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BIENVENIDO.

Espero que este manual, te sirva para la mejor comprensin de la dinmica.

Cuanto ms grande sea tu isla de duda . . . ms grande ser tu litoral de conocimientos.

Ing. LVARO MONGE PERRY

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PrlogoEste manual tiene como objetivo proveer al estudiante una presentacin clara y lo ms completa posible, tanto de la teora como de la aplicacin de los principios fundamentales de la mecnica. Su contenido se basa, primero en la introduccin a la Dinmica, continuando con una amplia exposicin del lgebra vectorial, cantidades fsicas, operaciones con vectores, etc. Dicha presentacin de vectores hace hincapi a la importancia de satisfacer los requerimientos necesarios para la mayor comprensin de la Dinmica en sus diferentes unidades, comenzando por movimiento rectilneo de partculas. Posteriormente se presentan algunos ejemplos que se analizan detalladamente los cuales pueden ser fcilmente aplicados a la vida diaria. Con el fin de ayudar al estudiante, el contenido de cada captulo esta organizado en secciones bien definidas. Cada seccin en turno, contiene una explicacin del tema, seguido de ejemplos ilustrativos resueltos y un conjunto de problemas propuestos, a fin de que el estudiante reafirme los conocimientos adquiridos. As mismo al final de cada seccin, se presenta un examen para que el estudiante se autoevale. Al final de cada unidad se presenta un conjunto o laboratorio de ms de 20 problemas que el estudiante debe resolver a conciencia aplicando todos los conocimientos asimilados en esa unidad. En cada problema propuesto, se presentan los resultados de todos y cada uno de ellos. De existir alguna duda por parte del estudiante durante la solucin de los mismos se hace la invitacin a que recurra a asesora personalizada. Algunos problemas y ejemplos de este manual describen situaciones reales halladas en la prctica por parte de autores expertos, los cuales, dan un equilibrio entre los que utilizan las unidades del Sistema Internacional (S.I.) y los que utilizan el Sistema Ingls. El propsito de dichos ejemplos es estimular el inters del estudiante en el tema y, proporcionar un medio para desarrollar la habilidad a partir de las descripciones fsicas. Adicionalmente, se deja al estudiante las conversiones necesarias (del Sistema Ingls al Sistema Internacional) a fin de practicar y adquirir habilidad necesaria en estas conversiones.

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Agradezco de antemano todo comentario que quieran hacerme saber, sobre la mejora y aprovechamiento de este manual. Por ultimo, quiero agradecer a la Universidad del Norte por permitirme brindar este manual al estudiantado; a mi Director Ing. Conrado Dvila Garca, al coordinador Ing. Ovidio Valds Aguilar. A mis compaeros maestros que de una u otra forma me ayudaron.

A todos los estudiantes de la Universidad del Norte, ya que sin ellos mi inters por este manual no se hubiera dado. A todos ellos. . . Infinitas Gracias Ing. lvaro Monge Perry

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UNIDAD I

N

D

I

C

E

Cinemtica de una partcula.* Introduccin a la dinmica. ............ * lgebra vectorial ............ * Cantidades fsicas ... * Cinemtica rectilnea (movimiento continuo) * Problemas resueltos * Problemas propuestos * Cinemtica en coordenadas rectangulares (movimiento errtico) . * Problemas propuestos ... * Movimiento de un proyectil ........... * Problemas resueltos * Problemas propuestos * Movimiento curvilneo (Componentes normal y tangencial) ............ * Problemas resueltos. * Problemas propuestos * Movimiento absoluto dependiente de dos partculas . * Problemas resueltos * Problemas propuestos

7 13 13 28 42 50 56 64 76 82 86 91 96 102 107 112 116 119

UNIDAD

II124 128 131 133 133 134 137 145 148 150 156

Cinemtica de una partcula fuerza y aceleracin.* Las leyes de Newton del movimiento * La ecuacin del movimiento .. * Ecuacin del movimiento para un sistema de partculas ... * Ecuaciones del movimiento (coordenadas rectangulares) . * Procedimiento de anlisis .. * Problemas resueltos * Problemas propuestos ... * Ecuaciones del movimiento (coordenadas cilndricas)... * Problemas resueltos * Problemas propuestos

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U N I D A D IIICinemtica de una partcula ( trabajo y energa )* Trabajo de una fuerza . * Principio del trabajo y la energa ... * Procedimiento de anlisis ... * Problemas resueltos. * Problemas propuestos * Potencia y eficiencia .. * Problemas resueltos *Problemas propuestos . * Fuerza conservativa y energa potencial * Conservacin de la energa * Procedimiento de anlisis .. * Problemas resueltos * problemas propuestos . 159 164 171 173 174 180 183 186 190 194 198 200 201 207

U N I D A D IVCintica de una partcula impulso y cantidad de movimiento. 213* Principio del impulso y cantidad de movimiento ... * Impulso lineal . * Cantidad de movimiento lineal .. * Principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal . * Ecuaciones escalares .. * Procedimiento para el anlisis * Problemas resueltos * Problemas propuestos 215 216 216 217 218 219 220 225

UNIDAD VCinemtica plana de un cuerpo rgido.* Movimiento del cuerpo rgido * Traslacin ... * Rotacin con respecto a un eje fijo * Movimiento del punto P.. * Procedimiento de anlisis .. * Problemas resueltos * Problemas propuestos 6 229 231 232 234 236 238 239 243

UNIDAD

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CINEMTICA DE UNA PARTCULA

1.1.- INTRODUCCIN A LA DINMICA.

1.2.- LGEBRA VECTORIAL

1.3.- CANTIDADES FSICAS

1.4.- CINEMTICA RECTILNEA; (movimiento continuo)

1.5.- CINEMTICA EN COORDENADAS RECTANGULARES: (Movimiento errtico)

1.6.- MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

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1.7.- MOVIMIENTO CURVILNEO (Componentes normales y tangenciales)

1.8.- MOVIMIENTO ABSOLUTO DEPENDIENTE DE DOS PARTCULAS

1.9.- MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTCULAS EMPLEANDO EJES EN TRASLACIN

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Objetivo particular de la Unidad.Al trmino de la unidad, el estudiante habr necesarias para relaciones que definen la cinemtica. adquirido habilidades y destrezas

analizar correctamente sistemas fsicos y hacer uso de las diferentes

Objetivos especficos.El estudiante al trmino de la unidad ser capaz de dominar:

1.1.- Introduccin a la Dinmica.

1.2.-

lgebra vectorial. Adquirir y dominar habilidades en el uso del lgebra vectorial en lo que respecta a: 1.2.1.- Sistemas de coordenadas. 1.2.2.- Escalares. 1.2.3.- Vectores. 1.2.4.- Suma y resta de vectores. 1.2.5.- Producto de vectores y escalares. 1.2.6.- Descomposicin de vectores. 1.2.7.- Vectores unitarios. 1.2.8.- Notacin en el plano. 1.2.9.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

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1.3.-

Cantidades fsicas. Se familiarizar con los diferentes sistemas de unidades, as como diferenciar cantidades escalares de vectoriales. 1.3.1.- Cantidades fsicas, patrones y unidades. 1.3.2.- Referenciales. 1.3.3.- Patrn de longitud. 1.3.4.- Patrn de tiempo. 1.3.5.- Sistemas de unidades. 1.3.6.- Vectores y escalares.

1.4.-

Movimiento rectilneo, (movimiento continuo) El estudiante iniciar el estudio de la dinmica, se estudiarn los aspectos geomtricos del movimiento de una partcula, medido respecto a marcos de referencia fijos y en movimiento. 1.4.1.- Cinemtica rectilnea. 1.4.2.- Posicin, desplazamiento, aceleracin. 1.4.3.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

1.5.-

Cinemtica en coordenadas rectangulares, (movimiento errtico) El estudiante obtendr la aceleracin, velocidad o desplazamiento partiendo de un movimiento errtico de la partcula y que ha sido obtenido experimentalmente y que se muestra mediante una grfica, as mismo ser capaz de formular nuevas grficas de comportamiento a partir de las que se muestran.

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1.5.1.- Dada la grfica S-T, construir la grfica V-T. 1.5.2.- Dada la grfica V-T, construir la grfica A-T. 1.5.3.- Dada la grfica A-T, construir la grfica V-T. 1.5.4.- Dada la grfica V-T, construir la grfica S-T. 1.5.5.- Dada la grfica A-S, construir la grfica V-S. 1.5.6.- Dada la grfica V-S, construir la grfica A-S. 1.5.7.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

1.6.-

Movimiento de un proyectil. El estudiante ser capaz de analizar y describir el movimiento de un proyectil en el espacio y dentro de sus componentes rectangulares. 1.6.1.- Ecuaciones para el movimiento horizontal. 1.6.2.- Ecuaciones para el movimiento vertical. 1.6.3.- Problemas resueltos. 1.6.4.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

1.7.-

Movimiento curvilneo, (componentes normales y tangenciales). El estudiante analizar y diferenciar entre el movimiento de un proyectil y el movimiento curvilneo. 1.7.1.- Movimiento plano. 1.7.2.- Velocidad. 1.7.3.- Aceleracin. 1.7.4.- Dos casos especiales del moviendo curvilneo. 1.7.5.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

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1.8.-

Movimiento absoluto dependiente de dos partculas. El estudiante analizar el movimiento de una partcula dependiendo sta de otra. 1.8.1.- Ecuaciones de coordenadas de posicin. 1.8.2.- Derivadas de las ecuaciones del movimiento con respecto al tiempo. 1.8.3.- Problemas propuestos para ser solucionados por el estudiante.

1.9.-

Movimiento relativo de dos partculas empleando ejes de traslacin. El estudiante aplicar los conocimientos adquiridos en la seccin anterior llevndolos

a ejes en traslacin. 1.9.1.- Posicin. 1.9.2.- Velocidad. 1.9.3.- Aceleracin.

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1.1.- INTRODUCCIN A LA DINMICA. Dentro de la gama de la Mecnica para Ingenieros, la mecnica de los materiales, es una rama que desarrolla las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerzas internas que actan dentro del cuerpo. La mecnica de los cuerpos tambin se ocupa del clculo de las deformaciones del cuerpo, y proporciona un estudio de la estabilidad del mismo cuando ste est sujeto a fuerzas externas.

En este manual se estudiar la DINMICA, es decir, los aspectos geomtricos del movimiento de una partcula, medido respecto a marcos de referencia fijos y a marcos de referencia en movimiento. Se describir la trayectoria mediante diversos tipos de sistemas coordenados y determinaremos las componentes del movimiento a lo largo de los ejes coordenados. Para simplificar se describir el movimiento a lo largo de una lnea recta antes de acometer el estudio general del movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Una vez completamente comprendidas estas ideas, se presentarn las subsecuentes unidades de curso con sus respectivos anlisis de las fuerzas que ocasionan o causan el movimiento de la partcula.Un vehculo se mueve en una trayectoria recta durante un breve periodo de tiempo, su velocidad est definida por el modelo V = ( 9 t 2 + 2 t ) ft/s, estando t en segundos. Calcule su posicin y su aceleracin cuando t = 3 s. Cuando t = 0, S = 0. Ver ejemplo 1 . 4 - 1

1.2.- LGEBRA VECTORIAL 1.2.1.- Sistemas de coordenadas.

En la cinemtica, la posicin de un punto es de importancia vital y para definirla se utilizarn sistemas referenciales fijos y mviles.

