doç.dr.erkan Ülker, selçuk Üniversitesi mühendislik...

Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

17.05.2014 Sayfa 1


17.05.2014 Sayfa 2

B-spline yüzey tahmini problemine yapay bağışıklık sistemi yaklaşımı

Yüzey uydurma problemlerinde, şekil tasarımı için optimize edilmiş bir yüzey elde

etmek için düğümlerin seçimi iyi bilinir. Büyük veri için bu problemle, olası yerel

optimumdan kaçınan ve aynı zamanda iteratif tarzda arzulanan çözümü elde eden

optimizasyon algoritmalarıyla uğraşılması gereklidir. Evrimsel optimizasyon algoritmaları

(Genetik algoritma, benzetim tavlama, Simulated Evolution), yapay sinir ağları (Kohonen

ağları, fonksiyonel ağlar) ve bulanık mantık (bulanık B-spline’lar) gibi hesaplamsal zeka

optimizasyon tekniklerinin çoğu probleme zaten başarıyla uygulanmaktadır. Bu makale, B-

Splinelar kullanılarak yüzey uydurma problemine “Yapay Bağışıklık Sistemleri (AIS)” olarak

bilinen diğer bir hesaplamsal zeka tekniğinin uygulanmasını sunmaktadır. Antikorlar olarak

düğüm yerleşim adaylarını ele alarak bireyleri oluşturduk ve sürekli problemi ayrık bir

problem içinde çözdük. Akaike’nin Bilgi Kriterini (AIC) kullanarak aday modeller arasında

en iyi modeli aradık. Bizim metodumuz, düğümlerin uygun yerlerini ve sayılarını otomatik

olarak ve eş zamanlı biçimde tanımlayabilir. Sayısal örnekler metodumuzun etkinliğini

göstermek için verilmiştir. Ayrıca önerilen metot ile genetik algoritma arasında bir kıyaslama

da sunulmuştur.

Giriş

Ters mühendislik uygulamalarında modellemenin başarısı tasarlanan eğri yada

yüzeyin veri noktalarına ne kadar yakınlaşabilindiğine bağlıdır[7]. Örneğin uydurulan eğri

yada yüzey ne kadar iyi uymaktadır. Yüzey rekonstrüksiyon olarak da bilinen bir yüzeyin 3D

şeklini geri alma problemi, son birkaç yıldır daha fazla ilgi almıştır. Burada iki farklı yönelim

söz konusudur[8]. Birinci yönelimde yazarlar, verilmiş bir kesitler kümesinden bir yüzey

modeli bulma problemini ele almışlardır. Diğer farklı yönelimler verilmiş bir veri noktaları

kümesinden yüzeyler inşa etmeyi içermektedir. Bu veri noktalarının doğasına bağlı olarak iki

farklı yaklaşım kullanılmıştır: enterpolasyon ve tahmin. Tahmin teknikleri özellikle veri doğru

olmadığı ama ölçüm hatalarına bağlı olduğu zaman tavsiye edilmektedir. Tahmin tekniğini

seçmede diğer önemli neden eğri formları gibi sonsuz sayıda veriyi enterpole ederek yüzeyler

bulmada gereksinim duyulan büyük hesaplamsal efor olmasıdır[8].

Elastikiyet ve kontrol açısından avantajları sebebiyle B-spline’lar CAD veri temsili

için endüstri standardı olmuşlardır. Maalesef B-spline eğri yada yüzey uydurma çok iyi bir

parametrizasyon modeli gerektirmektedir. Parametrelerin seçimi üzerine sayısız çalışmalar

yapılmıştır. Yine de özellikle noktalar düzensiz dağıldığı ve karmaşık bir temel eğri yada

yüzey üzerinde uzandıkları zaman parametrelerin daha iyi hesabı günümüz yaklaşımları ile

zor olmaktadır.

Bu problemlere açık çözüm, önemli bir zaman ve bellek korumamızı bize sağlayan bir

tahmin şeması göz önüne almaktır. Bu yaklaşımda yüzey rekonstrüksiyon metotlarının amacı

aşağıdaki gibi belirlenmiştir[8]: bilinmiyen bir U yüzeyi üzerinde uzandığı varsayılan bir X

örnek noktalar kümesi verildiğinde U ‘ya yakın olan bir S yüzey modeli inşa etmektir. Tabii ki

bu, “şekil kalitesi” ‘ni feda etmeksizin imalat işlemi ile uyumlu verilmiş bir tolerans hatasını

içermektedir. Büyük veri için bu problemle, olası yerel optimumdan kaçınan ve aynı zamanda

iteratif tarzda arzulanan çözümü elde eden optimizasyon algoritmalarıyla uğraşılması

gereklidir. Seyrek veya gürültülü veriye B-spline eğri uydurulması çok yüksek hesaplama

karmaşıklığı ile nonlineer bir optimizasyon problemi olmasından dolayı[5,6,9], optimal

enterpolasyon sonuçlarını elde etmek için deterministik olmayan optimizasyon stratejileri

uygulanmalıdır. Burada hesaplamsal zekadan alınan metotlar bu problemin çözümüne çok


17.05.2014 Sayfa 3

umut verici çareler vermektedir. Makalede hesaplamsal zeka teknikleri ile kastımız evrimsel

algoritmalar ve sinir ağları gibi sayısal doğal esintili stratejileri içermektedir.

Bu probleme en dikkat çekici ve umut verici yaklaşımlardan birisi sinir ağlarına

dayanmaktadır. Geleneksel yüzey tahmini konusuna odaklanmış çalışmalar daha önceki

yıllarda yayınlansada [34] B-spline eğri tasarımında sinir ağlarının ilk kullanıldığı çalışma

[13] ve [18] ‘da verilmiştir. Bundan sonra Kohonen ağları [10, 11, 14, 15], self-orgaized maps

[16,17] ve Fonksiyonel ağların [12] kullanıldığı çalışmalarla yüzey tasarımlarına genişleme

sağlanmıştır. Yapay sinir ağı ile ilgili son çalışma Kohonen sinir ağının sayısal kontrolü

üzerinedir [12].

Evrimsel algoritmalar [19] da çok amaçlı optimizasyon için doğal seçimdir. Çünkü her

bir adımda algoritmalar bir populasyon tutarlar, bu populasyon optimal çözüm olan tek bir

çözüm yerine bir çözümler kümesidir. CAD’de tek amaçlı evrimsel algoritmanın kullanımı

kendisinin sağlamlığı ve lineer olmayan amaç fonksiyonlar ve kısıtlamaları verimli ele alışı

sebebiyle güçlü bir teknik olarak ispatlanmıştır [20-25]. Genetik algoritma[5,9,21,22],

simulated annealing, simulated evolution[22] gibi evrimsel optimizasyon tekniklerinin çoğu

bu probleme başarıyla uygulanmaktadır. Modified continuous reactive tabu search [23], Multi

objective optimization [6] ve egemen noktanın seçimine dayanan hata-sınırlı metot [24] gibi

geleneksel optimizasyon yöntemleri ilede probleme çözümler aranmıştır.

