Diferenciacin del producto escalarVamos a obtener la derivada del producto punto de dos funciones vectoriales con variable ent. Seana(t) yb(t) dos funciones vectoriales de modo quea(t) =a1(t)i+a2(t)j+a3( t )kyb(t) =b1(t)i+b2(t)j+b3( t )k. Entonces el producto escalara(t).b(t) es una funcin unidimensional con variable ent, y supongamos que estamos interesados en la derivada, esto es

y puesto que

derivando y aplicando la regla del producto nos queda

Reordenando los trminos, obtenemos

entonces

(1)

Se determina entonces que (1) es la caracterizacin de la derivada de un producto escalar de dos funciones vectoriales.

Esta derivada tiene variadas aplicaciones. En efecto, no resulta complicado demostrar que

(2)

En efecto, como

sigue de (1) que

Aplicacin 1. Sir(t) =r1(t)i+r2(t)j+r3( t )kdenota la posicin de una partcula, entonces

Aplicacin 2. Supongamos una partcula de masa constante obedeciendo lasegunda ley de Newton, esto es

dondeF(t) es la fuerza externa yv(t) la velocidad de la partcula. Entonces

(3)

pero como

entonces

reemplazando esta ltima expresin en la correspondiente que aparece en (3), obtenemos que

Y esta ltima ecuacin nos dice que la razn de cambio de la energa cintica es igual a la razn del trabajo de la fuerza externa.

Diferenciacin del producto cruzAl igual que el producto punto, la derivada del producto cruz de dos funciones vectoriales sigue la misma analoga que la derivada simple de un producto, esto sia(t) yb(t) son dos funciones vectoriales derivables entonces

(1)

La demostracin de (1) es bastante sencilla. En efecto, sea

entonces el siguiente incremento es vlido

Efectuando un pequeo ajuste (quitando y poniendo un mismo trmino), tenemos que

dividiendo ahora port

Pasando al lmite cuandottiende a cero

donde es claro que

Y con esto se demuestra (1)

Aplicacin. La segunda ley de Newton para el movimiento de una partcula de masa constante es

si multiplicamos (producto cruz) el vector posicin de la partcular(t) por la izquierda, obtenemos

(2)

pero como

entonces

reemplazando esta ltima igualdad en (2), nos queda

pero como

Nos queda entonces

(3)

El vectorr(t) xmv(t) es elmomento angularde la partcula, y en consecuencia la ecuacin (3) nos est diciendo que la variacin respecto del tiempo del momento angular de una partcula de masa constante es igual altorqueproducido por la fuerza externa sobre la partcula.

Diferencial de un campo escalarEl objetivo de esta seccin es dar una interpretacin rigurosa aunque informal a la expresin

(1)

dondees una funcin con dominio enR3y valores enR, es decir un particularcampo escalar. La notacindsignifica diferencial de, y pasaremos a explicar su real sentido.

SeaP0= (a,b,c) un punto en el dominio de la funcin, y seaP= (a+h,b+k,c+l) otro punto "cercano" aP0.(aunque es absolutamente irrelevante esta exigencia). Queremos estudiar la diferencia

(a+h,b+k,c+l) -(a,b,c) (2)

La interpretacin fsica de la expresin (2) es trivial, es simplemente la diferencia (crecimiento o decrecimiento) entre las mediciones que otorga la funcinen los puntosP0yP. Pensemos por ejemplo quemide la temperatura en los puntos de una regin del espacio, luegoP) -P0) es simplemente la diferencia de temperatura entre los puntosPyP0.

Ahora bien, es claro cuandoPse aproxime aP0esta diferencia se ir aproximando a cero (entendiendo quePyP0estn dentro de una regin donde est bien definida la funcin).

Ahora bien, lo que vamos a "exigir" de esta diferencia que se aproximar a cero (en cuantoPse aproxime aP0) es que sea "muy suave", "muy buena", que ojal la aproximacin sea mediante un plano. Si esto ocurre, diremos que el campo escalar es diferenciable en el puntoP0. Qu entenderemos matemticamente por aproximacin buena? es decir que entenderemos por es diferenciable en el puntoP0? Lo siguiente: es diferenciable en el puntoP0si existen tres nmeros realesA,ByCy una funcin real de tres variablestal que se satisfaga lo siguiente,

(a+h,b+k,c+l) =(a,b,c) +Ah+Bk+Cl+(h,k,l) (3)

de tal manera que

(4)

La exigencia en (4) nos dice que la funcin(h,k,l) es tan "despreciable" que cuando (h,k,l) se aproxima al (0, 0, 0) entonces(h,k,l) se aproxima al cero (y se aproxima muy rpido al cero, que incluso dividindolo por la norma de (h,k,l), que hemos denotado por, igual se aproxima al cero).

La expresin en (3) nos dice entonces que cuando (h,k,l) est muy cerca del (0, 0, 0), o, que es lo mismo, cuandoPest muy cerca deP0, entonces

(5)

Una observacin muy importante: La aproximacin desdePhastaP0escualquier aproximacin. Observe la Figura 1, en ella se muestran varias formas de aproximarse aP0desdeP.

Esto significa que sies diferenciable enP0, entonces no importando la trayectoria con quePse aproxime aP0, los valores deA,ByCson independientes de estas trayectorias. Esto nos ayudar para encontrar los valores deA,ByC. En efecto, SeaP= (a+h,b,c) Es decir, nos aproximaremos aP0= (a,b,c) en la direccin dada por el versori, observe la Figura 2, de tal forma que la expresin (5) queda,

dividiendo porhy tomando lmite cuandohtiende a cero,

(6)

Figura 1

En efecto, resulta ser que el valor deAes simplemente la derivada parcial derespecto de la primera componente. Para la aproximacin (a,b+k,c) hacia (a,b,c), obtenemos

(7)

Y mediante (a,b,c + l) hacia (a,b,c), obtenemos

(8)

Figura 2

(6), (7) y (8) reemplazando en (5) obtenemos

En general, sies diferenciable en cualquier punto de una cierta regin, entonces para cualquier punto (x,y,z) de esa regin

de tal forma que parax,y,zinfinitesimal, obtenemos la diferencial dada inicialmente en (1)

En rigor, esta ltima expresin est escrita como un operador, es decir este operador tiene una expresin toda vez que se aplique a un punto. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Sea(x, y, z) =x y2z2, y queremos calcular la diferencial en el punto (1, 1, 1). Calculamos las derivadas parciales del campo escalar y evaluamos en el punto (1, 1, 1). Esto es

y evaluando estas derivadas parciales en (1, 1, 1) obtenemos la diferencial,

(9)

Muy bien, pero qu significa esta expresin? o qu utilidad presta?

En primer lugar,d(1, 1, 1) est midiendo el diferencial de cualquier valor infinitesimalmente prximo al valor (1, 1, 1), y consagra como vector diferencia entre el punto (1, 1, 1) y cualquier otro punto infinitesimalmente prximo al vector

dxi+dyj+dzk =dr

Observemos la Figura3.

La diferencial en (9) se puede expresar como

(10)

Calculemos la magnitud del vectordr, y denotmosla por

dividiendo pordsla expresin en (10), obtenemos

donde el vectordr/dses unitario.

Figura 3

Aplicando la definicin de producto punto, tenemos que

Y esta "derivadad(1,1,1)/ds" obtiene su valor mximo cuando= 0, es decir cuandodres paralelo ai+ 2j+ 2k

El resultado de este ejemplo se generalizar cuando introduzcamos el concepto dederivada direccionalygradiente.

