dimensionsal measurement of cmm

7/23/2019 Dimensionsal Measurement of CMM

1/18

ergamon

I n t . J . M ach . T oo l s M anuf acL V ol . 37 , N o . 7 , pp . 91 7- 9M . 1997

1997 E l s ev i e r S c i ence L i d . A l l

t i g h [ s n ~ s e r v e d

P r i n t ed i n G ~ B r i t a in

0 8 9 0 - . 6 9 5 5 / 9 7 5 1 7 . 3 0 + . 0 0

P l l : S 0 ~ ) g 6 9 5 f ~ 9 6 ) e 0 0 9 6 - X

S A M P L I N G S T R A T E G Y D E S I G N F O R D I M E N S I O N A L

M E A S U R E M E N T O F G E O M E T R I C F E A T U R E S U S I N G

C O O R D I N A T E M E A S U R I N G M A C H I N E

G . L E E ? J. M O U t : [ : a n d Y . S H E N

R e c e iv e d 7 M a y 1 9 9 6 ; i n i n al o r m 2 5 N o v e m b e r 1 9 9 6 )

A b s t r a c t - - D i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t u s i n g a c o o r d i n a t e m e a s u r i n g m a c h i n e ( C M M ) h a s b e e n c o m m o n l y

adap ted in advanced manufac tu r ing env ironments to ensure tha t manufac tu r ing p roduc ts have h igh qua l i ty and

re l iab i li ty. To cond uc t d imens ion a l inspec t ion e ffec t ive ly in a com pute r- in tegra ted manufactu r ing (CIM )

e n v i ro n me n t , t h e re i s a n u rg e n t n e e d to d e r iv e a s a m p l in g s tr a te g y wh ic h c a n b e u s e d to s p e c i fy a s e t o f m e a s u r in g

p o in t s t ha t l e a d to a c c u ra t e s a mp l in g wh i l e min im iz in g th e s a mp l in g t ime a n d c o s t . O win g to th e v a r i a t io n s in

characte r is t ic s o f geome tr ic fea tures and manu fac tu r ing p ro cesses , d i f fe re n t fea tu re su rfaces on a workp iece

usua l ly have d if fe ren t va r ia t ions in the ir d imens iona l accuracy and surface f in ish . The va r ia t ions may d if fe r

cons ide rab ly f rom one su rface to ano the r , even though those su rfaces may sha re the same fea tu re . There fore ,

th e v a r i a t io n in d ime n s io n a l a c c u ra c y a n d s u r fa c e fin is h s h o u ld b e c o n s id e re d in d e t e rmin in g th e p ro p e r s a mp l in g

s ize fo r each ge om etr ic fea tu re genera ted by va r iou s p rocesses w ith d if fe ren t p roduc t ion pa rameters . In th is

p a p er , a f e a tu re -b a se d m e th o d o lo g y w h ic h in t e g ra te s th e H a m me rs l e y s e q u e n c e a n d a s tr a ti fi ed s a mp l in g me th o d

are deve loped to de r ive the sampling s t ra tegy fo r va r ious geometr ic fea tu res which have spec if ied measur ing

p o in t s . C a s e s tu d ie s a re u s e d to c o mp a re th e e f f e c t iv e n e s s o f H a mme rs l e y s e q u e n c e s a mp l in g , u n i fo rm

(sys tematic ) sampling and rand om sampling . T he resu l ts show tha t the de r ive d samp ling s tra tegy based on the

H a mm e rs l e y s e q u e n c e l e a d s to a n e a r ly q u a d ra ti c r e d u c t io n in th e n u mb e r o f s a mp le s c o m p a re d wi th th e u n i fo rm

s a mp l in g me th o d , a n d h e n c e u n i ts o f t ime a n d c o s t , wh i l e m a in ta in in g th e s a me l e v e l o f a c cu rac y . T h e d e r iv e d

s a mp l in g s tr a te g y a l s o s h o ws a b e t te r p e r fo rma n c e wh e n c o m p a re d wi th th e r a n d o m s a m p l in g me th o d . 1 9 9 7

Elsev ie r Sc ience Ltd . Al l r igh ts re se rved

1 . I N T R O D U C T I O N

M a n u f a c t u r in g e f f ic i e n c i e s h a v e b e e n i n c r e a s e d d r a m a t ic a l l y o w i n g t o t h e a d v a n c e m e n t

i n t h e t e c h n o l o g y o f c o m p u t e r s y s te m s a n d p r o d u c t io n a u t o m a t i o n . L a t e ly , t h e a s s u r a n c e

s c i e n c e o f q u a l i t y c o n t r o l a n d r e l i a b i l i t y b e c o m e s o n e o f t h e p r i m e c o n c e r n s i n p r e c i s i o n

m a n u f a c t u r i n g . T o e n s u r e t h a t p r e c i s i o n m a n u f a c t u r i n g p r o d u c t s h a v e h i g h q u a l i t y a n d

r e l i a b i l i t y , i n s p e c t i o n i s c o m m o n l y u s e d a s t h e a p p r a i s a l a c t i v i t y t o d e t e r m i n e w h e t h e r

t h e m a n u f a c t u r e d p r o d u c t m e e t s t h e e s t a b l is h e d d e s i g n s t a n d a r d s a n d s p e c i f i c a ti o n s . T h e

m a n u f a c t u r e o f m o d e r n p r o d u c t s a l s o d e m a n d s t h a t d i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t s a r e n o t

o n l y e x c e p t i o n a l l y p r e c i s e b u t a l s o e x c e p t i o n a l l y e f fi c i e n t.

T h e r e f o r e , t h e t i m i n g o f t h e i n s p e c t i o n p r o c e d u r e i n r e l a t i o n t o t h e m a n u f a c t u r i n g p r o -

c e s s i s a l s o a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n . E f f o r t s h a v e b e e n d e v o t e d t o d e v e l o p i n g a r a p i d

a n d a c c u r a t e m e t h o d f o r d i m e n s i o n a l i n s p e c t i o n [ 1 , 2 , 4, 5 , 7 , 8 ]. T h r o u g h t h e i n s p e c t i o n

p r o c e ss , t h e d i m e n s i o n s o f a w o r k p i e c e a r e c h e c k e d a g a i n s t th e d e s i g n a n d m a n u f a c t u r i n g

s t a n d a r d s t o e n s u r e t h a t t h e f i n i s h e d p r o d u c t i s w i t h i n t h e d e s i g n a t e d t o l e r a n c e . G e n e r a l l y ,

t h e r e a r e t h r e e p l a c e s w h e r e m e t h o d s a r e i n v o k e d i n d i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t : fo r d a t a

s a m p l i n g , f o r d a t a f i tt in g a n d f o r d a t a c o m p a r i s o n . T h e f o c u s o f t h is p a p e r i s t h e d e v e l o p -

m e n t o f a n e f f e c t i v e d a t a -s a m p l i n g s t ra t e g y .

F r o m a s t a ti s ti c a l v i e w p o i n t , s a m p l i n g m e t h o d s a n d t h e i r d e s i g n s a r e t h e k e y s t o p e r m i t -

t i n g v a l id i n f e r e n c e s a b o u t t h e d i m e n s i o n s a n d f o r m s o f a w o r k p i e c e . E a c h m e a s u r i n g

p o i n t s e l e c t e d c o n t a i n s a c e r t a in a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e w o r k p i e c e . T h e q u a n t i t y

o f i n f o r m a t i o n o b t a i n e d in t h e s a m p l e d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f p o in t s s a m p l e d a n d o n

t h e a m o u n t o f v a r i a t i o n i n t h e d a t a . T h i s l a t t e r f a c t o r c a n b e c o n t r o l l e d b y t h e d e s i g n o f

?D e p a r tme n t o f I&MS E , A r izo n a S ta t e U n iv e r s i ty , T e mp e , A Z 8 5 2 8 7 , U . S . A .

: [: Au th or o w h o m c o r r e s p o n d e n c e s h o u l d b e a d dr e s s e d.

D e p a r t m e nt o f C M E E , G e o r g e W a s h i n g t o n U n iv e rs i ty , W a s h i n g t o n, 1 3 2 2 0 0 5 2 , U . S . A .

