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LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN

AUS DEM GEBIETE DER

EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

MATHEMATISCHE REIHE

BAND 12

DIE ZWEIDIMENSIONALE

LAPLACE-TRANSFORMATION

EINE EINFÜHRUNG IN IHRE ANWENDUNG ZUR LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN

NEBST TABELLEN VON KORRESPONDENZEN

VON

DIETRICH VOELKER UND GUSTAV DOETSCH

DR.RER.NAT.HEIDELBERG O. UNIV.-PROF. FREIBURG I. B.

Springer Basel AG 1950

ISBN 978-3-0348-6971-3 ISBN 978-3-0348-6970-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-6970-6

Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere

das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion

auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten

Copyright 1950 by Springer Basel AG

Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Basell950.

Softcoverreprint of the bardeover 1st edition 1950

Vorwort

Die klassische eindimensionale Laplace-Transformation gehört heute zum Allgemeingut der Mathematiker und Ingenieure und hat seit dem Erscheinen der Monographie "Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation» in fast allen Kultursprachen eine Darstellung in Buchform gefunden. Dagegen ist die zweidimensionale (oder doppelte) Laplace-Transformation bisher nur gelegentlich in vereinzelten Abhandlungen verwendet worden. Eine systematische Darstellung ihrer Grundlagen und Anwendungen sowie eine Herausarbeitung ihrer besonderen Eigentümlichkeiten fehlt bisher. Eine solche will das vorliegende Buch bieten, das zum weitaus größten Teil aus bisher unpubliziertem Material besteht. Dabei ist alles Unwesentliche, vor allem das, was sich leicht aus der eindimensionalen Laplace-Transformation ergibt, weggelassen und das Hauptgewicht auf die Behandlung von Differentialgleichungen gelegt worden, die ja auch bei der klassischen Laplace-Transformation das Hauptanwendungsgebiet bilden.

Es zeigt sich die unerwartete Tatsache, daß es hierbei nicht so sehr wie bei der eindimensionalen Laplace-Transformation darauf ankommt, zu möglichst vielen spe?_iellen Funktionen die korrespondierenden Funktionen zu kennen, als vielmehr zu gewissen allgemeinen auf eine Funktion ausgeübten Operationen die entsprechenden Operationen an der korrespondierenden Funktion ausfindig zu machen. Diese Abbilder von Operationen werden im Abschnitt A des zweiten Teils in Tabellenform dargeboten, während in Abschnitt B die wichtigsten speziellen Funktionen mit ihren Abbildern aufgeführt sind. Damit hoffen wir, den Praktikern die notwendigen Instrumente für die neue Technik der zweidimensionalen Laplace-Transformation zur Verfügung gestellt zu haben.

Die Tabellen reichen weit über die im ersten Teil des Buches behandelten Typen von Randwertproblemen hinaus. Damit soll einer Entwicklung vorgebeugt werden, wie sie in der ersten Zeit auf dem Gebiet der eindimensionalen Laplace-Transformation Platz gegriffen hat. Dort brachte jedes Buch über diesen Gegenstand eine kleinere oder größere Tabelle von Korrespondenzen, wobei nicht wesentlich über das hinausgegangen wurde, was für die Zwecke des betreffenden Buches gerade ausreichend erschien, so daß es eine ganze Anzahl von kleinen Tabellen mit immer den gleichen einfachen Korrespondenzen gibt. Statt

6 Vorwort

dessen wäre es natürlich zweckmäßiger gewesen, besonders vom praktischen Standpunkt aus, wenn man von vorneherein in einer großen Tabelle alle bereits bekannten Korrespondenzen zusammengefaßt hätte, der man dann die später neu aufgefundenen hätte jeweils einfügen können. Eine derartige umfassende Tabelle für die eindimensionale Laplace-Transformation ist dann erst im Jahre 1947 erschienen (siehe Seite 12).

Für die zweidimensionale Laplace-Transformation sind daher auf Grund dieser Erfahrung im vorliegenden Buch sogleich umfangreichere Tabellen aufgestellt worden, wobei wir uns darüber im klaren sind, daß diese trotzdem noch in verschiedenen Richtungen ausbaufähig sind. Die meisten Impulse werden wahrscheinlich aus den technischen Anwendungsgebieten kommen. Beiträge und Anregungen für den weiteren Ausbau des Werkes sowie etwaige Berichtigungen bitten wir an den Verlag Birkhäuser, Basel (Schweiz), Elisabethenstraße 1 ;, senden zu wollen.

Zu aufrichtigem Dank sind wir Herrn Albert Birkhäuser verpflichtet, der ein wegen seiner Tabellen so schwierig zu setzendes Buch in Verlag genommen hat, und dem es überdies gelungen ist, gerade diese Tabellen in typographisch so vorbildlicher Ausstattung herauszubringen.

Januar I9)0. Die Verfasser

7

Inhaltsverzeichnis

I. TEIL

Die zweidimensionale Laplace-Transformation und ihre Anwendung zur Lösung von Randwertproblemen

von G. Doetsch und D. Voelker

I. Abschnitt

Einführung in die Theorie der ß2- Transformation Seite

1. Kapitel: Die grundlegenden Eigenschaften der ß•-Transformation 13 § 1. Rekapitulation der wichtigsten Abbildungseigenschaften der eindimen-

sionalen Laplace-Transformation . . . . . · . . . . . . . . . . . . 13 § 2. Definition und Konvergenzgebiet der zweidimensionalen Laplace-Trans-

formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 § 3. Ausführupg der ß 2- Transformation durch sukzessive Anwendungzweier

ß-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 4. Die Holamorphie der .B-Transformierten . . . . . . . . . . . . . 29 § 5. Die Abbildung der linearen Substitution in der Original- und Bild-

funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 § 6. Die Abbildung der Differentiation der Originalfunktion 34 § 7. Die Abbildung der F altung . . . . . . . . . . . . 36

II. Abschnitt

Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen

2. Kapitel: Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 38 § 8. Allgemeine Richtlinien für die Behandlung von Randwertproblemen ver-

mittels .B•-Transformation . . . . . . . . . . . 38 § 9. Die partielle Differentialgleichung erster Ordnung. . . . • . . . . . 40

3. Kap i t e 1 : Einige spezielle partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . 53

§ 10. Die Wärmeleitungsgleichung . . ·. . . 53 § 11. Die Wellengleichung . . . . . . . . . 59 § 12. Die Wellengleichung in anderer Gestalt. 68 § 13. Die Telegraphengleichung • . . . . . 70 § 14. Die inhomogene Potentialgleichung (Poissonsche Gleichung) 74

8 Inhaltsverzeichnis

4. Kap i t e I : Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 15. Eine Beziehung zwischen der Methode der E•-Transformation und der Greensehen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 16. Feststellung der Verträglichkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . 94 § 17. Gleichung von hyperbolischem Typ ohne Verträglichkeitsbedingung . 100 § 18. Gleichung von hyperbolischem Typ mit einer Verträglichkeitsbedingung 102 § 19. Gleichung von hyperbolischem Typ mit zwei Verträglichkeitsbedin-

gungen . . . . . . . . . . . . 106 § 20. Gleichung von parabolischem Typ . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5. Ka pi te I: Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . 113

§ 21. Ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung 113 § 22. Das System ohne Verträglichkeitsbedingungen (0 ~p1 ~p2) 115 § 23. Das System mit einer Verträglichkeitsbedingung (p1 < 0 ~p2) 120 § 24. Das System mit zwei Verträglichkeitsbedingungen (p1 ~ p 2 < 0) 121

III. Abschnitt

Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen

6. Kapitel: Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 25. Allgemeine Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 § 26. Wärmeleitung in einer Platte. Aufstellung und Lösung der Bildgleichung 123 § 27. Erste Methode der Rücktransformation . 127 § 28. Zweite Methode der Rücktransformation 132 § 29. Dritte Methode der Rücktransformation 139

IV. Abschnitt

Funktionalrelationen und Reihenentwicklungen

7. Kap i t e I : Die Übertragung von Funktionalrelationen und Reihen-entwicklungen 143

§ 30. Funktionalrelationen . 143 § 31. Reihenentwicklungen 146

Literaturverzeichnis . . . . 149

9

Il. TEIL

Tabellen von Korrespondenzen

von Do Voelker

Vorbemerkungen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 153

Ao Korrespondenzen von allgemeinen Operationen 155

1. Fundamentale Operationen im Oberbereich o 0 o o 155 20 Operationen, die aus eindimensionalen Korrespondenzen zweidimensionale

erzeugen o o o o o o o o o o o o o o o o 0 o o o 0 0 o o o 0 o o 162 3. Fortsetzung: Differenzenquotienten im Unterbereich 0 0 0 o 0 0 0 o 0 173 40 Operationen, die aus zweidimensionalen Korrespondenzen zweidimen-

sionale erzeugen o o o o 0 0 o o 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 182 5o Fortsetzung: Differenzenquotienten im Unterbereich 0 0 0 0 0 0 0 0 0 199 6o Operationen, die aus zweidimensionalen Korrespondenzen eindimensionale

erzeugen o o 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 207

B. Korrespondenzen von speziellen Funktionen 0 208 1. Rationale Funktionen o o o 208 20 Irrationale Funktionen 227 30 Logarithmische Funktionen 238 4o Exponentialfunktionen 241 5o Hyperbelfunktionen 244 6o Integralfunktionen 0 0 245 7o Konfluente hypergeometrische Funktionen o 246 80 Sonstige Funktionen o o o 0 o o 0 248

C. Funktionen-Liste mit Definitionen 249

I. TEIL

Die zweidimensionale Laplace-Transformation

und ihre Anwendung zur Lösung von Randwertproblemen

von

G. Doetsch und D. Voelker

12

Gebrauchsanweisung für Praktiker

Denjenigen Lesern, denen es hauptsächlich auf die praktischen Anwendungen ankommt, wie Ingenieuren und Physikern, sei angeraten, das 1. Kapitel zunächst nur flüchtig zu lesen und gleich mit dem 2. Kapitel zu beginnen, dieses aber sehr gründlich zu studieren und sich an dem dort vorgeführten einfachen Beispiel die wesentlichen Züge der Methode zu eigen zu machen. Der Leser möge dabei die Verweise auf die Sätze des 1. Kapitels zum Anlaß nehmen, die einschlägigen Stellen nachzulesen, um auf diese Weise nach und nach auch in die theoretischen Grundlagen einzudringen. Sodann empfiehlt es sich, ein Beispiel aus dem 3. Kapitel, etwa § 10 (lineare Wärmeleitung) durchzuarbeiten und anschließend gleich das 6. Kapitel (Wärmeleitung in der Ebene) in seinen Hauptzügen zur Kenntnis zu nehmen. Nach diesem Überblick wird dem Leser ein Zurechtfinden in den übrigen Teilen und ein Nachschlagen in auftretenden Bedarfsfällen ziemlich Ieich t fallen.

Erklärung der abgekürzten Zitate

G. DoETSCH: Theorie und Anwendung der Laplace- Transformation. Verlag Julius Springer, Berlin 1937; zitiert als «L T».

G. DoETSCH-H. KNIESs-D.VoELKER: Tabellen zur Laplace- Transformation und Anleitung zum Gebrauch. Springer-Verlag, Berlin und Göttingen 1947 1 ;

zitiert als «TB". Auf die dort aufgeführten Operationen (S. 75-80) wird mit «TB. OP. (Nr.)», auf die Korrespondenzen (S. 81-163) mit «TB. KORR. (Nr.)» verwiesen.

G. DoETSCH: Handbuch der Laplace- Transformation. I. Band: Theorie der Laplace-Transformation. Verlag Birkhäuser, Basel 1950; zitiert als "HB "·

Verweise auf die Korrespondenzen von allgemeinen Operationen und speziellen Funktionen im li. Teil des vorliegenden Buches werden mit «A. (Nr.)» bzw. «B. (Nr.)» gegeben.

1) Die beiden letztgenannten Verfasocrnamen sind beim Erscheinen des Buches im Jahre I 947 infolge der damaligen Verhältnisse in Deutschland weggelassen worden.

13

I. Abschnitt

EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER E 2-TRANSFORMATION

1. Kapitel

Die grundlegenden Eigenschaften der E2-Transformation

§ 1. Rekapitulation der wichtigsten Abbildungseigenschaften der eindimensionalen Laplace-Transformation

Die klassische (eindimensionale) Laplace-Transformation

00

J(s} = fe-st F(t} dt ~ E{F} , 0

die der" Originalfunktion" F(t) die" Bildfunktion ".f(s) zuordnet, hat sich als ein höchst brauchbares Instrument zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen sowie zur Herleitung tiefliegender Eigenschaften von speziellen Funktionen (asymptotische Entwicklungen, Funktionalrelationen u. dgl.) erwiesen. Sie umfaßt die unter dem Namen" Heavisidekalkül" bekannte Operatorenmethode als speziellen Fall und gibt dieser besonders in der Technik beliebten, aber nur auf heuristischen Erwägungen beruhenden Methode ein solides Fundament. Die Wirksamkeit der Laplace-Transformation bei Differentialgleichungen beruht darauf, daß sie die Anzahl der Variablen, nach denen differenziert wird, um eins reduziert, so daß z. B. aus einer partiellen Differentialgleichung in zwei unabhängigen Variablen (ursprüngliches Problem) eine gewöhnliche Differentialgleichung in einer Variablen (reduziertes Problem) wird. Wendet man nun die Laplace-Transformation noch ein zweites Mal hinsichtlich dieser übriggebliebenen Variablen an, so kommt überhaupt keine Differentiation mehr vor, und das Problem ist auf eine algebraische Gleichung reduziert. Statt der sukzessiven Anwendung zwei er (eindimensionaler) Laplace-Transformationen kann man auch unmittelbar eine als Doppelintegral zu schreibende "zweidimensionale» LaplaceTransformation durchführen. Mit dieser wollen wir uns in dem vorliegenden Buch beschäftigen, und zwar vorwiegend vom Standpunkt der praktischen Anwendung aus. Wir werden daher vieles, was nur theoretisches Interesse bietet, beiseite lassen (zumal bei diesen Gegenständen die Verallgemeinerung auf zwei Dimensionen oft sehr naheliegend ist) und uns auf diejenigen grundlegenden· Tatsachen und Abbildungseigenschaften beschränken, die bei der Lösung von Randwertproblemen eine Rolle spielen - unter Betonung derjenigen Dinge, die gegenüber der klassischen Laplace-Transformation als neu auftreten. Es wird

14 Einführung in die Theorie der 2'-Transformation

sich zeigen, daß die Zahl der an den Bildfunktionen ausgeübten« Operationen ", deren Gegenstück an den Originalfunktionen man kennen muß, um von der Lösung des reduzierten Problems bequem auf die des ursprünglichen Problems schließen zu können, unvergleichlich viel größer ist als bei der eindimensionalen Laplace-Transformation, so daß schon die Ableitung der für die Anwendungen wichtigsten Gesetze dieser Art ziemlich viel Raum beansprucht und alles nicht unbedingt Notwendige zurücktreten muß.

Zunächst stellen wir, um kurz darauf verweisen zu können, diejenigen Eigenschaften der eindimensionalen Laplace-Transformation zusammen, die inderFolge immerzu gebraucht werden, wobei wir beim Leser eine gewisse Vertrautheit mit dem Gegenstand voraussetzen. Es ist selbstverständlich, daß jemand, der mit der zweidimensionalen Laplace-Transformation arbeiten will, die eindimensionale einigermaßen kennen muß.

Statt Laplace-Transformation sagen wir kurz S!-Transformation. Die Funktion F(t), die in jedem endlichen Intervall 0 < t < T absolut integrabeP) vorausgesetzt wird und sich im Unendlichen so verhalten muß, daß das Integral S!,{F} für mindestens einen Werts= s0 konvergiert, heißt Originalfunktion oder Oherfunktion. Die Funktionf(s), die für alle komplexen s mit 9ls > 9ls0 existiert und analytisch ist, heißt Bildfunktion oder Unterfunktion oder S!-Transformierte. Oberfunktionen werden nach Möglichkeit durch große Buchstaben, Unterfunktionen durch die entsprechenden kleinen bezeichnet. Die Zusammengehörigkeit zweier Funktionen Fund f wird entweder durch das Funktionalr.eichen S! ausgedrückt:

f(s) = S!{F(t)}

(«die S!-Transformation ordnet der Funktion F die Funktion f zu ") oder durch das Korrespondenr.r.eichen o-• :

F(t) o-• f(s) oder f(s) ·-o F(t)

(«der Funktion F entspricht die Funktionf") 2 ).

Ähnlichkeitssatz: Ist F(t)o-•f(s), soist

F(at) o-• ~ f(:) füra>O,

oder in anderer Form:

f(hs) •-o ~ F(;) für h>O.

Diesen Satz braucht man manchmal auch für komplexe a. Er gilt hierfür unter folgenden, die Funktion F(t) stark einschränkenden Bedingungen:

1 ) Wird der Integralbegriff im Riemannschen Sinn verstanden, so soll das heißen, daß an den Steilen uneigentlicher Integrabilität das Integral absolut konvergiert. Bei Lebesgueschen Integralen soll es bedeuten, daß die Funktion in jedem endlichen Intervall summierbar im Sinne von Lebesgue ist.

1 ) Zum folgenden siehe LT S. 147-162; TB S.13-19; HB S. 85-131.

[§ 1] Die grundlegenden Eigenschaften der B'-Transformation 15

F(t) sei analytisch im Innern des Winkelraums zwischen der positiv reellen Achse und dem Strahl von 0 nach a sowie auf den Schenkeln stetig; es gebe zwei positive Konstante C und c, so daß IF(t)l ~ Cccltl in dem Winkelraum ist.

Dämpfungssatz: Ist F(t) o-o f(s) , so ist

e- Yt F(t) o-o f(s + y) für heliehiges komplexes y.

Verschiebungssatz: Ist F(t) o-of(s), so ist

F(t- h) o-o e-bsf(s) für h> 0,

wohei F(t-h) = 0 für 0 ~ t < h zu setzen ist. (F(t) ist also für negative t durch 0 zu definieren.)

Differentiationssatz: Wenn p<n>(t) für t>O exzsuert und .ü{F<r.l} (n?d) für ein reelles s = x 0 > 0 konvergiert, so existieren die Grenzwerte

lim F(t) = F0 , lim F'(t) = F~, ... , !im p<n-1l(t) = p~n-1), t-> +O t-+ +O t-> +O

und .ü{F} = f(s) ' .ü{F'} ' ... ' .ü{F<n-1)} konvergieren für ms > Xo > 0 absolut. Ferner gelten die Korrespondenzen:

F'(t)o-o sf(s)-F0 ,

F"(t)o-o s2f(s)- F0s- Fci,

Sind die Funktionen F(t) , F'(t) , · · ·, p<n - 1>(t) an der Stellet= 0 stetig, so kann man F0 , F~, ···durch F(O), F'(O), ···ersetzen.

Die Korrespondenz F'(t) o-o sf(s) - F0 giltauch noch, wenn F'(t) in isolierten Punkten nicht existiert, falls dort F(t) wenigstens stetig ist. Analog gilt F"(t) o-o s2f(s)- F0s- F~, wenn F"(t) in isolierten Punkten nicht existiert, F'(t) dort aber stetig ist usw.

Die Funktion t t

I F1(T) F2(t-T) d-r =I Fl(t-T) F2(T) dT = Fl*F2 0 0

heißt die F al tung von F1 und F2• Sie existiert für alle t > 0 und ist stetig, wenn eine der beiden Funktionen in jedem endlichen Intervall 0 ~ t ~ T beschränkt ist, oder beide in jedem endlichen Intervall 0 < T1 ~ t ~ T2 beschränkt sind, oder beide in jedem endlichen Intervall quadratisch integrabel sind. Im allgemeinen Fall existiert sie nur für fast alle t und ist integrabel im Lebesgueschen Sinn.

16 Einführung in die Theorie der ~'-Transformation

Faltungssatz: Konvergieren i!{F1} und i!{ F2} für dasselbe s absolut, so konvergiert auch i!{F1 * F2} für dieses s absolut, und es ist

Insbesondere ist t

I F(r) dr = F* 1 o-• ~ f(s)

§ 2. Definition und Konvergenzgebiet der zweidimensionalen Laplace-Transformation 1)

Vorbemerkung: Bei der 1!-Transformation nannten wir die Variable der Oberfunktion t (weil sie in den Anwendungen meist die Zeit bedeutet), die der Unterfunktion s. Es wäre unpraktisch, wenn wir beim Übergang zu zwei Variablen die alten Variablen t und s beibehalten und zwei neue Variablen, etwa i und a, hinzufügen würden. Denn wir werden häufig Sätze über die 1!-Transformation heranziehen, und zwar manchmal für das erste Variablenpaar (t, s), manchmal für das zweite (r, a), so daß sich dabei leicht Verwechslungen und terminologische Schwierigkeiten einstellen könnten. Auch die Bezeichnung t 1 , t 2 für die Variablen der Originalfunktion und s1 , s 2 für die der Bildfunktion wäre unpraktisch, weil sie uns der Möglichkeit berauben würde, spezielle Werte der Variablen durch Indizes zu bezeichnen. Wir nennen daher aus wohlerwogenen Gründen die Variablen der Originalfunktion x, y und die der Bildfunktion u, v, womit wir Bezeichnungen verwenden, wie sie auch sonst in der Analysis für Variablenpaare üblich sind.

F (x,y) sei eine (reell- oder komplexwertige) Funktion der reellen Variablen x,y, die in dem Quadranten ,\): 0~ X < oo, 0 ~ y < oo definiert und in jedem endlichen Rechteck 9txy: 0~ x~ X, O~y~ Y (in einem noch näher zu präzisierenden Sinn) integrabel ist. Wenn für ein komplexes Wertepaar u, v der Grenzwert des Doppelintegrals

(1) lim X-+oo, Y-?oo

X y

I I e-ux-vy F(x,y) dx dy 0 0

existiert, so nennen wir ihn das yweidimensionale Laplace-lntegral von F(x,y) für das Wertepaar u, v und schreiben:

0000

{2) f(u, v) =I I e-ux-vy F(x,y) dx dy ~ i!~, v {F(x,y)} oder ,Ü2{F}. 0 0

') Zu diesem Paragraphen vgL AMERIO {siehe das Literaturverzeichnis am Schluß) sowie VoELKER,

und für den Fall, daß die Integrale im Stieltjesschen Sinn verstanden werden, BERNSTEIN,

[§ 2] Die grundlegenden Eigenschaften der 2'-Transformation I7

Existiertj(u, v) nicht nur in einem Punktepaar u, v, sondern in einem ganzen Gebiet der komplexen u- und der komplexen v-Ebene, so nennen wir j(u, v) die yweidimensionale Laplace-Transformierte (kurz ..\22- Transformierte) von F(x,y) oder auch (in Analogie zu dem Wort Doppelintegral für zweidimensionales Integral) die doppelte Laplace-Transformierte von F(x,y). Statt des Funktionalzeichens ..\22 verwenden wir auch das Korrespondenzzeichen o~• und schreiben:

F(x,y) o~• j(u, v) .

l l cosyv.;-Beispiele: I o~o ---;;v' xy o~• u•v•' • I

nvx e""' erfc (V;-v).

Im übrigen gebrauchen wir hier dieselben Ausdrücke "Originalfunktion ", <<Überfunktion» usw. wie bei der ..12-Transformation.

In Analogie zu dem entsprechenden Satz über das .52-Integral könnte man vermuten, daß aus der Existenz von f für ein bestimmtes Wertepaar u0 , v 0 die Existenz von f für jedes Wertepaar u, v mit 9{u > 9{u0 , 9{v > 9{v0 folgt. Daß dies nicht gilt, zeigt folgendes einfache Gegenbeispiel:

0 für 0 <( x <( 2, 0 ~ y ~ 2 und für x ~ 2, y ~ 2 ;

F(x,y) = e•' für 2 < x < oo, 0 ~y <I; -e•' für 2 < x < oo, I<( y < 2;

eY' für 0 ~ x - oo, Y-->- oo gleich 0, d. h. j(O, 0) existiert und ist gleich 0. Dagegen ist für X~ 2, Y ~ 2 und u c;t: 0, v c;t: 0:

f Je-ux-vy F(x,y) dxdy 9\xy

X [ 1 2 ] = f e-ux dx e•' f e-vy dy- ex' f e-vy dy

2 0 1

y [ 1 2 ] + f e-vy dy eY' f e-ux dx- eY' f e-uxdx 2 0 1

X y

=~(I- e-"r Je-"•+x' dx+ ~(I- e-"r Je-vy+y' dy, 2 2

was für X-->- oo, Y-->- oo keinen Grenzwert hat.

2 Voelker, Doetsch

18 Einführung in die Theorie der \3'-Transformation

Der Grund, weshalb der für das eindimensionale Laplace-Integral gültige Satz sich nicht ohne weiteres auf das zweidimensionale übertragen läßt, ist leicht einzusehen: Der Beweis jenes Satzes (LT S.16, HB S. 35) beruht darauf, daß aus

00

der Konvergenz von J e-s,t F(t) dt die Beschränktheitder Abschnitte oder Partial-integrale o

T

J e-s,t F(t) dt 0

für alle T ;:?:o 0 folgt. Für ein Doppelintegral aber gilt das Entsprechende nicht: 0000

Wenn J J e-u,x-v,y F(x,y) dx dy konvergiert, so brauchen die Abschnitte 0 0

X y

J J e-u,x-u,y F(x,y) dx dy

0 0

nicht für alle X ;:?:o 0 , Y ;:?:o 0 beschränkt zu sein, wie das obige Beispiel mit u0 = v0 = 0 zeigt. Zwar sind die Abschnitte für X ;:?:o 2, Y ;:?:o 2 beschränkt, aber z. B. für X ;:?:o 0 , Y ~ 1 nicht.

Will man den Satz für das ß 2-Integral retten, so bleibt nichts anderes übrig, als die Beschränktheit der Abschnitte als zusätzliche Voraussetzung einzuführen. Ein Doppelintegral, das konvergiert und dessen sämtliche Abschnitte absolut genommen unter derselben Schranke liegen, heißt beschränkt konvergent.

Die Voraussetzung der beschränkten Konvergenz ist von selbst erfüllt, wenn das Doppelintegral absolut konvergiert. Denn dann ist

X Y oooo

J J e-u,x-v,y F(x,y) dx dy ~ J J I e-u,x-v,y F(x,y) I dx dy .

0 0 0 0

In diesem Fall ist die Aussage, daß aus der Konvergenz von ß=,,v, {F} die von ß~, v {F} für 9tu ;:?:o 9tu0 , 9{v ;:?:o 9{v0 folgt 1), eine Selbstverständlichkeit, denn es ist

XY oooo

J J le-ux-vy F(x,y) I dx dy ~ J J le-u,x-v,y F(x,y) I dx dy 0 0 0 0

für 9{ u ;:?:o 9t u0 , 9t v ;:?:o 9{ v0 , also konvergiert

0000 0000

J J le-ux-vy F(x,y) I dx dy und erst recht J J e-ux-vy F(x,y) dx dy . 0 0 0 0

Da wir sowieso mit der einfachen Konvergenz nicht auskommen, sondern eine zusätzliche Voraussetzung einführen müssen, ist es am bequemsten, wenn

1 ) Man beachte das zu dem Zeichen> hinzutretende Gleichheitszeichen, das bei beschränkter Konvergenz wegfallen würde.

[§ 2] Die grundlegenden Eigenschaften der ~·-Transformation 19

wir prinzipiell das E2-lntegral (für mindestens ein Wertepaar) als absolut konvergent voraussetzen. Dies ist übrigens für alle Funktionen F(x,y), die wir in den physikalischen und technischen Anwendungen antreffen werden, ausnahmslos erfüllt. Daß wir jene Voraussetzung machen, hat aber noch einen anderen, viel wichtigeren Grund, und damit berühren wir gleichzeitig eine Frage, die bisher beiseite gelassen wurde, nämlich nach dem zugrunde zu legenden lntegralbegriff. Zunächst ist darauf hinzuweisen, daß wir es in den Anwendungen häufig mit Funktionen zu tun haben, die im Integrationsgebiet unendlich werden, wie z. B.

1 1 . ~ längs der Achsen oder • 1- längs der Diagonalen y = x . Wir dürfen vxy ·vx-y also nicht bloß beschränkte Funktionen zulassen. Ferner muß man zur Ausführung der weitaus meisten Operationen das Doppelintegral durch die iterierten Integrale ausdrücken können:

XY X Y

(3) f Je-ux-vy F(x,y) dx dy = J e-ux dx f e-vy F(x,y) dy 00 0 0 Y X

= J e-vy dy J e-ux F(x,y) dx 0 0

beziehungsweise

0000 00 00

(4) f f e-ux-vy F(x,y) dx dy = f e-ux dx J e-vy F(x,y) dy 00 0 0 00 00

= J e-vy dy J e-ux F(x,y) dx . 0 0

Versteht man nun den Integralbegriff im Riemannschen Sinn, so ist schon (3) im allgemeinen nicht erfüllt, also erst recht nicht ( 4), und zwar deshalb, weil die inneren eindimensionalen Integrale gar nicht zu existieren brauchen. Dazu kommt noch, daß die Definition des in (3) auf der linken Seite stehenden Doppelintegrals für eine unbeschränkte Funktion eigentümliche Schwierigkeiten bietet, die darin begründet sind, daß die Unendlichkeitsstellen in nicht allgemein festzulegender Weise verteilt sein können 1). All diese Unannehmlichkeiten kann man mit einem Schlag beseitigen, indem man den Integralbegriff im Lebesgueschen Siim versteht und folgendes festsetzt:

Voraussetzung A: Die Funktion e-ux-vy F(x,y) soll für ein Wertepaar u0 , v 0 über den Quadranten .Q summierbar, d. h. absolut integrierbar im Lebesgueschen Sinne sein.

Dann existiert sowohl

J J e-ux-vy F(x,y) dx dy als auch .Q

f fie-ux-vy F(x,y)l dx dy .Q

') Es gibt sogar mehrere Definitionen des Riemannschen uneigentlichen Doppelintegrals für nichtbeschränkte Funktionen, die nicht miteinander äquivalent sind. Siehe E. W. HossoN: " The theory of functions of a real variable." Sec. edition, Vol. I, 1921, S. 488--495.

20 Einführung in die Theorie der B'-Transformation

für 9iu ~ 9iu0 , 9iv ~ 9iv0 unmittelbar, aber auch als Grenzwert im Sinne von (1). Ferner existieren die inneren Integrale in (3) und (4) für fast alle x bzw.y und konvergieren absolut, und es gelten die Gleichungen (3) und (4) (Satz von Fubini).

Ein Lehrbuch kann nicht darauf verzichten, allgemeine Sätze zu formulieren und zu beweisen. Will man das bei der ,2•-Transformation tun, ohne eine Fülle von lästigen Voraussetzungen hinzufügen zu müssen, die dann womöglich bei wirklichen Anwendungen gar nicht erfüllt sind, so kann man nicht umhin, die Integrale im Lebesgueschen Sinn zu verstehen. Der Praktiker braucht hier nicht ängstlich zu werden und zu glauben, daß nun das folgende für ihn unverständlich sei. Es genügt vielmehr vollkommen, wenn er weiß, daß es über den ihm vertrauten Riemannschen Integralbegriff hinaus eine modernere Definition des Integrals gibt, für die alle ihm vom Riemannschen Integral bekannten Eigenschaften erfüllt sind und noch einige mehr, und zwar gerade solche, deren Versagen beim Riemannschen Integral das Hantieren mit diesem oft schwerfällig macht, wie z. B. die oben gebrauchte Darstellung eines Doppelintegrals durch iterierte Integrale. Der einzige Begriff, mit dem man sich vertraut machen muß, weil er in den Formulierungen immer wieder vorkommt, ist der der Nullmenge. Eine Punktmenge (auf der Geraden, in der Ebene usw.) heißt eine Nullmenge (genauer: Menge vom Lebesgueschen Maße 0), wenn man ihre Punkte in endlich oder abzählbar unendlich viele Intervalle von beliebig kleiner Gesamtgröße einschließen kann. (Unter «Intervall» ist auf der Geraden eine Strecke, in der Ebene ein Rechteck usw. zu verstehen.) So ist z. B. jede abzählbare Punktmenge, d. h. eine solche, die man in eine Reihenfolge P17 P 2 , • •• bringen kann, eine Nullmenge. Denn man kann, wenn e > 0 eine beliebig kleine Zahl ist, P 1 in ein

Intervall der Größe~, P, in ein solches der Größe__.;. usw. einschließen, und die Ge-2 2

samtgröße dieser Intervalle ist!__ + __.;. + · · · = e • Wenn alle Punkte einer Menge mit 2 2

Ausnahme einer Nullmenge eine gewisse Eigenschaft haben, so sagt man, «fast alle» Punkte der Menge hätten die betr. Eigenschaft. Diesen Ausdruck haben wir oben bereits benutzt. Er ist eigentlich schon in der Theorie des Riemannschen Integrals unentbehrlich, denn nur mit ihm kann man z. B. den eleganten Satz aussprechen, daß eine Riemann-integrable Funktion fast überall stetig ist.

Es seien an dieser Stelle noch ein paar prinzipielle Ausführungen hinzugefügt, die vielleicht dazu dienen können, die heute noch bei den Praktikern vorhandene Zurückhaltung gegenüber dem Lebesgueschen Integral zum Schwinden zu bringen. Wenn man den Rundfunk hören will, so kann man mit einem Detektor nebst Kopfhörer auskommen. Viel bequemer und wirksamer aber ist es, sich eines Röhrenempfängers mit Lautsprecher zu bedienen. Um ein solches Instrument zu benutzen, braucht man nun keineswegs zu wissen, wie es im einzelnen gebaut ist und auf welchen physikalischen Gesetzen es beruht. Nur der Techniker, der einen auftretenden Defekt reparieren oder gar den Apparat weiterentwickeln will, muß über den elektrischen Mechanismus genau orientiert sein. Ganz analog kann der mit mathematischen Hilfsmitteln arbeitende Ingenieur sich eines mehr oder weniger zugkräftigen Instruments, also z. B. des Riemannschen oder des Lebesgueschen Integrals bedienen. Er würde sich aber vieler Vorteile begeben, wenn er an dem primitiveren Instrument unentwegt festhalten wollte, weil er das modernere nicht innerlich vollständig durchschaut und dieses ihm infolgedessen etwas unheimlich vorkommt. Muß er doch auf Schritt und Tritt Dinge aus der mathematischen Theorie übernehmen, zu deren genauer Nachprüfung und Durchdringung ihm einfach die Zeit fehlt. Die Verantwortung dafür, daß das übernommene Instrument fehlerfrei konstruiert ist und bei richtiger Bedienung einwandfrei funktioniert, muß der Ingenieur dem «Fachtechniker», in diesem Fall dem zünftigen Mathematiker überlassen. Selbstverständlich: je mehr man vom inneren Mechanismus versteht, um so souveräner wird man das Instrument handhaben; einem, der gar zu sorglos damit umgeht, kann es

passieren, daß er «am falschen Knopf dreht» und dadurch eine Panne eintritt. Deshalb muß man sich zum mindesten mit der «Gebrauchsanweisung>> vertraut machen 1).

Wie oben betont, benutzen wir den Lebesgueschen Integralbegriff nur bei der Aufstellung allgemeiner Säqe. Bei den später in den Anwendungen auf Differentialgleichungen auftretenden sper_iellen Funktionen dagegen sind die Singularitäten immer klar überschaubar, und das Lebesguesche Integralläßt sich mit dem eigentlichen oder uneigentlichen Riemannschen Integral 2) identifizieren, so daß zu einer wirklichen Berechnung überhaupt keine höheren Kenntnisse erforderlich sind.

Indem wir von jetzt an prinzipiell die Voraussetzung A machen, können wir folgenden Satz aussprechen: .

Satz 1. Wenn E2 {F} für ein komplexes Wertepaar u0 , v0 konvergiert und damit ahsolut konvergiert, so konvergiert es sogar in einem Paar von komplexen Halhehenen 9iu ;;;, 9iUo, 9iv ;;;, 9iv0 ahsolut.

Wir wollen nun das genaue Gebiet der (absoluten) Konvergenz bestimmen. Dabei können wir uns zunächst auf reelle Wertepaare u, v beschränken, weil man auf Grund von Satz 1 sofort sieht, daß das reelle Konvergenzgebiet das komplexe eindeutig bestimmt. Es sei also E2{F} für mindestens ein reelles Wertepaar (absolut) konvergent. Dann können wir alle reellen u in zwei Klassen einteilen: die Klasse C derjenigen u, zu denen es mindestens ein reelles v gibt, so daß E2{F} für u, v konvergiert, und die Klasse D derjenigen u, zu denen es kein derartiges v gibt. Die Klasse D kann leer sein, die Klasse C aber nicht, weil es sonst überhaupt kein Konvergenzpaar gäbe. Wenn die Klasse D existiert, so liegt sie ganz links von C; denn wäre ein u aus D größer als eines aus C, so müßte es, da es zu dem letzteren ein Konvergenz-v gibt, nach Satz 1 zu dem ersteren a fortiori eines geben. D und C werden also durch eine Schnittzahl A1 getrennt, die im Falle der Nichtexistenz von D gleich - oo zu setzen ist. Greifen wir nun ein festes u aus C, d. h. u > A1 , heraus, so zerfallen die reellen v in bezug auf dieses u in zwei Klassen c (u) und d (u), je nachdem für u, v Konvergenz oder Divergenz stattfindet. d(u) kann leer sein, c(u) aber nicht. Falls d(u) existiert, liegt es ganz links von c(u), denn wäre bei v1 < v2 E 2{F} für u, v1 konvergent, für u, v2 divergent, so ergäbe sich ein Widerspruch, da nach Satz 1 aus der (absoluten) Konvergenz in u, v1 die in u, v2 folgt 3). c(u) und d(u) werden also durch eine Schnittzahl a2 (u) getrennt, die gleich - oo zu setzen ist, wenn d(u) nicht existiert. So erhält man zu jedem festen u = u0 > A1 eine Konvergenzabszisse a2 (u0) der v in dem Sinne, daß E 2{F} für u = u0 , v>a2 (Uo) konvergiert und für u = u0 , v < a2 (u0 ) divergiert. In einem reellen uv-Koordinatensystem wird also die Vertikale u = u0 durch den Punkt mit der Ordinate a2 (u0) in einen Konvergenz- und einen Divergenzstrahl zerlegt.

1 ) Die für das Arbeiten mit der Laplace-Transformation notwendigen Sätze über das Lebesguesche Integral sind in HB, Anhang, zusammengestellt.

2 ) Letzteres als absolut konvergierender Grenzwert von eigentlichen Integralen verstanden. 3 ) Hier wird benutzt, daß die absolute Konvergenz in u,, "'• die in u, v mit u ;;. u0 , v ;;. "'• (mit

Einschluß des Gleichheitszeichens) nach sich zieht. Bei beschränkter Konvergenz, wo das Gleichheitszeichen wegfällt, muß daher der Beweis etwas anders geführt werden.


Wählt man nun u1 > u0 , so ist .22{F} nach Satz 1 für u = u1 , v > a 2 (u0)

sicher konvergent, die wahre Konvergenzabszisse a2 (u1) kann also nicht größer als a2 ( u0) sein:

d. h. a 2 (u) ist eine monoton fallende Funktion (die auch stückweise konstant

Fig. I

sein kann). Für wachsendes u strebt sie also entweder gegen einen endlichen Wert A2 (wobei es vorkommen kann, daß sie von einer Stelle an konstant gleich A2 ist) oder gegen A 2 = - oo •

~ Az --------- ------------------

~-a,{u) .

A,---------~ V•Ctz(V}

-r-----------------u

Fig. 2

A2 spielt für die v-Werte dieselbe Rolle wie A1 für die u-Werte. Geht man nämlich bei der Betrachtung von den v-Werten aus statt wie vorhin von den u-Werten, so sieht man, daß die durch die zu v = a 2 (u) inverse Funktion u = a1 (v) dargestellte Kurve sich der Geraden u = A1 asymptotisch nähern oder denWert A1 von einer Stelle an dauernd annehmen muß, wenn nicht A1 = - oo ist.

u .. a,(v)

1-~~--------------u

Fig. 3

[§ 2] Die grundlegenden Eigenschaften der 2'-Transformation 23

Die durch die Funktionen v = a2 (u) und u = a1 {v) dargestellte Kurve wollen wir die Konvergentcharakteristik von i!2{F} nennen. Sie gestattet es, die Konvergenz- und Divergenzverhältnisse vollkommen zu übersehen. In allen reellen Wertepaaren u, v, deren Repräsentanten im «Innem" der Kurve liegen, d. h. die Bedingung u > A1 , v > a2 (u) bzw. v > A2 , u ~ a1 (v) erfüllen, herrscht Konvergenz, in allen «äußeren" Punkten Divergenz; in den Punkten der Kurve selbst kann das eine oder das andere V erhalten vorliegen.

