apuntes unidad no 01 metodos numericos2

FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS

1 CONCEPTOS RELACIONADOS CON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1.1 ANÁLISIS NUMÉRICO

Es un proceso de información que consiste en evaluar y desarrollar métodos numéricos o algoritmos numéricos para adquirir resultados numéricos a partir de datos numéricos por medios manuales y por el uso de una computadora digital. El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar, de una manera eficiente, las soluciones de problemas expresados matemáticamente. La eficiencia del método depende de la precisión y de la facilidad con que se deriva de un fenómeno físico sobre el cual se han hecho algunas suposiciones para simplificar y representarlo matemáticamente.

Cuando se relajan las suposiciones físicas llegamos normalmente a un modelo matemático más apropiado y más difícil o imposible de resolver implícitamente. Ya que de todos modos el problema matemático no resuelve el problema físico exactamente, resulta con frecuencia apropiado encontrar una solución aproximada del modelo matemático más complicado que encontrar una solución exacta del problema simplificado. Para obtener tal aproximación se idea un método llamado algoritmo.

1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya ido aumentando considerablemente en los últimos años.

Los métodos numéricos combinan dos de las herramientas mas importantes en el repertorio de la ingeniería: La matemáticas y la computadora. Los métodos numéricos se pueden definir como las matemáticas por computadora. Las buenas técnicas de programación aumentan la habilidad para aplicar los conocimientos de los métodos numéricos. En particular, las potencialidades y limitaciones de las técnicas numéricas se aprecian mejor cuando se usan estos métodos para resolver los problemas de ingeniería utilizando como herramienta una computadora.

1.1.3 ALGORITMO NUMÉRICO

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Un algoritmo es una secuencia lógica de pasos necesarios para ejecutar una tarea específica tal como la solución de un problema, que producen la aproximación al problema matemático y al problema físico con una tolerancia y predisposición predeterminada. Los algoritmos siempre se deben terminar después de una cantidad finita de pasos y deben ser lo mas general posible para tratar cualquier paso particular. Deben ser determinísticos; esto es, no deben dejar nada al azar. Los resultados finales no pueden ser dependientes de quien este usando el algoritmo.

En este sentido, un algoritmo es análogo a una receta. Una forma alternativa de representar un algoritmo es mediante un diagrama de flujo. Esta es una representación visual o gráfica del algoritmo que emplea una serie de bloques y flechas. Cada bloque en el diagrama representa una operación particular o un paso en el algoritmo. Las flechas indican las secuencias en que se implementan las operaciones.

Los diagramas de flujo tienen una utilidad particular para bosquejar algoritmos complicados. Un bosquejo gráfico puede ser utilizado para visualizar el flujo lógico del algoritmo. Un algoritmo entonces se puede decir en si que es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solución a un problema. En resumen las características de un algoritmo son:

FINITOS: Siempre debe de terminar en un número determinado de pasos.

DEFINIDO: Las secciones deben definirse sin ambigüedad.

ENTRADA: Puede tener una o varias entradas.

SALIDA: Debe tener una o varias salidas.

EFECTIVIDAD: Todas las operaciones deben ser lo suficientemente básicas para que puedan hacerse exactamente en un determinado tiempo, no mayor que el que le tome a una persona tomando lápiz y papel.

EJEMPLO:

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Algoritmo para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado:

1) Definir la ecuación de segundo grado; f(x)= 0 .

2) Determinar los datos obteniéndolos de la ecuación: A,B,C.

3) Calcular las raíces aplicando la fórmula correspondiente:

a) X = -B + B´2 + 4(AC) 2A

b) X2 = -B -- B´2 + 4(AC) 2A

4) Reportar los resultados: X1, X2

5) End.

1.2 RAZONES POR LAS CUALES DEBEN DE ESTUDIARSE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1) Los métodos numéricos son herramientas sumamente poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la práctica de la ingeniería y que a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver los problemas. 2) En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la ocasión de usar software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos.

3) Hay muchos problemas que no pueden resolverse o bien como está presentado originalmente: “plantearse al emplear”, en programas hechos. Si se está versado en los métodos numéricos y si es un adepto a la programación por computadora, entonces se tiene la capacidad de diseñar programas propios para resolver problemas sin tener que comprar un software costoso.

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4) Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para emprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera eficiente de aprender a programar las computadoras es hacer los programas. Como los métodos numéricos, están diseñados para implementarse en las computadoras, resultan ideales para este propósito. Están adaptados para ilustrar la potencia y limitaciones de las computadoras. Cuando el lector implemente con buen resultado los métodos numéricos en su computadora y los aplique para resolver problemas que de otro modo resulten intratables, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inesperables de los cálculos numéricos a gran escala.

5) Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas. Por que una función de los métodos numéricos es reducir las ecuaciones matemáticas superiores a operaciones básicas, ya que profundizan en los temas que de otro modo resultan obscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y conocimiento de la materia.

1.3 IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS NUMÉRICO

Hoy en día las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos tan complicados. Los métodos numéricos representan alternativas que amplían la capacidad para confrontar y resolver los problemas, como resultados se dispone de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales.

Con los métodos numéricos es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común: los métodos numéricos llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Son importantes los métodos numéricos ya que mediante ellos es posible formular problemas de cualquier forma que se pueda resolver por operaciones aritméticas.

Con los métodos numéricos también se obtienen resultados numéricos por medio de datos numéricos.

1.4 CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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Los métodos numéricos disponibles para resolver un problema involucran los siguientes factores:

CANTIDAD DE CONDICIONES O DE PUNTOS INICIALES: Algunos de los métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o en la solución de ecuaciones diferenciales, requieren que el usuario especifique algunas condiciones. Los métodos simples requieren en general de un valor, mientras que los métodos complicados requieren de más de un valor. Se deben considerar los elementos de juicio; las ventajas de los métodos complicados es que son computacionalmente eficientes y pueden compensar los requerimientos de múltiples puntos iniciales. Se debe echar mano de la experiencia y de los juicios para cada problema en particular.

VELOCIDAD DE CONVERGENCIA: Ciertos métodos numéricos convergen mas rápidos que otros y sin embargo, la convergencia rápida puede requerir de más puntos iniciales y de programación mas compleja que la de convergencia mas lenta. Nuevamente debe hacerse uso de juicios para la selección de cierto método. Los más rápidos no siempre son los mejores.

ESTABILIDAD: Algunos métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o soluciones de ecuaciones lineales, en algunas ocasiones suelen divergir en vez de converger a la respuesta correcta. Esto es debido a que estos métodos pueden ser altamente eficientes cuando funcionan. Por lo tanto surgen nuevamente los elementos del juicio. Se debe decidir si los requisitos del problema justifican el esfuerzo necesario para aplicar un método que no siempre funciona.

EXACTITUD Y PRECISIÓN: Se refiere a la obtención de ciertos mecanismos dentro del algoritmo para minimizar el error en la obtención de resultados deseados que cumplan con el objetivo del problema.

Algunos métodos numéricos son mas exactos y precisos que otros. Como ejemplo se tienen las diferentes ecuaciones disponibles para la integración numérica. Se puede mejorar el funcionamiento de procedimientos de poca exactitud disminuyendo el tamaño del paso o aumentando el número de términos sobre un intervalo.

ALCANCE DE LAS APLICACIONES: Algunos métodos numéricos solo pueden aplicarse a cierta clase de problemas que satisfacen ciertas restricciones. Se debe evaluar si vale la pena el esfuerzo de desarrollar programas que empleen técnicas apropiadas únicamente para un número limitado de problemas.

REQUISITOS ESPECIALES: Algunas técnicas intentas incrementar la exactitud y la velocidad de convergencia utilizando información adicional. Un ejemplo seria el uso de

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valores estimados o valores teóricos de los errores para el mejoramiento de la exactitud. Sin embargo, estas teorías no se llevan a cabo sin inconvenientes como el aumento en el costo del cómputo y el incremento en la complejidad del programa.

ESFUERZOS REQUERIDOS DE PROGRAMACIÓN: Los esfuerzos requeridos para mejorar la velocidad de convergencia, estabilidad, exactitud pueden ser creados e ingeniosos. Cuando se pueden hacer mejoras sin aumentar la complejidad en la programación, entonces se puede encontrar que estas mejoras son elegantes y encontrar un uso inmediato en la ingeniería.

SENCILLO: Tiene que ver con el desarrollo y la evaluación del método, un método entendible por el usuario para que se represente por un programa de computadora.

RÁPIDO: Se debe de buscar un método rápido para la obtención de resultados en el menor tiempo. El método elegido, debe de aplicársele un análisis de convergencia para minimizar el número de operaciones.

1.5 PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MATEMÁTICO POR MEDIO DE UNA COMPUTADORA DIGITAL

En el proceso de solución de un problema por medio de una computadora se requieren de los siguientes pasos:

1) DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. Se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y sus resultados deseados, para un planteamiento del enunciado del problema, el cual debe ser claro y completo.

2) ANÁLISIS DEL PROBLEMA. Es el análisis detallado del comportamiento y descripción matemática de la solución del problema para el desarrollo del modelo matemático.3) APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Consiste en identificar de que tipo es el modelo matemático para elegir el método numérico adecuado y así desarrollar el algoritmo correspondiente, de manera que se tengan una serie de pasos aritméticos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse con la computadora, esto implica el conocimiento de métodos numéricos y la capacidad de expresar la solución en términos de operaciones aritméticas adecuados a la computadora.

