dispense 2012

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  • 8/13/2019 Dispense 2012

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    Algebra Lineare e Geometriadispense del corso

    Prof. Ernesto DedDipartimento di Matematica

    Politecnico di Milano

    [email protected]

    III edizionefebbraio 2012

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    Questopera stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione -Non opere derivate 3.0 Unported. Per leggere una copia della licenza visita il sito webhttp://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/o spedisci una lettera a Creative Commons,171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.

    In particolare ne vietato luso commerciale.

    Queste dispense sono state composte con LATEX

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    Indice

    Indice i

    Elenco delle figure v

    Elenco delle tabelle vii

    Prefazione ix

    I Algebra lineare 1

    1 Richiami di nozioni essenziali 3

    1.1 Gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Il simbolo di sommatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Il principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Un po di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 I sistemi lineari: teoria elementare 11

    2.1 Concetti introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Risoluzione di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Matrici 15

    3.1 Nomenclatura e prime operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Operazioni sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Polinomi di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Matrici a blocchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Applicazioni ai sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Lalgoritmo di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4 Spazi vettoriali 354.1 Definizioni e prime propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Sottospazi e basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    5 Determinante. Inversa 45

    i

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    ii Indice

    5.1 Definizioni di determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5.2 Propriet del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Un determinante particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Calcolo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.6 Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    6 Teoria dei sistemi lineari 57

    6.1 Teoremi sui sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    7 Applicazioni 63

    7.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    7.2 Applicazioni lineari, matrici, sistemi . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 Prodotto scalare, norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.5 Generalizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    8 Similitudine. Autovalori. Autovettori 77

    8.1 Matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Autovalori ed autovettori di una matrice . . . . . . . . . . . . 78

    9 Diagonalizzazione, matrici ortogonali 85

    9.1 Diagonalizzazione di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . 859.2 Martici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.4 Matrici hermitiane e matrici unitarie . . . . . . . . . . . . . . . 95

    10 Polinomi di matrici 97

    10.1 Teorema di Cayley Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.2 Polinomio minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    II Geometria piana 103

    11 La retta nel piano 105

    11.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.2 Altri tipi di equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.3 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.4 Fasci di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.5 Coordinate omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.6 I sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.7 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    12 La circonferenza nel piano 117

    12.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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    Indice iii

    12.2 Tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    12.3 Fasci di circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.4 Circonferenza ed elementi impropri . . . . . . . . . . . . . . . 123

    13 Le coniche 125

    13.1 Coniche in forma generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13013.2 Riconoscimento di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13113.3 Tangenti ad una conica in forma canonica . . . . . . . . . . . . 13313.4 Conica per cinque punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13413.5 Le coniche in coordinate omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . 13513.6 Fasci di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13613.7 Fasci e punti impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    III Polarit piana 141

    14 Proiettivit ed involuzioni 143

    14.1 Proiettivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314.2 Involuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    15 Polarit piana 149

    15.1 Polare di un punto rispetto ad una conica irriducibile . . . . . 14915.2 Principali propriet della polarit piana . . . . . . . . . . . . . 15215.3 Elementi coniugati rispetto ad una conica irriducibile . . . . . 15415.4 Triangoli autopolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    16 Centro ed assi 159

    16.1 Centro e diametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15916.2 Assi di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    IV Geometria dello spazio 165

    17 Rette e piani nello spazio 167

    17.1 Equazioni parametriche della retta nello spazio . . . . . . . . . 167

    17.2 Equazione di un piano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 16817.3 Parallelismo e perpendicolarit nello spazio . . . . . . . . . . . 17017.4 La retta intersezione di due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . 17117.5 Fasci di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17317.6 Altri problemi su rette e piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17417.7 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18017.8 Coordinate omogenee nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    18 Sui sistemi di riferimento 189

    18.1 Rototraslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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    iv Indice

    18.2 Coordinate polari e coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . 191

    19 Linee e Superfici nello spazio 19519.1 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19519.2 Linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    20 Sfera e circonferenza nello spazio 201

    20.1 La sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20120.2 Piani tangenti ad una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20220.3 Circonferenze nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20220.4 Fasci di sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    21 Superfici rigate e di rotazione 207

    21.1 Superfici rigate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20721.2 Superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

    22 Cilindri, coni e proiezioni 21122.1 Coni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21122.2 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21422.3 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21622.4 Riconoscimento di una conica nello spazio . . . . . . . . . . . 217

    23 Superfici quadriche 21923.1 Prime propriet delle quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    23.2 Quadriche in forma canonica e loro classificazione . . . . . . . 22123.3 Natura dei punti e riconoscimento di una quadrica . . . . . . . 226

    Indice analitico 233

    Indice analitico 233

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    Elenco delle figure

    4.1 Matrici triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    7.1 Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano . . . . 697.2 Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio . . . 697.3 La regola del parallelogrammo per la somma di vettori . . . . . . 70

    11.1 Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.2 Traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11311.3 Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.4 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    12.1 La circonferenza in equazioni parametriche . . . . . . . . . . . . . 11912.2 Tangente inPad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    12.3 Tangenti da un punto ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . 12112.4 Fascio di circonferenze tangenti ad una retta . . . . . . . . . . . . 123

    13.1 Le coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12513.2 Lellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12613.3 Liperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.4 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12913.5 Esempio 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.6 Esempio 13.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13613.7 Esempio 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    15.1 Tangenti da un punto ad una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15315.2 Involuzione iperbolica, retta secante . . . . . . . . . . . . . . . . . 15515.3 Involuzione ellittica, retta esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15515.4 Triangolo autopolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    16.1 Centro di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16016.2 Centro graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16116.3 Diametro coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16216.4 Diametri e tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    17.1 Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    v

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    vi Elenco delle figure

    17.2 Distanza di un punto da un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    17.3 Simmetrica di una retta rispetto ad un piano . . . . . . . . . . . . 18217.4 Simmetrico di un piano rispetto ad un piano . . . . . . . . . . . . 18317.5 Simmetrico di un piano rispetto ad un piano parallelo . . . . . . . 18417.6 Simmetrica di una retta rispetto ad un altra retta . . . . . . . . . . 185

    18.1 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19218.2 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    20.1 Circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    21.1 Superficie di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    22.1 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21122.2 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21522.3 Proiezione centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21622.4 Proiezione parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

    23.1 Ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22523.2 Gli iperboloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22523.3 Paraboloide ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22523.4 Paraboloide iperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

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    Elenco delle tabelle

    1 Lettere greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii2 Simboli matematici usati in queste dispense . . . . . . . . . . . . . xiii

    1.1 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Relazioni dordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.1 Particolari matrici quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Propriet della somma di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Propriet del prodotto per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Propriet del prodotto di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.1 Propriet degli spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    7.1 Propriet della norma di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Propriet della distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3 Propriet del prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4 Propriet delle forme bilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    13.1 Le forme canoniche dellequazione di una conica . . . . . . . . . . 132

    23.1 Forma canonica delle quadriche specializzate . . . . . . . . . . . . 22123.2 Forma canonica delle quadriche non specializzate . . . . . . . . . 22223.3 Riconoscimento di una quadrica non degenere . . . . . . . . . . . 227

    vii

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    Prefazione

    MATHEMATICSis one of essential emanations of

    the human spirit a thing to bevalued in and for itself like artor poetery1.

    Oswald Veblen-19242

    Queste dispense contengono elementi di algebra lineare, con particolare ri-guardo allalgebra delle matrici ed agli spazi vettoriali e di geometria analiticanel piano e nello spazio in particolare lo studio delle coniche e delle quadriche,vi sono inoltre dei cenni di geometria proiettiva; esse rispecchiano fedelmenteil corso dello stesso nome che da molti anni tengo presso la sede di Cremona

    del Politecnico di Milano. Sono corredate da numerosi esempi: alcuni diapplicazione della teoria svolta, altri di approfondimento della stessa.Nella seconda edizione, oltre a correggere numerosi errori, sono stati

    aggiunti i capitoli sulla polarit piana e sulle propriet di centro ed assi di unaconica; stato inoltre aggiunto lindice analitico.

    Nella terza edizione sono stati eliminati altri refusi e sono state effettuatedelle modifiche ad alcuni paragrafi con lintento di renderli pi chiari. statoanche aumentato il numero degli esempi.

    Consigli per affrontare meglio i corsi universitari di Matematica

    COSE DAnon FARE:

    i) non studiare su appunti presi da altri: generalmente ciascunoprende appunti a modo suo, mettendo in luce le cose cheper luisono pi importanti o pi difficili: di solito queste non coincidonocon quelle chea noisembrano pi importanti o per noi sono pidifficili;

    1LA MATEMATICA una delle essenziali emanazioni dello spirito umano, una cosa cheva valutata in s e per s, come larte o la poesia .

    2Oswald Veblen- 24 June 1880 Decorah, Iowa, USA10 Aug 1960 Brooklyn, Maine, USA.

    ix

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    x Prefazione

    ii) nonstudiare sui testi di scuola superiore: per bene che vada sono

    impostati in maniera diversa e/o incompleti;iii) nonimparare a memoria le formule o le dimostrazioni dei teoremi:

    la memoria tradisce molto pi facilmente e pi frequentementedel ragionamento: imparare a ricostruirle;

    iv) nonaver paura di fare domande, ovviamente nei momenti oppor-tuni: siete qui apposta per imparare;

    v) durante le lezioninonprendere freneticamente appunti: quelloche spiega il docente di solito c sui libri o sulle dispense, mentreprendendo male gli appunti c un alto rischio di perdere il filodella lezione;

    vi) durante le esercitazioninonricopiare pedissequamente la risolu-zione degli esercizi;

    vii) nonscoraggiarsi se, soprattutto allinizio, sembra di non capire osembra che il docente vada troppo in fretta, seguendo i consiglisi acquista presto il ritmo;

    viii) nonperdere tempo: il fatto che alluniversit non ci siano compitiin classe e interrogazioni una grande tentazione per rimandare

    il momento in cui mettersi sotto a studiare.COSE DA FARE:

    i) Precederesemprela lezione: cercare di volta in volta sui libri osulle dispense gli argomenti che il docente tratter nella prossimalezione e cominciare a leggerli per avere unidea di che cosa siparler. In questo modo la lezione sar pi efficace e chiarir moltidei dubbi e delle perplessit rimaste.

    ii) Iniziare a studiare dal primo giorno. La Matematica, soprattuttoallinizio, necessita di una lunga digestione: di un ripensamento

    critico che non si pu fare allultimo momento.

    iii) Studiaresemprecon carta e penna a portata di mano, per poterrifare conti, dimostrazioni, figure ecc.

    iv) Se proprio si vuole farloimparare a prendere appuntisenza perdere ilfilo del discorso: appuntare solo i concetti base su cui poi rifletteree ricostruire da soli largomento; a esercitazioni appuntaresoloiltesto dellesercizio ed il risultato finale e rifare per conto propriolesercizio.

