culegere mate clasa a 9 a si a 10a

47
1 Prof. CORNELIA MESTECAN Prof. RRODICA TRIŞCĂ CLUJ-NAPOCA 2009

Upload: independent

Post on 30-Apr-2023

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1

Prof. CORNELIA MESTECAN

Prof. RRODICA TRIŞCĂ

CLUJ-NAPOCA

2009

2

3

CUPRINS

1.

FIŞA NR. 1 – NUMERE REALE

Pag. 6

2.

FIŞA NR. 2 – ECUAŢII

Pag. 8

3.

FIŞA NR. 3 – FUNCŢII – TEORIE

Pag. 10

4.

FIŞA NR. 4 – FUNCŢII – EXERCIŢII

Pag. 13

5.

FIŞA NR. 5 – ECUAŢII IRAŢIONALE, ECUAŢII

EXPONENŢIALE

Pag. 16

6.

FIŞA NR. 6 – ECUAŢII LOGARITMICE

Pag. 19

7.

FIŞA NR. 7 – PROGRESII

Pag. 21

8.

FIŞA NR. 8 – ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

Pag. 24

9.

FIŞA NR. 9 – ELEMENTE DE GEOMETRIE –

VECTORI

Pag. 29

10.

FIŞA NR. 10 – ELEMENTE DE GEOMETRIE

ANALITICĂ

Pag. 32

11.

FIŞA NR. 11 – ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

Pag. 39

12.

BIBLIOGRAFIE

Pag. 45

4

5

ARGUMENT

Culegerea se adresează elevilor din clasele XI-XII liceu, ruta

directă, respectiv XII-XIII liceu, ruta progresivă şi constitue un sprijin

important în pregătirea de bază în domeniul matematicii, în

pregătirea pentru examenul de Bacalaureat.

Fişele conţin atât cunoştinţele teoretice necesare cât şi modele

de exerciţii rezolvate şi explicate. Temele propuse în fiecare fişă, sunt

concepute pentru fixarea cunoştinţelor dar şi pentru a uşura demersul

elevilor în pregătirea proprie pentru susţinerea examenului naţional.

Materialul poate fi utilizat atât la clasă cât şi în pregătirea

individuală a elevilor, acesta urmărind recuperarea cunoştinţelor

lacunare dar şi o pregătire temeinică, din timp, care să corespundă

cerinţelor programei de Bacalaureat.

Mult succes în pregătirea matematică,

Prof. Cornelia Mestecan

Prof. Rodica Trişcă

6

FIŞA NR. 1 -NUMERE REALE

propunător: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

N = ,...,...,2,1,0 n ; Z = ,...,...2,1,0,1,2,...,..., nn ; Q =

1),(,,/ * baNbZab

a,

RQZN .

Puteri cu exponent raţional

;;

;11;1;;;:,,, 0*

p

pp

ppp

ppqqpqp

q

pqpqp

b

a

b

aaaab

aaaaa

aaaaQqpRba

.1

p

p

aa

Proprietăţile radicalilor

,,,, NknRba impare sau NknRba ,;, pare :

0;; bb

a

b

abaabaa

n

n

nnnnn n ; nkn knk kn aaaa ; .

Media aritmetică a numerelor reale naaa ,...,, 21 este n

aaam n

a

...21

Media armonică a numerelor reale pozitive nunule naaa ,...,, 21 este

n

arm

aaa

nm

1...

11

21

Media geometrică a numerelor reale pozitive naaa ,...,, 21 este nng aaam ...21

Modulul ( valoarea absolută ) a numărului real a, este

0,

0,

aa

aaa

Probleme rezolvate

1. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea

{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta să fie raţional.

Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raţionale

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. ,

numărul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulţime = 10,

numărul de cazuri favorabile = nr. raţionale = 2, deci 5

1

10

2P

2. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea

{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta să fie iraţional.

Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raţionale

7

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. ,

numărul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulţime = 10,

numărul de cazuri favorabile = nr. iraţionale = 8, deci 5

4

10

8P

3. Să se ordoneze crescător numerele :

2

4

1

, 64 , 3 8 .

Rezolvare:

2

4

1

=

2

4

1

1

=

16

1

1 = 16 = 42 ; 64 = 62 ; 3 8 = 2

2 < 42 < 62 3 8 <

2

4

1

< 64 .

4. Să se calculeze 3

339

3

3

9

1 .

Rezolvare: 3

3

3

3

3

1

9

1 3

3 3

3

3 23 -am amplificat fracţia cu 3 3 pentru a

raţionaliza numitorul,

33

3 3

3 2

39

3

93

3

33

3

3 3

339

3

3

9

1 =

3

399

3

3 333

3

Temă

1. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea

{ 33333333 12,11,10,9,8,7,6,5 }, acesta să fie raţional.

2. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea

{ 5,4,3,2,1 }, acesta să fie iraţional.

3. Să se calculeze: 2

322 .

4. Să se calculeze: 22

48

2

11

.

5. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în

variantele de bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le

şi discutaţi-le la ora de matematică!

8

FIŞA NR. 2 – ECUAŢII

propunător: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

Ecuaţia de forma ax+b=0 cu Rba , , a≠0 are soluţia unică x=-a

b.

Ecuaţia Rcbacbxax ,,,02 şi a≠0, are :

-două soluţii reale a

bx

22,1

dacă 042 acb ;

-o soluţie reală a

bxx

221

dacă 042 acb ;

-nici o soluţie reală dacă 042 acb .

Descompunerea trinomului Rcbacbxax ,,,2 , a≠0 în produs:

))(( 21

2 xxxxacbxax , unde 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei .02 cbxax

Relaţiile lui Viète:

Fie 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei 02 cbxax ( a≠0, 0 ); notăm S= 21 xx , P= 21xx .

Atunci S= 21 xx =a

b şi P= 21xx =

a

c.

Formarea ecuaţiei 02 cbxax când se cunosc soluţiile sale:

Fie 21 , xx R , S= 21 xx , P= 21xx . Atunci 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei 02 PSxx .

Probleme rezolvate

1. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -2 < 3x – 4 < 3.

Rezolvare : -2 < 3x – 4 < 3 / + 4 -2 + 4 < 3x – 4 + 4 < 3 + 4 2 < 3x < 7 / :3

3

7

3

2 x

3

7;

3

2x

2. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -6 < -2x + 7 < 3.

Rezolvare : -6 < -2x + 7 < 3 / - 7 -6 - 7 < -2x + 7 - 7 < 3 - 7

-13 < -2x < - 4 / : (-2) 22

13 x

2

132 x

2

13;2x

3. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care 102 xxx .

Rezolvare: 102 xxx 01030102 22 xxxxx

Ataşăm ecuaţia 01032 xx

a=1, b=3, c= -10 acb 42 , 101432 , 49 >0, deci soluţiile sunt reale

şi distincte

22

73

2111

xx

a

bx ; 5

2

73

2222

xx

a

bx

Tabelul de semn este:

x -∞ -5 2 +∞

1032 xx + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +

Din tabel rezultă că 01032 xx pentru ;25; x

4. Să se determine numărul real m pentru care numărul x = -1 este soluţie a ecuaţiei

213 22 mmxx .

Rezolvare: x= - 1 soluţie, înseamnă că înlocuind pe x cu -1 în ecuaţie, obţinem o

identitate:

9

21131 22 mm 02131 2 mm

023132 mm 032 mm ; ecuaţia de gradul II are soluţiile reale

3;0 21 mm .

5. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care soluţiile 1x şi 2x ale ecuaţiei

01 22 mxmx , verifică relaţia: 52 2121 xxxx

Rezolvare: 01 22 mxmx cu soluţiile 1x şi 2x

Scriem relaţiile lui Viète: 11

121

m

m

a

bxx ; 2

2

211

mm

a

cxx

Înlocuim în relaţia 52 2121 xxxx ecuaţia 0322 mm care are soluţiile

reale 11 m şi 32 m .

6. Ştiind că 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0542 xx , calculaţi 31

2

2

1 x

x

x

x.

Rezolvare: 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0542 xx

Scriem relaţiile lui Viète: 41

421

a

bxx ; 5

1

521

a

cxx

31

2

2

1 x

x

x

x= 3

21

2

2

2

1

xx

xx=

32

21

21

2

21

xx

xxxx= 3

5

1016

=

5

15

5

6 =

5

9

Am folosit relaţia 21

2

2

2

1

2

21 2 xxxxxx 21

2

21

2

2

2

1 2 xxxxxx

7. Să se arate că mulţimea { Rx / 02)1(2 22 mxmx } are două elemente,

oricare ar fi

;

2

3m .

Rezolvare: ecuaţia 02)1(2 22 mxmx are două soluţii reale dacă 0 ,

128844842412 2222 mmmmmm

0

;

2

30128 mm

Temă

1. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -5 < 2x +3 < 5.

2. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -2 < -2x - 9 < 1.

3. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care 112 xxx .

