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Analisi2Roberto MontiAppunti delCorso-Versionefinaledel16Giugno2011IndiceCapitolo1. TeoriadellintegralediRiemann. Integraligeneralizzati 51. Integraliimproprisuintervalloillimitato 52. Convergenzaassoluta 73. Integralioscillatori 84. Integraliimpropridifunzioninonlimitate 95. Esercizi 10Capitolo2. Introduzionealleequazionidierenzialiordinarie 131. Equazionidierenzialilinearidelprimoordine 132. Equazionedierenzialiavariabiliseparabili 143. Equazionidierenzialilinearidelsecondoordine 154. Metododellavariazionedellecostanti 175. Equazionilinearidelsecondoordineacoecienticostanti 186. Esercizisvolti 197. Esercizi 22Capitolo3. Curvein Rn25Capitolo4. Spazimetricienormati 271. Denizioniedesempi 272. Successioniinunospaziometrico 293. Funzionicontinuefraspazimetriciein Rn294. Spazimetricicompleti 325. Convergenzapuntualeeconvergenzauniforme 346. TeoremadellecontrazionidiBanach 357. Topologiadiunospaziometrico 368. Spazimetricicompatti. TeoremadiWeierstrass 399. Insiemiconnessi 4010. Esercizisvoltiinclasse 4311. Esercizi 47Capitolo5. Calcolodierenzialeinpi` uvariabili 49Capitolo6. Teoremidiinvertibilit` alocaleedellafunzioneimplicita 511. Teoremadiinvertibilit`alocale 512. Teoremasullafunzioneimplicita 563. Massimieminimivincolati. MoltiplicatoridiLagrange 58Capitolo7. Sottovariet` adi Rn611. Sottovariet`aeparametrizzazioni 612. Spaziotangenteespazionormale 633CAPITOLO1TeoriadellintegralediRiemann. Integraligeneralizzati1. IntegraliimproprisuintervalloillimitatoDefinizione1.1. Sianoa Redf : [a, ) Runafunzionetalechelare-strizionef:[a, M] Rsia(limitatae)Riemann-integrabileperogni a M< .Diciamochef`eintegrabileinsensoimpropriosu[a, )seesistenitoillimite(1.1) I= limM_Maf(x)dx.Inquestocaso,chiamiamoilnumeroreale_af(x)dx = Iintegraleimpropriodifsu[a, )ovverodiciamochelintegraleimproprioconvergeSeillimitenonesisteoppureesistemainnitodiremochelintegraleimpropriodifdiverge.Lintegraleimproprioeredit` adallintegraledi Riemannlepropriet` adi linearit`a,dimonotoniaedidecomposizionedeldominio.Esempio 1.2.Studiamo la convergenza del seguente integrale improprio al variaredelparametroreale > 0_11xdx.Nelcaso ,= 1siha_M11xdx =_x+1 + 1_x=Mx=1=M111 equindi:a)Se > 1lintegraleconverge_11xdx = limMM111 =1 1;b)Se0 < < 1lintegralediverge_11xdx = limMM111 = .Nelcaso = 1sihaperogniM> 1_M11xdx = log M,56 1. TEORIADELLINTEGRALEDI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATIequindilintegralediverge_11xdx = limMlog M= .

Osserviamo chesef 0 `euna funzionenonnegativa su[0, ),alloraillimitein(1.1)esistenitooppureinnito. Infatti,lafunzioneI(M) =_Maf(x)dx`emonotonaperM aedunquehalimiteperM .Teorema1.3(Criteriodelconfronto). Sianof, g: [a, ) R,a R,duefun-zioni Riemann-integrabili su ogni intervallo [a, M] R con a M< . Supponiamocheesista x ataleche0 f(x) g(x)perognix x. Allora:a)_ag(x)dx < _af(x)dx < ;b)_af(x)dx = _ag(x)dx = .Dim. Senzaperdere di generalit` asi pu`osupporre x =a. Per lamonotoniadellintegralediRiemann,sihaperogniM a:_Maf(x)dx _Mag(x)dx.Leaermazionia)eb)seguonopassandoallimiteperM .Teorema1.4(Criterio del confronto asintotico). Siano f, g: [a, ) R, a R,duefunzioniRiemannintegrabilisuogniintervallo[a, M],M a. Supponiamocherisultig(x) > 0perognix aecheesistanitoediversodazeroillimiteL =limxf(x)g(x) ,= 0.Allora:_af(x)dx converge seesolose_ag(x)dx converge.Dim. Supponiamo ad esempio 0 0perx > 0einoltrelimxf(x)g(x)= 1 ,= 0.Siccomelintegrale_11x1dxconvergeseesolose 0lintegraleimproprio_1sin xxdxconverge. Infatti,lafunzionef(x)=sin xhaprimitivalimitataF(x)= cos xelafunzioneg(x) = 1/xhaderivatanegativaperx > 0ed `einnitesimaperx .4. IntegraliimpropridifunzioninonlimitateDefinizione4.1. Siaf :(a, b] R, 0, lequazionedierenziale(1.5) si pu` oriscriverenellaformay

/y =a(x). Unaprimitivadellafunzioney

/y`elog y. Dunque, indicandoconAunaprimitivadia,ovveroA

(x) = a(x)perognix I,abbiamoA = log y + d,per qualche costante d R. Segue che y= exp(d A) e ponendo c = edtroviamolasoluzione(1.6) y(x) = ceA(x), x I.Questafunzione risolve lequazione omogeneaper ogni c R(inaltri termini lalimitazioney> 0pu`oesserelasciatacadere).Ora cerchiamo una soluzione della forma (1.6) per lequazione non omogenea (1.3),dove orac C1(I) `e unafunzione incognitache deve essere determinata. Que-stometodosi chiamavariazione dellacostante. Inserendoy

=c

eAaceAnellequazione(1.3)otteniamoc

eA= b, ovvero c

= beA.Integrandotaleequazionesuunintervallo(x0, x) Iotteniamoc(x) = c(x0) +_xx0b(t)eA(t)dt,1314 2. INTRODUZIONEALLEEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEedunquetroviamo(1.7) y(x) =_c(x0) +_xx0b(t)eA(t)dt_eA(x), x I,dovec(x0) R`eunnumeroreale. Perogni sceltadi talenumero, lafunzione(1.8)vericalequazionedierenziale(1.3).Ilnumeroc(x0)sipu` odeterminareimponendochelintegralegeneraleyverichilacondizioneinizialey(x0)=y0. Si ottienec(x0)=y0eA(x0). DunqueotteniamolaformuladirappresentazioneperlasoluzionedelProblemadiCauchy:(1.8) y(x) =_y0eA(x0)+_xx0b(t)eA(t)dt_eA(x), x I,Nel prossimo teorema proviamo che il metedo seguito rileva in eetti lunicasoluzionedelproblemadiCauchy.Teorema1.1. SianoI Runintervalloaperto, x0 I, a, b C(I)ey0 R.Alloralafunzione(1.8)risolveinmodounicoilProblemadiCauchy(1.3)+(1.4).Dim. Chelafunzione(1.8)risolvailproblema `euncontocheripercorrearitrosolargomentoeuristico. Proviamochequestasoluzione `elunica.Siaz C1(I)unasoluzionedellequazionedierenziale(1.3)econsideriamolafunzioneausiliariaw(x) = eA(x)z(x) _xx0b(t)eA(t)dt,doveA `eunaprimitivadia. DalmomentochesullintervalloIrisultaw

= (az + z

)eAbeA= 0,peril Teoremadi Lagrangelafunzionew`ecostantesuI, ovveroesistek Rtalechew(x) = k Rperognix I. Dunque,sihaz(x) =_k +_xx0b(t)eA(t)dt_eA(x).Daltraparte, sezrisolveanchelacondizioneinizialez(x0) =y0deveesserek=y0eA(x0)equindizcoincideconlafunzionein(1.8).2. EquazionedierenzialiavariabiliseparabiliSianoI, J Rdueintervalli aperti esianof C(I)eg C(J)duefunzionicontinue. Cerchiamolesoluzionidellequazionedierenzialedelprimoordine(2.9) y

= f(x)g(y), x I,per qualcheintervalloI1 I. Unasimileequazionesi diceavariabili separabili.Eventualmente, ssati unpuntox0 I eunvalorey0 Jpossiamoprescriverelacondizioneiniziale(2.10) y(x0) = y0.Ilproblema(2.9)+(2.10)sichiamaProblemadiCauchy.Osserviamo preliminarmente che se g(y0) = 0 allora la funzione costante y(x) = y0,x I, `ecertamenteunasoluzionedellequazionedierenziale(2.9) chevericalacondizioneiniziale.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DELSECONDOORDINE 15Siccomevogliamodividereperg,supponiamocheg(y0) ,= 0. Allorarisultag ,= 0in un intervallo aperto J1 Jche contiene y0. Possiamo allora dividere e separare levariabili. Lequazionedierenzialesiriscrivenelseguentemodo:(2.11)y

(x)g(y(x))= f(x),dovexvariainunintornoI1 Idelpuntox0talechey(x) J1perognix I1.SiaG C1(J1)unaprimitivadi1/g(y)(nellavariabiley),denitanellintervalloJ1e dove risulta g ,= 0. La funzione G `e strettamente monotona,perch`e G

(y) ,= 0,epertantoG `einvertibile.SiapoiF C1(I)unaprimitivadif. Integrandolequazionedierenziale(2.11)siottiene(2.12) G(y(x)) = F(x) + C, x I1.Qui,C R `eunacostantechepu`oesseredeterminatatramitelacondizioneiniziale,eprecisamenteC= G(y0) F(x0).LasoluzionedelProblamdiCauchy `edunque(2.13) y(x) = G1(F(x) F(x0) + G(y0)), x I1,doveG1:G(J1) J1`elafunzioneinversadi G. LintervalloI1 I`eingeneralepi` upiccolodiI.Il precedenteargomentorilevaduetipi di soluzionedellequazionedierenziale(2.9): le soluzioni costanti e le soluzioni per cui g(y) ,= 0. Potrebbero, tuttavia, essercialtresoluzioni. Seg ,=0suJ,largomentoprovachelasoluzione`enecessariamentedellaforma(2.13).Teorema2.1. SianoI, J Rdueintervalli aperti, x0 I ey0 J, esianof C(I),g C(J)talicheg ,=0suJ. AllorailProblemadiCauchy(2.9)+(2.10)haunasoluzioneunicay C1(I1)datadallaformula(2.13), perqualcheintervalloapertoI1 Icontenentex0.Ladimostrazionedelteorema `econtenutanellargomentoprecedente.3. EquazionidierenzialilinearidelsecondoordineSiaI Runintervalloapertoesianoa, b, f C(I)funzionicontinue. Inquestasezionestudiamolequazionedierenzialelinearedelsecondoordine:y

+ a(x)y

+ b(x)y= f(x), x I.Lincognita `e una funzione y C2(I). Lequazione dierenziale sidice lineare perch`eloperatoredierenziale L : C2(I) C(I)L(y) = y

+ a(x)y

+ b(x)y`eunoperatorelineare.Ilseguenteteoremadiesistenzaeunicit` adellasoluzioneperilrelativoproblemadi Cauchy `e il corollario di un teorema pi` u generale che sar` a visto e provato nel corsodiAnalisi3.16 2. INTRODUZIONEALLEEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIETeorema3.1. SianoI Runintervalloaperto, x0 I ey0, y

0 R, esianoa, b, f C(I)funzionicontinue. AllorailProblemadiCauchy(3.14)___y

+ a(x)y

+ b(x)y= f(x), x I,y(x0) = y0y

(x0) = y

0haununicasoluzioney C2(I).Studiamoorail casoomogeneof =0. ConsideriamolinsiemedellesoluzionidellequazioneomogeneaS=_y C2(I) : y

+ a(x)y

+ b(x)y= 0suI_.Dalteoremaprecedentesegueilseguentefatto.Proposizione3.2. LinsiemeSdellesoluzioni dellequazioneomogenea`eunospaziovettorialerealedidimensione2.Dim. S`eunospaziovettoriale, perch`eperogni , Rey1, y2 S, ovveroL(y1) = L(y2) = 0,risultaL(y1 + y2) = L(y1) + L(y2) = 0,equindiy1 + y2 S.Proviamo che Sha dimensione esattamente 2. Fissato un punto x0 I, deniamolatrasformazioneT: S R2denitanelseguentemodoT(y) =_y(x0), y