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    xii Prefazione

    Tabella 1Lettere greche

    minuscole maiuscole nome

    A alfa B beta gamma delta

    o E epsilon Z zeta H eta

    o theta I iota

    K kappa lambda M mi N ni csio O omicron pi

    o R roo sigma

    T tau ipsilon

    o fi X chi psi omega

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    xiii

    Tabella 2Simboli matematici usati in queste dispense

    N insieme dei numeri naturaliZ insieme dei numeri interi

    Q insieme dei numeri razionaliR insieme dei numeri realiC insieme dei numeri complessi per ogni esiste! esiste un unico appartiene ad un insieme unione di insiemi intersezione di insiemi somma prodotto

    perpendicolare, prodotto scalare infinito insieme delle parti< minore> maggiore minore o uguale maggiore o uguale sottoinsieme proprio sottoinsieme somma diretta di insiemi insieme vuoto

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    Parte I

    Algebra lineare

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    Capitolo 1

    Richiami di nozioni essenziali

    In questo capitolo richiamiamo alcuni concetti e propriet fonda-mentali, di cui faremo largo uso nel seguito, e che dovrebbero comun-que essere noti ed acquisiti dagli studi precedenti, sia dalle Scuolesuperiori sia dal corso di Analisi Matematica.

    Tuttaviaquesto capitolo va letto con attenzione e non saltato a pie pari .Se sussiste anche il minimo dubbio sui concetti qui esposti, lo studentedeve correre rapidamente ai ripari, riprendendo in mano i testi ad essorelativi.

    1.1 Gli insiemi

    Il concetto diinsieme un concetto primitivo1. Diciamo che lelemen-toaappartiene allinsieme Ae scriviamoaAsea un elemento diA. Indichiamo con il simbolo linsiemevuotocio privo di elementi.2

    Due insiemi sonougualise sono formati dagli stessi elementi, indipen-dentemente dallordine in cui i singoli elementi compaiono in ciascuninsieme: per esempio gli insiemiA={a, b, c, d} eB ={b, a, d, c} sonouguali.

    Si dice cheB sottoinsieme di Ae si scriveBAse tutti gli elementidiBsono anche elementi di A, in simboli

    BA aB : aBaA (1.1)SeB= Ae vale la (1.1),Bsi chiamasottoinsieme propriodiAe si scrive,pi propriamente,BA.

    1Cio non un oggetto definito in base ad altri oggetti noti. Di esso si possono dare perpropriet e relazioni con altri oggetti noti.

    2Attenzione, questo simbolo quello dellinsieme vuoto e non va usato per indicare ilnumero0 zero!

    3

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    4 Capitolo 1. Richiami di nozioni essenziali

    noto che linsieme vuoto si considera sottoinsieme di ogni insieme,

    cio che A A

    SeAeBsono sottoinsiemi di uno stesso insieme U, si definisce

    unione di A e B linsiemeC = A Btale che siaC {c| cAoppurecB}

    cioC formato dagli elementi che appartengonoad Aoppure aB.

    intersezione di A e B linsiemeC = A

    Btale che

    C {c| siacA, siacB}cioC linsieme degli elementi che appartengo-no sia ad Asia aB.

    differenza tra A e B linsieme C = A \B se C ={c| c A, cB} cio linsieme degli elementi di A che nonappartengono aB.

    Due insiemi tali che A B= si chiamanodisgiunti.

    1.2 Relazioni

    Ricordiamo che in un insieme A definita una relazionedi equiva-lenza se, qualsiansi siano gli elementi a, b, cA, valgono le proprietelencate nella tabella 1.1.

    Tabella 1.1Relazioni di equivalenza

    a a riflessivaa b b a simmetricaa beb ca c transitiva

    Per esempio di equivalenzala relazione di parallelismo tra ret-te nel piano, pur di considerareparallele anche due rette coinci-denti, mentre non lo quella di

    perpendicolarit. (perch?)Se in un insieme A definitauna relazione di equivalenza chiamiamoclasse di equivalenzadelle-lementoalinsieme di tutti gli elementi diAche sono equivalenti ada. Linsieme di tutte le classi di equivalenza di Asi chiama insiemequoziente di A rispetto a .Esempio 1.1. Per esempio, nellinsieme delle frazioni, la relazione

    a

    b ka

    kb (k=0)

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    1.3. Il simbolo di sommatoria 5

    una relazione di equivalenza. I numeri razionali si possono definire come

    linsieme quoziente dellinsieme delle frazioni rispetto anel senso che ilnumero0.5rappresenta tutta la classe di frazioni equivalenti ad 12 .

    Esempio 1.2. La relazione di parallelismo definisce una direzione: passandoal quoziente, nellinsieme delle rette, rispetto alla relazione di parallelismo, siottiene la direzione di una retta.

    In un insieme A definita una relazione di ordine se per ognia, b, c

    Avalgono le propriet espresse nella tabella 1.2.

    Tabella 1.2Relazioni dordine

    1. aboppureba propriet di dicotomia2. aa propriet riflessiva3. abebaa = b propriet antisimmetrica4. abebcac propriet transitiva

    Un insieme per tutti gli elementi del quale valgono tutte le propriet

    elencate nella tabella 1.2 si chiama totalmente ordinato; in esso, datauna qualunque coppia ae bdi elementi, in virt della propriet didicotomia, si pu sempre dire se aboppurebacio, come si suoldire, tutti gli elementi sonoconfrontabili. Esistono, per, insiemi in cui definita una relazione dordine cosiddettaparziale, in cui non valela propriet 1 di dicotomia, cio in cui non tutte le coppie di elementisono confrontabili, come mostra il seguente

    Esempio 1.3. Nellinsieme N dei numeri naturali, diciamo che a bse adivideb. Questa una relazione dordine parziale, infatti valgono le propriet2....4. verificarlo per esercizio ma non totale perch esistono coppie dinumeri non confrontabili, ad esempio3e5non sono confrontabili, perch n 3divide 5, n, viceversa, 5 divide 3.

    1.3 Il simbolo di sommatoria

    Spesso in Matematica una somma di pi addendi viene indicata conil simbolo

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    1.5. Un po di calcolo combinatorio 7

    allora Pn vera per qualunque numero naturale n.

    Vediamo qualche semplicissimo esempio.

    Esempio 1.4. Consideriamo i priminnumeri dispari e verifichiamo che perogni intero n si ha

    1 + 3 + 5 + + (2n 1) =n2. (1.2)

    La ( 1.2) ovviamente vera pern =1, quindiP1 vera. Supponiamo ora cheessa sia vera per un certon = k, cio che la somma dei primi knumeri disparisiak2 e dimostriamo che in questo caso vera anche per k+1. Pern = k+1la ( 1.2) diventa

    1 + 3 + 5 + + (2(k+ 1) 1) =(1 + 3 + 5 + + 2k 1)

    k2

    +2k+ 11.2= k2 + 2k+ 1= (k+ 1)2.

    Dunque abbiamo fatto vedere che se la somma di knumeri dispari k2 nesegue che quella dik+1(k+1)2. Essendo vera perk=1lo perk=2quindi per k=3e cos via per ogni n.

    Esempio 1.5. Vogliamo far vedere che

    1 + 2 + 3 + +n= n(n+ 1)2

    (1.3)

    Pern =2la (1.3) ovviamente vera; supponiamo che sia vera per n = kedimostriamo che in tal caso vera anche per n = k+ 1. Infatti si ha:

    1 + 2 + 3 + +k+ (k+ 1) = k(k+ 1)2

    +k+ 1=

    = k(k+ 1) + 2k+ 22 = k2

    + 3k+ 22 =(k+ 1)(k+ 2)2 .

    1.5 Un po di calcolo combinatorio

    Come noto, si chiamafattoriale din(n> 1)e si scriven!il prodottodei primininteri

    n!= n (n 1) 3 2e si pone, per definizione, 1! =1 =0!

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    8 Capitolo 1. Richiami di nozioni essenziali

    Permutazioni

    DEFINIZIONE 1.2. Si chiamapermutazionedi n oggetti un qualsiasiallineamento di questi oggetti.

    Per esempio per contare quante sono le permutazioni delle tre letterea, b, cpossiamo provare ad elencarle:

    {abc} {acb} {bac} {bca} {cab} {cba} quindiP3 = 6Generalizzando, quante sono le permutazioniPndinoggetti? Os-

    serviamo che il primo oggetto si pu scegliere innmodi diversi, mentreper il secondo, una volta scelto il primo, posso operaren

    1 scelte, per

    il terzo le scelte sono n 2 e cos via, quindiPn = n(n 1)(n 2) 2= n! (1.4)

    Consideriamo uninsiemeIdinelementi e scegliamo una permutazio-ne fdegli elementi di Iche considereremo permutazione fondamentale.Sia orap ={x1, x2, . . . , xn} unaltra permutazione degli elementi dellostesso insieme I. Se accade che due elementi si succedano inp in ordi-ne inverso rispetto a come si succedono in fdiciamo che essi formanounainversioneo unoscambiorispetto ad f. Una permutazionepsi dice

    diclasse paririspetto alla permutazione scelta come fondamentale f, sepresenta un numero pari di scambi, di classe dispariin caso opposto.

    Esempio 1.6. Sia {1,2,3,4,5} la permutazione fondamentale dellinsiemeformato dai primi cinque numeri interi. Consideriamo poi la permutazioneP{3,4,2,1,5, }: in essa lelemento1forma inversione con2,3e4e lelemento2con3e4; quindi il numero totale di inversioni 5. DunqueP di classedispari.

    OSSERVAZIONE1.1. Poich scambiando due elementi si passa da unapermutazione di classe pari ad una di classe dispari, il numero delle

    permutazioni di classe pari uguale a quello delle permutazioni diclasse dispari, cio n!2. Si pu anche notare che se una permutazionepdi classe pari rispetto ad una permutazione fondamentale f, essa diclasse pari rispetto a qualunque permutazioneqa sua volta di classepari rispetto ad f.