4. Să se determine numărul real m pentru care numărul x = 3 este soluţie a ecuaţiei

21 22 mmxx .

5. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care soluţiile 1x şi 2x ale ecuaţiei

01222 mxmmx , verifică relaţia: 12121 xxxx .

6. Ştiind că 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0372 xx , calculaţi 11

2

2

1 x

x

x

x;

333 2121 xxxx .

7. Să se arate că mulţimea { Rx / 01132 2 mxmmx } are două elemente,

oricare ar fi 1Rm .

8. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

10

FIŞA NR. 3 – FUNCŢII - TEORIE

propunător: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

Fie mulţimile RBA , şi o funcţie BAf : .

f se numeşte funcţie strict crescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă

)()( 21 xfxf

f se numeşte funcţie crescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă )()( 21 xfxf

f se numeşte funcţie strict descrescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă

)()( 21 xfxf

f se numeşte funcţie descrescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă

)()( 21 xfxf

f este crescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem 0)()(

21

21

xx

xfxf

f este strict crescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este descrescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este strict descrescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem

0)()(

21

21

xx

xfxf

f este injectivă dacă ,, 21 Axx 21 xx avem )()( 21 xfxf

f este injectivă dacă ,, 21 Axx cu 2121 )()( xxxfxf

f este surjectivă dacă AxBy , astfel încât y = f(x)

f este bijectivă dacă f este injectivă şi surjectivă

f este inversabilă dacă există funcţia ABg : cu Afg 1 şi Bgf 1 (vezi

definiţia compusei a două funcţii)

f este inversabilă dacă şi numai dacă f este bijectivă

Operaţii cu funcţii

Fie RDgf :, , RD

,: RDgf (f+g)(x) = f(x) + g(x) se numeşte funcţia sumă a lui f şi g

,: RDgf fg(x) = f(x)g(x) se numeşte funcţia produs a lui f şi g

,,0)(,: DxxgRDg

f

)(

)())((

xg

xfx

g

f se numeşte funcţie cât

Fie CBgBAf :,: . Funcţia CAfg : definită prin ))(())(( xfgxfg se

numeşte compusa lui g cu f. Fie funcţia BAf : , y = f(x). Funcţia ABg : cu

proprietatea Axxxfg ,))(( şi Byyygf ,))(( , se numeşte inversa funcţiei f şi

se notează cu 1f .

11

Funcţia afină

Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , se numeşte funcţie afină. Funcţia f este constantă

dacă 0a . Funcţia f este strict crescătoare dacă 0a şi strict descrescătoare dacă 0a .

Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , se numeşte funcţie de gradul întâi.

Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , este bijectivă deci inversabilă.

Semnul funcţiei de gradul întâi:

x

a

b

f(x) Semnul opus lui a 0 Semnul lui a

Funcţia de gradul II

Funcţia 0,,,,)(,: 2 aRcbacbxaxxfRRf se numeşte funcţie de gradul II.

)4

;2

(aa

bV

este vârful parabolei (= reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de

gradul II) şi acesta reprezintă punct de maxim al funcţiei f dacă a<0 / punct de minim al

funcţiei f dacă a>0.

Valoarea aa

bf

4)

2(

este valoarea maximă a funcţiei dacă a<0 / valoarea minimă a

funcţiei dacă a>0. Forma canonică a funcţiei de gradul II este: aa

bxaxf

42)(

2

.

Monotonia funcţiei de gradul II

Cazul a>0

x

a

b

2

f(x) f strict descrescătoare

a4

f strict crescătoare

min

Cazul a<0

x

a

b

2

f(x) f strict crescătoare

a4

f strict descrescătoare

max

Semnul funcţiei de gradul II

Cazul 042 acb , 2121 ,, xxRxx ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )

presupunem 21 xx

x 1x 2x

f(x) semnul lui a 0 semnul opus lui a 0 semnul lui a

Cazul 042 acb , a

bxx

221

R , ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )

x 1x = 2x

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

12

Cazul 042 acb , Rxx 21, ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )

x f(x) semnul lui a

Funcţia exponenţială este f : ;0R , f (x) = ax , a >0 , a 1.

-Funcţia exponenţială este strict crescătoare pentru a>1 şi strict descrescătoare pentru

0<a<1

-Funcţia exponenţială este bijectivă şi inversa ei este funcţia logaritmică.

Funcţia logaritmică este f : (0; + ) R , f (x) = loga x , a >0 , a 1.

-Funcţia logaritmică este strict crescătoare pentru a>1 şi strict descrescătoare pentru

0<a<1

-Funcţia logaritmică este bijectivă şi inversa ei este funcţia exponenţială.

Logaritmi:

loga x = b x = ab , a >0 , a 1 , x ;0 , b R .

Dacă a,b(0; + ) – {1}, x, y, r R atunci : loga xy = loga x + loga y ;

loga y

x = loga x – loga y ; log a

n xn

1 log a x,

loga xr = r loga x ; loga a = 1 ; loga 1 = 0 ; loga x =

a

x

b

b

log

log

13

FIŞA NR. 4 – FUNCŢII - EXERCIŢII

propunător: prof. Cornelia Mestecan

Probleme rezolvate

1. Fie funcţiile 12)(,: xxfRRf şi 5)(,: xxgRRg . Determinaţi

soluţiile reale ale ecuaţiei .4)(3)(2 xgxf

Rezolvare: 4)(3)(2 xgxf

Înlocuim )(xf şi )(xg cu expresiile lor: 4)5(3)12(2 xx

415324 xx ; 15247 x ; 97 x / : 7 7

9 x R

2. Fie funcţiile 12)(,: xxfRRf şi 5)(,: xxgRRg . Determinaţi

))2(())0(( fggf .

Rezolvare: I. 5)0(,50)0( gg ; 152)5())0(( fgf ; 9))0(( gf

5)2(,1)2(2)2( ff ; ;55))2(( fg 10))2(( fg ;

1109))2(())0(( fggf

II. 921)5(21)(2))(())((,: xxxgxgfxgfRRgf

9902))0(( gf ;

625125)())(())((,: xxxfxfgxfgRRfg

106)2(2))2(( fg ; 1109))2(())0(( fggf .

3. Fie funcţia 12)(,2;1: xxfRf . Determinaţi mulţimea valorilor funcţiei f.

Rezolvare: Funcţia f este strict descrescătoare având a=-2 <0,

21 31)1(2)1( f > 3122)2( f , deci 3;3)( xf = Im f

4. Fie funcţia 20)(,: 2 xxxfRRf . Calculaţi distanţa dintre punctele de

intersecţie ale reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.

Rezolvare: 0200)(: 2 xxxfOxG f ; acb 42 , 81)20(41

42

91

21

a

bx , 5

2

91

22

a

bx

)0;5();0;4( BAOxG f

9810)45()()();( 222 ABAB yyxxBAd .

5. Fie funcţia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m

pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este 2

3 .

Rezolvare: fG admite un punct de maxim dacă 0a , deci 0;0 mm

Punctul de maxim este

aa

bV

4;

2, abscisa este

m

m

m

m

a

bx

2

1

2

)1(

2

Din ipoteză 2

3x

2

3

2

1

m

m 0

4

1 m .

14

6. Fie funcţia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m

pentru care valoarea maximă a funcţiei f este 8

25.

Rezolvare: fG admite un punct de maxim dacă 0a , deci 0;0 mm

Punctul de maxim este

aa

bV

4;

2iar valoarea maximă a funcţiei f este

a4

m

mm

m

mm

a 4

110

4

34))1((

4

22

. Din ipoteză

8

25

4

a deci

8

25

4

1102

m

mm 0252 2 mm care are soluţiile reale

2

11 m şi 22 m ,

ambele negative, deci soluţii ale problemei.

7. Fie funcţia 3)1()(,: 22 xmxmxfRRf .Să se arate că Rmf ,0)1( .

Rezolvare: I. 2)1( 2 mmf , dacă folosim forma canonică

Rmmf

,0

4

7

2

1)1(

2

;

II. putem folosi şi semnul funcţiei de gradul II:

022 mm , Rmm 21,07

m

2)1( 2 mmf + + + + + + + + + + + + + + + + +

( semnul lui a )

Din tabel observăm că Rmf ,0)1( .

8. Fie funcţia 20)(,: 2 xxxfRRf .

Calculaţi )5()4()3()2()1()0( ffffff

Rezolvare: )5)(4()( xxxf , 4 şi -5 sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0

0)4(f 0)5()4()3()2()1()0( ffffff

9. Să se determine punctele de intersecţie ale graficelor funcţiilor RRgf :, ,

43)( 2 xxxf , 1)( xxg .

Rezolvare: I. 143)()( 2 xxxxgxf 0342 xx

41216 , 12

241

x , 3

2

242

x

4)3(,2)1( gg , deci )4;3(),2;1( BAGG gf

II.

)(

)(

xgy

xfy

1

432

xy

xxy

431

1

2 xxx

xy

2

1

1

1

y

x şi

4

3

2

2

y

x deci )4;3(),2;1( BAGG gf .

10. Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei RDf : ,

)53(log)( 3 xxf .

15

Rezolvare: C:

;

3

5

3

553053 xxxx deci

;

3

5D

11. Fie funcţia Rf ;0: , xxf x

2log5)( . Să se calculeze )2()1(5 ff .

Rezolvare: 5051log5)1( 2 f , 241252log5)2( 2

2 f

12425)2()1(5 ff .

12. Calculaţi 15log5log3log 777 .

Rezolvare: folosim proprietăţile logaritmului yxxy aaa logloglog ,

yxy

xaaa logloglog , 01log a ; 01log

15

53log15log5log3log 77777

.

Temă

1.Fie funcţiile 23)(,: xxfRRf şi 32)(,: xxgRRg . Determinaţi

soluţiile reale ale ecuaţiei 2)(4)(3 xgxf .

2. Fie funcţiile 3)(,: xxfRRf şi 52)(,: xxgRRg . Determinaţi

))3(())1(( fggf .

3. Fie funcţia 3)(,1;2: xxfRf . Determinaţi mulţimea valorilor funcţiei f.

4. Fie funcţia 273)(,: 2 xxxfRRf . Calculaţi distanţa dintre punctele de

intersecţie ale reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.

5. Fie funcţia 2)3()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m

pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este (-2).

6. Fie funcţia 5)2()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m

pentru care valoarea maximă a funcţiei este 4

29.

7. Fie funcţia 5)3()(,: 22 xmxmxfRRf .Să se arate că Rmf ,0)1( .

8. Fie funcţia 295)(,: 2 xxxfRRf .

Calculaţi )2()1()0()1()2()3( ffffff .

9. Să se determine punctele de intersecţie ale graficelor funcţiilor RRgf :, ,

52)( 2 xxxf , 26)( xxg .

10. Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei RDf : ,

)3(log)(2

1 xxf .

11. Fie funcţia Rf ;0: , xxf x

4log3)( . Să se calculeze )4()1(7 ff .

12. Calculaţi 27log2log6log3

2

3

2

3

2 .

13. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

16

FIŞA NR. 5 – ECUAŢII IRAŢIONALE; ECUAŢII EXPONENŢIALE

propunător: prof. Cornelia Mestecan

ÎNDRUMAR PENTRU REZOLVARE

ECUAŢII IRAŢIONALE

-Se numesc ecuaţii iraţionale, ecuaţiile care conţin necunoscuta sub semnul radical.

-Metoda obişnuită de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale constă în eliminarea radicalilor

prin diferite transformări, reducându-le la ecuaţii raţionale echivalente; acest lucru se face

prin ridicări la putere asfel încât să dispară radicalii. Înainte de a trece la rezolvarea

efectivă a ecuaţiei, se pun condiţii de existenţă a radicalilor pentru a obţine D – mulţimea /

domeniul de existenţă a ecuaţiei, respectiv a soluţiilor; radicalii de ordin par au sens numai

pentru numere pozitive. Se izolează radicalii (dacă este posibil) pentru a se putea ridica la

putere şi a se obţine o ecuaţie mai simplă. Se ţine cont de faptul că cei doi membrii ai unei

ecuaţii trebuie să aibă acelaşi semn ( la ecuaţiile cu radicali de ordin par).

Se rezolvă ecuaţia obţunută, se verifică dacă numărul / numerele găsite aparţin domeniului

de existenţă a soluţiilor D, după care se scrie S- soluţia ecuaţiei.

ECUAŢII EXPONENŢIALE

-Se numesc ecuaţii exponenţiale, ecuaţiile care conţin necunoscuta la exponent.

-Metode de rezolvare: în rezolvarea ecuaţiilor exponenţiale se utilizează proprietatea

de injectivitate a funcţiei exponenţiale : , 1x ya a x y a

- ecuaţia de forma ( ) , 0, 1f xa b a a

-dacă 0b , ecuaţia nu are soluţii

-dacă ( )0, ( )r f x rb b a a a f x r S

-dacă ( )0, ( ) logr f x

ab b a a b f x b S

- ecuaţia de forma ( ) ( ) , 0, 1f x g xa a a a

- se utilizează proprietatea de injectivitate a funcţiei exponenţiale :

( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x S

- ecuaţia de forma 2 ( ) ( ) 0, 0, 1f x f xa a a a

-se notează ( )f xa t şi se ţine seama de faptul că t > 0.

Probleme rezolvate

1) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 153 xx .

Rezolvare: Condiţii:

01

053

x

x

1

3

5

x

x

;1

;3

5

x

x Dx

;

3

5

153 xx / 2 2153 xx 0652 xx 3,2 21 xx

3;23;2 SD .

2) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xxx 3 3 52 .

Rezolvare: xxx 3 3 52 / 3 33 52 xxx 2

5052 xx

3) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2191 xx .

Rezolvare: Condiţii:

019

01

x

x

19

1

x

x

;19

1;

x

x Dx 1;19

2191 xx / 2 41919121 xxxx

2041912 xx

17

161912 xx /: 2

8191 xx / 2

64191 xx

06419182 xx 045182 xx

45,18,1 cba , 14418032442 acb

32

1218

2111

xx

a

bx ;

152

1218

2222

xx

a

bx

32221642193)3(1,3 FD nu este soluţie

1522241621915)15(1,15 AD este soluţie

Deci 15S .

4) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xx 162 3

Rezolvare: xxxx 4343 2222 13343 xxxx . Deci 1S

( am folosit pqqp aa şi proprietatea de injectivitate a funcţiei exponenţiale:

,, 21 Dxx cu 2121 xxaa

xx )

5) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 22222 12 xxx

Rezolvare: 22222 12 xxx

2

2211

2

1

222

2

11:22222

2

114222

2

2222 22

x

xxxxx

xx

Deci 2S . Am folosit qpqp aaa şi q

pqp

a

aa şi proprietatea de injectivitate a

funcţiei exponenţiale.

6) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 01234 1 xx

Rezolvare: 01234 1 xx

0123420123220123222212

xxxxxx

Notăm tx 2 0134 2 tt ; acbcba 4,1,3,4 2 25

18

5311

tt ,

4

1

8

5322

tt

022121 1

0

1 xt xx

4

12

4

12 xt această ecuaţie nu are soluţie pentru că 02 x iar 0

4

1

Deci 0S . Am folosit pqqp aa şi qpqp aaa şi proprietatea de injectivitate a

funcţiei exponenţiale.

7) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xxx 104252

Rezolvare: xxx 104252 052252 22 xxx

18

05225222

xxxx / : 22 x 012

5

2

52

2

xx

012

5

2

52

2

xx

, notăm t

x

2

5

012 2 tt ; 1,1,2 cba , 942 acb

14

3111

tt ,

2

1

4

3122

tt

02

5

2

51

2

51 1

0

1

xt

xx

2

1

2

5

2

12

x

t nu are soluţie

Deci 0S . Am folosit pqqp aa şi

p

p

p

b

a

b

a

şi proprietatea de injectivitate a

funcţiei exponenţiale.

Temă

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xx 53 ; 342 xxx .

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xxx 3 3 82 ; 113 x .

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 031 xx ; 471 xx ;

1310 xx .

4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 93

1

x

; 19555 12 xxx ;

03343 122 xx ; xxx 673225 22 ; 0915345 12 xxx ;

403333 112 xxxx ; 23153 xx .

5. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

19

FIŞA NR. 6 – ECUAŢII LOGARITMICE

propunător: prof. Cornelia Mestecan

ÎNDRUMAR PENTRU REZOLVARE

-Se numesc ecuaţii logaritmice, ecuaţiile care conţin necunoscuta la baza sau

argumentul unor logaritmi.

-Metode de rezolvare: se utilizează proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice

log loga ax y x y

-ecuaţii de forma log ( ) , 0, 1a f x b a a

-se pune condiţia de existenţă a logaritmului ( ) 0f x , pe care o

rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii

-se rezolvă ecuaţia : log ( ) ( ) b

a f x b f x a ( conform definiţiei

logaritmului )

-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-

se astfel soluţia ecuaţiei S.

-ecuaţii de forma log ( ) log ( ), 0, 1a af x g x a a

-se pun condiţiile de existenţă a logaritmilor ( ) 0

( ) 0

f x

g x

, sistem pe care

îl rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii

-se rezolvă ecuaţia : log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x ( conform

proprietăţii de injectivitate a funcţiei logaritmice)

-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-

se astfel soluţia ecuaţiei S.

-ecuaţii de forma 2log ( ) log ( ) 0, 0, 1a af x f x a a

-se pun condiţiile de existenţă a logaritmilor ( ) 0f x , pe care o

rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii

-se rezolvă ecuaţia : 2log ( ) log ( ) 0a af x f x utilizând

substituţia log ( )a f x t ( se obţine o ecuaţie de gradul II, care va avea soluţiile 1 2,t t

dacă 0 şi nu va avea soluţii reale dacă 0 ; în cazul când există soluţiile 1 2,t t ,

mergem mai departe astfel: 1 2

1 2log ( ) ( ) ;log ( ) ( )t t

a af x t f x a x f x t f x a x

-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-

se astfel soluţia ecuaţiei S.

