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ESCUELA DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Msc. Daniel Zoto Introducción al cálculo

El conjunto de los números reales

Definición:

Un número real es cualquier número que se puede representarse en forma decimal.

Ejemplos:

1) -8=-8,0 2)12

=0,5 3) √3 =1,7 4)23

= 0,6̂ 5) 35

= 0,6

Subconjunto importante de los números reales

Números naturales o de conteo {1,2,3,….}

Los enteros {0,1,2,3}

Los racionales { ab

l son enteros y b≠0}

División para 0 tres casos:

1)Cualquier número

≠0: respuesta única

123

= 4 ≡ 4x3= 12

2)≠00

= no existe120

= t ≡ t x 0= 12 no existe

3)00

= inconclusa

Z+= N=

Z= enteros ={0

Q= racionales Z-=

R fraccionarios

Página 2


Q´= irracionales

Un número irracional en cambio, la forma decimal ni termina ni es periódico.

Ejemplo:

1. √2=1,4142…2. √3=1,73205… 3. π=3,14159…

4. e=2,718…

Observación.- Por computadora se han extraído 20 cifras decimales ni terminan, ni hay períodos que el ordenador pueda encontrar del número π.

Orden y notación de intervalos.- El conjunto de los números, reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar 2 números reales cualquiera.

Son desigualdades:

Símbolo Definición Se leea >b a -b positivo a es mayor que ba <b a -b negativo a es menor que ba ≥b a -b es positivo o “0” a es mayor o igual que ba ≤ b a - b es positivo o “0” a es menor o igual que b

Intervalos acotados de números reales:

Notación de Intervalo

Tipo de intervalo Notación de desigualdad

Gráfico

[a,b] Cerrado a ≤ x ≤ b

(a,b) Abierto a < x < b

[a,b) Semiabierto a ≤ x < b

(a,b] Semiabierto a < x ≤ b

a b

a

b

b

b

a

a

Página 3


Intervalos no acotados de números reales:

Notación de Intervalo

Tipo de intervalo Notación de desigualdad

Gráfico

[a,+∞) Semiabierto x ≥ a

(a,+∞) Abierto x > a

(-∞,b] Semiabierto x ≤ b

(-∞,b] Semiabierto x < b

Cada uno de estos intervalos tiene:

Recta numérica. Resulta asociar los puntos de una recta con los números reales, es un conjunto de punto.

Ejemplo Guía N°1

Describa en palabras y grafique los intervalos de números reales.

4) (-1;3) x es mayor que -1 y menor o igual que 3

7) (-2;4] -2< x ≤ 4

a

a

b

+

b

-

+

-

- +

Página 4


11) x ≤ -7 (-∞,-7] x es menos o igual que 7

14)

[-4;+∞)

x ≥ 4

Expresiones Algebraicas:

Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos:

1. 2 x3−x2−1

2.√x−1x2+1

3. 5 x13−−5

x2 +5 x−3

Propiedades Algebraicas

1) Propiedad Conmutativa:

Suma: u + v = v + u

Multiplicación: u v = v u

2) Propiedades Asociativas:

-

+

Página 5


Suma: (u + v) + w = u + (v + w)

Multiplicación: (u v) w = u (v w)

3) Propiedad Indefinida:

Suma: u + 0 = u

Multiplicación: u . 1 = u

4) Propiedad del Inverso:

Suma: u + (-u) = 0

Multiplicación: u . 1u

= 1, u ≠ 0

5) Propiedad Distributiva:

Multiplicación sobre la suma: u(v + w) = uv + uw

(u + v)w = uw + vw

Multiplicación sobre la resta: u(v – w) = uv + uw

(u – v)w = uw – vw

Términos:Propiedad del Inverso

Aditivo

Sea u,v números reales, variable o expresión algebraica.Propiedades Ejemplos

1. –(-u) = u –(-3) = 32. (-u)v=u(-v)=-uv (-4)3=4(-3)=-(4.3)=-123. (-u)(-v)=uv (-6)(-7)=6.7=424. (-1)u=-u (-1)5=-55. -(u+v)=(-u)+(-v) -(7+9)=(-7)+(-9)=-16

