distribution of the number of times m m 2 n

International Journal of Management Research and Development (IJMRD) ISSN 2248-

938X (Print), ISSN 2248-9398 (Online) Volume 3, Number 2, April - May (2013)

31

DISTRIBUTION OF THE NUMBER OF TIMES M/M/2/N

QUEUING SYSTEM WITH HETEROGENEOUS SERVERS REACHES

ITS CAPACITY IN TIME T SUBJECT TO CATASTROPHES AND

RESTORATIONS

Dhanesh Garg

Lecturer, School Of Mathematics and Computer Applications,

Thapar University, Patiala-147004, Punjab, India

ABSTRACT

In this paper, we study the distribution of the number of times that a limited capacity

two heterogeneous servers Markovian queue subject to catastrophes and restorations reaches

its capacity in time t. The occurrence of a catastrophe makes the system empty instantly but

the system takes its own time to be ready to accept new customers, this time is referred to as

‘restoration time’. The afore said distribution is obtained as a marginal distribution of the

joint distribution of the number of customers in the system at time t and the number of times

system reaches its capacity in time t under the conditions of catastrophes and restorations.

Some measures of effectiveness are obtained explicitly with catastrophic and restoration

effects.

Keywords: Catastrophes, Heterogeneous servers, Markovian queue, Restoration, Finite

capacity.

1. INTRODUCTION

In the last one decade a lot of work has been done by various authors taking into

consideration the concept of catastrophe B.K. Kumar et. al. [1] obtained the transient solution

of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes. DI Crescenzo et. al.

[3] made a continuous approximation of M/M/1 queue with catastrophe. In all the above

mentioned studies the researchers have obtained the state probabilities in one way or the other

and have computed various measures of performance. In this paper, the occurrence of a

catastrophe makes the system empty instantly whenever the system is not empty but the

system takes its own time to ready to accept new customers, this time is referred to as ‘the

restoration time’. The system subjected to catastrophes must take some time for its restoration

after the occurrence of a catastrophe. We have obtained explicitly the distribution of the

IJMRD

© PRJ

PUBLICATION

International Journal of Management Research and

Development (IJMRD)

ISSN 2248 – 938X (Print)

ISSN 2248 – 9398(Online),

Volume 3, Number 2, April - May (2013), pp. 31-61

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32

number of times the system reaches its capacity in time t under the effects of catastrophe and

restoration. Various other measures of performance have also been obtained explicitly.

2. MODEL DESCRIPTION

We consider an M/M/2/N queueing system having two heterogeneous servers with

FCFS discipline subject to catastrophes and restorations. The customers arrive at a counter in

accordance with a Poisson process with mean arrival rate λ>0. This model is based on the

following assumptions:-

1. There are two servers: server 1, the fast server and server 2, the slow server. The

service times are exponentially distributed with mean service rates µ1 and µ2

respectively and µ1>µ2.

2. If the system is empty, a customer joins the fastest server with probability p and the

slow with probability 1-p.

3. Each customer is served only at one server.

4. When the system is not empty, the catastrophes occur according to Poisson process

with mean rateξ .The occurrence of a catastrophe destroys all the customers in the

instants and affects the system as well. The system will require some sort of time to

restarts in a normal way, which is taken as restoration time. The restoration times are

independently, identically exponentially distributed with parameter β>0. The

customers arrive in the system during the restoration time as usual.

We define

m, nP (t) = Prob. [X(t) = m, Y(t) = n], 2 n N ≤ ≤ (1)

Where

X (t) = the number of times the system reaches its capacity in time t.

Y (t) = the number of customers in the system at time t.

,0 ( )mP t = the prob. that the system is empty at time t.

,00 ( )mP t = The prob. that there are zero customers in the system at time t without the

occurrence of

Catastrophe.

,00 ( )mQ t = The prob. that there are zero customers in the system at time t with the occurrence

of

catastrophe destroying all the customers.

,1,0 ( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 1.

,0,1( )mP t = the probability that there is one customer in the system and he is served by server 2.

The marginal probabilities are

., ,

0

( ) ( )n m n

m

P t P t∞

=

= ∑ And ,. ,

0

( ) ( )N

m m n

n

P t P t=

= ∑



33

3. DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS GOVERNING THE SYSTEM

,00 ,00 1 ,1,0 2 ,0,1 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0m m m m m

dP t P t P t P t Q t n m

dtλ µ µ β= − + + + = ≥ (2)

,00 ,00 ,

1

( ) ( ) ( ) ( ) ; 0, 0N

m m m n

n

dQ t Q t P t n m

dtλ β ξ

=

= − + + = ≥∑ (3)

,1,0 1 ,1,0 ,0 2 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1, 0

m m m m

dP t P t pP t P t n m

dtλ µ ξ λ µ= − + + + + = ≥ (4)

,0,1 2 ,0,1 ,0 1 ,2( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ; 1, 0m m m m

dP t P t p P t P t n m

dtλ µ ξ λ µ= − + + + − + = ≥ (5)

, 1 2 , , 1 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;2 1, 0

m n m n m n m n

dP t P t P t P t n N m

dtλ µ µ ξ λ µ µ− += − + + + + + + ≤ ≤ − ≥

(6)

, 1 2 , 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1m N m N m N

dP t P t P t n N m

dtµ µ ξ λ − −= − + + + = ≥ (7)

0,( ) 0

N

dP t

dt=

Taking Laplace transform of the equations (2)-(7) w.r.t. t we have

0,00 0,00 0,1,0 0,0,11 2 0,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β

− − − − −

= − + + + + = (8)

0,. 0,000,00 0,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 0sQ s Q s P s P s mλ β ξ

− − − −

= − + + − = (9)

,00 ,00 ,1,0 ,0,11 2 ,00( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m m m

s P s P s P s P s Q s mλ µ µ β− − − − −

= − + + + ≥ (10)

,. ,00,00 ,00( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], 1m mm m

sQ s Q s P s P s mλ β ξ− − − −

= − + + − ≥ (11)

,1,0 ,1,0 ,0 ,21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1m m m ms P s P s p P s P s nλ µ ξ λ µ− − − −

= − + + + + = (12)

,0,1 ,0,1 ,0 ,22 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m m ms P s P s p P s P sλ µ ξ λ µ− − − −

= − + + + − + (13)

, , 1 , 11 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2,3,..., 1m n m n m ns P s P s P s n Nλ µ µ ξ λ µ µ− − −

− ++ + + + = + + = − (14)

, 1, 11 2( ) ( ) ( ) ; , 1m N m Ns P s P s n N mµ µ ξ λ− −

− −+ + + = = ≥ (15)

0, ( ) 0Ns P s−

=

Since 0,00P (0) = 1

Where

, ,

0

( ) ( )st

m n m nP s e P t dt

∞−−= ∫

Define the probability generating functions by

,

0

( , ) ( )m

n m n

m

P x s P s x∞− −

=

=∑ (16)



34

0

2

0 0 1,0 0,1

( , ; ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Nn

n

n

H x y s R x s P x s y

R x s P x s P x s P x s

− − −

=

− − − −

= +

= + +

∑ (17)

. ,.

0

( , ) ( )m

m

m

P x s P s x∞− −

=

=∑ (18)

Multiplying equation (8) to (15) by xm

, summing over the ranges of m and using (16), we

have

0 1,0 0,1 .1 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1, 0s P x s P x s P x s P x s nλ ξ µ µ ξ− − − −

+ + = + + + = (19)

1,0 0 21 2( ) ( , ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ− − −

+ + + = + (20)

0,1 0 22 1( ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )s P x s p P x s P x sλ µ ξ λ µ− − −

+ + + = − + (21)

1 11 2 1 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ), 2 1n n ns P x s P x s P x s n Nλ µ µ ξ λ µ µ− − −

− ++ + + + = + + ≤ ≤ − (22)

11 2( ) ( , ) ( , )N Ns P x s x P x sµ µ ξ λ −

− −+ + + = (23)

Using (19) to (21), we get

01 1 2 211,0 2 1 2

111

[( )( ) { ( ) }] ( , )( , ) [ {2( ) }]

( ){( ) ( 1) ( , )}N

s s p P x sP x s s

s s s x P x s

λ ξ µ λ ξ λ µ µ µµ λ ξ µ µ

µ λ ξ ξ λξ

−

−−

−−

−

+ + + + + − + − = + + + +

− + + + + + −

(24)

02 1 2 210,1 1 1 2

112

[( )( ) { ( ) }] ( , )( , ) [ {2( ) }]

( ){( ) ( 1) ( , )}N

s s p P x sP x s s

s s s x P x s

λ ξ µ λ ξ λ µ µ µµ λ ξ µ µ

µ λ ξ ξ λξ

−

−−

−−

−

+ + + + + + + − = + + + +

− + + + + + −

(25)

Multiplying equation (22) to (23) by yn, summing over the ranges of n and using (17), we

have on simplification

1

2

( , ; )D

H x y sD

−

=

(26)

Where

1 20 1,0 0,11 1 2

1 12 1

1 2

[1 ] (1 )( ) ( , ) (1 )[ ( , ) ( , )]

(1 )(1 ) ( , ) ( 1) ( 1) ( , )N

N

D y s y y R x s y y P x s P x s

x yy y P x s s y x y x P x s

s

ξ λ µ µ λ

λλ ξ

µ µ ξ

− − −−

− −− +

−

= + + − − − − − + +

−− + − + − +

+ + +

2 1 2[( ) (1 )( ( ))]D s y y yξ λ µ µ= + + − − +

1

1 2

(1 )( , ) ( , )N N

x yP x s P x s

s

λ

µ µ ξ

− −

−−

=+ + +



35

2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( )( ) , 1,2.

2i

s ss i

λ µ µ ξ λ µ µ ξ λ µ µα

λ

+ + + + ± + + + + − × += =

The existence of ( , ; )H x y s−

is only possible if numerator vanishes for α1 and α2 the two zeros

of the denominators. This will give rise two equations, solving them we have;

10

( , )( , )

( , )

E x sP x s

E x s

−−

−= (27)

21

(., )( , )

( , )

N

E sP x s

E x s

−−

− −=

(28)

Where

[ ]2 1

1 1 2 1 1 1

2 1 4

1 2 1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 1 1

( ) [ ( )] { ( 1) ( )} ( ) ( ) ( 1)

[ ( )] [ { ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}]

( , ) [ ( 1)( ) [ ][ ( )]] (

s A x s s A s T N s T N

A A x s s T N T N T N T N

E x s s x s A A s A

λ ξ γ µ µ ξ λ µ ξ µ λ ξ

λ µ µ ξ λγ µ µ

λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ λγ

− −

− −

−− − − −

+ + + + − − + + + + + + −

+ + + + − − − + + + − +

= − + + − − + + + + 2

1 2

2 2 2

1 2 1 1

2

1 2 1 2

1)[

( )( )] ( 1) ( 1) [ (2){ ( ) ( )}]

(2)( )

x s

s s T N x A s V A s s s

A A V

µ µ

ξ µ λ ξ λξ λγ ξ µ λ ξ

λγ µ µ

−

− − −

−

− + + + + + + − + − + + + + + + +

1

1

1 1

2 2

1 1 2 1 2 2 2 1 2 2

1 2 22 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2 1 2 2

[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]

(., ) [( )( ) ][ (1){ ( )} (2) ( )]

( )[ (1){ ( )} (2){ } (3)

s A s A V B B B B V

E s s s s A V B B B V B A

V B B V B B V B

ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λγ

ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ µ µ

µ µ µ µ λ λ

− −

−− − −

+ − + + + − + + − + −

= + + + + + + − + + − + +

+ − + + − − − 2 ]

1

1 1

1

1 4 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 6

1 1 2 1 2 2

( 1) [{ ( )}{ (1) ( ) (2) (1){ ( )}}

{ ( ) ( )}{ ( ) (1) (2) { }}] [ ( 1)

