Q rơi xuống và dừng lại ở độ cao H. Tìm hệ thức giữa các trọng lượng

của các vật, bỏ qua kích thước các ròng rọc.

- 82 -

Bài giải

Cơ hệ khảo sát: Các vật nặng treo trên sợi dây.

Các lực hoạt động: QPP

,, 21 .

Áp dụng định lý động năng.

01T , 00T .

- Tính công của các lực

Thoạt tiên ta tính các khoảng

cách di chuyển của các vật. Khi vật Q

rơi xuống khoảng cách H, các vật kia

sẽ nâng lên một đoạn bằng h. Ta có các

hệ thức hình học sau đây

AOlHAOKL 1

22

1

hAOlhAOLO 111

Suy ra

hllH 22 .

lhhllH 22222 , 02 22 Hlhh

22

2,1 Hllh .

Vì 0h , nên nghiệm đúng là 22 Hllh .

Bây giờ ta tính công

)()()( 21 QAPAPAA

QHHllPQHPh 2222 .

Thay vào phƣơng trình động năng ta đƣợc

02 22 QHHllP

2222 HlPQHPl

Vậy, ta có hệ thức giữa các trọng lƣợng

QlHl

HP

222

§ 3. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

Nguyên lý di chuyển khả dĩ là cơ sở của tĩnh học giải tích - một phương pháp

tính toán cân bằng cho các cơ hệ tuỳ ý. Nếu bài toán tĩnh học vật rắn được giải

quyết nhờ các phương trình cân bằng: sự bằng không của vectơ chính và mô men

chính của hệ lực tác dụng lên vật rắn thì ở đây ta có thể giải quyết các bài toán

thuộc lớp rộng hơn: sự cân bằng của cơ hệ bất kỳ dựa trên biểu thức công khả dĩ

của các lực hoạt động.

2l

Q

P P

H

h A

A

0

B

B

0

K

L O1

O2

Hình 4.22

- 83 -

1.Vị trí cân bằng của cơ hệ.

Vị trí cân bằng của cơ hệ là vị trí cơ hệ luôn luôn chiếm chỗ tại mọi thời điểm,

nếu tại thời điểm ban đầu cơ hệ ở vị trí đó thì vận tốc của mọi điểm của nó bằng

không.

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay rằng, vị trí ,0

kk rr

Nk ,...,2,1 là vị trí cân bằng

chỉ trong trƣờng hợp khi “chuyển động” ,0

kk rr

Nk ,...,2,1 thoả mãn phƣơng trình

tổng quát động lực học (4.21), tại vị trí này 0kw

, Nk ,...,2,1 . Do đó, phƣơng

trình tổng quát động lực học (4.21) trở thành

01

k

N

k

k rF

(4.39)

Phƣơng trình (4.39) là điều kiện cân bằng tổng quát cho cơ hệ bất kỳ. Nó biểu thị

một trong những Nguyên lý của cơ học về cân bằng, gọi là Nguyên lý di chuyển khả

dĩ.


Đối với cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng và lý tưởng điều kiện cần và đủ để cơ

hệ cân bằng là tổng công khả dĩ của tất cả các lực hoạt động trên mọi di chuyển

khả dĩ bằng không (4.39)

0kk rF

,

trong đó kF

là lực hoạt động tác dụng lên chất điểm thứ k.

3.Các ví dụ

Ví dụ 4.17. Xác định quan hệ giữa lực P tác

dụng vuông góc với tay quay của máy ép vít và

lực ép Q , cho biết cánh tay đòn của máy ép là a ,

bước của trục vít là h . Bỏ qua ma sát.

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: toàn bộ máy ép. Hệ không có

bậc tự do nào, chịu liên kết giữ, dừng và lý tƣởng.

Ta giải phóng liên kết, t.l. bỏ vật ép ra và

thay bằng phản lực Q

. Khi đó vật trở thành một

bậc tự do và lấy góc quay của tay quay làm toạ

độ suy rộng.

- Các lực hoạt động. Bây giờ ta phải coi Q

là lực

hoạt động, nên hệ lực hoạt động tác dụng lên hệ là ),,( 21 QPP

.

P

P

Q

Hình 4.23

- 84 -

- Cho hệ di chuyển khả dĩ ứng với dịch chuyển quay của tay quay một góc

ngƣợc chiều kim đồng hồ. Khi đó bề mặt của máy ép di chuyển xuống một đoạn s .

Áp dụng Nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có

,0kk rF

hay là 02 sQPa . (a)

Ta tìm liên hệ giữa và s . Khi tay quay quay đƣợc góc 2 vít đi xuống đƣợc

một đoạn h , nên khi tay quay đựpc góc đầu vít đi đƣợc đoạn

2

hs . (b)

Thay biểu thức (b) vào phƣơng trình (a) ta đƣợc

02

2h

QPa .

Từ đây, ta tìm đƣợc

Qa

hP

4.

Ví dụ 4.18. Vật A trọng lượng 1P được giữ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng với

mặt phẳng ngang một góc , nhờ buộc vào đầu một sợi dây nhẹ, không dãn vòng

qua ròng rọc cố định D và ròng rọc động E, còn đầu kia buộc vào vật nặng trọng

lượng 2P nằm cân bằng trên mặt phẳng nghiêng với mặt ngang góc . Tại tâm của

ròng rọc động E treo một vật nặng C có trọng lượng Q.

Tìm quan hệ giữa các trọng lượng QPP ,, 21 khi hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát

trên các mặt phẳng nghiêng, ma sát giữ dây và ròng rọc cố định D cũng như hiện

tượng trượt giữa dây và ròng rọc động E

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát: ròng rọc mang các vật

nặng A, B, C.

Hệ có hai bậc tự do và ta chọn các toạ độ

suy rộng là CB ys , .

Ta có phƣơng trình liên kết

,2 1csss CBA

CC ycs 2 .

- Các lực hoạt động ),,( 21 QPP

.

- Nguyên lý di chuyển khả dĩ cho phƣơng

trình

0sinsin. 21 CBA yQsPsP .

Từ các phƣơng trình lien kết cho ta các hệ thức biến phân

C

B

D

E

As

Cs A

Bs

1P 2P

Q

Hình 4.24

- 85 -

,02 CBA sss CC ys

Do đó,

),(2

1BAC ssy

Thay biểu thức này vào phƣơng trình biểu thị nguyên lý di chuyển khả dĩ

0)(2

1sinsin. 21 BABA ssQsPsP .

Từ đây ta nhận đƣợc hai phƣơng trình

02

sin1

QP , 0

2sin2

QP

hay là

sin2

1

QP ,

sin22

QP .

Ví dụ 4.19. Cơ cấu cu lit gồm tay quay OC quay quanh trục nằm ngang O làm cần

AB di chuyển tịnh tiến theo phương thẳng đứng trong rãnh định hướng K dưới tác

dụng của lực P. Cho OC = R; OK =l, tìm

a) Lực Q đặt vuông góc với tay quay OC tại C để cơ cấu cân bằng.

b) Phản lực tại rãnh trượt K. Bỏ qua ma sát và trọng lượng các khâu.

Bài giải

a)Tìm Q để cơ hệ cân bằng

Cơ hệ khảo sát: cơ cấu cu lit. Hệ có một bậc

tự do. Toạ độ suy rộng

Các lực hoạt động QP

, .

Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ

0CyPQRA

Lập các quan hệ động học

ltgtgOKyC .

2cos

lyC

Thay vào phƣơng trình xuất phát

0cos2

lPQR

PR

lQ

2cos.

b) Tìm phản lực tại K

- Cơ hệ khảo sát: culit đã giải

phóng liên kết tại K.

o

O

C

K

Q

P

Hình 4.25

o

K

C

O

Q

P

AX

M

Cs

A

Hình 4.26

- 86 -

* Khi đó hệ có ba bậc tự do.

* Các toạ độ suy rộng: ),,( Cs

- Các lực hoạt động MXQP A ,,,

.

Tính công khả dĩ

o 0.2 tglXMA A

o 0sincos3 CA sPXA

Giải các phƣơng trình này ta đƣợc

PtgX A , 2PltgM

§4. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI HAI

1. Thiết lập phƣơng trình Lagrange loại hai.

Khảo sát các cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, lý tƣởng, có n bậc tự do khi

đó vị trí của cơ hệ đƣợc xác định bởi n toạ độ suy rộng độc lập nqqq ,...,, 21. Với các

giả thiết này ta sẽ biến đổi phƣơng trình tổng quát động lực học theo các toạ độ suy

rộng.

