FACULTAD DE INGENIERA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

CURSO : DINAMICA DOCENTE : ING. IRMA RODRIGUEZ LLONTOP INTEGRANTES : SERQUEN ESCURRA Antonio VENTURA DIAZ Jhon

CICLO : 2015 I

Lambayeque, Mayo del 2015

INDICEINTRODUCCION..(3) OBJETIVOS.....(4)1. CONCEPTOS BSICOS..............(5)2. DESPLAZAMIENTO Y DIFERENTES TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDO........(6)TRES DESPLAZAMIENTOS BASICOS: i. Translacinii. Rotacin alrededor de un eje fijo...(7) ii.1. Rotacin alrededor de un punto fijo......(8)iii. Movimiento plano general iii.1. Velocidad absoluta y relativa en el movimiento plano iii.2. Centro instantneo de rotacin en el movimiento plano.....(10) iii.3. Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano.....(11) iii.4. Anlisis de movimiento relativo por medio de ejes rotativos.(12-13)

3. EJERCICIOS DE APLICACIN.....(14-26)4. CONCLUSIONES...(27)

INTRODUCCIN

Este tema trata de cinemtica de un cuerpo rgido, o de los cuerpos rgidos. El concepto de la cinemtica de una partcula se hace extensivo ahora a la cinemtica de un cuerpo rgido, considerando que un cuerpo rgido consiste en un nmero infinito de partculas y que la distancia entre dos partculas cualesquiera, es constante, pero mientras que no consideramos la rotacin de una partcula, a menos que sea el vector giratorio de posicin de la partcula, si consideraremos la rotacin de un cuerpo rgido. Un cuerpo rgido puede girar alrededor de un punto o alrededor de una recta y existen movimientos giratorios relativos de dos cuerpos rgidos.

Al tratar la cinemtica de un cuerpo rgido, debemos especificar la velocidad y la aceleracin de un punto del cuerpo rgido y la velocidad angular y la aceleracin angular del cuerpo; a partir de ellas podemos obtener la velocidad y aceleracin de cualquier punto del cuerpo rgido. Para la mayora de los casos, la cinemtica de los cuerpos rgidos puede tratarse aislando sucesivamente un cuerpo rgido, a la vez. En otros casos, tienen que considerarse los movimientos relativos de los cuerpos rgidos.

OBJETIVOS

Clasificar los diversos tipos de movimiento que puede experimentar un cuerpo rgido

Entender el concepto de lo que es la cinemtica de un cuerpo rgido y lo que es un cuerpo rgido.

Investigar la traslacin y el movimiento angular con respecto a un eje fijo de un cuerpo rgido.

Analizar la velocidad y la aceleracin del movimiento relativo mediante un marco de referencia trasladante y rotatoria.

Adems de desarrollar ejercicios de aplicacin de cada tema para una mejor comprensin.

1. CONCEPTOS BSICOS

CUERPO RGIDOUncuerpo rgidose define como aquel que no sufre deformaciones por efecto defuerzasexternas, es decir, un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian. Sin embargo, las estructuras y mquinas reales nunca son absolutamente rgidas y se deforman bajo la accin de cargas que actan sobre ellas.

TRASLACIN El cuerpo rgido puede tener un movimiento de traslacin pura; en este tipo de movimiento, las velocidades de cada una de las partculas que componen al slido, en cada instante de tiempo, son iguales (tener presente que la velocidad es un vector; esto implica que el mdulo, la direccin y el sentido de la velocidad son iguales para todas las partculas en un instante dado). En general, el movimiento del slido ser curvilneo y, por lo tanto, tendr componentes de aceleracin tangencial y normal.

ROTACIN En este caso, las trayectorias de todas las partculas del slido son circunferencias concntricas; la velocidad de cada partcula tendr la direccin y sentido del vector tangente a la circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las distintas partculas que integran el slido no sern las mismas; la nica velocidad comn ser la velocidad angular del cuerpo.

2. DESPLAZAMIENTO Y DIFERENTES TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDO

I. TRASLACIN:

Se afirma que un movimiento ser de traslacin si toda lnea recta dentro del cuerpo mantiene la misma direccin durante el movimiento. Donde:rA y rB son los vectores posicin de A y B.rB/A el vector que une A y B.rB = rA + rB/AHay que resaltar que de la definicin pura de traslacin, el vector rB/A debe mantener una direccin constante; su magnitud tambin debe ser constante, ya que A y B pertenecen al mismo cuerpo rgido. De tal modo, la derivada de rB/A es cero y se tiene

vB = vAAl diferenciar una vez ms se obtiene:aB = aA En consecuencia, cuando un cuerpo rgido est en traslacin, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleracin en cualquier instante dado. En el caso de traslacin curvilnea, la velocidad y la aceleracin cambian en direccin, as como en magnitud, en cada instante.