Faßt man einen in einem Punkt u > A1 beginnenden Strahl der u-Achse ins Auge, so gehört zu ihm in eindeutiger Weise ein in v = a2 (u) anfangender

V

Fig. 4

Strahl der v-Achse (Fig. 4) derart, daß die Punkte des u-Strahls genau mit den Punkten des v-Strahls kombiniert (und mit keinen weiteren v) Konvergenzstellen ergeben. Diese zusammengehörigen Wertepaare erfüllen übrigens in der uv-Ebene einen Rechtwinkelraum. Im Hinblick darauf, daß bei Ersatz des .22-

Integrals durch ein iteriertes Integral die Verhältnisse, wie wir sehen werden, ganz anders liegen können, sei darauf hingewiesen, daß der Rechtwinkelraum, wenn der Scheitel auf der Konvergenzcharakteristik gleitet, das gesamte Konvergenzgebiet ausfegt.

Da das reelle Konvergenzgebiet auch über die Konvergenz im Komplexen entscheidet, so haben wir zugleich einen vollständigen Überblick über die Konvergenzverhältnisse im Komplexen gewonnen. Den reellen u- und v-Strahlen entsprechen einfach komplexe Halbebenen, so daß man erhält:

Satz 2. Wenn i!2{F} für wenigstens ein Wertepaar u, v (ahsolut) konvergiert, so giht es im allgemeinen nicht ein eindeutiges Paar von Konvergenrhalhehenen, sondern eine ganre Schar von «assoriierten Konvergen1_halhehenen" in folgendem Sinn: Es existiert eine für reelle u > A1 definierte, monoton fallende Funktion v = a 2 (u) mit ihrer für v > A 2 definierten Inversen u = a 1 (v) (wohei A1 und A 2 gleich - oo sein können), die die Zuordnung der Konvergenrhalhehenen festlegt: Wählt man ein reelles u0 > A1 und betrachtet die Halhehene 9tu ~ u0 , so machen die komplexen v, die mit diesen u kombiniert ahsolute Konvergent von i!2{F} ergehen, genau die Halhehene 9tv > a2 (u0) aus. Ehenso ergiht die Halhehene 9tv ~ v0 > A 2


genau mit der Halbebene 9iu > a 1 (v) kombiniert Konvergenz. Durch Variation von u0 bzw. v 0 läßt sich das gesamte Konvergenzgebiet von E2{F} erschöpfen, d.h. jedes Punktepaar u, v, wo E2{F} konvergiert, liegt in mindestens einem Paar von assoziierten Konvergenzhalbebenen 1 ).

In dem extremen Fall, daß die Kurve v = a2 (u) aus einem horizontalen und u = a1 (v) aus einem vertikalen Strahl besteht, existiert eigentlich nur ein einziges Paar von Konvergenzhalbebenen 9iu > A1 , 9iv > A2 • Dieser Fall kommt sehr häufig vor, z. B. für

A, -------- r------------~~~)

~--------_J--------------->-0 A,

Fig. 5

und F(x,y) ~ eax+by (a, b reell) mit A1 = a, A2 = b .

Das folgende Beispiel soll aber zeigen, daß schon in ganz einfachen Fällen eine unendliche Schar von assoziierten Konvergenzhalbebenen existieren kann. Es sei

Fig. 6

F(x ) = { ex für x ~Y. ,y eY für x> y

1 ) Der Einfachheit halber haben wir nicht alle Kombinationen erwähnt, in denen alle oder einige der Zeichen > in diesem Satz durch ;;;;, ersetzt werden können.


Setzen wir zunächst X > Y voraus, so ist für

u of= 0 und of= 1 , v of= 0 und of= 1 , u + v - 1 of= 0 :

XY Y [y X ] J J e-ux-vy F(x,y) dx dy = J e-vy dy J e-ux ex dx + J e-ux eY dx 0 0 0 0 y

1 1 (u-1) v u(u-1) (u+v-1) u (v -1) (u-1)v

e-(u+v-l)Y e-uX-(v-l)Y

+ u(u-1)(u+v-1) + u(v-1)

Für die ausgeschlossenen Werte von u und v ist das Integral gesondert auszurechnen, es ergeben sich dabei die Grenzwerte des erhaltenen Ausdrucks für u 4 0, u 4 1, usw. Beim Grenzübergang X 4oo, Y 4oo ist zu beachten, daß

X> Y, also uX + (v- 1) Y > (u + v- 1) Y für u > 0

ist. Der Abschnitt des i_l2-Integrals hat also einen Grenzwert, wenn

(5) ~u>O, ~v>O, ~(u+v-1)>0

ist, und zwar ist

i_l2{F} = 1 (u-1)v

1 u+v u(u-1j(u+v-1) uv (u+v-1) ·

V

Fig. 7

Mit der Voraussetzung X~ Y kommt man zu demselben Ergebnis. Betrachtet man nur reelle u und v, so bedeuten die Bedingungen (5), daß Konvergenz vorliegt, wenn der Punkt u, v dem in Fig. 7 angezeichneten Gebiet der uv-Ebene angehört. Die Randkurve ist die Konvergenzcharakteristik und stellt die Funktionen v = a2 (u) und u = a1 (v) dar. Assoziierte Konvergenzhalbebenen sind z. B.

9tu > 0, ~v > 1 ; ~u > ! , ~v > ! ; ~u > 1 , ~v > 0.

26 Einführung in die Theorie der ~·-Transformation

Die sich aus den horizontalen und vertikalen Stücken der Kurve ergebenden Halbebenenpaare wie 9lu > 2, 9lv > 0 oder 9lu > 0, 9lv > 2 sind echte Bestandteile umfangreicherer assoziierter Halbebenen.

§ 3. Ausführung der ß2-Transformation durch sukzessive Anwendung zweier ß-Transformationen

In den praktischen Anwendungen wird in den weitaus meisten Fällen die ß2- Transformation in der Weise bewerkstelligt, daß nacheinander zwei ETransformationen ausgeführt werden, schon deshalb, weil man dann die zahlreichen für die eindimensionale Transformation zur Verfügung stehenden Korrespondenzen benutzen kann. Dabei ist die Einführung von Symbolen für die" Zwischenfunktionen» notwendig, die entstehen, wenn man nur hinsichtlich x oder nur hinsichtlich y transformiert. Wird F(x,y) nur hinsichtlich der ersten Variablen x transformiert, an deren Stelle der neue Parameter u erscheint, so soll

' die entstehende Funktion F(u,y) genannt werden. Um jedes Mißverständnis auszuschließen, kann man den Vorgang so darstellen:

I

Eu{F(x,y)} = F(u,y) .

Einfacher und fast noch deutlicher schreiben wir unter Benutzung des Korrespondenzzeichens:

also beispielsweise:

X U I

F(x,y) o-• F(u,y) ,

X U l ex+y o-• -- eY

u-1

I

, X U y sm xyo-• --u"+y"

Unter der Vqraussetzung A existiert F (u,y) für fast alley ;;?- 0. Entsprechend bezeichnen wir die durch die Transformation hinsichtlich der

II

zweiten Variablen y entstehende Funktion mit F (x, v) und schreiben: n rr

Ev{F(x,y)} = F (x, v) oder F(x,y) o-• F (x, v) . y V

I!

F (x, v) existiert für fast alle x. - Die Ausführung der E2- Transformation durch Iteration 1} der E-Transformation läßt sich so darstellen:

beziehungsweise

X U I

F(x y) o-• F(u y) o-• '(u, v) ' ' y VJ I

n x u F(x y) o-• F(x v) o-• ji(u v) ) y V ) )

1 ) Unter«Iteration" der ß-Transformation kann man auch noch etwas ganz anderes verstehen, nämlich Transformation einer Funktion F (t) einer Variablentin eine Funktion/ (s) und dann Transformation vonf(s) hinsichtlich s in eine Funktion 'P (a). Oben im Textverwenden wir das Wortiteration in dem gleichen Sinn, wie man von der Darstellung eines Doppelintegrals durch iterierte Integrale spricht.


I

Den Übergang von F(x,y) zu F(u,y) nennen wir 1n Zukunft X U I

kurz die Transformation o-•, den Rückweg von F (u,y) zu F(x,y) U X

die Rücktransformation •-o • Entsprechender Redeweisen bedienen wir uns I

beim Übergang von F(u,y) zuf(u, v) und zurück, sowie bei den anderen Über-II

gängen über F(x, v) .

. io F(u,y)

~0\

x'

e 4Y

x(x,y)=-Vny

/ ~

e u'y erfc (u ·vy)

/ 1

v+uVv

6.

Schema

F(x,y) 0

• j(u,v)

Beispiele

0 ....

~6 • II

F(x,v) 0 /+

·~

u

y erfc . 1-

2vx

1

1 ev'x ---- erfc(vvx) V V

/

Da bei unserer Definition von Konvergenz des E 2-Integrals das Doppelintegral stets durch iterierte E-Integrale dargestellt werden kann, müssen letztere mindestens für dieselben uv-Werte konvergieren wie das E 2-lntegral. Sie können aber auch noch in ganz anderen Bereichen konvergieren (sogar absolut), für die der Satz, daß aus der Konvergenz in u0 , v 0 die in 9lu > 9lu0 , 9lv > 9lv0

folgt, keineswegs zu gelten braucht, so daß das Konvergenzgebiet nicht durch eine Serie von assoziierten Konvergenzhalbebenen erschöpfend dargestellt wer-


den kann. Gerade dieser Tatbestand ist geeignet, die Auszeichnung, die in der Gültigkeit von Satz 2 für das Doppelintegral liegt, ins rechte Licht zu rücken. Wir wollen das genannte Vorkommnis durch ein Beispiel belegen. Die Funktion

j 0 (t) verhält sich für t-+ + oo wie J n2t cos (t- :) , daher ist E 2{]0(2y xy)}

gerrau für 3tu > 0, 3tv > 0 (absolut) konvergent. Dagegen ist bei Transformation erst hinsichtlich x und dann hinsichtlich y:

] 0(2y xy) :_~ _!_ e -~ (absolut) konvergent für 3tu > 0, u

1 _.!!_ 1 1 1 1 -e u o-o ---=---(absolut) konvergent für 3tv > -3t-. [u yvuv+2_ uv+1 u

u

Markiert man in einer uv-Ebene das Konvergenzgebiet für reelle u, v, das durch

(Fig. 8) die Gerade u = 0 und die Hyperbel v = -_!_begrenzt wird, so sieht man, u

daß nicht einmal für reelle u, v der Satz gilt, daß aus der Konvergenz in u0 , v0

die für u > u0 , v > v0 folgt. Das liegt daran, daß die Hyperbel v = _ _!_monou

II

lronvergenz

Fig. 8

ton wächst, so daß es vorkommen kann, daß der von einem Konvergenzpunkt u0 , v0 ausgehende Rechtwinkelraum u > u0 , v > v0 auch Divergenzpunkte enthält. Man kann daher das Konvergenzgebiet nicht durch assoziierte Halbebenen erschöpfen.

Eine Vergrößerung des Konvergenzgebietes beim Ersatz des Doppelintegrals durch ein iteriertes kann natürlich nur eintreten, wenn F(x,y) beiderlei Vorzeichen annimmt, während bei einer durchweg positiven oder negativen Funktion

die beiden Konvergenzgebiete übereinstimmen müssen. Denn für reelle u, v ist dann Konvergenz und absolute Konvergenz dasselbe, so daß aus der Konvergenz des iterierten Integrals die des Doppelintegrals folgt 1).

Aus der Möglichkeit, eine 1!2- Transformation durch zwei i!-Transformationen zu gewinnen, folgt sofort (siehe LT S. 34, HB S. 72):

Eindeutigkeitssatz: Haben rwei Funktionen F1 (x,y) und F2 (x,y) dieselbe ß2-Transformierte, so stimmen sie fast überall überein. Insbesondere haben sie an allen Stetigkeitsstellen gleiche Werte.

§ 4. Die Holamorphie der 1!2- Transformierten

Die eindimensionale i!-Transformierte f(s) = i!{F{t)} ist in jedem inneren Punkt s ihrer Konvergenzhalbebene und erst recht ihrer Halbebene absoluter Konvergenz holomorph, d. h. im komplexen Sinn differenzierbar, und zwar ist (LT S. 43; HB S. 144):

f'(s) = -i!{tF} .

War i!{F} ins absolut konvergent, so gilt dasselbe für i!{tF}. Dennß {F} ist, weil s ein innerer Punkt der Halbebene absoluter Konvergenz war, für ein hinreichend kleines positives c5 auch in s - c5 absolut konvergent:

00 00

Jle-<•-6) 1 F(t)l dt = Jle-'11 · e61 ·IF{t)l dt < oo

0 0

Da von einer Stelle an t < e61 ist, konvergiert erst recht

00

Jle-' 11 · t ·I F(t) I dt • 0

Es seien nun .f>u und .f>v ein Paar von assoziierten Konvergenzhalbebenen der zweidimensionalen i!-Transformierten f(u, v) = i!2{F(x,y)}. Für einen festen inneren Punkt v von .f>v ist i!2{F} im ganzen Innern von .f>u absolut konvergent und

1) Es sei dazu an den Satz erinnert: </> (x,y) sei in .Q meßbar. Damit (x,y) über .Q 0000

summierbar ist, d. h. damit das Lebesguesche Integral J J </> (x,y) dxdy existiert und absolut konvergiert, ist notwendig und hinreichend, daß o O

00 00 00 00

Jdx JJ<l>(x,y)J dy oder Jdy JJ<l>(x,y)J dx 0 0 0 0

existiert. (Die inneren Integrale brauchen nur fast überall zu existieren.)


Für jeden inneren Punkt von ~u gilt also:

of~: v) = -Te -ux X I r:-vy F(x,y) dy l dx .

Analog wie oben zeigt man, daß dieses Integral konvergent bleibt, wenn man für alle Integranden die Absolutbeträge setzt. Es kann also auch als absolut konvergentes Doppelintegral geschrieben werden, sodaß man erhält:

0000

(1) of(;~ v) =- f f e-ux-vy X F(x,y) dx dy • 00

Dies gilt für jeden inneren Punkt uvon ~u und jeden inneren Punkt v von ~v· Entsprechend erhält man:

0000

(2) of~u~v) =-fJe-ux-v.~yF(x,y)dxdy. 0 0

Wendet man die Formel (2) auf (1) an, was wegen der absoluten Konvergenz von (1) erlaubt ist, so ergibt sich:

0000

o~f(u,v) = ffe-ux-vu xy F(x y) dx dy ouov . ' '

0 0

und entsprechend für die höheren Ableitungen. Damit hat man gefunden:

Satz 3. Es seien ~ u und~ v ein Paar assor_iierter Halbebenen absoluter Konvergert{ von E2{F} = f(u, v). Dann ist f(u, v}für jeden inneren Punkt v von ~v eine analytische Funktion von u im lnnern von ~"' und ebenso für jeden inneren Punkt u von ~u eine analytische Funktion von v im lnnern von ~v. Es existieren sämtliche partiellen Ableitungen von f(u, v) im lnnern von ~u und ~v, und zwar ist:

0000

iJmo:~~'nv) = ( -1) m+n f f e-ux-vy xm yn F(x,y} dx dy' 0 0

wobei die Integrale absolut konvergieren. Es ist also am+nf(u v)

aum a;n ·-o ( -x)m ( -y)n F(x,y)

Dieser Satz wird sich in den Anwendungen als außerordentlich wichtig erweisen, und zwar werden wir ihn dort als notwendige Bedingung dafür verwenden, daß eine Funktionf(u, v) eine .22-Transformierte ist. Deshalb sei der Satz nochmals in diesem Sinne formuliert.

Satz 4. Damit eine Funktion f(u, v) eine .22-Transformierte sein kann, ist notwendig, daß zwei Halbebenen ~u und ~V existieren derart, daß f(u, v) für jeden festen Punkt v von ~v eine analytische Funktion von u in ~u und für jeden festen Punkt u von ~u eine analytische Funktion von v in ~v ist.


Eine weitere notwendige Bedingung, die oft dazu dienen kann, von einer Funktion f(u, v) sofort zu entscheiden, daß sie keine E 2-Transformierte sein kann, wird durch folgenden Satz angegeben:

Satz 5. Damit eine in einem Halbebenenpaar .f>u, .f>v im Sinne von Satt_ 4 analytische Funktion f(u, v) eine (dort absolut konvergente) E 2-Transformierte sein kann, muß notwendigerweise gelten:

f(u, v) -+ 0, wenn bei festem v die Variable u in einer Halbebene ~u ~ u0

(u0 ein beliebiger Punkt der reellen Achse in .f>u) t_weidimensional gegen oo strebt;

f(u, v) -+ 0, wenn bei festem u die Variable v in einer Halbebene ~v ~ v 0

(v0 ein beliebiger Punkt der reellen Achse in .f>v) t_weidimensional gegen oo strebt.

Beweis: Konvergiert E{F} = f(s) in einer Halbebene 9\s ~ s0 absolut, so gilt /(s) -+0, wenn s in ~s ~ s0 zweidimensional gegen oo strebt (LT S.l97; HB S. 171 ). Schreibt man E 2{ F} in der Form:

li

E2{F} = Eu Ev{F} = Eu{F(x, v)} II

und setzt für v einen festen Wert, so ist Eu{F} absolut konvergent, so daß sich der erste Teil der Behauptung ergibt. Der zweite Teil folgt auf analogem Wege.

Satz 5 zeigt z. B., daß uavb (a, b ~ 0) oder sin uv, aber auch e-u-v keine (absolut konvergente) E 2- Transformierte ist, denn e-u- v, strebt für u-+ oo bei festem Realteil nicht gegen 0.

§ 5. Die Abbildung der linearen Substitution in der Originalund Bildfunktion

Wie bei der eindimensionalen E-Transformation äußert sich auch bei der zweidimensionalen jede Operation an der Originalfunktion in einer gewissen Operation an der Bildfunktion und umgekehrt. Ein Beispiellieferte bereits Satz 3, der besagt, daß der partiellen Differentiation der Bildfunktion die Multiplikation der Originalfunktion mit Potenzen von -x und -y entspricht. Die Zahl dieser Operationen ist aber bei der E 2- Transformation unvergleichlich größer, da bei Funktionen von zwei Variablen viele Operationen auftreten, die bei Funktionen von einer Variablen überhaupt nicht vorkommen können, wie z. B. die folgenden:

man bilde aus f(u, v) die Funktion f(u, u) oder f(u, v)-f(v, v) . Es ist schon u-v

rein räumlich unmöglich, auch nur von al! denjenigen Operationen, die in den Anwendungen auf Schritt und Tritt auftreten, die Abbilder hier in extenso abzuleiten, geschweige denn von denjenigen, die theoretisch denkbar sind. Wir ziehen es vor, in diesem Kapitel nur die Analoga zu den Sätzen des§ 1 zu beweisen

und dann bei den Anwendungen auf Differentialgleichungen emtge weitere Operationen an den Stellen, wo sie zum ersten Mal auftreten, zu behandeln, damit der Leser auch den Grund, warum diese Operationen betrachtet werden, einsieht und zugleich lernt, andere Operationen entsprechend zu erledigen. Eine für alle heute bekannten Anwendungen ausreichende Tabelle von Operationen mit ihren Abbildern findet sich in dem AbschnittAdes II. Teils.

In diesem Paragraphen bestimmen wir die Abbilder der einfachsten Operationen, nämlich der linearen Substitutionen in den Variablen. Zunächst fragen wir, welcher Operation an F(x,y) es entspricht, wenn man von f(u, v) zu f(a1 u+a2v+a3 , h1 u+h2v+h3) übergeht. f(u, v) ist definiert für u, v-Werte in zwei rechten Halbebenen. Damit die Werte a1 u+a2v+a3 und h1 u+h2v+h3

in diesen Halbebenen verbleiben, wenn u und v in gewissen rechten Halbebenen variieren, müssen a1 , a 2 , h1 , h2 reell und ~ 0 sein; a3 und h3 dagegen können beliebige komplexe Werte bedeuten. Es ist

0000

f(alu+ a2v+aa, hlu+h2v+ha) = J J e-u(a,x+b,y)-v(a,x+b,y)-a,x-b,y F(x,y) dxdy . 0 0

Wir setzen

wodurch die positive x-Achse y = 0 , x ~ 0 in den Strahl ~ : rJ = a1 : a2 ,

~ und rJ ~ 0 , und die positive y-Achse x = 0, y ~ 0 in den Strahl ~: rJ = h1 : h2 ,

~ und 17 ~ 0, übergeht. Beide liegen im ersten Quadranten. Setzt man die Funktionaldeterminante

o:F 0 voraus, so wird

f(a1 u+a2v+a3 , h1 u+h2v+h3)

= ~ f f e-u;-v'l-as b,<~bt'l -b, a,'l/'" F( b,Ö~bt'l, a,'l~a,ö) d~ dr] '

wobei das Doppelintegral über den Winkelraum 1) zwischen dem ersten und dem zweiten Strahl zu erstrecken ist. In dem Winkelraum sind die Größen h,!;- h1 'YJ d a1 'YJ - a,!; b "d ß h lb d . d = x un d = y e1 e positiv, au er a ist min estens eme

1 ) Diese Fläche ist positiv oder negativ orientiert zu rechnen, je nachdem beim Überstreichen der Fläche der erste Strahl in den zweiten durch eine Drehung im positiven oder negativen Drehsinn über-

geführt wird. Im ersteren Fall ist d > 0, im letzteren d < 0. Ersetzt man den Faktor~ vor dem Integral

durch 1!1, so kann man die Fläche immer in positiver Orientierung nehmen.

[§ 5] Die grundlegenden Eigenschaften der \l'-Transformation 33

negativ. Definieren wir die Funktion F(x,y) außerhalb des ersten Quadranten der xy-Ebene, wo sie bisher überhaupt nicht definiert war, durch den Wert 0, so kann man das Doppelintegral über den ganzen ersten Quadranten der ~'IEbene erstrecken, wodurch es die Gestalt einer .22- Transformation annimmt. Damit hat man gefunden:

Satz 6. Es seien au a 2 , Du h2 reell und ~ 0, d = I ; 1 ~·~ * 0 und aa, Da be-liebig komplex. Ist f(u, v) ·~o F(x,y), so ist 1 •

l 1 ji(a U+ a v+a 0 u+h v+h) ho -ed"[(a,b,-a,b,)x+(a,b1 -a1 b3)y]

1 2 a, 1 2 a 1 Jl F( h2x-b1y a1y-a2 x)

X d ' d '

wobei F gleich 0 r.u sett_en ist, wenn mindestens eines der Argumente negativ ausfällt. Wir merken zwei Spezialfälle von Satz 6 an, die sich auch unmittelbar aus den

entsprechenden Sätzen für die ß-Transformation ableiten ließen. Setzt man a1 = a, a2 = aa = 0; h2 = h, h1 = ha = 0, so erhält man:

Satz 7 (Ähnlichkeitssatz): Ist f(u, v) •~o F(x,y), so ist

l (x Y) 00 f(au, hv) •~o ----;;[ F -;;, b fur a > o, h > o

Dieser Satz gilt auch für komplexe a, h unter analogen Voraussetzungen wie der Ähnlichkeitssatz für die ß-Transformation.

Für a1 = 1, a2 = 0, aa = a; h1 = 0, h2 = 1, Da= ß ergibt sich:

Satz 8 (Dämpfungssatz): Ist f(u, v) •~o F(x,y), so ist

f(u+ a, v+ ß) •~o e-ax-ßy F(x,y) für komplexe a, ß.

In Satz 6 erfahren die Variablen von F eine lineare homogene Substitution, bei der der Nullpunkt fest bleibt. Nimmt man mit den Variabeln eine Translation vor, so ist das Ergebnis unmittelbar aus dem Verschiebungssatz für die ßTransformation in§ 1 abzuleiten.

Satz 9 (Verschiebungssatz): Istf(u, v) ·~o F(x,y), so ist

e-c,u-c,v f(u, v) •-o F(x- c1 ,y- c2) für c1 ~ 0, C2 ~ O,

wobei F gleich 0 t_U sett_en ist, wenn mindestens eines der Argumente negativ ausfällt.

3 Voelker, Doetsch


§ 6. Die Abbildung der Differentiation der Originalfunktion

Unter Benutzung der in § 3 eingeführten Bezeichnungen erhalten wir für die

partielle Ableitung ~~ = Fx(x,y) zunächst formal vermittels des Differentiationssatzes von § 1:

I n

.Ü2{Fx} = .Üv .Üu{Fx(x,y)} = .Üv{uF(u,y)- F(O,y)} = uf(u, v) - F(O, v) .

Es ist noch zu klären, unter welchen Bedingungen diese Schritte legitim sind. Wenn .Ü2{Fx} für ein Wertepaar u0 , v 0 (absolut) konvergiert, so existiert Bu, {Fx} für fast alle y. Für dieselben y existiert dann lim F(x,y); setzen wir

X-7+0

F(x,y) bei festemy als stetig in x an der Stelle x = 0 voraus, so können wir für Il

diesen Limes schreiben F(O,y). Ist u0 > O, so gilt die Formel Bu{Fx} = uF(u,y) -F(O,y) nach dem Differentiationssatz für u = u0 und lliu > u0 • Weiterhin

I

konvergiert Bv{uF(u,y)- F(O,y)} absolut für v = v 0 und daher für lliv ~v0 • II

Setzen wir die absolute Konvergenz von Bv{F(O,y)} = F(O, v) für v = v(} I

voraus, so konvergiert auch Bv{uF(u,y)} absolut für lliv ~ v 0 und ist gleich u f(u, v) . Da der Differentiationssatz auch gilt, wenn die Ableitung in isolierten Punkten nicht existiert, während die Funktion dort stetig ist, so können wir das Ergebnis so zusammenfassen:

Satz 10. Die partielle Ableitung Fx(x,y) existiere für x ~ O, y ~ 0 mit Ausnahme von isolierten Punkten aufjeder Geraden y = const, wo aber F(x,y) stetig ist1 ) • .Ü2{Fx} konvergiere jiir ein Wertepaar u0 > 0, v 0 • Für fast alle y sei F(x,y) längs der Geraden x = 0 in der Variablen x stetig: lim F(x,y) = F(O,y).

X--?+0

Die eindimensionale Transformation Bv{F(O,y)} konvergiere absolut für v = v 0 •

Dann gilt die Korresponden:r.: II

Fx(x,y) o~• uf(u, v)- F(O, v)

Ein entsprechender Satz für FY ergibt sich durch Vertauschung von x mit y und u mit v. Wir betrachten nun die zweiten Ableitungen. Es ist formal:

I

.Ü2{FxJ = .Üv .Üu{Fxx} = .Üv{u2 F(u,y) - uF(O,y) - Fx(O,y)} !l II

= u2f(u, v) - uF(O, v) - Fx(O, v) .

1 \ Das Auftreten solcher Ausnahmestellen ist desh:1lb berücksichtigt, weil es in den Anwendungen auf p:1rtielle Differentialgleichungen häufig vorkommt, daß die Ableitunge:1 entlang gewisser Kurven nicht existieren.

[§ 6J Die grundlegenden Eigenschaften der t3'-Transformation 35

Die Formel für .s!u{F.x} gilt bei positivem 9{u, wenn F(x,y) und F.(x,y) für x = 0 in der Variablen x stetig sind. Um zu der Endformel zu gelangen, muß. man voraussetzen, daß .s!v{F(O,y)} und .s!v{F.(O,y)} absolut konvergieren und daß

ist, d. h. daß längs x = 0 die Differentiation nach x mit dem .s!.-Integrai vertauschbar ist. Dies führt zu folgendem

Satz 11. Die partielle Ableitung F •• (x,y) existiere für x ~ O, y ~ 0 mit Ausnahme von isolierten Punkten auf jeder Geraden y = const, wo aber FAx,y) stetig ist . .fl2{F •• } konvergiere für ein Wertepaar u0 > O, v 0 • Für fast alle y seien F(x,y) und F.(x,y) für x = 0 in der Variablen x stetig. Die eindimensionalen Transformationen ßv{F(O,y)} und .flv{F.(O,y)} mögen für v = v0 absolut konver-

li

gieren, und es sei ßv{FAO,y)} = F.(O, v). Dann ist li 11

F •• (x,y) o-• u2f(u, v) - uF(O, v) - F.(O, v)

Nach diesem Muster kann man für jede beliebige partielle Ableitung die .fl2- Transformierte bestimmen, so z. B. für die gemischte Ableitung F.Y an Hand der folgenden Gleichungen 1):

JI II I

= .flu{vF.(x, v)- F.(x, 0)} = v[uf(u, v)- F(O, v)]- [uF(u, 0)- F(O, O)J •

Die zu machenden Voraussetzungen werden aber mit steigender Ordnung der Differentiation immer komplizierter und unhandlicher, insbesondere was die Vertauschung von Differentiation und .s!-Transformation anbelangt. Glücklicherweise spielt das bei den Anwendungen auf Differentialgleichungen keine Rolle, da wir dort immer werden voraussetzen können, daß alle erforderlichen Bedingungen erfüllt sind. Wir verzichten daher auch darauf, über die höheren Ableitungen Sätze aufzustellen und verweisen auf den Abschnitt A 1 des II. Teils, wo die Transformationsformeln für die Ableitungen bis zur vierten Ordnung vollständig aufgeführt sind.

')Man beachte, daß der Wert F (0,0) hier in dem Sinne von lim F (x, 0) auftritt, während er bei der x-+0

anderen gemischten Ableitung Fyx die Bedeutung lim F(o,y) haben würde. Ist F (x, y) in x = o,y = () y->0

zweidimensional stetig, so sind beide Werte gleich.

36 Einführung in die Theorie der B'-Transformation

§ 7. Die Abbildung der Faltung

Dieselbe Rolle wie das als F altung bezeichnete Integral für die B-Transformation spielt für die ,Ü2- Transformation das Doppelintegral

X J1 X y

(1) JJF1 (~,'YJ)F2 (x-~,y-'Y})d~d'YJ= JJF1 (x-~,y-'Y})F2 (~,'YJ)d~d'YJ, 0 0 0 0

das wir auch Faltung nennen und durch das Symbol

bezeichnen oder kürzer durch F1 * * F 2 , manchmal auch, wenn noch weitere Parameter vorkommen, deutlicher durch

In analogen Klassen wie den beim Faltungssatz in § 1 genannten existiert F1 * * F2 für alle x,y, im allgemeinen aber nur für fast alle x,y.

Werden zwei Funktionen von zwei Variablen nur hinsichtlich einer Variablen gefaltet, so verwenden wir folgende Symbole:

JF1 (~,y1)F2 (x-~,y2 ) d~ = F1 (x,y1); F2 (x,y2)

0

beziehungsweise y

J Fdx1 , 'Y})F2 (x2 ,y- 'Y}) d'Yj = F1 (xuy) ~ F 2 (x2 ,y) 0

Man kann daher F1 * * F2 in folgenden Formen schreiben: X y

(2) F1 * * F 2 = J F1 (~,y) ~ F2 (x-~,y) d~ = J F1 (x, 'Y}) ; F 2 (x,y- 'Y}) d'YJ 0 0

Die Faltung der Originalfunktionen wird durch die ,Ü2- Transformation auf das Produkt der Bildfunktionen abgebildet.

Satz 12 (Faltungssatz): Wenn .Ü2{F1 (x,y)} und .Ü2{F2 (x,y)} für dasselbe Wertepaar u, v absolut konvergieren, so konvergiert auch .Ü2{ F1 * * F 2} jur u, v absolut, und es gilt:

Den Beweis führen wir, indem wir den eindimensionalen Faltungssatz zweimal anwenden. Es ist

II II

j;_(u, v) ·];(u, v) = .Üu{F1 (x, v)} · .Üu{F2 (x, v)} •

[§ 7] Die grundlegenden Eigenschaften der B'-Transformation 37

Da die beiden Bu-Integrale auf Grund der Voraussetzung A absolut konvergieren, ist nach dem F altungssatz in § 1:

- !I X - fJXII II l .h ·.h- .Üu{F1 (x, v) * F 2 (x,v)}- .Üu lo F1 (t,v)F2 (x-t,v) dt

~ ll. lfll" {P; {<,y)) · ll,{J.~(x- ,,y)) d< l , X

wobei das Integral J für fast alle x existiert. Da die beiden Bv-Integrale absolut 0

konvergieren, erhält man wiederum nach dem F altungssatz in § 1:

.h ·.h = Bu f f Bv{Fl (t,y) X F2 (x-t,y)} dt l , l 0 )

wobei die Fa!tung hinsichtlich y für fast alle y existiert. Das iterierte Integral X X 00

J Bv dt = J d~ J ... dy konvergiert absolut, also kann man (bei Lebesgueschen 0 0 0

Integralen) die Reihenfolge vertauschen:

f, ·h ~ ll.lll41'; (<,y) ' F,(x-$,y) d') 1- ll" ll"{F," F,)

= .Ü2{F1 **F2},

wobei wir die Formel (2) benutzt haben.

38

II. Abschnitt

LÖSUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

MIT ZWEI UNABHÄNGIGEN VARIABLEN

2. Kapitel

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

§ 8. Allgemeine Richtlinien für die Behandlung von Randwertproblemen vermittels E2- Transformation

Wie bei der eindimensionalen Laplace-Transformation ist auch bei der zweidimensionalen das wichtigste Anwendungsgebiet die Lösung von Randwertproblemen, die sich bei partiellen Differentialgleichungen ergeben. Die Formeln von§ 6 zeigen, daß die E 2- Transformation die im Originalbereich vorkommenden partiellen Differentiationen nach zwei Variablen auf algebraische Operationen im Bildbereich reduziert, nämlich im wesentlichen auf Multiplikationen mit Potenzen der Variablen, wodurch sich für die Bildfunktion ein unvergleichlich einfacheres Problem ergibt. Ist dieses gelöst, so braucht man bloß noch zu der gefundenen Bildfunktion die Originalfunktion aufzusuchen. Dieser Ersatz der Differentiationssymbole durch Potenzen eines gewissen Parameters ist gerade das, was die unter dem Namen Operatorenrechnung oder Heavisidekalkül bekannte Methode rein formal macht, ohne die tiefere Bedeutung dieses Vorgangs zu durchschauen, und aus diesem Grund wird heute noch in der angelsächsischen Literatur die Methode der Laplace-Transformation, soweit sie sich auf Differentialgleichungen bezieht, oft als Operatorenmethode (Operational Calculus) bezeichnet.

Eine lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die nur zwei unabhängige Variable enthält, wird durch die E 2- Transformation auf eine algebraische Gleichung, eine solche mit drei unabhängigen Variablen auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert usw. Bei einer partiellen Differentialgleichung ist nun neben der Gleichung selber von Wichtigkeit das Grundgebiet, in dem sie zu integrieren ist und auf dessen Rand gewisse Werte, die Randbedingungen, vorgeschrieben sind. Da in der E 2- Transformation beide Variable von 0 bis oo variieren, muß als Grundgebiet für die Variablen x,y, auf die sich die Transformation beziehen soll, der erste Quadrant ,Q der xy-Ebene vorgegeben sein. Die anderen etwa noch vorkommenden Variablen können in beliebigen Gebieten variieren. Die Randwerte aber, soweit sie sich auf die Ränder x = 0, y = 0 beziehen, gehen bei der Transformation unmittelbar in die Bildgleichung ein, werden also dort automatisch berücksichtigt. Das ist von entscheidender

[§ 8] Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 39

Wichtigkeit für die Methode. Kommt z. B. in der Originalgleichung die Ableitung

_!_I!_ vor, so treten gemäß A 1.6 in der Bildgleichung die Funktionen .i(u, 0) oxoy

II

und F(O, v) auf. Diese sind als bekannt anzusehen, sobald die Randwerte F(x, 0) und F(O,y) der Funktion F(x,y) auf den Rändern des Quadranten .Q gegeben sind:

I II

F(u, 0) = -Bu{F(x, 0)} , F(O, v) = -Bv{F(O,y)}

I

Wie wir sehen werden, ist es aber gar nicht notwendig, etwa F(u, 0) aus F(x, 0) I

wirklich zu berechnen: wenn die Funktion F(u, 0) in der Lösung des reduzierten Problems unter dieser allgemeinen Bezeichnung figuriert, so verwandelt sie sich bei der Rücktransformation von selbst in die Funktion F(x, 0), so daß im Endresultat gerade diese Randfunktion in Erscheinung tritt.

Was den Sinn angeht, in dem die Randbedingungen gemeint sind, d. h. ob ein ?Wei- oder allgemeiner ein eindimensionaler Anschluß der Funktionswerte im Innern des Gebietes an die Randwerte verlangt wird (L T S. 341, 342), so folgt aus der Tatsache, daß die .22- Transformation der Ableitungen durch Aufeinanderfolge zweier eindimensionaler Transformationen bewerkstelligt wird, daß die Randbedingungen im Sinne eines eindimensionalen Anschlusses bei senkrechter Annäherung an den Rand zu verstehen sind. Das schließt nicht aus, daß bei der Nachprüfung, unter welchen Umständen der gefundene Ausdruck wirklich eine Lösung darstellt, gelegentlich hiervon abgewichen wird (vgl. LT S. 371, 372).

Von besonderer Bedeutung ist die Frage, welche Randbedingungen vorgegeben werden können, damit das Problem eine Lösung hat, und ob insbesondere die Randwerte, die bei Anwendung der Transformationsformeln auftreten, auch alle unabhängig voneinander vorgegeben werden können. Gerade bei dieser Frage wird die Methode der .22- Transformation ihre besondere Stärke erweisen, indem nämlich die Antwort durch die Methode automatisch mitgeliefert wird. Wir verschieben die ausführliche Erörterung dieses Problems bis zur Behandlung konkreter Fälle.

Wir wollen bei diesem allgemeinen Überblick nur noch eine Frage erörtern, die sich nicht nur bei der vorliegenden Methode, sondern überhaupt bei jeder Methode zur Lösung von Randwertproblemen einstellt. Wenn wir die Abbildungsformeln für die partiellen Ableitungen auf die gegebene Differentialgleichung anwenden, so setzen wir dabei implizit voraus, daß die Lösung F(x,y) alle Eigenschaften hat, die die Anwendbarkeit dieser Formeln garantieren und die z. B. in den Sätzen 10 und 11 formuliert sind, was wir aber, da wir die Lösung F(x,y) noch nicht kennen, im voraus garnicht feststellen können. Es kann sich also nur um folgendes handeln: Man denkt sich aus den unendlich vielen Lösungsfunktionen, die das Randwertproblem dank der Allgemeinheit der Koeffizienten der Differentialgleichung und der Randbedingungen umfaßt, diejenigen herausgegriffen, bei denen die Abbildungsformeln anwendbar sind. Deren .22-

40 Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen

Transformierte müssen die Bildgleichung erfüllen, man kann sie also durch Lösung der Bildgleichung erhalten. Gelingt es nun, die so gewonnene Bildfunktion in den Originalbereich zu transformieren, so kann man den gewonnenen allgemeinen Ausdruck gan'{_ unabhängig von seiner Entstehungsweise daraufhin untersuchen, unter welchen Umständen er eine Lösung des ursprünglichen Problems darstellt, d. h. für welche Werte der Gleichungskoeffizienten und unter welchen Voraussetzungen über die Randfunktionen sich das Erfülltsein aller gestellten Bedingungen verifizieren läßt. Man beschränkt sich also bei der Anwendung der Methode zunächst auf eine eingeengte Menge von Lösungen, setzt dann aber den gefundenen Lösungsausdruck in die allgemeinste Menge von Funktionen fort, für die er noch einen Sinn hat und den gestellten Anforderungen genügt. Wir nennen dies das Fortsetzungsprinzip (vgl. LT S. 286,354, 369). Dieses Prinzip wenden, wenn auch meist uneingestandenermaßen, alle Methoden zur Lösung von Randwertproblemen an, denn sie alle müssen ihre eigene Anwendbarkeit postulieren, ohne sie im voraus beweisen zu können.

§ 9. Die partielle Differentialgleichung erster Ordnung

Die Differentialgleichung habe die Gestalt:

(1) iJF iJF - + p- + qF = (/)(x,y) iJx oy

Die Koeffizienten der die gesuchte Funktion F(x,y) enthaltenden Glieder seien also reelle Konstante, während das Absolutglied eine beliebige Funktion von x,y ist. Da beide Ableitungen vorkommen müssen, weil sonst keine partielle

Differentialgleichung vorläge, k~nnten wir durch den Koeffizienten von ~~

dividieren; der Koeffizientp von iJF ist oft 0 vorauszusetzen. Als Grundgebiet, in oy dem die Gleichung zu integrieren ist, wird, wie in Zukunft immer, der erste Quadrant n: X~ O,y ~ 0 angenommen. Da die Gleichung von erster Ordnung ist, werden bei der Transformation die Randwerte

(2a) lim F(x,y) = A(x) , (2b) lim F(x,y) = B(y) (x,y>O) y->+0 X--7 +0

auftreten. Um zu zeigen, was die .122- Transformation gegenüber der .12-Transformation

leistet, wollen wir das Problem zunächst einmal mit der letzteren angreifen. Nach welcher Variablen man dabei transformiert, ist gleichgültig, da beide völlig gleichberechtigt auftreten. Wir wollen nach y transformieren und die neue

li II

Variable mit v, die transformierten Funktionen mit F(x, v) und (/)(x, v) be-zeichnen, um in der bei der .122- Transformation gewohnten Nomenklatur zu

bleiben. Dann wird nach dem Differentiationssatz in § 1 aus der partiellen Differentialgleichung (1) die gewöhnliche

oder

(3)

li

oF(x v) li li li

0; +p[vF(x,v)-A(x)]+qF(x,v)= (/)(x,v)

li

oF li li

- + (pv + q) F = (/)(x, v) + pA(x) , OX

wobei die Randbedingung (2a) in die Gleichung eingetreten ist, während die Randbedingung (2b) in die Anfangsbedingung

li

(4) F(O, v) = h(v) = Ev{B(y)}

übergeht. Die Lösung des Problems (3), (4) lautet bekanntlich:

X

li J li (5) F(x,v) = e-<Pv+q)x h(v)+ [cp(x-~,v)+pA(x-~)] e-<Pv+q)t;d~

0

Das Produkt e-Pxv h (v) läßt sich nur dann nach dem Verschiebungssatz zurücktransformieren, wenn p > 0 ist, was wir von nun an voraussetzen müssen. Der erste Summand unter dem Integralläßt sich dann ebenfalls zurücktransformieren. Der zweite Bestandteil des Integrals kann als E-Transformierte geschrieben werden, wenn man A (x) = 0 für x < 0 definiert:

00 00

p Je--Pv~ · e-q~A(x-~) d~ = Je-vy · e-qf A(x- .Y) dy, 0 0 p

so daß man die zugehörige Oberfunktion e- fy A ( x - ~) unmittelbar erkennt.

