diffrazione di fraunhofer e di fresnel

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  • Diffrazione di Fraunhofer e di FresnelLa diffrazione si presenta quando unonda e.m. incontra unapertura od un ostacolo. Ad es. un foro circolare o rettangolare in uno schermo opaco; un ostacolo: es. filo o un disco assorbente. Nello spazio dietro lostacolo vi propagazione in direzioni diverse dallincidente e si originano differenze di percorso e interferenze tra onde con cammini diversi; linterferenza redistribuisce il flusso luminoso dando luogo a figure di diffrazione. Tali effetti sono tanto maggiori quanto le dimensioni delle aperture o degli ostacoli sono

    prossime alla lunghezza donda della radiazione. Nella fig. mostrata la diffrazione prodotta su uno schermo C da un ostacolo con bordo netto: spigolo vivo; si vede che vi luce anche nella zona di ombra geometrica e che nella parte illuminata lintensit presenta fluttuazioni (frange) i massimi delle quali superano il valor medio I0 dellintensit luminosa uniforme (a grandi distanze dal bordo).

  • Nella fig. mostrata la diffrazione di un disco opaco. Vi un punto luminoso al centro e frange chiare e scure circolari analoghe a prima. Il punto chiaro appare a prima vista sorprendente ed infatti fu previsto da Fresnel e negato da Poisson; oggi si chiama punto chiaro di Poisson!Diffrazione di Fresnel: la sorgente S e lo schermo C a distanza finita dallapertura; i fronti donda non sono piani. E il caso di un ostacolo generico come quelli considerati.Diffrazione di Fraunhofer: la sorgente S e lo schermo C sono a grande distanza dallapertura; i fronti donda sono piani. Questa situazione la pi facile da trattare e la si realizza utilizzando lenti; L1 trasforma londa sferica emessa da S in onda piana con fronte donda contenente lapertura. L2 focalizza i raggi in P. Applichiamo il principio di Huyghens-Fresnel e con-

  • sideriamo i soli punti liberi quelli non interessati dallostacolo.Diffrazione da una fenditura rettilineaUna fenditura costituita da un foro di larghezza a = AB e lunghezza L >> a su uno schermo opaco. La figura di diffrazione si osserva sul pianofocale della lente di focale f. Sulla fenditura incide unonda piana di lunghezza donda . Suddividiamo la fenditura in N striscie di larghezza y . Ciascuna striscia funge da sorgente e contribuisce con lampiezza E al campo ER nel punto P corrispon- dente allangolo rispetto alla normale. I contributi E relativi a due striscie adiacenti hanno in P la differenza di fase: derivante dalla differenza di cammino y sin . Il calcolo di come varia ER in funzione di si far dopo. Esaminiamo ora alcuni risultati ottenibili per similitudine con lesperienza di Young: nella direzione = 0 tutte le onde sono in fase: ER max e cos lintensit in O e vale I = (c0ER2)/2. Per un angolo generico la diff di fase tra londa emessa da B e quella emessa dal centro della fenditura distante a/2 da B

  • : se questa diff = : = ; a sin = le due onde in P sono in opposizione di fase e interferiscono distruttivamente. Pensando la fenditura divisa in due parti ad ogni sorgente della parte superiore ne corrisponde una nella parte inferiore in opposizione di fase. Il campo nullo in P per dato dalla precedente.Se dividiamo la fenditura in 4 parti e ci poniamo allangolo tale che: a sin = 2 si ha la stessa situazione: la prima parte interf distruttivamente con la seconda, la terza con la quarta e lintensit 0. Lo stesso se si divide in 6 parti e si pone: a sin = 3 La condizione generale per interf distruttiva sin = m /a; m = 1,2,.. La relazione fornisce le posizioni delle zone scure nella figura di diffrazione. Pertanto lintensit max al centro diminuisce fino ad annullarsi simmetricamente ai due lati per i valori di di sopra con m = 1. La grandezza (sin) = 2/a si chiama larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione.

  • Tra il primo (m = 1) ed il secondo (m = 2) minimo ci deve essere un massimo che si chiama secondario (< intensit di quello centrale): sia per positivi che negativi. La figura mostra leffetto su uno schermo; riportata anche la funzione I()che troveremo. Si vede che l80% della potenza nel massimo centrale: esso rappresenta limmagine della fenditura.

