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TransformaçõesLinearesDefinição
Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).
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Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).
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Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).
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Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).
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Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).
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Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.
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Funções – Exemplo 2
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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Funções – Exemplo 2
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,
T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0
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TL – Notação
Notação
Denotamos por L(U, V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .
Observação
Veremos que L(U, V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.
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Notação
Denotamos por L(U, V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .
Observação
Veremos que L(U, V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?
T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nxé linear?
T (αx + y) = A(αx + y)
= αAx + Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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TL – Exemplo 3
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?
T (1, 1, 1) = (1, 1)
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Não.
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T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?
T (1, 1, 1) = (1, 1)
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Não.
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T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?
T (1, 1, 1) = (1, 1)
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Não.
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T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?
T (1, 1, 1) = (1, 1)
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Não.
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T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?
T (1, 1, 1) = (1, 1)
T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)
Não.
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TL – Exemplo 4
Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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TL – Exemplo 4
Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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TL – Exemplo 4
Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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TL – Exemplo 4
Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada
D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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Teorema
Teorema
Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
u =∑n
i=1 αiui
T (u) = T(∑n
i=1 αiui)
=∑n
i=1 αiT (ui)
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Teorema
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Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
u =∑n
i=1 αiui
T (u) = T(∑n
i=1 αiui)
=∑n
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Teorema
Teorema
Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
u =∑n
i=1 αiui
T (u) = T(∑n
i=1 αiui)
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Teorema
Teorema
Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
u =∑n
i=1 αiui
T (u) = T(∑n
i=1 αiui)
=∑n
i=1 αiT (ui)
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Exemplo
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Exemplo
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Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Exemplo
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Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Exemplo
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
uv
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
u + v
uv
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
R(v)
R(u)
R(v)
RR
v u
u + v
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
R(v)
R(u)
R(v)
R(u) + R(v)
v u
u + v
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
R(u) + R(v)R
u + v
R(u + v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60
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Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
R(u) + R(v)R
u + v
R(u + v) = R(u) + R(v)
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Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
R(u) + R(v)R
u + v
R(u + v) = R(u) + R(v)
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Inversa de Matriz
Exemplo: Matriz de Rotação
R([
xy
])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)
cos θ
sin
θ
θ
e1
R(e1)
− sin θ
cos θ
e2
R(e2)θ
R([
xy
])= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θ
cos θ
]
=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo: Matriz de Rotação
R([
xy
])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)
cos θ
sin
θ
θ
e1
R(e1)
− sin θ
cos θ
e2
R(e2)θ
R([
xy
])= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θ
cos θ
]
=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Exemplo: Matriz de Rotação
R([
xy
])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)
cos θ
sin
θ
θ
e1
R(e1)
− sin θ
cos θ
e2
R(e2)θ
R([
xy
])= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θ
cos θ
]
=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Matrizes e transformações lineares estão intrinsecamenterelacionados (em espaços de dimensão finita):
A uma matriz associamos uma TL;A uma TL associamos uma matriz;As operações com matrizes (soma, multiplicação porescalar e produto) são definidas à partir de operaçõescom TLs.
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Matrizes e TLs
Matrizes e transformações lineares estão intrinsecamenterelacionados (em espaços de dimensão finita):
A uma matriz associamos uma TL;A uma TL associamos uma matriz;As operações com matrizes (soma, multiplicação porescalar e produto) são definidas à partir de operaçõescom TLs.
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Matrizes e TLs
Matrizes e transformações lineares estão intrinsecamenterelacionados (em espaços de dimensão finita):
A uma matriz associamos uma TL;A uma TL associamos uma matriz;As operações com matrizes (soma, multiplicação porescalar e produto) são definidas à partir de operaçõescom TLs.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
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Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
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Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Matrizes e TLs
Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.
Como construir T : U → V linear a partir de A?
Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .
Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,
T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n
A[uj ]β = Aej = aj
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
A =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 60
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n
A[uj ]β = Aej = aj
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
A =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 60
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n
A[uj ]β = Aej = aj
[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U
m
A =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 60
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Teorema
Dadas T : U → V, β, γ, defina
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
].