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Cualquiera de los dos sistemas de coordenadas segn la figura 12 se pueden emplear para definir la posicin de un punto P. En la figura 1-2a se representa un sistema de coordenadas cartesianas y P est definido por las referencias X e Y. En los extremos de los ejes, que llevan las referencias X e Y, se marcan las direcciones positivas de los mismos. En la fig. 1-2 b, el punto P est definido mediante las coordenadas polares, r y . Si se utilizan coordenadas polares, los radios se considerarn siempre positivos; podr ser positivo o, por ejemplo, si se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir de la posicin positiva del eje X , y negativo en caso contrario.

Y x P y X O Fig. 1 . 2 a

r

P

O Fig. 1 . 2 b

Los dos sistemas de las fig. 1-2 a,b, son sistemas de coordenadas en el plano bidimensional pues representan puntos que pertenecen a un plano o espacio bidimensional. coordenadas para determinar la Solamente son precisas dos posicin de un punto y,

necesariamente, el movimiento de todos los puntos est restringido a realizarse en un plano. An cuando la mayor parte de los problemas cinemticas presentan esta restriccin de que un punto se mueve en un plano, es necesario pensar y expresar las ideas en trminos tridimensionales. La fig. 1-2 c, representa un sistema de coordenadasY

tridimensionales en el que son necesarias tres coordenadas para definir la posicin del punto P, y ste se puede mover libremente en el espacio. El sistema representado en la fig. 1-2 c se llama directo, an cuando sea sinextrorsum, pues se pasa de un semieje positivo al siguiente, mediante una rotacin de 90 en sentido contrario al de las agujas del reloj.Z Coordenadas cartesianas tridimensionales 1.2c O X P

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1.2.2.- Escalares.

Un escalar es una magnitud que queda determinada por un nmero real. Los escalares son nmeros positivos, negativos o nulos empleados para medir magnitudes como el tiempo, la energa, la temperatura, etc. En este manual, se emplearn literales tales como A, B, C o a, b, c, para representar las magnitudes escalares.

Un escalar, es una magnitud que queda determinada por un nmero real sean estos positivos, negativos o bien nulos.

1.2.3.- Vectores.Un vector es todo segmento que posee mdulo direccin y sentido. 3 cm

Un vector es una cantidad fsica que posee mdulo, direccin y sentido. Un vector se representa por un segmento orientado con un origen y una flecha como lo muestra la fig. 1-2 d colocada en el extremo. La longitud del segmento es el mdulo del vector. La direccin corresponde a la del segmento, y el sentido es el que indica la punta de la flecha. Es importante detenerme un momento para clarificar el concepto de mdulo, direccin y sentido. Un segmento de 3 cm. dibujado en una hoja de papel sin flecha en ningn extremo tiene un mdulo y una direccin pero carece de sentido fig 1-2 e. Su mdulo es de 3 cm. Su direccin ser de norte a sur o de este a oeste. Aadir la flecha en un extremo equivale a especificar el sentido del vector. Ahora puede verse, por ejemplo, que el vector tiene un mdulo de 3 cm. una direccin noreste y un sentido hacia el norte.

Fig. 1 . 2 d

extremo

origen

Fig. 1 . 2 e

En este manual se seguir la prctica convencional de representar los vectores mediante las letras en negritas A, B, C o a, b, c. Tambin puesto que el mdulo de un vector es un escalar, en 15

ocasiones ser conveniente emplear el mismo smbolo para el mdulo que para el vector. As que r indica el mdulo del vector r.

1.2.4.- Suma y Resta de VectoresSuma de vectores.

La operacin A + B es la suma de los vectores A y B. Como se ve en la fig. 1-2 f, esta operacin conduce a otro vector. C=A+BR A

S

B

T

C Fig 1 . 2 f

La figura fig 1-2 g representa la regla del paralelogramo para la suma de vectores. Obsrvese que se tiene el mismo resultado si se suman A y B que si se suman B y A. En lgebra vectorial, esta es la propiedad conmutativa y se escribe en la forma: A + B = B + A

B A A+B B-A A B Fig. 1 . 2 g

Para hallar la suma de tres o ms vectores se considera (A+B) + C. Esta expresin muestra que se obtiene primero el vector A + B y se le agrega despus el vector C. La fig.1-2 h muestra los vectores A , B , C, y la operacin ( A + B ) + C cuyo resultado comienza en el origen de A y termina en el extremo de C. En la fig.1-2 k se comprueba que la operacin A + (B+C) da el mismo resultado. Esta es la propiedad asociativa. Esta propiedad se escribe (A + B ) + C = A + ( B + C ).B C A A A+B Para hallar la suma de un grupo de vectores y obtener un vector nico equivalente se llama composicin de vectores, y el vector nico que se obtiene se llama vector resultante.

BFig 1.2 h

Fig 1.2 i

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B A+B C (A+B) + C Fig. 1 . 2 j (A+B) + C = A + (B+C) Fig. 1 . 2 k A A+B B+C C

La fig.1-2: Determinacin de la suma de tres vectores: (e) Vectores dados; (f) primero hallar A + B; (g) segundo, Sumar C a A + B; (h) el resultado es el mismo si C se suma a A + B o A se suma a B + C.

Las propiedades asociativa y conmutativa del lgebra vectorial prueban que cuando se suman varios vectores se obtienen el mismo resultado independientemente del orden en que se hayan combinado. La suma de un grupo de vectores para obtener un vector nico equivalente se llama composicin de vectores, y el vector nico que se obtiene se llama vector resultante o simplemente resultante.

Sustraccin de vectores.A

La operacin de restar se define por la ecuacin: A B = A + ( - B ) que establece que el vector diferencia A - B esFig 1 . 2 l la suma del vector opuesto a B . La operacin se representa en las figuras 1-2 l y 1-2 m.A-B

B

-B

A

1.2.5.- Productos de Vectores y Escalares.Considere el vector suma A + A o bien A + A + A. Estas sumas se pueden abreviar escribiendo 2A o 3A, que no es sino el producto de vector por un escalar. En el producto aR, el escalar a puede tener un

Fig 1 ..2 m

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valor positivo o negativo. Si a es negativo, el vector aR es un vector de sentido opuesto al de R. Si a es cero, el producto aR se llama vector nulo, para seguir manteniendo la estructura vectorial. La divisin de un vector por un escalar se representa por la operacin R / a, que puede interpretarse de manera anloga a la de producto, puesto que la cantidad 1 / a tambin es un escalar.

Producto vectorial. La operacin que va a definirse se llama producto vectorial por ser anloga a una multiplicacin aun cuando veremos que existen ciertas diferencias. El resultado de esta operacin es otro vector con un mdulo, una direccin y un sentido. En la figura 1.2n se representan dos vectores A y B no paralelos que, por lo tanto, forman un ngulo . Se define un vector unitario perpendicular al plano A y B tal que la terna de vectores A, B, forme un sinextrorsum. En estas condiciones, el vector producto de A y B se define por: A x B = AB sen . El ngulo el ngulo medido en el sentido positivo (en contra de las manecillas el reloj) desde A hasta B . La operacin definida por la ecuacin A x B = AB sen es un producto vectorial. Obsrvese que el mdulo del nuevo vector AB sen es el rea del paralelogramo formado por los vectores A y B como lados. Mediante la regla de la mano derecha se puede comprobar que el producto de B por A es: B x A = - AB sen Es decir, el producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa.Fig. 1 . 2 n A A B AxB

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AxB =-BxA Por el contrario, el producto vectorial goza de la propiedad distributiva; esto es, para tres vectores: Ax(B+C) = AxB +AxC Cuando = 0, sen = 0. Entonces, si AxB=0 Los vectores A y B tienen la misma direccin o uno de ellos es un vector nulo. Mediante la regla de la mano derecha y la definicin del producto vectorial se pueden obtener las siguientes relaciones entre los vectores unitarios, : xA x(xA) A 90 Ax a b Fig 1 . 2 o c A A

x = x = x = 0 x = - x = x = - x = x = - = x=; x = - ; x=-

Consideremos ahora el producto vectorial del vector A por el vector unitario , perpendicular a l fig.1.2 o-a, el vector que resulta x A es perpendicular a A, con lo que la operacin x puede considerarse como una rotacin de 90 del vector A . Por otro lado, el vector A x tambin es perpendicular a A, aunque de sentido contrario, como se ve en la fig.1.2. o-b, con lo que la operacin x se puede considerar como una rotacin del vector A de -90.

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El doble producto vectorial x ( x A ) = -A gira el vector A en 180, como se representa en la fig. 1.2 o,c. Equivale a aplicar al vector A dos veces sucesivas el operador x . Consideremos ahora el producto vectorial de los dos vectores. A = X A + YA + ZA B = X B + YB + ZB As y de tal manera el producto cruz A por B resulta:A X B = ( YAZB -- ZAYB ) + ( ZAXB XAZB ) + (XAYB YAXB )

Ahora es conveniente escribir la ecuacin anterior mediante una determinante. A x B = XA XB Recuerde( YAZB -- ZAYB ) Negativo Positivo

YA YB

ZA ZB

( ZAXB XAZB ) Positivo Negativo

(XAYB YAXB ) Negativo Positivo

Ejem. 1.2.1. Dado los vectores A = 2 + - + ; B = + 2 - 3 ; hallar la suma de A + B; A - B; y A x B: A + B = (2 + 1) + (-1 + 2) + (1 - 3) = 3 + -- 2 A B = (2 - 1) + (-1 2) + (1 + 3) = AxB= 2 1 -1 2 1 -3 = (3-2) + (1+6) + (4+1) = + 7 + 5 -- 3 + 4

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Producto Escalar. En la seccin anterior se cambiaron dos vectores obtenindose otro vector distinto, el producto vectorial. En esta seccin se combinan dos vectores cuyo resultado es un escalar que se llama producto escalar o producto interno de ambos. Se define por: A B = AB cos En donde A y B son los mdulos de los vectores, y , el ngulo que forman. Veamos algunas conclusiones interesantes que se deducen de la ecuacin A B = AB cos . En primer lugar, el producto escalar de un vector por s mismo como = 0, es: A A = A2 Tambin, si el producto escalar A B = 0, uno de los dos vectores puede ser nulo; no obstante, en el caso ms frecuente sern perpendiculares, pues cos 90 = . Aplicando el producto escalar a los vectores unitarios se obtiene: 1 0 Del producto escalar de un vector por un vector unitario se deduce una propiedad muy til. A = (A) (1) cos = A cos = XA Que demuestra que el producto escalar de un vector por un vector unitario es la proyeccin o componente de aqul sobre la direccin de ste. Por lo tanto, las componentes del vector A segn las direcciones x, y, z son: XA = A YA = A ZA = A Consideremos ahora el producto escalar de los dos vectores: A = XA + YA + ZA B = XB + YB + ZB que es:

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A B = ( XA + YA + ZA ) ( XB + YB + ZB ) Desarrollando el segundo miembro de esta ecuacin se obtienen seis trminos del tipo: XA YB , Con lo cual, segn la ecuacin... 0 son nulos. Los otros tres trminos del desarrollo anterior son: X A XB , YA YB , ZA ZB con lo cual, segn la ecuacin 1 resulta: A B = XA XB + YA YB + ZA ZB Ejemplo: 1 . 2 - 2 Un punto P tiene las coordenadas Xp = 4, Yp = 8. Hallar la componente del vector A = 6 + 2 segn la direccin de la recta que une el origen con P. Solucin: Se puede resolver este problema definiendo un vector unitario en la direccin OP. El mdulo de la proyeccin de A sobre la recta OP es AP con lo que la componente de A segn la direccin de es A, un nuevo vector. La solucin grfica se muestra en su figura correspondiente. Analticamente, se puede obtener el vector unitario P=4 + 8 Cuyo mdulo es: P=