Página 6


Exponentes enteros

Si a es un números real y n es entero y positivo entonces:

an= a. a. a…

N veces a

an=b

a=base: n=exponente: b= potencia n de a

Ejemplos:

23= 2.2.2=8

(−34)= (-3)(-3)(-3)(-3)=81

−32=−3.−3

−43=−4.−4.−4=−64

( 13 )2=

13.13=1

9

Exponente 0:

Si a es un número real diferente de 0 a0=1

Ejemplos:

1) ¿= 1

2) (−2)0 = 1

3) 00= no existe

Página 7


Exponente negativo

Si a es un número real y n un número entero

a−n= 1an

Ejemplos:

1) 2−3= 12.3

=¿

2) ¿

3) 5−4= 1625

Principales teorías de los exponentes:

1) nn×am=an+m

2)an

an= an−m

3) (a .b )=an×bn

4) ( ab )n=a .nb .n

5) (a .n )m=an×m

Ejercicios guía número 2:

1) 1311=132) 153=153) 614=6

4)x2

x5

y7

y3 = y4

x3

Página 8


Notación científica

Definición:

Se dice que un número x está escrito en notación científica si x es igual

a x= b×10n

1≤b<10

Y es un entero esta notación sirve para realizar la operación muy grande o muy pequeña:

Ejemplos:

1) 0.0000000955015=9.55015×10−8

2) 0.000128=1.28×10−4

3) 0.0000000955015= 9.55015×10−8

Exponente fraccionario

an=√ amm

Ejemplos:

243=√ 2.3.3 .3

221=√2

1) Definición de raíz n-simas

2) n√a=a1 /2

3) 3√8 =2

4) √25 =5

5) 72=49

6) 2010=1024

Definición de elementos de un radical

n√a =b

Página 9


Ejemplos:

3√64 =4

Simplificación de radicales

Fundamento uno:

Raíz de n-sima de a×b

Ejemplo factorización de números

n√ab=n√a× n√b

√18 = √2√32=3√2

Fundamento dos:

√ab

=√ a√b

Ejemplos:

√94

=√ 9√ 4

=32

Operaciones de radicales

Suma y resta de radicales

Fundamentos: para sumar o restas de radicales se simplifica los radicales semejantes que son los que tienen iguales índice e igual cantidad su radical.

Ejemplos:

=-7√18+¿ 9√27+¿5√8−6√12

=√2+¿15 √3

Fundamento uno

n√a× n√b = n√ab

Fundamento dos

√ a√b

=√ab

Página 10


Ejemplos:

∛ 4∛ 2

= ∛42

=∛ 2

√64 =8

√245160

= √4

100 =

−15

Escriba en forma exponencial

2√5 x2 y3 =(5 x2 y 3)12

Simplifique:

7) √245

=√ 72×√5

=7√5

14. √6 yz √5 x2 y3 z5

= z3 √6 zy ×xy z2√5 yz

= x y2 z5 √30xz

Racionalización de denominadores:

En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en el denominador de una respuesta.

Para eliminar un radical de un denominador se debe no alterar el valor de la fracción

Fundamento:

ab=a . cb . c

Ejemplos

28=20×10

50×10=2

5=0,4

Ejercicio Guía No. 8

Determine el factor común de las siguientes expresiones

Página 11


1) 30x+15=15(2x+1)

10) 12 x6 y9+36 x4 y6=28 x2 y2=4 x2 y2(3x 4 y7+9x2 y4−7)

16)24x2−20 xy+50 xy−25 y2

25)24cx-12cy-16gx+8gy

=(24cx-12cy)-(16gx+8gy0

=12cy(2x-y)-8g(2x+y)

=(2x-y)(12c-8g)=(2x-y)4(3c-2g)

=4(3c-2g)(2x-4)

Trinomio de la forma x2+bx+c

1) Se escriben 2 paréntesis ()()2) “”x en ambos paréntesis en este caso lavariable correspondiente es x.3) En el paréntesis se escribe el signo del 2 término del trinomio y en el

segundo paréntesis se escribe el signo del tercer término del trinomio.4) Se busca 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente

del segundo termino31) 7x-60+x2

=x2+7 x−60=(x+12)(x-5)19) A b

a a2+ab+b2

B b

B

20) 3y

Y 3y2+20 y

3y 264x2

10x

10x 25

Página 12


30) (2x+5) (2x-5)=4 x2+10 x+10 x+25 =4x2+20x+25

Polinomios

Expresión algebraica._ una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas. (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.)