9 1 7


2/18

918 G. Lee e t a l

t h e s a m p l e s u r v e y . T h e d e s i g n o f t h e s u r v e y a n d t h e s a m p l e s i z e d e t e r m i n e t h e q u a n t i t y

o f i n f o r m a t i o n i n th e s a m p l e p e r t in e n t t o a p o p u l a t i o n p a r a m e t e r , p r o v i d e d t h a t a c c u r a t e

m e a s u r e m e n t s a r e o b t a i n e d o n e a c h s a m p l e r e l e m e n t .

S o m e o f th e p o s s i b l e d e s i g n s a r e s im p l e r a n d o m s a m p l i n g , s t r a ti f ie d r a n d o m s a m p l i n g ,

c l u s t e r s a m p l i n g a n d s y s t e m a t i c s a m p l i n g . U s u a l l y , t h e b e s t d e s i g n f o r a g i v e n p r o b l e m

i s th e o n e t h a t p r o v i d e s t h e n e c e s s a r y p r e c i s i o n i n t e r m s o f a b o u n d o n t h e e r r o r o f es t i -

m a t i o n f o r a m i n i m u m c o s t . T h e o r e t i c a l ly , i f w e c a n m e a s u r e a l l p o i n t s o n a w o r k p i e c e ,

t h e r e a l m e a s u r i n g e r r o r s c a n b e i d e n t if i e d a n d a n a l y z e d . P r a c t i c al l y , h o w e v e r , i t is i m p o s s -

i b l e o r d i s a d v a n t a g e o u s , e v e n i f w e c a n d e a l w i t h i nf in it e m e a s u r e m e n t p o i n t s o n a s u r f a c e.

H e n c e , a s a m p l e s u r v e y c o s t s l e s s t h a n c o m p l e t e e n u m e r a t i o n , i s u s u a l l y le s s ti m e c o n s u m -

i n g , a n d m a y e v e n b e m o r e a c c u r a t e t h a n t h e c o m p l e t e e n u m e r a t i o n [ 3 ] .

F o r d i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t , c e r t a i n s p e c i a l p o i n t s o n e a c h f e a t u r e n e e d t o b e m e a s -

u r e d . T h e s e p o i n t s a r e c a l l e d s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t s . T h e n u m b e r o f s p e c i f i e d m e a s u r -

i n g p o i n t s i s d e t e r m i n e d b y t h e u s e r d e p e n d i n g o n t h e a c c u r a c y c h a r a c t e r i s t i c s a n d f u n c -

t i o n a l it y o f t h e m a c h i n e t h a t p r o d u c e s t h e w o r k p i e c e a s w e l l a s th e c o m p l e x i t y o f t h e

w o r k p i e c e g e o m e t r y . A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e s a m p l i n g a c c u r a c y w i l l b e i m p r o v e d i f

m o r e m e a s u r i n g p o i n t s a r e a v a i l a b l e f o r s e l e c t i o n . H o w e v e r , m o r e m e a s u r e m e n t s r e q u i r e

m o r e e x p e r i m e n t a l a n d c o m p u t a t i o n a l e f f o r t , w h i c h m a y n o t b e d e s i r a b l e o r p r a c t i c a l .

F o r a l l s a m p l i n g a c t i v i ti e s , t h e r e q u i r e m e n t o f a s u f fi c i e n t n u m b e r o f s p e c i f ie d m e a s u r i n g

p o i n t s a n d i t s r e l a t i o n t o t i m e , c o s t a n d a c c u r a c y m u s t b e c o n s i d e r e d . I n t h e d i m e n s i o n a l

m e a s u r e m e n t o f w o r k p i e c e s , c o s t a n d t i m e c a n b e q u a n t if i ed i n t er m s o f s a m p l e n u m b e r s .

W o o e t a l [ 1 0 , 1 1 ] h a v e i n v e s t i g a t e d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e f o r

s u r f a c e s a m p l i n g . I n t h e i r n o v e l s t u d y , a c c u r a c y i s d e f i n e d a s t h e d i s c r e p a n c y o f a f i ni te

p o i n t s e t . T h e n , a s a m p l i n g s t r a t e g y b a s e d o n t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e i s u s e d t o d e t e r -

m i n e t h e n u m b e r o f d i s c r e te s a m p l e p o i n t s a n d t h e i r c o o r d i n a t e s f o r th e d i m e n s i o n a l

m e a s u r e m e n t o f m a c h i n e d f l a t o r c y l i n d r i c a l s u r f a c e f e a t u r e s . B y c o m p a r i n g t h e i r m e t h o d

w i t h u n i f o r m s a m p l i n g , a r e m a r k a b l e i m p r o v e m e n t h a s b e e n s h o w n , w i t h n e a r l y q u a d r a t i c

r e d u c t i o n i n t h e n u m b e r o f s a m p l e s w h i l e m a i n t a in i n g t h e s a m e l e v e l o f a c c u r a c y .

I n p r a c t i c e , a w o r k p i e c e u s u a l l y c o n s i s t s o f s e v e r a l g e o m e t r i c f e a t u r e s . O w i n g t o t h e

v a r i a t i o n s i n c h a r a c t e r i s t i c s o f g e o m e t r i c f e a t u r e s a n d m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s , d i f f e r e n t

f e a t u r e s u r f a c e s o n a w o r k p i e c e u s u a l l y h a v e d i f f e r e n t v a r i a ti o n s i n t h e i r d i m e n s i o n a l a c c u -

r a c y a n d s u r f a c e f in is h . T h e v a r i a t io n s m a y d i f f e r c o n s i d e r a b l y f r o m o n e s u r f a c e t o a n o t h er ,

e v e n t h o u g h t h e s u r f a c e s h a v e t h e s a m e f e a t u r e . M e a n w h i l e , t h e p u r p o s e o f s a m p l i n g

d e s i g n i s t o m a x i m i z e t h e a m o u n t o f in f o r m a t i o n f o r a g i v e n c o s t i n te r m s o f t i m e o r

s a m p l e s i z e . T h e r e f o r e , t h e v a r i a t i o n i n d i m e n s i o n a l a c c u r a c y a n d s u r f a c e f i n i s h s h o u l d

b e c o n s i d e r e d i n d e t e r m i n i n g t h e p r o p e r s a m p l i n g s i z e f o r e a c h g e o m e t r i c f e a t u r e g e n e r a t e d

b y v a r i o u s p r o c e s s e s w i t h v a r i o u s p r o d u c t i o n p a r a m e t e r s . H o w e v e r , t h e r e i s a l a c k o f

m e t h o d o l o g y th a t c a n b e u s e d t o d e r i v e t h e s a m p l i n g s t r a t e g y f o r m u l t i p l e f e a t u r e s u r f a c e s

w i t h m u l t i p l e v a r i a n c e s i n f e a t u r e s i z e , d i m e n s i o n a l a c c u r a c y a n d s u r f a c e f i n i s h .

I n t h i s p a p e r , e x t e n d e d s a m p l i n g s t r a t e g y b a s e d o n t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e i s f i r s t

d e r i v e d t o l o c a t e s a m p l i n g p o i n t s o n v a r i o u s g e o m e t r i c f e a t u r e s s u c h a s c i r c u l a r , c o n e ,

c y l i n d r i c al , r e c t a n g u l a r a n d s p h e r i c a l s u r f a c e f e a t u r es . S i n c e e a c h f e a t u r e s u r f a c e w i l l h a v e

i t s o w n g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s , d i f f e r e n t f e a t u r e s u r f a c e s o n a w o r k p i e c e c a n b e c l a s s i -

f i e d a s t h e n a t u r al s tr at a. T h e r e f o r e , a f e a t u r e - b a s e d m e t h o d o l o g y w h i c h i n t e g r a t es b o t h

H a m m e r s l e y s e q u e n c e a l g o r i t h m a n d s t r a t i f i e d s a m p l i n g m e t h o d i s d e v e l o p e d f o r s a m p l i n g

s t r a t e g y d e s i g n f o r a w o r k p i e c e w i t h m u l t i p l e g e o m e t r i c f e a t u r e s . T o a v o i d c a p t u r i n g t h e

s y s t e m a t i c e r r o r o f t h e m e a s u r e m e n t , t h e c o n c e p t o f r a n d o m i z i n g t h e i n i t i a l p o i n t o f t h e

H a m m e r s l e y s e q u e n c e i s a l s o p r o p o s e d .