( 4 ) + (8)2

2

= 8.93

Y

Por lo tanto, el vector unitario es: = P 4i + 8 j = = 0.449i + 0.897 j p 8.93

P(4,8)

Resulta as que la proyeccin de A sobre la recta OP es A = (6) ( 0.449) + (2) (0.897) = 4.48 22A

V

Y, por consiguiente, la componente de A segn la direccin de OP es el vector A (4.48) ( 0.449 + 0.897 ) = 2.01 + 4.02

1.2.6.- Descomposicin de Vectores.Se ha visto que la ecuacin C = A + B representa la suma de los vectores A y B obtenindose como resultado el vector C, y est operacin se llam composicin de vectores. Consideremos ahora la operacin inversa, en el cual el vector C est perfectamente definido y se pretende encontrar los vectores A y B. Esta es una operacin por dems importante en el lgebra vectorial, y extraordinariamente til en el anlisis de nuestros problemas en dinmica. Supongamos que el vector C representa un desplazamiento, por ejemplo de R a T de la figura 1-2 p. El mismo desplazamiento se obtiene en dos etapas, la primera de R a S y la segunda de S a T. Si se representa el desplazamiento de R a S por el vector B, resulta que A y B satisfacen las condiciones del problema. No obstante de la observacin y anlisis de la figura anterior, ahora y de un nuevo anlisis de la figuras 1-2 q, se desprende que la solucin hallada no es la nica. Por ejemplo, los puntos S y S resulta tambin que los vectores A y A, B y B que satisfacen a la ecuacin C = A + B . Evidentemente, para obtener una solucin nica es preciso imponer alguna condicin suplementaria. Supongamos que los vectores A y B determinadas. En la figura 1-2r se representa el vector C como antes y se desea encontrar un vector A con la direccin de la lnea ST, y otro vector B con la direccin UV tal que C = A + B. Al definir as el problema no deben tener direccionesA A S Fig. 1 . 2 q B S T C B R S B A T Fig. 1 . 2 p C El descomponer un vector definido en sus componentes rectangulares, es por dems de importancia en el anlisis de problemas de dinmica.

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se ha especificado el sentido de los vectores sino su direccin. La solucin se representa en la figura 1-2s. El vector C tiene su origen en la interseccin de las direcciones ST y UV y se han trazado rectas paralelas a las direcciones deseadas para A y B por el extremo de C. Esto determina los vectores A y B en dichas direcciones.T A C V V I C S S B L K J T

U Fig. 1 . 2 r

U Fig. 1 . 2 s

* Descomposicin de un vector en dos direcciones.

Debe observarse que la recta JK no es perpendicular a ST; ni la KL es perpendicular a AV. De hecho sta es una aplicacin de la ley del paralelogramo. El estudiante debe tener cuidado de no cometer el error de trazar una perpendicular, por ejemplo, de K a la recta ST para encontrar A.Ry

Un caso particular de la ley del paralelogramo ocurre cuando los vectores componentes forman un ngulo recto. El paralelogramo se transforma en un rectngulo y los vectores componentes se llaman componentes ortogonales o rectangulares del vector dado la figura 12t indican las componentes rectangulares del vector R y que son: Rx y Ry . La operacin se conoce con el nombre de descomposicin de un vector, y los vectores resultantes de ella son las componentes del vector.O Fig. 1 . 2 t

R

Rx

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1.2.7.- Vectores unitarios.

Se ha visto que la divisin de un vector por un escalar es igual al producto del vector por el recproco del escalar. Si el escalar coincide con el mdulo del vector, el resultado de la operacin es un vector unitario. De esta forma cada vector r tiene asociado un vector unitario definido por la ecuacin:

=

r r

El acento circunflejo empleado para designar el vector unitario resulta conveniente, pues permite emplear la misma letra para el vector, para su mdulo y para su direccin. Al referirnos al vector unitario lo llamaremos r-unitario, o unitario segn r. Cuando se trabaja con sistemas de referencias particulares, es normal emplear smbolos especiales para nombrar los vectores unitarios asociados con los ejes de referencia. En el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares de la figura 1.2u, los tres vectores , , , que constituyen una terna unitaria, definen las z direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Estas tres letras se reservan a tal fin y, por lo tanto, se pueden omitir los acentos circunflejos. Dicha terna unitaria se designar simplemente i, j, k. Cualquier punto A en el espacio, de coordenadas XA , YA , ZA, se define mediante su vector de posicin. A = XA + YA + ZA como se muestra en la figura 1.2v. Si se define otro punto en el espacio por el vector: B = XB + YB + ZB La suma de ambos vectores es otroA yA Fig. 1 . 2 u y

x

vector: C = A + B = (xA + xB) + (yA + yB) + (zA + zB) .

xA zA Fig 1.2 v

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El mdulo de cualquier vector: A = x + y + z es:

A=

( X ) + (Y ) + ( Z )2 2

2

Los cosenos directos de A son: x Cos = -----A ejes coordenados al vector A. y Cos = -----A z Cos = -----A se consideran medidos desde los

En la que los ngulos , , ,

1.2.8.- Notacin en el plano.Cuando la traza o trayectoria de todos los puntos de un mecanismo que se mueve est contenida en un plano nico, o en planos paralelos, se llama mecanismo plano. Para sta parte del manual, se referir a tales mecanismos y de aqu que sea til desarrollar mtodos especiales para estudiar dichos problemas. Ejemplo 1 . 2 . 3 Dada la figura siguiente:Yry r Sen r Cos rx r

X

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El vector r = r = rx + ry tiene dos componentes rectangulares de mdulos: rx = r Cos con: r= ry = r Sen

(r ) + (r )x 2

y 2

y = arc tg r

rx

debe observarse que r tambin se puede escribir en la forma: r = rx + ry = r Cos + r Sen Cuando los problemas de vectores en el plano se deban resolver grficamente, es conveniente definir los vectores por su mdulo y r direccin en la forma: r = r ejemplo 1.1. Expresar los vectores C = 10 30 y D = 8 - 15 en notacin rectangular y hallar la suma C + D . Solucin: primeramente se realizarn los clculos analticos y despus se representarn grficamente. C = 10 Cos 30 + 10 Sen 30 = 8.66 + 5 D = 8 Cos 15 + 8 Sen 15 = 7.73 - E = C + D = (8.66 + 7.73) + (5 2.07) = 16.39 + 2.93

El mdulo: E =

(16.39 ) + ( 2.93)2

2

= 16.65

y el ngulo es tal que:

2.93 = arc tg ------- = 10.13 16.3

lo que resulta: E = 16 . 65 10 . 13C = 10 30

E = C + D = 16 . 65

10.13

C=8

< - 15

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1.3.-

CANTIDADES FSICAS

1.3.1.- Patrones y unidades.El material fundamental que constituye a la Fsica lo forman las cantidades fsicas, en trminos de las cuales se expresan las leyes de dicha ciencia. Entre ellas estn la fuerza, el tiempo, la velocidad, la densidad, la temperatura, la carga elctrica, la susceptibilidad magntica y otras ms. Muchas de ellas, tales como la fuerza y la temperatura, forman parte de nuestro vocabulario cotidiano, pero cuando se usan as, sus significados suelen ser vagos o muy diferentes de sus significados cientficos.En la fsica, estas son cantidades bsicas y que deben estar bien definidas.

El material fundamental que constituye a la fsica para determinar algo, son las cantidades fsicas. Algunas otras forma parte de nuestro vocabulario cotidiano.

Para los propsitos de la fsica, las cantidades bsicas deben definirse clara y precisamente. Algunas veces se adopta el punto de vista de que la definicin de una cantidad fsica se conoce cuando se especifican los procedimientos para medir dicha cantidad. Este es el llamado punto de vista operacional porque tal definicin es, en esencia un conjunto de operaciones de laboratorio que conducen a la obtencin de un nmero y de una unidad. Las operaciones pueden incluir clculos matemticos.

Las cantidades fsicas se dividen a menudo en cantidades

fundamentales y cantidades derivadas. Tal divisin es arbitrariaen cuanto a una cantidad dada puede ser considerada como fundamental en un conjunto de operaciones y como derivada en otro. Las cantidades derivadas, son aquellas tales que las

Las cantidades fsicas se dividen en dos: Fundamentales: Son cantidades que no se definen en trminos de otras Ejem. Longitud, tiempo. . Derivadas: Son aquellas que las operaciones que la definen se basan en las medidas de otras cantidades fsicas. Velocidad, Ejem. aceleracin volumen. A su vez stas pueden ser escalares y / o vectoriales.

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operaciones que las definen se basan en las medidas de otras cantidades fsicas. Ejemplos de cantidades que generalmente se consideran como derivadas son: la velocidad, la aceleracin y el

volumen. Las cantidades fundamentales no se definen entrminos de otras cantidades fsicas. El nmero de cantidades tomadas como fundamentales es el nmero mnimo que se necesitara para describir concordante e inequvocamente a todas las cantidades de la fsica. Ejemplos de cantidades que generalmente se toman como fundamentales son: la longitud, y el

tiempo. Sus definiciones operacionales se llevan acabo en dospasos: primero, la eleccin de un patrn, y segundo, la fijacin

de procedimientos para poder comparar el patrn de tal maneraque la medicin de cada cantidad est determinada por un nmero y una unidad correspondiente.

Un patrn ideal tiene dos caractersticas principales: la de ser accesible y ser invariable. Estos dos requisitos son a menudo incompatibles entre s y generalmente habr que buscar una transaccin entre ambos. Al principio se hizo gran hincapi en la accesibilidad pero los crecientes requerimientos de la ciencia y de la tecnologa introdujeron la necesidad de una mayor invariabilidad. Por ejemplo, Las unidades familiares yarda, pie y el pulgar de una mano humana como patrones. Hoy, por supuesto, tales medidas burdas de longitud no son satisfactorias; tenemos que usar patrones mucho menos variables aunque sea a expresas de su accesibilidad.

Las distancias que son astronmicas, como la distancia de las estrellas a la tierra no pueden medirse de manera directa. De igual modo, las distancias muy pequeas, tales como la que existen entre los tomos y molculas, deben tambin medirse por mtodos indirectos.

Supongamos que hayamos escogido como nuestro patrn la longitud de una barra cuya longitud hemos definido como la de un metro. Si por una comparacin directa de sta barra con una segunda barra concluimos que la segunda barra es tres veces ms

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larga que la barra patrn, decimos que la segunda barra tiene una longitud de tres metros. Sin embargo, tales comparaciones directas con un patrn primario no pueden efectuarse a menudo y se hace necesario utilizar mtodos indirectos, empleando procedimientos ms complicados. Para ello es necesario afirmar ciertos supuestos que relacionen los resultados de tales medidas indirectas con una operacin directa. Por ejemplo, las distancias astronmicas, como las de las estrellas a la Tierra no pueden medirse de una manera directa. De igual modo, las distancias muy pequeas, tales como la que existen entre los tomos y molculas, deben tambin, medirse por mtodos indirectos.

1.3.2.- Referenciales.Una misma cantidad fsica puede tener diferentes valores al ser medidas por observadores que se estn moviendo entre s. La velocidad de un tren tiene un cierto valor si es medida por un observador que permanece en tierra y un valor diferente si la mide desde un coche en movimiento y el valor cero si la mide un observador que est sentado en el propio tren. Ninguno de estos valores tiene una ventaja fundamental sobre cualquiera de los otros; cada uno de ellos es igualmente correcto desde el punto de vista del observador que lo obtiene. A lo largo de este manual se irn aclarando estas ideas.En general el valor obtenido de una cantidad fsica depende del marco de referencia del observador.