Derivada direccional y gradiente de un campo escalarEn la seccin anterior le dimos un sentido a la diferencial total de un campo escalar, esto es

Observemos que, la expresin anterior se puede expresar como el siguiente producto punto

(1)

En forma ms compacta si denotamos por

(2)

y le llamamos gradiente deevaluado en el punto (x,y,z), o simplemente gradiente desi est bajo contexto el punto de evaluacin. Y sidr=dxi+dyj+dzk, entonces la expresin (1) queda en forma ms compacta como

(3)

Vamos a introducir el concepto de derivada direccional. De la expresin (3), dividamos por la norma del vectordr, norma que llamaremosds,entonces

Hagamosu=dr/ds, entonces

(4)

Y esta expresin nos indica la derivada deen el punto (x,y,z) en la direccin del vector unitariou. Sies el ngulo comprendido entre el vector gradiente y el vector unitario, entonces de (4) obtenemos

(5)

Y la expresin (5) nos indica que el valor mximo que puede tomar la derivada direccional en el punto (x,y,z) es en la direccin indicada por el gradiente, es decir cuando= 0, y en este caso

(6)

Ejemplo. Encontrar la derivada direccional de la funcin(x,y,z)= (x- 1)2+2(y+ 1)2+ 3(z- 2)2- 6 en el punto (2, 0, 1) en la direccin del vectori-2j- 2k.

Calculando el gradiente de,

de manera que evaluando el gradiente en el punto (2, 0, 1) obtenemos

Ahora calculando el vector unitario en la direccin indicada,

de modo que

Por otro lado, si hubisemos considerado la direccin indicada por el gradiente, entonces

Una observacin para esta seccin. Supongamos que tenemos el campo escalar(x,y,z), y consideramos la superficie(x,y,z) =c. Entonces sobre el dominio definido por los puntos que pertenecen a esta superficie la funcin diferencial es cero, es decird(x,y,z) = 0. Esto es

(7)

Y esta ecuacin nos indica que el gradiente es ortogonal al vector infinitesimaldry donde este vector pertenece al plano que es tangente a la superficie(x,y,z) =c. en el punto (x,y,z).

Y otra ltima observacin. Para denotar la derivada direccional de un campo escalar en la direccin de un vector unitariou, utilizaremos algunas veces la expresin (del miembro izquierdo)

El gradiente ante los cambios de variables del campo escalarEn la seccin vamos a analizar el comportamiento de un campo escalar de dos variables del tipof(x,y) al efectuar un cambio de variable del tipox=x(r,),y=y(r,) y la incidencia que tendr en el gradientef. Este desarrollo se puede generalizar a tres o ms variables.

El gradiente para el campo escalarf(x,y) est dado por

(0)

Por otro lado, si tenemos un cambio de variable "bueno" de la formax=x(r,),y=y(r,), entonces esencialmente se tiene quef(x,y) =f(x(r,),y(r,)) =f(r,), y en consecuencia la interrogante es cmo ser el gradiente del campo escalar en estas nuevas variables?

La diferencial paraf(x,y) est dada por

(1)

y la diferencial paraf(r,) estar dada por

(2)

Es claro que en cualquier casodf(x,y) =df(r,). Ahora, en virtud de quex=x(r,),y=y(r,) podemos calcular las diferencialesdxydy, esto es

(3)

Reemplazando estas ltimas ecuaciones en (1), obtenemos

(4)

Y, en consecuencia, comparando las expresiones en (2) y (4), podemos concluir la versin bidimensional de laregla de la cadena, esto es

(5)

Con esto hemos calculado el diferencial defen las nuevas variablesry. Vamos ahora al clculo del gradiente en estas nuevas variables.

De la expresin (5) podemos calcular las derivadas parciales defen las variablesxey. En efecto, matricialmente las ecuaciones en (5) se pueden expresar como

Este sistema tiene una nica solucin si el determinante de la matriz de 2 x 2 es distinta de cero (y esta es nuestra exigencia al decir que tenemos un cambio de variable "bueno"). Despejando obtenemos

(6)

Para fijar ideas, y no hacer demasiada abstraccin, trabajemos con el siguiente cambio de variables (coordenadas polares)

de modo que el sistema en (6) queda como

y cuya solucin es

(7)

Entonces reemplazando estos valores en la frmula del gradiente defdada en (0), obtenemos

Trabajando algebraicamente,

(8)

Hagamos

que claramente son vectores unitarios. Es decir

Estos nuevos vectores (que son ortogonales) tienen una sencilla interpretacin como se puede observar en la siguiente figura,

Campos vectoriales conservativosEntenderemos, de momento, por campo vectorial como una funcin vectorial definida sobre los puntos (o una regin) en el espacio fsico (enR3). De otra forma, la funcin vectorialF(x,y,z) es un campo vectorial si existen tres funciones escalares con dominios en (o en una regin de)R3, digamosF1(x,y,z),F2(x,y,z) yF3(x,y,z) donde

F(x,y,z) =F1(x,y,z)i+F2(x,y,z)j+F3(x,y,z)k

Existen variados ejemplos de aplicaciones en la fsica, aunque rigurosamente hablando, podemos decir que es la fsica que hace fecunda y da acta de nacimiento al clculo vectorial o anlisis en campos vectoriales. Solo para citar el ejemplo ms trivial, consideremos la velocidad de un cuerpo que se mueve en el espacio, y queremos determinar la velocidad de este cuerpo, que es un vector, cuando el cuerpo se encuentra en la posicin (x,y,z). Aunque en rigor, esta velocidad eventualmente puede depender del tiempottanto como de la posicin. Si este es el caso, se tendra un campo vectorial de velocidad de la formav=v(x,y,z,t) =v1(x,y,z,t)i+v2(x,y,z,t)j+v3(x,y,z,t)k. En el caso de que el campo no dependa del tiempo se habla de campo vectorial "estable" (steady), en oposicin a "inestable" (unsteady)

Tanto la diferenciacin como la integracin de funciones vectoriales (campos vectoriales) siempre se pueden desarrollar mediante un tratamiento separado en sus componentes, y puesto que cada componente es un campo escalar, sobre estas se aplican todas las tcnicas desarrolladas en las secciones anteriores. De modo que simplemente anunciaremos que

Seaun campo escalar, entonces el gradiente de este campo escalar define un campo vectorialF, en efecto

(1)

La pregunta que surge es la inversa. dado un campo vectorialF, existe un campo escalartal que (1) se cumple? La respuesta es "no siempre", o para ser ms preciso "es la excepcin ms que la regla de que la respuesta sea positiva".

Como quiera que sea, supongamos por un momento de que dado un campo vectorialFexiste un campo escalartal que se cumple que

(2)

Consideremos la superficie definida por todos los puntos (x,y,z) tales que(x,y,z) = constante. Sobre esta superficie se tiene que

Por otro lado, seadr=dxi+dyj+dzkun vector infinitesimal que pertenece a dicha superficie, entonces

Reemplazando (2) en esta ltima igualdad nos queda

(3)

Entonces podemos concluir queF, por (2), es la mxima derivada direccional de, y adems, por (3), el campo vectorialFy el elementodrde la superficie son perpendiculares.

Finalmente, si ocurre (2), entonces el campo vectorialFse dice que esconservativoyes elpotencialpara el campo. De modo que todo campo vectorial conservativo es normal a las superficies de nivel de su potencial.