Phƣơng trình tổng quát động lực học

N

k

kkkk rwmF1

0)(

có thể viết thành

N

k

N

k

kkkkk rFrwm1 1

(4.40)

Trƣớc hết, ta đƣa ra một vài công thức cần đến khi biến đổi sau này:

Từ hệ thức

n

i

i

i

kkk q

q

r

t

rr

1

lấy đạo hàm riêng theo iq , ta thu đƣợc

i

k

i

k

q

r

q

r

(4.41)

Ta chứng minh rằng

i

k

i

k

q

r

q

r

dt

d

(4.42)

Thật vậy, ta có

n

j

j

ij

k

i

k

i

k qqq

r

qt

r

q

r

dt

d

1

22

(a)

- 87 -

Hơn nữa, ),...,,,( 21 nkk qqqtrr

suy ra: n

j

j

j

kkk q

q

r

t

rr

1

lấy đạo hàm riêng theo iq , ta đƣợc

iq

r n

j

j

ji

k

i

k qqq

r

tq

r

1

22

(b)

So sánh hai biểu thức (a), (b) với chú ý đến đến tính liên tục của các đạo hàm, ta rút

ra ngay tính đúng đắn của đẳng thức (4.42).

Bây giờ ta biến đổi phƣơng trình (4.40).

Ta biến đổi vế phải của (4.40)

n

i

ii

N

k

n

i

i

i

kN

k

k

n

i

i

i

kk

N

k

kk qQqq

rFq

q

rFrF

11 1 111

(4.43)

trong đó ta đã đặt

i

i

kN

k

k Qq

rF

1

Qi là lực suy rộng tƣơng ứng với toạ độ suy rộng iq .

Ta biến đổi vế trái của (4.40)

N

k

kkk rwm1

W

.

Thay dt

rd

dt

vdw kk

k

, n

i

i

i

kk q

q

rr

1

vào biểu thức trên ta đƣợc

n

i

N

k

N

k

i

i

kkki

i

kkk

N

k

n

i

i

i

kkk q

q

r

dt

drmq

q

rrm

dt

dq

q

r

dt

rdm

1 1 11 1

W

Sử dụng các công thức (4.41) và (4.42) để thay vào biểu thức W, ta đƣợc

n

i

N

k

N

k

i

i

kkki

i

kkk q

q

rrmq

q

rrm

dt

d

1 1 1

W

.

Chú ý rằng

N

k

kk rmT1

2

2

1 ,

nên

N

k iii

kkk

q

T

q

rrm

1

,

N

k ii

kkk

q

T

q

rrm

1

,

từ đó ta tính đƣợc biểu thức cuối cùng của W:

- 88 -

n

i

n

i

i

i

i

i

qq

Tq

q

T

dt

d

1 1

W

. (4.44)

Thay các biểu thức vừa tìm đƣợc (4.43), (4.44) vào (4.40) ta nhận đƣợc

n

i

ii

n

i

n

i

i

i

i

i

qQqq

Tq

q

T

dt

d

11 1

Chuyển vế và đƣa iq làm thừa số chung, ta đƣợc

n

i

ii

ii

qQq

T

q

T

dt

d

1

0

.

Do các biến phân iq độc lập, nên ta phải có

i

ii

Qq

T

q

T

dt

d

, ni ,...,2,1 (4.45)

Hệ phƣơng trình (4.45) gọi là hệ phương trình Lagrange loại hai.

2. Biểu thức của động năng trong các toạ độ suy rộng.

Theo định nghĩa

.2

1

1

2N

k

kkvmT

Nhƣ đã biết, giữa các toạ độ suy rộng và các vectơ định vị kr

có mối liên hệ

),,...,,( 21 tqqqrr nkk

.

Do đó

i

i

kkk q

q

r

t

rv

.

Bình phƣơng hai vế rồi thay vào biểu thức động năng, ta sẽ đƣợc tổng chứa ba loại

số hạng: các số hạng chứa các tích vận tốc suy rộng jiqq , nji ,...,2,1, ; các số hạng

chỉ chứa vận tốc suy rộng ở bậc nhất iq và số hạng

2

t

rm k

k

2

11 1,1 1,1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

t

rmq

q

r

t

rmqq

q

r

q

rmvmT k

N

k

k

N

k

i

i

kkn

ji

k

N

k

ji

j

k

i

kn

ji

k

N

k

kk

thay đổi thứ tự lấy tổng trong tổng trên

2

11, 11, 11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

t

rmq

q

r

t

rmqq

q

r

q

rmvmT k

N

k

k

n

ji

i

i

kkN

k

k

n

ji

N

k

ji

j

k

i

kk

N

k

kk

Đặt

N

k

ij

j

k

i

kk a

q

r

q

rm

1

, i

i

kkN

k

k bq

r

t

rm

1

, ,

động năng của hệ có thể viết thành

,012 TTTT

- 89 -

trong đó

2

1

02

1

t

rmT k

N

k

k

n

i

iii

i

kkn

i

N

k

k qbqq

r

t

rmT

11 1

1

n

ji

N

k

n

ji

jiijji

j

k

i

kk qqaqq

q

r

q

rmT

1, 1 1,

2

Trong trƣờng hợp cơ hệ chịu liên kết dừng 0t

rk

, nên 001 TT , động

năng của hệ là dạng thức toàn phƣơng của các tốc độ suy rộng. Ta đƣa vào định lý

Ơ le về dạng toàn phƣơng

n

i

i

i

Tqq

T

1

2

, (4.46)

sẽ đƣợc sử dụng trong các mục sau.

3. Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế.

Trong trƣờng hợp các lực tác dụng lên cơ hệ là các lực có thế, tức là, tồn tại

thế năng sao cho

,k

kx

X ,k

ky

Y k

kz

Z ,

ta chỉ ra rằng

i

iq

Q . (4.47)

Thật vậy,

k

k

k

k

k

N

k k

kkkkk

N

k

k zz

yy

xx

zZyYxXA11

.

Chú ý rằng

n

i

i

i

kk q

q

xx

1

, n

i

i

i

kk q

q

yy

1

, n

i

i

i

kk q

q

zz

1

,

nên

.111 1

1111

i

n

i

ii

n

i i

i

n

i

N

k i

k

ki

k

ki

k

k

n

i

i

i

k

k

n

i

i

i

k

k

n

i

i

i

kN

k k

qQqq

qq

z

xq

y

xq

x

x

qq

x

zq

q

x

yq

q

x

xA

Vậy, i

n

i i

i

n

i

i qq

qQ11

, từ đó suy ra tính đúng đắn của (4.47).

- 90 -

Thay (4.47) vào hệ phƣơng trình Lagrange (4.45), ta đƣợc

iii qq

T

q

T

dt

d

, ni ,...,2,1 .

Do thế năng chỉ phụ thuộc vào toạ độ, nên 0iq

. Đặt

TL

và gọi là hàm Lagrange của cơ hệ. Ta có

,ii q

T

q

L

ni ,...,2,1 ,

nên ta có thể viết lại hệ phƣơng trình trên dƣới dạng

0)()(

ii q

T

q

T

dt

d

hay là

0ii q

L

q

L

dt

d

, ni ,...,2,1 . (4.48)

Hệ phƣơng trình (4.48) gọi là hệ phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng lực có

thế.

Hệ phƣơng trình Lagrange loại hai là hệ phƣơng trình chuyển động của các

cơ hệ hôlônôm. Nó có những ƣu điểm nổi bật nhƣ sau:

a) Hệ phƣơng trình Lagrange loại hai chứa n phƣơng trình vi phân cấp hai đối với

các toạ độ suy rộng, không thay đổi dạng khi thay đổi từ hệ toạ độ suy rộng này

sang hệ toạ độ suy rộng khác và không chứa các phản lực liên kết làm giảm nhẹ

đáng kể việc giải quyết bài toán cơ học.

b) Hệ phƣơng trình Lagrange đƣợc thiết lập theo thuật toán dễ thực hiện: Tính động

năng của cơ hệ, biểu thị các yếu tố vận tốc có mặt trong biểu thức động năng qua

các toạ độ và tốc độ suy rộng, tính lực suy rộng và tính các đạo hàm trong phƣơng

trình, thay vào (4.45) hoặc (4.48) ta nhận đƣợc các phƣơng trình Lagrange.

c) Trong nhiều trƣờng hợp, hệ phƣơng trình Lagrange cho ta các tích phân đầu (sẽ

xét đến trong các mục sau), giúp ta có đƣợc hệ phƣơng trình mới có số phƣơng trình

ít hơn.

4. Các ví dụ

Ví dụ 4.20. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu tay quay

thanh truyền khi tay quay chịu tác dụng ngẫu lực có mô men M, còn pittông chịu

tác dụng lực theo phương chuyển động của nó. Cho biết: chiều dài của tay quay OA

= r, của thanh truyền AB = l, đồng thời

1l

r;

- 91 -

khối lượng của tay quay bằng m1, khối tâm của nó trùng với trục quay O, bán kính

quán tính của tay quay đối với O bằng , khối lượng của pittông bằng m2. Bỏ qua

khối lượng thanh AB và ma sát.

Bài giải

- Khảo sát cơ hệ: cơ cấu tay quay thanh truyền. Cơ cấu có một bậc tự do, toạ độ suy

rộng là

- Hệ các lực hoạt động: ),( FM

- Tính động năng ptOA TTT 2

2

2

2

1

2

1BvmJ .