Las cantidades fsicas pueden tener diferentes valores, esto ser dependiendo de la posicin del observador.

Ninguno de ellos tiene ventaja sobre el otro, cada uno de ellos es igualmente correcto desde el punto de vista del observador.

En general, el valor obtenido de una cantidad fsica depende del referencial o marco de referencia del observador que est haciendo la medicin. Esto es fcil de ver cuando la cantidad fsica que se mide es una velocidad como la que hemos

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considerado, pero tambin es cierto cuando la cantidad fsica sea, digamos, el desplazamiento de una partcula, un intervalo de tiempo entre dos sucesos, un campo elctrico o un campo magntico aunque para entender completamente estos cuatro ejemplos especiales tendremos que esperar hasta haber estudiado la teora de la relatividad. Antiguamente los fsicos crean en la existencia de un referencial particular, el llamado absoluto, que tena una ventaja fundamental sobre todos los dems. Para un observador que estuviese en reposo en dicho referencial, las cantidades fsicas tendran sus valores verdaderos o absolutos. Este punto de vista tuvo que ser abandonado en la actualidad porque durante muchas dcadas fallaron por completo todos los esfuerzos experimentales que se hicieron para encontrar dicho referencial absoluto. Consideremos unos referenciales que se muevan con velocidad uniforme entre s y con respecto a las estrellas fijas. Tales referenciales (no acelerados, ni rotatorios) se llamanReferencias Inerciales: Referencias que se mueva con velocidad uniforme entre si y con respecto a estrellas fijas (no acelerados ni rotatorios).

Antiguamente, los fsicos estaban en la firme creencia de que exista un marco de referencia absoluto.

referenciales inerciales. Experimentalmente se ha demostradoque todos los referenciales inerciales son equivalentes para explicar los fenmenos fsicos. Varios observadores en diferentes diferenciales pueden obtener valores numricos diferentes como resultados de las mediciones de ciertas cantidades fsicas, sern las mismas para todos los observadores. Supongamos por ejemplo, que ciertos observadores en diferentes referenciales inerciales miden los impulsos de las partculas que intervienen en una colisin atmica. Al hacerlo as, obtendrn diferentes valores numricos, tanto para los

Las leyes de la fsica son las mismas en todos los referenciales, mientras que los valores numricos de las cantidades fsicas pueden o no ser los mismos.

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mpetus de las partculas individuales como para el mpetu total del sistema de partculas. Sin embargo, cada observador encontrar que mpetu total del sistema de partculas, cualquiera que sea su valor medido, es el mismo despus de la colisin que antes de la misma. En otras palabras, todos los observadores notarn que la colisin obedece a la ley de la conservacin del mpetu y que se analizar en captulos posteriores. Veamos as que las leyes de la fsica son las mismas en todos los referenciales, mientras que los valores numricos de las cantidades fsicas pueden o no ser los mismos. En los problemas que se resuelvan en lo sucesivo se deber siempre comprender claramente cul es el referencial que se usa.

1.3.3.- Patrn de longitudEl primer patrn de longitud verdaderamente internacional fue una barra de una aleacin de platino e iridio llamado metro

patrn conservada en la oficina internacional de pesas y medidascerca de Pars, Francia. La distancia entre dos rayas finas grabadas sobre cuas de oro cerca de los extremos de la barra (cuando esta barra estaba a 0.00 C y soportada mecnicamente de una manera prescrita) se defini como la longitud de unEl primer patrn de longitud internacional fue una barra de aleacin de Platino e Iridio.

metro.

Histricamente, se trat de que el metro fuese una

fraccin conveniente (una diezmillonsima) de la distancia del polo al ecuador a lo largo del meridiano que pasaba por Pars. Sin embargo, las mediciones precisas que se tomaron despus de que se construyera dicha barra mtrica patrn, demostraron que

Inicialmente se trato de que fuera una fraccin conveniente de la distancia del polo al ecuador (diezmillonsima) a lo largo del meridiano que pasaba por pars.

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difera ligeramente (aproximadamente 0.023 %) del valor deseado.

Como el metro patrn no era muy accesible, se sacaron de l copias maestras precisas y se mandaron a laboratorios de normas en todo el mundo civilizado. Estos patrones secundarios se usaron para calibrar otros patrones an ms accesibles. De esta manera hasta los tiempos recientes, toda regla, micrmetro o calibrador de nonio deriva su autoridad legal del metro patrn, a travs de una complicada cadena de comparaciones en las que se usaron microscopios y mquinas de dividir. Esto tuvo lugar tambin para la yarda usada en los pases de habla inglesa. Sin embargo, desde 1959, la definicin de la yarda, de por acuerdo internacional ha sido:

1 yarda = 0.9144 metros, exactamente*;

Tabla 1 1 ALGUNAS LONGITUDES MEDIDAS. ConceptoDistancia al cuasar* ms distante detectada a la fecha (1964) Distancia a la nebulosa ms prxima (Gran Nebulosa en Andrmeda) Radio de nuestra galaxia. Distancia a la estrella ms prxima (Alfa Centauro) Radio medio de la rbita del planeta ms distante (Plutn) Radio del Sol. Radio de la Tierra. Mximo de la altura alcanzada en un globo libre (1 Altura promedio de un hombre. Espesor de una pgina de este manual. Tamao de un virus de poliomielitis. Radio de un tomo de hidrgeno. Radio efectivo de un protn.

M e t r o s6 X 10 25 2 X 10 22 6 X 10 19 4.3 X 10 16 5.9 X 10 12 6.9 X 10 8 6.4 X 10 6 4.6 X 10 4 1.8 X 10 0 1 X 10 4 1.2 X 10 8 5.0 X 10 11 1.2 X 10 15

Cuasar = Fuente Cuasi estelar del radio.

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Se han hecho varias objeciones respecto a considerar a la barra mtrica como un patrn primario de longitud; es potencialmente destructible, por incendio o guerra por ejemplo, no es exactamente reproducible; no es muy accesible. La ms importante de ellas, la precisin con la que se pueden hacer las necesarias intercomparaciones de longitud por la tcnica de comparar unos rasgos finos usando un microscopio, no es lo suficientemente grande para satisfacer los modernos La mxima requerimientos de la ciencia y la tecnologa.

precisin que se puede obtener con el metro patrn con una referencia es de aproximadamente una parte en 10 7; un error de este tamao es el huelgo de un girscopo gua, podra hacer que un disparo espacial dirigido hacia la luna fallara por unos miles de kilmetros. Vase the metre por H. Barrel en contemporary physics, Vol. 3, Pg. 415, 1962, donde hay una excelente discusin del patrn de longitud.

En 1864 Hippolyte Louisn Fizeau (1819 1896) fue el primero en sugerir que poda usarse la longitud de una onda luminosa como patrn de longitud. El desarrollo posterior del

interfermetro proporcion a los cientficos un instrumentoptico de precisin, por medio del cual pueden usarse las ondas luminosas como un medio de comparacin de longitudes. Las ondas luminosas tiene alrededor de 5 X 10-5

cm de longitud y

por medio de ellas pueden hacerse mediciones de longitudes de barras, aun cuando stas tengan muchos centmetros de largo, con una aproximacin de una fraccin muy pequea de una longitud de onda. De este modo, se puede alcanzar una precisin de una parte en 109

cm, en la intercomparacin de longitudes

usando ondas luminosas. Al crecer la necesidad de una precisin mayor en comparaciones de longitud, se ha procurado determinar la mejor fuente de luz. 34

En 1961 fue adoptado por un convenio internacional un patrn atmico de longitud. Para ello se escogi la longitud de onda en el vaco, de una radiacin anaranjada particular (identificada por la notacin espectroscpica 2p10 5d5) emitida por los tomos de un istopo particular del Kriptn (Kr86

Tres son los sistemas ms comunes de uso en la ingeniera. Estos son: MKS: Metro Kilogramo Segundo. CGS: Centmetro, Gramo y Segundo. FPS: Pie, Libra y Segundo. En 1961 fue adoptado por un convenio internacional, un patrn atmico de longitud.

) en una descarga

elctrica. De esta manera se define ahora especficamente al metro como 1650,763.73 veces la longitud de onda de dicha luz. Este nmero de longitudes de onda fue obtenido por una medicin cuidadosa de la longitud de la barra mtrica patrn en trminos de estas ondas luminosas. Se hizo la comparacin de tal manera que el nuevo patrn basado en la longitud de onda de la luz, concordara lo ms posible con el patrn antiguo, basado en la barra mtrica. La eleccin de un patrn atmico ofrece otras ventajas adems de un aumento de precisin en las mediciones de longitud. Los tomos que generan la luz, estn disponibles en todas partes y en todos los tomos de una especie dada son idnticos y emiten luz de la misma longitud de onda. De esta manera tal patrn atmico es, a la vez, accesible e invariable. La longitud de onda que en particular se ha escogido es una caracterstica tpica del Kriptn 86 y est definida con mucha precisin. Dicho istopo puede obtenerse muy puro de una manera relativamente fcil y barata.

La eleccin de un patrn atmico ofrece otras ventajas adems de un aumento de precisin en las mediciones de longitud.

La longitud de onda que en particular se ha escogido es una caracterstica tpica del Kriptn 86.

1.3.4.- Patrn de Tiempo.La medicin del tiempo tiene dos aspectos diferentes. Para propsitos cotidianos y para algunos de tipo cientfico,

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quisiramos saber la hora del da de tal manera que podamos ordenar sucesivamente los acontecimientos. En la mayora de los trabajos cientficos, queremos saber cunto dura un suceso. Por eso, cualquier patrn de tiempo debe poder responder, tanto a la pregunta Qu hora es? como a la pregunta Cunto dura?*. La tabla siguiente muestra el amplio margen de los intervalos de tiempo que pueden medirse. Tabla 1 2. INTERVALOS DE TIEMPO MEDIDOS. ConceptoEdad de la Tierra. Edad de la pirmide de Keops. Vida media humana (Estados Unidos). Periodo de la rbita terrestre alrededor del sol (1 ao). Periodo de la rotacin terrestre alrededor de su eje (1 da). Periodo del satlite Echo II. Vida media de un Neutrn libre. Tiempo entre latidos normales del corazn humano. Periodo del diapasn de concierto en la. Vida media del mun. Periodo de oscilacin de las microondas de 3 cm. Periodo de rotacin tpico de una molcula. Vida media del pin neutro. Periodo de oscilacin de un rayo gama de 1 MeV (calculado). Tiempo que tarda en pasar una partcula elemental a travs de un ncleo de Tamao medio (calculado). 2 X 10 - 23

Segundos1.3 X 10 17 1.5 X 10 11 2 X 10 9 3.1 X 10 7 8.6 X 10 4 5.1 X 10 3 7.0 X 10 2 8.0 X 10 -1 2.3 X 10 -3 2.2 X 10 - 6 1.0 X 10 - 10 1 X 10 - 12 2.2 X 10 -16 4 X 10 - 21

Vease Achrate Measurement of Time por Loui Essen en Physics Today, julio 1960, donde se encontrar una discusin excelente del patrn de tiempo.