Ejemplo. Consideremos la fuerza gravitacional, dada por

(4)

que acta conforme se detalla en laFigura 1. El vectorrest orientado desde el origen, donde se encuentra el cuerpo de masaM, hacia la posicin donde se encuentra el cuerpo de masam, donder=xi+yj+zk., de modo que (4) es equivalente a

(5)

Sea el siguiente campo escalar

(6)

No resulta para nada complicado verificar que el gradiente es este campo escalar es precisamenteF, esto es se cumple que

El operadorHemos visto como el gradiente de un campo escalardefine un campo vectorial, esto es

La expresinnos indica la idea de una cierta multiplicacin ordinaria entre el "elemento" y la funcin, de modo que vamos a definir el operadorcomo

el cual ciertamente no es un "vector" en el sentido estricto, an cuando tiene soporte en en los versores cannicos. Supongamos que, para operar, alo vamos a considerar como un (seudo) vector, de modo que si tenemos, por ejemplo, un cierto campo escalarF(x,y,z) =F1(x,y,z)i+F2(x,y,z)j+F3(x,y,z)kentonces tiene sentido el siguiente producto punto

y vemos que la resultante es un campo escalar. Definimos a este especial producto punto entre el operadory el campo escalarF(x,y,z) como ladivergencia, y se denota como

Es claro que esta definicin operacional tendr una relevante importancia fsica que veremos ms adelante (algo anunciamos, la divergencia de un campo vectorial ser un lmite del flujo del campo por unidad de volumen). Sin embargo en esta seccin estaremos ms interesados en la operatoria matemtica ms que en su interpretacin fsica.

Ejemplo. Para los siguientes campos vectoriales calculas la divergencia,

Las respuestas son

Nos vamos a detener un momento en el ejercicio ( i ) anterior para precisar algunos conceptos notacionales. Considerando el campo vectorial r =xi+yj+zk, tenemos que existe un campo escalar trivial asociado a este, a saber

de modo que el operadorpuede actuar sobre estos dos campos, a saber

donde

mientras que

Existe otra operatoria notable que podemos definir entre el (seudo) vectory un campo vectorialF, a saber

y que llamaremos rotor del campoF. Como antes, este campo vectorial tiene una interpretacin fsica que luego veremos, por ahora estaremos interesados en su operatoria matemtica.

Ejemplo. Calcular el rotor del campoF(x,y,z) =xi+yj+zk. Se tiene querotF=0

Hemos dicho que el operadorse puede tratar como un (seudo) vector, entonces bajo esta ptica tiene sentido la expresin2, esto es

y sies un campo escalar, entonces

Y si tenemos el campo vectorialF(x,y,z) =F1(x,y,z)i+F2(x,y,z)j+F3(x,y,z)k, tambin tiene sentido2F, esto es

Ms sobre campos conservativosSea el campo escalar(x,y,z), y consideramos la superficie(x,y,z) =c.Sobre el dominio definido por los puntos que pertenecen a esta superficie la funcin diferencial es cero, es decird(x,y,z) = 0. Entonces

De manera que las superficies de nivel determinadas por(x,y,z) =csern ortogonales al gradiente (la Figura 1 esquematiza la situacin en dos dimensiones)

Ahora bien, formemos el campo escalarF=es decires el potencial del campoF. Entenderemos como lneas de flujo (para cualquier campo sea o no conservativo) como la familia de curvas que puede ser construida de tal forma que sus tangentes en cualquier punto sean paralelos al campo vectorial que existe en ducho punto. Observemos la figura 2.

Supongamos entonces queFes el campo vectorial, que ser una familia de vectores definidos sobre cada punto de las trayectorias de flujo, entonces sidres el vector desplazamiento que describe esta trayectoria (para mayor detallevea estas transparencias) deber cumplirse que

Fxdr=0

Puesto queF=F1i+F2j+F3kydr=dxi+dyj+dzk,

Figura 1

entonces

y esto conlleva a que

(1)

Con esto podemos decir para un campo vectorial conservativoF, la lneas de flujo sern perpendiculares a las curvas de nivel del potencial del campo. Veamos un ejemplo.

Figura 2

Ejemplo. Estudiaremos las lneas de flujo y las curvas de nivel del potencial asociado al campo vectorial en dos dimensionesF=xi-yj.

Podemos obtener las lneas de flujo mediante la ecuacin (1), esto es

esto nos conduce a quexdy+ydx=d(xy) = 0, lo que al integrar nos da quexy=c,cconstante. Y esta ecuacin representa a una familia de hiprbolas.

Por otro lado, vamos a encontrar el potencialdeF. En efecto, deber ocurrir queF=. De modo que

Integrando la primera ecuacin

siendo la constante de integracin una funcin dey. Ahora derivamos esta funcinrespecto deye igualamos aF2, y obtenemos

Y ahora integramos,

Y se concluye que

es el potencial del campoF=xi-yj. Y las curvas de nivel de=cte. sern perpendiculares axy=cte., como se observa en la Figura 3.

Surtidores y sumiderosEl campo gravitacional de Newton tanto como el campo elctrico producido por una carga elctrica son modelos muy particulares generados por un campo vectorial emanado de unasurtidorque tiene las siguientes caractersticas: Suponga que por un determinado punto, elsurtidor, fluye un fluido infinito que tiene una densidad constante, como se muestra en la siguiente Figura 1, donde se entregan las lneas de flujo.

Por simetra el campo vectorial es en rigor una funcin del radio de la esfera, esto es

dondees el vector unitario en la direccin radial. Vamos a estimar el valor dev(r) bajo las hiptesis establecidas para el fluido. El fluido en cualquier posicin del espacio tiene la misma densidad, de tal forma que no existe acumulacin de fluido en ninguna parte, por lo tanto la rapidez con que sale el fluido del surtidor debe ser igual a la razn con que el fluido cruza cualquier esfera concntrica de radior. Supongamos quekes el volumen por unidad de tiempo con que el fluido sale del surtidor, pues bien esa cantidad, por conservacin de masa, deber ser igual a la razn con que el fluido cruza la esfera concntrica de radior, y esta razn es igual a la velocidad radial que lleva el fluido en la posicinrpor el rea de la esfera que debe atravesar, esto es

Sin prdida de generalidad, y considerando que k es positivo, podemos expresarlo comok= 4m, conm> 0. Nos queda,

Figura 1

de modo que

Y el campo buscado es entonces

(1)

Aqumrepresenta la "carga" del surtidor, y sus unidades en este caso son de volumen por unidad de tiempo, y ademsr=xi+yj+zk. las lneas de flujo son rayos que salen del "surtidor", y la magnitud de la velocidad con que salen est determinada por la ley del cuadrado inverso. Ahora, perfectamentempuede ser negativo, lo que significa que las lneas de flujo son rayos que entran, y en este caso la fuente pasa a llamarsesumidero.

Es sorprendente como este sencillo modelo puede servir para la simulacin de fluidos ms complicados, y que adems este modelo es esencialmente el mismo para la formulacin de laLey Gravitacional de Newton, y para el campo elctrico generado por una carga elctrica.

Finalmente, es sencillo verificar que un potencial para el campo (1) est dado por

de manera que (1) es equivalente a

Suponga ahora que trabajamos con el campo elctrico

En este caso el potencial elctrico est definido por

Potencial vectorial y escalarEn seccin anterioridentidades en el clculo vectorialestablecimos que

div rotF=.xF= 0 (1)

rot grad=x=0(2)

Observemos los campos generados porFyque actan en ambas identidades, esto esG=xFyH=Para cada caso se dice queFes el potencial vectorial deGyes el potencial escalar deH.

