Luigi CerliencoNumeri e poco altroINDICECap. 1 Elementidilogicamatematicaediteoriadegliinsiemi1.1 Enunciati e predicati pag. 11.2 Connettivi21.3 Come denire gli insiemi51.4 Relazione di inclusione. Operazioni tra insiemi81.5 Applicazioni10Cap. 2 Lesuccessiveestensionidelconcettodinumero.I.Dainaturaliagliinteri2.1 Operazioni sui naturali152.2 Conosciamo gli interi?172.3 Denizione dellinsieme Z degli interi192.4 Operazioni sugli interi: la somma212.5 Operazioni sugli interi: il prodotto232.6 Relazione dordine242.7 Potenze con esponente intero25Cap. 3 Insiemequoziente3.1 Relazioni di equivalenza273.2 Esempi283.3 Il concetto di numero cardinale303.4 Ancora sul passaggio al quoziente32Cap. 4 Lesuccessiveestensionidelconcettodinumero.II.Dagliinteriairazionali4.1 Denizione di numero razionale344.2 Il campo Q dei razionali354.3 Relazione dordine364.4 Potenze con esponenti razionali374.5 Frazione generatrice384.6 Relazione dordine su Q394.7 Numerabilit`a di Q40Cap. 5 Lesuccessiveestensionidelconcettodinumero.III.Dairazionaliaireali5.1 Limiti di Q435.2 Sulle equazioni quadratiche455.3 Sezioni di Dedekind465.4 Teorema di completezza di Dedekind50i5.5 Denizione cantoriana di numero reale pag. 505.6 Potenze con esponenti reali525.7 Potenza del continuo53Cap. 6 Propriet`adegliinteri. IlTeoremafondamentaledellaritmetica6.1 Lanello Z degli interi566.2 Divisione euclidea576.3 Massimo comun divisore Algoritmo euclideo596.4 Il teorema fondamentale dellaritmetica616.5 Il crivello di Eratostene64Cap. 7 Teorieassiomatiche. GliassiomidiPeano7.1 Il metodo assiomatico667.2 Il punto di vista di Euclide687.3 La scoperta delle geometrie noneuclidee697.4 Il punto di vista di Hilbert727.5 Gli assiomi di Peano73Cap. 8 Classideirestimodulon8.1 Denizioni e prime propriet`a778.2 Congruenze algebriche. Il Teorema di Eulero-Fermate il Teorema di Wilson848.3 Unimportante applicazione:la crittograa a chiave pubblica918.4 Equazioni diofantee93Cap. 9 Lesuccessiveestensionidelconcettodinumero.IV.Dairealiaicomplessi9.1 Denizioni e prime propriet`a989.2 Il piano di Gauss. Rappresentazione esponenziale deicomplessi100Cap. 10 Polinomiinunaindeterminata.IlTeoremafondamentaledellalgebra10.1 Denizioni e prime propriet`a10510.2 La divisione euclidea10710.3 Il Teorema fondamentale dellalgebra11010.4 Massimo comun divisore e minimo comune multiplo11110.5 Formule di GirardNewton11210.6 Radicin-esime dellunit`a11310.7 Formule risolutive delle equazioni algebriche digrado minore di 5114ii10.8 Cenni alle equazioni algebriche di grado 5 pag. 11910.9 Risultante e discriminante12110.10 Cenni ai sistemi di grado superiore al primo125Cap. 11 Elementidicombinatoria11.1 Due parole sulla combinatoria12911.2 Il gruppo simmetricoSn 12911.3 Numeri di Bell e numeri di Stirling136Cap. 12 Serieformali12.1 La nozione di serie formale13912.2 Funzioni generatrici14212.3 Equazioni alle dierenze145Appendice 1 CenniallestrutturealgebricheastratteA1.1 Denizioni ed esempi di gruppo153A1.2 Denizioni ed esempi di semigruppo e di monoide155A1.3 Denizioni ed esempi di anello, corpo, campo156A1.4 Nozione di omomorsmo di gruppi, anelli, campi157A1.5 Gruppo e anello quoziente158A1.6 Spazi vettoriali159A1.7 Spazio duale164Appendice 2 SulTriangolodiTartagliaedintorni1 Due parole dintroduzione1692 Il Triangolo di Tartaglia1713 La successione di Fibonacci1764 Il numero aureo1785 Frazioni continue1796 Equazioni alle dierenze182iiiivCap. 1Elementi di logica matematicae di teoria degli insiemi 1.1 Enunciati e predicatiUn enunciato `e unaermazione sensata, cio`e unaermazione che sia veraofalsa(1). Dinormauseremoletterelatineminuscolep, q, . . .perdenotaregli enunciati. Il fattochesiaveroochesiafalsovienedettovalorediverit`a dell enunciato in questione e denotato simbolicamente con le lettereV (vero)e F(falso), otalvoltacon1(vero)e0(falso). Pu`oaiutarelacomprensionequalchesempliceesempio: leaermazioni 6`eunnumeroprimo, nello spazio ordinario esistono coppie di rette non appartenenti aduno stesso piano, la luna `e una palla di burro sono tutti enunciati. Il terzoesempiopu`oforseapparirebizzarro. Ilfatto `echenellattualecontesto non siamo minimamente interessati al contenuto degli enunciati, ma soloal loro valore di verit`a. Condiamo nel fatto che questa aermazione verr`achiarita da quanto contenuto nei paragra seguenti.Nonsonoinveceenunciatiaermazioni deltipoil numerointerox`eprimo oppure leretteredsdellospazioordinariosonosghembe,aer-mazioni che, contenendo delle variabilix, r, s, non hanno un valore di verit`aunivocamente determinato. Poiche tuttavia esse ne acquistano uno ogni voltache a quelle variabili si attribuisca un valore che sar`a un particolare interoper x ed una determinata coppia di rette per r ed s verranno ugualmentepreseinconsiderazione. Aermazionidiquestotiposonodettepredicati;perdenotarli useremonotazioni quali P(x), Q(r, s),. . . Apropositodegliesempi precedenti, osserviamocheleaermazioni x`eprimooppureredssonosghembepurinapparenzacos` simili aquelleinassenzadelladeterminazione(magariimplicita)delcampodivariabilit`aperx, res, non sono predicati giacche x potrebbe non essere un numero e r ed s dellerette, nel qual caso quelle due aermazioni sarebbero prive di senso.(1)Ilchenonsignicachenoidobbiamonecessariamenteessereingradoneancheinlinea di principio di decidere se sia vera o sia falsa. Ad esempio spesso non `e facilestabilireseundatonumerorealesiaomenorazionale. Eppurelaermazione`eunnumerorazionale`esicuramenteoveraofalsaequindi`eunenunciato.1Unpredicatopu`oesseretrasformatoinunenunciatomediantelusodi unoopi` uquanticatori. Neesistonodi duetipi: il quanticatoreuniversale per tutti gli. . . ed il quanticatoreesistenziale esiste un. . .. Vengono denotati rispettivamente con e . La loro sintassi si desumefacilmentedai seguenti esempi: (x)P(x) (esisteunxtaleche P(x)),(r)Q(r, s) (per tutti glir si haQ(r, s)), (r)(s)Q(r, s) (per tutti glir e-siste un s tale che Q(r, s)). Nei predicati P(x), Q(r, s) le variabili x, r, s ven-gonodettevariabili libere,mentre,acausadellazionedeiquanticatori,sonovincolatein(x)P(x)ein(r)(s)Q(r, s); nalmentein(r)Q(r, s)la variabiles `e libera edr `e vincolata. Le variabili vincolate vengono anchedette mute, giacche il valore di verit`a dellaermazione (predicato o enunci-ato) in cui compaiono non dipende da loro. 1.2 ConnettiviGrossomodo, possiamodirechei connettivi svolgono, nellambitodellalogica formale, il ruolo svolto dalle congiunzioni grammaticali nei linguagginaturali(2). Essi perlappuntoconnettonoinsiemeunoopi` uenunciati (opredicati) per ottenereunnuovoenunciato(risp:. predicato). Poichecome abbiamo visto di un enunciato interessa solo il suo valore di verit`a,ogni connettivo sar`a univocamente determinato non appena si sia indicato i)se esso `e unario, binario, ternario, . . . cio`e se esso agisce su uno, due, tre,. . . enunciati per volta e ii) la sua tavola di verit`a, cio`e la descrizione com-pleta dei valori di verit`a che competono allenunciato composto in corrispon-denza delle possibili attribuzioni di valori di verit`a agli enunciati componenti.Quanto segue chiarir`a meglio queste aermazioni.Innanzi tutto, vediamo lunico connettivo unario che merita attenzione,la negazione(leggi: non) che associa a p la sua negazione p (nonp ).`E facile immaginare che p sia falso sep `e vero, e viceversa. Ci interessanopoi quattro connettivi binari:1) la congiunzione che associap q (leggi: p eq) ap eq;2) la disgiunzione che associap q (leggi: p oq) ap eq;3)limplicazionesemplice cheassociap q(leggi: sepalloraqoppure p implicaq) ap eq;4)ladoppiaimplicazioneoequivalenzalogica cheassociap q(leggi p se e solo seq oppure p implica in doppio modoq) ap eq.(2)Incontrapposizioneailinguaggi formali, qualeappuntoquellodellamatematica.`Eproprioperrimarcaretaledistinzione,nonchelamaggiorprecisionedelsecondo,checonvieneintrodurresimboliadhocquali , ,etc.inluogodinon,e,etc.2Questi connettivi sono descritti dalle tavole di verit`ap pV FF Vp q p q p q p q p qV V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V Vche, per ciascunodi essi, indicanoincorrispondenzadi ogni possibileattribuzione(3)di valori di verit`aallacoppiap, qil valoredi verit`adaattribuire allenunciato ottenuto.Arigore, inpropositonondovrebbeesserci altrodadire: tuttoci`ocheoccorresaperestal`(4). Tuttavianon`emaleaggiungerequalchecon-siderazioneper convincereil lettoredellasostanzialeadeguatezzadi taledescrizioneformalealluso(talvoltainverountantinovago)chedellecor-rispondenti congiunzioni grammaticali si fa nei linguaggi ordinari.La negazionee la congiunzione corrispondono perfettamente allusodi non e di e nel linguaggio quotidiano, per cui passiamo direttamentealla disgiunzione . Qui occorre chiarire che, almeno in italiano, luso di o`eambiguo, giacchepu`oindicaretantoil latinovelcui propriamentecorrispondeil nostroconnettivo , lacui notazionerichiamaproprioqueltermine quanto lesclusivo aut . . . aut . . ., cui invece non si usa dedicareun particolare simbolo(5).Anche limplicazione semplicep q, benche non si discosti dalluso delcorrispondentesepalloraq, richiedequalchechiarimento. Lostudentetrovaspessodicolt`aadaccettarechep qdebbaconsiderarsiverasep`e falsa (tanto pi` u quandoq `e vera). In eetti, questa `e una situazione pocofrequentenei linguaggi ordinari, maperaltrocomunissimainmatematica.Per convincersi della ragionevolezza dei valori di verit`a indicati nella tavola,riettiamo un attimo sullenunciato(6)Se T`e un triangolo, allora la somma(3)Si osservi che tali possibilit`a sono quattro, e che sarebbero otto nel caso di connettiviternarie. . .2ninquellodiconnettivin-ari.(4)Invitiamocaldamentelostudenteamemorizzarerapidamenteedenitivamenteilcontenutodi tali tavole di verit` a, che costituisconounostrumentodi cui faremocontinuamenteusonelseguito.(5)Qualoradovesseservire, si sopperisceatalemancanzaconlusodegli altri. Si pu`odimostrarecheci`ovaleancheperglialtri11connettivibinaripossibili(senehannoinfatti16intutto: losiprovi!). autpautqsirendecon(p q) (p q).(6)Senonsi vuoleallargareil discorsoai predicati, si pu`origuardareil simboloTnoncomeunavariabilemacomeil nomedi unabendeterminataperquantoanoiignotagurageometrica.3degliangoliinternidi Td`aradianti. Tuttisicuramentericonoscerannoinquestoenunciatounteoremadellageometriaeuclideaelementareenonavrannoquindidicolt`aaconvenirechesitrattadiunenunciatovero. Etale rester`a, anche quando Tsia, ad esempio, un quadrato, il che ovviamentenon ci autorizzer`a ad aermare che La somma degli angoli interni diTd`aradianti. aermazioneche, sfruttandoquel teorema, possiamodedurresolo se `e vero che T`e un triangolo.Qui viene a proposito osservare che gli enunciati dei teoremi della mate-maticasonotipicamentedellaformap q. Quando, peraltravia, si ri-conoscalaverit`adi psipu`oalloraapplicarelaregoladinferenzadettaconterminelatino(7)Modus ponensededurre q. Tuttoci`osi esprimetramite lo schemapp qqche signica appunto: dap e dap qsi deduceq.Ritornando ai nostri connettivi, va da se che essi possono essere utilizzatiper costruire nuovi enunciati (magari molto complessi). Ad esempio__(p q)_q r_ (p q).Siamocerti chelusodelleparentesi risulti perfettamentechiaro. Daltraparte, comegi`asi vedenel pursempliceesempioprecedente, taleusopu`oesserepiuttostoingombrante. Losipu`osnellireintroducendounaconven-zioneanalogaaquellapercui ab + cvaintesacome(ab) + cenoncomea(b + c). Secondotaleconvenzionesi sistemanoi connettivi nel seguenteordinegerarchico, apartiredal pi` uforte(cio`equellocheseparadi pi` u)no al pi` u debole: , , , , . Cos` lesempio precedente diventa(p q) q r (p q)conunbel risparmiodi parentesi. Volendo, avremmopotutorisparmiareanche sui connettivi; si pu`o infatti dimostrare che si possono tutti denire intermini(8)dei solie (oppuree ). Anche dei quanticatori ne sarebbebastato uno solo, in quanto si ha(x)P(x) (x)P(x)o, equivalentemente,(x)P(x) (x)P(x).(7)Taleterminologiarisaleailogicimedievali.(8)Cio`e: facendoesclusivamenteuso.4In altri termini, uno dei due quanticatori pu`o essere riguardato come unab-breviazione di unespressione pi` u complessa nella quale compare laltro. Nellostesso ordine di idee, si fa talvolta uso della notazione (!x)P(x) da leggersiesiste uno ed un solo x tale che P(x). Anchessa, ovviamente, `e esprimibilein termini degli altri connettivi:(!x)P(x) (x)P(x) (x)(y)_P(x) P(y) x = y_. 