Damit erhält man insgesamt zu (5) die Überfunktion:

X

(6)F(x,y)=e-fY A(x-~)+e-qxB(y-px)+ Je-q~(/)(x-~,y-p~)d~, 0

wobei die Funktionen A, B und (/) für negative Argumente durch 0 zu defi

nieren sind, so daß in dem Integral die obere Grenze in Wahrheit Min ( x, ~)

lautet.

Obwohl die Herstellung der Lösung ziemlich einfach vor sich geht, bleibt unbefriedigend, daß sie nur für p > 0 möglich ist und daß der innere Grund dieser Einschränkung nicht ersichtlich wird. Die Methode der E 2- Transformation wird nun die Aufklärung bringen und zugleich das Problem auf noch einfacherem

Wege bewältigen, insofern als nicht einmal mehr eine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern nur eine lineare algebraische Gleichung gelöst zu werden braucht.

Wenden wir bei der .22- Transformation von (1) den Satz 10, also die Formeln I II

A 1. 3, 4 an, so treten die Funktionen F(u, 0) und F(O, v) auf, die durch die Randwerte (2) bestimmt werden. Wir setzen

I

F(u, 0) = Eu{F(x, 0)} = Eu{A(x)} = a(u) ,

II

F(O, v) = Ev{F(O,y)} = Ev{B(y)} = h(v) .

Dann erzeugt die .22-Transformation aus der partiellen Differentialgleichung (1) die algebraische Gleichung

[uf(u, v) - h(v)] + p[vf(u, v) - a(u)] + qf(u, v) = rp(u, v) ,

deren Lösung lautet:

(7) J(u v) = cp(u,v)+pa(u)+h(v) . ' u+pv+q

Hier wird nun sofort der tiefgreifende Unterschied zwischen den Fällen p > 0 und p < 0 klar. Ist nämlich p < O, so kann im allgemeinen f(u, v) gar keine .22- Transformierte sein, denn eine solche muß sich in einem Paar von rechten u- und v-Halbebenen holamorph verhalten (Satz 4). Wenn man aber zwei Halbebenen .f>u und .f>v ins Auge faßt und p < 0 ist, so kann man v in .f>v so weit rechts wählen, daß der Wert u = -pv- q in .f>u liegt. Dann verschwindet der Nenner von f(u, v) für dieses Wertepaar, so daß j(u, v) nicht für jedes feste v in .f>v holamorph in .f>u ist. Wir stellen diesen Fall p < 0 vorläufig zurück und nehmen zunächst

p >0

an. Dann hat für alle hinreichend weit rechts gelegenen u und v der Nenner u + pv + q einen positiven Realteil, ist also von 0 verschieden.

Wir zerlegenf(u, v) in drei Summanden, für die wir die Rücktransformation übungshalber in allen Einzelheiten angeben wollen. Wir führen sie nicht in einem

u" Schritt aus, sondern machen erst die Transformation ·-o und dann ·-o oder V y

umgekehrt. Benutzen wir die Korrespondenz -+1 •-o e-ax und den Faltungsu a

satz in§ 1 so ergibt sich bei der Transformation ~-::

X

l UX X 11 f II ---- · rp(u,v) •-o e-(pv+q)x * (/)(x,v) = e-<Pv+q);(/)(x-~,v)d~. u+pv+q

0

I§ 9) Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 43

Bei der Transformation •-o wenden wir den Verschiebungssatz an und erhalten: V y

X X

J e-<Pv+q)~ :P(x- ~' v) d~ ;-; J e-q~ cf>(x- ~,y- p~) d~ , 0 0

wobei die Transformation mit dem Integral vertauscht wurde und cf> für negative Werte des zweiten Arguments gleich 0 zu setzen ist. - Für die beiden anderen Summanden können wir uns kürzer fassen und in leichtverständlicher Weise anschreiben:

(8)

a(u) P u+pv+q

__ a--'-(u--'-)- v Y e-(f+f)Y a(u) ~-: e -fy A(x-Yp) v+~+.i_

p p mit A (x) = 0 für x < 0 ,

h(v) ~-: e-<Pv+q)x b(v) •-o e-qx B(y- px) mit B(y) = 0 für y < 0 . u+pv+q vy

y

.Y

px x,y

Fig. 9

Insgesamt erhalten wir denselben Ausdruck wie unter (6), der explizit in den beiden Winkelräumen y <px und y > px wegen des Verschwindens der Funktionen für negative Argumente verschiedene Gestalt hat:

J' -}• A(x- Y) + j ,- •' <P(x -~ <,y- p<) d< fll< y < px F(x,y)= p o l' _,. B(y-px) + [·-•' <P(x ~ <,y- p<l d< ru, y > px

Auf der trennenden Geraden y = px ergibt sich nur dann derselbe Wert für F(x,y), wenn A(O) = B(O) ist, d. h. wenn die Randwerte auf der x- und yAchse in dem gemeinsamen Punkt x == y = 0 übereinstimmen.

(9)

Die Randwerte A bzw. B, die sich im Punkte x,y bemerkbar machen, rühren von denjenigen Punkten her, in denen die Parallelen durch x,y zu der Trenngeraden y = px (das sind die aus der klassischen Theorie bekannten Charakteristiken der Differentialgleichung) die Berandung schneiden1 ). In dem Integral, das den zweiten Bestandteil der Lösung bildet, kommen diejenigen Werte von lf> vor, die diese Funktion längs der Strecke zwischen dem Punkt x,y und jenem Schnittpunkt mit der Berandung annimmt. Physikalisch ist der Vorgang also so zu deuten, daß die Randwerte sich in Richtung der Charakteristi-

ken ins Innere fortpflanzen, wobei sie durch die Faktoren e-!f;-y bzw. e-qx pro

portional zu der Horizontalkomponente der Verrückung (; bzw. x) gedämpft

werden, während die Funktion lf>(x,y) sich als" Rückstand" bemerkbar macht, der, gedämpft durch den Faktor e-qö, längs des Fortpflanzungsweges aufsummiert wird.

Getreu dem aufS. 40 formulierten Fortsetzungsprinzip betrachten wir nun die durch (9) gegebene Funktion ganz unabhängig von dem Wege, auf dem sie gewonnen wurde, und fragen, unter welchen allgemeinsten Bedingungen sie eine Lösung des Problems darstellt. Wir behaupten:

Wenn A(x) für x ~ O, B(y) für y ~ 0 differen?_ierhar und A(O) = B(O) ist,

d ()C/> ()(/> I' . . d . . d . 1 " T.' k . un wenn 7);", ay- Jür x ~ 0, y ~ 0 exrstzeren un stetzg sm , so zst aze run tzon

(9) eine Lösung der Dijjerentialgleichung (I) mit p > 0 in dem Quadranten x ~ 0, y ~ 0 unter den Randhedingungen (2), wohei auf der Geraden y = px die partiellen

Ahleitungen ~~, ~: einseitig ?_U hilden sind, und ?_war heide innerhalh des Winkel

raums y < px oder heide innerhalh y > px. Bemerkung: Man beachte, daß hier von der Existenz der E 2- Transformier

ten für die gesuchte Funktion F, die Randfunktionen A, Bund die Funktion lf>, insbesondere von irgendwelchen Wachstumsbeschränkungen im Unendlichen, keine Rede mehr ist.

Beweis: Es ist von vornherein klar, daß die partiellen Ableitungen von F im allgemeinen längs der Geradeny = px nicht im üblichen Sinn, d. h. beiderseitig gebildet, existieren können. Dagegen existieren sie einseitig, so d~ß die Fläche '{ = F(x,y) längs der Geraden einen Knick aufweist. So ist z. B. für A(x) == O, B(y) == y, lf>(x,y) == 0

{ 0 für y~ px F(x ) = _ .. ,y e qx (y-px) fur y ~ px ,

so daß ~= längs der Geraden y = px gleich 0 oder -pe-q" ist, je nachdem

man die Ableitung nach der Seite des Winkelraumes y < px oder nach der von

1 ) Für einen Punkt in dem Gebiet .1<px trifft diese Parallele die positive x-Achse, daher tritt in F (x,y) ein A-Wert auf. Im Gebiet y>px trifft sie die positivey-Achse, wodurch in F (x,y) das Auftreten eines B-Wertes bedingt ist.


y > px bildet. Bei der Verifikation der Differentialgleichung hat man also die beiden Winkelräume getrennt zu betrachten und die Gerade y = px wie einen Rand zu behandeln.

In dem Winkelraum y ~ px ist die linke Seite der Differentialgleichung (1) für die durch (9) definierte Funktion unter unseren Voraussetzungen 1) gleich

yJp

(10) e-fy A'(x-;)+ Je-q 0 (/Jx(x-~,y-p~)d~-qe-fy A(x-;) 0

yJp

-e-fy A'(x- ;) +p Je-qo $y(x-~,y-p~)d~+e-qf $ (x-;, o) 0

yJp

+ qe--7;-y A(x-;) + qfe-qo $(x-~,y-p~) d~. 0

Wegen d (/Jx(x- ~,y- p~) + p(/Jy(x- ~,y- p~) =- d; $(x- ~,y-p~)

folgt durch partielle Integration:

y~ y~

J e-q; (/Jx(x- ~,y- p~) d~ + p Je-qo (/Jy(x- ~,y- p~) d~ 0 0

Y.'P

= -e- qf $(x-;, 0) + $(x,y) - q Je- qo(/J(x- ~,y- p~) d~ , 0

so daß in (10) nur $(x,y) übrigbleibt und die Differentialgleichung (1) erfüllt ist. Dasselbe ergibt sich in dem Winkelraum y;:? px .

Da aus unseren Voraussetzungen die Stetigkeit von A(x), B(y) ·und $(x,y) folgt, so sieht man der Funktion (9) unmittelbar an, daß die Randbedingungen (2) erfüllt sind, sogar im zweidimensionalen Sinn, d. h. daß man um jeden Randpunkt einen so kleinen Halbkreis (in der Ecke 0, 0 einen Viertelkreis) beschreiben kann, daß sämtliche Werte von F darin sich von dem Randwert beliebig wenig unterscheiden.

oll> oll> ') Die Voraussetzung der Stetigkeit von a und a wurde gemacht, um das Integral in (9)

nach der Regel X Y

h,(a) h,(a)

d J Jog(;,a) , ' da g(;,a)d;= oa d;+k,(a)g(ha(a),a)-h,(a)g(hl(a),a) h1(a) h1(a)

di:ferenzieren zu können.

Damit ist der Fall p > 0 vollständig erledigt, und wir wenden uns nunmehr dem Fall

p<O

zu, der mit der eindimensionalen E-Transformation überhaupt nicht behandelt werden konnte. Wir setzen

p = -p' ' p' > 0 •

Wie schon S. 42 bemerkt, ist jetzt die durch (7) definierte Funktion j(u, v) im allgemeinen keine E 2- Transformierte, weil der Nenner für v und u = -pv -q =

= p' v - q verschwindet und es keine rechten Halbebenen gibt, in denen nicht solche Punktepaare lägen. Bei dieser negativen Feststellung brauchen wir nun aber nicht stehen zu bleiben, sondern wir können sie gerade zum Ausgangspunkt einer neuen Ausgestaltung unserer Methode machen, und zwar auf folgende Weise1). Damitf(u, v) eine E2-Transformierte sein kann, muß der Zähler für dieselben Punktepaare verschwinden wie der Nenner, es muß also für alle v einer rechten Halbebene

(11) q;(p'v- q, v)- p' a(p'v- q) + h(v) = 0

sein. Das bedeutet, daß im Falle p < 0 die drei Funktionen q;, a, h und damit auch l/J, A, B nicht unabhängig voneinander gegeben werden können, sondern daß durch zwei von ihnen die dritte bereits bestimmt ist. Wir wollen zunächst einmal die Relation (11) in den Originalbereich übersetzen. Dazu ist vor allem festzustellen, welche Oberfunktion der Unterfunktion q; (cv + y, v) für c > 0, y komplex im Sinne der eindimensionalen E-Transformation entspricht. Definitionsgemäß ist

~~ ~~

q; (cv + y, v) = J J e-(cv+y)x-vy l/J(x,y) dx dy = J J e-v(cx+y)-yx l/J(x,y) dx dy . 0 0 0 0

Durch die Substitution x=~, cx+ y= 'fj

mit der Funktionaldeterminante 1 geht der Quadrant x ~ O,y ~ 0 in den Winkelraum

~ ~ 0, 'YJ- c~ ~ 0

Fig. IO

1 ) Vgl. die ähnliche Deduktion LT S. 373--381, insbesondere die Fußnote* S. 381.

und das Doppelintegral in

über. Stellt man dieses durch das iterierte Integral

OC TJ/C

Je-""~ dr; Je-Y" rfJ(~, r; ~ c~) d~ 0 0

dar, so nimmt es die Gestalt einer .B-Transformierten an, so daß man folgende Korrespondenz ablesen kann:

y/c

(12) <p(cv+y,v) •-o Je-Y" rfJ(~,y~c~)d~ (c>O). V y

0

Die « Verträglichkeitsbedingung» (11) lautet also im Originalbereich (man wende auf a(p'v ~ q) den Ähnlichkeits- und Dämpfungssatz in§ 1 an):

yjp

(13) Jeq" rfJ(~,y ~ p'~) d~ ~ ej;,Y A(;,) + B(y) = 0.

0

Sie zeigt, daß die eine Randfunktion durch die andere bereits bestimmt ist. Die Aufklärung hierfür wird uns die Gestalt der Lösungsfunktion liefern, der wir uns jetzt zuwenden.

Setzt man b(v) aus (11) in (7) ein, so ergibt sich:

(14) f( ) ~ <p(u,v)~<p(p'v~q.v) 1 a(u)~a(p'v~q) U V~ ~ p

' u ~ (p' V~ q) u ~ (p' V~ q)

Zur Bestimmung der Oberfunktion machen wir in dem ersten Summanden zu

nächst die Rücktransformation ~-:,wobei wir den Faltungssatz in§ 1 anwenden:

u~()v~q) <p(u,v)~ u~()v~q) <p(p'v~q,v) U X X II

o-o e(P'v-q)x * rfJ(x, v) ~ e<P'v-q)x ((!(p'v~q,v)

X = J " J u = e(P'v-q);x-1;) rfJ(~, v) d~ ~ e(P'v-q)x e-(p'v-q)l; rfJ(~, v) d~

0 0

X

Da der Faktor von v im Exponenten negativ ist, können wir für die Rück-00

transformation ·~c (wenn wir sie mit dem Integral f vertauschen) den Ver-" y

schiebungssatz anwenden:

00 00

- Jeq(f;~x) e~p'(f;-x)v ~{~, v) d~ •-o - Jeq(f;-x) Q>(~,y- p' (~- x)) d~ , V y

X

wobei (]) für negative Werte der zweiten Variablen gleich 0 zu setzen ist. Das Integral ist also in Wahrheit nur über die~ zu erstrecken, für die

y- p' (~- x) ~ 0 , also ~ ~ x + ·~ p

ist. Man erhält daher:

(15) q;(u, v) - q;(p' v-q, v)

u-(p'v-q) X +(yjp') Y

- J eq(f; -x>q>(~,y-p' (~- x)) d~ = - ;, Je;, 17 @ ( x +;, ,y-1]) d1] X Ü

Für den zweiten Summanden in (14) ergibt sich in ähnlicher Weise:

a(u)- a;p'v- q) ~~: e<P'v-q)x ~ A (x) _ e<P' v~q)x a (p' v _ q) u-(p v- q)

X 00

= f e<P'v-q)(x-f;) A{~) d~- e<P'v-q)x f e-(p'v-q)f; A{~) d~ 0 0

00 00

= - J e-<P'v-q)(f;-x) A(~) d~ = - ;, J e-vy · e ;, Y A( x +;,) dy.

X 0

Dieser Ausdruck hat die Gestalt einer Ev-Transformation, so daß wir die Oberfunktion unmittelbar ablesen können und erhalten:

(16)

q

a(u)- a(p' V- q) o~o - J:_ e p;-Y A(x + L) • u- (p'v- q) p' p'

Insgesamt erhält man also zu (14) die Überfunktion: yjp'

(17) F(x,y)=e;,Y A(x+;,)- Jeq 17 @(x+1},y-p'1])d1] 0

An diesem einfachen Beispiel sieht man bereits etwas ein, was sich in der Folge immerzu bestätigen wird, nämlich daß es bei der Behandlung von Differentialgleichungen mit der ~2-Transformation nicht so sehr darauf ankommt, zu möglichst vielen speziellen Unterfunktionen die Oberfunktionen zu kennen (was bei der ~-Transformation so wichtig ist), als vielmehr zu wissen, wie sich hestimmte, an den Unterfunktionen vorgenommene Operationen im Oberhereich widerspiegeln. So hatten wir z. B. aus der ~2-Transformierten q;(u, v) eine neue Funktion von u und v:

tp(u,v)- tp(p'v-q,v) u-(p'v-q)

zu bilden und festzustellen, wie deren Oberfunktion aus der Oberfunktion <P (x,y) von q; (u, v) entsteht. Und weiter war aus der ~-Transformierten a (u),

also einer Funktion von einer Variablen, die Funktion

a(u)- a(p' v- q) u- (p'v- q)

von zwei Variablen u, v zu bilden und festzustellen, wie man aus A(x) eine Funktion von zwei Variablen x,y abzuleiten hat, deren ~2-Transformierte jene Funktion von u, v ist. Derartige Operationen im Unterbereich werden im Laufe unserer Untersuchungen immer wieder neu auftauchen. Für einige besonders wichtige werden wir die korrespondierenden Operationen im Oberbereich ausführlich ableiten, während wir für die übrigen auf die Tabellen A des II. Teils verweisen, wo alle hier gebrauchten Operationen und noch viele weitere, die in anderen Problemen auftreten können, zusammengestellt sind. Die Herleitung möglichst vieler solcher «Korrespondenzen von Operationen", wozu oft interessante Kunstgriffe angewendet werden müssen, ist die Hauptaufgabe in der Theorie der ~2-Transformation.

Kehren wir zu dem unter (17) gefundenen Lösungsausdruck zurück, so stellen wir leicht auf ähnlichem Weg wie S. 44 fest, daß er unter analogen Bedingungen wie dort die Differentialgleichung befriedigt und für y-+ 0 gegen die Randfunktion A (x) strebt. Für x -+ 0 ist hier keine Randbedingung gestellt, wir wollen aber bemerken, daß (17) für x -+ 0 tatsächlich gegen die durch die Verträglichkeitsbedingung (13) geforderte Randfunktion

y/p'

e;' u A(;,)-J eq'l <P(n,y- p'n) d17 0

strebt. - Übrigens stimmt (17) mit der ersten Zeile von (9) überein, wenn man dort p = -p' und in dem Integral$= -17 setzt.

Woher kommt es nun, daß im Falle eines negativen p = - p' der Randwert B (y) nicht vorgeschrieben zu werden braucht? Das sieht man sofort ein, wenn man das für positives p gefundene Ergebnis sinngemäß auf den jetzigen Fall überträgt. Wir sahen dort, daß sich die Randwerte ins Innere fortpflanzen, und

4 V oelker, Doetsch

zwar wird in einem Punkt derjenige Randwert (gedämpft) angetroffen, der von der Charakteristik y = px+ const. durch den betr. Punkt aus dem Rand ausgeschnitten wird. Je nach der Lage des Punktes zu der Geraden y = px trifft diese Charakteristik für p > 0 einmal die x-Achse, so daß der Randwert ein A-Wert ist, das andere Mal diey-Achse, was zu einem B-Wert führt. Geht man aber im Falle p = - p' < 0 von einem Punkt im Innern längs einer Charakteristik y = px + const. = -p' x + const. (im Sinne fallender y) gegen den Rand vor (Fig. 11 ), so trifft man immer auf die x-Achse 1 ), also auf einen A-Wert. Man

Fig. u

kann auch umgekehrt sagen: Die Randwerte A pflanzen sich jetzt längs der Charakteristiken y = -p' x + const. in den ganzen ersten Quadranten, ja sogar darüber hinaus in den ganzen Winkelraum y + p' x ;:?; 0, y ;:?; 0 fort, also auch auf die y-Achse und über sie hinweg, so daß von einer Vorgabe der Werte der Lösung auf der y-Achse keine Rede sein kann. Dies bringt nun in der Tat die Lösung (17) zum Ausdruck. - Soll auch ihr Integralbestandteil über die y-Achse hinaus einen Sinn haben, so muß (/> dort definiert sein.

Wir fassen das Ergebnis so zusammen:

rr/ A fi J;r< . z . d o~P o~P fi Y rr enn (x) ür x ;:?; 0 arjjeren?_leroar zst un -"-' -.,- ür x + -'--,-;:?; 0, y ;:?; 0 ux vy p

existieren und stetig sind, so ist die Funktion ( 17) eine Lösung der Differentialgleichung

aF , aF --p -+ qF= @(x y) ax ay ' (p' > 0)

in dem Winkelraum x + ->: ;:?; O,y ;:?; 0 unter der Randledingung F(x,O) =A(x). p

') Natürlich kann man von den Punkten im Innern auch in der anderen Richtung, d.h. im Sinne steigender y, gegen den Rand vorgehen, wobei man dann immer auf die y-Achse trifft. Das entspricht dem Fall, daß an Stelle von A die Randfunktion B gegeben ist und daß vermittels ( 11) nicht b, sondern a aus (7) eli.niniert wurde.


Wir haben hier alle Schritte zur Lösung des Randwertproblems in größter Ausführlichkeit dargelegt und auch alle benutzten Abbildungen von Operationen vollständig abgeleitet, um den Leser in den Gebrauch der .ß2- Transformation einzuführen und ihn in den Stand zu setzen, derartige Probleme selbständig zu lösen. Für denjenigen, der einige Übung in der Handhabung des Kalküls erworben hat und die Tabellen des II. Teils zu benutzen versteht, vollzieht sich die ganze Lösung in wenigen Zeilen: Er schreibt unter die Originalgleichung mit Benutzung der Korrespondenzen A 1. 3, 4 sofort die Bildgleichung, löst diese, entscheidet durch Betrachtung des Nenners, ob eine Bedingungsgleichung (Verträglichkeitsbedingung) eingeführt werden muß, eliminiert bejahendenfalls eine der Randfunktionen, und schreibt an Hand der Korrespondenzen A 4. 44 und 2. 20 bzw. 5. 2 und 3. 3 zu der Bildfunktion unmittelbar die Originalfunktion hin. Zum Schluß wird ein gewissenhafter Bearbeiter sich stets noch Klarheit darüber verschaffen, unter welchen Vorausset1_ungen und in welchem Sinn der so gewonnene Ausdruck tatsächlich eine Lösung des Randwertproblems darstellt (man denke insbesondere an das Auftreten solcher Kurven wie der von dem Eckpunkt 0, 0 ausgehenden Charakteristik (S. 44), längs deren die Differentialgleichung nur einseitig erfüllt ist).

Es sei noch darauf hingewiesen, daß gewisse Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koejfi1_ienten sich durch Subs~itutionen auf solche mit konstanten Koeffizienten reduzieren lassen. Löst man die letzteren nach der obigen Methode im ersten Quadranten, so sind die ursprünglichen Gleichungen in den Gebieten gelöst, in die der erste Quadrant durch jene Substitutionen übergeht. Ein einfaches Beispiel möge dies verdeutlichen. Die Gleichung

2_ aF + aF = 0 x ax ay

geht durch die Substitution

x2 = ~, y ~ rJ, F(x,y) = G(~, rJ)

über in die Gleichung

2~ ~=0 a.; + dTJ '

deren Lösung in ~ ;;;" 0, 'fJ ;;;" 0 unter den Randbedingungen

G(~, 0) ==: MW, G(O, rJ) = N(rJ) (M(O) = N(O))

gemäß (9) lautet:

fi.. --- .; urrJ"""- 2

fi.. --- .; ur'f/"""2


Dem Quadranten~ ~ O, 17 ~ 0 entspricht der Quadrant x ~ O, y ~ O, jedoch ist die x-Achse verzerrt. Daher ist die Funktion

_ f M(x2 - 2y) F(x,y)- .l 2

N( (y- ~)

2

für y ~ -=__ 2

.. x2 fury ~ --

2

eine Lösung der ursprünglichen Gleichung in x ~ 0, y ~ 0, die Randwerte sind aber M(x2 ) und N(y). Setzt man M(x2} = A(x), N(y) = B(y), so hat F(x,y) die Randwerte A(x) und B(y).

Fig. rz

Die Reduktion auf eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten hätte auch durch die Substitution

x2 -· y = ~' y = 1), F(x,y) ~~ G(~, 17)

erreicht werden können:

Die Lösung

G(~ ) = j M(~- 1)) für 17 ~ ~ '1) 1 N(1) - ~) für 1) ~ ~

in ~ ~ 0, 1) ~ 0 gibt Veranlassung zu

{ M(x2 - 2y) F(x,y) ~= ]

l N(2y- x 2}

.. x2 fury~ -·-

2 .. x2

fury ~ 2

in 0 ~ y~ x2. Um die Randwerte A(x) für y ~ 0 und B(y) für X~ v.Y zu bekommen, muß man M(x2} = A(x), N(y) = B(y) setzen.

53

3. Kapitel

Einige spe7_ielle partielle Differentialgleichungen '{_weiter Ordnung

§ 10. Die Wärmeleitungsgleichung

In einem Wärmeleiter sei die Temperatur F nur von einer räumlichen Koordinate x abhängig (d. h. in einer Ebene x = const. habe die Temperatur überall denselben Wert); die Zeit nennen wir y. Im Innern des Leiters mögen sich Wärmequellen befinden, deren Stärke <P nach Ort und Zeit variabel sein kann. Setzt man die spezifische Wärmeleitfähigkeit des Körpers gleich 1, so genügt die Temperatur F(x,y) der partiellen Differentialgleichung

(1) o2F oF - - - + <P(x y) = 0 ox2 oy , .

Erstreckt sich der Leiter von x = 0 bis x = oo und betrachten wir den Vorgang von einem festen Zeitpunkty = 0 an für alle späteren Zeiten, so ist die Gleichung (1) in dem Quadranten x ~ 0, y ~ 0 zu integrieren. Da sie in x von zweiter, in y von erster Ordnung ist, brauchen wir bei der .ü2- Transformation zunächst folgende Randwerte (wobei wir der Kürze halber F(O,y) statt lim F(x,y) usw. schreiben): x-o-+o

F(O,y) = B(y) = an den Anfangspunkt angelegte Randtemperatur, Fx(O,y) = B 1 (y) = Temperaturgefälle am Anfangspunkt, F(x, 0) = A(x) = Anfangstemperatur des Leiters.

Unter Benutzung von A 1. 5, 4 erhält man die Bildgleichung

[u2f(u, v)- uh(v)- h1 (v)]- [vf(u, v)- a(u)] + cp(u, v) = 0,

wobei die eindimensionalen .ü-Transformierten der Randfunktionen durch die entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet sind. Der Lösung

(2) ji(u v) = -a(u) + uh(v) + h1 (v)- tp(u,v) ' u2 -v

sieht man sogleich an, daß sie im allgemeinen keine .ü2- Transformierte ist. Denn zu allen hinreichend weit rechts gelegenen v-Werten gibt es in jeder rechten uHalbebene Werte derart, daß u2 = v ist, so daß der Nenner in f(u, v) verschwindet. Damit f(u, v) eine .Ü2- Transformierte und in einem rechten Halbebenen-

paar holomorph sein kann, muß der Zähler für u = y':;7 (Hauptzweig) ebenfalls

verschwinden. Die andere Wurzel u = -Vv dagegen stört nicht, weil sie für hinreichend große 9tv nicht in der rechten Halbebene liegt, in der f(u, v) holamorph sein soll. Wir erhalten also die Bedingung


aus der sich eine Verträglichkeitsbedingung für die Funktionen A, B, Bu rJ>

ableiten läßt. Dazu müssen wir vor allem die Oberfunktion zu cp( y;-, v) bestimmen. Aus der bekannten Formel (TB. KORR. 4.1)

00

e-; y'; = J e-vC 1p(~, C) d~ 0

folgt:

cp(y-;;, v)

= Je- y';; d~ Je-''1 (/)(~, 1]) d1] = Jd~ (Je-vc 1p(~, ~) dC) (Je-vtJ W(~, 1]) dt)) 0 0 0 0 0

Auf Grund des Faltungssatzes in§ 1 kann das Produktder beiden hier auftretenden 2-Integrale als ß-Transformierte der Faltung von cp und (j) geschrieben werden:

00 00 00 00

cp(y;, v) = J d~ J e-vy 1p(~,y) ~ W(~,y) dy = J e-vy dy J 1p(~,y) ~ W(~,y) d~ . 0 0 0 0

Das letzte Integral hat die Gestalt einer ß-Transformation, läßt also die Oberfunktion unmittelbar erkennen:

00

( 4) cp ( y"Z, V) •-o J 1p (~,y) ~ l}) (~,y) d~ . 0

Bildet man also aus der Funktion cp(u, v) von zwei Variablen mit der Ober

funktion W(x,y) die Funktion cp(y"Z, v) von einer Variablen, so entspricht dieser vermöge der 2-Transformation die durch die rechte Seite von (4) definierte Funktion von y als Überfunktion.

Zieht man für a(Vv) die Korrespondenz TB. OP.19 und füry"Zb(v) =

= v()-;; b(v)) den Differentiationssatz in§ 1 heran, so erhält man aus (3) im

Oberbereich die Verträglichkeitsbedingung 1 )

00

(5) - J 1p(~,y) A(~) d~ 0 00

+ ~ [v:y *B(y)]+Bl(y)-JVJ(~,y)~fP(~,y)d~=O, 0

d r I J I , B(O) ')Statt dy Vny * B(y) kann man Vny * B (y) + Vny setzen.

[§ 10] Einige spezielle partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 55

die zeigt, daß sich B1 (y) durch A, B und tP ausdrücken läßt. In der Tat ist aus der allgemeinen Theorie der Wärmeleitungsgleichung bekannt, daß die Randfunktionen A und B allein schon die Lösung bestimmen.

Durch eine leichte Umformung kann man statt dessen erreichen, daß B(y)

durch A, B1 und tP ausgedrückt wird. Dazu braucht man nur (3) durch Vv zu dividieren und die Korrespondenzen TB. OP. 20 und A 6. 9 zu verwenden, was zu der Verträglichkeitsbedingung

00

(6) - J x(~,y) A(~l d~ 0 00

+ B(y) + v~y * Bdy)-f x(~,y) ~ tP(~,y) d~ = o 0

führt. - Dagegen gelingt es nicht, A(x) durch die anderen Randfunktionen allgemein auszudrücken, weil dazu die Gleichung (3) in der Form

geschrieben werden müßte und f(u2) im allgemeinen keine E-Transformierte darstellt, wenn f(u) eine solche ist. Damit hängt es zusammen, daß die Ausrechnung von A(x) aus (5) auf die Lösung einer singulären Integralgleichung erster Art hinausläuft, die nur unter zusätzlichen Voraussetzungen möglich ist.

Wir behandeln daher im folgenden die beiden Randwertprobleme, in denen A und B oder A und B1 gegeben sind.

Erste Randwertaufgabe: A(x) und B(y) gegeben

Setzt man den aus (3) folgenden Wert von h1 (v) in (2) ein, so lautet die Lösung der Bildgleichung:

J(u, v) = _ a(u)~ a(Vv) + b(v) U -V u+Vv

rp(u, v)- rp(VV, v) u2 -v

Es handelt sich vor allem darum, zu den durch den ersten und dritten Summanden dargestellten Operationen die Abbilder im Oberbereich zu finden. Dazu benutzen wir das (auch in der Theorie der E-Transformation bewährte) Mittel der Partialhruchr.erlegung und schreiben zunächst den ersten Summanden in der Form:

- a(u)-a(vv) = a(u)-a(Vv) ( 1 - 1 ) . U2 - v 2Vv u + vv u-Vv

Unter Berücksichtigung von TB. KORR. 4. 35 ergibt sich:

a(u) U X 1 . 1- X X

----::=------'--'---:=- o-o -- e-xv V* A(x) o-o x(x,y) * A(x) Vv(u + Vv) Vv v Y

und

00 00

= J );; e-<x+~>v';;- A(~)d~ ;-; J x(x+~,y) A(~) d~ ,

0 0

also 00

a(u)-a(v:U) x J (7) vv (u+Vv) •~o x(x,y) * A(x)- x(x+~,y) A(~) d~

0

ferner

a(u)-a(Vv) u x I .;- x I .;- -----':==---:-'----:=:- o-o -----= e X -y V * A (x) ------= e x-y V a( V V) vv (u-vv) vv vv

00 00

(8) =- J ;;;; e-<~-x>v'; A(~) d~ ;-; - J x(~ -- x,y) A(~) d~ , 1)

X X

so daß man zusammengefaSt erhält 2):

a(u)- a(v:U) u2 -v

.~o ~ J1 j x(x-~,y) A(~) d~- ~(x+~,y) A(~) d~ + ~(x- ~,y) A(~) d~ l

Ü 0 X

00

(9)

0

In ähnlicher Weise ergibt sich für den dritten Summanden von f(u, v) zunächst durch Partialbruchzerlegung

_ rp(u, v) ~ rp(Vv, v) = rp(u, v)- rp(V:U, v) ( l _ I )

u -v 2Vv u+Vv u-Vv

1 ) Es ist wichtig, daß in dem vorletzten Integral ~ - x ;? 0 ist. Dadurch wird die Korrespan-I . ;-

denz v:U e -("-x)v V o-o X(~- x, y) anwendbar. In den vorhergehenden Integralen war dies

nicht m?iglich, da sie für ~ - x < 0 nicht gilt. 2 ) Man beachte, daß X(~- x,y) =X (x -- ~,y) ist.

und weiterhin

rp(u,v)-rp(VV,v)ux 1 -xv;• :;_( ) 1 -•V; c~c) __;__:_--'-='--;-----'---~'- o-o -- e * 'P X V - -- e ffJ y v, V

Vv (u+Vv) Vv ' Vv ' '00 1 ./-x 11 J1 .1-"

= Vv e-•vv * r/J(x,v)- Vv e-<x+~)vv f/J(~,v) d~

0

00

(10) X y f y o-o x(x,y) * * r/J(x,y)- x(x+~,y) * r/J(~,y) d~ ' V y

0

rp(u,v)-rp(VV,v) ux 1 .-v;·~( ) 1 xV; (·~) -'--'---"--:=~--'-~:f--.:_ •-o -- e * 'P X V --- e ffJ V V, V

VV(u-Vv) Vv ' Vv ' 00

= J Jv e<•-~)V; /P (~, v) d~-J Jv e-(1;-x)V; J> (~, v) d~ 0 0

00 00

J1 '-v- 11 f y (11) = - Vv e-,/;-z) V rp (~,V) d~ :-; - x(~-x,y) * r/J(~,y) d~ '

X X

also

- rp(u,v)- rp(VV, v) •-o _!_~ j;x(x- ~ y) ~ r/J(~ y) d~ u•- v 2 ' '

0

_ Jx(xH,y) ~ <P(IC,y) di; + Jz(x- t;,y) t <l'(<,y) di; l 00

(12) = ~ j[x(x- ~.y)- x(x + ~.y)] ~ r/J(~,y) d~ . 0

Da die Rücktransformation des zweiten Summanden in f(u, v) leicht zu bewerkstelligen ist:

h(v) ~-~ e-•V; h(v) •-o 1p(x,y) ~ B(y), u+Vv vy

kann man nunmehr die Oberfunktion zuf(u, v) angeben: 00

(13) F(x,y) = ~ f[x(x- ~,y)- x(x + ~,y)] A(~) d~ + 1p(x,y) ~ B(y) 0 00

+ ~ f[x(x- ~,y) - x(x + ~,y)] ~ r/J(~,y) d~. 0


Es ist bekannt (LT S. 353-361), daß (13) unser Problem löst, wenn A(x), B(y) und IP (x,y) stetig sind und sich im Unendlichen so verhalten, daß die Integrale absolut konvergieren.

Bei Benutzung der Korrespondenzen A 3. 36, 2. 82, 5. 22 hätte man die Lösung unmittelbar unter die Gleichung für f(u, v) schreiben können.

Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist nicht eindeutig, wenn man, was den physikalischen Verhältnissen angemessen ist, nur verlangt, daß die Randwerte bei eindimensionaler, senkrechter Annäherung an den Rand angenommen werden (LT S. 362-366). Es gibt nämlich «singuläre Lösungen», die die homogene Gleichung befriedigen (IP(x,y)""' 0) und für x > 0 undy > 0 die Randwerte 0 haben, während sie sich in der Umgebung der Ecke O, O, die bei senkrechter Annäherung nicht erreicht werden kann, sehr kompliziert verhalten. Diese singulären Lösungen darf man zu der Lösung (13) addieren, ohne das Erfülltsein der Differentialgleichung und der Randbedingungen zu verletzen. Man kann sie - ähnlich wie bei der Methode der ~-Transformation - dadurch erhalten, daß man a(u) und b(v) so wählt, daß sie selbst keine ~-Transformierte sind, daß aber die Summanden in ( 6) ~2-T rausformierte darstellen. Setzt man z. B. a(u) = -u, so ist

a(u)- a(vv) I -----c= •~o 1p(x,y) •

u 2 - V

Dasselbe ergibt sich für b(v) = 1:

b(v)

u+vv

u+v'v

--- •~o 1p (x,y) • u+ vv

Die Funktion 1p(x,y) ist eine bekannte singuläre Lösung der Wärmeleitungsgleichung im ersten Quadranten und entspricht physikalisch einer "Doppelquelle».

Zweite Randwertaufgabe: A(x) und B 1 (y) gegeben

Eliminiert man aus (2) die Funktion b(v) vermittels (3), so erhält man:

a(u)- ;v a(vv) f(u, v) = - ----;;-----

u2- v I b1 (v)

vv u+vv

rp(u, v)- u_ rp(vv, v) vv

u 2 - v

Da die Rücktransformation gegenüber der bei der ersten Randwertaufgabe keine neuen Gedanken erfordert, begnügen wir uns damit, aus den Tabellen die einschlägigen Korrespondenzen A 3. 45, 2. 84, 5. 30 zu entnehmen und die Lösung direkt hinzuschreiben, wie man es in der Praxis immer machen wird:

00

(14) F(x,y)= ~ f[x(x-~,y) + x(x+~,y)]A(~)d~-x(x,y) ~ B 1 (y)

0 00

+ ~ f[x(x- ~,y) + x(x + ~,y)] ~ IP(~,y) d~ · 0

[§ 11] Einige spezielle panielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 59

Für x = 0 muß F(x,y) übrigens die Randfunktion B(y) ergeben, und tatsächlich stimmt (14) für x = 0 mit der Verträglichkeitsbedingung (6), die B(y) durch A, B 1 und C/J ausdrückt, überein.

Natürlich kann man die Lösung (14) auch aus der Lösung (13) ableiten, indem man dort B(y) durch den aus (6) folgenden Wert

00 00

B(y) = J x(~,y) A(~) d~- v~y $ B 1 (y) + J x(~,y) X C/J(~,y) d~ 0 0

ersetzt. Verwendet man bei der Faltung von B(y) mit 1p(x,y) die aus

- xy'; I - oy'; l -(xH)y'; e . _v_v_ e = _v_v_ e

folgende Relation

?p(x,y) X X(~,y) = x(x + ~,y) '

so ergibt sich:

00

?p(x,y) X B(y) =I x(x + ~,y) A(~) d~- x(x,y) X Bl(y) 0 00

+I x(x + ~,y) X C/J(~,y) d~ ' 0

und dies führt, in (13) eingesetzt, zu (14). Auch bei dem zweiten Randwertproblem existieren singuläre Lösungen.

Wählt man z. B. h1 (v) = -1, so ergibt sich:

l h1 (v)

vv u+Vv l l

Vv u + vv ·~o x(x,y) .

Diese physikalisch einer "Quelle>> entsprechende Lösung der Wärmeleitungsgleichung hat die Randwerte A =; 0, B 1 =; 0.