(x0)_.LatrasformazioneT`elineare. ProviamocheT`einiettivaesuriettiva. NeseguecheSed R2sonolinearmenteisomoredunquedim(S) = dim(R2) = 2.Provadelliniettivit` a: seT(y) = T(z)cony, z SallorayezrisolvonolostessoProblemadiCauchy(3.14)(conf= 0). SiccomeperilTeorema3.1lasoluzionedelproblema `eunica,deveesserey= z.Provadellasuriettivit`a: dato(y0, y

0) R2, dal Teorema3.1seguelesistenzadiy StalecheT(y) = (y0, y

0).Dunque,lospaziovettorialeShaunabasevettorialecompostadaduesoluzioni.Consideriamoduesoluzioniy1, y2 S(nonnecessariamentelinearmenteindipenden-ti). FormiamolamatriceWronskianaWy1,y2(x) =_y1(x) y2(x)y

2(x) y

2(x)_,eildeterminanteWronskianow(x) = det_y1(x) y2(x)y

2(x) y

2(x)_= y1(x)y

2(x) y2(x)y

1(x).Chiaramenterisultaw C1(I)einoltrew

= y

1y

2y

2y

1 + y1y

2 y2y

1= y1(a(x)y

2b(x)y2) y2(a(x)y

1b(x)y1)= a(x)w.4. METODODELLAVARIAZIONEDELLECOSTANTI 17IntegrandolequazionedierenzialescopriamocheildeterminanteWronskianohalaformaw(x) = w(x0) exp__xx0a(t)dt_, x I.Inparticolare,sew(x0) = 0inunpuntox0 Ialloraw = 0intuttiipunti.Proposizione3.3. Siano y1, y2 Ssoluzioni dellequazione omogenea e sia w =det Wy1,y2ilcorrispondentedeterminanteWronskiano. Allora:(A)y1, y2 sono linearmente dipendenti se e solo se esiste x0 Itale che w(x0) = 0(equivalentementeseesolosew = 0suI);(B)y1, y2 sono linearmente indipendenti se e solo se esiste x1 Itale che w(x1) ,=0(equivalentementeseesolosow ,= 0suI).Dim. Proviamo (A). Se y1, y2 sono linearmente dipendenti allora esistono (, ) ,=(0, 0),, R,talichey1 + y2= 0suI. Derivandovaleanchey

1 + y

2= 0suI,edunque_y1y2y

2y

2___=_00_.Seguechew = 0sututtoI.Supponiamo ora che w(x0) = 0 in un punto x0 I. Allora, esistono (, ) ,= (0, 0)taliche_y1(x0) y2(x0)y

2(x0) y

2(x0)___=_00_.Lafunzionez= y1 + y2`einSevericaz(x0) = 0ez

(x0) = 0. Dallunicit` adellasoluzioneperilProblemadiCauchyseguechez= 0equindiy1, y2sonolinermentedipendenti.Laermazione(B)segueda(A)pernegazione.4. MetododellavariazionedellecostantiInquestasezioneillustriamoilmetodopercalcolareunasoluzionedellequazionenonomogenea(4.15) y

+ a(x)y + b(x)y= f(x), x I,una volta si sappia risolvere lequazione omogenea corrispondente. Sia y1, y2una basedi soluzioni per lequazione omogenea y

+a(x)y+b(x)y= 0. Cerchiamo una soluzionedeltipo(4.16) y= c1y1 + c2y2dovec1, c2: I Rsonofunzionidadeterminare. Derivandolarelazionesiottieney

= c

1y1 + c1y

1 + c

2y2 + c2y

2.Imponendolacondizione(4.17) c

1y1 + c

2y2= 0lespressioneprecedentesiriduceallaseguentey

= c1y

1 + c2y

2.18 2. INTRODUZIONEALLEEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEDerivandonuovamentesiottieney

= c

1y

1 + c1y

1+ c

2y

2 + c2y

2.Sostituendonellequazionedierenzialedi partenza, dopoqualchecalcolo, si arrivaallaseguenteequazionec1(y

1+ ay

1 + by1) + c2(y

2+ ay

2 + by2) + c

1y

1 + c

2y

2= f.Usandoilfattochey1, y2risolvonolequazioneomogeneasiottienelasecondacondi-zione(4.18) c

1y

1 + c

2y

2= f.Mettendoasistemalecondizioni(4.17)e(4.18)siarrivaalsistema_y1y2y

1y

2__c

1c

2_=_0f_.Nel sistema `e apparsa la matrice Wronskiana di y1, y2. Per la Proposizione 3.3, questamatrice`einvertibileinognipuntox I. Questopermettedirisolvereilsistemainc

1ec

2:_c

1c

2_=_y1y2y

1y

2_1_0f_.Le due equazioni del sistema possono essere integrate. Questo procedimento determi-na c1e c2a meno di due costanti addittive che appaiono nel processo di integrazione.Unavoltasostituitec1ec2nella(4.16), leduecostanti possonoesseredeterminatecondelleeventualicondizioniiniziali.5. EquazionilinearidelsecondoordineacoecienticostantiConsideriamounequazionedierenzialedeltipo(5.19) y

+ ay

+ by= 0doveoraa, b Rsonocostanti. Si cercanosoluzioni dellaformay(x)=ex, dove C`eunparametrocomplesso. Sostituendolederivatey

=exey

=2exnellequazionedierenzialesiottienelequazioneex(2+ a + b) = 0.Siccome ex,= 0,tale equazione `e vericata se e solo se verica lequazionecaratte-ristica:2+ a + b = 0.Sia = a24bildiscriminantedellequazione. Sipossonopresentaretrecasi.1) > 0. Lequazionecaratteristicahaduesoluzionirealidistinte1= a 2e 2= a +2.Inquestocaso, lasoluzionegeneraleydi(5.19)`eunacombinazionelinearedelle soluzioni y1(x) = e1xe y2(x) = e2x, che sono linearmente indipendenti:y(x) = c1e1x+ c2e2x, x Rdovec1, c2 R.6. ESERCIZI SVOLTI 192) < 0. Lequazionecaratteristicahaduesoluzionicomplesseconiugate1= a + i2= + i e 2= a i2= idovesi `eposto = a/2e=/2. Lefunzioniz1(x) = e(+i)x= exeix= ex(cos x + i sin x)z2(x) = e(i)x= exeix= ex(cos x i sin x)sonosoluzioni avalori complessi dellequazione dierenziale. Dunque, lefunzioniy1(x) =z1(x) + z2(x)2= excos xy2(x) =z1(x) z2(x)2i= exsin xsonosoluzioni avalori reali dellequazionedierenziale. Lefunzioni y1ey2sonolinearmenteindipendentiedunquelasoluzionegeneraledellequazionedierenziale `edellaformay(x) = (c1 cos x + c2 sin x)exconc1, c2 R.3) = 0. Lequazionecaratteristicahalasoluzionereale = a/2conmol-teplicit` a 2. In questo caso, il metodo produce una sola soluzione y1(x) = ex.Uncontodirettomostrachelafunzioney2(x)=xex`epureunasoluzioneche `elinearmenteindipendentedallaprecedente. Ineetti,siha:y

2+ ay

2 + by2= 2ex+ 2xex+ a_ex+ xex_+ bxex= (2+ a + b)xex+ (2 + a)ex= 0,dovenellultimopassaggiosi `eusatoil fattochecherisolvelequazionecaratteristicaeche = a/2.Lasoluzionegeneraledellequazione(5.19) `edunquey(x) = (c1 + c2x)ex, c1, c2 R.6. EsercizisvoltiEsercizio8. CerchiamolasoluzionedelProblemadiCauchyseguente(6.20)___y

=1 + 2xcos yy(0) = .Lequazionedierenziale`eavariabili separabili y

=f(x)g(y)conf(x)=1 + 2xeg(y)=1/ cos y. Inparticolare, g`edenitapercos y ,=0, ovveropery ,=/2 + kconk Z. Siccomevogliamochegsiadenitasuunintervallo, tenutocontodellacondizioneinizialedovremoconsiderareg: (/2, 3/2) R. Chiaramenteg ,= 0.Separando le variabili otteniamo y

cos y =1+2x, e integrando troviamo lasoluzionegeneraleinformaimplicitadellequazionedierenzialesin y= x + x2+ C,20 2. INTRODUZIONEALLEEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEdoveC R`eunacostantechesi determinaconlacondizioneinizialey(0) =,ovveroC= sin y(0) = 0.Oradobbiamoinvertirelarelazionesin y=x + x2. Osserviamochelinversionemeccanicaz(x) = arcsin(x + x2)nonfornisce la soluzione del problema (6.20) perch`e z(0) =arcsin(0) =0 e lacondizioneinizialenon `evericata.Per determinare la soluzione corretta osserviamo che la funzione arcsin `e linversadellafunzione sinristrettaallintervallo[/2, /2]. Nel nostrocaso, tuttavia, yprende valori in un intorno di . Allora procediamo in questo modo. Ponendo w(x) =y(x) ,abbiamow(0) = y(0) = 0esin w= sin(y ) = sin y= (x + x2).Siccomewassumevalori inunintornodi 0,`eoralecitoinvertirelafunzionesenoeotteniamow = arcsin(x + x2)equindiy(x) = arcsin(x + x2).Questa `elasoluzionedelproblema,che `edenitanellintervalloapertoI1=_x R : x + x2< 1_.Esercizio9. Calcolarelintegralegeneraledellequazionedierenzialey

y=exex+ 1.Lequazione caratteristica `e 21 = 0 le cui soluzioni sono = 1. La soluzionegeneraledellequazioneomogenea `equindiy= c1ex+ c2ex. Calcoliamolasoluzionegeneraledellequazionenonomogeneaconil metododellavariazionedellecostanti.Cerchiamounasoluzionedellaformay= c1(x)ex+ c2(x)ex,con c1, c2 funzioni da determinare. Derivando si ottiene y

= c

1ex+c1ex+c

2exc2exeimponendolaprimacondizionec

1ex+ c

2ex= 0si hay

=c1exc2exe quindi y

=c

1ex+c1exc

2ex+c2ex. Sostituendonellequazionedipartenzasitrovaex(c1 + c

1) + ex(c2c

2) c1exc2ex=ex1 + ex,equindisiottienelasecondacondizioneexc

1c

2ex=ex1 + ex.Risolviamoilsistemadelleduecondizioni_c

1ex+ c

2ex= 0c

1exc

2ex=ex1 + ex.6. ESERCIZI SVOLTI 21Sommandoesottraendoledueequazionisiottiene___c

1=1211 + exc

2= 12e2x1 + ex.Perdeterminarec1calcoliamolintegraleindenitoc1(x) =12_dx1 + exmediantelasostituzionet = ex. Siottienec1(x) =12_dtt(1 + t)=12_ _1t 1t + 1_dt =12 logex1 + ex+ k1,dovek1 R `eunacostanteadditiva. Perdeterminarec2(x)calcoliamolintegralec2(x) =12_e2x1 + exdxconlastessasostituzione. Siottienec2(x) = 12ex+12 log(1 + ex) + k2,conk2 R. Inconclusione,siottienelasoluzionegeneraley(x) =_12 logex1 + ex+ k1_ex+_12ex+12 log(1 + ex) + k2_ex,dovek1, k2 Rsonoduecostantilibere.Esercizio10. Alvariaredelparametro Rstudiareesistenzaeunicit` adellasoluzioney C1(R)delproblema_x3y

y + 1 = 0,y(0) = .Lequazionedierenziale`elinearedelprimoordine. Tuttaviailcoecientedi y

siannullanelpuntox = 0,propriodove `eassegnatoildatoiniziale.Calcoliamotuttelesoluzioni dellequazionedovex ,=0. Lequazioneomogeneax3y

= yhalesoluzioniy(x) = ce12x2.Cerchiamounasoluzionedellequazionenonomogeneadellastessaforma, conc=c(x) funzione dadeterminare. Derivandoy e sostituendonellequazione si arrivaallidentit` ac

(x) = 1x3e12x2.Oraintegriamoquestaidentit`aununintervallo(x0, x). Lafunzionecheappareadestranon`eintegrabileinx=0. Quindi lintervallodi integrazionedevevericarex, x0> 0oppurex, x0< 0. Integrandosiottienec(x) = c(x0) _xx01t3e12t2dt = k1 + e12x2,22 2. INTRODUZIONEALLEEQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEdove k1 R `e una costante. Siccome bisogna distinguere lintegrazione nel caso x > 0einquellox < 0,lespressionegeneraleperlafunzionec `elaseguente:c(x) =_k1 + e12x2, x > 0,k2 + e12x2, x < 0,dove k1, k2Rsono due costanti indipendenti. Dunque, la soluzione generaledellequazionedierenziale `elaseguente:y(x) =_1 + k1e12x2, x > 0,1 + k2e12x2, x < 0.Dalmomentochelimx0y(x) = 1indipendentemente da k1, k2, tutte le funzioni ysi prolungano con continuit`a in x = 0ponendoy(0) =1. Lafunzione che ne risultavericaineetti yC1(R) cony