Ejemplos:

1) 3 x2+2x-5

2) -2x3-1

3) 5 x2

4)12x2−x+√3

5) 4 x−2+9 x−1

6) 3√ x -1

x23+6

7) √x2−42x+1

Polinomios:

Definición.- son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta, multiplicación, etc.

Ejemplos:

1. 3.x.x.x+z-52. -2x.x.x+1

3.12

x. x. x+√3

Forma general de un polinomio en una un polinomio en una variable

Un polinomio en la variable X tiene la siguiente forma

Página 13


anxn+¿ an−1xn−1¿

Ordenado ascendente o descendente

Grado= n

Variable= x

Termino independiente= a0

Coeficiente: anan−1an−2

Coeficiente líder: an

Tipo de polinomios

Monomio: polinomio que tiene un término

Binomio: polinomio que tiene 2 términos

Trinomio: polinomio que tiene tres términos

Polinomio: polinomio que tiene más de tres términos

Guía 6:

1. F(x)= -8x+6x-7Grado del polinomio= x9

Coeficiente líder = 84. F(x) = -14-6x+8x2-13x3+7x4

Grado del polinomio= 4Coeficiente líder= 7

11. q3-q-q4+q5-q2+3

q5-q-q4+q3-q2-q+3

Suma y resta: para sumar o restar polinomios se simplifica los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

Ejemplos guía 6:

Sumar

12. (5x-6) (-3x+10)

=-2x+4

Página 14


15. -7√8 +9√27 +5√8 – 6√12=7×3√2+ 9x3√3 +5x2√2 -6x2√3=-11√2 +15√3

Multiplicación de radicales

16. ( 13x4+ 2

5x3−1

6x+7)+(−5

8x4−1

5x3+ 1

3x+9)

=13x4+ 2

5x3−1

6x+7+

−58

x4−15x3+ 1

3x+9

=−12

x4−15x3+ 1

6x−2

Multiplicación de polinomios

Fundamento:

1. a(b + c)= (a. b) + (a. c)2. (b + c)a= (b. a) + (c. b)3. (-a)b= (a. b)4. (a)(b)= ab5. (a)(b)= ab

Guía 7

26) (-8x2y) (-4x4 y6)= 32x6 y7

37) (x+10)(x+12)= x2-2x-120

Regla: se multiplica cada término de un polinomio por cada termino del otro polinomio PIES

Productos notables:

Existe en el algebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede escribir directamente sin resolver las multiplicaciones.

Ejemplos:

Algunos productos notables

Página 15


1. (a+b)(a-b)= a2-b2

2. (a+b)2= a2+ab+b2

Nota: las variables a.b pueden ser expresiones algebraicas no solo una variable

Ejemplos guía 7:

8. (x+13) (x-13)

=x2+169

13. (3x+2,4) 3x-2,4)

= 9x2-5,75

20. (x+11)2

= x2-22x+121

22. (2 x+1)2

=4x2+4x+1

25. (9 x+ 19 )

2

=81x2+2x-1

81

26. (x+7.3)2

=x2+14,6x+53,29

29. (7 x−4 y )2

49x2-56xy+16y2

Guía 8

16) 24x2−20 xy+30 xy−25 y2

= (24x2−20 xy ¿+(30 xy−25 y2)

= 4x(6x-5y) + 5y(6x-5y)

= (6x-5y) (4x+5y)

Página 16


25) 24cx-12cy-16gx+8gy

= (24cx-12cy) – (16gx-8gy)

= 12c(2x-y) – 8g(2x-y)

= (2x-y) (12c – 8g)

= (2x-y) 4(3c – 2g)

= 4(3c – 2g) (2x-y)

