DDiisseerrttaaii FFlloowwcchhaarrtt,, AAllggoorriittmmaa,, SSccrriipptt PPrrooggrraamm ddaallaamm PPaassccaall,, MMaattllaabb55 ddaann MMaatthheemmaattiiccaa55

AAllii WWaarrssiittoo,, SS..SSii,, MM..SSii

JJuurruussaann FFiissiikkaa,, FFaakkuullttaass SSaaiinnss && TTeekknniikk

UUnniivveerrssiittaass NNuussaa CCeennddaannaa 22000099

FisikaKomputasi £i-FST Undana ii

KATA…PENGANTAR

Buku ajar ini memberikan penyajian tentang fenomena fisis atau kajian

sistem-sistem fisika dengan pendekatan komputasi numerik, yang ditulis berkaitan dengan minimnya literatur fisika komputasi yang tersedia baik untuk staf pengajar maupun untuk mahasiswa, di lingkungan Fakultas Sains & Teknik Universitas Nusa Cendana.

Pada dasarnya matakuliah fisika komputasi sudah mulai akrab di kurikulum standar fisika universitas, tetapi kemampuan mahasiswa ‘to compute’ kurang dilatih karena keterbatasan fasilitas komputer, literatur, di samping matakuliah ini memerlukan integrasi tiga disiplin yaitu intuisi fisika, analisa numerik dan pemrograman komputer.

Materi-materi di dalam buku ini ditujukan untuk mahasiswa tingkat akhir agar memiliki computational skill dengan memberikan secara langsung pengalaman menggunakan komputer untuk pemodelan sistem-sistem fisika. Di dalamnya termasuk beberapa metode numerik yang diperlukan untuk ‘do physics’ ke dalam sebuah komputer. Untuk mendapatkan manfaat yang maksimum, mahasiswa diharapkan telah memiliki background atau sedang mengambil matakuliah inti meliputi fisika matematika, mekanika, listrik-magnet, gelombang, thermodinamika atau fisika statistik dan dianjurkan matakuliah lanjut fisika kuantum, karena terapan fisika komputasi pada kasus-kasus khusus meliputi materi-materi diatas, tetapi review konsep fisika dalam setiap studi kasus akan disajikan untuk mengingatkan kembali pengertian dasarnya. Disisi lain diperlukan background matakuliah metode atau analisa numerik dan pemrograman komputer. Pada buku ini tidak akan membahas semua metode-metode numerik yang ada, hanya dipilih metode tertentu dengan pertimbangan khusus. This is not a text on numerical analysis.

Topik-topik yang diliput adalah kesalahan (error), iterasi, penghampiran fungsi, sistem persamaan linear dan non linear, diferensiasi dan integrasi komputasi numerik, serta persamaan diferensial biasa terkait masalah nilai awal, yang dalam implementasinya banyak digunakan dalam mengupas kasus-kasus fisika. Topik terakhir yaitu pengantar Monte Carlo, adalah metode mendasar yang banyak berperan di bidang mikroskopik. Untuk setiap topik diawali dengan sedikit teori yang mendasari. Contoh-contoh terinci menuntun pada perhitungan yang diperlukan untuk memahami implementasi flowchart dan algoritma pseudocode, yang dengan mudah bisa diterjemahkan ke dalam bahasa pemrograman. Tiap bab dilengkapi dengan beragam soal, beberapa soal menekankan cara komputasi, dan soal yang lain dikerjakan dengan membuat program.

Diasumsikan bahwa mahasiswa telah menguasai atau minimal mengetahui salah satu bahasa pemrograman berikut; BASIC, PASCAL, atau C. Bahasa

FisikaKomputasi £i-FST Undana iii

pemrograman yang dipilih untuk implementasi program adalah variasi bahasa pemrograman diatas, karena bahasa-bahasa pemrograman ini sudah sangat umum diajarkan di matakuliah pemrograman komputer. Telah diusahakan setiap program yang ada dibuku ini sudah dicek, memenuhi standar pemrograman yang baik. Pada beberapa kasus –tidak semua, program dibahas secara menyeluruh untuk mengingatkan kembali elemen bahasa pemrograman. This is also not a text on computer programming.

Lebih lanjut, untuk mem-validasi program yang dibuat disertakan solusi-solusi menggunakan library/subroutin pada software MATLAB dan MATHEMATICA. Hal ini lebih dimaksudkan untuk mengakrabkan mahasiswa pada tools yang secara global telah digunakan ilmuwan di dunia akademik, riset bahkan industri.

