DINAMIKA OBRTNOG KRETANJA

1. Ravnomjerno kružno kretanje

Kretanje kod kojeg je putanja tijela kružnica i kod kojeg se ne mijenja iznos brzine naziva se

ravnomjerno kretanje po kružnici. To je jedno od najvažnijih krivolinijskih kretanja. Tako se npr. približno

kreću planete oko Sunca, elektroni oko jezgra atoma, dijelovi rototra mašine, itd.

Na slici 1. prikazano je kretanje materijalne tačke po kružnici. Pravac brzine u svakoj tački ima pravac

tagente na kružnicu u toj tački. Iznos (intenzitet) brzine je stalan 1 2 ...v v , dok se same brzine kruženja

razlikuju po pravcu, pa je 1 2v v . Brzina v se naziva tangencijalna ili linijska brzina.

1v

2v

rrφ

O

12

s

Slika 1. Obrtno kretanje

Ravnomjerno kretanje po kružnici spada u periodična kretanja koja se ponavljaju poslije određenog

vremena. Vrijeme trajanja jednog obrtaja je period T. Za vrijeme od jednog obrtaja tijelo pređe put jednak

obimu kruga 2 r , te je linijska brzina

2

T

rv

Broj obrtaja u jednoj sekundi naziva se frekvencija obrtanja. Tijelo izvrši N = 1 obrtaj za vrijeme od jednog

perioda T, te je

1

Tf

Period obrtanja i frekvencija su u recipročnoj vezi.

1 1; T ; T 1

Tf f

f

Na slici 1. prikazana je kružna putanja materijalne tačke i na njoj dva vektora brzine, 1v i 3v . Ti vektori imaju

jednake iznose, 1 2v v , ali su im pravci različiti. Pravac brzine mijenja se od tačke do tačke, neprekidno tokom

cijelog kretanja. Kružno kretanje možemo shvatiti kao složeno kretanje, koje se sastoji od pravolinijskog

kretanja stalnm brzinom u pravcu tangente i kretanja ka centru kruženja. Brzina je vektorska veličina određena

pravcem i intenzitetom (iznosom). U našem primjeru, pošto brzina stalno mijenja svoj pravac, pa je

1 2v v

To znači da postoji ubrzanje. Ubrzanje je usmjereno prema centru obrtanja i naziva se centripetalno ubrzanje

cpa . Ono je okomito na pravac tangencijalne brzine v (slika 2).

v

cpFr

φ

O

cpa

Slika 2. Centripetalno ubrzanje i centripetalna sila

Iznos centripetalnog ubrzanja je

2

cp

va

r

gdje je r poluprečnik kružne putanje.

1v

rφ

O

cpa

2v

1v

2 1v v

Slika 3. Pravac i smjer centripetalnog ubrzanja

Pravac promjene brzine Δv vidimo na slici 3. Ako su položaji 1 i 2 sasvim blizu jedan drugom, onda

je 2 1v v v usmjereno prema centru kružnice. Isti smjer ima i ubrzanje cpa .

Termin centripetalni, za veličine koje su uvijek usmjerene ka centru kružnice, uveo je Newton.

Centripetalni znači "koji teži ka centru". Na tijelo koje se kreće ubrzanjem acp djeluje, shodno drugom

Newtonovom zakonu, sila Fcp, tako da je

2mmcp cp

vF a

r

Centripetalna sila je proporcionalna masi tijela i kvadratu brzine, a obrnuto proporcionalna

poluprečniku kružne putanje. Svaka sila, bez obzira kakve je prirode, može biti centripetalna sila, pod uslovom

da djeluje uvijek prema istoj tački. Npr. centripetalna sila koja obezbjeđuje kretanje Mjeseca i vještačkih

satelita oko Zemlje je gravitaciona sila, kretanje elektrona oko jezgra atoma obezbjeđuje električna sila, itd.