4) PROGRAMACIÓN. Este paso consiste en traducir el algoritmo de solución, expresándolo con una serie detallada de operaciones entendibles por una computadora y se encuentra dividida en dos partes:

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A) DIAGRAMA DE FLUJO O PSEUDOCODIGO: Es la representación gráfica de una sucesión de operaciones que permite dar una idea gráfica precisa de lo que se desea hacer, el pseudocódigo es una herramienta de solución en que las instrucciones se describen en palabras similares en ingles y español, que facilitan tanto la lectura como la escritura de programas. En esencia se puede describir al pseudocódigo como un lenguaje de especificaciones de algoritmos.

B) CODIFICACIÓN: Es la operación de escribir la solución del problema (de acuerdo a la lógica del diagrama de flujo), es una serie de instrucciones detalladas en un código reconocible por la computadora, la serie de instrucciones detalladas se reconoce como diagrama fuente, el cual se escribe en un lenguaje de alto nivel. Existen diversos tipos de lenguajes de alto nivel, de acuerdo al tipo de problema que se desea resolver, calificándose en problemas: matemáticos, científicos administrativos o comerciales. Ejemplo: Pascal, C, Clipper, Fortran, etc.

5) VERIFICACIÓN. Es la prueba y depuración exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga, de manera que efectúe lo que se desea, los resultados de prueba se comparan con las soluciones conocidas. Los errores humanos dentro de la programación por computadora son muchos y aumentan considerablemente con la complejidad del problema. El proceso de identificar y eliminar errores, para dar paso a una solución sin errores se le llama depuración.

La depuración o prueba resulta una tarea tan creativa como el mismo desarrollo de la solución, por ello se debe considerar con el mismo interés o entusiasmo. Resulta conveniente observar los siguientes principios al realizar una depuración, ya que de este trabajo depende el éxito de la solución:

a) Utilice datos sencillos para facilitar el proceso.

b) Trate de iniciar la prueba con una mentalidad saboteadora.

c) Sospeche de todos los resultados que de la solución.

d) Considere todas las situaciones posibles normales y anormales.

6) PRODUCCIÓN. Solo se proporcionan los datos reales de entrada del problema, obteniéndose las soluciones correspondientes, en general se pueden introducir varios grupos de datos referentes a distintas condiciones del problema o problemas. Produciéndose las respuestas correspondientes.

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7) DOCUMENTACIÓN. Es la guía o comunicación escrita en sus varias formas, ya sean el enunciado, procedimientos, dibujos o diagramas. A menudo un programa escrito por una persona, es usado por muchas otras. Por ello la documentación sirve para ayudar a comprender, usar un programa o para realizar modificaciones.

La documentación debe detectarse en tres formas: externa, interna y al usuario final.

La primera debe estar integrada por los siguientes elementos:

* DESCRIPCION DEL PROBLEMA

* NOMBRE DEL AUTOR

* DIAGRAMA DE FLUJO

* LISTAS DE VARIABLES Y CONSTANTES

* CODIFICACION DE PROGRAMAS En lo que se refiere a la documentación interna esta la constituyen los mensajes o comentarios que se agregan al código, para hacer mas claro el entendimiento del proceso.

A la documentación para el usuario se le conoce como manual del usuario.

8) MANTENIMIENTO. Se lleva acabo después de terminado el programa, cuando se trabajado algún tiempo, y se detecta que es necesario hacer algún cambio, ajuste o implementación al programa para que siga trabajando de manera correcta. Para poder realizar este trabajo se requiere que el programa o sistema este correctamente documentado, para poder realizar la tarea de mantenimiento. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del programa y de los campos de las matemáticas relacionados con el, que es precisamente el objeto de los métodos numéricos por computadora.

La adecuada selección de los métodos de análisis es muy importante en la solución de problemas recurriendo al uso de computadoras. Por ejemplo la solución de un sistema de seis ecuaciones con seis variables puede implicar treinta mil operaciones

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utilizando el método de la regla de Kramer, un método de eliminaciones sucesivas puede necesitar solo doscientas operaciones. No obstante hay que tener presente que los problemas de programación pudieran ser mayores para métodos que requieran de un menor número de operaciones.

1.6 CONCEPTOS DE ERROR

En los cálculos numéricos el optimista pregunta, que tan precisos son los resultados obtenidos; el pesimista pregunta, que tanto error se a introducido. Desde luego ambas preguntas corresponden a lo mismo. Solo en raras ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse en procesos de medida. De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además el propio algoritmo introduce error, quizás redondeo inevitables. La información de salida contendrá entonces error generado por ambas fuentes.

El error es la aproximación lejana o cercana entre un resultado cualquiera y el valor exacto. Este concepto es aplicable en cualquiera de los métodos. Comúnmente se utilizan dos criterios.