§ 11. Die Wellengleichung

Die Elongation F eines schwingungsfähigen Mediums sei nur von einer räumlichen Koordinate x abhängig; es handle sich also z. B. um die Transversalschwingungen einer Saite oder die Longitudinalschwingungen einer Schraubenfeder oder die elektrischen Schwingungen in einer Leitung. Liegt keine Dämpfung vor und wirkt eine äußere Kraft C/J, die mit dem Ort x und der Zeity variabel sein kann, so genügt F(x,y) der Schwingungs- oder Wellengleichung

(1) a• F a• F --- c2-- + (/J(x y) = 0 ox2 oy2 '

(c > 0) .

Das Medium erstrecke sich von x = 0 bis x = oo, ebenso sei 0 ~ y < oo, d. h. der Vorgang werde von einem Einschaltmoment y = 0 an betrachtet. Da (1) sowohl hinsichtlich x als y von zweiter Ordnung ist, treten bei Anwendung der .22- Transformation zunächst folgende Randwerte auf:

F(x, 0) = A(x),

F(O,y) = B(y),

Fy(x, 0) = A1 (x);

Fx (O,y) = ß1 (y) .

Bezeichnen wir die E-Transformierten mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, so lautet die Bildgleichung zu (1):

(2) [ u2j(u, v) - uh (v) - h1 (v)] - c2 [ v 2j(u, v) - va (u) - a1 (u)] + cp (u, v) = 0

und deren Lösung:

(3) j(u, v) = - c' va(u)- c2 a1(u) + ub(v) + b,(v)- 'P (u, v) u2 - c2 v 2

Von den beiden Faktoren u + cv und u- cv des Nenners ist der erstere ungefährlich, denn für die v einer rechten Halbebene liegen die Werte u = -cv, die den Faktor zum Verschwinden bringen, in einer linken Halbebene. Dagegen stören die Nullstellen von u- cv die Holamorphie vonf(u, v) in einem rechten Halbebenenpaar, so daß der Zähler von f(u, v) für u = cv verschwinden muß, damitj(u, v) eine .22-Transformierte sein kann:

( 4) -c2 va (cv) - c2 a1 ( cv) + cvh (v) + h1 (v) - cp(cv, v) = 0 •

Ist A (0) = B (0), so können wir diese Bedingungsgleichung in die Gestalt setzen:

- c[cva(cv)- A(O)]- c2 a1 (cv) + c[vh(v)- B(O)] + h1 (v)- cp(cv, v) = 0 .

Nach dem Ähnlichkeitssatz ist

ca(cv) •-o A(~),

also nach dem Differentiationssatz

dA(Y) c l A'(Y) v · ca(cv)- A(O) •-o --=- - ·

dy c c

Unter Benutzung der Korrespondenz (12) § 9 erhält man durch Rücktransformation von ( 4) die Verträglichkeitshedingung:

yjc

(5) - A'(~)- cA1 (~) + cB'(y) + B 1 (y)- J (/J(1],y- C1]) d1] = 0.

0

Man kann daher nur drei der vier Randwerte vorgeben, wobei noch A (0) = B(O) sein muß. Wir werden das Problem für den Fall, daß A, Au B bzw. A, Au B1 gegeben sind, lösen. Da die Differentialgleichung und das Grund-

gebiet erhalten bleiben, wenn man x mit y vertauscht und c2 durch _1:__, <P c.

durch - <P ersetzt, so sind damit auch die beiden anderen noch denkbaren Rand-wertprobleme, bei denen B, B1 , A bzw. B, B1 , A1 gegeben sind, erledigt.

Erste Randwertaufgabe: A(x), A1 (x) und B(y) gegeben

Diese Aufgabe bedeutet z. B. im Falle einer Saite, daß Ort und Geschwindigkeit aller Massenpunkte zur Zeit y = 0 und der Ausschlag am Anfangspunkt für alle späteren Zeiten gegeben sind. Durch Elimination von b1 (v) aus (3) vermittels ( 4) erhält man:

(6) j(u, v) = _ c2v a(u;- ~(c~) 2 a1(u)- a1(cv) + J!;:!)_ _ tp(u, v)- tp(cv, v) . u - c v - c u 2 - c2 v' · u + cv u 2 - c2 V 2

Da bei der Rücktransformation der hier vorkommenden Operationen einige Kunstgriffe nötig sind, die bisher nicht vorkamen, wollen wir sie ausführlich angeben. Natürlich nehmen wir zunächst eine Partialbruchzerlegung vor und schreiben für den ersten Summanden:

_ c2v a(u)- a(c v) = c a(u)- a(c v) (--] _____ 1_) . u 2 -c2 V 2 2 u+cv u-cv

Es ist

a (u)- a (c v) u x x c •-o ce- cux * A(x)- ce- cvx a(cv) u + cv

X 00

0 0 cx 00

0 cx

Der letzte Ausdruck kann als B-Transformierte einer Funktion von y gedeutet

werden, die für 0 "'( y "'( c x die Gestalt A( x- ~) und für y > c x die Gestalt

- A ( -~ - x) hat, so daß sich ergibt:

(7) r A(x- yc) für y "'( cx

a(u)- a(cv)

c ---'---'-u-+_c_v:__:_ •~o t - A( ~ - x) für y > c x

Definieren wir A(x) für negative Argumente durch die Festsetzung

A(-x) = -A(x) ,

so können wir die Oberfunktion kürzer in der Gestalt A ( x- ~) schreiben.

Da das Abbild von- c a(u)- a(c v) bereits durch (16) § 9 bekannt ist, erhält u- cv

man insgesamt für den ersten Summanden inf(u, v):

(8) -c2v alu)- a(cv) •~o i_{A(x+ Y) +A(x- L)} mit A(-x) = -A(x) · u2 - c2 v• 2 c c

Der zweite Summand unterscheidet sich vom ersten in der Farm nur durch

einen hinzutretenden Faktor ~,der im Originalbereich einer Integration nachy

entspricht (siehe beim Faltungssatz in § 1), so daß gilt:

0 y y y

(9) =; 11 xj~(~)d~ -xi;1 (~)# 11 =; xi~(~)d~ mit A1 (-x) = -A1 (x).

X X y X-

C

Im vierten Summanden machen wir wieder eine Partialbruchzerlegung:

_ rp(u, v)- rp(cv, v) = rp(u, v)- rp(cv, v) (--1- ___ 1_) u2 - c2 v 2 2c v u + cv u- cv

und transformieren zunächst den ersten Bestandteil unter vorläufiger Weglassung des Nenners 2cv:

rp(u, v)- rp(cv, v) u x x n __:__;'--'------'--------'---'-----'----'-- •-o e-cvx * (/J(x, v)- e-cvx cp(cv, v)

u+cv

;-; J(/Jc~,y-c(x-~))d~- J(/Jc~,.r- c(x+;})d~ 0 0

X = = J (/J(x- ~,y- c~)d~- J (/>(~- x,y- c~)d~,

()

wobei für die Rücktransformation •-o der Verschiebungssatz angewendet wurde und daher "Y

(/> (x,y) = 0 für y < 0

zu setzen ist. Definieren wir weiterhin

tP(-x,y) ==- tP(x,y) ,

so können wir den erhaltenen Ausdruck in der Form

00

J tP(x- ~,y- c~)d~ 0

schreiben. Da aber tP verschwindet, wenn die zweite Variable negativ ist, läuft

das Integral in Wahrheit nur bis~= Y, so daß man erhält:

(10)

c

y/c

rp(u,v)- rp(cv,v) o~o fct>(x-~,y-c~)d~ mit tP(-x,y) =- tP(x,y) u + cv

0

Ferner ist nach (15) § 9: y/c

rp(u, v)- rp(c'V, v) •~o Jct>(x+~,y-c~)d~ ' u- cv

0

also zusammengefaßt:

y"c

(11) -2cv rp(u,v)-rp(cv,v) •~o J{$(x+~,y-c~)+$(x-~,y-cmd~ u2 - c2 v 2

0 mit tP(-x,y) =- tP(x,y)

woraus sich ergibt:

(12) rp(u,v)- rp(cv,v)

u2 - c2 v 2

y 7J/C

•~o ;c J d1J J{$(x+~, 1}-C~) + tP(x-~, 1}--c~)}d~ o o mit IP(-x,y) =- tP(x,y) .

Da die Oberfunktion des dritten Summanden in (6) nach (8) § 9 bekannt ist, können wir nunmehr die vollständige Lösung unseres Randwertproblems angeben:

X+!!_ c

(13) F(x,y) = ~ { A(x + ~) + A (x- ~)} + ; J A1 (~)# + B(y-cx)

mit

y 7J

y x-

c

+ 2 ~2 J d 1} J { cp (X + : , 1'J - ~) + cp (X - ; , 1J - ~) } d ~ 0 0

A( -x) = -A(x), A1 ( -x) = -A1 (x), B(y) = 0 füry< 0, tP( --x,y) =- tP(x,y) .


Wenn die Funktion (13) die Differentialgleichung (1) befriedigen soll, so müssen offenbar A (x) und B (y) zweimal und A1 (x) einmal differenzierbar sein. Ferner muß sich @(x,y) so verhalten, daß man den von(/) abhängigen Term zweimal nach x und (da bei der ersten Differentiation nach y einfach das äußere Integral wegfällt) einmal nach y unter dem Integralzeichen differenzieren kann. Dazu genügt es, daß (/) xx und (/) Y stetig sind. Unter diesen Voraussetzungen sind A, B, A1 und (/) eo ipso stetig, so daß das Erfülltsein der Randbedingungen garantiert ist.

Daß es sich physikalisch um einen Wellenvorgang handelt, ist aus der Gestalt der Lösung unmittelbar ersichtlich. So macht sich z. B. die in einem bestimmten Zeitpunkt y 0 vorhandene Randerregung B(y0) in allen « Weltpunkten" x,y bemerkbar, die auf der Geraden y-cx = y 0 liegen, d. h. die Erregung pflanzt

sich mit der Geschwindigkeit ddx = _1:_ ins Innere des Mediums fort. Daß B (y) y c

y x,y

B(Yo) x,y ~

~------~~------~x

0 --

Fig. IJ

für negative y gleich 0 zu setzen ist, entspricht der physikalischen Tatsache (Fig. 13), daß vor dem Zeitpunkt y = 0 keine Randerregung vorhanden ist, so daß, wenn in einem Punkt x die verflossene Zeit y so kurz war, daß y- c x negativ ausfällt, sich dort noch gar keine Randerregung hat bemerkbar machen

können.- Der Ausdruck ~ lA( x+ ~) + A ( x- ~))bedeutet, daß eine Anfangs

erregung A (x0) sich mit halber Stärke nach jeder der beiden Seiten mit der Ge

schwindigkeit _1:_ fortpflanzt 1). An jedem Punkt x treffen daher zu einer be-c

stimmten Zeit y zwei Weilen ein, von jeder Seite eine. Ist x so klein, daß x - Y c

negativ ausfällt, so ist nach der obigen Definition A ( x- ~) = - A (I x- ~ I) 1 ) Die Bahnen x ± I_ = const. sind die Charakteristiken der Differentialgleichung.

c

zu setzen. Das besagt, daß die von links eintreffende Welle eine solche ist (Fig.14), die bereits am Anfangspunkt reflektiert wurde und dabei ihr Vorzeichen umgekehrt hat. - Was den von den Anfangsimpulsen A1 (x) herrührenden Term angeht, so werden alle diejenigen A1 zu einem ''Rückstand)) aufsummiert, die sich an der festen Stelle x bis zu dem Zeitpunkt y haben bemerkbar machen können.

y

x,y

Fig. r4

Die von der äußeren Kraft (/J bewirkten Stöße werden in doppelter Weise aufsummiert1). Zunächst machen sich in jedem der Zeit y vorausgehenden Moment 17 (0 ~ 17 ~ y) gleichzeitig alle Stöße bemerkbar, die zu den früheren

Zeiten 17 - c;(O ~ .; ~ 17) in den Entfernungen l_, also in den Nachbarpunkten c

x ± l_ erfolgten und dank der Fortpflanzungsgeschwindigkeit _.!._ gleichzeitig c c

in x zur Zeit 17 eintreffen. Weiter aber bleiben alle diese in den verflossenen

y y

'l

T?-t

Fig. I5

1 ) </> tritt ja nicht wie A, nur in einem einzigen Zeitpunkt, sondern fortl<Wfend auf.

5 V oelker, Doetsch

Momenten 'YJ an die Stelle x herangetragenen Erregungen dort erhalten und wer

den hinsichtlich 'YJ aufsummiert (Fig. 15 ). - Daß ein Stoß <P ( x - ; , 'YJ - ~)

negativ zu rechnen ist, wenn die Stelle x- i_ links vom Nullpunkt liegt, be-c

deutet. wie oben, daß der von I x - i_ I ausgehende Stoß nicht direkt nach x c

gelangt ist, sondern auf dem Wege einer Reflexion an x = 0, wobei er sein Vorzeichen umkehrt.

Zweite Randwertaufgabe: A(x), A1 (x) und B 1 (y) gegeben

Hier ist im Falle einer Saite außer Ort und Geschwindigkeit der Massenpunkte zur Zeit y = 0 noch der Anstellwinkel im Anfangspunkt x = 0 für alle Zeiten gegeben. Durch Einsetzen von h(v) aus (4) in (3) ergibt sich:

(14) f(u v) = c ua(c v)- cva(u) + _:__ ua1 (cv)- cva1(u) __ 1_ h1 (v) ' u•- c• v• v u•- c• v• cv u + c v

1 utp(cv, v)- cv tp(u, v) + -c v- --'-'--'-u."-• '-_-c"""•-v""""• '-'---'-----'-

In der Partialbruchzerlegung des ersten Summanden

c ua(cv)- cva(u) = _:__ ( a(u)+ a(c v) _ a(u)- a(c v)) u•-c•v• 2 u+cv u-cv

ist die Oberfunktion des zweiten Bestandteils durch (16) § 9 bekannt; die des ersten kann man aus der Berechnung von (7) § 11 entnehmen, indem man statt der dortigen Differenz die Summe bildet:

cx 00

c a(u~:;~v) ~-= Je-•Y A(x- ~) dy+ Je-•Y A(~- x) dy, 0 cx

also

(15) _____:._:.~ •-o lA(x- yc) a(u)+a(cv) c

u+cv A(~ _ x) für y < cx

für y> cx

Somit gilt:

Damit verfügen wir auch über die Oberfunktion des zweiten Summanden in (14),

weil der dort hinzutretende Faktor __!:__ weiter nichts als eine Integration nach y V

bedeutet. Ebenso ergibt sich die Oberfunktion des dritten Summanden aus (8) § 9.

Für den vierten Summanden machen wir die Zerlegung:

urp(cv,v)-cvrp(u,v) =_!:__(rp(u,v)+rp(cv,v) _ rp(u,v)-rp(cv,v)) u2 - c2 v 2 2 u + c v u - c v

und entnehmen von (15) § 9: yfc

rp(u,v)-rp(cv,v) •~o J(/)(x+~,y-c~)d~ u-cv

0

und aus der Herleitung von (10) § 11: 00

0

00

= J (jj(l x-~1 ,y-c~) d~ mit (/)(x,y) = 0 für y < 0 ,. 0

so daß das Integral in Wahrheit nur bis ~ = Y läuft, also c

yfc

(17) rp(u,v)+rp(cv,v) •~o J(j)(lx-~1 v-c~)d~. u+cv 'V

0

Damit ergibt sich für den vierten Summanden, abgesehen von dem Faktor - 1- : cv

(18)

0

Nach einer leichten Umformung kann man nunmehr die Oberfunktion zu (14) folgendermaßen anschreiben:

X+_!_ c y -cx

(19) F(x,y) = ~ {A(x + ~) + A(x- ~)} + : f Ad~)d~- ~ f B 1 (1J)drt y 0

x--c

y '1

+ 2~2 Jdn J{(])(x+ ;,n-~)+(/)(x- ;,n-~)}d~ 0 0

mit

A(-x) = A(x), A 1 (-x) = A 1 (x), B 1 (y) = 0 für y <0, (/)(-x,y) = (/)(x,y) ~


Diese Funktion ist unter analogen Bedingungen wie beim ersten Randwertproblern eine Lösung1 ). Die physikalische Deutung ist ebenfalls ganz ähnlich wie dort, nur werden jetzt die Erregungen A, A1 und (/> am Anfangspunkt x = 0 nicht mit entgegengesetztem, sondern mit gleichem Vorzeichen reflektiert.

§ 12. Die Wellengleichung in anderer Gestalt

Durch die Transformation

h d D ·rr . I d k a• F 2 a• F .. b . a• F S d D·rr . I ge t er 1rrerentta aus ruc --2 - c --2 u er m -- . tatt er 1rrerentta -a• F ax oy a;a"~ gleichung --"- + C/>(x,y) = O, die sofort durch Integration nach x und y zu oxvy lösen ist, betrachten wir die allgemeinere Gleichung

(1) a•F --+ pF(x,y) + C/>(x,y) = 0 . oxoy

Die Integration dieser Gleichung in dem Quadranten x ~ 0, y ~ 0 ist gleichbedeutend mit der Integration der früheren Wellengleichung in erweiterter Ge-

stalt im Winkel zwischen zwei Charakteristiken x ± Y = 0 • c

Bei Anwendung der E 2- Transformation braucht man die Randwerte

F(x, 0) = A(x) , F(O,y) = B(y) ,

bzw. deren E-Transformierte a(u), h(v). Gemäß A 1. 6 lautet die Bildgleichung:

uvf(u, v)- ua(u)- vh(v) + F(O, 0) + pf(u, v) + cp(u, v) = 0

und ihre Lösung:

(2) j(u,v) = ua(u)+vh(v)-F(O,O)-!p(u,v) uv+ p

Diese Funktion ist in einem gewissen Paar von rechten Halbebenen analytisch, es kommt also keine Verträglichkeitsbedingung in Frage 2 ). Unter Benutzung

1) Beider Verifikation der Randbedingung F .. (O,y) = B,(y) ist zu beachten, daß ausA (-x) = A (x) folgt: A'(-x) = -A'(x) .

') Daß die Lösung hier im Gegensatz zu der in § 11 schon durch zwei Randbedingungen bestimmt ist, rührt daher, daß der Rand jetzt von zwei Charakteristiken gebildet wird.


von TB. KORR. 4. 9 erhält man

u _!'_y [e_P: Jux o [ ./- x ] (3) -- a(u) o-o e u a(u) = u -- a(u) o-o- ] 0 {2v pxy) * A(x)

uv+p vy u ox

oderauch

u [ l l] a(u) [ o ( • ;-)] x --a(u)= u---- a(u)+--o~o -}0 2vpxy *A(x) uv+p uv+p v v ox

(4) =- [J P~' ] 1 (2Vpxy)] ; A(x) +A(x)

und analoge Abbilder für die von b(v) und F(O, 0) abhängenden Glieder. Ferner ist

(5) l U X l _!'__X X I! -- X y

-- q;(u,v) o-0 -e V * @(x,v) 0-0 lo(2Vpxy) * *@(x,y). uv+p v v y

Also lautet die Lösung:

(6) F(x,y) = 0~ [Jo(2Vpxy; A(x) J + 0~ [J0(2Vpxy ~ B(y) J

- F(O, 0) ] 0 (2 Vpxy) - fo(2 ypry); ~ @(x,y)

=- [J p: ]1 (2 Vpxy)] Z A(x) + A(x)

- [J pyx } 1 (2 Vpxy)] ~ B(y) + B(y)

- F(O, 0) ] 0 (2 Vpxy) - ] 0 (2 Vpxy); ~ @(x,y) ·

Für y-+ 0 strebt diese Funktion, wenn B(y) in y = 0 stetig ist, gegen A(x) + B(O) - F(O, 0), für x-+ 0, wenn A(x) in x = 0 stetig ist, gegen A(O) + B(y)- F(O, 0). Die Randbedingungen sind also nur erfüllt, wenn

A(O) = B(O) = F(O, 0)

ist. Damit (6) der Differentialgleichung genügt, müssen A(x) und B(y) einmal differenzierbar und ferner (_/) so beschaffen sein, daß man } 0 * * (_/) in der üblichen Weise nach x und y differenzieren kann; dazu genügt es, daß (_/) (x,y) stetig ist.


§ 13. Die Telegraphengleichung

Die T elegraphengleichung, der sowohl die Stromstärke als auch die Spannung in elektrischen Leitungen genügt, lautet (x =Länge, y = Zeit):

(1) aa F 2 as F 2 oF 2 F- 0 iJx2 - p iJy2 - q oy - r - '

wobei p, q, r Konstante ~ 0 sind, die sich aus der Kapazität K, der Induktivität L, dem Ohmsehen WiderstandRund der Ableitung I (pro Längeneinheit) so bestimmen:

p 2 = LK, 2q = RK +LI, r 2 = RI.

Wie diese Gleichung vermittels der .ß-Transformation in dem Gebiet 0 ~ x ~ l, y ~ 0 zu lösen ist, wurde in L T S. 366-378 dargestellt. Wir behandeln jetzt die unendlich lange Leitung x ~0, und zwar unter den allgemeinsten Rand- und Anfangsbedingungen, während bei der angeführten Lösung die Anfangsbedingungen als verschwindend vorausgesetzt wurden.

Da (1) sowohl in x als y von zweiter Ordnung ist, brauchen wir zunächst die Rand- und Anfangswerte

F(x, 0) = A(x), Fu(x, 0) = A 1 (x), F(O,y) = B(y), Fx(O,y) = B 1 {.y),

bzw. ihre ii-Transformierten a(u), a1 (u), b(v), b1 (v). Die Bildgleichung zu (1) lautet:

[u2f(u, v)- ub(v)- b1 (v)] - p 2[v2f(u, v)- va(u)- a1 (u)]

- 2q[vf(u, v)- a(u)]- r2f(u, v) = 0

und ihre Lösung:

(2) j(u v) = - (p2 v+2q)a(u)+ uh(v)- p2 a1(u)+h1(v) . ' u2 - p 2 v 2 - 2qv- r2

Spezialfall: Die verzerrungsfreie Leitung

Vergleicht man diese Lösung mit der bei der Wellengleichung (die einen Spezialfall der Telegraphengleichung darstellt), so sieht man, daß ein wichtiger Sonderfall der sein muß, daß die Funktion p 2 v2 + 2qv + r2 das Quadrat eines linearen Ausdrucks ist, weil dann nämlich der Nenner im wesentlichen dieselbe Gestalt wie bei der Wellengleichung hat. Dies trifft dann zu, wenn p 2 r 2 - q2 = 0, d.h.

(3) pr = q

ist. Dann gilt: p 2 v2 + 2qv + r2 = (pv + r)\ und der Nenner in (2) hat die Gestalt:

(u + pv + r) (u - pv - r) .

Der erste Faktor verschwindet nicht, wenn u und v hinreichend weit rechts liegen, wohl aber der zweite, und zwar für u = pv + r. Damit j(u, v) in einem Paar rechter Halbebenen analytisch ist, muß der Zähler ebenfalls für u = pv + r verschwinden, was unter Berücksichtigung von (3) auf die Bedingung führt:

vermittels deren man jede der vier Funktionen a, a1, b, b1 durch die drei anderen ausdrücken kann. Der physikalisch am häufigsten vorkommende Fall ist der, daß A, A1 und B gegeben sind, was, wenn F die Stromstärke bedeutet, darauf hinausläuft, daß Strom und Spannung zur Zeit y = 0 und die Stromstärke am Anfangspunkt x = 0 für alle Zeiten y ß 0 gegeben sind (vgl. LT S. 367). Dann hat man br(v) durch die drei anderen Funktionen auszudrücken und in (2) einzusetzen. Das ergibt:

(5)ji(u v) = _ ( v+ 2r) a(u)-a(pv+r) 2 a1 (u)-a1 (pv+r) h(v) ' PP u2 - (p v+ r) 2 - P u2 - (pv+r) 2 - u+pv+r

Die hier benötigten Transformationen lassen sich leicht aus bekannten früheren herleiten. So ist z. B. nach (8) § 11:

- p2v a(u)-a(pv) •~o _!_{A(x+ Y) +A(x- Y)} mit A(-x) = -A(x) , u2 -p2 v 2 2 p p

also, da nach dem Dämpfungssatz der Ersatz von v durch v + _!_eine Multipli-' p --y

kation der Oberfunktion mit e P bewirkt:

(6) - ( v+r) a(u)-a(pv+r) •~o 21 e-fy{A(x+Yp)+A(x- Yp)} PP u2 -(pv+r) 2

mit A(-x) = -A(x)

ähnliches gilt für die übrigen Glieder. Daher gehört zu (5) die Überfunktion:

x+~ p

+ ~ e-f;y J A1 (~)d~ + e-rx B(y-px) y

x--p

y x--

p

mit A(-x)=A(x), A 1 (-x)=---'A1 (x), B(y)=O füry<O.


Die Lösung stellt im wesentlichen dieselbe Wellenfortpflanzung wie (13) § 11

mit der Geschwindigkeit__!__ dar, nur hinterläßt jetzt die Anfangserregung A(x) p

einen Rückstand, der durch das Integral

x+.!!__ !!_+x p p

JA(;) d; =JA(;) d; y

x--p lf-xl

gegeben wird, und außerdem werden die von den Anfangswerten herrührenden Terme zeitlich, der von dem Randwert herrührende Term örtlich gedämpft. Im übrigen aber pflanzt sich die Randerregung {etwa ein Signal) völlig rein und ohne einen Rückstand zu hinterlassen längs der Leitung fort. Da, wie wir in der Folge sehen werden, im allgemeinen Fall das Gegenteil zutrifft, heißt eine Leitung mit pr = q, d. h. RK =LI ver?_errungsfrei.

Der allgemeine Fall

Schreibt man den Nenner von (2) in der Gestalt

so sieht man, daß nur der zweite Faktor die Holamorphie von j(u, v) in einem

rechten Halbebenenpaar stört. Der Zähler muß also für u = V p 2 v 2 + 2qv + r2

verschwinden:

(8) -(p2 v+2q)a(Vp2 v 2 +2qv+r2) + Vp2 v 2 +2qv+r2 b(v)

- p 2 a1 (Vp2 v 2 +2qv+r2 ) + b1 (v) = 0 .

Wieder läßt sich b1 (v) mühelos ausrechnen und in (2) einsetzen:

(9) f(u v)=-( 2v+ 2 ) a(u)-a(Vp2 v 2 +2qv+r2)

' P q u 2 - (p2 v 2 +2qv+r2 )

2 al(u)-al(Vp2 v 2 +2qv+r2 ) b(v) - p u2 -(p2 v 2 +2qv+r2 ) + u+Vp2 v 2 +2qv+r2

Das von a1 abhängende Glied entsteht aus der Unterfunktion in (9) § 11, indem

man v durch V p 2 v 2 + 2 qv + r2 ersetzt. Die Wirkung dieser Operation auf den Oberbereich ergibt sich aus der Formel

t

•-o ~ e -~t F(~) - ~ J: e -~t fj1 (~J r) F(Jt•-:,•) dr

0

(d = ac- b2, a > 0), die eine Verallgemeinerung von TB. OP. 29, 30 darstellt.

[§ l3] Einige spezielle partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 73

(Für d < o kann man } 1 durch / 1 ersetzen, wodurch J : }1 ( va d r ) wieder

reelle Gestalt annimmt.) Dadurch erhält man:

a1 (u) -a1 ( Vp2 v 2 +2 qv+r2) - p2 -=--'-'--;;-----7--'--::-=--~-:-----"----;;.,-----=-u•- (p2 v 2 +2qv+r2 )

(11)

x-!!_ x+..!:_yy'-'1' p y p

•-o ~ e- ;. Y I A1 (~)d~-~ e- ;. Y IJ1('J 17) d17 I Al(~) d~ x+!!_ 0 x-..!:_yy'-'1'

p p

mit d = p2 r2 - q2 und A1 ( -x) = -A1(x)

In dem a (u) enthaltenden Glied kommt neben demselben Ausdruck noch der mit v multiplizierte vor. Diesem entspricht nach A 1. 4 die Ableitung der Ober-

I

funktion nachy, da der dort mit F(u, 0) bezeichnete Wert hier 0 ist. (Es ist näm-lich, wie man aus (11) sieht, schon der entsprechend mit F(x, 0) zu bezeichnende

I

Wert gleich 0, also auch F(u, 0.) - Schließlich ist noch

h (v) u x -xvp'v'+2qv+r' -~=:c=~===::: o-o e h ( v) u+ Vp2 v 2 +2qv+r2

-x(Pv+.!.) ( -x(Pv+.!.) -xVP'v'+2qv+r') = e P b(v) - e P - e b (v)

Wendet man für die Transformation •-o die durch Verallgemeinerung von V y

TB. KORR. 4. 3 entstehende Korrespondenz

(12) -x(v;;-s+~) -xv'as'+2bs+c

e v'a - e

\

o fürO~t<xv;;-

•-o xJ d e -~t I ll(Yd Vt2-ax2) fürt~ xv~ a Vt2 - ax• a

(d = ac- b2, x > 0, a > 0) und den Faltungssatz an, so ergibt sich:

(13) h(v)

u + V p 2 v• + 2 q v + r 2

7 4 Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen

mit B(y) = 0 für y < 0. Insgesamt erhält man also:

0

Gegenüber der Lösung (7) für die verzerrungsfreie Leitung ist das Auftreten der mit der oszillierenden Funktion ] 1 gebildeten Integrale bemerkenswert. Das letzte Glied insbesondere zeigt, daß die Randerregung B sich nicht einfach wellenartig längs der Leitung fortpflanzt, sondern daß alle Erregungen, die einmal über eine Stelle hinweggewandert sind, einen Rückstand hinterlassen, der eine Veqerrung bewirkt.

§ 14. Die inhomogene Potentialgleichung (Poissonsche Gleichung)

Das Potential F(x,y) einer mit Masse belegten Fläche von der variablen Flächendichte (} (x,y) genügt der Poissonschen Gleichung

Wir setzen 2ne (x,y) = <P(x,y) und schreiben:

(1) o•F o•F -+-+<P(x,y)=O. ox2 oy2

Bei der Integration der Gleichung im Quadranten x ~ 0, y ~ 0 vermittels .ß2- Transformation brauchen wir zunächst die Randwerte

F(x, 0) = A(x), Fy(x, 0) = Adx), F(O,y) = B(y), Fx(O,y) = B 1 (y)

Die Bildgleichung lautet:

ihre Lösung:

(2) ji( ) = va(u) + a1(u) + uh(v)+ h1(v)- rp(u, v) . u, V 2 2

u +v

y

Fig. r6

Hier liegt zum erstenmal der Fall vor, daß die Nullstellen der beiden Faktoren u + iv und u- iv des Nenners zu berücksichtigen sind. Denn wenn v im oberen Teil einer rechten Halbebene liegt, so liegt der den ersten Faktor annullierende Wert u = -iv im unteren Teil einer rechten Halbebene; ebenso liegt für ein v im unteren Teil der den zweiten Faktor annullierende Wert u = iv im oberen Teil einer rechten Halbebene. In jedem Paar von rechten u- und v

Halbebenen gibt es also Gebiete, wo beide Faktoren verschwinden. Der Zähler

in (2) muß daher sowohl für u = iv wie für u = -iv verschwinden, was zwei Bedingungsgleichungen 1) ergibt:

(3) va (iv) + a1 (iv) + ivb (v) + h1 (v) - cp (iv, v) = 0

(4) va(-iv) + a1 (-iv)- ivb(v) + b1 (v)- cp(-iv,v) = 0.

Wenn diese Gleichungen für die v einer rechten Halbebene erfüllt sein sollen, so müssen die Funktionen a und a1, sowie cp hinsichtlich der ersten Variablen,

auch für ± i v, d. h. in der um ± ~ geschwenkten Halbebene analytisch sein. 2

Das ist sicher dann der Fall, wenn A(x), Adx) und (/)(x,y) nicht bloß für reelle x definiert, sondern in der komplexen Halbebene 9ix ;::? 0 als analytische Funktionen gegeben und Beschränkungen vom Typus

IA(x)l ~ Ceclxl

unterworfen sind (siehe LT S. 71, HB S. 366). Machen wir von jetzt an diese Voraussetzung, so ist auch die Erweiterung des Ähnlichkeitssatzes in § 1 für komplexe Faktoren anwendbar, nach der man die Funktionen a(iv) usw. zurücktransformieren kann. Zuvor formen wir (3) unter der Voraussetzung

A(O) = B(O)

folgendermaßen um:

[va(iv)- ~ A(O)] + a1 (iv) + i[vb(v)- B(O)] + b1 (v)- cp(iv, v) = 0

Nach dem Ähnlichkeitssatz ist

a(iv) •-o ~ A( ~) ,

also nach dem Differentiationssatz

va(iv)- ~ A(O) •-o ~ __!____ A(~) = -A'(~) ; l l dy l l

ferner nach Formel (12) § 9, die man wegen der Holamorphievoraussetzung über (/)(x,y) hinsichtlich x auch für c = i in Anspruch nehmen darf:

y/i y

cp(iv, v) •-o J (f>(.;,y- i.;) d.; = -i J ([:>( -in,y- '1']) d1J. 0 0

____1_!i'ür reelle v besagen beide Gleichungen dasselbe, denn da A, A 1, B, B,, <P reell sind, ist a (- iv) = a (iv) usw. Die linke Seite von (4) ist daher für reelle v gleich dem konjugierten Wert der linken Seite von (3).

Die Originalgleichung zu (3) lautet also: y

(5) A'(~) + iA1(~)- iB' (y)- Bl(y)- i f <P(-i1J,y - 17 ) dn = 0 , 0

und die zu (4): y

(6) A'(- ~)- iA1 (- ~) + iB' (y)- Br(y) + i f <P(in,y- 17 ) dn = 0 0

Die Gleichungen (5) und (6) sind die Verträglichkeitsbedingungen für die Rand werte. Sie wirken sich in sehr interessanter Weise aus, und zwar keineswegs immer dahingehend, daß man zu zweiender vier Werte A, A1, B, B 1 die beiden anderen berechnen könnte. Schon das in der klassischen Theorie der Potentialgleichung als nächstliegendes und einfachstes angesehene Problem, das die Werte A(x) und B(y) der Funktion F(x,y) auf dem Rande des Bereichs als gegeben voraussetzt (Dirichletsches Problem), zeigt sich im vorliegenden Fall höchst spröde, da man A1 und B1 (bzw. a1 und 61) berechnen müßte, was auf Schwierigkeiten stößt, da A1 in (5) und (6) und ebenso a1 in (3) und (4) mit verschiedenen Argumenten vorkommt. Genau so verhält es sich mit dem anderen klassischen Problem, bei dem die Werte A1 (x) und B1 (y) der Normalableitung am Rand gegeben sind (Neumannsches Problem). Das einzige Problem, bei dem man unmittelbar zu zwei Randwerten die beiden anderen ausrechnen kann, ist das folgende 1 ), das in der klassischen Theorie nicht gestellt wird:

Erste Randwertaufgabe: A(x) und A1(x) gegeben

Wenn man die durch Subtraktion und Addition von (3) und (4) gewonnenen Werte

h (v) = - ~ [a (iv) - a ( -iv)] - -~- [a1 (iv)- a1 ( -iv)] 2t 2tV

+ -~- [ rp (iv, v) - rp ( -iv, v)] , 2tv

b1 (v) =- ; [a(iv) + a(-iv)]- ~ [a1(iv) + a1(-iv)]

+ ~ [ rp(iv, v) + rp(-iv, v)]

in den Ausdruck (2) für f(u, v) einsetzt, so erhält man im Zähler z. B. folgende mit a behaftete Glieder:

1 ) Ersetzt man in {6) y durch -y, so kann man zu gegebenem Bund B, die Werte A und A, ausrechnen. Das so entstehende Problem ist aber zu dem obigen symmetrisch, kann also außer Betracht bleiben.


va(u)-~ [ a(iv)- a(-iv)] - ~ [a(iv) + a(-iv)] 2z 2

= ~ [a(u)- a(iv)] + ~ [a(u)- a(-iv)] + ;i [a(u)-a(iv)]- ;i [a(u)-a(-iv)]

= ;i (u+iv) [a(u)-a(iv)]- 2Ii (u-iv) [a(u)-a(-iv)].

Formt man die von a1 und rp herrührenden Glieder in analoger Weise um, so ergibt sich:

(7) f(u v) =_I {a(u)-a(iv) _ a(u)-a(-iv) l ' 2i u-iv u-(-iv) I

I { a1 (u)- a1 (i v) a1(u)- a1(- iv) + 2iv u-iv - u-( --iv)

__ I_{ tp(u,v)-tp(iv,v) _ tp(u,v)-tp(-iv,v) 1 2iv u-iv u-(-iv) f

Die Oberfunktionen zu den hier auftretenden, aus a und a1 aufgebauten Unterfunktionen kann man wegen der Holamorphievoraussetzung über A (x) und A1 (x) aus der Korrespondenz (vgl. (16) § 9)

a(u)-a(v) A( + ) - •-o X y u-v

vermittels des Ähnlichkeitssatzes gewinnen. Bei den von rp abhängigen Unterfunktionen müssen wir an die Korrespondenz (15) § 9

y

(8) b tp(u, v)- tp(bv, v) I@ ( + 'fJ ) d - u- bv •~o X b' Y- 'rJ 'rJ

0

anknüpfen und feststellen, unter welchen Bedingungen sie auch für komplexe b gilt. Da der Ähnlichkeitssatz hier nicht anwendbar ist, ist es am einfachsten, die Korrespondenz (8), die früher vom Unterbereich aus berechnet wurde, vom Oberbereich aus zu verfolgen. Ist C/J(~,y) in dem Winkelraum der komplexen

~-Ebene zwischen der reellen Achse und dem Strahl von 0 nach ~ holamorph

und einer exponentiellen Abschätzung unterworfen, so hat @( x + 1 , y- 'rJ) für alle x ~ O, y ~ 'rJ ~ 0 einen Sinn, und es gilt:

0000 y

(9) I Ie-ux-vy dxdy IC/J(x+ 1 ,y- n) dn 0 0 0

00 00 00

0 0 Tf

Mit y - 'YJ = 1; wird

00 00

Je-vuw(x+ ~,y-'Yj)dy=e-v'~je-vcw(x+ ~ ,1;)d1;=e-v'~J)(x+ ~,v) 'I 0

und

00

Je-v'l J;(x+ ~ ,v) 0

1 x+-,;oo

d'Yj = beb•x I e-bv;

x+f~

Fig. I7

II

W (~, v) d~ .

Wenn nun die oben über W(~,y) gemachte Holomorphievoraussetzung bei II

der Transformation nachy, d. h. für W(~, v) erhalten bleibt, so kann man den

Integrationsweg von x nach x + ~ oo ersetzen durch den von x nach + oo, und

erhält für (9):

00 00 00 •

b Je-<u-bv)x dx Je-bv; <];(~, v) d~ = b Je-bv; J)(~,v) d~ Je-(u-bv)x dx

0 X 0 0

00

= b J 1- e-<u-bv); e-bvö J) (~, v) d~ = b tp(hv, v)- tp(u, v) . u-hv u-hv

0

II

Unter den genannten Voraussetzungen über W(~,y) und W(~, v) ist somit (8) auch für komplexe b richtig, und wir können nunmehr mit b = ±i zu (7) folgende Oberfunktion aufstellen:


y

(10) F(x,y)= ~ {A(x+iy)+A(x-iy)}+ ~ I{A1 (x+in)+A1 (x-in)}d'YJ 0

y '1

- ~ Idni{q>(x+iC,n-C)+q}(x-iC,n-C)}dC. 0 0

Da die Funktionen A(~), A1 (~), q}(~,y) für reelle~= x reell sind, so ist A(x- iy) konjugiert zu A(x+iy), also .

!{A(x + iy) + A(x- iy)} = ~A(x + iy) usw. ,

so daß man (10) auch die Form geben kann:

y y '1

(11) F(x,y) = ~A(x+iy) + I~A1 (x+i'Y}) drJ- I d'Y} I~q'J(x+i(n-C), C) dC. 0 0 0

Da bei der Ableitung die Funktionen A(~), A1 (~), q}(~,y) als analytisch in der rechten ~-Halbebene (und gewissen exponentiellen Abschätzungen unterworfen) vorausgesetzt wurden, sind wir auf den altbekannten Zusammenhang '{Wischen den Lösungen der Potentialgleichung und den analytischen Funktionen gestoßen. Die Methode der E 2- Transformation liefert also nicht eine Lösung im Stil des Poissonschen Integrals, sondern eine solche auf funktionentheoretischer Basis. Näheres siehe S. 90.

