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  • Differentialgeometrie Daniel Grieser

    Skript zur Vorlesung im Wintersemester 2008/2009

  • Einleitung

    Dies ist das Skript zur Vorlesung ‚Differentialgeometrie‘, die ich im Wintersemester 2008/2009 an der Universität Oldenburg gehalten habe. Dies ist eine erste Einführung in die Differentialgeometrie. Sie richtet sich an Hörerinnen und Hörer etwa ab dem fünften Studiensemester.

    Worum geht es in der Differentialgeometrie? Geometrie ist das Studium von ‚Figuren‘. Z.B. kennt man aus der Schule die Geometrie der Dreiecke, Vierecke oder Kreise, aus der linearen Algebra die Geometrie der Geraden, Ebenen, allgemeiner der linearen oder affinen Unterräume eines Vektorraums. Die in der Differentialgeometrie untersuchten Figuren sind, allgemein gesprochen, Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die wichtigsten Exemplare hiervon sind zunächst die Kurven in der Ebene oder im Raum, dann die (mög- licherweise gekrümmten) Flächen im Raum, dann deren höherdimensionale Verallgemeinerungen, d.h. die Untermannigfaltigkeiten des Rn. Der Begriff ‚Riemannsche Mannigfaltigkeit‘ ist dann eine Abstrakti- on, welche die für die Geometrie (genauer die innere Geometrie, siehe unten) wesentlichen Eigenschaften dieser Untermannigfaltigkeiten erfasst und die unwesentlichen weglässt.

    Hier sind einige Fragen, auf die wir in der Vorlesung Antworten finden werden.

    (1) Was bedeutet Krümmung? Zumindest für Kurven hat man eine anschaulichen Vorstellung davon, was stark oder weniger stark gekrümmt bedeutet. Für Flächen wird es komplizierter, da sie in ver- schiedenen ‚Richtungen‘ verschieden stark gekrümmt sein können, z.B. ist der Zylinder (womit die Zylinderoberfläche ohne oberen und unteren Deckel gemeint sei) entlang einem Querschnittskreis gekrümmt, nicht aber entlang einer Mantellinie.

    Wie fasst man das mathematisch? Das heißt, wie kann man Krümmung quantifizieren? Wie berech- net man die Krümmung für die verschiedenen Arten, auf die eine Kurve oder Fläche gegeben sein kann (als Graph oder mittels einer Parametrisierung oder als Niveaumenge)?

    (2) Kartographen wissen seit Jahrhunderten, dass es unmöglich ist, verzerrungsfreie Landkarten von der Erde (oder auch nur von beliebigen Teilgebieten der Erde) zu zeichnen. Verzerrungsfrei heißt hierbei, dass alle Längen in derselben Proportion korrekt wiedergegebenen werden, und eine Land- karte soll natürlich auf einem Blatt Papier, also einem Gebiet in der Ebene, gezeichnet sein.

    Für Gebiete auf einem Zylinder gibt es dagegen verzerrungsfreie Landkarten (zumindest für solche Gebiete, die genügend klein sind, z.B. eine feste Mantellinie nicht treffen).

    Was macht den Unterschied zwischen Sphäre (= Erdoberfläche) und Zylinder? Wie sieht man einer beliebigen Fläche an, ob sie verzerrungsfreie Landkarten zulässt?

    (3) Wie bestimmt man die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte auf einer gegebenen Fläche, die ganz innerhalb der Fläche verläuft?

    (4) Was ist der gekrümmte Raum, der zentrale Begriff der allgemeinen Relativitätstheorie, den wohl jeder schon einmal gehört hat?

    Die Krümmung ist der zentrale Begriff der Differentialgeometrie. Wie wir sehen werden, bildet die Krümmung auch den Schlüssel zu Frage 2) – jedoch nicht die volle Krümmungsinformation der Fläche, sondern nur ein Teil davon, die sogenannte Gauß-Krümmung.

    Das vorliegende Skript gliedert sich in drei Teile: Kurven (Kapitel 1), Flächen (Kapitel 2 und 3) und Riemannsche Mannigfaltigkeiten (Kapitel 4). Bei den Kurven und Flächen nehmen wir meist an, dass

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    sie in der Ebene (Kurven) oder im dreidimensionalen Raum (Kurven oder Flächen) liegen, daher ist die- ser Teil sehr anschaulich. Diese Theorie wird oft als ‚Elementare Differentialgeometrie‘ bezeichnet. Vieles hiervon lässt sich leicht auf Kurven im Rn und auf allgemeine Hyperflächen (also (n− 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des Rn) verallgemeinern. Die Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten, oft ‚Höhere Differentialgeometrie‘ genannt, braucht man z.B. zur Beantwortung der Frage 4), und sie stellt auch die Basis für die Verbindung zu anderen Teilen der Mathematik, z.B. der Theorie der Lie-Gruppen (eine spannende Verbindung zur Algebra) her. Im Prinzip ist es möglich, direkt mit der höheren Diffe- rentialgeometrie anzufangen. Ich halte das jedoch für wenig sinnvoll, da viele dort eingeführte Begriffe durch die Überlegungen für Kurven und Flächen erst motiviert sind.