Los errores son parte intrínseca en el entendimiento y uso de los métodos numéricos, la importancia de los errores se menciona por primera vez, los errores más comunes son:

A) POR SU FORMA DE APLICAR 1.- Error absoluto 2.- Error relativo

B) POR SU ORIGEN. 1.- Error inherente 2.- Error de truncamiento 3.- Error de redondeo 4.- Error propagado 5.- Error total 6.- Error humano 7.- Otros

1.6.1 ERROR RELATIVO Y ABSOLUTO

La precisión de un valor calculado de ordinario se expresa ya sea como el error absoluto que es el valor verdadero menos el valor aproximado, o como el error relativo que es el error absoluto entre el valor verdadero.

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Con frecuencia el error relativo es la mejor medida de la precisión para errores muy grandes o muy pequeños, algunas veces la precisión se expresa como la cantidad de dígitos después del punto decimal. Cuando se desconoce el valor verdadero resulta imposible expresar la precisión con exactitud y debe especificarse la precisión aproximada. Frecuentemente pondremos cotas en el tamaño del error.

ERROR RELATIVO: Es el cociente de dividir el error absoluto entre la cantidad exacta.

El error relativo se expresa de la manera siguiente

Error relativo = (valor verdadero - valor aproximado) / valor verdaderoXr = Xe Xv

Donde:Xce= Es la cantidad exactaXca= Cantidad aproximada

Xe = Error absoluto

ERROR ABSOLUTO: Suele ser un mejor indicador de la precisión. Es mas independiente de la escala usada y esto es una propiedad más estable. Cuando el valor verdadero es cero, el valor relativo queda indefinido. Entonces el error de redondeo debido a la longitud finita de la fracción en números de un punto flotante es mas constante cuando se le expresa con un valor relativo, que como un error absoluto. Obsérvese que la perdida de dígitos significativos cuando se restan números de un punto flotante casi iguales, produce un error relativo particularmente severo

Con frecuencia se utiliza el error absoluto de un resultado dado como medida de la precisión, la definición convencional es:

Error absoluto = valor verdadero- valor aproximadoXe =Xv - Xa

De manera que el valor verdadero se quede sumando el error absoluto mas el valor aproximado. Sin embargo, un error dado es mucho más serio cuando la magnitud del valor verdadero es pequeña.

Ejemplo: 1036.52 (+, -) 0.010 es preciso hasta cinco dígitos significativos, que es con frecuencia una precisión más adecuada, mientras que 0.005 ( + , - ) 0.010 es un desastre.

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ERRORES POR SU ORIGEN. Los errores por formulación degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto.

Un ejemplo de error de origen emperceptable es el hecho de que la segunda ley de Newton no explica los efectos relativísticos.

Esto debe de hacernos estar consientes de que si no se esta usando un modelo eficiente, ningún método numérico genera los resultados adecuados.+1.6.2 ERROR INHERENTE

Se debe observar que usando funciones se puede estar sujeto a errores inesperados. Si la primera ( ) raíz sólo se determina, aproximadamente, los coeficientes de la ecuación reducida son no exactos y las raíces sucesivas están sujetas no solo a errores de redondeo y a los errores que ocurren cuando se terminan las interacciones sucesivas, sino también a errores inherentes debido a los coeficientes inexactos.

Algunas funciones son sumamente sensibles a los pequeños cambios al valor de los coeficientes debido a que causan diferencias las raíces. eliminando las raíces de orden creciente en magnitud, se dice que se minimiza la dificultad, el uso de la aritmética de doble precisión, deberá ayudar a conservar la exactitud.

ERRORES INHERENTES O HEREDADOS: Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas:

a) ERRORES SISTEMÁTICOS: Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.b) ERRORES ACCIDENTALES: Debidos a la apreciación del observador y otras causas.

1.6.3 ERROR DE TRUNCAMIENTO Se le da este nombre a los errores ocasionados por el método en sí, el nombre se origina en el hecho de que los métodos numéricos generalmente pueden ser comparados con una serie de Taylor truncado y es el error al que se le ha prestado más atención.

Para los métodos interactivos de ordinario, este error puede ser reducido por medio de interacciones repetidas, pero ya que la vida es finita y el tiempo de computadora es caro, quedar satisfecho con las aproximaciones a la respuesta analítica exacta.

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Este tipo de error se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Un caso adicional es el error de truncamiento que ocurre cuando una calculadora sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.

Por ejemplo, la evaluación de funciones mediante desarrollos en series infinitas, obliga a considerar en el cálculo sólo un número finito de sumandos, truncando el resto de la sumatoria.

1.6.4 ERROR PROPAGADO

Este error es más sutil que otros errores. Por Error Propagado se entiende el error en pasos sucesivos del proceso debido a la ocurrencia de un error anterior.