Cundo un determinado campo posee potencial vectorial o escalar?

Teorema 1. SiFes un campo vectorial tal quedivF= 0 entonces existe un campo vectorialAtal quexA=F, o de otra formarotA=F. (Nota: el campo vectorialAse dice potencial vectorial deF, y no es nico)

Demostracin. Construiremos un campo vectorialAtal quexA=F, y de tal forma que, por (1), se satisfaga que

(3)

Las componentes deAdeben cumplir entonces

Puesto que la solucin no es nica, hagamos arbitrariamenteA3= 0, de modo que nos quedan las ecuaciones

Integrando las dos primeras ecuaciones, obtenemos

(4)

dondeMyNson funciones escalares arbitrarias ("constantes" de integracin). Con estas funciones armamos la tercera ecuacin que no se ha involucrado an, esto es

De la igualdad en (3) reemplazamos el integrando,

ComoNyMson arbitrarias hacemosM= 0, entonces obtenemos una expresin paraN, esta es

Hemos obtenido expresiones para las componentes del campo vectorialA, de (4) tenemos que

(5)

Nota: los valoresx0yz0son arbitrarios.

Ejemplo. Pruebe si el campoF= (x-y)i+ (y+xz)j+ (y- 2z)ktiene un potencial vectorial y encuentre uno.

No hay problema en probar quedivF= 0. Ahora aplicando directamente las frmulas dadas en (5) se tiene que

Luego una solucin como potencial vectorial es

Teorema 2. SiFes un campo vectorial tal querotF=0entonces existe un campo escalartal queF=

DemostracinPor hiptesis se cumple que

(6)

Vamos a construir la funcin escalar. En efecto, se debe cumplir que

(7)

Integrando la ltima ecuacin,

(8)

dondeP(x, y) es una funcin arbitraria y (x0,y0,z0) un punto fijo. De la ecuacin (8) obtenemos sendas derivadas parciales respecto dexey,

Remplazamos los integrandos de estas dos ecuaciones en virtud de (6), y obtenemos

Esta sustitucin nos permite una integracin directa,

Ahora utilizando las ecuaciones en (7), tenemos que

(9)

Integrando la segunda ecuacin,

(10)

Ahora derivamos esta funcin respecto dex, y utilizando la primera ecuacin en (9)

y reemplazando el integrando por la ltima ecuacin de (6), nos queda

de modo que

(11)

Recapitulando, de (8), (10) y (11) se concluye que

En definitiva, un potencial escalar est dado por

(12)

Ejemplo. Encontrar un potencialparaF= (y2+ 2xz21)i+ 2xyj+ (2x2z+z3)k

Un clculo rpido nos permite verificar que el rotor de este campo es el vector nulo. Utilizando la frmula obtenida en (12) y eligiendo el punto (x0,y0,z0) = (0, 0, 0),

Se verifica que el gradiente de este campo escalar es precisamenteF.

Curvas en el espacio: el vector tangente y longitud de curvaUn ejemplo de curva en el espacio la puede ver en laFigura 1. Consideremos una funcin continua definida en un intervalo real [a, b] y con valores en el espacio tridimensionalR3, pues bien, al rango de tal funcin le llamaremos curva. De otra forma sir(t) = (x(t),y(t),z(t) ), entonces las funciones componentes deben ser continuas en el intervalo [a, b], y al valortse le llama parmetro de la curvar. En la seccin Diferenciacin de funciones vectoriales de una sola variable hicimos notar que la curvar(t) puede representar el movimiento de una partcula, donde el vectorr(t) representa la posicin de la partcula en el tiempot. Sin embargo, no necesariamentetpuede representar el tiempo, o tal vez se tenga que utilizar otro parmetro para describir la curva que sea ms conveniente para facilidad del anlisis que se quiera hacer de la curva.

Por ejemplo, para la curvar(t) podemos efectuar el cambio de variablet=f(s), de tal forma quer(t) =r(f(s) ) =r(s) Y en este caso las derivadas derrespecto detysestn relacionadas, en virtud de la regla de la cadena, por

Un parmetro que puede reemplazar al parmetro tiempotpuede ser lalongitud de arco s. Este cambio de variable parece natural, toda vez que la longitud de arco puede describir la longitud de la trayectoria recorrida por la partcula hasta el tiempot.

Sear(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)kel vector posicin en un punto de la curva, para encontrar una frmula que describa la longitud de arco de una curva se puede realizar lo siguiente. Considerando el vector desplazamiento infinitesimal

dr=dxi+dyj+dzk

que ser tangente a lo largo de la curva. Y la magnitud de este vector es, por definicin, el elemento infinitesimal de la longitud de arco (vea laFigura 2), esto es

(1)

Puesto que el vector desplazamiento infinitesimaldrsiempre es tangente a la curva, podemos formar un vector tangente a la curva, que tenga la misma direccin y sentido quedr, y que sea unitario, esto es

que llamaremos, obviamente,vector unitario tangente a la curva. (Observe laFigura 3)

Si consideramos quer(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)kentrega la posicin de una partcula que se mueve en el espacio, entonces sabemos que su velocidad es

y la magnitud de esta velocidad es, y se puede, en virtud de (1), calcular de la siguiente forma

(2)

de modo que tenemos la magnitud del vectorv, ahora vamos a expresarven funcin del vector unitario tangente a la curva, esto es

Antes de finalizar esta seccin queremos resaltar que la ecuacin (1), o equivalentemente la ecuacin (2), nos est dando la longitud infinitesimal de la trayectoria recorrida por la partcula que ha tenido un desplazamiento vectorialdr. Por lo tanto podemos calcular la longitud del segmento de trayectoria recorrida,s, en un intervalo de tiempo [t0,t1]. En efecto, como

entonces integramos entret0yt1, y obtenemos

(3)

Ejemplo. Calcular el permetro de la regin plana encerrada por el astroidex2/3+y2/3= 1 (vea laFigura 4)

La curva que rodea el permetro est en coordenadas cartesianas, sin embargo podemos tener una sencilla representacin paramtrica mediante las ecuaciones

de tal forma que

Segn la Figura 4, el punto (1, 0) significa quet= 0, y para el punto (0, 1) se tiene quet=/ 2, y bastara encontrar la longitud de segmento entre los puntos (1, 0) y (0, 1), por la simetra de la curva, luego el permetro pedido se obtiene multiplicando por 4. De modo que

de manera que integrando segn (2), obtenemos

de manera que el permetro pedido es 6.

Vector tangente y vector normal a una curvaEn la seccin anterior establecimos que sir(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)kes una curva que eventualmente denote la trayectoria de una partcula y sis=s(t) describe la longitud de la curva en funcin de la variablet, entonces

Nota: este resultado se concluye bajo la ecuacin (2) de la seccin anterior. De tal forma que para calcular el vector tangente a la curva en un punto determinado necesitamos conocer la derivada de la funcin longitud de curvas(t), donde esta se obtiene mediante

Y es as, tambin, que podemos obtener una expresin analtica para la funcin longitud de arco, integrando esta ltima ecuacin, esto es

Veamos un ejemplo.