I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , t h e g e n e r i c s a m p l i n g s t r a t e g y u s i n g H a m m e r s l e y ' s a l g o r i t h m

d e r i v a t i o n i s f i r s t p r e s e n t e d . T h e n , a f e a t u r e - b a s e d s a m p l i n g s t r a t e g y d e s i g n m e t h o d o l o g y

f o r v a r i o u s g e o m e t r i c f e a t u r e s i s d e r i v e d , f o l l o w e d b y a n e x a m p l e t h a t d e m o n s t r a t e s t h e

a p p l i ca t io n o f t h e d e r i v e d m e t h o d o l o g y o n s a m p l i n g s t r a te g y d e s i g n f o r a w o r k p i e c e c o n -

s i s ti n g o f th r e e m a j o r g e o m e t r i c f e a t u re s . F i n a l ly , c a s e s t u d i e s a r e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e

e f f e c t iv e n e s s o f th e d e r i v e d a l g o ri th m b y c o m p a r i n g w i t h u n i f o r m s a m p l i n g a n d r a n d o m

s a m p l i n g m e t h o d s .


3/18

Sam pl ing s t rategy design 919

2 . S A M P L I N G S T R A T E G Y D E R IV A T I O N

I n th i s s e c t i o n , a b r i e f d i s c u s s i o n a b o u t t h e d e r i v a t i o n o f s a m p l i n g s t r a te g y u s i n g H a m -

m e r s l e y ' s s e q u e n c e i s f i rs t p r e s e n t e d . T h e n , f e a t u r e - b a s e d s a m p l i n g s t r a t e g y w i t h th e H a m -

m e r s l e y s e q u e n c e a r e d e r i v e d f o r v a r i o u s g e o m e t r i c f e a t u r e s .

2.1.

S a m p l i n g s t r a t e g y w i t h H a m m e r s l e y s a l g o r i t h m

I f w e se t 0 - - - s ; , t ; - 1 (o r one un i t i n a ny l e ng t h) , t he c oord i na t e s ( s ; , t ; ) o f a Ha mme rs l e y

p o i n t i n t w o - d i m e n s i o n s c a n b e s i m p l y d e t e r m i n e d a s

s; = i lN

k -

i

w h e r e i e I =

1 0 . . .. N - l } , N i s t h e t o ta l n u m b e r o f p o i n t s , k = [- io g 2N ~ i s t h e s m a l l e s t

i n t e ge r g re a t e r t ha n o r e qua l t o ( l og2N, a nd

[.i12JJ

i s t he g re a t e s t i n t e ge r l e s s t ha n o r e qua l

to (i/2~).

S u p p o s e t h a t N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s a r e u s e d f o r sa m p l in g . T h e p r o c e d u r e f o r c o m -

p u t i n g t h e H a m m e r s l e y c o o r d i n a t e s i s a s f o l l o w s .

1 . D e t e r m i n e k : S i n c e N = 1 0 , s o k = [ l o g 2 1 0 ~ = 4 c a n b e c a l c u l a t e d b y u s i n g t h e c e i l in g

m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n .

2 . C o m p u t e s ;: A c c o r d i n g t o E q n ( 1 ) , t h e s ; c o o r d i n a t e s f o r t h e N = 1 0 p o i n ts a r e 0 / 1 0 ,

1 /1 0 , 2 / 1 0 . . . . . 9 / 1 0 .

3 . C o m p u t e t ;: A c c o r d i n g t o E q n ( 1 ), t h e t~ c o o r d i n a t e s f o r th e N = 1 0 p o i n t s c a n b e c a l c u -

l a t e d a s 0 /16 , 8 /16 , 4 /16 , 12 /16 , 2 /16 , 10116 , 6 /16 , 14116 , 1 /16 a nd 9 /16 by us i n g t he

f l o o r m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n .

T h e N = l 0 H a m m e r s l e y p o i n t s f o r a r e c t a n g u l a r s u r f a c e f e a tu r e a r e s h o w n i n F i g . I .

2.2.

S a m p l in g s t ra t e g y f o r v a r io u s g e o m e t r ic fe a t u r e s

I n t h i s s e c t i o n , a f e a t u r e - b a s e d s a m p l i n g s t r a t e g y w i t h t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e i s

d e r i v e d f o r v a r i o u s g e o m e t r i c f e a t u r e s . T h e b a s i c g e o m e t r i c f e a t u r e s t h a t a r e c o m m o n l y

u s e d i n c o m p u t e r - a i d e d d e s i g n ( C A D ) a r e l i n e a r , q u a d r a t i c , c u b i c a n d h i g h e r - d e g r e e .

E x a m p l e s o f l i n e a r g e o m e t r y a r e l i n es a n d p l a n e s , a n d e x a m p l e s o f q u a d r a t i c g e o m e t r y

a r e c y l i n d e r s , c o n e s a n d s p h e r e s . W h e n t h e g e o m e t r y i s c u b i c o r h i g h e r , t h e r e a r e f e w

f a m i l i a r s h a p e s , w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f a to m s w h i c h c a n b e u s e d t o b l e n d s u r f a c e s

a s f i l l e t s . T he se h i gh-de gre e su r fa c e s a re de f i ne d a s f r e e - fo rm sur fa c e s . Ge ne ra l l y , ba s i c

s u r f a c e f e a t u r e s o f i d e al g e o m e t r y i n c l u d e ( p a r t o f ) c i r c le s , r e c ta n g l e s , c o n e s a n d s p h e r e s.

1 0

0 8

0 6

Y

0 . 4

0 . 2

q

I )

0 . 0 I L l

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

X

Fig. I . Dis t r ibut ion of 10 Hammersley points .


4/18

9 2 0 G . L e e et a

T h e r e f o r e , i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , t h e s a m p l i n g s t r a t e g y w i t h s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t s

f o r c ir c u l a r , c o n i c a l a n d s p h e r i c a l t y p e s o f s u r f a c e f e a t u r e s a r e d e r i v e d .

2 .2 .1 .

Circu lar fea tu re sur faces .

T h e r e a r e t w o w a y s t o s e l e c t s p e c i f i e d m e a s u r i n g

p o i n t s f o r e a c h s u r f a c e f e a t u r e . T h e y a r e c e n t r a l p o i n t s p e c i f i e d s a m p l i n g a n d e d g e p o i n t

s p e c i f i e d s a m p l i n g . C e n t r a l p o i n t s p e c i f i e d s a m p l i n g c a n b e a p p l i e d f o r a w o r k p i e c e w i t h

n o n - u n i f o r m s u r f a c e f i n i s h , e s p e c i a l l y w i t h a r o u g h e d g e d u e t o th e e x i s t e n c e o f b u r r s .

I n t h i s c a s e , s e l e c t i n g a s p e c i f i e d s a m p l i n g p o i n t a r o u n d o r n e a r t h e e d g e s h o u l d b e a v o i d e d .

O n t h e o t h e r h an d , e d g e p o i n t s p e c i f i e d s a m p l i n g c a n b e a p p l i e d f o r a w o r k p i e c e w i t h a

u n i f o r m s u r f a c e f i n i s h .

2 . 2 . 1 . 1 .

C a s e

1:

cen tra l po in t spec i f ied sampl ing .