  • Intensit della figura di diffrazioneUtilizziamo il metodo dei fasori per calcolare ER. Gli N fasori rappresentano le ampiezze E delle singole sorgenti elementari in cui si suddivisa la fenditura e costituiscono una polinomiale di N lati. Langolo tra un fasore ed il successivo : la differenza tra londa emessa da B e da A : pari allangolo tra il primo e lultimo fasore. Passiamo al limite y0 N; la poligonale diventa un arco di cerchio di raggio con angolo al centro . ER pari alla corda che sottende larco: ; la lunghezza dellarco Emax= e corrisponde allampiezza max che si osserva al centro dello schermo quando = 0 e tutte le onde sono in fase. Da cui Ora lintensit proporzionale al quadrato dellampiezza e vale: Questa funzione mostrata in figura per i valori a = , 5, 10 . Lintensit trasmessa dalla fenditura si annulla:

  • minimi di diffrazione per:

    i primi minimi a destra e sinistra del max centrale si hanno per sin = /a e permettono di definire: come larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione. Per a >> il massimo molto stretto e leffetto della diffrazione trascurabile; il massimo si allarga se a diminuisce tendendo a . Per a = il primo ed unico minimo si forma a = 90o e con a < tutto lo spazio al di l della fenditura illuminato. Tra due minimi di intensit esiste un massimo secondario: la posizione data dai massimi della funzione (sin2)/2. Si trova tg = , equazione trascendente che si risolve graficamente (a parte il caso =0). Peraltro risulta buona lapprossimazione di cercare il max di sin2(a sin/) ovvero quando:Lintensit dei massimi secondari risulta:

  • Nel primo massimo, m = 1, I1/Imax = 0.045 cio lintensit il 4.5% del massimo principale; perm = 2 I2/Imax 0.016; per m = 3 I3/Imax 0.008. E da notare che si ha il massimo di ampiezza quando tutti i fasori sono disposti lungo una retta = 0; si ha invece ER= 0 quando i fasori si dispongono su una circonferenza per cui la differenza di fase tra gli estremi : = 2m.

    Per a la larghezza angolare del max centrale : = 2/a e sul piano focale della lente x = f = 2f/a Diffrazione prodotta da unapertura e da un disco opacoQuando lapertura circolare per ragioni di simmetria anche la figura di diffrazione circolare: un disco centrale luminoso circondato da una serie di corone alternativamente chiare e scure. Il sistema presenta ana-logie con la figura di diffrazione di una fenditura anche se pi complicato da trattare. Le frange si osservano in condizioni di Fraunhofer

  • Si trova che langolo a cui cade il primo minimo di intensit, corrispondente al bordo del massimo centrale dato da: se D ed R sono il diametro ed il raggio dellapertura; si confronti con sin = /a per la direzione del primo minimo di una fenditura larga a. Landamento completo dellintensit data in scala normalizzata in figura: I/Imax in funzione di x = 2 R /. In molte applicazioni per la luce
  • le cui dimensioni sono determinate dal rapporto f/D tra distanza focale e diametro (utile) della lente: d = 2f = 2.44 f/D.Diffrazione da un disco opacoI risultati trovati per lapertura circolare di diametro D si applicano anche per un disco dello stesso diametro. Un principio dovuto a Babinet dice che con lesclusione della direzione = 0 la figura di diffrazione di Fraunhofer prodotta da un disco opaco di diametro D coincide con quelladi un foro dello stesso diametro. Consideriamo unonda piana monocromatica che incide su unapertura G di diametro h >>. A grande distanza sullo schermo non si osserva diffrazione: Il campo EG e lintensit sono diversi da zero solo nella direzione = 0. Poniamo sullapertura G un disco opaco A di diametro h avente al centro un foro circolare di diametro D. In un punto P visto sotto langolo vi sar il campo EA() e lintensit IA() propor a EA2().

  • Se invece di A poniamo un disco opaco B di diametro D nello stesso punto P vi sar il campo EB() e lintensit IB() propor a EB2(): la luce ora raggiunge lo schermo passando attraverso unapertura anulare compresa tra raggio D/2 e h/2. Le due aperture foro nel disco A e anello sono complementari ossia non hanno zone in comune; se sovrapponiamo i loro effetti come se ci fosse solo lapertura G. Per cui: EG() = EA() + EB(); daltra parte EG() = 0 per 0 per cui: EB() = - EA(); IB() = IA() per 0 . Questo risultato, principio di Babinet dice che, a parte la direzione = 0, la figura di diff prodotta da un foro di diametro D coincide con quella prodotta da un disco opaco dello stesso diametro. Il calcolo dellintensit nel punto P pu essere fatto suddividendo il fronte donda piano che incide sul disco in tanti anelli circolari di area S che inviano in P contributi della stessa ampiezza E. La risultante si calcola con il metodo dei fasori tenendo conto delle differenze di percorso. Il risultato mostra che il campo in P sempre diverso da zero

  • Limite di risoluzione delle lentiLa figura mostra due sorgenti puntiformi incoerenti S1 ed S2 lontane viste dalla lente sotto langolo ; se >> = 1.22 /D non vi sovrapposizione tra i due dischetti che rappresentano le immagini di S1 e S2: le due sorgenti appiano distinte o risolte. Al diminuire di le due figure di diffrazione si sovrap

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