( , ) ( ) ][( ) ( 1)

x s A s B V B V V B B

A A s B V B V B B x

E x s A A x s B V N B

λξ λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ

µ µ µ λ ξ µ µ λγ γ λ λ

λ µ µ ξ µ µ λγ

− − −

− −

−− −

− + + + + + + − + +

+ − + − + + + + + − + + −

= + + + + + + −1

1

1 1

2

2 2 1 2

4 2 1 6 2

2 1 1 2 1 2 2 2

4

2 1 2 2

( 2) ( ){ ( )}

( 1){ }] ( ) [( ) ( 2) ( 1)

( 1){ ( )} ( ){ }]

V N V N B B

V N B B A x s B V N B V N

V N B B V N B B

γ µ µ

γ λ λ µ µ ξ µ µ λγ γ

µ µ γ λ

−

− − − −

−

− − + + + − + − + + + + + − − −

+ + + + +

[ ]1

1

1 2 1 2

2 2

2 1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

( ) ( )

[( )( ) ]

[( ){( ) ( ) } ( )]

[( ) ( ){ ( )} ( )]

A s s

A s

B s s s p p s

B s A p

µ µ µ λ ξ µ λ ξ

µ µ λ ξ µ µ

µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ

λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ

= + + + + + + +

= + + + + +

= + + + + + + + + − + + +

= + + + + + − − −

21 2

1 2 ( )sayµ µ

α α γλ

−+

= = , 2( ) ( 1) ( )T n V n V nγ −= + −

and

1 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3,...r rV r s s rα α= − =

If we write

2 1 2[( )( )]D y yλ α α= − − −

(26) yields



36

1 111 2

0 01 2(1)

n n

n n

D y y

Vα α

λ α α

∞ ∞− −

= =

−

∑ ∑ , 2

1y

α<

(29)

Now ( , )nP x s−

is the coefficient of yn in (17). Comparing the coefficients of y

n on both sides

of (29), we have: 2

10 11 2 3

( , ) ( , ) ( , )(1)

n

n NP x s s F F P x s F P x sV

γ

λ

− − −−

−

= + + (30)

Where 2 2

1 1 1 2 1 2[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}]F s T n s AV n A T n T nξ λ µ ξ γ µ µ λγ −= + − + + + − − + + −

2

1 2 1 2

2 2

2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

2 2 1

( 1)[( ){( ) ( ) } ( )]

[ ( )( ) ( 2)][( ) ( ){ ( ) }

( )]

T n s s s p p s

F T n T n s A p

λ µ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ

γ µ µ λγ λ ξ µ µ λ µ µ µ µ

λµ µ µ

−

− + + + + + + + + − + + +

= + + + − + + + + − + − −

1 2 2

3 1 1 2 2( 1)[ ( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )} ]F s x T n s T n T n V n Aλξ λ µ ξ γ µ µ λγ− − = − − + + + − + + − +

Since 0 ( , )P x s−

and 1( , )NP x s−

− are given by (27) and (28), so ( , )nP x s−

are explicitly known.

For setting x=0 in (30) gives

[ ]2

0, 1 6 2 3 7 4 52

6

( ) { }(1)

n

nP s sZ Z Z Z Z Z Zs Z V

γλξ

λ

−

= + − −

(31)

Where 2 2

1 1 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}

( 1)[( ){( ) ( ) } ( )] [ ( )( )

( 2)][( ) ( ){ ( )} ( )]

Z s T n s AV n A T n T n

T n s s s p p s T nZ

T n s A p

ξ µ λ ξ γ µ µ λγ

µ λ ξ λ ξ λ ξ µ λ µ µ λ ξ γ µ µ

λγ λ ξ µ µ µ µ λ µ µ λµ µ µ

−

−

= + − + + + − − + + −

− + + + + + + + + − + + + + + +=

− + + + + + − − −2 2

3 1 2 1 1

2 2

4 1 1 2 2

2 2

1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

5 2 1

( )[ ][ ( )]

( 1)( ) { ( )( ) ( 2) ( )}

[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )} (2)]

[ ( )(

Z s A s

Z T n s T n T n V n A

s A s A V B B B B V

Z A s s

λξ ξ µ µ λγ γ µ λ ξ

µ λ ξ γ µ µ λγ

ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ λ γ

λ ξ µ λ

− −

−

− −

= − + + − − + + +

= − + + + − + + − +

+ − + + + − + + − + − +

= + + + + + 2 2

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2

4 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1

6 1 2

)][ (1) {( ( )} ( ) (2)] ( )

[ (1){ ( )} (2){ } (3)]

[ ( )][ (1) ( ) (2) (1){ ( )}] [

[ ] ( )

V B B B B V A

V B B V B B B V

A s B V B V V B B A A

Z s

ξ γ λγ µ µ µ µ µ µ

µ µ λ λ

λ µ λ ξ λγ µ µ γ µ µ

λξ µ µ

− −

− −

−

− + + − + + + − + + − + −

+ + + + + + − + + + −

= − + −

1

2 2 4

1 1 2 2 2 1 2

6 2

1 2 1 1 2 2 2 2 1 2

2 2 2

7 1 1 1 2 1 2 1 2

( )][( ) (1) (2) { } ( 1)

{ } [ {( ) ( 1) ( 2)} ( ){ ( )}]

[( )( ) ( )] ( 1) ( ) (2)

s B V B V B B V N

B B A B V N B V N V N B B

Z A s s s T N A A V

µ λ ξ µ µ λγ γ λ γ

λ λ µ µ λγ γ µ µ

λγ ξ µ λ ξ µ µ λγ µ µ

− − −

− −

− −

+ + + + + − + + − + + − + + − − − + +

= − + + + + + + − + +

Applying the Leibniz differentiation theorem to (24) to (25) and (27), setting x=0 and

dividing both sides by m! We have

8,1,0

9

( ) , 1m

ZP s m

Z

−

= ≥ (32)



37

10,0,1

11

( ) , 1m

ZP s m

Z

−

= ≥ (33)

12,0

13

( ) , 1m

ZP s m

Z

−

= ≥ (34)

Where

2 2

1 2 2 1 2 2 1 2 2

2 2 6 2

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1

8

[ {( ) } (2) [ ( ) ( )( )( )] ( 1) ( )

( ) [2 2 {( ) } ( 1) ( 2) ( )

{ ( ) }]][ ( ) { ( 2) ( 1)}

s p A A V s s s T N s s

s A A A A A p B V N V N B V N

B B A B V N V N A AZ

λ µ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ

λ µ ξ λµ λ µ µ µ λγ γ

µ µ λ µ µ

− −

+ − − + + + + + + + + + − + +

+ + + + + + − + − − −

+ + + + − + +=

2 4

2 1 1 2

1 4 4

2 1 1 2 1 2 2 1

4 2 6

2 1 2 1 2 1 1 2 2

2

{ ( 1) ( )} { }

{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {{( ) }

}{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)

B V N V N B B

T N T N s s T N A T N A A p B

B T N T N B B V N p T N T N A B V N

B

γ γ λ

λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ µ

γ λ µ µ λ µ µ λγ

−

− − −

− −

+ − + +

− − − + + + + + − − − + −

+ − − − + + + + − − − + + −2 2 ( 1)

1 2 2 1 1 2 2( 1) ( 1)} (2){ ( ) {( ) }}]m

V N V N B A A V A s pγ λξ ξ λ µ µ µ− −

− − + + + + + − 2

2 2 2 ( 1) 1 6

1 2 1 1 2 1 1 2 2

2 4

9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2

2 2

1 2

[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)

( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)

(2) { }}] [

m m m ms s s s A B V N V N B

Z V N B B V N B B A A s B V B

V B B

γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ

γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ

γ γ λ λ

+ − + + −

− −

− −

+ + + + + + + + + − −

= − + + − − + − − + − + + + + +

− + − 4 2 1

2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m

A s B V B V V B Bλ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +

+ + + + + + − + +

2

1 2 1 2 1 1 2 1

2 2 6 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

10

[ ( ) (2) { ( ) ( )( )( )}] ( 1) ( )

( ) [2 2 {( ) ( 1) ( 2) ( ){

( ) }}][ ( ) { ( 2) ( 1)} {

s pA A V s s s T N s s

s A A A A A pB V N V N B V N B

B A B V N V N A A BZ

λ µ µ λξ λ µ ξ ξ µ µ λ µ ξ ξ

λ µ ξ λ µ λ µ µ λγ γ

µ µ λ µ µ γ

− −

−

+ − + + + + + + + + + − + +

+ + + + + + + − − − +

+ + + − + +=

4

1 2

1 4 4

2 1 1 2 1 2 1 2

4 2

1 2 1 2 1 1 2 2

6 2

2

( 1) ( )} { }

{ ( 1) ( 2)} ( )( ){ ( )( 1) ( 1)}][2 {( ) }

{ ( 1) ( 2)} { } ( ) ( ) { ( 1) ( )} 2 {( ) ( 2)

( 1)

V N V N B B

T N T N s s T N A T N A A pB B

T N T N B B V N p T N T N A B V N

B V N V

γ λ

λ γ ξ λ µ ξ λ λ γ µ µ

γ λ µ µ λ µ µ

λγ γ

−

− − −

−

− −

+ − + +

− − − + + + + + − − − + +

− − − + + + + − − − + +

− − − 2 ( 1)

1 2 2 1 1 2 2( 1)} (2){ ( ) {( ) }}] mN B A A V A s pλξ ξ λ µ µ µ −

+ + + + + − 2

2 2 2 ( 1) 1 6

1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 4

11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2

2 2

1 2

[ ( ) ][ ( ) {2( ) }][2 [( ) ( 1) ( 2)

( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1)

(2) { }}] [

m m m ms s s s A B V N V N B

Z V N B B V N B B A A s B V B

V B B

γ µ µ ξ λξ µ λ ξ µ µ λ µ µ λγ

γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ

γ γ λ

+ − + + −

− −

− −

+ + + + + + + + + − −

= − + + − − + − − + − + + + + +

− + − 4 2 1

2 1 2 2 1 2 1 1 2 2( )][ (1) (2)( ) (1){ ( ) }]]mA s B V B V V B Bλ λ µ ξ γ λ µ µ γ µ µ− − +

+ + + + + + − + + 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

6 2 2 2

2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 2 4

12 1 2 1 1 2 2

(2)( ) [( )( ) ( )] ( 1) [2 2 {( ) ( 1)

( 2) ( ){ ( ) }}][2 (1) ( ) ( ) {2( )( )}

( 1) ( 2)][2 { ( )

A A V A s s T N A A B V N

B V N V N B B V T N s

Z T N V N A A B B

µ µ ξ λ µ ξ µ µ λ λ µ µ

λγ γ µ µ λγ µ µ γ µ µ λ ξ

λ γ λ γ µ µ

− −

−

+ − + + + + + + − + + + +

− − − + + + + + + + +

= − − + + +1 2

4 2 6 2

1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1

2 ( 1)

1 2

}{ ( 1) ( 2)} ( ){ ( 1) ( )}

( ){ } 2 {( ) ( 2) ( 1) ( 1)} (2){ ( )

( )}] m

T N T N T N T N

V N B B A B V N B V N V N B A A V A s

µ µ

γ λ λ µ µ λγ γ λξ ξ

λ µ µ

− − −

−

− − − + + − − + + − + + − − − + + + + +

2

2 2 ( 1) 1 6 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 2 2

13 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2

4

2 1

[ ( ) ][ ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( ) }

( 1){ } { ( ) ( )}{( ) (1) (2) { }}]

[ ( )][

m m m ms s s A B V N V N B V N B B

Z V N B B A A s B V B V B B

A s

γ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ γ µ µ

γ λ µ µ λ µ ξ µ µ λ γ γ λ

λ λ µ ξ γ

+ − + + − −

− − −

−

+ + + + + − − − + +

= − − + − − + − + + + + + − + −

+ + + + 2 1

2 2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]mB V B V V B Bλ µ µ γ µ µ− +

+ + − + +

Now 2

, ,014( ) ( )(1)

n

m n mP s Z P sV

γ

λ

− − =

(35)

Where 1 2 2

1 1 2 1 2 1

2 2 2

14 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 2 2 1

[( ){ ( 1)( ) ( )} { ( )( ) ( 2)}] [ ( 1){( )