Kretanje tijela pri kojem se njegove tačke kreću jednako naziva se translatorno kretanje. Kod obrtnog

kretanja sve tačke tijela opisuju kružnice čiji centri leže na nekoj pravoj koja se zove osa rotacije i koja je

okomita na ravni putanje (slika 4.).

Slika 4. Obrtanje čvrstog tijela

Na slici 4. svi djelići tijela se kreću po kružnicama i opisuju cio krug za isto vrijeme te možemo

zaključiti da se djelići udaljeniji od ose rotacije brže kreću. Stoga je obrtno kretanje nepraktično opisivati

preko puteva i brzine pojedinih dijelića. Osnovna veličina kod obrtnog kretanja je ugao φ za koji se obrnu

tačke oko ose. SI jedinica za ugao u ravni je radijan (rad):

1 obrtaj 1 ob 2 rad 360

Za opisivanje obrtnog kretanja uvodi se veličina ugaona brzina Kod ravnomjernog obrtanja ugaona brzina je

jednaka opisanom uglu u jedinici vremena

t

SI jedinica za ugaonu brzinu je rad/s. Nije teško uočiti, na slikama 1. i 4., da svi djelići točka (rotora) imaju

istu ugaonu brzinu brzinu te je stoga ugaona brzina najpodesnija veličina za opisivanje obrtnog kretanja.

Za vrijeme od jednog perioda Tt tijelo napravi jedan obrtaj 2 , pa imammo da je ugaonu brzinun

moguće izračunati i prema formuli

2

T

Kako je linijska brzina jednaka

2 2

T T

rv r

lako se može zaključiti da je

v r

Linijska brzina neke tačke kod obrtnog kretanja jednaka je proizvodu ugaone brzine i udaljenosti tačke

od ose rotacije.

2. Jednakopromjenjivo kružno kretanje

Kada sila djeluje na neko tijelo koje može translatorno da se kreće, ona mu daje ubrzanje. Isto tako

kada sila djeluje na neko tijelo koje može da se obrće, ona će mu dati izvjesno ugaono ubrzanje. Ako je tijelo

počelo da se obrće iz stanja mirovanja onda je ugaono ubrzanje

t

SI jedinica za ugaono ubrzanje je rad/s2.

Ako se tijelo počelo ubrzavati od neke početne ugaone brzine 0, onda je ugaono ubrzanje

0

t

Jednačine jednakoubrzanog kružnog kretanja su:

➢ Zakon brzine 0 t

➢ Zakon puta 2

02

tt

Jednačine jednaousporenog kružnog kretanja su:

➢ Zakon brzine 0 t

➢ Zakon puta 2

02

tt

Primjer 2.1. Tijelo se obrće jednakoubrzano sa početnom brzinom 8 rad/s i sa ubrzanjem 1,5 rad/s2. Poslije

koliko vremena će ugaona brzina dostići 17 rad/s i koliki će ugaoni pomak tijelo načiniti za vrijeme ubrzavanja

sa 8 rad/s na 17 rad/s?

Rješenje:

0

2

0

0

0

2

2

2 2

0

rad8

s

rad1,5

s

rad17

s

?

?

rad rad17 8

s s 6srad

1,5s

rad1,5 6s

rad s8 6s 75rad2 s 2

t

t

t

t

tt

Primjer 2.2. Disk poluprečnika 22 cm rotira periferijskom brzinom 8 m/s. Ako u trenutku t = 0 rotacija diska

počne da usporava sa ugaonim usporenjem od 0,5 rad/s2, poslije koliko vremena će se zaustaviti i koliko

krugova će obići pri zaustavljanju?

Rješenje:

0

2

0 0

00

0

0

0

2

2

2 2

0

22cm 0, 22 m

m8

s

rad0,5

s

?

?

m8

rads 36,360,22 m s

0

rad36,36

s 72,72s 1min12,72srad

0,5s

rad0,5 72,72s

rad s36,36 72,72s 1322,05rad2 s 2

1322,05rad210,4

2 2

r

v

t

n

v r

v

r

t

t

t

tt

n

1

3. Moment sile

Od čega zavisi ugaono ubrzanje? Posmatrajmo kružnu ploču koju želimo pokrenuti silom F (slika 5.).