Cualquier fenmeno que se repita a s mismo puede usarse como una medicin del tiempo; la medicin se har contando dichas repeticiones. Un pndulo que oscila, un resorte de muelle, o un cristal de cuarzo, por ejemplo, pueden usarse. Entre los muchos fenmenos repetitivos que ocurren en la naturaleza se ha usado, desde los tiempos ms remotos como patrn para la

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medicin del tiempo, la rotacin de la Tierra sobre su eje, lo que determina la longitud del da. Este patrn es an la base de la medicin de nuestro tiempo civil y legal, estando definido un segundo (solar medio) como 1 / 86,400 de un da (solar medio). El tiempo definido en trminos de la rotacin de la Tierra se llama tiempo universal (T. U.). El tiempo universal se determina por observaciones astronmicas. Como estas observaciones pueden durar varias semanas, se necesita un buen reloj terrestre secundario calibrado por las observaciones astronmicas. Los relojes de cristal de cuarzo basados en las vibraciones peridicas naturales mantenidas elctricamente de una lmina de cuarzo, pueden servir bien como patrones secundarios de tiempo. El mejor de stos ha marcado el tiempo durante un ao con un error mximo de 0.02 segundos. Uno de los usos ms comunes de un patrn de tiempo es la determinacin de frecuencias. En el intervalo de la radio, las comparaciones de frecuencia de un reloj de cuarzo pueden efectuarse electrnicamente con una precisin de una parte en 1010 por lo menos, y, de hecho, muchas situaciones requieren dicha precisin. Sin embargo, esta precisin es unas cien veces mayor que aquella que el propio reloj de cuarzo puede calibrarse por medio de observaciones astronmicas. Para llenar esta necesidad de un mejor patrn de tiempo se han desarrollado en diversos pases los relojes atmicos, usando como patrn las vibraciones peridicas de los tomos. Un tipo particular de reloj atmico, basado en la frecuencia caracterstica asociada al tomo de cesio, ha estado en operacinUno de los usos ms comunes de un patrn de tiempo es la determinacin de frecuencias.

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continua en el National Physical Laboratory en Inglaterra desde 1955. En 1967, se adopt el segundo basado en el reloj de cesio como un patrn internacional por la Decimatercera Conferencia General de Pesas y Medidas que tuvo lugar en Pars. Al hacerlo, se aument la precisin de las mediciones de tiempo en una parte en 1011, lo que representa una mejora de alrededor de 200 respecto a la precisin asociada a los mtodos astronmicos. Si dos relojes de cesio se hacen operar con esta precisin y si no hay otra causa de error, dichos relojes no diferirn por ms de un segundo despus de haber estado en marcha durante 3,000 aos. Por comparacin con el reloj de cesio, las variaciones en la velocidad de la rotacin de la Tierra durante casi un periodo de tres aos, se puede notar que la velocidad de la rotacin terrestre es mayor en el verano y menor en el invierno (en el hemisferio norte) y se puede notar un decrecimiento estacionario de ao a ao. Respecto a esto nos podemos preguntar y con razn, cmo es que estamos seguros de que la culpable de esto es la Tierra que gira y no el reloj de cesio. Para dicha pregunta, existen dos respuestas: 1.- La sencillez relativa del tomo comparado con la Tierra nos lleva a atribuir cualquier diferencia entre estos dos medidores de tiempo a fenmenos fsicos en la Tierra. La friccin de mareas entre el agua y la Tierra, por ejemplo, produce un descenso de la rotacin terrestre. Tambin el movimiento estacionario de los vientos ocasiona una variacin estacional regular en la rotacin. Otras variaciones pueden asociarse a la fusin de los casquetes polares y el desplazamiento de otras mareas terrestres. 2.- El sistema solar contiene otros cronmetros, tales como los planetas en rbitas alrededor del sol y las lunas tambin en

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rbitas de los planetas. exactamente observable.

La rotacin de la Tierra muestra

variaciones respecto a stos, que son semejantes pero menos

El patrn de tiempo puede enviarse a lugares remotos por transmisin de radio. Muchos pases mantienen estaciones de radio con este objeto. La estacin WWV situada en Fort Collins Colorado y la estacin WWVH en Hawai, ambas operadas por el Nacional Bureau of Standard, en frecuencias 2.5 , 5 , 10 , 15 , 20 y 25 X 106

Hz, estabilizadas en una parte en 1011 por

comparacin con un reloj de cesio. Un Hertz (abreviado Hz) es un ciclo / seg. A intervalos de 5 min, ambas estaciones emiten alternativamente un tono exacto de 440 Hz (tono de la) y un tono de 600 Hz /s. Diez veces por hora emiten seales horarias usando un sistema digital binario codificado. Las seales se basan en la rotacin terrestre, es decir, se refieren al tiempo universal, pudindose corregir por el desplazamiento del eje de la tierra y por la variacin anual de la velocidad de la rotacin terrestre.

1.3.5.- Sistemas de Unidades.Como ya se ha sealado, hay cierto margen de arbitrariedad en la eleccin de las cantidades fundamentales. *1 Por ejemplo, pueden escogerse como cantidades fundamentales la longitud del tiempo y la masa; todas las cantidades mecnicas restantes, como la fuerza, la torca, la densidad etc; pueden expresarse en Sin embargo, trminos de estas cantidades fundamentales.

pudiramos igualmente haber escogido la fuerza, en lugar de la masa, como una cantidad fundamental, pero, despus de haber

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elegido a las cantidades fundamentales y haber determinado sus unidades, determinamos con ello automticamente las unidades de las cantidades derivadas. Tres sistemas de unidades diferentes son las ms comunes usados en la ciencia y en la ingeniera. Estos son: El sistema MKS ( metro, kilogramo, segundo )* 2 . El sistema Gaussiano, en el cual, las unidades mecnicas fundamentales son el centmetro, el gramo y el segundo (un sistema CGS) y el sistema britnico de ingeniera [un sistema foot (pie), pound (libra),

second (segundo) o bien llamado sistema (FPS)] El gramo y elkilogramo son unidades de masa y la libra es una cantidad de fuerza. Estas unidades se definirn y se discutirn en captulos siguientes de este mismo manual.*1.- Vase dimensiones, Units and standard por A. G. Mcnish en Physic today, abril 1957. *2.- Actualmente se ha sustituido por el S istema Internacional ( S. I. ) de unidades.

Nosotros utilizaremos principalmente el sistema

MKS

pero tambin utilizaremos el sistema PS. El sistema mtrico se emplea universalmente en los trabajos cientficos y en l se expresan las unidades comerciales comunes en la mayora de los pases del mundo. En la tabla siguiente, se muestran algunos de los prefijos usados para identificar a los mltiplos y submltiplos de las cantidades mtricas. As, 1 mm = 10 3 m., 1 nanosegundo = 10 -9 seg., 1 megavolt = 10 6 volt.

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Tabla 1 3

PREFIJOS USADOS PARA LOS MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DE LAS CANTIDADES MTRICAS

10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12

deci centi mili micro nano pico

deca hecto kilo mega giga tera

10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12

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1.4.- CINEMTICA RECTILNEA (movimiento continuo) El estudiante iniciar ahora el estudio de la dinmica, se estudiarnlos aspectos geomtricos del movimiento de una partcula medido respecto a marcos de referencia fijos y marcos de referencia en movimiento.

1.4.1.- Cinemtica rectilnea.La primera parte del estudio de la Mecnica de Ingeniera se ocupa de la Esttica, que trata del equilibrio de los cuerpos en reposo o en movimiento con velocidad constante. La segunda parte se dedica a laEsttica: Estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo, o en movimiento con velocidad constante.

Dinmica, que se ocupa de los cuerpos en movimiento acelerado, [stase divide en cinemtica (trata los aspectos geomtricos del movimiento), y la cintica (que se encarga del anlisis de las fuerzas que originan el movimiento)]. Para comprender mejor los principios que intervienen,Dinmica: Se ocupa del anlisis de los cuerpos en movimiento, se divide en dos: Cinemtica: Estudia los aspectos geomtricos del movimiento. Cintica: Se encarga del anlisis de las fuerzas que originan el movimiento.

describiremos primero la dinmica de partculas, y a continuacin se tratarn temas sobre la dinmica del cuerpo rgido. Comenzaremos nuestro estudio de la dinmica describiendo la cinemtica de la partcula. Recurdese que una partcula tiene masa, pero tamaos y formas despreciables. Por lo tanto, debemos limitar la aplicacin a aquellos objetos en los que sus dimensiones no tengan efectos en el anlisis del movimiento. En la mayor parte de los problemas de este manual, se tiene inters en cuerpos de tamao finito como cohetes, proyectiles o vehculos. Estos objetos se pueden considerar como partculas, siempre y cuando su movimiento est

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caracterizado por el movimiento de su centro de masa y pueda despreciarse cualquier rotacin del cuerpo. Cinemtica rectilnea.- Una partcula se puede mover a lo largo de una trayectoria tanto recta como curva. Para presentar la cinemtica del movimiento de una partcula, comenzaremos con el estudio del movimiento rectilneo. La cinemtica de ese movimiento se caracteriza especificando, en cualquier instante dado, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula. Posicin.- Se puede especificar la trayectoria recta de la partcula empleando un solo eje coordenado S fig. 1.4 a. El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo, y a partir de ste se emplea el vector de

posicin r para definir el lugar de la partcula P en cualquier instante.Sin embargo, para el movimiento rectilneo, la direccin de r siempre es a lo largo del eje S, y por lo tanto nunca cambia. Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o sea la orientacin de la punta de la flecha. Por lo tanto, en el trabajo analtico es conveniente representar a r con un escalar algebraico s, que representa a laO

r

P s

o

s

Fig. 1 . 4 a Posicin

coordenada de posicin de la partcula, fig. 1.4 a. La magnitud de Sy de r es la distancia de O a P medida en general en metros (m) oO pies (ft), y en el sentido u orientacin de la punta de la flecha de r se r

r

r o p s s o

s s

define mediante el signo algebraico de S. Aunque la seleccin es arbitraria es positivo a la derecha. Igualmente, ser negativo si la partcula est ubicada a la izquierda de O. Desplazamiento.- El desplazamiento de una partcula se define como

Fig. 1 . 4 b Desplazamiento

el cambio en su posicin .Por ejemplo, si la partcula se mueve de P a P, Fig. 1.4 b, el desplazamiento es r = r- r. Empleando escalaresalgebraicos para representar a r, se tiene tambin que s = s- s. Aqu, s es positivo, ya que la posicin final de la partcula est a la

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derecha de su posicin inicial; es decir, s > s . Igualmente, si lapartcula final est a la izquierda de su posicin inicial, s es negativa. Como el desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe distinguir de la distancia que viaja la partcula. Especficamente, la distancia recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula. Velocidad.- Si la partcula se mueve a travs de un desplazamiento r de P a P durante un intervalo de tiempo t, fig. 1.4 b la velocidad

media de la partcula durante este intervalo de tiempo es:

r Vavg = ----------t Si tomamos los valores cada vez ms pequeos de t, la magnitud de t se hace ms y ms pequea. En consecuencia, la velocidaddr instantnea se define como V = lim (r / t), o sea V = --------dt

v P o sFig. 1 . 4 c

O

P o

Si se representa a v como escalar, fig. 1.4 c, podemos escribir tambin

ds V= dtComo t o dt siempre es positivo, el signo que se emplea para definir el sentido de la velocidad es el mismo que el de s, o ds. Por ejemplo, si la partcula se mueve hacia la derecha, Fig. 1.4 c, la velocidad es positiva; mientras que si se mueve hacia la izquierda, la velocidad es Negativa. Se subraya aqu este hecho mediante la flecha que aparece a la izquierda de la ecuacin: V = ds / dt. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se expresa en general en unidades de m / s ft / s.