-ecuaţii de forma ( )log ( ) , 0, 1g x f x b a a

-se pun condiţiile de existenţă a logaritmului

( ) 0

( ) 0

( ) 1

f x

g x

g x

, sistem pe care

îl rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii

-se rezolvă ecuaţia : ( )log ( ) ( ) ( )b

g x f x b f x g x ( conform

definiţiei logaritmului )

-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-

se astfel soluţia ecuaţiei S.

20

Probleme rezolvate

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 3log1log 22 x

Rezolvare : 3log1log 22 x

Condiţie : ;1101 xxx D

3log1log 22 x 431 xx 4 SD

Am aplicat proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice

(funcţia logaritmică este injectivă deci ,, 21 Dxx cu 2121 )log()log( xxxx )

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 03log8log3 3

2

3 xx

Rezolvare : 03log8log3 3

2

3 xx

Condiţie : Dxx ;00

Notăm tx 3log 0383 2 tt ecuaţie de gradul II

,3,8,3 cba 100366442 acb

36

108

2111

tt

a

bt ;

3

1

6

108

2222

tt

a

bt

2733loglog3log3 1

3

1

3

3331 xxxxt

323

1

23

1

33323

133loglog

3

1log

3

1

xxxxt

27;3

127,

3

133

SD

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 11loglog 22 xx

Rezolvare : 11loglog 22 xx

Condiţii :

01

0

x

x

1

0

x

x

;1

;0

x

x Dx ;1

11loglog 22 xx 2)1(2log)1(log11log 222 xxxxxx

022 xx

acbcba 4,2,1,1 2 9

22

3111

xx ; 1

2

3122

xx

D2 deci este soluţie a ecuaţiei

D1 deci nu este soluţie a ecuaţiei 2 S .

Am folosit : xyyx aaa logloglog şi proprietatea de injectivitate a funcţiei

logaritmice.

4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 12log 2 x

Rezolvare : 12log 2 x

Condiţie : Dxxx ;2202

12log 2 x 2

3

2

12222log2log 11

22 xxxx D

21

Deci

2

3S . Am folosit proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice.

5. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 05lg6lg 2 xx

Rezolvare : 05lg6lg 2 xx

Condiţie : Dxx ;00

Notăm tx lg 0562 tt

16,5,6,1 cba 52

4611

tt , 1

2

4622

tt

Dxxxt 5

1

5

1 1010lglg5lg5

Dxxxt 1010lglg1lg1 22

Deci 510;10S

Am folosit proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice.

Temă

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 332log 2 x ; 21log 2

3 x .

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xx 4log32log 55 ;

52log245log 5

2

5 xxx .

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 01log21log 2

2

22

2 xx ;

173log2log 33 xx ; xxx 3lg2lg2lg .

4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 11log4 x ;

3log2log 2

3

2

3 xxx .

5. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 02ln3ln2 xx ;

01lg5lg6 2 xx

6. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

22

FIŞA NR. 7 - PROGRESII

propunător: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

Progresii aritmetice Progresii geometrice

Şirul 1nna se numeşte progresie

aritmetică de raţie r, dacă

.1,1 nraa nn

Formula termenului general

1aan + (n-1)r, n 1 .

Suma primilor n termeni

2

... 121

naaaaaS n

nn

Proprietate

1nna progresie aritmetică

.2,2

11

naa

a nnn

Şirul 1nnb se numeşte progresie geometrică

de raţie q 0 , dacă .1,1 nqbb nn

Formula termenului general 1

1

n

n qbb , 1n .

Suma primilor n termeni

1,

1,1

1

...

1

1

21

qnb

qq

qb

bbbS

n

nn

Proprietate

1nnb progresie geometrică

2

1 1, 2n n nb b b n

Probleme rezolvate

1) Să se determine al optulea termen al şirului 1, 5, 9, 13, ... .

Rezolvare : se observă că şirul este o progresie aritmetică pentru că

,1349,945,541 etc. Deci 11 a ( primul termen) şi raţia 4r . Ştim formula

termenului general : rnaan )1(1 4)18(18 a , 298 a .

2) Să se caluleze suma primilor 7 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna în care 31 a şi

2r .

Rezolvare: ştim că

2... 1

21

naaaaaS n

nn

şi rnaan )1(1

În cazul nostru 7n , 31 a şi 2r , înlocuim în formule şi obţinem:

)2(637 a 97 a , 7

(3 ( 9)) 7

2S

7 21S .

3) Să se demonstreze că pentru orice Rx , numerele 52 x , 12 x şi 523 x sunt

termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare: ştim că 1nna progresie aritmetică 2,

2

11

naa

a nnn

Prin urmare, cele trei numere fiind în progresie aritmetică, se află în relaţia

xxx

xxx

x 22222

2422

2

523522 1

(A)

23

4) Să se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice în care raţia este 5

1 şi

primul termen este 3125.

Rezolvare: într-o progresie geometrică 1

1

n

n qbb , 1n

Ştim că 31251 b şi raţia este 5

1q , prin urmare 9

110 qbb

9

105

13125

b ,

4109

5

105

1

5

15 bb , deci

625

110 b .

5) Să se calculeze suma : 44...852 .

Rezolvare: observăm că termenii sumei se află în progresie aritmetică în care 21 a şi raţia

3r . Pentru suma termenilor progresiei aritmetice ştim

2... 1

21

naaaaaS n

nn

iar

pentru termenul general rnaan )1(1

În exerciţiul nostru ştim că 44na , deci 31244 n 15 n , acum putem calcula

suma termenilor : 34515232

15)442(151515

SSS .

6) Să se calculeze suma 732 7

1...

7

1

7

1

7

11 .

Rezolvare: observăm că termenii sumei se află în progresie geometrică în care 11 b şi raţia

este 7

1; pentru suma termenilor progresiei geometrice ştim

1,

1,1

1

...

1

1

21

qnb

qq

qb

bbbS

n

nn iar pentru termenul general 1

1

n

n qbb , 1n

În cazul nostru

1

7 7

11

7

1

n

17

7

1

7

1

n

deci 71n rezultă că 8n

atunci

17

1

17

1

1

8

8

S

8

87

11

6

7S .

7) În progresia aritmetică 1nna se cunosc: 206 a , 12026 a să se gasească 10a .

Rezolvare: ştim că 206 a , 12026 a , ceea ce se poate scrie şi

12025

205

120

20

1

1

26

6

ra

ra

a

a

10020

2051

r

ra am înmulţit prima ecuaţie cu (-1) şi am

adunat la a doua ecuaţie;

5

5

1a

r; 405959 1010110 aaraa .

Am folosit formula termenului general : rnaan )1(1

24

8)În progresia geometrică 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 21 b şi 544 b . Să se

calculeze 6b .

Rezolvare: ştim că 1

1

n

n qbb , 1n ,

atunci 3

14 qbb 3254 q 3327 333 qqq

aplicând iar formula termenului general, avem 5

16 qbb , deci 48632 6

5

6 bb

Temă

1. Să se determine al nouălea termen al şirului -1, 5, 11, 17, ... .

2. Să se caluleze suma primilor 8 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna în care 21 a şi

5r .

3. Să se demonstreze că pentru orice Rx , numerele 15 x , 15 x şi 159 x sunt termenii

consecutivi ai unei progresii aritmetice.

4. Să se determine al optulea termen al unei progresii geometrice în care raţia este 7

1 şi

primul termen este 16807.

5. Să se calculeze suma : 41...951 .

6. Să se calculeze suma 832 5

1...

5

1

5

1

5

11

7. În progresia aritmetică 1nna se cunosc: 175 a , 9721 a să se gasească 15a .

8. În progresia geometrică 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 31 b şi 123 b . Să se

calculeze 7b .

9. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

25

FIŞA NR. 8 - ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

propunător: prof. Cornelia Mestecan

BREVIAR TEORETIC

Fie E şi F două mulţimi nevide. Dacă card E = k şi card F = n, (card E = numărul de

elemente ale mulţimii E), atunci numărul de funcţii definite pe E cu valori în F este kn .

Fie E o mulţime nevidă cu n elemente.

Mulţimea finită E se numeşte mulţime ordonată , dacă elementele sale sunt aşezate

într-o ordine bine determinată.

Se numeşte permutare a mulţimii neordonate E, orice mulţime ordonată de n elemente

din E.

Numărul permutărilor de n elemente din E este P n = n!, unde n! = ...321 n, n 1,

0!=1 ( prin convenţie).

Se numesc aranjamente de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile ordonate ale lui E, având fiecare k elemente.

Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k, 0 k n, este A k

n , unde

)!(

!

kn

nAk

n

sau k

nA )1)...(2)(1( knnnn .

Se numesc combinări de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile neordonate lui

E, având fiecare k elemente.