Então vale
[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U.
[ · ]γ←β : L(U, V ) → Rm×n
T 7→ [T ]γ←β
é bijeção.
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Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
Teorema
Dadas T : U → V, β, γ, defina
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
].
Então vale
[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U.
[ · ]γ←β : L(U, V ) → Rm×n
T 7→ [T ]γ←β
é bijeção.
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
coordenadas
vetor=
matriz
transf. linear
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matrizes e TLs
U T−→ V
[ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ
Rn −→[T ]γ←β
Rm
[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo
T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)
β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?
[T ]γ←β =
[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ
]=
1 00 10 0
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo
T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)
β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?
[T ]γ←β =
[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ
]=
1 00 10 0
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo
T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)
β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?
[T ]γ←β =
[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ
]=
1 00 10 0
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem
Definição (núcleo, imagem)
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.
N(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.
Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem
Definição (núcleo, imagem)
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.
N(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.
Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem
Observação
N(T ) é subespaço vetorial de U.
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Definição (nulidade, posto)
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo
ν(T ) = dim(N(T ))
O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem
ρ(T ) = dim(Im(T ))
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Núcleo e Imagem
Observação
N(T ) é subespaço vetorial de U.
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Definição (nulidade, posto)
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo
ν(T ) = dim(N(T ))
O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem
ρ(T ) = dim(Im(T ))
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Inversa de TL
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Núcleo e Imagem
Observação
N(T ) é subespaço vetorial de U.
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Definição (nulidade, posto)
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo
ν(T ) = dim(N(T ))
O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem
ρ(T ) = dim(Im(T ))
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.
Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se
[A 0
].
As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?
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Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Suponha que A está na forma totalmente escalonada. Por
exemplo, A =
[1 2 00 0 1
].
As colunas-pivot (colunas que contém pivots) serãosempre, nesta situação, e1, . . . , ep e formam, portanto, baseda imagem de A.
O fato das colunas-pivot serem LI traduz-se no fato de nãohaver solução não-trivial do sistema linear homogêneoAx = 0 com entradas não nulas apenas nas posiçõesassociadas aos pivots. No exemplo, não há solução não
trivial do tipo[
1 2 00 0 1
] ?0?
=
[00
].
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Suponha que A está na forma totalmente escalonada. Por
exemplo, A =
[1 2 00 0 1
].
As colunas-pivot (colunas que contém pivots) serãosempre, nesta situação, e1, . . . , ep e formam, portanto, baseda imagem de A.
O fato das colunas-pivot serem LI traduz-se no fato de nãohaver solução não-trivial do sistema linear homogêneoAx = 0 com entradas não nulas apenas nas posiçõesassociadas aos pivots. No exemplo, não há solução não
trivial do tipo[
1 2 00 0 1
] ?0?
=
[00
].
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Suponha que A está na forma totalmente escalonada. Por
exemplo, A =
[1 2 00 0 1
].
As colunas-pivot (colunas que contém pivots) serãosempre, nesta situação, e1, . . . , ep e formam, portanto, baseda imagem de A.
O fato das colunas-pivot serem LI traduz-se no fato de nãohaver solução não-trivial do sistema linear homogêneoAx = 0 com entradas não nulas apenas nas posiçõesassociadas aos pivots. No exemplo, não há solução não
trivial do tipo[
1 2 00 0 1
] ?0?
=
[00
].
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Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se
B =
[b1 b2 b3
]∼
[1 2 00 0 1
]então não há solução
não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos
pivots de A.
[b1 b2 b3
] ?0?
= 0 não tem solução
não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.
Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).
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Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se
B =
[b1 b2 b3
]∼
[1 2 00 0 1
]então não há solução
não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos
pivots de A.
[b1 b2 b3
] ?0?
= 0 não tem solução
não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.
Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).
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Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se
B =
[b1 b2 b3
]∼
[1 2 00 0 1
]então não há solução
não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos
pivots de A.
[b1 b2 b3
] ?0?
= 0 não tem solução
não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.
Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).
