II-1

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Distribusi Peluang

Definisi 2.1 (Walpole dan Myers, 1995) Jika X adalah suatu variabel random

kontinu, maka fungsi densitas peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi

kondisi:

i. ≥ 0; untuk x ∈(-∞,∞)

ii. = 1iii. ≤ ≤ = (2.1)

Definisi 2.2 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi distribusi kumulatif variabel

dinotasikan sebagai dan didefinisikan sebagai = ≤ untuk seluruh

yang riil. Jika adalah kontinu, maka := ( ) (2.2)

2.2 Fungsi Quantil

Definisi 2.3: Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada

himpunan bilangan real R jika ∈ (0,1) maka terdapat dengan tunggal ∈sehingga = maka disebut kuantil- dari F.Kuantil- dari F digunakan

notasi .Fungsi kuantil dari F didefinisikan sebagai: = inf{ ∣ ( ) ≥ }dengan ∈ (0,1) artinya adalah nilai terkecil dari dengan ( ) ≥ .

Misalkan x mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari = + , maka

dapat dinyatakan sebagai:= − ∈ , > 0Sehingga fungsi quantil itu sering dikenal dengan istilah invers dari kumulatif.

II-2

2.3 Diskrit Binomial

Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:

a. Percobaannya terdiri atas ulangan.

b. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil “ ” atau

gagal “ ” .

c. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan , untuk setiap ulangan adalah

sama, tidak berubah-ubah.

d. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas.

Definisi 2.4 (Ari Pani Desvina, M.Sc, 2012) Jika suatu ulangan binomial

mempunyai peluang keberhasilan dan peluang gagal = 1 − , maka sebaran

peluang bagi peubah acak binomial , yaitu banyaknya keberhasilan dalam

ulangan yang bebas, adalah:; , = , = 0,1,2, … ,2.4 Distribusi Peluang Kontinu

2.4.1 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull diambil dari nama seorang fisikawan yang berasal dari

Swedia bernama Waloddi Weibull pada Tahun 1939. Distribusi Weibull

merupakan distribusi yang sering digunakan karena menggambarkan keseluruhan

data secara jelas terutama dalam pengujian dan memodelkan data, sehingga

distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk pemodelan antara lain pemodelan

dibidang teknologi, kecepatan angin, unsur-unsur kimia dan juga dibidang

hidrologi. Karakteristik dari distribusi Weibull yaitu dicirikan oleh dua parameter

yaitu dan , dimana > 0 dan > 0 (Rinne, 2009).

Distribusi Weibull termasuk distribusi acak kontinu yang juga mempunyai

fungsi densitas peluang sebagai berikut :

= (2.3)

sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah :

= 1 − ( )(2.4)

II-3

2.4.2 Distribusi Peluang gamma

Difinisi 2.5 (Rado Yendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan memiliki

distribusi gamma dengan parameter 00 dan jika dan hanya jika fungsi

densitas dari Y adalah

lainyayanguntuk

yey

yf

y

,0

0,1

DimanaГ = Kuantitas Г dikenal dengan fungsi gamma. Integral secara langsung akan

menghasilkan bahwaГ 1 = 1.Dan secara terus-menerus integral akan

menghasilkan bahwa Г = − 1 Г − 1 > 1,Г = − 1 !dan juga yang dihasilkan jika n adalah bilangan bulat. Hal di atas dapat

ditunjukkan seperti berikut:

Г = = − ∞0 + − 1 = − 1 = − 1 Г − 1

Contoh2.1 : Tentukan Г 6 = 6 − 1 ! = 5x 4 x 3 x 2 x 1=120.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi densitas peluang distribusi gamma

akan ditunjukkan memenuhi sifat distribusi peluang kontinu, seperti berikut :

= Г =Г = Г = ГГ = 1

II-4

Grafik fungsi densitas gamma untuk 142,1 sertadan , diberikan pada

gambar berikut:

Gambar 2.1 GrafikFungsiDensitas Gamma

Gambar 2.1 menunjukkan bentuk dari densitas gamma berbeda untuk nilai yang

berbeda. Untuk alasan ini kadang-kadang alpa disebut dengan parameter bentuk

yang dihubungakan dengan distribusi gamma. Parameter secara umum disebut

dengan parameter skala, karena mengalikan sebuah variabel acak yang

didistribusikan dengan gamma dengan bilangan positif ( dengan demikian

mengubah skala pada pengukuran dibuat) menghasilkan variabel acak yang juga

mempunyai distribusi gamma dengan nilai yang sama tetapi nilai parameter

berubah.