En el caso de traslacin rectilnea, todas las partculas del cuerpo se mueven a lo largo de lneas rectas paralelas, y su velocidad y aceleracin se mantienen en la misma direccin durante el movimiento completo.

II. ROTACIN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO:

En este movimiento, las partculas que forman al cuerpo rgido se mueven en planos paralelos a lo largo de crculos centrados sobre el mismo eje fijo. Posicin angular: en el instante que se muestra, la posicin angular de r est definida por el ngulo , medido desde una lnea de referencia fija hasta r.Al observar que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira un ngulo es:

Y al dividir ambos miembros entre t, se obtiene en el lmite, cuando t tiende a cero,

La velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA. Pero ste es precisamente el resultado que se obtendra al dibujar un vector =k a lo largo de AA y se formara el producto vectorial xr. Entonces se escribe:

Velocidad angular (): el cambio con respecto al tiempo de la posicin angular.

Aceleracin angular (): mide el cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.

II.1 MOVIMIENTO DE UN PUNTO FIJO:Cuando el cuerpo rgido gira, el punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto O.

Velocidad:

Aceleracin: puede expresarse en funcin de sus componentes normal y tangencial. Como y , donde , y , tenemos:

El componente tangencial de la aceleracin, representa el cambio de la magnitud de la velocidad con respecto al tiempo.

La componente normal de la aceleracin representa el cambio respecto al tiempo de la direccin de la velocidad.

III. MOVIMIENTO PLANO GENERAL

El movimiento plano general de un cuerpo rgido se describe como una combinacin de traslacin y rotacin. Para ver estos movimientos componentes por separado utilizaremos un anlisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas.

III.1 VELOCIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANOLa velocidad absoluta vB de una partcula B de la cadena se obtiene de la frmula de velocidad relativavB = vA + vB/ADonde el miembro del lado derecho representa una suma vectorial. La velocidad vA corresponde a la traslacin de la placa con A, mientras que la velocidad relativa vB/A se asocia con la rotacin de la placa en torno a A y se mide con respecto a ejes centrados en A de orientacin fija.

Al denotar mediante rB/A el vector de posicin de B relativo a A, y por k la velocidad angular de la placa con respecto a los ejes de orientacin fija, se tiene de

Donde r es la distancia de A a B. Sustituyendo vB/A tambin se puede escribir

Se debe tener presente que la velocidad angular de un cuerpo rgido en movimiento plano es independiente del punto de referencia.

III.2 CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN EN EL MOVIMIENTO PLANO

La velocidad de cualquier punto B localizado en un cuerpo rgido puede obtenerse de madera muy directa el seleccionar el punto base S como un punto de velocidad cero en el instante considerado.En este caso, VA = 0 y por consiguiente la ecuacin de velocidad, VB = VA + x rB/A, se vuelve VB = x rB/A. En el caso de un cuerpo que tenga movimiento plano general, el punto A as seleccionado se llama centro instantneo de velocidad cero (CI) y se ubica en el eje instantneo de velocidad cero.

La posicin del centro instantneo puede definirse de otras dos formas. Si se conocen las direcciones de las velocidades de las dos partculas A y B de la placa y si stas son diferentes, el centro instantneo CI se obtiene dibujando la perpendicular a vA a travs de A y la perpendicular a vB a travs de B y determinando el punto en el cual se intersecan estas dos lneas (figura a). Si las velocidades vA y VB de las dos partculas A y B son perpendiculares a la lnea AB y si se conocen sus magnitudes, el centro instantneo puede encontrarse intersecando la lnea AB con la lnea que une los extremos de los vectores vA y vB (figura b).

Advierta que si vA y vB fueran paralelas en la figura a o si vA y vB tuvieran la misma magnitud en la figura b.

PROPIEDADES DEL CI Todos los puntos realizan instantneamente una rotacin (sin traslacin) alrededor del CIR. El CIR puede ser un punto del SR, pero tambin puede estar fuera del SR. En un movimiento plano el CIR siempre existe, pero puede cambiar su localizacin con el tiempo. Para localizar el CIR, basta con trazar las perpendiculares a la velocidad de dos puntos del SR y ver donde se cortan. El punto donde se corten es el CIR. Si el slido tiene un punto jo, este ser el CIR. El mdulo de la velocidad de cada punto es v = d, donde d es la distancia del punto al CIR. A ms distancia de un punto al CIR, mayor ser el mdulo de su velocidad.