1.3 Come denire gli insiemiDiamoperscontatoilconcettodi insieme. Inveroessorichiederebbeunaattenta discussione che per`o sarebbe probabilmente incomprensibile per unostudentecheappenainiziaadaacciarsiallesottigliezzedellamatematica.Per questo motivo, ed anche perche in fondo lassenza di tale discussione nonpreclude la comprensione del seguito, preferiamo rimandarla a tempi migliori.Aggiungiamo qui soltanto che appare ragionevole sostenere che la matematica`e nata la prima volta che una mente pensante ha isolato un insieme di oggettidal suo contesto. Ci si renda conto che questa `e unastrazione lastrazioneprimordiale, appuntogiacchequellinsiemeinquantotalenonesisteinnatura; ci`o che esiste, invece, sono i suoi elementi, non (gi`a) separati per`o datutto il resto.Ungenericoinsiemevienesolitamentedenotatoconunaletteralatinamaiuscola,ades. A, B, C, . . . , X, Y, . . .mentresiusanoletterelatineminu-scole a, b, c, . . . , x, y, . . . per denotare gli elementi di un insieme. Il fatto cheun elementoa appartenga ad un insiemeA si esprime con la notazionea A(leggi: a appartiene adA oppure a `e un elemento diA). Se, viceversa, a nonappartiene adA, si scrivea , A .Se, come abbiamo visto, ci siamo guardati bene dal denire il concetto (ge-nerale) di insieme, ed anche, aggiungiamo ora, quello di relazione di apparte-nenza chepurediamoperscontato(9),dicontrovaprecisatocongrande(9)Quantoneabbiamodettopocopi` usopranoneraunasuadenizionemasemplice-mentelaprecisazionedellanotazionecorrispondente. Tuttaquestacuraadevitaredi caderenellatrappoladi cercaredi denirei concetti di insiemeedi relazionediappartenenza`emotivatadal fattocheessi sonoconcetti primitivi dellateoriaassiomaticadegli insiemi,edinquantotalidenitiimplicitamentedagliassiomidellateoria. Masuquesti aspetti fondazionali cheperaltroverrannoripresi nelCap.7e poi denitivamente chiariti soloincorsi pi` uavanzati per il momentoabbiamodettoperntroppo.5chiarezza (anche perche in merito non `e raro trovare scritti degli spropositi)come sia possibile denire particolari insiemi. Un primo modo il pi` u sem-plice, ineetti, ancheseraramentepraticabileconsistenellelencareglielementi dellinsieme considerato. Una denizione di questo tipo viene dettadenizione estensiva. In questo caso lelenco degli elementi `e racchiuso daparentesi grafe. Ad esempio lespressioneA := 3, 5, , +sta ad indicare che linsiemeA `e denito come quello(10)i cui elementi sonoesattamente i numeri 3, 5, ed il simbolo +. Va notato che lordine in cuigli elementi sonostati elencati nonhaalcunaimportanza, comepurechenon ha alcun senso contare pi` u volte uno stesso elemento(11). Questo fatto siesprime, a livello formale, tramite il cosiddetto assiomadiestensionalit`ache precisa che due insiemi A e B sono uguali se e solo se hanno esattamentegli stessi elementi; in formule:A = B(x)_x A x B_.Come si `e osservato pi` u sopra,non sempre `e possibile dare unadenizioneestensiva; ci`opu`odipenderedaragioni diverse. Adesempio, selinsiemein questione ha un numero innito di elementi, chiaramente non `e possibileelencarli tutti (in tempi niti, che, ahinoi!,son quelli che ci sono stati con-cessi). Vedremopi` uavanti chevi sonoanchealtri motivi percui nonsipossa utilizzare una denizione estensiva. In tali casi bisogna far uso di unadenizionedi tipointensivo, cio`efarricorsoadunapropriet`aP(x)checaratterizzituttiesoliglielementidellinsiemeAcuisiamointeressati. Siscrive alloraA := x[ P(x) ,formulachesilegge: A`elinsiemedituttigli xpercuivalelapropriet`aP(x). Ovviamente si hax AP(x) .Qui occorre subito chiarire due aspetti essenziali. Innanzi tutto, va precisatocheglioggetti xconsiderativengonopresitraquellichefannopartediunambitoUche, senonlosi`eesplicitato, deveesserdeterminatoimplicita-mentedal contestonel qualeci si `eposti. Adesempio, sesi stafacendo(10) `Equestoilsignicatodelsimbolo:=chesileggeugualeperdenizione.(11)Ci`ovalenel casosi abbiaachefareconinsiemi, cheinveceperaltretotalit`alefamiglie,adesempiopu`oaversensoilfattocheunelementocompaiapi` uvolte.6dellaritmeticaUsar`alinsieme Zdeinumeriinteri, seinvecesistannodi-scutendo questioni geometriche U potrebbe essere linsieme delle gure piane.Il secondo aspetto riguarda la propriet`a P(x) di cui si fa uso; infatti non ognipropriet`a P(x) `e ammessa: occorre richiedere che P(x) sia un predicato, cio`eche, per ogni elementox U,P(x) sia sicuramente vera o falsa, escludendoquindi tutte quelle propriet`a che, almeno per qualchex, sono prive di senso.Adesempionel casoincui Usialinsiemedellegurepiane, lapropriet`axhaunperimetrougualea1, amenochenonsiaaccompagnatadaul-terioriprecisazioni, nondeniscealcuninsiemepercheesistonodellegureper le quali non si pu`o parlare di perimetro. Per altro verso va ribadito cheaermarecheP(x)deveesseresicuramenteveraofalsaperogni x Unon signica aatto come purtroppo talvolta capita di sentire o di leggerecheperogniassegnatox U, noisisappiaeettivamentedecidereseP(x) `e vera o `e falsa(12). Si consideri ad esempio la propriet`a x `e un alpinocaduto nella Campagna di Russia durante la II Guerra Mondiale (oraU`ead es. linsieme di tutti gli uomini); non v`e dubbio che, qualunque sia luomox, esso o `e un alpino caduto nella Campagna di Russia durante la II GuerraMondiale oppure no, e pur tuttavia vi sono sicuramente dei casi di alpini di-spersi in quelloccasione per i quali non si pu`o esser certi se siano morti o nonsi siano invece creati una nuova vita in Unione Sovietica. Pertanto linsiemedegli alpini caduti nella Campagna di Russia durante la II Guerra Mondiale`e denito correttamente anche se per qualche uomo non sappiamo deciderese gli appartenga oppure no(13). Osserviamo pure che in casi di questo tipolinsiemeinquestione, puressendonito, nonammetteunadenizionee-stensiva. Va sottolineato che lo stesso pu`o avvenire addirittura per insieminiti decidibili; ad es. per linsieme x[ x5+a4x4+ +a1x+a0 = 0, chepur `e decidibile e nito. Infatti in generale non esiste un algoritmo per elen-care i suoi elementi. Di contro, ogni insieme ammette sempre una denizioneintensiva: assegnato infattiA tramite una denizione estensivaA := a1, a2, . . . , ansi ha pureA = x[ x = a1 x = a2 . . . x = an .Utilizziamo subito quanto detto pi` u sopra per denire un particolare insiemedusoassai frequente, linsiemevuoto , lacui accettazionesorespessodi resistenze psicologiche simili a quelle che hanno accompagnato lo zero nel(12)Insiemisoddisfacentiaquestacondizionevengondettidecidibili,eindecidibiliglialtri.(13)Inquestocasoci`osuccede per motivi pratici, maoccorre tener presente che, neicasi che interessano la matematica, limpossibilit`a di decidere pu`o essere teorica, cio`erelativaallanaturastessadeglioggetticonsiderati.7corso della sua storia. Contrariamente a quanto qualcuno `e forse portato acredere, sia in un caso che nellaltro non si tratta del nulla. Linsieme vuoto, per quanto particolare, `e purtuttavia un insieme soggetto alle stesse regoledituttiglialtri. Seciconvincepocodenirlocomeuninsieme(ineetti:lunicoinsieme)privodi elementi, possiamofaruso(tralealtrepossibili)della denizione formale seguente: :=x[ x ,= x.Siccomelapropriet`ax ,=x`e, perogni x, sicuramenteveraofalsa(ineetti `e sempre falsa), denisce correttamente un insieme, che per lappuntorisulta privo di elementi.Un altro tipo di insiemi particolari sonoquelli che contengono un soloelemento, cio`e quelli della forma a; un insieme di questo tipo viene dettosingoletto. Nonbisogna confondere ilsingoletto a con lelementoa chegli appartiene. Ricordando che due cose sono uguali se e solo se ogni aer-mazionevalidaperluna `evalidaancheperlaltra,possiamoosservarechead esempio laermazionex a `e vera sex `ea, `e invece falsa sex `e a;ancora,`ecertamentecorrettoaermareche acontieneunsoloelementomentre in generale la stessa aermazione `e priva di senso se riferita ada. 1.4 Relazione di inclusione. Operazioni tra insiemiSi dice che un insiemeA `e un sottoinsieme o una parte dellinsiemeBoanche cheA `e incluso inB e si scriveA B quando ogni elementodiA `e anche elemento diB:A B(x)_x A x B_.SeA BeA ,=Bsi parladi inclusionepropriaesi usalanotazioneA B. Osserviamo che la relazione di inclusione `e una relazionei) riessiva: A A,ii) antisimmetrica: seA BeB A alloraA = Beiii) transitiva: seA BeB CalloraA C.Va anche notato che, qualunque sia linsiemeA, si ha A;lasciamo allostudenteladimostrazionedi questofatto. Linsiemeformatocontutti isottoinsiemi di undatoinsiemeAvienedettoinsiemedelleparti di Aedenotatocon T(A). Si osservi chesi ha T(A), A T(A)mentre,seA ,= , A , T(A); similmenteperogni a Asi ha a T(A)maa , T(A). Si invitalostudenteaprovarecheseuninsiemenitoAcontienen elementi allora il suo insieme delle parti T(A) ne contiene 2n.8Leoperazionetrainsiemi (pi` uprecisamente: trai sottoinsiemi di undato insieme) che vogliamo denire sono per ora(14)solo cinque: una unaria,il passaggio al complementare (A e quattro binarie(15),lunioneA B,lintersezioneA B, il prodottocartesianoABe la dierenzain-siemisticaA B.SeA `e un sottoinsieme di un insiemeU,linsieme di tutti gli elementidiUche non appartengono adA viene detto complementare di A inUedenotato col simbolo (UA:(UA=x[ x U x , A .Qualora,come per lo pi` u succede,non si corra il rischio di ingenerare con-fusione si pu`o trascurare il riferimento esplicito allinsieme Ue scrivere sem-plicemente (A.`E facile vericare che si ha (((A) =A, cio`e il passaggio alcomplementare `e unoperazione involutoria.Dati due insiemiA, B, la loro unioneAB si denisce come linsiemecostituitodatuttiglielementicheappartengonoadAoaB,ivicompresiquelli che appartengono ad entrambi:A B:=x[ x A x B .La loro intersezione AB `e invece linsieme costituito da tutti gli elementiche appartengono sia adA che aB:A B:=x[ x A x B .Lasciamo allo studente la verica delle seguenti semplici formule:A A = A = A A, A B = B A, A B = B A,A = A, A = , A (A B) = A = A (A B).Un po meno immediate sono le due seguenti formulediDeMorgan:((A B) =(A (B; ((A B) =(A (B.Proviamo la prima; la seconda, che si dimostra in modo simile, viene lasciataperesercizioallostudente. Occorrequindi provarechex ((A B) (14)Pi` uavanti, dopoche avremointrodottoil concettodi funzione, ne introdurremoalmenounaltra,lelevamentoapotenzaBA.(15)Unaoperazionesi diceunaria, binaria, ternaria, . . ., n-aria. . . asecondavi inter-venganouno,due,tre,. . .,n,. . .elementipervolta.9x ((A (B). Ineetti, sfruttandosemplicementeledenizioni date, sigiustica la seguente catena di equivalenze:x ((A B)_x (A B)__x A x B__x A_ _x B__x (A__x (B_x ((A (B) .Primadi denireil prodottocartesianoABdi dueinsiemi AeB`enecessariochiarireil concettodi coppiaordinata(a, b); comedicela parola stessa,si tratta della coppia di elementi a, b,distinguendo per`o ilprimo elemento, a, dal secondo, b. Ne consegue che (a, b) = (c, d) se e solosea = c eb = d; pertanto sea ,= b allora (a, b) ,= (b, a). Non bisogna inoltreconfonderelacoppiaordinata(a, b)conlinsieme a, bcostituitodai duesoli elementia eb(16). Ci`o premesso poniamo:AB=x[ x = (a, b) a A b B .Le tre operazioni binarie precedenti possono essere generalizzate in modoovvioal cason-ario, n>2. Unmodoeleganteperfarlo`efornitodalleseguenti denizioni induttive:A1 . . . An:= _A1 . . . An1_ AnA1 . . . An:= _A1 . . . An1_ AnA1 . . . An:= _A1 . . . An1_An.Si usa anche denotare le tre operazioni n-arie precedenti con ni=1Ai, ni=1AieXni=1Airispettivamente.Inne deniamo la dierenza insiemistica AB come la totalit`a deglielementi diA che non appartengono aB:A B:=x[ x A x , B . 1.5 ApplicazioniUnapplicazione(ofunzioneomappa) f dallinsieme Aallinsieme Bconsiste, oltre che di A e B, anche di una legge che associa ad ogni elementoa diA uno ed un solo elementof(a) diB. Essa ver`a denotata conf: A Ba f(a)(16)Perragioni chediverrannochiareinseguito`etuttaviaimportanteosservarechelanozionedi coppiaordinatapu`oesseredenitaintermini di insiemi, ades. (a, b):={a, {a, b}}.10o anche conAf Ba f(a).Gli insiemi AeBvengonodetti dominioe, rispettivamente, codominiodellapplicazionef. Non`eforseinopportunoribadirechelapplicazionefnon`edeterminatasenonsi dannoil suodominioedil suocodominio; lasola legge che associa f(a) ad a non basta a denire f. Il che non toglie che,per comodit`a, dominio e codominio possano venir sottintesi, a patto per`o chesiano facilmente individuabili dal contesto. Ad esempio assegnare la funzionemediantex f(x) :=11x2 `eaccettabilesesiricavadalcontestocheilsuodominiosiaA:=R 1, 1eil suocodominiosiaB:=Roppure,sesi preferisce, A:=Z 1, 1eB:= n1[ 0 ,=n Z; si osserviche, nei due casi, si tratta di funzioni diverse ad onta del fatto che vengonodescrittetramiteunastessaleggex f(x). Si noti purechenonesistealcunaapplicazionedaundatoinsiemeA ,= allinsiemevuoto , mentrevene `eunaedunasolalacosiddettaapplicazionevuotachepuresidenota col simbolo dallinsieme vuoto ad un datoB sia cheB = siacheB ,= .Lelemento f(a) viene detto limmagine dellargomento a e, viceversa,a viene detto controimmagine del valoref(a). Linsieme delle immaginif(a) al variare dia inA viene indicato con Im(f). Linsieme(a, f(a))[ a A ABviene detto graco della funzionef.`EfacilevericarecheseAhamelementi eBnehanalloravi sonoesattamentenmapplicazioni diverse daA aB. Per analogia si usa indicarecon la notazioneBAla totalit`a delle applicazioni daA aB.In matematica si fa uso frequente delle particolari applicazioni seguenti.a) Lapplicazioneidentica 1AsuA:1A: A Aa 1A(a) := a;b) limmersionecanonicaiA(17)diA BinB:iA: A Ba iA(a) := a;(17)Siosserviche1AeiAfornisconounaltroesempiodifunzionidiversecaratterizzatedallastessalegge.11c) la funzionecaratteristicaAdiA B:A: B 0, 1x A(x) :=_1 se x A0 se x , A.Si noti che non solo ogni sottoinsieme A B determina univocamente la suafunzione caratteristicaA, ma anche, viceversa, ogni funzione: B 0, 1determina un sottoinsieme Xdi B, quello costituito da tutti gli elementi diBla cui immagine in sia 1: X:= x B[ (x) = 1. Si ha inoltreX= eXA= A.Comesi `edettoogni elementoa Adeveavereunaedunasolaim-magine, ma pu`o accadere chei) vi siano elementi diversia, a