Numărul combinărilor de n elemente luate câte k, 0 k n, este k

nC , unde

)!(!

!

knk

n

P

AC

k

k

nk

n

.

Formula combinărilor complementare: kn

n

k

n CC .

Formula de descompunere a combinărilor: 1

11

k

n

k

n

k

n CCC .

Binomul lui Newton: kknn

k

k

n

n baCba

0

)( ; termenul general ( de rang k) din

binomul lui Newton este kknk

nk baCT

1 , k {0,1,2,...,n}.

Numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este: nn

n

k

nnnn CCCCC 2......210 . 12 2... n

n

o

n CC , 131 2... n

nn CC .

Probleme rezolvate

1. Să se calculeze 2

6

3

55 ACP .

Rezolvare : cunoştem formulele : P n = n!, unde n! = ...321 n, n 1, 0!=1

)!(

!

kn

nAk

n

şi )!(!

!

knk

n

P

AC

k

k

nk

n

, 0 k n

Prin urmare : 12054321!55 P ,

21

20

!2!3

54!3

!35!3

!5 3

5

3

5

3

5

CCC 103

5 C

30

!4

65!4

!4

!6

!26

!6 2

6

2

6

2

6

2

6

AAAA

26

Deci 2

6

3

55 ACP =120-10-30=80

Obs. Am folosit faptul că un factorial mai mare se poate exprima în funcţie de un factorial

mai mic

Exemplu: 65!4654321!6 sau 6!5!6 sau 654!3!6 etc.

2. Să se compare numerele 4

5

1

5 CCa şi 4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 CCCCCb .

Rezolvare: Ştim formula de calcul pentru combinări: )!(!

!

knk

nC k

n

şi formula pentru

combinări complementare : kn

n

k

n CC

5!41

5!4

!4!1

!5 1

5

1

5

1

5

CCC , 54

5

1

5

4

5

45

5

4

5 CCCCC

Avem de calculat 4

5

1

5 CCa rezultă că 10a

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 CCCCCb , ştim că nn

n

k

nnnn CCCCC 2......210

rezultă că 1624 bb ; comparând a cu b observăm că ba .

3. Să se rezolve ecuaţia: 202 nA .

Rezolvare: ştim formula de calcul pentru aranjamente: )!(

!

kn

nAk

n

, 0 k n, pe care o

aplicăm în cazul nostru

!2

1!2

!2

! 22

n

nnnA

n

nA nn după simplificare avem nnAn 12 ,

Nnn ,2

Ecuaţia noastră 202 nA devine: 020201 2 nnnn ecuaţie de gradul II

care are soluţiile 51 n şi 42 n ; cum Nnn ,2 , rezultă că soluţia ecuaţiei este

n=5.

4. Să se determine numărul tuturor submulţimilor de 3 elemente ce se pot forma cu

elemente din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7}.

Rezolvare: Cunoaştem definiţia combinărilor: se numesc combinări de n elemente luate

câte k, 0<k<n, submulţimile neordonate lui E, având fiecare k elemente, unde E esteo

mulţime nevidă cu n elemente.

În cazul nostru este vorba de combinări de 7 elemente luate câte 3

Deci: )!(!

!

knk

nC k

n

, 0 k n, !4321

765!4

!37!3

!7 3

7

3

7

CC simplficăm cu 4!,

apoi cu 2 respectiv cu 3 , rezultă 353

7 C .

5. Să se calculeze numărul submulţimilor mulţimii {1,2,3,4,5,6}, care au un număr par

de elemente.

Rezolvare: numărul de submulţimi se află cu combinări, cele care au număr par de

elemente sunt 6

6

4

6

2

6 ,; CCC .

)!(!

!

knk

nC k

n

,0 k n, rezultă că : 15!421

65!4

!4!2

!6 2

6

2

6

2

6

CCC

Calculând cu aceeaşi formulă obţinem : 154

6 C şi 16

6 C

27

Cum avem de calculat numărul total de submulţimi având un număr par de elemente,

adunăm rezultatele obţinute: 15+15+1=31.

6. Se consideră 8 puncte, oricare 3 necoliniare. Câte drepte trec prin cel puţin 2 puncte

din cele 8 ?

Rezolvare : trebuie să aflăm câte submulţimi de câte 2 puncte se pot forma din cele 8

existente, deci utilizăm formula combinărilor )!(!

!

knk

nC k

n

, 0 k n, şi obţinem

282

8 C drepte.

7. Să se rezolve ecuaţia :

210!6

!4

n

n.

Rezolvare : condiţii : NnnNnn

Nnn

,6

,6

,4

Apoi folosim faptul că un factorial mai mare se poate exprima în funcţie de un factorial

mai mic

De exmplu

,1!2123!4123...321! nnnnnnnnnnnnn

etc. ; prin urmare 45!6!4 nnnn , înlocuind în ecuaţie obţinem :

210!6

!4

n

n

0190921045210!6

45!6 2

nnnn

n

nnn, ecuaţie de

gradul II, care are soluţiile 191 n şi 102 n , dar Nnn ,6 , deci soluţia ecuaţiei

este 191 n .

8. Să se determine câte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii

{1,2,3,4,5}.

Rezolvare: în numere contează şi ordinea cifrelor, aste înseamnă că vom forma

submulţimi ordonate de câte 3 cifre, folosind elementele mulţimii {1,2,3,4,5}; ştim că : se

numesc aranjamente de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile ordonate ale lui

E, având fiecare k elemente, unde E este o mulţime nevidă cu n elemente. Prin urmare,

în problema noastră este vorba de aranjamente de 5 elemente luate câte 3. Cunoaştem

formula pentru aranjamente: )!(

!

kn

nAk

n

,0 k n, rezultă că se pot forma

60!2

543!2

!2

!5 3

5

3

5

AA numere.

9. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii {1,2,3,4,5,6}, acesta

să verifice inegalitatea !22 nnn .

Rezolvare: trebuie să vadem care dintre elementele mulţimii {1,2,3,4,5,6} verifică

inegalitatea !22 nnn ;

!11212 (A); 28!22222 (A); 615!33232 (A);

2424432124!44242 (F); 12035!55252 (F);

72048!66262 (F).

28

posibilecaznr

favorabilecaznrP

..

.. , nr. cazuri posibile = 6, nr. cazuri favorabile = 3, rezultă că

2

1

6

3P .

10. Să se calculeze 2006

2009

3

2009 CC .

Rezolvare: cunoştem formula combinărilor complementare: kn

n

k

n CC şi observăm că

2006

2009

3

2009

32009

2009

3

2009 CCCC , prin urmare 2006

2009

3

2009 CC =0

11. Să se calculeze 4

1977

5

1977

5

1978 CCC .

Rezolvare: ştim formula de descompunere a combinărilor: 1

11

k

n

k

n

k

n CCC ,

aplicând-o în cazul nostru : 4

1977

5

1977

5

1978 CCC deci 4

1977

5

1977

5

1978 CCC =0

12. Să se rezolve inecuaţia 183 nAn , 3, nNn .

Rezolvare: ştim )!(

!

kn

nAk

n

,0 k n, aplicând în cazul nostru, avem

18!3

12!318

!3

!

n

n

nnnnn

n

n ; simplificăm cu !3n

respectiv cu 1n , putem face asta deoarece 3, nNn . Rezultă inecuaţia

08282 2 nnnn

Ataşăm ecuaţia de gradul II : 0822 nn care are soluţiile 41 n şi 22 n ; pentru a

afla soluţia inecuaţiei, realizăm tabelul de semn:

n -2 4

822 nn + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +

+ +

Din tabel, rezultă că 0822 nn , 3, nNn , pentru 4;2;3 Nn

4;3 n .

13. Să se rezolve inecuaţia 2

1515

xx CC , 2, xNx .

Rezolvare: condiţii

Nxx

x

x

,2

152

15

Dx 15;...;4;3;2

2

1515

xx CC xxxxxxxx 1716!15!2!15!21

Simplificând, inecuaţia devine : xxxx 17161 22 33272 xxxx 27232 x

5,8 x ;5,8x , prin urmare soluţia problemei este

15;14;13;12;11;10;9;5,8 D .

29

Temă

1. Să se calculeze 3

5

5

74 ACP .

2. Să se compare numerele 4

6

2

6 CCa şi 5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5 CCCCCCb .

3. Să se rezolve ecuaţia: 22 nCn .

4. Să se determine numărul tuturor submulţimilor de 4 elemente ce se pot forma cu

elemente din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7}.

5. Se consideră 11 puncte, oricare 3 necoliniare. Câte drepte trec prin cel puţin 2

puncte din cele 11 ?

6. Să se rezolve ecuaţia :

.6!2

!

n

n

7. Să se determine câte cuvinte din 4 litere distincte se pot forma cu un alfabet de 8

litere.

8. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii {1,2,3,4,5},

acesta să verifice inegalitatea !32 nnn .