    Permutazioni con ripetizione

    Consideriamo ora il caso in cui gli n oggetti non siano tutti di-stinti, per esempio consideriamo i 7 oggetti a1, a2, b1, b2, b3, c, din cui

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    1.5. Un po di calcolo combinatorio 9

    gli oggetti a sono indistinguibili tra loro e cos pure gli oggettib. Le

    permutazioni sono 7! =5040 ma siccome i tre oggettibsono ugualiavremo 3!permutazioni non distinguibili, quindi il numero diminuir

    a7!3!

    = 5040

    6 =840; siccome poi sono uguali anche i due elementia

    abbiamo 7!3! 2! =420.

    Generalizzando, consideriamo linsieme X {x1, x2, . . . , xm}sesappiamo che loggettox1 ripetuton1volte, loggettox2 ripetuton2

    volte e cos via (con m

    i=1

    ni =n) si ha

    P = n!n1!n2! nm! (1.5)

    Nel caso particolare in cui fra glinoggetti ce ne sianokuguali tra loro egli altrin kpure uguali tra loro (ma non ai precedenti) la formula ( 1.5)diventa

    P = n!

    k!(n k)!

    Combinazioni e disposizioni

    Se abbiamonoggetti e vogliamo suddividerli in gruppi dikoggettiognuno di questi raggruppamenti si chiamacombinazione dinoggetti akakse due di questi raggruppamenti sono diversi quando differisconoper almeno un oggetto. Si chiama invecedisposizione dinoggetti a ka kognuno di questi raggruppamenti quando consideriamo diversidue di essi non solo se differiscono per almeno un oggetto, ma anchese contengono gli stessi oggetti in ordine differente. Se indichiamorispettivamente conCn,ke Dn,kil numero delle combinazioni e quellodelle disposizioni dinoggetti akak, dalla definizione segue subito chesi ha

    Dn,k=k!Cn,kRipetendo il ragionamento fatto per determinare il numero delle per-mutazioni, si ricava immediatamente che

    Dn,k=n(n 1)(n 2) (n k+ 1)e di conseguenza

    Cn,k= n(n 1)(n 2) (n k+ 1)

    k!

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    10 Capitolo 1. Richiami di nozioni essenziali

    moltiplicando numeratore e denominatore per(n

    k)! si ottiene

    Cn,k= n!

    k!(n k)! =

    n

    k

    che, come noto, ilkesimo coefficiente nello sviluppo dellanesimapotenza di un binomio e prende perci il nome dicoefficiente binomiale.

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    Capitolo 2

    I sistemi lineari: teoria

    elementare

    2.1 Concetti introduttivi

    In questo capitolo supporremo sempre, salvo esplicito avviso con-trario, di trovarci nel campo reale R, cio che i coefficienti e le variabilidelle equazioni che considereremo saranno numeri reali.

    Unequazione di primo grado anche dettalineare; se in una solaincognita essa si pu sempre porre, con semplici passaggi algebrici,nella forma

    ax+b=0 (2.1)

    Per quanto riguarda la risoluzione dellequazione(2.1)osserviamoche

    Se a=0 essa ammette sempre lunica soluzionex =ba

    ;

    se a=0e b=0 non ammette soluzioni;se a=0e b=0 essa soddisfatta daognivalore di x, quindi pi

    propriamente unidentit.

    Se, invece, unequazione lineare ha due variabili le soluzioni sonoin generale infinite; per esempio consideriamo lequazione

    x+y=1 (2.2)

    essa ammette come soluzione la coppia x = 1,y =0, la coppia x =0,y=1, la coppia x = 12 ,y=

    12 . . . , e quindi, in generale, tutte le infinite

    coppie tali chex= t, y=1 t t R.

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    12 Capitolo 2. I sistemi lineari: teoria elementare

    Questa scrittura significa che per ogni valore del parametrotesiste una

    soluzione1.Sappiamo anche che una tale equazione rappresenta, nel pianoriferito ad una coppia di assi cartesiani ortogonali, una retta, i cui infinitipunti hanno coordinate che sono appunto le soluzioni dellequazione.

    Se ora consideriamo, accanto alla (2.2) anche lequazionex y=1 eci proponiamo di trovare, se esistono, dei valori dixeyche soddisfannoentrambele equazioni, abbiamo quello che si chiama unsistema lineareche si indica abitualmente con la scrittura

    x+y=1x y=0. (2.3)Quindi un sistema di equazioni , in generale, un insieme di equa-

    zioni di cui si cercano le eventuali soluzioni comuni; un sistema sichiamalinearese tutte le equazioni da cui composto sono lineari.

    Nel caso del sistema (2.3) si vede facilmente che esso lineare eche la coppia

    x= 12 ,y=

    12

    soddisfa entrambe le equazioni, quindi

    una soluzione del sistema. Non difficile rendersi conto che essa unica: dal punto di vista geometrico basta pensare che in un sistema diriferimento cartesiano ortogonale le equazioni lineari rappresentano

    rette, quindi esse, se si incontrano, hanno esattamente un punto incomune le cui coordinate sono proprio la soluzione del sistema stesso.

    Possono per accadere altri casi: consideriamo per esempio il siste-ma

    x+y=1x+y=2

    (2.4)

    chiaro che le due equazioni si contraddicono luna con laltra, quindiil sistemanon ammette soluzionio impossibile. Nellinterpretazionegeometrica data precedentemente le due rette le cui equazioni formanoil sistema (2.4) sono parallele, di conseguenza non hanno alcun puntoin comune.

    Un altro caso rappresentato, per esempio, dal sistema x+y=1

    2x+ 2y=2 (2.5)

    In questo sistema appare chiaro che le due equazioni sono equiva-lenti nel senso che tutte le coppie soluzione della prima equazione lo

    1Attenzione, ogni soluzione formata da una coppia ordinatadi numeri reali.

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    2.1. Concetti introduttivi 13

    sono anche della seconda, quindi questo sistema ammette infinite solu-

    zioni. In questo caso facile vedere che, dal punto di vista geometrico,le due rette coincidono.

    Queste considerazioni si possono generalizzare al caso di sistemicon un numero qualunque (finito) di incognite. Parleremo allora, nelcaso generale, di un sistema di mequazioni innincognite2.

    a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2

    . . . . . . . . .

    am1x1+am2x2+ +amn xn =bm

    (2.6)

    La notazione che abbiamo usato per i coefficienti della (2.6) lacosiddetta notazionea doppio indice, in cui il primo indice dei coefficientirappresenta lequazione, mentre il secondo la posizione dello stessoallinterno dellequazione. Le incognite sonox1. . . xn i termini notisonob1. . . bm.

    Dagli esempi visti si pu concludere che un sistema lineare dimequazioni in nincognite pu appartenere ad una ed una sola delleseguenti categorie:

    sistema possibile questo a sua volta presenta due possibilit:

    una sola soluzione costituita da unanpla di valo-ri.

    infinite soluzioni dipendenti ciascuna da uno opi parametri, soluzioni che sipossono determinare dando op-portuni valori ai parametri.3

    sistema impossibile non esistono soluzioni comuni alle varie equazio-ni.

    Ci proponiamo, oltre che di imparare a risolvere un sistema lineare,anche di imparare adiscuterlo, cio a scoprirea priori(quindi senzadoverlo risolvere), se risolubile o no, e quante sono le sue soluzioni.

    2Linterpretazione geometrica, nel caso di pi di due incognite non cos immediata.3Un tale sistema a volte chiamato impropriamente sistema indeterminato; locuzione che pu

    trarre in inganno in quanto le soluzioni, pur essendo infinite, possono per essere determinate.

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    14 Capitolo 2. I sistemi lineari: teoria elementare

    2.2 Risoluzione di un sistema

    Nelle scuole superiori avete imparato a risolvere semplici sistemilineari con vari metodi, che si basano tutti sullidea di fondo che quella di trovare un sistema che abbia le stesse soluzioni di quello datoma sia scritto in una forma pi semplice.

    DEFINIZIONE 2.1. Due sistemi lineari dimequazioni innincognitesi diconoequivalentise hanno le stesse soluzioni, cio se ogninpla che soluzione delluno lo anche dellaltro.

    Ad esempio i sistemi

    x+ 3y=72x y=0

    (1 + 6)x=7

    y=2x

    x=1y=2

    sono equivalenti, come si verifica facilmente.Unottima tecnica per risolvere un sistema lineare quella di trovare

    un sistema equivalente a quello dato ma con una struttura pi semplice.Vedremo nei prossimi capitoli come si possa passare da un sistemalineare ad uno equivalente basandoci sullosservazione che un sistema definito quando sono dati i vari coefficientinelle rispettive posizioni:per far questo nel prossimo capitolo introdurremo il concetto dimatrice.

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    Capitolo 3

    Matrici

    Esistono molti metodi per applicare la strategia esposta alla finedel capitolo 2, per la maggior parte dei quali comodo introdurreuno strumento matematico molto potente ed utilizzato nei pi svariaticampi della Matematica e di tutte le Scienze: il calcolo matriciale.

    3.1 Nomenclatura e prime operazioni

    Osserviamo che un sistema completamente determinato quandosiano dati i termini noti ed i coefficienti nelle loro rispettive posizioni. Adesempio, riferendoci al sistema ( 2.6 a pagina 13), per tener conto deicoefficienti e delle loro posizioni possiamo scrivere la tabella:

    A=

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ... ...

    ... ...

    am1 am2 . . . amn

    (3.1)

    che chiamiamomatrice dei coefficientie i termini noti possiamo incolon-narli

    B=

    b1b2...

    bm

    ottenendo lamatrice (o vettore) dei termini noti.

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    16 Capitolo 3. Matrici

    anche importante, come vedremo, la matrice

    C=

    a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

    ... ...

    ... ...

    ...am1 am2 . . . amn bm

    (3.2)detta anchematrice completa, costruita a partire dalla Aaccostandolea destra la colonnaB dei termini noti: possiamo anche scrivereC =[A|B].

    Pi in generale chiamiamomatrice di tipo(m, n)una tabella di nume-

    ri, reali o complessi, organizzata inmrighe encolonne. Indicheremosempre, da ora in poi, le matrici con lettere latine maiuscole e gli ele-menti con lettere minuscole dotate eventualmente di due indici che neindividuano la posizione nella tabella, ad esempio scriveremoA = [aik]dove 1ime 1kn. Lelementoaiksar allora lelemento cheappartiene allaiesima riga e alla kesima colonna.

    Ad esempio nella matrice A =

    1 2 33 4 5

    5 6 7

    si haa32 = 6, in quanto il

    numero 6 nella posizione(3, 2)cio appartiene alla terza riga ed alla

    seconda colonna, allo stesso modo si ha:a23 = a31=5.Osserviamo che in alcuni testi le matrici sono indicate con

    a bc d

    cio con le parentesi tonde, anzich con

    a bc d

    .