F o r a r e c t a n g u l a r s u r f a c e s a m p l i n g ,

t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e c a n b e p r e s e n t e d i n E u c l i d e a n c o o r d i n a t e s (s ~, t~) d i r e c t l y . H o w -

e v e r , w h e n s a m p l i n g o n c i r cu l a r, c o n i c a l a n d s p h e r i c a l t y p e s o f s u r f a c e f e a tu r e s , t h e H a m -

m e r s l e y s e q u e n c e n e e d s t o b e p r e s e n t e d i n p o l a r c o o r d i n a t e s

(s / , t i )p

= ( r ad i u s , d eg ree ) p

b e f o r e m a p p i n g t o E u c l i d e a n c o o r d i n a t e s. F o r th e p u r p o s e o f e a s y d i sc r i m i n a ti o n , p o l a r

c o o r d i n a t e s a r e d e n o t e d a s s / a n d t , . ' , o r b y a n e x t r a s u b s c r i p t p o u t s i d e i t s p a r e n t h e s i s ,

i .e . ( s / , t / ) p = ( r a d i u s , d e g r e e ) p . I f a s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t i s s e l e c t e d a t t h e c e n t r a l

p o i n t ( 0 , O )p o f a c ir c u l a r f e a t u r e s u r f a c e , t h e c o o r d i n a t e s o f a H a m m e r s l e y p o i n t c a n b e

p r e s e n t e d i n th e p o l a r c o o r d i n a t e s ( s / , t i' )p = ( r a d iu s , d e g r e e ) p a n d d e t e r m i n e d a s :

s , ' ~ 2 x R

t / = s ~ x 36 0 .

(2)

T h e r e a s o n i s t h a t t h e a r e a o f a c i r c u l a r s u r f a c e i s p r o p o r t i o n e d t o th e s q u a r e o f i ts

rad ius , i . e .

AocR2.

W h e n w e w a n t t o l o c a t e t h e N H a m m e r s l e y p o i n t s f o r a c i r c le w i t h

r a d i u s R , w e m a y a c t u a l l y g e n e r a t e 2 k c o n c e n t r i c c i r c l e s w i t h r a d i i a s ~ R , ~ R

. . . . . a n d R , r e s p e c t i v e l y . T h e n w e d i v i d e t h e c i r c l e s i n t o N s e c t i o n s a s

3601N.

S o e a c h

s / i s l o ca t ed o n t h e ( ti x2k)t h c i r c l e ( w i t h r ad i u s =

~hix2kl2kR = ~ R)

b y a d i r e c t i o n f r o m

t h e c e n t r a l p o i n t t o it s e d g e p o i n t . T h e c o n c e p t o f f i n d in g N x N u n i f o r m s a m p l e p o i n t s i s

t o d i v i d e t h e w h o l e c i r c u l a r s u r f a c e i n t o N x N s a m e - s i z e s u b - a r e a s b y u s i n g E q u a t i o n ( 2 ) .

S u p p o s e t h a t N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s a r e u s e d f o r sa m p l i n g o n a c i rc u l a r s u r fa c e , f o r

c o m p u t i n g t h e H a m m e r s l e y c o o r d i n a t e s , t h e p r e c e d i n g p r o c e d u r e n e e d s t o b e a d j u s te d a s:

( 1 ) - ( 3 ) a r e a s t h e s a m e a s i n S e c t i o n 2 . 1 .

( 4 ) C o m p u t e s / : F o l l o w i n g E q n ( 2 ) , f o r in s t a n c e , f o r i = 1 a n d t l

=

8/ 1 6 ,

s~

= 0 . 7 07 R .

Fo r i = 7 an d t7 = 1 4/16, s7 = 0 .93 5R.

( 5 ) C o m p u t e t / : F o l l o w i n g E q n ( 2 ), f o r i n s t a n c e , f o r i = 1 a n d s~ = 1 / 1 0 , q ' = 3 6 . F o r

i = 7 an d s7 = 7 /10 , t7 ' = 252 .

T h e N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s f o r a c i r c u la r s u r f a c e a r e s h o w n i n F i g. 2 . T h e 1 0 0

u n i fo rm s ~,._~.p le s can a l s o b e i l l u s t r a t ed . F i r s t , w e can gen e ra t e 1 0 co n cen t r i c c i r c l e s w i t h

r a d i i a s ' I / I O R , ~ x/~ -~ R . . . . . a n d R , r e s p e c t i v e l y . T h e n w e c a n d i v i d e t h e c i r c l e s b y r a d i i

i n e a c h 3 6 0 / 1 0 = 3 6 . T h e l O x l O g r i d i s t o b e i n t e r p r e t e d a s t h e l o c a t i o n s f o r t h e 1 0 0

u n i f o r m s a m p l e s .

2 .2 .1 .2 .

C a s e

2:

e d g e p o in t s p e c if i ed s a m p l in g

I f a s p e c i f ie d m e a s u r i n g p o i n t i s s e l e c t e d

o n a n e d g e p o i n t , i .e . ( R , 0 )p s h o w n o n F i g . 3 , o f a c ir c u l a r s u r f a c e f e a t u r e , t h e s p e c i f i e d

m e a s u r i n g p o i n t i s m o v e d f r o m t h e c i r c l e ' s c e n t r a l p o i n t ( 0 , 0 )p to i ts e d g e p o i n t ( R , O )p .

W e n o w n e e d t o l o c a t e e a c h s / f o l l o w i n g a r e v e r s e d i r e c t i o n w h e n c o m p a r e d w i t h

C a s e 1 . T h a t i s , e a c h s / i s l o c a t e d o n t h e ( t ~ x 2 * ) t h c i r c l e ( w i t h r a d i u s =

~/ (1-- t~)*2kl2*R = ~(1-- t i )

R )

c o u n t e d f r o m t h e o u t s i d e c i r c l e t o th e i n s i d e c i r c l e o f t h e 2*

c o n c e n t r i c c i r c le s g e n e ra t e d . U s i n g t h e s a m e c o n c e p t m e n t i o n e d a b o v e , t h e c o o r d i n a t e s o f

a H a m m e r s l e y p o i n t i n E q u a t i o n ( 2 ) c a n t he n b e d e t e r m i n e d a s :

s / = ( 1 ti) 12xR

ti

= s i 3 6 0 .

(3)


5/18

Sam pling s t ra tegy des ign 921

1

7 2 ~

252 288

Fig . 2 . Dis tr ibu t ion o f I0 Ha mm ers ley po in ts on a c i rc le su rface (centra l po in t . sampling) .

Y

Ji

I S x = ( R 2 - y 2 ) l~

R , O ) ~X

Fig . 3 . An edge po in t and a su rface be tween d2--d , .

S u p p o s e t h a t N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s a r e u s e d f o r s a m p l in g o n a c i rc u l a r su r f a c e

a g a in . F o r c o m p u t i n g t h e H a m m e r s l e y c o o r d i n a t e s, i n th i s c a se , t h e p r e c e d i n g p r o c e d u r e

i s a d j u s t e d a s :

( 1 ) - ( 3 ) a r e a s t h e s a m e a s i n S e c t i o n 2 . 1 .

( 4 ) C o m p u t e s / : F o l l o w i n g E q n ( 3 ), f o r i n s t a n c e , f o r i = 1 a n d h = 8 /1 6 , s~ ' = 0 .7 0 7 R .

F o r i = 7 a n d tT = 1 4 /1 6 , s T ' = 0 . 3 5 4 R .

( 5 ) C o m p u t e t / : F o l l o w i n g E q n ( 3 ) , f o r i n s ta n c e , f o r i = 1 a n d s , = 1 /1 0 , h ' = 3 6 . F o r

i = 7 an d ST = 7 / 10 , tT ' = 25 2 .

T h e N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s f o r a c ir c u l a r s u r f a c e w i t h a s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t

o n i t s e d g e a r e s h o w n i n F i g . 4 . T h e 1 0 0 u n i f o r m s a m p l i n g p o i n t s a r e t h e s a m e a s t h o s e

i n C a s e 1 .

2 . 2 . 2 .

Conical featu re surfaces

T h e m e t h o d f o r c a lc u l a ti n g t h e c o o r d in a t e s o f a H a m -

m e r s l e y p o i n t o n a c o n i c a l f e a t u r e s u r f a c e i s t o t a l l y th e _.s a~ n e a s t h a t o n a c i r c u l a r s u r f a c e .

2 2

h e a r e a o f a c o n i c a l s u r f a c e i s e q u a l t o A = n 'R ; ~ ~ + h , w h e r e R i s th e r a d i u s o f t h e

c o n e ' s b a s e , a n d h i s t h e h e i g h t o f t h e c o n e . S e t h = c x R ( c i s a c o n s t a n t ) , th e n

A = w R 2x ~ + c 2 , w h i c h m e a n s t h e s u r f a c e o f a c o n e i s p r o p o r t i o n e d t o t h e s q u a r e o f i ts

r a d i u s o f b a s e . I f w e p r o j e c t a c o n e f r o m i ts a p e x t o i ts b a s e c i r c l e , r e f e r r i n g t o F ig . 5 , i t

i s t h e c i r c l e w i th t h e a p e x i n i ts c e n t e r . N o w , i f w e w a n t a s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t o n


6/18

922 G. Lee

e t a l .