Ogledi pokazuju da je obrtno djelovanje sile najveće kada sila djeluje okomito na pravac poluprečnika. Tada

je rastojanje između pravca sile i ose obrtanja najkraće.

r

F

M

Slika 5. Moment sile

Najkraće rastojanje između pravca djelovanja sile i ose obrtanja naziva se krak sile. Takođe ogledi

pokazuju da obrtno djelovanje ne zavisi samo od iznosa sile nego i njenog rastojanja od ose obrtanja. Stoga

se kod obrtnog kretanja uvodi veličina moment sile M. Moment sile jednak je vektorskom proizvodu kraka

sile i sile.

M r F

Kako u ovom slučaju sila djeluje normalno na krak sile, iznos momenta sile je jednak proizvodu sile i kraka

sile.

M F r

Primjer 3.1. Naći moment:

a) sile od 18 N koja djeluje na rastojanju 27 cm od ose rotacije;

b) sile od 2 N koja djeluje na rastojanju 2,7 m od ose rotacije

Rješenje:

a) 18 N

27cm 0,27 m

b) 2 N

2,7 m

?

a) 18 N 0,27 m 4,96 Nm

b) 2 N 2,7 m 5,4 Nm

F

r

F

r

M

M F r

M F r

3.1.Poluge

Poluga je čvrsto tijelo, najčešće u obliku ravnog ili zakrivljenog štapa, koje se pod utjecajem sila može

zakretati oko jedne e. Sile koje djeluju na polugu u okomitoj na osu mogućeg zakretanja, pomnožene s

udaljenostima njihova pravca djelovanja od osi (krak sile), daju momente sile, koji su to veći što je i udaljenost

veća.

1F

2F = G = m g

m

1d2d

Poluga je u ravnoteži kada je algebarski zbir svih momenata koji djeluju na polugu jednak nuli (zakon

poluge).

1 1 2 2F d F d

Djelovanjem male sile na velikom kraku mogu se ostvariti na malom kraku velike sile i obrnuto. Time

se razmjerno malim silama mogu savladati velika opterećenja, a na tom principu djeluju različiti alati (makaze,

kliješta), naprave (polužna vaga, kantar, pedala ili papučica, stezna poluga) ili složeniji mehanizmi.

Kod osjetljivih sprava, na primjer kod pincete (ponekad se naziva i poluga trećeg reda), može se od

veće sile postići manja. Poluga može biti dvokraka (poluga prvoga reda), kod koje sile djeluju na suprotnim

stranama od osi zakretanja, ili jednokraka (poluga drugoga reda), gdje su sve sile s jedne strane u odnosu na

osu. Poluga se istorijski, uz strmu ravan, kolotur i hidrauličnu presu, ubraja u jednostavne mašine.

Postavljanje zakona poluge pripisuje se grčkom matematičaru i izumitelju Arhimedu.

Primjeri dvokrake poluge (poluge prvog reda)

Primjeri jednokrake poluge (poluge drugog reda)

Primjeri poluge trećeg reda

Primjer 3.2. Kolikom silom pomoću poluge možemo podići teret mase 148 kg ako je krak sile 36 cm a krak

tereta 8 cm?

Rješenje:

2

148kg

36cm 0,36m

8cm 0,08m

?

m148kg 9,81 1 451,88 N

s

1 451,88 N 0,08m322,64 N

0,36m

s

t

s t

s t

t

s

m

r

r

F

G mg

M M

Fr Gr

GrF

r

Primjer 3.3. Kolika treba biti masa tega kojim bismo tijelo mase 120 kg mogli da podignemo pomoću poluge

ako je krak sile 2,5 m, a krak tereta 20 cm?