Wir wollen nun verifizieren, daß die Funktion (11) unter der alleinigen Voraussetzung, daß die Funktionen A (x+ iy), A1 (x+ iy), q> (x+ iy, 'Y}) für x > 0, y ~ 0 analytisch und für y = 0 reell sind, eine Lösung des Problems darstellt. Daß ~A(x+ iy) die Gleichung L1 F = 0 befriedigt, ist bekannt; ferner ist

lim ~A(x+iy) = ~A(x) = A(x) y->-0

und nach Cauchy-Riemann

o9tA 1 _ o3A I _ 0 -ay- u=O--~ u=O- '

weil ,3Aiu=O == 0 ist. - Weiter gilt für das Glied mit A1 :

y y

L1 I~Al(x+i'Y}) d'Yj =I o~• ~Al(x+i'Y}) d'Yj + 0~ ~Al(x+iy) 0 0

y y

I o• I o• = ox• ~Adx+in)d'YJ + 0112 ~A1 (x+irJ) dn = o ,

0 0

weil 0°11 ~A1 (x+in)l 11=0 = 0 und L1 ~A1 (x+i'Y}) = 0 ist; der Wert der

Funktion für y = 0 ist O, der der Ableitung nach y gleich ~A1 (x) = A1 (x). -


Schließlich ist, wenn wir das von $ abhängende Integral in (11) mit lJI(x,y) bezeichnen:

a•P ax•

y '1 y '1 . f a• f f a• =jdn ax•9t$(x+i(n-C),C)dC=- dn orJ" 9t$(x+i(n-C),C)dC 0 0 0 0

y y y

=- fdC faa•. 9t«P(x+i(n- C), C) dn =- J[-aa 9t$(x+i(n-C),C)]'I=Y dC • rJ rJ '1=!:

0 c 0 y

=- J 0~ 9t«P(x+i(y-C), C) dC wegen 0°rJ 9t$(x+i(n-C), C)l'l=i: = 0 0

und y

00: = J 9t$(x+i(y- C), C) dC,

0 y

a·~ = 9t$(x+iO,y) + f~ 9t$(x+i(y-C), C) dC, ay ay

0

also

a•p a•p ax• + ay• = $(x,y) '

so daß -lJI(x,y) die Gleichung (1) befriedigt. Daß -lJI und- olJI für y = 0 veroy schwinden, ist klar. Die drei Summanden in (11) erfüllen also die Differentialgleichung und haben der Reihe nach die Randwerte

A(x), 0; O, A1 (x); o, 0.

F(x,y) erfüllt somit alle Bedingungen. Übrigens sind nach dem Spiegelungsprinzip die Funktionen A(x+iy),

A1 (x+iy), IP(x+iy, 1]) auch für x > O,y~ 0 analytisch, so daß die Lösung (11) auch in dem Quadranten x > O,y ~ 0 einen Sinn hat.

Beispiel:

(11) liefert: 2

F(x,y) = sin x cosh y + ex siny- ~ .

Man rechnet leicht nach, daß diese Funktion alle Bedingungen erfüllt.

6 Voelker, Doetseh


Zweite Randwertaufgabe: A(x) und B(y) gegeben

(Dirichletsches Problem)

Wie bereits S. 77 erwähnt, stößt man beim Dirichletschen Problem auf die Schwierigkeit, daß die aus den Gleichungen (3), (4) neben b1 (v) auszurechnende Funktion a1 dort mit verschiedenen Argumenten vorkommt. Wir werden jetzt zeigen, daß die Erklärung hierfür darin liegt, daß - im Gegensatz zu den bei beschränkten Integrationsgebieten vorliegenden Verhältnissen - die Lösung der Gleichung (1) für ein unbeschränktes Gebiet wie den Quadranten x ;> 0, y ~ 0 durch die Randwerte A(x), B(y) nicht eindeutig bestimmt ist. Es gibt nämlich nicht identisch verschwindende Lösungen der homogenen Gleichung ( (/) == 0), die überall die Randwerte 0 haben, und zwar sogar im zweidimensionalen Sinn 1), so daß man sie zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung addieren kann, ohne das Erfülltsein der Differentialgleichung und der Randbedingungen zu stören. Solche Lösungen können wir aus unserer Theorie unmittelbar erhalten. Setzen wir nämlich A == B == (/) == 0, also a == b == rp == 0, so fordern die Gleichungen (3), (4):

a1 (iv) + b1 (v) = 0 , d.h.

(12) a1 (iv) = a1 ( -iv) = -b1 (v) ,

oder in anderer Schreibweise:

Man hat also a1 (u) als gerade, aber im übrigen beliebige Funktion und b1 (v) = -a1 (iv) zu wählen, wodurch die Lösung im Unterbereich, die wir für den vorliegenden Spezialfall mit n(u, v) bezeichnen, die Gestalt erhält:

(13) ( ) a1(u)-a1(iv) n u,v = . u"+v"

Unter der Holamorphievoraussetzung über A1 von S. 76 können wir auf die für c = 1 angeschriebene Korrespondenz (9) § 11 den Ähnlichkeitssatz für den Faktor c = i anwenden, d. h. wir dürfen sie für c = i benutzen, wodurch sich ergibt:

(14)

x+.!!_ i

N(x,y) = ~ J A1 (~) d~ mit A1 ( -x) = -A1 (x) .

y x-

i

1 ) Diese Lösungen sind also im abgeschlossenen Quadranten zweidimensional stetig, was bei den S. 58 und 59 aufgezeigten« singulären Lösungen" der Wärmeleitungsgleichung nicht der Fall ist.


Allerdings muß noch geklärt werden, ob die Definition A1 ( -x) = -A1 (x) mit der Forderung a1 (iv) = a1 ( -iv) verträglich ist. Zur Berechnung von a1 (iv), wo v in einer rechten, also iv in einer oberen Halbebene liegt, muß man ein .2-Integral mit dem Strahl von 0 nach -i als Integrationsweg verwenden (L T S. 66, HB S. 362); also ist

-ioo 00

a1 (iv) = J e-iv" A1 (;) d; = -i J e-vx A 1 (-ix) dx . 0 0

Analog hat man zur Berechnung von a1 ( -iv) ein .2-Integral über den Strahl durch +i zu benutzen:

ioo 00

a 1 ( -iv) = J e-(-iv)" A1 (;) d; = i J e-vx A1 (ix) dx . 0 0

Ist nun -A1 (-ix) = A 1 (ix), so wird tatsächlich a1 (iv) = a1 (-iv).

Die Relation A1 (-;) = -A1 (;) wurde in dieser Deduktion nur für Werte; auf der imaginären Achse gebraucht. Auch in (14) tritt sie nur für solche Werte in Kraft, nämlich für den Fall x = 0. Da A1 (;) für reelle; reell ist, sind die Werte für ix und -ix (x reell) komplex konjugiert; wenn sie entgegengesetzt gleich sein sollen, so müssen sie rein imaginär sein. Die Festsetzung A1 ( -;)

= -A1 (;) hat demnach zu bedeuten, daß A1 (;) auf der imaginären Achse rein imaginär ist.

Den Ausdruck (14) können wir noch in die Form bringen:

+Y y

N(x,y) = ~ JA1 (x+i()d(= ~ f[A1 (x+i()+A1 (x-i()] d( -y 0

y

(15) = J9{A1 (x+i() d( 0

Man erkennt sofort, unabhängig von der Art der Herleitung der Formel (15): Die Funktion N(x,y) hat die Randwerte A(x) ""'0, B(y)""' 0, wenn A1 (;) eine für 9{; ~ 0 analytische (oder auch nur für 9{; > 0 analytische und für 9{; ~ 0 stetige) Funktion ist, die auf der reellen Achse reell, auf der imaginären Achse rein imaginär ist. Daß N(x,y) die Gleichung LI N = 0 befriedigt, wurde bereits S. 80 bewiesen.

Damit haben wir eine universelle Formel für die unserer Methode zugänglichen Lösungen des Dirichletschen Problems im Quadranten x ~ 0 , y ~ 0 , die sich zweidimensional stetig an die Randwerte 0 anschließen. Wir wollen sie kurz Nulläsungen nennen.

Beispiele von N ullösungen

1. Die Funktionen A1 (~) = ~ 2n+l (n = 0, I, ... ) haben die von A1 (~) geforderten Eigenschaften. Es ist 1)

2n+1

(x+iy)2n+l = L ( 2n:l) x2n+l-• (iy)",

•=0 n

9l(x+iy)2n+l = L( 2;tl) (-1)"' x2n+l-2!-' y21"

p=O

Hieraus ergeben sich die Nullösungen:

n

N(x y) = ""( 2n+ 1) (- 1)"' x2n+1-2!-' y21"+1 ' L. 2p 2p+I

p=O

n "" x2n-21-'+l y2P+1

= (2n +I)! L. (-I)"' (2n-2p+I)! (2p+I)! 1"=0

Die ersten dieser Polynome lauten:

2. Eine weitere für A1 (~) brauchbare Funktion ist sin~. Es ist

sin(x + iy)

9l sin (x + iy)

N(x,y)

= sin xcos iy + cos xsin iy,

= sin x coshy ,

= sin x sinhy .

Wie oben betont, sind die durch (15) dargestellten Nu/lösungen dank ihrer Herleitung in der abgeschlossenen Viertelebene X > o, y > 0 (und ubrigens in <ler Halbebene x > 0) 1_weidimensional stetig. Es sei darauf hingewiesen, daß es auch Lösungen gibt, die bei festem x > 0 für y-+ 0 und bei festem y > 0 für .x-+ 0 (also eindimensional) gegen den Randwert 0 streben, während sie in der Umgebung der Stelle x = 0, y = O, die bei diesen Grenzübergängen von innen heraus nicht erreicht werden kann, beliebig großer Werte fähig sind 2 ), wie z. B.

xy(x2-y•) (x"+y2)'

1 ) 9l (x+ iy) n und ~ (x+ iy) n heißen die harmonischen Polynome. •) Über die Konstruktion solcher Lösungen siehe G. DoETSCH: «Ein Zusammenhang zwischen

Randwertproblemen verschiedenen Typs." Math.Zeitschr. 46 (1940), S. 315-328 [S. 325-328].


Solche Lösungen kann man wie bei der Wärmeleitungsgleichung (S. 58) singuläre Lösungen nennen.

Zu der allgemeinen zweiten Randwertaufgabe zurückkehrend, verstehen wir nunmehr auf Grund der Nichteindeutigkeit der Lösung, warum die Gleichungen (3), ( 4) bei gegebenen a, h, rp keine eindeutige Auflösung nach a1, h1 zulassen. Man kann ihnen nur folgende Anweisung entnehmen: Es ist eine Funktion a1

so zu wählen, daß für die v einer rechten Halbebene, wo a(iv), a(-iv), h(v)~ rp(iv, v), rp(-iv, v) definiert sind, die durch Subtraktion von (3) und (4) entstehende Gleichung gilt:

(16) a1 (iv) - a1 ( -iv) = -v [ a(iv) - a ( -iv)] - 2ivh (v)

+ [ rp(iv, v)- rp(-iv, v)]

mit diesem a1 ist gemäß (3) die Funktion

(17) h1 (v) = -a1 (iv) - va (iv) - ivh (v) + rp(iv, v)

zu bilden. Diese Werte für a1 und h1 sind in (3) einzusetzen. Vorab wollen wir bemerken, daß a1 und h1 durch diese Anweisung natürlich

nicht eindeutig bestimmt sind (wenn es überhaupt ein a1 gibt, das der Gleichung (16) genügt). Sind ai1>, hi1> und ai2>, hi2l zwei Paare von solchen Funktionen~ so genügen a1 = ai1)- ai2> und h1 = hi1>- hi2> den Gleichungen

a1 (iv)- a1 (-iv) = 0 , h1 (v) = -a1 (iv) ,

die wir unter (12) betrachtet haben und die gerade auf die Nulläsungen führten. Wenn man also a1 und h1 in bestimmter Weise gewählt und eine feste Lösung F(x,y) gefunden hat, so erhält man alle übrigen durch Addition von Nullösungen.

Trägt man unter der Voraussetzung, daß a1 die Gleichung (16) erfüllt, den Wert (17) für h1 in (2) ein, so erhält man:

(IS) f(u, v) = v[ a(u)- a(iv)] + (u- iv) b(v)+ ~a1 (u!- a1(iv)]- [ q:>(u, v)- q:>(iv, v)] • u +v

Damit diese Funktion eine i\2- Transformierte sein kann, muß der Zähler für u = ±iv verschwinden. Das ist in der Tat der Fall, und zwar für u = iv evidentermaßen, für u = -iv auf Grund der Gleichung (16). Als Gesamtfunktion wird sich also f(u, v) in den Oberbereich transformieren lassen, woraus aber nicht folgt, daß, wenn wir finderForm schreiben:

(19)

jeder Term für sich transformierbar ist. Dazu müßte jeder einzelne Zähler für

u = -iv verschwinden, also(~ in der Form (u-iv)b(v) geschrieben) u+zv u"+v"

(20) a(-iv) = a(iv), 2ivh(v) = 0, a1 (-iv) = a1 (iv), cp(-iv, v) = cp(iv, v)

sein, was nach S.83 bedeuten würde, daß A(~), A1 (~), <P(~,y) auf der imaginären ~-Achse rein imaginär und B(y) == 0 ist. Diese Annahme führt zwar auf eine Oberfunktion zu (19), nämlich nach (8), (9), (12) § 11 auf

x+~ z

F(x,y)= ~ {A(x+~)+A(x-~)}+ ~ IA1 (~)d~

y TJ/i

y x-

i

+ ;i Jd1J I { W(x+~,1]-i~) + <P(x-~,1]- i~)} d~ 0 0

y y TJ

(21) = 9\A(x + iy) +I 9iA1 (x + iC) dC- I d1J I 9\<P(x + iC, 1J- C) dC , 0 0 0

welche die Differentialgleichung (1) befriedigt (denn sie stimmt formal mit (11) überein) und offenkundig die Randwerte F(x, 0) = A(x), F(O,y) == 0 besitzt. Daß hier keine zusätzliche Bedingung für A1 auftritt, erklärt sich daraus, daß die Gleichung (16) unter den Voraussetzungen (20) identisch erfüllt ist. In dem zweiten Summanden in (21) erkennt man die Nulläsung (15) wieder. Vertauscht man die Rollen von x undy und sieht von der Nulläsung ab, so erhält man aus (21) als Lösung der homogenen Gleichung, die die Randwerte F(x, 0) == 0, F(O,y) = B(y) besitzt, die Funktion 9\B(y+ ix), wo B für reelle Werte reell, für imaginäre rein imaginär sein muß. Insgesamt ergibt sich somit als Lösung der zweiten Randwertaufgahe:

y

(22) F(x,y) = 9\A(x + iy) + 9\B(y + ix) +I 9iA1 (x + iC) dC 0

y TJ

- Id1JI!li<P(x+iC,1J-C)dC, 0 0

wo A1 (~) eine beliebige, für reelle ~ reelle, für imaginäre ~ imaginäre analytische Funktion ist, während von den gegebenen Randfunktionen A( ~), B ( ~) und der Funktion <P(~,y) ebenfalls vorausgesetzt werden muß, daß sie für reelle~ reell, für imaginäre ~ imaginär sind. Diese Voraussetzung über die Werte auf der imaginären Achse bedeutet aber eine untragbare Einschränkung, von der wir uns hefreien wollen. Dabei müssen wir es darauf anlegen, die Bedingungsgleichungen (3), (4) bei der Umformung von (2) so zu verwenden, daßJ(u, v) in Summanden aufgespalten wird, die ohne zusätzliche Voraussetzung einzeln transformierbar sind. Dies erreichen wir durch folgenden Kunstgriff: Da sich a1 und h1 nicht gleichzeitig aus (2) vermittels (3), (4) eliminieren lassen, so eliminieren wir statt dessen h und h1, wobei wir natürlich auf denselben Ausdruck wie (7) kommen,

[§ 14]) Einige spezielle partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 87

und fügen dann noch die Gleichung (16) hinzu, die, falls sie sich durch ein a1

lösen läßt, das in (7) unbekannte a1 durch das gegebene b ausdrückt. (7) läßt sich ohne weitere Voraussetzung gliedweise transformieren und ergibt den Lösungsausdruck (11). Zu diesem hat das Abbild von (16) zu treten, das wir jetzt aufstellen müssen. Da (16) die Differenz von (3) und (4) darstellt und (3), (4) in (5), (6) transformiert wurden, so hat (16) als Abbild die Differenz von (5) und (6):

A1 (iy) + A1 ( -iy) = -i {A' (iy) - A' ( -iy)} + 2B' (y)

y

+I {(]J(in,y- n) + (]J(-in,y- n)} dn 0

Wegen

2 9\A (iy) = A (iy) + A ( -iy) , also 2 d~ 9\A (iy) = iA' (iy) -iA' ( -iy)

kann man die Gleichung in der Form schreiben:

y

(23) 9\AI(iy)=- ~ 9\A(iy)+B'(y)+ I9t(]J(iC,y-C)dC. 0

Wir brauchen sie in integrierter Gestalt 1):

y y '7

(24) ImAI(iC)dC=-9\A(iy)+B(y)+ Idni9t(]J(iC,n-C)dC. 0 0 0

Man verifiziert nun leicht, daß (11) die vorgeschriebenen Randbedingungen erfüllt, wenn die darin vorkommende Funktion A1 der Gleichung (24) genügt. Denn es ist F(x, 0) = A(x) und

y y '7

F(O,y) = 9\A(iy) +I mAI(in) dn- I dn Im (/J(iC, n- C) dC , 0 0 0

und dies reduziert sich auf Grund von (24) auf B (y). Es ist bemerkenswert, daß B(y) nicht als analytisch vorausgesetzt zu werden braucht.

Wenn man die Funktion A1 um eine beliebige analytische Funktion vermehrt, deren Realteil auf der imaginären Achse verschwindet, so bleibt Gleichung (24) erhalten. Diese Tatsache gibt gerade Veranlassung zu der Nichteindeutigkeit der Lösung und zum Auftreten der Nulläsungen (15).

1 ) Man beachte, daß hier die bei der Rücktransformation von (3), (4) benutzte Voraussetzung 1

A (0) = B (0) wieder gebraucht wird. Hätte man die Gleichungen (3), (4) vor der Transformation mitv

multipliziert, so wäre man gleich auf die integrierte Form (24) gekommen, ohne die Voraussetzung A (0) = B (0) nötig zu haben.


Unsere Resultate können wir so zusammenfassen:

Die Funktionen A(~) und tP(~,y) seien für 9U > 0, ,3~ > 0 analytisch und für reelle~= x reell. B(y) sei eine heliehige reelle Funktion 1 ). Wenn es eine für 9U > O, ,3~ > 0 analytische, für reelle ~ reelle Funktion A1 (~) giht, die der Gleichung (24) genügt, so ist (11) eine Lösung der Differentialgleichung (1) mit den Randwerten A(x) und B(y). Wenn es eine Funktion A1 giht, so giht es unendlich viele, die sich um Funktionen unterscheiden, die auf der imaginären Achse rein imaginär sind. Es giht also dann unendlich viele Lösungen des Randwertprohlems, die sich um Nulläsungen der Gestalt (15) unterscheiden. Ührigens ist A1 (x), wenn es existiert, gleich FY (x, 0) .

Beispiel: A(x) = sin x, B(y) = siny, tP(x,y)""" 0 .

Die Bedingungsgleichung (24), die wir hier einfacher in der Gestalt (23) anschreiben können, lautet: 9tA1 (iy) = cosy. Eine für reelle~ reellwertige Funktion, die sie erfüllt, ist A1 {~) = e0 • Folglich ist

y

F(x,y) = 9l sin (x + iy) + J 9le•+iC dC = sin x coshy + e' siny 0

eine Lösung. Wegen der Symmetrie des Problems in x und y ist auch

siny cosh x + eY sin x

eine Lösung. Die Differenz

sin x coshy- siny cosh x + ex siny- eY sin x

ist eine Nullösung. Mit dem obigen Ergebnis ist die zweite Randwertaufgabe zurückgeführt auf

das Problem, eine analytische Funktion zu konstruieren, deren Imaginärteil auf der reellen Achse verschwindet und deren Realteil auf der imaginären Achse einen vorgeschriebenen Wert hat. Es ist entweder überhaupt nicht oder auf unendlich viele Arten lösbar.

Bei dieser Lösung ist vorausgesetzt, daß die eine Randfunktion A (x) analytisch ist, während die andere B (y) heliehig sein kann. Hieraus kann man eine Lösung ableiten, bei der auch A (x) nicht analytisch zu sein braucht. Da das gegebene Problem in x und y symmetrisch ist, kann man in dem obigen Ergebnis die Rollen von x und y vertauschen und die Lösung für beliebiges A und analytischesBanschreiben {tP ist dann in der zweiten Variablen als analytisch vorauszusetzen):

1 ) Wenn die Lösung auch in der Ecke x= 0, y= 0 stetig sein soll, ist A(O) = B (0) zu fordern.

[§ 14l Einige spezielle partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 89

X ~ E

(25) F(x,y) = 9tB(y+ix) + f 9tB1 (y+ ind~- f d~j9tif>(~- C,y+ iC) dC 0 0 0

mit

X X < j9tB1 (iC) dC = -9tB(ix) + A(x) + f d~ f9tw(~- C, iC) dC

0 0 0

Wir betrachten nun die folgenden zwei Randwertprobleme:

LIF1 +if>=O, F1 (x,0)=0, F1 (0,y)=B(y)-B(O)

LI~ =0, ~~~=AN, ~~~=B~.

Beim ersten ist der vorgeschriebene Randwert auf der x-Achse, beim zweiten der auf der y-Achse konstant, also analytisch; außerdem stimmen die Werte in dem Eckpunkt 0, 0 jeweils überein, wenn A(O) = B(O) ist. Schreibt man die Lösungen auf Grund von (11) und (25) an und superpaniert sie, so erhält man in F1 + F2 = F eine Lösung des Problems

LJF + if> = 0 , F(x, 0) = A(x) , F(O,y) = B(y) ,

wo nunmehr A und B beliebige Funktionen sind. Das Ergebnis lautet:

A(x) und B(y) seien :rwei beliebige reelle Funktionen mit A(O) = B(O). if>(~,y) sei eine stetige Funktion, die in der Variablen~ für 9{~ > 0, ,3~ > 0 analytisch und für reelle ~ = x reell ist1). Wenn es :rwei für 9{~ > 0, ,3~ > 0 analytische, für reelle~ reellwertige Funktionen A1 (~) und B1 W gibt, die den Gleichungen. 2 )

y y t]

(26) j9tAl(iC)dC=B(y)-B(O)+ fd17 j9tif>(iC, 17 -0dC, 0 0 0

X

f9tBr(iC)dC = A(x)- A(O) 0

genügen, so hat das Randwertproblem

LIF+ if>=O, F(x, 0) = A(x) , F(O,y) = B(y)

') Natürlich kann man statt dessen <P in der zweiten Variablen als analytisch voraussetzen. Dann muß oben nicht die Gleichung für F,, sondern die für F, als inhomogen angesetzt werden, so daß der von <P abhängende Bestandteil der Lösung F nicht wie in (11), sondern wie in (25) aussieht.

') Aus ihnen geht hervor, daß A (x) und B (y) differenzierbar sein müssen.


die Lösung y X

(27) F(x,y) = A(O) +I 9{A1 (x + iC) dC +I 9{B1 (y + iC) dC 0 0

y 'I

-I dn I9{4>(x+ iC, 11- C) dC. 0 0

A1 und B1 sind, wenn sie existieren, nicht eindeutig bestimmt, so daß es dann unendlich viele Lösungen gibt.

Für 4>(x,y) == 0 erhält man eine Lösung des Dirichletschen Problems für die Viertelebene, die von gänzlich anderem Typus ist als diejenige, die durch konforme Abbildung des Kreises auf die Viertelebene aus der Poissonschen Formel entsteht und die bekanntlich folgende Gestalt hat:

00

(28) F(x,y) = 4:Y (f [y"+(x- ~)•/[y"+(x+W] A(~) d~

0 00

Die Voraussettungen, unter denen dieser Ausdruck eine Lösung ist, sind völlig verschieden von den unsrigen. Vor allem müssen in (28) A und B sich im Unendlichen so verhalten, daß die Integrale konvergieren. Von derartigen Beschränkungen im Unendlichen ist die Lösung (27) ganz frei. Dafür verlangt sie die Existenz von analytischen Funktionen A1 und Bh die den Gleichungen (26) genügen. Unser obiges Ergebnis liefert also einen Beitrag zu der interessanten und noch nicht abschließend geklärten Frage, ob es bei Randwertproblemen, in deren bekannten Lösungen Integrale über unendliche Intervalle vorkommen, auch dann noch Lösungen gibt, wenn die Randwerte so geartet sind, daß diese Integrale nicht konvergieren, und wie sie gegebenenfalls zu gewinnen sind. Diese Frage wäre z. B. auch bezüglich der Lösungen (13) und (14) § 10 des Wärmeleitungsproblems zu stellen.

Zum Schluß sei noch darauf hingewiesen, daß man das Neumannsehe Problem, bei dem auf dem Rand die Werte A1 (x) und B1 (y) der normalen Ableitungen gegeben sind, in genau derselben Weise wie die zweite Randwertaufgabe behandeln kann. Man hat dazu aus der Lösung (11) die Größe A zu eliminieren, und zwar vermittels einer Relation, die A mit B1 verknüpft und die man durch Addition der Gleichungen (5) und (6) erhält. In ihr treten statt der Realteile nunmehr die Imaginärteile der beteiligten Funktionen auf.

4. Kapitel

Die allgemeine partielle Differentialgleichung '{_Weiter Ordnung

§ 15. Eine Beziehung zwischen der Methode der 2 2-Transformation und der Greensehen Formel

91

Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, aber beliebigem Absolutglied, hat die Gestalt:

Setzt man

F(x, 0) = A(x), F(O,y) = B(y), Fy(x, 0) = A 1 (x), Fx(O,y) = B 1 (y)

und bezeichnet die 2-Transformierten dieser Funktionen mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, so lautet die Bildgleichung nach A 1. 3-7:

(2) a11 [ u2f- ub(v)- b1 (v)] + 2a12[ uvf- ua(u)- vb(v) + F(O, 0)]

+a22 [v2j-va(u)-a1 (u)]+2a13[uf-b(v)] +2a23[vf-a(u)]+a3af= cp.

Sie hat die Lösung:

(3) f( ) = Z (u, v) u, v Q(u, v)

mit Z (u, v) = (2a12 u+ a22 v+ :la23 ) a(u) + (anu+ 2a12 v + 2a13) h(v)

+ a22 a1(u) +an h1(v)- 2a12 F(O, 0) + f{J(u, v)

Q (u, v) = an u2 + 2a12 uv+ a22 V 2 +2a13 u+ 2a23 v+ a 33 •

Damit diese Funktion eine 2 2- Transformierte sein kann, muß sie in einem Paar von rechten u- und v-Halbebenen analytisch sein. Wenn jedes solche Paar Werte enthält, für die der Nenner Q (u, v) verschwindet, so muß der Zähler Z (u, v) für dieselben Werte verschwinden, was wie in den im 3. Kapitel behandelten Spezialfällen zu Verträglichkeitsbedingungen zwischen den Randwerten führt.

Bevor wir diese Frage weiterbehandeln, wollen wir uns daran erinnern, daß in der klassischen Theorie der Randwertprobleme solche V erträglichkeitsbedingungen auf dem Weg über die Greensehe Formel abgeleitet werden. Es muß also ein Zusammenhang zwischen letzterer und der Methode der 2 2- Transformation bestehen, den wir jetzt aufdecken wollen.

Liegt ein Differentialausdruck vor, wie ihn die linke Seite der Differentialgleichung (1) darstellt, die wir mit M[F] bezeichnen wollen:


so hat man den «adjungierten" Ausdruck zu betrachten:

Ist nun (fj ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet mit dem (im positiven Sinn durchlaufenen) Rand 9i, wo (fj und 9i so einfacher Natur sein müssen, daß man die erforderlichen Integralumformungen vornehmen kann, so gilt die Greensehe Formel:

(4) f f{G(x,y)M[F(x,y)]- F(x,y)N[G(x,y)]} dxdy

(f) - J {H(x,y) dy + K (x,y) dx} = 0

91

mit

H(x,y) = G(a11 Fx + a12Fy)- F(a11 Gx + a12 Gy) + 2a13 FG ,

K(x,y) = G(a12 Fx + a22 Fy)- F(a12 Gx + a22 Gy) + 2a23 FG .

Wir wollen diese Formel nun einmal auf das unbeschränkte Gebiet x ~ 0, y ~ 0 anwenden. Dann besteht 9i aus der im negativen Sinn durchlaufenen y-Achse und der im positiven Sinn durchlaufenen x-Achse. Ferner setzen wir speziell

G(x,y) = e-ux-vy .

Die in dem Kurvenintegral der Greensehen Formel vorkommenden Terme haben dann folgende Werte:

auf der y-Achse ist dx = 0 und

F = B(y) , Fy = B'(y),

G = e-vy , Gx = -ue-vy

auf der x-Achse ist dy = 0 und

F = A(x) , Fx = A'(x),

G = e-ux ' GY= -ve-ux .

Ferner ist

(5) N[G] = Q (u, v)e-ux-vy •

[§ 15] Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

Die Greensehe Formel ergibt also:

0000

J J e-ux-vy {M[F(x,y)]- F(x,y) Q(u, v)} dxdy 0 0

0

- J e-vy{a11 B 1 (y) + a12B' (y) + a11uß(y) + a12vß(y) + 2a13B(y)} dy 00

00

93

+ J e-ux {a12A' (x) + a22A1 (x) + a12 uA(x) + a22vA(x) + 2a23A(x)} dx = 0 • 0

Nun ist

00 00

Je-VYß1 (y)dy= ß{ß1}=b1 (v), Je-vYß'(y)dy= ß{ß'}=vb(v)-ß(O) USW.,

0 0

und wenn F(x,y) der Gleichung (1) genügt, so ist

M[F(x,y)] = @(x,y) .

Die Gleichung besagt somit:

q;(u,v)- Q(u,v)f(u,v) +a11 b1 (v) + a12 [vb(v)- B(O)] + (a11 u+a12v+2a13)b(v)

+ a12 [ua(u) - A(O)] + a22 a1 (u) + (a12 u + a22 v + 2a23) a(u) = 0 .

Ist A(O) = B(O) = F(O, 0) ,

so stimmt die Greensehe Formel genau mit der Bildgleichung (2) überein. Dies erklärt, warum beide zu denselben Konsequenzen führen.

Die obige Herleitung ist kein neuer Beweis für die Bildgleichung, weil die Greensehe Formel für unbeschränkte Gebiete nicht allgemein bewiesen ist. Wir können sie aber zum Anlaß einer kleinen Abschweifung nehmen. Wenden wir die Greensehe Formel auf ein beschränktes Gebiet ffi von der Art, daß sie dafür gültig ist, und auf G(x,y) = e-ux-vy an, so treten Integrale von dem Typus

J J e-ux-vy F(x,y) dxdy <li

auf. Ein solches Integral stellt eine ß 2-Transformation mit dem Grundgebiet ffi an Stelle des ersten Quadranten dar, sein Wert sei mitJ<D(u, v) bezeichnet. Die Greensehe Formel (4) liefert dann:


(6) ({!rs; (u, v) - Q (u, v)jrs; (u, v) -

-J e-ux-vy { [a11 Fx+ a12 Fy + (a11 u +a12 v+ 2adF] dx

!R + [a12 Fx + a22 Fy + (a12 u+ a22 v +2a23)F] dy} = 0

und das ist jetzt die Bildgleichung für die .22- Transformation mit dem Grundgebiet (!), die man natürlich auch direkt durch Aufstellung von Differentiationssätzen analog zu § 6 gewinnen könnte. Sie ist im allgemeinen komplizierter als bei dem Quadranten als Grundgebiet. Dagegen ist der Fall des beschränkten Gebietes 1) in anderer Hinsicht sehr viel einfacher als der des Quadranten, weil eine .B-Transformierte mit endlichen Grenzen eine ganze Funktion darstellt (siehe LT S. 43) und daher JCfJ (u, v) eine ganye Funktion der heiden Variahlen u, v ist. Infolgedessen muß in dem aus (6) entspringenden Ausdruck für }rs; (u, v) der Zähler schlechthin für alle Werte u, v gleich 0 sein, für die der Nenner Q (u, v) verschwindet. Das ist eine sehr einfache Bedingung, während im Falle des unendlichen Grundgebietes die Frage, für welche Nullstellen des Nenners auch der Zähler verschwinden muß, eine komplizierte Diskussion erfordert, der wir uns jetzt zuwenden.

Es sei noch erwähnt, daß die Bestimmung derjenigen Werte u, v, für die Q(u, v) = 0 ist, nach Gleichung (5) darauf hinausläuft, die u, v anzugeben, für die G(x,y) = e-ux-vy eine Lösung der adjungierten Gleichung N[G] = 0 ist.

§ 16. Feststellung der Verträglichkeitsbedingungen

Wir kehren an den Anfang von§ 15 zurück und wenden uns der Frage zu,

1 h B d. f''ll . .. d . f( ) z (u, v) . . . we c e e mgungen er u t sem mussen, amlt u, v = Q (u, v) eme m emem

Paar von rechten Halbebenen holamorphe Funktion ist. Dazu ist die Betrachtung der Punktmenge notwendig, für die

ist. Diese Gleichung stellt für reelle u, v entweder einen reellen bzw. imaginären (nullteiligen) Kegelschnitt oder, wenn die linke Seite in zwei Linearfaktoren zerfällt, ein reelles oder imaginäres Geradenpaar dar. Welcher Fall vorliegt, läßt sich an Hand der drei Größen feststellen:

1 ) Auf diesen Fall beziehen sich die Erörterungen in PICO NE, S. 7-12.

[§ 16] Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 95

Die bekannte Fallunterscheidung ist aus der beifolgenden Tabelle ersichtlich. Es sei daran erinnert, daß die gegebene Differentialgleichung vom elliptischen, hyperbolischen oder parabolischen Typus heißt, je nachdem t5 > 0, t5 < 0 oder t5 = 0 ist.

~I Ll * 0 Ll = 0 nicht zerfallender Kegelschnitt Geradenpaar

Ll il'>O nullteiliger Kegelschnitt nichtparalleles konjugiert-imaginäres

il>O Geradenpaar Ll (l' <0 Ellipse

--

I il<O Hyperbel nichtparalleles reelles Geradenpaar --

il'>O

Rang 2: konj. imag.

Parabel Matrix llaik II Parallelenpaar il'<O

il=O reell vom

Rang 1: reelle Doppelgerade (il''<O)

Wenn nur reelle u, v in Frage kämen, so wäre über das Verschwinden von Q (u, v) für große positive u, v rasch entschieden. Wir müssen aber die Kurve Q(u, 'V)= 0 bzw. die dadurch definierte algebraische Funktion v = 'tfl(u) für komplexe u, v untersuchen, und zwar handelt es sich bei unserem Problem um die Frage, ob die Werte v = 'tfl(u), wenn u in einer rechten Halbebene variiert, in jede rechte v-Halbebene eindringen oder nicht. Wenn es eine rechte u-Halbebene 9tu > u0 gibt derart, daß dort 9tv = 9t'tfl(u) < v 0 für ein geeignetes v 0

gilt, so wollen wir die Funktion v = 'tfl(u), bzw. denjenigen Zweig von ihr, der diese Bedingung erfüllt, rechtsbeschränkt nennen. Ist diese Eigenschaft erfüllt, so braucht Z(u, v) für v = 'tfl(u) nicht zu verschwinden, weil die durch v = 'tfl(u) bedingten Nullstellen von Q (u, v), d. h. die Singularitäten von f(u, v) in einer linken Halbebene liegen. Ist dagegen v = 'tfl(u) nicht rechtsbeschränkt, d. h. gibt es, wie groß man auch u0 und v 0 wählt, u-Werte mit 9tu > u0 , für die 9tv =

= 9i'tfl(u) > v 0 ausfällt, so muß die Bedingungsgleichung Z(u, 'tfl(u)) = 0 gelten. Da 'tfl(u) in höchstens zwei Zweige zerfällt, erhält man keine oder eine oder ::rwei Bedingungsgleichungen. - Man beachte noch, daß das für die Aufstellung einer Bedingungsgleichung notwendige Einsetzen von 1p(u) an Stelle von v in den Zähler Z (u, v) , also in b (v) und bdv) , überhaupt nur dann einen Sinn hat, wenn der Wert 1p(u) einer gewissen rechten Halbebene angehört, weil b(v) und b1 (v) als .B-Transformierte im allgemeinen nur in einer rechten Halbebene definiert sind.

Durch die Gleichung Q(u, v) = 0 ist v im allgemeinen als ?_weideutige Funktion von u gegeben, d. h. v zerfällt in zwei Zweige v = "Pdu), v = 1p2 (u) (die Riemannsche Fläche hat zwei Blätter, die für LI oft 0 in zwei V erzweigungspunkten zusammenhängen, bei deren Umlaufung 1p1 in 1p2 übergeht). Nur wenn a22 = 0 ist, ergibt sich v als eindeutige Funktion von u:

Es sieht also so aus, als ob in diesem Fall höchstens eine Bedingungsgleichung in Frage käme. Daß dem nicht so ist, sieht man an dem Beispiel der mit der Wärmeleitungsgleichung verwandten Differentialgleichung

o2 F oF axz + ay = @(x,y) ·!

Hier ist Q(u, v) = u2 + v, und bei der Auflösung nach v ergibt sich die eindeu-n n

tige Funktion v = - u2 , die nicht rechtsbeschränkt ist, denn, für 4 < I arc u I < 2 n n

ist 2 <I arc u2 1 < n, also 0 <I arc ( -u2) I < 2 . Man erhält daher die eine Be-

dingungsgleichung Z (u, -u2) = 0 . In ihr verbergen sich aber in Wahrheit zwei Gleichungen, weil für zwei getrennte Bereiche einer rechten u-Halbebene: n n n n 4 < arc u < 2 und -2 < arc u < -4 , die zugehörigen v-Werte in einer

rechten v-Halbebene liegen. Daß dies zu zwei verschiedenen Gleichungen Anlaß

gibt, wird sofort klar, wenn man statt nach v nach u auflöst: u = iVv und

u = -iVv. Beide Funktionszweige sind nicht rechtsbeschränkt, denn für die

v in der unteren Hälfte einer rechten Halbebene liegt i y:; in der oberen Hälfte,

und für die v in der oberen Hälfte liegt -i Vv in der unteren Hälfte. Es sind

somit die zwei Bedingungsgleichungen Z (i Vv, v) = 0 und Z ( -i Vv, v) = 0

zu berücksichtigen. Macht man in der ersten die Substitution iVv = u, in der

zweiten - i Vv = u, so fließen beide in die obige Gleichung Z ( u, - u2) = 0 zusammen.

Um nicht irregeführt zu werden, lösen wir daher immer so auf, daß 1_wei Zweige entstehen. Nur für an= a22 = 0 ist sowohl v eine eindeutige Funktion von u, als auch u eine solche von v. (Im Reellen liegt dann eine Hyperbel vor mit achsenparallelen Asymptoten oder ein achsenparalleles Geradenpaar.) Bei der folgenden Diskussion erledigen wir deshalb diesen Fall vorab.

Es ist wichtig, sich gegenwärtig zu halten, daß

mindestens einer der drei Koef)i{ienten an, a12 , a22 von 0 verschieden

ist, weil sonst die Differentialgleichung nicht von zweiter Ordnung wäre, und daß

nicht a11 = a12 = a13 = 0 und nicht a12 = a22 = a23 = 0

ist, weil sonst eine gewöhnliche Differentialgleichung vorläge.

[§ 16] Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

Untersuchung von v = 1p(u) auf Rechtsbeschränktheit

I. an = a22 = 0 , also a12 c/= 0 (hyperbolischer Typ).

Bei Auflösung von Q (u, v) = 0 nach v ergibt sich:

(2)

Es ist a,.

V-+-- füru-+co, a,.

97

also ist v = 1p (u) sicher rechtsbeschränkt. - Bei Auflösung nach u ergibt sich dasselbe Resultat.

II. an und a 22 nicht beide gleich 0 .

Dann kann man durch eventuelle Umbenennung der Variablen erreichen, daß

ist. Die Auflösung von Q (u, v) = 0 nach vergibt:

V = __ a_,_,12'---u_+_____,a2"'-3 I 1 ~ 2 + 2 ~ ~ ( ) +--y-uu u1u-u2 ~1p1 u,

(3) a22 a22

mit

wobei der Wurzel eine feste Bedeutung zu geben ist. Wir nehmen nun eine Fallunterscheidung nach den drei Typen vor (o ~ 0), weil es offenbar von ausschlaggebender Bedeutung für das Verhalten von v für große lul ist, ob der Koeffizient des Hauptgliedes unter der Wurzel positiv, negativ oder 0 ist.

1. o > 0 (elliptischer Typ), also an c/= 0 und an a 22 > 0 .

Aus (3) ergibt sich:

-a12 ±iVb f'' ur u-+ co . V

u

Für große juj geht v in beiden Zweigen aus u durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl hervor, die bestimmt nicht reell ist. Der arcus von u wird also um einen Winkel zwischen 0 und n (mit Ausschluß der Grenzen) vermehrt oder

7 Voelker, Doetsch

vermindert. In einer rechten u-Halbebene gibt es daher immer Werte u, deren zugehörige v-Werte ebenfalls in einer rechten Halbebene liegen. Folglich sind beide Zweige nicht rechtsbeschränkt.

2. () < 0 (hyperholischer Typ)

Aus (3) folgt:

IJ'r(u) - -a •• +v -15 = rl

u a•• für u-+ oo •

'1'2(u) ----+

-a12 - V -15 = r2

u a•• r1 und r 2 sind (von einander verschiedene) reelle Zahlen. 'ljJ.(u) ist für r. < 0 rechtsbeschränkt, für r. > 0 nicht rechtsbeschränkt. Es bleibt noch der Fall zu betrachten, daß r1 oder r2 gleich 0 ist, was für a122 = -b, also (wegen a22 =I= 0)

für a11 = 0 eintritt. Es sei z. B. r1 = O, also a12 = ~ > 0. Dann ist

1

'lfJI(u) = _ a12 u+a23 + a12 u (l + 2151~-2152 ) 2 a 22 a 22 a12 u

=- a12 u -~+ a12 u (l+_!_2151 u-152

a 22 a 22 a 22 2 a~2 u•

= - a •• + - 15-1 - + 0 (_!_) für u -+ oo a 22 a 22 a 12 u

Also ist 'lfJv (u) für r. = 0 rechtsbeschränkt.