9. Să se calculeze 12001

2005

4

2005 CC .

10. Să se calculeze 5

1989

6

1989

6

1990 CCC .

11. Să se rezolve inecuaţia 23 nCn , 3, nNn .

12. Să se rezolve inecuaţia 2

1111

xx CC , 2, xNx .

13. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi

rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de matematică!

30

FIŞA NR. 9 – ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORI

propunător prof. Rodica Trişcă

BREVIAR TEORETIC

Regula paralelogramului

Regula triunghiului

Vectori coliniari

Fie u un vector nenul şi v un vector oarecare.

1. Dacă u şi v sunt coliniari, atunci există un număr real , unic, astfel încât v = u .

2. Dacă există R astfel încât v = u , atunci u şi v sunt coliniari.

Probleme rezolvate

1. Se consideră triunghiul echilateral ABC, M este mijlocul laturii BC , O este centrul

triunghiului. Să se determine a real , astfel încât AOaAM .

2. Să se demonstreze că în hexagonul regulat ABCDEF, are loc relaţia ADAFAB2

1 .

ADACABvu

vACuAB

;

31

3. Se consideră patrulaterul ABCD în care BDADCD .Să se demonstreze că ABCD este

paralelogram.

4.Se consideră rombul ABCD. Să se calculeze ODOCOBOA .

5. În dreptunghiul ABCD să se calculeze CBAD .

ADAFAB

ADAFAB

DABAFAADAFAB

DACBEF

FADC

BADE

EFDEADAF

CBDCADAB

2

1

2

2

32

6. Să se demonstreze că în hexagonul regulat ABCDEF, COCDCB .

Rezolvare: O este intersecţia diagonalelor, respectiv centrul cercului circumscris hexagonului

regulat; BCDO este paralelogram pentru că toate cele patru laturi au lungimi egale ( latura

hexagonului este egală cu raza cercului circumscris); prin urmare, conform regulii

paralelogramului COCDCB .

7.Se consideră punctele A,B,C,D nu toate coliniare. Dacă 0CBAD , să se demonstreze că

patrulaterul ABCD este paralelogram.

Rezolvare: dacă A,B,C,D sunt puncte, nu toate coliniare, atunci din 0CBAD rezultă că

AD şi CB sunt vectori opuşi ( au aceeaşi direcţie- dreptele suport sunt paralele , au lungimi

egale şi sensuri opuse);

deci AD ║ BC şi AD=BC, adică ABCD este paralelogram.

8. Dacă 03 CBAB , să se calculeze raportul BC

AB.

Rezolvare: 03 CBAB adică CBAB 3 , dar CBBC deci BCAB 3

33

BC

BC

BC

AB

9. Fie triunghiul echilateral ABC înscris într-un cerc de centru O ; să se calculeze

BOBABC 3 .

Rezolvare:

Temă

1. Găsiţi probleme de acelaşi tip în variante, rezolvaţi-le şi discutaţi-le în clasă cu profesorul şi

colegii dvs.

33

FIŞA NR. 10 – ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ IX-X-XI

propunător prof. Rodica Trişcă

BREVIAR TEORETIC

1. Un reper cartezian XOY determină în plan o împărţire a planului în patru cadrane:

I = {M(x,y)/ x>0, y>0}, II = {M(x,y)/ x<0, y>0},

III = {M(x,y)/ x<0, y<0}, IV = {M(x,y)/ x>0, y<0}.

2. M1 11; yx , M2 22 ; yx în sistemul XOY , distanţa dintre cele două puncte este

212

2

1221 );( yyxxMMd

3. v ( x;y) v x i + y j , 22 yxv , x , y coordonatele vectorului v ;

4. ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci ;;;; 212121111 yyxxvvyxv

1v coliniar cu Rav 2 a.î. 21 vav sau ay

y

x

x

2

1

2

1 ;

5. M1 11; yx , M2 22 ; yx în sistemul XOY , 121221 ; yyxxMM ,

2121

2

12

2

1221 ;; MMlMMdyyxxMM

6. MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,

;2

,2

;,; BAM

BAMBBAA

yyy

xxxyxByxA

7. GG yxG ; centrul de greutate al triunghiului ABC ,

CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; ;3

,3

CBAG

CBAG

yyyy

xxxx

8. Ecuaţiile dreptei în plan

-ecuaţia generală este d: ax + by + c = 0, a,b,cR, 0a sau 0b care poate fi scrisă şi

nmxyd : unde m este panta dreptei .

-ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-xo), mR

-ecuaţia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) şi M2(x2; y2) este

M1M2 : 2121

12

1

12

1 ,, yyxxyy

yy

xx

xx

. Panta dreptei M1M2 este

12

12

21 xx

yym MM

-distanţa de la un punct Mo(xo; yo) la dreapta d: ax + by + c=0, este d(Mo; d) = 22

00

ba

cbyax

-coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor 0: 1111 cybxad ;

0: 2222 cybxad se determină ca soluţie a sistemului

0

0

222

111

cybxa

cybxa.

-poziţiile relative ale dreptelor în plan

d1, d2 d1: a1x + b1y + c1 = 0;

d2 : a2x + b2y + c2 = 0

d1 : y = m1x + n1 ;

d2 : y = m2x + n2

Coincid

2

1

2

1

2

121

c

c

b

b

a

add 2121 mmdd şi 21 nn

Paralele

2

1

2

1

2

121

c

c

b

b

a

add 2121 mmdd şi 21 nn

Perpendiculare 0212121 bbaadd 12121 mmdd

34

-aria triunghiului ABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2

1 unde

1

1

1

C

B

A

C

B

A

y

y

y

x

x

x

.

Probleme rezolvate

1. Fie punctele 2;3 A şi 3;5B . Să se determine numerele reale a şi b astfel încât

jbiaAB .

Rezolvare: ştim că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx sunt puncte în sistemul XOY atunci

121221 ; yyxxMM , deci 5;823;35 ABAB

Mai ştim că dacă yxv ; atunci jyixv , deci jiAB 58 , dar jbiaAB , rezultă

5,8 ba .

2. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0;1A şi 4;5B . Să se determine

coordonatele vectorului ABOBOA .

Rezolvare: ştim că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx sunt puncte în sistemul XOY atunci

121221 ; yyxxMM , iar 0;0O ; prin urmare: 0;1OA , 4;5OB , 4;6AB

Mai ştim că dacă ,;,; 222111 yxvyxv atunci ;; 212121 yyxxvv deci

ABOBOA 440;651 , adică ABOBOA 0;2

3. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 3;4A şi 3;2 B .

Rezolvare: cunoaştem că ecuaţia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) şi M2(x2; y2) este

M1M2 : 2121

12

1

12

1 ,, yyxxyy

yy

xx

xx

, deci

33

3

42

4:

yxAB

6

3

6

4:

yxAB

3646: yxAB , simplificăm ecuaţia cu 6 şi 34: yxAB ,

1: xyAB

sau 01: yxAB .

4. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 25 şi jiv 4 . Să se

determine coordonatele vectorului vu 26 .

Rezolvare: ştim că dacă ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci

;;;; 212121111 yyxxvvyxv

şi dacă v ( x;y) v x i + y j ;

prin urmare vu 26 = (6 ji 25 ) + 2( ji 4 ) jijiji 1438281230 .

5. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 25 şi jiav 43 . Să se

determine numărul real a pentru care cei doi vectori sunt coliniari.

35

Rezolvare: ştim că 1v coliniar cu Rav 2 a.î. 21 vav sau ay

y

x

x

2

1

2

1 cu alte cuvinte

cei doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporţionale.

Deci u şi v sunt coliniari dacă 4

2

3

5

a a2620 ( am folosit : produsul

extremilor=produsul mezilor ); 13 a .

6. Să se determine numărul real a pentru care dreptele 063 yx şi 022 ayx sunt

paralele.

Rezolvare: cunoaştem că 2

1

2

1

2

121

c

c

b

b

a

add deci

a

1

2

3

ceea ce înseamnă că

3

223 aa .

7. Să se determine distanţa dintre punctele )5;4(A şi )1;2( B .

Rezolvare: cunoaştem că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx distanţa dintre cele două puncte este

212

2

1221 );( yyxxMMd , deci 22

5142);( BAd

26);(3636);( BAdBAd .

8. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin A(-5;4) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie

2x-3y+6=0.

Rezolvare: ştim că 2121 mmdd şi 21 nn unde 1m şi 2m sunt pantele celor două

drepte. Mai ştim că

ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-xo), mR;

ecuaţia dreptei cerute este AdA xxmyyd : adică 54: xmyd d . Dreapta d este

paralelă cu dreapta

0632: yxd 23

2:623: xydxyd

3

2 dm . Cum

dd mmdd

rezultă că 3

2dm , prin urmare ecuaţia dreptei d cerute este 5

3

24: xyd

3

22

3

2:4

3

10

3

2: xydxyd sau 02232: yxd .

9. Să se determine coordonatele punctului C simetricul punctului A(1;5) faţă de punctul B(-

3;0).