Los métodos estudiados no reflejan este tipo de error, excepto en el caso de encontrar los ceros adicionales de una función utilizando la ecuación reducida.

Si los errores aumentan en forma continua con forme el método se desarrolla, finalmente sobrepasarán por completo al valor verdadero destruyendo su validez; a este tipo de método se llama "INESTABLE".

Para el método estable, que es la clase deseada, los errores hechos en los primeros puntos se nulifican conforme el método continua.

1.6.5 ERRORES DE REDONDEO

En el cálculo es concebible disminuir el tamaño del paso para minimizar los errores de truncamiento sólo para descubrir que al hacerlo, los errores de redondeo empiezan a dominar la solución y el error total crece.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de manera diferente.

Los errores de redondeo se originan debido a las limitaciones propias de las máquinas para representar cantidades se requieren un gran número de dígitos.

ERROR DE REDONDEO INFERIOR: Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente, pensando de una manera estricta esto es un error de truncamiento.

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ERROR DE REDONDEO SUPERIOR: Este caso tiene dos alternativas: a) Para números positivos, el último dígito que puede conservarse se incrementa en unidad si el primer dígito depreciado es igual o mayor que cinco. b) Para números negativos, el último dígito puede conservarse si el primer dígito depreciado es mayor o igual a cinco.

REGLAS DE REDONDEO EN EL CÁLCULO MANUAL:

1.- Es el redondeo y se observan las cifras significativas y el resto se descarta.

2.- En la suma (+) y en la resta (-) el redondeo se lleva acabo de forma que es último dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números que están sumando o restando.

3.- Para la multiplicación () y división (), el redondeo es tal quien la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño que contiene la cantidad en la operación.

4.- Para combinaciones de las operaciones aritméticas existen dos casos generales, se puede sumar o restar el resultado de la multiplicación de la división.

RESUMEN

Los errores de redondeo se producen cuando ciertos resultados están determinados por un número de dígitos. Cuando el resultado tiene un número mayor de dígitos, en este caso de redondeo simplemente se pierden los dígitos menos significativos.

EJEMPLO: 1.- Se dice que el número 0.18634 se redondea hasta cuatro decimales cuando se escribe como 0.1863 se redondea a 0.1864. En ambos casos el error que se produce no es mayor que () 0.00005, suponiendo que las cifras dadas son las correctas.

Un caso intermedio tal como 0.18635 suele redondearse hasta el dígito par mas cercano, para este número, 0.1863, esto se hace para evitar la parcialidad excesiva entre los redondeo anteriores.

1.6.6 ERROR TOTAL

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El error total se define coma la suma de los errores de redondeo y truncamiento. La única forma de minimizar los errores de redondeo es la de incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

Un decremento de tamaño lleva a un incremento en los cálculos, los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumente. Por lo tanto se encara el siguiente dilema: La estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro.

1.6.7 ERRORES HUMANOS

A todos le son familiares los errores por torpeza, en los primeros años de la computación los resultados números erróneos fueron atribuidos al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día ésta fuente errores es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se puede atribuir a errores humanos.

Las equivocaciones por lo general se pasan por alto, en la decisión de un método numérico; esto sin duda prueba el hecho de que los errores por torpeza son inevitables, sin embargo su aparición se puede minimizar.

1.6.8 OTROS ERRORES

OVERFLOW: En el lenguaje técnico de computación se emplea este anglicismo, ya que las traducciones posibles no proporcionan una idea clara de su significado, en este curso se usará el término sobre flujo. Se dice que cuando existe un sobre flujo dentro de una localización de almacenamiento no cabe un número, debido a que este es mayor que la capacidad de almacenamiento.

UNDERFLOW: Se acostumbra utilizar este anglicismo en el lenguaje técnico de computación, ya que las traducciones no proporcionan una idea clara de su significado se utilizará el término subflujo. Se dice que hay un subflujo cuando una localización de almacenamiento no se puede representar un número positivo muy pequeño debido a que Este es menor que la capacidad de almacenamiento.1.7 EXACTITUD Y PRECISIÓN

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud.

La precisión se refiere a: 1.- El número de cifras que representa una cantidad

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2.- La exactitud en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

La exactitud se refiere a: 1. Es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos

digital se muestra verdadera o con valores aceptables.

2. Es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa.

3. Es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica.

EJEMPLO: Estos conceptos se pueden ilustrar usando una analogía con un buen tirador al blanco:

Los agujeros en el centro de tiro de cada esquema de la figura se pueden imaginar como las predicciones de una técnica numérica siendo el centro del blanco, la verdad que se busca. Por lo tanto aunque las balas de la figura están más juntas que las de la figura 1 a los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco.

La precisión por otro lado se refiere a la magnitud de la esparcimiento de las balas, así que aunque la fig. 1b y 1d están igualmente centradas respecto al blanco la ultima es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.