Consideremos la curvar(t) =acosti+asentj+btk. (a, byconstantes positivas). la derivada de esta funcin es

La magnitud o norma de este vector es

De tal forma que el vector tangente a la curva en un punto cualquiera est dado por

(1)

Y si queremos medir la longitud de la curva desde 0 hasta el valor det, tenemos que

(2)

Por ejemplo, la longitud de la curva entre los puntos (a, 0, 0) y (a, 0, 2b), puntos que corresponden a los valores det= 0 yt= 2/respectivamente, es

s(2/) -s( 0 ) = 2(a2+b2)1/2.

En particular, sib= 0 obtenemos simplemente el permetro de la circunferencia de radioa, 2a, puesto que esta hlice se proyecta como una circunferencia sobre el plano XY.Vea la grfica.

Con este mismo ejemplo, es fcil verificar que efectivamente se cumple (siempre) que

y derivando esta igualdad respecto de la variable longitud de curvas, tenemos que

de modo que aparece otro vector a escena, y que adems es ortogonal al vector tangente. Cmo podemos encontrar este nuevo vector? Notemos que

(3)

Esta ltima igualdad se debe al teorema de lafuncin inversa(si no recuerda este teorema haga click en el vnculo). De modo que, en nuestro ejemplo, derivando (1) respecto dety sabiendo el valor des'(t), tenemos que

de manera que, segn (3), nos queda

(4)

No resulta para nada complicado verificar que efectivamente el vector en (4) es ortogonal al vector tangente en (1). Si ahora hacemos unitario este vector obtenemos un vector unitario ortogonal al vector tangente, que llamaremosvector normal, y se define como

que para nuestro ejemplo

y en consecuencia

Observe la grfica. Ms adelante veremos algunas aplicaciones de este vector normal.

Vector tangente y vector normal a una curva en el planoEn esta seccin vamos a ver en detalle, y a travs de un ejemplo sencillo, el clculo de los vectores tangente y normal a una curva en el plano.

Consideremos la grfica dey=x2. Esta curva se puede llevar a as forma paramtrica de manera trivial. En efecto, consideremos la parbola en su forma paramtrica como

r(t) =ti+t2j

El clculo del vector tangente se obtiene por simple derivada respecto det, y luego se normaliza, esto es

Observemos que el vector tangente es, estrictamente hablando, un vector que es funcin det, esto es

El clculo del vector normal se obtiene mediante

donde

y adems

De tal forma que este vector normal es funcin det, esto es

En particular el punto (1, 1) pertenece a la parbola y su correspondiente valor paramtrico es parat= 1, de modo que

Observemos la grfica:

Vector binormal a una curva en el planoHenos establecido que para la curvar(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)kexisten dos vectores unitarios y ortogonales entre si, a saber

(1)

(2)

donde

Con estos vectores unitarios, podemos definir un nuevo vector unitario y ortogonal a ambos,

A este vector se le conoce como vector binormal. De tal forma que, para un punto cualquiera de la curva, se asocian tres vectores ortogonales unitarios que forman un sistema de orientacin positiva, como lo indica la Figura 1.

Notemos que sir(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)kdescribe la posicin de una partcula, entonces sabemos que la velocidad y la aceleracin de la partcula estn dadas, respectivamente, por

y se puede ver que estos vectores tienen la misma direccin que los vectores tangente y normal, respectivamente.

La curva de la Figura 1 est modelada por la funcin

r(t) = cos(2t)i+ sen( 2t)j+ 2tk

No resulta complicado deducir que los vectores unitarios asociados a cada punto de esta curva son

Figura 1

Lo interesante de este sistema de vectores unitarios y ortogonales es que constituyen una base en el espacio tridimensional, relativo a cada punto de la curva (como se observa en la Figura1). De modo que, cualquier vector asociado al punto de la curva, ya sea que dependa deto del parmetros, se podr expresar como una combinacin lineal de esta base.

Las frmulas de FrenetEn la seccin anterior establecimos que los vectores unitarios tangente, normal y binormal que son ortogonales entre s constituyen una base vectorial. Consideremos los siguientes vectores

(1)

que representan las derivadas respecto de la variable longitud de arco. Cada uno de estos vectores satisface lo siguiente

(2)

puesto que

Por otro lado, cada uno de estos vectores en (1) deben ser combinacin lineal de la base (base que a menudo se llamatriedro de Frenet), esto es

(3)

A partir de estas hiptesis vamos a probar las llamadasfrmulas de Frenet, que son las siguientes

(4)

donde los valoresyson funciones del parmetros.

Veamos la demostracin de las frmulas en (4), que no es nada ms que encontrar los valores deaijdel sistema de ecuaciones en (3).

Sabemos que

es decir

lo que se deduce, observando la primera ecuacin de (3), quea11=a13= 0, y adems

A este coeficiente le llamaremoscoeficiente de curvaturao simplementecurvatura. De tal modo que

Ahora vamos a demostrar las dos ltimas frmulas de (4).

Multipliquemos por el producto punto las dos ltimas ecuaciones de (4) por el vector normal y binormal, respectivamente. Obtenemos que

de modo quea22=a33= 0. Ahora derivemos respecto desla igualdad

y obtenemos

Al coeficientea23le llamaremoscoeficiente de torsiny lo denotaremos pora23=(s), y de paso, en virtud de la tercera ecuacin en (3), hemos encontrado quea31= 0 ya32= -a23= -(s). Con esto hemos demostrado la tercera frmula de Frenet.

Notemos que solo nos falta determinar el coeficientea21. Vamos a derivar respecto desla igualdad

entonces

Por lo tantoa21= -(s). De tal modo que, en virtud de la segunda ecuacin de (3), nos queda que

y con esto hemos demostrado la segunda frmula de Frenet.

Integrales de lnea: definicinConsideremos la curvar(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)k, y supongamos que est definida en un intervalo [a,b], y supongamos adems que existe la derivada der(t) y adems su derivada es no nula en dicho intervalo (en este caso se dice que la curva essuaveen dicho intervalo). Denotemos a la curva definida porr(t) comoC.

Seafuna funcin con valores reales definida sobre la curva C. Vamos a definir lo que entenderemos por la integral de lnea defsobreC.

Supongamos que en el intervalo [a,b] realizamos una particin que llamaremos,

:a=t0 0;ten [0, inf].

La curva es la misma que en el ejemplo anterior, slo que ahora el parmetro est entre 0 e infinito. Esta vez el campo escalar evaluado en la trayectoria est dado por

De modo que la integral en (1) para este ejemplo queda como

y cuya evaluacin es

El teorema del gradienteSupongamos que tenemos un campo vectorialF(x,y,z) de tal forma que posee un potencial escalar, esto esF=. Recuerde que un campo vectorial posee un potencial escalar sirotF=0, y adems la forma de calcular este potencial escalar est dado en laecuacin (12) de esta seccin.

Vamos a demostrar que

(1)

dondeCes una curva seccionalmente suave cuya forma paramtrica est dada porr(t) conten [a,b], y est orientada desdeP0=r(a) hastaP1=r(b) .

ComoFtiene un potencial escalar, entonces

De tal forma que la integral de lnea queda como

esto es

Y con esto queda demostrado (1).

De este resultado podemos deducir que siFes un campo vectorial que tiene un potencial escalar, entonces la integral

es independiente de la trayectoriaC. Y ms an, si la curva es cerrada esto esr(a) =r(b), entonces

Nota: el "crculito" en el smbolo de la integral sirve para denotar que se est integrando sobre una curva cerrada.