A,a ,= a

, che hanno la stessa imma-gine inB: f(a) = f(a

),come pure cheii) qualche elementob Bnon abbia controimmagine inA.Unapplicazionechenonsoddislai)vienedettaapplicazioneiniettivaoingettivaoche`eunainiezionementreunapplicazionechenonsod-dislaii)vienedettaapplicazionesuriettivaosurgettivaoche `eunasuriezione. Inne si dir`ache unapplicazione`e bigettivaoche`e unabigezionese`e contemporaneamente iniettivae suriettiva. Adesempio,quantodettopi` usopraapropositodellafunzionecaratteristicadi unsot-toinsiemeA diBassicura che sia bigettiva lapplicazione: T(B) 0, 1BA A.A due applicazioni f, g della forma f: A B e g: B C cio`e tali cheil codominiodellaprimacoincidacol dominiodellaseconda`epossibileassociareunanuovafunzioneh: A C, dettalacomposizionedi f eg(nellordineindicato) edenotataconlanotazione h=g f, denitadah(a):=g(f(a)). Vasubitosottolineatochelacomposizionefunzionale non `e unoperazione commutativa, cio`e cheg fef g quandancheabbiano senso entrambe in generale non sono uguali. Chiariamo con unesempio quanto detto. Sianof: R Rx 2x3x + 1g: R Rx 11+x2.12In questo casog fef g hanno entrambe senso e si hag f: R Rx 11+(2x3x+1)2f g: R Rx 2(1+x2)3 11+x2+ 1che, come si verica facilmente, sono diverse.`Eimmediatoriconoscereche, perogni f: A B, A, B ,= , sihaf 1A=f =1B f. Daltraparteci possiamochiedereseesistonofunzionif

, f

: B A tali chef

f= 1Ae f f

= 1B.Tali funzioni, qualora esistano, vengono dette, rispettivamente, inversasi-nistraeinversadestradellaf. Ladomandaallarispostaprecedente`efornitadalseguenteteorema, ilprimodiuncertopesocheincontriamoinquesti appunti.Teorema1.1: Una funzionef: A Bammette inversa sinistra se e solose `e iniettiva e ammette inversa destra se e solo se `e suriettiva.Dimostrazione: Dividiamola in quattro parti:Sefammette inversa sinistraf

allora `e iniettivaSi ha:f(x) = f(x

) f

(f(x)) = f

(f(x

)) (f

f)(x) = (f

f)(x

) 1A(x) = 1A(x

) x = x

.Sef`e iniettiva allora ammette inversa sinistraSiaf

: B A denita nel modo seguente: sez Im(f) Ballora, dettaxlunica controimmagine di zinf(f(x) =z),poniamof

(z) =x;se invecez B Im(f)poniamof

(z)=x0, dovex0indicaunarbitrarioelementodi A.`Eimmediatovericareche(f

f)(x) =xperogni x A,equindif

f= 1A, cio`ef

`e linversa sinistra dellaf(18).Sefammette inversa destraf

allora `e suriettivaPerogni z Bsihaz= (f f

)(z) =f(f

(z))equindi z Bammettealmeno una controimmagine,f

(z) A, rispetto af.Sef`e suriettiva allora ammette inversa destra(18)Si noti cheperlarbitrariet`adellasceltadi x0, seIm(f) =B, vi sonopi` uinversesinistredellaf.13Per ogni z B consideriamo il sottoinsieme Az := x A[ f(x) = z A.Per ipotesi tali sottoinsiemi diA sono non vuoti e a due a due disgiunti:Az ,= , z ,= t Az At = .Per ogni zBscegliamoadarbitriounelemento xzinAzeponiamof

(z) := xz.`E facile vericare che alloraf

`e una inversa destra dif(19). NB.Nellultimapartedelladimostrazioneprecedentesi`efattoimplicita-menteusodi unprincipioche, adontadel fattocheaprimavistaappaiaassolutamenteragionevole(tantochepersecoliimatematicilhannousatosenza neanche esserne consapevoli), si `e invece rivelato, allinizio del XX seco-lo, drammaticamente problematico. Ci riferiamo al cosiddetto Assiomadiscelta(20)che aerma che, data una famiglia Xi[ i I (I `e un arbitrarioinsiemeinnitodiindici)diinsiemi Xinonvuotieadueaduedisgiunti,esiste un insiemeXche ha uno ed un solo elemento in comune con ciascunodegli Xi. Ormai lo status dellAssioma di scelta si `e perfettamente chiaritoma,trattandosidiunassiomachesi `edimostratomoltoforte(suscettibilecio`ediconseguenzenonaltrimentideducibili),`esemprebeneesplicitareilsuoeventualeuso. Dettoquestopercorrettezza, aggiungiamopurecheseinpassatoeminenti matematici lhannousatosenzaaccorgersenesar`apurlecito a degli studenti alle prime armi di non consentire che i suoi profondi,ermetici risvolti turbino i loro sonni.La dimostrazione del teorema precedente prova pi` u di quanto contenutonellenunciato, e precisamente che se f, oltre che iniettiva (risp.: suriettiva),`e anche suriettiva (risp.: iniettiva) cio`e sef`e bigettiva allora la suainversa sinistra f

e la sua inversa destra f

sono univocamente determinatee coincidono. In tal caso si parla di inversa tout court e si usa la notazionef1. Vale pertanto il seguenteCorollario1.2: Unafunzionef: A Bammetteinversaseesolose`ebigettiva. (19)Ancheora, invirt` udellarbitrariet`adellasceltadi xzinAz, amenochef nonsiaancheiniettivavisonopi` uinversedestre.(20)VieneanchedettoAssiomadiZermelooAssiomamoltiplicativo. Laprimadiquesteduedenominazioni ricordail matematicotedescoErnestZERMELO(18711953) che per primo ha fornito un sistema di assiomi per la teoria degli insiemi (1908).Lasecondainvece`emotivatadal fattocheunaermazioneadessoequivalente`elaseguente: Data una famiglia {Xi | i N} di insiemi,il prodotto cartesiano

iN Xi`evuoto:

iN Xi= ,seesoloseesistealmenounindicej NtalecheXj= .14Cap. 2Le successive estensioni del concetto di numeroI. Dai naturali agli interi 2.1 Operazioni sui naturaliAssumiamo come punto di partenza i numerinaturali0, 1, 2, . . . , n, . . .cio`e quei numeri che abbiamo conosciuto per primi e che,almeno in primaistanza, ci sono serviti, e continuano a servirci, per contare. Il loro insiemeverr`a denotato con N.Si noti che lo zero 0 `e stato da noi incluso in N; `e giusto avvisare chequesta convenzione non `e universalmente accolta. Alcuni autori preferisconopartire con lunit`a 1. Forse ci`o `e dovuto anche al fatto che il concetto dizeroinquantonumeroaventediritti edoveri simili aquelli di tutti glialtri numeri `e, per la cultura occidentale, relativamente recente.Dicevamocheinizialmenteluomosi `eservitodei numeri naturali percontare.`E ragionevole pensare che non ci abbia messo molto a capire che siriesceacontaremegliosesiacquisisceunaconoscenzapi` uastrattadiqueinumeri, se si impara ad esempio a sommarli e moltiplicarli in quanto tali enonsoloinquantoesprimentipropriet`adi insiemi. Adesempio, appuratocheungreggeAdi pecorenecontengamedunoBdi caprenecontengan, `e pi` u facile calcolare cheA Bcontienem + n ovini ma, ovviamente,ci`o `e possibile solo a patto di aver prima imparato a far le somme di numerinaturali! piuttosto che contare gli elementi diA B.Questaosservazionepu`oapparirvi banalemavi invitiamoarietteresul fatto che, se ci`o avviene, pu`o darsi che sia solo perche per voi leseguirela somma di naturali `e unoperazione cos` familiare che forse vi riesce pernodicileil cogliernelastrattezza(rispettoallaconcretezzadel contareglielementi dellinsieme AB). Vi invitiamo anche a trarre da questa riessioneunaltra: che cio`e, in generale, il maggior o minor senso di astrattezza che ciprovoca la considerazione di un fatto (leggi: situazione, procedura, nozione,. . . ) matematico `e spesso di natura (non logica ma) psicologica, dipende cio`esolo dalla nostra maggiore o minore familiarit`a con quel fatto. E si badi che15questo `e vero nei due sensi: alle volte giudichiamo troppo astratti certi fattiche invece ci sono solo poco familiari, altre volte (ed `e di questo tipo il casoda cui le riessioni di questo capoverso hanno preso le mosse) non riusciamo acogliere cosa vi sia di astratto o formale in fatti per noi familiari. Giusto perillustrarequestosecondoaspettoconunaltroesempio: alliniziodiquestocapitolo abbiamo detto di assumere come punto di partenza i numeri naturali;immagino che nessuno di voi si sia ribellato (ma a rigor di logica avrebbedovuto!)chiedendosi che cosa mai siano eettivamente questi oggetti e comene giustichiamo la somma, e il prodotto, e le propriet`a di queste operazionietc. Rassicuriamoci: nonvoglioqui aprireunadiscussionesuquesti temi(che peraltro in qualche modo riprenderemo pi` u avanti) se non altro perche ma `e proprio questo che volevo farvi osservare e che vorrei teneste semprepresente! dubitocheafaticariusciresteacoglierneil succo; temocheinveceavrestelasensazionedi esserindotti apestarlacquanel mortaio.Senehoparlato`esololoribadiscoperinvitarvi atenerpresenti leindicazioni che se ne traggono, al ne, da un lato, di non scoraggiarvi se vicapiter`a (oh,se vi capiter`a!. . .) di bloccarvi difronte ad una questione chevoi trovate troppo astratta e che invece `e solo poco familiare e dallaltro didare per scontati certi fatti (che invece andrebbero giusticati) solo perche,essendovi familiari, vi appaiono ovvi.Ritornando al discorso principale, cio`e allesigenza di acquisire una cono-scenzaastrattadei numeri naturali, vediamosubitochenonsonpochelepropriet`adi cui usualmentedisponiamo. Nonsolosappiamosommareomoltiplicareduenumeri, mafacciamosenzaproblemi anchelunghi calcolicon somme e prodotti incastrati tra loro in modo quanto mai arzigogolato: atal ne sappiamo servirci con grande disinvoltura di propriet`a astratte qualilepropriet`aassociativaecommutativadi sommaeprodotto, lapropriet`adistributivadellasommarispettoal prodotto(1), etc. Inalcuni casi sap-piamoancheeseguirelasottrazione b a(o, il che`elostesso, risolverelequazione x+a = b) e la divisione b : a (cio`e risolvere lequazione ax = b), eper questultimo problema alloccorrenza sappiamo metter in campo nozioniancor pi` u astratte quale quella di numero primo, di decomposizione in fattoriprimi, etc.Mi pare che non occorra per ora dilungarsi oltre sulla quantit`a di bellecose che sappiamo fare con i numeri naturali. Bisogna invece soermarsi suci`o che non sempre si sa (non sempre si pu`o,in eetti!) fare,e cio`e la sot-trazione e la divisione. In primo luogo per riconoscere che questa situazionenonci piaceaatto, enonsolopergli scomodi risvolti pratici, maancheperuncertonostrosensoesteticoinassenzadelqualesifapocastradainmatematica: questastoriachequelleoperazioni talvoltasi possonofare, etalaltra no, ci pare poco armonica; anzi, a pensarci bene, ci sentiamo addirit-(1)Sivedano,nellAppendice1,ledenizioniformalidiquestepropriet`a.16tura defraudati che la viviamo come la mancanza di qualcosa di cui abbiamodiritto. Questoqualcosaancoranonsappiamocosapossaessere, malasua assenza la percepiamo in tutta la sua concretezza(2). Diciamo subito chequestasgradevolesensazione `estatadatemposuperataconlintroduzionedi due nuovi insiemi numerici: da un lato linsieme Z dei numeri interi colquale risolviamo il problema della sottrazione e dallaltro(3)linsieme Q deinumeri razionalicol quale, risolvendoancheil problemadelladivisione,completiamo lopera (per il momento). 2.2 Conosciamo gli interi?Maandiamopergradieoccupiamocidapprimadellinsiemedegliinteri Z,che peraltro conosciamo beneZ = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .,come pure conosciamo bene le regole di calcolo relative alle estensioni ad essodelle vecchie operazioni di addizione e moltiplicazione tra naturali (pi` u permeno, meno, meno per meno, pi` u, etc.etc.)nonche lestensione a Z di variealtrenozionigi`ausateper N(lausualerelazionedordine , adesempio).Tutto ci`o sembra scontato, ma una riessione pi` u attenta ci fa sospettare cheinvece non sia tutto cos` liscio e tranquillo. In eetti, nelle righe precedentiabbiamo pi` u volte usato il verbo conoscere, ma ora vi chiedo:Che cosa vuoldirecheconosciamoqueglioggettiequellepropriet`a? Nonsar`ache,an-cora una volta, confondiamo il conoscere con laver familiarit`a con?Ineetti tale confusione non solo c`e, ma in un certo senso nora siete stati u-cialmente (cio`e dalla scuola) autorizzati a farla. Dir`o di pi` u: tale confusione`e ben poco criticabile se la si confronta con latteggiamento schizofrenico chei matematici, nel corsodellastoria, hannoavutonei confronti dei numerinegativi,cio`elapartenuovadi Zrispettoaivecchinaturali. Gliindianiliusavano gi`a nel VII sec. d.C. In occidente durante il Rinascimento si inizi`o adusare il segno meno quasi alla stregua di un artizio di calcolo senza peraltroaccettareil concettodi numeronegativo. Taleatteggiamentodur`oancorapertuttoil 600eancheoltre(allepocacio`edi Cartesio, Pascal, Leibniz,(2)Questofenomeno`e comunissimoinmatematicaed`e stato, `e e sar`aunapotentemollai cui scatti fannoregistraresignicativi momenti di progressoedi eettivoarricchimentodellamatematica.(3)Nonacasodiciamodaunlato. . . edallaltro. . .anzicheprima. . . epoi . . .giacchese `everochedaunpuntodivistalogico-algebricoconvienepensarediesten-dereprima Na Zepoi Za Q, tuttaviasiadal puntodi vistadelladidattica(lefrazioni abbiamo imparato a conoscerle alle elementari ma i numeri negativi solo allemedie)chestoricamentelecosehannoavutoundiversosviluppo.17Newton(4)); i matematici, pur essendo consapevoli ad esempio che 2 fosseunaradicequadratadi 4, parlavanodi essacomedi unaradicettiziaodi unafalsaradice. Pernoil grandeEuleronel 700avevaancorastraneidee sui negativi (pensava fossero pi` u grandi dell). Solo nel XIX sec. si `esistematicamente iniziato a pensarla come poi a noi `e stato trasmesso dallascuola media e come ancora la pensate. Tutto ci`o, se da un lato ci confortafacendo svanire sul nascere un inquietante senso di colpa che gi`a andava af-facciandosi allanimo nostro, dallaltro per`o non ci esime dal riconoscere chequelle domande non sono oziose ma pongono un problema reale: checosasono eettivamente i numeri interi?In altri termini: sforzandoci per unattimo di dimenticare la dimestichezza con essi che ormai da tempo abbiamoacquisito e immaginandoci di conoscere solo i naturali, come possiamo intro-durre(. . .inventare, . . .scoprire, . . .denire, . . .chealtro? . . .)deinuovinumericoni quali siapossibilefaretuttoci`ochegi`asapevamofareconinaturali e in pi` u anche la sottrazione senza limitazioni di sorta?Larispostache, forseinconsciamente, avetedatonoraaquestado-manda`eproprioquellaindicatapi` usopra, ecio`echei numeri interi sonoquellecosechesi indicanoconi simboli 0, 1, 2, 3, . . . econlequali siopera nel modo che sapete. Perche dunque non ci accontentiamo pi` u di talerisposta che peraltro, come si `e visto, `e stata il risultato di un lungo e faticosopercorso conclusosi solo allinizio dellottocento?Bene, a ci`o paradossalmente si potrebbe rispondere dicendo che in eettipotremmoancheaccontentarci, senonfossechenel corsodegli ultimi duesecoli si `e riusciti ad andare molto oltre quella concezione. I progressi com-piuti non solo ci hanno fatto capire che `e possibile dare una risposta moltopi` u soddisfacente a quel problema (parliamo sempre dellintroduzione degliinteri)mahannoatal puntomodicatolatemperieculturalecomplessivadella matematica militante che almeno per oggetti cos` fondamentali comei numeri quella risposta non risulta proprio pi` u accettabile. Il fatto `e chesi `e riusciti ad estendere a vari altri settori della matematica ci`o che Euclidenel III sec. a.C. aveva fatto per la geometria elementare, vale a dire dar lorouna trattazione fortemente caratterizzata dal metodo assiomatico. Gli stessinumeri naturali che allinizio di questo capitolo abbiamo detto di accogliereacriticamente possono invece trovare fondamento in un contesto assiomatico,gli assiomidiPeano(5).Rimandando il lettore ad altra parte di questi appunti per una pi` u ap-profondita discussione sia delle teorie assiomatiche in generale che degli as-(4)Nonc`ebisognodi ricordarecheReneDESCARTES(1596-1650; CARTESIOnellaversione latinizzata del suo cognome), Blaise PASCAL (1623-1662), Gottfried WilhelLEIBNIZ(1646-1716)eIsaacNEWTON(1642-1727)sonodaannoveraretrai pi` ugrandimatematicielosodellastoria.(5)SitrattadelpiemonteseGiuseppePEANO(18581932),originaleguradimatema-ticocuisiamodebitorianchedidiversialtriimportantirisultati.18siomi di Peano in particolare, ci interessa qui solo sottolineare che una dellepeculiarit`a delloperare matematico che il metodo assiomatico ha assunto, en-fatizzandola, come suo carattere distintivo (non il solo, ovviamente) consistenel sistematicoriutodi unaccettazioneacriticadi nuovi concetti quandoquesti possano invece venir deniti in modo rigoroso in termini di altri con-cetti introdotti in precedenza. Nel caso specico, il nostro riuto di accon-tentarci di quantodettopi` usopraperintrodurregli interi`emotivatodalfatto che oggi sappiamo sia denire i numeri interi che giusticarne le pro-priet`a in termini di numeri naturali. Lo strumento che, senza lasciar spazioad alcuna ambiguit`a, ci consente di far ci`o prende il nome di passaggio alquoziente ed `e di uso frequentissimo in matematica ( e non solo). Pur nonrichiedendo, peresseredescritto, uncomplessoapparatodi nozioni prope-deutiche anzi, forse proprio a causa della sua gran semplicit`a descrittivapu`oesseredi qualchedicolt`ail riuscireacogliernelarealeportataeprofondit`a. Perquestomotivopreferiamorimandareancoraunpo lasuadescrizioneformale. Senzaperaltrorinunciarenel casocheci interessaora ad utilizzarlo almeno in modo per cos` dire criptico, cio`e cercando difar capire come i numeri interi possano venir deniti in termini di naturaliseguendo su un piano concreto,non formale un lo di considerazioniche peraltro corrispondono ad un uso puntuale del passaggio al quoziente. 2.3 Denizione dellinsieme Z degli interiLa considerazione da cui prendiamo le mosse `e relativa proprio allostacoloche si `e incontrato e cio`e che in N non sempre `e possibile fare la sottrazione:in taluni casi esiste un numero naturaler che sia la dierenzamn di altriduem, n,cio`e che sommato conn diam ci`o che ovviamente succede see solo sem n mentre in altri casi (precisamente quelli per cuim 0 =xz yz (x, y, z Z),mentre sez `e negativo lordine viene invertito:x y z< 0 =yz xz (x, y, z Z).Unimportante conseguenza di questo fatto `e che ogni quadrato x2`e positivoqualunque siax ,= 0.Siccome inoltre la relazione dordinesuNgode della propriet`aarchimedea, cio`ese 0 < a < b esiste un numero naturalen tale che na > b,lo stesso vale (come subito si verica sfruttando questa propriet`a e giocandocon i segni) per la relazione dordine su Z.Il complessodellepropriet`aprecedenti (relativealledueoperazioni diaddizione e moltiplicazione ed alla relazione dordine ) si esprime dicendoche la quaterna (Z, +, , ) costituisce un anelloordinatoarchimedeo. 2.7 Potenze con esponente interoVogliamooraillustrarecomeeinchesensosiapossibileestendereaesponenti interi qualunquelanozionedi potenza. Ascansodi equivoci,precisiamo subito che se deniamo (ci`o che peraltro non pu`o ragionevolmenteessere messo in discussione) la potenzaancome il risultato del prodotto diapersestessonvolte,ci`ohaunsensosoloperesponenti ninteripositivie quindiannon signica esattamente nulla sen `e negativo o nullo. Daltraparte, niente vieta di attribuire anche in questi casi un conveniente signicatoallapotenzaan. Laggettivoconvenientestaadindicarecheilsignicatochesivuolecercareperanconn 0deveessereilpi` unaturalepossibile,devecio`eaccostarsiilpi` upossibileaquelledi anconn>0. Orbeneunadelle ben note propriet`a elementari delle potenze `e espressa da(2.6) an: am= anmconn > m; m, n Zuguaglianza che, ovviamente, non ha [ancora] alcun senso se n m. Siccomeper`o in tale caso si ha (come subito si verica per via diretta)an: an= 1ean: am=1amnconn < m25viene naturale porre(2.7) a0:= 1e(2.8) an:=1anconn < 0ci`ochegarantisceal contempounprecisosignicatoallapotenzaanperogni n Zelavalidit`adelluguaglianza(2.6)perogni coppian, m Z.Riassumendo, possiamo dire di aver assunto per convenzione le (2.7) e (2.8)allo scopo di lasciar cadere in (2.6) la limitazionen > m.26Cap. 3Insieme quoziente 3.1 Relazioni di equivalenzaDatouninsiemeA, unqualunquesottoinsiemeRdel prodottocartesianoAA := (a, b) [ a, b A di A per se stesso verr`a detto relazione binariasullinsiemeA. Se (a, b) R, si dir`a cheastanellarelazioneRconbe, pi` usemplicemente, si sciver`aaRb. Siamointeressati adunaparticolareclasse di relazioni binarie, le relazioni di equivalenza. Si tratta di quelle chesoddisfano le tre propriet`a seguenti:propriet`ariessiva: per ognix A, si haxRx;propriet`asimmetrica: qualunque sianox, y A, si haxRy = yRx;propriet`atransitiva: per tutti glix, y, z A, si haxRy yRz = xRz.Si dimostra facilmente che ciascuna delle tre propriet`a precedenti `e in-dipendente (cio`e: non discende) dalle altre due. Aermazioni di questo tiposi provanoconunragionamentostandard: ssatalattenzionesuduediquellepropriet`a(sceltesuccessivamentenei trepossibili modi) si esibisceunarelazioneRchesoddisfaleduepropriet`aconsideratemanonlaterza.Lasciamo allo studente il compito di trovare esempi di relazioni che servanoallo scopo.Data una relazione dequivalenzaR su un insiemeA ed un elementoadi A, si chiama classe dequivalenza dia linsieme [a]R := x A [ aRx.Proviamo che linsieme delle classi di equivalenza [a]R, al variare dia inA,costituisceunapartizionedi A, ecio`echetali classi sonoi)nonvuote:[a]R ,= ,ii)adueaduedisgiunte: [a]R ,= [b]R [a]R [b]R= ,einneche iii) ricoprono interamenteA: aA[a]R=A. La i) e la iii) discendonodalfattoche, qualunquesiaainA, perlapropriet`ariessivavi `ealmenounelementox AtalecheaRx, ecio`eastesso. Perprovarepoi laii)ragioniamoperassurdo: supponiamocheperparticolari elementi a, b Apercui[a]R ,=[b]R, siabbiaz [a]R [b]R; maalloraaRzebRz, dacui,perlasimmetria, aRzezRbeinne, perlatransitivit`a, aRb. Sfruttandoquestultima e ripetendo il ragionamento appena fatto, si dimostra che se aRtalloraanchebRt,eviceversa sebRtalloraancheaRt,cio`e che [a]R= [b]R,27contro la nostra ipotesi.Quanto precede prova che ad ogni relazione di equivalenza R sullinsiemeArestaassociataunapartizionedi A; viceversa, adogni assegnatapar-tizione TdellinsiemeA (che `e, ripetiamolo, una famiglia T= Ai [i Idi sottoinsiemi Aidi Achevengonodetti blocchi dellapartizioneche siano non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione iI AicoincidaconA) possiamo associare la relazione di equivalenzaRPsuA denita da:aRPb i I(a Ai b Ai). Inaltritermini,dueelementi a, b Asono equivalenti se e solo se appartengono allo stesso blocco della partizione.Pereserciziosiprovichesitrattapropriodiunarelazionedequivalenzaeinoltre che se, partendo da una relazione dequivalenza R associamo a questauna partizione T, e poi a questa partizione associamo la relazione RP, alloraquestultima coincide con la relazioneR da cui siamo partiti. Analogo risul-tato (lo si enunci e provi!)vale prendendo le mosse iniziali da una partizione.La partizione Tassociata ad una relazione dequivalenzaR suA vienedetta insieme quoziente di Amodulo Re denotataconAR; inoltrelapplicazionepR: A ARa [a]Rviene detta proiezionecanonica diA sullinsieme quozienteAR.Il processodescrittosi chiamapassaggioal quozienteoanche, tal-volta, procedimento di denizione per astrazione. Che tale `e appunto,come chiariremo meglio fra breve. Prima per`o `e forse opportuno rimpolparele denizioni precedenti con qualche semplice esempio. 3.2 Esempi1) Un primo esempio `e fornito da quanto contenuto nel capitolo precedente.Per ulteriore chiarezza sintetizziamolo ancora una volta. Si parte dallinsiemeA:=NN= (a, b) [ a, b Nedallarelazionedequivalenza(a, b) (c, d) a +d = b +c. Si ottiene Z :=NN, linsieme dei numeri interi.2)SiaAlinsiemedellerettedel piano(ane); tutti sannocheduerettea, bsonoparalleleseesoloseocoincidonooppurenonhannoalcunpuntoincomune. Si verichi che la relazione di parallelismo`e una relazionedequivalenzasuA. Il corrispondenteinsiemequoziente`elinsiemedelledirezioni.3)In modo simile,linsieme quoziente dellinsieme dei piani dello spazio or-dinario rispetto alla relazione di parallelismo tra piani `e linsieme delle gia-citurepiane.284)Siadataunafunzionef: X Y ; deniamosuXunarelazionebinarianel modo seguente:x x

