discrete and quasi-discrete modules

11
This article was downloaded by: [State University NY Binghamton] On: 02 May 2013, At: 03:37 Publisher: Taylor & Francis Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK Communications in Algebra Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/lagb20 DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES Derya Keskin a a Department of Mathematics, University of Hacettepe, Beytepe, Ankara, 06532, Turkey Published online: 01 Feb 2007. To cite this article: Derya Keskin (2002): DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES, Communications in Algebra, 30:11, 5273-5282 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-120015652 PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Full terms and conditions of use: http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. The publisher does not give any warranty express or implied or make any representation that the contents will be complete or accurate or up to date. The accuracy of any instructions, formulae, and drug doses should be independently verified with primary sources. The publisher shall not be liable for any loss, actions, claims, proceedings, demand, or costs or damages whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with or arising out of the use of this material.

Upload: derya

Post on 10-Dec-2016

218 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

This article was downloaded by: [State University NY Binghamton]On: 02 May 2013, At: 03:37Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULESDerya Keskin aa Department of Mathematics, University of Hacettepe, Beytepe, Ankara, 06532, TurkeyPublished online: 01 Feb 2007.

To cite this article: Derya Keskin (2002): DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES, Communications in Algebra, 30:11,5273-5282

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-120015652

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Full terms and conditions of use: http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematicreproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form toanyone is expressly forbidden.

The publisher does not give any warranty express or implied or make any representation that the contentswill be complete or accurate or up to date. The accuracy of any instructions, formulae, and drug doses shouldbe independently verified with primary sources. The publisher shall not be liable for any loss, actions, claims,proceedings, demand, or costs or damages whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly inconnection with or arising out of the use of this material.

Page 2: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

�������� �� ������������� ������

����� ������

���������� �������� ��� �� ���� �� �������������� �������� ������� ������� �� !" ���� �#���������$�%�$��

��������

&� ��' ���� % ������ ��% (��� % ������ �%�!�� � ��� )���������� *�% � ����� ��� ! � �+ ������ ��� ��� � ���� � ����� � ��)�%�!�� � �$ &� ���� ���� � � (��� % ������ ,� � ���!� ����!������% ��% ��� �-�� ����� ����� �� � �� ���+�� � ��%. � � % ������ , � � ! � �+��% ��� �-�� ���� � ����� �� � �� ���+�� �$

��� �� " / � �+ �%�!�. � ������ �%�!�

� ����������

����+��� �� � ����� � � � � �+ ' �� %��� �� ��% � � �� ��! � +��� �%�!�$ /�� � )� � �%�!�$ /�� � )� � ��)�%�!� �$ � � ��!!�% ���� � � � ����� ����� ��)�%�!� � �� � �� �� �$ /�� � )� � ��) �%�!� �$ � � ��!!�% ��� �� � � '������� ��� � ���!! � ���� ��� ��)�%�!� � � ' �� � � �� � � �$ &� ' !! ��� ��� ���� ��

����

�01" 2�$2�324�5� 2���2���� ��6� 737� 89� ��:. 2��� ;2�� 80�! ��:

<��� +�� � ���� )� �����! ������� 1��$ '''$%�����$��

<0���=1<��10=> 1= �/5��?�@!$ ��� =$ 22� ��$ ��7�A��3�� ����

©2002 Marcel Dekker, Inc. All rights reserved. This material may not be used or reproduced in any form without the express written permission of Marcel Dekker, Inc.

MARCEL DEKKER, INC. • 270 MADISON AVENUE • NEW YORK, NY 10016D

ownl

oade

d by

[St

ate

Uni

vers

ity N

Y B

ingh

amto

n] a

t 03:

37 0

2 M

ay 2

013

Page 3: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

��� ��% � ��� � � �% ���� ���� ��� ��)�%�!� � � ���!! � � ��% � � � ��!��% ��)�%�!� �� ������� ��!�$