180

~ 3 6

252 288

Fig. 4. Distribution of 10 Ham mersley points on a circle surface ( ed ge point sam pling).

~ ( 0 , 0 , 0 ) ~

(s~',~',-hs/)p .........

R,0.-h)p

(R&',-h)p

Fig. 5. The p rojection between a con e and i ts ba se circle.

t h e c o n e ' s a p e x , a f t e r p r o j e c t i o n i t is l i k e C a s e 1 i n S e c t i o n 2 . 2 . 1 . I f w e w a n t a s p e c i f i e d

m e a s u r i n g p o i n t o n t h e e d g e o f t h e c o n e ' s b a s e c i r c le , a f t e r p r o j e c t io n i t i s li k e C a s e 2

i n S e c t i o n 2 . 2. 1 . W e o n l y n e e d t o r e c o v e r t h e p r o je c t i o n o f a p o i n t o n t h e b o t t o m c i r c l e

t o t h e r e a l c o n e s u r f a c e . H o w e v e r , a s a c o n e i s a t h r e e - d i m e n s i o n a l f e a t u r e , w e n e e d t o

a d j u s t t h e p o l a r c o o r d i n a t e s i n t o ( s / ,

t i , W i ) p =

( r a d i u s , d e g r e e , h e i g h t ) p w h e r e

O


7/18

Sam pl ing s t rategy desig n 923

s / =

(1

-ti)lt2xR

t i ' = SiX3600

W i f ~ - - s / X h . 5 )

T h e N = 1 0 p r o j e c t e d H a m m e r s l e y p o i n t s a n d t h e 1 0 0 u n i f o r m s a m p l i n g p o i n t s o f a

c o n i c a l s u r f a c e m a y r e f e r t o C a s e 2 i n S e c t i o n 2 . 2 . 1 .

2 .2 .3 .

Hemispherical eature surfaces.

A s p h e r e s u r f a c e c a n b e r e g a r d e d a s t w o h e m i -

s p h e r i c a l s u r f a c e s. T h e m e t h o d f o r c a lc u l a t in g t h e c o o r d i n a t e s o f a H a m m e r s l e y p o i n t o n

a h e m i s p h e r i c a l s u r f a c e i s s im i l a r t o a c o n i c a l s u r f a c e . T h e a r e a o f a h e m i s p h e r i c a l s u r f a c e

i s e q u a l t o A = 2 ~ ' R 2, w h e r e R i s t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e . L e t u s c o n s i d e r a s p h e r e o f

r a d i u s R c e n t e r e d a t t h e o r i g i n a t f i r s t . A n y s u r f a c e a r e a S w h i c h l i e s b e t w e e n t w o p a r a l l e l

p l a n e s a t d i s t a n c e s d ~ a n d d 2 f r o m t h e c e n t e r , a s s h o w n i n F ig . 3 , i s S =

2*rR d2-dt),

where O


8/18

9 2 4 G . L e e e t a l .

d i r e c t io n w h e n c o m p a r e d t o C a s e 1, t he c o o r d i n a t e s o f th e H a m m e r s l e y p o i n t c a n t h e n

b e d e t e r m i n e d a s

s i = ~ / R Z - ( - R - w , ) 2 = \ /:-~ -~ ix R

t i

= S I X 3 6 0

Wi t ~ ( t i - 1 ) x R . ( 7 )

T h r e e p o i n t s o f th e N = 1 0 H a m m e r s l e y p o i n t s a r e s h o w n i n F ig . 7 . F o r i n s ta n c e , a t

i = I o r s j = 1 /1 0 , f i ' = 3 6 0 /1 0 = 3 6 , w ~ ' = - 8 /1 6 , a n d s ~ ' = 0 . 8 6 6 . A t i = 6 o r s 6 = 6 /1 0 ,

/6 ' ----3 6 0 x 6 / 1 0 = 2 1 6 , w 6 ' = - 1 0 / 1 6 , a n d s 6 ' = 0 . 9 2 7 . T h e 1 0 0 u n i f o r m s a m p l i n g p o i n t s

o f a h e m i s p h e r i c a l s u r f a c e c a n b e l o c a t e d b y t h e s a m e c o n c e p t m e n t i o n e d i n C a s e 2 i n

S e c t i o n 2 . 2. 1 .

3 . A P P L I C A T I O N S O F H A M M E R S L E Y S A L G O R I T H M F O R A W O R K P I E C E

I n t hi s s e c ti o n , a n e x a m p l e i s p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a ti o n o f H a m m e r s l e y ' s

a l g o r i t h m i n d e r i v i n g t h e s a m p l i n g s t r a t e g y f o r a t e s t p a r t [ 6 ] s h o w n i n F ig . 8 . O n e q u e s t i o n

w e a r e f a c i n g h e r e i s t o d e t e r m i n e h o w t h e p a r t s h o u l d b e m e a s u r e d i n o r d e r t o g e t t h e

n e c e s s a r y i n f o r m a t i o n f o r d i m e n s i o n a n a l y s is . T o a v o i d t h e b u r r e f f e c t a n d t o e n s u r e t h a t

W '

(~,al.w,)

o , o . o )

( s , . t , . w , ) = ( , Jl - ( - ] + 8 / 1 6 ) 2R.36 . -aR / 16 )

.......... . s~ 6 ......}.

a

216

F i g . 7 . A n e x a m p l e o f H a m m e r s l e y p o i n t s o n a h e m i s p h e r e s u r f a c e (e d g e p o i n t s a m p l i n g ).

S u r f a c e A r e a s :

A, = 14784.2 mm=; A 2 = 1 6894 .6 mm2; A 3 = 20071 .2 mm =;

A , = 2000 .8 ram2; A~ = 1819 .4 ram2; A6 = 912 0 .7 ram2;

A1 A2 A3 A4

Z e r o

Side View

A 5 A 6

Y

_x

Z

F i g . 8 . T h e s u r f a c e a r e a s a n d s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t s .


9/18

Sampling strategy design 925

t h e p r o b e s t y lu s h a s e n o u g h c l e a r a n c e t o m a k e a g o o d m e a s u r e m e n t , a c u s h io n z o n e w a s

s e t a p p r o x im a t e l y 2 - 5 m m a w a y f r o m t h e p o i n t w h e r e t w o f e a t u re s i n t er s ec t . B a s e d o n

t h e d i m e n s i o n o f t h e a d j u s te d p r o b i n g r e g io n , t h e n u m b e r o f p r o b i n g p o i n t s w a s d e t e r m i n e d

t o m a k e t h e d i s t a n c e b e t w e e n e a c h p r o b i n g p o i n t a p p r o x i m a t e l y 5 m m .

C o n s i d e r i n g a m a n u f a c t u r e d w o r k p i e c e , n o m a t t e r w h a t p r o c e s s w a s c a r ri e d o u t o r w h a t

m a c h i n e w a s u s e d , w e c a n u s u a l l y f i n d t h a t t h e v a r i a t i o n i s a l i k e w i t h i n e a c h f e a t u r e .

H o w e v e r , d i f f e r e n t f e a t u r e s u s u a l l y h a v e d i f f e r e n t v a r ia t i o n s i n th e i r d i m e n s i o n a l a c c u r a c y

a n d s u r f a c e f i n i s h i n g . T h e v a r i a t i o n s m a y d i f f e r c o n s i d e r a b l y f r o m o n e s u r f a c e t o another,

e v e n t h o u g h t h e s u r f a c e s h a v e t h e s a m e f e a t u re . A p u r p o s e o f s a m p l i n g d e s i g n i s t o m a x im -

i z e t h e a m o u n t o f i n f o r m a t i o n f o r g i v e n c o s t ( o r t i m e , o r s a m p l e s i z e ) . T o d e a l w i t h t h e s e

p e c u l i a r i t i e s , a s t r a t i f i e d s a m p l i n g i s t h e n c h o s e n i n c o o r d i n a t i o n w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f

H a m m e r s l e y ' s a l g o r i t h m .