{( ) ( ) } ( )} [ ( )( ) ( 2)][( ) ( )

{ ( ) } ( )]]

s s T n s AV n A T n T n T n s

Z s s p p s T n T n s

p

ξ λ µ ξ γ µ µ λγ λ µ ξ

λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ ξ γ µ µ λγ λ ξ µ µ

λ µ µ µ µ λµ µ µ

− −

−

+ − + + + − − + + − + − + + +

= + + + + + − + + + + + + − + + + +

− + − −

Using (10) and (11), we have

,

,0 0,00

[ ( )]( ) ( )

( )( ) ( )

N

m n

m nm

P ss P s

P ss s

ξλ β

λ β ξ λ β ξ

−−

−=+ +

= −+ + − + + −

∑ (36)



38

,

,00,00

[ ( )]( )

( )( ) ( )

N

m n

mnm

P sP s

Q ss s

ξξ

λ β ξ λ β ξ

−−

−== −

+ + − + + −

∑

(37)

We know that

( ) ( )

( )

0 0

0

( 1) 1

-j 1

(1 / ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 1)

and (1-a)

j

i i

k

i

j j i j j j j i j j i i

i ii

j k k

k

a b

a

aC a b a a b b a b a b C a b

b

C

∞

= =

∞

=

− + + + −

+ −

− = + = + + + − = −

=

∑ ∑

∑

Using these Identities in (31) to (37), we have

[

11 ( 1 2) 2( 1)

0 0 0 0 0 1 0 0

1 ( 1) ( 1

1 2 2 1 1 2

0,

1( 1)

1

{2( ) ( ) }[ {

( )

j j ll hl h p q j l h p q j k h l

j l k h r p q

g j h l n g j h l n

n

j l j l r h j l

l h r p q

p R R

P s

λ γ

µ µ λ µ µ µ µ γ

+ −∞ ∞ ∞+ + + − + − + + + − + + − +

= = = = = = =

− − + + − − − − + + − + +

−

+ + + − −

+ + − + −

=

∑∑∑∑∑∑∑) 2 ( 1)

( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( )

1 2

( 2) 2 2

2 1 1 2 1 2 2 1 2

2

1

} {

}] ( ) ( ) [ {

}] [ { ( ) ( )( )( ) (1 )

(

}]

g j h l n

g j h l n l h k h l j k l h p g j h l k g j h l k

g j h l k

R

R s p R R

R p p

p

γ

µ µ γ λ ξ γ

λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ

λµ

− − + + − − +

− + + − + + + − + + + − + − + − − + + + + + − + + + +

− + + + + +

−

− + + + + −

− + − + + + + + + − − +

−

−

1( 1) ( 2) 2( ) ( 1)

0 0 0 0 0

( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

(

1) 2 [{

} { }] ( ) [{

j ll h j j k h l j k h l g j h l n

j l k h r

g j h l n g j h l n g j h l n k l g j h l n

g j h

j l l j l rR

l h r

R R R s R

R

λ γ

γ λ ξ

+∞ ∞ ∞+ − + − + + − + − + + − − + + − − −

= = = = =

− + + − + + − − + + − − − + + − + − − − + + − −

− + +

+ + +

− − − + + + −

∑∑∑∑∑

) 1 ( 1) ( 1)

23 2( 1)

1 2 1 2 1 2 1 2 1

0

2 2 (2 2) 2 2 1

1 2

} { }]

( )[( )( ) {2( ) ( )}]( ) {

(2 ) [( ) ] } (2 ) [(

l n g j h l n g j h l n

Ni

i

i N i N i i N

R R

s

s s

γ

ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ λ µ ξ γ

λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ

− + − − + + − − + − + + − + −

−− − +

=

− + − − + − − +

− −

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + + + − + +

∑1

(2 1)

1 2

0

2 1 2

1 2 1 2 2 1

2 12( 1) 2 2 (2 2) 2( ) 2 1

1 2

0 0

(2

1 2

) ]

[ {( )( )( )} ( ) (1 ) ( )]

{ (2 ) [( ) ] } 3{ (2 )

[( ) ]

Ni N

i

n nn i i n i n n i i n

i i

i

p p

s

s

µ ξ ν

γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µ λ ξ µ µ λ λ ξ µ

γ λ λ µ µ ξ ν γ λ

λ µ µ ξ ν

−− − +

=

− −

− −− − − + − − + − − +

= =

− −

+ + +

+ − + + + + + − + + − − + +

+ + + + + −

+ + + + +

∑

∑ ∑2

1) 2( 1) 2 2 (2 2)

1 2

0

1 222( 1) ( 2) ( 2)

0 0 0 0 0 0 0

} { (2 ) [( ) ] }

2( 1) [{ }] ( 1)

2 1

Nn i i N i N

i

j jNl i j k i g j l i N g j l i N l

j l k i j l k

s

j l NR R

l i

j j k

l k

γ λ λ µ µ ξ ν

γ

−+ − + − + − − +

=

+ +∞ ∞ + ∞ ∞+ − + + + − + + + − + − + + + − −

= = = = = = =

+ + + + + + +

+ + − − + −

+ + +

∑

∑∑∑∑ ∑∑∑1

(2 1) ( ) ( 3) 2 2 1 (2 1)

1 2

0

[{ }] (2 ) [( ) ]N

j l g j i g j i i N i N

i

R R sγ γ λ λ µ µ ξ ν−

− − − − + + − + + − − + − − +

=

− − + + + + +

∑

(38)



39

1 11

0 0 0 0 0 1 0 0

2 2( 1) ( 1 2) ( 1) (

1 2 1 2 1 2

,1,0

1 1 1( 1)

1

[ ( ) ] 2 ( ) {

( )

j l h mi l h p

j l k h r p i

j k l m j k l j k p mi l k p

m

j m j l j l r h m

j l h r p i

p s R

P s

λ µ µ µµ γ µ µ ξ

+∞ ∞ ∞ −++ +

= = = = = = =

+ + − + + −+ − + + + − −++ + −

−

+ + + + + − −

+ + + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑1 1)

( 1 2) 2 ( 1) ( 1) 2 6

1 2 1 2

( 1 ) ( 1 )

2 2 1 2

2

1 2

} { } (2 ) [ ( ) (1 )

{( )( ) }][ ] [ ( )

{( )

g j h i p

g j h i p g j h i l n g j h i l n j i k

g j h i p l n g j h i p l n

R R R p

p R R p

p

γ λ γ λµ µ λ µµ

µ λ ξ λ ξ µ λ µ λξ λ ξ µ

λ µ µ

+ + ++ +

− + + ++ + − − + + +−− + − + + +−− − ++ + −

− + + ++ −− − + + ++ −+

−

+ − − + + −

+ + + + − − + + + +

+ −1 1

2 1 2 2 2 1 2

0 0 0 0

1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)

1 1 2

2

1 2 2

} (1 ) {( )( ) }] ( 1)

1( ) [ ]

[( ) ](

j i mi l

j l k i

mi l k m j i mi l g j l n g j l n

p p

j i l m j ks R R

l i k

p

µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µµ

λ µ γ µ µ ξ

λξ µ µ µ

++∞ ∞ −+

= = = =

−+ − + − + −− − −+ − + ++ − − + +− +

+ − + + + + − −

+ + − + + + + −

+ + −

∑∑∑∑

1 23 ( 1) ( 1)

2

0 0 0 0

2 2( ) 2 [2( ) 2] ( )

1 2 2 1 2 1

( 1) (

) [ ] ( 1)

[ [( ) ] (2 ) [( ) ] ( )

[

j Ng j l k n g j l k n l

j l k i

l i j k i N j k i N j l i

g j k l n g j k

j ls R R

l

p s s

R R

λ µ ξ

λ µ µ µ λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ

+∞ ∞ +− − + ++ − − − + ++ − +

= = = =

+ + + − − − + + − − − −+

− + + −− − − + + −

+ + + + − − −

+ − + + + + + + + + +

−

∑∑∑∑

11) 3 2( ) 2 1

1 2 2 1

0

(2 1) 3

1 2 1 2 1 2 2

2( ) (

1 2 2

] [ [( ) ]( ) [ (2 )

[( ) ] ] [2( )( ) ( )

1[( ) ]] ( 1) ( )

nl n n i i n

i

i n

l h j k r k h

p s

s p

j l m j lp s

l j h

λξ µ µ µ λ µ ξ γ λ

λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ

µ µ µ γ λ ξ

−+ − − − + +

=

− + +

+ − + + − +

+ + − + + +

+ + + + + + + + + + + + + +

+ + + + − − + +

∑

[

1)

0 0 0 0 0

( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3

1 2 2

2( 2) 2 1 (2 1) 2( 1) 2 2

1 2 1 2

[{ } { }] ( ) [ [( ) ]]

(2 ) [( ) ] (2 ) [(

j ll

j l k h r

g j h l n g j h l n g j h l n g j h l n

i i N i N i i N

R R R R s p

s s

γ λξ ξ λ µ µ µ

γ λ λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ

+∞ ∞ ∞−

= = = = =

− + + −− − + + −+ − − + + −− + − + + −+ + −

− + − − − − − − + − +

− − − + + + −

+ + + + + + + + + +

∑∑∑∑∑

1 2(2 2)

0 0

) ] ]N N

i N

i i

ν+ −

− − +

= =

+

∑ ∑

(39)



40

1 1

1

0 0 0 0 0 1 0 0

2( 1) ( 1 1) ( 1)

1 2 1 2 1 2

(

,0,1

1 1 1( 1)

1

[ ( ) ] 2 ( )

{

( )

j l h mi l h p

j l k h r p i

j k l m j k r l j k p m i l k p

m

j m j l j l r h m

j l h r p i

s

R

P s

λ µ µ µ µ γ µ µ ξ

+∞ ∞ ∞ −+ + +

= = = = = = =

+ + − + + + − + − + + + − − + + +

−

−

+ + + + + − −

+ + + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑

1 1) 2 ( 1 2) ( 1) ( 1)

2 4

1 2 1 2 1 1 1

( 1 ) ( 1 )

2 1 2

2

} { }

(2 ) [ ( ) (1 ) {( )( ) }]

[ ] [ ( ) (1 )

{

g j h i p g j h i p g j h i l n g j h i l n

i k


R R R

p p

R R p p

γ

λ γ λ µ µ µ µ µ λ λ ξ λ ξ µ λ µ

λξ λ ξ µ µ µ λ

µ

+ + + + + − − + + + + + − + + + − − − − + + + − − +

+ + −

− + + + + − − − + + + + − +

− + −

− + + − + + + + −

− + + + + − +1 1

2 2

0 0 0 0

1 ( ) (2 1) ( ) ( 1) ( 1)

2 1 2

3 ( 1)

1

1 1( )( ) (1 ) }] ( 1)

( ) [ ]

( ) [

j i mi l

j l k i

m i l k m j i m i l g j l n g j l n

g j l k n

j i mp

l i

j i ks R R

k

s R R

λ ξ λ ξ µ λ µ

λ µ γ µ µ ξ

ξ λ µ ξ

+ +∞ ∞ −+

= = = =

− + − + − + − − − − + − + + + − − + + − +

− − + + + − −

+ + − + + + − − −

+ + + + + −

+ + + + −

∑∑∑∑

1 1( 1)

0 0 0 0

( 1) 2

1 2

2( ) 1 [2( ) 1] ( )

1 2 1

( 1) (

1] ( 1)

1[ [( ) ]

(2 ) [( ) ] ( )

[

j Ng j l k n i l

j l k i

j k i l i

j k i N j k i N j l k

g j k l n g j k

j

l

N N jp

i j

s s

R R

γ λ µ µ

λ λ µ µ ξ ν λ µ ξ

+∞ ∞ −− + + + + − +

= = = =

− + + + +

+ + − + − + + − + − − +

− + + − − − − + +

+ − −

− + +

+ + + + + + + + +

−

∑∑∑∑

11) 1 2( ) 2 1

1 2

0

(2 1)

1 2 1 2 1 2

12( )

2 1 2

0 0 0 0 0

( )

] [ [( ) ] (2 )

[( ) ] ] [2( )( )