Son yıllarda bilim adamları, kompleks problemlerin çözümünde tabiattan

esinlenmelerinin neticesinde Yapay Sinir Ağları ve evrimsel algoritmaların oluşturulmasından

sonra yeni sayısal zeki paradigmalar geliştirmek için güçlü bir metafor olan bağışıklık

sisteminin kullanımına önem vermişlerdir. Bağışıklık sistemi oldukça güçlü, adaptif, dağıtık,

bellek bulunduran, kendi kendine organize olan, güçlü örüntü tanıma yeteneğine sahip ve

yabancı etkenlere karşı tepki vermek için evrimsel bir yapısı olan bir sistemdir [26]. Bu

sistemin yetenekleri bilim adamları, mühendisler, matematikçiler, filozoflar ve diğer

araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Bağışıklık prensiplerini uygulayan araştırma alanları hızla

gelişmektedir ve bu alan Yapay Bağışıklık Sistemleri – YBS (Artificial Immune Systems)

veya Bağışıksal Hesaplama (Immunological Computation) olarak bilinmektedir.

Bu makale, B-Splinelar kullanılarak yüzey uydurma problemine “Yapay Bağışıklık

Sistemleri (AIS)” olarak bilinen diğer bir hesaplamsal zeka tekniğinin uygulanmasını

sunmaktadır. Antikorlar olarak düğüm yerleşim adayları ele alınarak bireyler oluşturulmuş ve

[5] ve [9] deki gibi sürekli problem ayrık bir problem içinde çözülmüştür. Akaike’nin Bilgi

Kriteri (AIC) kullanarak duyarlılık ölçütü tanımlanmış ve her bir nesilde iyi olan aday

modellerden en iyi modele doğru arama gerçekleştirilmiştir. Bizim metodumuz, düğümlerin

uygun yerlerini ve sayılarını otomatik olarak ve eş zamanlı biçimde tanımlayabilir. GA,

popülasyonun tamamında arama yapmakta ve lokal optimalliğe takılmadan en iyi aday

çözüme doğru odaklanmaktadır. Yapay bağışıklık algoritmaları ise GA’ya göre daha fazla

lokal optimale ulaşabilmekte fakat global optimuma doğru nispeten daha az bir eğilim

göstermektedirler[27]. Literatürdeki çok amaçlı optimizasyon problemlerinde yapay

bağışıklık algoritmaları iyi sonuçlar vermiştir. Yapay bağışıklık sistemlerinin Genetik

algoritmaya olan doğal üstünlüğü ideal çözüme doğru tutarlı yakınsamasıdır. Bu nedenle B-

spline yüzey uydurma probleminde çözüme, genetik algoritmaya nazaran yavaş

yakınsamasına rağmen her yeni nesilde bulduğu çözüm genetik algoritmanın çözümünden

daha düzgün bir yüzey olmuştur. Sayısal örnekler metodumuzun etkinliğini göstermek için

verilmiştir. Ayrıca önerilen metot ile genetik algoritma arasında bir kıyaslama da

sunulmuştur.

Makalenin düzenlenişi şöyledir. Nokta verisinden B-spline yüzeylerin tasarımı için

genel bir giriş sunulmuştur, takibinde yapay bağışıklık sistemleri ile önerilen parametre

optimizasyonu sunulmuştur. Deneysel sonuçlar ve tartışmalar da sunulmuştur.


17.05.2014 Sayfa 4

B-spline yüzey tahmini

Ekran üzerinde kolayca ve bütünüyle inşa edilebilen karmaşık topoloji ve geometri ile

güçlü bir sanal geometrik modelleme sistemindeki çabaya rağmen yüzey modellemedeki en

gelişkin teknikler hâla gerçek dünya nesnelerinin taranması ve taranan noktaların

düzgünleştirilmesini ağır bir biçimde sağlamaktadırlar[1]. Matematiksel dilde geometri

uydurma bazı doğruluk kısıtlamaları altında uydurma hatasının minimumlaştırılması olarak

formülleştirilebilir. Parametrik yüzey uydurma için tipik bir hata ölçüsü şöyledir:

x yN

i

N

j

jijiji FyxSwQ1 1

2

,,2 , (1)

Örnek noktalardan yüzey uydurma yüzey rekonstrüksiyonu olarak da bilinir. Bu

makale, bu probleme karşı yerel bir uydurma ve harmanlama yaklaşımı uygular. Okuyucular

detaylar için [2] ve [3] ‘e bakabilirler.

A B-Spline curve, C(u), is a vector valued function which can be expressed as[4];

11

0

, ,,)()(

mk

m

i

iki uuuPuNuC (2)

where Pi represents control points (vector) and Ni,k is the normal k degree B-spline

basis functions and Ni,k can be defined as a recursive function as follows:

)()()(

0

,,1)(

1,1

1

1,

1

,

1

1,

uNuu

uuuN

uu

uuuN

otherwise

uuuifuN

ki

iki

ki

ki

iki

i

ki

ii

i

(3)

where ui represents knots that are shaped by a knot vector and U= {u0,u1,…,um}.

A definition of a B-Spline curve in equation (2) can be organized using rational basic

functions as follows:

m

j kj

ki

ki

m

i kii

uN

uNuRanduRPuC

0 ,

,

,0 ,

)(

)()(),(*)( (4)

Any B-Spline surface is defined similarly by:

n

r

m

s lskr

ljki

ljkiljkiji

vNuN

vNuNvuRandvuRPvuS

0 0 ,,

,,

,,,,,,,

)(*)(

)(*)(),(),,(*),(

(5)

Yukarıdaki denklemlerden görülebileceği gibi, B-spline yüzey; kendisinin derecesi,

düğüm değerleri ve kontrol noktaları ile eşsiz olarak verilir, sonra bu parametreler vasıtasıyla

yüzey biçimlendirilir. Yüzey rekonstrüksiyon problemlerinde girdi (input), organize

edilmemiş bir noktalar kümesidir, bu nedenle yüzey derecesi, düğümler ve kontrol

noktalarının hepsi bilinmiyenlerdir.

Denklem (3) de düğümler sadece kesirlerin payında değil paydasındada vardır. Bu

yüzden Denklem (5) ile verilen bir spline yüzey nonlineer bir düğümler fonksiyonudur.

Uydurulacak verinin bir x-y düzlemi üzerindeki D=[a,b]x[c,d] dikdörtgensel alanın mesh

noktaları üzerinde verilmiş olduğunu kabul edersek, aşağıdaki gibi bir ifade yazılabilir[5].

.,,2,1;,,2,1,, ,, yxjijiji NjNiyxfF (6)

Bu denklemde f(x,y) fonksiyonu verinin temelinde olan (bilinmiyen) fonksiyondur, Nx

ve Ny ise sırasıyla x-yönü ve y-yönü için veri noktalarının sayısıdır ve i,j bir ölçüm hatasıdır.


17.05.2014 Sayfa 5

Denklem (5), en küçük kareler metodu vasıtasıyla Denklem (6) ile verilen veriye uydurulur.