    Due matrici sono uguali quando sono dello stesso tipo e sono for-mate dagli stessi elementinelle stesse posizioni; formalmente scriviamoche se A= [aik]e B = [bik]sono due matrici, A= Bse e solo se sonodello stesso tipo e seaik=biki, k.

    Come controesempio consideriamo le matriciA = 1 23 4e B =2 13 4

    ; esse, pur essendo formate dagli stessi elementi,nonsono uguali,

    infattia11=b11ea12=b12.SeA = [aik] una matrice di tipo (m, n)chiamiamotrasposta diAla

    matriceAT, di tipo(n, m)ottenuta scambiando ordinatamente le righecon le colonne1, dunqueB la trasposta di Asebik=akii, k.

    1Anche la notazioneATper la trasposta di una matriceAnon univoca: a volte la trasposta

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    3.1. Nomenclatura e prime operazioni 17

    Ad esempio se A = 1 2

    3 45 6 si avr AT= 1 3 52 4 6; ovviamente la

    trasposta di una matrice di tipo(m, n) una matrice di tipo (n, m)e latrasposta di una matrice di tipon n ancora dello stesso tipo.

    Sussiste anche la propriet(AT)T= A, cio la trasposta della traspo-sta di una matriceA ancora la matriceA. La semplice dimostrazionedi questa propriet lasciata come esercizio al lettore.

    Una matrice di tipo(m, n)in cuim = n, cio in cui il numero dellerighe uguale a quello delle colonne, si chiamamatrice quadrata di ordine

    n. Ci occuperemo ora di matrici quadrate.Se A = AT(il che implica che Asia quadrata, dimostrarlo per

    esercizio), cio seaik= akii, kdiciamo che Asimmetrica; se inveceA =AT, cio se aik =akii, kdiciamo che A emisimmetrica2.Come esercizio dimostrare che una matrice emisimmetrica ha tutti glielementi principali uguali a zero.

    Esempio 3.1. La matrice

    1 2 32 4 5

    3 5 6 simmetrica, mentre la matrice

    0 1 21 0 32 3 0

    emisimmetrica

    Gli elementiaikcon i =ksi chiamanoelementi principalioelementiappartenenti alla diagonale principalee la loro somma si chiamatracciadella matrice, si indica contr Ae si ha quindi

    tr A=n

    1

    aii.

    viene indicata con Ato con tAo anche con A t oppure A o in altri modi. Noi useremosemprela notazione AT.

    2Qui, come faremo dora in poi, abbiamo indicato con A(leggere, ovviamente,meno A)la matrice che si ottiene da Acambiando segno a tutti i suoi elementi.

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    18 Capitolo 3. Matrici

    Per esempio se A la matrice 1 02 3 la sua traccia trA=1 3=2

    .

    Sia oraAuna matrice quadrata di ordinen; nella tabella 3.1 definia-mo alcune particolari matrici quadrate.

    Tabella 3.1Particolari matrici quadrate

    diagonale seaik=0 per ognii=k; cio se gli elementinon

    principali sono tutti nulli;scalare se diagonale e gli elementi principali (cio glielementiaii) sono uguali tra loro;

    unit se scalare ei, aii = 1; la indicheremoconI, sottintendendo lordine quando non cambiguit;

    triangolare inferiore sei > ksi haaik =0 cio se tutti gli elemential di sopra della diagonale principale sono nulli;

    triangolare superiore sei < ksi haaik =0 cio se tutti gli elemential di sotto della diagonale principale sono nulli.

    Osserviamo esplicitamente che non si f nessuna ipotesi sugli ele-menti principali di una matrice diagonale o triangolare: essi potrebberoa loro volta essere tutti o in parte nulli.

    Esempio 3.2. La matriceA=

    1 0 00 0 0

    0 0 9

    una matrice diagonale, mentre

    la matriceB =

    2 0 0

    0 2 00 0 2

    una matrice scalare eC =

    3 0 01 2 00 2 0

    una matrice triangolare.Osserviamo anche che una matrice diagonale pu essere considerata

    sia triangolare inferiore sia triangolare superiore.

    3.2 Operazioni sulle matrici

    Ci proponiamo, in questo paragrafo, di introdurre unAlgebra dellematrici, cio di imparare a fare dei conti con le matrici; iniziamo con lasomma di due matrici.

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    3.2. Operazioni sulle matrici 19

    Somma di matrici

    SeA = [aik]eB = [bik]sono due matrici dello stesso tipo, diciamoche C = [cik](dello stesso tipo di Ae B) lasommadi Ae Be scri-viamo C = A+B se ogni elemento di C la somma degli elementicorrispondenti di AeB, cio se si ha,

    cik=a ik+bik;i, k.La somma di matrici gode delle propriet elencate nella tabella 3.2,

    che sono le propriet di ungruppo abeliano. Nella tabella,Ae B sono

    Tabella 3.2Propriet della somma di matrici

    i) A+ (B+C) = (A+B) +C propriet associativaii) A+B = B+A propriet commutativaiii) A+ 0= A esistenza elemento neutroiv) A+ (A) = 0 esistenza oppostov) (A+B)T= AT+BT

    matrici dello stesso tipo ed abbiamo indicato con 0la matrice che hatutti gli elementi nulli (che chiameremomatrice nulla). La verifica dellepropriet della somma di matrici quasi immediata e costituisce unutile esercizio per il lettore volenteroso.OSSERVAZIONE3.1. Attenzione! non confondere ilnumerozero0con la matrice zero (o matrice nulla), che noi indicheremo semprecol simbolo0 (in grassetto); osserviamo per che in alcuni testi masoprattutto nella scrittura a mano, essa viene spesso indicata con 0.

    A proposito di simbologia ricordiamo che il simbolo indica linsiemevuoto cio linsieme privo di elementi ed unicamente a tale scopova riservatoe non il numero 0, come invece molti hanno labitudine di fare.Questa confusione tra simboli diversi rappresenta una pessima abitudine da

    perdere nel minor tempo possibile.OSSERVAZIONE3.2. La somma di matrici si estende facilmente al casodi un numero qualsiasi di matrici.

    Prodotto per uno scalare

    Si introduce anche unprodotto esterno o prodotto per3 uno scalare,prodotto tra un numero ed una matrice: se un numero (o pi

    3Attenzione, esiste anche ilprodotto scalarev. 7.4 a pagina 72 da non confondere conquello che introduciamo qui.

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    20 Capitolo 3. Matrici

    precisamente uno scalare4) e A = [aik] una matrice, si ha B = Ase

    bik=aik,i, k.Ovviamente, per il prodotto per uno scalare, valgono le proprietelencate nella tabella 3.3, anchesse di quasi immediata dimostrazione,che lasciamo come esercizio al lettore.

    Tabella 3.3Propriet del prodotto per uno scalare

    i) 0= 0=0A;ii) 1A= A;iii) ()A= (A) =(A);

    iv) (+)A= A+A;v) (A+B) =A+B;vi) A= 0= =0 oppureA = 0.

    Combinazioni lineari di matrici

    Le due operazioni di somma e di prodotto per uno scalare si unisco-no nella definizione dicombinazione linearedi matrici.

    DEFINIZIONE 3.1.Siano datenmatrici dello stesso tipoA1,A2, . . . ,Aned nscalari. 1, 2, . . . , n. Diciamo che la matrice B combinazionelinearedelle A iconcoefficientiise

    B=n

    i=1

    iAi =1A1+2A2+ +nAn. (3.3)

    Ovviamente la combinazione lineare (3.3) d la matrice nulla se tuttigliisono nulli.

    DEFINIZIONE 3.2. Se una combinazione lineare di nmatrici d lamatrice nulla anche se non tutti i coefficienti sono nulli, cio se

    0=n

    i=1

    iAicon qualchei=0

    diciamo che le matrici sonolinearmente dipendenti. In caso contrario,cio se posso ottenere la matrice nullasolo setutti i coefficienti sononulli, diciamo che le matrici sonolinearmente indipendenti.

    4Il termine scalare nasce dal fatto che, generalizzando, le matrici si possono definire suun campo qualsiasiK, non necessariamente un campo numerico comeR o C e da qui il nomedi scalare, che indica un elemento del campoK.

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    3.2. Operazioni sulle matrici 21

    Sul concetto di dipendenza lineare sussiste il fondamentale

    Teorema 3.1. Siano A1,A2, . . . ,Ak kmatrici dello stesso tipo, esse sonolinearmente dipendenti se e solo se almeno una di esse si pu scrivere comecombinazione lineare delle altre.

    Dimostrazione. Se le matrici A1, . . . ,Aksono linearmente dipendenti,allora esiste una loro combinazione lineare che d la matrice nulla senzache tutti i coefficienti siano nulli, cio1A1+2A2+ +kAk= 0.In virt della propriet commutativa, possiamo supporre, senza ledere

    la generalit, che1=0; allora possiamo scrivereA1 =

    1

    1

    (2A2+

    +kAk), quindiA1 combinazione lineare delle rimanenti, e si ha:A1=

    k

    i=2

    i1

    Ai.

    Viceversa supponiamo che A1 =k

    i=2

    iAi, allora la combinazione

    lineare

    A 2A2 kAk=0d la matrice nulla, ed almeno il primo coefficiente, quello di A,

    diverso da zero, dunque le matrici sono linearmente dipendenti.

    Prodotto tra matrici

    Il prodotto di matrici un operazione meno intuitiva delle dueprecedenti. Siano Ae B, prese nellordine dato, due matrici di tipirispettivamente(m,p)e(p, n); diciamoprodotto righe per colonneo sem-plicementeprodottodelle matrici Ae B, nellordine dato, la matriceC= AB = [cik]di tipo(m, n)se lelemento genericocik la somma deiprodotti degli elementi dellaiesima riga di Aper gli elementi della

    kesima colonna diBcio

    cik=p

    j=1

    aij bjk

    OSSERVAZIONE3.3. La definizione di prodotto di una matriceAperuna matriceBimplica che il numero delle colonne della prima matricedeve coincidere con il numero delle righe della seconda; diciamo, in talcaso, cheAconformabileconB.

