distribusi multinomial

DISTRIBUSI MULTINOMIALPercobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang

mungkin.Jadi pembagian hasil pabrik jadi ringan, berat/masih dapat diterima, demikaian juga

percobaan kecelakaan disuatu simpang jalan menurut hari dalam seminggu merupakan percobaan

multinomial. Penarikan suatu kartu dari sekotak kartu brige dengan pengambilan juga merupakan

percobaan multinomial bila yang menjadi perhatian keempat warna kartu.

Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan “k” hasil mungkin E1, E2, E3,....EK dengan

peluang p1, p2,…, pk maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1, terjadi

sebanyak x1 kali, E2 x2 kali,...,Ek xk kali dalam n usaha bebas dengan :

x1 + x2 +.... + xk = n.

Distribusi peluang gabungan seperti ini akan dinyatakan dengan f(x1, x2,..., xk; p1, p2,

p3,...pk, n). Jelas bahwa p1, p2,...+ pk = 1, karena hasil tiap usaha haeuslah salah dari k hasil yang

mungkin.

Untuk menurunkan rumus umum, cara pada khasus binomial akan ditempuh. Karena tiap

usaha saling bebas, maka tiap urutan tertentu menghasilkan x1 hasil untuk E1, x2 untuk E2,...,xk

untuk Ek akan terjadi dengan peluang . Jumlah urutan yang memberikan hasil sama

untuk n usaha sama dengan banyaknya cara memisahkan n benda menjadi k kelompok dengan

sebanyak x1 pada kelompok pertama, x2 pada kelompok kedua,..., xk pada kelompok ke-k, ini dapat

dikerjakan dalam

Karena tiap bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusi

multinomial dapat diperoleh dengan mengalikan peluang untuk taip urutan tertentu dengan

banyaknya cara mengelompokkan n benda dalam k kelompok.

- 1 -

Distribusi multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1,

E2,..., Ek dengan peluang p1, p2,..., pk, maka distribusi peluang peubah acak x1, x2,..., xk yang

menyatakan banyak terjadinya E1,E2,..., Ek dalam n usaha bebas ialah :

f (x1, x2,…,xk; p1, p2,…,pk, n )=

dengan

dan sedang 0 < <1

= 0,1,2,3,.....

distribusi ini diberi nama distribusi multinomial karena suku dalam penguraian multinomial

n berpadanan sama dengan kemungkinan nilai f(x1,x2...,xk; p1,p2,...pk , n)

contoh soal:

1. Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau

11 muncul duaan kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3

kali?

Jawab:

Misalkan kejadian berikut menyatakan

E1 : jumlah 7 atau 11 muncul;

{(3,4),(4,3),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6),(6,5)(5,6)}

E2 : pasangan bilangan yang sama mncul;

{(1,1),(1,2),(3,3),(4,4,),(5,5),(6,6)}

E3 : baik pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tidak muncul.

Sehingga peluang masing – masing kejadian diatas adalah

. Nilai ini tidak berubah selama ke-6 usaha dilakukan. Dengan

menggunakan distribusi multinomial dengan, = 2, = 1, = 3, maka diperoleh peluang

yang dinyatakan:

- 2 -

= 0,1127

2. Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh dan proses

tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yang dilakukan telah

memperlihatkan bahwa 85% adalah “baik”, 10% ternyata “tidak baik tetapi masih bisa

diperbaiki” dan 5% produksinya “rusak dan harus dibuang”. jika sebuah sample acak

dengan 20 unit dipilih, berapa peluang jumlah unit “baik” sebanyak 18 unit, “tidak baik

tetapi bisa diperbaiki” sebanyak 2 dan unit “rusak” tidak ada?

Jawab:

Kita misalkan,

E1 : banyak unit “baik”

E2 : banyak unit “tidak baik bisa diperbaiki”

E3 : banyak unit “rusak dan harus dibuang”

= 0,85 ; = 0,1; = 0,05

x1 =18; x2 = 2; x3 = 0 ( syarat x1+x2+x3 = n = 20 )

Maka;

= 190(0,85)18(0,01)

= 0,102

3. Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge berisi 52 yang dikocok. Hasilnya dicatat

dikembalikan. Bila percobaan diulang 3 kali. Berapa peluang terambil 1 As, 1 Queen, 1 King?