3. () = 0 (paraholischer Typ).

Aus (3) erhält man: w.(u) füru-+oo.

u

1p. (u) ist für ~ > 0 rechtsbeschränkt, für ~ < 0 nicht rechtsbeschränkt. a 22 a 22

Ist a12 = O, also auch a11 = O, so ist

wobei !51 = -a13 a22 =I= 0 ist. Für !51 > 0 ist genau einer der beiden Zweige nicht rechtsbeschränkt (für a22 > 0 ist es 1p1 (u), für a22 < 0 ist es 1p2 (u)) . Für

b1 < 0 ist ~· ~ ----+ ± i -v'ijq , also sind beide Zweige nicht rechtsbeschränkt. v u a••

Aus dieser Diskussion kann man nun entnehmen, in welchen Fäilen Verträglichkeitsbedingungen auftreten, da jedesmal, wenn ein Zweig nicht rechtsbeschränkt ist, er zu einer Bedingungsgleichung Anlaß gibt. Wir geben dabei gleichzeitig an, welche von den Randwerten A, A1, B, B 1 in der Bildgleichung genau oder mindestens auftreten. Ist z. B. an c;C 0, so kommen nach A 1. 5 die Werte B und B 1 bzw. ihre -l2-Transformierten mit Sicherheit vor; ist an = a22 = 0, so treten lediglich A und B auf, da A1 und B1 nur bei der Transformation von Fxx und FYY gebraucht werden.

Tabelle der Verträglichkeitsbedingungen 1)

I. Elliptischer Typ: b > O, daher an c;C 0, a22 c;C 0 .

Zwei Bedingungsgleichungen Z(u, 1p1 (u)) = 0, Z(u, 1p2 (u)) = 0

Aile vier Randwerte A, A1 , B, B 1 treten in der Bildgleichung auf.

II. Hyperbolischer Typ: b < 0 .

1. an = a22 = 0 , daher a12 c;C 0

Keine Bedingungsgleichung. Nur die Randwerte A, B treten in der Bildgleichung auf.

2. a22 c;C 0 .

Keine, eine oder zwei Bedingungsgleichungen.

Bedingungsgleichung Z (u, 1p1 (u)) = o für q1 = - a12 +V-=-;f > o , a22

Bedingungsgleichung Z(u, 1p2 (u)) = 0 für q2 = -a12 _y-=-;f > 0 . a••

Mindestens die Randwerte A, A1 , B treten in der Bildgleichung auf. Für an c;C 0 tritt außerdem B 1 auf.

III. Parabolischer Typ: b = 0

1. a12 c;C 0 , daher a11 c;C 0

Keine Bedingungsgleichung für~>O a••

zwei Bedingungsgleichungen2 ) für~ < 0 a••

AIIe vier Randwerte A, A1 , B, B 1 treten in der Bildgleichung auf.

1 ) Es sei an die Konvention erinnert, daß durch eventuelle Vertauschung von u und v immer a" c;C 0 erreicht werden sollte, wenn nicht a 11 = a" = 0 ist.

') Über den hier möglichen Spezialfall1p1 (u) == 1p2 (u) siehe S.ll2.

2. a12 = 0, daher a11 = 0, a13 7"= 0 .

a) a13 a22 < 0 : Eine Bedingungsgleichung

a22 > 0 : Z (u, 1pr(u)) = 0 ,

a 22 < 0: Z(u, 1p2 (u)) = 0 .

b) a13 a22 > 0: Zwei Bedingungsgleichungen.

Nur die Randwerte A, A1 , B treten in der Bildgleichung auf.

§ 17. Gleichung von hyperbolischem Typ ohne Verträglichkeitsbedingung

Wir beschäftigen uns nun mit der Berechnung der Lösung selbst und beginnen mit der Differentialgleichung von hyperbolischem Typ. Die Hyperbel bzw. ihre Ausartung, das nichtparallele reelle Geradenpaar, läßt sich bekanntlich durch eine lineare Transformation auf die Normalform u v + c = 0 ( c 7"= 0: Hyperbel, c = 0: Geraden paar) bringen. Daher kann man umgekehrt hieraus durch lineare Transformation alle Hyperbeln gewinnen, so daß für 15 < 0

(1)

ist. Wegen

muß

(2)

sein. Wir behandeln zunächst den Fall, daß keine Verträglichkeitsbedingung für die Randwerte von F(x,y) vorliegt, d. h. daß es ein Paar von rechten Halbebenen gibt, wo Q (u, v) nicht verschwindet. An Hand der Tabelle S. 99 oder auch durch unmittelbare Diskussion von (1) stellt man fest, daß dies dann und nur dann der Fall ist, wenn a1 und a2 und ebenso b1 und b2 dasselbe Vorzeichen haben, wobei immer eine von den zwei Größen verschwinden darf. Durch eventuelle Multiplikation von Z (u, v) und Q (u, v) mit -1, wobei f(u, v) ungeändert bleibt, kann man erreichen, daß

(3)

wird. Dann besitzt 1 eine Überfunktion. Zunächst ist nämlich (TB 4. 9): Q (u, v)

c l l l l - -;;Y

---=- --- ·-o - e uv+c u v+..:_ v y u

u


Hieraus folgt nach Satz 6, der wegen (3) und I~~~: I ~~ 2V -b > 0 anwendbar ist:

l l ( 4) •~o P0 (x,y)

Q(u,v) (a1 u+a2 v+a3 ) (b1 u+b2 v+ba)+c

Die von a1 (u), 61 (v) und q; (u, v) herrührenden Glieder in dem Ausdruck (3) § 15 für die Lösungf(u, v) im Unterbereich lassen sich also unmittelbar zurückübersetzen und ergeben mit der dortigen Bezeichnung der Koeffizienten:

Die übrig gebliebenen Terme im Zähler Z (u, v) von f(u, v) lauten:

(2a12 u + a22 v + 2a23 ) a(u) + (a11 u + 2a12 v + 2a13) h(v)- 2a12F(O, 0)

= [(a1 62 + a 2 b1) u + a2 b2 v + (a263 + a3 b2)] a(u)

+ [a1 h1 u + (a1 b2 + a2b1 ) v + (a1 b3 + a3 b1)] b(v)- (a1 b2 + a2 b1 ) F(O, 0)

Es genügt, den mit a (u) behafteten Teil und das Glied -a2 b1 F(O, 0) = -a2b1A (0) zu betrachten, da der Rest hieraus durch Vertauschung der Variablen u, v und der Indizes 1, 2 hervorgeht. Es ist

[(a1 D2 + a2 b1 ) u + a2b2 v + (a2 b3 + a3 b2)] a(u)- a2b1 A(O)

also mit

= h2 (a1 u + a2v + a3 ) a(u) + a2 b1 [ua(u)- A(O)] + a2 b3 a(u) ,

[(a1 h2 +a2 h1 ) u +a2 h2 v+ (a2 b3 +a3 h2)] a(u)- a2 h1 A(O) Q (u, v)

= b ( U _ __!___) () + b ua(u)-A(O) + b a(u) + b a(u) 2 UV+c V a u a2 1 UV+c a 2 3 UV+c 2 V

Die Oberfunktionen zum zweiten und dritten Summanden sind uns bereits bekannt, für den vierten erhält man, wenn b2 o1= 0 ist :

b2 a(u) __ a(u) -(!2_u + !2_)Y u x _!2_Y ( b ) V •-o e b, b, a ( u) o-0 e b, A X - ___!_ y

_!'.._ u+v+ !2_ v Y b. b'l b'l

mit A (x) = 0 für x < 0 . Es fehlt also nur noch die Oberfunktion zu dem Faktor von a(u) im ersten Summanden. Nun ist aber nach A 1. 3

Wenden wir hierauf wieder Satz 6 an, so erhalten wir in derselben Weise wie bei (4) die Oberfunktion zu

u 1 UV+c- V-

c V(UV+c) '

deren ausführliche Wiedergabe wir uns sparen wollen (siehe B 1. 19) und die wir mit 'P1 (x,y) bezeichnen. Als Oberfunktion zu dem von a (u) abhängenden Ausdruck erhält man somit:

_!2_ y b + e b, A ( x - b: y) ,

wobei der letzte Summand für b2 = 0 wegfällt und A (x) = 0 für x < 0 zu setzen ist.

Wie man sieht, läßt sich die Lösung des Problems mit Hilfe der Besselschen Funktionen } 0 und } 1 explizit angeben. Gemäß der Tabelle S. 99 kann die Lösung in diesem Fall, wo keine Verträglichkeitsbedingung auftritt, je nach den Werten der Koeffizienten a;k von zwei, drei oder vier Randfunktionen abhängen.

§ 18. Gleichung von hyperbolischem Typ mit einer Verträglichkeitsbedingung

Tritt zu der Gleichung von hyperbolischem Typ genau eine Verträglichkeitsbedingung, so können nach der Tabelle S. 99 nicht a11 und a22 gleichzeitig verschwinden. Im Einklang mit der Konvention S. 97 nehmen wir a22 =I= 0 an. Dann muß nach der Tabelle S. 99 eine der beiden Größen

> 0, die andere ~ 0 sein, d. h. es ist V -0 ;:;?: !a12! und folglich

Für a11 =1= 0 ist unter dieser Bedingung tatsächlich eme der beiden Größen

9u 92 > O, die andere< 0. Für a11 = 0 ist die eine gleich 0, die andere -2~. a••

Damit eine positiv ausfällt, muß dann noch ~ < 0 sein. a••

Welche von den beiden Zahlen q1 , q2 positiv ist und welche von den beiden Funktionen "PI(u), 1p2 (u) infolgedessen in die Bedingungsgleichung eingeht, hängt von den Vorzeichen der Koeffizienten an, a12 , a22 ab. Um etwas Bestimmtes vor Augen zu haben, nehmen wir an, daß q1 > O, q2 < 0 ist1), so daß die Bedingungsgleichung lautet: Z (u, 1p1 (u)) = 0 oder explizit

(1) (2a12 u + a22 1p1 (u) + 2a23) a(u) +(an u + 2a121p1 (u) + 2a13) b ( 1p1)

+ a22 a1 (u) + a11 h1 ( 1p1) - 2a12F(O, 0) + tp(u, 1p1) = 0 .

Hieraus läßt sich entweder a(u) oder a1 {u) ausrechnen und in den Ausdruck für f(u, v) einsetzen. Man kann also entweder die Randwerte A, B, B 1 oder A1 , B, B1 vorgeben.

Erste Randwertaufgabe: A(x), B(y) und B1 {y) gegeben

Durch Elimination von a1 (u) ergibt sich, wenn man noch

setzt:

(2) f(u, v)

a(u) + a11 u+2a13 h(v)-h(tp1 ) + 2a12 vh(v)-tp1 (u)h(tp1 )

V-tp2 (u) a22 (v-tp2(u)) V-tp1 (u) a 22 (v-tp2 (u)) V-tp1 (u)

+ a11 h1 (v)-h1 (tp1 ) + 1 rp(u,v)-rp(u,tp1 )

a22 (V-tp2 (u)) v-tp1 (u) a22 (V-tp2(u)) V-1p1 (u)

Wir wollen den Weg zur Berechnung der Oberfunktionen zu den einzelnen Summanden angeben, wobei sich sehr komplizierte Ausdrücke einstellen, für deren explizite Gestalt wir auf die Tabellen des II. Teils verweisen. Es ist zunächst

a (u) o-o e'Pa(u)y a (u) • V- tp2 (u) v y

Wenn wir diesen Ausdruck so umformen (siehe 1p2 (u) in (3) § 16):

- (a,. + d, ) _!!__ . - (a,. + y'=;f) _!!__ u e v'-d a"e a,. a(u)

--yu--y -- v -hu+---= --v-du +261 u-6, a,. a., ( y (· ,- d, ) Y • 1 , ) -e a,. a., e a., v'-6 -e a,. a(u)'

so läßt sich die Transformation ~-= ausführen; der erste Summand ergibt sich

aus dem Verschiebungssatz (man beachte, daß a12 +v'-=b = -q2 > 0 ist); die a••

1 ) Es ist also m.a.W. V'• (u) rechtsbeschränkt, tp, (u) aber nicht.


Oberfunktion zu dem Faktor von a(u) im zweiten Summanden läßt sich aus der Korresponcknz (12) § 13 berechnen, worauf man noch den Faltungssatz anzu-

wenden hat. Insgesamt ergibt sich eine Oberfunktion zu a (u) die aus A 2. 49 v -1p2 (u)

entnommen werden kann.

Die Oberfunktion zu den Ausdrücken vom Typus b(v)- b((~1 ) im zweiten V-1p1 U

und vierten Summanden erhält man aus der Korrespondenz (siehe (16) § 9)

(3) b(v)-b(u) ·~o -B(x+ y), v-u

indem man u durch 1p1 (u) ersetzt; die Wirkung dieser Operation auf die Oberfunktion ergibt sich aus der Formel:

( 4) .f(gs+h+Vas2 +2bs+c) •-o 1 e-(h+ ;;;-)g+~;;- F( +tVa) g+Va g a

Vt2 -2gt~+(g2 -a) ~· 0

(a > O, g+V-;;- > 0), die eine Verallgemeinerung von (10) § 13 darstellt; so 1

ergibtsichA3.11. Die Wirkungeiner Multiplikation mit ( ) läßt sich ähnlich V -1p2 U

wie oben bei dem Glied a (u)( ) berechnen, sie ist in A 4. 79 wiedergegeben. V-1p2 u

Insgesamt erhält man so die Oberfunktion zu

1 h(v)-b(1p1 )

V- 1p2 (u) V -1p1 (u)

bzw. zu dem entsprechenden Ausdruck für b1 , siehe A 3. 46 Die im zweiten Summanden noch notwendige Multiplikation mit u läuft im Oberbereich auf eine Differentiation nach x hinaus, siehe A 1. 3.

Die Transformation des dritten Summanden ergibt sich in analoger Weise aus der Korrespondenz

(5) vb(v)- ub(u) •-o -B' (x + y) , v-u

die man aus (3) durch Anwendung der Regel A 1. 3 erhält; siehe A 3. 63. Für den letzten Summanden hat man die in A 5. 32 angegebene Formel

anzuwenden.

[§ 18] Die allgerneine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 105

Zweite Randwertaufgabe: A 1 (x),B(y) und B 1 (y) gegeben

Bei der Elimination von a (u) kann man eine bedeutende Vereinfachung erzielen, wenn man beachtet, daß

d. h.

ist. Verwendet man diese Relation bei dem Koeffizienten von a(u) sowohl in (1) wie in Z (u, v) , so ergibt sich:

Z(u v) = V-'Pr(u)-'P2 (u) ' 'P. (u)

X [(a11 u + 2a12 lp1 (u) + 2a13) b( 1p1 ) + a22 a1 (u) + a11b1 ( 1f!1)-2 a12 F(O, 0) + <p (u, 1p1)]

Nach geeigneter Zusammenfassung und Division durch Q = a22 (v -1p1) (v -1p2)

erhält man:

(6) f(u, v) = a11 u+2ar3 [ b(v)-h('Pr) + b(~p1L] a 22(v- ?p2(u)) v- 'Pr (u) !p2 (u)

+ 2ar2 [ vb(v)- ?p1 (u)b('Prl + 'Pr (u)b('Pr)- F(O, 0)] a 22 {V- 'P2 {u)) v-- 'Pr(u) ~p 2 (u)

+ __ l_. __ ar (u) + a11 [ br (v)- br ('Pr) + br('Pr)] v-~p2 (u) ~p 2 (u) a22 (v-~p2 (u)) V-'Pr(u) ~p 2 (u)

+ l [ rp(u, v)- tp(u, 'Pr) + tp(u, 'Prl] a 22 (v- ~p 2 (u)) v- 'Pr(u) ~p 2 (u) ·

Die Terme sind fast alle von derselben Art wie beim vorigen Problem; neu ist nur der Typ

b(~pl)

v- ?p2 (u) ?p2 (u) '

der aber keine Schwierigkeiten bietet, da die Oberfunktionen zu b ( 1p1) und

___!___( ) nach (4) bekannt sind (die von - 1-( -, erhält man, indem man von~ •-o 1 ?p2 u ?p2 u) s

ausgeht), so daß für ihr Produkt der Faltungssatz verwendet werden kann. Siehe A 2. 60.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß für a11 = 0 der Randwert B 1 (y) in beiden behandelten Problemen nicht auftritt.

§ 19. Gleichung von hyperbolischem Typ mit zwei Verträglichkeitsbedingungen

Zwei Verträglichkeitsbedingungen liegen nach der Tabelle S. 99 dann vor, wenn (a22 cF 0 vorausgesetzt} q1 > 0, q2 > 0 ist. Sie lauten:

(1) (2 a12 u + a 22 1p1 (u) + 2 a 23) a (u) + (an u + 2 a12 1p1 (u) + 2 a13 ) b ( 1p1)

+ a 22 a1 (u) +an b ( 1p1 ) - 2a12F(O, 0) + g;(u, 1p1} = 0 ,

(2) (2a12 u + a 22 1p2 (u) + 2ad a (u) +(an u + 2 a12 1p2 (u) + 2a13) b ( 1p2)

+ a22 a1 (u) +an b1 ( 1p2) - 2a12 F(O, 0) + g;(u, 1p2) = 0

Hieraus lassen sich a (u) und a1 (u) ausrechnen und in den Zähler Z (u, v) von f(u, v) einsetzen, so daß die Lösung nur von B(y) und B 1 (y) abhängt. Man bewerkstelligt das am einfachsten in der Weise, daß man die linke Seite der Gleichung (1) von Z (u, v) subtrahiert, wodurch a1 herausfällt:

Z (u, v) == a22 (v - 1p1) a (u) +(an u + 2a13) (b (v) - b(1p1)) + 2a12 (vb(v)- '!PI b ( 1p1))

+an(b1 (v)- b1 (1p1)) + <p(u, v)- <p(u, 1p1) ,

und dann den durch Subtraktion von (1) und (2) sich ergebenden Wert

a(u) = _ a11 u+2a13 b(tp1}- b('P2 )

a22 tp1 - 'ljJ•

2a12 tp1 b('P1)-tp2 b(tp2 ) ----------

rp (u, tp1)- cp (u,tp2 )

tp,- 'ljJ2

in Z (u, 7;) einsetzt. Dividiert man dann noch durch Q = a 22 (v - 1p1 ) (v - 1p2) ,

so erhält man:

b(v)- b(tp1 ) vb(v)- tp1 b('P1 ) tp1b(tp1)- tp2 b(tp2)

V-- tp1 tp1 - tp2 V- tp1 'ljJ1 - 'ljJ 2 x ---~-----'--''----~- + 2 a12 -----'--'---------'--''---~--v-- tp2 v--v'•

b, (v)- b, (tp1 ) b, (tp1)- b1 (tp2 ) rp(u,v)- rp(u, tp1 } rp(u, tp1)- rp(u, tp2)

'U- tp, 'ljJI- tp,

V-'ljJ2 V- 'ljJ2

Den einzelnen Summanden kann man eine andere Gestalt geben, die noch besser die Symmetrie in 1p1 und 1p2 erkennen läßt und den Weg zur Berechnung der Oberfunktionen ebnet. Wir zeigen das am Beispiel des ersten Bruches:

h(v)- b(tp1 )

(4) __ v_------'--tp"--1 ___ tp-'--'1,_-_tp-'--'2"---- = __ l_ ( b (V) - b( tp1 )

V- tp 2 tp1 - tp2 V- 'ljJ1

b(v)- bltp,)) • V-'ljJ2


Die Oberfunktionen der beiden Brüche berechnet man auf dieselbe Weise wie S. 104. Ferner ist nach TB. KORR. 2. 16:

Damit ist die Oberfunktion des ganzen Ausdrucks (4) bekannt. Mit den anderen Summanden von (3) verfährt man analog. Für die expliziten Darstellungen sei auf A 3. 60, 61; 5. 39 verwiesen.

Das Randwertproblem, bei dem B(y) und B 1 (y) gegeben sind, ist somit gelöst. Dasjenige mit gegebenem A (x) und A1 (x) ist dazu symmetrisch, bietet also nichts Neues. Offen lassen wir das Problem, bei dem etwa A(x) und B(y) gegeben sind. Hier müßte man a1 und h1 aus den Gleichungen (1), (2) berechnen, was auf die früher bei der Potentialgleichung behandelte Schwierigkeit stößt, daß b1 in den beiden Gleichungen mit verschiedenem Argument vorkommt.

Ist a11 = 0, so tritt B 1 (y) in Wahrheit gar nicht auf, und die Lösung hängt allein von B (y) ab.

§ 20. Gleichung von parabolischem Typ

Die Parabel bzw. ihre Ausartung, das Parallelenpaar, läßt sich durch eine lineare Transformation auf die Normalform u2 + cv + d = 0 bringen (c #:- 0 : Parabel, c = 0 : Parallelenpaar), weshalb man umgekehrt jede Parabel hieraus durch lineare Transformation gewinnen und ihr somit die Form

oder die damit äquivalente kürzere

(1 )

geben kann 1). Wenn, wie wir zunächst annehmen, keine Verträglichkeits

bedingung vorliegt, muß nach der Tabelle S. 99 a22 #:- 0, ~ > O, also a22

a2 #:-0, a! > 0 sein. a1 und a2 sind somit von 0 verschieden und von gleichem a2

Vorzeichen, so daß wir beide als positiv annehmen können. l .

Q (u, v) ist - im Gegensatz zu den Verhältnissen bei der Gleichung hyper-

bolischen Typs ohne Bedingungsgleichung - keine Unterfunktion. Das sieht man schon an einem einfachen Spezialfall wie etwa

Q (u, v) ~ (u + v)2 + 1 (imaginäres Parallelen paar).

1 ) Dies ergibt sich auch daraus, daß a .. v 2 + 2 a12 uv + a"v2 für b = 0 das Quadrat eines linearen Ausdrucks ist.

Hier ist

(2) Q(u,v)

1 f ~-: e-vx sin x

-;-(u_+_v--;):7"-+--::-I l·-o e-uy siny ' V y

aber die weitere Transformation •-o bzw. ~-~ existiert nicht. Trotzdem ist der V y

Gesamtausdruck für f(u, v) eine Unterfunktion. Er lautet in diesem Fall (a11 = 1 , a12 = 1 , a22 = 1 , a13 = 0, a 23 o= 0, a33 = 1) :

f(u v) = (2u+v)a(u)+(u+2v)b(v)+a1(u)+b1(v) 2F(O,O)+q;(u,v) ' (u+v)"+l

u + v a ( u) + -,----,1-::--_

(u+v)"+l (u+v)"+1 [ua(u)- A(O)] + I

(u+v)"+I al(u)

+ (u:~~+1 b(v) + (u+~)"+I [vb(v)- B(O)] + (u+~)"+I bl(v)

+ <p(u,v). (u+v)"+I

Unter Benutzung von (2) ergibt sich:

( \• 1 a1 (u) •~o A1 (x- y) siny (A1 (x) = 0 für x <0) , u+v +

( \• 1 b1 (v) •~o B1 (y- x) sin x (B1 (y) = 0 für y < 0) . u+v +

Ferner ist u+v •-o e-vx COS X I U X

(u+v)"+l •-o e-uy cosy V y

also u+v (u+v)"+I a(u) •~o A(x- y) cosy (A(x) = 0 für x< 0) ,

u+v (u+v)"+I b(v) ·~"B(y-x)cosx (B(y)=O füry<O).

Analog erhält man:

und

I (u+v)"+I [ua(u)- A(O)] •~o A' (x y) siny ,

I (u+vJ"+ 1 [vb(v)- B(O)] •~o B' (y- x) sin x

X

1 UX XII J Ir --,------,-::--- <p (u, v) •-o (e-vx sin x) * tP(x, v) = e-ve sin ~ t:/J(x (u+v)"+I

0 X

~,v)d~

•-o Jsin ~ tP(x- ~,y- ~) d~ (tP(x,y) = 0 für y< 0) . V y

0

Damit ist die Lösung der Differentialgleichung

a• F a• F a• F ax• + 2 axay + ay• + F(x,y) = r!>(x,y)

bei vorgegebenen Randwerten A (x), A1 (x), B (y), B1 (y) explizit gefunden. Zum allgemeinen Fall übergehend dürfen wir wegen a22 > 0 zur Verein

fachung der Schreibweise a22 = 1 setzen. Dann ist (man beachte o = 0):

l l l -,---;---;-:-;-----:--c--;- o-o (eY'Pt(u) _ ey1p,(u)) (v -1p1(u)) (v -1p2(u)) v y 1p1(u) -1p2(u) Q (u, v)

U X

Dieser Ausdruck gestattet keine Transformation •-o • Ist speziell o1 = o, also

für 02 = 0 ,

so kann man eine Funktion des Typs Qa(~~~) nach dem Verschiebungssatz weiter

transformieren. Dieser Fall ist im wesentlichen durch das obige spezielle Beispiel erledigt, denn für o = 01 = 0 sind "1'1 (u) und "P2 (u) linear, so daß die Parabel in ein Parallelenpaar zerfällt. Wir können also weiterhin 01 #c 0 annehmen.

l Da Q (u, v) keine Oberfunktion besitzt, müssen wir immer gleich das Produkt

mit einem Glied aus dem Zähler betrachten, etwa mit b1 (v). Nach (3) ist

( 4)

Ein Ausdruck wie y

Je-[ -VJ,(u)J '7 B1 (y- rj) drj

0

kann als .B-T rausformierte der Funktion

(B1 (y) = 0 für y <0)

für den Parameterwert

gedeutet werden. Analoges gilt für den anderen Integralbestandteil in ( 4), der als ß-T rausformierte von B{ ( 1]) für

zu deuten ist. Es kommt also alles darauf an, diejenigen Operationen ~1 und ~2 an der Oberfunktion zu bestimmen, für die gilt:

(5)

Mit diesen ergibt sich dann:

br (v) •~o _!_ (m {B*} - m {B*}) Q(u, v) 2 ~·1 1 'P2 1

Für den Spezialfall a12 = 2 o1 = 1, a23 = o2 = 0 ist die Operation ~2 bekannt; nach TB. OP. 24 ist nämlich:

X

l - J y; f(u + yu) •-o x(~, X-~) F(~) d~ 0

Hiera·1s läßt sich leicht ihre allgemeine Darstellung für Ö1 > 0 gewinnen. Dagegen bleibt die Frage offen, wie ~2 für o1 < 0 aussieht. Ebenso ist ~1 bisher nicht bekannt. Auf den typischen Fall reduziert, lautet das Problem: Wenn f(u) eine Unterfunktion ist, so ist auch (vgl. TB. OP. 23)

f(u + Vu) bzw. ~;; f(u +V~) eine solche; ist aber auch

.f(u + aVu) I . r bzw . • rf(u+ ayu)

vu mit a=-l,+i,-i

eine Unterfunktion, und wie lautet ihre Oberfunktion 1)?

') Es gibt spezielle Funktionenf(u), bei denen j{u + a Vu) für beliebiges komplexes a wieder l

eine Unterfunktion darstellt, z. B. f(s) ~ -, denn es ist (siehe TB. KORR. 2. 13): s

- 1--:= •-o e a' x erfc a y;- , u+a Vu

[§ 20] Die allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung lll

D . R·· k r . . GI. d T a, (u) h""l f d. 1e uc transwrmauon emes 1e es vom yp Q(u, v) er a t man au 1e

gleiche Weise, indem man Q ( u, v) in an ( u - <p1 ( v)) ( u - <p2 ( v)) aufspaltet. Wir behandeln nun den Fall, daß eine Bedingungsgleichung vorliegt.

Dies tritt nach der Tabelle S. 99 ein für a12 = O, a13 a22 < O, also in der Normalform für a1 = 0, ar3 < 0. Da bei letzterer a22 = a~ > 0 ist, lautet die Verträglichkeitsbedingung Z (u, "Pr (u)) = 0 oder

Wegen an= 0 kommt hr(v) weder hier noch inf(u, v) vor. Von den drei Funktionen a, ar, h kann man vermittels (6) entweder a oder ar eliminieren. Wenn man etwa ar eliminiert und zur Vereinfachung der Schreibweise a22 = 1 setzt, so erhält man:

f a(u) + 2a13 b(v)- b(1p1 ) + l rp(u, v)- rp(u, 1p1 )

(7) (u, v) = v-1p2 (u) v-1p2 (u) v- '1\(u) V-1J!2 (u) V-1J!,(u)

mit "Pr (u) = -a23 +V -2ar3u- 02

1p2 (u) = -a23 - V -2ar3 u- 02 •

Es ist

----:--:- ·- 0 e1p2(u)y = e-a2sY e- y V -2ataU-62 v--1p2 (u) v y

ö, u x I --x-a2sY _ ~-e 2a1s

2a13

(vgl. TB. KORR. 4.1). - Weiter erhält man die Oberfunktion zu b(v)- b(1J!,) , V -1p,

· d · d b k K d r.·· b(v)- b(u) d" G ··ß d h m em man m er e annten orrespon enz rur 1e ro e u urc v-u "Pr (u) ersetzt. Die Wirkung auf die Oberfunktion ergibt sich aus der Formel TB. OP. 19:

CO

J( V-;;) •-o f 1p (~, x) F(~) d~ , 0

wenn man diese zu CO

II · S hl" ßl" h k h rp(u, v)- rp(u, 1p,} h d vera gememert. - c 1e 1c ann man noc etwa nac em V-1p, Muster von (ll) § 10 zurücktransformieren und erhält damit die komplette Lösung. Für den expliziten Ausdruck sei auf A 5. 7 verwiesen.

Nun ist noch der Fall zu betrachten, daß zwei V erträglichkei tsbedingungen vorliegen, was nach der Tabelle S. 99 eintritt, wenn (wir setzen wieder a22 = 1) entweder a12 < 0 oder a12 ~~ O, a13 > 0 ist. Wenn wir vermittels der zwei Bedingungsgleichungen a(u) und a1 (u) eliminieren, so erhalten wir fürj(u, v) denselben Ausdruck wie (3) § 19, der sich in dem zweiten Fall, wo a12 = O, also auch a11 = 0 ist, auf die beiden von b(v) und cp(u, v) abhängenden Glieder reduziert. Zur Rücktransformation braucht man wie in § 19 nur zu wissen, wie der Ersatz von u durch "PI (u) bzw. 1p2 (u) sich auf die Oberfunktion auswirkt. Im ersten Fall (a12 <0) ist

womit wir wieder auf das S. 110 formulierte Problem stoßen. Im zweiten Fall (a12 = 0) ist

(a13 > 0) '

so daß es sich im wesentlichen um die Frage handelt, wie sich der Ersatz von u

durch ±iy;- auf die Oberfunktion auswirkt; ein noch offenes Problem.

Beim parabolischen Typ kann der Sonderfall eintreten, daß die Parabel Q (u, v) = 0 in eine reelle Doppelgerade ausartet (wenn alle zweireihigen Determinanten aus der Matrix [[a;k[[ verschwinden), so daß die beiden Zweige 1p1(u)

d ( ) · 1 · h d 1 · h a,. a 23 • d F a,. · un 1p2 u zaentzsc un g e1c - - u - - sm (a12 * 0). ür- < 0 1st 1p1 = 1p2 a22 a22 a22

nicht rechtsbeschränkt. Da der Nenner in j(u, v) den Linearfaktor v - 1p1 (u) jetzt in zweiter Potenz enthält, muß der Zähler für v = 1p1 (u) von zweiter Ordnung verschwinden, d. h. es gelten die zwei Bedingungsgleichungen Z (u, 1p1 (u)) = 0 und Zv (u, 1p1 (u)) = 0 .

* * * Die Gleichung vom elliptischen Typus behandeln wir nicht allgemein, da

schon in dem Spezialfall der Poissonschen Gleichung die Lösung ziemlich kompliziert ausfiel. Wie die Tabelle S. 99 zeigt, liegen beim elliptischen Typus stets zwei Verträglichkeitsbedingungen vor. Relativ einfach ist der Fall, daß a(u) und a1 (u) eliminiert werden, so daß die Randfunktionen B (y) und B 1 (y) als gegeben anzusehen sind, weil man dann auf die Lösung (3) § 19 im Unterbereich kommt und nur festzustellen braucht, wie sich der Ersatz von u durch 1p1 (u) bzw. 1p2 (u) auswirkt. Sind jedoch andere Randwertkombinationen gegeben, so stößt man auf dieselben Schwierigkeiten wie beim Dirichletschen Problem.

* * *

[§ 21] Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen 113

Es sei dem Leser angeraten, einmal eine Differentialgleichung höherer Ordnung wie etwa

a•p o2 F ax•ay +p ox2 +qF=ifJ(x,y)

vermittels ,Ü2- Transformation zu behandeln, um sich davon zu überzeugen, daß die Methode nicht bloß bei Gleichungen zweiter Ordnung zugkräftig ist. Die für die Rücktransformation notwendigen Korrespondenzen sind in den Tabellen zu finden. Zum Vergleich versuche man, das Problem mit klassischen Methoden zu lösen.

5· Kapitel

Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit :rwei unabhängigen Variablen

§ 21. Ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung

Ist bei einer ein:relnen partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen die durch die eindimensionale ,Ü-Transformation erzeugte gewöhnliche Differentialgleichung von hinreichend einfacher Natur, so wird man von der ,Ü2- Transformation absehen, wenn nicht andere Umstände ihre Verwendung nahelegen. Bei Systemen von partiellen Differentialgleichungen mit mehreren unbekannten Funktionen dagegen führt die eindimensionale ,Ü-Transformation auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das im allgemeinen ohne Hilfe einer weiteren ,Ü-Transformation nicht einfach zu lösen ist. Hier bewährt sich die ,Ü2-Transformation, die das System von partiellen Differentialgleichungen unmittelbar in ein System von algebraischen Gleichungen überführt, ganz besonders.

Wir betrachten als Beispiel das folgende System 1):

(1)

Natürlich soll das Integrationsgebiet wieder der Quadrant x ;:;? O, y ;:;? 0 sein. Für die ,Ü2- Transformation braucht man die Randwerte

1 ) Dieses System (in der Verallgemeinerung für n Funktionen von zwei Variablen) ist von L. FANTAPPIE: «Integrazione con quadrature dei sistemi a derivate parziali lineari e a coefficienti castanti in due variabili mediante il calcolo degli operatori lineari." Rend. Circ. Mat. Palermo 57 (1933) S. 137-195 vermittels eines besonderen Operatorenkalküls behandelt worden. Die Lösungen erscheinen in Form von komplexen Integralen. Die Frage nach der Verträglichkeit der Randbedingungen wird nicht behandelt. DieLösung vermittels -1:!2-Transformation im Fallep1 ~ O,p2 ~ 0 wurdevon VoELKER, S. 18-34 durchgeführt.

8 Voelker, Doetsch

FI (x, 0) = A;(l) (x)

F2 (x, 0) = A<Z) (x) ,

FI(O,y) = ß(l>(y)

F 2 (0,y) = B<2>(y)

bzw. ihre 52-Transformierten a<l) (u), b(l) (v); a<2>(u), b<2) (v). Als Abbild des Systems (1) ergibt sich folgendes System von linearen algebraischen Gleichungen:

(2) ~ [uft- b<1>(v)] + p1[v.h- a<l)(u)] + q11/t + qi2h = Cf!I(u, v)

l [ufz- b<2>(v)] + p2 [vj;- a<2\u)] + q2Ih + q22 ,h = cp2 (u, v) ,

das die Lösungen hat:

(3) 11:: ;~ v=~122) [p1 a<1>(u) + b<1>(v) + lf\(u, v)]- 112[p 2 a<2>(u) + b(2)(v) + cp2(u, v)]

(u+ P1 V +1ul (u+ P2 V +122)- 112121

/z(u,v)=

(u + p 1 v + 1ul [p2 a<2>(u) + b<2>(v) + <p2 (u, v)]- q21[p1 a<1>(u) + b<1>(v) + lf\(u, v)]

(u + P1 V +1ul (u + Pz V+ 1z2l- 112121

Diese Funktionen haben im allgemeinen Singularitäteil an den Stellen u, v, wo

(4)

Die Gleichung stellt im Reellen für PI c,i:. P2 eine Hyperbel (qi2q2I # 0) oder ein nichtparalleles reelles Geradenpaar (qi2q2I = 0) dar (vgl. § 17), für PI= p 2 eine Parabel oder deren Ausartungen, je nachdem (q11 - q22)2 + 4qi2q2I # 0 oder = 0 ist (vgl. § 20). Das hängt damit zusammen, daß jede der Funktionen FI, F2 ,

wenn man die andere aus (1) eliminiert, für sich allein einer Differentialgleichung zweiter Ordnung von hyperbolischem oder parabolischem Typ genügt. - Die Diskussion der Frage, wann die aus (4) entspringenden Funktionszweige v = '~1'1 (u) und v = 1p2 (u) nicht rechtsbeschränkt sind und infolgedessen zu Bedingungsgleichungen Anlaß geben, könnten wir aus der Tabelle S. 99 übernehmen. Man kommt aber durch direkte Diskussion noch einfacher ans Ziel, indem man (4) nach u auflöst (was wir hier vorziehen, weil u2 den Koeffizienten 1, v 2

aber den Koeffizienten PIP2 hat, der verschwinden kann):

Cfu +q22 __!_ /[( ) ( )]2 4 2 + 2 V PI - P2 V + qll- q22 + qi2 q2I

Cfu ;q22 ~ V[(PI-P2l V+ (qu- q22lJ2 + 4qi2 q2I

und die Relationen

'P1(vL -------+- Pl+P. + IP1--p.l =J -p2 für PI -:;?;p2

v 2 2 l -PI für PI < P2

'IJI2 (v) P1 +p2 1Pl-P21 _I -pl für P1 ~ P2 2 -l -P2 für P1 ~ P2

----+- ----V 2

für jv/ -+ oo beachtet. Da das System (1) seine Gestalt behält, wenn man F1 mit F 2 , d. h. die erste Gleichung mit der zweiten vertauscht, so dürfen wir

voraussetzen. Dann ist

u = 1p1 (v) rechtsbeschränkt für p 1 > 0, nicht rechtsbeschränkt für P1 < 0,

u = 1p2 (v) rechtsbeschränkt für p 2 >0, nicht rechtsbeschränkt für p 2 <0.

Für PI·= 0 ist

für /v/ -+ oo ,

also 1p1 (v) rechtsbeschränkt; dasselbe gilt für 1p2 (v) bei p 2 = 0. Die einzigen kritischen Werte sind folglich P1 < 0 und P2 < 0. Dies entspricht den Verhältnissen bei einer Differentialgleichung erster Ordnung (vgl. § 9).

Wegen PI ~ p 2 haben wir somit drei wesentlich verschiedene Fälle zu behandeln:

P1 ~ 0, P2 ~ 0

P1 < o, P2 ~ 0

P1 < o, P2 < 0

keine Verträglichkeitsbedingung,

eine Verträglichkeitsbedingung,

zwei Verträglichkeitsbedingungen.

Für die praktische Durchführung bemerken wir noch, daß es genügt, von den beiden Gleichungen (3) nur die erste zu transformieren, weil die zweite aus ihr durch Vertauschung der Indizes 1 und 2 hervorgeht.

§ 22. Das System ohne Verträglichkeitsbedingung (0 ~PI ~p2)

In diesem Fall können die je zwei Randfunktionen von FI(x,y) und F 2 (x,y) unabhängig voneinander vorgegeben werden. Wir schreiben};_ (u, v) in der Form:

Nun ist (vgl. ( 4) § 17)

Hieraus kann man nach Satz 6 die Oberfunktion zu

I

(u + P1 V+ 'lu) (u + P2 V+ '122)- '112 '121

ableiten, wenn PI ;;;;. 0, p2 ;;;;. 0 und I ~ ~: I = p 2 -PI of::. 0 ist. Wir müssen daher

den hyperbolischen Fall PI oj::. p 2 von dem parabolischen PI = p 2 trennen und zunächst

voraussetzen. Dann erhalten wir:

(2) I

(u +PI v+ 'lu) (u + P2 V +'122)- 'lu '121

0 für y <Plx und y > p 2x 1

o~o M(x,y) =

I p,-p,[(p,q.,-p,q")x+(qu-q.,)y] ---e P2-PI

Die Funktion

X Io(-2-Vqi2q21 (p2x-y) (y-Pix)) für Plx:;;;;; Y'~ P2X. p.-p1

v ist keine Unterfunktion, dagegen gilt nach A 1. 4 uv- 'lu'l21

V - ui •~o "'0~, fo(2yq12q21xy) = J'lu~~1 x 11(2Vql2q21xy) u V- 'lu 'l•1 u J J

und folglich

(3)

Um die Formel (3) bei der Rücktransformation von j~ (u, v) verwerten zu können, muß man das Glied

auf der rechten Seite von (1) subtrahieren und wieder addieren. Dieses Glied ist nichts anderes als die Unterfunktion (7) § 9 der Lösung der einzelnen partiellen

Differentialgleichung erster Ordnung, so daß seine Oberfunktion durch (9) § 9 gegeben ist. Damit ergibt sich folgende Oberfunktion zu f~ (u, v):

(4) X y )

F1 (x,y) = Pl N(x,y) * A(ll(x) + N(x,y) * B(l (y) + N(x,y) * * C/J1 (x,y)

- q12 p2 M(x,y) ~ A(2l(x)- q12 M(x,y) ~ ß(2l(y)- q12 M(x,y)** C/J2 (x,y) X

wobei A(ll, ß(l) und C/J1 hinsichtlich der zweiten Variablen für negative Argumente gleich 0 zu setzen sind.

