Milutin Kojić

Matematika 1

DIREKTNA I OBRNUTA PROPORCIJALNOST

Sa ovim pojmovima smo se već sreli u sedmom razredu, sada ćemo ih još jednom

ponoviti i uraditi nekoliko zadataka kod kojih se koristi direktna i obrnuta

proporcijalnost.

Vrlo često u životu čujemo da je nešto direktno proporcijalno ili obrnuto proporcijalno.

Da li ste se nekada zapitali šta to zapravo znači? Da li vam se nekada desilo da dok

čekate autobus na stanici naiĎu svi autobusi osim onog koji vi čekate? Tada neko kaže da

je šansa da doĎe autobus koji čekate obrnuto proporcionalna vremenu za koje morate stići

na posao. To zapravo znači da što više žurite, sve je manja šansa da će naići željeni

autobus. Ovo jeste jedan primer obrnute proporcije. Ali i dalje nije sasvim jasno šta je to

obrnuta proporcija. Evo još jednog primera. Što vam se više jede odreĎena vrsta

sladoleda, manja je šansa da ga u prodavnici imaju. Ovi primeri preuzeti su iz Marfijevog

zakona, po kome sve uvek polazi naopako. Naveo sam ove primere kako bismo lakše

shvatili šta znači da je nešto obrnuto proporcijalno.

Sada već možemo da naslutimo šta tačno znače pojmovi direktne i obrnute proporcije.

Ako imamo dve veličine koje zavise jedna od druge, onda ako povećanje jedne veličine

izaziva povećanje druge, radi se o direktnoj proporciji, a ako, pak, povećanje jedne

veličine dovodi do smanjenja druge, radi se o obrnutoj proporciji.

Najjednostavniji primer za direktnu proporciju jeste na primer odlazak u kupovinu. Što

smo više para poneli, možemo više i da kupujemo. Ako povećamo količinu novca,

povećaće se i količina robe koju smo kupili.

Primer za obrnutu proporcijalnost je kada treba da okrečimo kuću. Ukoliko angažujemo

više majstora, posao će ranije biti gotov. Dakle povećanje broja majstora dovodi do

smanjenja broja dana koji su neophodni za taj posao.

ZADACI:

1. Iz jednog bureta napunjeno je 160 boca ulja od ¾ litra. Koliko će se boca napuniti iz

istog bureta, ako one sadrže 0,8 litara?

Rešenje: Zadaci ovakvog oblika rešavaju se tako što se grupišu u „kolone“ podaci istog

tipa. Tako u ovom primeru imamo:

160 3 / 4

0,8

boca litra

x boca litara

Zatim postavljamo strelice i to na sledeći način: Prvu strelicu uvek postavimo da kreće

od nepoznate x i ide ka podatku iznad ili ispod nje. Sada prelazimo na drugu „kolonu“

gde su oba podatka poznata. Ako se radi o direktnoj proporcionalnosti (ako povećanjem

jedne, dolazi do povećanja druge vrednosti) tada strelicu postavljamo u istom smeru kao

što je strelica kod promenljive x. Ako je u pitanju obrnuta proporcionalnost, onda strelicu

postavljamo u kontra smeru. U ovom primeru je reč o obrnutoj proporcionalnosti:

160 3 / 4

0,8

boca litra

x boca litara

Milutin Kojić

Matematika 1

pa tako postavljamo proporciju prateći strelice:

:160 0,75: 0,8x , odakle lako dobijamo da je: x=150.

2. Od 10kg prediva se izatka 18m štofa. Koliko se metara štofa izatka od 35kg prediva?

3. Koliko časova dnevno treba da rade četiri jednaka traktora za 35 dana da bi poorali

3640ha zemljišta, ako 3 takva traktora za 25 dana radeći dnevno po 14 časova pooru

1820ha.

Rešenje: U ovom primeru imamo produženu proporciju:

4 35 3640

14 3 25 1820

x traktora dana ha

h traktora dana ha

Smerovi strelica se odreĎuju u poreĎenju sa traženom veličinom, u ovom slučaju sa

časovima, pa je proporcija: :14 3:4 25:35 3640:1820x , odakle važi:

:14 (3 25 3640) : (4 35 1820)x , pa je 8x h .

4. Koliko časova dnevno treba da rade 16 radnika da bi za 15 dana iskopali 3600 tona

uglja, ako 24 radnika za 12 dana radeći dnevno 7 časova iskopaju 3780 tona?

5. Od 100kg brašna ispeče se 4000 komada kifli od 30g, Koliko će se kifli od 50g dobiti

od 650kg brašna?

6. Mačka ipo za dan ipo uhvati miša ipo. Koloko miševa uhvati pet mačaka za šest dana?

7. Jedan posao su započela 33 radnika, i po planu bi ga završili za 80 dana. MeĎutim

posle 16 radnih dana, 9 radnika je napustilo posao. Za koliko dana je posao završen?

Rešenje: Preoslatil 24 radnika će za x dana završiti posao, koji bi 33 radnika radila

80-16=64 dana. Tako treba postaviti proporciju.

8. Četiri jednaka traktora mogu da pooru neko zemljište za 36 časova. Posle 12 časova

rada jedan traktor se pokvario. Za koliko časova će biti pooran ostatak zemljišta?

9. Po planu 30 radnika treba da završe jedan posao za 42 dana ako rade po 8 časova

dnevno. Posao započnu svi radnici i rade 12 dana, tada 6 radnika napuste posao, a radno

vreme se poveća za 2 časa. Posle koliko dana je završen ostatak posla?

Kada gledamo da li je nešto direktno ili obrnuto proporcijalno ne gledamo date vrednosti, već samo razmišlajmo logički šta biva

kada povećavamo jednu od veličina (šta se dešava sa drugom)

Milutin Kojić

Matematika 1

10. Četiri radnika dogovore se da oberu vinograd od 10 ha za 8 dana. MeĎutim, posle 5

dana rada po 9 sati dnevno, oni oberu samo 3 ha. Zato odluče da potraže pomoć. Koliko

je još radnika potrebno da rade zajedno sa njima preostala 3 dana po 10 sati dnevno da bi

berba vinograda bila završena na vreme.