Rezolvare: punctul C este simetricul punctului A(1;5) faţă de punctul B(-3;0), ceea ce

înseamnă că AB=BC,

adică d(A;B)=d(B;C) şi A,B,C coliniare, deci B este mijlocul segmentului AC .Cunoaştem :

MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,

;2

,2

;,; BAM

BAMBBAA

yyy

xxxyxByxA

36

în cazul nostru ),;( AA yxA );( CC yxC şi );( BB yxB mijloc, rezultă

2;

2

CAB

CAB

yyy

xxx

adică 5;72

50;

2

13

CC

CC yxyx

, deci )5;7( C .

10. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1;3), B(-6;-4), C(5;-2). Se cer:

a) ecuaţia medianei duse din B;

b) perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare: a) mediana în triunghi este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului şi prin

mijlocul laturii opuse; mediana dusă din B este dreapta BM, unde M este mijlocul laturii AC.

Coordonatele lui M sunt 2

,2

CAM

CAM

yyy

xxx

adică

2

1

2

23,3

2

51

MM yx

Ecuaţia dreptei BM este: BM

B

BM

B

yy

yy

xx

xx

, deci

42

1

4

63

6:

yxBM

2

9

4

9

6:

yxBM

826:7218549:36962

9

2

9: yxBMyxBMyxBM (am împărţit

ecuaţia cu 9)

022: yxBM .

b) perimetrul triunghiului = suma lungimilor laturilor = suma distanţelor dintre vârfurile

triunghiului

adică perimetrul = d(A;B) + d(B;C) + d(C;A)

perimetrul triunghiului =

222222

CACABCBCABAB yyxxyyxxyyxx

2222225421177 4155274112598 .

11. Să se determine punctul D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. Se cunosc

A(-2;-3), B(4;3) şi C(9;5).

Rezolvare: Fie O punctul de intersecţie al diagonalelor patrulaterului BDACO , dacă

patrulaterul este paralelogram atunci O este centru de simetrie, deci O este mijlocul

segmentelor AC respectiv BD.

O mijlocul segm. AC 2

;2

CAO

CAO

yyy

xxx

adică 1;

2

7 OO yx

O mijlocul segm. BD 2

;2

DBO

DBO

yyy

xxx

adică

2

31;

2

4

2

7 DD yx

1;3 DD yx )1;3( D

12. Să se calculeze distanţa de la O(0;0) la punctul de intersecţie al dreptelor 0543 yx

şi 032 yx .

37

Rezolvare: cunoaştem : coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor

0: 1111 cybxad ; 0: 2222 cybxad se determină ca soluţie a sistemului

0

0

222

111

cybxa

cybxa.

Fie 0543:1 yxd şi 032:2 yxd

Add 21 , coordonatele lui A se află rezolvând sistemul

0

0

222

111

cybxa

cybxa adică

2 83 4 5 0 3 5

3 4 5 0 3 4 5 0 3 4 5 0 5 5

2 3 0 3 6 9 0 10 4 0 24 2

510 5

33

15

2

5

x xx y x y x y

x y x y yyy

x

y

deci

5

2;

15

33A . Distanţa de la O la A este

59

45

225

1125

25

4

225

1089

5

2

15

33);(

22

22

OAOA yyxxAOd

13. Să se determine numărul real m pentru care punctul )1;5( A se află pe dreapta

02 myx .

Rezolvare: un punct aparţine unei drepte dacă coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei:

7070)1(25 mmm .

14. Să se determine numărul real m pentru care punctele )7;(),5;2(),2;1( mCBA sunt

coliniare.

Rezolvare: punctele A, B, C sunt coliniare dacă se află pe aceeaşi dreaptă, deci ABC

Folosind problema anterioară, rezultă : coordonatele lui C trebuie să verifice ecuaţia dreptei

AB

03:3

2

3

1:

25

2

12

1::

yxAB

yxAB

yxAB

yy

yy

xx

xxAB

AB

A

AB

A

ABC 4037 mm .

15. Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin punctul A(2;-3) şi are panta m=2.

Rezolvare: ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-

xo).

Deci AA xxmyyd : 223: xyd 0423: xyd

072: yxd

16. În reperul cartezian xOy se consideră punctele );5(),1;2(),4;3( mCBA . Să se determine

numărul real m pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A.

38

Rezolvare: conform teoremei lui Pitagora, dacă ABC este dreptunghic în A atunci 222 BCACAB

Adică 2

222

222

22 134835

mm

2219464925 mm ;

1051281216889 22 mmmmmm 3

52

6

1041046

mm

17. Să se determine numerele reale a, b pentru care punctele A(a;b) şi B(3;b-2) aparţin dreptei

0252 yx .

Rezolvare: un punct aparţine unei drepte dacă coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei,

dA şi dB

5

18

8

5

18

162

5

18

5

18

025

1852

0185

0252

022532

0252

b

a

b

a

b

a

b

ba

b

ba

18. Să se calculeze aria triunghiului ABC unde )1;5(),4;0(),2;3( CBA .

Rezolvare:

aria triunghiului ABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2

1 unde

1

1

1

C

B

A

C

B

A

y

y

y

x

x

x

în cazul nostru 45302010012

1

1

1

1

4

2

5

0

3

, aria = 2

1 =

2

45.

19. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(4;1) şi punctele B,C simetricele punctului

A faţă de axa Ox respectiv Oy. Să se calculeze distanţa dintre punctele B şi C.

Rezolvare: B simetricul lui A faţă de Ox, atunci B(4;-1); C este simetricul lui A faţă de Oy,

atunci C(-4;1)

172684641144);(2222

BCBC yyxxCBd .

Temă

1.Fie punctele 4;5A şi 3;2 B . Să se determine numerele reale a şi b astfel încât

jbiaAB .

2.În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1;2A şi 4;0 B . Să se determine

coordonatele vectorului ABOBOA 2 .

3. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 3;5 A şi 4;3B .

39

4. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 34 şi jiv 25 . Să se

determine coordonatele vectorului vu 43 .

5. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 35 şi jaiv )2(6 . Să se

determine numărul real a pentru care cei doi vectori sunt coliniari.

6. Să se determine numărul real a pentru care dreptele 0732 yx şi 0114 ayx

sunt paralele.

7. Să se determine distanţa dintre punctele )5;6( A şi )1;2( B .

8. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin A(-4;2) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie

-3x+2y+6=0.

9. Să se determine coordonatele punctului C simetricul punctului A(-2;4) faţă de punctul

B(2;3). 10. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(-1;2), B(-5;-4), C(0;6). Se cer:

a) ecuaţia medianei duse din C;

b) perimetrul triunghiului ABC.

11. Să se determine punctul D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. Se cunosc

A(-2;0), B(4;3) şi C(6;1).

12. Să se calculeze distanţa de la B(2;0) la punctul de intersecţie al dreptelor 0352 yx

şi 034 yx .

13. Să se determine numărul real m pentru care punctul )2;4( A se află pe dreapta

023 myx .

14. Să se determine numărul real m pentru care punctele )4;3(),1;2(),2;( CBmA sunt

coliniare.

15. Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin punctul A(-4;1) şi are panta m=-3.

16. În reperul cartezian xOy se consideră punctele )0;5(),;3(),4;1( CmBA . Să se determine

numărul real m pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A.

17. Să se determine numerele reale a, b pentru care punctele A(a;b) şi B(a+1;-2) aparţin

dreptei 023 yx .

18. Să se calculeze aria triunghiului ABC unde )1;3(),4;5(),2;0( CBA .

19. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(-3;2) şi punctele B,C simetricele punctului

A faţă de axa Ox respectiv Oy. Să se calculeze distanţa dintre punctele B şi C.

20. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

40

FIŞA NR. 11 – ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

propunător prof. Rodica Trişcă

BREVIAR TEORETIC

-relaţia dintre măsura în radiani, t, şi măsura în grade a unghiurior, α, este

180

t.

-dacă α este măsura în grade a unui unghi atunci

2 2sin cos 1, R - identitatea fundamentală a trigonometriei

sin)180sin( , cos)180cos(

sin 90 cos ,cos 90 sin

cos

sintg ,

sin

cosctg

0°=0

rad 30°=

6

rad

45°=4

rad

60°=3

rad

90°=2

rad

180°=

rad

sin 0

2

1

2

2

2

3

1 0

cos 1

2

3

2

2

2

1

0 -1

tg 0

3

3

1 3 / 0

ctg / 3 1

3

3

0 /

Relaţii metrice în plan:

Fie ΔABC cu laturile BC=a, AC=b, AB=c şi înălţimea ah coborâtă din vârful A pe latura

a, A, B, C – măsurile unghiurilor triunghiului, R – raza cercului circumscris triunghiului, r

– raza cercului înscris triunghiului.