Jawab :

=

,n = 3

- 3 -

= = = 0,00273

Latihan Soal :

1. Dalam sebuah organisasi sedang melakukan kegiatan bukti social mengunjungi daerah –

daerah yang terkena banjir, dalam kunjungannya 6,7 % belum mendapatkan bantuan. Jika

daerah yang dikunjungi adalah 15 daerah, berapa peluang daerah baik sebanyak 11, daerah

masih tersendat sebanyak 3 dan 1 belum mendapatkan bantuan?

2. Jika sebuah sekotak kartu bridge dikocok acak, berapa peluang mendapat kartu As 2 kali,

kartu merah 2 kali dan Quen 1 kali?

3. Bila sebuah dadu dilempar 6 kali, berapa peluang mendapatkan mata dadu bilangan genap

muncul 1 kali, mata dadu bilangan lebih dari dua muncul 3 kali dan mata dadu bilangan

ganjil muncul 2 kali?

4. Bila dua dadu dilempar 8 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah 4 atau 12 muncul 3

kali, berjumlah bilangan prima muncul 2 kali, dan bilangan berjumlah kurang dari 8

muncul 3 kali?

5. Dalam sebuah kelas mendapat 80% siswa masuk sekolah, 15% siswa sakit dan 5% siswa

izin tidak masuk sekolah.Jika sample dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa, berapa

peluang siswa masuk sebanyak 20, sakit sebanyak 8 dan tidak masuk sebanyak 2?

Jawaban :

1. Diketahui ;

= 0,733 ; = 0,2 ; = 0,067

x1 = 11 ; x2 = 3 ; x3 = 1, n = 15

= 455 ( 0,733)11( 0,008 ) (0,067)

= 0,24388(0,733)11

- 4 -

= 0,008004236

2. Diketahui ;

=

x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1, n = 5

= 30

= = 0,0034

3. Diketahui ;

= 2 = ; ganjil =

x1 = 1 ; x2 = 3 ; x3 = 2, n = 6

= 60

= 2,22

4. Diketahui ;

- 5 -

= berjumlah 4 atau 12 = , (1,3), (3,1), (6,

= berjumlah bilangan prima =

,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,

= berjumlah bilangan kurang dari 8 =

1,1),(1,2,),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(2,4),(4,1), (5,1),(4,2),

(3,4),(4,3),(2,5),(5,2),(6,1

, n = 8

=

= 560

= 0,02306014

5. Diketahui;

, n = 30

= 0,000016813894

Tambahan Contoh Soal –Soal

- 6 -

4. Sebuah kotak berisi 12 bola, diantaranya 5 bola berwarna merah, 4 bola berwarna putih,

dan 3 bola warna biru. Sebuah bola diambil secara acak dari dalam kotak, lainnya dicatat

dan kemudian bola yang terambil ini dikembalikan lagi kedalam kotak. Carilah

probabilitas bahwa dari 6 bola yang diambil dengan acak seperti ini, 3 diantarannya adalah

bola berwarna merah, 2 warna putih, dan 1 warna biru ?

Jawab:

Misalkan: E1 = bola merah pada setiap kali pengambilan

E2 = bola putih pada setiap kali pengambilan

E3 = bola biru pada setiap kali pengambilan

Dimana x1= 3, x2= 2, x3= 1 n = 6 ( syarat : x1 + x2 + x3 = n = 6 )

=

= 0,120563271

5. Probabilitas siswa untuk memperoleh nilai C adalah 0,5, nilai B adalah 0,25 dan nilai A

adalah 0,25. Dari 8 siswa, Hitunglah probabilitas untuk 5 siswa ini memperoleh nilai C, 2

siswa nilai B, dan 1 siswa nilai A?