B-spline eğri’nin parametrizasyonu için uniform, kirişsel yada centripetal parametrizasyon

metotlarından biri tercih edilerek Denklem (2) deki eğri ve Denklem (5) deki yüzey

üretilmelidir. Sonra Denklem(1) vasıtasıyla kalanların karelerinin toplamı hesaplanır.Q2’nin

alt indisi verinin boyutu anlamındadır.

xxxxi mnmmi ,,2,1 ve yyyyj mnmmj ,,2,1 sırasıyla x-

yönü ve y-yönü için bir spline’ın düğümleri olsunlar. Burada, nx terimi [a,b] aralığında

yerleşmiş olan xi ni ,,2,1 interior düğümlerin sayısıdır. Benzer şekilde ny terimi [c,d]

aralığında yerleşmiş olan yj nj ,,2,1 interior düğümlerin sayısıdır. Bundan başka mx

ve my sırasıyla )(, xN imx ve )(, yN jmy

Bspline’ının düzenleridir. [a,b] kapalı aralığının

sonlarında a ve b değerlerine, ve [c,d] aralığının sonlarında c ve d değerlerine düğümler

eşitlenir.

.

,

.

,

1

01

1

01

yyy

y

xxx

x

mnn

m

mnn

m

d

c

b

a

(7)

Minimizasyon denklemi (1) in koşulu ile tanımlanmış bir ci,j terimi B-spline katsayıları

olarak denklem (5)’e eklenir. İyi bir model bulmak için, bununla beraber interior

xi ni ,,2,1 ve yj nj ,,2,1 düğümlerin sayıları ve yerleri, mümkün olduğu

kadar kesin tanımlanmalıdır.

B-spline yüzey uydurma probleminde minimize edilen amaç fonksiyon denklem (1)

dir ve amaç fonksiyonun değişkenleri B-spline katsayılar ve içteki düğümlerdir. B-spline

katsayıları lineer parametrelerdir. Bununla birlikte içteki düğümler nonlineer parametrelerdir,

çünkü S(u,v) fonksiyonu nonlineer bir düğümler fonksiyonudur. Bu minimizasyon problemi

multimodal optimizasyon problemi olarak bilinmektedir [6].

Yapay Bağışıklık Sistemleri

İnsan bağışıklık sistemi neredeyse sınırsız sayıda virüs, bakteri, mantar, parazit gibi

hastalık yapıcı mikroorganizmalara karşı vücudu koruyan kompleks bir ağ yapısı gibi

görülebilir. Bu yapı potansiyel olarak çok zeki hesaplama uygulamalarına sahip , paralel ve

dağıtılmış bir adaptif (kendi kendine öğrenebilen) sistemdir. Böyle bir yapının modellenmesi

problemlerin çözümünde yeni bir yaklaşım olarak kullanılabilir. Bu yaklaşım Artificial

Immune System (YBS)’dir. Yapay Bağışıklık Sistemleri 1990’larda Yapay Sinir Ağları

(Artificial Neural Networks) ve Yapay Hayat (Artificial Life) gibi biyolojik tabanlı bir çok

hesaplama yöntemini birleştiren yeni bir sistem olarak ortaya çıkmıştır[29]. YBS;

sınıflandırma recognition, feature extraction, diversity, learning, memory detection,

kümeleme, birliktelik keşfi ve self-regulation gibi çalışma alanlarında kullanılabilir[27,28].

Bağışıklık sistemindeki etkileşimlerin sistem bazında ifade edilerek bir YBS

oluşturulması için şunlara ihtiyaç duyulur. (i) Sistemi oluşturan birimlerin gösterimi, (ii)

Sistemdeki birimlerin birbirleri ve çevre ile olan etkileşimlerini hesaplamak için bir

mekanizma, (iii) Bazı adaptasyon prosedürleri. Şimdiye kadar geliştirilen algoritmalarda bu

işlemlerin her biri için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Sistemi oluşturan birimlerin Antijen

ve Antikor gösterimi için en çok kabul gören ve kullanılan yaklaşım Perelson ve Oster’in

1979 [30] yılında ortaya attıkları şekil uzayı yaklaşımıdır. Etkileşimleri hesaplamak için bir

mekanizma kullanılmalıdır. Antijen ve antikor arasındaki etkileşimler bir duyarlılık ölçütü

kullanılarak modellenebilir. Adaptasyon prosedürleri, sistemin zamanla nasıl değiştiğini


17.05.2014 Sayfa 6

modeller. Bunlar, bir bağışıklık fonksiyonu, işlemi ya da teorisi kullanılarak oluşturulur.

Klonal seçme algoritması [31], Negatif seçim [32] ve bağışıklık ağları en çok kabul gören

yöntemlerdir. Çalışmada Klonal seçim algoritması tercih edilmiştir.

Doğal bağışıklık sisteminde, optimal yapıdaki ve sayıdaki antikorların geliştirilmesi ve

evrimleştirilmesi süreçlerini taklit ederek optimizasyon problemleri için etkin algoritmalar

geliştirilmiştir. Aniden ortaya çıkan yeni bir zararlı antijene karşı, doğal bağışıklık sisteminin

geliştirdiği tepki sürecinde uyguladığı tanıma, hafıza, ve etkin antikorları üretme

mekanizmaları B-spline yüzey uydurmada düğümlerin yerleri ve sayılarının otomatik

yerleşimi probleminde başarılı biçimde kullanılabileceğini bize düşündürmüştür. Sunulan

çalışmada YBS ile kullanılabilir çözümlerin hepsinden daha iyi çözümü seçerek parametre

optimizasyonu yapılmıştır.

Yapay Bağışıklık Sistemi ile B-spline Yüzey Tahmini

Yapay bağışıklık sistemleri biyolojik esaslı rastsal arama tabanlı bir genel amaçlı

sezgisel yöntemdir. Çözüm uzayı kodlanır. Uygun çözüm popülasyon içerisinde aranır.

Popülasyon içerisindeki her bir birey antikor olarak isimlendirilir. YBS’de yeni nesiller

benzerlik değeri (uygunluk değeri) ile orantılı bir kopyalama (klonlama) ile oluşturulur.

Nesillerde duyarlılığı yüksek olan antikorlar memory’de saklanır. Çözüme ulaşmada

popülasyon büyüklüğü önemli bir parametredir. Yapay bağışıklık sistemlerinde çaprazlama

operatörleri kullanılmazken Mutasyon operatörü kullanılmaktadır. Mutasyon operatörü,

algoritmaların yeni çözümlere ulaşma, yeni çözümler keşfetme sürecinde ince ayar yapmasını

sağlar. Mutasyon yönteminde mutasyon oranının belirlenmesi önemlidir. Genelde yapay

bağışıklık sistemlerinde büyük mutasyon oranları seçilmektedir[29]. Çözüme ulaşmada

kullanılacak nesil sayısı çözümün ilk aşamasında seçilir. Genellikle Genetik algoritma ile

YBS’nin kodlama şemaları ve değerlendirme fonksiyonları farklı olmasa da evrimsel

araştırma süreçleri; ilham kaynakları, kullanılan terimler ve adımların sırası farklılık gösterir.

Dasgupta [33], YBS’nin bir problem çözme metodu olarak başarılı olmasında

aşağıdaki özelliklerinin önemine dikkat çekmiştir: Tanıma, Çeşitlilik, Öğrenme, Hafıza,

Dağıtılmış algılama, Kendi kendini düzenleme, Eşik değeri mekanizması, Dinamik koruma,

Yaklaşık algılama.

Bu özellikler, YBS’nin özellikle bilgisayar ve ağ güvenliği uygulamalarında, dinamik

çevredeki iş çizelgeleme problemlerinde, hata tespiti uygulamalarında GA veya başka

herhangi bir yönteme göre üstün olmasını sağlamaktadır.

