INTEGRAL TAK TENTU

Fungsi integral tak tentu dari f(x) diberi notasi: sehingga

Rumus Dasar:

I. Integral dari suatu fungsi linier dalam x

Fungsi linier (5x – 4 ) 6 diintegralkan. mirip dengan dengan x diganti (5x – 4 ). Dimisalkan

z = 5x – 4 integralnya menjadi , .

Maka integralnya menjadi

Contoh :

mirip dengan . Sehingga =

Jadi Integral suatu fungsi linier dalam x hasilnya masih mengikuti kaidah “pangkat” tetapi masih harus dibagi lagi dengan koefisien dari x.

II. Integral dalam bentuk

Contoh : missal z = x2 +3x – 5

.

Integralnya menjadi .

Jadi bentuk menjadi .

III. Integral dalam bentuk . Contoh : dx fungsi yg satu merupakan koefisien deferensial dari fungsi yg satunya.

dx , missal u = tan x .

Jadi Integral bentuk menjadi du.

IV. Integral suatu perkalian – integral perbagian (parsial).

Cara ini adalah dengan mengubah bentuk integral

dv = uv - du.Contoh : dx.Pilih u dan dv. Misal u = x2 dan dv = ln x, maka harus mendapatkan v dengan mengintegralkan ln x. Padahal dx tidak terdapat dalam integral baku (dasar).

Maka pilih u = ln x dan dv = x2 v = = .

Jadi dx = ln x dx

= dx

=

= .

Catatan :

Jika salah satu faktornya berbentuk log / ln, maka log/ln ini yg menjadi u. Jika tidak ada factor loh/ln nya , x (berpangkat) yg menjadi u.

Contoh : dx. u = x2

dv = e3x v = .

Jadi dx = x2 . dx

= dx . u = x

dv = e3x v =

=

=

=

=

Catatan : Jika tidak ada fungsi log/ln maupun fungsi x (berpangkat), maka fungsi

eksponensial yg menjadi u. Contoh :

dx. u = e3x du = 3e3x dx.

dv = sin x v = dx = - cos x.

dx = uv - du. = e3x (- cos x) + dx.

= - e3x cos x + 3 dx. u = e3x du = 3e3x dx.

dv = cos x v = dx = sin x. = - e3x cos x + 3 dx.

= - e3x cos x + 3 dx. bentuk semulaTernyata kembali ke bentuk semula.Dimisalkan A = dx.

Maka A = - e3x cos x + 3 e3x sin x – 9A. 10 A = - e3x cos x + 3 e3x sin x = e3x ( 3 sin x – cos x) + c.

A =

Contoh:

1.

2.3.

4.

Soal- soal Latihan

Tentukan dari

1.

2.

3.

4.

5.

6.7.

8.

9.

10.11.12.13.14.

Tentukan:

15.

16.

17.18.19.

20.

21.

FUNGSI TRANSENDEN

Fungsi Logaritma NaturalFungsi logaritma natural, ditulis sbg ln, didefinisikan dengan:

Domainnya adalah himpunan bilangan riil positif

jika x>1, ln x = luas R jika x<1, ln x = - luas R

Turunan Logaritma Natural

maka

Atau dengan aturan rantai, jika , maka

Contoh

Tentukan dari

a) b) c)

Berdasarkan rumus

diperoleh

Jika x diganti variabel u diperoleh:

Contoh:

1. Tentukan

2. Tentukan

Sifat Logaritma Natural

Apabila a dan b bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional maka:

(i) ln 1=0(ii) ln ab = ln a+ln b

(iii)

(iv)

Pendifferensialan Logaritma

Digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang menyangkut hasil bagi, hasil kali dan pemangkatan.

Contoh:

1. Tentukan dari

2. Tentukan dari

Grafik Logaritma Natural

Daerah definisi ln x adalah himpunan bilangan riil positif, sehingga grafik terletak di sebelah kanan sumbu y.

dengan

Soal latihan

Tentukan jika:

1.2.3.4.

5.

6.

7.

8.

9.

Hitunglah integral-integral berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Nyatakan bentuk-bentuk berikut sebagai satu logaritma:

1.

2.

3.4.

Gambar grafik persamaan berikut:1.

2.

3.4.