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Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se
B =
[b1 b2 b3
]∼
[1 2 00 0 1
]então não há solução
não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos
pivots de A.
[b1 b2 b3
] ?0?
= 0 não tem solução
não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.
Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).
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Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se
B =
[b1 b2 b3
]∼
[1 2 00 0 1
]então não há solução
não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos
pivots de A.
[b1 b2 b3
] ?0?
= 0 não tem solução
não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.
Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).
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Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O núcleo de A é igual ao núcleo de B, isto é,oconjunto-solução de [ B |0].Se os pivots de B estão nas colunas j1, j2, . . . , jp, então{aj1 , aj2 , . . . , ajp} é uma base para Im(A).
Corolário
O posto de A é o número de linhas (não-nulas) da formaescalonada de A.
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Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O núcleo de A é igual ao núcleo de B, isto é,oconjunto-solução de [ B |0].Se os pivots de B estão nas colunas j1, j2, . . . , jp, então{aj1 , aj2 , . . . , ajp} é uma base para Im(A).
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O posto de A é o número de linhas (não-nulas) da formaescalonada de A.
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Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O núcleo de A é igual ao núcleo de B, isto é,oconjunto-solução de [ B |0].Se os pivots de B estão nas colunas j1, j2, . . . , jp, então{aj1 , aj2 , . . . , ajp} é uma base para Im(A).
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Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O núcleo de A é igual ao núcleo de B, isto é,oconjunto-solução de [ B |0].Se os pivots de B estão nas colunas j1, j2, . . . , jp, então{aj1 , aj2 , . . . , ajp} é uma base para Im(A).
Corolário
O posto de A é o número de linhas (não-nulas) da formaescalonada de A.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax
Teorema (do núcleo e imagem (ou do posto))
T : U → V transformação linear. A soma do posto e danulidade de T é igual à dimensão do domínio de T :
N(T ) + ρ(T ) = dim(N(T )) + dim(Im(T ))= dim(U) = n = #colunas
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço-Linha de A
Definição (transposta)
A transposta de uma matriz Am×n é a matriz Bn×m = AT
dada por
bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Note que (AT )T = A.
Definição (espaço-linha)
O espaço-linha de A é o espaço gerado pelas linhas de A,isto é, Im(AT ).
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Espaço-Linha de A
Definição (transposta)
A transposta de uma matriz Am×n é a matriz Bn×m = AT
dada por
bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Note que (AT )T = A.
Definição (espaço-linha)
O espaço-linha de A é o espaço gerado pelas linhas de A,isto é, Im(AT ).
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Espaço-Linha de A
Definição (transposta)
A transposta de uma matriz Am×n é a matriz Bn×m = AT
dada por
bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Note que (AT )T = A.
Definição (espaço-linha)
O espaço-linha de A é o espaço gerado pelas linhas de A,isto é, Im(AT ).
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Espaço-Linha de A
Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O espaço-linha de A é igual ao espaço linha de B.ρ(AT ) (o chamado posto-linha de A) é igual aoposto(-coluna) de A.
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TransformaçõesLineares
Revisão deFunções
TransformaçõesLinearesDefinição
Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço-Linha de A
Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O espaço-linha de A é igual ao espaço linha de B.ρ(AT ) (o chamado posto-linha de A) é igual aoposto(-coluna) de A.
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço-Linha de A
Teorema
Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.
O espaço-linha de A é igual ao espaço linha de B.ρ(AT ) (o chamado posto-linha de A) é igual aoposto(-coluna) de A.
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
TLs e Matrizes – Recapitulando
Definição (espaço das TLs)
Dados U e V espaços vetoriais definimos por L(U, V ) oespaço das transformações lineares T : U → V.
Definição (espaço Rn×m)
Definimos por Rn×m o espaço das matrizes n ×m.
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
TLs e Matrizes – Recapitulando
Definição (espaço das TLs)
Dados U e V espaços vetoriais definimos por L(U, V ) oespaço das transformações lineares T : U → V.