(0) = 0. Lavericadiquestofatto `elasciatacomeesercizio.Arriviamoalleseguenticonclusioni:1)Per ,= 1ilproblemanonhasoluzioni.2)Per = 1ilproblemahainnitesoluzioni,chedipendonodadueparametrireali.7. EserciziEsercizio11. Calcolarelasoluzionegeneraledelleseguenti equazioni dieren-ziali:i)y

=y cos x1 + sin x+ sin x; ii)y

=3xy + x2+ 1, x > 0.Esercizio12. Siconsiderilequazionedierenzialey

= (y2y) log(2 + x).i)Determinareilsuointegralegenerale.ii)RisolvereilproblemadiCauchycondatoy(1) = 1/2.Soluzione:y(x) =ex+1ex+1+ (x + 2)x+2, x + 2 > 0.Esercizio13. Siconsiderilequazionedierenzialey

= (y 1)(y 4)cos xsin x.i)Trovaretuttelesoluzionicostanti.ii)Calcolarelasoluzionegeneraledellequazioneinformaimplicita.iii)Calcolareinformaesplicitalasoluzionedel problemadi Cauchycondatoinizialey(3/2) = 5.7. ESERCIZI 23Esercizio14. CalcolarelasoluzionedelProblemadiCauchy___y

+ y=1cos x, x _2, 2_,y(0) = 0y

(0) = 0.Soluzione: y= cos x log(cos x) + x sin x.Esercizio15(Dicile). Calcolarelasoluzioney C1(a, b), a < 1 < b ,delProblemadiCauchy_y

=y xy + x,y(1) = 0,edisegnareungracoqualitativodiy. Calcolarebemostrarechea > 12e/2.CAPITOLO3Curvein RnVedereillibroditesto,Capitolo6dap.311ap.32925CAPITOLO4Spazimetricienormati1. DenizioniedesempiDefinizione1.1(Spaziometrico). Unospaziometrico `eunacoppia(X, d)doveX`euninsiemeed:XX [0, )`eunafunzione,dettametricaodistanza,cheperognix, y, z Xvericaleseguentipropriet`a:1)d(x, y) 0ed(x, y) = 0seesolosex = y;2)d(x, y) = d(y, x)(simmetria);3)d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(disuguaglianzatriangolare).Definizione1.2 (Spazionormato). Unospazionormato(reale) `eunacoppia(V, ||)doveV `eunospaziovettorialerealee ||: V[0, )`eunafunzione,dettanorma,cheperognix, y V eperogni Rvericaleseguentipropriet`a:1) |x| 0e |x| = 0seesolosex = 0;2) |x| = [[|x|(omogeneit` a);3) |x + y| |x| +|y|(subadittivit` aodisuguaglianzatriangolare).Fissatounpuntox Xedunraggior 0,linsiemeBr(x) = B(x, r) = BX(x, r) =_y X: d(x, y) < r_sidicesferaopalla(aperta)dicentroxeraggior. Nelseguito,useremolepalleperdenireunatopologiasuunospaziometrico.Unanorma ||suunospaziovettorialeV inducecanonicamenteunadistanzadsuV denitanelseguentemodo:d(x, y) = |x y|, x, y V.La disuguaglianza triangolare per la distanza d deriva dalla subadittivit` a della norma||. Infatti,perognix, y, z V siha:d(x, y) = |x y| = |x z + z y| |x z| +|z y| = d(x, z) + d(z, y).Esempio1.3(SpaziometricoEuclideo). Lafunzione [[: Rn[0, ), n 1,cos`denita[x[ =_n

i=1x2i_1/2, x = (x1, ..., xn) Rn,`e una norma su Rn, detta normaEuclidea. Lo spazio metrico corrispondente (Rn, d),doved(x, y) = [x y[,sidicespazio(metrico)Euclideo. LinsiemeBr(x) =_y Rn: [x y[ < r_`elapallaEuclideadiraggior 0centratainx Rn.Conlanotazionex, y) = x1y1 + ... + xnyn2728 4. SPAZI METRICI ENORMATIper il prodottoscalarestandard di Rn, lanormaEuclideasi esprimenel seguentemodo: [x[ =_x, x).Il prodottoscalare `e bi-lineare nelle due componenti, `e simmetrico, ed`e nondegenere. Precisamente,perognix, y, z Rne per ogni, R valgonole seguentipropret` a:1) x + y, z) = x, z) + y, z);2) x, y) = y, x);3) x, x) = 0seesolosex = 0.Talvolta,ilprodottoscalaresiindicaancheconilsimbolo(x, y).La verica delle propriet` a 1) e 2) per la norma Euclidea `e elementare. Per vericarelasubadittivit`aoccorreladisuguaglianzadiCauchy-Schwarz.Proposizione1.4(DisuguaglianzadiCauchy-Schwarz). Perognix, y Rnvaleladisuguaglianza[x, y)[ [x[[y[.Dim. Ilpolinomiorealedellavariabilet R:P(t) = [x + ty[2= [x[2+ 2tx, y) + t2[y[2non`emai negativo, P(t) 0perogni t R, edunqueil suodiscriminanteverica = 4x, y)24[x[2[y[2 0. Latesisegue. Verichiamo la subadittivit` a della norma Euclidea. Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarzsiha[x + y[2= x + y, x + y) = [x[2+ 2x, y) +[y[2 [x[2+ 2[x[[y[ +[y[2= ([x[ +[y[)2edestraendoleradicisiottienelapropriet` a3)diunanorma.Esempio1.5(Normadellaconvergenzauniforme). ConsideriamolinsiemeV =C([0, 1]; Rn) delle funzioni continue avalori inRn, n 1, denite sullintervallo[0, 1] R. Questefunzioni hannoncomponenti f=(f1, ..., fn)eciascunacompo-nente `e una funzione continua a valori reali. Linsieme V`e uno spazio vettoriale reale.Lafunzione ||: V [0, )|f|=supx[0,1][f(x)[ =maxx[0,1][f(x)[`eunanorma, dettanormadellaconvergenzauniformeonormadel sup. Nellade-nizione, [f(x)[ `elanormaEuclideadif(x) Rn. Lestremosuperiore `eunmassimoper il Teorema di Weierstrass. Verichiamo ad esempio la disuguaglianza triangolareperf, g V :|f+ g|=supx[0,1][f(x) + g(x)[ supx[0,1][f(x)[ +[g(x)[supx[0,1][f(x)[ +supx[0,1][g(x)[ = |f| +|g|.Nelcason = 1,datif C([0, 1])edr 0,lapallaBr(f) =_g C([0, 1]) : [f(x) g(x)[ < rperognix [0, 1]_`e linsieme delle funzioni continue gil cui graco `e contenuto nella striscia di spessore2rattornoalgracodif.3. FUNZIONI CONTINUEFRASPAZI METRICI EINRn29Esempio1.6(Normaintegrale). ConsideriamolinsiemeV= C([0, 1])dellefun-zioni continue a valori reali denite sullintervallo [0, 1] R. La funzione ||1: V [0, )|f|1=_10[f(x)[dx`eunanorma, dettanormadellaconvergenzaL1([0, 1]). Lavericadellepropriet` adella norma `e elementare. Ad esempio, la subadittivit`a della norma ||1segue dallasubadittivit` adelvaloreassolutoedallamonotoniadellintegrale. Precisamente, perf, g V siha|f +g|1=_10[f(x) +g(x)[dx _10_[f(x)[ +[g(x)[_dx =_10[f(x)[dx+_10[g(x)[dx.Lapallacentratanellafunzionenullaf= 0Br(0) =_g C([0, 1]) :_10[g(x)[dx < r_`elinsiemedellefunzionicontinuegconintegraledi [g[minoredir 0.2. SuccessioniinunospaziometricoUna successione in uno spazio metrico (X, d) `e una funzione x : N X. Si usa laseguentenotazionexn= x(n)perognin Nelasuccessionesiindicacon(xn)nN.Definizione2.1. Unasuccessione(xn)nNconvergeadunpuntox Xnellospaziometrico(X, d)selimnd(xn, x) = 0 ovvero > 0 n Nn n : d(xn, x) .Inquestocasosiscriveanchexn xpern in(X, d)oppureanchelimnxn= x,sidicechelasuccessione `econvergenteovverochex `eillimitedellasuccessione.Seil limitedi unasuccessioneesisteallora`eunico. Seinfatti x, y Xsonoentrambilimitidi(xn)nN,allorarisulta0 d(x, y) d(x, xn) + d(xn, y) 0, n ,equindid(x, y) = 0ovverox = y.3. Funzionicontinuefraspazimetriciein RnDefinizione3.1. Siano(X, dX)e(Y, dY )duespazi metrici esiax0 X. Unafunzionef: X Y sidicecontinuanelpuntox0 Xseperogni > 0esiste> 0talecheperognix Xvaled(x, x0) < d(f(x), f(x0)) < .Lafunzionesidicecontinuase `econtinuaintuttiipuntidiX.Negli spazi metrici, lacontinuit`a`e equivalente allacontinuit` asequenziale, nelsensodelseguenteteorema.30 4. SPAZI METRICI ENORMATITeorema3.2. Sianof : X Y ex0 X. Sonoequivalenti leseguenti dueaermazioni:A)f`econtinuainx0;B)Perognisuccessione(xn)nNinXvalelimplicazione:limnxn= xinX limnf(xn) = f(x)inY.Dim. A)B).Fissato > 0,dallacontinuit` adifseguelesistenzadi> 0talecheperognix Xvale:dX(x, x0) < dY (f(x), f(x0)) < .Dallaconvergenzadellasuccessioneseguelesistenzadi n Ntalechepern nsihadX(xn, x0) < . Quindipertalin ndeveesseredY (f(xn), f(x0)) < .B)A). Supponiamo per assurdo che fnon sia continua in x0 X. Allora esiste>0talecheperogni n Nesistonodei punti xn Xtali chedX(xm, x0)0, per ognii = 1, ..., mesistei> 0taleche[x x0[ < i [fi(x) fi(x0)[ < .Conlascelta= min1, ..., mvalealloralimplicazione[x x0[ < [f(x) f(x0)[ 2,|m|1+m2se + = 2,+ se + < 2.Daquestofattodeduciamocheper + 2lafunzionefnon `econtinuain(0, 0).Proveremo che per +> 2 la funzione `e continua in (0, 0) usando la denizione.Partiamodallaseguentedisuguaglianza:[x[[y[x2+ y2 (x2+ y2)/2+/21= [(x, y)[+2.Fissiamo > 0ecerchiamo> 0talechedR2((x, y), (0, 0)) = [(x, y)[ < dR(f(x, y), f(0, 0)) = [x[[y[x2+ y2< .Perladisuguaglianzaprecedente, unapossibilesceltadi >0chegarantiscetaleimplicazione `elaseguente:= 1+2dovelaradice `ebendenitaper + > 2.Il precedenteeserciziopu` oessererisoltoinmodoecienteancheutilizzandolecoordinatepolarinelpiano.Esercizio17. Stabilireselafunzionef: R2 Rsottodenita`econtinuanelpunto(0, 0) R2rispettoalladistanzaEuclidea:f(x, y) =___x2yx4+ y2(x, y) ,= (0, 0),0 (x, y) = (0, 0).Lesame di f lungo il fascio di rette y =mx, mR, produce le seguentiinformazioni. Chiaramenteabbiamo(x) = f(x, mx) =x3mx4+ m2x2=xmx2+ m2,32 4. SPAZI METRICI ENORMATIedunque,facendoillimiteperx 0conm Rssato,sitrova:limx0(x) = 0.La restrizione di fad una qualsiasi retta del fascio `e continua nel punto x = 0. Questononpermettetuttaviadiconcluderechef`econtinuain(0, 0).Ineetti, fnon`econtinuain(0, 0). Consideriamoinfatti larestrizionedi fadunaparaboladellaformay= mx2:(x) = f(x, mx2) =x4mx4+ m2x4=m1 + m2.Se m ,=0, lafunzione `e unacostante nonnulla. Dunque per ogni m R`epossibilesceglieresuccessionidipunti(xn, yn)nNnelpianotaliche(xn, yn) (0, 0)pern elimnf(xn, yn) =m1 + m2.Dunque,fnon `econtinuain(0, 0).Osservazione3.5. LEsercizio17mostracheesistonofunzionif: R2 Rconleseguentipropriet`a:1)Lafunzionex f(x, y) `econtinuainx R,perogniy Rssato;2)Lafunzioney f(x, y) `econtinuainy Rperognix Rssato;3)Lafunzione(x, y) f(x, y)non `econtinua,adesempionelpunto(0, 0).4. SpazimetricicompletiDefinizione4.1(Successione di Cauchy).Una successione (xn)nN in uno spaziometrico(X, d)sidicediCauchyseperogni > 0esiste n Ntalecheperd(xn, xm) < perognim, n n.Tuttelesuccessioni convergenti sonodi Cauchy, infatti sexn xalloraperogni > 0sihad(xn, xm) d(xn, x) + d(x, xm) perdisceglierem, n ncon n Nsucientementegrande. GlispazimetriciincuituttelesuccessionidiCauchysonoconvergentihannopropret`aspeciali.Definizione4.2(Spaziometricocompleto). Unospaziometrico(X, d)si dicecompletose ogni successione di Cauchy in (X, d) `e convergente ad un elemento di X.Definizione4.3(SpaziodiBanach). UnospaziodiBanach(reale) `eunospazionormato(reale)(V, ||)che `ecompletorispettoallametricaindottadallanorma.4.1. EsempidispazidiBanach.Teorema4.4. I numeri reali RconladistanzaEuclideaformanounospaziometricocompleto.Dim. Sia (xn)nNuna successione di Cauchy in R. Proviamo preliminarmente chelasuccessione `elimitata. Infatti,scelto = 1esiste n Ntaleche [xnxm[ < 1perm, n n,einparticolarepern nsiha[xn[ [x n[ +[xnx n[ 1 +[x n[,4. SPAZI METRICI COMPLETI 33edunque,pern Nsihalamaggiorazione[xn[ max[x1[, ..., [x n1[, 1 +[x n[.Per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, dalla successione limitata (xn)nNsi pu`oestrarreunasottosuccessioneconvergente(xnj)jN. Ovveroesistex Rtalechexnj xperj .Proviamochexn xpern . Fissato > 0sia n Ndatadallacondizionedi Cauchy e scegliamo j N tale che nj n e [x xnj[ < . Allora per n n risulta[xnx[ [xnxnj[ +[xnj x[ 2.Questoterminaladimostrazione. Esempio4.5.I numeri razionali Q R con la distanza Euclidea d(x, y) = [xy[,x, y Q,nonsonounospaziometricocompleto. Infattilasuccessionexn=_1 +1n_n Q, n N,`ediCauchy,inquantoconverge(in R)alnumeroe R Q,maillimitenon `ein Q.Esempio4.6. Lospaziok-dimensionaleRk, kN, conlanormaEuclidea`eunospaziodi Banach. Infatti, se(xn)nN`eunasuccessionedi Cauchyin Rk, alloraindicandoconxinlacoordinatai-esimadi xn, i =1, ..., k, lasuccessione(xin)nNavalori reali `e di Cauchy in R e dunque converge xin xi R. Posto x = (x1, ..., xk) Rk,daquestoseguechexn xin Rk:limn[xnx[ =limn_k