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NOTA: La parte sombreada indica la exactitud o la precisión

1.7.1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Es el numero de dígitos, más un dígito estimado que se puede usar con confianza.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en los estudios de los métodos numéricos:

1.- Los métodos numéricos se obtienen resultados aproximados, por lo tanto se deben desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertas cantidades como (PI) o 7 (o raíz de 7) representan números específicos no se pueden expresar exactamente como un número finito de dígitos. Debido a que las computadoras personales solo registran aproximadamente diez cifras, tales números jamás se podrán presentar exactamente.

DÍGITOS SIGNIFICATIVOS: Son aquellos números diferentes de cero en una cifra, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan las mantisas.

1.8 RECURSIVIDAD

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Fórmula recursiva: Relaciona términos sucesivos de una sucesión particular de números funciones o polinomios, para proporcionar medios, para calcular cantidades sucesivas en términos de los anteriores.

FORMULA RECURSIVA MÚLTIPLE: Por ejemplo encuentre la sucesión de números de Fibonasi: 0,1,1,2,3,5,8,13,21...

en este caso la fórmula recursiva está en más de una función de una variable anterior. la fórmula es:

tk + 2 = tk + 1 + tk para k = 1,2...

1.9 MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Es uno de los pasos de la ingeniería básica, donde el comportamiento de un determinado sistema físico, se representa mediante una serie de ecuaciones, deducidas de principios y leyes bien establecidas.1.9.1 IMPORTANCIA

Una forma de analizar el comportamiento de sistemas físicos es mediante el planteamiento de modelos matemáticos que consisten en una serie de ecuaciones basadas en los principios y leyes que gobierna la operación de un sistema. Ejemplo: la ley de los gases ideales, las leyes de kirkchoff, la ecuación de la onda las leyes de gravitación, energía, masa, las interacciones nucleares, etc.

1.9.2 CONCEPTOS

Un modelo es una representación cualitativa o cuantitativa de un sistema, que debe mostrar las relaciones entre los diversos factores para el análisis que se está llevando a cabo. El número de variables que intervienen en la operación de un sistema puede ser muy grande, por lo que, en ocasiones, es necesario al implementar un modelo, incluir sólo aquellos parámetros que son relevantes para el análisis.

Un modelo matemático consiste en una serie de ecuaciones que rigen el comportamiento de un sistema. El modelado en ingeniería es de gran importancia, por que permite estudiar el comportamiento de un sistemas bajo diversas condiciones de operación, sin necesidad de construir o utilizar el sistema.

Las principales ventajas del Modelamiento del sistema son:

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1) Permiten analizar procesos que, hablando en términos de tiempo real serían muy tardados.

2) La optimización de un sistema es más económico empleando un modelo, ya que permite evaluar de manera rápida, el efecto producido por diferentes conjuntos de variables de diseño, permitiendo seleccionar las variables que produzcan mayor rendimiento o menor costo de operación del sistema analizado. Al procedimiento anterior se le conoce como: ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

3) Permite predecir los resultados de alguna contingencia o perturbación que de producirse en el sistema real resultaría costoso, tardado o incluso peligroso.

4) En el diseño de procesos, la construcción de prototipos puede tener un costo prohibitivo, por lo que los modelos representan una manera económica para evaluar las alternativas de diseño.

Las ventajas del Modelamiento son:

1) No son válidos fuera de los rangos de entrada y salida de las variables empleadas en el modelo.

2) Se puede incurrir en el error de despertar o ignorar que si son relevantes.

APLICACIONES

En la ingeniería, el uso de los modelos matemáticos cada vez adquiere mayor importancia ya que, frecuentemente, se presentan en forma de ecuaciones algebraicas o diferenciales no lineales, como ocurren en procesos que representan recirculación o derivación de corrientes.

SIMULACIÓN Y DISEÑO TERMODINÁMICO:

La Simulación Es la operación de un modelo con fin de conocer el comportamiì

terativo Simple. 2) Disección. 3) Secante.

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4) Regula-Falsi. 5) División sintética. 6) Newton-Raphson. 7) Bairstw. 8) Muller. 9) Graeffe.

C) Métodos numéricos (para sistemas):

1) Iterativo de punto fijo. 2) Iterativo secuencial. 3) Newton-Raphson. 4) Broyden. 5) Seguimiento Homotópico. 6) Relajación No Lineal. 7) Por Función Mínimo.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS:

Tipos: 1) Lineales. 2) No Lineales.

Estructura de condiciones de entorno:

1) Condiciones Iniciales. 2) Condiciones Frontera.

a) Dirichelt: Y = G ( x)

b) Neumman (Flux): aY' = G (x)

c) Robin: aY' + bY = G ( x)

MÉTODOS ANALÍTICOS:

1) Integración Directa. 2) Ecuación Característica.