III.3 ACELERACIONES ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANOCualquier movimiento plano puede sustituirse por una traslacin definida por el movimiento de un punto de referencia arbitrario A y una rotacin simultnea alrededor de A. Esta propiedad se utiliz para determinar la velocidad de los diferentes puntos de la placa en movimiento. La misma propiedad se utilizar ahora para determinar la aceleracin de los puntos de la placa. Entonces la aceleracin absoluta aB est definida por:aB = aA + aB/A La aceleracin aA corresponde a la traslacin de la placa con A, en tanto que la aceleracin relativa aB/A se asocia con la rotacin de la placa entorno a A y se mide con respecto a los ejes centrados en A y de orientacin fija.La aceleracin relativa aB/A puede descomponerse en dos componentes, una componente tangencial (aB/A)t perpendicular a la lnea AB, y una componente normal (aB/A)n dirigida hacia A . Denotando por rB/A el vector de posicin de B relativo a A y, respectivamente, mediante k y k la velocidad angular y la aceleracin angular de la placa con respecto a los ejes de orientacin fija, se tiene:

Donde r es la distancia desde A hasta B. Al sustituir en la frmula de la aceleracin absoluta de B (aB) las expresiones que se obtienen para las componentes tangencial y normal de aB/A, tambin se puede escribir:

III.4 ANLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES ROTATIVOSConsidere los dos puntos A y B de la figura a. los vectores de posicin rA y rB especifican su ubicacin, los cuales se miden con respecto al sistema de coordenadas X, Y, Z fijo. Como se muestra en la figura, el punto base A representa el origen del sistema coordenadas x, y, z, el cual se supone que se traslada y rota con respecto al sistema X, Y, Z. El vector de posicin relativa rB/A especifica la posicin de B con respecto a A.En el instante considerado, la velocidad del punto A es VA y su aceleracin aA, en tanto que la velocidad y aceleracin angulares de los ejes x, y, z son (omega) y , respectivamente.

Velocidad: Donde:VB = velocidad de B, medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z.VA = velocidad del origen A del marco de referencia x, y, z medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z. = velocidad de B con respecto a A, medida por un observador situado en el marco de referencia rotatorio x, y, z. = velocidad angular del marco de referencia x, y, z medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z.rB/A = posicin de B con respecto a A.

Aceleracin: Donde:aB = aceleracin de B, medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z.VA = aceleracin del origen A del marco de referencia x, y, z medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z. = aceleracin y velocidad de B con respecto a A, medida por un observador situado en el marco de referencia rotatorio x, y, z. = aceleracin y velocidad angulares del marco de referencia x, y, z medida con respecto al marco de referencia X, Y, Z.rB/A = posicin de B con respecto a A.

EJERCICIOS DE APLICACINTRASLACION PURA

PROBLEMA N 01

Los extremos A y B de una barra de metros, de longitud se mueven a lo largo de ranuras gua, como se indica en la figura. Para la posicin mostrada el extremo B tiene una rapidez de 2m/seg. y un mdulo de aceleracin de 4m/seg2., siendo el sentido de la velocidad y la aceleracin, de izquierda a derecha. Hallar la velocidad y la aceleracin del extremo A, en este instante.

SOLUCIN:Los datos indican que:VB = 2i,AB = 4i

Como el extremo A est obligado a moverse a lo largo de la ranura guiada, en la direccin del eje y,VA = vAj,aA = vAj,Y como la barra tiene movimiento plano, escribimos: = k = kAplicando las ecuaciones de la velocidad y la aceleracin para dos puntos de un cuerpo rgido dotado de movimiento plano, tenemos los resultados siguientes. Para la velocidad.vA = vB + x BA,vAj = 2i + k x (-i + j) = 2i j i,Y por consiguiente:0 = 2 , = 2rad/seg vA = -,vA = -2m/seg.Para la aceleracin:aA = aB + + x BA + x ( x BA)Aj =2i + k x (-i + j) = 2i j i,Y por consiguiente:0 = 2 , = 2rad/ segvA= -,vA= -2 m/segPor lo tanto:vA = vAj = -2 jm/seg,aA= Aj= - 12j m/seg2.

ROTACION PURA:PROBLEMA N02:El dimetro AB del volante de la figura se desva segn la expresin = 2t 3, donde si t est en s, resulta en rad. El volante tiene un radio de 20 cm en el instante mostrado, = 60, determine: a) el valor de t. b) la velocidad y aceleracin lineales del punto B.

SOLUCION:

a).

b).

Como

La aceleracin normal del punto B es:

Y la tangencial:La magnitud de la aceleracin de B es:

Y el ngulo es:

Por tanto como:

MOVIMIENTO PLANO GENERAL

VELOCIDADES

PROBLEMA N03

Los pasadores insertados en A y B que se deslizan en las ranuras mostradas, guan el movimiento de la varilla AB. En el instante mostrado, =30 y el pasador de A baja a una velocidad constante de 9 in/s. Determine: a) la velocidad angular de la varilla.b) la velocidad del pasador del extremo B.