Hitung x dari:

FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

Fungsi yang mempunyai invers: (korespondensi satu-satu)

Fungsi yang tidak mempunyai invers:

Teorema :Apabila monoton murni (naik/turun) pada daerah asalnya, maka memiliki invers.

Contoh: Buktikan bahwa memiliki invers.Penyelesaian: sehingga fungsi monoton naik pada seluruh himpunan x, jadi memiliki invers

Membatasi daerah asal fungsi

Contoh:1. tidak mempunyai invers

agar mempunyai invers maka daerah asal dibatasi hanya pada

2. tidak mempunyai invers

agar mempunyai invers maka daerah asal dibatasi hanya pada

Apabila memiliki invers maka juga memiliki invers, yaitu . Jadi dapat dikatakan bahwa dan merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan:

Langkah-langkah menemukan fungsi invers:Langkah 1: Nyatakanlah x dengan y dari persamaan Langkah 2: Nyatakanlah bentuk dalam y yang telah ditentukan tersebut sebagai Langkah 3: Gantilah y dengan x dan x dengan y, sehingga diperoleh

Contoh :

Tentukan jika

Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

Turunan Fungsi Invers

atau

Contoh:Tentukan jika

Soal-soal Latihan:Buktikan bahwa f memiliki invers dengan membuktikan bahwa f monoton murni.1.2.

3.

4.5.

6.

Tentukan

1.

2.

3.4.

5.

6.

7.8.9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Batasilah daerah asal f, agar f memiliki invers, kemudian tentukan . (Gambarlah f terlebih dahulu.)1.2.

Tentukan dari1.2.3.

FUNGSI EKSPONEN ASLI

Definisi:Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sbg exp, yaitu:

Dari definisi di atas diperoleh:(i) . (ii)

Bilangan e adalah bil. riil positif yang bersifat

Jika a dan b rasional, maka:

Turunan dan integralnya

Contoh:

Tentukan jika:

1.2.

3. Jika , tentukan di mana f naik dan f turun. Tentukan juga interval f cembung/cekung. Tentukan pula titik minimum/maksimum.

4. Hitung 5. Hitung

LatihanSederhanakan bentuk-bentuk berikut:1.2.3.4.5.6.7.8.

Tentukan dari:

9.10.11.12.13.14.15.16.17.

18.

19.20.

Tentukan interval grafik naik/turun, interval di mana grafik cembung/cekung, tentukan nilai ekstrimnya dan buatlah sketsa grafiknya:

21.22.23.24.

Hitung integral berikut:

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. Buktikan bahwa

turun untuk x>0

FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN LOGARITMA UMUMDefinisi:Untuk a>0 dan x bilangan riil:

Teorema AApabila a>0, b>0, x dan y bilangan riil, maka:

(i)

(ii)

(iii)(iv)

(v)

Teorema B

Contoh:

Tentukan dari:

1.2.

3. Hitung

Fungsi loga

Merupakan fungsi logaritma dgn bilangan dasar a

Definisi: Jika a bilangan positif dan , maka

Catatan :

Contoh : Tentukan dari

Latihan:

Tentukan dari

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.11.12.13.14.15.

Hitunglah x

1.2.

3.

4.

5.

6.

7.8.

Hitunglah9.10.

11.

12.

Hitunglah dari

1.2.

Tentukan fungsi invers dari

buktikan terlebih dahulu bahwa f(x) memiliki invers.

FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSFungi invers sinus dan kosinus

Contoh:Hitung

1.

2.

3.

4.

INVERS TANGEN

LatihanHitunglah:

1.

2.

3.

4.

Untuk soal nomor 5 – 10 nyatakan dengan x sebagai fungsi invers trigonometri arc sin, arc cos, arc tg.5.

6.

7.

8.

9.

10.

Hitunglah:

11.12.13.14.15.

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERS FS TRIGONOMETRI

RUMUS INTEGRAL

Contoh:

Hitunglah dari:

1.

2.3.

Latihan

Tentukan dari:

1.2.3.

4.

5.6.7.8.9.

10.

11.12.13.14.15.16.17.18.

19.

20.

Tentukan integral dari21.22.23.24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Fungsi Sinus Hiperbolik , Cosinus Hiperbolik didefinisikan sbb:

Kesamaan dasar

Grafik:

Turunan Fungsi Hiperbolik