2

1mJ , , BB xv

coscos lrxB ;

2

2

2

sin1cosl

r 2

2

2

sin2

1l

r

2

2

2

sin2

1cosl

rlrxB .

2sin2

sincossinsin2

2

l

rr

l

rlrvB

.

2

2

2

2

2

1 2sin2

sin2

1

l

rrmmT

Tính công khả dĩ

BxFMA ,

Bx 2sin2

sinl

rr

2sin2

sinl

rFrMA

2sin2

sinl

rFrMQ

Thay vào phƣơng trình Lagrange

QTT

dt

d

Tính

T

2

2

2

2

1 2sin2

sinl

rrmm ;

Tính

o

O

A

y

x

Hình 4.27

- 92 -

.2coscos2sin2

sin22sin2

sin 22

2

2

2

2

2

1

l

r

l

rrm

l

rrmm

T

dt

d

Do đó phƣơng trình chuyển động của cơ cấu tay quay – thanh truyền là

22

2

2

2

2

2

1 2coscos2sin2

sin22sin2

sin l

r

l

rrm

l

rrmm

2sin2

sinl

rFM .

Ví dụ 4.21. Con lắc elliptic tạo thành bởi con trượt A có khối lượng m1 trượt theo

đường thẳng nằm ngang và quả cầu nhỏ có kích thước không đáng kể khối lượng

m2 nối với con trượt nhờ thanh mảnh có độ dài l. Người ta tác dụng lên con trượt

lực F

hướng dọc theo trục Ox. Tìm hệ phương trình vi phân chuyển động của con

lắc.

Bài giải.

- Cơ hệ khảo sát bao gồm con trƣợt, thanh nối và quả cầu. Cơ hệ chịu liên kết

lý tƣởng

Hệ có hai bậc tự do, ta chọn các toạ độ

suy rộng là OAx , góc lập bởi thanh và

phƣơng thẳng đứng.

- Các lực hoạt động FPP

,, 21

- Áp dụng phƣơng trình chuyển động

Lagrange

xQx

T

x

T

dt

d

QTT

dt

d

.

Ta lần lƣợt tính động năng và các lực suy rộng.


qcct TTT 2

22

2

112

1

2

1vmvm ,

trong đó ,1v 2v là vận tốc của con trƣợt và quả cầu.

Ta có

xv 1 ,

BB yxv

,2 ,

sinlxxB , cos lxxB ,

O

B

y

1P

F

2P

x

Hình 4.28

- 93 -

coslyB , sin lyB . sinlyB

222222

2 cos2 lxlxyxv BB

)cos2(2

1

2

1 222

2

2

1 lxlxmxmT

)cos2(2

1)(

2

1 22

2

2

21 lxlmxmmT .

+ Tính các lực suy rộng

ByPxFA 2 sin2lPxF .

Do đó

FQx, sin2lPQ .

+ Tính các đạo hàm

0x

T, cos)( 221

lmxmmx

T,

sin2xlm

T,

2

2 cos lxlmT

,

sincos)( 2

2221

lmlmxmm

x

T

dt

d,

2

222 sincos lmxlmxlmT

dt

d.

Thay các giá trị đạo hàm này vào phƣơng trình Lagrange ta đƣợc

Flmlmxmm sincos)( 2

2221

sinsinsincos 22

2

222 lPxlmlmxlmxlm .

Sau khi đơn giản ta đƣợc

Flmlmxmm sincos)( 2

2221

sincos glx .

Ví dụ 4.21. Rôbôt tay máy cực chuyển động

trong mặt phẳng thẳng đứng như hình vẽ. Khâu

1 có khối lượng m1 , mômen quán tính đối với

khối tâm C1 của nó là J1. Khâu 2 có khối lượng

m2 , mômen quán tính đối với khối tâm C2 của

nó là J2. Khâu 2 có thể chuyển động tịnh tiến

thẳng đối với khâu 1. Ngẫu lực điều khiển

M=M(t) đặt lên khâu quay 1 và lực điều khiển

tác dụng lên khâu 2. Bỏ qua ma sát và lực cản.

Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của rô bốt này.

a u(t)

C1

C2

x

y

M(t)

Hình 4.29

F

- 94 -

Bài giải

- Cơ hệ khảo sát là rô bốt gồm 2 khâu. Chọn các toạ độ suy rộng là ),( u trong đó

là góc lập bởi trục của khâu 1 với phƣơng Ox , u là khoảng cách từ khối tâm của

khâu 2 đến gốc O .

- Các lực hoạt động gồm ( FMPP

,,, 21 ).

- Áp dụng phƣơng trình Lagrange loại hai cho rô bốt.


2

2

2

22

22

11212

1

2

1

2

1 JvmamJTTT C .

Do cos2 uxC, sin2 uyC

, nên

2222

2

2

2

2

2 uuyxv CCC

Thay kết quả này vào biểu thức của động năng ta đƣợc

2

2

22

2

2

2

22

2

2

1212

1

2

1

2

1

2

1umumJumumamJJT ,

trong đó constamJJJ 2

121.

+ Tính các lực suy rộng.

Cho di chuyển khả dĩ )0,0( u , ta có

.)coscos()(

,coscos)(

211

211

QgumgamMA

gumgamMA

Cho di chuyển khả dĩ )0,0( u

uQugmFA u)sin( 22

Vậy, ta có các lực suy rộng

cos)( 21 gumamMQ .

sin2gmFQu

+ Tính các đạo hàm

)( 2

2umJT

,

uumumJT

dt

d2

2

2 2)( ,

umu

T

2 , umu

T

dt

d

2

2

2um

u

T, 0

T.

Thay các biểu thức này vào công thức cho các phƣơng trình Lagrange loại hai, ta

đƣợc

uumumJ 2

2

2 2)( cos)( 21 gumamM .

um 2

2

2um = sin)( 2 gmtF .

- 95 -

4. Các tích phân chuyển động.

Trong quá trình chuyển động của cơ hệ, các toạ độ suy rộng cũng nhƣ các tốc

độ suy rộng thay đổi theo thời gian )(),( tqqtqq iiii , ni ,...,2,1 . Tuy nhiên, trong

nhiều trƣờng hợp ta gặp phải các hàm của các toạ độ và tốc độ suy rộng nhận giá trị

không đổi consttqtqf ii ))(),(( . Các hàm này gọi là các tích phân chuyển động của

cơ hệ, hay còn gọi là các tích phân đầu của hệ phương trình vi phân chuyển động.

Đại lƣợng ),( qqff gọi là đại lượng bảo toàn

Trong các trƣờng hợp nhƣ thế, việc tích phân hệ phƣơng trình vi phân

chuyển động gặp rất nhiều thuận lợi. Nó có thể đƣa việc giải hệ phƣơng trình vi

phân chuyển động về việc giải hệ phƣơng trình hàm số (không phải tích phân) nếu

ta nhận đƣợc 2n tích phân đầu, hoặc ít ra có thể giảm đƣợc số phƣơng trình vi phân

chuyển động. Do vậy, các tích phân chuyển động có ý nghĩa rất lớn về mặt cơ học

cũng nhƣ toán học. Ở đây ta sẽ xét một vài điều kiện tồn tại các tích phân này.

Ta giả thiết rằng, cơ hệ khảo sát chịu các liên kết hô lô nôm, giữ, lý tƣởng và

có n bậc tự do. Các lực tác dụng lên hệ là các lực có thế với thế năng

),...,,( 21 nqqqUU .

4.1. Tích phân năng lượng (sự bảo toàn cơ năng).

Từ phƣơng trình Lagrange trong trƣờng hợp có thế

iii qq

T

q

T

dt

d

Ta đạo hàm toàn phần động năng T theo thời gian

n

i

i

i

n

i

i

i

qq

Tq

q

T

dt

dT

11

.

Từ phƣơng trình Lagrange ta có

iii q

T

qq

T

dt

d

Do đó

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

ii

qq

Tq

qq

q

Tq

q

T

dt

d

qq

Tq

qq

T

dt

d

dt

dT

1111

11

Chú ý rằng

dt

dq

q

n

i

i

i1

,

nên

dt

dT

dt

dq

qq

q

T

dt

d

dt

dT n

i

i

i

n

i

i

i

211

.

- 96 -

Vậy

0dt

d

dt

dT

Gọi

TE

là cơ năng của cơ hệ, khi đó phƣơng trình trên có thể viết thành

0dt

dE, hay là constTE (4.49)

Tức là cơ năng của hệ đƣợc bảo toàn.

4.2. Tích phân xyclic.

4.2.1. Toạ độ xyclic.

Ta gọi các toạ độ suy rộng q , ns,...,2,1 là toạ độ xyclic nếu trong biểu

thức của hàm Lagrange không có mặt hiện các toạ độ đó

snqqqLL ,...,, 21 .