DATOS:

SOLUCION:

ACELERACIONES

PROBLEMA N04Si en el instante que se muestra la varilla AB tiene una velocidad angular constante de 6rad/s en el sentido de movimiento de las manecillas del reloj, determine la aceleracin del punto D.

DATOS:

SOLUCIN:

CENTRO INSTANTANEO:PROBLEMA N05:El disco O indicado en la figura tiene un rodamiento perfecto siendo su velocidad angular y su aceleracin su aceleracin angular. El extremo A de la barra AB est ligado a la periferia del disco y el extremo B se mueve a lo largo del piso. Hallar la velocidad y aceleracin de B, para la posicin indicada.

SOLUCION:A partir de la figura, vemos que: = sen-1 2r/lY notamos que para el disco: = k, = k;Para la barra AB = ABk, AB = AB k;Y para el extremo BVB = VBi,aB= aBiAplicando las ecuaciones para la velocidad y la aceleracin de un cuerpo rgido dotado de movimiento plano, tenemos resultados siguientes:VA = rA = r0 + x OA= r i + k x (-rj)= ri + ri = 2ri

aA= rA = r0 + x OA + x ( x OA)= ri + k x (-rj) + k x (ri)= ri + ri + r2j= 2ri + r2jVB = vBi = rB = rA + AB x AB= 2ri + ABK x (l cos i + 2rj)= 2ri + ABlcos j 2rABiDe modo queVB = 2r( - AB),0 = ABlcosComo l 0 y cos = 0, debemos tener que:AB = 0Por lo tanto,VB = 2r,VB = 2riQue es igual a vA,Para la eleccin, tenemosaB = aBi = aA + AB x AB + AB x (AB x AB)= aA + ABk x (l cos i + 2rj) + 0= 2ri + r2j + ABlcos j 2rABi,Y por lo tanto:aB= 2r 2rAB,o = rw2+ ABl cos AB = -r2/l cos ,aB= 2r + 2r22/l cos Entonces:aB = (2r + 2r22/lcos) i.

PROBLEMA N 06:Determinar las velocidades de A y V en el ejemplo anterior, usando el mtodo del centro instantneo.SOLUCIN: El centro instantneo del disco, movindose con rodamiento perfecto es C. Entonces:VA = rA = x CA = k x (-2 rj) = 2riComo vB = vBi, y es paralela a vA, el centro instantneo de la barra AB est en el infinito. En otras palabras, AB est experimentando en ese instante un movimiento de translacin. Por lo tanto:VB = VA = 2ri

PROBLEMA N07: Una rueda que rueda y desliza en el plano xy tiene su centro O localizado en:X0 = 5t4,Y0= 3,En donde X0 Y0 estn medidas en metros, y t est medido en segundos. El desplazamiento angular de un radio, medido a partir de una recta vertical de referencia, es: = 2t3,En donde est medido en radianes y en el sentido de las manecillas del reloj. Determinar: (a) la velocidad, (b) la aceleracin de un punto P localizado en el extremo derecho de un dimetro, cuando r = 1 seg. Encontrar tambin (c) el centro instantneo del movimiento, en ese instante.

SOLUCIN: A partir de los datos correspondientes a X0 y , tenemos:X0 = 5t4,= 20t3, = 60t2, = 2t3, = 6t2, = 12t,= 20t3i,= 60t2i, = -6t2k, = -12tkAplicando las ecuaciones para la velocidad y la aceleracin, tenemos lo siguiente:(a) VF = + x OP = 20t3i + (-6t2k) x 3i = 20t3i 18t2j,Y para t =1, Vp = 20i 18j m/seg.(b) a = + x OP + x ( x OP) = 60t2i + (-12 tk + 3i) + (6t2k) x (-6t2k x 3i) = 60t2i - 69tj 108t4i,Y para t = 1, a = -48i 36j m/seg2.Cuando t =1 seg., v = (20 + 6y) i 6xj. Si C es el centro instantneo, entonces v = 0, y por lo tanto:0 = (20 + 6y) i 6xj,20 + 6y = 0,6x = 0

Esto da por resultado que x = 0, y = -3 m; sea

OP = 3jm,

Es decir, el centro instantneo est a 3 metros medidos verticalmente hacia abajo del centro de la rueda.

CONCLUSIONES

Primero se consider la traslacin de un cuerpo rgido y se observ que en un movimiento de este tipo, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la aceleracin en cualquier instante dado. El movimiento plano de una placa rgida puede considerarse como la suma de una traslacin y una rotacin. El centro de rotacin instantneo es el punto alrededor del cual es posible suponer que un cuerpo est girando en un instante dado, al determinar las velocidades de los puntos del cuerpo en ese instante.

DINAMICA3