i=1(xinxi)2_1/2= 0.Esempio4.7. Lo spazio X= C([0, 1]) con la distanza data dalla norma integraled(f, g) =_10[f(x) g(x)[dxnon `ecompleto. Pern Nsiafn C([0, 1])lafunzionecos`denitafn(x) =___0 x [0, 1/2]n(x 1/2) x [1/2, 1/2 + 1/n]1 x [1/2 + 1/n, 1].Lasuccessione(fn)nN`ediCauchy. Infatti,datim, n Nconm nrisultad(fm, fn) =_10[fnfm[dx _1/2+1/n1/2([fn[ +[fm[)dx 2n.Lacandidatafunzionelimite `elafunzionef(x) =_0 x [0, 1/2]1 x (1/2, 1].Ineetti,lafunzionef`eRiemann-integrabilesu[0, 1]erisultalimn_10[fn(x) f(x)[dx = 0,34 4. SPAZI METRICI ENORMATImafnon`einC([0, 1])perch`ehaunpuntodidiscontinuit`a. Dunquelasuccessione(fn)nNnonconvergeadunelementodiX= C([0, 1]).Teorema 4.8.Lo spazio X= C([0, 1]; Rk), k 1, con la norma della convergenzauniforme:|f|=supx[0,1][f(x)[`eunospaziodiBanach.Dim. Sia(fn)nNunasuccessionedi CauchyinX. Perogni x [0, 1] ssato,lasuccessione(fn(x))nN`eunasuccessionediCauchyin Rkequindi`econvergente.Esiste un punto che chiamiamo f(x) Rktale che fn(x) f(x) per n . Risultadenitaunafunzionef: [0, 1] Rk. Proviamoche:limn|fnf|= 0.Perogni > 0ssato,esiste n Ntalecheperognix [0, 1]vale[fn(x) fm(x)[ < perm, n n.Facendotenderem eusandolaconvergenzafm(x) f(x) per m siottieneperognix [0, 1][fn(x) f(x)[ < perm, n n.Questoprovalaermazione.Rimane da provare che f X, ovvero che f: [0, 1] Rk`e continua. Verichiamolacontinuit` ainungenericopuntox0 [0, 1]. Fissato>0scegliamounn nanostro piacere. Siccome la funzione fn`e continua in x0, esiste > 0 tale che per ognix [0, 1]siha[x x0[ < [fn(x) fn(x0)[ < .Dunque,per [x x0[ < siottiene[f(x) f(x0)[ [f(x) fn(x)[ +[fn(x) fn(x0)[ +[fn(x0) f(x0)[ 3.Questoprovalacontinuit` adif.5. ConvergenzapuntualeeconvergenzauniformeSiaA Rkununinsiemeesianof, fn: A R,n N,funzioni.Definizione5.1 (Convergenzapuntuale). Diciamoche lasuccessione (fn)nNconvergepuntualmenteadfsuAseperognix Arisultalimn[fn(x) f(x)[ = 0.Definizione5.2 (Convergenzauniforme). Diciamochelasuccessione(fn)nNconvergeuniformementeadfsuAseperognix ArisultalimnsupxA[fn(x) f(x)[ = 0.Laconvergenzauniformeimplicaquellapuntualemanonviceversa.6. TEOREMADELLECONTRAZIONI DI BANACH 35Esempio5.3. Siafn: [0, 1] R,n N,lafunzionefn(x) = xn. Perx [0, 1]sihaillimitepuntualelimnfn(x) = f(x) =_0 se0 x < 1,1 sex = 1.Daltrapartelaconvergenza,laconvergenzanon `euniformementeinquantoperognin Nsihasupx[0,1][fn(x) f(x)[ =supx[0,1][fn(x)[ = 1.Ripetendoparolaperparolalapartenaledelladimostrazionedel Teorema4.8siprovailseguentefatto:Teorema5.4. SianoA Rk,k 1,fn C(A; R)funzionicontinueedf: A R. Sefn fpern uniformementesuAalloraf C(A; R)eperognix0 Avaleilteoremasulloscambiodeilimiti:limnlimxx0fn(x) =limxx0limnfn(x).6. TeoremadellecontrazionidiBanachSiaXuninsiemeesiaT:X XunafunzionedaXinsestesso. Siamointe-ressatiallesistenzadisoluzionix XdellequazioneT(x)=x. Unsimileelementox XsidicepuntossodiT.Definizione6.1(Contrazione). Sia(X, d)unospaziometrico. Unapplicazione(funzione)T : X X`eunacontrazioneseesisteunnumero0 0 tale che B(x) A.ii)Linternodi A `elinsiemeA=_x X: x `eunpuntointernodiA_.iii)Unpuntox Xsi dicepuntodi chiusuradi Aseperogni >0risultaB(x) A ,= .iv)LachiusuradiA `elinsiemeA =_x A : x `eunpuntodichiusuradiA_.v)LafrontieradiA `elinsiemeA =_x X: Br(x) A ,= eBr(x) (X A) ,= perognir > 0_.Inaltritermini,A = A (X A).Esempio7.4. In R2conladistanzaEuclideaconsideriamoilcerchioapertoA =_x R2: [x[ < 1_. Allora:i)A = A,infattiA `eaperto.ii)LachiusuradiA `eilcerchiochiusoA =_x R2: [x[ 1_.iii)LafrontieradiA `elacirconferenza-bordoA =_x R2: [x[ = 1_.Proposizione7.5. SianoA Xuninsiemeex X. Sonoequivalenti:7. TOPOLOGIADI UNOSPAZIOMETRICO 37A)x A;B)Esisteunasuccessione(xn)nNconxn Aperognin Ntalechexn xpern .Dim. A)B)Sex Aalloraperognir > 0risultaBr(x) A ,= . Iparticolare,perogni n Nesistexn A B1/n(x). Lasuccessione(xn)nN`econtenutainAeconvergeadxinquantod(xn, x) < 1/n.B) A)Proviamochelanegazionedi A)implicalanegazionedi B). Sex/ Aalloraesiste>0talecheB(x) A= equindi nonpu` oesisteunasuccessionecontenutainAconvergenteax.Teorema7.6. Sia(X, d)unospaziometricoesiaA X. Allora:i)A `eapertoseesoloseA = A;ii)A `echiusoseesoloseA = A.Dim. Laprovadii) `elasciatacomeesercizio. Proviamoii).SeA`echiusoalloraX A`eaperto.`EsucienteprovarecheA A, perch`elinclusioneA A`esemprevericata. Siax A. Seperassurdofossex X Aalloraesisterebbe>0talecheB(x) A= enonci sarebbeunasuccessione(xn)nNcontenutainAtalechexn xpern . Dunquedeveesserex A.SupponiamoorachesiaA = AeproviamocheA `echiuso,ovverocheilcomple-mentareX A=X A`eaperto. Siax X Aunpuntochenon`edi chiusuraperA. Alloraesiste>0talecheB(x) A= . Secos`nonfossecisarebbeunasuccessioneinAcheconvergeadx. MaalloraB(x) X A,chedunque `eaperto.

Esempio7.7. SiaA=_x Rn: [x[ 1,nonpossonoinveceessereapprossimaticonsuccessionicontenuteinAedunquenonappartengonoallachiusuradiA.Definizione7.8. Sia(X, d)unospaziometrico. Lafamigliadiinsiemi(X) =_A X: A `eapertoinX_sidicetopologiadiX.Teorema 7.9.La topologia di uno spazio metrico Xverica le seguenti propriet` a:(A1) , X (X);(A2)SeA1, A2 (X)alloraA1 A2 (X);(A3)Perognifamigliadiindici /risultaA (X)perogni /_AA (X).38 4. SPAZI METRICI ENORMATILa verica di questo teorema `e elementare ed `e omessa. In particolare, la propriet`a(A2)siestendeadintersezioninitediaperti. Perognin Nvale:A1, ..., An (X) n

k=1Ak (X).La propriet`a (A2), tuttavia, nonsi estende adintersezioni numerabili di aperti.Infatti,linsieme_x Rn: [x[ 1_=

n=1_x Rn: [x[ < 1 +1n_non `eapertoperessendointersezionenumerabilediaperti.Osservazione7.10. Inmododuale,lafamigliadeichiusidiunospaziometricovericaleseguentipropriet`a:(C1) , Xsonochiusi;(C2)SeC1, C2sonochiusialloraC1 C2`echiuso;(C3)Perognifamigliadiindici /risultaA`echiusoperogni /

