dinamica de un sistema de particulas 1
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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Civil
Dinámica de un Sistema de Partículas
Energía Cinética y Potencial
Impulso y Cantidad de movimiento
Masa variable
Choques
MSc.: Loayza Cordero Fredy Miguel
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Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton
Conservación del momento lineal
Impulso y cantidad de movimiento
Colisiones
Dinámica de un Sistema de Partículas
Masa variable
Energía Cinética y Potencial de un Sistema de Partículas Impulso y cantidad de movimiento
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Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa.
M
m
dt
rdm
Mdt
d
ii
CM
i
i
CM
CM
vv
1rv
totiiiCM mM ppvv
El momento total del sistema es:
Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton
iiCM rmM
r
1
De la definición de centro de masa se tiene
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La aceleración del centro de masa es:
De la segunda ley de Newton:
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.
ii
i
i
CM
CM mMdt
dm
Mdt
da
1v1va
externasinternas iiiiiCM mM FFFaa
CM
tot
CMi Mdt
dM aF
paF
extext
)( ParticulasdeSistemasunparaNewtondeLeyM CM
2aF ext
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Del resultado de las fuerzas exteriores que actúa sobre un sistema de partículas es nula, el momento lineal se conserva
Entonces
Conservación del momento lineal.
00
dt
PdFSi ext:
constanteP
"" LinealMomentodelónConservaciladeLey
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La figura muestra una polea fija de masa despreciable y sin roce de la cual penden 2 partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas por una cuerda liviana e inextensible. Calcule la aceleración de cada partícula, la tensión de la cuerda y la aceleración del centro de masa del sistema de partículas.
Tarea 1
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Tarea 2
La figura muestra un sistema formado por dos partículas cuyas masas son m1 = 10kg, m2 = 6kg. Las fuerzas netas que actúan sobre cada una de ellas respectivamente y . Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. Calcule en función del tiempo las coordenadas del centro de masa y el momento lineal total.
NiF ˆ81
NjF ˆ62
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Una granada inicialmente en reposo, estalla en 3 pedazos de masas m1, m2 y m3 cuyas velocidades son respectivamente:
Tarea 3
Determine la relación entre sus masas
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Tarea 4
Se lanza un proyectil de 3 kg de masa, con un ángulo de 30° sobre la horizontal y con una velocidad de 120 m/s. En la parte superior de su trayectoria, explota en dos partes de 1 kg y otro de 2 kg. El fragmento de 2 kg cae al suelo directamente debajo del punto de explosión, 3,6 s después de que esta se ha verificado (a) Determine la velocidad del fragmento de 1 kg inmediatamente después de la explosión. (b) Determine la distancia entre el punto del disparo y el punto en el cual el fragmento de 1 kg choca contra el suelo ( c) Determinar la energía liberada por la explosión
s
mVo 120
x
y 1V
2V
30
o
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La energía de un sistema de partículas es la suma de las partículas individuales.
Desarrollando se tiene
)(·
ii
vi
vm
ii
mv
i ic
EEC
.
2
12
2
1
iCMi uvv
CrelEMVE CMC 2
2
1
Energía Cinética de un Sistema de Partículas
La velocidad de la partícula i puede expresarse como la suma de la velocidad de centro de masa VCM y la velocidad de la partícula relativa al centro de masa Ui
i
CMCM
i
iii
iii
Cumumvv
mE
22
2
1
2
.
simplificando la expresión ya que: 0
iii
um i iirelC
umE2
2
1
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La energía potencial gravitatoria en un campo gravitatorio uniforme es
Reemplazando se tiene la energía potencial para un sistema
ii
hi
mg
ii
ghi
mEP
i
iiCM hmMh
CMP MghE
Energía Potencial Gravitatoria de un Sistema de Partículas
Por otro lado de la definición de centro de masa
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Un bloque de 3 kg se mueve hacia la derecha a 5 m/s y un segundo bloque de 3 kg se mueve hacia la izquierda a 2m/s. (a) Hallar la energía cinética total de ambos bloques en este sistema. (b) Hallar la velocidad del centro de masa del sistema formado por estos bloques (c) Hallar las velocidades de estos bloques respecto al centro de masa (d) Hallar la energía cinética del movimiento respecto al centro de masas. (e) Demostrar que la respecto del apartado (a) es mayor que el correspondiente al apartado (d) en una cantidad igual a la energía cinética del centro de masas.
Tarea 1
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El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al área bajo la curva de fuerza-tiempo.
ti tf
t
F
Impulso y cantidad de movimiento
pppp
FI12
2
1
tt
t
tdt
dt
ddt
• Es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el intervalo de tiempo que dura su aplicación. • Matemáticamente se expresa mediante la integral de la fuerza por el tiempo. • El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo:
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La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama
fuerza de impulso.
El impulso se puede escribir como: I = Fm t. Donde Fm es
la fuerza promedio durante el intervalo.
ti tf
t
F
Fm
Área = Fm t
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21
2
2
1
1
2
2
1
1
CMexternoCM
CMiCM
iiCM
iiiii
iii
iii
VMIVM
VMdtFVM
vmVM
como
vmdtFvm
Integrando
dvmdtF
dt
vdmF
PSunparaNewtondeecuaciónlaDe
..