Pada kasus tertentu ketika adalah bilangan bulat, distribusi fungsi dari

variabel acak yang didistribusikan secara gamma dapat digambarkan sebagai

jumlah dari peluang poisson tertentu. Jika tidak bilangan bulat dan

,0 dc tidak memungkinkan untuk memberikan gambaran yang tepat

untuk

Г Teorema 2.1 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y mempunyai distribusi gamma

dengan parameter dan , maka

22 YVdanYE

f(y)

1

42

1

y

II-5

Bukti : Seperti yang diketahui bahwa

dyey

ydyyyfYE

y

1

0

Dari sifat yang telah dibuktikan sebelumnya diketahui bahwa

10

1

dyey y

Karena itu

dyeyy

0

1

Sehingga

11

1

1

0

1

0

dyeydyey

yYEy

y

2

Selanjutnya untuk menentukan variansi distribusi gamma, tentukan terlebih

dahulu nilai harapan berikut:

2

22

0

11

0

22

11

21

1

dyeydyey

yYEy

y

Sehingga variansi distribusi gamma dapat ditentukan sebagai

222

22

1

YEYEYV

II-6

2.4.3 DistribusiPeluang Beta

Fungsi densitas beta fungsi densitas berparameter dua didefinisikan pada

interval tutup 10 y . Ini sering digunakan sebagai model untuk proporsi,

seperti proporsi ketakmurnian produk kimia atau proporsi waktu sebuah mesin

diwaktu perbaikan.

Definisi 2.6 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan mempunyai

distribusi peluang beta dengan parameter 00 dan , jika dan hanya jika

fungsi densitas dari Y adalah

lainnyauntuk

yB

yyyf

,0

10,,

1 11

Dimana

dyyyB1

0

11 1,

Grafik fungsi densitas beta mengasumsikan perbedaan yang lebar dari bentuk

untuk berbagai nilai dari dua parameter dan . Beberapa diantaranya akan

digambarkan seperti pada gambar dibawah.

Sebagai catatan mendefinisikan y pada interval 10 y tidak membatasi

penggunaan distribusi beta. Jika dyc , maka cdcyy

mendefinisikan variabel baru sehingga 10 y . Jadi fungsi densitas beta dapat

dipakai untuk variabel acak yang didefinisikan pada interval dyc dengan

translasi dan pertukaran skala.

Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak beta lazim disebut fungsi beta

taklengkap dan dinotasikan dengan

,,

1

0

11

y

y

IdtB

ttyF

II-7

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Densitas Beta

Jika dan kedua-duanya bilangan bulat positif, ,yI dihubungkan dengan

fungsi peluang binomial. Integral dengan mempartisi dapat digunakan untuk

menunjukkan bahwa untuk 10 y dan kedua-duanya bilangan bulat

ini

n

i

y

yyi

ndt

B

ttyF

1

,

1

0

11

Dimana 1 n . Catat bahwa jumlah sisi sebelah kanan dari gambaran di

atas hanya menjumlahkan peluang yang dihubungkan dengan variabel acak

binomial dengan 1 n dan yp

Teorema 2.2 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y adalah variabel acak yang

didistribusikan dengan parameter 00 dan maka

YE dan

12

2

YV

f(y)