Velocidad

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A veces se usa el trmino velocidad media. La velocidad media siempre es un escalar positivo y se define como la distancia total recorrida por una partcula, ST, divida entre el tiempo transcurrido t, es decir, ST

VSP = -------ta

Aceleracin. Si se conoce la velocidad de la partcula en los dos puntos P y P, se define a la aceleracin media de la partcula durante el intervalo de tiempo t como. v a avg = --------t Aqu, v representa la diferencia de la velocidad durante el intervalo de tiempo t, es decir v = v- v fig. 1.4.d. La aceleracin instantnea en el tiempo t se calcula tomando valores cada vez ms pequeos de t y valores correspondientes, cada vez menores, de v, de modo que a = lim ( v / t ) o bien empleando escalares algebraicos.t -- 0 O P v Fig. 1 . 4 d P v S

Aceleracin

a=

dv dt

Sustituyendo la ecuacin v = -------- en la ecuacin anterior podemos escribir tambin que:dt

ds

dv d(ds) a = ------- = --------------dt d t( d t )

a

d 2s = ------dt 2

Aceleracin instantnea

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Tanto la aceleracin media como la aceleracin instantnea pueden ser positivas o negativas. Especficamente, cuando la partcula est frenando, o su velocidad decrece, se dice que est desacelerando. En este caso, en la figura 1.4 e, v es menor que v , y entonces v =-a P P S V V

v- v ser negativa. En consecuencia, a ser tambin negativa, y por lotanto actuar hacia la izquierda en sentido contrario al de v. Tambin ntese que cuando la velocidad es constante, la aceleracin es cero ya que v = v v = 0. Las unidades que se usan normalmente para expresar la magnitud de la aceleracin son m /s2 ft / s2

Desaceleracin

Fig. 1 . 4 e

Se puede obtener una ecuacin diferencial que implique el desplazamiento, velocidad y aceleracin a lo largo de la trayectoria eliminando la diferencial del tiempo dt entre las ecuaciones: V = -------dt ds

a = -------dt

dv

Al hacerlo, es conveniente tomar en cuenta que si bien en este caso podemos formular otra ecuacin, sta no ser dependiente de las ecuaciones anteriores. Se demuestra que:

a ds = v dvAceleracin constante, a = ac. Cuando la aceleracin es constante, cada una de las tres ecuaciones cinemticas, a = dv / dt V = ds / dt y ac ds = v dv se pueden integrar para obtener las frmulas que relacionan a ac , v , s, y t. Velocidad como funcin del tiempo. Se integra ac = dv /dt,

suponiendo que inicialmente v = 0 cuando t = 0.

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V V0

t

dv = ac dt0

v v0 = ac (t o) v = v0 + ac t

Aceleracin constante

Posicin como funcin del tiempo. Se integra v = ds / dt = v0 + ac t, suponiendo que inicialmente

S = 0 cuando t = 0.s

t

s0

ds =

(v0 + ac t) dt0

S S0 = v0 (t 0) + ac ( t2 0)

s = s0 + v0 t + a c t 2Aceleracin constante

Velocidad como funcin de la posicin. Se puede despejar a t de la ecuacin v = v0 + ac t y sustituirla en la ecuacin anterior o sea s = s0 + v0 t + ac t 2 o bien integrar v dv = ac ds, suponiendo que inicialmente v = 0 en s = 0v s

v dv =v0

s0

ac ds

v2 - v0 2 = ac (s - s0 )

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V 2 = v02 + 2 ac ( s s0 )Aceleracin constante

Esta ecuacin no es independiente de las ecuaciones anteriores.

Las magnitudes y los signos de S0. V0 y

ac

se determinan de

acuerdo con el origen y la direccin positiva del eje S que se hayan seleccionado. Como lo indica la flecha que aparece a la izquierda de cada ecuacin, hemos supuesto que las cantidades positivas actan hacia la derecha, de acuerdo con el eje S de coordenadas que aparecen en la figura 1.4 c,d,e. Tambin es importante recordar que las tres ltimas ecuaciones son tiles

slo cuando la aceleracin es

constante y cuando t = 0, S = S0 y V = V0 . un ejemplo comn demovimiento de aceleracin constante se tiene cuando un cuerpo cae libremente hacia el suelo. Si no se toma en cuenta la resistencia del aire y, la distancia de la cada es corta, entonces la aceleracin constante hacia abajo del cuerpo cuando est cerca del suelo es aproximadamente de - 9.81 m /s2 . - 32.2 ft/s2

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS. Sistemas de coordenadas. Siempre que se aplican Las ecuaciones cinemticas, es muy importante establecer primero, una coordenada s de posicin a lo largo de la trayectoria y especificar su origen fijo y direccin positiva. Como la trayectoria es rectilnea, las lneas de direccin de la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula

nunca cambian. Por lo tanto, se pueden representar esas cantidadescomo escalares algebraicos. Para trabajo analtico se pueden determinar el sentido de s, v y a a partir de sus signos algebraicos. 48

En los siguientes ejemplos, se indicar el sentido positivo para cada escalar mediante una flecha al lado de cada ecuacin cinemtica al momento de aplicarla. Ecuaciones cinemticas. Con frecuencia se pueden establecer una relacin variables matemtica entre cualesquiera de dos de las cuatro

a, v,

s,

y

t, ya sea por observacin o por

experimentacin. Cuando es se el caso, se pueden obtener las relaciones entre las variables restantes por diferenciacin o integracin empleando las ecuaciones cinemticas a = dv / dt,

v = ds / dt a ds = v dv. Como cada una de estas ecuacionesrelaciona a tres variables, entonces, si se conoce una variable en funcin de otra, se puede calcular una tercera variable seleccionando

la ecuacin cinemtica que relacione a las tres. Por ejemplo,supongamos que la aceleracin se conoce como funcin de la posicin, a = f (s). la velocidad puede determinarse a partir de a ds y v dv, ya que se puede sustituir a f (s) en lugar de a para obtener

f(s) ds = v dv. Para despejar v se necesita integrar. Ntese que lavelocidad no puede obtenerse empleando a = dv / dt, ya que f (s) dt

= dv contiene dos variables, s y t del lado izquierdo y por lo tanto no puede integrarse. Siempre que se lleve a cabo la integracin, esimportante que se conozcan la posicin y la velocidad en determinado instante para evaluar ya sea la constante de integracin, si se emplea una integral indefinida, o bien los lmites de integracin cuando se usa una integral definida. Por ltimo, tngase en cuenta que las ecuaciones de cinemtica slo son de uso limitado. Nunca deben aplicarse esas ecuaciones a menos que se est absolutamente seguro de que la aceleracin es constante.

49

P R O B L E M A S

R E S U E L T OS

Ejemplo 1 . 4 1

El vehculo en la figura siguiente se mueve en lnea recta de tal modo que durante un breve perodo de tiempo su velocidad est definida por v = ( 9 t 2 + 2 t ) ft / s, estando t en segundos. Calcular su posicin y aceleracin cuando t = 3 s. cuando t = 0, s = 0.

S

a, v

o

SOLUCIN:

Sistemas de coordenadas. La coordenada de posicin se extiende desde el origen fijo hasta el vehculo. Hacia la derecha es positiva.Dada originalmente la velocidad y, sabiendo que se quiere llegar a distancia, luego entonces la ecuacin original se integra (nota anterior a-v-s).

Posicin. La velocidad del vehculo se da como funcin del tiempo, de modo que su posicin puede calcularse a partir de

v = ds / dt, ya que sta ecuacin relaciona a v, s, y t . Teniendo encuenta que s = 0 cuando t = 0, tenemos que:

50

+ds

v = ------- = ( 9 t 2 + 2 t ) dtdts

t ds = ( 9 t 2 + 2 t ) dt0 s t

0

S0

=3t

3

+ t

2

0

S=3t3 +t2 Cuando t = 3 s , S = 3 ( 3 ) 3 + ( 3 ) 2 = 90 ft.

Aceleracin. Si se conoce la velocidad como funcin del tiempo, se calcula la aceleracin a partir de a = dv / dt, ya que esta ecuacin relaciona a a, v y t . (+ )d

T e o r e m a de derivacin d ----- ( U n )= nun -1 du

a = ------ = ------- ( 9 t 2 + 2 t )dt dt

dv

a = ------------dt

9t +2t

2

a = 18 t + 2 Cuando t = 3 s. a = 18 ( 3 ) + 2 a = 56 ft / s2

Pregunta: No se pueden emplear las frmulas para la aceleracin constante en este problema. Por qu?

51

Ejemplo. 1 . 4 - 2 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una pared con una velocidad inicial de VA = 35 ft / s. calcule: a).- La altura que alcanza la pelota sobre la parte superior de la pared antes de detenerse en B . b).- El tiempo tAB que se necesita para alcanzar la altura mxima. c).- El tiempo total tAC que se necesita para llegar al suelo en C desde el instante en que se lanza la pelota.B

DatosVA= 35 f t / s

A

g = 32 . 2 ft / s2 VA = 35 ft / s SAC = 60 ft VB = 060 ft

a).- SAB = ? b).- tAB = ? c).- tAC = ?

Para este ejercicio, nos es posible utilizar las ecuaciones de cinemtica ya que durante todo el movimiento, la aceleracin es constante.

C

a).- SAB = ? Vf 2 = V0 2 + 2 ac s

Despejando S

S = ------------------2a

Vf2 - V02 0 35 2

S = -------------------2 (-32 . 2 ft/s2 )

S = 19 . 02 ft

52

b).- t AB = ? Vf = V0 + Despejando tV V

a ct0

f 0 t = --------------

t = ---------------- tAB = 1.086 seg. 232 . 2 ft / s

ac ( 35 ft / s )

c).- t AC = ?Ya calculado el tiempo tAB, solo falta calcular el tiempo de BC considerando la velocidad inicial igual a cero (V0 = 0 ,) para ello se debe calcular primeramente la velocidad final con la que llega la pelotaNota: St = sAB + sBC

a C.Vf 2 = V0 2 + 2 ac st Vf = (0)2

SAB = 19 . 02 ft SBC = 60 ftSAB+AC = 79.02 ft

+ 2 ( 32 . 2 ft/s ) 79 . 02 ft

Vf = 71 . 336 ft / s Vf = V0 + ac t

t = -----------ac

Vf V0

71 . 336 ft / s -- 0 t =- --------------------------- t = 2 . 21 seg. 32 . 2 ft / s2

tAC = tAB + tBC tAC = 1 . 086 s + 2 . 21 s tAC = 3 . 296 s

53

Ejemplo. 1 . 4 3 Una partcula se mueve a lo largo de una lnea horizontal de tal modo que su velocidad est dada por v = ( 3 t 2 - 6 t ) m/s. donde t es el tiempo en segundos. Inicialmente est en el origen O. Calcule la distancia que recorre la partcula durante el intervalo de tiempo desde t = 0 hasta t = 3 . 5s, adems calcule la velocidad y rapidez medias durante el mismo intervalo de tiempo. SOLUCIN: Sistema de coordenadas. Para este caso en lo especial, supngase que el movimiento positivo es hacia la derecha, medido desde el origen en

O.Distancia recorrida. Como la velocidad est relacionada con el

tiempo, la posicin en funcin del tiempo se puede calcular integrando ds = v dt con la condicin de que t = 0, s = 0. (+ ) ds = v dt ds = ( 3 t 2 + 6 t ) dts t t t dt 0Para calcular la distancia recorrida en 3.5 s, es necesario investigar la trayectoria del movimiento. Para ello, se sustituir valores desde 0 t 3.5s con intervalos de tiempo tan cortos como el estudiante lo desee, estos valores ser sustituidos en la ecuacin anterior s = t 3 3 t 2 . Los valores obtenidos sern graficados y analizados para interpretar el recorrido de la partcula y determinar su signo.