AA`echiuso.Ingenerale,lunionenumerabiledichiusinon `echiuso.Teorema7.11(Caratterizzazionetopologicadellacontinuit` a). Siano(X, dX)e(Y, dY )duespazimetriciesiaf: X Y unafunzione. Sonoequivalentileseguentiaermazioni:1)f`econtinua;2)f1(A) X`eapertoinXperogniapertoA Y ;3)f1(C) X`echiusoinXperognichiusoC Y .Dim. Proviamolimplicazione1)2). Verichiamocheogni puntox0 f1(A)`eunpuntointernodif1(A). SiccomeA `eapertoef(x0) A,esiste > 0talecheBY (f(x0), ) A. Perlacontinuit` adifesiste>0talechedX(x, x0) 0, linsieme BY (f(x0), )) `e aperto e quindi lantimmaginef1(BY (f(x0), )) `eaperta. Siccomex0 f1(BY (f(x0), )),esiste> 0talecheBX(x0, ) f1(BY (f(x0), )),dacui,passandoalleimmagini,seguechef(BX(x0, )) f(f1(BY (f(x0), ))) BY (f(x0), ).Notare che lultima inclusione in generale non `e unuguaglianza. La catena di inclusio-ni provata mostra che se dX(x, x0) < allora dY (f(x), f(x0)) < ,che `e la continuit` adifinx0.8. SPAZI METRICI COMPATTI. TEOREMADI WEIERSTRASS 39Perprovarelequivalenza2)3)si usalaseguenterelazioneinsiemisticavalidaperogniB Y :X f1(B) = f1(Y B).Verichiamoadesempio2)3). SiaC Y chiuso. AlloraA=Y C`eapertoequindif1(A) = f1(Y C) = X f1(C) `eaperto. Ovvero,f1(C) `echiuso.Osservazione7.12. Nelladimostrazioneprecedenteabbiamousatoleseguentirelazioniinsiemistiche,perunafunzionef: X Y :i)A f1(f(A))perogniinsiemeA X;ii)f(f1(B)) BperogniinsiemeB Y .Teorema7.13. Siano (X, dX), (Y, dY ) e (Z, dZ) spazi metrici e siano f: X Yeg: Y Zfunzionicontinue. Alloralacomposizioneg f: X Z`econtinua.Dim. Usiamo la caratterizzazione 2) di continuit` a nel Teorema precedente. Se A Z `e un aperto allora g1(A) Y`e un aperto, e dunque (gf)1(A) = f1(g1(A)) X`eunaperto. 8. Spazimetricicompatti. TeoremadiWeierstrassDefinizione8.1 (Spaziometricocompatto). Unospaziometrico(X, d) si di-ce (sequenzialmente) compatto se ogni successione di punti (xn)nNinKhaunasottosuccessionecheconvergeadunelementodiK.Definizione8.2(Insieme limitato). Un insieme Knello spazio metrico (X, d) sidicelimitatoseesisteunpunto(equivalentemente: perognipunto)x0 XedesisteR > 0talecheK B(x0, R).Proposizione8.3. Sia(X, d)unospaziometricoesiaK Xunsottoinsiemecompatto. AlloraK`echiusoelimitato.Dim. ProviamocheK= K. Perognix Kesisteunasuccessione(xn)nNinKche converge ad x. Questa successione ha una sottosuccessione (xnj)jNche convergeadunelementodiK. Maquestoelementodeveesserex,chequindiappartieneaK.SupponiamoperassurdocheKnonsialimitato. Alloraesisteunpuntox0 Xtale che K(XB(x0, R) ,= per ogni R > 0. In particolare, con la scelta R = n Nesistonopuntixn Ktaliched(xn, x0) n. Lasuccessione(xn)nN`einK. Quindiesisteunasottosuccessione(xnj)jNconvergenteadunelementox K. Maallorad(x, x0) d(x0, xnj) d(xnj, x) nj d(xnj, x) perj . Questo `eassurdoperch`ed(x, x0) < .Esempio8.4. SiaX=C([0, 1]) conladistanzaindottadallanorma |f|=supx[0,1][f(x)[. LinsiemeK=_f X: |f| 1_`e chiuso. Infatti se una successione di funzioni continue (fn)nN tali che [fn(x)[ 1 perognix [0, 1]convergeuniformementeadunafunzionef,alloraanchef`econtinuae inoltre [f(x)[ 1 per ogni x [0, 1]. Dunque f K. Linsieme K`e anche limitato.Infatti `eunapallachiusacentratanellafunzionenulla.40 4. SPAZI METRICI ENORMATILinsieme Ktuttavianon`e compatto. Infatti, lasuccessione di funzioni fn:[0, 1] [0, 1],n N,fn(x) =___0 x [0, 1/2]n(x 1/2) x [1/2, 1/2 + 1/n]1 x [1/2 + 1/n, 1].`e inK, manonhaalcunasottosuccessione che converge uniformemente. Se talesottosuccessioneesistesse, dovrebbeconvergereal limitepuntualedellasuccessione(fn)nN,che `eunafunzionediscontinua. Teorema8.5(Heine-Borel). Sia Rm, m 1, munitodelladistanzaEuclideaesiaK Rnuninsieme. Sonoequivalentileseguentiaermazioni:(A)K`ecompatto;(B)K`echiusoelimitato.Dim. Proviamolaermazionenonbanale(B)(A).Sia(xn)nNunasuccessionedi punti in K. Scriviamo le coordinate xn= (x1n, ..., xmn ). La successione reale (x1n)nN`e limitata e dunque ha una sottosuccesione (x1nj)jN convergente ad un numero x1 R.Lasuccessione(x2nj)jN`elimitataequindi haunasottosuccessioneconvergenteadunnumerox2R. Si ripetetaleprocedimentodi sottoselezionemvolte. Dopomsottoselezioni successive si trovaunasceltadi indici jkjtale che ciascunasuccessionedi coordinate(xikj)jNconvergeadunnumeroxi R, i=1, ..., m. Maallora(xkj)jNconvergeax=(x1, ..., xm) Rm. SiccomeK`echiuso, deveesserex K.Teorema8.6. Siano(X, dX)e(Y, dY )spazi metrici esiaf:X Y continua.SeX`ecompattoalloraf(X) Y`ecompattoinY .Dim. Sia(yn)nNunasuccessione inf(X). Esistonopunti xnXtali chef(xn) =yn, n N. Lasuccessione(xn)nNhaunasottosuccessione(xnj)jNcheconvergeadunpuntox0 X. Siccomef`econtinuasihalimjf(xnj) = f(x0).Inaltritermini,ynj f(x0) f(X)perj .Corollario8.7 (Weierstrass). Sia(X, d) unospaziometricocompattoe siaf: X Runafunzionecontinua. Alloraesistonox0, x1 Xtalichef(x0) = maxxXf(x) e f(x1) = minxXf(x).Dim. Infattif(X) R `ecompatto,equindichiusoelimitato. Dunquelinsiemef(X)haelementominimoedelementomassimo. 9. InsiemiconnessiDefinizione9.1(Spazioconnesso). Unospaziometrico(X, d)si diceconnessoseX=A1 A2conA1, A2aperti tali cheA1 A2= implicacheA1= oppureA2= .9. INSIEMI CONNESSI 41SeXnon `econnessoalloraesistonodueinsiemiapertidisgiuntienon-vuotiA1eA2 tali che X= A1A2. Quindi A1= XA2 e A2= XA1 sono contemporaneamenteapertiechiusi. SeX`econnesso eXsonogliuniciinsiemiadesseresiaapertichechiusi.Sia(X, d)unospaziometricoesiaYXunsuosottoinsieme. Allora(Y, d)`eancora uno spazio metrico che avr` a la sua topologia (Y ), che si dice topologia indottadaXsuY otopologiarelativa.Esercizio18. SiaY Xconlatopologiarelativa. ProvarecheuninsiemeA Y`e aperto in Yse e solo se esiste un insieme aperto B Xtale che A = Y B.Esempio9.2. SiaX= ReY= [0, 1]. Linsieme[0, 1/2) [0, 1]`erelativamenteapertoin[0, 1]inquanto[0, 1/2) = [0, 1] (, 1/2).Definizione9.3. Sia(X, d) unospaziometrico. Unsottoinsieme Y Xsidiceconnessose`econnessorispettoallatopologiaindotta. Precisamente, seY =(Y A1) (Y A2)conA1, A2aperti di Xeunionedisgiunta, alloraY A1= oppureY A2= .Esempio9.4. Sia RmunitodelladistanzaEuclidea.1)Linsieme A R, A=[2, 1] [1, 2] non`e connessoinR. Infatti laseguenteunione `edisgiunta:A = (A (3, 0)) (A (0, 3)).2)LintervalloI= [0, 1] R`econnesso. Proviamoquestofatto. SianoA1, A2apertidi Rtaliche:I= (I A1) (I A2).conunionedisgiunta. Supponiamoadesempioche0 A1. Deniamo x = sup_x [0, 1] : [0, x) I A1_.Deveessere0 0 ma allora I A1A2 ,= . Questo non `e possibile. Quindi x I A1.Se x0taleche x + A1 Iperogni0 0 tale che B(x) A. Aermiamo che B(x) A2. Se cos` non fosse troveremmoy B(x) A1. Il punto x0si collega a y con una curva poligonale in A ed y si collegaadxconunsegmentocontenutoinA. Quindi x A1, chenon`epossibile. QuestoargomentoprovacheA2`eaperto. AlloraabbiamoX= A1 A2con A1e A2aperti ed unione disgiunta. Siccome X`e connesso, uno degli aperti deveesserevuoto. SiccomeA1 ,= alloraA2= . Questoterminaladimostrazione. Teorema9.10(Valori intermedi). Sia A Rnun aperto connesso e sia f: A Runafunzionecontinua. Alloraperognit (infAf, supAf)esisteunpuntox Atalechef(x) = t.10. ESERCIZI SVOLTI INCLASSE 43Dim. Sianox0, x1 Atali chef(x0) 0c`econvergenzauniforme.Esercizio21. Sia (0, 1]edeniamolafunzioned : RnRn [0, )d(x, y) = [x y[, x, y Rn,dove [[indicalanormaEuclideadi Rn. Provareche(Rn, d) `eunospaziometrico.Cenni di soluzione. Perprovareladisuguaglianzatriangolaresi usaladisugua-glianza(t + s) t+ s, s, t 0,che`evalidaper0 < 1. Lavericaditaledisuguaglianzasiriduceacontrollareche(t + 1) t+ 1, t 0.Questadisuguaglianzaseguedal fattoche(t + 1)1t1per t >0inquanto 1 0.Esercizio22. Determinaretuttiinumeri 0talichelafunzionef: R Rf(x) =1 + x2, x R,siaunacontrazionerispettoalladistanzaEuclidea.Cennidisoluzione. CondisuguaglianzeelementarioppureutilizzandoilTeoremadiLagrangesiarrivaalladisuguaglianza[f(x) f(y)[ a[x y[, x, y R.Dunquese < 1lafunzionef`eunacontrazione.Se 1lequazionedi puntossof(x)=xnonhasoluzione. Quindi fnon`eunacontrazione. Alternativamente,sipu` omostrarechelimx[f(x) f(0)[[x[=a.44 4. SPAZI METRICI ENORMATIEsercizio 23.Sia h C([0, 1]) una funzione assegnata. Vericare che lequazionefunzionalef(x) = h(x) +12 sin(x)_x0f(t)dx, x [0, 1],haunasoluzioneunicaf C([0, 1]).Cennidisoluzione. SiaX= C([0, 1])conlanormadellaconvergenzauniformeesiaT: X XlatrasformazioneT(f)(x) = h(x) +12 sin(x)_x0f(t)dx, x [0, 1].VerichiamocheT`eunacontrazione. Infatti,perognif, g Xsiha[T(f)(x) T(g)(x)[ =12 sin(x)_x0(f(t) g(t))dx12|f g|, x [0, 1]edunque|T(f) T(g)| 12|f g|.Dunque T`e una contrazione e per il Teorema di punto sso di Banach Tha in Xununicopuntosso.Esercizio24. SiaA R2ilseguenteinsiemeA =_(x, y) R2: x4+ y4x2+ y2< 0_.1)DireseA `ecompattoe/oconnesso.2)DireseA `ecompattoe/oconnesso.Soluzione. VediamoseA`elimitato. Unacondizionesullacoordinatax`eimme-diata:x4x2 x4x2+ y4+ y2< 0,dacui si ottienex2 1implica(x, y)/ A.Lavericadi2)sibasasullacontinuit`adif. Infatti, linsieme f>1= (x, y) R2: f(x, y) > 1`eapertoeperognipunto(x, y)inquestoinsiemeesiste > 0talecheB(x, y) f> 1.Supponiamoorachef(x, y) =1. Unapossibileidea`edi descriverelinsiemef =0localmentecomeungracodellaformax (x)oppurey (y). Ineetti,se(x, y) Aallorax2< 1 +_1 4(y4y21)2.Lespressione a destra deve essere positiva. Dopo pochi conti, si ottiene la condizionedicompatibilit`a `ey4y21 < 0,cheabbiamogi` astudiato: y2< (1 +5)/2.Indenitiva,deveessere[x[ < (y) =1 +_1 4(y4y21)2.46 4. SPAZI METRICI ENORMATISiamoarrivatiallaseguenteconclusione:A =_(x, y) R2: y2< (1 +5)/2, [x[ < (y)_.Orasiottengonofacilmenteletesidesiderate.Esercizio26.Stabilire se linsieme K R3con la distanza Euclidea `e compattoK=_(x, y, z) R3: x2+ y2+ z 1, x + y2+ z2 1_.DescrivereKgeometricamente.LinsiemeK`elintersezionedeidueinsiemiK1=_(x, y, z) R3: x2+ y2+ z 1_,K2=_(x, y, z) R3: x + y2+ z2 1_.SiaK1cheK2sonochiusi, perch`eantimmagini di insiemi chiusi rispettoafunzionicontinue. DunqueK= K1 K2`echiuso.Verichiamoche K`e limitato. Seguir` ache K`e compatto, per il TeoremadiHeine-Borel. Sex(x, y) Kallorax2+ y2+ z 1 e x + y2+ z2 1.Sommandomembroamembroleduedisequazionisiottienex2+ x + z2+ z x2+ x + 2y2+ z2+ z 2.Completandoiquadratisiottiene(x + 1/2)2+ (z + 1/2)2 2 + 1/2 = 5/2.Sideducecheesistonoduenumeri a0talechen(x) Mper ognix Rn. Provareche(Rn, d) `eunospaziometricocompleto.Lospaziometrico(Rn, d) `eunesempiodivariet` aRiemanniana.11. EserciziEsercizio29.Studiare la convergenza puntuale e uniforme su opportuni sottoin-siemidi Rdellasuccessionedifunzioni(fn)nNcos`denitafn(x) :=1 + xnn + x2n, x R.Esercizio30.Sia (X, d) uno spazio metrico e deniamo la funzione : XX [0, )(x, y) =d(x, y)1 + d(x, y), x, y X.Vericareche(X, ) `eunospaziometrico.Esercizio31. Siad : R2R2 [0, )lafunzionecos`denita:d(x, y) =_ [x y[ sex, ye0sonocollineari,[x[ +[y[ altrimenti.Provare che d`e unametricasuR2e descrivere (gracamente) le palle inquestametrica.Esercizio32. Deniamolefunzioni [[1, [[: Rn [0, )[x[1= [x1[ + ... +[xn[, [x[= max[x1[, ..., [xn[, x = (x1, ..., xn) Rn.Provareche(Rn, [[1)e(Rn, [[)sonospazinormatiechecomespazimetricisonocompleti.Esercizio33. Siad : R R [0, )lafunzioned(x, y) = arctan([x y[), x, y R.Provareche(R, d) `eunospaziometrico. Stabiliresetalespaziometrico `ecompleto.48 4. SPAZI METRICI ENORMATIEsercizio 34.Sia V= C([0, 1]). 1) Provare che la funzione ||2: V V [0, )cos`denita|f|2=__10[f(x)[2dx_1/2`eunanormasuV . Provarepreliminarmentecheperogni f, g V valeladisugua-glianzadiCauchy-Schwarz_10f(x)g(x)dx |f|2|g|22)Direseilcorrispondentespaziometrico `ecompleto.Esercizio35. Siano Reb RneconsideriamolafunzioneT: RnRnT(x) = x + b, x Rn.1)CalcolareunaformulaperliterazioneTk(x0) = T ... T(x0)kvolte,dovex0 Rn`eunpuntossato;2)Stabilire per quali valori di la trasformazione T`e una contrazione rispettoalla distanza Euclidea e per tali valori calcolare il limite di Tk(x0) per k .Esercizio36. ProvarecheuninsiemeapertoA R`elunionenumerabilediintervalliapertidisgiunti.Esercizio37. Siano(X, d)unospaziometricoeA Xunsuosottoinsieme.Provareleseguentiaermazioni:i)A`eilpi` ugrandeinsiemeapertocontenutoinA;ii)A `eilpi` upiccoloinsiemechiusochecontieneA.Esercizio 38.Sia R munito della distanza Euclidea e sia f: R R una funzionecontinua. Provare o confutare tramite controesempi le seguenti aermazioni: i) f(A)aperto Aaperto;ii)Aaperto f(A)aperto;iii)f(A)chiuso Achiuso;ii)Achiuso f(A)chiuso.Esercizio39. Sia(X, d)unospaziometrico. Perx0 Xedr > 0deniamoBr(x0) =_x X: d(x, x0) < r_,Kr(x0) =_x X: d(x, x0) r_,Sr(x0) =_x X: d(x, x0) = r_.ProvarecheBr(x0) Sr(x0)echeBr(x0) Kr(x0). Mostraretramiteesempicheleinclusionipossonoesserestrette.Esercizio40. Sia(X, d) unospaziometricoe sianoK1, ..., KnXinsiemicompatti. ProvarecheK1 ... KneK1 ... Knsonoancoracompatti.`Everoche lunione numerabile di compatti `e ancorauninsieme compatto?`Everochelintersezionenumerabiledicompatti `eancorauninsiemecompatto?Esercizio41.Sia (X, d) uno spazio metrico e sia K Xun sottoinsieme chiuso.Provareche:(1)SeX`ecompattoalloraancheK`ecompatto.(2)SeX`ecompletoalloraancheK`ecompletoconladistanzaereditatadaX.CAPITOLO5Calcolodierenzialeinpi` uvariabiliLibrodi testo, Capitolo3dapagina126apagina155; dapagina159apagina185.49CAPITOLO6Teoremidiinvertibilit`alocaleedellafunzioneimplicita1. Teoremadiinvertibilit`alocaleSiaf : RnRnunafunzionelineare. Fissatounvettoreb Rnlequazionef(x)=bhacertamenteunasoluzioneunicax Rnsef hadeterminantediversoda0, det(f) ,=0. Inquestocaso, infatti, lafunzionef`einvertibileelasoluzione`ex = f1(b).Vogliamogeneralizzarequestorisultatodi risolubilit`adi sistemi di equazioni alcasoincui fsiaunafunzionenonlineare. Dobbiamopreliminarmenteintrodurreiconcettididieomorsmoedidieomorsmolocale.Definizione1.1(Dieomorsmo). SiaA Rnunaperto. Unafunzionef Ck(A; Rn),1 k ,sidicedieomorsmodiclasseCkse:i)f: A f(A) Rn`einiettiva(esuriettiva);ii)Lafunzioneinversavericaf1Ck(f(A); A); inparticolaref(A) Rn`eunaperto.Definizione1.2(Dieomorsmolocale). SiaA Rnunaperto. Unafunzionef Ck(A; Rn),k 1,sidiceundieomorsifmolocalediclasseCkse:i)f`eaperta,ecio`etrasformainsiemiapertiinaperti.ii)Perognipuntox Aesisteun>0talechef:B(x) Rn`einiettivaelafunzioneinversavericaf1 Ck(f(B(x)); Rn).Inparticolare,sef`eundieomorsmolocalealloraf(A) Rn`eaperto.Teorema1.3(Invertibilit` alocale). SiaA Rnunapertoesiaf Ck(A; Rn),k 1. Sonoequivalentileseguentiaermazioni:A)f`eundieomorsmolocalediclasseCk;B)det(Jf(x0)) ,= 0inognipuntox0 A,doveJf`elamatriceJacobianadif.Esempio1.4. Si consideri il seguentesistemadi dueequazioni nelleincognitex, y R(1.21)_x + y sin x = b1x2y + sin y= b2,doveb = (b1, b2) R2`eundatoassegnato.Certamente,quandob = 0ilsistemahaalmenolasoluzionenullax = y= 0. Ciproponiamodiprovareilseguentefatto: esistonoduenumeri>0e>0talicheperognib B(0)esisteununicasoluzione(x, y) B(0)delsistema.5152 6. TEOREMI DI INVERTIBILIT`ALOCALEEDELLAFUNZIONEIMPLICITASiaf : R2R2lafunzionef(x, y) =(x + y sin x, x2y+ sin y). RisultafC(R2; R2). LamatriceJacobianadif`eJf(x, y) =_1 + y cos x sin x2xy x2+ cos y_.Nel punto (x, y) = (0, 0) = 0 si ha det Jf(0) = 1 e per continuit`a si deduce lesistenzadi >0talechedet Jf(x, y)>0perogni (x, y) B(0). Dunque, f`eundieo-morsmolocalediclasseCsuB(0). PerilToeremadiinvertibilit`alocale,purdiprendere>0ancorapi` upiccolo, f`eancheapertaediniettivasuB(0). Dunquelinsiemef(B(0)) R2`eapertoesiccome0=f(0) f(B(0))alloraesiste>0talecheB(0) f(B(0)).Seb B(0)alloraesiste(x, y) B(0)talechef(x, y)=beperliniettivit` adifilpunto(x, y) `eunicoinB(0).Provadel Teorema1.3. A)B). Fissiamox0Ae sia >0tale che f Ck(B(x0); Rn) sia un dieomorsmo di classe Ck. Indichiamo con f1: f(B(x0)) B(x0)lafunzioneinversa. Alloraperognix B(x0)sihaf1(f(x)) = x = In(x),dove In`e lamatrice identit`an n. Dal teoremasul dierenziale dellafunzionecompostasihaJf1(f(x))Jf(x) = In, x B(x0).Dalteoremasuideterminantisiottieneallora1 = det(In) = det_Jf1(f(x))Jf(x)_= det_Jf1(f(x))_det(Jf(x)_.Questoimplicachedet(Jf(x)) ,= 0perognix B(x0)einparticolareperx = x0.B)A).Supponiamochesiadet(Jf(x)) ,= 0inognipuntox A. Sianox0 Aed > 0piccoloapiaceretalecheB(x0) A. Proveremoche(1.22) esiste> 0talecheB(f(x0)) f(B(x0)).Daquestoseguechef trasformapunti interni inpunti interni equindi aperti inaperti.Laermazioneprecedentepu` oessereriscrittanelseguentemodo:(1.23) > 0 y B(f(x0)) x B(x0)talechef(x) = y.Fissiamodunquey B(f(x0)) con >0dadeterminareecerchiamounpuntox B(x0) tale che f(x) = y. Sia T= df(x0) L(Rn; Rn) il dierenziale di fin x0eosserviamochedet(T)=det(Jf(x0)) ,=0. DunqueesisteloperatorelineareinversoT1 L(Rn; Rn). DeniamolafunzioneKdellavariabilex(1.24) K(x) = x T1(f(x) y).VogliamoprovarecheK:B(x0) B(x0)`eunacontrazionerispettoalladistanzastandard.SiccomeB(x0) `e completo con la distanza ereditata da Rn, dal Teorema di puntossodiBanachseguecheesisteun(unico)puntox B(x0)talechex = K(x). Maallorax = K(x) = x T1(f(x) y) 0 = T1(f(x) y) f(x) y= 0,equindif(x) = y. Questoprovalaermazione(1.23).1. TEOREMADI INVERTIBILIT`ALOCALE 53Dobbiamo mostrare che: i) K`e ben denita, e cio`e trasformaB(x0) in se stesso;ii) K`eunacontrazione. Per provarecheK`ebendenitaconvieneintrodurrelafunzioneausiliariag(x) = x T1(f(x)).Osserviamochedg(x0) = InT1df(x0) = 0,ovvero(1.25)gi(x0)xj= 0, i, j= 1, ..., nSiccomeg`ediclasseC1(inquantolo`ef),purdiprendereun > 0pi` upiccolo,sipu` opercontinuit` asupporreche(1.26) |dg(x)| 12perognix B(x0).Questaaermazionepu`oessereprovatapartendodalladisuguaglianza|dg(x)| _n