-teorema sinusurilor: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

-teorema cosinusului: Abccba cos2222

-aria triunghiului:

))()(( cpbpappS unde 2

cbap

;

rpR

abcCabahS a

42

sin

2

-dacă ΔABC este dreptunghic cu A=90°, b,c - catete, a – ipotenuză

Ca

bB cossin , C

a

cB sincos , ctgC

c

btgB , tgC

b

cctgB

22

bcahS a ,

a

bcha , 222 acb (teorema lui Pitagora)

-dacă ΔABC este echilateral a=b=c, p=3a, 2

3aha ,

4

32aS

41

Exerciţii rezolvate

1. Se consideră triunghiul ABC cu 5, 2 2, 3AB AC BC . Să se calculeze cos B .

Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222 care mai poate fi scrisă şi 2 2 2 2 cosb a c ac B ; noi cunoaştem 5 , 2 2 , 3AB c AC b BC a

deci 2

2 2 26 132 2 3 5 2 3 5 cos 8 9 25 30cos cos cos

30 15B B B B

2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 3, 5, 30AB AC m A

Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este rpR

abcCabahS a

42

sin

2, în problema

noastră alegem sin sin sin

2 2 2

ac B ab C bc AS . Ştim că

3 , 5 , 30AB c AC b m A

prin urmare

1153 5 sin 30 152

2 2 4S

.

3. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că

5, 60AC m B .

Rezolvare: cunoaştem teorema sinusurilor: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin , în problema noastră

putem folosi

5 5 5 5 5 32 2

sin sin 60 2 sin 60 33 32

2

bR R R R R R

B

.

4. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul catetei AC. Să se calculeze lungimea

ipotenuzei BC, ştiind că 6, 5AD AB .

Rezolvare: cunoaştem 222 acb (teorema lui Pitagora), în problema noastră

2 2 6 12AC AD AC AC şi AB=5

5. Se consideră triunghiul ABC cu aria egală cu 7, cu 5AC şi 6BC . Să se

calculeze sinC .

Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este sin sin sin

2 2 2

ac B ab C bc AS

În cazul nostru, ştim 5AC b şi 6BC a , deci sin

2

ab CS

5 6 sin 2 7 77 sin sin

2 5 6 15

CC C

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că 4, 7, 60AB AC m A .

42

Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222

2 2 2

2 2 2

4, 7, 60 2 cos

116 49 56cos60 65 56 37 37

2

11 37ABC ABC

c AB b AC m A BC AB AC AB AC A

BC BC BC BC

Perimetrul AB AC BC Perimetrul

7. Să se calculeze lungimea înălţimii din A în triunghiului ABC, ştiind că

12, 5, 13AB AC BC .

Rezolvare: 2 2 2144, 25, 169AB AC BC . Observăm că 2 2 2BC AC AB , atunci

conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiului ABC este dreptunghic în A. Prin urmare

, cum a

bcha

5 12 60

13 13a a a

AC ABh h h

BC

8. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 10, 13, 150AB BC m B .

Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este sin

2

ac BS , 13, 10a BC c AB

1

sin sin150 sin 180 30 sin302

B , rezultă că

113 10

13 5 652

2 2 2S

.

9. Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de

lungime a este adevărată identitatea 2 cos cos 2a B C S .

Rezolvare: -dacă ΔABC este dreptunghic cu A=90°, b,c - catete, a – ipotenuză

Ca

bB cossin , C

a

cB sincos şi

2

bcS . Înlocuim în identitate şi obţinem:

2 22

c b b ca cb bc A

a a

.

10. Să se calculeze sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 .

Rezolvare: ştim că sin0 0 deci sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 0

11. Să se calculeze cos70 cos110 .

Rezolvare: cos110 cos 180 70 cos70 , deci

cos70 cos110 cos70 cos70 0

12. Să se calculeze sin 45 cos60 sin30 .

Rezolvare: 2 1 1 2

sin 45 cos60 sin302 2 2 2

13. Să se calculeze 2 2sin 75 sin 15 .

Rezolvare: sin 90 cos , deci sin15 sin 90 75 cos75 ,

43

2 2 2 2sin 75 sin 15 sin 75 cos 75 1 ( conform identităţii fundamentale a

trigonometriei).

14. Să se calculeze cos1 cos11 ... cos169 cos179 .

Rezolvare: ştim că cos)180cos( , adică cos 180 cos 0

cos1 cos11 ... cos169 cos179 cos1 cos179 cos11 cos169 .... 0

15. Să se calculeze sin x , ştiind că 4

cos5

x şi 0 ;90x .

Rezolvare: ştim identităţii fundamentale a trigonometriei

2 2sin cos 1,x x x R , 2 216 16 9 3sin 1 sin 1 sin

25 25 25 5x x x

Cum 0 ;90x , rezultă că 3

sin5

x (pozitiv).

16. Să se calculeze aria triunghiului echilateral ABC ştiind că are lungimea înălţimii egală

cu 5 3 .

Rezolvare: ştim că 2

3aha şi

4

32aS , deci

35 3 10

2

aa şi

210 3 100 325 3

4 4S

17. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că

3, 45 , 60BC m BCA m BAC

Rezolvare: putem folosi teorema sinusurilor: sin sin

a c

A C

unde 3, 45 , 60a BC C m BCA A m BAC , deci

23

3 3 2 22 2sin 60 sin 45 23 3

2

cc

18. Triunghiul ABC este dreptunghic în B, iar raza cercului circumscris triunghiului este

R=5. Să se calculeze lungimea laturii AC.

Rezolvare: triunghiul ABC este dreptunghic în B deci AC este ipotenuza, raza cercului

circumscris este jumătate din ipotenuză, rezultă că 2 2 5 10AC R .

19. Să se determine sin BCD în hexagonul regulat ABCDEF.

Rezolvare: dacă O este centrul cercului circumscris hexagonului, respectiv punctul de

intersecţie al diagonalelor, atunci OBC este echilateral, 60m OCB , analog OCD -

44

echilateral şi 60m OCD rezultă că 120m BCD şi

3

sin sin120 sin 180 60 sin 602

BCD

20. Să se calculeze lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54tg tg tg tg tg .

Rezolvare: 45 1 lg 45 lg1 0tg tg rezultă

lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54 0tg tg tg tg tg

21. Să se calculeze cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 .

Rezolvare: printre paranteze se află şi cos15 cos15 0 rezultă că

cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 0

22. Ştiind că sin 40 cos40 a , să se calculeze sin140 sin140 a .

Rezolvare: sin140 sin 180 40 sin 40 ;cos140 cos 180 40 cos40

sin140 sin140 sin40 cos40 0a a a a

Temă

1. Se consideră triunghiul ABC cu 5, 5 2, 4AB AC BC . Să se calculeze

cosC .

2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 3, 5, 60BC AC m C .

3. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că

4, 45AB m C .

4. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul catetei AB. Să se calculeze

lungimea ipotenuzei BC, ştiind că 3, 8AD AC .

5. Se consideră triunghiul ABC cu aria egală cu 9, cu 5AB şi 6BC . Să se

calculeze sin B .

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că

5, 8, 60AB BC m B .

7. Să se calculeze lungimea înălţimii din A în triunghiului ABC, ştiind că

8, 6, 10AB AC BC .

8. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 10 2, 12, 135AB BC m B .

9. Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de

lungime a este

adevărată identitatea 2

a

Sh tgB tgC

a .

10. Să se calculeze sin 11 sin 10 ... sin 10 sin 11 .

11. Să se calculeze cos50 cos130 .

12. Să se calculeze cos45 sin60 30tg .

13. Să se calculeze 2 2sin 65 sin 25 .

45

14. Să se calculeze cos2 cos12 ... cos168 cos178 .

15. Să se calculeze cos x , ştiind că 4

sin5

x şi 90 ;180x .

16. Să se calculeze aria triunghiului echilateral ABC ştiind că are lungimea înălţimii

egală cu 7 3 .

17. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că

6, 60 , 45BC m BCA m BAC

18. Triunghiul ABC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului

este R=7. Să se calculeze lungimea laturii AB.

19. Să se determine sin CDE în hexagonul regulat ABCDEF.

20. Să se calculeze ln 40 ln 41 ln 42 ln 43 ...ln 60tg tg tg tg tg .

21. Să se calculeze cos5 cos15 cos6 cos14 ... cos15 cos5 .

22. Ştiind că sin60 cos60 a , să se calculeze sin120 sin120 a .

23. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de

bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de

matematică!

46

BIBLIOGRAFIE

Alexandru Blaga, Gheorghe Miclăuş, Mircea Farcaş, Ovidiu T. Pop- Matematică-

clasa a X-a ( TC + CD) –Editura DACIA, 2005;

Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică –manual clasa a IX-a (TC + CD) – Editura CARMINIS, 2004;

Mircea Ganga – Matematică – manual clasa a X-a ( algebră – M1) – Editura MATHPRESS, 2001

C. Năstăsescu, M. Brandiburu, C. Niţă, D. Joiţă – Exerciţii şi probleme de algebră- pentru clasele IX-XII – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

Variantele pentru examenul de Bacalaureat, propuse de SNEE, 2007, 2008

Grup de autori – Ghid de pregătire pentru examenul de bacalaureat la matematică 2007 – Editura SIGMA, 2006

47