/�� � )� � �%�!�$ � � ��!!�% ����������� ����� ��)�%�!� � � ��� � ��������� ��� ����!� � ����� ��)�%�!� � �� ����� �B ���� ��)�%�!� � � ���� ���� � � �� � ��% � �� �$ � � ��!!�%����� ����������� � ��� �' ��)�%�!�� � ��% � � ' ��� � �� �� ����� �B ��� � ����!����� � � � � '� �� � ���� ��% � �$<!���!�� ����� ���!� ����!������% �%�!� � ����!������%$ ��� �%�!� � � ��!!�% � ��������%�!� 8� ��� �� ��2�: � ��� ��)�%�!�� �� ������B ��� � % ���� ������% � � ���� ���� � � � ��% ���������(� ��!���!�� � ����� ��)�%�!�� � ����� �B �� ��)�%�!��� ��%� � ���� ���� � � �� �� � � � ��% � � � �$ ��C2� ;2$2�D� � � ! � �+ ,� � ���!� ����!������% ��% ����� ��!��% ��)�%�!� � � �% ���� ������% �$ 1� � ���� � ��� ���� ����!����� ��)�%�!�� ��%��!��% ��)�%�!�� ��� ��� ���� � � ����!������% �%�!�$ =�� �������!� ����!������% �%�!�� ��� ��!!�% ����!������% �%�!�� ��% ����!� �����% �%�!�� ��� ��!!�% '���!� ����!������% �%�!�� �C�D$ ��� �%�!�� � ��!!�% �� ����� � � ! � �+ ��% ��� �-�� ��� !!' �+ ��% � �"

���� 1 � � � ��)�%�!� � ���� ���� ��� � ����� � � � % ����������% �� ���� � � � % ���� ������% �$

��� �%�!� � � ��!!�% ��� ���� ����� � � ! � �+ ��% ��� �-�� ��� ! !' �+ ��% � �"

���� E� ����� % ���� ������%� � ��% � ' ��� � �� � � � � % ���� ������% �$

��C�� /���� ;$�D� ���� ��! �� ����$ �������� ����� % ������ �%�!� �(��� % ������$

/�� � )� � �%�!�$ � � ��!!�% �� ����������� � ��� ��)�%�!�� �� ����� �B ��� � % ���� ������% � � ���� ���� � � �� � ��%� �� �� ����!� ����� ��)�%�!� � � ��� � % ���� ������% ��� �!����� � �$ ����� ! � �+ �%�!� � � ����!������% )�C�� 9��� � � �$�D$

1�C�D >� �� ��% ������ ���%���% ��� ��% � �� ���� ��% �!�� � ���� ����� *� ��� ���� ��% (��� ��� ���� �%�!��$ 1� �� � ����� '� %�� ! *� ��� � %�-� � �� ��% ���%��� ��� �%�!�� ��� �� �+ ��� ��% � ������ ��% ����$ &� ��������� *� % ������ ��% (��� % ������ �%�!�� � ����� ��� �%�!�� ��� �� �+ ���� ��% ����$

� �������

����� � � � ����� � � ���� �� ��� ��� �� �� �"��� �#����� � � � ��$ �$�� � � �$� ����� ����� �2 �� � ������ ������ �2 ��� �� � �

���! �����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 4: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

%��$ � � �2 � ��& �"��� $����$� � �� � � ��� ��� #� ������ � �$����$� � �� � � �'

���' =����� �� � �!���$ <������!�� ������ ���� � ����� ��)�%�!� � ��2 �� � ' �� �2 ��% �� % ���� ������%� � ��% � � �2 � �������� ������ �� �� � � ��� ��� )� ! ��% � � ������ ���� � � �$ /�� �2 ��% �� )� % ���� ������%� � ���� ����� � �2 ���$ ����� �B �� ��)�%�!�� 2 ��% � � ���� ����� � �2 � 2 � �� � �$ /�� �� � � ����2 ��� )� ��� ������ �� + ��� )� ��(� �� � (� ��2 ��� 8( � �2� � � ���$ �� ������� ������� �B ��� � ������ �� �� � � � ���� ���� ��(� �� � ( � ��2 ��� 8( � �2� � � ���$ ������� ���� � �2$ 1� ��� ��� !� )� ���� �����2 � ����� � ��$ > ��� � � ���� � �2 � ������ � � ���� ���$ ='� � �� � � ��! �� ���� � � ����� � �� �� ���$ �� ����� � ���� � �� �� ���$ &� �!� � ���� �� �� �� � �$ E�� !�� � � �� ��%� � ����� � ��� �!����� �� � �$ ����� �B �� ��� �!������ � � �2