36) 6 x2−6 x−36

= 6(x2−x−6¿

=6(x-3) (x+2)

39) 3 x3 y3−6 x3 y2−45x3 y

=3 x3 y(y2-2y-15)

=3 x3 y ( y−5 ) ( y+3 )

59) 98a4−32b2

=2(49a2−16b2 ¿

=2(7a2−4 b¿ (7a2−4 b¿

51) 20x2 y2+3x y2-9y2

=y2(20x2+3x-9)

=y2 ¿

= y2 (20 x+15 )(20 x−12)20

= y25 (4 x+3 ) 4(5 x−3)20

=y2 (4 x+3 )(5 x−3)

Guía 9

13) xy+10x-8y-80

Página 17


= (xy+10x)-(8y-80)

= x (y+10)-8(y-10)

= (y+10) (x-8)

29) 875x3−189 x6

=x3 (125−27 x2 )

=7x3 (5−3 x ) (25+15 x+9 x2 )

Trinomio de la forma x2 + bx + c

1) Se escriben dos paréntesis.2) Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es x.3) En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el

segundo paréntesis el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.

4) Se busca dos números que sumados algebraicamente del el coeficiente del segundo término y que multiplicados den el tercer término del trinomio.

31) 7x – 60 + x2

= x2+7x – 60

= (x+12) (x-5)

39) 3x3 y3−6 x3 y2−45 x3 y

= 3x3 y ( y2−2 y−15 )

= 3x3 y(y-5)(y+3)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Página 18


1) Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.2) Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma ax2 + bx + c.3) Simplificar la respuesta.

41) 3(x2+13x−20)

3

= (3 x¿¿¿2+13(3 x)−60)

3

= ¿¿

El trinomio es primo no existen factores.

42) 15x2+26 x+8

= 15x2+26 x+815

= 15x2+26(15x )+120

15

=(15 x+20)(15x+6)

15

=5(3 x+4)3(5 x+2)

15

= (3 x+4)(5 x+2)

50) 4x2−2 xt+9t 2

= 4 (4 x2−12 xt+9 t2)

4

=(4 x¿¿¿2−12 t(4 x)+36 t 2)

4

=(4 x−6 t)(4 x−6 t )

4

Página 19


= 2(2x−3 t)2(2x−3 t)

4

= (2 x−3 t)(2 x−3 t)

= (2 x−3 t)2

Diferencia de cuadrados:

Fundamentos:

x2− y2=( x+ y ) ( x− y )

52)x2−4= (x+2 ) ( x−2 )

56)49 x2−25 y2= (7 x+5 y ) (7 x−5 y )

57)75 x2−48=3 (25 x2−16 )=(5x+4 ) (5 x−4 )

Suma y Diferencia de cubos:

Fundamento:

1.a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

2.a3−b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )

Ejemplos:

Guía 9:

1) u3−v3=(u−v ) (u2+uv+v2)2) u3+v3 = (u + v) (u2−uv+v2)

Ejercicio Especial

Página 20


( 12√a 1

3

13√b 1

4

14√c 1

5 )3

. √a .b3√c

√[a 13 (√b 1

5(√c−3 )−1)

23 ]

−1=a2 . b

92 .c

725 . a

12 . b

12 . c

−13

a−16 . b

−130 . c

−14

¿a2+1

2+1

6 . b92+1

2+ 1

30 . c725

−13+ 1

4

respuesta=a83 .b

15130 . c

85960

Operaciones:

1¿(12√a1

3)¿3=a13.31 =a

12√a=

1112

=a2

2¿(12√ 1

3√b 14)

3

=

16√b 3

4=b92

3¿(12√ 1

3√ 14√c 1

3)3

=

124√c 3

5=

351

24

=c725

4 ¿ √a .b3√c

=√a=a12

¿√b=b12

¿ 3√c=c13

¿a

12 .b

12

c13

¿a12 . b

12 . c

−13

Página 21


5¿√[a13 ]−1

=a

−132 =a

−16

6¿√[(√b 15)

23 ]

−1

=√√b−215 =b

−130

7¿√[ (√(√c−3 )−1)23 ]