El teorema de Green: primera versinLa frmula que estudiaremos se debe aGeorge Green(vea una pequea biografa pinchando en el nombre, y ver que no es tan terriblemente malo no asistir a clases). Empezaremos por el final. La frmula esencial del teorema de Green es como sigue:

(1)

Y enseguida intentaremos explicar los diferentes elementos matemticos involucrados. En primer lugar la relacin entreRyC, es como lo indica la Figura 1.

Ces una curva cerrada suave, descrita por la forma paramtricar(t). Y la regin al interior de la curva es precisamenteR.

Consideremos el campo vectorial

(x,y) =L(x,y)i+M(x,y)j

de modo que est bien definido en todo punto deRincluida la fronteraC, y que sea continuamente diferenciable (esto es que las derivadas parciales no solo existan sino que adems sean continuas).

Vamos a ver el significado de la primera integral de (1)

Figura 1

La primera integral es simplemente la integral de lnea del campo vectorial(x,y) sobre la curva cerradaC, esto es

toda vez que(x,y) =L(x,y)i+M(x,y)j, y ademsdr=dxi+dyj.

De modo que lo primero que anuncia el trabajo de Green es que la integral de lnea de un campo vectorial sobre una curva cerrada en el plano es igual a una integral doble de una determinada funcin de dos variables sobre la regin contenida al interior de la curva cerradaC.

Nota importante: la orientacin de la curva sigue la "regla del tornillo" o de orientacin positiva, esto es en el sentido contrario a las manecillas de un reloj antiguo (no sirve reloj digital).

Un aplicacin importante de este resultado es el siguiente. Usted sabe que el rea de una reginRcomo la de la Figura 1 est dada por la doble integral siguiente

(2)

Luego esta integral en comparacin con la segunda integral en (1) se consigue cuandoL(x,y) = 0 yM(x,y) =x, de modo que tenemos un primer resultado

(3)

DondeCes la curva, orientada positivamente, que rodea a la reginR. De modo que, si la segunda integral de lnea es sencilla, nos permitir el clculo de reas sencillas.

Otra manera de conseguir una expresin para el clculo del rea de una reginRcomo en la figura siguiente es haciendo, conforme a la expresin en (1),L(x,y) = -y,M(x,y) =x. De esta forma obtenemos que

(4)

La verdad es que hay divertidas maneras de calcular el rea de una reginRcomo la indicada por la Figura 1. En efecto, considere, como antes, que la frontera deRes la curva cerradaC, entonces calculemos la siguiente integral de lnea

Aplicando la frmula (1), tenemos que, en este caso,L(x,y) = 2y,M(x,y) = 3x, de modo que

y en consecuencia aplicando el teorema de Green, obtenemos

Desde el lado contrario, tambin puede ser usado. A veces el clculo de una integral de lnea puede ser tedioso, y resulta ms sencillo utilizar la integral doble. Veamos el siguiente ejemplo.

Usemos al teorema de Green vara evaluar la integral

dondeCes la frontera del cuadrado con vrtices en los puntos (1, 0), (2, 0), (2, 1) y (1, 1), como se muestra en la Figura 2.

Identificamos las funciones componentes como

L(x,y) =x - xy,M(x,y) =y3+ 1

De modo que, obtenemos

Figura 2

y esta segunda integral doble es sencilla de resolver. En efecto

Esto es

Teora de superficies *: algunos conceptos(*): Trabajaremos con superficies de tal forma que pueda ser proyectada sobre el plano XY de manera unvoca. Esto es, que toda recta paralela al eje Z corta a la superficieSuna sola vez. Si este no es el caso, S puede ser dividida en porciones de tal forma que cada porcin tenga esta propiedad, y pueda ser tratada con el mtodo que aqu se entregar.

Existen tres formas de describir una superficie "suave" como la dibujada en la Figura 1.

Una primera forma es mediante la ecuacin

z=(x,y) (1)

conxeydefinidos en alguna regin del plano. En rigor, en este caso, la regin ser la proyeccin de esta superficie sobre el plano XY. Observe la Figura 2, donde se muestra la proyeccin de la superficieS, que denotaremos porR, sobre el plano XY.

Nuestro inters es calcular una expresin para un elemento de superficie infinitesimal, que llamaremosdS, y cuya proyeccin sobre el plano XY forma un elemento de readA=dx dy, como lo indica la Figura 3.

Figura 1.

Figura 3Figura 2

En primer lugar notemos que un vector normal (unitario) al elemento de readAes el versork. Vamos a obtener ahora un vector normal al elemento de superficiedS. Notemos que de la ecuacin 1, se tiene que

de manera que obtenemos la ecuacin

Y esto significa que el vector

es perpendicular a todo vector infinitesimaldxi+dyj+dzkque est en la superficie S, y en consecuencia n es un vector normal a la superficie. La relacin entre los vectores normales adSydA, respectivamente, como lo sonnyk, se muestra en la Figura 4.

Podemos observar que el nguloentre ambos vectores normales, es el mismo ngulo que existe entre los elementosdSydA, esto esdA= cosdS.Y sabemos que coslo podemos calcular mediante

de modo que

Frmula que nos entrega el clculo el rea del elemento infinitesimaldS.

La otra forma en que se puede entregar una superficie es

Figura 4

F(x,y,z) = 0, llamada en su forma implcita. En este caso tenemos la ecuacin

Lo que se deduce que el vector

es perpendicular a cualquier vector infinitesimaldxi+dyj+dzkque est en la superficie S. Y en consecuencia, esta vez, trabajando de manera anloga obtenemos la relacin

Teora de superficies: forma paramtricaHasta el momento hemos estudiado superficies en su forma cartesiana, esto esz=(x,y), o en su forma cartesiana implcita, esto esF(x,y,z) = 0. Sin embargo, es frecuente representar a una superficie en su forma paramtrica. Se necesitan dos parmetros para describir los puntos cartesianos y en consecuencia tener la descripcin de la superficie, esto es

x=x(u,v) ;y=y(u,v) ;z=z(u,v) (1)

dondeuyvson dos parmetros (variables) independientes y estn definidos en algn dominio deR2.

El ejemplo ms trivial resulta de la representacin paramtrica de una porcin de esfera (o de la esfera completa). Figura 1

En este caso se tiene

x=a sencos;y=a sensen ;z=a cos

De la forma paramtrica general dada en (1), a veces resulta sencillo eliminar los parmetrosuyv, y llegar a la formaF(x,y,z) = 0

En cualquier caso, obtenida la forma paramtrica (1), podemos definir el vector posicin que determina cualquier punto de la superficie. Este vector posicin est dado por

r(u,v) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k

Mediante este vector posicin podemos determinar el valor del rea de una superficie elemental infinitesimal.

Figura 1

Supongamos que tenemos un elemento de superficiedS, como lo indica la Figura 2. Si ampliamos este elemento de superficie elemental, obtendremos lo que indica la Figura 3.

Tenemos que el rea de la superficie infinitesimal (que es esencialmente coplanar) vale

(2)

Figura 2

Vamos a determinar los puntosA,ByCen funcin del vector posicinr.

Es claro que el puntoAest determinado por el vector posicinr(u,v). El puntoBest determinado por el vector posicinr(u + du,v), y el punto C est determinado por el vectorr(u,v+dv).