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3) Variación de Parámetros. 4) Transformada de Laplace. 5) Series de potencia. 6) Métodos de Frobenius. 7) Ajuste a Ecuaciones Especiales.MÉTODOS NUMÉRICOS: Condiciones iniciales. Formuladas para problemas explícitos e implícitos, que se agrupan en los métodos de integración paso a paso:

a) Euller. b) Métodos Predictor-Corrector. c) Runge-Kutta (con sus variables). Con o sin control del tamaño de etapa(problemas de rigidez).

Condiciones Frontera:

a) Diferencias Finitas.

b) Métodos de tiro (shotting).

c) Residuos ponderados Colocación, con Función Delta de Dirac. Sub-dominio. Momentos. Galerkin.

d) Colocación ortogonal. Polinomios de Jacobi. Polinomios de Hermite. Polinomios de Laguerre. Polinomios de Tchebichev.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELÍPTICAS. Tipos: 1) Lineales. 2) No Lineales.


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a) Dirichelt: Y = G ( x) b) Neumman (Flux): aY' = G (x)

c) Robin: aY' + bY = G ( x)MÉTODOS ANALÍTICOS:

1) Separación de variables. 2) Transformada de Laplace. 3) Similaridad.

MÉTODOS NUMÉRICOS ( Para dos o tres dimensiones):

a) Diferencias finitas. b) Paseos aleatorios. c) Residuos Ponderados. d) Colocación Ortogonal. e) Elemento finito.ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES PARABÓLICAS:

Tipos: 1) Lineales. 2) No Lineales.



a) Dirichelt b) Neumman (Flux). c) Robin.

MÉTODOS ANALÍTICOS:

1) Separación de variables.

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2) Transformada de Laplace. 3) Similaridad.

MÉTODOS NUMÉRICOS ( Para dos o tres dimensiones). En este caso se hacen en dos etapas discretización en las coordenadas especiales:

a) Diferencias finitas. b) Residuos Ponderados. c) Colocación Ortogonal.

INTEGRACIÓN DE LA COORDENADA TIEMPO:

a) Euller. b) Runge-Kutta (con sus variables). c) Control de tamaño de etapa ( Problema de rigidez). d) Métodos Predictor-corrector. También existen otros métodos muy específicos como ADI, CRANK-NICHOLSON, Transformada Rápida de FOURIER.

Para la solución del sistema EDP; en ocasiones se requiere de equipo de cómputo con gran capacidad de procesamiento y de memoria RAM o virtual (mainframes) y súper computadoras: CYBER, SISTEMA IBM RISC 6000, CRAY, HP, ETC.; ya que se pueden obtener sistemas de miles de ecuaciones no lineales o de ecuaciones diferenciales ordinarias. Lo anterior Puede ocurrir en la solución de ecuaciones de Navier-Stokes, simulación de plantas completas ( balances de materia y energía), reactores catalíticos, líneas de transmisión, estructuras mecánicas, aplicaciones del método de elemento finito, etc.

Cabe mencionar como por ejemplo, que las súper computadoras con que cuenta la U.N.A.M., Es una CRAY-MP4/464 que dispone de cuatro procesadores vectoriales, 500 MB, de memoria principal, 8 unidades de disco DD-41 con 38 GB de capacidad total, 664 MIPS y 1332 Mflops, con sistema operativo único 7.0 manera de comparación, una PC 486 DX 66 Mhz, rinde 3.5 Mflops aproximadamente.

EJERCICIOS:

1.- Describa 5 ejemplos de modelo matemáticos que se presentan mediante ecuaciones algebraicas.

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2.- Mencione ventajas y desventajas de los lenguajes de programación C, PASCAL, QBASIC, FORTRAN.

3.- Se desea conocer la temperatura T (r,t) en una esfera isotrópica, de radio R, con convención de la superficie. Plantee el modelo y su método de solución analítica y numérica.

4.- ¿ Cuales son las expectativas que habría de esperar en un futuro cercano con respecto a los paquetes de métodos numéricos?

HERRAMIENTAS PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA

1) Lenguaje de programación estructurada: C, MATLAB, PASCAL, FORTRAN, QBASIC, DELFI, JAVA, VISUAL BASIC, etc. y Sub-rutinas disponibles (Linpack, Eispack, Nag, etc.).

2) Paquetes diseñados para tal fin (Mathemática, Matcad, Fidap, Matlab, Derive, Gauss, Numérico, Eli-Col, Parcol, etc.).

3) Hojas electrónicas (Quattro pro, Excel, Lotus, etc.).

EQUIPOS DISPONIBLES:

1) IBM PC Y COMPATIBLES 80386, 80486, PENTIUM Para uso general.

