divergensi dan teorema divergensi

7/23/2019 Divergensi Dan Teorema Divergensi

http://slidepdf.com/reader/full/divergensi-dan-teorema-divergensi 1/14

Divergensi

dan

Teorema Divergensi



Divergensi

• Bentuk eksak persamaan muatan yang terlingkung

dalam volume ∆v adalah membuat ∆v menuju nol:

• bila diambil limitnya:

Divergensu dan Teorema Divergensi – Mata Kuliah Teori Medan

v

Q

v

S D

z

D

y

D

x

D s z y x

∆∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∫

.

v

Q

v

S D

z

D

y

D

x

D

v

s

v

z y x

∆∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

→

∫

00lim

.

lim

v

z

D

y

D

x

DQS D z y x

s

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∫

.



Divergensi

• Suku terakhir adalah kerapatan volume ρ :

• Vektor D diganti dgn bentuk umum A:

• dimana A : vektor kecepatan,gaya, atau vektor lain

v s

v

z y x

v

S D

z

D

y

D

x

Dρ

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∫

→

.

lim0

v

S A

z A

y

A

x

A s

v z y x

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∫

→

.

lim0




Divergensi

• Divergensi vektor kerapatan luks A ialah

banyaknya aliran luks yang keluar dari

sebuah permukaan tertutup per satuan

volume yang menuju nol

v

S A

Adiv A Divergensi s

v∆

∂

∫

→

.

lim0




Divergensi

• divergensi D dlm ! bentuk koordinat :

)(cartesian

z

D

y

D

x

D Ddiv z y x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

)(1

)(1

tabung z

D D D Ddiv z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ρ

ρ

ρ

)(sin1)(sin

sin1)(1 2

2 bola D

r D

r Dr

r r Ddiv r

∂

∂

∂

∂

∂

∂




• Bila D " e#$ sin y a$ % e#$ cos y ay %&' a' ()m&

maka :

3

sin sin 2

2 /

y x z

x x

D D D

divD x y z

e y e y

C m

− −

∂∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

= − + +

=



*ersamaan *ertama

+a$ell-.lektrostatika/• *ersamaan div D dpt ditulis dalam bentuk

• 0luks listrik per satuan volume yang meninggalkanvolume yg menuju nol " kerapatan muatan volume

v

S D

Ddiv s

v

∆

∂

∫

→

.

lim0

z

D

y

D

x

D Ddiv z y x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v Ddiv ρ




1perator vektor ∇

• 1perator del ∇ sebagai operator vektor :

• +isal ∇2D, maka :

z y x a z

a y

a x ∂

∂

∂

∂

∂

∂

).(. z z y y x x z y x a Da Da Da z

a y

a x

D

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Ddiv z

D

y

D

x

D D z y x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

.




Teorema Divergensi

• Dalam hukum gauss dinyatakan:

dan

dengan mengganti maka :


QS D s

∫

.∫

dvQ svol ρ

v D ρ

.

∫∫

∇ dv DdvQdS D vol svol s .. ρ



Teorema Divergensi

• Dari persamaan diatas, suku 3 dan ! adalahteorema divergensi:

• 4ntegral komponen normal dari setiap medanvektor pada seluruh permukaan tertutup samadengan integral divergensi vektor tersebutdalam sebuah volume yang terlingkung olehpermukaan tertutup tersebut


∫

∇

dv DdS D vol s ..



Teorema Divergensi

• (ontoh :• Bila D"&$y a$ % $& ay dan kotak yang dibentuk oleh

bidang $ " 5 dan 3,y " 5 dan &, serta ' " 5 dan !26itung

integral permukaan2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++++=bawahataskanankiribelakang depan s

dS D.

∫∫∫

3

0

3

0

2

0

3

0

2

0

1 1242)(. dz dz ydydz dy DdS D x x

s

∫∫∫ ∫

3

0

3

0

2

0

3

0

2

0

1

0

12422. dz dz ydydxdydz ydv Dvol




The upper igure plots the

vector ield , and the bottom

igure plots the divergence2

(olors are used to

emphasi'e heights: red is

high, blue is lo

Divergence o Vector 0ields






(olors are used to

emphasi'e heights: red is

high, blue is lo








(olors are used toemphasi'e heights: red is

high, blue is lo

divergensi dan teorema divergensi

Documents