f(x) = f(x

).Si verica facilmente che si tratta di una relazione di equivalenza, detta nu-cleodequivalenzaedenotatasolitamenteconker(f). Valelaseguenteimportante propriet`a (dettaPrimoteoremadisomorsmo,la cui sem-plice dimostrazione viene lasciata allo studente per esercizio): esiste una eduna sola bigezionef

che rende commutativo il diagrammaXf Yp_iXker(f)f

Im(f)(cio`e tale chef= i f

p) dovep: X Xker(f)`e la proiezione canonica diXsuXker(f)ei: Im(f) Y, y y `e limmersione canonica diIm(f) inY .5)SiaAlatotalit`adegli insiemi niti; diremocheduedi essi, a, b, sonoequipotenti in simboli,a b se esiste una corrispondenza biunivocaf: a b da a su b (in altri termini, equipotenti `e sinonimo di bigettivi).Si provachelarelazionedi equipotenza `edi equivalenza. PassiamoalquozienteA

; comesonofattiisuoielementi[a]

? Prendiamoadesempiolinsieme nitoa = x, x

, x

; un insiemeb che sia equipotente cona devenecessariamenteesseredellaformab= y, y

, y

equindi [a]

sar`apro-priolatotalit`adegliinsiemidiquestotipo,totalit`achepossiamopertantoidenticarecol numeronaturale3. Anzi, seperunattimodimentichiamodiconoscereinumerinaturali,possiamodenireilnumero3propriocomela classe dequivalenza [x, x

, x

]

e,pi` u ingenerale,denirelinsiemeNdeinumerinaturalicomelinsiemequozienteA

. Di pi` u, seguendoquestaviapossiamoanchedenireleoperazioni tranaturali, oanchelausualerelazionedordine , eviaviatuttelenozioni relativeai naturaliche siamo abituati ad usare. Giusto per chiarire questa aermazione, vedi-amo come si denisce la somma [a]

+ [b]

: indicati cona

eb

due insiemiequipotenti conae b, rispettivamente, etralorodisgiunti (a

b

= ),poniamo[a]

+ [b]

:= [a

b

]

.Il prodotto invece va denito cos`:[a]

[b]

:= [a b]

.Ritornandooranellacondizionedi chi conoscei numeri naturali, `efacileconvincersi che le operazioni appena denite sono proprio quelle di somma eprodotto che conosciamo n da piccoli.29Con quanto precede, riusciamo pertanto ad evitare di dare per scontatala conoscenza dei numeri naturali (ricordate che `e proprio quanto si dichiara-va di accettare con la prima frase del 2.1!) che vengono invece deniti, nelmodo appena descritto, in termini di insiemi. In sostanza, tutto ci`o sposta ilpunto di partenza, che si accetta senza pretendere ulteriori chiarimenti, dainaturaliagliinsiemi. Ci`oche, insiemeconconsiderazionisimiliaquestaerelative ad altri settori della matematica, si esprime talvolta dicendo che lateoria degli insiemi sta alla base della matematica , o anche la matematicasi fonda sugli insiemi. 3.3 Il concetto di numero cardinaleLe considerazioni del paragrafo precedente avrebbero tuttavia pi` u un carat-teregeneralmentelosocochenonmatematicoinsensostrettosesilimi-tasseroaforniredelleindicazionisuifondamentidellamatematica, secio`enon si accompagnassero a ben altri risultati (non pochi dei quali lo studenteincontrer`anel prosieguodellaletturadi questedispense), inprimoluogoilconcettodinumerocardinalechegeneralizzaalcasoinnitoquellodinumero naturale. Esso ci consentir`a di poter esprimere quanti sono gli ele-menti di uninsiemeanchenel casodi insiemi inniti. Forselaspettopi` usorprendente di tutto ci`o `e che la denizione di questo concetto segue stret-tamentelafalsarigadelladenizione(descrittanelnumero5delparagrafoprecedente)del concettodi numeronaturale. Lunicadierenza`echeoraoccorre applicare quelle considerazioni anche ad insiemi inniti.Con ci`o il lettore ha gi`a, sostanzialmente, tutte (tutte, in eetti, fuorcheuna, inveropiuttostoarcana, di cui parleremotrabreve) leinformazionisucienti ad esplicitare da solo la denizione di numero cardinale; ci`o che loinvitiamo a provare a fare prima di procedere nella lettura. Sar`a comunqueun ottimo esercizio che gli consentir`a di apprezzare a fondo la sorprendentesemplicit`a di tale denizione.Datacomunquelimportanzadellargomentopreferiamodescriverlaindettaglioqui di seguito. Comegi`asi accennavapi` usopra, si trattasem-plicementediripetereperilcasodiinsiemisianiticheinnitiquantoinprecedenza abbiamo fatto nel caso dei soli insiemi niti. Lestensione al casoinnitodellarelazionedi equipotenzanonpresentaalcunadicolt`a; comenelcasonito, dueinsiemiinniti a, b, sonoequipotenti, a b, seesisteunabigezionef: a btraessi. Si trattaancheinquestocasodi unare-lazione di equivalenza che quindi, come in precedenza, pu`o essere utilizzataper quozientare linsieme . . . di tutti gli insiemi (niti e inniti), verrebbe dadire(1).`E qui che si presenta il problema cui si accennava pi` u sopra. il fatto(1)Ricordiamocheil passaggioal quozienterichiededuecose, uninsiemeedunare-30`e che linsieme. . .dituttigliinsiemi non esiste! Esiste, s`i, la totalit`aTditutti gli insiemi ma essa non `e un insieme; si prova infatti che laccettazionedelsuocaratterediinsiemeporterebbeadunacontraddizione. Sinoticheil fatto che una totalit`aXsia un insieme comporta cheXpossa essere per-cepito come un tuttuno, cio`e come una cosa cui abbia senso attribuire unpredicato individuale ovvero, equivalentemente, che possa essere riguardatacomeelementodi altri insiemi. Inaltri termini, seX`euninsiemeallora,per qualcheY , si haX Y . Tornando alla totalit`aTdi tutti gli insiemi sidimostra(2)che, se si vogliono evitare contraddizioni, non esiste alcuna altratotalit`a Ytale che T Y . In termini intuitivi potremmo dire che T`e troppoampia per poter essere riguardata come un tuttuno; totalit`a di questo tipovengono oggi dette classi(3).Il problema pu`o essere risolto facilmente prendendo non linsieme. . . ditutti gli insiemi ma un insieme di insiemi sucientemente ampio da conteneretutti gli insiemi che via via ci fa comodo che vi siano; un insieme che abbiacomeelementi nonsolotutti gli insiemi niti maades. anchegli insieminumerici N, Z, R etc., e poi ogni sottoinsieme di un insieme che sia suo ele-mento, come pure lunione e lintersezione di una qualunque famiglia di suoielementi nonche linsieme delle parti T(a) di un qualunque suo elementoa.Un insieme che quindi sia chiuso rispetto alle usuali operazioni insiemistiche.Chiamiamo |taleinsieme. Ci`oprecisato, possiamoconsiderarelinsiemequozienteU