    Die Theorie der Flächen gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil überlegen wir uns, wie wir sinnvoll einen Krümmungsbegriff definieren können. Hier gibt es mehrere äquivalente Antworten, die sich aus verschiedenen anschaulichen Überlegungen ergeben. Notwendigerweise beziehen sich diese Begriffe auf die Lage der Fläche im Raum, z.B. darauf, wie sich der Normalenvektor von Punkt zu Punkt ändert. Im zweiten Teil fragen wir uns, welche Eigenschaften einer Fläche ein ‚Flachländer‘ bestimmen kann, also ein Wesen, das ganz in der Fläche lebt und nicht aus ihr heraussehen kann. Zum Beispiel kann ein Flachländer nicht unterscheiden, ob er in einem ebenen Blatt Papier oder in einem zu einem Halbzylinder gekrümmten Blatt Papier lebt. Überraschenderweise kann er aber unterscheiden, ob er auf einem Stück einer Sphäre oder einem Stück der Ebene lebt! Diese Überlegungen führen zu einem der zentralen Sätze der elementaren Differentialgeometrie, dem Theorema Egregium (’Herausragendes Theorem’) von Gauß, das unter anderem eine vollständige Beantwortung der Frage 2) erlaubt.

    Der zweite Teil der Flächentheorie, die ‚innere‘ Geometrie der Flächen, bildet die Brücke zur höheren Differentialgeometrie. Dort geht es im Wesentlichen darum, die Erkenntnisse der inneren Flächentheorie auf beliebige Dimensionen zu verallgemeinern.

    Zusammenfassungen der Inhalte der einzelnen Kapitel finden sich in deren Einleitungen.

    Es ist ein fundamentaler Zug der Differentialgeometrie, dass sie eine geometrische und eine rechneri- sche Seite hat. Die Formeln werden teils recht kompliziert, und man braucht etwas Übung, um mit ihnen umzugehen. Gleichzeitig sollte man sich immer daran erinnern, dass sie geometrische Bedeutung haben, und diese Übersetzung Formel – Geometrie klar herauszustellen ist ein zentrales Ziel dieser Vorlesung.

    Die Figuren der Differentialgeometrie, also die Mannigfaltigkeiten, sind glatt, dürfen also keine Ecken, Kanten oder sonstige ‚Singularitäten‘ haben. Dies mag zunächst als bedauerliche Einschränkung erschei- nen. Jedoch sei erwähnt, dass das Studium von allgemeineren Figuren, die solche Singularitäten haben dürfen (manchmal ‚singuläre Räume‘ genannt), auch seinen Platz in der Mathematik hat und ein aktuel- les Forschungsgebiet ist. Eine spezielle Klasse solcher singulärer Räume sind die algebraischen Varietäten, die in der algebraischen Geometrie untersucht werden (das sind im Wesentlichen die Nullstellenmengen mehrerer Polynome im Rn oder Cn).

    Vorausgesetzte Kenntnisse: Vorausgesetzt werden gute Kenntnisse in Analysis I-III sowie in Linearer Al- gebra. Vielerorts, so auch in Oldenburg, wird der Begriff der Untermannigfaltigkeit des Rn in Analysis II oder III eingeführt. Daher werden hier zwar die benötigten grundlegenden Definitionen und Sätze über diese formuliert und einige Beispiele gegeben, aber nicht alles im Detail bewiesen (z.B. wie der Satz über implizite Funktionen verwendet wird, um nachzuweisen, dass eine Niveaumenge eine Untermannigfal- tigkeit ist).

    Dieses Skript entstand mit der Mithilfe von Christina Delfs und Stefan Grahl. Vielen Dank!

    Oldenburg, den 1. Oktober 2009

    Daniel Grieser

  • Inhaltsverzeichnis

    I. Kurven im Rn 1 I.1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2. Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.3. Kurven im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    II. Flächen im Raum 13 II.1. Untermannigfaltigkeiten des RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.2. Grundbegriffe der Analysis auf (Unter)-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.3. Erste Fundamentalform und Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.4. Die Krümmung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Normalenvektor und Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Die Weingartenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Die zweite Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Hauptkrümmungen, Gaußkrümmung und mittlere Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Berechnung von g, W, I I, K und H in lokalen Koordinaten: Die Indexschlacht . . . . . . . . 29

    III.Die innere Geometrie von Flächen 33 III.1. Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 III.2. Vektorfelder und kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III.3. Riemannscher Krümmungstensor und Theorema Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.4. Parallelverschiebung und Geodätische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 III.5. Der Satz von Gauß-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    IV. Riemannsche Mannigfaltigkeiten 63 IV.1. Abstrakte Mannigfaltigkeiten . . . . . .

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