Jawab:

Misalkan; E1 = memperoleh nilai C

E2 = memperoleh nilai B

E3 = memperoleh nilai A

Dimana; x1= 5, x2= 2, x3= 1

- 7 -

= = 0,8203125

6. Pada suatu ujian. Nilai ujian siswa yang mendapatkan nilai 4 ada 6%, yang mendapatkan

nilai 5 ada 10%, yang mendapatkan nilai 6 ada 20 %, yang mendapatkan nilai 7 ada 30%,

yang mendapatkan nilai 8 ada 22%, dan mendapatkan nilai 9 ada 12%. Dari 30 siswa

berapakah probabilitas untuk 2 siswa mendapatkan nilai 4, 2 siswa nilai 5, 6 siswa nilai 6,

10 siswa nilai 7, 5 siswa nilai 8 dan 5 siswa nilai 9?

Jawab:

Misalkan: E1 = Siswa mendapatkan nilai 4

E2 = Siswa mendapatkan nilai 5





Dimana:

Jadi:

= 0,001537293 0,00154

Pertanyaan Dan Jawaban Dari Tiap – Tiap Kelompok

1 Nama: Gunawan

- 8 -

Kelompok: 7

Menurut criteria tertentu, misalkan dimasyarakat terdapat 30% keluarga golongan rendah, 50% golongan menengah , 20% golongan tinggi. Sebuah sampel acak terdiri dari 20 keluarga telah diambil. Hitunglah probabilitas untuk 6 golongan rendah, 10 golongan menengah dan 4 golongan tinggi?

Jawab:

Misalkan: E1 = keluarga gol. rendah

E2 = keluarga gol. menengah

E3 = keluarga gol. tinggi

Dimana : x1= 6, x2= 10, x3= 4

Jadi

=

= 38798760 ( 0,000000001 )

= 0,03879876 0,04

2.) Nama: Rini Apriyanti – Nur’aini

Kelompok:

Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka berapa peluang didapat mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5, mata 6 tepat 2 kali adalah?

Jawab:

Misalkan: E1 = muncul mata 1

E2 = muncul mata 2

E3 = muncul mata 3

- 9 -

E4 = muncul mata 4

E5 = muncul mata 5

E6 = muncul mata 6

Dimana:

=

= 831600 = 0,000382031

3. Nama: Ririn dan Yunita

Kelompok: 13

Sebuah kotak, berisi 5 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 7 oleh mesin B, 4mesin C dan3 oleh mesin D. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai ba -Rang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnyadilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 9 barang yg dia-mbil dgn jln demikian didpt 3 dari mesin A, 1 dari mesin B, 2 dari mesin C, dan 3 dari me-sin D?Jawab:

Misalkan: E1 = barang yang dihasilkan oleh mesin A

E2 = barang yang dihasilkan oleh mesin B

E3 = barang yang dihasilkan oleh mesin C

E barang yang dihasilkan oleh mesin D

- 10 -

Dimana:

Jadi,

=

= 5040

= 0,005973327

4. Nama: Ade Irma Oktavia

Kelompok: 6

Pada suatu ujian CPNS. Nilai ujian CPNS yang mendapatkan nilai 5 ada 7%, yang mendapat nilai 6 ada 20%, nilai 7 ada 33%, nilai 8 ada 22%, dan nilai 9 ada 18%. Dari 25 CPNS yang lulus seleksi, carilah probabilitas untuk 1 CPNS yg mendpt nilia 5, 2 CPNS yg mendpt nilai 6, 4 CPNS yg mendpt nilai 7, 8 CPNS yg mendpt nilai 8, dan 10 CPNS yg mendpt nilai 9?

Jawab:

Misalkan: E1= mendapatkan nilai 5

E2= mendapatkan nilai 6




Dimana:

Jadi,

=

= 0,000014285

- 11 -

5. Nama: Wahyuni Soleha

Kelompok: 14

Delegasi suatu konferensi akan tiba dgn pesawat terbang, bus, mobil sendiri, atau KA, masing – masing dgn peluang 0,1, 0,4, 0,2, 0,3. Berapakah peluangnya bahwa diantara 8 delegasi yg dipilih secara acak, 2 diantarannya dgn pesawat terbang, 3 tiba dgn bus, 2 tiba dgn mobil sendiri, dan 1 tiba dgn KA?

Jawab:

Misalkan: E1= Tiba dgn pesawat terbang

E2= Tiba dgn bus

E Tiba dgn mobil sendiri

E4= Tiba dgn KA

Dimana:

Jadi,

=

= 1680 ( 0,00000768 )

= 0,0129024

6. Nama: Yenti Febrianti

Kelompok: 10

Dua buah mata uang dilempar 6kali, berapa peluang munculnya dua muka angka sebanyak 4 kali, satu muka angka dan satu muka gambar sebanyak 1 kali dan muncul dua muka gambar sebanyak 1 kali?