Principio del Impulso lineal y cantidad de movimiento para un Sistema de Partículas
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El furgón A de 15 Mg se desplaza en forma libre a 1,5m/s horizontal cuando se encuentra con un carro B cuya masa es de 12 Mg y que se desplaza a 0,75 m/s hacia el , según se observa en la figura si ambos carros se acoplan Determine : a) La rapidez de ambos carros b) La fuerza promedio de entre ambos carros si el acoplamiento ocurre en 0,8s
Tarea 1
A B
1,5 m/s 0,75 m/s
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Supongamos que tenemos una masa dm moviéndose con una velocidad u hacia un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v
Sistema de Masa Variable (gana masa)
NewtondeLeydt
d 2;
pF
dm
Fext
v
u
Si el elemento dm se mueve mas rápido que el cuerpo de masa m
m
Fext
v+dv m dm
Luego como
u-v-vvvvF
uvvvFpF
dmmdmddmmdmdt
dmmddmmdtddt
ext
ext
)())((
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u)-(vv
u-vv
Fdt
dm
dt
dm
dt
dm
dt
dm
dt
dmext
Simplificando y despreciando infinitésimos de segundo orden, se tiene
v)-(uv
Fdt
dm
dt
dmext
Donde (u-v) es la velocidad relativa del elemento respecto al cuerpo
Aun cuando el análisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismo resultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este último caso u representará la velocidad de los elementos de masa justo después de abandonar el sistema.
Entonces la ecuación del sistema de masa variable es
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Luego en el tiempo t+dt, la masa del cohete es m+dm, y su velocidad es v+dv. Con el cambio de masa del cohete negativo, dm<0. Por otra parte, los gases de la combustión, de masa –dm, que se arrojan con velocidad vg, medida desde un sistema fijo, el momento lineal en este tiempo es
Fext
v
vg
m
Fext
v+dv m+dm
gvvvp )())(( dmddmmdt)(t
Sistema de Masa Variable (pierde masa)
Supongamos que tenemos en un tiempo t, un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v, el momento lineal es.
t t+dt
v)( mt p
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dmmdmdtt g )()( vvvvp
dt
dm
dt
dm
dt
dgex )( vv
vpF
El cambio de momento lineal en este intervalo de tiempo dt es, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton se tiene
Simplificando y despreciando el termino diferencial de segundo orden dmdv se tiene
Resultando la ecuación de movimiento
dt
dm
dt
dmgex
v)vv(F
Velocidad relativa del gas respecto al cohete
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Un cohete de lanzamiento vertical, sube con una aceleración de g/7ms−2. Si la velocidad relativa de los gases respecto del cohete es constante y de valor absoluto 800ms−1, determine la masa del cohete en función del tiempo si su masa inicial, incluido el combustible es de 4000 kg.
Tarea 1
y
jmgˆ
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La figura muestra un móvil de masa 1000 kg, inicialmente en reposo, que contiene además 200 kg de combustible. Su motor quema el combustible a razón constante 10 kg s−1. El móvil puede desplazarse sobre una superficie horizontal lisa. Si la velocidad relativa del móvil respecto de los gases quemados es de 20ms−1, determine la velocidad del móvil transcurridos 15 s.
Tarea 2
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Una cadena de densidad de masa σ kgm−1, posee en un extremo un cuerpo de masa M, El sistema se encuentra apilado en el suelo. En el instante t = 0 se aplica una fuerza F vertical sobre el cuerpo de masa M para levantar el conjunto con velocidad constante v. Calcule la magnitud de la fuerza cuando haya transcurrido un tiempo igual a v/2g .
Tarea 3
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Choques
El fenómeno de colisiones entre dos cuerpos donde existen fuerzas activas y
reactivas de magnitudes muy grandes durante un intervalo de tiempo muy cortos se
llama choque.
Las fuerzas activas y reactivas dependen de los cuerpos, sus velocidades y de las
propiedades elásticas.
Choques Directos: La dirección del movimiento de las particular y el CM están en
línea recta.
Choques Oblicuos: La dirección del movimiento de las particular y el CM hacen
un ángulo.
F F
2m1m1v
2v
choquedeLínea
F F
2m1
m1v
2v
choquedeLínea
x
y
![Page 26: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/26.jpg)
Choques directos o frontales:
1. Fase de compresión (comprende la deformación de los cuerpos).
2. Fase de Restitución (comprende el restablecimiento del cuerpo).
F
t0 t1 t2
nrestituciódefasecompresióndefase
v '
1v
1v
t
F F
F F
2m
1m
2m1m
1v
2v
'
1v
'
2v
choquedeLínea
x
y
avvmdtFI
t
t
C
o
....)( 11
1
Fase de
compresión
Para m1 el impulso de compresión
'....)( avvmdtFI
t
to
C 22
1
Para m2 el impulso de compresión
![Page 27: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/27.jpg)
Ivvevv ....)('' 2121
Experimentalmente los impulsos de compresión y restitución están relacionados
con la constante “e” llamada coeficiente de restitución.
bvvmdtFI
t
t
R ....)( ' 11
2
1
Fase de restitución
Para m1 el impulso de restitución Para m2 el impulso de restitución
'....)( 'bvvmdtFI
t
t
R
22
2
1
Usando las ecuaciones de los impulsos compresión y restitución se tiene que:
“La velocidad de rebote relativa es opuesta a la velocidad de incidencia relativa”
siendo sus magnitudes relacionadas por (e) el coeficiente de restitución.