{(1 )( ) }] ( 1)

( )

nl n n i i i n

i

i n

j ll h j k

j l k h r

k h l

p

s p

j l lp

l h

s

λ ξ γ µ µ λ

λ µ µ ξ ν λ ξ µ λ ξ µ λ µ µ

λ ξ µ µ µ γ

λ ξ

−− + + − − + +

=

− + +

+∞ ∞ ∞+ − +

= = = = =

− + −

+ +

+ + + + + + + + + + +

+ − + + + −

+ +

∑

∑∑∑∑∑( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)

2

2 2 1 2

22( 1) 2 2 (2 2)

1 1 2

0

2( 3) 2 3

[{ } { }]

( ) [ (1 )( ) ( )

( )] [ (2 ) [( ) ] ]

(2 ) [(


Ni i N i N

i

i i N

R R R R

s p

p s

s

γ

λξ λ µ ξ ξλ λ ξ µ µ µ

λ λ ξ µ γ λ λ µ µ ξ ν

γ λ λ µ

− + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +

−

−− + − + − − +

=

− + − +

− − −

+ + + + − + + + +

+ + + + + + + −

+ +

∑3

(2 3)

1 2 2 1 1 2

0

1

1 2 1 2 1

22 (2 3) 2 2 (2 2)

2 1 2

0

) ] [( )

{ (1 ) [( )( ) ]}][( )

4( ) ][ (2 ) [( ) ]

Ni N

i

nn i i n i n

i

p p s

s s

µ ξ ν µ µ µ µ

λ µ µ µ λ ξ λ ξ µ λ λ µ ξ

λ µ ξ γ λ λ µ µ ξ ν

−− − +

=

−

−− − + − + − − +

=

+ + + + − +

− + + + + − + + + +

+ + + + + + + +

∑

∑

(40)



41

1 1

1 2 1 2

0 0 0 0 0 0

( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 1)

1 2

,0

1[2( ) ] ( 1)

12 ( ) { }

( )

j l mi l h

j l k h r i

j j k r l m i l k h g j h i l n g j h i l n

m

m j j l j l r

j l h r

ms R R

i

P s

µ µ µµ

γ µ µ ξ

+∞ ∞ ∞ −+ +

= = = = = =

− + − + + − − − − + + − + + + − − − − + + + − + +

−

+ + + + + + −

− + + + −

=

∑∑∑∑∑∑

4 ( ) ( )

1 2 1 1 2

( ) ( ) ( )

1 1 2 1 2

1 1

0 0 0 0 0 0

2 ( ) { } [( )( ) ( )]

( ) { } [( )( ) ]

( 1)

g j h i l n g j h i l n

k r l g j h i l n g j h i l n

j l mi l h

j l k h r i

R R

s R R

m j

j

λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ

λ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ

− − + + + − − − + + + − +

− + − − + + + − − − + + + − +

+∞ ∞ ∞ −+ +

= = = = = =

− + − + + + + + +

+ + + − − + + + + +

+−

∑∑∑∑∑∑ ( 6)

1 2

( ) ( 1) ( 1)

1 2 1

1 1

2 1 2

0 0 0 0

1( )

2 ( ) [{ }] [ ( )

( ) ] ( 1)

i k l l h

m i l h m i l h r m i l k g j h i l n g j h i l n

j Nl

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( 1)



j l mi l h

j l k h r i

R R

s R R

λ µ µ γ λ ξ λ ξ µ λ µ µ


− − + + + − − − + + + − +

− + − − + + + − − − + + + − +

+∞ ∞ ∞ −+ +

= = = = = =

− + − + + + + + +

+ + + − − + + + + +

−

∑∑∑∑∑∑ ( 6)

1 2

( ) ( 1) ( 1)

1 2 1

1 1

2 1 2

0 0 0

1( )

2 ( ) [{ }] [ ( )

( ) ] ( 1)

i k l l h


j Nl

j l k i

m j j l l j l r m

j l h r i

s R R

γ µ µ


λ ξ µ µµ

− + + + +

− − + − − + + − − − + − + + + − − + − + + + − + +

+ ∞ −

= = = =

+ + + + − +

+ + + − − + +

+ + + −∑∑∑ 2( 1) 2( ) 1

1 2

0

[2( ) 1]

1 2 1 2 1 2 2

2( )

1 1 2

0 0

1( ) (2 )

[( ) ] [3{( )( )} ( )

1(1 ) (1 )( ) ] ( 1)

j k i l i j k i N

j k i N

ll h j k

k h r

j j k

l k

s

j j kp p

l k

γ µ µ λ


ξλ µ λ ξ µµ γ

∞− + + + + + + − +

− + + − +

∞+ − +

= =

+ + +

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + − + − + −

∑

∑∑1

0 0 0

( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)

3

1 1 2 1 2 2 1 1

2( 1) 2 2 (

1 2

( ) [{ } { }]

[ (1 )( ) ( ) (1 ) 2 ( ) ] ( )

[{ (2 ) [( ) ]

j

j l


i i N

s R R R R

p p s

s

λ ξ γ

ξ λξ λ ξ µ µ µ µµ λ µ λ ξ µ λ µ ξ


+∞ ∞

= = =

− + − − + + − − − + + − + − − + + − − + − + + − + +

−

− + − + −

+ + − − − +

− + + + + − + + + + +

+ + + + +

∑∑∑

2 12 2) 2 2 1

0 0

(2 1)

1 2 2 1 1 2 1 2

2 2 2 3

1 1 2 2 1 2

22( 1) (2 2)

1 2

0

{ (2 )

[( ) ] }] [ ( ) ( 1) ( 1) (1 )

( ) ( ) ]{3( ) 4( ) }

[ (2 ) [( )

N Ni N i i N

i i

i N

nn i i n

i

s p p

s s

s

γ λ



γ λ λ µ µ ξ

− −− + − − +

= =

− − +

− −

−− − − − +

=

−

+ + + + + + − + − + − −

+ + + + + + + + + + + + +

+ + + + +

∑ ∑

∑ (2 2)] ]i nν − − +

(44)

Where

2

2 2

12 2

1 1 1

( ), ( ) 4 ( ) , 2[ ( 1) ]R s g l N Nk and

µ µα γ ν µ µ λ ξ λ µ µ γ

λ−

+= = + + + + − + = + + =

We are now in a position to complete the solution for the joint distribution of X (t) and Y (t).

Taking the Inverse Laplace transform of (38) to (44), using the tables [2, 4, 6], we obtain



47

[

11 ( 1 2)

0 0 0 0 0 1 0 0

2( 1) 1

1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1)

0,

1( 1)

1

{2( ) ( ) }[[ { }

( )

j j ll hl h p q j l h p q

j l k h r p q

j k h l

g j h l n g j h l n

n

j l j l r h j l

l h r p q

p I I

P t

λ

γ µ µ λ µ µ µ µ γ

+ −∞ ∞ ∞+ + + − + − + + +

= = = = = = =

− + + − + −+ + − − − + + − + +

+ + + − −

+ + − + −

=

∑∑∑∑∑∑∑

1 2

1 2

( 1 1)( )2 2( 1)

( 1) ( 1) 1 2

0

( )( )( )

( 1) ( ) ( 2) 1 2

( ){ }] ( )

( 1 1)!

[ { }](2 ( ) ).

t j k l h pt l h k h l

g j h l n g j h l n

t wp w

g j h l k g j h l k g j h l k

t wI I e

j k l h p

I I I w e e d

λ µ µ ξ

λ µ µ ξλ ξ

γ µ µ γ

γ λ µ µ

+ − + − −− + + +− + − + + +

+ + − − + + + − + +

− + + + −− ++ + + + + + + + + + + + + +

−− − + +

+ − + − −

− − +

∫

2 2 2

2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1( 1) ( 2) 2( )

( 1)

0 0 0 0 0

1

( 1) (

[ { ( ) ( )( )( ) (1 ) }]

( 1) 2 [[{

} {

j ll h j j k h l j k h l

g j h l n

j l k h r

g j h l n g

w

p p p

j l l j l rI

l h r

I I

λ ξ µ µ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ µ µ λ λµ

λ γ

γ

+∞ ∞ ∞+ − + − + + − + − + + −

+ + − − −= = = = =

−+ + − + +

+

− + + + + + + − − + −

+ + + −

− −

∑∑∑∑∑

1 2

1 2

1( )

) ( ) ( )

0

( )( )1 ( )

( ) ( 1) ( 1) 1 2

1 2

( )}] [{

( 1)!

} { }](2 ( ) ). ]

( )[(

t k lt

j h l n g j h l n g j h l n

t ww

g j h l n g j h l n g j h l n

t wI e I

k l

I I I w e e dw

λ µ µ ξ

λ µ µ ξλ ξγ λ µ µ

ξ µ µ λ ξ

− −− + + +

+ + − − + + − + + + − −

− + + + −− − ++ + − + + + − − + + + − + −

− − + −

− −

− − +

+ + +

∫

1

1 2

2 22( 1)

1 2 1 2 1 2

00

1( )2 1

(2 2) (2 1) 1 2

0

( )( ) 2 1

1 2

( ))( ) {2( ) ( )}] [{

2!

(2 2) } { (2 1) }](2 ( ) ) . ]

] [ {( )( )( )}

t Ni

i

Nwi

i N i N

i

t w

t w

i N I i N I w w e

e dw

λ µ ξ

λ µ µ ξ

µ λ ξ µ µ µ λ ξ µ µ γ

γ λ µ µ

γ λ λ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ

−− +

=

−− + +− −

− + − +=

− + + + − − −

− + + + + + + +

− + − − + +

+ − + + + + +

∑∫

∑

1 2

2

1 2

2 12( 1) 2( )

2 1 (2 2)

0 0

12 2( )2( 1) 1 2( 1)

(2 1) (2 2)

0 0 0 0

( )

(1 ) ( )][{ (2 2) } 3{ (2 1)

} { (2 2) } [ ( 1)

n nn i n i

i n

i i

jN Nti l i j k i

i n i N

i j l k i

p

p i n I i n

I i N I t eλ µ µ ξ

λ µ λ ξ µ

µ λ λ ξ µ γ γ

γ γ

− −− − −

− += =

+− ∞ +− + + +− + − + − + + +

− + − += = = = =

− + +

− − + + − + − − +

+ − + + −

∑ ∑

∑ ∑∑∑

1 2

0

2

( 2) ( 2)

0 0 0

1( )(2 1) 2 1

( ) ( 3) (2 1)

0

2 2 1[{ }] ( 1)

[{ }] (2 1) ]

jl

g j l i N g j l i N

j l k

Ntj l i

g j i g j i N

i

j l N j j kI I

l i l k

I I i N I t eλ µ µ ξγ γ

∞

+∞ ∞

+ + + − + + + + − −= = =

−− + + +− + − − −

+ + + + − +=

+ + + + + − + −

− − − +

∑

∑∑∑

∑

(45)



48

1 11

0 0 0 0 0 1 0 0

( 1 1)2 2( 1) ( 1 2)

1 2 1 2

,1,0

1 1 1( 1)

1

( )[ ( ) ] 2

(

( )

j l h mi l h p

j l k h r p i

m i l k pj k l m j k l j k p

m

m m j j l j l r h

i j l h r p

t wp

m i l k p

P t

λ µ µ µµ γ

+∞ ∞ ∞ −+ + +

= = = = = = =

− + + + −+ + − + + − + − + + +

− + + + + + −

−+ +

− + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑

1 2

( 1 1)

0

2 2 6

( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2

1 2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2

(

{1 1)!