; `equestochechiameremoinsiemedei numeri cardinali.Pertantoperogniinsiemea |laclassediequivalenza[a]

U

verr`adetta numero cardinale di a o anche cardinalit`a di a. Se a `e nito, il suonumero cardinale altro non `e che il numero (naturale) dei suoi elementi; se in-vece a `e innito, questo che in tal caso viene detto cardinale transnito `e un concetto nuovo che non esisteva prima di Cantor.Ci si potrebbe chiedere se per caso non capiti che tutti gli insiemi innitiabbiano la stessa cardinalit`a (nel qual caso il concetto di cardinale transnitosarebbe sinonimo di innito e tutto il discorso precedente sarebbe poco pi` uche aria fritta). Fortunatamente le cose non stanno cos`, come verr`a provatopi` uavanti. Nel 5.7si vedr`ainfatti chenonesistealcunabigezionetralinsiemeNdei numeri naturali elinsiemeRdei numeri reali ne, pi` uingenerale, tra un insieme a e il suo insieme delle parti T(a) (ci`o che comportache si possano costruire numeri cardinali transniti via via maggiori(4)). Dilazionediequivalenzasudiesso.(2)Tuttaquestamateriaverr`aripresaeapprofonditanelcorsodiAlgebra2.(3)Ancoranellaprimamet`adel secoloscorsoil termineclassevenivautilizzatocomesinonimodiinsieme.(4)Per la denizione della relazione dordine sui cardinali transniti, come per lestensioneadessi delleoperazioni di somma, prodotto, etc. si rinviaalledispensedel corsodiAlgebra2.31contro, non `e dicile provare che sia linsieme Z egli interi che quello Q deirazionali hanno la stessa cardinalit`a di N (si veda il 4.7).Questo fatto si esprime anche dicendo che N, Z e Qhannolacardi-nalit`a del numerabile o anche che hanno 0elementi mentre R e R Qhannolacardinalit`a o potenzadelcontinuo ovverocelementi(5). Ingenerale si indicher`a cona la cardinalt`a di un insiemea e con 2a:= T(a)quella del suo insieme delle parti. Si pu`o provare che 20= c. 3.4 Ancora sul passaggio al quozienteVi capiter`a, nel corso dei vostri studi, di trovare una gran quantit`a di esempidi passaggio allinsieme quoziente, a riprova del fatto che si tratta di una dellecostruzioni pi` u importanti della matematica (e non solo). Ora per`o ritornia-mo alle considerazioni generali e, come annunciato pi` u sopra, spendiamo an-cora qualche parola per chiarire ulteriormente il senso di questa costruzione.Quantodiremorisulter`atantopi` uchiaroquantopi` uci si sforzer`adi con-frontarlo con gli esempi riportati.Innanzi tutto, occorre precisare una questione che, pur essendo di inte-resse e carattere pi` u generale, interviene in modo essenziale nel chiarimentodel reale signicato del passaggio al quoziente. Ci riferiamo allidenticazionetrauninsiemeeunapropriet`achenecaratterizzi gli elementi edal fattoche, contrariamenteaquantosolitamentesi pensi, spessoil primoprecedelaseconda. Intermini tecnici ci`osi esprimerebbedicendocheintal casolestensionedi uninsiemeprecedelasuaintensione. Inaltri termini:non sono poche le situazioni in cui anziche utilizzare una propriet`a nota P(x)per denire un insieme X come quello di tutti gli x che godono della propriet`aP(x), X:= x [ P(x), viceversapartiamodallaconoscenzapercos`dire concreta dellinsiemeXe ce ne serviamo per denire una propriet`aP(x), quellaappuntocheaermache xappartieneaX. Seadesempioconsideriamo linsiemeXdelle cose rosse ci verrebbe forse da pensare chelaconoscenzadellapropriet`ax`eunacosarossaprecedalaconoscenzadi X, mentreinvece`everoproprioil contrario. Dapiccoli inizialmentenonavevamoalcunaconoscenzadellapropriet`ax`eunacosarossaevisiamoarrivati soloattraversolaconoscenzadellinsieme X: aduncertopuntoabbiamoespressodicendochex`eunacosarossail fattoche xfosse unelemento di X. Tutto questo,inrelazione alpassaggio allinsiemequoziente, `e rilevante allorche dopo aver introdotto la classe [a]Rdi equi-valenzadellelementoarispettoallarelazionedequivalenzaR, per cui aquestopuntoabbiamodellaclasse[a]Runacaratterizzazioneestensiva(5)Comesid`aunnomeainumerinaturali,cos`sened`aunopureainumericardinali.Talisono 0(,chesileggealef,`elaprimaletteradellalfabetoebraico)e c.32passiamoaconsiderare[a]Rcomeuntuttounico(uninsieme)epensiamoallapropriet`adi appartenereadesso, propriet`ache`elacaratterizzazioneintensivadi [a]R.`Elinsieme(al variaredi ainA)di tali propriet`a, cos`introdotteattraversoappuntoil passaggioallinsiemequoziente, checosti-tuiscelafamigliadi nuovi concetti, chesonoastratti seconfrontati conlaconcretezza dellinsiemeA di partenza.`E per sottolineare questo aspettodi produttoredi concetti astratticheil passaggioallinsiemequozientevienetalvolta(soprattuttoinambitologico)chiamatoprocedimentodidenizioneperastrazione.Unaltra osservazione che ci sembra importante sottoporre allattenzionedel lettore`elaseguente. Atuttalanalisi fattainprecedenzasi potrebbeobiettare che in fondo il procedimento di denizione per astrazione opassaggioal quozientechedirsivogliaalmenoalivelloistintivo `esempre stato utilizzato dalluomo,e che quindi la dettagliata esplicitazionecheneabbiamofattoelaconseguentesintesinellasuadescrizioneformalerisultanonientedi pi` ucheunapedantedissezionedellapratica, chetuttosommato lascia il tempo che trova. Lobiezione non sarebbe forse infondatase quel procedimento venisse applicato solo alle situazioni oerte dalla vitaquotidiana. Bisognaper`oaverpresentequelledi fronteallequali si trovaluomodi scienzaeparticolarmenteil matematiconel corsodel suooperare. Inqueste, succedespessoche, studiandounaquestionechepu`oessere anche molto complessa e implicare la manipolazione di oggetti nienteaatto familiari, si intuisca prima timidamente e in modo confuso, poi viaviaconsempremaggiorconvinzioneunafamigliadiconcettichehannotuttalariadigiocareunruolocentralenellaquestionearontata,concetticheadontadegli sforzi del ricercatore(6)chequasi senteil cervelloinebollizione continuano a non farsi aerrare in tutta chiarezza.`E proprio inqueste situazioni che non basta pi` u quella conoscenza inconsapevole che purein pratica era suciente in situazioni meno intricate, non si riesce cio`e pi` u adoperare distinto un passaggio al quoziente. Di contro `e proprio la conoscenzaconsapevole della descrizione formale di quel processo che viene in soccorso eche suggerendo, come primo passo, di precisare una opportuna relazionedi equivalenza perviene a farci denire in modo preciso e rigoroso i nuoviconcetti, chesi volevanoaerrare, propriocomegli elementi del relativoinsieme quoziente.(6)Odellostudente, che si trovaadoversi impadronire di nozioni messe apuntoinprecedenzadaaltrimaperluideltuttonuoveespessoancheinizialmenteastruse.33Cap. 4Le successive estensioni del concetto di numeroII. Dagli interi ai razionali 4.1 Denizione di numero razionaleSi `e visto che linsieme Z degli interi `e dotato di unaddizione e di una molti-plicazionechegodonodelleusuali propriet`a. Ovvero, perdirlainterminimoderni (cfr. Appendice1), chelaterna(Z, +, )`eunanello. Tuttavia,sempre per dirla nel linguaggio moderno, non forma campo, il che signicasemplicementechenontutti gli elementi nonnulli(1)ammettonoinversomoltiplicativo; consideratounelementox, cos`sichiamaunelementox

tale chexx

= 1. Come cera da aspettarsi, quando tale elementox

esisteviene indicato conx1.`E immediato riconoscere che in Z solo 1 e 1 am-mettono inverso. Dato che la divisioneabdi a per b altro non `e che il prodottoab1di aperlinversodi b, lesistenzadellinversoassicuralapossibilit`adi farladivisione, eviceversa. Omeglio, nel nostrocasolanonesistenzadellinverso impedisce la possibilit`a di far la divisione, e viceversa. Un modoequivalente per esprimere questa spiacevole situazione consiste nellosservareche in Z lequazionebx a = 0sea ,= 0eb ,= 1nonammettesoluzione, cio`enonesisteuninteroxchelasoddis. Comesi vedelasituazione`esimileaquellacheci haindottoadestendereNinZ. Oraoccorrecercareuninsiemedi numeri pi` uvastodi Zil qualenondebbapi` usoggiacereallalimitazioneindicata. Ancheinquestocaso, sullafalsarigadi quantocontenutonel Cap.2, potremmoprodurreunanalisipuntualechecisuggeriscaipassidacompiere. Daltraparte sospettiamo che il lettore ne abbia a sucienza di tutto questo spaccaril capello in quattro e condiamo che ormai, alloccorrenza, sappia comunquefarlo anche da solo. Una sola indicazione, a gettar luce sul seguito: si tengapresente che luguaglianzaab=a

b

equivale allaltraab

= a

b.Ci`odetto, bandoagli indugi edeniamosullinsieme Z(Z 0)la(1)Larichiestadellesistenzadellinversodi0`eassurda,giacchecomporterebbe1 = 0.34relazione dequivalenza(4.1) (a, b) (a

, b

)ab

= a

b(lasciamo allo studente il compito di vericare che sia riessiva, simmetrica etransitiva); chiamiamo insiemedeinumerirazionali linsieme quoziente(4.2) Q := Z (Z 0).Perindicarnegli elementi, inluogodi [(a, b)]faremousodellanotazionepi` u snellaab(2). Lapplicazione(4.3)Z Qn n1`e, come subito si verica, iniettiva; pertanto, identicando il numero intero ncol corrispondente numero razionalen1: n =n1, possiamo riguardare Q comeun sovrainsieme di Z. 4.2 Il campo Q dei razionaliPossiamo ora introdurre sullinsieme Q dei numeri razionali appena denitole due operazioni di addizione + e di moltiplicazionenel modo seguente:(4.4)ab+cd:=ad +bcbd;ab cd:=acbd.Lostudentedovrebbe, aquestopunto, averormai compresocheprimadiaccettareleduedenizioni precedenti vavericatocheessesianosensate,valeadirechelasommaad+bcbd(risp.: il prodottoacbd)delledueclassi diequivalenzaabecd dipende esclusivamente dalle classi stesse e non invece dalleparticolari coppie di interi (a, b) e (c, d) scelte a rappresentare quelle classi.Trasferendoil discorsodal livelloinformaleaquelloformale, vapertanto(2)Ci`onondeveper`oconfondereleidee: ribadiamoche,nellattualecontesto,ab`esolounacomodanotazione per denotare laclasse dequivalenzadellelemento(a, b) Z(Z\ {0})edaunpuntodivistalocale(cio`eriguardandoilnostrodiscorsodavicino, senza quel distacco cui lo autorizzerebbe una cultura matematica precedente) lo studente deve ragionare come se la incontrasse per la prima volta. Daltra partenon`euncasochesiastatasceltaproprioquellanotazione: considerandoinvecelecosedaunpuntodi vistaglobaledovr` aritrovarenellanozionedi numerorazionalecos`denitoeindicatoconabpropriolabennotafrazionechedasemprehaindicatoinquel modo. Masar`aautorizzatoadassumerequestosecondopuntodi vistasolodopoavercompresoeassimilatoquantocontenutonelpresentecapitolo.35provato che se (a, b) (a

