fungsi dua variabel atau lebih

of 23 /23
FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH Tim Pengajar Kalkulus II

Upload: independent

Post on 20-Feb-2023

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

FUNGSI DUA VARIABEL ATAU

LEBIH

Tim Pengajar Kalkulus II

Deskripsi

Sistem koordinat: koordinat kutub, tabung dan bola, kalkulus fungsi dari R ke Rn: lengkungan di R2 dan R3 limit, kekontinuan, turunan, integral, kinetika partikel, geometri lengkungan (garis singgung, normal, binomial dan bidang oskulasi).

Kalkulus fungsi Rm, limit, kekontinuan, turunan parsial, turunan total, turunan berarah, gradient, persamaan bidang singgung dan turunan fungsi komposisi.

Kalkulus fungsi Rm ke Rn: limit, kekontinuan, turunan, turunan fungsi komposisi dan matriks Jacobi. Integral ganda: integral ganda dua dan tiga, integral berulang, transformasi, perubahan urutan integrasi serta integral ganda 3.

Tujuan

Mahasiswa mampu menjelaskan konsep kalkulus

peubah banyak serta mampu menganalisa dan

menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan

fungsi peubah banyak

Pokok Bahasan

Limit dan kekontinuan fungsi peubah banyak

Turunan fungsi peubah banyak

Integral fungsi peubah banyak

Koordinat bola dan koordinat tabung

Transformasi Jacobian dan transformasi koordinat

Optimasi fungsi dan pengali Lagrange

Deret Fourier

Persamaan Diferensial Parsial

Komposisi Penilaian

Tugas dan Quis 20 %

Ujian tengah semester 30 %

Ujian akhir semester 50 %

Praktikum 0 %

Buku Referensi

Purcell, Edwin J., Kalkulus, Jakarta: Penerbit Erlangga, 2004

Howard Anton, Calculus with Analytic Geometry, New York: John Wiley & Sons, 1988

Earl W Swokowsky, Calculus with Analytic Geometry, Boston: PWS-Kent, 1988

Murray R Spiegel, Advanced Calculus, Schaum’s

Outline Series: McGraw-Hill International Book

Company Singapore, 1981

Fungsi Secara Umum

Misalkan A dan B himpunan.

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi

jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan

tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan:

f : A B

artinya f memetakan A ke B.

A daerah asal (domain) dari f

B daerah hasil (codomain) dari f.

Fungsi Secara Umum

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan

(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan

(pre-image) dari b.

a b

A B

f

Fungsi Secara Umum

Definisi fungsi real f dari dua variabel

Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah

suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan

real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan

berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada

bidang xy.

Contoh 1

Misalkan

Tentukan domain dari f.

)(1),( 22 yxyxfz

Jika . Tentukan f(-2,3), 23 32),( yxyxyxf )2

,1

(yx

f

(a,b)

(a,b)

(c,d)

(e,f)

x

y

z

A B

f : (a,b) x

f

Definisi fungsi real f dari tiga variabel

Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah

suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan

real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan

berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada

ruang tiga dimensi.

Contoh 2 :

Tentukan nilai f(1,-2, 2) , f(x+1,y - 1, z2) dan

domain dari fungsi

xyyzxzyxf 3),,( 2

Fungsi Tiga Variabel

Tentuka domain dan gambarkan domain dari fungsi

(a,b)

(a,b,c)

(d,e,f)

(g,h,i)

x

y

z

A B

f : (a,b,c) x

f

1

1),,(

222

zyx

zyxzyxf

Grafik Fungsi

Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai

suatu grafik dari persamaan y=f(x).

Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan

sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang

merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.

Grafik Fungsi

Contoh

Gambarkan domain dari fungsi

Contoh

Gambarkan grafik dari fungsi

)ln(),( 2 yxyxf

22

22

4),(.

),(.

yxyxfb

yxyxfa

Lengkungan Ketinggian Fungsi

(Peta Kontur)

Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong

permukaan z=f(x,y), dan lengkungan perpotongannya

diproyeksikan ke bidang xy, maka tiap titik pada

lengkungan proyeksi akan berpadanan dengan suatu

titik unik pada permukaan tersebut yang k satuan di

atasnya (atau di bawahnya).

Lengkungan Ketinggian Fungsi

Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2,

3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu

permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan

perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy

maka proyeksinya merupakan pemetaan

lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada

bidang xy.

Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy

dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)

Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k

yang diberikan:

4,3,2,1,0

22

k

yxz

Grafik 3-D dari

4,3,2,1,022 kyxz

Contoh: Permukaan paraboloid

dan peta konturnya

22),( yxyxgz

Lengkungan Ketinggian Fungsi

Contoh

Tentukan lengkungan ketinggian fungsi

22 4936

3

1),( yxyxfz

Grafik Fungsi

Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat.

Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.

Contoh

Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 222),,( zyxzyxf