��% # � �� ���� ���� �� � �� #$ ���� ����� � � � ��2 ���$ =' �� # ������ � �� �� #$ ����� �� � �� # � � � ��� ��% � �� � �$���� � � �� �� ���$ > ��� �� �� � �2� � � �� �� � ��2 ��� � 2$������� � � ����$ �

����� � � �� � #� � ��������� �� �' �$�� � � � ������ ������ � � ����� ��� �� �$��� �(� � � ��������� � � �� � ��$ �$�� � � ������ ������ � � ��� �"��� $����$� � �� � � ���� � ��� #� ������� � $����$� � �� � � �'

���' =����� �� � �!���$ <������!�� ������ ���� ����� �B ��� � ����!����� � ' �� ��� �����% �������$ /�� �� � � ��� �� )� ��� �� ���� �� %�-��% )� ��(� �� � (� � �� �( � �� � � �$ �� ������� ������� �B ��� � ������ �� �� � � � ���� ���� � ��� )� ! ��% � ��������� �� �$ =�� ���� � � � � ��� ��)�%�!� � ��% �� �$ �� '� ����% � /���� �$2� '� ���� � � �� � � $ > ����� � � �� '� ���� � � �� � � �� �$ �� � ��! �� ���� � � �$ ������ � � % ���� ������% �$ �

=' '� ��� ��������� *� ! � �+ �%�!�� � ����� ��� ! � �+ ������ ���"

�"�"##��� � � �� � #� �� ����� ����������� �����' �$�� � � ������� ����� ��� �� �� �"��� ��������� ��$�� � & ��� �� �#������ � �� � �$����(� � � ������ ������ ��������� � � �� � ��$ �$�� �"��� $�����$� � �� � � ���� � ��� #� ������ � � $����$� ��� � � �'

�������� �� ������������� ������ ����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 5: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

/�� � )� � �� � �� ���+��$ &� ��� %�� ��� !!' �+ ��% � � � ��%�!� �"

���� E� ����� ��)�%�!� � � ���� ���� � � �2 � � � ��� '��������� �� � � ��!��% ��)�%�!� � � ��% � � �� � ���)�)�2 � � � ��� ����� ������ �� �� � � ��� ��� )� ! ��%� � ������ �� �� � � �$

=�� ���� ��� �������� � ' �� �� ����� �%�B ��� � �$ 1� � �!��� ���� � ��� �-�� ����� ���� � ��� �-�� ����2�� � �!! � � �� )������ � ���%�-� � � ���� ��� ��F� ��� �!!'�% � )� ������$ �%�!�� ��� �� �+��2� ���� )��� ���% �% �C;D �� ��! �� ��G��� �� �%�!��$ &� ��' ��������� ! � �+ �%�!� ��� �-�� ��2�$C;� 9��� � � �$�D ����� �B �� �%�!�� '� ����� �� ! � �+ )�� '� �� ��� �� ��2� 8���� �B���!� �$�:$

����� � ! �� � #� ��� �����' *� � ��� �� ����& �$�� �� � ����'���' /�� �2 ��% �� )� % ���� ������%� � ' �� � � �2 �� ��%� � �2 � ��$ /�� �� � � ��� )� ��� ������ ��$ �� ������� �� ���� )� ! ��% � � ������ �� �� � � �$ ����� )� /���� �$2� � �����$ �

1� +�����!� ��� ������� /���� �$; � �� ���� 8���� �B���!� �$7:$<!���!�� ����� ��!��% ��)�%�!� ��� �%�!� � � � % ���� ������%����� � ��� �-�� ��2�$ ��� +�����!!�� '� + �� ��� !!' �+ ������"

�$�"��� � � �� � #� � �����' � ��� �$�� �"��� ��� �� �#����� � �� � ������ ������ � �' �$�� �$� ���%��� ��� ����"�����'

� � � � ����'� � � ��� �� ����'� � � ��� �� ���� �� ��� � ���"� ������� �'

���' 8 : � 8 :" �� /���� �$;$8 : � 8 :" > ��� ����� ��!��% ��)�%�!� � � % ���� ������%� �

��� �-�� ��2�$ /�� � � � )� ��� �� � �� ���+��$ /�� � )� � ��)�%�!� ����� ���� � � �2 � � � ��� '���� ����� �� � � ��!��% ��)�%�!� � ��% � � �� �

����) �) �2 � � � ��� ����!� ��� �� !� ��2� � � � ���� �

� �%����%���$ > ��� � � ���� ��% ����� ��!��% ��)�%�!� � � �% ���� ������% �� � � ���� � ��� ���� � � � % ���� ������% �$����� ����� ������ �� �� � � ��� ��� )� ! ��% � � �� ���� �� �� � � �$ ���� � ��� �-�� ���� � ����� �� � �� ���+�� �$

8 : � 8 :" <!���$ �

/�� � )� � �%�!�$ � � ��!!�% � ��)����"� � ����� �' ��) �%�!�� + ��% , � ' �� � � +� ,� ����� �B ��� � ������ ��

���% �����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 6: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

�� � � � ' �� ���� � + ��% �2 � ����� � ,$ H��� ��G��� �� �%�!����% (��� % ������ �%�!�� ��� � ��G��� �� ��% � ��G��� �� �%�!�� ������� 8���C2D:$ ��C2� ;2$2�D� ��� �A��G��� �� ����!������% �%�!� � (��� % ������$

����� � % �� � #� �� ����� ����������� ����� ��� ����� ����' �$�� �� ����)����"�'

���' /�� � ��% � )� ��� ��)�%�!�� � ' �� � � �� �$ > ��� � � ���!� ����!������%� ����� �B ��� � ��)�%�!� � � ���� ����� � �� �� � � � � ��% � � � ��% � ��)�%�!� � � ���� ����� � � � �� � � � � ��% � � �$ ��-�� �� � � ���� �� ' ����� � #� � � � � � �� � �� # � ��$ ���� ����� �B ��� � �� ���� �� �� � � � ���� ���� � ! �� � � ��� � ��� �-�� ����$ ����������� � � ��% �2 � ����� � �$ ����� � � �A��G��� ��$ �

1� /���� �$�� II���!� ����!������%FF ��% � � � ������ �! 8�����B���!� �$3:$ E���������� /���� �$� � �� ���� '� ��� %�� ��� �� % � � ���� �����% ��� ��% � � ���� 8���� �B���!� �$7:$

�"�"##��� � � �$� ���%��� ��� ����"����� �� �� ����� ���������������� �'

� � � � ��� ���� �����'� � � ��� �� ���� �� �"��� � ���"� ������� �'� � � ��� �� ����'� �� � � ����)����"�'

���' � � � � �" �� ������ �$�$� � � � � � �!���$� � � � ��" �� /���� �$�$� �� � � �" ��C2� ;2$2�D � ��� � � ����!������%$ �

=�� ���� ����� �B ��� �� ���!� ����!������% �%�!� � '� ����� �-�� ��2� )�� �� (��� A% ������ 8���� �B���!� �$�:$

/�� � )� � �� � �� ���+��$ <�� %�� ��� !!' �+ ��% � � � ��%�!� �"

���� E� ����� ��)�%�!� � � ���� ���� � � �2 � � � ��� '��������� �� � � ��)�%�!� � ' ������ ����� � � � ��!��%��)�%�!� � ��% � � �� �

�� ��) �) 82 � � � �:� ����� ��

���� �� �� � � ��� ��� )� ! ��% � � ������ ���� � � �$

1� � �!��� ���� � ��� �-�� ����� ���� � ��� �-�� ����2�� � �!! � � ��)������ � ��� %�-� � � ���� ��� ��F� ��� )� ������$ �%�!��

�������� �� ������������� ������ ����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 7: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

��� �� �+ ��2� ���� )��� ���% �% �C�D �� 5H ��G��� �� �%�!��$ =�� ���� � ��� �-� �� % ���� � � ��%� ��� �-�� ���� ����$ ���� � � � �� ����� ��� �-�� ��-� ����$ ��-� � �!! �$ &� ����� �C�D � ��� %�-� � � �%�!�� ' �� �-� �� % ���� �$

����� � & �� � #� � �����' � ��� �� ��2� �� ��� ��� �� �� ��� ����� � %��$ � ���$�� � � ��� �� �#����� � �& $����$� � �� � � ���� ������$� � �� � � � �$��� �(� � � $����$� � $� � � � ��$ �$�� $ ���� �'

���' 1� � �!���$ �

����� � ' ���� � �$�� � ��� �� ��2�' �$�� �� �"��� �#����� � � �%��$ ��� � ���$�� � � ��� �� �#����� �� � ��� ��� ������ ������ � � ��$ �$�� � � � �& �"��� $����$� � �� � � ���� ����� � �'