S t r a t i f i e d s a m p l i n g i s a p o w e r f u l a n d f l e x i b l e m e t h o d w h i c h i s w i d e l y u s e d i n p r a c t i c e .

I n s t r a t i f i e d s a m p l i n g , s u p p o s e J i s t h e n u m b e r o f s t r a t a , N j i s t h e n u m b e r o f s a m p l i n g

s t r a t u m j , N i s t h e n u m b e r o f s a m p l i n g u n i t s i n t h e p o p u l a t i o n , w h e r e N = N I + N 2 + . .. + N j .

T o o b t a i n t h e fu l l b e n e f i t f r o m s t r at i fi c a ti o n , t h e v a l u e s o f N m u s t b e k n o w n . W h e n t h e

s t r a t a h a v e b e e n d e t e r m i n e d , a s a m p l e s e t i s d r a w n f r o m e a c h s t r a t u m , t h e d r a w i n g s b e i n g

m a d e i n d e p e n d e n t l y i n d i f f e r e n t s t r a t a . T h e s a m p l e s i z e s w i t h i n t h e s t r a t a a r e d e n o t e d b y

n t , n 2 . . . . n , r e s p e c ti v e l y , w h e r e nl n2 . . . nj = n, and n i s t he t o t a l s a mpl e s i z e . F or

s a m p l i n g o n t h e t e s t p a r t , t h e s u r f a c e a r e a o f e a c h f e a t u r e o n t h e t e s t p a r t i s c l a s s i f i e d a s

a n i n d i v i d u a l s t r a t u m t h a t m a k e s J = 6 a s s h o w n i n F i g . 8. W e m a y t h e n a s s u m e t h a t t h e

c o s t s p e r o b s e r v a t i o n a r e e q u a l . S u p p o s e t h e t o t a l s a m p l e s i z e n = 6 0 i s d e c i d e d a n d , a f t e r

a p i v o t s t u d y , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s a r e a p p r o x i m a t e l y k n o w n a s

~,m:c,2 :c r3:~,4:crs :c r6 = 1:1.2 :1:1 .1:1 .1:1 .8 . I f the nu m be r o f sam pl in g u ni t s (N ) in ea ch fea t ure

( s t r a tu m j ) i s p r o p o r t i o n a l t o i t s a r e a s i z e (A j ) , w e c a n u s i n g N e y m a n a l l o c a t i o n f o r a n

o p t i m a l s a m p l e a l l o c a t i o n [ 9 ]. T h e s a m p l e s i z e o f s t r a tu m j c a n t h e n b e d e t e r m i n e d a s

n ~ = n

8 )

U s i n g E q u a t i o n ( 8 ) , w e c a n g e t n l = 1 2 , n 2 = 1 6 , n 3 = 1 6 , n 4 = 2 , n 5 = 2 , a n d n 6 = 1 2 .

T h e c o o r d i n a t e s o f t h e H a m m e r s l e y p o i n t s b a s e d o n t h e p a r t z er o a n d s p e c i a l m e a s u r in g

p o i n t s a r e d e t e r m i n e d a n d l i s t e d i n T a b l e 1 .

4. SIMULATION ANALYSIS OF VARIOUS SAMPLING METHODS

I n t h i s s e c t i o n , t h e t e s t p a r t s h o w n i n F i g . 8 i s u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e e f f e c t i v e n e s s

o f t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e s a m p l i n g m e t h o d . T h e t e s t p a r t i s m a c h i n e d o n a t w o - a x i s

t u r n i n g c e n t r e . T h e t o t a l d e v i a t i o n s o n e a c h f e a t u r e a r e i n f l u e n c e d b y f o l l o w i n g t w o f a c to r s :

( a ) d e v i a t i o n s d u e t o t h e p o s i t i o n i n g e r r o r o f t h e t u r n i n g c e n t e r , a n d ( b ) s u r f a c e r o u g h n e s s

resulting

f r o m d i f f e r e n t f i n i s h i n g p r o c e s s e s .

S u p p o s e i n t h e i n s p e c t i o n p r o c e s s , t h e p r o b e i s m o v e d a l o n g t h e n o r m a l d i r e c t i o n o f

a n y n o m i n a l p o i n t o n t h e f e a t u r e s u r f a c e . T h e d e v i a t i o n o n b o t h x - a n d y - a x e s t h e n c a n

b e m e a s u r e d . F o r e a s e o f c o m p a r i s o n , t h e s i m u l a t i o n s t u d y i s s i m p l i f ie d w i t h t h e f o l l o w i n g

t w o s t e p s : ( 1 ) c h o o s i n g t h e d e v i a t i o n i n a s i n g l e a x is f o r e r r o r c a l c u l a t io n a n d c o m p a r i s o n ,

( 2 ) n o r m a l i z i n g t h e r a d i u s o f a n y c i r c l e p e r p e n d i c u l a r t o t h e x - a x i s o n t h e t e s t p a r t t o a

c o n s t a n t R . I n t h i s w a y , w e c a n r e d u c e a t h r e e - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n c o o r d i n a t e ( x , y , z )

i n t o a t w o - d i m e n s i o n a l p o l a r c o o r d i n a t e ( x, d e gr e e )p , t h u s r a d i u s R c a n b e n e g l e c t e d . H e r e ,

t h e d e g r e e c o o r d i n a t e c a n b e v a r i e d f r o m 0 t o 3 6 0 . F o r e x a m p l e , t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l

E u c l i d e a n c o o r d i n a t e s ( x, 0 , R ) , ( x, R , 0 ), (x , 0 , - R ) , a n d ( x , - R , 0 ) w i l l b e t h e t w o -

d i m e ns i o na l po l a r c oo rd i n a t e s (x , 0 )v , (x , 90)p , (x, 180)p , a nd (x, 270)p , r e spe c t i v e l y .


10/18

926

l

s

[-

2o

g4

2 _

G ~ e e t a l

~ I I I I I [ ~ ~

- ~ ~ T ~

~ T ~

W I I I I

~ - ~ ~ ~ - ~

t~

~

~ m

~ I ~

~ T T

~ r

~ -

~ I I ~ I I I I ~

I ~ ~

~ t t r

~ ~ M ' ~

_ ~ ~ - N

~ - ~ ~ ~

~ t l l t I


11/18

S a m p l i n g s t r at e g y d e s i g n 9 2 7

4 .1 . Model ing

I n t h e f i r s t p o r t i o n o f t h e t o t a l d e v i a t i o n m o d e l , p o l y n o m i a l f u n c t i o n s a r e u s e d t o r e p -

r e s e n t t h e d e v i a t i o n s b e t w e e n t h e n o m i n a l a n d a c t u a l d i m e n s i o n s o n b o t h t h e x - a n d y -

a x e s. T h e g e n e r a l iz e d p o l y n o m i a l fu n c t i o n o n t h e y -a x i s ca n b e s h o w n a s

Ay = ao + ~ ai x~

i = 1

(9 )

w he re O


12/18

928 G. Lee e t a l

a n d s u r f a c e r o u g h n e s s f o r a c y l i n d r i c a l , c o n i c a l a n d h e m i s p h e r i c a l f e a t u r e s u r f a c e s a r e

s h o w n i n F i g s 9 - 1 4 .

A n u m e r i c a l a n a l y s i s i s f i r s t c o n d u c t e d t o i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f s a m p l i n g s i z e

r e d u c t i o n v e r s u s i n s p e c t i o n a c c u r a c y . T h e s i m u l a t i o n p r o c e d u r e f o r e a c h s a m p l i n g s c h e m e

f o r v a r i o u s f e a t u r e s u r f a c e s i s a s f o l l o w s .

1 . G e n e r a t e 4 0 0 0 p o i n t s f o r e a c h t e s t c a s e ( e n o u g h t o b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r

e a c h p o p u l a t i o n ) .

-I

r ~

.d

100

Fig. 9. The combin ed effects o f dimensional deviation and surface roughness for j = 2 and r = 1.