Günümüze kadar B-spline yüzey tahmini alanında diğer hesaplamsal zeka yöntemleri

ile belirli problemlere belli çözümler aranmıştır. Fakat AIS yaklaşımı ile gerçekleştirilmiş bir

çözüme rastlanılmamıştır. Bu nedenlerle AIS’in yeteneklerini B-spline yüzey tahmini alanına

aktarabilmek için önerdiğimiz yöntemin detayları makalenin bu kısmında verilecektir.

Bağışıklık sisteminde sistemi oluşturan birimler Antijen ve Antikordur. Şekil uzayı

kavramında Antijen-antikor etkileşimlerinin derecelerinin belirlenmesi için bir ölçüt olarak

uzaklık ölçütü kullanılır. Bağışıklıktaki tamamlayıcılık özelliği şekil uzayında uzaklık

kavramı ile modellenmiştir. Burada iki adet teoremden bahsedilir. Maksimum etkileşim için

maksimum uzaklık teoremi ve maksimum etkileşim için minimum uzaklık teoremi.

AIS oluşturulmasındaki ikinci gereksinim sistemdeki birimlerin birbirleri ve çevre ile

olan etkileşimlerini hesaplamak için bir mekanizmadır. Antijen ile antikor arasındaki

etkileşimler bir duyarlılık ölçütü kullanılarak modellenir. Bir ölçüt olarak uzaklık ölçütü

kullanılır. Antijen ile antikor arasındaki uzaklıklar çeşitli yöntemlerle hesaplanabilir. Eğer

antijen ve antikoru simgeleyen vektörler gerçel değerli vektörler ise öklit yada manhattan

uzaklık ölçütleri kullanılabilir [27]. Antikoru Ab=<Ab1,Ab2,...,AbL> ile Antijeni de


17.05.2014 Sayfa 7

Ag=<Ag1,Ag2,...,AgL> ile gösterecek olursan Ab ve Ag arasındaki öklit uzaklığı denklem

(8) ile hesaplanır.

L

i

ii AgAbD1

2 (8)

AIS oluşturulmasındaki üçüncü ve son aşama bazı adaptasyon prosedürleridir. Ikinci

aşamada hesaplanan duyarlılık/uygunluk ölçütleri bu yöntemlerin girişleri içinde yer alırlar.

De Castro et al [28] duyarlılık olgunlaşmasındaki işlemleri baz alarak Klonal Seçim

Algoritmasını ortaya atmış ve oluşturdukları algoritmayı karekter tanıma, optimizasyon gibi

problemlere uygulayarak performansını analiz etmişlerdir. Algoritma aşağıdaki gibidir:

Randomly initialise a population (P)

For each pattern in Ag

Determine affinity to each Ab in P

Select n highest affinity from P

Clone and mutate prop. to affinity with Ag

Add new mutants to P

endFor

Select highest affinity Ab in P to form part of M

Replace n number of random new ones

Until stopping criteria

Algoritma, iki esası temel alır; çoğalma için sadece antijeni tanıyan hücreler seçilirler,

Seçilen ve çoğalan hücreler duyarlılık olgunlaşması işlemine tabii tutularak Antijene olan

duyarlılıkları arttırılır. Algoritmanın detaylarına [28] den ulaşılabilir. Algoritma yapı olarak

Genetik algoritmayı andırmaktadır. Ama De Castro et al uygulamalar sonucunda görmüşlerdir

ki, Klonal seçim algoritması Genetik algoritma ile karşılaştırıldığında lokal optimumlardan

oluşan çok çeşitli bir çözüm seti üretebilir. Genetik algoritma ise tüm populasyonu en iyi

bireye benzetmeye çalıştırır. Gerçekte iki algoritmanında kodlama ve hesaplama yöntemleri

çok farklı değildir fakat araştırma işlemlerini gerçekleştirilerken esinlendikleri kaynak,

kullandıkları notasyon ve gerçekleştirdikleri işlemlerin sırası bakımından farklılık arz ederler.

B-spline yüzey uydurma problemi belirli bir tolerans dahilinde bir hedef yüzey tahmin

eden B-spline yüzeyi tahmin etmektir. Hedef yüzeyin 3D uzayda sıralı ve sık veri noktaları ile

Nx x Ny grid yapısı şeklinde tanımlandığı varsayılmıştır. Uydurulacak B-spline yüzeyin

düğümlerinin Nx x Ny gridinin alt kümesi olan nx x ny gridi olduğu kabul edilir (Şekil 3).

Uydurulacak yüzey dereceleri mx ve my dışarıdan verilmektedir. Yüzeyi tahmin etmek için

verilen nokta sayısı Nx x Ny, bit stringi şeklinde oluşturulan Antigen ve Antibody’nin boyutu

olan L’ye atanır. Antibody ve Antigen’in bir molekülü olarak adlandırılan her bir biti bir veri

noktasına karşılık gelmektedir. Bu formülasyonda eğer bir molekülün değeri 1 ise uygun veri

noktasına bir düğüm yerleştirilir, eğer molekülün değeri 0 ise uygun veri noktasına düğüm

yerleştirilmez (Şekil 4). Bu kabullenme genetik algoritmadaki gen ve kromozom terimlerine

eşdeğerdir fakat klonal seçim algoritması genetik algoritmadan farklıdır ve antijeni

tamamlayıcı özelliği daha fazla olan birey daha fazla klonladığı için yakınsama genetik

algoritmaya göre daha hızlıdır. Verilen noktalar [a,b] ve [c,d] aralığında uzanıyorsa nx x ny

adet düğüm bu aralıkta tanımlanır ve interior knots olarak adlandırılır. Başlangıç populasyonu

molekül sayısı L olan K adet Antibody içerir. Moleküller rasgele olarak 0 ve 1’e set edilirler.

Minimum hata ile veri noktalarına uyan B-spline’ı tanımlayan interior düğümlerin yerlerini ve

sayılarını ihtiva eden molekül kümesi ise tanınması gereken antijendir.


17.05.2014 Sayfa 8

Şekil 3. interior düğümlerin grid yapısı

Şekil 4. Antigen-Antibody Kodlama Metodu.

Çalışmada Antigen ve Antibody arasındaki etkileşimlerde maksimum etkileşim için

minimum uzaklık teoremi kullanılmıştır. Antijen-Antikor hücre etkileşimlerinin derecelerinin

belirlenmesi için ölçüt olarak Denklem (8) deki Öklit uzaklık ölçütü kullanılır. Antikorların

Antijenlere yanıt üretebilmeleri için onları tanımaları gerekmektedir. Tanıma işlemi için

çalışmamızda Antikorların Antijene olan duyarlılıklarının Antikor-antijen arasındaki uzaklığa

ve [5] ve [9] referanslarında fitness measure olarak tercih edilen Akaike’nin Information

Criterion (AIC)’e göre aşağıdaki gibi olacağı hesaplanmıştır.


17.05.2014 Sayfa 9

avrgAIC

AICAffinity 1 , (9)

Burada AICavrg populasyondaki tüm Anitkorların AIC değerlerinin aritmetik

ortalamasıdır ve aşağıdaki gibi hesaplanır. Herhangi bir bireyin AIC değeri AICavrg

değerinden büyükse denklem (9) da Affinity=0 kabul edilir.

