diskretni logistiČki model
DESCRIPTION
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku Kolegij: Uvod u matematičke metode u inženjerstvu. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL. Studenti: Vanja ŠuteMentor: dr . sc. Ivica Gusić Jelena Purić Irena Kozina Srpanj, 2012. SADRŽAJ. UVOD - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
Studenti: Vanja Šute Mentor: dr. sc. Ivica Gusić Jelena Purić
Irena Kozina
Srpanj, 2012.
Sveučilište u ZagrebuFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za matematikuKolegij: Uvod u matematičke metode u inženjerstvu
SADRŽAJ
• UVOD• DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAV• DISKRETNI LOGISTIČKI SUSTAV• KAOTIČNI SUSTAV• ZAKLJUČAK
UVOD
• Dinamički sustav opisuje međusobnu zavisnost sustava varijabli i njihovu promjenu u vremenu
• Predočavaju se orbitama (trajektorijama), koje se, nakon dovoljno vremena, mogu razviti u skup koji nazivamo atraktorima.
• Atraktori čine dio faznog prostora promatranog sustava, odnosno njih smatramo geometrijskim podskupom faznog prostora.
• Upotreba: u meteorologiji, medicini (posebice kardiologiji) u biologiji kod praćenja populacija bioloških jedinki, u kemiji, gdje se prati kinetika reakcija
• mogu biti:• kontinuirani, • diskontinuirani,• hibridni(kombinacija navedenih).
DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAV
•
DISKRETNI DINAMIČKI SUSATVGRAFIČKA ITERACIJA
•
DISKRETNI DINAMIČKI SUSATVFIKSNE TOČKE
•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
Podjela modela rasta populacije:
1. Kontinuiran (fluidan, neisprekidan) je onaj sustav koji pokazuju kontinuirane promjene kroz vrijeme, tj. u proizvoljno malenom vremenskom periodu dolazi do promjene varijabli osim u slučaju kad sustav miruje. Svi takvi sustavi su opisani diferencijalnim jednadžbama, i intuitivno su najbliži stvarnim uvjetima u prirodi.
2. Diskontinuirani (diskretan, isprekidan, skokovit) je onaj sustav kod kojeg nema kontinuirane promjene varijabli, jer se te promjene ne događaju stalno, nego u diskretnim vremenskim intervalima. Ovakvi sustavi su češći u prirodi nego što bi se to moglo pomisliti, posebice u biološkom svijetu, a opisuju se iteracijskim jednadžbama.
KONTINUIRANI LOGISTIČKI MODEL
•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL•
λ ≥ 1 rast populacije0 ≤ λ < 1 izumiranje populacijeλ = 1 populacija ostaje nepromijenjena
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL• Zadani početni uvjet x0 = 0,3 mijenjajući parametar λ,
promatrana je funkcija unutar intervala I = [0,1].
1. 0 < λ ≤ 1 populacija izumire neovisno o x0. Ovdje postoji jedna fiksna točka, a to je 0, jer je fλ (0) = 0.
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL•
DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL
5. Za 3,45 < λ ≤ 3,54 sustav oscilira između 4 vrijednosti.
KAOTIČNI SUSTAVI
1. U λ = 3,57 je početak kaotičnog ponašanja sustava. Za vrlo male promjene početne populacije dolazi do značajnih promjena s vremenom. Daljnjim povećanjem perioda sustav postaje sve kaotičniji.
KAOTIČNI SUSTAVI•
KAOTIČNI SUSTAVI3. Za vrijednosti λ u rasponu 3,5699 < λ ≤ 3,8284 funkcija se
ponaša prema tzv. Pomeau–Manneville scenariju. Njega karakterizira periodična faza isprekidana nasumičnom pojavom kaotičnih vrijednosti. Taj scenarij se primjenjuje kod uređaja s poluvodičima.
KAOTIČNI SUSTAVI4. Za λ > 4 vrijednosti funkcije za sve početne x0 ne nalaze
se u intervalu [0,1].
ZAKLJUČAK
• Moguće je provjeriti dinamiku sustava za sve vrijednosti λ, uz bilo koju odabranu početnu vrijednost, kao i proizvoljan broj iteracija.
• sustav opisan dinamičkim logističkim modelom prolazi kroz sve faze koje dinamički sustav može manifestirati– počinje sa stabilnim fiksnim točkama te završava u kaosu
• Kaos obilježavaju velika osjetljivost na početne uvjete i nemogućnost predviđanja vremenskih nizova
LITERATURA
1. http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-1-Uvod_u_kaoticne_sustave.htm
2. http://elgrunon.wordpress.com/
3. http://e.math.hr/old/logisticko/index.html
4. http://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa
5. http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS/razno/eksponencijalni_i_logisticki_rast
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
HVALA NA PAŽNJI!