Entonces tenemos que

Y de esta forma reemplazando de (2), nos queda que

Figura 3

Y de esta forma obtenemos el rea infinitesimaldS. Y ahora estamos en condiciones de definir integrales de campos sobre el dominio de una superficie.

rea de una superficie suaveAhora que hemos encontrado una expresin para el elemento de superficie infinitesimaldS, que consiste en buscar su relacin sobre un plano de proyeccin (nosotros hemos proyectado la superficie sobre el plano XY, pero perfectamente poda haber proyectado la superficie sobre el plano XZ, o el plano ZY, eso depender de cul proyeccin nos entrega una integral ms sencilla). De esta forma el rea de una superficie (suave),A(S), est dada por

(1)

si la superficieSest dada porz=(x,y).

En el caso de que la superficie est en forma paramtrica, esto es

r(u,v) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k

entonces el rea de la superficie est dada por

(2)

siendoDel dominio de definicin de los parmetros (u,v).

Ejemplo 1. Encontrar el rea de la porcin del planolx+my+nz+p= 0 que est en el interior del cilindrox2+y2=a2. Figura 1.

Figura 1

Proyectaremos la porcin del plano sobre el plano XY. Por otro lado, la superficie del plano est determinada por

z=(x,y) = - (lx+my+p) /n

de tal forma que

Aplicando la frmula (1), nos queda

puesto que la ltima integral es simplemente el rea de la circunferenciax2+y2=a2, que esa2.

Ejemplo 2. Encontrar el rea de superficie de una esfera de radioa.

Sabemos que una la superficie de una esfera de radioase puede describir mediante coordenadas esfricas, esto es

x=a sencos;y=a sensen ;z=a cos

es decir

r(,) =a sencosi+a sensenj+a cosk

con

y puesto que

Entonces

Aplicando la frmula (2), nos queda

ntegrales de superficie de un campo escalarLa integral para el clculo del rea de una superficie lo podemos extender para una integral de un campo escalar(x,y, z) definida sobre una superficieS,dada por z =(x,y). En efecto, si la superficie S se proyecta sobre una reginRen el plano XY (o cualquier otro plano, con los cambios naturales), entonces

donde recordemos que

dondees el vector unitario normal a la superficieS, y ademsdA=dx dy

Ahora si la superficie S est en su forma paramtrica, esto esr(u,v) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, donde. Y si(x,y, z) es un campo escalar definido sobre la superficie, entonces

Ejemplo. Se pide evaluar la integral

dondeSes le superficie lateral del conox2+y2=z2que yace entre los planosz= 0 yz= 1. Como lo indica la Figura 1.

Proyectando la superficie sobre el plano XY, y considerando que la superficie est entregada en su forma implcita, esto esx2+y2-z2= 0, esto es

F(x,y,z) =x2+y2-z2= 0

entonces aplicando la frmula

tenemos que

De modo que debemos integrar

Figura 1

siendoRla regin del interior de la circunferenciax2+y2= 1. Esta integral la podemos desarrollar utilizando el cambio de variable a coordenadas polares, esto es

x=cos ;y=sen

dondedx dy=dd. Entonces la integral nos queda como

Y esta doble integral vale

Ejemplo 2. Este ejemplo nos advierte que la proyeccin de la superficie debe hacerse en forma conveniente. Evaluar la integral

donde S es la superficie de la semiesferax2+y2+z2= 1,y> 0

Si proyectamos sobre el plano XY deberamos efectuar dos proyecciones, una para el hemisferio superior y otra para el inferior. Sin embargo, si proyectamos sobre el plano XZ, obtenemos como regin de proyeccin el interior del crculoz2+x2= 1,y= 0 (Rzx).

En este caso, el elemento de superficiedSestar dado por

donde

Figura 2

Y la integral de superficie queda como

Y queda simplemente el clculo del rea del interior del crculoz2+x2= 1, esto es

Flujo de un campo vectorialEl objetivo de esta seccin es explicar la integral

(1)

dondeFes un campo vectorial,Ses una superficie suave cerrada,dSes el elemento vectorial del rea de superficie elemental, esto es

siendoel vector normal unitario a la superficie. Y desde ya, en base a la explicacin que daremos a continuacin, la integral dada en (1) diremos que es el flujo del campo vectorial a travs de la superficie.

Flujo, de manera general, es "cantidad" que fluye por unidad de tiempo (en un lugar especificado). Por ejemplo en un ro, respecto de un punto referencial en una orilla del ro podemos decir que el flujo es de 3m3/seg. En general, todo fluidofluye. Y valga la redundancia, puesto que hay elementos que no son fluidos, en el sentido estricto fsico, pero sin embargo fluye, como por ejemplo el dinero. En efecto, podemos hablar del flujo de exportacin, al decir 5 millones de dlares al mes en flujo de exportacin. Como se quiera, queremos establecer que, por lo general, el flujo de una cantidad, en un determinado lugar del espacio, es la variacin respecto del tiempo. (Recordemos que el trmino usado por Newton para introducir el concepto de derivada fue defluctuacionesoflujo).

De manera que cuando queremos medir flujo de algo, debemos establecer en primer lugar el sitio donde vamos a contar el flujo, el sitio donde pasar el material o el fluido. Pensemos entonces en una superficie cerrada (que puede ser virtual)

Consideremos entonces un fluido que fluye a travs de una superficie cerradaS.

Seavla velocidad del fluido, yla densidad del fluido, que puede variar en cada punto del espacio, y eventualmente puede varias respecto del tiempo, esto es

v=v(x,y,z,t) ;=(x,y,z,t)

El flujo que pasa a travs de la superficieSse determina primero examinando el flujo de salida a travs de un elemento de superficiedS.

Notemos que la magnitud de la velocidad del fluido que pasa por el elementodSen direccinest dado por

En un tiempo infinitesimaldtel fluido que pasa a travs dedSa la velocidadvrecorrer una distanciadl. Esto es

Figura 1

El volumendVde fluido que fluye a la velocidadvdurante el tiempodtser igual al cilindro elemental de basedSy longituddl, esto es (observe la Figura 2)

Luego, la cantidad de masa infinitesimal que ha fluido dentro de ese cilindro es de

Figura 2

Por lo tanto, la suma de todas las masas infinitesimalesdm, cada una de ellas en un elemento de superficiedS, constituir el incremento de masadMque fluye fuera de la superficie cerradaS, en un intervalo de tiempo infinitesimaldt. (Observemos que an estamos en un tiempodt, de modo que los elementos de masadmson doblemente pequeos, puesto que an sumndolos ellas apenas conforman una masa grande pero infinitesimaldM). Sumando, obtenemos entonces

de modo que la masa que pasa a travs de la superficie por unidad de tiempo, esto es el flujo del fluido es de

En resumen, la integral de superficie describe el flujo de la masa transportada por el vectorva travs deS. Y este es el sentido y la aplicacin que tendr la integral en (1). Nuestro prximo objetivo, entonces, es calcular analticamente la integral en (1) puesto que necesariamente tendr un tratamiento especial en virtud de que no es una superficie abierta, esto es que admita una nica proyeccin sobre algn plano.

Integral de un campo vectorial sobre una superficie cerradaEl objetivo de esta seccin es desarrollar en forma directa la integral

dondeSes una superficie cerrada. Supongamos que, respecto del plano XY la superficieSes la suma de dos superficies, digamosS1yS2, como se observa en la Figura 1.