���' /�� �� � � ���� � )� � ������ �� ��% ��� � ���� � ��� ������! �� ���� ��$ <�� %�� ��� ������ ���2�� � � �� � '���� �2� ���� � � �� � ��� �� ���� �� + ���)� �2��� �� �� � �� �� ���$ /�� �2� � � �� )� ��� ������!�� ���� ��$ �� ������� �� ����� �B ��� � ������ �� �� � � ����� ���� �2� � �2�$ =�� ���� �� ��� � � ��� �$ > ��� � � % ����������% �� ����� �B ��� � ��G��� � �� � � $ <�� %�� �+ � �� ����%���� �� � '� ���� �� � �� $ ���� ��� � � ��� � � ����G��� �� ��� ��% � ��� ��� � ���� � ����� � � � ��!��%��)�%�!� �� ����� �B ��� � ��� �� � � � )� /���� �$3 ���� ������� � �� �� � �(� ��!���!� � � ���� ���$ ����� � � �� �� � ��� %�� ��%��� ���� ! �� �$ �

����� � �( �� � #� � �����' � � ���� �� ��� ��� �� �� �"��� �#������ %��$ ��� � ���$�� � � ������ ������ � � �& �"��� $����$� ���� � � ��� ��� #� ������ � � $����$� � � �'

���' =����� �� � �!���$ <������!�� !�� � )� � ��)�%�!� � ' ����� � �� '���� � � � % ���� ������% �$ /�� � )� ��� ��G��� ��� � � � ��% � ��� ����� �� �� � � ���$ ������� � � ��� � �� �� ���� ��$ �� ������� �� �� ��� )� ! ��% � ������� �� �� � � �$ 1� ��� ��� !� )� ���� ���� � � ���� ��$����� � � ����$ �

����� � �� ."��� ����� � %$��$ ��� �� ��2� � ����'

���& �����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 8: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

���' <!��� )� /���� �$2�$ �

> ��� ����� ���� �%�!� � ����� ���� ����� �%�!� ��� �� �+ ��2� ����� )� /���� �$22$ ��� '� ��� + �� � % ���� �� �� � ����!� �� �+/���� �$2 ��% /���� �$6 �� '� ��� � ��� !!' �+ !����$

����� � �� ."��� ����� � %$��$ ��� �� ��2� � ����'���' /�� �2 ��% �� )� % ���� ������%� � ' �� � � �2 � ��$ �������� � � ����2 ��� � ��� ������ ��$ �� /���� �$6� � ��� )�! ��% � � ������ �� �� � � �$ ������� )� /���� �$2� � �����$ �

��� ������� /���� �$2� � �� ���� � +�����! 8���� �B���!� �$�:$

�$�"��� � �� �� � #� � �����' � ��� �"��� ��� �� �#����� � � � � ������ ������ � �' �$�� �$� ���%��� ��� ����"�����'

� � � � ����'� � � ��� �� ���� �� �"��� � ���"� ������� �'� � � ��� �� ��2�'

���' 8 : � 8 :" �� /���� �$22$8 : � 8 :" � ��� �-�� ��2� � ��� � � ���� ��% ����� ��!��% ��)

�%�!� � � � % ���� ������%$ /�� � � �$ /�� � � �2 � � � ��� '��������� ���� � ����� � � � ��!��% ��)�%�!� � ��% � ��� � ���)�) �2 � � � ��$ > ��� � � ���� ��% ����� ��!��% ��)�%�!� � � � % ���� ������%� ����� �� � � % ���� ������% �$ > ��� � � ����� � � � % ���� ������% �$ �������� ����� ������ �� �� � ���� ��� )� ! ��% � � ������ �� �� � � �$ ����� � ��� �-������ � �!! �$

8 : � 8 :" <!���$ �

�"�"##��� � �! /� ��� ����� � �� ���� �$� ���%��� �������� '

� � � � �� �����'� � � ��� �� ���� �� �"��� � ���"� ������� �'� � � ��� �� ����'� �� � ��� �� ��2�'

�$�� � � � � � � � � � � �� $�� ' *� � � �������& �$�� � �� � � �'

���' 1� � �!��� )� %�-� � �� ��% ������ �$2�$ �

�������� �� ������������� ������ ���'

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 9: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