CR IeI
10 e
Choques plásticos Choques elásticos
e varia entre:
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IIvmvmvmvm .....''
21 212211
ΔE podemos llamar a la “perdida de energía” o es la otra conversión en otras
formas de energía.
Como no hay fuerzas externas que actúan en la colisión se cumple la ley de
conservación del momento lineal
IIIEvmvmvmvm ....'' 2
22
2
11
2
22
2
112
1
2
1
2
1
2
1
Al comparamos la energía cinética asociada con la velocidad inicial y final
encontramos que, la energía final, será , en general, un poco menos.
podemos expresar la energía cinética antes y después de la colisión
Perdida de energía durante el choque
Siendo I y II las ecuaciones para poder determinar las velocidades después del
choque v'1 y v'2.
1. Parte de ella se desprende de calor.
2. Parte de ella se disipa en sonido y vibraciones elásticas.
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])()([)(
2
2211
2
21
2
21
21
2
22
2
112
1
2
1
2
1vmvmvvemm
mmvmvmE
Durante el choque oblicuo las velocidades en x cambian mientras permanecen
constante en la dirección y.
Es posible obtener de I, II y III el termino ΔE
)( 21
'
2
'
1 xxexx
Se puede aplicar las componentes de las velocidades a lo largo de la línea de
choque, debido a que las fuerzas de compresión y restitución actúan en el eje x.
Si las partículas son lisas, y no hay fuerzas que actúan en el eje y durante el
choque. Las ecuaciones de impulso y cantidad de movimiento en este eje llegan a
ser.
Choques oblicuos:
222220 yyyym '' )(
111110 yyyym '' )(
En el eje x:
![Page 30: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/30.jpg)
Una bola de cae desde una altura ho=0,9 m sobre una superficie
horizontal y pulimentada. Sabiendo que la altura del primer rebote es
h1=0,8 m. Calcular (a) el coeficiente de restitución. (b) la altura h2 en el
segundo rebote.
Tarea 1
943,0e
7102 ,h
![Page 31: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/31.jpg)
Dos bolas idénticas 1 y 2 se mueven en un plano horizontal y se produce el
choque. Determinar las velocidades después del choque. Una de las bolas se
esta moviéndose hacia la izquierda con una velocidad de 4 m/s mientras que la
otra se esta moviéndose a 10 m/s como en la figura si e=0,8:
Se pide:
(a) Cuando la línea de choque esta en la dirección de la bola de velocidad de 4
m/s.
(b) Cuando la línea de choque esta en dirección perpendicular a la bola de 4m/s.
Tarea 2
2
x
y
3
4
1
s
m4
s
m10
smv
smv
/);(
/);(
'
'
05
83
2
1
smv
smv
/),;(
/),;(
'
'
274
806
2
1
)a
)b
![Page 32: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/32.jpg)
Una bola de acero que cae verticalmente incide en una placa rígida y rebota en ella, siguiendo una trayectoria horizontal, como muestra la figura.
(a) Llamando “e” al coeficiente de restitución calcular el ángulo θ necesario para conseguir la velocidad V' sea horizontal mostrada en la figura.
(b) El modulo de la velocidad V'.
Tarea 3
θ 'V
V
evvb
earcTga
')
)
![Page 33: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/33.jpg)
Tres bolas idénticas A, B y C pueden rodar libremente sobre una superficie
horizontal. Las bolas B y C se encuentran en reposo y en contacto cuando
reciben una percusión por parte de la bola A, que se mueve hacia la
derecha con una velocidad VA, Calcular la velocidad final de cada bola,
suponiendo que A, si choca con B y C simultáneamente.
Suponiendo que e =1 (choque elástico) y que se conserva la energía.
Tarea 4
A C
B
AV
AA VV5
1'
AB VV5
32'
AA VV5
32'
![Page 34: Dinamica de Un Sistema de Particulas 1](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012406/55cf9b6d550346d033a606a8/html5/thumbnails/34.jpg)
Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea una bola estacionaria de la
misma masa. Después de la colisión, la primera bola se mueve a 4,33 m/s a un
ángulo de 30° con respecto a la línea original del movimiento. Si se supone una
colisión elástica, encuentre la velocidad de la bola golpeada después de la
colisión?
Tarea 6
A B s
mvA 5
0Bv
Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea frontalmente a una bola
estacionaria de la misma masa. Si se supone una colisión elástica, encuentre la
velocidad de la bola golpeada después de la colisión?
Tarea 5
A s
mvA 5
B
0Bv
ch1
ch2