} { } (2 ) [ ( ) (1 )

{( )( ) }][ ] (2 ( ) )

t

g j h i p

j i k

g j h i p g j h i l n g j h i l n


I

I I I p

p I I w

eµ µ

γ λ γ λ µ µ λ

µµ µ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ

+ + + + +

− + + + −+ + + + + + + + − − + + + + − − −

+ + + + − − + + + + − +

− +

−

− + − − + + −

+ + + + − − +

∫

)( ) 2

2 1 2 2 1 2 2

1 11 ( ) (2 1)

2 1 2 1

0 0 0 0

( 1)

0

[ ( ) {( ) } (1 ) {( )

1( ) }] ( 1)

( )[{

( 1)!

t w

j i mi l m i l k m j i

j l k i

t m i l

dw p p p

j i l m j kp

l i k

t wI

m i l

ξ λξ λ ξ µ λ µ µ µ µµ λ µ λ ξ

λ ξ µ λ µµ λ µ γ

+ −

+ +∞ ∞ −+ − + − + − + − −

= = = =

− + −

+ + + + + − + − + +

+ + − + + + − −

−

− + −

∑∑∑∑

∫

2 1 2

22

( 1) ( 1) 1 2 1 2 2

0

1 2( ) ( )( )

( 1) ( 1) 1 2

0 0 0 0

2

1 2 2

( )}(2 ( ) ) [ {( ) }]

2!

[ ](2 ( ) ) ( 1)

[ [( ) ]

w

g j l n g j l n

j Nu t w l

g j l k n g j l k n

j l k i

l

w uI w p

I I u e du e dw

j lp

l

λ ξ µ µ µ ξ

λ µ µ λ ξ µ µ µ

λ µ µ

λ µ µ µ

+ + + − + + − +

+∞ ∞ +− + + − + + −

+ + + − − + + + − += = = =

−− + + + −

− + − −

+ + −

∫

∑∑∑∑

1 2

1

1( )1

[2( ) 2]

0

2( )( )

( 1) ( 1) 1 2 1 2 2

0

12( )

(2

0

( )(2( ) 2)

( 1)!

( )[ ](2 ( ) ) [ [( ) ]

2!

[ (2 1)

t j l iti

j k i N

t

t w

g j k l n g j k l n

nn i

i n

i

t wj k i N I t e

j l i

t wI I w e dw p

i n I

λ µ µ ξ

λ µ ξλ µ µ λξ µ µ µ

γ

− + −− + + ++ −

+ + − −

− + + −+ + − − − + + − + −

−−

+=

−+ + − − +

− + −

−− + + + −

+ +

∫

∫

∑ 1 1 2( ) ( )( )1

1) 1 2 1

13

2 1 2 2 1 2 2

0 0 0 0 0

( 1)2( )

(2 ( ) ). ] [2( )

1( ) ( ) [( ) ]] ( 1)

( )

( 1)!

w t w

j ll h

j l k h r

k h lj k r

w w e e dw

j lp p

l

m j l t w

j h k h l

λ ξ µ λ ξ µ µλ µ µ λ ξ µ

λ ξ µ λ µµ λ ξ µ λ µ µ µ

γ

− + + − + + + −−+

+∞ ∞ ∞+

= = = = =

+ − −− + +

+ + + +

+ + + + + + + + + − −

+ −

+ − −

∑∑∑∑∑

1

( ) ( ) ( 1) ( 1)

0

2 1 2( )( ) 2( 2) 2( 1)

1 2 (2 1)

0 00

1

(2 2) 1 2

[{ } { }]

( )(2 ( ) ). [ [{ (2 1) } {

2!

(2 2) }](2 ( ) ).

t


t N Nt w i i

i N

i i

w

i N

I I I I

t ww e dw i N I

i N I w w e

λ ξ

ξ

γ

λ µ µ λξ γ γ

λ µ µ

−+ + − − + + − + + + − − + + + − + +

+ −− + − − + − +

− −= =

− −− +

− − −

−+ + − − +

− + +

∫

∑ ∑∫1 2( )( )

]t w

e dwλ ξ µ µ− + + + −

(46)



49

1 11

0 0 0 0 0 1 0 0

( 1 1)2( 1) ( 1 1)

1 2 1 2

,0,1

1 1 1( 1)

1

( )[ ( ) ] 2

(

( )

j l h mi l h p

j l k h r p i

m i l k pj k l m j k r l j k p

m

j m j l j l r h m

j l h r p i

t w

m i l k p

P t

λ µ µ µµ γ

+∞ ∞ ∞ −+ + +

= = = = = = =

− + + + −+ + − + + + − + − + + +

+ + + + + − −

−+ +

− + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑

1 2

( 1 1)

0

2 2 4

( 1 2) ( 1) ( 1) 1 2 1 2

1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 2

(

{1 1)!

} { } (2 ) [ ( ) (1 )

{( )( ) }][ ] (2 ( ) )

t

g j h i p

i k

g j h i p g j h i l n g j h i l n


I

I I I p

p I I w

eµ µ ξ

γ λ γ λ µ µ µµ

µλ λ ξ λ ξ µ λ µ λ µ µ

+ + + + +

− + + −+ + + + + + + + − − − + + + − − +

+ + + + − − + + + + − +

− + +

−−

+ − − + + −

+ + + + − − +

∫

)( )

2 1 2 2 2 2

( 1)1 11 ( ) (2 1)

20

0 0 0 0

( 1) (

[ ( ) (1 ) {( )( ) (1 ) }]

1 1 ( )( 1)

( 1)!

[{

t w

m i lj i mt

i l m i l k m j i

j l k i

g j l n

dw p p p

j i m j i k t w

l i k m i l

I I

λξ λ ξ µ µµ λ µ λ ξ λ ξ µ λ µ

λ µ γ

−

− + −+ +∞ ∞ −+ − + − + − + − −

= = = =

+ + + −

+ + + + − + + + + − −

+ + − + + −−

− + −

−

∑∑∑∑ ∫

1 1 2

2

1) 1 2 ( 1) ( 1)0

1 1( ) ( )( )

1 2

0 0 0 0

2( 1)

1 2

( )}(2 ( ) ) [{ }

2!

1 1(2 ( ) )] ( 1)

[ [( ) ]

w

g j l n g j l k n g j l k n

j Nu t w i l

j l k i

j k i

w uw I I

j N N ju e du e dw

l i j

p

λ ξ µ µ µ ξ

λ µ µ ξ

λ µ µ

γ λ µ µ

+ + − + + + + − − + + + + −

+∞ ∞ −− + + − + + − +

= = = =

− + + +

−+ + −

+ − + + − −

+

∫

∑∑∑∑

1 2

1

( 1)( )1

[2( ) 1]0

1( )( ) 1 2( )

( 1) ( 1) 1 2 1 2

0

(1

(2 1)

( ){(2( ) 1) }

( 1)!

[{ }(2 ( ) )] [ [( ) ]

(2 1)

j l kt

tl i

j k i N

nt w n i i

g j k l n g j k l n

i

i n

t wj k i N I t e

j l k

I I w e dw p

i n I t e

λ µ µ ξ

λ ξ µλ µ µ λ ξ γ µ µ

− + −− + + ++ −

+ + − +

−− + + − − −

+ + − − − + + − + +=

−−+ +

−+ + − + +

− + −

− + + +

+ +

∫

∑1 2 )

1 2 1 2 2

( 1)12( )

1 2 ( ) ( )0

0 0 0 0 0

1

( 1) (

] [2( )( ) {(1 )( )

( )}] ( 1) [{ }

( 1)!

{

t

k h lj lt

l h j k

g j h l n g j h l n

j l k h r

g j h l n g j

p p

j l l t wI I

l h k h l

I I

λ µ µ ξ λ ξ µ λ ξ µ λ µµ λ ξ µ

µµ γ

γ

+ + +

+ − −+∞ ∞ ∞+ − +

+ + − − + + − += = = = =

−+ + − − + + +

+ + + + + + − + +

+ −+ − −

+ − −

− −

∑∑∑∑∑ ∫

1 2 2

( )( )

1) 1 2 2

2 2 32( 1) 2( 3)

1 2 1 (2 2)0

0 0

( ) ( )(1

(2 3) 1 2

}](2 ( ) )] [ (1 )( )

( )( ) ( )] [ (2 2) (2 3)

2!

](2 ( ) )]

t w

h l n

N Nt

i i

i N

i i

w t

i N

w e dw p

t wp i N I i N

I w w e e

λ ξ

λ µ µ ξ λ ξ µ

λ µ µ λξ ξλ λ ξ µ

µ µ λ λ ξ µ γ γ

λ µ µ

− + −− + +

− −− + − +

− += =

− + + + − + +−− +

+ + − + +

− + + + + − + − − +

+

∑ ∑∫

1 2

1 2

)

2 1 1 2 1 2

( )( ) ( )( )

1 2

0 0

2( )(2 3) 1

(2 2) 1 2

0

[( ) { (1 )

( )[( )( ) ]}][ 4 ]

1!

[{ (2 2) }(2 ( ) ) ]

w

t t

t w t w

nwn i

i n

i

dw p

t wp e e

i n I w w e dw

λ ξ µ λ ξ µ

λ µ µ ξ

µ µ µµ λ µµ

µ λ ξ λ ξ µ λ

γ λ µ µ

−

− + + − − + + −

−− + + +− − + −

− +=

+ − + −

−+ + + + − +

− + +

∫ ∫

∑

(47)



50

1 1

1 2 1 2

0 0 0 0 0 0

( 1)( 1) 2( )

( 1) (

0

,0

1[2( ) ] ( 1)

1 ( )2 [{

( 1)!

( )

j l mi l h

j l k h r i

t m i l k hj j k r l

g j h i l n g j h i

m

m j j l j l r

j l h r

m t wI I

i m i l k h

P t

µ µ µµ

γ

+∞ ∞ ∞ −+ +

= = = = = =

− − + + −− + − + + −

+ + + − − − + + +

+ + + + + + −

− − − − − + + −

=

∑∑∑∑∑∑

∫

1 1 2

1)

4

1 2 ( ) ( ) 1 2

( 1)

1 1 2 ( ) ( ) 1 2

0

( ) ( )( )

}

2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(

( )) ( )][ { }(2 ( ) )]

( 1)!

[(

l n


w k r l


u t w

I I w

w uI I u

k r l

e e dwλ ξ µ µ µ ξ

λ µ µ γ λ µ µ λ ξ λ ξ

µ λ µ µ λ µ µ

− + +

−+ + + − − + + + − +

+ − −

+ + + − − + + + − +

− + + − + + −

− + − + + + + +

−+ + − +

+ − −

−

∫

1 2 1 2

1 1( 6)

1 2

0 0 0 0 0 0

( 1)

(

0

)( ) ]

1( 1) ( )

( )2 [{

( 1)!

j l mi l h i k l l h

j l k h r i

t m i l km i l h m i l h r

g j h i l

m j j l l j l r m

j l h r i

t wI

m i l k

λ ξ µ λ ξ µ µµ

γ µ µ

λ

+∞ ∞ ∞ −+ + − + + + +

= = = = = =

− − + −− − + − − + +

+ + + −

+ + + + +

+ + + + − − +

−

− − + −

∑∑∑∑∑∑

∫

1 2

1 2

1) ( 1) 1 2

1 1( )( )

1 2 1 2

0 0 0 0

( )2( 1) 1

1 2 [2( ) 1]

}(2 ( ) )]

1[ ( )( ) ] ( 1)

( ) (2( ) 1) [3{

n g j h i l n

j Nt w l

j l k i

tj k i l i

j k i N

I w

j j ke dw

l k

j k i N I t e

µ µ ξ

λ µ µ ξ

λ µ µ

ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ

γ µ µ

− + + + + − + +

+∞ ∞ −− + + −

= = = =

− + + +− + + + + −+ + − +

− +

+ + − + + + + + −

+ + + − + +

∑∑∑∑

1

2 1 2 2 1 1 2

( 1)12( )

( ) ( )

0 0 0 0 0 0

1

( 1) (

( )

( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]

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g j h l n g j

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l k k h l

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λ ξ µ

λ ξ µ λµµ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µµ

γ

γ

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+ + − − + + − += = = = =

−+ + − − + + +

+ +

+ + + + + + − + − +

+ + −− −

+ − −

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1 1 2

( )

1) 1 2 1

2 22( 1)

1 2 1 2 2 1 (2 2)

00

( ) ( )( )2 1

(2 1) 1 2

}](2 ( ) ) [ (1 )( )

( )( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }

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w

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i

w t wi

i N

w e dw p

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λ µ ξ λ µ µ ξ

λ µ µ ξ λξ λ ξ µ

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− +− + +

−− +

− +=

− + + − + + + −− −− +

+ + − + +

−+ + − + + − +

− − + +

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1

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(2 2)

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λ µ µ µ µ µ µ µ λ µ ξ µ λ µ ξ

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=

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− +=

+

− + − + − − + + + + + +

− −+ − +

∑

∑∫ ∫

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51

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1

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λ µ µ λ µ µ µ µ

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λ

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− + + + + −

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1

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( 1 1) ( 1 2)

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(

2 1

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( 1 1)!