I 0

15

-20

r~-25

30

3J

I0

Fig. 10. The combi ned effects of dimensional deviation and surface roughnes s fo rj = 2 and r = 2.

0

~v /I .

O

Fig. 1 I. The comb ined effects of dimension al deviation and surface roughne ss for j = 3 and r = I.


13/18

S a m p l i n g s t r at e g y d e s i g n 9 2 9

lID

~

I0

~ v

A

F i g . 1 2. T h e c o m b i n e d e f f e c t s o f d i m e n s i o n a l d e v i a t i o n a n d s u r f a c e r o u g h n e s s f o r j = 3 a n d r = 2.

4O

8 0

-IGO

-120 i

100

8O

6O

D e g r e e

O

2O

4 0

20

80

F i g . 1 3 . T h e c o m b i n e d e f f e c t s o f d i m e n s i o n a l d e v i a t i o n a n d s u r f a c e r o u g h n e s s f o r j = 6 a n d = 1 .

0

-20

-40

.410

- I 0 0

-120

10

00

F i g . 14 . T h e c o m b i n e d e f f e c t s o f d i m e n s i o n a l d e v i at i o n a n d s u r f a c e r o u g h n e s s f o r j = 6 a n d r = 2 .

2. Determine the average deviation of each case, a v e r , . , from each 40 000-point set. Here

j = 2 , 3, and 6; r= 1 and2.

3. Select a sample of size n from each set (using the Hammersley sequence (s = 1), uni-

form (s = 2), and random (s = 3) sampling schemes). Determine the average deviation

of each scheme for each case, a v e r .

4. Conduct 1130 simulations for each sample size of the schemes and cases.

n

5. Calculate each root mean square error (RMSE, ~

a v e j ~ , k - a v e i , ) 2 1 n ) .

k = l

Uniform sampling is a systematic sampling and very sensitive to periodic variation. On

the other hand, random sampling can be used to avoid the periodic variation. In fact, the


14/18

9 3 0 G . L e e e t a l .

H a m m e r s l e y s e q u e n c e i s a l s o a s y s t e m a t i c d i s t r i b u t i o n m e t h o d . H o w e v e r , r a n d o m i z i n g t h e

i n i t i a l p o i n t o f t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e c a n d e c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f c a p t u r i n g t h e

s y s t e m a t i c e r r o r o f t h e m e a s u r e m e n t . I n F i g . 1 , f o r e x a m p l e , i f t w o r a n d o m n u m b e r s , s b ~

a n d t ~ e , a r e ra n d o m l y g e n e r a te d b e t w e e n 0 a n d 1 , w e m a y a d d t h e m t o a ll H a m m e r s l e y

p o i n t s a n d r e w r i t e E q n ( 1 ) a s

s i = i / N +

sba .~)Mod I

( E ( [ k - l i ] ) + / b a s e )

F or e xa m pl e , i f s ,,.~e =0 . 3 a nd t h , s e =0 . 5 , F i g . 1 c a n b e r e d ra w n a s F i g . 15 . T h i s r a n -

d o m i z i n g t h e i n it ia l p o i n t c o n c e p t i s u s e d in c o n d u c t i n g t h e 1 0 3 s i m u l a t i o n s f o r e a c h

s a m p l e s i z e o f t h e c a s e s i n b o t h t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e a n d u n i f o r m s a m p l i n g .

T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e s 3 - 8 . W i t h a n a p p r o x i m a t e l y q u a d r a t i c

' i

y 1 0

0 8

0 6

0 4

0 2

0 0

/

X

0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0

Fig. 15. Distribution of 10 Ham me rsle y points w ith rando miz ed initia l poin t (0.3, 0 .5).

T a b le 3 . R M S E o n c o n e wi th W ie n e r s ur fa c e

H a mm e rs l e y s a mp l in g R a n d o m s a mp l in g U n i fo rm s a mpl in g

N u m b e r R M S E N u m b e r R M S E N u m b e r R M S E

16 0.4620471241 16 1.933421769 10x 10 5.932602449

32 0.2497262369 32 1.311631372 25x25 2.296780288

64 0.1294037751 64 0.968446653 5050 1.152211429

Table 4 . RM SE on con e with iso trop ic su rface

Ham mers le y sampling Random sampling Unifo rm sampling


16 0/,A ,A .~5 266 25 16 1.797638606 10 I 0 5.946469553

32 0 .2626241983 32 1 .552758127 2 5 X 2 5 2 .320584465

64 0.1315732393 64 0.863447047 50X50 I. 169803527

Table 5 . RM SE on cy l inder with Wiene r su rface

Ham mers ley sampling Random sampling Unifo rm sampling


16 0.243931 048 16 1.51796 2228 I 0 I 0 2.46002386 I

32 0.151289857 32 0.962986089 25x25 0.980834435

64 0.074316734 64 0.774851674 50x50 0.501778353


15/18

Sam pling st ra tegy des ign

T a b le 6 . R M S E o n c y l in d e r w i th i s o tro p ic s u r fa ce

931

H a m me rs l e y s a mp l in g R a n d o m s a mp l in g U n i fo rm s a mp l in g


16 0.279644122 16 1.459948224 I 0x 10 2.595360560

32 0.189541785 32 1.000248308 25x25 0.948390736

64 0.118686106 64 0.8069168 i 5 50x5 0 0.468465483

T a b le 7 . R M S E o n d o m e wi th W ie n e r s u rfa c e

H a mm e rs l e y s a mp l in g R a n d o m s a mp l in g U n i fo rm s a mp lin g


16 2.435916820 16 7.968789648 I 0x 10 8.733974494

32 1.260220549 32 6.791272078 25x25 3.131021366

64 0.640431553 64 4.424695353 5050 1.579389258

T a b le 8 . R M S E o n d o m e wi th i s o t ro p ic s u r fa c e

H a mm e rs l e y s a mp l in g R a n d o m s a mp l in g U n i fo rm s a mp lin g


16 2.43 i 185279 16 9.122127869 10 I 0 7.053909393

32 1.269619335 32 6.306564609 2525 3.035936685

64 0.687173554 64 4.287905451 50 /50 1.472940139

r e d u c t i o n i n t h e s a m p l e s i z e , t h e H a m m e r s l e y s a m p l i n g s t i ll p r o v i d e s m o r e a c c u r a t e r e s u lt s

t h a n t h e u n i f o r m s a m p l i n g i n a l l c a s e s . W i t h t h e s a m e s a m p l e s i z e a s H a m m e r s l e y s a m -

p l i n g , th e r a n d o m s a m p l i n g i s o f t h e s a m e o r d e r o f a c c u r a c y a s t h e u n i f o r m s a m p l i n g i n

a l l c as e s . T h e r e f o r e , t o t h e m u l t i p l e f e a t u r e s u r fa c e s o f t h e t e s t p a r t, w e c a n f u r t h e r c o n -

c l u d e t h a t t h e s t r a t if i e d H a m m e r s l e y s a m p l i n g i s m o r e r o b u s t t h a n t h e s t ra t if i e d r a n d o m

s a m p l i n g o r s t r a t i f i e d u n i f o r m s a m p l i n g w i t h t h e s a m e l e v e l o f a c c u r a c y s p e c i f i c a t i o n .

N e x t , a s e c o n d n u m e r i c a l a n a l y s i s i s c o n d u c t e d t o in v e s t i g a t e th e i s s u e o f e n h a n c i n g

t h e i n s p e c t i o n a c c u r a c y w i t h t h e s a m e s a m p l i n g s i z e . T h e s i m u l a t i o n p r o c e d u r e f o r e a c h

s a m p l i n g s c h e m e f o r v a r i o u s f e a t u r e s u r f a c e s i s a s f o l l o w s .

1 . G e n e r a t e 4 0 0 0 0 - p o i n t d e v i a t i o n s f o r e a c h t e s t c a s e ( e n o u g h t o b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n

f o r e a c h p o p u l a t io n ) . T h e n o m i n a l d e v i a t i o n o f e a c h p o i n t c a n b e d e n o t e d a s D ,a s,,

w h e r e

O < - x < - l j ,

0 - < d - 3 6 0 , j = 2 , 3 , a n d 6 , r = 1 a n d 2 .