F1 (x,y) und die durch Vertauschung 1) der Indizes 1, 2 aus ihr hervorgehende Funktion F 2 (x,y) erfüllen das Differentialgleichungssystem und die Randbedingungen unter analogen Voraussetzungen, wie sie S. 44 bei der einzelnen Differentialgleichung erster Ordnung formuliert wurden. Infolge der Annahme 0 ~ p 1 < p 2 liegt der Winkelraum PlX ~ y ~ p 2 x, außerhalb dessen M(x,y) und N(x,y) verschwinden, im ersten Quadranten und schrumpft nicht zu einem Strahl zusammen.

In dem parahafischen Fall

hat der Nenner in h (u, v) die Gestalt

Setzen wir zur Abkürzung

so ist nach TB. KORR. 1. 7, 8, 9 und dem Dämpfungssatz

l

( + + qn+q" )2 u pv - 2- -q

)q- sinh yq x für q > 0

x für q = 0

)-q sin yiTqf x für q < 0

I~' '"m,(x) .

') Dabei ist die Größe p, - p, in Mund N durch I p, - p, j zu ersetzen.

Damit ergibt sich für· die zwei folgenden Glieder in dem zweiten Summanden von (1):

I [b<2l(v) + m (u v)] (u+pv+q11 )(u+pv+q22 )-q12 q21 r2 '

U X X II

•-o e-pxv m1 (x)b<2l(v) + [e-pxvm1 (x)] * 0 wirklich vorkommt, machen wir zuerst die Transformation •-o und erhalten:

V y

( + + qu+q" )2 u pv ----z-- - q

also

I . hVq f•• 0 ----= stn -y ur q > Vq P .Y p

fürq=O

1 . vrqr ~·· 0 • 1- sm --y rur q < V /q/ p

I -;--------,-;--------:------- p a<2l ( u) (u + pv+q11 ) (u+ pv+q,,)- q12 q21

In diesen Formeln sind A<2l, ß<2l und <1>1 hinsichtlich der zweiten Variablen für negative Argumente gleich 0 zu setzen.

Den Faktor des ersten Summanden in (1) schreiben wir in der Gestalt:

u+p,v+q22

(u + p v+ q11 ) (u + pv + q22)- q12 q21

+ + q"+q" u pv - 2-

( + + qn+q" )2 u pv - 2- -q ( + + qu+q" )2 u pv - 2- -q

Die Transformation des Subtrahenden ergibt sich aus dem Vorhergehenden, für den Minuenden erhält man nach TB. KORR. 1. 10, 11:

+ + qn+q" u pv - 2-

( + + qu+q" )2 u pv - 2- -q

P Qn+Qn u x - vx--.,-x ·-o e ...

{ cosh yq x

·1 cos vM x

fürq>O)

für q~ 0 J

bzw. (nur für p #0, für p = 0 wird die folgende Transformation nicht gebraucht):

+ + Qn+q" u pv - 2-

( + + Qn+q" )2 u pv - 2- -q

-v-cosh __ q_y p

-vcos _fq_f y p

Mit Hilfe dieser Zwischenfunktionen kann man die Rücktransformation des ersten Summanden in (1) analog zu der des zweiten durchführen, so daß das endgültige Resultat, wenn wir der Anschaulichkeit halber für die Funktionen m1 , m2 , nu n2 ihre expliziten Ausdrücke im Falle p > 0, q > 0 einsetzen, so aussieht:

F1 (x,y) = _ Qu+q" 1 ( h Vq qll- q22 h Vq ) A(l)( 'V)

e zp -~ cos py- 2 V q sin py x-~

X

_ Qn+q" l . h Vq A(2) ( Y) - q12 e 2p Y Vq sm p y x - p

X

J _ Qn+q,. ~ l . . ;-- q12 e 2 -;=: smh v q ~ <P2(x- ~,y- p~) d~

\lq 0

Dabei sind die Funktionen A, B, <P für negative Argumente gleich 0 zu setzen. Für q < 0 treten Kreisfunktionen an die Stelle der Hyperbelfunktionen, für

l - ' q = 0 ist die Funktion Vq sinh V q t durch ihren Grenzwert t für q-+ 0 zu er-

setzen. Für p = 0 fallen die die Funktionen A(ll und A<2l enthaltenden sinnlosen Summanden weg; in diesem Fall sind also nur die Randwerte ß(l) (y) und B<2> (y) vorgegeben, im Einklang damit, daß in dem Differentialgleichungssystem die

Ab] · a Fl d a F. ··b h · h k F·· o ·· d h eltungen a y un a Y u er aupt mc t vor ommen. ur p = genugt a er

bereits die eindimensionale ~-Transformation zur Reduktion auf ein algebraisches System.

§ 23. Das System mit einer Verträglichkeitsbedingung (p1 < 0 ~P2)

Im Falle Pl < 0 ~p2 müssen die Zähler vonj;_ (u, v) und}:;(u, v) für u = 1p1 (v) (siehe (5) § 21) verschwinden:

Nun besteht aber zwischen diesen Gleichungen eine lineare Relation. Bezeichnet man nämlich ihre linken Seiten mit L 1 und L 2 , so ist

(1fll(v) + PIV + qu) Ll + q12L2 = ((1pl(v) + Plv + qu) (1p1(v) + P2V + q22l-

- q12q21J [pla(l) (1p1) + !Pl (v) +q;1(1fl1, v)]

Da 1p1 (v) eine Wurzel von ( 4) § 21 ist, verschwindet die rechte Seite, es ist also

Es genügt daher, eine der heiden Gleichungen (1), etwa die erste, zu berücksichtigen.

Damit erweist sich eine von den vier Randfunktionen, etwa ß<Zl, als durch die drei übrigen bestimmt. Setzt man !J<2>(v) aus (1) inj;_(u, v) ein, so erhält man:

(2) j;_(u, v)

Pzqrz a(2l(u)-a(2l('l'r) +----,----,-- urpr(u,v)-IJ!r(v)rpr(IJ!uV) u-tp2 (v) u-tp1 (v) u-tp2 (v) u-tp1 (v)

+ p 2v+q22 rp1 (u,v)-rp1 (tpl>v) _ q12

u- '1'2 (v) u- '1'1 u- tp2 (v) rp2 (u,v)- rp2 (1J!uV)

u-tp1 (v)

Die vorkommenden Terme sind von demselben Typ wie die in (2) § 18, auch 1p1 und 1p2-sind von dem gleichen Charakter wie dort. Die expliziten Oberfunktionen ergeben sich aus A 3. 63, 3. 11, 2. 49 und 5. 32, unter Heranziehung von A 4. 79, 5. 36 und 1. 4.

§ 24. Das System mit zwei Verträglichkeitsbedingungen (p1 ~p2 < 0)

Für P1 ~ p2 < 0 müssen die Zähler von fr (u, v) und h (u, v) sowohl für u = '1j11 (v) als für u = '1j12 (v) verschwinden. Wie in§ 23 genügt die Berücksichtigung des Zählers von fr, so daß man zwei Verträglichkeitsbedingungen erhält, nämlich neben der ersten Gleichung von (1) § 23 noch eine analoge, in der V't durch '1j12 ersetzt ist. Jetzt können also nur zwei von den vier Randwerten frei vorgegeben werden.

Eine Sonderbehandlung verlangt der Fall, daß '1j11 (v) == '1j12 (v), was nur für p 1 = p 2 , (q11 - q22) 2 + 4q12 q21 = 0 eintritt (ausgearteter parabolischer Fall, siehe S. 112).- Für '1j11 (v) ":= '1j12 (v) lassen sich b<1>(v) und b<2>(v) aus den Bedingungs gleichungen ausrechnen und in fr (u, v) einsetzen, wodurch sich ergibt:

(1)

a(2) (u)- a(2) ( 'l'o) a(2) ( 'l'r)- a(2) ( 'l'o)

u-1J12 (v) IJI1 (v)-IJI2 (v) - P2 q12 ----''--"-'----'----u---'1'-r---,(--'v'-') '-'----''-----'--"-:._:_-

91r (u, v)- 91r ('I'., v) 91r (IJin v)- 91r (IJI., v)

+ (p2v + q22) __ u_-_IJI-'-'o'-'(_v)'---------,---,_:_"'Io...:(_v'---) ------'-'1'_"__.('---v_:_)u-1J11 (v)

Die einzelnen Summanden sind gebaut wie die in (3) § 19 und also nach dem dortigen Muster transformierbar. - Zu beachten ist, daß für P1 = p2 die Wurzeln in den Ausdrücken (5) § 21 für V't und '1j12 Konstante sind, so daß V't und '1j12

sich auf lineare Funktionen reduzieren, wodurch sich die Transformationen außerordentlich vereinfachen.

Liegt der ausgeartete Fall "Pt (v) == '1j12 (v) vor, so tritt ähnlich wie S. 112 zu der Gleichung Z('1j11 (v), v) = 0 noch die weitere Zu('1j11 (v), v) = O, so daß man wieder über zwei Bedingungsgleichungen verfügt.

122

III. Abschnitt

LÖSUNG VON PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT

MEHR ALS ZWEI UNABHÄNGIGEN VARIABLEN

6. Kapitel

Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen

§ 25. Allgemeine Richtlinien

In einer linearen partiellen Differentialgleichung mögen zwei unabhängige Variable x und y vorkommen, die in 0 ~ x, 0 ~ y variieren, und außerdem noch weitere unabhängige Variable z, ... , die in einem beliebigen Grundgebiet <b variieren; die Koeffizienten können von z, ... abhängen. Dann entfernt die hinsichtlich x, y angewendete B2- Transformation die Ableitungen nach x und y, während die Ableitungen nach z, ... erhalten bleiben, so daß die Bildgleichung keine algebraische Gleichung wie im II. Abschnitt, sondern eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung ist, je nachdem die Anzahl der ursprünglichen Variablen x,y, z, ... drei oder größer war. Natürlich sind hierbei - wie bei der Anwendung der eindimensionalen B-Transformation auf partielle Differentialgleichungen, siehe L T S. 346 - zwei Voraussetzungen zu machen, nämlich daß die B2- Transformation vertauschbar ist

1. mit den Differentiationen nach den Variablen z, ... : 02 { o F(x,y, r, ... ) } = !_ 02{F( )} = o f(u, v, r, ... ) ~ or or ~ x,y, {, ··· or usw.'

2. mit den Grenzübergängen gegen die Randpunkte R des Grundgebietes <b der Variablen {, ... :

B2{lim F(x,y, {, ... )} = !im B2{F(x,y, {, ... )} = limf(u, v, {, ... ) usw. , (z, ... )~R (z, ... )~R (z, ... )~R

so daß für die Bildgleichung als Randwerte einfach die Transformierten der ursprünglichen Randwerte hinsichtlich <b zu nehmen sind. Bekanntlich gibt es schon bei der B-Transformation, also erst recht bei der B2- Transformation, Funktionen, die diese Voraussetzungen nicht erfüllen. Solche «singulären Lösungen» erfordern daher eine gesonderte Behandlung. Für x = 0 und y = 0 sind gewisse Randwerte der gesuchten Funktion gegeben, die wir als «Anfangswerte» bezeichnen und die von y, z, .. . , bzw. x, z, ... abhängen können.

[§ 26J Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen 123

Diese treten bei der Transformation gemäß den Formeln A 1. 3 flg. in die Bildgleichung ein. Wie in Abschnitt II kann es vorkommen, daß die Methode zunächst mehr Anfangswerte erfordert, als in Wahrheit gegeben sein dürfen. Die überzähligen sind dann wie früher durch die Forderung zu bestimmen, daß die Bildfunktionf(u, v, :r, ... ) in einem Paar von rechten u-, v-Halbebenen analytisch sein muß.

Begreiflicherweise hat es keinen Sinn, hier eine völlig allgemeine Theorie aufzubauen, weil diese sich wegen der Schwierigkeit der Materie rasch in praktisch unbrauchbaren Allgemeinheiten erschöpfen würde. Wir wollen statt dessen ein Beispiel vollständig durchführen, bei dessen Lösung schon eine Fülle von Kunstgriffen auftritt, die auch bei anderen Problemen mit Erfolg angewendet werden können.

§ 26. Wärmeleitung in einer Platte. Aufstellung und Lösung der Bildgleichung

Die Temperatur U in einer wärmeleitenden xy-Ebene gehorcht, wenn t die Zeit bedeutet, der partiellen Differentialgleichung

a•u a•u au -+-=-

ox2 oy2 ot U = U(x,y, t)

mit drei unabhängigen Variablen. Es handle sich um eine Platte von der Gestalt eines Halbstreifens x ~ 0, 0 < y < !. Der Vorgang werde von dem Zeitpunkt t = 0 an für alle Zukunft betrachtet. Die Temperatur ist für t > 0 bestimmt, wenn die Anfangstemperatur U(x,y, 0) der Platte und für alle Zeiten t> 0 die Temperatur auf den Rändern, also U(O,y, t), U(x, 0, t), U(x, l, t), bekannt ist. -Da zwei von den Variablen, nämlich x und t, das Grundgebiet (0, =) haben, ist die Möglichkeit zur Anwendung der ,Ü2- Transformation gegeben. Um Übereinstimmung mit unseren früheren Bezeichnungen zu haben, wollen wir die beiden Variablen, nach denen transformiert wird, mit x und y und diejenige, die von der Transformation nicht berührt wird und im Intervall (0, l) variiert, mit :r bezeichnen, ferner die gesuchte Funktion mit F. Dann ist unser Problem so zu formulieren:

Es ist die Differentialgleichung

(1) a•F aF a•F ---+-=0 ax• oy 0{2

im Gebiet x ~ 0, y ~ 0, 0 < t < l

zu integrieren, wenn die Randwerte

(2) F(x, O, :r) = A(x, :r) ,

F(x,y, 0) = C(x,y) ,

F(O,y, :r) = B(y, :r) ,

F(x,y, l) = D(x,y)

124 Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen

gegeben sind. Da die Gleichung hinsichtlich x von zweiter Ordnung ist, braucht man bei der Transformation zunächst noch den Randwert

der später eliminiert wird. Mit den Bezeichnungen

A(x,:c) ~-~ a(u,:c), B(y,:c) a-• h(v,:c), B 1 (y,:c) a-• h1 (v,:c) y V y V

C(x,y) a-• c(u, v) , D(x,y) a-• d(u, v)

entspricht der partiellen Differentialgleichung (1) die Bildgleichung

(3) [u2f(u, v, :c)- uh(v, :c) -'h1(v, :c)]- [vf(u, v, :c)- a(u, :c)] + ~ = 0 ,

die eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, für die die Randwerte (4) f(u, v, 0) = c(u, v) , f(u, v, l) = d(u, v)

gegeben sind. Wir schreiben sie in der übersichtlicheren Form

(5) d"f dr_" + (u2 - v)f = g(u, v, :c)

mit

(6) g(u, v, :c) = -a(u, :c) + uh(v, :c) + h1 (v, :c) .

Formal dieselbe Gleichung tritt bei Anwendung der eindimensionalen .BTransformation auf die Wärmeleitungsgleichung mit einer räumlichen Koordinate auf (LT S. 350). Ihre Lösung lautet (L T S. 353, 357):

(7) 1:( ) _ ( ) sin(/-r_)V~ d( ) sinr_~ J 'u, v, { - C u, V • ~ + u, V . ~

sin l v u• - v sin l v u• - v

z sin(l-r)~ I --

g(u, v, ') sin c yu2 - V dC vu•-v sinlvu•-v

0

-- I sinrvu•-v I A ;--

- ~. ~ g(u,v,C)sin(l-C)vu2 -vdC. u2 - v sm l u• - v

z

Wegen der Nullstellen der Nennerfunktionen hat .f(u, v, :r) Singularitäten hinsichtlich u, v, und zwar handelt es sich im Gegensatz zu den im II. Abschnitt behandelten Fällen jetzt um unendlich viele Funktionen u = 1p(v), für die der

Nenner verschwindet. Der Faktor yu2 - v allerdings stört nicht, weil

sin(l-r_)~

Vu2 -V und

sinr_~ W-v

[§ 26] Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen 125

für u2 - v = 0 durch die Grenzwerte l- { und { definiert werden können. Dagegen sind diejenigen u, v zu betrachten, für die

sin l y u2 -- v = 0

wird, d. h.

l V u2- v = nn (n = O, ± 1, ± 2, •.. ) oder u = ± J v + n2 ~: (n = 0, 1, 2, ... ) .

Wird unter V der Hauptzweig verstanden, so liegen, wenn v einer rechten Halb-J n• ebene angehört, die Werte u = - v + n2 p: in einer linken Halbebene, kommen

also nicht in Betracht. Dagegen müssen, damit j(u, v, -[) in einem Paar rechter

J n• Halbebenen analytisch wird, die durch u = + v + n2 p: entstehenden Sin-

gularitäten dadurch entfallen, daß der Zähler für diese Werte verschwindet. Wir erhalten so die Schar von Bedingungsgleichungen

(n = O, 1, ..• ) .

n Dividiert man durch sinnT z und setzt für g den Wert (6) ein, so bestimmt diese

Gleichung den Fourierkoeffi-rienten von b1 (v, z) bezüglich des im Intervall (0, l) . n

vollständigen Orthogonalsystems sm n Tz :

I

(9) Jb1 (v,,)sinn~'d' 0

(n = 1, 2, ... )

Damit ist die überzählige Funktion b1 ( v, z) durch ihre Fourierentwicklung gegeben, zum mindesten für gewisse Klassen von Funktionen a, b, c, d, z. B. solche, für die die Reihe gleichmäßig konvergiert:


2 ~ . n Jl (J n 2 ) n + 7 L. sm n 7 { a v + n2 f2' C sin n 7 C d C

n~~ l 0

CXJ l _ ~ "' J 2 n" · !!._ J t ( r) · n ~ dr l L. v + n l" sm n l { o v, r" sm n 7 c, " • n~l 0

Dieser Wert für b1 (v, {) ist in die Gleichung (7) einzusetzen, und dann ist f(u, v, {) zurückzutransformieren.

Bei dieser sehr schwierig erscheinenden Aufgabe wird man sich von Gesichtspunkten leiten lassen, die schon bei der eindimensionalen E-T ransformation bewährt sind. Diese führte in ihrer Anwendung auf gewöhnliche Differentialgleichungen auf gebrochen rationale Funktionen, für deren Rücktransformation sich die Partialbruch{erlegung als selbstverständliches Hilfsmittel anbot. Bei der Anwendung auf partielle Differentialgleichungen stieß man auf transzendente, meist meromorphe Funktionen, für die man nun analog Entwicklungen in unendliche Partialbruchreihen anstrebte. (Die schwierige Frage, ob eine die Pole in Evidenz setzende Partialbruchentwicklung die meromorphe Funktion wirklich darstellt und ob sie sich gliedweise transformieren läßt, bleibe hier unerörtert.) Ganz ähnlich sind wir jetzt bei Anwendung der E 2- Transformation auf Differentialgleichungen mit {Wei unabhängigen Variablen auf Ausdrücke gestoßen, in deren Nenner eine gante rationale Funktion von u und v stand (in den durchgeführten Beispielen handelte es sich um quadratische Funktionen), und hier verhalf uns wieder die Partialbruch{erlegung zur Rücktransformation. Bei Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen wie oben bei der Wärmeleitungsgleichung stehen in der Lösung der Bildgleichung trans1:endente Funktionen von u und v im Nenner mit unendlich vielen Nullstellen u = 'lfl(v). Man wird daher wiederum versuchen, unendliche Partialbruchentwicklungen aufzustellen und diese gliedweise zu transformieren. Dabei kann es manchmal möglich sein, solche Entwicklungen unmittelbar in beiden Variablen u, v zu finden und sogleich die Umkehrung der E 2- Transformation anzuwenden. In anderen Fällen wiederum wird man die Partialbruchentwicklung zunächst nur hinsichtlich einer Variablen,

z. B. u, aufstellen und demgemäß erst einmal die Rücktransformation ~-~ ausführen. Wir werden im folgenden Beispiele alle diese Möglichkeiten vorführen. An solchen Beispielen wird der Leser besser als an langatmigen theoretischen Erörterungen lernen, wie man das Problem der Rücktransformation je nach Lage der Dinge anpacken und meistern kann.


Den oben erhaltenen, sehr komplizierten Ausdruck für f(u, v, z) wollen wir dadurch übersichtlicher machen, daß wir ihn in vier auf die einzelnen Randbedingungen bezügliche Teile zerlegen. Da die ursprüngliche Differentialgleichung (1) linear und homogen ist, kann man sie unter der Voraussetzung lösen, daß jeweils eine Randfunktion =:= O, die drei anderen == 0 sind, und dann die vier Lösungen superponieren. Wir wollen die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung, bei der A =:= o, B == c == D == 0 ist, mit FA (x,y, z)' ihre Unterfunktion mit fa(u, v, z) bezeichnen; entsprechend die übrigen Teillösungen. Ferner setzen wir zur Vereinfachung der Schreibweise von jetzt an I= 11:.

§ 27. Erste Methode der Rücktransformation

Bei der Rücktransformation der vier FunktionenJ:,J",fc,f:t werden wir verschiedene Methoden vorführen. Wir beginnen mit fc und gehen mit Absicht möglichst primitiv vor, indem wir zunächst einmal den expliziten Ausdruck (10)

für bl (v, z)' in dem jetzt a == b == d == 0 zu setzen ist, in (7) einführen:

(1) sin(n-r)Vu2 -v

fc(u, v, z) = c(u, v) 0 w. smn u -v

---- z = sin(n-r)Vu2 -v J ·--- 2 L v'--

- ~ 0 ~ sinCy'u2 -v- nc( v+n2,v)sinnCdC u2 -v stnn u2 -v n

0 n~l

Wir behandeln die beiden letzten Summanden weiter, indem wir Summen und Integrale vertauschen und die Integrale ausrechnen:

sin (n- t)Vu2 - V

Vu 2 -V sinnVu2 - V

= X! "'nc(v'v+n2,v) (sin(~-n)t _ sin(V~+n)t) L vu•-v-n ~ +n n~l

sintVu2-V

Vu2-vsinn~


Formt man die Produkte aus den sin vor und hinter den Summenzeichen nach dem Schema 2 sin a sin ß = cos ( a - ß) - cos ( a + ß) um, so erhält man für sie:

cos [(:n -- 2r) V;;=-v+nd- cos[:ny;;=-v- nr]

Vu"-v-n

cos[(:n- 2r)V~-- nr]- cos [:nv;;=-v+nd

Vu"-v+n

cos[- (:n- 2r)V~-nr]-cos[:nv~+nr] Vu"-v--n

v'-2-- COS (:nVu 2 - V +nr)- COS (:nVu 2 - V- nr) = 2 U -- V --------;c'-u2- v- n2

Vu"~v = - 4 sin n A

1 u 2 - v sin n 7 • u"- v- n" -v '-

Damit ergibt sich:

(2) r _ ) sin(:n-r)V;;=-v ~Loo nc(V~v) Jc(u,v,z-)-c(u,v . . ! + 2 2 sinnz-

sm :n V u"- v :n u - v - n n=l

Der zweite Summand hat ganz automatisch die Gestalt einer Partialbruchentwicklung, wie sie am Ende des vorigen Paragraphen in Aussicht gestellt wurde, angenommen. Wenn es gelänge, dem ersten Summanden eine ebensolche Form zu geben, wären wir am Ziel. Dies ist nun in der Tat möglich auf Grund der bekannten Entwicklung

(3)

00

sina(:n-r) 2 """ n . sin :n a = --;; L... a 2 - n 2 sm nz

n=l

( a #ganze Zahl),

die hinsichtlich der Variablen z- eine Fourierreihe, hinsichtlich a eine Partialbruchreihe darstellt und aus jeder dieser beiden Bestimmungen heraus abgeleitet werden kann. Mit ihr ergibt sich:

(4) ~'(u v ) = -~ ~ c(u,v)--c(v~v) Je, ,z- :nL_. u"-(v+n") nsinnz-.

n=l


Jedes einzelne Glied ist eine Unterfunktion vom Typus der in (12) § 10 vorkommenden; ähnlich wie dort findet man:

-- 00

(5) c(u,v)-c(\lv+n",v) •-o f [e-n'u x(x+~,y)-x(x-$,y)] i: C(t: )Jt:. u"- (v+n"} 2 q,y q

0

Vertauscht man die Summe mit der ~2-Transformation und schließlich noch Summe und Integral, so tritt die Thetafunktion

auf, und man erhält:

(6)

00[ ( t )') ] 1 f an. ~· ---;:;o ( e ) ( e ) Fc(x,y, z') =- X x+ ,,y ~X X- ,,y i: C(e,y) Je

:r o or

(7) y 0 f} (_L ' _!!__) 00

= _ _!_f • 2n n• d f x(x-~,1J)-x(x+~,1J) C(e - )Jt:. n or 'YJ 2 ,y 'YJ \0

0 0

Man kann nun verifizieren, daß dieser unter mannigfachen Voraussetzungen abgeleitete Ausdruck für stetiges C(x,y) allen gestellten Bedingungen genügt. Daß Fe der Differentialgleichung genügt, zeigt eine längere Rechnung, die sich

darauf stützen kann, daß 0~" die Gleichung ~; - :; = 0 und x die Gleichung

:..:: - :: = 0 befriedigt. Daß Fe für x-+ 0, y -+ 0 und :r -+ n gegen 0 strebt,

sieht man unmittelbar. Etwas schwieriger ist der Nachweis, daß Fc(x,y,:r)-+C(x,y) für :r-+ 0. Aus der Theorie der linearen Wärmeleitung ist bekannt (vgl. LT S. 356), daß

y ()f} (-t '__!!_) - _!_ J 3 2 n n• H('Y}) d'Yj-----+ H(O) für {-+ 0 ,

n or 0

wo H(O) der Grenzwert von H('Y}) für 'YJ-+ 0 ist. Weiter ist bekannt (vgl. LT S. 358-360), daß

00

J x(x- ~,1J);x(x+~,1J) C(e,y- 'YJ) Je-----+ C(x,y) für 'YJ-+ o , 0

wenn C(x,y) an der Stelle (x,y) stetig ist. Damit ist der verlangte Nachweis erbracht.

9 Voelker, Doetsch


Aus Fe erhält man sofort FD, indem man 1 durchn-tersetzt und beachtet,

daß &2 ( ~ - u, t) = &0 (u, t) ist 1):

00 I [ a D (___!__ _!!__) (8) F ( ) = - _]._ o 2" ' "' D x,y,;: "

:n u i' 0

(9)

Wir wollen nun an dem Beispiel der Funktion fa zeigen, daß die für fc benutzte Methode nicht immer anwendbar ist. Setzen wir unter der Voraussetzung b == c == d == 0 den Ausdruck (10) § 26 in (7) § 26 ein, so erhalten wir:

z

0

" sinrv~ f 1--

+, .! a(u,()sin(n-C)yu2 -vd( V u 2 - q.J sin :n v u 2 - v

z

z

sin(n-y)V~ f. ;-. ~ sm" v u-- v

V u 2 - v sin :n V u 2 - v 0

00 "

X : 2: (f a (V V + n2, n sin n C' d C') sinn' d c n~l 0

" siny Vu 2 -V f ----V . V sin(n- C) yu2 -v

u2 - v sm :n u2 - v z

00 " X! 2:(Ja(yv+n2,(')sinnC'dC')sinn(dC. n~l 0

Die beiden letzten Summanden sind genau so gebaut wie die entsprechenden in "

(1), nur tritt jetzt Ja(yv + n2, (')sinn(' d(' an die Stelle von nc(yv + n2, v), 0

1 ) Für den Spezialfall D == 1 wurde FD von CHURCHILL, S. 210 nach der Methode in § 28 berechnet.

l§ 27] Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen

sie ergeben also analog zu (2) die Summe

"

n=l

z " "

Wir spalten in jedem Glied den Zähler auf in J + J und setzen in J: 0 z z

sin nC' sin ni: = sin n(n- C'l sin n(n- i:l

Dann ergibt sich insgesamt:

z

sin(:n-{)V~ j~ . ~ (11) fa(u,v,{)= .r-.--:-- .ro- a(u,C)sinCvu2 -vdC

-v u2 - v sin :n -v u2 - v 0

n=l

" sin-rvu•-v J . ---~. ~ a(u, C) sm(n- Cl yu2 - vdt;

sm:n u•-v z

n=l

131

Die Summen haben bereits die Gestalt von Partialbruchentwicklungen. Um auch den übrigen Gliedern diese Gestalt zu geben, benutzen wir die Formeln:

00

(12) sina(:n--r) :n--r 2 L 1 ---'----"'- = -- - - --- sinn,.

a sin :n a :n a :n; a• - n• • n=l

(a ;f= ganze Zahl) 00

(13) __ si:-n_a_,_{_ { 2 "" 1 . ) a sin :n a = --;-;;- - --;;-L. a•- n• sm n (n - t

n=l


und erhalten:

z

(14) Ja(u, v, {) = :n;~ I a(u, C) sin C ~dC 0

n=l

+- v:r fa(u,C)sin(n- C)yu2 -vdC :n; u•-v

z

00

_ ~""' [a(u,~) sin{n-~)W"=V-alv~~)sinn(n-~)]d~ :n; ~ u•- (v+n") sin n(n-1) .

n=l

Dieser Ausdruck läßt zwar unmittelbar erkennen, daß fa auch an den kritischen

Stellen u = + ~' n = 0, 1, ... , analytisch ist, kann aber nicht gliedweise transformiert werden. Denn z. B. die in dem ersten Glied auftretende Funktion

( '") sin~v~ au,", .~ vu•-v

ist keine Unterfunktion in der Variablen u, weil sie die Nullstellen u

= J ~: v2 +v,_, v (v = O, 1, ... ) hat und daher identisch verschwinden müßte,

wenn sie eine Unterfunktion wäre (siehe LT S. 38, HB S. 76). Sie ist auch keine Unterfunktion in v, da wegen

sin~W"=V vv-u•

sinh~~ vv-u•

die Funktion für v ~ + oo nicht gegen 0 strebt (siehe Satz 5). Die gleiche Schwierigkeit tritt bei_h(u, v, {)auf. Wir müssen uns daher nach

einer anderen Methode umsehen.

§ 28. Zweite Methode der Rücktransformation

Wenn die Entwicklung in eine Partialbruchreihe hinsichtlich beider Variablen u, v nicht möglich ist oder nicht zum Ziele führt, so können wir versuchen, wenigstens hinsichtlich einer Variablen, z. B. u, eine solche Entwick-

]§ 28) Partielle Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen 133

lung herzustellen. Die exakte Grundlage für die Partialbruchentwicklung einer Unterfunktion

00

f(u) = ""__S!_ L u-un n=l

bzw. für die entsprechende Exponentialentwicklung der Oberfunktion

00

F(x) = L cn eunx n=l

bildet die komplexe Umkehrformel der .ß-Transformation:

a+ioo

F(x) = 2 ~ i J e•u f(u) du . a-ico

Läßt sich die in einer rechten Halbebene holamorphe Funktionf(u) in die linke Halbebene fortsetzen und ist sie dort bis auf Pole analytisch, also meromorph, so läßt sich der Integrationsweg in der Umkehrformel unter geeigneten Voraussetzungen über das Verhalten vonf(u) im Unendlichen nach links über die Pole u1 , u2 , ... hinweg verschieben, wobei von F(x) die Residuen von e'uf(u) in

u1 , u2 , ... abgespalten werden. Hat f(u) die Gestalt j: ~:~ und besitzt};(u) in un

eine einfache Nullstelle, also f(u) für h. (un) =/:: 0 einen einfachen Pol, so ist das

Residuum von e•u f(u) in un gleich j~ ~::~ eunx. Strebt bei der Verschiebung der

Integrationsgeraden nach links das Integral gegen 0, so erhält man für F(x) die konvergente Reihe (vergl. HB S. 275)

(1)

Schon bei speziellen Funktionen ist es meist schwierig, diesen Prozeß zu legitimieren. In unserem Fall kommt noch dazu, daß in der zu transformierenden Unterfunktion allgemein gelassene Funktionen wie z. B. a(u, :r:) vorkommen, über die man gewisse einschneidende Voraussetzungen zugrunde legen müßte. Wir machen daher wieder von unserem Fortsetzungsprinzip Gebrauch, indem wir uns zunächst stillschweigend auf solche Funktionen beschränken, bei denen alle Schritte legitim sind, und dann die erhaltene Lösung daraufhin prüfen, unter welchen allgemeinsten Voraussetzungen sie tatsächlich allen Anforderungen genügt.

Die Umkehrformel (1) wenden wir aus Gründen, die sogleich deutlich werden, zunächst auf die Teillösung,h(u, v, :r:) an. Diese lautet1)

') Daß[b (u, v, z) in der ganzen u-Ebene meromorph ist, sieht man unmittelbar. Diedurchdie Wurzeln verursachten Mehrdeutigkeiten heben sich auf.


z

sin(n-zlv~ J . . ~ (2) h,(u,v,z) = -.~. .~ [ub(v,C)+bt!v,C)]smCvu2 -vdC

v u2 - v sm n v u2 - v 0

z

wozu die Bedingungsgleichung tritt (siehe (9) § 26):

" (3) J b1 (v, C) sin nC dC =- vv + n2 J b(v, C) sinn C dC (n = 1, 2, ... ) .

0 0

Die Berechnung der Residuen kann man abkürzen, indem man nicht von vornherein die Fourierreihe für b1 (v, Cl in (2) einsetzt, sondern erst das Residuum für das durch (2) gegebene h ausrechnet und dann (3) in das Resultat einführt. -Im folgenden ist v als fest zu betrachten, während u die Variable ist, auf die sich

die Transformation bezieht. - Der Nenner .h (u) = sin :rr V u2 - v hat Null

stellen in u = ± ~- Die in der rechten Halbebene liegenden Nullstellen werden durch die Bedingungsgleichung (3) neutralisiert (so war diese ja zustande

gekommen). Für die Residuen kommen also nur die Nullstellenun =-V v+n2

in Betracht. Wegen

ist

J~ (u) = n u cos :rr Vu2 - v , also j; (unl = - .2_ ( -1 )" V v + n2 Vu 2 -v n

z

" " sinnz --J [- vv+n2b(v,Cl+b1 (v,C)]sinn(:rr-C)dC

- n--;;: (- l l n V V+ n 2

z

" sin n z J r . d sin n { J r ( r . r d,. =-~- o(v,ClsmnC c- I 01 v,slsmns (,

•• nvv+n" 0 0

Eliminiert man b1 vermittels (3l, so reduziert sich der Ausdruck auf

! sin nz J b(v, Cl sinn C dC . 0


Die Umkehrformel (1) liefert somit:

(4)

Rückschauend können wir jetzt feststellen, daß es für f" auch eine Partialbruchentwicklung hinsichtlich des Variablenpaars u, v gibt, die eine unmittelbare Rücktransformation in die Funktion F8 (x,y,t') erlauben würde. Unter-

werfen wir nämlich (4) der Transformation=-~, so ergibt sich:

00 "'

(5) .r 22: sinn-t f . Jb(u,v,t') =- ~ b(v,C)smnCdC. n u+ v+n2

n~l 0

Wie man diese Entwicklung von (2) ausgehend erhalten kann, werden wir in § 29 zeigen.

Wegen e-Vv+n'x o-o e-n'y 1J!(x,y) vy

kann man an ( 4) die noch übrigbleibende Rücktransformation o-o leicht ausführen vy

und erhält:

00 "' (6) F8 (x,y, t') = ! 2: sinnt' f {[e-n'u 1J!(x,y)] ~ B(y, C)} sinn C dC . n~l 0

Daß diese Funktion für y -+ O, t -+ 0 und t -+ :rr; gegen 0 strebt, ist offensichtlich. Für den Grenzübergang x-+ 0 schreiben wir sie in der Form:

00

F8 (x,y, t') = ! 2: e-n'y sinnt J { 1p(x,y) ~ [en'y B(y, C)]} sin nC dC . n~l 0

Aus der Theorie der linearen Wärmeleitung ist bekannt (siehe L T S. 356), daß für stetiges B (y, C) gilt:

1J!(x,y) ~ [en'y B(y, m------+ en'y B(y, C) für X-+ 0 .

Daher ist 00 "'

F8 (x,y, t')------+ ! 2: sinnt J B(y, C) sin nC dC = B(y, t') für x-+ 0 , n~l 0

wenn B(y, t') in eine Fourierreihe bezüglich t entwickelbar ist. Gegenüber der Teillösung f,. versagt die für};, verwendete zweite Methode

im allgemeinen genau so wie die erste. Es ist nämlich


z

sin(n-r)vu"-v I . A ;-2--(7)/a(u,v,:r_)= V . V [a(u,C)-b1 (v,C)]smCvu --vdC

u2 - v sm n u2 - v 0

n

sinrvu·-v I . . ~---V . V. [a(u,C)-b1 (v,C)]sm(n-C)v u2 -vdC,

u 2 - v sm n u· - v z

wobei die Bedingung gilt:

(8) Jb1 (v,C)sinnCdC= Ja(yv+n2 ,C)sinnCdC 0 0

Bei h, das die von v abhängige Funktion b(v, C) enthielt, haben wir die Residuenrechnung hinsichtlich u angewandt, weil wir sonst das funktionentheoretische Verhalten von b(v, C) hätten kennen müssen. Bei Ja, das die Funktion

. a(u, C) enthält, werden wir also die Residuenrechnung hinsichtlich v anwenden.

Der Nennersinn ~verschwindet für ~ = n, d. h. für v = u2 - n2•

In jedem Paar von rechten u-, v-Halbebenen gibt es, welchen Wert auch n haben mag, Punkte u, v, die diese Gleichung befriedigen. Damit j~ (u, v, :r_) in einem Paar rechter Halbebenen analytisch ist, muß der Zähler für sämtliche Nullstellen des Nenners verschwinden, was durch die Gleichung (8) bewirkt wird. Es bleiben daher gar keine singulären Stellen übrig, an denen man die Residuen hilden könnte.

Hinsichtlich der Variabeln v läßt sich also die Residuenrechnung nicht anwenden, hinsichtlich u dagegen nur, wenn a (u, C) eine spezielle, explizit gegebene Funktion ist, die meromorph ist und deren Pole man kennt. Wir wollen, um zu zeigen, daß die Methode in solchen speziellen Fällen tatsächlich funktioniert, ein Beispiel wirklich durchrechnen. Es sei

A(x, :r_) ~ 1 , also I

a(u,:r_) ~- · u

Hier kann man zunächst die Integrale über a(u, C) in (7) und (8) ausrechnen und erhält:

(9) Sin{VU2 - v+sin (n-{) Vu2 - V-sinn VU 2 -V

!a~~cl= v u(u2 -v)sinn u2 -v

z

sin(n-r)vu"-v I b1 ( v, C) sin C V u2 - v d C V u•- v sin V u•- v 0

z


mit

" (10) (n = 1, 2, ... ) .

Was die Pole von fa als Funktion von u angeht, so bedingt der Nenner u2 - v des ersten Summanden keinen Pol, weil der Zähler, wenn man für die sin ihre

Potenzreihen setzt, erst mit der Potenz (V u2 - v ) 2 beginnt. Wir haben also nur

die nach links laufenden Pole u = 0 und u. = - V v + n2 (n = 1, 2, ... ) zu

berücksichtigen, weil die nach rechts laufenden Nullstellen + V v + n2 des Nenners durch die Bedingung (10) neutralisiert sind. Das Residuum von fa in u = 0 ist

das in un ist

sinh i: Vv + sinh (:n- i:) y;;- sinh n y;; -vsinh:nvv

sinn{+ sinn(:n-{} sinn(:n-1:) f

-vv+n" n• ~ ( -1)"vv+n2 n

h1 (v, (} sin nC dC n~(-1)"~

n 0

sinn{ f . -n • 1 - h1 (v, C) smn (n- C) dC

n-n- ( -1)"v v+n' z

1t

_s__,in=n=i:== ( ( ~ }" - 1 - f h1 (v, Cl sinn Cd c) nv'v+n" n v v+n"

0

oder auf Grund von (10) gleich

. { 0 für n gerade 2 (-1}"-1 n n (v+n") sm nz = l 4 sin (2v+ 1}z-

---;; (2v+l} (v+(2v+l) 2 ) für n = 2 V+ 1 (V =o O, 1, ... )

Die Umkehrformel (1) liefert also für die Rücktransformation ~-~ :

F x v ) =_!__ sinh1:v;; A( ' ,{ V . h .! vsm nvv

sinh (:n:- i:l y;; vsinh:n:vv

CO

-~""' sin(2v+l){ e-xv'v+(2v+l)' n ~ (2v+1) (v+(2v+1} 2)

v~o

Diese Funktion ist nun noch der Rücktransformation •-o zu unterwerfen. V y

Nach TB. KORR. 5. 51 ist1}

1 ) Hier ist ein Druckfehler zu verbessern, das Minuszeichen in der Spalte F(t) fällt weg.

a

sinh a V:;:- J ( ~ ) d t ---=~ •-o {}0 -' t q ssinh Vs 2

(-1<a<+1),

0

also nach dem Ähnlichkeitssatz: a

sinh a :n V:;:- 1 J ( ~ t ) ----'-- •-o - {} - - J~ n 2 s sinh n V s n• 0 2 ' n• '

0

folglich (an = z-):

z

sinhrvv 1 J ( c .Y) ----"--= •-o- {} - - dC (-n< i:< +n) v sinh n V v n ° 2 n ' n•

0

Z CO

= ~ J(1+22>-1)ke-k'Ycoske)d( 0 k=l

CO

Z' 2 2: ( -1)k k' . =-. +- ---e- Y smk-n :n; k t

k=l

und (z- durch n - z- ersetzt): - CO

sinh(:n-y)Vv n-y 2 L 1 -k' . k --'--------"'--==--- •-o -- - - - e Y sm z-

v sinh n Vv n n k

Also ist zunächst:

V

sinhy ,/v vsinh n\/v

k=l

sinh (:n- rl vv v sinh "'Vv

(O<z-<2n).