Rješenje:

120 kg

20cm 0,2 m

2,5m

?

t

t

s

s

s t

s s t t

s

m

r

r

m

M M

G r G r

m g

s tr m g

120 kg 0,2 m9,6 kg

2,5m

t

t ts

s

r

m rm

r

4. Moment inercije

1m

2m

5m

4m

3m

1r

5r

4r

3r

2r

Moment tromosti ili moment inercije (oznaka I) je fizikalna veličina koja opisuje tromost ili inerciju

čestice ili čvrstog tijela pri promjeni brzine ili smjera vrtnje; jednaka je zbiru umnožaka mase m i kvadrata

udaljenosti r od ose rotacije svake čestice koja čini tijelo:

2 2 2 2

1 1 2 2

1

....N

i i N N

i

I m r m r m r m r

Moment inercije je ustvari mjera tromosti za vrtnju ili rotacijsko gibanje. Može se reći da je moment

inercije rotacijska analogija mase. Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju

ili zaustaviti njegovu rotaciju. Međutim, za razliku od mase, moment inercije nije neka nepromjenjiva veličina;

on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela.

Momenti inercije za osi koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije.

Moment inercije materijalne tačke

v

r

m

2mI r

Moment inercije homogenog tankog diska u odnosu na osu koja prolazi kroz osu simetrije diska

r

21m

2I r

Moment inercije homogene kugle u odnosu na osu koja prolazi kroz njen centar

r

r

22

5I mr

Moment inercije homogenog štapa u odnosu na osu koja je okomita na osu štapa i nalazi se na sredini

štapa

l

2

l

21

12I ml

Moment inercije homogenog štapa u odnosu na osu koja je okomita na osu štapa i nalazi se na kraju

štapa

l

21

3I ml

Štajnerova (Steiner) teorema:

Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbiru vlastitog momenta inercije za

os paralelnu s traženom osom i proizvoda mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od tražene ose .

2

0I I m d

Primjer 4.1. Naži moment inercije tankog diska mase 850 g i poluprečnika 48 cm u odnosu na:

a) osu diska;

b) osu rotacije paralelnu sa osom diska, udaljenu 32 cm od ose diska;

c) osu rotacije paralelnu sa osom diska, udaljenu 64 cm od ose diska.

Rješenje:

22 2

2 22 2 2 2

0

22 2 2

0

850g 0,85kg

48cm 0,48

a) 0

b) 32cm

c) 64cm

?

1 1a) 0,85kg 0, 48m 0,098kg m

2 2

1 1b) 0,85kg 0, 48m 0,85kg 0,32 0,185kg m

2 2

1 1c) 0,85kg 0, 48m 0,85kg 0,6

2 2

m

r m

d

d

d

I

I mr

I I md mr md m

I I md mr md

2 24 0,446 kg mm

Primjer 4.2. Masa Zemlje je 5,972 · 10 24 kg, dok je njen poluprečnik 6.371 km.

a) Koliki je moment inercije Zemlje;

b) Koliko puta bi se promijenio moment inercije Zemlje kada bi se, uz zadržavanje sve svoje

mase, njen poluprečnik smanjio na polovinu sadašnje vrijednosti?

Rješenje:

24

6

1

1

22 24 6 37 2

66

1

22 24 6 37 2

1 1

1

5,972 10 kg

6 371km 6,371 10 m

2

a) ?

b) ?

2 2a) 5,972 10 kg 6,371 10 m 9,696 10 kgm

5 5

6,371 10 mb) 3,1855 10 m

2 2

2 25,972 10 kg 3,1855 10 m 2, 424 10 kgm

5 5

2, 424

m

r

rr

I

I

I

I mr

rr

I mr

I

I

37 2

37 2

10 kgm 10, 25

9,696 10 kgm 4

5. Osnovni zakon obrtnog kretanja

Ugaono ubrzanje može se naći kao količkin momenta sile i momenta inercije

M

I

odnosno:

M I

Ovo se može zapisati i u vektorskom obliku:

M I

Primjer 5.1. Točak neke mašine, oblika diska, ima poluprečnik 60 cm i masu 20 kg. Na periferiji točka, u

pravcu tangente, djeluje stalna sila od 18 N. Koliko je ugaono ubrzanje točka? Koliku bi ugaonu brzinu

točak razvio poslije načinjenih 7 krugova ako je u početku mirovao?