, b

) e (c, d) (c

, d

) allora (ad + bc, bd) (a

d

+b

c

, b

d

) e (ac, bd) (a

c

, b

d

) ovvero che da(4.5) ab

= a

b e cd

= c

dsi deduce(4.6) (ad +bc)b

d

= (a

d

+b

c

)bde(4.7) acb

d

= a

c

bd.Per quanto concerne la (4.6), basta sostituire la (4.5) nel primo membro di(4.6):(ad +bc)b

d

= adb

d

+bcb

d

= a

bdd

+bb

c

d = (a

d

+b

c

)bd.Inne la (4.7) si ottiene moltiplicando membro a membro le due (4.5). Tuttoci`o garantisce la correttezza delle denizioni delladdizione e della moltipli-cazione.Lasciamo allo studente il compito di vericare (ma lo si faccia esplicita-mente per iscritto!)che:(i) le due operazioni precedenti sono associative, commutative e vale inoltrela propriet`a distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione;(ii) lo zero 0 :=01e lunit`a 1 =11sono elementi neutri per laddizione e, risp.,per la moltiplicazione;(iii) dato un razionaleab, lelementoab`e il suo inverso additivo (opposto) e,sea ,= 0, lelementoba`e il suo inverso moltiplicativo:ab+ ab= 0,ab ba= 1.Come gi`a accennato allinizio di questo capitolo il fatto che valgano le pro-priet`aprecedentisi esprimesinteticamentedicendochelaterna(Q, +, ) `euncampo. Si trattaineetti del primoesempiodi questaimportantestrutturaalgebrica che ci capita di incontrare in questi appunti; altre netroveremo pi` u avanti. 4.3 Relazione dordinePossiamo anche estendere a Q la relazione dordine gi`a presente in Z (cfr.la ne del Cap.2). A tale scopo poniamo:(4.8)ab bc seb ed hanno segno opposto36e(4.9)ab cdab n, si ha[an am[ < .Chiamiamo successionediCauchy una successione di numeri razio-nali che soddis al criterio precedente; a ciascuna di queste successioni restaquindi associato uno edunsolo numero reale, il suo limite. Viceversaogni realepu`oessereriguardatocomeil limitedi unasuccessionedi nu-meri razionali. Talecorrispondenzanon`etuttaviabiunivoca: duediversesuccessioni di numeri razionali, a0, a1, a2, . . . , an, . . . eb0, b1, b2, . . . , bn, . . .,possonoinfatti averelostessolimite. Intal casoper`olasuccessionedif-ferenza a0b0, a1b1, a2b2, . . . , anbn, . . . converge a zero. Chiameremoequivalenti due successioni di Cauchy (an) e (bn) in simboli, (an) (bn) la cui successione dierenza converge a zero. Indicato con olinsieme ditutte le successioni di Cauchy, vi `e allora una corrispondenza biunivoca tralinsieme quozienteSe linsieme dei numeri reali. Tutto ci`o ha suggerito aCantor di porre (facendo un passo indietro)R := o .Su tale insieme `e possibile denire oltre che le quattro operazioni elementarianche la relazione e lestrazione di radice e provare che tutto ci`o costituisce(8)Il franceseAugustin-LouisCAUCHY(17891857)`estatounodei pi` ugrandi mate-maticidelXIXsecolo.51unarispostaal problemapostoalliniziodel capitolo. Inoltre, pur selecostruzioni di Dedekind e di Cantor sono profondamente diverse si dimostratuttavia che le due strutture ottenute sono isomorfe, cio`e che i reali secondoDedekind e quelli secondo Cantor sono sostanzialmente la stessa cosa, ci`o cheperaltro `e intuitivamente ovvio. 5.6 Potenze con esponenti realiSiamo ora in grado di riprendere la questione lasciata in sospeso nel 4.4, cio`ela possibilit`a di attribuire un ragionevole signicato a potenze con esponentirazionaliapq(p, q Z; q ,= 0)cui aggiungiamo ora unanaloga questione relativa ad esponenti realia( R).Occupiamoci innanzi tuttodellaprima. Abbiamogi`adettochevienedeltutto naturale porre(5.1) apq:=qap(p, q Z; q ,= 0).La giusticazione di questa scelta `e molto simile a quella che, nel 2.7, ci haindotto a porrea0:= 1, e an:=1an(n < 0);in quel caso tale scelta garantiva la validit`a della formulaan: am= anmper ogni coppia di interi n, m. Similmente, nel caso attuale, la 5.1 garantisce,come facilmente si verica, che la formula(an)m= anmvalga non solo pern, m interi ma anche pern, m razionali arbitrari e, vice-versa, questultima vale pern, m razionali arbitrari solo se vale la 5.1.Passiamo alle potenzeacon esponente = (A, A

) in R. Ricordiamoin primo luogo che sex A ex

A

allora si hax < x

e quindiax< ax

.Consideriamopoi il sottoinsieme Bdi Qcostituitodatutti i razionali yminori(9)o uguali adaxper qualchex A. Tale insiemeBsoddisfa, come(9)Si tenga presente che anche se y`e razionale non `e detto che esista un razionale ztalecheaz= y,cio`enonnecessariamenteloga(y) Q.52facilmente si verica, alle condizioni 3) e 4) del 5.4 e quindi, posto B

= CB,la coppia (B, B

) costituisce una sezione di Dedekind, per cui `e ragionevoleporrea:=(B, B

).Lasciamo allo studente la verica della validit`a, anche in questo caso, delleusuali propriet`a elementari delle potenze:a a= a+, a: a= a, (a)= a. 5.7 Potenza del continuoNel 4.7abbiamovistochelinsieme Ndegliinteriequello Qdeiraziona-li sononumerabili.`Ebanaleosservarecheogni insiemeinnito(innitosecondo lintuizione comune di tale termine(10))Xammette sicuramente unsottoinsiemenumerabile: si prendaunelementox0, epoi unelementox1diversodax0, epoi unelementox2diversodax0edax1, ecos` via. . .allinnito. Ci`oinducelideache, tragli insiemi inniti, quelli numerabilisiano i pi` u piccoli. Nasce allora spontanea la domanda:ma poi, ne esistonodi pi` ugrandio, al contrario, tutti gli insiemi inniti sononumerabili?Esistono cio`e degli insiemi inniti Xtali che,comunque si formi un elencocostituito da loro elementix0, x1, x2, x3, . . . , xn, . . . ,vi sar`asemprealmenounelemento(equindi inniti elementi)di Xnoncompreso nel suddetto elenco?Tra i meriti di Cantor va certamente annove-ratoquellodiessersipostoquestadomandaediavernetrovatolarispostapositiva dimostrando che linsieme R dei numeri reali non `e numerabile. Ve-diamo come. Osserviamo intanto che basta dimostrare che non `e numerabile(10)Abbandonandoil puntodi vistaintuitivoeassumendoneunorigoroso, potremmo,invertendotaleaermazione,direcheperdenizione,uninsieme`einnitoseam-mette unsottoinsieme numerabile. Questo`e unodei tanti modi equivalenti perdenireil concettodi insiemeinnito. Unodi questi inqualchemodosimilealprecedentemapi` usoddisfacentegiacchenonfausoneppuredellanozionediinsiemenumerabile `e dovuto a Dedekind, secondo il quale uninsiemeXvadettoinnitoseammetteunsottoinsiemeY equipotenteconesso, cio`etalecheXeY sianolegatidaunabigezione. UnaltradenizioneancoralasideveallogicomatematicopolaccoAlfredTARSKI(19011983): uninsiemeX`enitoseogni sottoinsiemenonvuotodellinsiemediparti P(X)ammetteunelementominimale;percui,vice-versa, `einnitoseesisteunafamigliaX1, X2, . . . , Xn, . . .disottoinsiemidiXcia-scuno dei quali contenga propriamente il successivo: X X1 X2. . . Xn . . .Come dire: X`e innito se gli posso togliere qualche elemento, e poi ancora qualcuno,epoi di nuovoqualcunaltro. . . ecos` via. . . senzachelaverlosvuotatocompleta-mentemicostringaafermarmi.53linsieme di numeri contenuti nellintervallo aperto I := x R [ 0 < x < 1.Questultima aermazione viene provata facendo uso del secondo procedi-mento diagonale di Cantor. Dopo aver osservato che la rappresentazionedecimale del generico elementoa diI`e del tipoa = 0, a0a1a2a3 . . . an . . .dove conansi `e denotata la (n + 1)-esima cifra decimale dia, consideriamoun eventuale elenco di tutti gli elementi diI:x0= 0, x0,0x0,1x0,2x0,3. . . x0,n. . .x1= 0, x1,0x1,1x1,2x1,3. . . x1,n. . .x2= 0, x2,0x2,1x2,2x2,3. . . x0,n. . ..........xm= 0, xm,0xm,1xm,2xm,3 . . . xm,n . . ..........dove xm,ndenotala(n + 1)-esimacifradecimale dellm-esimoelementodellelenco. Consideriamo ora il numeroy = 0, y0y1y2y3 . . . yn . . .cos` denito: lasuan-esimacifradecimale ynvale1selan-esimacifradecimalexn,ndelln-esimonumerodel precedenteelenco`ediversada1, evale 0 in caso contrario. Ovviamente tale numeroyappartiene aIma nonpu`ocertamenteessercontenutoinquellelenco: dovrebbeoccupareinfattiunadiciamolah-esimaposizione, maci`o`eassurdogiacchelasuah-esimacifradecimale`esicuramentediversadallah-esimacifradecimaledellh-esimo numero dellelenco.Il risultato precedente `e della massima importanza:ha aperto uno squar-cionel mondodellinnito(11), mondocheinprecedenzasi erapresentatoavvolto da una spessa nebbia che occultava le profonde dierenze che purevi sonotragli insiemi inniti. Perorane`estatamessainevidenzauna:la possibilit`a di contenere un dato insieme innito in un opportuno elenco,ovviamente innito, o, di contro, il fatto che il dato insieme sia troppo nu-merosopercostringernegli elementi adisporsi tutti inunelenco. Traiprimi insiemi vi sono, comesi`evisto, N, Ze Q; trai secondi Requindianche linsieme R Q dei numeri irrazionali.(11)Sarebbepi` ucorrettodiredegliinsiemiinniti(cfr.lanota(9)diquestocapitolo),cheil termineinnitoanchenellastessamatematica(pernonparlaredellasicaoaddirittura della losoa) esprime tanti concetti diversi tra loro e dal precedente. Perquestomotivo(manonsolo)quandointervieneilconcettodiinnitovaingeneraleraccomandatalamassimacautela.54Sempre utilizzandoil secondoprocedimentodiagonale di Cantor, sipu`odimostrarechelinsieme T(X)delleparti di uninsiemeinnitoX`euninnit`api` ugrandedi X. Infatti, seperassurdoesistesseunabigezionef: X T(X), x f(x)allora, postoY := y [ y X y ,f(y)ez := f1(Y ) X, si otterrebbe la contraddizionez Y z , Y .Senza addentrarci oltre in questa materia, che compete ad un corso avan-zato di Teoria degli insiemi, osserviamo solo che questo risultato garantiscelesistenza di insiemi inniti via via pi` u grandi:X< T(X) < T(T(X)) < T(T(T(X))) < . . .55Cap. 6Propriet`a degli interiIl Teorema fondamentale dellaritmetica 6.1 Lanello Z degli interiNel Cap.2 abbiamo introdotto linsieme dei numeri interiZ = . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .edabbiamodenitosudi essodueoperazioni binarie, laddizione+elamoltiplicazione , che godono delle propriet`a seguenti:1) sono entrambe associative e commutative;2) ammettonoentrambeunelementoneutro, rispettivamentelozero0elunit`a 1;3) ogni elementox Z ammette inverso additivo x: x + (x) = 0;4) la moltiplicazione `e distributiva rispetto alladdizione.Tutto ci`o si esprime nel linguaggio dellalgebra moderna dicendo che laterna (Z, +, ) costituisce un anello commutativo con unit`a, mentre se cisi riferisce alle sole prime tre propriet`a precedenti si dice che (Z, +) costituisceun gruppo abeliano(1)e che (Z, ) costituisce un monoide commutativo.Si cogliebenelimportanzadellapropriet`adistributiva4)sesi notache,stabilendo un preciso legame tra queste due ultime strutture, essa completala dotazione in Z di una struttura quella di anello sostanzialmente pi` uriccadel semplicegiustapporsi delleduestrutturedi gruppoadditivoedimonoide moltiplicativo.Anchesemplicementesfruttandolequattropropriet`aprecedenti(oltreche tirandoinvece in ballola denizione diintero in terminidi numeri na-turali)possonoesseredimostrateleusuali elementari propriet`anotecomeregoledei segni equellaper cui 0 x=0per ogni x. Pertantoquesteultimevalgonoancheinogni altroanello. ValgonoinveceinZmanonnecessariamente in altri anelli le due ulteriori propriet`a elementari:(1)Laggettivoabelianochesiusainrelazioneallasolastrutturadi gruppoechericordail grandematematiconorvegeseNielsABEL(18021829)`esinonimodicommutativo.565) sex ,= 0 exy = xz alloray = z (regoladisemplicazione);6) sex ,= 0 exy = 0 alloray = 0 (assenzadidivisoridellozero).Lasciamo allo studente lonere di dedurle dalla denizione di intero datanel Cap.2. Osserviamo per`o che sono tra loro equivalenti. Infatti da xy = xzconsegue (per la propriet`a distributiva) chex(y z) = 0;da questo e dax ,= 0 per la 6) si deducey z = 0 e quindiy =z; ergo 6)5). Viceversa,5)6): dax ,= 0 exy = 0 = x0 per la 5) si deducey = 0.Si `eanchedenitain Zunarelazionedordine , cheanzi `erisultataessere un ordine lineare (sex ,yalloray0, mentrexyzsez 0), oppurexy> xz (sex < 0); in entrambi i casixy ,= xz, contro lipotesi. Lassurdo prova chey = z. 6.2 Divisione euclideaProp. 6.1 (Esistenza e unicit`a di quoziente e resto) Dati due numeriinteria eb > 0, esiste una ed una sola coppia di interiqertali chea = qb +r, 0 r < b .Gli interi q e r vengonodetti quozientee, rispettivamente, restonelladivisioneeuclidea dia (dividendo) perb (divisore).Dimostrazione: Proviamo dapprima lesistenza. Essendo Z un anello or-dinatoarchimedeo, esister`asicuramentequalcheinteroptalechepb>a;pertantolinsieme P := p Z [ pb >a`enonvuoto; poiche`eanchelimitato inferiormente, ammetter`a minimo, diciamoloq + 1. Si ha allora:qb a < (q + 1)b e quindi 0 a qb < b.Ne consegue:a = qb +r con 0 r := a qb < b.`E cos` provata lesistenza della coppia quoziente/resto. Si noti che il ragiona-mento precedente funziona perfettamente anche per ogni interoa (eventual-mente negativo) minore dib57Restadaprovarelunicit`a. Atalescoposupponiamocheesistanoduecoppie siattea = qb +r, 0 r < b;a = q