Sustituyendo

ds = 30 0

t 2 dt + 6

6 t 2m 3t3 S = ------- - ---------3 23

S=(t

3

- 3t )m

2

0

54

Sustitucin para 0 t 3 . 5 S=t3 - 3t2 S t=0 = (0)3 3(0)2 = S t=1 = (1)3 3(1)2 S t=2 = (2)3 3(2)23 2

0.0(0 , 0)

v = (m/s)

v=3t26t t (s) (2 s, 0)

S t=.5 = (.5)3 3(.5)2 = - 0 . 625 = -2.0 = -4.0 0.0 S t=1.5 = (1.5)3 3(1.5)2 = - 3 . 0 S t=2.5 = (2.5) 3(2.5) = 3 . 125 S t=3 = (3)3 3(3)2 = S t=3.5 = (3.5)3 3(3.5)2 = 6 . 125 Mostraremos ahora el comportamiento de la partcula.S = -- 4 . 0 m S = 6 . 12 m (2 s, - 4m)

La grfica anterior muestra cual es el comportamiento de la partcula, es decir partiendo del reposo y durante los primeros dos segundos se desplaza negativamente para despus invertir su recorrido positivamente hasta los 3.5 segundos.

0El tiempo de 0 a 2 segundos se repite dado que de 0 a 2s, primeramente la partcula se desplaza negativamente para despus iniciar su recorrido en forma positiva hasta los 3.5 s.

t = 3.5 s

t=0 s

t = 3.5 s

Con lo anterior: ST = St = 0s + St = 2s + St = 3.5s

ST = 4 + 4 + 6 . 12 ST = 14 . 12 mVelocidad.s = S t = 3.5 S t = 0 donde S t =3.5 = 6.12 y S t =0 = 0

Vavg = ------- = ----------3.5 0 s t Vavg = 1 . 75 m / sRapidez media.ST 14 . 2 m

s

6 . 12 m

De la misma manera sucede con el tiempo.

( Vsp ) avg = --------- = ----------- = 4 . 03 m / s 3.5 0st

Definiremos a la rapidez media en trminos de la distancia total recorrida es decir ( S T ).

55

PROBLEMAS PROPUESTOS PARA LA SOLUCIN POR PARTE DEL ESTUDIANTE

1 . 4 4: Si una partcula tiene una velocidad inicial Vo = 12 ft / s hacia la derecha, determine su posicin cuando t =10 s. si a = 2 ft / s2 hacia la izquierda. Originalmente, So = 0.

R : 20 ft.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 . 4 5: Desde aproximadamente qu piso de un edificio se debe soltar el freno de un automvil para que avance desde una posicin de reposo y alcance una velocidad de 24.6 m/s (88 Km/h) cuando llegue al suelo? Cada piso tiene una altura de 3.65 m.

R : 8.43 9 piso

56

1 . 4 . 6: Una partcula se mueve a lo largo de una recta de tal modo que su posicin est dada por S = (4 t - t 2) ft. estando t en segundos. Calcule la distancia recorrida desde t = 0 hasta

t = 5 s. tambin calcule la velocidad y la rapidez media de la partcula durante este mismointervalo de tiempo.

R : 13 ft;

Vsp = 2.60 ft/s;

Vavg = -- 1.0 ft/s

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 . 4 7: Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 20 ft/s. Calcule la altura mxima que se alcanza. Cunto tiempo permanece la pelota en el aire?

R : S = 6.21 ft; 57

t = 1.242 s

1 . 4 8:

Una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria recta de tal modo que su

posicin est definida por S = (10 t 2 + 20) mm. estando t en segundos. Calcule: a).- El desplazamiento de la partcula durante el intervalo de tiempo de 1 a 5 segundos. b).- La velocidad media de la partcula durante el mismo intervalo de tiempo. c).- La aceleracin cuando t = 1 s.

R : S = 240 mm; Vavg = 60 mm/s; a = 20 mm/s2

1 . 4 9:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una pared

con una velocidad inicial de VA = 35 ft/s. Calcule: a).- La altura que alcanzar la pelota antes de detenerse en B b).- El tiempo tAB que se necesita para alcanzar la altura mxima. c).- El tiempo total tAC que se necesita para llegar al suelo en C desde el instante que se lanza la pelota.B

VA = 35 ft/s

A

60 ft

R : S = 19.02 ft, tAB = 1.09 s; tAC = 3.30 s. 58

1 . 4 10; Un automvil que inicialmente est en reposo, se mueve a lo largo de una carretera recta con aceleracin constante de tal modo que alcanza una velocidad V = 60ft/s. cuando S = 150 ft. Entonces, despus de haber estado sujeto a otra aceleracin constante, alcanza una velocidad final V = 100 ft/s cuando S = 325 ft. Calcule la velocidad y aceleracin media del vehculo durante el desplazamiento total de 325 ft.

S

R : Vavg = 42.5 ft/s; aavg = 13.9 ft/s2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 . 4 11; Inicialmente, una partcula se mueve hacia la derecha con una velocidad de 8 m/ s, cuando pasa por un punto dado O. Si entonces recibe una desaceleracin constante (hacia la izquierda) de 0.5 m/s2, calcule su posicin con respecto a O y la velocidad que tendr cuando t

= 20 s.

S = 64 m , v = 2 m/s

59

1 . 4 12; Cuando un tren viaja por una va recta a 2 m/s. comienza a acelerar a razn de a = (60 v -4) m/s2, donde v est en m/s. Calcule la velocidad v y la posicin del tren 3 segundos despus de la aceleracin sufrida.

R : V = 3 . 926 m/s; S = 9 . 99 m -------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 . 4 13; Un automvil de carreras acelera uniformemente a 10 ft/s2 partiendo del reposo; alcanza una velocidad de 60 mi/hr. y a continuacin desacelera uniformemente y llega al reposo. Calcule el tiempo total transcurrido si la distancia cubierta fue de 1,500 ft.

v

R : t = 34 . 1 s

60

1 . 4 14; Una partcula metlica pequea se mueve en el seno de un medio fluido bajo la influencia de atraccin magntica. La posicin de la partcula est definida por S = .5 t3 + 4t (in), en la cual t est en segundos. Calcule la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula cuando t = 3 s.

R : S = 25 .5 in; V = 17 . 5 in/s; a = 9 in/s 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 . 4 15; Una partcula viaja hacia la derecha a lo largo de una recta con una velocidad V =[ 5 / ( 4 + S ) ] m/s, estando s metros. Calcule su posicin cuando t = 6 s. Si S = 5 m cuando t = 0.

R: S = 7 . 87 m

61

1 . 4 16; La velocidad de una partcula que viaja a lo largo de una recta es V = (6t 3t2) m/s. en donde t est en segundos. Si S = 0 cuando t = 0, calcule la desaceleracin y la posicin de la partcula cuando t = 3 s. Qu distancia ha recorrido la partcula durante el intervalo de 3 s. y cual es su velocidad media?

R : S = 0; 1 . 4 17;

a = -12 m/s2; ST = 8 m; Vavg = 2 . 67 m/s

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dos vehculos A y B parten al mismo tiempo del reposo despus de un alto,3/2

cuando estaban uno al lado del otro. El vehculo A tiene una aceleracin constante a razn de

aA = 8 m/s2 y el auto B tiene una aceleracin aB = (2 t

) m/s 2, estando t en segundos.

Calcule la distancia entre los vehculos cuando A alcanza una velocidad de vA = 120 Km/h.

R : S = 53 . 7 m

62

A U T O

E V A L U A C I N

1 . 4 18; Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una aceleracin a = (5 / s) m/s2, estando s en metros. Calcule la velocidad de la partcula cuando s = 2 m. si se suelta desde el reposo cuando s =1 m.

R : V = 2 . 63 m / s

63

1 . 5 .-

CINEMTICA EN COORDENADAS RECTANGULARES (Movimiento errtico)

Cuando el movimiento de una partcula durante un intervalo de tiempo es errtico, puede dificultarse la obtencin de una funcin matemtica continua que describa su posicin, velocidad y aceleracin. As, ser mejor describir en forma grfica dicho movimiento, empleando una serie de curvas que se pueden generar experimentalmente a partir de una salida de computadora. Si la grfica que resulta, describe la relacin entre cualesquiera dos de las variables a, v, s, y t, se puede establecer una grfica que describa la relacin entre las otras variables empleando las ecuaciones cinemticas a = dv/dt, v = ds/dt, ads = vdv. Con frecuencia se encuentran los casos siguientes.

1 . 5 . 1.- Dada la grfica s t, construir la grfica v - t. Si se puede determinar experimentalmente la posicin de una partcula durante el periodo t de tiempo, se puede trazar la grfica S T para dicha partcula, como se muestra en la fig. 1.5.1 a . Para determinar la velocidad de la partcula como funcin del tiempo, es decir la grfica vs V1 =ds/dt | t1 v2 =ds/dt | t2

t se debe usar v = ds/dt dado que sta ecuacin relaciona a s y t .o Por lo tanto, la grfica v t se establece midiendo la pendiente (ds/dt)

S1 t1

S2 t2

S3 t t3

de la grfica s t a diversos tiempos y haciendo una grfica de los resultados. Por ejemplo, la medicin de las pendientes v0, v1, v2 yFig. 1.5.1 a

v3 en los puntos intermedios (t0 , s0), (t1 , s1), (t2 , s2) y (t3 , s3) en lagrfica S T fig. 1.5.1 a, da los puntos correspondientes de la grfica

v t que aparecen en la fig. 1.5.1 bTambin es posible establecer la grfica v t matemticamente, siempre que puedan expresarse los segmentos curvos de la grfica s t en forma de ecuaciones s = f(t). Las ecuaciones correspondientes quev0

v

v1 t1

v2 t2 v3

t3

t

o

Fig. 1.5.1 b

64

describen los segmentos curvos de la grfica v t

se determinan a

continuacin por diferenciacin, ya que v = ds/dt = d [f(t)] / dt.

1 . 5 . 2.- Dada la grfica v - t, construir la grfica a t. Cuando se conoce la grfica v t de la partcula, como en la figura 1.5.2 a, se puede determinar la aceleracin como funcin del tiempo, es decir, la grfica a t a partir de a = dv/dt. Esto se hace midiendo la pendiente (dv/dt) en la grfica v t a diversos tiempos y haciendo una grfica de los resultados. Por ejemplo, si se miden las pendientes a0,v0 t1 t2 t3a0 = dv/dt |t0

vA3 = dv/dt |t3

v1

v2

v3

t

a1, a2, a3 en los puntos intermedios ( t0, v0 ), (t1, v1), (t2, v2), (t3, vo ) 3en la grfica v t fig. 1.5.2 a, se obtienen los puntos correspondientes en la grfica a t indicados en la figura 1.5.2. b. Se pueden determinar cualesquiera segmentos curvos de la grfica

Fig. 1.5.2 a

a t en forma matemtica,

siempre y cuando se conozcan las

ecuaciones v = g(t) de las curvas correspondientes de la grfica v t.a Esto se hace simplemente tomando la derivada de v = g(t), ya que a = a = dv/dt = d [g(t) ] / dt. Como la diferenciacin reduce un polinomio de grado n a uno de grado n 1, entonces, de acuerdo con lo anterior, si la grfica s t eso parablica (curva de segundo grado), la grfica v t ser una lnea a0 t1 a1 t2 a2 t3 a3

t

inclinada (curva de primer grado), y la grfica a t ser una constante o lnea horizontal (curva de grado cero).