3

5

3

3

2

2

0 1 y

II-8

Bukti : Dengan definisi

1

1

,

,1

1,

1

,

1

1

0

1

1

0

11

B

B

dyyyB

dyB

yyy

yyfYE

Untuk menentukan variansi dari distribusi beta, pertama sekali tentukan nilai

harapan dari bentuk berikut

1

1

1

1

2

2

,

,2

1,

1

,

1

1

0

11

1

0

112

22

B

B

dyyyB

dyB

yyy

yfyYE

Sehingga variansi dari distribusi beta adalah

11

12

2

22

YEYEYV

II-9

2.5 StatistikBerurut

Secara formal, misal Y1,Y2, . . . ,Yn variabel acak kontinu yang saling bebas

dengan fungsi distribusi komulatif F(y) dan fungsi densitas f(y). Notasi variabel

acak yang terurut Yi yaitu Y(1),Y(2),. . .,Y(n) dimana Y(1) ≤Y(2) ≤. . .≤ Y(n)

Y(1) = min (Y1,Y2, . . . ,Yn)

Adalah variabel acak minimum dari Yi

Y(n) = max (Y1,Y2, . . . ,Yn)

Adalah variabel acak maksimum dari Yi

Fungsi densitas peluang untuk Yi dan Yn dapat ditentukan dengan menggunakan

metoda fungsi distribusi kumulatif. Pertama sekali kita akan menentukan fungsi

densitas dari Yn. Karena Yn adalah maksimum dari Y1,Y2, . . .,Yn, Maka peristiwa

(Y(n) ≤ y) akan terjadi jika dan hanya jika (Yi ≤ y) terjadi, untuk setiap i = 1,2,. .

.,n, yakni

yYyYyYPyYP nn ,,, 21

Karena Yi adalah saling bebas dan niuntukyFyYP i ,,2,1 , hal ini

menyatakan bahwa fungsi distribusi kumulatif dari Y(n) diberikan oleh

nnnY yFyYPyYPyYPyYPyFn

21

Misal gn(y) notasi fungsi densitas dariY(n) dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif

di atas akan ditentukan

yfyFnyg nn

1

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan fungsi densitas untuk Y(1) sebagai berikut:

yYPyYPyFY 11 1

1

Karena Y(1) adalah minimum dari Y1,Y2,…,Yn, hal ini menyatakan bahwa peristiwa

(Y(1)> y) terjadi jika dan hanya jika peristiwa (Yi> y) terjadi untuk i = 1,2,…,n. Karena Yi

saling bebas dan P (Yi> y) = 1 – F(y) untuk i = 1,2,3,. . .,n, kita lihat bahwa

II-10

n

n

n

Y

yF

yYPyYPyYP

yYyYyYP

yYPyYPF

11

1

,,,1

1

21

21

111

Misalg(1) (y) adalah fungsi densitas dari Y(1) , dengan menurunkan fungsi distribusi

kumulatif akan diperoleh

yfyFnyg n 11 1

Contoh 2.2.

Komponen-komponen elektronik dari tipe tertentu mempunyai panjang hidup Y,

dengan densitas peluang diberikan oleh

lainnyayanguntuk

yeyf

y

,0

0,100

1 100

Andaikan bahwa dua komponen dioperasikan secara bebas dan system dirangkai

secara seri (karena system gagal ketika komponen lain gagal). Tentukan fungsi

densitas untuk X.

Penyelesaian:

Karena system gagal pada komponen utama gagal X = min (Y1,Y2) dimana Y1 dan

Y2 adalah variabel acak dengan diberikan fungsi densitas. Karena

lainnyayanguntuk

yee

yfyFnygyf

yuntukeyF

yy

nX

y

,0

0,10012

1

0,1

100100

11

100

Dan itu menyatakan secara sederhana bahwa

lainnyayanguntuk

yeyf

y

X

,0

0,50

1 50

II-11

Contoh 2.3.

Andaikan komponen di rangkai secara parallel (karena system tidak akan gagal

sampai kedua komponen gagal). Tentukan fungsi densitas untuk X.

Penyelesaian :

Sekarang X = max (Y1,Y2) dan

lainnyayanguntuk

yeeyf

itusebabolehdan

lainnyayanguntuk

yee

yfyFnygyf

yy

X

yy

nX

,0

0,50

1

,0

0,100112

50100

100100

12

2.6 Peluang Moment Berbobot (PMB)

Definisi2.7 (Greenwood dan Kawan-kawan, 1979) Peluang moment berbobot di

defenisikan sebagai:

, , = 1 − = 1 − (2.5)

Dimana = fungsi kuantil atau invers distribusi= distribusi fungsi kumulatif, , = bilangan real.