Definição (espaço Rn×m)
Definimos por Rn×m o espaço das matrizes n ×m.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
TLs e Matrizes – Recapitulando
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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TLs e Matrizes – Recapitulando
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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TLs e Matrizes – Recapitulando
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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TLs e Matrizes – Recapitulando
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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Inversa de Matriz
TLs e Matrizes – Recapitulando
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .
Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.
Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.
Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.
[T ]γ←β =
[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Relação entre Matrizes e L(U, V ) (parte II)
Observação
É comum se abusar da notação e se referir à“transformação linear A ∈ Rm×n” ou à“matriz da transformação T : Rn → Rm”(sem menção explícita às bases em questão).Nestes casos, assumem-se tacitamente as basescanônicas de Rn e de Rm.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Relação entre Matrizes e L(U, V ) (parte II)
Observação
É comum se abusar da notação e se referir à“transformação linear A ∈ Rm×n” ou à“matriz da transformação T : Rn → Rm”(sem menção explícita às bases em questão).Nestes casos, assumem-se tacitamente as basescanônicas de Rn e de Rm.
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
]
a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
]
[T ]ε←ε =
[1 21 2
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 60
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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[1 21 2
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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[1 21 2
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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[T ]ε←ε =
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Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
]
a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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[T ]ε←ε =
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
]
a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
]
[T ]ε←ε =
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
]
a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
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[T ]ε←ε =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
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a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =
[22
]
[T ]ε←ε =
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Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
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[22
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[T ]ε←ε =
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Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
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]= [T ]ε←ε =?
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T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
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Exemplo
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,
ε base canônica de R2, A =
[a1 a2
]= [T ]ε←ε =?
a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =
[11
]
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
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b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
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[30
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
]= [T ]β←β =?
b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
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[30
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
]= [T ]β←β =?
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[30
]
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
]= [T ]β←β =?
b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
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[30
]
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
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[30
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
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b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
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[30
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T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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[b1 b2
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Revisão deFunções
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
]= [T ]β←β =?
b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
= [3v1]β =
[30
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
[b1 b2
]= [T ]β←β =?
b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
B =
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )
Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Exemplo (continuação)
T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,
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Mudança de Base
Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
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Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
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Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
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Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
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Mudança de Base
Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 60
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TransformaçõesLineares
Revisão deFunções
TransformaçõesLinearesDefinição
Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Mudança de Base
Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.
Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então
[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.
O caso importante é quando T = I. Então
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.
[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Mudança de Base
[I]γ←β =
[[I(u1)]γ · · · [I(un)]γ
]
=
[[u1]γ · · · [un]γ
]onde β = {u1, . . . , un} .
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço Vetorial das TLs
Definição (operações entre TLs)
Dados T , S ∈ L(U, V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:
T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)
e αT : U → Vu 7→ αT (u)
.
Lema (espaço vetorial das TLs)
L(U, V ) com as operações acima é um espaço vetorial.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 60
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço Vetorial das TLs
Definição (operações entre TLs)
Dados T , S ∈ L(U, V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:
T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)
e αT : U → Vu 7→ αT (u)
.
Lema (espaço vetorial das TLs)
L(U, V ) com as operações acima é um espaço vetorial.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rn×m
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.
Como definir a soma de matrizes de forma que
A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β
=
[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ
]
=
[ ([T u1]γ + [Su1]γ
)· · ·
([T un]γ + [Sun]γ
) ]
=
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 60
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rn×m
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.
Como definir a soma de matrizes de forma que
A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ?
=
[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ
]
=
[ ([T u1]γ + [Su1]γ
)· · ·
([T un]γ + [Sun]γ
) ]
=
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 60
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Operações em Rn×m
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.
Como definir a soma de matrizes de forma que
A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β
=
[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ
]
=
[ ([T u1]γ + [Su1]γ
)· · ·
([T un]γ + [Sun]γ
) ]
=
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 60
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rn×m
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.
Como definir a soma de matrizes de forma que
A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β
=
[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ
]
=
[ ([T u1]γ + [Su1]γ
)· · ·
([T un]γ + [Sun]γ
) ]
=
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 60
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Operações em Rn×m
Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.