K

AIC

AIC

K

i

i

avrg

1 , (10)

Burada K populasyonun büyüklüğüdür ve AICi populasyondaki i’inci antibody’nin

fitness measure’ıdır. AIC aşağıdaki gibi verilir.

yxyyxxeyx nnmnmnQNNAIC 2log 22 (11)

Burada Nx ve Ny veri sayısıdır, nx ve ny interior knots sayısıdır, mx ve my verilen veri

üzerine uydurulan spline’ın order’ıdır ve Q2 denklem (1) ile hesaplanır. Şuna dikkat

edilmelidir ki Antibody’ler içinde AFFINITY'si yüksek olan hatası en az olandır, ideal çözüm

olan ve tanınması gereken Antigen’in tam olarak tamamlayıcısı olan Antibody’nin Affinity

değeri populasyon içindekilerden (aslında Memory’deki) 1’e en yakın olanıdır. Ideal

antibody ile aranan antigen arasındaki öklit uzaklığı sıfırdır. Bu durumda problem yüzey

tahmini değil yüzey interpolasyonu olmaktadır.

Probleme çözüm aramadan önce belli kontrol parametre değerleri programa

verilmelidir. Bunlar yüzeyin order’ı, populasyon büyüklüğü, Memory büyüklüğü, çeşitlilik

oranı, ve mutasyon oranıdır. Tercihan memory büyüklüğü populasyon büyüklüğünün 2 katı

verilmiştir. Memory içeriğinde o zamana kadarki tüm iterasyonların en iyi antibody’leri

tutulmaktadır. Populasyonun çeşitlilik derecesinide çeşitlilik oranı parametresi tayin

etmektedir. Bu değer molekülleri rasgele belirlenecek antibody sayısının populasyon

büyüklüğüne oranıdır. Klonlama aşamasında da AIS ruhuna uygun şekilde Affinity

değerlerine göre klonlama gerçekleştirilmektedir ve Affinity’si daha yüksek olan antibody’ler

daha fazla klonlanmakta, affinity’si daha az olan antibody’lerde daha az klonlanmakta veya

hiç klonlanmamaktadır. Klonlanan antibody’lere maturate uygulanması sırasında genelde

memory içinden rasgele seçilen bir bireyle çift nokta çaprazlama yapılmakta yada molekül

düzeni rasgele değiştirilmektedir. Bir antibody’nin klonu fazla ise genelde klonlarına her

ikiside uygulanmıştır. AIS belli bir iterasyon sayısınca çalıştırıldıktan sonra Antijene karşı en

yüksek duyarlılığa sahip antikor çözüm olarak seçilir. Maturate işlemleri sırasında nx x ny

gridi oluşturulurken Nx x Ny gridine sadık kalınmasına özen gösterilmelidir.

Klonal seçim algoritmasını bu probleme entegre edebilmek için orjinal algoritmada

bazı değişiklikler yapılmalıdır. Aşağıda ise algoritmaya yapılan modifikasyonlar ve bunların

yukarıdaki algoritmaya nasıl uygulandığı adım adım gösterilmektedir.

1. Uydurulacak veri noktalarını gir (Nx x Ny grid şeklinde)

2. Kontrol parametrelerini gir

3. Başlangıç Antibody populasyonunu rasgele moleküllerle oluştur.

4. Populasyon ilk defa oluşturuluyorsa Memory dizisini oluştur ve tüm

Antibody’leri Memory içinde sakla.

5. Aksi takdirde Antibody populasyonu ile Memory hücrelerini güncelle ve

Memory’i geliştir.

6. Her bir Antibody için B-spline’ı denklem (5) ile hesapla ve Denklem (6) ile

verilen veriye uydur. Sonra kalanların karelerinin toplamı (Q2)nı hesapla

(denklem (1)).

7. Populasyondaki her bir Antibody’nin AIC değerini (denklem (11) ve

populasyonun ortalama AIC değerini (denklem (10)) hesapla.


17.05.2014 Sayfa 10

8. Her bir antibody için Affinity hesapla (denklem (9)).

9. Affinity’e ve aranan Antigen’e göre populasyondaki her Antikor’un

etkileşimleri (Öklit uzaklığı denklem(8))’ne göre en iyi antibody’leri seç

(toplamda K-Cesitlilik kadar klon).

10. Klonların Affinity değerleriyle orantılı şekilde molekül değiştirimi ile

Olgunlaşan antibody populasyonunu üret (Memory kullanılarak veya rasgele

antibody molekülleri değiştirilerek).

11. Mutasyon oranına göre mutasyonu gerçekleştir

12. Çeşitlilik oranına göre yeni antibody’ler üret.

13. İterasyon sınırına ulaşılmadı veya Antigen tamamen tanınmadıysa Adım 5’e

git.

Deneysel Sonuçlar

Tarafımızdan önerilen AIS temelli Automatic Knot Placement algoritmamızı

değerlendirmek için Five bivariate test functions were used. They are listed in Table I and are

plotted in Figure 5. These functions have been used by for example Lee [35], and were

constructed to have a unit standard deviation and a non-negative range. YBS mimarisinde

Memory içeriğinde duyarlılığı en fazla olan antibody’ler saklandığı için sonuçlarda her nesil

için Memory’nin en iyi duyarlığa sahip antibody’si verilmiştir. Performans değerlendirmesini

ve yakınsama hızını kıyaslayabilmek için Sarfaz ve ark. [2, 3] tarafından önerilen GA

algoritması ile önerdiğimiz algoritma kıyaslanmıştır. Onların algoritmalarında’ki knot ratio

oranı ve ayrıca önemli noktaların düğüm kromozomlarında sabitlenmesi işlemleri göz ardı

edilmiştir. B-spline yüzey order’larının kullanıcı tarafından girilebilme esnekliğine geliştirilen

program sahiptir. Test Function 1: 36.06.04.0391.10, 2121 xxxxf

Test Function 2: 22

2

1

222

21 5.05.0,75.0234.24, xxrrrxxf

Test Function 3: 5.0,5.0,51005.01.0659.42, 2211

4

4

2

2

2

1

4

1121 xxxxxxxxxxxf

Test Function 4: 2

2

5.032

1

12

121 9.046.0315.13356.1, 21

xSinexSinexxxfxx

Test Function 5: 2

2

121 76.01335.19.1, 21 xSinexSinexxfxx

Tablo 1. Five test functions for the bivariate setting.


17.05.2014 Sayfa 11

Şekil 5. Perspective plots of bivariate test functions.

Modelin kalitesini test etmek için yukarıdaki gibi tanımlanan beş yüzeyden 400

(20x20) eğitim verisi noktası için ve 5 den 10 a kadar M ve N için Root Mean Square (RMS)

hatalar hesaplanmıştır. Başlangıç populasyonu 500 nesile kadar beslenmiştir. Nesiller arttıkça

uygunlukta artmaktadır (hata azalmaktadır). Tahmin edilen yüzeylerin eğimi sonraki

nesillerde hâla yakınsama olasılığının olduğunu göstermektedir. Tablo 2, GA ve YBS

optimizasyon icrasının istatistiklerini vermektedir.

Genetik algoritmadaki en iyi kromozomlara ve YBS algoritmasında Memory

populasyonundaki Antibody’lere dayanarak modellenen yüzey ve nokta bulutu arasındaki

Root Mean Square (RMS) hataları dört test fonksiyonu (Yüzey I - Yuzey IV) için Tablo 3’ de

verilmiştir.