Untuknilai = = 0 dan adalah bilangan bulat tidak negatif,maka berdasarkan

defenisi 2.10 dapat ditulis sebagai:

, , = = Atau dikenalsebagai moment ke – suatu distribusi, dan jika = 1 maka bentuk

diatas adalah moment ke -1 atau rata-rata suatu distribusi fungsi, dengan bentuk

seperti:

, , = =

II-12

Untuk statistik berurut , , … , , … ,diketahui distribusi fungsi

kumulatif untuk ke dengan sampel berukuran ., = ∑ 1 − (2.6)

Bentuk yang muncul setelah tanda∑ adalah bentuk fungsi peluang binomial

tepat ke– untuk , , … , . David (1970) telah menghasilkan hubungan

diantara penjumlahan binomial dan fungsi beta taklengkap.

, = , − + 1 (2.7)

Dimana , = , adalah fungsi beta taklengkap, sedangkan

, = 1 − adalah fungsi beta untuk > 0, > 0Oleh sebabitu:

, = ,Maka

, = !! ! 1 − (2.8)

Karena , = Г ГГ = ! !!Seterusnya ambil turunan dari persamaan (2.13), yang merupakan fungsi densitas

peluang dari , :

, = !! ! 1 −, = !! ! 1 − . (2.9)

Berikutnya nilai ekspektasi dari , dapatditulis:

, = ,, = !! ! 1 − . (2.10)

II-13

Dimana = , 0 ≤ ≤ 1Dengan menggunakan bentuk ini, maka moment ke – untuk urutan ke dari

sampel berukuran , dapat dihitung

, = !! ! 1 − (2.11)

Oleh sebab itu moment ke – untuk urutan ke - + 1 dari ukuran sampel + + 1dapat dihitung:

, = !! ! 1 − (2.12)

Dari bentuk diatas maka bentuk peluang moment berbobot untuk statistik berurut,

dapat dibentuk seperti:

, , = ! ! ! , (2.13)

Dua bentuk peluang moment berbobot yang sangat perlu diperhatikan adalah

untuk = 1,2, = 0,1,2,3,dan = 0. Dua bentuk ini dapat ditentukan seperti:

, , = , = 0,1,2, … (2.14)

, , = , = 0,1,2, … (2.15)

2.7 Penentuan Perkiraan Untuk , ,Andaikan data untuk statistik berurut dari kecil kebesar , , … , , … ,

dimana adalah data yang terbesar. Total jumlah pemilihan sampel bagian

urutan + 1 dari adalah:= + 1 (2.16)

Jumlah sampel bagian berukuran + 1 dipilih dari yang memuat sebagai

data terbesar, maksudnya adalah anggota dari subsampel dan anggota lain

harus dipilih dari data yang lebih kecil, , , … , . Oleh sebab itu jumlah

subsampel yang memuat sebagai anggota terbesar adalah:

II-14

= − 1(2.17)

Seterusnya dapat dibentuk

= (2.18)

Maka dapat dihasilkan, rumus moment ke – untuk statistik berurut ke + 1 dari

subsampel berukuran + 1 yang dipilih dari adalah

= , = ∑ (2.19)

Berdasarkan bentuk diatas dapat dihasilkan bentuk umum peluang moment

berbobot untuk sampel adalah:

, , = ,= ∑ = ∑ !! !!! ! dimana = ! ! != ∑ !! ! ! !!= ∑ !! ! ! !!

, , = ∑ . (2.20)

Selanjutnya untuk membuktikan , , , dari persamaan 2.20, sehingga

nilainya menjadi:

, , = ∑= ∑

II-15

Kemudian dari persamaan (2.11),

, , = ∑ !! !!! ! !! ! 1 − = ∑ !! ! 1 − .

Jika = − − 1dan,sehingga, = + + 1:, , = ∑ !! ! 1 − = ∑ − − 1 1 − = ∑ − − 1 1 − , , = 1 .