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    22 Capitolo 3. Matrici

    Esempio 3.3. Siano A(2, 2) = a bc de B(2, 3) = x y z

    u v wallora Aconformabile con B e si ha

    C(2, 3) = AB =

    ax+bu ay+bv az+bwcx+du cy+dv cz+dw

    OSSERVAZIONE 3.4. Si vede subito che, in generale, se A di tipo(m,p)e B di tipo(p, n)il prodotto AB una matrice di tipo(m, n),mentre il prodottoB Anon ha senso, perch Bnon conformabile conA. SeA di tipo(n,p)eBdi tipo(p, n)il prodotto si pu fare nei duesensi, ma d luogo a due matrici quadrate certamente diverse: infatti

    una di ordinened una di ordine p. Infine, anche nel caso in cui AeBsiano entrambe quadrate dello stesso ordinenil prodotto ABed ilprodottoB A, pur essendo entrambe matrici quadrate ancora di ordinen,non sono,in generale, uguali, come mostra il seguente

    Esempio 3.4. Se A=

    0 00 1

    e B=

    0 01 0

    si verifica subito che

    AB =

    0 01 0

    ma BA=

    0 00 0

    = 0 (3.4)

    OSSERVAZIONE3.5. La ( 3.4) mette in luce, oltre allanon commutativitdel prodotto di matrici, anche il fatto che per le matrici non vale la legge diannullamento del prodottocio che il prodotto di due matrici pu dare lamatrice nullasenza che nessuna delle due sia la matrice nulla.

    Dunque per il prodotto di matricinon vale, in generale, la proprietcommutativa, tuttavia esistono coppie di matrici AeBtali che AB =BA: esse si chiamanopermutabilio si dice anche checommutano. Adesempio la matriceIcommuta con tutte le matrici del suo stesso ordine.

    Per il prodotto tra matrici valgono invece le propriet elencate nella

    tabella 3.4 nella pagina successiva, dove, ovviamente, in ciascun casosi sottintende che le uguaglianze valgono solo se sono rispettate leconformabilit.

    Anche queste propriet sono di facile dimostrazione, ricordando lepropriet dei numeri reali (o complessi) e la definizione di prodottorighe per colonne.

    OSSERVAZIONE3.6. Osserviamo che il prodotto righe per colonne in un certo senso privilegiato rispetto agli altri analoghi (di ovviosignificato)colonne per righe, colonne per colonneorighe per righe, perch

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    3.2. Operazioni sulle matrici 23

    Tabella 3.4Propriet del prodotto di matrici

    i) A(BC) = (AB)C associativaii) (A+B)C= AC+BC C(A+B) =C A+CB distributiveiii) (AB) = (A)B= AB= (AB) associativit mistaiv) AI= I A= A esistenza elemento neutrov) A0= 0A= 0vi) (AB)T=BTAT

    lunico dei quattro che gode della propriet associativa, come siverifica facilmente su esempi che il lettore invitato a trovare come utileesercizio, per esempio scrivendo facili programmini per calcolatore.

    Il prodotto elemento per elemento non soddisfacente, per esem-pio perch considerando i determinanti (vedi definizione 5.2 a pagi-na 46) non sarebbe pi vero il teorema 5.5 a pagina 50 che dice cheil determinante di un prodotto di matrici uguale al prodotto deideterminanti.

    Applicando la definizione di prodotto tra matrici si vede anche che,per esempio, il sistema 2.6 a pagina 13 si pu scrivere nella forma, picomoda

    Ax = b

    in cuiA la matrice, di tipo(m, n),A =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ... ...

    ... ...

    am1 am2 . . . amn

    ,x una

    matrice di tipo(n, 1)(matrice colonna),x =

    x1x2...

    xn

    ebuna matrice di

    tipo(m, 1),b =

    b1b2...

    bm

    .

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    24 Capitolo 3. Matrici

    Potenza di una matrice quadrata

    DEFINIZIONE 3.3. Si chiamapotenza ennesima An (n Z) di unamatrice quadrataAla matrice

    An =

    A A A n volte

    sen2

    A sen =1I sen =0

    Per la potenza di matrici valgono le usuali propriet delle potenze,con lattenzione alla non commutativit del prodotto; in particolare,

    per esempio, si avrAm An = Am+n (Am)n = Amn;

    ma in generale la non commutativit implica che

    (AB)n = An Bncos come per esempio(A B)2 sar in generale diverso daA2 2AB +B2, a meno che, naturalmente,AeBnon commutino; lo stesso si pudire per il prodotto(A+B)(A B)che, nella formaA2 B2 dipendeessenzialmente dalla commutativit.

    Segnaliamo anche che esistono matrici non banali tali che A2

    = AeAk = 0; esse si chiamano, rispettivamente, matriciidempotentie matrici

    nilpotenti. Per esempio la matrice

    1 10 0

    idempotente, mentre la

    matrice

    0 03 0

    nilpotente: verificarlo per esercizio.

    3.3 Polinomi di matrici

    Dato un polinomio di grado n

    a0xn +a1x2 + +an1x+anpossiamo ora formalmente sostituire alla variabilexuna matrice Aottenendo ilpolinomio matriciale

    a0An +a1A

    2 + +an1A+an I.Osserviamo che il termine noto di un polinomio corrisponde al coef-ficiente del termine x0, da qui la sostituzione A0 = I. I polinomi dimatrici sono molto usati nella teoria delle matrici ed anche nelle altreScienze.

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    3.4. Matrici a blocchi 25

    3.4 Matrici a blocchi

    Una matrice Apu essere divisa, mediante linee orizzontali e/overticali, in sottomatrici che prendono il nome diblocchi. Naturalmenteogni matrice pu essere decomposta in blocchi in parecchi modi diversi,

    ad esempio la matriceA =

    a b cd e f

    si pu suddividere in blocchi, tra

    gli altri, nei seguenti modi:a b cd e f

    a b c

    d e f

    a b c

    d e f

    Se Ae B sono due matrici dello stesso tipo posso sempre suddivide-re entrambe in blocchi dello stesso tipo, pi precisamente possiamosupporre

    A=

    A11 A12 . . . A1nA21 A22 . . . A2n

    ... ...

    ... ...

    Am1 Am2 . . . Amn

    e B=

    B11 B12 . . . B1nB21 B22 . . . B2n

    ... ...

    ... ...

    Bm1 Bm2 . . . Bmn

    dove le matrici Aiksono rispettivamente dello stesso tipo delle matriciBik i, k. A questo punto ovvio, dalla definizione di somma tra matrici,che

    A+B=

    A11+B11 A12+B12 . . . A1n+B1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Am1+Bm1 Am2+Bm2 . . . Amn+Bmn

    Allo stesso modo si pu eseguire il prodotto a blocchi per uno scalare,moltiplicando ciascun blocco per lo scalare.

    Per il prodotto a blocchi, invece, occorre che le matrici siano decom-poste in blocchi a due a due conformabili, come illustra il seguente

    Esempio 3.5. SianoAeBdue matrici (Aconformabile conB) divise a blocchicome segue

    A=

    a b cd e fg h k

    B= x uy vz w

    e chiamiamo

    A1=

    a bc d

    A2=

    cf

    A3 =

    g h

    A4 =

    k

    B1=

    xy

    B2=

    uv

    B3 =

    z

    B4 =

    w

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    26 Capitolo 3. Matrici

    allora possiamo scrivere

    A=

    A1 A2A3 A4

    e B=

    B1 B2B3 B4

    ed il prodotto si pu eseguire a blocchi in questo modo:

    AB =

    A1B1+A2B3 A1B2+A2B4A3B1+A4B3 A3B2+A4B4

    come se i singoli blocchi fossero elementi delle matrici.

    In generale se le matrici AeBsono decomposte in blocchi nel modoseguente

    A=

    A11 A12 . . . A1nA21 A22 . . . A2p

    ... ...

    ... ...

    Aq1 Aq2 . . . Aqp

    e B=

    B11 B12 . . . B1rB21 B22 . . . B2r

    ... ...

    ... ...

    Bp1 Bp2 . . . Bpr

    ed i blocchiAij sono conformabili con i blocchiBjki,j, kallorasi pueseguire a blocchi il prodottoABcome se i singoli blocchi fossero elementidelle matrici.

    OSSERVAZIONE3.7. Il prodotto a blocchi utile quando, per esempio,nelle matriciAe/o Bsi possono individuare blocchi che formano lamatrice nulla oppure la matrice unit o anche nei seguenti casi:

    i) SeA(m,p)eB(p, m)sono due matrici tali che Asia conformabileconB e se indichiamo con B1, B2, . . . , Bnle colonne di B, possia-mo scrivereBa blocchi come B =

    B1 B2 . . . Bn

    e quindi il

    prodottoABsi pu scrivere

    AB = AB1 AB2 . . . ABnii) Se ancoraB =

    B1 B2 . . . Bn

    eD = diag(d1, d2, . . . , dn)allora

    BD = DB =

    d1B1 d2B2 . . . dn Bn

    iii) SianoAeBquadrate e dello stesso ordine decomposte in blocchinel modo seguente

    A=

    A1 A3

    0 A2

    e B=

    B1 B30 B2

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    3.5. Applicazioni ai sistemi lineari 27

    dove A1e B1sono quadrate dello stesso ordine, allora si ha

    AB =

    A1B1 A1B3+A3B1

    0 A2B2

    in particolare, seA3=B3=0si haA1 0

    0 A2

    B1 00 B2

    =

    A1B1 0

    0 A2B2

    .

    3.5 Applicazioni ai sistemi lineari

    Equivalenza di matrici

    Si chiamanooperazioni elementarisulle righe (rispettivamente sullecolonne) di una matrice le seguenti operazioni

    i) scambio di due righe (colonne);

    ii) moltiplicazione di una riga (colonna) per una costante k=0;iii) sostituzione di una riga (colonna) con la somma della riga (colon-

    na) stessa con unaltra moltiplicata per una costantek.

    DEFINIZIONE 3.4. Due matrici Ae Bsi diconoequivalenti per righe(rispettivamenteper colonne) seBsi ottiene da Aeseguendo un numerofinito di operazioni elementari sulle righe (colonne).

    Scriveremo cheA B. facile dimostrare farlo come esercizioche se ABalloraBAe che se ABeBCalloraAC, cioche la relazione una relazione di equivalenza.

    Ed importante il

    Teorema 3.2. Se le matrici complete di due sistemi lineari sono equivalentiper righe allora i sistemi sono equivalenti, cio hanno le stesse soluzioni.

    Risoluzione di un sistema

    Vediamo ora, su un esempio, come si possa utilizzare il Teorema 3.2per la risoluzione di un sistema lineare.