Parametre AIS GA

Mesh Büyüklüğü 20x20 20x20

Population size 20 20

String length 200 (Antibody cell length) 200 (chromosome gen-length)

Mutation Rate None 0.001

Crosover Olasılığı None 0.7

Cesitlilik Sayisi 6 (30%) 6 (30%)

Memory Size 40 None

Generation 500 500

B-spline’s order Random and user defined Random and user defined

Tablo 2. Parametre Kümesi

Surface I (x10-2

) Surface II (x10-2

) Surface III (x10-2

) Surface IV (x10-2

)

M x N Best (RMS) M x N Best (RMS) M x N Best (RMS) M x N Best (RMS)

7 x 7 G.A. A.I.S. 8 x 8 G.A. A.I.S. 9 x 9 G.A. A.I.S. 10 x 10 G.A. A.I.S.

İnitial 8.268 9.345 İnitial 3.648 3.697 İnitial 10.10 10.25 İnitial 8.213 8.576

10 7.992 7.149 10 3.705 3.598 10 11.25 9.574 10 8.764 8.023

25 8.229 5.883 25 4.256 3.428 25 9.679 8.712 25 8.364 7.612

50 8.722 5.613 50 3.915 2.867 50 10.40 7.935 50 8.537 7.444


17.05.2014 Sayfa 12

100 8.342 5.531 100 3.729 2.712 100 9.977 7.482 100 8.786 7.227

200 8.724 5.587 200 4.013 2.017 200 10.50 7.062 200 9.309 7.104

300 8.994 5.290 300 4.600 1.581 300 10.61 7.037 300 7.992 7.072

400 7.638 5.238 400 3.523 1.529 400 10.38 7.033 400 8.455 7.008

500 8.866 5.238 500 3.997 1.501 500 10.60 7.009 500 8.577 6.954

Tablo 3. Farklı MxN için Yüzey I-Yuzey IV’den 400 eğitim noktası için AIS ve GA

metodlarının RMS değerleri.

M N

5 6 7 8 9 10

5 8.6015 8.0171 7.9324 7.0035 7.3263 7.0629

6 8.4809 8.4179 8.3722 7.5269 7.3554 7.1965

7 7.6333 7.2749 7.4622 7.2034 6.9558 6.1804

8 7.8404 6.8614 6.4382 6.4288 6.7375 6.0138

9 7.9077 7.8398 6.9039 6.9028 6.8971 5.7911

10 8.0664 6.7625 7.1614 6.3575 6.9640 6.3637

(a) AIS

M N

5 6 7 8 9 10

5 10.501 9.6512 9.1281 9.7179 9.8944 9.6573

6 10.238 9.8221 9.3189 9.5761 7.7725 8.5993

7 9.9913 9.4922 8.9494 8.2377 8.1184 8.1649

8 10.013 8.6365 8.6247 8.2134 7.6657 7.8947

9 10.020 9.1249 8.7523 8.1843 7.3076 7.4484

10 9.3970 9.1297 8.4642 8.2721 7.6331 7.3366

(b) GA

Tablo 4 M ve N’nin farklı değerleri için Yüzey V’den 400 eğitim noktası için AIS ve

GA metodlarının RMS değerleri.

Şekil 5 de tanımlanmış tüm yüzeyler için analizler yerine getirilmiştir. M x N mesh’i

Yüzey II – Yüzey IV için rasgele belirlenmiştir. Tablo 3’de gösterilen Yüzey II de M ve N için

seçim MxN=8x8’e uymaktadır. Bu seçim için RMS hatası 0.0150165701684642 dir. Tahmin

edilen B-spline yüzey Şekil 7.a’de gösterilmiştir. Benzer şekilde sırasıyla Yüzey III, ve IV de

M ve N için seçimler sırasıyla MxN=9x9, ve MxN=10x10’a uymaktadır. Bu seçimler için

RMS hataları sırasıyla 0.0700900416710976, ve 0.0695467623624124 dir. Tahmin edilen B-

spline yüzeylerde Şekil 7.b, ve c ’de gösterilmiştir.

Tablo 4, Yüzey V’e işaret etmektedir. Burada 400 (20x20) eğitim verisi noktası için ve

5 dan 10 a kadar olan bazı M ve N değerleri için Root Mean Square (RMS) hatalar

hesaplanmıştır. Okuyucunun değerlendirebileceği gibi (tabii ki M ve N değerlerine bağlı olan)

hatalar yaklaşımın makul olduğunu göstermektedir ve En iyi seçenek (Tablo 4’de italik olarak

gösterildiği gibi) MxN = 9x10 ’a uyar. Bu durumda RMS hatası 0.0579111328092844 dir. En

iyi uydurmayı veren MxN düğümlerine göre Yüzey V için; Önerdiğimiz algoritma ile Safraz

ve arkadaşlarının GA temelli algoritması yakınsama hızlarına görede karşılaştırılmıştır.

Eğitim süreci içindeki bazı nesillerde programların çıktıları alınmıştır. Bu çıktılara göre o

nesildeki populasyonlara göre bireyler ve antikorlar’ın ortalama Fitness değerleri Tablo 5’de

verilmiştir. Tüm nesillere göre öneridğimiz AIS yaklaşımımızın ve GA yaklaşımının

yakınsama grafikleri de Şekil 6’da sunulmuştur. Bu şekilde koyu çizgiler Maksimum Fitness

değerlerini kesikli çizgilerde ortalama Fitness değerleridir. Siyah çizgiden hesaplamamızın

410 ‘uncu nesilde yakınsadığını görebiliriz. GA için elde edilen en iyi uygunluk 28. nesildeki

668 değeridir.


17.05.2014 Sayfa 13

A.I.S. (x10-2

) G.A. (x10-2

)

BEST

RMS

Best

Fitn.

Max

RMS

Average

Fitn.

Average

RMS

BEST

RMS

Best

Fitn.

Max

RMS

Average

Fitn.

Average

RMS

Initial 8.8455 806 27.987 1226 16.316 8.8252 804 26.700 1319 17.612

10 7.7040 695 8.8118 767 8.4349 7.9664 722 12.435 961 10.818

25 7.3733 660 7.7939 682 7.5782 9.6906 879 30.386 1085 12.951

50 6.7473 589 7.3570 641 7.2026 7.9327 719 22.333 940 10.689

100 6.0368 500 6.7118 511 6.1217 8.0104 727 10.869 891 9.877

200 5.9232 485 6.0845 492 5.9764 9.2626 843 12.584 925 10.280

300 5.9122 484 5.9659 488 5.9433 7.6908 694 29.605 1043 12.362

400 5.8625 477 5.9184 481 5.8945 8.4756 772 11.958 922 10.255

500 5.7911 467 8.4904 488 5.9526 7.9312 719 13.319 897 9.957

Tablo 5: Yüzey V için GA ve AIS optimizasyonunun AIC ve RMS istatistikleri.

G.A.

0

500

1000

1500

2000

1

37

73

109

145

181

217

253

289

325

361

397

433

469

Generation

Fit

ness

Avg.

Max

Best

A.I.S.

0

500

1000

1500

2000

1

36

71

106

141

176

211

246

281

316

351

386

421

456

491

Generation

Fit

ness

Avg.

Max

Best

Şekil 6. Nesillere göre GA ve AIS temelli parametre optimizasyonu.