i,j=1_gi(x)xj_2_1/2,usando(1.25)insiemeallacontinuit` adellederivataparzialidig.Siaorax B(x0). Alloraabbiamo[K(x) x0[ = [x T1(f(x) y) x0[ = [x T1(f(x)) + T1(y) x0[= [g(x) g(x0) + T1(y f(x0))[ [g(x) g(x0)[ +[T1(f(x0) y)[.PerilCorollariodelTeoremadelvalormedioesistez [x0, x]taleche[g(x) g(x0)[ |dg(z)|[x xo[,equindi[K(x) x0[ |dg(z)|[x x0[ +|T1|[f(x0) y[ 12 + |T1|.Indenitiva,sar`asucientescegliere0talecheperognix, x B(x0)siha(1.27) [f(x) f( x)[ M[x x[.Tale maggiorazione implicainparticolare che f `e iniettivae che f1`e continua.Precisamentef1verica(1.28) [f1(y) f1( y)[ 1M[y y[.54 6. TEOREMI DI INVERTIBILIT`ALOCALEEDELLAFUNZIONEIMPLICITALavericadi(1.27)siriconducenuovamenteallepropriet` adig:[x x[ = [g(x) + T1(f(x)) (g( x) + T1(f( x)))[ [g(x) g( x)[ +|T1|[f(x) f( x)[12[x x[ +|T1|[f(x) f( x)[,equindi [f(x) f( x)[ M[x x[conM=12T1