Jawab:

Misalkan: E1= muncul dua muka angka

E2= muncul satu muka angka dan satu mula gambar

- 12 -

E3= muncul dua muka gambar

Dimana:

Jadi,

=

= 30

= 0,014648437

7. Nama: Sulistiani dan Sherly Oktarina

Kelompok: 8

Delegasi suatu konfersi akan tiba dgn pesawat terbang, bus, mobil pribadi, atau Kereta api. Masing- masing dgn peluang 0,4; 0,2; 0,3; 0,1. Berapakah peluangnya bahwa diantara 9 delegasi yg dipilih secara acak, 3 tiba dgn pesawat terbang, 3 tiba dgn bus, 1 tiba dgn mobil pribadi, dan 2 tiba dgn kereta api?( ada didiktat hal: 77)

Jawab:

Misalkan: E1= Konferensi dgn pesawat terbang

E2= Konferensi dgn bus

E3= Konferensi dgn mobil pribadi

E4= Konferensi dgn kereta api

Dimana:

Jadi,

=

- 13 -

= 5040 ( 0,000001536 )

= 0,00774144

8. Nama: Leni Yuspiana

Kelompok: 7

Didalam sebuah mobil pick up terdapat 40 helm berwarna. 30 helm berwarna hitam dan sisanya silver. Jika dari mobil tsb diambil sekaligus15 helm. Tentukan probabilitas yang terambil tsb adalah 10 helm warna silver?

Jawab:

Misalkan: E1= helm berwarna hitam

E2= helm berwarna silver

Dimana: x1?, x2= 10 n = 15

+ = 15+ 10 = 15

= 5

Jadi,

=

= 3003

= 0,000679613

9. Nama: Tia Utari

Kelompok: 5

Didalam sebuah lemari es terdapat 5 es krim rasa vanilla, 4 es krim rasa cokelat, dan 6 es krim rasa strawberry. Lalu diambil 5 es krim secara random. Carilah probabilitas bahwa yang terambil adalah 2es krim rasa vanilla, 1 rasa cokelat, dan 2 rasa strawberry?

- 14 -

Jawab:

Misalkan: E1= Es krim rasa vanilla

E2= Es krim rasa cokelat

E3= Es krim rasa stawberry

Dimana:

Jadi,

=

= 30

= 0,142

10. Nama: Else Qur’niati

Kelompok: 3

Menurut suatu teori genetika, persilangan marmut tertentu. Akan menghasilkan keturunan merah, hitam, putih dengan rasio 8; 4; 4, carilah probabilitas bahwa diantara 8 keturunan, 5 adalah merah, 2 hitam, dan 1 putih?

Jawab: Misalkan: E1: Marmut warna merah

E2: Marmut warna hitam

E3: Marmut warna putih

Dimana,

Jadi,

- 15 -

=

=

=

=

11. Nama: Carolin

Kelompok: 9

Suatu mesin las berjenis A, B, dan C sedang dicobakan sebanyak 100% untuk diproduksi. Mesin A dianggap baik dan berhasil dijual sebanyak 65%. Mesin B dianggap baik namun tidak berhasil dijual sebanyak 15%. Sedangkan mesin C dianggap gagal. Dari ketiga mesin tersebut 5 diantaranya baik dan berhasil dijual, 3 diantaranya gagal dan 2 diantaranya baik namun tidak berhasil dijual. a. Berapakah peluang mesin yang gagal ( mesin C )?b. Hitunglah probabilitas dari ketiga mesin tersebut?

Jawab: Misalkan: E1= mesin( A ) yang baik dan berhasil dijual

E2= mesin (B) yang baik namun tidak berhasil dijual

E3=mesin ( C ) yang gagal ?

Dimana,

a).

Jadi, mesin yang gagal ( C ) ada sebanyak 20% = 0,2

b).

- 16 -

=

= 28 (0,00001392 )

= 0,00038976

- 17 -

distribusi multinomial

Documents