Các toạ độ suy rộng khác đƣợc gọi là các toạ độ vị trí.

4.2.2. Tích phân xyclic.

Trong trƣờng hợp cơ hệ có các toạ độ xyclic hệ phƣơng trình Lagrange loại

hai có dạng

0ii q

L

q

L

dt

d

, sni ,...,2,1

0q

L

dt

d

, s,...,2,1 .

Từ s phƣơng trình cuối ta suy ra ngay

constcq

L

, s,...,2,1 (4.50)

Các tích phân (4.50) gọi là các tích phân xyclic.

Ví dụ 4.23. Tìm phương trình chuyển động của con lắc

elliptic trong ví dụ 4.22, cho rằng không có lực F tác

dụng lên con trượt.Con lắc chuyển động từ trạng thái

nghỉ và AB lệch góc 0 so với phương thẳng đứng

Bài giải.

Trong ví dụ 4.22, ta đã chỉ ra rằng động năng của

hệ có dạng

)cos2(2

1)(

2

1 22

2

2

21 lxlmxmmT

C

A

B

x

0x

y

0Bx

Hình 4.30

- 97 -

Ta tính thế năng

Cglm cos2

Hàm Lagrange nhận dạng

TL cos)cos2(2

1)(

2

12

22

2

2

21 glmlxlmxmm .

Hệ có hai tích phân chuyển động là tích phân năng lƣợng và tích phân xyclic

đối với toạ độ x .

Tích phân năng lƣợng

12

22

2

2

21 cos)cos2(2

1)(

2

1Cglmlxlmxmm . (a)

Tích phân xyclic

2Cx

L

,

hay là

2221 cos)( Clmxmm . (b)

Ta chọn hệ toạ độ Đescarte sao cho trục Ox dọc theo rãnh trƣợt, còn trục Oy đi qua

khối tâm C ở vị trí lức đầu. Ta viết các điều kiện ban đầu

0)0(,0 xxt , 0)0( , 0)0(x , 0)0( . (c)

Thay các điều kiện ban đầu (c) vào các tích phân (a) và (b) ta tìm đƣợc các hằng số

tích phân

1C02 cosglm , 02C (d)

Thay 02C vào (b) rồi tích phân ta nhận đƣợc

3221 sin)( Clmxmm . (e)

Để thấy rõ ý nghĩa cơ học của các biểu thức trên, ta nhận thấy, khối tâm của cơ hệ

lúc đầu xác định bằng hệ thức

0)sin(

21

00201

21

02010

mm

xlmxm

mm

xmxmx B

C.

hay là

21

020

sin

mm

lmx

Từ đây, suy ra 0sin)( 020213 lmxmmC (f)

Thay giá trị này vào (e) ta tìm đƣợc

21

2 sin

mm

lmx (g)

nghĩa là khối tâm C của hệ không chuyển động theo phƣơng x, hay nói khác đi trục

y0 luôn luôn đi qua khối tâm của hệ.

- 98 -

Ta lại thay

21

2 sin

mm

lmx

vào (a) ta đƣợc

0

22

21

2 cos2cos2cos1 gglmm

m .

Đây là phƣơng trình vi phân cấp một đối với toạ độ . Giải phƣơng trình này ta sẽ

có nghiệm cần tìm.

Ta khảo sát trƣờng hợp góc bé. Khai triển cos thành chuỗi luỹ thừa và

chỉ giữ lại các số hạng cấp hai đối với và trong phƣơng trình ta thu đƣợc

)1(cos2 0

22

21

1 gglmm

mE

Từ biểu thức cuối cùng này có thể kết luận ngay rằng chuyển động bé của con lắc

elliptic theo toạ độ là dao động điều hoà với tần số

l

g

m

mm

1

212 )( (h)



Vấn đề 1: Động năng, công, công suất và định lý biến thiên động năng

Vấn đề 2: Thế năng của cơ hệ và định lý Bảo toàn cơ năng

Vấn đề 3: Lực suy rộng và các phƣơng pháp tính lực suy rộng

Vấn đề 4: Nguyên lý D’Alembert- Lagrange

Vấn đề 5: Phƣơng trình Lagrange loại hai

Vấn đề 6: Tích phân đầu của chuyển động

Vấn đề 7: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

II.2. Bài tập

o Định lý biến thiên động năng: 2.28, 2.29, 2.30, 2.32, 2.33, 2.35, 2.40, 2.47

(trang 98 → 108, sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)

o Định lý bảo toàn cơ năng: 2.36, 2.37, 2.38, 2.46 (trang 102 → 107, sách bài

tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)

o Nguyên lý di chuyển khả dĩ: 3.1, 3.2, 3.8, 3.9, 3.14, 3.15 (trang 135 → 142,

sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng)

o Nguyên lý D’Alembert- Lagrange: 5.1, 5.2, 5.3, 5.10 (trang 186 → 190),

6.28 (trang 242)- Sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh – Lê Doãn Hồng

o Phƣơng trình Lagrange loại hai: 5.4, 5.5, 5.7, 5.8, 5.9, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14,

5.15, 5.16, 5.17, 5.18 (trang 187 → 194, sách bài tập Cơ học tập 2- Đỗ Sanh

– Lê Doãn Hồng)

- 99 -

Chƣơng V

Va chạm

I

- : Trang bị cho sinh viên những kiến thức về va chạm, hiện tƣợng chuyển

động của vật trong khoảng thời gian vô cùng bé mà vận tốc của các điểm thuộc vật

biến thiên một đại lƣợng hữu hạn.

- : thiết lập phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm, đƣa ra các định lý

tổng quát của lý thuyết va chạm và áp dụng các định lý đó vào một số trƣờng hợp

cụ thể.

- định lý biến thiên động

lƣợng, định lý biến thiên mômen động lƣợng, định lý động năng.

-

.

Chương V. Va chạm. 2 (2 – 0)

§1. Đặt bài toán va chạm

1.Hiện tƣợng va chạm.

2.Các đặc điểm của quá trình va chạm

§2. Áp dụng các định lý động lƣợng mô men động lƣợng

trong quá trình va chạm.

1.Định lý động lƣợng

2.Định lý mô men động lƣợng

§3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật.

1. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật

2. Định lý Cacno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm

§4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung quanh một

trục cố định và chuyển động song phẳng.

§1,

thảo luận các ví dụ,

§2 sinh viên tự

nghiên cứu.

§1. ĐẶT BÀI TOÁN VA CHẠM

1. Hiện tƣợng va chạm

Các vật chuyển động dƣới tác dụng của các lực mà ta xét từ trƣớc đến nay có

vận tốc thay đổi liên tục, tức là với mỗi khoảng thời gian vô cùng bé sẽ có một số

gia vô cùng bé của vận tốc. Thực vậy, xét chất điểm khối lƣợng m, chịu tác dụng

- 100 -

của lực F (ở đây F là hợp lực của các lực tác dụng lên chất điểm). Theo định lý

biến thiên động lƣợng, trong khoảng thời gian , ta có:

1 0

0

.tbm v v Fdt F (5.1)

Từ đây suy ra là, khi thời gian vô cùng bé (tiến tới không) mà các lực là

các lực thông thƣờng thì gia số vận tốc 1 0v v v cũng là đại lƣợng vô cùng bé

(tiến tới không).

Tuy nhiên, nếu trong số các lực tác dụng lên chất điểm có những lực rất lớn

(cấp 1 ) thì gia số vận tốc trong khoảng thời gian vô cùng bé sẽ là đại lƣợng hữu

hạn (không tiến tới không). Đó là hiện tƣợng va chạm.

Định nghĩa:

Hiện tượng mà vận tốc của các điểm của vật có số gia hữu hạn trong khoảng

thời gian rất bé gọi là va chạm. Khoảng thời gian rất bé xảy ra va chạm gọi là

thời gian va chạm. Lực có giá trị vô cùng lớn, tác dụng trong thời gian va chạm,

đƣợc gọi là lực va chạm, ký hiệu: vcF .

Vì trong thời gian va chạm lực va chạm rất lớn nên trong lý thuyết va chạm

ngƣời ta không lấy lực va chạm mà lấy xung lƣợng có chúng là số đo tƣơng tác của

các vật khi va chạm. Xung luợng va chạm là đại lƣợng hữu hạn bằng:

0

.vc vc vc

tbS F dt F (5.2)

Xung lƣợng của các lực không phải lực va chạm trong khoảng thời gian là

rất bé mà ta có thể bỏ qua.

Ta ký hiệu vận tốc trƣớc va chạm là v , còn vận tốc sau va chạm là u . Khi

đó, định lý biến thiên động lƣợng của chất điểm khi va chạm sẽ có dạng:

vc

km u v S (5.3)

tức là, biến thiên động lượng của chất điểm trong thời gian va chạm bằng tổng xung

lượng của các lực va chạm tác dụng lên chất điểm đó.

Phƣơng trình (5.3) là phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm.