.Rimanedaprovarechelafunzioneinversaf1:f(B(x0)) B(x0)`edi classeCk. Proviamo che f1`e dierenziabile con derivate parziali continue (ovvero di classeC1). Peripotesisihaf(x) = f(x0) + df(x0)(x x0) + o([x x0[),einvertendolidentit` aprecedentecony= f(x)ey0= f(x0)siottienef1(y) f1(y0) = df(x0)1(y y0o([x x0[))= df(x0)1(y y0) df(x0)1(o([f1(y) f1(y0)[)).Dalla (1.28) sideduce che df(x0)1(o([f1(y) f1(y0)[)) = o([y y0[),e quindi f1`edierenziabilenelpuntoy0condierenzialedf1(y0) = df(x0)1.Poich`e il dierenziale pu`o essere rappresentato come la matrice delle derivate parziali,da questultima espressione si vede che la continuit`a delle derivate parziali di f1seguedallacontinuit` adi quelledi f. Analogodiscorsovaleperlaregolarit` asuperiore. Idettaglisonoomessi. Esercizio42. Siaf: R Rlafunzionef(x) =_x + x2sin_1/x_, x ,= 0,0 x = 0.Provareche:i)f`ederivabileintuttiipuntief

(0) = 1;ii)fnon `einiettivainalcunintornodix = 0;iii)MettereinaccordoifattiprecedenticonilTeoremadiinvertibilit`alocale.Soluzione. Usandoladenizionesicalcolaf

(0) = 1einoltreperx ,= 0f

(x) = 1 + 2x sin(1/x) cos(1/x).Neipuntixk=12k, k Z,k ,= 0,sihaf

(xk) = 0. Perx ,= 0laderivatasecondadif`ef

(x) = 2 sin(1/x) 2x cos(1/x) 1x2 sin(1/x),equindiperk > 0f

(xk) = 2xk< 0.1. TEOREMADI INVERTIBILIT`ALOCALE 55Ipunti xksonopunti di massimolocalestrettoequindi f non`einiettivainalcunintornodix = 0.Questi fatti non sono in contrasto con il teorema di invertibilit` a locale. La funzionef, infatti, non `e di classe C1in x = 0 in quanto il limite di f

(x) per x 0 non esiste.Esercizio43. Siaf: R2R2lafunzionef(x, y) = (x2y2, 2xy).i)Determinareil pi` ugrandeapertoA R2talechef siaundieomorsmolocalediclasseCsuA.ii)Stabiliresef`eundieomorsmosuA;iii)Dare esempi di insiemi aperti B A massimali su cui f`e un dieomorsmo.Soluzione. i)LamatriceJacobianadif`eJf(x, y) =_2x 2y2y 2x_,edunquedet Jf(x, y) =4(x2+ y2). SullinsiemeA=R2 (0, 0)il determinan-teJacobianononsi annullaedunqueperil Teoremadi invertibilit`alocalef `eundieomorsmolocale(diclasseC)suA.ii)f non`einiettivasuAinquantof(x, y)=f(x, y). Dunquef non`eundieomorsmosuA.iii) Un insieme aperto B A su cui f`e un dieomorsmo non pu` o contenere puntisimmetrici rispetto allaorigine. Fissato un punto (, ) R2cerchiamo delle soluzioni(x, y) R2del sistemadi equazioni f(x, y) =(, ) ecerchiamodelleopportunerestrizionisu(x, y)talichelasoluzionesiaunica. Ilsistemadiequazioni `ex2y2= , 2xy= .Dividiamolasecondaequazionepery. Perfarlooccorresupporrey ,=0. Si ottienex = /2ychesostituitanellaprimaequazionefornisce24y2 y2= .Riordinandoerisolvendoiny2sitrovanolesoluzioniy2= _2+ 22.Lasoluzionecolsegno vascartata. Lequazioneinyhaoraduesoluzioniopposte.Scegliamolasoluzionepositiva,ovverorichiediamoy> 0. Sitrovay= +_2+ 22.Dopoalcunicontisiottienealloraanchex = sgn() +_2+ 22.56 6. TEOREMI DI INVERTIBILIT`ALOCALEEDELLAFUNZIONEIMPLICITAIndenitiva, conlarestrizioney>0siamostati ingradodi trovareunasoluzione(x, y)unica. Quindi, sullinsiemeapertoB= (x, y) R2: y>0, il semipianosuperiore, la funzione f `e iniettiva e dunque un dieomorsmo. Un aperto che contienestrettamente B contiene necessariamente punti simmetrici rispetto allorigine. QuindiB`emassimale.2. TeoremasullafunzioneimplicitaSiaf: R2 Runafunzioneeconsideriamolequazionef(x, y)=0nellevaria-bili x, y R. Ci domandiamoquandotaleequazionedeniscaimplicitamenteunafunzioney=(x), ovverounafunzione: R Rtalecheil luogodegli zeri di fcoincidaconilgracodi:_(x, y) R2: f(x, y) = 0_= (x, (x)) R2: x R_.Ilteoremadellafunzioneimplicitafornisceunacondizionesucienteanch`equestoavvengalocalmente.Siano p, q N interi tali che p, q 1. Scomponiamo Rn= RpRq, con n = p+q.Indichiamoconx Rplavariabiledi Rpecony Rqlavariabiledi Rq. Dataunafunzionef : Rp RqRqchehaderivateparziali, deniamoleseguenti matriciJacobianeparzialifx=___f1x1. . .f1xp.........fqx1. . .fqxp___, matriceq p,eanalogamentefy=___f1y1. . .f1yq.........fqy1. . .fqyq___, matriceq q.Teorema2.1(del Dini). SianoA Rp Rquninsiemeaperto, (x0, y0) Aesiaf C1(A; Rq)unafunzionediclasseC1chevericaf(x0, y0) = 0 e det_f(x0, y0)y_,= 0.Alloraesistonoduenumeri , >0edesisteunafunzione C1(B(x0); B(y0))taleche:i)B(x0) B(y0) A;ii) (x, (x)) Rn: x B(x0) = (x, y) B(x0) B(y0) : f(x, y) = 0_;iii)Lafunzioneverica(x)x= _f(x, (x))y_1f(x, (x))x, x B(x0),dove/xindicalamatriceJacobianadi eadestrasi intendeunprodottodimatrici.2. TEOREMASULLAFUNZIONEIMPLICITA 57Dim. DeniamolafunzioneF: A RpRqF(x, y) = (x, f(x, y)), (x, y) A.Siccomef C1(A; Rq),risultaF C1(A; Rn). InoltresihaF(x0, y0) = (x0, 0). LamatriceJacobianadiF`eJF(x, y) =__Ip0f(x, y)xf(x, y)y__,edunquenelpunto(x0, y0) Asihadet(JF(x0, y0)) = det_f(x0, y0)y_,= 0.Per il teorema di invertibilit` a locale esiste > 0 tale che F C1(B(x0)B(y0); Rn)`e un dieomorsmo sullimmagine. In particolare, l ainsieme B= F(B(x0) B(y0))`e aperto e (x0, 0) = F(x0, y0) B. Dunque esiste > 0 tale che B(x0) B(0) B.IndichiamoconG: BAlafunzione inversadi F, G=F1C1(B; A), eindichiamoconG1, G2lecomponentidiGin Rped Rq,G = (G1, G2) RpRq.RisultaG1(x, y) = xey= f(x, G2(x, y)),infatti(x, y) = F(G(x, y)) = F(G1(x, y), G2(x, y)) = (G1(x, y), f(G1(x, y), G2(x, y)).Nellecoordinate(x, y), il luogodi zeri di f `edatodallequazioney =0. Questosuggerisceladenizione(x) = G2(x, 0), x B(x0).Risulta C1(B(x0); B(y0)). Proviamoluguaglianzainsiemisticaii).Perognix B(x0)sihaf(x, (x)) = f(x, G2(x, 0)) = 0,e quindi (x, (x)) _(x, y) B(x0) B(y0) : f(x, y) =0_. Questo provalinclusione.Proviamo linclusione opposta. Siano x B(x0) e y B(y0) tali che f(x, y) = 0.Allorasiha(x, y) = G(F(x, y)) = G(x, f(x, y)) = G(x, 0) = (x, G2(x, 0)) = (x, (x)),dacuisideducechey= (x).Perprovarelaermazioneiii), si derivarispettoadxlidentit` af(x, (x))=0,x B(x0),perotteneref(x, (x))x+f(x, (x))y(x)x= 0.Riordinandoeinvertendosiottienelatesi.Esercizio44. Siaf: R2Rlafunzionef(x, y) =___y(x2y2)x2+ y2, (x, y) ,= (0, 0),0 (x, y) = (0, 0).58 6. TEOREMI DI INVERTIBILIT`ALOCALEEDELLAFUNZIONEIMPLICITAi)Vericarechefhaderivateparzialiintuttiipuntieinparticolarechef(0, 0)y,= 0.ii)Vericare linsieme (x, y) (, ) (, ) : f(x, y) = 0_ non `e un gracodifunzioneperalcun> 0.iii)MettereinaccordoleaermazioniprecedenticonilTeoremadiDini.Esercizio45. Discutere lesistenza di soluzioni x, y, zRper il sistema diequazioni_x + ez+ yz sin(x) = 1zez+ sin(xyz) + y2x = 0.Esercizio46. Siaf: R3Rlafunzionef(x, y, z) = zexy+ xyez+ xyz.i)Provare che lequazione f(x, y, z) =0denisce intornoa0unafunzione = (x, y)diclasseC;ii)Provarechehain(0, 0)unpuntodisella.3. Massimieminimivincolati. MoltiplicatoridiLagrangeNelseguitosar` asempren 2.Definizione3.1. SianoMRnuninsieme, A Rnuninsieme apertoedf: A Runafunzione.i)Diciamo che un punto x0 MA `e un punto di minimo locale di fristretta(ovincolata)suMseesiste> 0talecheB(x0) Aef(x) f(x0) perognix M B(x0).ii)Diciamo che un punto x0 MA `e un punto di massimo locale di fristretta(ovincolata)suMseesiste> 0talecheB(x0) Aef(x) f(x0) perognix M B(x0).Neicasii)eii)diremochex0`eunpuntodiestremolocaledifsuM.LinsiemeM`etalvoltachiamatovincolo.Teorema3.2(Moltiplicatori di Lagrange). SianoA Rnuninsiemeaperto,fC1(A), edM= x Rn: h(x) =0, doveh C1(Rn)`eunafunzionecheverica h(x) ,=0perogni x M. Se x A M`eunpuntodi estremolocaledifsuM,alloraesisteunnumero R,dettomoltiplicatorediLagrange,talechef( x) = h( x).Dim. Siccome h( x) ,= 0possiamosupporresenzaperderedigeneralit` acheh( x)xn,= 0.Usianolanotazionex=(x

, xn) conx

Rn1exn R. Per il Teoremadellafunzioneimplicitaesistono, >0edesisteunafunzione C1(B( x

); B( xn))taleche_(x

, (x

)) Rn: x B( x

)_=_x B( x

) B( xn) : h(x) = 0_= M B( x

) B( xn).3. MASSIMI EMINIMI VINCOLATI. MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 59La funzione g C1(B( x

)),g(x

) = f(x

, (x

)),ha in x

un punto di estremo locale.Dunque,siha g( x

) = 0eprecisamente:g( x

)xi=f( x)xi+f( x)xn( x

)xi= 0, i = 1, ..., n 1.Daltraparte,dalTeoremadellafunzioneimplicitasappiamoche( x