������� '� ���� ��� !!' �+ ��! ��� ��"

� ������ � (��� % ������ � ! � �+� � �

���� ���� � ��2�� �

��2� � ���� � ����

� �)� *���

�+��,#� � � /�� � %���� ��� � �+ ���+���$ > ��� ��� � �%�!� � ���G��� ��� � ��� �-�� ���� ��% ���� � ����� �� � �� ���+�� �� )�� � � ��! � �+$

�+��,#� � � /��� )� � �%�!� ���� ���� �!! ��*�� ��%���� ��� ���� �G��� ��$ ���� � � ���� � ��� ���� � ��� �-�� ���� � �!! �$ ��������� ��� �-�� ���� � ����� �� � �� ���+�� �$ ��� � � �� % ������$

�+��,#� � � /�� � )� ��� � �%�!� �������3�$ &� ' !! ��' ���� � � �� ! � �+ ��% ��� �-�� ��2� )��� � � � �� �� %�� �� ��� �� ����$���' =�� ���� �� � ��� � �� ��% ������� ���!� ����!������%$ � ����������%� � ��� �� ��2� 2��� ��2� ;��� � ���3������� � ��% �$ ������ � �� ����$ ��2� ��� � � ����!����� ��2� 2�� ��% �!� � ���3�� )�� � � �� � % ���� ������% �$ ���� � ����� )� ! � �+$ �!� '� ��'���� � � �� ! � �+ )�C7� <�!!��� �D �C3� ������ 2D$ ��� �!� ����!�������)�%�!� '� �� � �� � % ���� ������% � � � ��2� ���$

='� ������ ���� �� � � ��� � ��� ������! �� ���� �� ' ��� � ��2� ��� ��% ��� � ��� � ��� ������ ��$ =�� -��� ����

��� � ���� #� � � � ��� #� ���� ���� #� � � � # � �� 2� �� ��� ���� 2� � ���

���2� ��� � � ���� � � �� �!����� �%�� �$ �������� ���2� ��� � ��� ��� � �'���� � � ��� 2�$ ����� 2�� ��� )� ��� ����� � � '���� � � ��� 2� �� ��$ >������ #�� � ��� �����#� � � ' �� � � ��� 2� ��% � � ��� 2� �� ��$ ��-�� $�� � � )� $���� #�� � �����#�� 8��� #� ��:$ ���� �$���� #�� � �����#���$ > ��� �����#� � ��� �����#� � ��������� � ����� �2� �� � ��

��&( �����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 10: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

�$���� #�� � �����#� � �

� ��� �����#� � �

� ����� #���

������� ��� ������ �� �� � � ��� ��� )� ! ��% � $� � � �$����� � ��� �-�� ��2�$

> ��� � � �� ����� )� /���� �$;� � %�� �� ��� �� ����� ��% �%�� �� ��� �� ���� � � � �$ �

�+��,#� � ! ����� �B �� �%�!�� ��� �� �+ ��2� )�� �� ����� � ������� � �� ���+�� �$

���' <�� %�� ��� � �%�!� �� � �������3� � �B���!� �$�$ &���' ���� � ��� �-�� ��2�$ > ����� � �� ������� %�� �� ��� �� ��2� )�/���� �$2�$

�!� '� ��� ��� %�� ��� � �%�!� �� � ����������� '���� � ���� �� �� ���+��$ > ��� �� � ! � �+ 8���C7� �B���!� ;D:� � ��� �-�� ��2�$ ��� �%�� �� ��� �� ��2� )������ � � �� ����$

0� ��� ���� ���%� ��� 9��J �� � +��� �� ��� ��� �-�� ���� � ������� � �� ���+�� � )� <�!!��� �$7� )�� )� /���� �$22� %�� �� ��� �� ��2�)������ � � �� ����$ �

/�� � )� ��� �%�!� ��� �� �+ ���� � ��� �� � �� ���+�� �$ &�%�F� ��' � ��� �-�� ��2�$

=' '� ' !! ��' ����� � � � �� ! � �+ �� ���� � �� ���� � +�����!$

�+��,#� � � ����� �B ��� � ! � �+ �%�!� '� �� %�� �� ��� �� ����� �� � �$

���' /�� �� � ����������� '���� � � ��� �� ��$ > ��� �� � ������� � ����� ��� �� ���� � � � �� �� /���� �$;$ �

�+��,#� � % <�� %�� ��� 9��J �� � +��� �����$ 1� � ����$ ���������������2� � �� ���� � +�����!$

����� �B ��� � ���� �%�!� '� �� %�� �� ��� �� ����"�+��,#� � � /�� � )� � % ������ ��!��� � � �+ ' �� -�!% ���� �� �$ /��� )� ��� �� (�� ��B ��! %��! �$ ���� ��� � �%�!� � � ����� ������ � ���� )�� �� ! � �+ )�C6� �B���!� �$2D$ > ��� � � ��� � ��� � � ���!�����!������%$ 1 � ��� �-�% ����� ���� � '�!% )� (��� % ������ )� <� !!��� �$7� ��% � ! � �+$ �� � � � �����% �� �$ ����� � %�� �� ��� ������$ E���������� � � �� � ��G��� �� )�C2� ;2$2�D$

����� �B �� �%�!�� ��� �� �+ ���� 8��� +�����!!�� ��� �� �+ ���� ��!! �� � �� ���+��� �: )�� �� � ��G��� ��"

�������� �� ������������� ������ ��&�

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3

Page 11: DISCRETE AND QUASI-DISCRETE MODULES

�+��,#� � & /�� � )� � % ������ ��!��� � � �+ ' �� -�!% ���� �� �$������ ���� �� � �� (��� ��G��� ��$ ���� ��� �A�%�!� � � �� � �����!������%� )�� �� ���!� ����!������% )�C�� /���� �$�D$ �������� ������ )� � ��G��� ��$ ?���!! ���� ����!����� ��)�%�!�� ��% ��!��%��)�%�!�� � ��� ��� ���� � ��� � � ����!������%$ ��C2�� /���� �$�D� � � ���� ��% )�C�� /���� �$�D� ����� ��!��% ��)�%�!� � � � % ����������%$ �������� � ��� �-�� ���� � �!! � )� ������ �$�$

����-���. ��

��� ����� '�!% ! �� � ����� <�� �� �� /��� �� 9�� �� ���� ��� � � �� �+ �� ��� �B���!� �$� ��% ��� ������ � ��!��)!� ��+ +��� �� '� �� �����% ��� ��������� � ��� �����$

��/������

2$ & �)����� ?$ /������� � ����� ��� ���� �$���. 5�%� ��%������" 9� !�%�!�� �� 2662$

�$ �����%� >$�$. ��J !!��� �$K$ 0������ ��� �� ����� ����� ' ������$' ��'. /=> 2;7 <��)� %+� �� �$ 9����" <��)� %+�� 266�$

�$ >� ��� 9$E$. ������� �$ <�� ���� ��% H��� <�� ���� �%�!��$����� K����! �������� �� �''�� 12 8�:� ��6A�;3$

;$ L��� �� �$ �%�!�� '� �� ��� >�! 9�G��� �� ?�!�� �� � <�!��%>�)�%�!��� ��� ����������� II? �+�� �%�!�� ��% ?��������� � ��FFA <������� 8����:� ��$ >�$ �� �$ 0� % �� <�������� �(((� 2 8�:�;7A�2$

�$ L��� �� �$ � 5�����! *�� � H��� 9�G��� �� �%�!��� E�� ����K$ ����$ >� $ �(((� 3 8�:� ;3�A;33$

�$ ������� � �$ <-� �� � ���� ��! �%�!��� ���� % ����$ K$ �'�%�4� 2A;�$

7$ L��� �� �$ E � �� � ���� >��� ��2� �%�!��� ��$ K$ �������� ���''&� 33� 3�A62$

3$ ��)�� M$. ����%�� �$ 0� �!��� � 9�G��� ��� ��% �!���� 1�G��� ���$ �����)� K$ ����$ �''(� 15 82:� ��A�6$

6$ ������� � �$. L��� �� �$. >� ��� 9$E$ 0� � >���!������% �%�!��$���� ����$ ���+��$ �'''� 26 82A�:� 2�2A2�6$

2�$ L��� �� �$ 0� / � �+ �%�!��$ <��$ �!+�)�� �(((� 32 87:� �;�7A�;;�$

?��� ��% K��� ���2?�� ��% ��� ����

��&� �����

Dow

nloa

ded

by [

Stat

e U

nive

rsity

NY

Bin

gham

ton]

at 0

3:37

02

May

201

3