Como definir a soma de matrizes de forma que
A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β
=
[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ
]
=
[ ([T u1]γ + [Su1]γ
)· · ·
([T un]γ + [Sun]γ
) ]
=
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 60
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Para valer
[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,
define-se
A + B =
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
],
isto é,
(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Para valer
[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,
define-se
A + B =
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
],
isto é,
(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Para valer
[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,
define-se
A + B =
[(a1 + b1) · · · (an + bn)
],
isto é,
(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Analogamente, para que
[αT ]γ←β = α[T ]γ←β,
define-se
αA =
[αa1 · · · αan
],
isto é,
(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Analogamente, para que
[αT ]γ←β = α[T ]γ←β,
define-se
αA =
[αa1 · · · αan
],
isto é,
(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Operações em Rm×n
Analogamente, para que
[αT ]γ←β = α[T ]γ←β,
define-se
αA =
[αa1 · · · αan
],
isto é,
(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
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Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço Vetorial Rm×n
Definição
Soma de matrizes e multiplicação de mariz por escalar sãodefinidas entrada-a-entrada.
Lema (espaço vetorial das matrizes)
Rn×m com as operações acima é espaço vetorial.
Lema (linearidade da representação matricial)
[ · ]γ←β : L(U, V )→ Rm×n é linear, isto é,
[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β
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Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço Vetorial Rm×n
Definição
Soma de matrizes e multiplicação de mariz por escalar sãodefinidas entrada-a-entrada.
Lema (espaço vetorial das matrizes)
Rn×m com as operações acima é espaço vetorial.
Lema (linearidade da representação matricial)
[ · ]γ←β : L(U, V )→ Rm×n é linear, isto é,
[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Espaço Vetorial Rm×n
Definição
Soma de matrizes e multiplicação de mariz por escalar sãodefinidas entrada-a-entrada.
Lema (espaço vetorial das matrizes)
Rn×m com as operações acima é espaço vetorial.
Lema (linearidade da representação matricial)
[ · ]γ←β : L(U, V )→ Rm×n é linear, isto é,
[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 42 / 60
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Revisão deFunções
TransformaçõesLinearesDefinição
Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de EV de matrizes
Exemplo
Encontre uma base de R2×3.Qual a dimensão deste espaço?
Defina
A11 =
[1 0 00 0 0
]A12 =
[0 1 00 0 0
]A13 =
[0 0 10 0 0
]A21 =
[0 0 01 0 0
]A22 =
[0 0 00 1 0
]A23 =
[0 0 00 0 1
]{A11, A12, A13A21, A22, A23} é base. (Representação única.)[
a11 a12 a13a21 a22 a23
]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de EV de matrizes
Exemplo
Encontre uma base de R2×3.Qual a dimensão deste espaço?
Defina
A11 =
[1 0 00 0 0
]A12 =
[0 1 00 0 0
]A13 =
[0 0 10 0 0
]A21 =
[0 0 01 0 0
]A22 =
[0 0 00 1 0
]A23 =
[0 0 00 0 1
]{A11, A12, A13A21, A22, A23} é base. (Representação única.)[
a11 a12 a13a21 a22 a23
]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de EV de matrizes
Exemplo
Encontre uma base de R2×3.Qual a dimensão deste espaço?
Defina
A11 =
[1 0 00 0 0
]A12 =
[0 1 00 0 0
]A13 =
[0 0 10 0 0
]A21 =
[0 0 01 0 0
]A22 =
[0 0 00 1 0
]A23 =
[0 0 00 0 1
]{A11, A12, A13A21, A22, A23} é base. (Representação única.)[
a11 a12 a13a21 a22 a23
]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23
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Exemplo
Encontre uma base de R2×3.Qual a dimensão deste espaço?
Defina
A11 =
[1 0 00 0 0
]A12 =
[0 1 00 0 0
]A13 =
[0 0 10 0 0
]A21 =
[0 0 01 0 0
]A22 =
[0 0 00 1 0
]A23 =
[0 0 00 0 1
]{A11, A12, A13A21, A22, A23} é base. (Representação única.)[
a11 a12 a13a21 a22 a23
]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Composição de Funções
Definição (composição de funções)
Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se
g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))
f g
X Y Z
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Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se
g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))
f g
X Y Z
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Definição (composição de funções)
Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se
g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))
X Z
g ◦ f
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Propriedades da Composição
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.