2. Các đặc điểm của quá trình va chạm

a) Di chuyển của các điểm trong va chạm

- 101 -

Trong thời gian va chạm vô cùng bé , độ dời của các điểm bằng tbv , là

một đại lƣợng vô cùng nhỏ có thể bỏ qua, tức là coi nhƣ vật đứng im trong thời gian

đó.

b) Hai giai đoạn của quá trình va chạm

Xét một khối cầu rơi thẳng đứng trên một bản cứng nằm ngang và cố định.

Đối với các va chạm xảy ra trực tiếp nhƣ ở đây, ta có thể phân thành hai giai đoạn

(hình 5.1).

Giai đoạn biến dạng

Bắt đầu từ lúc quả cầu chạm vào mặt chắn, lúc đó khối tâm quả cầu có vận tốc

bằng vận tốc trƣớc va chạm v , quả cầu bị biến dạng cho đến lúc tất cả các điểm

thuộc vật dừng lại tức thời, vận tốc tức thời của mọi điểm bằng không. Trong giai

đoạn này, động năng trước va chạm của quả cầu biến thành thế năng biến dạng

đàn hồi của nó.

Giai đoạn phục hồi

Ngay từ thời điểm cuối của giai đoạn biến dạng, do tính chất đàn hồi của vật,

quả cầu lại nhanh chóng dãn nở để khôi phục lại một phần hoặc hoàn toàn giống với

hình dạng trƣớc khi va chạm của nó. Do đó, ở cuối giai đoạn này khối tâm của quả

cầu có vận tốc bằng vận tốc sau va chạm u . Trong giai đoạn này, một phần hoặc

toàn bộ thế năng đàn hồi của quả cầu được biến thành động năng sau va chạm của

nó.

c) Các hình thức va chạm

Giả sử hai vật rắn A, B chuyển động và va chạm vào nhau tại điểm va chạm

K (hình 5.2). Gọi Kn là pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc chung của mặt hai vật

tại điểm va chạm K.

C C

v

C

u

Giai đoạn biến dạng Giai đoạn phục hồi

Thời gian va chạm

Hình 5.1. Hai giai đoạn của quá trình va chạm

- 102 -

Nếu vận tốc trƣớc va chạm 1 2,v v của khối tâm của hai vật song song với pháp

tuyến Kn thì va chạm goi là va chạm thẳng. Nếu va chạm của hai vật khôgn thoả

mãn điều kiện trên, thì va chạm đó gọi là va chạm xiên.

Tại thời điểm trƣớc va chạm, nếu khối tâm của hai vật nằm trên pháp tuyến

Kn, thì va chạm đó gọi là va chạm xuyên tâm.

Nếu vận tốc trƣớc va chạm của khối tâm của hai vật đều nằm trên pháp tuyến

Kn, thì va chạm đó là va chạm thẳng xuyên tâm.

d) Xung lực va chạm giữa hai vật

Khi hai vật rắn va chạm vào nhau, giả sử bỏ qua ma sát giữa hai vật, tại điểm

va chạm xuất hiện các lực va chạm tƣơng hỗ giữa

hai vật. Chúng cùng đƣờng tác dụng là pháp tuyến

chung của hai mặt của vật tại điểm va chạm, ngƣợc

chiều và cùng trị số

1 2

vc vcN N .

Xung lực của hai lực va chạm đó, trong

khoảng thời gian va chạm , bằng

Va chạm thẳng

B

1C 1v

2v 2C

K n

A

Va chạm xiên

B

n

1C

1v 2v

2C K

A

Va chạm xuyên tâm

B

n

1C

1v

2v

2C

K

A

Va chạm thẳng xuyên tâm

B

n

1C

1v 2v 2C

K

A

Hình 5.2. Các hình thức va chạm

Hình 5.3. Xung lực va chạm

giữa hai vật

B

1

vcS 2

vcS

K

n

A

- 103 -

1 1

0

2 2 1

0 0

vc vc

vc vc vc

S N dt

S N dt N dt

1 2 .vc vcS S (5.4)

Vậy, các xung lực va chạm 1 2,vc vcS S tác dụng tại điểm va chạm nằm trên pháp

tuyến chung của hai mặt của vật, ngƣợc chiều và cùng trị số.

e) Hệ số phục hồi khi va chạm.

Để giải đƣợc bài toán va chạm, ta không thể chỉ coi vật là vật rắn tuyệt đối,

mà ta phải sử dụng một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho tính chất đàn hồi của vật liệu

cấu tạo nên hai vật va chạm đó. Đại lƣợng đó gọi là hệ số phục hồi khi va chạm (gọi

tắt là hệ số va chạm).

Từ thực nghiệm và với những giả thiết gần đúng đã nói ở trên, ta có định

nghĩa sau đây.

Khi hai vật thể va chạm vào nhau, tỷ số của thành phần pháp tuyến của vận

tốc tương đối sau va chạm và của vận tốc tương đối trước va chạm của điểm va

chạm của vật này đối với vật kia

rn

rn

uk

v, (5.5)

là đại lượng vật lý không đổi, đặc trưng cho tính chất đàn hồi của vật liệu cấu tạo

nên hai vật đó, gọi là hệ số khôi phục khi va chạm (hay hệ số va chạm).

Hệ số va chạm chỉ phụ thuộc vào vật liệu cấu tạo nên hai vật. Động năng của

hai vật trƣớc va chạm bị mất đi một phần để biến thành thế năng biến dạng đàn hồi

của hai vật và nhiệt năng, do đó giá trị của hệ số va chạm phải nằm trong khoảng:

0 1k .

Khi k = 1, va chạm gọi là va chạm tuyệt đối đàn hồi, động năng của hai vật

trƣớc va chạm không bị thay đổi trong va chạm.

Khi 0 1k , va chạm gọi là va chạm đàn hồi.

Khi k = 0, va chạm gọi là va chạm tuyệt đối không đàn hồi. Vận tốc tƣơng

đối sau va chạm 0ru , tức là hai vật không xảy ra giai đoạn phục hồi, toàn bộ động

năng trƣớc va chạm của hai vật biến thành thế năng biến dạng đàn hồi của chúng và

toả nhiệt.

Dƣới đây là hệ số phục hồi của một số vật liệu

- 104 -

Ta có thể xác định hệ số va chạm k giữa hai vật liệu

bằng cách sau:

Chế tạo một quả cầu và một tấm phẳng bằng

hai vật liệu đó. Từ độ cao H, ta cho quả cầu rơi tự

do không vận tốc ban đầu xuống tấm phẳng cố định

nằm ngang. Sau đó đo độ cao h mà quả cầu nảy lên

đƣợc. Nhƣ vậy, ta có:

2 ; 2 ;v gH u gh

Và .u h

kv H

§2. ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT VÀO LÝ THUYẾT

VA CHẠM

1. Định lý động lƣợng của hệ khi va chạm

Biến thiên động lượng của hệ trong khoảng thời gian va chạm bằng tổng

hình học của tất cả các xung lực va chạm ngoài tác dụng vào hệ

( )

2 1

vc e

kQ Q S . (5.6)

Nếu chiếu phƣơng trình (5.6) lên các trục toạ độ Descarte, ta đƣợc

( )

2 1

( )

2 1

( )

2 1

vc e

x x kx

vc e

y y ky

vc e

z z kz

Q Q S

Q Q S

Q Q S

(5.7)

Ta có thể biểu thị động lƣợng của hệ qua vận tốc khối tâm của hệ

2 1, ,C CQ Mu Q Mv

Vật va chạm k

Gỗ với gỗ 12

Thép với thép 59

Ngà voi với ngà voi 89

Thuỷ tinh với thuỷ tinh 1516

A0

v

Hình 5.4. Thí nghiệm xác định

hệ số va chạm.

u

A1

A

H

h

- 105 -

trong đó ,C Cu v là vận tốc khối tâm của hệ trƣớc và sau va chạm. Các phƣơng trình

(5.6), (5.7) đuợc viết lại nhƣ sau

( )vc e

C C kM u v S (5.8)

( )

( )

( )

vc e

Cx Cx kx

vc e

Cy Cy ky

vc e

Cz Cz kz

M u v S

M u v S

M u v S

(5.9)

Chứng minh:

Xét cơ hệ chịu các xung lực va chạm. Áp dụng phƣơng trình cơ bản (5.3) của

lý thuyết va chạm cho chất điểm thứ k của hệ

( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i

k k k k km u v S S k n

Lấy tổng phƣơng trình trên theo k, với tính chất của các xung lực va chạm

nội lực ( ) 0vc i

kS , ta đƣợc

( )vc e

k k k k km u m v S

hay

( )

2 1

vc e

kQ Q S .

Trường hợp bảo toàn động lượng trong va chạm:

Nếu ( ) 0vc e

kS thì 2 1Q Q , suy ra C Cu v .

Nếu ( ) 0vc e

kxS thì 2 1x xQ Q , suy ra

Cx Cxu v .