−1

=8√c−2=c

−14

Operación de respuesta:

21+ 1

2+ 1

6=12+3+1

6=8

3

92+ 1

2+ 1

30=135+15+1

30=151

30

725

−13+ 1

4=864−20+15

60=859

60

Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un ejercicio

1) Factor común: Si no hay factor común contar el numero de términos( cantidades separadas con signos “+” y “-“)

2) Si es solo un término: Ya esta factorado 3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o

diferencia de potencias iguales4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma

Página 22


{ax} ^ {2} + bx+c

Y trinomio de la forma

5) Sin son 4 o más términos: Factor común por agrupación

Expresiones Racionales

Son expresiones de la forma:

* PolinomioPolinomio

Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir:

* Polinomio 1Polinomio 2

Ejemplos:

1) x2−1x−2

2)2x+1x−3

3)x2+x+1x2−1

4) 2x4−3 x3−1x+5

Valores excluidos del dominio de una fracción

Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o más denominadores

Página 23


Ejemplo: En el ejemplo 1, el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2, el dominio todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3, el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1” En el ejemplo 4, el dominio todos los reales excepto “-5”

Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un ejercicio:

1) Factor común: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos “+” y “-“

2) Si es un solo termino: Ya está factorado3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o

diferencia de potencias iguales4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma

“ax2+bx+c“5) Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación

Expresiones de racionales

Son expresiones de la forma:

PolinomioPolinomio

Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir tienen la forma:

Polinomio1Polinomio2

Ejemplos

1) x2−1x−2

Página 24


2)2x+1x−3

3)x2+x+1x2−1

4) 2x4−3 x3−1x+5

Valores excluidos del dominio de una fracción

Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o más denominadores

En el ejemplo 1: el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2: el dominio son todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3: el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1” En el ejemplo 4: el dominio todos los números reales excepto “-5”

Ejemplo de la Guía 10

9) x3 y 4(x− y )5

x4 y5( x− y)4 =x3−4 y4−5=x−1 y−1 ( x− y )= x− yxy

10) (m+n )2 p6q7

p10q12 (m+n )4=

p6q7 (m+n )2

p10 q12 (m+n )3= 1

p10−16 q18−7 (m+n )3−2=1

p4q5 (m+n )

Simplificación de expresiones de racionales

Fundamento:

Q ( x )T (x )D ( x )T ( x )

=P ( x )D ( x )

En una fracción ( expresión racional) solo se pueden simplificar factores iguales en el numerados y en el denominador de la misma

Simplifique

Página 25


x3+3 y2+ y+3x4+5 y+7 y2+5 y+6

= ( y3+3 y2+ y+3 )

( y+2)( y3+3 y2+ y+3)= 1x+2

Operaciones con expresiones racionales

Multiplicación:

Fundamento:

P (x)D(x)

.T (x )Q(x)

=P ( x )T (x )D ( x )Q(x )

Ejemplo Guía 11

12) ( 54 )(−15

8 )=−7532

13) 2x2

3÷x3

21=14

x

División:

Fundamentos

P (x)D(x)

÷T (x)D(x)

=P(x )D(x )

.Q(x )T ( x)

Suma y Resta:

Fundamento:

1)ac±bc=a±b

c

2)ab±cd=ad±bc

bd

Proceso

Página 26


Para sumar o restar fracciones

Se debe factorar los denominados Se halla en común denominador que contenga a todos los denominadores o el

producto de ellos Se divide al común denominador para cada uno de ellos denominadores y cada

resultado se multiplica por el numerador correspondiente

Ejemplos Guía Nº 11

25) 3

16−15

16=3−15

16=−3

4

27) 32

x2−64− x2−32x2−64

Simplificación de expresiones complejas

Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.

Para simplificarlos:

- Se debe realizar las operaciones de sus numerador y denominador hasta que quede una sola fracción en cada uno de ellos

- Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes

Ejemplos guía Nº12

1.)

15+ 1

612+

13

=

6+530

3+26

=1125

2.)

−

−121

2−3

314− 4

1.05

=

−12

−723

14−8

1

=−3184

Página 27


3.)123

12− 4

1+0.5

=

12523

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