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    28 Capitolo 3. Matrici

    Esempio 3.6. Consideriamo il sistema

    x+y+z t=12x+y+z+ 3t=2

    x y z=0x+y+z 3t=1

    (3.5)

    La matrice completa la matrice

    A= 1 1 1 1 12 1 1 3 21 1 1 0 01 1 1 3 1

    .Se sommiamo alla II riga di A la prima moltiplicata per2, alla II la Imoltiplicata per 1ed alla IV la I moltiplicata per 1otteniamo

    1 1 1 1 10 1 1 5 00 2 2 1 10 0 0

    2

    2

    ;

    ora se in questa nuova matrice sommiamo alla III riga la seconda moltiplicataper 2troviamo

    1 1 1 1 10 1 1 5 00 0 0 9 10 0 0 2 2

    .

    Infine se sommiamo alla IV riga la II moltiplicata per 29

    risulta

    B=

    1 1 1 1 10 1 1 5 00 0 0 9 10 0 0 0 16

    9

    .

    La matriceB ottenuta mediante operazioni elementari dalla Aquindi adessa equivalente, allora, in virt del Teorema 3.2 il sistema (3.5) ha le stessesoluzioni del sistema che ha la B come matrice completa; cio equivale al

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    3.5. Applicazioni ai sistemi lineari 29

    sistema

    x+y+z t=1y z+ 5t=09t=1

    0=169

    che palesemente impossibile.

    Nella risoluzione data nellesempio 3.6 abbiamo ridotto la matriceAad una matrice equivalente pi semplice nel senso precisato dalla

    seguenteDEFINIZIONE 3.5. Una matriceAdi tipo(m, n)di elemento genericoaij si diceridotta (per righe)se in ogni riga che non contiene solo zeriesiste un elemento aij = 0 tale che per ogni kcon i < k msi haakj = 0.

    Il procedimento illustrato sempre possibile in quanto sussiste il

    Teorema 3.3. SiaA una matrice qualsiasi, allora esiste una matriceBridottaper righe equivalente alla A.

    Possiamo ora introdurre ora il fondamentale concetto dirangodiuna matrice5.

    DEFINIZIONE 3.6. Si dicerango (o caratteristica)di una matrice Ailnumero delle righe di una matrice ridotta A1equivalente alla Achenon contengono solo zeri.

    Scriveremor(A)per indicare il rango della matriceA; dalla defini-zione 3.6 segue subito cher(A) un numero intero positivo (nullo se esolo se A= 0) cio cher(A) Z+ ed tale che, se A di tipo(m, n),vale la relazioner(A)

    min(m, n).

    Siccome la matrice ridotta per righe equivalente alla matriceAdi-pende dalle operazioni elementari effettuate, essa non unica, dunquela definizione (3.6) ben posta solo se il numero delle righe che noncontengono solo zeri di una matrice ridottaAiequivalente ad Anondipende dalle operazioni elementari effettuate sulla matriceAi. Infattisi pu dimostrare il

    5Vedremo pi avanti, a pagina 51, che il concetto di rango qui anticipato pu essere definitoin maniera formalmente molto diversa a partire dalla definizione di determinantedi una matricequadrata.

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    30 Capitolo 3. Matrici

    Teorema 3.4.SianoA1eA2due matrici ridotte equivalenti alla stessa matrice

    A. Allora il numero delle righe che non contengono solo zeri lo stesso in A1e A2, cio r(A) =r(A1) =r(A2).

    Con i concetti introdotti possiamo enunciare il fondamentale

    Teorema 3.5(di Rouch-Capelli). 6 SiaAla matrice dei coefficienti di unsistema lineare e sia B la matrice completa, allora il sistema possibile se esolo se

    r(A) =r(B).

    Una dimostrazione del Teorema 3.5 verr data pi avanti, a pagi-

    na 58.Una soluzione di un sistema lineare dimequazioni innincognite costituita, come abbiamo visto, da una npla ordinata di numeri.Abbiamo chiamato talenplavettore; possiamo pensare ad un vettorecome una matrice di tipo(1, n)(vettore riga) o(n, 1)(vettore colonna).

    3.6 Lalgoritmo di Gauss

    Ricordiamo che unsistema lineare costituito da un certo numeromdi equazioni in un certo numerondi incognite.7 Una soluzione di unsistema lineare quindi costituita da unanpla ordinata di valori chesostituita alle incognite soddisfatutte le mequazioni.

    Come abbiamo visto,un sistema lineare pu ammettere una o infinitesoluzioni oppure non esssere risolubile. Per risolvere un sistema lineareesistono vari metodi elementari, ben noti, ma che diventano scomodiquando il numero delle incognite superiore a 2 o 3.

    Un algoritmo spesso usato, che funziona sempre, il cosiddettoalgoritmo di Gauss8.

    Lagoritmo si basa sul seguente

    Teorema 3.6(di Gauss). Se un sistema lineare ottenuto da un altro con

    una delle seguenti operazioni:i) scambio di due equazioni

    ii) moltiplicazione di ambo i membri di unequazione per una costante nonnulla

    6Eugene ROUCHE, 1832, Sommres, Gard (Francia) 1910, Lunelle (Francia).Alfredo CAPELLI, 1855, Milano 1910, Napoli.

    7Non si esclude, a priori, che possa esserem = n.8Karl Fredrich Gauss 1777 (Brunswick) - 1855 (Gttingen) uno dei pi grandi matematici

    di tutti i tempi.

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    3.6. Lalgoritmo di Gauss 31

    iii) unequazione sostituita dalla somma di se stessa con un multiplo di

    unaltra.

    allora i due sistemi hanno le stesse soluzioni.

    e verr illustrato mediante alcuni esempi.

    Esempio 3.7. Sia da risolvere il sistema

    3x3 = 9x1+ 5x2 2x3 = 2

    13 x1+ 2x2 = 3

    Possiamo effettuare le seguenti operazioni:

    i) scambiamo la prima riga con la terza:

    13

    x1+ 2x2=3

    x1+ 5x2 2x3=23x3=9

    ;

    ii) moltiplichiamo la prima riga per 3:

    x1+ 6x2=9x1+ 5x2 2x3=2

    3x3=9;

    iii) aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 1alla seconda:

    x1+ 6x2 = 9x2 2x3 =7

    3x3 = 9.

    Ormai il sistema risolto: dalla terza equazione si hax3=3da cuix2=1ex1=3.

    Lalgoritmo di Gauss funziona anche quando il numero delle equa-zioni diverso dal numero delle incognite cio quando m=n

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    32 Capitolo 3. Matrici

    Esempio 3.8. Sia dato il sistema

    x+ 3y=12x+y=3

    2x+ 2y=2in cuim > n. Aggiungendo alla seconda ed alla terza riga la prima moltipli-cata per 2si ha il sistema equivalente

    x+ 3y=15y=5

    4y=

    4

    .

    A questo punto gi chiaro che lunica soluzione x =2ey =1. In ognicaso, proseguendo lalgoritmo si pu aggiungere alla terza riga la secondamoltiplicata per 45 ottenendo

    x+ 3y=1

    5y=50=0

    .

    Lultima uguaglianza unidentit a riprova del fatto che le equazioni sonoridondanti.

    Nel caso in cui il sistema fosse impossibile procedendo con lalgorit-mo si arriva ad una contraddizione.

    Esempio 3.9. Sia dato il sistema

    x+ 3y=12x+y=3

    2x+ 2y=0

    Sempre aggiungendo alla seconda ed alla terza riga la prima moltiplicata per2si ha il sistema equivalente

    x+ 3y=15y=54y=2

    ;

    a questo punto, per, aggiungendo alla terza riga la seconda moltiplicata per 45 si ottiene

    x+ 3y=15y=5

    0=2.

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    3.6. Lalgoritmo di Gauss 33

    Quindi una palese contraddizione: possiamo concludere dunque che il sistema

    dato non ammette soluzioni, o, come pi comunemente ma meno propriamentesi dice, impossibile.

    Un sistema lineare pu anche avere infinite soluzioni:

    Esempio 3.10. Consideriamo il sistema

    x+y=4

    2x+ 2y=8ed applicando lalgo-

    ritmo di Gauss (sommando alla seconda riga la prima moltiplicata per 2) siottiene il sistema

    x+y=4

    0=0equivalente a quello dato, da cui si vede che

    la seconda equazione inutile, quindi la soluzione data da tutte le infinitecoppie di numeri che hanno come somma4, che possiamo scrivere, ad esempio,come x= t y=4 t.

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    Capitolo 4

    Spazi vettoriali

    Avete gi sentito parlare di vettori, probabilmente avrete visto ivettori in Fisica, visualizzati come segmenti orientati. Completiamo eformalizziamo ora le nozioni viste.

    4.1 Definizioni e prime propriet

    In generale diamo la seguente

    DEFINIZIONE 4.1. Chiamiamospazio vettoriale su R e indichiamo conRn

    linsieme dellenple ordinate di numeri reali ed indichiamo con#v ciascuna di questenple, cio #v = [v1, v2, . . . , vn], chiediamo inoltreche in Rn siano definite due operazioni: la somma componente percomponente cio

    #x+ #y = [x1, x2, . . . , xn] + [y1,y2, . . . ,yn] = [x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn]

    ed un prodotto esterno o prodotto per uno scalare

    #v =[x1, x2, . . . , xn] = [x1, x2, . . . , xn]

    dove un numero reale qualsiasi. Chiamiamo vettorilenple escalari

    i numeri da cui essi sono formati.Le propriet di queste due operazioni sono elencate nella Tabella 4.1

    nella pagina seguente, in cui e sono numeri reali e #v e #wsonovettori.

    Si verifica immediatamente che lo spazio vettoriale Rn soddisfaalle propriet indicate in Tabella 4.1 nella pagina successiva, in cuiabbiamo indicato con 0 il vettore nullo, cio quello che ha tutte lecomponenti uguali a 0 e con #v il vettore opposto di #v cio quello lecui componenti sono gli opposti delle componenti di #v .

    35

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    36 Capitolo 4. Spazi vettoriali

    Tabella 4.1Propriet degli spazi vettoriali

    i) #v + ( #w+ #u ) = ( #v + #w) + #u associativit della sommaii) #v + #w= #w+ #v commutativit della sommaiii) 0 + #v = #v esistenza del vettore nulloiv) #v + ( #v ) =0 esistenza del vettore oppostov) ( #v + #w) = #v + #w distributivit rispetto alla somma di vettorivi) (+) #v = #v + #v distributivit rispetto alla somma di scalarivii) ( #v ) = () #v associativit mistaviii) 1 #v = #v esistenza dellunitix) 0 #v =0

    Si pu generalizzare il concetto di spazio vettorialesu un campoqualsiasi K dando la seguente

    DEFINIZIONE 4.2. Uno spazio vettorialeVsu K costituito da uninsiemeVe da un campo K; sugli elementi1 diVsono definite dueoperazioni, una somma ed un prodotto esterno, che godono delleproprieti) . . . ix), elencate nella tabella 4.1 in cui #v e #wsono elementidiVe , K. Gli elementi di uno spazio vettorialeVsi chiamanovettori, escalarigli elementi del campo su cui esso costruito.