Observemos, que en este caso, toda recta paralela al eje Z corta a lo ms en dos puntos a la superficie cerradaS. De modo que es intuitivamente claro que

(1)

S1est dado porz=1(x,y) yS2porz=2(x,y). Los vectores normales unitarios para ambas superficies estn dados por

De modo que evaluando el campo vectorial en cada una de las superficies,

F =F1i+F2j+F3k

Figura 1

Podemos calcular ambas integrales de la manera habitual, esto es

Recuerde que

Y con estas integrales, sumando, obtenemos la integral en (1). Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1. Evaluar la integral (1) dondeSes la superficie de la esferax2+y2+z2=a2, yF=x3i+y3j+z3k.

La esfera la dividimos en dos superficies abiertas,S1que ser la parte correspondiente al hemisferio norte, esto es

S1:x2+y2+z2=a2 ; z > 0

y la superficieS2correspondiente al hemisferio sur, esto es

S2:x2+y2+z2=a2 ; z < 0

De tal forma que la forma la superficieS1est caracterizada por

(2)

Y la superficieS2por

donde (x,y) pertenecen al interior del crculo en el plano XY de radioa.

En ambos casos se puede verificar que los vectores normales

;

son iguales, y tienen el valor de

Realizando el producto

que es igual a

luego reemplazandozpor el valor en (2), obtenemos

De manera que debemos integrar esta expresin en la regin del interior del crculox2+y2=a2.Utilizando coordenadas polares, esto es

y recordando quedx dy=dd, nos queda la integral

Como el clculo para la integral enS2es el mismo, tenemos que multiplicar este resultado por 2, y obtenemos que

Como podemos observar, resulta bastante tedioso calcular este tipo de integrales de esta manera directa. Afortunadamente existe otra forma analtica de calcular integrales de un campo vectorial sobre superficies cerradas. Y esto lo da el llamadoTeorema de la Divergencia.

El teorema de la divergenciaEl teorema de la divergencia, conocido tambin como el Teorema de Gauss, establece una forma analtica del clculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Especficamente el teorema de la divergencia dice que:

(1)

dondeSes una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumenV,Fes un campo vectorial arbitrario, yes, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. En esta seccin nuestro objetivo ser aplicar este teorema, dejando su demostracin para ms adelante. De momento podemos pensar que que el flujo deFa travs de la superficieSes igual a la divergencia deFtomada a travs del volumenV.

En la seccin anterior habamos evaluado (con cierta dificultad) la integral

dondeSes la superficie de la esferax2+y2+z2=a2, yF=x3i+y3j+z3k, y cuyo resultado fue 12a5/ 5. Esta vez aplicaremos la frmula dada en (1).

La divergencia deF=x3i+y3j+z3kes

de modo que debemos calcular la integral

Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radioaparece natural hacer cambio de variable y utilizar las coordenadas esfricas, esto es

donde el dominio de las variables (,,) es

y adems

De modo que obtenemos la siguiente integral

puesto quex2+y2+z2=2. Efectuando los clculos, nos queda

Como podemos observar, el clculo del flujo es analticamente ms manejable a travs de la divergencia sobre el volumen. Veamos otro ejemplo.

Calcular el siguiente flujo

dondeSes la superficie del slido constituido por el planoz= 3x+ 2 y el cilindrox2+y2= 4.

La divergencia del campo vectorialF= 2yi+ 3zkesdivF= 3. Por otro lado, para describir el volumen utilizaremos las coordenadas cilndricas, esto es

y adems

donde el dominio de las variables (,,z) est dado por

de modo que

Como podemos observar, la aplicacin del teorema de la divergencia se fundamenta en saber calcular simples integrales sobre un volumen, y, a travs de estos ejemplo, podemos ver que juega un papel fundamental las coordenadas esfricas y cilndricas.

El teorema de Green: caso especial del teorema de la divergenciaEl teorema de la divergencia nos dice que el flujo de un campo vectorial que pasa por una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia,

Vamos a considerar un caso particular de campo vectorial, para decantar el el conocido teorema de Green.

Supongamos que tenemos el campo vectorial

F=F1(x,y)i+F2(x,y)j

Y vamos a considerar un volumenVde un slido acotado por los planosz= 0 yz= 1, y cuya seccin transversal es la reginRproyectada sobre el plano XY, como lo indica la Figura 1.

Un volumen elemental est dado pordV=dx dy dz. Vamos a calcular la integral sobre el volumenVde la divergencia deF, esto es

de modo que

(1)

Vamos a probar que esta ltima integral doble corresponde a una particular integral de superficie.

Observemos que sobre los planosz= 0 yz= 1, el vector

Figura 1

normal es, respectivamente,y. Y por lo tanto tenemos el siguiente resultado para ambos casos.

De modo que si consideramos la integral de flujo

(2)

las caras determinadas por los planosz= 0 yz= 1 no hacen ninguna contribucin. De modo que debemos preocuparnos por la superficie "lateral", y sobre esta superficie consideraremos una superficie elemental de la forma

dS= 1ds

puesto que en esencia esta superficie elemental ser una superficie planar (rectangular) de altura 1 y longitud basalds, que corresponder a la longitud del arco de la curva que rodea a la reginR. Vea la Figura 2.

Entonces la integral de superficie en (2) se reduce a una integral de lnea sobre la curva cerradaCque rodea a la reginR, esto es

Por otro lado el vectores normal a la curvaC(puesto que es normal a la superficie lateral del cilindro), y el vectorkes normal a la reginRy por lo tanto es el vector binormal a la curvaC, tenemos que constituyen el triedro de Frenet, junto al vector tangente, donde

Observe la Figura 3, de modo que la integral de lnea en (2) se puede escribir como

Figura 2

y puesto que

obtenemos que

y puesto quedr=dxi+dyj, entonces

(3)

Figura 3

Comparando (1) y (3), obtenemos el teorema de Green, esto es

donde,F1=M,F2= -L, y obtenemos la antigua frmula

Nota: en la utilizacin del vectorestamos asegurando que la integracin a lo largo de la curva se realiza en sentido contrario a las "manecillas de un reloj".

El teorema de Stokes: generalizacin del teorema de GreenEl teorema de Green nos dice que la integral de un campo vectorialF=L(x,y)i+M(x,y)jsobre una curva cerradaC, entonces

dondeRes la regin que tiene como frontera la curvaCque pertenece al plano XY.

Vamos a extender esta nocin a una curva en el espacio (no necesariamente plana).

Como es norma en este curso, vamos a entregar el teorema de Stokes para ver su aplicabilidad y luego daremos el esbozo de su demostracin.

Supongamos que tenemos una superficieS"abierta"cualquieraen el espacio (que no es cerrada), y cuyo permetro esC(vea la Figura 1). Y supongamos que tenemos un campo vectorialFdefinido sobreC, entonces

(1)

dondees el vector normal unitario a la superficie S (orientado segn la "regla del tornillo" respecto de la orientacin positiva de la curvaC)

Vamos a ver que la frmula dada en (1) es es una extensin del teorema de Green.

En efecto, supongamos que la superficie S es de tal forma que luce como lo indica la Figura 2.

Si consideramos el campo vectorialF=L(x,y)i+M(x,y)jactuando sobre la curva C, entonces aplicando el teorema de Green

(2)

Figura 1

por otro lado, el rotacional deFes

Ahora observemos que el vector normal a la reginResk, y por otro lado

Por lo tanto la integral en (2) queda como

Figura 2

donde esta vezRhace el papel de la superficie y el vector normal a dicha superficie es justamentek. Y esta ltima frmula es la que se conoce como el teorema de Green en suforma circulacin-rotacional.