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− − + + −− + − − + −

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

−

−− −

− − + + −

− + −

+

∫

2 )( )

2 11

0 0 0 0 1 0 0

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(

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j i l h mi l h m i l p

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m m j j i l j i k

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γ

+ + −

+ +∞ ∞ −+ + − − +

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− − + −− + − − − −

− + + + + + + −

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− − +

+

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( 1 1) ( 1 3) 1 2 2

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γ

γ

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−+ + + + − + + + + + +

+ + + + − + + + + + + +

−+ + + + −

− − − + −

− + + + + + + − + + + + − +

− + + + + + + − + −

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1 2 ( 1 1)

1

( 1 1) ( 1 2)

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( 1 2) 2 1

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µ

µ µ

γ

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+ + + + − +

−+ + + + + + + + + + + +

− + + −− − + −+ + + + − +

+ + + + + − + − + + + + + +

− + + + + + + −

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2

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j l k i

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j k i N

t

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i

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(2 1) (2 2) 2 1

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w n nn i n i

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λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξ

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− −− − − − − −

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− + + + − + + − − + + −−

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−− − + − − + +

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+ − + +

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+ + −− + −

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0 0 0 0 0

1

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γ λ µ µ

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− + + − − + + −

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52

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m j j l j l r

j l h r

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−+ + + − − + + + − +

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− + − + + + + +

−+ + − +

+ − −∫

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1 2 1 2

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1 2

0 0 0 0 0 0

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j l h r i

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− + + + + +

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( 1) ( 1) 1 2

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1 2 1 2

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− +− − + −

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0 0 0 0

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+ + + + + + − + − +

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( )( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }

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− − + + − + +

−+ + − + + − +

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1 2

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(2 2

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−− + + − − + + − − − −

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+

− + − + − − + + + + + +

− −+ − +

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53

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1 2

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1

1 2 2 1 1 2

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m m j j i

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− + + + + −

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( 1 1) ( 1 2)

0

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2 1

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− + −

−− −

− − + + −

− + −

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1 2

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0 0 0 0 1 0 0 0

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+ + + + + − −

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( 1 ) ( 1 2)

( 1 1) ( 1 3)

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+ − + + + +

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( 1 1)

1

( 1 1) ( 1 2)

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( 1 2) 2 1

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1 1)

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g j h i p n

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−+ + + + + + + + + + + +

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− + + − +

+ − + −

+ + + + + + − + + + + + + −

+ + + + − + +

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1 22( 1) 2

2 1 2

0 0 0 0

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2 (2

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2) } [ {( ) ( ) { ( )

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0

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j l k h r n

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+ + − − + + −

+ + + +

+ + − + − + + − + −

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− + −

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1 2

1 2

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1( )( ) 1 2 1 1

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1( ) 2( )

2 1 (2 1) 2 1

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λ µ µ ξ

λ µ µ ξ

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µ µ λ γ λ µ µ

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−− + + + − − − + −

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−− + + + − − −

− +=

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+ + − + +

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1 2

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w

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λ µ µ ξ

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− + + − − + + −− + −

∫



54

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1 2

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1

1 2 2 1 1

,00

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[2( ){ ( )1

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m m j j i

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l j i k h j l r qp

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− + + + + −

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− − + + −

− + −

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− − + −

+ + + + − − + + + + + + −

+ + + + − + − + + + + + + −

+ − +

∫ ∫

1 2

( 1 1)

1

( 1 1) ( 1 2)

1 ( )( ) ( )

( 1 2) 2 1

( )( )

( 1 1)

( 1 1) } {( 1 2)

( 1 2) }](2 ( ) ) ] ]

g j h i p n


w u w

g j h i p n

t w

g j h i p n I


g j h i p n I u e du e

e dw

λ ξ λ β ξ

µ µ ξ

γ

λ µ µ

+ + + + − +

−+ + + + + + + + + + + +

− − + − − + −+ + + + − +

− + + −

+ + + + − + −

+ + + + + + − + + + + + + −

+ + + + − + +

1 2

1 22( 1) 2

2 1 2

0 0 0 0

( )1 2 2 2

[2( ) 2] 1 1 2 2 2 1

2( 1)

2

00

( 1) [ { ( ) }] {(2( )

2) } [ {( ) ( ) { ( )

( )}}] [{ (2 3)

1!

j Nl i j k i l i

j l k i

t

j k i N

t

i

i

j lp j k i

l

N I t e p

t wi N

λ µ µ ξ

γ λ µ µ µ


µ γ

+∞ ∞ ++ − + + + +

= = = =

− + + +−+ + − −

− +

=

+ − − + − + +

− − − + + + + + + +

−− − +

∑∑∑∑

∫ 1 2

1 2 2 1

2( )1

(2 3) 2 1

1 21 2( ) 2( 1)

(2 1) (2 2) 2 1

0 00

( ) ( )( ) ( )1 ( )

}(2 ( ) ). ]

( )[{ (2 1) (2 2) }(2 ( ) )

1!

. . ] ] ]

Nw

i N

w n nn i n i

i n i n

i i

u w u w

I w w e

w ui n I i n I u

u e e du e e

λ µ µ ξ

λ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξ

λ µ µ

λ γ γ λ µ µ

−− + + +−

− +

− −− − − − − −

− + − += =

− + + + − + + − − + +− − + −

+

−− − + − − + +

∑

∑ ∑∫( )

2 1 2 1

12 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1

0 0 0 0 0 0

( 1)2( )

( )

0

[ {(2 )( 2 )

( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) }] ( 1)

( )[{

( 1)!

t w

j l Nl h

j l k h r n

t k l hj k r

g j h l n

dw

p p

m j j l l t wI I

j l h k l h

ξ µ µ ξ µ µ ξ

µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ

γ

−

+∞ ∞ ∞+

= = = = = =

− + −− + +

+ + − −

+ + + + +

+ − + − + + − + −

+ + −−

− + −

∑∑∑∑∑∑

∫

1 2

1 2

1

( ) ( 1)

1( )( ) 1 2 1

( 1) 2 1 (2 2)

00

1( )1 2( )

2 1 2 1 (2 1)

00

} {

}](2 ( ) ) [{ (2 2) }

(2 ( ) ) [( ) ] [ (2 1) ]

(2

g j h l n g j h l n

t Nt w i

g j h l n i N

i

w nw n i

i n

i

I

I w e i N I

w w e p i n I

λ µ µ ξ

λ µ µ ξ

γ

λ µ µ ξλ γ

λ µ µ µ µ λ γ

λ

−+ + − + + + − − +

−− + + + − − − +

+ + − + + − +=

−− + + +− − −

− +=

− −

+ + − +

+ + + − +

∑∫

∑∫1 2 1 2( ) ( )( ) ( )( )1 ( )

2 1( ) ) . ] ] ] ]u w u t ww

u u e e du e e dwλ µ µ ξ λ µ ξ λ µ ξλ β ξµ µ − + + + − + + − − + + −− − + −

+



55

1 1

1 2 1 2

0 0 0 0 0 0

( 1)( 1) 2( )

( 1) ( 1

0

1[2( ) ] ( 1)

1 ( )2 [{

( 1)!

j l mi l h

j l k h r i

t m i l k hj j k r l


m j j l j l r

j l h r

m t wI I

i m i l k h

µ µ µ µ

γ

ξ

+∞ ∞ ∞ −+ +

= = = = = =

− − + + −− + − + + −

+ + + − − − + + + − + +

+ + + + + + −

− − − − − + + −

−

∑∑∑∑∑∑

∫

1 1 2

)

4

1 2 ( ) ( ) 1 2

( 1)

1 1 2 ( ) ( ) 1 2

0

( ) ( )( )( )

}

2 ( ) { }](2 ( ) ) [( )(

( )) ( )][ { }(2 ( ) )]

( 1)!

]


w k r l


u t ww

I I w

w uI I u

k r l

e e e dwλ ξ µ µ µ ξλ β ξ



−+ + + − − + + + − +

+ − −

+ + + − − + + + − +

− + + − + + −− + −

− + − + + + + +

−+ + − +

+ − −

∫

1 2 1 2

1 1( 6)

1 2

0 0 0 0 0 0

( 1)

(

0

[( )( ) ]

1( 1) ( )

( )2 [{

( 1)!


j l k h r i

t m i l km i l h m i l h r

g j

m j j l l j l r m

j l h r i

t wI

m i l k

λ ξ µ λ ξ µ µµ

γ µ µ

λ

+∞ ∞ ∞ −+ + − + + + +

= = = = = =

− − + −− − + − − + +

+ +

− + + + + +

+ + + + − − +

−

− − + −

∑∑∑∑∑∑

∫

1 2

1) ( 1) 1 2

1 1( )( )( )

1 2 1 2

0 0 0 0

2( 1) 1

1 2 [2( ) 1]

}(2 ( ) )]

1] [ ( )( ) ] ( 1)

( ) (2( ) 1)

h i l n g j h i l n

j Nt ww l

j l k i

j k i l i

j k i N

I w

j j ke e dw

l k

j k i N I t e

µ µ ξλ β ξ

λ µ µ

ξ λ ξ µ λ ξ µ µµ

γ µ µ

+ − − + + + + − + +

+∞ ∞ −− + + −− + −

= = = =

−− + + + + −+ + − +

− +

+ + − + + + + + −

+ + + − +

∑∑∑∑

1 2( )

1

2 1 2 2 1 1 2

( 1)12( )

( ) ( )

0 0 0 0 0 0

1

(

[3{( )

( )} ( ) (1 ) (1 )( ) ]

1 ( )( 1) [{ }

( 1)!

{

t

t k h lj ll h j k

g j h l n g j h l n

j l k h r

g j

p p

j j k t wI I

l k k h l

I


λ ξ µ λµ µ λ ξ µ ξλ µ λ ξ µ µ

γ

γ

+ + +

+ − −+∞ ∞ ∞+ − +

+ + − − + + − += = = = =

−+

+ + +

+ + + + + + − + − +

+ + −− −

+ − −

−

∑∑∑∑∑ ∫( ) ( )

1) ( 1) 1 2 1

2 22( 1)

1 2 1 2 2 1 (2 2)

00

(2 1

(2 1) 1 2

}](2 ( ) ) ] [ (1 )( )

( )( ) (1 ) 2 ( ) ] [{ (2 2) }

2!

{ (2 1) }](2 ( ) )

w w

h l n g j h l n

t Ni

i N

i

i

i N

I w e e dw p

t wp i N I

i N I w w e

λ β ξ λ ξ

λ

λ µ µ ξ λξ λ ξ µ

µ µ µ µ λ µ λ ξ µ γ

γ λ µ µ

− + − − ++ − − + + + − + +

−− +

− +=

−− −− +

− + + − + +

−+ + − + + − +

− − + +

∑∫

1 1 2

1 2

1) ( )( )( )

0

2 2

2 1 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2( )( ) ( )( ) 2( 1)

(2 2

00 0

]

[ ( ) ( 1) ( 1) (1 ) ( ) ( ) ]

( ) ( )[{3 4 } ][ (2 2)

1! 2!

Nw t ww

i

t t nt w t w n i

i n

i

e e dw

p p

t w t we e dw i n I

µ ξ λ µ µ ξλ β ξ

λ ξ µ λ ξ µ


γ

−+ + − + + + −− + −

=

−− + + − − + + − − − −

− +=

+

− + − + − − + + + + + +

− −+ − +

∑

∑∫ ∫ )]

(51)

Where 1 2( ) , 2 ( )I t Iν να α λ µ µ≡ = +



56

4. NUMBER OF TIMES THE SYSTEM REACHES ITS CAPACITY IN TIME t

Putting y=1 in (26) and on simplification, we have

[ ]1

1( ,1; ) 1 ( 1) ( , )

N

AH x s x P x s

sλ

−

−= + − (52)

Using (28) in (52) and setting x=0, we have

1510,.