)xih( x)xn+h( x)xi= 0, i = 1, ..., n 1.Scegliendoilnumero =f( x)xnh( x)xn R,dalleequazioniprecedentisiottiene f( x) = h( x).Esempio3.3. SiaA=(aij)i,j=1,...,nunamatrice n nsimmetrica, aij=ajiper ogni i, j =1, ..., n, eindichiamocon1 2 . . . ni suoi nautovalori.Proveremochemin|x|=1Ax, x) = 1e max|x|=1Ax, x) = n.Sianoh(x)= [x[2 1lafunzionedivincoloedf(x)= Ax, x). LasuperciesfericaM= x Rn: h(x) = 0 `ecompattaedunquefassumemassimoeminimosuM.Siax Munpuntoincui `eassuntoilminimo. Perilteoremadeimoltiplicatoridi Lagrangeesiste Rtaleche f(x)=h(x). Calcoliamolederivateparzialidif. Perk = 1, ..., nsihafxk=xkm

i,j=1aijxixj=m

i,j=1aij(ikxj + xijk) =n

j=1akjxj +n

i=1aikxi= 2n

j=1akjxj.Abbiamo usato il fatto che la matrice A `e simmetrica e il simbolo di Kronecker ij= 1sei = jeij=sei ,= j. Dunquesihailsistemadiequazioni_Ax = x[x[ = 1.Questoprovache`eunautovaloredi Aechex`euncorrispondenteautovettore.Proviamo che = 1. Sia xiun autovettore relativo allautovalore i, con i = 1, ..., ne [xi[ = 1. Allorasihaperognii = Ax, x) = f(x) f(xi) = Axi, xi) = i,equindi `eilminimodegliautovalori.Inmodoanalogosiprovalaermazionesulmassimodegliautovalori.Esercizio47. Sia0 p 2.i)Provare che esiste una costante 0 < Cp< tale che per ogni x, y R risulti[x[p[y[2p Cp(x2+ y2).ii)Calcolarelapi` upiccolacostanteCpcherendeveraladisuguaglianzaprece-dente.60 6. TEOREMI DI INVERTIBILIT`ALOCALEEDELLAFUNZIONEIMPLICITAEsercizio48. Siconsideriunparallelepipedoin R3divolumeV edisupercielateraleS. ProvarecheV _S6_2/3,emostrarechesihauguaglianzaesattamentequandoilparallelepipedo `euncubo.CAPITOLO7Sottovariet`adi Rn1. Sottovariet`aeparametrizzazioniDefinizione1.1(Sottovariet`a).Un insieme M Rn`e una sottovariet`adieren-ziabiledi RndiclasseCk, k 1, edidimensioned, con1 d n 1, seperogni x Mesistono> 0edf Ck(B( x); Rnd)taliche:i)B( x) M= x B( x) : f(x) = 0;ii)rango(Jf(x)) = n dinognipuntox B( x)(ipotesirangomassimo).Lequazionef= 0sidiceequazionelocalediMinunintornodi x. Lafunzionefsidicefunzionedenitente(locale)perM.Esempio1.2. Sia Rn= Rd Rndcond 1edn 2. Sianopoi A Rdininsiemeapertoe Ck(A; Rnd),k 1. LinsiemeditipogracoM RnM= (x, (x)) Rn: x A`eunasottovariet`adierenziabiledi RndidimensionedeclasseCk. Infattiunequa-zione(ineettiglobale)perM`ef= 0conf: A RndRndf(x, y) = y (x).SiosservichelamatriceJacobianadifJf(x, y) =_J(x) Ind_harangomassimoinognipunto.Esempio1.3. Nel casod =n 1, linsieme MxRn: f(x) =0, dovef Ck(Rn)`eunavariet`adi dimensionen 1serangoJf(x)=1perogni x M.Talecondizioneequivalearichiedereche f(x) ,=0per ogni x M. Msi diceipersuperciedi Rn.Esempio 1.4. Nel caso di dimensione generale, lequazione f =0 con f Ck(Rn; Rnd) `eunsistemadin dequazioni___f1= 0...fnd= 0.LipotesicherangoJf(x)=n dsignicachelerighedellamatriceJacobianasonolinearmenteindipendenti,ovverocheivettori f1(x), ..., fnd(x)sonolinearmenteindipendenti perogni x M. Inparticolare, fi(x) ,=0perogni i =1, ..., n dedunquelequazionefi=0denisceunaipersupercieMi Rn. Richiederechei gradienti sianolinearmenteindipendenti signicacheleipersuperci M1,...,Mndsi intersecanoinmodotrasversale e denisonouninsieme M=M1 ... Mndd-dimensionale.6162 7. SOTTOVARIET`ADIRnDefinizione1.5(Parametrizzazione). SiaX Rnuninsieme. Unafunzione: A Rn, A Rdinsiemeaperto, `eunaparametrizzazione di Xdi classeCk,k 1,erangod 1, 2, ..., n 1se:i) Ck(A; Rn);ii) : A X`einiettivaesuriettiva;iii)rango(J()) = dperogni A;iv)1: X A `econtinua.DiremoinquestocasocheX`eparametrizzatoda.Esempio1.6. SianoA = (, 2) Re : A R2lafunzione(t) =_(0, t) t (, 0),(cos t 1, sin t), t [0, 2).Lafunzionevericalepropriet`ai),ii)eiii)conk=1ed=1nelladenizionediparametrizzazione,ma non la propriet`a iv). Infatti,detto S= (A) is sostegno dellacurva,illimitelim(x,y)(0,0),(x,y)S1(x, y)nonesiste.Esempio1.7. SiaA Runintervalloapertoe:A Rnunacurvadi classealmenoC1. Richiedere che rango(J(t)) =1per ogni t Aequivale adire che

(t) ,= 0perognit A,ovverochelacurva `eregolare.Teorema1.8. SianoM Rn,k 1e1 d n 1. Leseguentiaermazionisonoequivalenti:A)M`eunasottovariet` adierenziabiledi RndidimensionedeclasseCk;B)Perogni puntox Mesister>0talecheM Br(x)`eparametrizzabileconunaparametrizzazionediclasseCkerangod.Dim.1A)B). SiaM Rnunavariet` adi classeCkedimensionedessiamounpunto xM. Per ipotesi esistonor >0edf Ck(Br( x); Rnd) tale cheM Br( x) = f =0eJfharangomassimon dsutaleinsieme. Posto =(x1, ..., xd)ey= (xd+1, ..., xn),possiamosenzaperderedigeneralit` asupporrechesuM Br( x))siabbiadet_fy_,= 0.Peril Teoremadi Dini esistono, >0edunafunzione Ck(B(); B( y)), con x = (, y),talichex B( x) B( y) : f(x) = 0 = (, ()) : B().Lafunzione: B() Rn, ()=(, ())`edi classeCkeparametrizzaM B() B( y). Infatti, `e iniettiva e suriettiva sullimmagine, la matrice Jha rangomassimod,elafunzioneinversa1verica1(, ()) = edunque `econtinua.B)A).Sia:A Rn, Aapertodi Rd, unaparametrizzazionediclasseCkdiM Br( x), con x Medr>0. Peripotesi, lamatriceJacobianaJ(y)harango1Questa dimostrazione `e esclusa dal progrmma nale del corso.2. SPAZIOTANGENTEESPAZIONORMALE 63massimodperogni y A. Conlanotazione=(1, 2) Rd Rnd, possiamosenzaperderegeneralit` asupporrechesuAsiabbiadet_1_,= 0.Peril Teoremadi invetibilit` alocaleesiste>0taleche1 Ck(B(); Rd)`eundieomorsmo,con= 1( x).LinsiemeB= 1(B()) `eaperto,perch`e1`eundieomorsmo. Consideriamolafunzioneinversa11 Ck(B; Rd).Osserviamoiseguentifatti:i)Perognix Bsiha(11()) = (1(11()), 2(11()) = (, 2(11()).Questosuggeriscedidenirelafunzione() = 2_11()_, Bii)Risultacertamente Ck(B; Rnd).iii)Siccome `e aperta,linsieme (11(B)) M`e aperto relativamente a Mecontieneilpunto x. Quindiesiste> 0talecheM B( x) (11(B)).iv)DalladiscussioneprecedenteseguecheesisteunapertoB0 BtalecheM B( x) =_(, ()) Rn: B0_.LatesisegueperleconsiderazionifattenellEsempio1.2.2. SpaziotangenteespazionormaleDefinizione2.1(Spazio tangente). Sia Muna sottovariet` a dierenziabile di Rndi dimensione d. Lospaziotangente aMinunpuntox M`e linsieme TxMcostituito da tutti i vettori v Rntali che esiste una curva di classe C1: (, ) Mtaleche(0) = xe (0) = v.Teorema2.2. SiaMunasottovariet` adierenziabile di Rndi classe Cke didimensioned, siax MunpuntossatoesiaTxMlospaziotangenteaMinx.Allora:i)Sef= 0 `eunequazionelocaleperMinunintornodix,sihaTxM= Ker df(x) = v Rn: df(x)v= 0_.ii)Se: A Rn`eunaparametrizzazionelocaledi M, A Rdapertoex = ()con A,alloraTxM= Imd() =_d()w Rn: w Rd_.Dim. i) Proviamoche TxMKer df(x). SiavTxMe consideriamo :(, ) Mdierenziabile tale che (0) = x e (0) = v. Poich`e f= 0 `e unequazionelocaleperMintornoax,sihaf((t)) = 0perognit (, ). Dallaregolaperladerivatadellafunzionecompostasiottiene0 =ddtf((t)) = df((t)) (t),epert = 0sitrovadf(x)v= 0,ovverov Ker df(x).64 7. SOTTOVARIET`ADIRnProviamolinclusioneKer df(x) TxM. Siav Rntalechedf(x)v= 0. SidevecostruireunacurvadiclasseC1:(, ) Mtaleche(0)=xe (0)=v. Peripotesi, il rango di df(x) `e nd. Con la notazione (, y) RdRnd, non `e restrittivosupporrecherisultidet_fy_,= 0inunintornodi x=(, y) M. Per il Teoremadi Dini esisteunafunzione:B() B( y)diclasseCk,, > 0,taleche (, ())parametrizzalocalmenteMcon(, ()) = xeJ() =()= _f(, ())y_1f(, ()).Se v =(v1, v2) Rd Rnd, allora+tv1B() per t (, ). Lacurva(t) = ( + tv1, ( + tv1))verica(0) = (, ()) = x,einoltre (0) =_v1, ()v1_.Peripotesidf(x)v= 0ecio`ef(x)v1 +f(x)yv2= 0,dacuisiricavav2= _f(x)y_1f(x)v1=()v1.Questoprovache (0) = v. LaprovacheTxM= Ker(df(x)) `econci`oterminata.SiccomeKerdf(x) `eunospaziovettoriale, ancheTxM`eunospaziovettoriale.Inoltre la sua dimensione `e dim(TxM) = dim(Kerdf(x)) = dim(Rn)dim(Imdf(x)) =n (n d) = d.ii) Siaunaparametrizzazione di Mintornoax =() e supponiamochev=d(x)wperuncertow Rd. Sisceglielacurva(t)=( + tw)dimodoche(0) = () = xe (0) = d()w = v. QuestoprovacheImd() TxM.Daltraparte d() harangode dunque Imd() `e unospaziovettoriale didimensione d. Ma TxMha dimensione d, e dunque deve necessariamente essereImd() = TxM.Esempio2.3. SiaM= f= 0unaipersupercie,conf C1(Rn)e f ,= 0suM. Lospaziotangenteinunpuntox M`eTxM=_v Rn: f(x), v) = 0_.Dunque,ilvettore f(x) ,= 0 `eortogonaleaTxM. IlvettorenormalizzatoN(x) =f(x)[f(x)[, x M,si dicecamponormale allasupercie. Localmente, il camponormale`edenitoinmodounicoamenodelsegno.2. SPAZIOTANGENTEESPAZIONORMALE 65Esempio2.4. SiaM= f= 0unavariet` adidimensioned 1, ..., n 1,conf C1(Rn; Rnd)funzionedeniente, f=(f1, ..., fnd). LospaziotangenteaMinunpuntox `eTxM=_v Rn: f1(x), v) = ... = fnd(x), v) = 0_.Dunquei vettori f1, ..., fnd, lerighedellamatriceJacobiana, sonolinearmen-te indipendenti e sonoortogonali allospaziotangente. Lospaziovettoriale (n d)dimensionale generato da f1(x), ..., fnd(x) si dice spazionormalealla variet`aMnelpuntox M.Esempio2.5. Sia C1(A), A Rnaperto, unafunzionecongracoM=(x, (x)) Rn+1: x A. UnafunzionedenienteperM`ef(x, xn+1)=xn+1 (x). LospaziotangenteaMnelpuntop = (x0, f(x0)) M`eTpM= v Rn+1: f(p), v) = 0_,dovef(p) =_(x0), 1_, x0 A.Ivettoriin Rn+1vi=_ei, (x0)xi_, i = 1, ..., n,sonolinearmenteindipendentievericanovi TpM. Dunqueformanounabaseperlospaziotangente:TpM=_n

i=1xivi: x1, ..., xn R_=__x, (x0), x)_ Rn+1: x Rn_.Dunque lo spazio tangente `e il graco della funzione g: RnR, g(x) = (x0), x).Di conseguenza, lospaziotangenteanepassanteperil puntop`eil gracodellafunzioneh(x) = (x0) +(x0), x x0).Ringraziamenti.Ringraziotuttiglistudentichemihannosegnalatotantipiccolierrori.R.Monti