b +r

, 0 r

< b.Sottraendo membro a membro si ottiene0 = (q q

)b + (r r

).Seq q

,=0, dalledisuguaglianze0 r, r

r2> r3> . . . > ri> ri+1 0, tale processo non pu`ocontinuare indenitamente. Pertanto si avr`a certamente un indice h tale cherh+1 = 0:rh1 = qh+1rhcon rh> 0.Proviamo che allora lultimo resto non nullorh `e il massimo comun divisorecercato: rh=(a, b). Consideriamoinprimoluogouninterocchedividasiaacheb; seguendolacatenadelleuguaglianzeprecedenti si vedeallorachec deve dividere ancher1, e dividendo siab cher1dovr`a dividere ancher2,e cos` di seguito . . . dividendo siarh2cherh1dovr`a dividere ancherh. Daltra parte, luguaglianzarh1 = qh+1rh mostra cherh divide intantorh1; sostituendo nelluguaglianza precedente si harh2 = qhrh1 +rh = qh+1qhrh +rh = (qh+1qh + 1)rh,per cui rh divide non solo rh1 ma anche rh2. Risalendo a ritroso la catenadelleuguaglianzeprecedenti eiterandoil ragionamentoprecedentesi vedeche, in ultima analisi,rhdovr`a dividere siaa cheb. In conclusione: rh `e undivisorecomunedi aebche `eunmultiplodiognialtrodivisorecomuneequindi rh = (a, b). Inne ricavando r1 dalla prima uguaglianza della catena esostituendolo nella seconda, e poi ricavando r2 dalluguaglianza cos` ottenutae sostituendolo nella terza, e cos` via. . . si perviene ad esprimere rh = (a, b)come combinazione lineare dia eb: (a, b) = ar +bs.Le nozioni di massimo comun divisore, minimo comune multiplo,elementirelativamenteprimi si generalizzano immediatamente dal casodi due interia, b a quello di un arbitrario insieme nitoa1, . . . , andi interi. 6.4 Il teorema fondamentale dellaritmeticaUn numero interop ,= 1 viene detto primo se gli unici suoi divisori sono1 e p; in caso contrario si dir`a composto.I numeri primi sono tra gli oggetti pi` u importanti ma, tutto sommato,anchepi` umisteriosi dellamatematica. Seneintuiscebenelimportanzatramite il seguente Teoremafondamentaledellaritmetica che li indicaesserei mattoni concui si costruisconotutti gli altri numeri interi, lecuipropriet`adipendonodaquali equanti mattoni siatti vengonoutilizzatiintalecostruzione(2). Lasi coglier`aancorameglioquando, nellambitodi(2)Unesempioeclatante viene oertodallapi` umodernatecnicaper lacifraturadimessaggi segreti, tecnicachesi fondasuuninterodatodal prodottodi dueprimimoltograndi.61corsi pi` uavanzati, si scoprir`achepropriet`adei numeri primi giocanosor-prendentementeunruolochiaveinquestioni allapparenzamoltodistantidallaritmetica, eviceversa. Il loromisterorisiedeinvecenel fattoche, adonta dellenorme mole di studi che sono stati loro dedicati e delle innumerevoliloro propriet`a che tali studi hanno messo in luce, tuttavia non si riesce an-cora a cogliere la loro struttura complessiva ne trovano ancora risposta alcunetra le pi` u famose congetture della matematica che, direttamente o indiretta-mente, li riguardano. Tale dicolt`a induce a ritenere che esse, anche quelledi facile enunciazione(3), nascondano nella loro ermeticit`a qualcosa di moltoprofondo che i matematici ancora non riescono neppure ad intuire.Noi naturalmente li soreremo appena, limitandoci a considerarne sola-mente le propriet`a pi` u elementari. Iniziamo col provare cheTeorema6.6(Euclide): Esistono inniti numeri primi.Dimostrazione: Di questo teorema esistono, com`e facilmente immagina-bile,molte dimostrazioni. Quella che riportiamo qui di seguito,che `e forsela pi` u elegante, `e dovuta ad Euclide. Procede per assurdo. Supposto infattiche vi siano solo un numero nito di primi, diciamop il maggiore tra loro econsideriamoilnumeroq:=p! + 1 = 123p + 1. Poiche,sesidivideqperunoqualunqueinteropositivominoreougualeapsiottienesempre1 come resto, dovr`a esserci almeno un altro primo maggiore dip e minore ouguale a q, ci`o che contraddice lipotesi sulla nitezza dellinsieme dei primi.

Lemma6.7: Seunprimopdivideil prodottoabenondivide aalloradivideb:p primo p[ab p ,[a = p[b .Dimostrazione: Poiche (a, p) = 1, per la Prop.6.3 esistono degli interir, s tali che1 = ra +sp,da cuib = rab +spb = (rh +sb)p con hp = ab.e quindip divideb. (3)Una,adesempio,congetturalesistenzadiinnitecoppiedi numeriprimigemellicio`edi coppiedi numeri primi dellaformap, p + 2. Secondounaltra, notacomecongetturadi Goldbach,ognipari> 2`elasommadidueprimi.62Corollario6.8: Se linteroc divide il prodottoab ed `e primo cona alloradivideb:c[ab (a, c) = 1 c[b . Uninteron si dicedecompostoinfattori primiquando `e espressosotto forma di prodotton =p1p2 psdi numeri primi p1, p2, . . . , ps;in-oltreladecomposizionen =q1q2 qtinfattoriprimi q1, q2, . . . , qtvieneidenticataallaprecedenteses=teperogni piesisteunqjtalecheopi=qjoppurepi= qj. Ad esempio 60 = 2235 = 3(2)(5)2.Siamo ora in grado di provare ilTeorema 6.9 (Teorema fondamentale dellaritmetica): Ogni numerointeron ammette una unica decomposizionen = p1 p2 ps in fattori primip1, p2, . . . , ps.Dimostrazione: Non `e restrittivo supporre che n sia positivo. Se n `e primononc`enientedaprovare. Seinvecen `ecompostovi `eunprimopositivo,diciamolop1, chelodivide: n=p1n

conn>n

. Sen

`eprimoalloran=p1n

`eladecomposizionecercata. Seinvecen

`ecompostovi`eunprimo positivop2(eventualmente uguale ap1) che dividen

: n

=p2n

,percui n=p1p2n

conn>n

>n

. Sen

`eprimoalloran=p1 p2 n

`e la decomposizione cercata, in caso contrario si itera il ragionamentoprecedentechenonpu`ocomunqueripetersi indenitamentedal momentoche esso genera una sequenza strettamente decrescenten > n

> n

> . . . diinteri positivi. Pertanto dopo un certo numero, diciamolos 1, di passi siavr` a la decomposizione cercata: n = p1p2 ps.Restadaprovarecheessa`eessenzialmenteunica. Atal nesian=q1 q2 qt una nuova decomposizione in fattori primi dello stesso numero n.Non `e restrittivo supporre che sia i piche i qjsiano tutti positivi e che siat s. Per ilLemma6.7il primoq1,dividendon,dovr`a dividerealmenouno dei fattori pi;supponiamo che sia propriop1: q1[p1. Questo comportaq1=p1, equindi p2p3 ps=q2q3 qt. Iterandotaleragionamentosuccessivamente perq2, q3, . . . , qt,otteniamo via viaq1=p1,q2=p2,q3=p3,. . . ,qt = pte, set < s,pt+1pt+2 ps = 1. Ma questultima `e assurda,e quindi anchet = s, ci`o che completa la dimostrazione del teorema. Corollario 6.10: Dati gli interia eb, siad := (a, b) edm := [a, b]. Alloraab = dm. 63 6.5 Il crivello di EratosteneAlle scuole elementari abbiamo imparato, sfruttando la successione2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . .dei numeri primi, a decomporre in fattori primi un numero intero come pure,sfruttandotaledecomposizione, acalcolareil massimocomundivisoredidueinteri assegnati aebnoncheil lorominimocomunemultiplocomeilprodottodei fattori primi comuni adae bpresi col minimoesponentee,rispettivamente, comeil prodottodei fattori primi comuni enoncomunipresi col massimo esponente.Tuttoquesto, ribadiamolo, richiedeper`ochesi conoscalasuccessionedei primi, almeno no allultimo primo minore o uguale alla radice quadratan dellinteron che si deve decomporre: se infattin = pq eq> n allorap < n. Orbene, esiste un algoritmo, chiamato crivellodiEratostene(4),checonsentedicostruiretalesuccessionesinoalpuntovoluto. Diciamodivoler la successione di tutti i primi minori o uguali ad un intero ssatoN.Procediamonel modoseguente: iniziamoconloscriverelasuccessioneditutti gli interi a partire da 2 no aNcompreso:2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, . . . , Ndopo di che eliminiamo tutti i multipli di 2 (2 escluso):2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, . . . , N

(conN

N); il primo dei non eliminati, in questo caso il 3, `e ovviamenteunnumeroprimo. Eliminiamooradallultimasuccessioneottenutaanchetutti i suoi multipli (3 escluso):2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, . . . ,N

(conN

N

); ancora una volta il primo dei non esclusi, il 5, `e un primo,e noi eliminiamo dalla lista tutti i suoi multipli:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . . ,N

(4)Dal matematico greco ERATOSTENE (276 circa194 circa a.C.) cui se ne attribuiscelascoperta. Eratostene, cheoper`oadAlessandria, fuancherinomatoastronomoe geografo. Tra laltro, immaginando la Terra sferica, calcol`o conragionamentocorrettoeconbuonaapprossimazionelamisuradelmeridianoterrestre.64(conN

N

). Questoprocessovaiteratontantocheilprimodeinonesclusi `einferiorea N; nonappenaquestovalorevienesuperatoein-dichiamo con p il primo dei non esclusi che lo supera il processo pu`o essereinterrotto giacche si ha la certezza che tutti gli interi che ancora compaiononella lista sono numeri primi: infatti il primo multiplo di p che non sia gi`astato eliminato `e p2>N. Ad esempio, perN= 48 possiamo fermarci nonappenail processohaevidenziatoche7`eunnumeroprimo, ottenendolalista dei primi non superiori a 48:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.Abbiamoaccennatopi` usopraal fattocheancoroggi non`echiaralastruttura complessiva dellinsieme dei primi, e neppure aggiungiamo ora sappiamo molto di alcuni aspetti particolari di tale struttura. Ad esempiocontinuano ad attendere risposta molte domande relative alla distribuzionedei primi. In merito vi `e tuttavia un importante e celebre risultato positivo,il cosiddetto Teoremadeinumeriprimi, che ci sembra giusto ricordare.EnunciatodaGauss(5)nel 1792, `estatodimostratodaHadamarde, con-temporaneamentemaindipendentemente, dadeLaValleePoussin(6)nel1896contecnichedimostrativeassai sosticatedi analisi complessa. Soloinanni relativamenterecenti (1949)ne`estatafornitaunadimostrazioneelementare(7)adoperadi ErdoseSelberg(8). Taleteoremainsoldoni af-ferma che vi sono circanln nnumeri primi minori di n. Pi` u precisamente, sihaTeorema 6.11 (Teorema dei numeri primi): Il numero(n) dei primiminori din `e asintoticamente approssimato danln n.Lavverbio asintoticamente signica semplicemente che quellappros-simazione`etantomigliorequantopi` un`egrande. Vadasechenoncisogniamo di riportare la dimostrazione del teorema precedente.(5)Il tedesco Carl Friedrich GAUSS (17771855) `e stato il pi` u grande matematicodellottocentoeforsedituttiitempi(seladisputaalphoto-nishconArchimedeeNewton).(6)Jacques HADAMARD (18651963),matematico francese e Charles de La VALL`EEPOUSSIN(18661962),matematicobelga.(7)Chenonsignicafacileineettisitrattadiunadimost