16

( ) 1ZA

P ss Z

− = −

(53)

Where

1

1

1 1

2

1 1 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2

15 2 1 2 2 2 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2

[( ){ ( )} ( )][ (1){ ( ) ( )}

(2)] [[( )( ) ][ (1){ ( )}

(2) ( )] ( )[ (1){ ( )} (2){ } (3) ]]

s A s A V B B B

Z B V s s s A V B B B

V B A V B B V B B V B

ξ µ λ ξ µ µ γ λ µ µ

λγ ξ µ λ ξ λ γ λγ µ µ

µ µ µ µ µ µ λ λ

−

− − −

+ − + + + − + + − +

= − + + + + + + − + +

− + + + − + + − − −

1 1

1

1 1

6 2

1 2 2 2 2 1 2

4 4

2 2 1 2 2 1 2

16 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2

2

[( ) ( 1) ( 2) ( ){ ( )}

( 1){ }] [{ ( )}{ (1) ( ) (2)

(1){ ( )}} { ( ) ( )}{ ( ) (1)

(2) {

A B V N B V N V N B B

V N B B A s B V B VZ

V B B A A s B V

B V

λ µ µ λγ γ µ µ

γ λ λ µ λ ξ λγ µ µξ

γ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ

λγ γ

− −

− −

−

− −

+ + − − − + +

+ − + − + + + + + +=

− + + + − + − + + + +

+ −1 2}}]]B Bλ

+

Using (28) in (52), differentiating m times w.r.t. x and dividing both sides by m! And setting

x=0, we have

17,.

18

( )m

ZP s

Z

− = (54)

Where

1 1 1

2 2

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 4 4

1 2 2 2 1 2

2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

17 2

2

[ (1){ ( )} ( ) (2)][ ( ) ( 2)

2 ( ){ [ ( 1) ( 1)]} ( ) ( )

{ }][ (1){ ( )} ( ) ( ){ ( ) (1)

(2)

V B B B B V B V N

s V N B V N B V N

B B V B B A A s B VZ

B V

γ λγ µ µ µ µ µ µ

λ µ µ λ ξ γ γ µ µ γ

λ µ µ µ µ µ λ ξ µ µ

λγ

− −

− − −

−

− + + − + + + −

+ + + + − + + + + +

+ + + − + − + + + +=

+ +1 1

1 1 1

2

2 1 2 2 1 2

2 2 4

2 1 2 1 2 2

( 1)

( )} [ ( 2) ( ){ ( )}]

{ ( 1) ( )} ( ){ ( 2) ( 1)} { }

{ ( 1) ( 2)}] m

A s A B V N V N B B

A A B V N V N A B V N V N B B

V N V N

λ µ λ ξ λ λ γ µ µ

γ λ µ µ γ λ

−

− −

−

+ + + + − − + + + + − + + + − + + +

+ − −

2

( 1) 1 6

1 2 1 1 2 2

2 4

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

18 2 2

1 2 2 2 1 2 2 1

4

2

[ ( ) ( ) ][2 [( ) ( 1) ( 2) ]

( ){ ( ) } ( 1){ } { ( ) ( )}

{( ) (1) (2) { }}] [ ( )]

[

m m ms s s A B V N V N B

V N B B V N B B A A sZ

B V B V B B A s

B V

λξ µ µ ξ λξ λ µ µ λγ

γ µ µ γ λ µ µ λ µ ξ

µ µ λ γ γ λ λ λ µ ξ

γ λ

− + + −

− −

− −

−

+ + + + + − − −

+ + − − + − − + − + + +=

+ + − + − + + + +2 1

2 1 2 1 1 2 2(1) (2)( ) (1){ ( ) }]]m

B V V B Bµ µ γ µ µ− +

+ + − + +

Expanding the right hand sides of (53) and (54), we have



57

1( ) 2( 1) 2

0 0 0 0 0 0

2 2 ( 1) ( 1

1 2 2 1 2

0,.

1( 1)

( )( ) ( ) (1 ) [{

( )

j jli l h j l h i j k h l r

j l k h i r

g j k l g j k l

j l j l r j j k ls

l h r i k

p p R R

P s

λ γ

λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ

+∞ ∞ ∞++ − +− + − + + −+ + −

= = = = = =

− + + +− − + + ++

−

+ + + + − −

+ + + + + − − − −

=

∑∑∑∑∑∑

)

1 ( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 2

0 0 0

( 2 2)

1 2 1 2

0 0

2

1

}

{ } (2 ) { }]

1( 1) [ ( )( )( )

(1 )

jg j i h k g j i h k i j k g j k l g j k l

j l k

ji l j k l i

i r

R R R R s

j l j k j r

l k r

p

γ λ γ

γ λλ ξ µ λ ξ µ µ µ

λµ

∞ ∞− − + ++ + + − + ++ + + + + − − + + +− − + + +− −

= = =

∞+ − + −++

= =

− − + − −

+ + − + − + + + + +

− − +

∑∑∑

∑∑( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2)

2

3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)

1 2 1 2

( )][{ } { }]

[ ( )] { }] ( )( ) [{ }]

g j l k N g j l k N g j l k g j l k

g j g j k l g j r l g j r l

p R R R R

p R R s R R

λ λ ξ µ γ

λ µ µ γ ξ µ µ λ ξ

− + ++ + − + ++ + + − + ++ + − + ++ +

− − + − − + + − −− − + + ++ − + + ++

+ + − − − − + − − + + + −

(55)

1 1 1

1

0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1

1 2

,.

1 1 1( 1)

1

2 [( ) ]

( )

j j kl m m ii l p q h

j l k h r i q p

m i l p q m i l p q l p

m

m m j j l j k m i j k

i j l h k p q

j i l rp

r

P s

λ µ µ λ γ

+ −∞ ∞ ∞ − + −+ + + +

= = = = = = = =

− − + − − − − + + + −

−

− + + + + − − −

+ + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑∑

(2 1) ( 1 1)

1 2

( 1) ( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)

1 1

0 0 0 0

( )

( ) [{ } { }]

1( 1)

m j i q m i l p

m i k l g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N

j mi l

j l k i

s

s R R R R

m m j j i j i

i j l

µ µ ξ

λ ξ γ

+ − − − − − − + −

− − − − − − + + + + + − + + + + + + − + + + + + + − + + + + + +

+∞ ∞ −+

= = = =

+ + +

+ + − − −

− + + + + −

∑∑∑∑ 1 (2 2)

1

( ) ( ) ( 2) ( 1)

2 1 2 1 2

1 2( 3) 2( 1) 2

0 0 0 0

[2 ( )

( )( )]( ) [{ } {

}] ( 1) [ { (

m i k m j i N

m i l k g j i N g j i N g j i N

j Ng j i N l i j k i

j l k i

k

k

s R R R

j lR p

l

λ γ λ λ ξ µ

λ ξ µ µ µ µ µ ξ γ

γ λ µ

− − − − + − − −

− − + + − + + + − + + + + − + + + +

+∞ ∞ +− + + + + + − + + +

= = = =

+ + +

+ + + + + + − −

+ − − −

∑∑∑∑ 2( ) 2

2 1 2

[2( ) 2] 2

1 2 1 2 1 2 1

2 12 2( 1) 2 3 (2 3) 2( ) (2 1)

1 2 1 2

0 0

) }] {(2 )

[( ) ] } [ ( )( )( ) (1 )

( )][{ (2 ) [( ) ] } { (2 )

[(

l i j k i N

j k i N

N ni i N i N n i i n

i i

s p

p s

s

µ µ λ

λ µ µ ξ ν λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ

λ µ µ γ λ λ µ µ ξ ν γ λ

λ µ

+ + + − −

− + + − −

− −− + − + − − + − − +

= =

+ −

+ + + + + + + + + + + − −

+ + + + + + + −

+ +

∑ ∑(2 1)

1 2 ) ] }]i nµ ξ ν − − +

+ + +

(56)

Taking the inverse transform of (55) and (56), we have



58

1( ) 2( 1)

0 0 0 0 0 0

2 2

1 2 2 1 2

0

0,.

1( 1)

( )( )( ) ( ) (1 ) [{( )( 1)

1!

( )

j jli l h j l h i j k h l r

j l k h i r

t

j l j l r j j k l

l h r i k

t wp p g j k l g j k l

P t

λ γ

λ ξ µ λ ξ µ ξλ µ µ λµ

+∞ ∞ ∞+ + − + − + − + + − + +

= = = = = =

+ + + + − −

− + + + + + − − − + + + + + + −

=

∑∑∑∑∑∑

∫

1 2

1 1 2 1

1 2 ( ) ( 1) 1 2 ( 1)

4 1

( 2) 1 2 ( 3)

( )( )1

( 2)

( ( ) ) 2 } {( 1) ( ( ) )

2 } (2 ) {( 3)( 1)( ( ) )

2 }]

g j k l g j k l g j i h k

i j k

g j i h k g j k l

t w

g j k l

w I I g j i h k w I

I g j k l g j k l w I

I w e dλ µ µ ξ

λ µ µ γ λ µ µ

λ γ λ µ µ

− − −+ + + + + + + + + + + +

+ + − −+ + + + + + + + −

− + + + −−+ + + −

+ − − + + + + + +

− + + + + − + + + − +

− ( 1)

0 0 0 0 0

( 2 2) 2

1 2 1 2 1 2 ( )

0

2

( 1) ( 1) (

1( 1)

( )[ ( )( )( ) (1 ) ( )] [[{

1!

} {

j ji l j i

j l k i r

t

j k l i

g j l k N

g j l k N g j l k g j

j l j k j rw

l k r

t wp p I

I I I

λ

γ λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ λ λ ξ µ

γ

∞ ∞ ∞+ − + +

= = = = =

− + − + ++ + + +

+ + + + + + + + + + +

+ + − + − −

−+ + + + + − − + + +

− − −

∑∑∑∑∑

∫

1 2

3

2) 1 2 ( 1) ( 1) 1 2

( 2)( )( )( )

1 2 ( 1) ( 2) 1 2

0

} [ ( )] { }](2 ( ) )

( )( ) [{ }(2 ( ) ) ] ]

( 2)!

l k g j g j

w k lt wu

g j r l g j r l

p I I w

w uI I u e du e dw

k l

λ µ µ ξλ ξ

λ µ µ γ λ µ µ

ξ µ µ λ µ µ

−+ + + − + +

− −− + + + −− +

+ + + + + + + +

− + − + −− + − +

− − ∫

(57)

1 1 1

1

0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 (

1 2

,.

1 1 1( 1)

1

2 [( ) ]

( )

j j kl m m ii l p q h

j l k h r i q p

m i l p q m i l p q l p

m

m m j j l j k m i j k

i j l h k p q

j i l rp

r

P t

λ µ µ λ γ

+ −∞ ∞ ∞ − + −+ + + +

= = = = = = = =

− − + − − − − + + + −

− + + + + − − −

+ + + +

=

∑∑∑∑∑∑∑ ∑

1 2

( 1 2)2 1)

0

( 2)

( 1 ) ( 1 1) ( 1 2) ( 1 3)

0

( )( )( )

1 2

( )[

( 1 2)!

( )[{ } { }]

( 2)!

(2 ( ) ) ] ] ( 1)

t m i l pm j i q

w m i l k

g j h i p N g j h i p N g j h i p N g j h i p N

t wu i

t w

m i l p

w uI I I I

m i l k

u e du e dwµ µ ξλ ξ

γ

λ µ µ

− − + −+ − − −

− − − −

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

− + + −− +

−

− − + −

−− − −

− − − −

+ + −

∫

∫1 1

0 0 0 0

( 1)1 (2 2)

1 2 1 2

0

( ) ( 2) ( 1) (

1

( )[2 ( )( )( )]

( 1)!