    Esempi di spazi vettoriali diversi da Rn sono (verificarlo per eserci-zio2):

    Le matrici di tipo (m, n) rispetto alle operazioni di somma eprodotto per uno scalare definite nel capitolo 3.

    I polinomi di grado n in una indeterminata sul campo reale,rispetto alle usuali somma e prodotto per uno scalare.

    Riprendiamo ora un concetto fondamentale, gi introdotto per lematrici nel 3.2 a pagina 20

    DEFINIZIONE 4.3. Come per le matrici, si dice che il vettore #w combinazione linearedei kvettori #v 1,

    #v 2, . . . ,#v kse esistono kscalari

    1, 2, . . . , ktali che

    #w =k

    i=1

    i#v i = 0. (4.1)

    1Sulla natura degli elementi diVnon si fa nessuna ipotesi.2Per verificare che un insiemeV uno spazio vettoriale bisogna verificare anzitutto che la

    somma di due elementi diVappartenga ancora aVe che il prodotto di un elemento di Vperuno scalare sia ancora un elemento diV, poi che valgano le propriet i)ix) della tabella 4.1.

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    4.1. Definizioni e prime propriet 37

    Fissiamo orakvettori e consideriamo la loro combinazione lineare

    0=k

    i=1

    i#v i. (4.2)

    ovvio che la (4.2) verificata quando tuttigliisono nulli. Pu peraccadere che una combinazione lineare di vettori dia il vettore nullosenza chetuttii coefficienti siano nulli. In tal caso i vettori si chiamanolinearmente dipendentiin caso contrario, cio se la (4.2) valesolo quandotuttigliisono nulli, si dice che i vettori sonolinearmente indipendenti,quindi diamo la seguente

    DEFINIZIONE 4.4. nvettori si diconolinearmente dipendentise esisteuna loro combinazione lineare

    n

    i=1

    i#v i

    uguale al vettore nullo, senza che siano tutti nulli i coefficienti i

    Ad esempio i vettori #v = [1,2,1], #w = [2,0, 1]e #u = [3,2,0]sonolinearmente dipendenti, infatti si ha #v + #w #u = 0. Invece i vettori#e1 = [1,0,0],

    #e2 = [0,1,0]e#e3 = [0,0,1], che chiameremo anche

    vettori fondamentali, sono linearmente indipendenti.

    Sul concetto di dipendenza lineare sussiste il fondamentaleTeorema 4.1. Siano #v 1,

    #v 2, . . .#v kkvettori, essi sono linearmente dipenden-

    ti se e solo se almeno uno di essi si pu scrivere come combinazione linearedegli altri.

    Esso del tutto analogo al Teorema 3.1 a pagina 21 e si dimostraallo stesso modo.

    Valgono, per la dipendenza ed indipendenza lineare, le seguentipropriet:

    i) Se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, esso un insiemedipendente,infatti, ad esempio,0 #v+ 1 0 una combinazione linearenon banale che genera il vettore nullo.

    ii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un insieme linearmente di-pendente, si ottiene ancora un insieme linearmente dipendente,infatti, se, per esempio, #v 1,

    #v 2. . . ,#v k sono linearmente dipendenti

    significa che k1i#v i =0con qualchei=0e quindi la combinazio-

    ne lineare1#v 1+2

    #v 2+ +k#v k+0 #v k+1d il vettore nulloqualunque sia #v k+1sempre con gli stessi coefficienti non nulli.

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    38 Capitolo 4. Spazi vettoriali

    iii) Togliendo da un insieme indipendente un vettore qualsiasi si

    ottiene ancora un insieme indipendente,infatti se#

    v 1, . . . ,#

    v nsonoindipendenti, significa che n1i

    #v i =0 solo quando i, i =0quindi,a maggior ragione si ha n

    11 i

    #v i =0 solo quando i, i =0.

    4.2 Sottospazi e basi

    DEFINIZIONE 4.5. SiaVuno spazio vettoriale. Un sottoinsieme WVsi chiamasottospaziodiVse, rispetto alle stesse operazioni definiteinV, a sua volta uno spazio vettoriale.

    In altre paroleW sottospazio diVse in esso continuano a valerele propriet delle operazioni definite in V.Ad esempio in R3 il sottoinsiemeWformato dai vettori le cui com-

    ponenti sono numeri dispari non un sottospazio, perch la somma didue vettori cosiffatti un vettore le cui componenti sono numeri pari edunque non appartiene aW. Mentre invece lo quello dei vettori chehanno, per esempio, la terza componente nulla.

    In generale per verificare che un certo sottoinsiemeWdi uno spaziovettorialeVsia un sottospazio basta verificare che sia soddisfatta laseguente propriet

    W chiuso rispetto alle combinazioni lineari, cioogni combina-zione lineare di vettori di W ancora un vettore di W.

    Infatti le propriet degli spazi vettoriali (quelle elencate nella Ta-bella 4.1 a pagina 36) valgono in Win quanto valgono in VessendoWV.

    Si osserva subito che una immediata conseguenza di questa proprie-t che il vettore nullo0appartiene a qualunque sottospazio (infatti siha 0 #v =0qualunque sia #v ).

    Se ora consideriamo un certo numerokdi vettori #v 1,#v 2, . . . ,

    #v kdi

    uno spazio vettorialeVe formiamotuttele loro possibili combinazionilineari otteniamo, come facile verificare, uno spazio vettorialeWsottospazio diV, cio tale che W V. I vettori #v i si chiamano, inquesto caso,generatoridiW.

    DEFINIZIONE 4.6.Un insieme di generatori linearmente indipendentidi uno spazio vettorialeVprende il nome dibasediV.

    Sulle basi fondamentale il teorema

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    4.2. Sottospazi e basi 39

    Teorema 4.2. SeV uno spazio vettoriale e B una sua base, ogni vettore

    diVsi pu scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei vettori diB.

    Dimostrazione. SiaB { #e1, . . . , #en}la base considerata, allora ognivettore #v Vsi scrive come combinazione lineare degli #eiin quantoquesti ultimi sono generatori, inoltre, se, per assurdo, #v si potessescrivere in due modi diversi come combinazione lineare dei vettori diB, si avrebbe sia #v = n1i

    #ei sia#v = n1 i

    #ei con qualche i= i,in tal caso, sottraendo membro a membro, si avrebbe la combinazionelineare

    0= (i

    i)#ei (4.3)

    ma poich, per ipotesi, gli #eiin quanto vettori di una base, sono linear-mente indipendenti, si ha che tutti i coefficienti della combinazione(4.3) devono essere nulli, e quindi i, i =i.

    Se in uno spazio vettoriale esiste una base B formata danvettori,allora possiamo sostituire p nvettori di Bcon altrettanti vettoriindipendenti ed ottenere ancora una base, come precisa il

    Teorema 4.3. SiaVuno spazio vettoriale e sia B={#e1, #e2, . . . , #en} unasua base. Se #v 1,

    #v 2, . . .#vp sonop

    n vettori indipendenti, allora si possono

    scegliere n p vettori diB in modo che linsieme{ #v 1, #v 2, . . . , #vp , #e p+1, . . . , #en}

    sia ancora una base per V.

    Dimostrazione. Dobbiamo far vedere che i vettori

    { #v 1, #v 2, . . . , #vp , #e p+1, . . . , #en}sono indipendenti e che generano tuttoV. Poich i #v isono indipen-

    denti, fra di essi non c il vettore nullo. Inoltre

    #

    v 1 un vettore di Vquindi

    #v 1 =n

    1

    i#ei (4.4)

    in quanto gli #ei formano una base. Mostriamo che{ #v 1, #e2, . . . , #en}formano a loro volta una base: consideriamo una loro combinazionelineare che dia il vettore nullo, sia 1

    #v 1+ 2#e2 + +n #en = 0.

    Se 1 = 0 allora si ha 2#e2 + +n #en = 0e dallindipendenza

    dei vettori #ei segue chei, i = 0. Se fosse invece 1= 0 potrei

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    40 Capitolo 4. Spazi vettoriali

    scrivere #v 1 =

    1

    1

    n

    2

    i#eima ricordando che vale la (4.4) e per lunicit

    della rappresentazione di un vettore mediante gli elementi di una base,concludiamo che i vettori sono indipendenti. Allo stesso modo siprocede sostituendo di volta in volta unaltro vettore #v iad uno dellabase.

    Dalla definizione 4.6 segue inoltre che qualunque insieme di vettoriindipendenti generatoriVcostituisce una base perV, quindi che unostesso spazio vettorialeVha infinite basi; di pi sussiste anche il

    Teorema 4.4. SiaVuno spazio vettoriale, se una base di V formata danvettori, allora qualunque base formata da n vettori.

    Dimostrazione. Infatti facile vedere che qualunque(n k)pla di vet-tori non pu generare tuttoVe viceversa che ogni insieme di n+1vettori formato da vettori linearmente dipendenti in quanto ognivettore diVsi esprime, in virt del Teorema 4.2, come combinazionelineare deglinvettori della base, quindi ln+ 1esimo non pu essereindipendente dagli altri.

    Da quanto detto fin qui si ricava che il numerondei vettori di una

    base non dipende dalla scelta della base stessa, macaratterizzalo spazioVe prende il nome didimensionediV.

    Lo spazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo ha, per conven-zione, dimensione 0. Si pu anche osservare che se V uno spaziovettoriale di dimensionenallora qualsiasi insieme dik< nvettoriindipendenti pu essere completato ad una base diVaggiungendoaltrin kvettori indipendenti.OSSERVAZIONE 4.1. Da quanto detto si deduce anche che in unospazio vettorialeVdi dimensionen, qualunquenpla di vettori indi-pendenti forma una base perV.