Rješenje:

0

22 2

2 2

2

2

2

2

2

60cm 0,6 m

20 kg

18 N

7

0

?

?

1 120 kg 0,6 m 3,6 kgm

2 2

18 N 0,6 m 10,8 Nm

10,8 Nm rad3

3,6 kgm s

2 7 2 43,98rad

2

2 2

2

2 2 43,98rad5, 41s

rad3

s

rad3 5, 41s 16

s

r

m

F

n

I mr

M Fr

M I

M

I

n

t

t

t

t

t

rad

, 23s

Uporedimo neke veličine i zakone kod pravolinijskog i obrtnog kretanja:

Pravolinijsko kretanje Obrtno kretanje

Pređeni put s Ugaoni pomak

Vrijeme t Vrijeme t

Masa m Moment inercije I

Sila F Moment sile M

Brzina s

vt

Ugaona brzina t

Ubrzanje 0v v

at

Ugaono ubrzanje

0

t

Zakon puta kod

ravnomjernog kretanja s vt Zakon puta kod ravnomjernog

obrtanja t

Zakon puta kod

jednakoubrzanog kretanja

2

02

a ts v t

Zakon puta kod

jednakoubrzanog obrtanja

2

02

tt

Zakon puta kod

jednakousporenog kretanja

2

02

a ts v t

Zakon puta kod

jednakousporenog obrtanja

2

02

tt

Zakon brzine kod

jednakoubrzanog kretanja 0v v at Zakon brzine kod

jednakoubrzanog obrtanja 0 t

Zakon brzine kod

jednakousporenog kretanja 0v v at Zakon brzine kod

jednakousporenog obrtanja 0 t

Drugi Newtonov zakon F ma Osnovni zakon obrtnog kretanja M I

6. Moment impulsa

Matematički izraz za impuls tijela (količinu kretanja) je

mp v

Koristeći analogiju, odgovarajući izraz za obrtno kretanje je

L I

gdje je L - moment impulsa (količine kretanja), I - moment inercije, - ugaona brzina.

L

m v

r

Za materijalnu tačku moment inercije je 2mI r , a veza između ugaone i linijske brzine je v r . Kada

uvrstimo vrijednosti u izraz za moment impulsa, dobivamo da je moment impulsa materijalne tačke.

2m

m

vL I r

r

L v r

Zakon održanja impulsa glasi: U izolovanom sistemu ukupan impuls tijela je konstantan.

m const.v

Po analogiji između translatornog i obrtnog kretanja možemo definisati zakon održanja momenta impulsa.

Po analogiji sa translatornim kretanjem možemo reći da je ukupan moment impulsa tijela izolovanog

sistema konstantan.

const.I

odnosno

1 1 2 2I I

Slika 1. Zakon održanja momenta impulsa

Navest ćemo nekoliko primjera. Na slici 1. čovjek se obrće na platformi, raširenim rukama, ugaonom brzinom

2 . Trenje se zanemaruje, a sistem smatramo izolovanim. Kada spusti ruke ugaona brzina se poveća na 1 .

Razlog tome je što se skupljanjem ruku smanji moment inercije. Pošto proizvod momenta inercije i ugaone

brzine mora ostati konstantan, za isto toliko se poveća i ugaona brzina.

Iz istog razloga, kada skakač u vodu želi da se obrne u zraku, skupi noge i ruke. Na taj način mu se smanji

moment inercije, a poveća ugaona brzina.

Zbog čega helikopter ima dvije elise koje se obrću u suprotnim smjerovima? Kada bi helikopter imao samo

jedni elisu, onda bi se obrtao samo u smjeru suprotnom od obrtanja elise.

