dinamika sistem nonlinear -...

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Menghitung invers suatu matriks melalui operasi baris elementer (reduksi baris)

2. Menghitung invers menggunakan ekspansi kofaktor

Teori

TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Invers suatu matriks dapat dihitung dengan menggunakan cara

1. Reduksi baris

2. Ekspansi kofaktor

Objektif

TEORI Objektif Contoh Simpulan Latihan

Definisi dan Sifat-sifat

Metode Membalik Matriks: Reduksi Baris

Metode Membalik Matriks: Ekspansi Kofaktor

Aplikasi

Definisi

A dan B matriks bujursangkar berukuran sama

Bila AB=BA=I

A disebut dapat-dibalik (invertible)

B disebut invers dari A


Sifat-sifat: (1)

AA-1 = I atau A-1A = I

(A-1)-1 = A

(An)-1 = (A-1)n

(kA)-1 = (1/k)A-1 k skalar

A dan B berukuran sama

AB dapat-dibalik

(AB)-1 = B-1A-1

faktor

1111)(−

−−−−− ==n

nn AAAAA


Sifat-sifat: (2)

• Matriks A orde 2:

−−−

−−

−=

−

−−

=−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA 11

• Invers matriks A:

=

dcba

A

Syarat: ad–bc≠0


Metode Membalik Matriks: reduksi baris

Prosedur: Bentuk matriks augmentasi: [ A | I ]

Lakukan operasi baris elementer sehingga A menjadi I

Matriks hasil reduksi dalam bentuk [ I | A-1 ]

Matriks tidak dapat dibalik: Tidak dapat direduksi menjadi In

Minimal ada satu baris nol dalam matriks eselon baris tereduksi

Komputasi dihentikan


Metode Membalik Matriks: ekspansi kofaktor

Matriks adjoint: Transpos dari matriks kofaktor

Notasi: adj(A)

Invers matriks A:

==

nnnn

n

n

T

CCC

CCCCCC

CAadj

21

22212

12111

)(

)()det(

11 AadjA

A =−


TEORI

Aplikasi

Solusi sistem: (satu solusi)

Sistem linear: matriks A(n×n) dapat dibalik

matriks b(n×1)

Ax = b

x = A-1b

Objektif Contoh Simpulan Latihan

CONTOH

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Objektif Teori Simpulan Latihan

CONTOH

Menghitung invers melalui reduksi baris

Contoh 1

=

801352321

A

Contoh 2

−−=

521142461

A

Jawab 2: Jawab 1:

Objektif Simpulan Latihan Teori

Solusi Contoh 1

100801010352001321

−−−−

101520012310001321

−−−−

125100012310001321

Bentuk matriks [ A | I ]:

-2b1+b2; -b1+b3:

2b2+b3:

CONTOH Objektif Simpulan Latihan Teori

−−−−

125100012310001321

−−−−

−

12510035130103614021

−−−−

−

125100351301091640001

Solusi Contoh 1

-2b2+b1:

3b3+b2; -3b3+b1:

-b3:


A-1

-2b1+b2; b1+b3

Bentuk matriks [ A | I ]

b2+b3

Solusi Contoh 2

−−

100521010142001461

−−−

101980012980001461

−−−−

111000012980001461


A tidak dapat dibalik

Dapatkan invers matriks dalam contoh 1 menggunakan ekspansi kofaktor.

=

801352321

A

Menghitung invers melalui ekspansi kofaktor

Contoh 3

Jawab 3:


Kofaktor entri aij

Solusi Contoh 3

408035

1111 ==+= MC

138132

1212 −=−=−= MC

50152

1313 −==+= MC

168032

2121 −=−=−= MC

58131

222 ==+= MC

93532

3131 −==+= MC

20121

2323 =−=−= MC

33231

3232 =−=−= MC

15221

3333 ==+= MC


Solusi Contoh 3

−−

−−=

125351391640

)(Aadj

−−

−−=

139251651340

C

−−−−

−==−

125351391640

)()det(

11 AadjA

A

1)1(8)9(0)9(1)det( 333332323131 −=++−=++= CaCaCaA

Matriks kofaktor

CT

INVERS


Contoh 4

Dapatkan solusi sistem linear berikut:

1047313282

321

321

321

=+−=+−−=++

xxxxxxxxx

=

−−−

1018

473321211

3

2

1

xxx

Persamaan matriks:

Jawab 4:


Solusi Contoh 4: reduksi baris (1)

−−−

100473010321001211

−−−−

1032100011510001211

−−−−−−

1032100011510001211

b1+b2; -3b1+b3

-b2

Bentuk matriks [ A | I ]



−−−−−−

110135200011510012701

−−−−

521

5210

5213100

011510012701

-b2+b1; 10b2+b3

-7b3+b1; 5b3+b2

-(1/52)b3

−−−

−

521

5210

5213

525

522

5213

527

5218

5213

100010001



=

−−−

−== −

213

1018

521

5210

5213

525

522

5213

527

5218

5213

1bAx

−−−

−=−

521

5210

5213

525

522

5213

527

5218

5213

1AInvers matriks A:

Solusi sistem:


Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor

Solusi sistem linear menggunakan ekspansi kofaktor:

=

−−−

1018

473321211

3

2

1

xxx


Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(1)




Kofaktor entri aij

134732

1111 =−−

=+= MC

134331

1212 =−

−=−= MC

137321

1313 =−−−

=+= MC

184721

2121 −=−

−=−= MC

24321

222 −==+= MC

73221

3131 =−

=+= MC

1073

112323 =

−−=−= MC

53121

3232 −=−

−=−= MC

121

113333 −=

−−=+= MC




−−−

−=

11013521371813

)(Aadj

52)13(2)13(1)13(1)det( 131312121111 =++=++= CaCaCaA

−−−−=

15710218131313

C

−−−

−==−

521

5210

5213

525

522

5213

527

5218

5213

1 )()det(

1 AadjA

A




=

−−−

−== −

213

1018

521

5210

5213

525

522

5213

527

5218

5213

1bAx

Solusi sistem:

SIMPULAN

Invers

Invers matriks dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu

1. Reduksi baris

2. Ekspansi kofaktor

Sistem linear Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x=A-1b

Objektif Contoh Latihan Teori

Objektif LATIHAN Contoh Simpulan

Soal

1. Dapatkan invers matriks berikut:

−

−=

042361123

A

027315212

321

321

321

=+−−=+−

=+−

xxxxxxxxx

2. Dapatkan solusi sistem linear berikut:

Teori


Solusi Latihan 1

Invers matriks dihitung melalui ekspansi kofaktor

−

−=

042361123

A

Teori


Solusi Latihan 1

Teori

Kofaktor entri aij

120436

1111 −=−

=+= MC

60231

1212 =−=−= MC

1642

611313 −=

−=+= MC

40412

2121 =−

−−=−= MC

20213

222 =−

=+= MC

123612

3131 =−

=+= MC

1642

232323 =

−−=−= MC

103113

3232 −=−

−=−= MC

166123

3333 ==+= MC


Solusi Latihan 1

Teori

−−

−=

161616102612412

)(Aadj

64)16(0)10)(4()12(2)det( 333332323131 =+−−+=++= CaCaCaA

−−

−==−

6416

6416

6416

6410

642

646

6412

644

6412

1 )()det(

1 AadjA

A

−

−−=

161012162416612

C


Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor

Solusi sistem linear dihitung melalui ekspansi kofaktor

Teori

027315212

321

321

321

=+−−=+−

=+−

xxxxxxxxx

−=

−−−

011

273152121

3

2

1

xxxPersamaan matriks:



Teori

Kofaktor entri aij

32715

1111 −=−−

=+= MC

12312

1212 −=−=−= MC

17352

1313 =−−

=+= MC

32712

2121 −=−−

−=−= MC

12311

222 −==+= MC

31512

3131 =−−

=+= MC

27321

2323 =−−

−=−= MC

11211

3232 =−=−= MC

15221

3333 −=−−

=+= MC



Teori

−−−−−

=121111333

)(Aadj

0)1(2)1)(7()3(3)det( 333332323131 =−+−+=++= CaCaCaA

==− )()det(

11 AadjA

A

−−−−−

=113213113

C

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Latihan 2: reduksi baris

Solusi sistem:

x3 = t x2 = -x3 + 3 = -t+3 x1 = -3x3 + 7 = -3t+7

Matriks hasil operasi baris:

−−−

−

02731152

1121

000031107301

x3 = 1 x2 = -x3 + 3 = 2 x1 = -3x3 + 7 = 4

Objektif LATIHAN Contoh Simpulan Teori

dinamika sistem nonlinear -...

Documents