    OSSERVAZIONE4.2. Tutti gli spazi vettoriali fin qui considerati han-no dimensionenfinita, ma facile rendersi conto che esistono spazivettoriali che non hanno dimensione finita, per esempio se V= P(x) linsieme dei polinomi in una ideterminata sul campo reale con leusuali operazioni di somma e di prodotto per uno scalare si vede subitoche V uno spazio vettoriale; tuttavia se si suppone che esistano ppolinomi che generanoVe se n il grado massimo di questi polinomi, ovvio che nessun polinomio di gradom > npu essere generato daquesti. QuindiV= P(x)rappresenta unesempio di spazio vettoriale

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    4.2. Sottospazi e basi 41

    di dimensione infinita. Noi ci occuperemo quasi esclusivamente di

    spazi vettoriali di dimensione finita.Sorge il problema di come si possa, in uno stesso spazio vettoriale

    V, passare da una base ad unaltra, cio quali siano le relazioni chelegano i vettori di una base a quelli di unaltra. SianoB{ #e1, . . . , #en}e B{ #f1 , . . . , #fn}due basi distinte di uno stesso spazio vettorialeV.I vettori

    #

    fi , in quanto vettori diVsi esprimono come combinazionelineare dei vettori #eidi B, quindi si ha il sistema lineare:

    #

    f1 = a11#e1+a12

    #e2+ +a1n #en#

    f2 = a21

    #e1

    +a22#e2+

    +a2n

    #en

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .#

    fn=an1#e1+an2

    #e2+ +ann #en(4.5)

    La matrice dei coefficienti del sistema (4.5)

    A=

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    ... ...

    ... ...

    an1 an2 ann

    costituisce lamatrice di passaggiodalla baseBalla baseB. facile verificare che lintersezione insiemisticaV Wdi sottospazi

    a sua volta un sottospazio (dimostrarlo per esercizio); due spazivettorialiVeWhanno sempre in comune almeno il vettore nullo, nelcaso in cui questo sia lunico vettore in comune si dice che sonodisgiuntie si scriveV W={0}: abbiamo gi osservato che linsieme formatodal solo vettore nullo considerato uno spazio vettoriale.

    Invece lunione di due sottospazi non detto sia un sottospazio:infatti potrebbe non essere chiusa rispetto alle combinazioni lineari,

    come mostra il seguenteEsempio 4.1. Consideriamo in R3 i due sottospaziV={[x,y,z] |x = y}formato dai vettori di R3 che hanno le prime due componenti uguali e W={[x,y,z] | z=0},formato dai vettori di R3 che hanno la terza componentenulla, allora si ha

    V W={[x,y,z] |x = y oppure z =0}e se prendiamo #v = [0,0,1] Ve #w = [1,0,0] W osserviamo chesia #v sia #wappartengono a V W, ma il vettore #v + #w = [1,0,1]non

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    42 Capitolo 4. Spazi vettoriali

    ha uguali le prime due componenti n ha la terza componente nulla, quindi#

    v +#

    wV W. Dunque linsiemeV Wnon chiuso rispetto alla sommae di conseguenza non un sottospazio di R3.

    Sulla dimensione dei sottospazi di uno spazio vettoriale sussisteanche il

    Teorema 4.5. SiaVuno spazio vettoriale di dimensione n e siaWun suosottospazio allora

    i) W ha dimensione finita

    ii) dim(W)dim(V)iii) se dim(W) =dim(V)allora W=V

    Dimostrazione. SeW={0} lai)e laii)sono ovvie. Sia quindiW={0}e sia #w1un vettore diW, se

    #w1generaWalloradimW=1 e poich inVvi almeno un vettore indipendente segue chedimV1 e quindi lai)e laii)sono dimostrate. Se invece #w1non generaWallora esiste inWalmeno un altro vettore #w2indipendente da

    #w1. Se#w1e

    #w2generanoWalloradim(W) =2 e, come nel caso precedente dim(V)2 e cosvia. Il procedimento ha termine per un certo numerom ngrazieal fatto che in Vnon possono esserci pi di nvettori indipendenti.

    Se inoltredim(W) = dim(V)significa cheW generato da n vettoriindipendenti, che per loservazione 4.1 generano ancheV, quindi dimostrata anche laiii).

    Unaltra operazione tra sottospazi la somma di sottospazi.

    DEFINIZIONE 4.7. SeVeUsono due sottospazi di uno stesso spaziovettoriale diciamo cheW somma diUeVse i vettori diWsono tuttie soli quelli che si esprimono come somma di un vettore di Ue di unodiVcio

    W=U+V={#

    w|#

    w =#

    u +#

    v , con#

    u U,#

    v V}Si dimostra facilmente (farlo per esercizio) che la somma di sotto-

    spazi a sua volta un sottospazio. Naturalmente non detto che lascomposizione del vettorewsia unica, questo avviene, per, se e solose i due spazi sono disgiunti; in questo caso diciamo che la somma direttae scriviamo

    W=U V.Sussiste infatti il

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    4.2. Sottospazi e basi 43

    Teorema 4.6. Siano Ue Wdue sottospazi di V, e sia #v

    V; allora la

    scomposizione#

    v =#

    u +#

    w con#

    u U e#

    w W unica se e solo seV=U W.Dimostrazione. SiaV=U W; per definizione di somma di sottospaziesiste una coppia di vettori #u Ue #w Wtali che #v = #u + #w;dobbiamo dimostrare che tale coppia unica, infatti se fosse anche #v =#u + #w (con #u Ue #wW) si avrebbe #u + #w = #u + #we quindi#u #u = #w #w, da cui segue che il vettore #u #u appartenendo siaaUche aWe di conseguenza alla loro intersezione il vettore nullo;dunque devessere #u = #u e #w= #w .

    Viceversa supponiamo che sia

    #

    v =

    #

    u +

    #

    w in un unico modo efacciamo vedere cheU W={0}. Supponiamo per assurdo che esistaun vettore #zU Wdiverso dal vettore nullo, allora anche i vettori#u+ #z e #w #z , appartenenti rispettivamente aUeWavrebbero comesomma #v contro lipotesi dellunicit della decomposizione.

    Sulla dimensione dello spazio somma di due sottospazi vale larelazione (di Grassmann3)

    dim(U+V) =dimU+dimV dim(U V), (4.6)

    che diventa, se la somma diretta,

    dim(U V) =dimU+dimV.

    cio la dimensione della somma diretta di due sottospazi uguale allasomma delle loro dimensioni.

    Esempio 4.2. SiaTn lo spazio vettoriale delle matrici triangolari alte e siaTnquello delle triangolari basse. Vogliamo verificare la (4.6). Osserviamo cheTn Tn =Dndove conDnabbiamo indicato lo spazio vettoriale delle matricidiagonali e che Mn = Tn +Tnlo spazio vettoriale delle matrici quadrate somma (non diretta) di quello delle matrici triangolari basse e di quello dellematrici triangolari alte.

    Per calcolare la dimensione di Tn, ovviamente uguale a quella di Tn,procediamo cos: dalla figura 4.1 nella pagina successiva si vede subito che glielementi che non sono certamente nulli in Tn ed inTnsono: 1 nella prima riga

    2 nella seconda ecc. quindi in totale si ha 1 + 2 + + n= n(n+ 1)2

    ; dunque

    3Herrmann Gnther GRASSMANN, 1809, Stettino (Germania-odierna Polonia) 1877,Stettino (Germania-odierna Polonia).

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    44 Capitolo 4. Spazi vettoriali

    nelementi

    Figura 4.1Matrici triangolari

    possiamo dire chedim(Tn) =dim(Tn) = n(n+ 1)

    2 , inoltredim(Dn) =n e

    dim(Mn) =n2 ed infatti, applicando la ( 4.6 nella pagina precedente), si ha

    n2 =n(n+ 1)

    2 +

    n(n+ 1)2

    n.

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    Capitolo 5

    Determinante e rango di una

    matrice. Matrice inversa

    SiaMnlinsieme delle matrici quadrate di ordinene siaAMn. Ildeterminante diA il valore di una funzione che ha come dominioMne come codominioR o C (a seconda che gli elementi di Asiano numerireali o complessi1), quindi det : Mn R oppure det : Mn C.

    5.1 Definizioni di determinante

    Definiremo il determinante di una matrice quadrata prima in ma-niera ricorsiva poi in maniera classica.

    Definizione ricorsiva

    Definiamo il determinante in maniera ricorsiva, cominciando con ildefinire il determinante di una matrice di ordine 2 ed osservando comesi pu estendere questa definizione al caso di una matrice di ordinequalsiasi.

    DEFINIZIONE 5.1. Sia A = a bc d quadrata di ordine 2, allora ildeterminante diA det(A) =ad bc.

    Esempio 5.1. Il determinante della matrice A =

    1 23 1

    det(A) =1 23 1

    =1 1 (2) 3=7.1Se le matrici sono definite su un campo qualsiasi K il codominio sar K.

    45

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    46 Capitolo 5. Determinante. Inversa

    Osserviamo che il determinante della matrice A = x yz tsi puindicare in uno qualsiasi dei seguenti modi: detA, det(A), |A|,

    x yz t.

    Diamo ora una definizione ricorsiva che permette di calcolare il de-terminante di una matrice di ordine qualsiasi quando si sappia calcolareil determinante di una matrice di ordine 2.

    Per far questo introduciamo prima una notazione: se A quadratadi ordine nchiameremominore complementaredellelemento aike loindicheremo conMikil determinante della sottomatrice che si ottieneda Acancellando la iesima riga e la kesima colonna. Chiamiamo

    poicomplemento algebricodellelementoaik(e lo indicheremo con Aik) ildeterminante della sottomatrice (di ordinen 1) che si ottiene da Acancellando laiesima riga e lakesima colonna, con il proprio segnosei+k pari, col segno opposto se i+k dispari, cio

    Aik= (1)i+kMik.

    Esempio 5.2. SeA =

    a b c1 2 3

    x y z

    allora il complemento algebrico dellele-

    mentoa11 = a A11 = 2 3y z =2z 3ye quello dellelemento a23 =3A23 =

    a bx y =(ay bx) =bx ay.

    DEFINIZIONE 5.2. SiaAuna matrice quadrata di ordine n: si ha

    det(A) =n

    k=1

    aikAik (5.1)

    cio il determinante della matrice A la somma dei prodotti degli

    elementi di una linea di A(riga o colonna) per i rispettivi complementialgebrici.

    La definizione 5.2 ci dice, in sostanza, che per calcolare il determi-nante di una matrice quadrata di ordinen, possiamo calcolare un certonumero (al massimo n) di determinanti di matrici di ordinen 1, aloro volta questi si determinano calcolando al pin 1 determinanti dimatrici di ordinen 2 e cos via, quindi, in pratica, basta saper calcola-re il determinante di una matrice di ordine 2 con la definizione 5.1 nellapagina precedente ed applicare la ricorsione data nella definizione 5.2.

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    5.1. Definizioni di determinante 47

    Esempio 5.3. Sia da calcolare il determinante di A = 1 0 12 1 30 1 1

    ;pren-diamo in considerazione la prima riga: abbiamo che il determinante di Auguale a

    1 1 31 1

    0 2 30 1

    + (1) 2 10 1

    =1 4 0 2 + (1