Fig. 1.5.2 b

65

Ejemplo: 1 . 5 .- 1 Un automvil se mueve a lo largo de una carretera recta de tal modo que su posicin se describe mediante la grfica mostrada en la siguiente figura. Construir en base a ella, las grficas v t y a t para el perodo 0 t 30 s.s (ft) 500 S = 20 t -100 S = t2

100

10

30

t (s)

Solucin: Grfica v t : Como v = ds/dt, puede determinar la grfica v - t diferenciando las ecuaciones que definen a la grfica s t, segn la fig 1.5 a. tenemos que: S=t2

ds

d(t2)

0 t 10 s.

v = -------- = ---------dt dtFig 1 . 5

v=2t Sustituyendo t = 10 s.

v (ft/s)

V = 2 (10)

v = 20 ft/s20

v=2t v = 20 t (s) 0 10 30

10 t 30 s.

ds

d ( 20 t - 100 )

S = 20 t 100

v = ------- = --------------dt dtv = 20 ft/s 66

Los resultados se grafican en las figuras 1 . 5 a y la figura 1 . 5 b Grfica a t : Como a = dv/dt se puede determinar la grfica a t diferenciando las ecuaciones que definen las lneas de la grfica v t esto da:

0 t 10 s.

v=2t

a = --------= --------dt dva (ft/s2)

dv

d(2t)

a = 2 ft / s 22

10 t 30 s. v = 20

t(s)

a = --------- = ----------dt dt

dv

d ( 20 )

10

30

Fig . 1 . 5 b

a = 0 ft / s

67

1 . 5 . 3 .- Dada la grfica a t construir la grfica v t.

Si tenemos como dato la grfica a t figura 1.5.3 a, se puede construir la grfica v t empleando la ecuacin a = dv/dt, escrita en forma integrada como v = a dt . En este caso, el cambio en la velocidad de la partcula durante un perodo de tiempo es igual al rea bajo la curva a t durante el mismo lapso, fig. 1.5.3 b. Por lo tanto, para construir la grfica v t, se comienza por conocer primeramente la velocidad inicial v0 de la partcula y a continuacin se suman a ella pequeos incrementos de rea (v) determinados en la grfica a t. De este modo, se localizan puntos sucesivos, de la forma v1 = v0 + v, etc. Para la grfica v t. Ntese que es necesaria la adicin algebraica de incrementos de rea, ya que las reas que quedan sobre el eje t corresponden a un aumento en v (rea positiva), mientras que las que quedan debajo del eje t indican una disminucin de v (reav0 a0

a

v = a dt t t0 t1 Fig. 1.5.a

v v

negativa).Se pueden describir los segmentos curvos de la grfica a t mediante una serie de ecuaciones, entonces cada una de esas ecuaciones se puede integrar para dar como resultado ecuaciones que describen los segmentos curvos correspondientes de la grficat0 t1

v1 t

Fig. 1.5.b

v t. por lo tanto, si la grfica a t es lineal, o sea una curva de primergrado, la integracin producir una grfica parablica v t o sea una curva de segundo grado.

68

1 . 5 . 4 .- Dada la grfica v t , construir la grfica s t .v

Cuando tenemos como dato la grfica v t, figura 1.5.4 a, es posible determinar la grfica s t a partir de v = ds / dt, expresada en forma integrada como s = v dt. En este caso, el desplazamiento de la partcula durante un perodo de tiempo, es igual al rea bajo la grfica vv0 s = v dt t0 t1 t

t durante el mismo perodo de tiempo, fig. 1.5.4 b. Del mismo modoque se describi anteriormente, se comienza por conocer la posicin inicial S0 de la partcula y sumarle, algebraicamente, pequeos incrementos de rea s determinados en la grfica v t. Si es posible describir los segmentos curvos de la grfica v t mediante una serie de ecuaciones, entonces, cada una de dichas ecuaciones se puede integrar para dar ecuaciones que describan los segmentos curvos correspondientes de la grfica s t.s0

Fig 1.5.4 a

s s s1 t t0 t1

Fig 1.5.4 b

69

Ejemplo: 1 . 5 .- 2 El cohete deslizante de la figura siguiente, parte del reposo y se mueve a lo largo de una pista recta de tal modo que acelera en forma constante durante 10s. y a continuacin desacelera en forma constante. Trace las graficas v t y s t y calcule adems, el tiempo necesario t para que se detenga el cohete. Qu distancia ha recorrido el cohete?a (m/s2)

10

t (s)-2 10 t

Solucin: Grafica v t : Como dv = a dt, se determina la grfica v t Usando lasGrfica v - tv (m/s) v= 10 t 100 v= - 2 t + 120 t (s) 10 t= 60

integrando los segmentos de recta de la grfica a t. condiciones iniciales v = 0 cuando t = 0 tenemos que:

a = dv / dt0 t 10 s a = 10v t v

a = dv / dt10 t tt

a=-2

dv =0 0

10 dt

dv =100

- 2 dt10

v = 10 t

v = - 2 t + 120Cuando t = t, se necesita que v = 0, esto da como resultado. 0 = - 2 t + 120

t = 60 s

70

Grfica s t :

Como ds = v dt, si se integran las ecuaciones de la

grfica v- t se obtienen las ecuaciones correspondientes de la grfica s- t Aplicando las condiciones iniciales s = 0 cuando t = 0 tenemos que: 0 t 10 s v = 10 ts 10

ds = 10 t dt0 0

Grfica s - t cuando t = 10 ss(m) S = - t 2 + 120 t + 500 3,000

S=5t2

S = 5 (10)2S = 500 m500

10 t 60s

v = - 2 t + 12060 10

S=5t2 t (s) 60

ds = ( - 2 t + 120 ) dt500 10 60

S 500 = - t 2 + 120 t10

S 500 = - (60)2 + 120 (60) [ - (10)2 + 120 (10) ] S 500 = 2,500 S = 2,500 + 500S = 3, 000 m

Nota: Debe observar que es posible una solucin ms directa para S cuando t= 60 ya que el rea triangular bajo la grfica v t nos dara la distancia o desplazamiento s = S 0 desde t =0 hasta t = 60s. s = (60)(100) s = 3, 000 m.

71

1 . 5 . 5 .- Dada la grfica a s, construir la grfica v s.

En algunos casos se puede construir una grfica a s para la partcula, de modo que se pueden determinar los puntos en la grafica v

a

s mediante la ecuacin a ds = v dv . Integrando esta ecuacin entrelos limites vf = v0 en sf = s0 y v2 = v1 en s2 = s1, tenemos que ( v22a ds = (v12 v12)

- v12 ) = a ds, que en la figura 1.5. a aparece sombreado, es igual a lamitad de la diferencia de los cuadrados de la velocidad,

s0

s1 fig 1.5. a

s

1 2 2 ( v2 v1 ) . 2

Por lo tanto, si se determina el rea de a ds, es posible calcular el valor de v! en s1 si se conoce el valor inicial de v0 en s0, es decir2 v1 = 2 ads + v0

(

)

1

2

figura 1.5. b.

Se pueden localizar puntosv1

v

sucesivos de la grfica v s, de este modo, a partir de la velocidad inicial v0 . Otro modo de construir la grfica v s es determinar primero la ecuacin que define los segmentos curvos de la grfica a s . A continuacin pueden obtenerse las ecuaciones que definen a las curvas de la grfica v s directamente mediante integracin, empleando.

v0 s s0 s1

v dv = a ds.

Fig. 1.5. b

72

1 . 5 . 6.- Dada la grfica v s, construir la grfica a s.

v

Si se conoce la grfica v s, pueden determinarse la aceleracin en cualquier posicin s empleando el siguiente procedimiento grfico. En cualquier punto P (s, v) figura 1 . 5 a, se determina la pendientevo

dv/ds

dv / ds de la grfica v s.

v

s

Como ads = vdv, o sea a = v (dv/ds), entonces, ya que se conocen

Fig 1.5 a

v y dv/ds, puede calcularse el valor de a, figura 1 . 5 b.

Podemos determinar tambin en forma analtica los segmentos curvos que describen a la grfica a s, siempre que se conozcan las ecuaciones de los segmentos curvos correspondientes de la grfica v a

s. Como se dijo antes, se necesita integrar empleando a a ds = v dv.

aoa

sFig 1.5 b

73

Ejemplo: 1 . 5 . 3.-

En la figura siguiente, se muestra la grfica v s que describe el movimiento de la motocicleta de esa figura. Trace la grfica a-s del movimiento y calcule el tiempo que necesita la motocicleta para llegar a la posicin S = 400 ft.

V (ft/s)

V = 0.2 s + 10 V = 50

50 10 200 400 S (ft)

Solucin: Grfica a s: como tenemos, como datos las ecuaciones de

la grfica v s , puede determinarse la grfica a s , empleando la ecuacin a ds = v dv, que da como resultado:Para 0 S 200 ftv dv ds

a = (ft/s2) a = 0.04 s + 2 10

v = 0.2 s + 102 a = 0 s (ft) 200 400

a = ---------- = ------------------------------ds

(.2 s + 10) d (.2 s + 10)

a = . 2 s + 10 ( .2 ) = 0.04 s + 2 Para 200 S 400 ft v = 50

Fig. 1.5 a

a = --------- = ----------------- =ds ds

v dv

50 d (50)

0

La grfica a s se muestra en la figura 1 . 5 a

74

Tiempo : Se puede obtener el tiempo empleando la grfica v s y v = ds / dt, ya que esta ecuacin relaciona a v, s, y t.

Para el primer segmento de movimiento, S = 0 cuando t = 0, de modo que; despejando t de v = ds / dt para que la velocidad quede en funcin de S obtenemos:0 S 200 ftds v ds

v = 0.2 s + 10Completando la integral de la forma u y du tenemos que: U = 0.2 s + 10 du = 0.2 ds

dt = ---------- = ---------------. 2 s + 10t s

dt =0 t 0

. 2 s + 10 1s

-----------

ds

0.2 ds

dt = ----0

-----------0

0.2

0.2 s + 10

t = 5 ln ( 0.2 s + 10 ) - 5 ln 10Sustituyendo S = 200 ft encontramos el tiempo, es decir:

t = 5 ln [ 0.2 (200) + 10 ] - 5 ln 10 t = 8 . 05 s Para el segundo segmento del movimiento:200 ft S 400 ftt s

v = 50ds

dt =8.05 200

--------50 s

t - 8.05 = ------- - 450

t = ----- + 4.0550

s

Ahora cuando S = 400 ft400

t = --------- + 4.0550

t = 12 . 0 s

75

1 . 5 . 7 .- PROBLEMAS PROPUESTOS PARA LA SOLUCIN POR PARTE DEL ESTUDIANTE1 . 5 . 4.- Si se define la posicin de una partcula como S = ( 5 t 3 t 2 ) ft. donde t est en

segundos, construir las grficas s t , v t , y a t

para 0 t 10 s.

v=5 - 6t

;

a = - 6 ft / s2

1 . 5 . 5.- Se registr la velocidad de un tren durante el primer minuto de su movimiento de la

siguiente manera:t (s) v (m/s) 0 0 20 16 40 21 60 24 ----------------------------------------------------------------------

trace la grfica v t , aproximando la curva como segmentos de recta entre los puntos dados. Calcule la distancia total recorrida.

S = 920 m.

76

1 . 5 . 6.- Se ha determinado la grfica s t en forma experimenta