Primjer 6.1. Odredi moment impulsa rotora mašine, oblika diska, mase 1 kg, poluprečnika 20 cm, a koji

rotira stalnom ugaonom brzinom 10 rad/s;

Rješenje:

22 2

22

1kg

20cm 0,2m

rad10

s

?

1 11kg 0,2m 0,02kgm

2 2

rad kgm0,02kgm 10 0,2

s s

m

r

L

I mr

L I

Primjer 6.2. Oblak gasa oblika kugle, mase 400 kg i poluprečnika 2 km, obrće se ugaonom brzinom 2 rad/s.

Kolika će mu biti ugaona brzina ako se smanji na kuglu poluprečnika 50 m?

Rješenje:

1

1

2

2

22 2

1 1

22 2

2 2

1 1 2 2

2

1 12 2

2

400 kg

2 km 2 000 m

rad2

s

50 m

?

2 2400 kg 2 000 m 640 000 000 kgm

5 5

2 2400 kg 50 m 400 000 kgm

5 5

rad640 000 000 kgm 2

rads 3 200400 000 kgm s

m

r

r

I m r

I m r

I I

I

I

7. Centrifugalna sila

Centrifugalna sila je inercijalna sila, koja se javlja u neinercijalnim sistemima referencije koji se kreću po

kružnoj putanji. Uzrokuje je promjena smjera kretanja, a usmjerena je od centra obrtanja ka periferiji.

Računa se po formuli

2

cf

mvF

r

gdje je m - masa tijela koje rotira, v - brzina rotacije tijela, r - poluprečnik rotacije.

Kako je v r , slijedi da je

2 2 2

cf

m r m rF

r r

odnosno centripetalnu silu možemo računati i po formuli

2

cpF m r

Primjer 7.1. Kugla mase 5 kg vezana je za uže zanemarive mase i obrće se u vertikalnoj ravni sa

poluprečnikom putanje 50 cm ugaonom brzinom 6 rad/s. Naći sile zatezanja užeta u tačkama A (na vrhu

putanje), B (kada je konac u horizotalnom položaju), C (na dnu putanje) i D (na gornjem dijelu putanje

tako da sa vertikalom zaklapa ugao od 27°). Sile otpora zanemariti.

Rješenje:

5kg

50cm 0,5m

rad6

s

27

?z

m

r

F

a) U položaju A centrifugalna sila je

usmjerena u istom smjeru kao i sila

zatezanja, dok je gravitaciona sila

usmjerena suprotno sili zatezanja,

pa imamo da je sila zatezanja jednaka:

2

2

2

2

rad m5kg 6 0,5m 9,81

s s

40,95 N

z cf g

z

z

z

z

F F F

F m r m g

F m r g

F

F

b) U položaju B centrifugalna sila usmjerena je

u smjeru sile zatezanja, a gravitaciona sila

je normalna na pravac sile zatezanja i ne utiče

na nju, pa je sila zatezanja jednaka:

2

2rad

5kg 6 0,5m 90 Ns

z cf

z

z

F F

F m r

F

c) U položaju C su centrifugalna sila i gravitaciona sila usmjerene u smjeru sile zatezanja, pa je sila

zatezanja jednaka:

2

2

2

2

rad m5kg 6 0,5m 9,81

s s

139,05 N

z cf g

z

z

z

z

F F F

F m r m g

F m r g

F

F

d) U položaju D je centrifugalna sila usmjerena u smjeru sile zatezanja, dok gravitaciona sila zaklapa

ugao α sa silom zatezanja. Na silu zatezanja utiče projekcija gravitacione sile na pravac sile

zatezanja, tj. sila F˝gl, a ta sila je usmjerena suprotno od smjera sile zatezanja. Dakle, sila zatezanja

jednaka je:

2

2

2

2

cos

cos

rad m5kg 6 0,5m 9,81 cos 27

s s

46,30 N

z cf gl

z

z

z

z

F F F

F m r m g

F m r g

F

F