2.Định lý mômen động lƣợng của hệ khi va chạm

Trong khoảng thời gian va chạm, biến thiên mômen động lượng của hệ đối

với một tâm cố định bằng tổng hình học của các vectơ mômen của tất cả các xung

lực va chạm ngoài tác dụng lên hệ đối với tâm đó.

( )

2 1 ( )vc e

O O O kL L m S (5.10)

Chiếu biểu thức (5.10) xuống các trục của hệ tọa độ cố định Oxyz, ta đƣợc các công

thức biểu thị định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm đối với các trục:

( )

2 1

( )

2 1

( )

2 1

( )

( )

( )

vc e

x x Ox k

vc e

y y Oy k

vc e

z z Oz k

L L m S

L L m S

L L m S

(5.11)

Chứng minh

- 106 -

Xét cơ hệ chịu tác dụng của các xung lực va chạm. Áp dụng phƣơng trình cơ

bản của lý thuyết va chạm cho chất điểm thứ k của hệ

( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i

k k k k km u v S S k n

Gọi kr là bán kính vec tơ của chất điểm Mk với gốc đặt tại điểm cố định O. Nhân

hữu hƣớng đẳng thức trên với vectơ kr , ta đƣợc:

( ) ( ) , 1,2,...,vc e vc i

k k k k k k k k k kr m u r m v r S r S k n

Lấy tổng của n phƣơng trình trên, với tính chất của các nội lực va chạm nội lực

( ) ( )( ) 0vc i vc i

k k O kr S m S , ta đƣợc biểu thức:

( ) , 1,2,...,vc e

k k k k k k k kr m u r m v r S k n

Ký hiệu 2OL là vec tơ mô men động lƣợng của hệ sau va chạm đối với tâm O.

2O k k kL r m u

Ký hiệu 1OL là vec tơ mô men động lƣợng của hệ sau va chạm đối với tâm O.

1O k k kL r m v

Ta có ngay: ( ) ( )

2 1 ( )vc e vc e

O O k k O kL L r S m S

Trường hợp bảo toàn mô men động lượng trong va chạm

Nếu ( )( ) 0vc e

O km S thì onstOL c

Nếu ( )( ) 0vc e

Oz km S thì onstzL c

§3. VA CHẠM THẲNG XUYÊN TÂM CỦA HAI VẬT

1.Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật

Xét hai vật rắn A, B chuyển động tịnh tiến, va chạm thẳng xuyên tâm vào nhau,

với giả thiết là va chạm tuyệt đối không đàn hồi: k = 0. Gọi vận tốc trƣớc va chạm

B

1v 2v

K

n

A

C1 C2

B

u u

K

n

A

C1 C2

u 1v

K

n

A

C1 1

vcS

Hình 5.5. Va chạm thẳng xuyên tâm

- 107 -

của hai vật là 1v ,

2v , vận tốc của hai vật sau va chạm đều bằng u . Khảo sát cơ hệ

gồn có hai vật, cơ hệ chỉ chịu tác động của hai xung lực va chạm trong 1

vcS , 2

vcS tại

điểm va chạm K, với 1 2

vc vcS S , do đó động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn trong thời

gian va chạm 1 2Q Q

Suy ra

1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u (5.12)

Trong đó m1, m2 là khối lƣợng hai vật. Chiếu (5.12) lên trục pháp tuyến Kn ta có:

1 1 2 2 1 2( )n n nm v m v m m u

Giải đƣợc vận tốc sau va chạm của hai vật

1 1 2 2

1 2

n nn

m v m vu

m m

Để tìm xung lực va chạm giữa hai vật, ta áp dụng định lý biến thiên động lƣợng cho

vật A: 1 1 1 1

vcm u m v S

Cũng chiếu xuống trục pháp tuyến Kn, ta đƣợc:

1 1 1 1

1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1

1 2 1 2

( )( ) ( )

vc

n n

vc n n n nn n n

m u m v S

m v m v m m v vS m v u m v

m m m m

Để cho hai vật coa thể va chạm, vân tốc trƣớc và sau phải thỏa mãn điều kiện1 2n nv v

2.Định lý Cacsno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm

Khi hai vật rắn chuyển động tịnh tiến va chạm thẳng xuyên tâm vào nhau,

với va chạm là tuyệt đối không đàn hồi thì động năng của hệ bị mất đi trong va

chạm đó bằng động năng của hệ có được nếu như các vật chuyển động với vận tốc

đã mất mát:

2 2

0 1 1 1 2 2

1 1

2 2n n n nT T m v u m v u (5.13)

Chứng minh:

Xét cơ hệ gồm hai vật A, B chuyển động tịnh tiến, va chạm thẳng xuyên tâm

vào nhau (hình 5.5). Động năng của tại thời điểm trƣớc và sau va chạm bằng:

2 2

0 1 1 2 2

1

2n nT m v m v , 2

1 1 2

1

2nT m m u .

Ta có:

2 1 1 2 21 1 2 1 2 1 1 2 2

1 2

2 .n nn n n n n

m v m vT m m u m m u u m v m v

m m

Động năng bị mất đi trong va chạm bằng:

- 108 -

0 1 0 1 12T T T T T

2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 1

2 2n n n n n nm v m v m v m v u m m u

2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

12

2n n n n n n nm v m v m v u m v u m m u

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

12 2

2n n n n n n n nm v v u u m v v u u

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2n n n nm v u m v u

trong đó 1 2,n n n nv u v u là vận tốc mất đi của hai vật trong va chạm.

Tổng quát

Ngƣời ta chứng minh đƣợc định lý Cacnô trong trƣờng hợp hệ số k tuỳ ý

( 0 1k ), công thức (5.13) lúc đó có dạng:

2 2

0 1 1 1 2 2

1 1 1

1 2 2n n n n

kT T m v u m v u

k (5.14)

Trường hợp đặc biệt

Xét va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật, với va chạm tuyệt đối không đàn

hồi (k = 0), trong đó vận tốc trƣớc va chạm của một vật bằng không, chẳng hạn

2 0v . Khi đó

2

0 1 1

1

2nT m v , 2

1 1 2

1

2nT m m u .

Từ công thức 1 1 2 2

1 2

n nn

m v m vu

m mta đƣợc

1 1

1 2

nn

m vu

m m,

Suy ra

2 2

21 1 11 1 2 1 12

1 21 2

1 1

2 2

nn

m v mT m m m v

m mm m,

hay

11 0

1 2

mT T

m m.

Động năng của hệ bị mất đi trong va chạm là

1 20 1 0 0 0

1 2 1 2

m mT T T T T

m m m m. (5.15)

- 109 -

Nếu 1 2m m thì 2

1 2

0m

m m, suy ra

0 1T T , động năng sau va chạm gần bằng

động năng trƣớc va chạm, sự mất động năng gần nhƣ không xảy ra. Thực tế xảy ra

trƣờng hợp này khi đóng đinh, đóng cọc,…

Nếu 1 2m m thì 1

1 2

0m

m m, suy ra

1 0T , sau va chạm cả hệ coi nhƣ đứng yên.

Toàn bộ động năng ban đầu biến thành thế năng biến dạng đàn hồi của các vật. Thực tế xảy

ra trƣờng hợp này khi rèn, dập, tán rivê,…

§4. TÁC DỤNG LỰC VA CHẠM VÀO VẬT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG

1. Tác dụng lực va chạm vào vật quay quanh trục cố định.

Xét vật rắn chuyển động quay quanh trục Oz cố định, chịu tác dụng của các

lực va chạm ngoài. Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng của hệ khi va

chạm cho trục Oz, ta có:

( )

2 1

vc e

z z z kL L m S .

Gọi vận tốc góc của vật rắn tại thời điểm trƣớc và sau va chạm lần lƣợt là

1 2, ta có

1 1z zL J , 2 2zL J .

Thay các giá trị đó vào biểu thức trên, ta tìm đƣợc biến thiên vận tốc góc của

vật trong va chạm:

( )

2 1

1 vc e

z k

z

m SJ

. (5.16)

Vậy:Biến thiên của vận tốc góc của vật quay quanh trục cố định dưới tác dụng của

các xung lực va chạm ngoài bằng tỷ số giữa tổng mômen của các xung lực đó đối

với trục quay và mômen quán tính của vật đối với trục đó.

2. Tác dụng lực va chạm vào vật chuyển động song phẳng

Xét vật rắn chuyển động song phẳng, chịu tác dụng của các lực va chạm

ngoài nằm trong hình phẳng (s), chứa khối tâm C của vật (hình 5.6).

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng của hệ khi va chạm, với Cv

và Cu là vận tốc trƣớc và sau va chạm của khối tâm, ta đƣợc:

- 110 -

( )vc e

C C kM u v S ,

( )

( )

vc e

Cx Cx kx

vc e

Cy Cy ky

M u v S

M u v S (5.17)

Sau đó áp dụng định lý biến thiên mômen

động lƣợng của hệ khi va chạm cho trục vuông

góc với hình phẳng và đi qua khối tâm C, ta

đƣợc:

( )

2 1

vc e

C C kJ m S , (5.18)

trong đó 1 2, là vận tốc góc trƣớc và sau va chạm của hình phẳng.