17.05.2014 Sayfa 14

Şekil 6. sırasıyla (yukarıdan aşağıya, soldan sağa) Yüzey II, III, IV ve V olarak

etiketlenen B-spline tahmini yüzeyleri

Sonuç

Yüzey uydurma problemlerinde, şekil tasarımı için optimize edilmiş bir yüzey elde

etmek için düğümlerin seçimi iyi bilinir. Büyük veri için bu problemle, olası yerel

optimumdan kaçınan ve aynı zamanda iteratif tarzda arzulanan çözümü elde eden

optimizasyon algoritmalarıyla uğraşılması gereklidir. Evrimsel optimizasyon algoritmaları

(Genetik algoritma, benzetim tavlama, Simulated Evolution), yapay sinir ağları (Kohonen

ağları, fonksiyonel ağlar) ve bulanık mantık (bulanık B-spline’lar) gibi hesaplamsal zeka

optimizasyon tekniklerinin çoğu probleme zaten başarıyla uygulanmaktadır. Bu makale, B-

Splinelar kullanılarak yüzey uydurma problemine “Yapay Bağışıklık Sistemleri (AIS)” olarak

bilinen diğer bir hesaplamsal zeka tekniğinin uygulanmasını sunmaktadır. Çalışmada [5] ve

[9] deki gibi orjinal problemi ayrık kombinasyonel optimizasyon problemine çeviren ve

çevrilmiş problemi çözen bir strateji kullanılmıştır.

B-spline yüzey tahmininde uygun yakınsamayı garanti altına almak için iterasyondaki

her bir tahmini B-spline yüzeyin üzerinde iki temel gereksinim vardır: (1) onun şekli, hedef

yüzeyin şeklini yaklaşık olarak tutmalıdır; (2) onun kontrol noktaları uygun bir şekilde

dağıtılmalı yada düğüm noktaları uygun şekilde belirlenmelidir. Bu makalede sunulan

tekniğin ikinci gereksinimi hafifletmede yardımcılığı ispatlanmıştır. Örneğin uygunsuz bir

şekilde dağıtılan düğüm noktaları tatmin edici bir sonuç üretmek için ayarlanabilir ve

düzeltilebilirler. Bununla birlikte, birinci gereksinim bizim metodumuzun uygulanması için

hala gereklidir. Çünkü metodumuzda belirli bir tölerans dahilinde tahmin hatası kabul

edilmektedir. İteratif bir metot olması sebebiyle üretilecek nesil sayısının fazla tutulması bu

hatayı minimize etmeye yardımcı olacaktır ama bu hesaplama zamanının uzaması anlamına

gelmektedir.


17.05.2014 Sayfa 15

Tahmin hatası için uygun bir ölçü, hem amaç fonksiyonu tanımlama hemde tahmin

kalitesini hesaplamada önemlidir. Tahmin hatası bizim metodumuzda tahmini B-spline

yüzeyden hedef yüzeye uzaklık olarak ölçülmektedir. Bununla birlikte teorik olarak daha

münasip bir ölçü aktif B-spline yüzeyi ve hedef yüzey arasındaki Hausdorff uzaklığı olabilir.

Bu nedenle ileriki bir araştırma problemi ya Hausdorf uzaklığı ile çalışmak yada daha genel

bir B-spline yüzey tahmin şeması bulmada bir hata ölçüsü olarak kullanılabilen bazı tahmin

biçimlerine çalışmaktır.

Bu çalışmada Yapay Bağışıklık Sisteminin Klonal seçim algoritması, yüzey

rekonstrüksiyon problemine uygulanmış ve yüzey modellemenin çeşitli yeni yönleri

geliştirilmiştir. Bu yaklaşımın büyük potansiyeli gösterilmiştir. Verilen bir 3 boyutlu veri

noktaları kümesi için AIS bu veri noktalarına en uygun B-spline yüzeyin derecesini ve düğüm

noktalarını seçmemizde tasarımcılara yardımcı olmaktadır. Düğüm noktaları sayısının bir

fonksiyonu olarak hatanın dikkatli bir analizi de yerine getirilmiştir. Bu metot için çoklu

uygulamalar orjinal amacımızın ötesindedir, örneğin daha yüksek boyutlu veri görüntüleme,

morphing, hacim verme gibi. Hepsi, metodumuz için potansiyel uygulamalardır. Öğrenme

işleminin verimliliği ve gücü deneylerimizle ispatlanmıştır. Sonraki çalışmalarda Diğer AIS

tekniklerini kullanarak metodumuzu iyileştirmeye çalışacağız. Diğer tekniklerin olumlu yada

olumsuz etkilerini ortaya çıkarmaya çalışacağız ve kıyaslamalar gerçekleştireceğiz.

Bizim yaklaşımımızın çok genel olduğunu açıklamak istiyoruz: veri noktaları herhangi

bir yüzey türünden alınabilir (aslında makalede bivariate fonksiyon yüzeylerden veri

noktalarını kullandık) ve tahmin edilen yüzey herhangi bir keyfi basis fonksiyonları ailesine

göre yazılabilir. Bu umumiyetden dolayı düşündük ki bu yaklaşım yüzey modellemedeki

uğraşılan diğer problemlerin çoğuna uygulanabilen Yapay bağışıklık sistemleri olarak umut

verici bir yeni araştırma çizgisini açmaktadır. Diğer yandan yaklaşımımızın kısıtlamalarını

açıkça kuran ilave çalışma gereklidir. Örneğin bu makalede veri noktalarının uniform ağları

göz önüne alınmıştır. Bizim ilgimiz şimdi AIS metodolojimizi uygulamak için organize

edilmemiş veri noktaları durumu ele alındığında oluşacak sınırlamaları keşfetmeye yöneliktir.

Beklentimiz bir ön işleme adımının gerekli olabileceğidir ama bu değerlendirme halen

bulanıktır ve sonuç olarak ileriki araştırma hâla gereklidir. Sonraki sonuçlarımız başka

yerlerde bildirilecektir.

Bu algoritmanın genişlemesi için sonraki adımlarda NURBS yüzeyler kullanılacaktır.

Bu genişletme özellikle NURBS’ün ağırlıklarının optimizasyonunun karmaşık olması

nedeniyle önemlidir.

Diğer konu performansdır, algoritma Visual Basic üzerindedir. Daha iyi performans

için verimli bir C implementasyonu beklenebilir. Yada algoritma paralel işlemcilere göre

değiştirilebilir. Ama hâlen genetik algoritma, yapay sinir ağları, yapay bağışıklık sistemleri

gibi iteratif metotlar yakın gelecekte etkileşimli yüzey tasarım programlarına uygun

olmayacaktır.

Makalede, önerilen AIS Algoritmamızın iyi düğümleri otomatik olarak tanımlamada

kullanışlı olduğunu açıkça gösterdik. Metodumuz kullanılarak düğümlerin sayısını ve

yerleşimlerini eş zamanlı olarak tanımlayabiliriz. Uygunluk fonksiyonu olarak AIC

kullandığımız için modelin basitliği ile veriye modelin sadakatini dengeleyebiliriz ve aday

modeller arasından en iyi modeli otomatik olarak seçebiliriz. Hata toleransı yada bir

düzgünlük faktörü ve düğümlerin iyi seçilmiş başlangıç yerleri gibi herhangi bir subjektif

parameteye gereksinim duymayız.