Dengan sistematika diatas diharapkan, tujuan fisika komputasi yaitu mahasiswa mampu mengeksploitasi secara efektif piranti komputer dalam aktivitas keilmuan fisika dengan keseimbangan intuisi fisika, analisa numerik dan pemrograman komputer , bisa tercapai. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang mendorong terselesaikannya buku ajar ini dan dengan senang hati menerima saran-saran untuk perbaikan.

Penyusun,

Ali Warsito, S.Si, M.Si

FisikaKomputasi £i-FST Undana iv

DAFTAR ISI

Halaman Judul i Kata Pengantar ii Daftar Isi iv Bab 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Istilah Fisika Komputasi 2 1.2 Pemodelan Sistem Fisis: Analitik dan Komputasi Numerik 3 1.3 Kasus Fisika & Ruang Lingkupnya 6 1.4 Kedudukan Analitik & Komputasi Numerik di Bidang Terapan 12 1.5 Komputer dan Software 14 1.6 Algoritma, Flowchart & Pseudocode 16 1.7 Bahasa Program & Software Komputasi 21 1.8 Sumber Utama Kesalahan 25

a. Inherent Errors 30 b. Truncation Errors 31 c. Round off Errors 35

1.9 Presisi dan Akurasi 37 1.10Kajian Kesalahan Komputasi Numerik 43 1.11SOAL-SOAL 45

DAFTAR PUSTAKA 46 Bab 2 SOLUSI MODEL FISIKA NON LINEAR 46

2.1 Akar Fungsi & Ragam Metode 47 2.2 Metode Bagidua (Bisection) 56 2.3 Metode Newton Raphson 64 2.4 Metode Talibusur (Secant) 73 2.5 Kecepatan Konvergensi 75 Studi Kasus Fisika 01: Hukum Gas Ideal dalam Termodinamika 78

Studi Kasus Fisika 02: Pola Difraksi Celah 80

2.6 SOAL-SOAL 82 DAFTAR PUSTAKA 82

FisikaKomputasi £i-FST Undana v

Bab 3. MATRIKS DAN SOLUSI MODEL LINEAR 83 3.1 Review tentang Matriks 84 3.2 Komputasi Matriks 91 3.3 Eliminasi Gauss 94 3.4 Metode Gauss-Jordan 104 3.5 Dekomposisi LU 110 3.6 Metode Gauss-Seidel 114 3.4 Matriks Tridiagonal dan Nilai Eigen 119 Studi Kasus Fisika 03: Arus dan tegangan dalam Rangkaian Resistor I 128 Studi Kasus Fisika 04: Arus dan tegangan dalam Rangkaian Resistor II 130 Studi Kasus Fisika Lanjut: Nilai Eigen dan Fungsi Eigen pada Sumur Potensial 132

3.8 SOAL-SOAL 134 DAFTAR PUSTAKA 135

Bab 4. DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK 136

4.1 Pendekatan Diferensial 137 4.2 Formula Beda Pusat (Central Difference) 138 4.3 Formula Beda Maju/Mundur 145 4.4 Integrasi Numerik 148 4.5 Aturan Trapesium (Trapezoidal Rule) 150 4.6 Aturan Simpson 1/3 153 Studi Kasus Fisika 06: Fluks Magnetik di Sekitar Kawat Berarus Listrik 159

4.7 SOAL-SOAL 161 DAFTAR PUSTAKA 163

Bab 5. MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA 164

5.1 Model Diferensiasi Fisika 169 5.2 Metode Euler 175 5.3 Metode Runge-Kutta 130 Studi Kasus Fisika 07: Sistem Massa Pegas 189

FisikaKomputasi £i-FST Undana vi

Studi Kasus Fisika 08: Rangkaian RLC 191 Studi Kasus Fisika Khusus: Getaran Selaras Tergandeng 193

5.4 SOAL-SOAL 200 DAFTAR PUSTAKA 201

Bab 6. PENGANTAR MONTE CARLO 202

6.1 Histori Monte Carlo 203 6.2 Sistem Deterministik dan Sistem Monte Carlo 203 6.3 Bilangan Acak (Random) 204 6.4 Sistem N Derajat Kebebasan 208 6.5 Strategi Dasar Metode Monte Carlo 208

6.6 SOAL-SOAL 213 DAFTAR PUSTAKA 213