[{ } {

j ml

j l k i

t m i l km i k m j i N

g j i N g j i N g j i N g j i N

m m j j i

i j l

j i k t w

k m i l k

I I I I

λ γ λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ

γ

+∞ ∞ −+

= = = =

− + + −− − − − + − − −

+ + + + + + + + + + + + + + +

− + +

+ + −+ + + + +

− + + −

− − −

∑∑∑∑

∫1 2

1 2

( )( )

3) 1 2

1 22( 1) 2

2 1 2

0 0 0 0

( )1 2 2

[2( ) 2] 1 2 1 2 1 1

}](2 ( ) )

( 1) [ { ( ) }] {(2( ) 2)

} [ ( )( )( ) (1 ) (

t w

j Nl i j k i l i

j l k i

t

j k i N

w e dw

j lp j k i N

l

I t e p p

µ µ ξ

λ µ µ ξ

λ µ µ

γ λ µ µ µ

λ λ ξ µ λ ξ µ µ µ λµ λ µ

− + + −

+∞ ∞ ++ − + + + +

= = = =

− + + +−+ + − −

+

+ − − + − + + − −

+ + + + + + − − + +

∑∑∑∑

1 2

2

2 1( )2( 1) 2( ) 1

(2 3) (2 1)

0 0

)]

[{ (2 3) } { (2 1) }]N n

ti n i

i N i n

i i

i N I i n I t eλ µ µ ξ

µ

γ γ− −

− + + +− + − −− + − +

= =

− + − − +

∑ ∑

(58)



59

5. MEASURE OF EFFECTIVENESS

Two measures of effectiveness of immediate interest are the expectation ( ) ( )X t

Nµ and

the variance 2

( )( )

X tNσ of the distribution of the number of times the system reaches its capacity

in time interval (0, t].

5(a). Expectation { ( ) ( )X t Nµ }

( )

1

( ) ( ,1; )X s

x

dN H x s

dxµ− −

=

= (59)

Expanding the right hand side of (59), we have 1

2 1 1 2 1 2

0 0 0 1 0 0

(2 ) 2( ) ( 1) ( 1)

1 2

( 1) ( 1) 2

( )

[ ( ) ( )( ) (1 )] ( 1)

1( )

1

{ }( )

j kk li l

j i l p k

j i l j i k k N j i l p

H H

X s

p p

j k j k l l ks

j l p i

R RN

λ µ µ λ λ µ ξ λ µ ξ µ λ µ λ

λ γ µ µ ξ

γµ

+ +∞ ∞+

= = = = =

− + + − − − + + − + − +

− + − − −−

− + + + + + + − − −

+ + + + + + +

− +=

∑∑∑ ∑∑

( 2) ( 3)

2 1

2 ( 1) ( 1) ( 1)

2 1

22( 1) 2 2

2 1 1 2 1 2

0

(2 2)

1 2

{ } [ (1 )( )

( )( )]( ) { }

[ ( )( ) ( )( )][ (2 )

[( ) ]

j i k l N j i k l N

j i l p H H

Ni i N

i

i N

R R p

p s R R

p

s

µ λ λ µ ξ

λ λ ξ µ µ λ ξ

λ µ µ λ µ ξ µ µ λ µ ξ γ λ

λ µ µ ξ ν

− + + + + + − + + + + +

− − + + − + − −

−− + − +

=

− − +

− + − + ++

+ + + + + −

+ + + + − + +

+ + + + + −

∑1

1 2( ) 2 1 (2 1)

1 2

0

(2 ) [( ) ] ]N

N i i N i N

i

sλ γ λ λ µ µ ξ ν−

− − − − + − − +

=

+ + + + +

∑

(60)

Where H= (j+i+k+l+1) (N+1)

Taking the inverse transform of (60), we have 1

2 1 1 2 1 2

0 0 0 1 0 0

1 1(2 ) 2( ) ( 1)

0 0

( )

[ ( ) ( )( ) (1 )] ( 1)

1 ( ) ( )[

1 ( 1 1)! 1!

[[

( )

j kk li l

j i l p k

t wj i l pj i l j i k k N

X t

p p

j k j k l l k t w w u

j l p i j i l p

N

λ µ µ λ λ µ ξ λ µ ξ µ λ µ λ

λ γ

µ

+ +∞ ∞+

= = = = =

+ − + −− + + − − − + +

− + + + + + + − − −

+ + + + − −

+ − + −

=

∑∑ ∑ ∑∑

∫ ∫

1 2

2

( 1) ( 1) ( 2) ( 3) 2 1 2

( 1 1)2

1 2 1 ( 1) ( 1) 2 1

0

( )( ) (( )( )

{ } { }](2 ( ) ) [ (1 )

( )( ) ( )( )] [{ }(2 ( ) )

( 1 1)!

] ] ]

H H j i k l N j i k l N

u j i l p

H H

w uu v

I I I I u p

u vp I I

j i l p

e dv e du eλ µ µ ξ µλ ξ

γ λ µ µ µ λ

λ µ ξ λ λ ξ µ µ λ µ µ ν

−+ − + + + + + + + + + +

− + + −

+ −

− + + + − −− + −

− + − + + −

−+ + + + + − +

− + + −∫1 2

1 2

)( )

2 1 1

2 12( 1) 1 2( )

2 1 2 2 2 2 1

0 0

( )1

[ ( )( )

( )( )][{ (2 2) } { (2 1) }

]

t w

N Ni N i

i N i N

i i

t

dw p

i N I i N I

t e

µ ξ

µ µ ξ

λ µ µ λ µ ξ

µ µ λ µ ξ γ λ γ

+ + −

− −− + − − −

− + − += =

− + +−

+ + + + + − + + − + − − +

∑ ∑

(61)



60

5(b). Variance {2

( )( )

X tNσ }

2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[1 ( )]

X t X t X tN K t N Nσ µ µ= + −

(62)

Where

,.

2

( ) ( 1) ( )m

m

K t m m P t∞

=

= −∑

Therefore, to find the value of variance, it suffices to calculate the first term on right hand

side of (62) since expectation has already been obtained in (61).Now Laplace transform of

K(t) is 2

21

( ) ( ,1; )x

dK s H x s

dx

− −

=

= (63)

Expanding the right hand side of (63), we have

2

2 1 1 2 1 2 1 2

1( )

0 0 0 0 0 1 0

(2( ) 1( 1) 1

[ ( ){( )(1 ) ( ) ( ) ( )( )]

1 1 1 1( 1)

1

( )

j i lk l h j i k l

j l k h i p

k i l p N

p

i j i j l i j l p

i j l h k p

Ks

λλ ξ µ µ µ µ λ µµ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ

λ

γ

+∞ ∞ ∞+ + − + + +

= = = = = =

− + + + + +

−

+ − − + + − + + + + + +

+ + + + + + −

=

∑∑∑∑∑∑) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)

1 2

( 2) ( 2) ( 1) ( 2)

1 2 1 2

3 2 {2( 1) 1}{ 1} {2( 1) 1}{

0

( ) [{ } {

} ( ) [{ }]] 2( )( )

( ) ( 1) [{

j i k p v v j i k l N

j i k l N j i N v v N

l N k N k

k

s R R R

R s R R s

is R R

h

µ µ ξ γ

λ ξ µ µ µ µ ξ

λ ξ γ

− + + + − − − + − − + + + + +

− + + + + + − + + − + + − + +

∞− + + + − + −

=

+ + + − − −

+ + + − + + + + +

+ + − −

∑ 1}

1

0 0

22( 1) 2 2

2 1 2 2 1

0

1(2 2) 2( ) 2 1 (2 1)

1 2 1 2

0

}] [( )( )

( ) ( ) (1 )( )][{ (2 )

[( ) ] } (2 ) [( ) ] ]

iN

j l

Ni i N

i

Ni N N i i N i N

i

p p

s s

λ ξ λ ξ µ

λ ξ µ λµ λ ξ µ λµ λ ξ µ γ λ

λ µ µ ξ ν γ λ λ µ µ ξ ν

∞+

= =

−− + − +

=

−− − + − − − + − − +

=

+ + + +

+ + − + + − − + +

+ + + + + − + + + + +

∑∑

∑

∑

(64)

Where v = [{2(j+k+l+1) +i+p1} (N+1)]

Taking the Inverse Laplace transform of (64), we have



61

2

2 1 1 2 1 2 1 2

1( )

0 0 0 0 0 1 0

(2( ) 1( 1) 1)

[ ( ){( )(1 ) ( ) ( ) ( )( )]

1 1 1 1( 1)

1

( )

j i lk l h j i k l

j l k h i p

k i l p N

p

i j i j l i j l p

i j l h k p

K t

λ λ ξ µ µ µ µ λ µµ λ ξ λ ξ µ λ ξ µ

λ

γ

+∞ ∞ ∞+ + − + + +

= = = = = =

− + + + + +

+ − − + + − + + + + + +

+ + + + + + −

=

∑∑∑∑∑∑

1 2 1 2

( 1 1)1

( 1) ( 1) ( 1)

0

( 1)

( 2) 1 2 ( 1) ( 2) 1 2

0

( ) ( )( )( )

( )[[{ } {

( 1 1)!

( )}](2 ( ) ) [{ }(2 ( ) )

( 1)!

] ] ]

t j i k p

v v j i k l N

w j i

j i k l N N v v N

w t wu

t wI I I

j i k p

w uI w I I u

j i

e du e e dwλ µ µ ξ µ µ ξλ ξ

γ

λ µ µ λ µ µ

+ + + −−

− + + + + + +

+ +

+ + + + + + + + +

− + + + − + + −− +

−− − −

+ + + −

−+ + − +

+ +

+

∫

∫

1 2

2

1 2

0 0 0 0

1 2

( )1 1 ( )( )

1 2 {2( 1) 1}{ 1} {2( 1) 1}{ 1}

[2( )] ( 1) ( )

[{2 ( )( )][[{{2( 1) 1}{ 1}][{2( 1) 1}{ 1} 1]

( ( ) ) 2 }] ]

[( )(

til N

j l k

w t w

k N k N

it w

h

t w k N k N

w I I w e e dwλ µ µ ξ λ ξ

µ µ γ

µ µ ξ

λ µ µ

λ ξ λ ξ µ

∞ ∞

= = =

− + + +− − − + −+ + + + − +

+ − −

+ + + − + + + + + + −

+ − +

+ + +

∑∑∑ ∫

1 2

1 2 1 2 2 1

2 1( )2( 1) 2( ) 1

(2 2) (2 1)

0 0

)( ) ( ) (1 )( )]

[{ (2 2) } (2 1) ]N N

ti N i

i N i N

i i

p p

i N I i N I t eλ µ µ ξ

λ ξ µ λµ λ ξ µ λµ λ ξ µ

γ γ− −

− + + +− + − − −− + − +

= =

+ + − + + − − + +

− + − − +

∑ ∑

(65)

REFERENCES

1. B.K.Kumar and S.P.Madheswari, “Transient solution of an M/M/2 queue with

Heterogeneou servers subject to Catastrophes,” information and management

science, Vol. 18, No. 1, pp.63-80, 2007.

2. D.V.Widder (1946), “The Laplace Transform”, Princeton Mathematical Series.

3. Di Crescenzo, A; Giorno, V and Ricciardi, L.M. (2003). “On the M/M/1 queue with

Catastrophes and its continuous Approximation,” Queueing systems, 43,329-347.

4. Erdelyi, A, W.Magnus, F.Oberhettinger and F.G.Tricomi (1954),”Table of Integral

Transform”,Vol.1, McGraw-Hill Book Company, New York.

5. G.N.Watson, Sc.D, F.R.S. (1959), “A Treatise on the Theory of Bessel Function”,

2nd Edition, Cambridge Uni. Press.

6. S.P.Madheswari and B.K.Kumar, “An M/M/2 queueing system with heterogeneous

Servers and multiple vacations,” Mathematical and Computing modeling, 13(41),

Pp.1415-1429, 2005.

distribution of the number of times m m 2 n

Technology

inverse laplace

system empty

inverse transform

laplace transform

heterogeneous

2 queue

continuous

1 queue