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Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.
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Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.
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Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.
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Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.
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Propriedades da Composição de TLs
No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Propriedades da Composição de TLs
No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Inversa de TL
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Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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Exemplo
Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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U VT
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Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT
Rn Rm
[ · ]β [ · ]γ
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT
Rn Rm[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
V
Rm
[ · ]γ
WS
Rp[S]δ←γ
[ · ]δ
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT
Rn Rm[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp[S]δ←γ
[ · ]δ
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT
Rn Rm[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp[S]δ←γ
[ · ]δ
S ◦ T
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT
Rn Rm[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp[S]δ←γ
[ · ]δ
S ◦ T
[S ◦ T ]δ←β
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
[Ba1 · · ·Ban
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 49 / 60
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
[Ba1 · · ·Ban
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Projeção, Rotação eReflexão
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
[Ba1 · · ·Ban
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Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
[Ba1 · · ·Ban
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Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
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Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n
de forma que
BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n
=
[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ
]
=
[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ
]
=
[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)
]
=
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Produto de Matrizes
Definição
O produto de Bp×m por Am×n é a matriz Cp×n cuja j-ésimacoluna é o produto de B pela j-ésima coluna de A.
Propriedade
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
Observação
Pela propriedade acima, o produto de matrizes herda aspropriedades da composição de TLs: distributividade,associatividade, não-comutatividade, etc.
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Definição
O produto de Bp×m por Am×n é a matriz Cp×n cuja j-ésimacoluna é o produto de B pela j-ésima coluna de A.
Propriedade
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
Observação
Pela propriedade acima, o produto de matrizes herda aspropriedades da composição de TLs: distributividade,associatividade, não-comutatividade, etc.
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Produto de Matrizes
Definição
O produto de Bp×m por Am×n é a matriz Cp×n cuja j-ésimacoluna é o produto de B pela j-ésima coluna de A.
Propriedade
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
Observação
Pela propriedade acima, o produto de matrizes herda aspropriedades da composição de TLs: distributividade,associatividade, não-comutatividade, etc.
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Inversa de Matriz
Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
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Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p
colunas são CLs das colunas da 1a matriz
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Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p
colunas são CLs das colunas da 1a matriz
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Inversa de Matriz
Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p
entradas são produtos escalaresde linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz
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Inversa de Matriz
Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p
entradas são produtos escalaresde linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p
linhas são CLs das linhas da 2a matriz
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Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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composição deTLs/produto dematrizes
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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composição deTLs/produto dematrizes
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Inversa de TL
Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2
[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1
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(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
(AB)T = BT AT
AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
X Y
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
X Y
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
X Y
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
X Y
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Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f−1
X Y
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Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.
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Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.
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A inversa possui as seguintes propriedades:
f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√
x pois ( 3√
y)3 = y e3√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).
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Caracterização da Inversa
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então f ◦ gtambém o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
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Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então f ◦ gtambém o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
f g
X Y Z
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Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então f ◦ gtambém o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
f g
X Y Zg ◦ f
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Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então f ◦ gtambém o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
f−1 g−1
X Y Zf−1 ◦ g−1
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Inversa de TL
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Inversa de TL
Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.
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Inversa de TL
Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.
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Inversa de TL
Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.
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Inversa de TL
Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Inversa de Matriz
Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa de Matriz
Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Inversa de Matriz
Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Projeção, Rotação eReflexão
Matrizes eTLs
Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas
composição deTLs/produto dematrizes
Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
Inversa de TL
Inversa de Matriz
Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa deTL/MatrizFunção Inversa
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Definição de Inversa de Matriz
T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .
Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.
Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?
AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.
Conclusão: AB = BA = In×n.
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Inversa de Matriz
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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Definição (matriz inversa)
Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.
Observação
Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.
Lema (relação entre matriz e TL inversa)
Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.
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