Vậy: Các lực va chạm ngoài gây ra sự biến thiên vận tốc khối tâm, được xác

định bởi công thức (5.17) và biến thiên vận tốc góc của vật, được xác định bởi

công thức (5.18).

3. Ví dụ

Ví dụ5. 1:

Thanh OA đồng chất có

chiều dài l và trọng lƣợng P, đầu O

gắn bản lề cố định và có lò xo xoắn

với hệ số độ cứng bằng c. Khi

thanh thẳng đứng, lò xo chƣa biến

dạng, đầu A chịu tác dụng của xung

lực va chạm vcS nào đó vuông góc

với thanh (hình 5.7).

Tìm giá trị của xung lực va chạm đó, biết rằng sau va chạm thanh nghiêng

góc với phƣơng thẳng đứng, và tìm xung lực va chạm tại bản lề O.

Bài giải:

Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho thanh OA, chịu tác

dụng của xung lực va chạm vcS tại đầu A và xung lực va chạm tại bản lề O có hai

thành phần hình chiếu lên các trục là ,Ox OyS S , ta đƣợc:

vc

C Ox Oy

Pu S S S

g.

Chiếu phƣơng trình trên xuống hai trục toạ độ:

O

A

l

vcS

x

y

O

A

C

vcS

1

OyS

Cu

OxS

Hình 5.7

O x

y

y1

x1 C

1

vcS

2

vcS

vc

nS

Hình 5.6

- 111 -

vc

C Ox

Pu S S

g, (a)

0 OyS , (b)

Gọi 1 là vận tốc góc sau va chạm của thanh OA, thì 1

2C

lu .

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm cho thanh OA,

ta đƣợc:

1 .vc

OJ S l . (c)

Áp dụng định lý biến thiên động năng cho thanh OA trong di chuyển từ sau

va chạm đến lúc dừng lại tức thời, ta đƣợc:

2 2

1

11 cos

2 2 2O

l cJ P ,

hay

2 2

1 1 cosOJ Pl c . (d)

Từ (c), (d) ta tìm đƣợc:

22

2 22 sin2

vc

O

l SPl c

J

Do đó

2 22 sin3 2

vc PS Pl c

g

Từ (a), (b), ta tìm đƣợc xung lực va chạm tại trục quay O:

1

1 .

2 2 2

vc vcvc vc

Ox

O

P P S l SS S S

g g J

2 212 sin

2 3 2

PPl c

g,

0OyS .

Ví dụ5. 2:

Thanh OA đồng chất có chiều dài 2l và khối lƣợng 1m , có thể quay quanh

trục cố định nằm ngang O. Thanh bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh ở vị trí tạo

góc với phƣơng thẳng đứng. Khi chuyển động đến vị trí thẳng đứng đầu A của

thanh va chạm vào vật B có khối lƣợng 2m , đang đứng im trên mặt phẳng ngang

(hình 5.8). Bỏ qua ma sát. Biết hệ số phục hồi giữa hai vật là k.

- 112 -

Tìm vận tốc góc sau va chạm của thanh OA, vận tốc sau va chạm của vật B,

xung lực va chạm tại A và tại bản lề O.

Bài giải:

Ta áp dụng định lý biến thiên động năng cho thanh OA trong di chuyển từ vị

trí ban đầu OA0 đến vị trí thẳng đứng để tìm vận tốc góc trƣớc va chạm 1:

2

1 1

11 cos

2OJ m gl , với 2

1

4

3OJ m l ,

suy ra:

1

3sin

2

g

l.

Khi đầu A va chạm vào vật B, thanh OA chịu tác dụng của xung lực va chạm

AS tại đầu A, còn vật B chịu tác dụng của xung lực va chạm '

AS , '

A AS S .

Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho thanh OA, ta đƣợc

1 1C C A Ox Oym u m v S S S ,

với hai thành phần xung lực va chạm tại O đƣợc giả thiết có chiều nhƣ hình vẽ.

Chiếu phƣơng trình trên xuống các trục toạ độ, với giả thiết vận tốc góc sau va

chạm 2 ngƣợc chiều với

1, ta đƣợc hai phƣơng trình:

1 2 1 1 A Oxml ml S S , (a)

0 OyS . (b)

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng đối với trục quay Oz cho

thanh OA khi va chạm, ta có:

Hình 5.8

x

y

O

A

C

AS

1

OyS

Cv

OxS

2

Cu

Au Av

O

A

2l

B

A0

n

1

B Bu

'

AS

- 113 -

2 1 .2O O AJ J S l , hay

2 1

1

3

2

AS

lm. (c)

Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm cho vật B, với Bu là vận

tốc sau va chạm, ta đƣợc:

2 B Am u S . (d)

Hơn nữa ta có: rn

rn

uk

v

trong đó: ,r A B r A B Au u u v v v v .

Chiếu các biểu thức véc tơ trên xuống trục pháp tuyến An tại điểm va chạm:

22rn A B Bu u u l u ,

12rn Av v l .

Do đó

2 2

1 1

2 2

2 2

B Bl u l uk

l l, hay

1 22 2 Blk l u (e)

Giải hệ năm phƣơng trình (a) (b)(c)(d) (e) ta có đƣợc năm ẩn số cần tìm:

2 12

2 1

3 3sin

3 2

m k m g

m m l, 1

2 1

2 13 sin

3 2B

m ku gl

m m, 0OyS ,

1 2

2 1

2 13 sin

3 2A

m m kS gl

m m,

2

1 2 1

2

5 1 23 sin

3 2Ox

m m k mS gl

m.

Ví dụ5. 3:

Con lắc Eliptic gồm con trƣợt A có khối lƣợng M, có thể trƣợt trên mặt

phẳng ngang nhẵn, nối bản lề với thanh thẳng đồng chất OA có khối lƣợng m, chiều

dài l (hình 5.9). Tại thời điểm nào đó, hệ đang ở vị trí cân bằng thì con trƣợt A chịu

tác dụng của xung lực va chạm S nằm ngang.

Tìm vận tốc sau va chạm của con trƣợt A, vận tốc góc sau va chạm của thanh

OB và xung lực va chạm tại bản lề O.

Bài giải:

Con trƣợt A chịu tác dụng của xung lực va chạm S và xung lực va chạm tại

O, giả thiết có chiều nhƣ hình vẽ.

- 114 -

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lƣợng khi va chạm cho vật A, ta đƣợc:

A Ox OyMu S S S .

Chiếu các phƣơng trình này xuống các trục toạ độ Oxy:

A OxMu S S , (a.)

0 .OyS (b)

Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm và định lý biến thiên

mômen động lƣợng đối với trục Cz khi va chạm cho thanh OB, ta đƣợc:

'

'

1

,

1.

2

Cx Ox

C Ox

Mu S

J S

trong đó 1

1

2Cx r e Au v v u , 21

12CJ ml , '

Ox OxS S .

Thay các giá trị này vào phƣơng trình trên, ta thu đƣợc:

1

1

2A Oxm u S , 2

1

1 1.

12 2Oxml S l . (c)

Từ (c) ta tìm đƣợc 1

6 OxS

ml. Thay giá trị đó vào (b), ta giải tìm đƣợc

4 OxA

Su

m, rồi

thay vào (a) ta đƣợc

, 04

Ox Oy

mSS S

m M,

suy ra

1

4 6,

4 4A

S Su

m M l m M.

Hình 5.9

x

y

O

B

C

1

'

OxS

e Av u

Au

rv

S O

A

B

O

l

Au

A

OxS S O

OyS

- 115 -

§5. TÂM VA CHẠM CỦA VẬT QUAY

Việc xuất hiện các xung lực va chạm tại các ổ trục

là hiện tƣợng không mong muốn, vì nó có thể đẩy nhanh

tốc độ mài mòn hoặc dẫn đến sự phá huỷ các bộ phận kết

cấu (ổ trục, trục quay,…). Sau đây, ta sẽ xét xem có thể

xảy ra sự va chạm vào vật quay mà tại các ổ trục không

xuất hiện các xung lực va chạm hay không.

1. Xác định xung lực va chạm tại trục quay

Khảo sát vật rắn chuyển động quay quanh trục cố

định Az, chịu tác dụng của xung lực va chạm S (hình 5.

10). Ta chọn hệ trục Axyz sao cho khối tâm C của vật

nằm trên mặt Ayz. Xung lực tại các ổ trục A, B có các

thành phần hình chiếu trên các trục tạo độ đƣợc giả thiết nhƣ hình vẽ. Biết khoảng

cách từ C đến trục Az bằng a và AB = b. Ta sẽ lập các phƣơng trình xác định các

xung lực va chạm tại A và B.