2 . S e l e c t a s a m p l e o f s iz e n f r o m e a c h s e t ( u s i n g t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e ( s = 1 ) , u n i -

f o r m ( s = 2 ) , a n d r a n d o m ( s = 3 ) s a m p l i n g s c h e m e s ) . U s e t h e s e n p o i n t s t o f it t h e s u r f a c e

a n d g e n e r a t e a n e w 4 0 0 0 0 - p o i n t d e v i a t i o n s e t. T h e p r e d i c t e d d e v i a t i o n o f e a c h p o i n t

c a n b e d e n o t e d a

C ~ d j , s .

E a c h f i t t e d s u r f a c e i s a t f i r s t m o d e l e d a s

1 5 : ,a S r ~ = ~ o + ~ ,X ~ r ~ + ~ 2 d j , s + ~ 1 ~ + ~ z x j , ~ d j ,~ + / 3 2 2 d Z ,~ . ( 1 3 )

T h e b a c k w a r d e l i m i n a t i o n m e t h o d w a s t h e n u s e d t o s e l e c t th e s i g n i f ic a n t v a r i a b le s f o r

t h e f i n a l r e g r e s s i o n m o d e l .

3 . D e t e r m i n e t h e R M S E b e t w e e n t h e n o m i n a l d e v i at i o n a n d p r e d i ct e d d e v i at io n o f e a c h

s e t . T h e R M S E c a n b e c a l c u l a t e d a s

~ D ~ j r - CL~ j,.,. ~

d

it

R M S E ~ .~ . ; 4 O 0 0 0 1 4 )

~g 37:7 C


16/18

9 3 2 G . L e e e t a l

4 . C o n d u c t 3 0 s i m u l a t io n s f o r e a c h s a m p l e s i z e o f t h e s c h e m e s a n d c a s e s .

5 . C a l c u l a t e e a c h a v e r a g e o f t h o s e R M S E a s

3 0

R M S E s ~ ~= k - - i

30 15)

T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F ig s 1 6- -2 1. W i t h t h e s a m e s a m p l e s i z e , H a m -

m e r s l e y s a m p l i n g i s m o r e a c c u r a t e t h a n u n i f o r m s a m p l i n g a n d r a n d o m s a m p l i n g i n a l l

c a s e s . T h e r e f o r e , t o t h e m u l t i p l e f e a t u r e s u r f a c e s o f th e t e s t p a r t, w e c a n f u r t h e r c o n c l u d e

t h a t t h e s t r a t i f i e d H a m m e r s l e y s a m p l i n g i s n o t o n l y m o r e r o b u s t b u t a l s o m o r e e f f e c t i v e

t h a n t h e s t r a t i f i e d r a n d o m s a m p l i n g o r s t r a t i f i e d u n i f o r m s a m p l i n g w i t h e q u a l n u m b e r s o f

s a m p l i n g d a t a .

6

5 . 8

5 6

e e

5.4

5.2

r

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

S a m p l e S J z e

F i g . 1 6. R M S E o n c y l i n d e r w i t h i s o t r o p i c s u rf a c e .

6

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6

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0

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i

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

S a m p i e S i z e

F i g . 17 . R M S E o n c y l i n d e r w i t h W i e n e r s u rf a c e .

1 . 4 1

1 . 3 3

i 1 . 2 5n -

1 . 1 7

1 . 0 9

1 4 1

1 . 3 3

1 2 5

1 . 1 7

1 0 9

I

2 0

~ . . . o . . - . .

~

~ . ~ .

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I

4 6 8 1

S a m p l e S l z o

I . . . . U n l to r m

H a m m a r s l e y

. . . . . . . R a n d o m

L _ . _

F i g . 1 8 . R M S E o n c o n e w i t h i s o t r o p i c s u r f a c e .

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%

i J I I

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

8 a m p ie 8 1 z o

F i g . 1 9 . R M S E o n c o n e w i t h W i e n e r s u r f a c e .

F . . . U r ~ o r m

I - t r m ) r s i e y

. . . . . . . R a n d o m


17/18

Samp ling strategy design 933

6 . 8

6 . 5 ]

6 2 .

5 . 9

5 . 6

5 . 3

5 ,

- . . . . . . . . . . . .

I

2 4 6 8 1

S i m p l e 8 z e

Fig. 20. RM SE on do me with isotropic surface.

6 . 8

6 . 5

6 . 2

5 . 9

5 . 6

5 . 3

5

, , , , . 1 I . . . ~ '~*~t~'m

. . . . ~ ' \ . . . . . . . Pmndom

- . . % ~

l ' - - ' ~ - ' 7 -

20 44 60 80 100

9 a m p l e 6 1 z e

Fig. 21. RM SE on dome w ith Wiener surface.

5. CONCLUSIONS

I n th i s p a p e r , t h e H a m m e r s l e y s e q u e n c e a n d s t r a ti f ie d s a m p l i n g m e t h o d a r e u s e d t o

d e r i v e t h e f e a t u r e - b a s e d s a m p l i n g s t r a t e g y t o l o c a t e t h e s a m p l i n g p o i n t s o n v a r i o u s g e o -

m e t r i c f e a t u r e s u r f a c e s t h a t h a v e s p e c i f i e d m e a s u r i n g p o i n t s . H a m m e r s l e y s e q u e n c e

s a m p l e s , r a n d o m s a m p l e s a n d u n i f o r m s a m p l e s a r e c o m p a r e d i n d i f f e r e n t f e a t u r e s a n d

s u r f a ce r o u g h n e s s . T o a v o i d c a p t u r in g t h e s y s te m a t i c e r r o r o f th e m e a s u r e m e n t , t h e c o n c e p t

o f r a n d o m i z i n g t h e in i ti a l p o i n t i s p r o p o s e d . S i m u l a t i o n r e s u l ts s h o w t h a t t h e H a m m e r s l e y

s e q u e n c e h a s a n e a r l y q u a d ra t ic r e d u c t i o n i n t h e n u m b e r o f p o i n ts n e e d e d b y u n i f o r m

s a m p l i n g f o r th e s a m e l e v e l o f a c c u r a c y a s m e a s u r e d b y d i s c r e p a n c y . T h e H a m m e r s l e y

s e q u e n c e i s a l s o m o r e a c c u r a t e t h a n t h e r a n d o m s a m p l e s b a s e d o n t h e s a m e s a m p l e s i z e .

O w i n g t o t h e v a r i a t i o n s in c h a r a c t e r i s ti c s o f g e o m e t r i c f e a t u r e s a n d m a n u f a c t u r i n g p r o -

c e s s e s , d i f f e r e n t f e a t u r e s u r f a c e s o n a w o r k p i e c e a r e n a t u r a l l y t h e s t r a t a f o r s a m p l i n g

d e s i g n . A c c o r d i n g t o t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s , w e f o u n d t h a t t h e s t r a t i f i e d H a m m e r s l e y s a m -

p l i n g i s m o r e r o b u s t t h a n t h e s t r a t i f i e d r a n d o m s a m p l i n g a n d s t r a t i f i e d u n i f o r m s a m p l i n g .

T h e r e f o r e , th e d e s i g n o f s a m p l in g s t ra t e g y f o r th e w o r k p i e c e i s d e r i v e d b y u s i n g b o t h

t h e H a m m e r s l e y a l g o r i t h m a n d t h e s t r a t i f i e d s a m p l i n g m e t h o d . B y u s i n g t h e i n t e g r a t e d

m e t h o d o l o g y , t h e c o o r d i n a te s o f s a m p l in g p o i n t s a r e t h e n c a l c u l a t e d a n d r e a d y t o b e u s e d

i n d e v e l o p i n g t h e C M M p r o g r a m f o r d im e n s i o n a l m e a s u r e m e n t . T h e r e s u lt s s h o w t h a t t h e

d e s i g n o f s a m p l i n g s t r a t e g y is a c r i t ic a l a n d e f f e c t i v e m e t h o d o f a d v a n c i n g t h e t e c h n o l o g y

o f d i m e n s i o n a l m e a s u r e m e n t i n a c o m p u t e r - i n t e g r a te d m a n u f a c t u r i n g e n v i r o n m e n t .

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