17.05.2014 Sayfa 16

Referanslar

1. Xie, H., Surface design and reconstruction techniques in computer graphics, PhD

Thesis, 226 pages, 2004.

2. V. Weis, L. Andor, G. Renner, T. Varady, Advanced surface fitting techniques,

CAGD Vol 19, pp. 19-42, 2002.

3. Piegl, L., Tiller, W., The NURBS Book, 2nd ed., Springer Verlag, Berlin, Heidelberg,

1997.

4. Ulker, E, Arslan, A., The Calculation of Parametric NURBS Surface Interval Values

using Neural Networks, International Conference on Computational Science (ICCS

2006), Part II, Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag, Berlin

Heidelberg, Vol. 3992, pp. 247-254, 2006.

5. Yoshimoto, F., Moriyama, M., Harada, T., Automatic knot placement by a genetic

algorithm for data fiting with a spline, Proceedings of the International Conference on

Shape Modeling and Applications, IEEE Computer Society Press, pp. 162-169, 1999.

6. Goldenthal, R., Bercovier, M. Design of Curves and Surfaces by Multi-Objective

Optimization, April 2005, Leibniz Report 2005-12.

7. Kumar, G.S., Kalra, P.K., Dhande, S.G., (2003). Parameter Optimization for B-spline

Curve Fitting using Genetic Algorithms, The Congress on Evolutionary Computation

CEC’03, Vol. 3, pp. 1871-1878.

8. Iglesias, A., Echevarr´ýa, G., Galvez, A., Functional networks for B-spline surface

reconstruction, Future Generation Computer Systems, Vol. 20, pp. 1337-1353, 2004.

9. Sarfraz, M., Raza, S.A., Capturing Outline of Fonts using Genetic Algorithm and

Splines, Fifth International Conference on Information Visualisation (IV'01) , pp. 738-

743, 2001.

10. Hoffmann, M., Modified Kohonen Neural Network for Surface Reconstruction, Publ.

Math. Vol. 54, pp. 857-864, 1999.

11. Hoffmann, M., Kovács E., Developable surface modeling by neural network,

Mathematical and Computer Modelling, Vol. 38, pp. 849-853, 2003

12. Hoffmann, M., Numerical control of Kohonen neural network for scattered data

approximation, Numerical Algorithms, Vol. 39, pp. 175-186, 2005.

13. Hoffmann, M., Várady, L., Free-form curve design by neural networks, Acta Acad.

Paed. Agriensis, Vol. 24, pp. 99-104, 1997

14. Hoffmann, M., Local update of B-spline surfaces by kohonen neural network, Proc. of

the 5th International Conference on Computer Graphics and Artificial Intelligence,

Limoges, pp. 103-112, 2002.

15. Boudjemaï, F., Enberg, P.B., Postaire, J.-G., Surface Modeling by using Self

Organizing Maps of Kohonen, Proceedings of the IEEE International Conference on

Systems, Man and Cybernetics, vol. 3, pp. 2418-2423, Washington DC (USA), 2003.

16. Barhak, J., Fischer, A., Adaptive Reconstruction of Freeform Objects with 3D SOM

Neural Network Grids, Special Issue on Geometrical Modeling and Computer

Graphics, in Journal of Computers & Graphics, vol. 26, no. 5, 2002.

17. Kumar, S.G., Kalra, P. K. and Dhande, S. G., Curve and surface reconstruction from

points: an approach based on Self-Organizing Maps, Applied Soft Computing Journal,

Vol. 5, Issue 5, pp. 55-66, 2004.

18. Hoffmann, M., Várady, L., and Molnar, T., Approximation of Scattered Data by

Dynamic Neural Networks, Journal of Silesian Inst. of Technology, pp, 15-25, 1996

19. Goldenberg, D.E., Genetic Algorithms in Search Optimization and Machine Learning,

Addison-Wesley, 1989.

http://www.cs.huji.ac.il/~ronygold

http://www.cs.huji.ac.il/~ronygold/multi_objective.html

http://www.cs.huji.ac.il/~ronygold/multi_objective.html

http://www.ektf.hu/tanszek/matematika/developable.pdf


17.05.2014 Sayfa 17

20. Goldenthal, R., Bercovier, M., Spline Curve approximation and design by optimal

control over the knots using genetic algorithms, Int. Cong. On Evolutionary Methods

for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial Problems

EUROGEN 2003, CIMNE, Barcelona, pp 1-18, 2003.

21. Raza, S.A., Visualization with spline using a genetic algorithm, Master Thesis, King

Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia, 2001, 126 pages.

22. Sarfraz, M., Raza, S.A., and Baig, M.H., Computing Optimized Curves with NURBS

Using Evolutionary Intelligence, Lecture Notes in Computer Science, Volume 3480,

pp. 806, 2005.

23. Youssef, A.M., Reverse engineering of geometric surfaces using Tabu search

optimization technique, Master Thesis, Cairo University, Egypt, 2001

24. Park, H., Lee, J.-H., Error-Bounded B-Spline Curve Approximation Based on

Dominant Point Selection, International Conference on Computer Graphics, Imaging

and Visualization (CGIV'05), pp. 437-446, 2005.

25. R. Goldenthal, M. Bercovier, Spline Curve Approximation and Design by Optimal

Control Over the Knots, Computing Vol. 72, pp 53-64, 2004.

26. De Castro, L. N., Von Zuben, F. J.: Immune and neural network models: theoretical

and empirical comparisons. International Journal of Computational Intelligence and

Applications Vol. 1 No. 3 (2001) 239-257.

27. De Castro, L. N., VonZuben, F. J.: Artificial Immune Systems: Part I-Basic Theory

and Applications. DCA-RT 02/00 (1999).

28. De Castro, L. N., VonZuben, F. J.: Artificial Immune Systems: Part II-Survey of

Applications. DCA-RT 02/00 (2000).

29. Engin, O., Döyen, A., Artificial Immune Systems And Applications In Industrial

Problems, Gazi University Journal of Science 17(1): pp. 71-84, 2004.

30. Perelsen, A. S., Oster, G. F.: Theoretical Studies of Clonal Selection: Minimal

Antibody Repertuarie Size and Reliability of Self-Nonself Discrimination. J. Theor.

Biol. Vol 81 (1979) 645-670

31. Ada, G. L., Nossal, G. J. V.: The clonal selection theory. Scientific American Volume

257(2) (1987) 50-57.

32. Forrest, S., Perelson, A. S., Allen, L., Cherukuri, R.: Self-Nonself Discrimination in a

computer. Proceedings of IEEE Symposium on Research in Security and Privacy.

(1994) 202-212.

33. Dasgupta, D., “An Overview of Artificial Immune Systems and Their Applications”

in: Artificial immune systems and their applications”, Springer-Verlag: 3-18 (1998).

34. Weiss, V., Andor, L., Renner, G., Varady, T., Advanced surface fitting techniques,

Computer Aided Geometric Design Vol 19, p. 19-42, 2002

35. Lee, T. C. M.,, On Algorıthms For Ordınary Least Squares Regressıon Splıne Fıttıng:

A Comparatıve Study, J. Statist. Comput. Simul., Vol. 72(8), Pp. 647–663, 2002.

doç.dr.erkan Ülker, selçuk Üniversitesi mühendislik...

Documents