Gọi M là khối lƣợng của vật rắn, 1 2, là vận tốc góc của vật trƣớc và sau va

chạm. Áp dụng định lý biến thiên động lƣợng khi va chạm, với lƣu ý ,C Cv u song

song và ngƣợc chiều với trục Ox, có trị số tƣơng ứng là 1 2,C Cv a u a , ta đƣợc:

2 1

0

0

x Ax Bx

y Ay By

z Az

Ma S S S

S S S

S S

(5.19)

Áp dụng định lý biến thiên mômen động

lƣợng khi va chạm đối với ba trục toạ độ, ta đƣợc:

2 1

2 1

2 1

.

.

x x x By

y y y Bx

z z z

L L m S b S

L L m S b S

L L m S

(5.20)

Bây giờ, ta tìm mômen động lƣợng của vật rắn

quay quanh trục cố định Az với vận tốc góc đối

với các trục toạ độ (hình 5.11).

Chia vật thành nhiều phần tử nhỏ, phần tử kM

có các toạ độ kx ,

ky , kz và vận tốc k kv h , ta có:

Cu

S

AxS AyS

BxS

ByS

Hình 5.10

x

y

z

A

B

a Cv

AzS

C

b

2

1

kxv

k kx

kM

Hình 5.11

x

y

z

A

B

kv O

k

kyv

kh

ky

kz

k

- 116 -

cosx k k k ky k k k k k k k km m v m v z m h z m x z

siny k k k kx k k k k k k k km m v m v z m h z m y z

2

z k k k k k k km m v m v h m h

Do đó theo công thức mômen quán tính ly tâm:

2

x x k k k k k xz

y y k k k k k yz

z z k k k k z

L m m v m x z J

L m m v m y z J

L m m v m h J

(5.21)

Thay các kết quả (5.21) vào (5.20) cùng với các phƣơng trình (5.19) ta đƣợc

sáu phƣơng trình đại số sau đây:

2 1

2 1

2 1

2 1

0

0

x Ax Bx

y Ay By

z Az

xz x By

yz y Bx

z z

Ma S S S

S S S

S S

J m S bS

J m S bS

J m S

(5.22)

Hệ phƣơng trình (5.22) cho ta tìm đƣợc độ biến thiên vận tốc góc của vật trong va

chạm và hình chiếu của các xung lực va chạm tại các ổ trục quay.

2. Tâm va chạm của vật quay

Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định,

chịu tác dụng của xung lực va chạm, ta tìm điều kiện để

không xuất hiện các xung lực va chạm tại các ổ trục.

Nếu các xung lực va chạm ,A BS S đều bằng không

thì hệ phƣơng trình (5.22) có dạng:

2 1

2 1

2 1

2 1

0

0

x

y

z

xz x

yz y

z z

Ma S

S

S

J m S

J m S

J m S

(5.23)

S

Hình 5.12

z

A

B

C

x

y

h

a

O K

- 117 -

Vì 0y zS S , xung lực S phải song song với trục Ox. Ta chọn mặt phẳng

toạ độ Oxy chứa xung lực S (hình 5.12). Từ đó suy ra 0x ym S m S . Từ hai

phƣơng trình thứ tƣ và thứ năm trong hệ (5.23), ta lại có điều kiện 0xz yzJ J . Mặt

phẳng Oxy chứa xung lực S phải chọn sao cho trục Oz là trục quán tính chính (đặc

biệt, nếu Oxy là mặt phẳng đối xứng của vật thì Oz là trục quán tính chính).

Gọi h là khoảng cách từ xung lực S đến trục x, phƣơng trình thứ nhất và thứ

sáu của hệ (5.23) có dạng:

2 1

2 1 .z

Ma S

J S h

Từ hai phƣơng trình trên, khoảng cách h đƣợc xác định nhƣ sau:

zJh

Ma. (5.24)

Điều kiện để không xuất hiện xung lực va chạm tại các ổ trục quay:

1) Xung lực va chạm S phải nằm trong mặt phẳng Oxy vuông góc với trục

quay Oz, sao cho trục Oz phải là trục quán tính chính của vật (đặc biệt: mặt

Oxy là mặt phẳng đối xứng của vật rắn).

2) Xung lực va chạm S phải vuông góc với mặt phẳng đi qua trục quay Oz và

khối tâm C của vật.

3) Xung lực va chạm S phải đặt cách trục quay Oz một đoạn bằng zJh

Ma về

phía có khối tâm C.

Điểm đặt K, cần đặt xung lực va chạm S sao cho không xuất hiện xung lực

va chạm tại các ổ trục quay, gọi là tâm va chạm của vật đó.

Đặc biệt, nếu a = 0, tức là khối tâm C ở ngay trên trục quay thì h , vật

không có tâm va chạm. Khi trục quay đi qua khối tâm, bao giờ cũng xuất hiện xung

lực va chạm tại các ổ trục quay nếu nó bị tác dụng của xung lực va chạm.

Ví dụ5.4:

Đĩa tròn đồng chất có khối lƣợng M và bán kính R có thể quay quanh trục cố

định vuông góc với đĩa và có khoáng cách đến tâm đĩa bằng OC = a (hình 5.13).

Tìm tâm va chạm K của đĩa. Nếu tác dụng vào đĩa xung lực va chạm S nằm trong

mặt phẳng đĩa, có phƣơng đi qua K và vuông góc với OK, tìm vận tốc góc sau va

- 118 -

chạm của đĩa, biết vận tốc trƣớc va chạm của khối tâm C là Cv ngƣợc chiều với

xung lực S .

Bài giải:

Tâm va chạm K nằm trên trục Oy, theo công thức (5.24), khoảng cách

zJOK h

Ma, áp dụng định lý Huyghen ta đƣợc:

2 2 21

2z CJ J Ma MR Ma ,

do đó

2 2

2

R aOK h

a.

Xung lực va chạm S nằm trong mặt phẳng

toạ độ Oxy, vuông góc với mặt phẳng tạo bởi Oz và

C (mặt Oyz) và cách trục Oz đoạn OK, do đó không

xuất hiện xung lực va chạm tại các điểm A, B.

Áp dụng định lý biến thiên mômen động

lƣợng khi va chạm cho đĩa, với giả thiết vận tốc góc sau va chạm 2 ngƣợc chiều

với vận tốc góc trƣớc va chạm, ta đƣợc:

2 1 . zz z

JJ J S h S

Ma,

suy ra

2 1

S

Ma.

Ví dụ 5.5:

Con lắc thử đạn, dùng để đo vận tốc của đạn bằng thực nghiệm, gồm ống

hình trụ có thể quay quanh trục nằm ngang cố định. Biết khoảng cách từ trục O đến

khối tâm của con lắc là OC = a, khoảng cách từ trục O đến tâm va chạm bằng OK =

h, con lắc có khối lƣợng M, viên đạn có khối lƣợng m. Tại thời điểm trƣớc va chạm

con lắc đứng im, còn viên đạn có vận tốc nằm ngang và có phƣơng đi qua tâm va

chạm K. Sau va chạm, viên đạn nằm trong con lắc và con lắc bị lệch đi góc (hình

5.14).

Tìm vận tốc trƣớc va chạm của viên đạn.

S

Hình 5.13

z

A

B

C

2

x

y

h

a O

K

1

R

Cv

- 119 -

Bài giải:

Áp dụng công thức (5.24), ta có thể tìm đƣợc mômen quán tính của con lắc

đối với trục quay Oz

zJ Mah .

Xét cơ hệ gồm con lắc A và viên đạn

B. Ta thấy rằng mômen động lƣợng của hệ

đƣợc bảo toàn trong khoảng thời gian va

chạm

2 1z zL L . (a)

Gọi Bv là vận tốc trƣớc va chạm của

viên đạn, ta có mômen động lƣợng của hệ

trƣớc va chạm:

1z BL mv h . (b)

Gọi 2 là vận tốc góc sau va chạm

của con lắc A, ta tính đƣợc mômen động lƣợng của hệ sau va chạm:

2

2 2 2z z BL J mu h Mah mh . (c)

Thay các giá trị tìm đƣợc vào (a), giải ra ta đƣợc:

2B

Ma mhv

m. (d)

Để tìm vận tốc góc 2, ta áp dụng định lý biến thiên động năng của hệ từ vị

trí sau va chạm đến vị trí đạt góc lớn nhất .

1 0 kT T A (e)

trong đó 1 0T , 2 2 2 2

0 2 2

1 1 1

2 2 2z BT J mu Mah mh

21 cos 1 cos 2 sin .2

kA Mga mgh g Ma mh

Thay các giá trị trên vào (e) và giải ra ta đƣợc

2 2 sin2

g

h.

Thay giá trị của 2 vào (d), ta đƣợc vận tốc của viên đạn trƣớc va chạm

2

sin2

B

Ma mh gv

m h.

Hình 5.14

O

A B

Bv

K

2

C

a

h

ĐỘng lỰc hỌc

Documents