2) WORK STATION (C, FORTRAN) a) IBM RISC 6000. b) SUN. c) HP (APOLLO). d) SILICON GRAPHICS. Para uso científico y de ingeniería.

3) ACCCESO A MAINFRAMES VÍA MODEM ( BITNET, INTERNET, LOGIN REMOTO, etc.)

a) HP.

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b) CYBER. c) CRAY. d) TEXAS INSTRUMENTAL e) CASIO Para uso científico y de ingeniería.

4) OTRAS PLATAFORMAS a) QUADDRA. b) POWER PC. c) MACINSTOSH 1.9.4 COMPONENTES DE UNA COMPUTADORAS HATDWARE Y SOFTWARE

HARDWARE: Lo constituyen los componentes mecánicos y electrónicos de una computadora. Se divide en:

1) CPU (Unidad central de Procesamiento).

a) Procesador (Intel) 8088 (ya en desuso). 80286 (6, 10, 12, 16 MHZ) (también en desuso). 80386 (SX y DX) (16, 20, 25, 33, 40 MHZ). 80486 (SX, DX, SX, DX4) (25, 33, 40, 50, 66, 75, 100 MHZ). PENTIUM (60, 66, 90, 100, 150 MHZ). b) Co-procesador matemático (Intel y Weitek). c) Memoria ROM (BIOS, rutinas de control). d) Memoria RAM (Convencional, Extendida, Expandida). e) Bus de transmisión de datos ( ISA, EISA, PCI, micro- canal). f) Ranuras de expansión (slots) (bus local, VESA).

2) PERIFÉRICOS:

a) Unidades de disco (1.2 MB, 1.44 MB 1.8 MB, 2.88 MB, 21 MB, 3.1MB)USB ETC. b) Discos Duros (IDE, SCSI) (40 MB a 3 GB, de 19 ms a 10 ms velocidad de acceso). c) Monitor (CGA, VGA, SVGA, XGA).

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d) Impresoras (Matriz de puntos, Inyección de tinta, Láser, etc.). e) CD-ROM (660 MB). f) Mouse. g) Multimedia. h) FAX / MODEM (2400 a 14000 BPS o más). i) Teclado. j) Scanner. k) etc.

SOFTWARE: Lo constituyen todos los recursos técnicos necesarios para operar la computadora. Se divide en:

1) SISTEMAS OPERATIVOS: a) DOS. b) UNIX (ALXDISCO UNIX, SOLARIS, ORACLE, ETC.). c) VAX y otros. d) WINDOWS NT. e) Novell y similares. f) OS/2 g) MS-DOS h) etc.

2) LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN: a) Alto Nivel: PASCAL. FORTRAN. BASIC. C. C++ CLIPPER. JAVA DELPHI VISUAL BASIC VISUAL BASIC..NET MATLAB ETC. ( En sus modalidades de intérprete y compilador).

b) Bajo Nivel: Ensamblador.

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COBOL

3) PAQUETES DE APLICACIÓN: a) Procesamiento de texto. b) Hojas electrónicas. c) Manejadores de base de datos. d) Graficadotes. e) CAD/CAM. f) Educativos. g) Cálculo científico. h) Comunicaciones. i) etc.

BIBLIOGRAFÍA

0) APUNTES DE METODOS NUMERICOS

1) CHAPRA S.C. Y CANALE R.D. NUMERICAL METHODS FOR INGENEERS ED. MC. GRAW HILL.

2) LUTHER OLIVERA Y SHUTZ MÉTODOS NUMÉRICOS ED. LIMUSA.

3) BURDEN R.L. Y FAIRES D.J. ANÁLISIS NUMÉRICOS ED. CENGAGE LEARNING NOVENA EDICION

4) FRACIS SHEID Y ROSA E.D. CONSTANZO MÉTODOS NUMÉRICOS ED. MC. GRAW HILL

5) SHUICHIRO NAKAMURA MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS CON SOFTWARE ED. PRENTICE HALL.

6) R.E. SCRATON MÉTODOS NUMÉRICOS BÁSICOS ED. MC. GRAW HILL.

7) CONTE S. D. Y DE BOOR ANÁLISIS NUMÉRICO ELEMENTAL ED. MC. GRAW – HILL.

8) JAMES SMITH Y WALFORD MÁTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA COMPUTACIÓN DIGITAL ED. REPRESENTACIÓN Y SERV. DE ING.

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9) CONSTANTINIDE ALKINS MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS CON COMPUTADORAS PERSONALES ED. MC. GRAW – HILL.

10) MC CKAKEN DANIEL MÉTODOS NUMÉRICOS ED. LIMUSA.

11) ALLEN SMITH ANÁLISIS NUMÉRICOS ED. PRENTICE HALL. 12). JAMES- SMITH – WALP METODOS NUMERICOS

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apuntes unidad no 01 metodos numericos2

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