CO CO

Z' 2L(-1)k k'. k n-y 2L1 k'. k •-o 1 - - - - --- e- Y sm z- - -- + - - e- Y sm i': n n k n n k

CO

= _i_ ~--1- e-(2•+l)'y sin (2v+ 1) z- (0< t:< n) . n L.2v+1

V=Ü

Ferner ist nach TB. KORR. 4. 6:

1 .r -e-xvv V

also nach dem Dämpfungssatz:

CO

X erfc • 1- ,

2vy

_i_ ~ sin(2H-1){ e-xvv+(2•+l)'-n .L, (2v+1) (v+(2v+l) 2 )

V=O

00

•-o ~ "--1- e-<2 v+l)'y erfc .~- sin (2 v + 1) {

n L.. 2v+l 2vy V=Ü

X X Wegen 1 - erfc • ;- = erf . 1- ergibt sich schließlich für die spezielle Rand-

2vy 2vy funktion 1 ) A ~ 1:

00

F 4 f X I l ('>v+l)' . 2 (11) (x y 7) =-er ----= -- e- - Y sm ( v + 1) 7 . A ' >L n 2Vy 2v+l L

v~o

Diese Lösung strebt für x -+ 0 gegen 0 wegen erf 0 = 0, für z- -+ 0 und { -+ n gegen 0 , und für y-+ 0 wegen erf = = 1 gegen (bekannte F ourierentwicklung)

00

(12) ~" sin(2v+I){ = 1 n L.. 2v+l

für 0< z-<n. v~o

§ 29. Dritte Methode der Rücktransformation

Es ist jetzt noch ein Problem übriggeblieben, nämlich die Teillösung FA(x,y, z-) für beliebiges A zu berechnen. Man kann die Unterfunktion .fa (u, v, z-), die durch (7) § 28 gegeben ist, in folgender Form schreiben (vgl. L T s. 357):

(1) fa(u, V,{)= Jy({, (;V-- u2) [a(u, ()- bl(v, (}] d~ 0

mit

(2)

sin ( n - r) V-=-.;: sin C V-=-.;: V -ssinn V -s

sin r y-=-.;: sin ( n - C) V-=-.;:_ V -ssinn V -s

für 0 ~ ( ~ {

für { ~ ( ~ n.

Unsere dritte und für Integralausdrücke der Form (1) wirksamste Methode besteht nun darin, die «Greensche Funktion» y(z-, (; v- u2) unmittelbar in eine Partialbruchreihe nach dem Variablenpaar u, v z-u entwickeln. Es gilt nämlich:

1 ) Diese spezielle Aufgabe ist mit der oben vorgeführten Methode gelöst in jAEGER, S. 692-693. 00

x 2Jsinxu Doch steht im Endresultat an Stelle von erf • 1- der Ausdruck - -- e-yu' du .

2 ·vy n u u


00

( r s) =~""' sinn:rsinnC (3) Y t> "' :rr, ~ · s+n2

n~l

dies ist bezüglich s eine Partialbruchreihe, bezüglich :r und C eine doppelte F ourierreihe, die man dadurch erhält, daß man entweder die Residuen von y in den Polen s = -n2 oder die Fourierkoeffizienten von y hinsichtlich des Orthogonalsystems sin n:r sinn C berechnet. Mit (3) ergibt sich:

00

fa (u, v, :r) = ~"" sin .n: • f [a(u, CJ - h1 (v, C)] sin nC dC :n ~ v-u n n~l 0

oder auf Grund der Bedingungsgleichung (8) § 28:

oo n

(4) ~"( )- ~""· Ja(u,C)-a(v'~,C) Ja u,v,:r -- :n ~smn:r u•-(v+n•) sin nC dC .

n~l 0

In dieser Form läßt sichfa sofort zurücktransformieren. Aus Formel (9) § 10

ergibt sich nach dem Dämpfungssatz:

00

_ a(u,C)-a(~,C) •-o -n'ufx(x-~,y)-x(x+~,y) A(l: r)J~ u2 -(v+n2 ) e 2 ~," .; '

0

also oo oo n

F 2"' , . Jx(x-~,y)-x(x+~,y) d JA . rJ (5) A(x,y,:rJ=-;-~e-nusmn:r 2 ; (;,C)smn,. C. n~l 0 0

Damit ist die Teillösung FA allgemein bestimmt. Für x-+ O, :r-+ 0 und :r -+ n strebt FA gegen 0, für y -+ 0 strebt bekanntlich (L T S. 360)

00

J x(x-~,y);x(x+~,y) f/J(;)d;

0

gegen f/J(x), wenn f/J(x) stetig ist, also FA für stetiges A(x, :r) gegen

00 11.

! L sin n:r J A(x, C) sin nC dC = A(x, :r) , n~l 0

wenn A(x, :r) in eine Fourierreihe entwickelbar ist. Die soeben entwickelte Methode läßt sich offenbar auch bei F8 (x,y, :r)

anwenden, und damit kommen wir auf das bei der Darstellung (5) § 28 für h(u, v, :r) gegebene Versprechen zurück, diese Partialbruchentwicklung bezüglich des Variablenpaares u, v direkt abzuleiten. Es ist nämlich mit der Definition (2) nach (2) § 28:


" ft,(u, v, r) = - f y({, C; V- u2) [ub(v, C) + bl (v, C)] dC

0

00 "

= _ _!_" sin.n_: • f [~b(v, C) + b1 (v, C)] sin nC dC :n ~ v-u n

n=l 0

oder auf Grund von Bedingungsgleichung (3) § 28:

00 "

j~(u, v, {) = ! L sinn{ f :.--::_Yv~ b(v, C) sinnC dC n=l 0

00 "

(6) =_!_"sinn{ f ~ b(v, C) sin nC dC , :n ~ u+ v+n2

n=l 0

womit wir die Partialbruchentwicklung (5) § 28 auf direktem Wege gewonnen haben. Aus ihr erhält man wegen

(7) I u X .!--, •

---=== o-o e- x-y v+n o-o e-n y 1JI(x,y) u+v'v+n" v y

den schon durch (6) § 28 bekannten Ausdruck für Fn(x,y, {) Damit ist das Wärmeleitungsproblem für eine halbstreifenförmige Platte

unter den allgemeinsten Randbedingungen vollständig gelöst. Wie man unmittelbar sieht, lassen sich die angegebenen Methoden auch bei anderen Problemtypen verwenden. So kann z. B. die Wellengleichung in zwei räumlichen Dirnen-sionen

a• u a• u a• u --+--=--ox• oy• Ot 2

unter Verwendung desselben Formalismus integriert werden, es tritt nur überall v 2 an die Stelle von v.

Wir wollen noch bemerken, daß man auch für das obige Wärmeleitungsproblem singuläre Lösungen nach der in L T S. 363 geschilderten Methode konstruieren kann, indem man nämlich in den Ausdrücken für die Unterfunktionen der Teillösungen die Funktionen a, b, c, d so wählt, daß sie zwar keine Unterfunktionen, jedoch die Funktionen fa,ft,,fc,J~ solche sind. Setzt man z. B. in (4) § 27: c(u, v) == u, so wird

00

2 """ I fc(u, v, {) = ---;: / +v' + • n sinn{ , ~u v n

also nach (7): 00

(8} 2 L . . 1 a ( r y)' F,(x,y,{)=--1JI(x,y) ne-nYsmn{=-1JI(x,y)~f1a -2-,-. · :r6 :r6 Ut :r6 :7l

n=l


Diese Funktion strebt für x -+ O, z -+ 0 und z -+ n offenkundig, für y ->- 0 nach L T S. 354 gegen 0, wobei die Grenzübergänge eindimensional zu verstehen sind. - Ein anderes Beispiel erhält man aus (4) für a(u, j') ~ u:

also

00 " j~(u,v,r) c= -~"" sinnr Jsinn(d(

n L u+vv+n2

n~l 0

00

4 """' I = - ---;; ~ u +-v-;=v=+=.=(2=v=+=I=;:)::;;:-2

l'=Ü

00

sin(2v+IJi" 2v+1

f4(x,y,j') ~= - i_ 1p(x,y) ""-2 I 1 e-(Zr+l?y sin (2 v+ l) z . n L... v+

J•=Ü

Auch diese Funktion hat überall die Randwerte 0 (vgl. (12) § 28). Die gleiche singuläre Lösung ergibt sich aus j~ (u, v, i') für b ( v, z) ="' --1 .

143

IV. Abschnitt

FUNKTIONALRELATIONEN UND REIHENENTWICKLUNGEN

7. Kapitel

Die Obertragung von Funktionalrelationen und Reihenentwicklungen

§ 30. Funktionalrelationen

Die Integration von Differentialgleichungen ist nicht das einzige Anwendungsgebiet der f!2- Transformation. Wie mit der f!-Transformation kann man auch mit ihr Integralgleichungen vom F altungstyp lösen, worauf wir hier nicht näher eingehen wollen, und viele versteckte Eigenschaften von Funktionen aufdecken, indem man bekannte Eigenschaften der meist einfacheren Bildfunktionen auf die komplizierteren Originalfunktionen überträgt. Dies bietet so unerschöpfliche Möglichkeiten, daß es sich hier nur darum handeln kann, einige durchschlagende Beispiele anzuführen, die den Leser dazu anregen mögen, im Bedarfsfall die Methode auch auf andere Fälle anzuwenden.

Ein besonders dankbares Feld stellen die Resseifunktionen dar, die selbst höhere Transzendente sind, aber sehr einfache Transformierte besitzen, besonders wenn man als Argument eine Wurzel einführt. So ist nach TB. KORR. 4. 7 4:

V

X U 1 Y O-e uV+l e---;; O-e

Hieraus folgt z. B.

1

( 1) - u•(uv+l) (9lv > - 1) · u•+l v+-;;-

~ ~ 1 1 ]p(x,y} * * }. (x,y} o~• --- •-o } 0 (x,y) * * },_.+• (x,y) uv+1 ul'+•(uv+1)

oder explizit:

!!...

(2) [(;) 2 ] 1,(2y xy)] ** [{:) 2 ],.(2 yxy)]

144 Funktionalrelationen und Reihenentwicklungen

Das ist ein neues Additionstheorem für die Desseifunktion ]. hinsichtlich des Parameters v .

Einen anderen Typus von Relationen erhält man, indem man dadurch Funktionen von zwei Variablen x,y herstellt, daß man eine Besselfunktion von x mit einer solchen von y multipliziert. So ist z. B.

!'.__ !'.__ ' c (3) (~) 2 ].(2yxe) · (~) 2 j.(2yye) a-• -::~ :~:: (9b > -1),

also

00 00

( )!'__JJ· (2~)]. (2v,Yl) J?- 1 J -(!..+!..)c -r•-lJr XY 2 ~ <, o-• (u V} •+ 1 e U V <, <,

0 0

1 F(v)

(uv)•+l (~++)"

I ~ x• für y > x

l~y· füry~x

F(v) uv(u+v)•

Damit erhält man auf einfachste Weise die bekannte Relation 1):

füry~x

(4)

für y~ x

oder

(5)

00

I j.(xrJ].(n:) d t t

0

= f 21" (yx) • füry~x

l2lv (Yx) • für y~ x

Aus der Korrespondenz

(6)

1 ) Beweis auf dem obigen Wege bei VAN DER PoL und NIESSEN, S. 372.

(9lv > 0)

(9lv > 0) .

[§ 30] Die Übertragung von Funktionalrelationen und Reihenentwicklungen 145

leitet man auf Grund von x F(x) o-• -- ~-~ die andere ab:

(7) • (V ") V 2j(2 V--;.) d r2r-;; r?(v+1)u-C _i_

X • X Xe, o-• - - C, -- = c, - - e V du u•+1 uV-+3 U

Aus (6) und (7) folgt:

V

x·x 2 J.(2VxC) ·y 2 },,(2VyC) o~• C" (v+u1}+~-Z: v•\l e-G++)c

und entsprechend

1 -(_!:_+_!:_)c e v u , u•·+l

woraus sich durch Subtraktion ergibt:

V

(x- y) (xy) 2 }. (2 V xC) }. (2VyC)

1 Integriert man diese Korrespondenz über das Intervall 0 ~ C ~ 4, so erhält man:

1 4

(x --y) (xy) i _1 J. (2 V xC) lv (2V yC) dC o~• -,-----'--~-:--1 -c-e -~ (~ + +) J (4uv)•+l 0

•"!-1 __ 1_ __1_ - __ 1_

) [(1) 2 e 4u (1) 2 e 4v (1) 2 e 4u (1) =21 4 e+ 2 • 4 ~- 4 --;;;+1. 4

•+1 1

~ --

e 4v

} vv+.2

V+ 1 V V V+ 1

•~o ~ {X~ },,+1 (V;) ·y 2 Jv (VY) -X 2 Jv (V;) ·y ~ }v+1 (VY)} >

I wobei wir zuletzt die Korrespondenz (6) für C = 4 benutzt haben. Setzt man

10 Voelker, Doetsch


so ergibt sich die bekannte Relation1):

1

(8) (a2 - b2) r(].(a:r)].(b:r) d:r = a}.+da)j.(b)- bj.(a)j.(b) (%· > -1) . 0

Aus ihr folgt als Spezialfall für ].(a) = ].(b) = 0, a =/= b:

(9) J v{ ].(a:r) · y'{ ].(b:r) d:r = 0 , 0

d. h. sind a und b zwei verschiedene Nullstellen von ].(:r), so sind die Funk

tionen v/t ].(a:r) und v/t ].(b:r) im Intervall (0, 1) orthogonal.

§ 31. Reihenentwicklungen

Reihen, die nach komplizierteren Funktionen fortschreiten, sind, soweit sie sich nicht aus allgemeineren Theorien (Entwicklung nach Orthogenalfunktionen, Eigenfunktionen usw.) herleiten lassen, meist schwierig zu summieren. Haben die Reihenglieder bei Anwendung einer Funktionaltransformation einfache Bildfunktionen, z. B. Potenzen, so läßt sich die Bildreihe oft leicht summieren, wodurch man in der zugehörigen Originalfunktion auch die Summe der ursprünglichen Reihe gefunden hat. Die einzige Schwierigkeit ist hierbei nur der Nachweis für die Vertauschbarkeit von Summe und Transformation.

Ein typisches Beispiel für die Anwendung der 2 2- Transformation in diesem Sinne, nämlich die Summation etner Entwicklung nach Laguerreschen Polynomen, ist in L T S. 183 durchgeführt. Ein anderes Beispiel, bei dem ebenfalls die Laguerreschen Polynome

n

(1) L (t) = ..:.:.__ d:~ (tn e- 1) = ""' ( -1)" (n)··._!!'_ n n! dtn L... V V!

•=0

vorkommen, ist das folgende: Aus (siehe TB. KORR. 1. 58)

(2) l(s-l)n Ln (t) o-•-; -s-

folgt: 00 00

(3) ___ I lo (1- uv ) - uv g (u+I) (v+l)

1 1 1 = --log(u+v+ 1) +-log (u+ 1) +-log(v+1) uv uv uv

1 ). Ableitung auf dem obigen Wege bei VAN DER PoL und NIESSEN, S. 375.

[§ 31] Die Übertragung von Funktionalrelationen und Reihenentwicklungen 147

Zu dieser Funktion ist nur noch die Oberfunktion zu bestimmen. Wir führen zuerst mit Hilfe der Korrespondenz (TB. KORR. 3. 25)

log(u+a) --'='-'----.:_ •-o log a - Ei (- ax)

u

die Rücktransformation ~-~ aus:

l l l --log(u + v + 1) +-log (u + 1) + -log(v + 1) uv uv . uv

U X l l l •-o --[log (v+l)- Ei(-(v+l)x)] --Ei(-x) +-log(v+1)

V V V

= ~ Ei(-x(v+l))- ~ Ei(-x).

Nach TB. KORR. 7. 6 ist:

1 1 o -Ei( -x(v+ 1)) •-o ) V vy \Ei(-x)-Ei(-y)

für y ~ x

für y > x.

Bei der Rücktransformation •-o entsteht also aus dem obigen Ausdruck: V y

. I o -Ez(-x) + ·l =

Ei(-x)- Ei(-y)

-Ei(-x) für y ~ x

-Ei(-y) für y > x.

Damit hat sich folgende Reihensummierung ergeben, die für die Entwicklung von Funktionen nach den Polynomen Ln (x), bzw. nach den im Intervall (0, oo)

X

orthogonalen Funktionen e 2 Ln (x) fundamental ist 1):

-x-y ~-~- _ { -Ei(-x) für y~ x e L_. n+l Ln(x)Ln(y) -l .

n~o -Ez(-y) für y > x. (4)

Die Relation (4) ergab sich deshalb so einfach, weil der Oberfunktion Ln (x) Ln (y) eine Potenz, der Bilinearreihe also eine Potenzreihe entspricht, die sich bei geeignet gewählten Koeffizienten leicht summieren läßt. Dasselbe ist

V

bei den Besselfunktionen in der Gestalt x 2 ]v (2y x) der Fall. Nach (3) § 30 ist

V -~+~ X 2 ]v(2 Vx) ·y 2 ]v(2 VY) o~• e u v (~v > -1) ,

(uv) v+ 1

1 ) Zuerst bewiesen von R. NEUMANN 1912, mit der obigen Methode abgeleitet von KosCHMIEDER, S. 653-655. Die Funktion e x; Y { _Ei ( _ x) für y.;;; x

-Ei(-y) füry>x

ist die Greensehe Funktion der Differentialgleichung, der die Laguerreschen Orthogonalfunktionen

e 2 Ln (x) genügen. Siehe CouRANT-HlLBERT: «Methoden der mathematischen Physik" I, 2. Aufl. 1931, s. 325.


also z. B.

00 ~ V

L:X 2 I~(2Vx) y 2 I~C2v'y) •=1

woraus folgt:

00 • •

-(_!_ + 2.) 00 -(2. + _!_) eUV'""} eUV 1

uv ~ (uv)• uv uv-1 ' v~1

(5) L x 2 ].(2Vx)Y 2 ].(2yy) = [j0(2Vx) ] 0(2Vy)] ** 10 (2V xy) •=1

Auf demselben Weg entsteht die Bilinearentwicklung1)

00 V V

(6) L (-l)•x 2 ].(2Vx) y 2 ].(2y'y) •=1

= Uo(2Vx) fo(2 VY)] ** fo(2 VxY)

1 ) Nur von wenigen Bilinearentwicklungen nach Besselfunktionen scheinen bisher die Summenwerte bekannt zu sein. Vgl. G. N. WATSON: «A Treatise on the Theory of Bessel Functions», 1922, s. 151, 522, 531.

149

LI TE RATURVE RZEI C HNIS

L. AMERIO: Sulla trasformata doppia diLaplace. AttiAccad. ltalia, Mem. Cl. Sei. fis. mat. natur. 12 (1941) S. 707-780.

D. L. BERNSTEIN: The double Laplace integral. Duke Math. Journ. 8 (1941) s. 460-496.

R. V. CHURCHILL: Modern operational. mathematics in engineering. New York and London 1944 (Section 72, S. 210-214).

A. ERDEL YI: 1. Untersuchungen über Produkte von Whittakerschen Funktionen. Monatshefte Math. Phys. 46 (1937) S. 132-156.

2. Beitrag zur Theorie der konfluenten hypergeometrischen Funktionen von mehreren Veränderlichen. Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien, math.-nat. Kl. Ila 146 (1937) S. 431-467.

S. F AEDO: Sulle trasformate multiple di Laplace. Atti Accad. ltalia, Rend. Cl. Sei. fis. mat. natur. (7) 2 (1941) S. 722-727.

P. HUMBERT: 1. Le calcul symbolique a deux variables. Comptes Rendus Acad. Sei. Paris 199 (1934) S. 657-660.

2. Le calcul symbolique a deux variables. Ann. Soc. sei. Bruxelles A 56 (1936) s. 26-43.

J. C. }AEGER: The solution ofboundary value problems by a double Laplace transformation. Bull. Amer. Meth. Soc. 46 (1940) S. 687-693.

L. KoscHMIEDER: Operationenrechnung in zwei Veränderlichen und bilineare Formel der Laguerreschen Polynome. Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien, math.-nat. Kl. Ila 145 (1936) S. 651-655.

M. PICONE: Nuovi metodi risolutivi per i problemi d'integrazione delle equazioni lineari a derivate parziali e nuova applicazione della trasformata multipla di Laplace nel caso delle equazioni a coeffieienti costanti. Atti Accad. Sei. Torino 75 (1940) S. 1-14.

B. VAN DER PoL and K. F. NIESSEN: On simultaneaus operational calculus. Phi!. Mag. 11 (1931) S. 368-376.

J. C. VIGNAUX: 1. Sobre Ia transformada de Abel-Laplace de dos variables. Anales Soc. Cient. Arg. 116 (1932) S. 76-78.

2. Un teorema sulle integrali doppi di Abel-Laplace. Rend. R. Accad. Naz. dei Lincei (6) 17 (1933) s. 1055-1059.

3. Sur l'extension du theoreme de Dirichlet aux integrales doubles convergentes. Bull. Soc. R. Sei. Liege 2 (1933) S. 109-112.

D. V OELKER: Die zweidimensionale Laplace-Transformation und ihre Anwendung zur Lösung von Systemen partieller Differentialgleichungen. Dissertation Freiburg i. B. 1939 (Druck H. Stürtz AG, Würzburg).

Il. TEIL

Tabellen von Korrespondenzen

von

D. Voelker

153

VORBEMERKUNGEN

Be:r_eichnungen

Komplexe Konstanten werden mit kleinen griechischen, reelle Konstanten mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet; m und n bedeuten ganze Zahlen ;;,., 0. Der Summationsbuchstabe heißt immer k.

. . . o F a• F o" F . . Dte paruellenAble!tungen h' oxoy, oy• usw. werden gelegenthch auch m1t

Fx, Fxy> Fy• usw. bezeichnet. Wenn g(v) und h(v) zwei eindimensionale Unterfunktionen sind, so wird in Teil A

d . d "d" . I U fi k. h(v) h d Ob f k · II te zu er zwe.1 tmenswna en nter un uon ( ) ge ören e er un twn genere

mit K (x, y) bezeichnet:

entsprechend

(siehe z. B. A 2. 71-74).

u+g v

h(v) K(x,y) o~• u+ g(v) '

h1(v) KI(x,y) o~• u+ gl(v) usw.

Wenn nicht ausdrücklich eine andere Definition angegeben ist (wie z. B. in A 2. 23), sind allgemeine Funktionen wie if>(x), F(x, y), K(x, y) immer gleich 0 zu setzen, wenn mindestens eines ihrer Argumente kleiner als 0 ist. So lautet z. B. die Oberfunktion F(x- a,y) in A 4. 98 in ausführlicher Schreibweise:

{ F(x- a,y) für x > a 0 für x < a.

Wie raumsparend diese Konvention ist, sieht man an komplizierteren Beispielen, wie etwa an der in A 4. 100 vorkommenden Funktion

Diese lautet explizit:

a

JF(x-~,y+~-a)d~ mita;;"O. 0

a

J F(x-~,y+~-a)d~= J F(x+rJ-a,y-1))d1) für x> a,y> a, u 0

X a

J F(x-~,y+~-a)d~ = J F(x+1)-a,y-1))dr) für x<a <y, 0 a-x

a Y

J F(x- ~,y+ ~- a) d~ = J F(x+ 1)- a,y- rl) dr7 für y < a < x, a-y 0

X y

J F(x- ~,y+ ~- a) d~ = J F(x+ 1J- a,y- 17)dYJ für l xx~:> -: a, a-x

0 für x+v<a.

154 Vorbemerkungen

Anordnung

Die Korrespondenzen von speziellen Funktionen sind nach den Unterfunktionen geordnet. Für die Anordnung der Korrespondenzen von allgemeinen Operationen waren ebenfalls die Unterfunktionen maßgebend mit Ausnahme des Abschnittes A 1. In diesem sind die Abbilder der fundamentalen Operationen im Oberbereich zusammengestellt, insbesondere diejenigen Korrespondenzen, die man beim Übergang vom Oberbereich in den Unterbereich braucht, wie z. B. die für die Behandlung von Differentialgleichungen wichtigen Abbilder der Ableitungen im Oberbereich. Aber auch in A 1 stehen wie in den späteren Abschnitten die Unterfunktionen links, die Oberfunktionen rechts.

Für die Einteilung war manchmal der Gesichtspunkt der leichten Nachschlagbarkeit maßgebend. So erklärt sich z. B. das selbständige Auftreten der Nummern A 3 und A 5 (Differenzenquotienten) oder der "Integralfunktionen" (B 6) neben den" Konfluenten hypergeometrischen Funktionen" (B 7).

Von zwei Unterfunktionen, in denen die Rollen von u und v vertauscht sind, wie z. B. f( v;, v) und f(u, v;), ist im allgemeinen nur eine in die Tabellen aufgenommen, weil man die Oberfunktion der einen leicht durch Vertauschung der Rollen von x und y in der Oberfunktion der anderen erhält.

Sonstige Bemerkungen

Die Korrespondenzen des Teiles A sind immer in folgendem Sinn zu verstehen: Wenn die eine Seite existiert und Unter- bzw. Oberfunktion ist, so existiert auch die andere Seite und ist die zugehörige Ober- bzw. Unterfunktion. Beispielsweise scheint

1 die Funktion --f(u, v) in A 4, 43 keine Unterfunktion zu sein, weil der Nenner u- v

u-v eine Holamorphie in einem Paar von rechten Halbebenen verhindert. Gemeint ist jedoch: Wenn eine Unterfunktion f(u,v) durch u- v «teilbar" ist, d. h. f(u, u) ""' ü, so existiert die Oberfunktion und hat die angegebene Form.

Bei den Korrespondenzen ist oft auf die Hereinnahme von Konstanten verzichtet, wenn sie sich durch einfache Anwendung der Ähnlichkeitssätze einführen lassen.

Die Funktionen-Liste am Schluß enthält nicht nur die Definition der Funktionen, die in den Tabellen vorkommen, sondern im Hinblick auf die weitere Ausgestaltung der Tabellen durch die Praxis auch einige andere häufig auftretende Funktionen. Ihre Bezeichnungen und Definitionen schließen sich nach Möglichkeit dem üblichen Brauch an.

A 155

1 Fundamentale Operationen im Oberbereich

Nr. f(u,v) F(x,y)

1 ;r

aun f(u,v) ( -x)n F(x,y)

2 am+n

aumavn f(u,v) ( -x)m ( -y)n F(x,y)

--II 0

3 uf(u, v) - F(O, v) ox F(x,y)

I a 4 v f(u, v) - F(u, 0) oy F(x,y)

--II II (J2

5 u2 f(u,v)- uF(O,v)- Fx(O,v) axz F(x,y)

I II ()2 6 uvf(u,v)- uF(u,O) -vF(O,v) + F(O,O) ox~y F(x,y)

7 I I (J2

v 2 f(u,v) - vF(u,O) - FY (u,O) oy F(x,y)

8 II II II (J3

u3 f(u,v)- u2 F(O,v)- uFx(O,v)- Fxx(O,v) ar F(x,y)

I

u2 vf(u,v)- u2 F(u,O) (J3 9 ox2oy F(x,y) II II

- uvF(O,v)- vFx(O,v) + uF(O,O) + Fx(O,O)

II

uv2 f(u,v) - v 2 F(O,v) (J3 10 axays F(x,y) I I

- uvF(u,O)- uFY (u,O) + vF(O,O) + Fy (0,0)

I I I (J3 11 v 3f(u,v)- v 2 F(u,O)- vFY (u,O)- FYY (u,O) oy F(x,y)

156 A

1 Korrespondenzen von allgemeinen Operationen

u4f(u,v} a4

12 II li li !I ax4 F(x,y) - u3 F(O,v}- u2Fx(O,v)- uFxx(O,v}- Fxxx(O,v}

--

T II !I

u3 vf(u,v}- u3 F(u,O}- u2vF(O,v}- uvFx(O,v} a4 13 u ax'l ay F(x,y}

- V Fxx (0, v} + u2 F(O, 0} + uF, (0, 0) + Fxx (0, 0)

I u I

u2v 2f(u,v)- u2vF(u,O)- uv2F(O,v)- u2Fy(u,O} a4 14

II axaa_y F(x,y} - v2 Fx(O,v) + uvF(O,O) + uFy(O,O) + vFx(O,O) + Fxy(O,O)

--II I I

uv3f(u,v)- ~13 F(O,v)- uv2 F(u,O)- uvFy(u,O} a' 15

I axay3 F(x,y} - uFyy(u,O) + v2 F(O,O} + vFy(O,O) + Fyy(O,O)

I I I I a4 16 v 4f(u, v) - v3 F(u,O) - v2 FY (u, 0)- v FYY (u,O) - FYYY (u,O) ay F(x,y}

n-1

17 unf(u,v)- .Lun+1 F,k(O,v} n:;?:-1 an

axn F(x,y) k=O

n-1

18 vnf( u,v) - L vn-k-l Fyk(u,O) an

n :;?:- 1 ayn F(x,y) k=O

n-1 I

um v" f(u, v) - um L vn-l-1 Fyt (u, 0) am+n 1=0 axmayn F(x,y)

19 m-1 m-1 n-1

II m,n :;?:- 1 -vn .Lum-k-lpxk(O,v) + L .Lum-k-1 vn-l-lp_.kyt(O,O) k=O k=O l=O

00 00 uz ..12 vz /l2 ~(;2)- ~Ca) 20 ~ J J e--4 --4 dldfl tP(x2 + y2)

j\2- !12 0 0

:

A 157


:r</2

21 -J rp'(ucosfJ + vsin1J)d1J <P(y x2 + y2) 0

:rt/2

22 J rp ( u cos 1J + v sin 1}) dfJ <P(vx• + .r•)

0 v'x• + y•

:rt/2

23 J rp(ucos 1J + v sin 1} + y) dD e-rvx'+Y' <P(yx2 + y•)

0 v'x• +y•

n/2

24 f <P(tg&)

(ucos& + vsin&) 2 dD <Pe)

0

:rt/2 <P(tg&) <P(:)

25 f dfJ u cos& + v sin&

0 v'x• + y• --

:rt/2

26 J rp1 ( u cos 1J + v sin 1J) (/)2 ( tg 1J) dD <Pl(v'x"+y") <P.,(.r)

0 v'x"+y" "x

--

27 -rp(u)- rp(v)

<P(x+ y) u-v

28 -urp(u)- vrp(v) (/)' (x+ y)

u-v

29 -u• rp(u) - v 2 rp (v)

u- V + <P(O) (/)" (x+ y)

un rp (u) - vn rp (v) - u-v

+ [un-2 + un-3v + ... + uvn-3 + vn-2] <P(O) 30 + [un-3 + un-4v + ... + uvn-4 + vn-3] <P'(O)

q>(n) (x + y)

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + [u+v]<P<n-3)(0) + q>(n-2)(0)

158


31 e"" ~(u,v)- je-u~ F(~,v) d~] a?O F(x+ a,y)

32

eau+bv ~(u,v)- je-u~ F(~,v) d~ F(x+a,y+h)

b I a b ] a,h? 0 - Je-v11 F(u,1])d1]+ JJe-u~-v11 F(~,1])d~d1]

0 0 0

a Lla,xF(x,y) 33 (e""- 1)f(u, v) - e"" Je-u?. F(A., v) dA.

0 =~ F(x + a,y)- F(x,y) --

( e"" - 1) { ebv- 1) j( u, v) Lla,x Llb,y F(x,y)

b a

- (e""- 1) ebv J e-"1' F(u,fh) dfh (ebv- 1) e"" Je-u?. F(A.,v) dA. =F(x + a,y+ h) 34

0 0 - F(x+ a,y) b a

+ eau+ bv J J e-uÄ-v!' F(A., /h) d). dfh - F(x,y+ h) + F(x,y) 0 0

35 (e-au- 1)"/(u,v) a?O Ll"_a,x F(x,y)

3ß (e-au- l )m ( e-bv- 1 )"j(u, V) a,h? 0 A:'a, x Ll"_b,y F(x,y)

--

00

37 ~ J X (u, A.)f(A., v) dA. F(x2,y) 0

--0000

38 ~ J Jx(u,A.)x(v,fh)f(A.,fh)dA.dfh F(x2,y2) 0 0

00

39 ~ J7p(u,A.)f(A.,v)dA. xF(x2,y) 0

A 159


0000

40 ~ J Jv;(u,).)v;(v,fl)f().,fl)d).dfl xy F(x2,y2 )

0 0

00 -

41 J J~ ]1(2v0)j().,v)d}. Fe,y) 0

--

0000

42 f f J ~: Jl (2 v0) ]1 (2 V V {1) f(A,fl) d). dfl pe, ~) 0 0

00

43 J ] 0 (2 V ui) f()., v) d). ~ F(> y) 0

--

0000

44 J J ] 0 (2VuA)]0 (2Vvfl)f(A,f1)d).df1 _I F( _1__, _I_) xy ,x y

0 0

00

45 Je-(.<- u)f().,v) d). l x + l F(x,y)

u

00

46 J f(A,v +).- u) d). l

--F(x y) x+y '

u

00

f f(A, V) d). l

47 - F(x,y) X

u

0000

f f f(A,fl) d). dfl l

48 -F(x,y) xy U V

u 00

49 ~ J f(A,v) d). f F(~,y) dl; 0 X

---U V 0000

50 u l'V f f f()., f1) d). dfl f f F~~rJ) dl; drJ 0 0 X y

00 00

51 ~ J f(A,v) d). f F(~y) dl; 0 0

160 A


0000 0000

52 uiv I I f(A,ft) d). dtt II F~~1J) d~d1] 0 0 0 0

c+ioo

53 I J q;(u-).)j().,v)d). (})(x) F(x,y) 2:n:i

c-ioo

c+ioo d+ioo

54 I I I h_(u-A,v-tt)h().,ft)d).dft F 1(x,y) F 2(x,y)

- 4:n;2

c-ioo d-ioo

c+ioo

55 I I h_(u-).,v)h().,v) d). .P;(x,y) ~ F2(x,y) 2 :n: i

c-ioo

gloo) h'(v) I lJI(u,).)j().,v)d). mit lJI(x,y) o~o

u+h(v) ' 56 g(O) F(g(x),y)

h = Umkehrfunktion von g

--

g,(oo) g,(oo)

I I lJII(u,).) P2(v,ft)f().,ft) d).dtt Kt(O) g,(O)

57 ,

F(g1(x), g2(y)) . 1J1 ( ) h.,,(v) mtt 1,2 x,y o-• h ' u+ t,z(v)

h1 , 2 = Umkehrfunktion von g 1 , 2

I I für -;; q;(v)- -;;Ev{e-uh(y)(})(y)} f (})(y) X< h(y)

58

h(y) ~ 0 l 0 für X> h(y)

A 161


59

60

61

62

63

64

1 v Eu{e- vg(x)(/)(x)}

g(x) ~ 0

b I --;;u ( u) - e Cflb v--u a

b

mit cpb(s) = Ie-•1(/)(t)dt 0

/a(u,v) 1-e-au

a II

mit fa(u,v) =I e-ux F(x,v) dx 0

faa (u, v)

1-e-a(u+v)

a a

mit J~a =I Ie-ux-vyF(x,y) dxdy 0 0

fab (u,v)

ab

mit fab(u,v) =I I e-ux-vy F(x,y) dxdy 0 0

mit

fab(u, v)

1- e-au-bv

ab

fab(u,v) =I I e-ux-vy F(x,y) dxdy 0 0

11 Voelker, Doetsch

I (1)0(x) für y > g(x)

1 für y < g(x)

I (l)(y) für -ax+h<y<h

1 0 sonst

a > O, h ~ 0

F(x,y) periodisch in x mit

der Periode a ~ 0:

F(x+na,y) == F(x,y)

F(x+ ma,y+ na)

_ J F(x,y) für m = n

-l 0 für m::f=n

F(x,y) periodisch in x und

y mit den Perioden a ~ 0

und h~O:

F(x+ma,y+nb) = F(x,y)

F(x+ma,y+nb)

={ F(x,y) für m = n

0 für m::f=n

162 A


Nr. f(u,v) F(x,y)

1 ffJ(u +V~) 1p(x,y) lP(x)

2 ((J(U + lg .Jl) ß-:f::O yßx -1

"r(ßx) lP(x)

f (y-x)x-1 lP( )

für y>x 3 f[J(U +V+ lgv)

l I'(x) x

0 für y<x

4 fP(u+~) e- a!y 1p(x,y) lP(x)

:n; f 1p(ax,y-x) lP(x) für y>x 5 ({J ( u + v + a y:;) [arga[ ~4 l 0 für y<x

--

6 ({J(u)-({J(u+:) Ja; ]1 (2 Vary) lP(x)

7 tp(u)

lP(x) --'V

y I --x

lP( :) h I a für -({J(au+hv+y) -e y>-x

a a 8

'V

a > O, h">O 0 für

h v< -x V a

9 : ({J(u+ :) ] 0 (2yry) lP(x)

10 : ({J(u+ :.) J; (2y2 x)1fb]o,-1/2 ( 3Jxt) lP(x)

2

11

15

V

16 ~ f qJ(u + J) dJ 0

1 - [qJ(u)- qJ(u+ av)] V 17

a > 0

18

UJ

A 163

Eindimensional ~Zweidimensional

( 1 2 n-1 -xyn) F -, -, · · · , --, 1; -- ([J(x) Onnn n nn

I } 0 2(ya(y-x)x) ([J(x) für y>x

0 für y<x

yßx F(ßx+ 1) ([J(x)

erfc ( 2 ~y) ([J(x)

( ([J(x)- j]1 (~)([J0 (yx2-~2 )d~ für y>x

für y < x

für y> x

für y < x

für

für

y> ax

y < ax

erf ( 2 ~y) ([J(x)

([J(x-y)

164 A


1 q;(u) au + bv+r 1'

20 1 - --,;Y ( a )

b #- 0' a he l/> x-hy T~o

1 l l d [(be - qy) x + (py- ae)y]

ljJ (p U + q V + (}) -e 21 au+hv+r [d[

a, b,p, q ~ 0, d=aq-bp#-0 X ll>(ay~bx)

22 rp(u) + rp(cv)

: ll>(jx-: I) u+cv

23 rp(u)- rp(cv) : l/> ( x- :) mit l/>( -x) = -l/>(x) u + cv

l l ( u)

{ l/>1 (x) für - rp1 ( U + a V) + - rp2 V +- y> ax

24 v u a

a>O l/>2(y) für y< ax

rp1(v) rp.(u) l ( u) l

{ l/>1(y) für y> ax --+----rp v+- --rp (u+av)

25 u v u 1 a v 2

a>O l/>2(x) für y< ax

rpt (u) + rp 2{v) { lf>2(y- x) für y>x

26 u+v l/>1(x- y) für y<x

--

x/a b J e-Y<lf>(;)d; für y>-X

l a - rp(au+bv+y) 0

27 uv

a,b > 0 y/b b J e-yt;l/>(;)d; für y<-x a

0

A 165

2 Eindimensional -+Zweidimensional

00

28 1 c 1) I fo (2 V xfJ) ] 0 (2 yyfJ) lP( fJ) diJ -cp-+-UV U V

0

29 _1 q;(u+-1) va va J-;; y ( Jxya) 2 (2xy2)'1• Jo, '/, 3 a 4 f/>(x)

--

u+v { lP(x) für y>x 30 --cp(u+v) uv lP(y) für y<x

--

1 31 - [u cp(u) + v cp(v)] lP(x) + fP(y) uv

1

{ lP(y) für - [ucp(u) +vcp(v) y>x 32 uv

- (u+v) cp(u+v] lP(x) für y<x

f 0 für y> CX

1 rp(u) y

33 c>O

1 x--

u + cv c u

~ f fP($) d$ für y<cx

0

X

IlP(x-$)d$ für y>cx

34 _1_ rp(u)

c~O 0

u+cv V yfc

I lP(x- $) d$ für y<cx 0

ax

35 1

u2 + auv + ß cp(v) a >0 ! f fo ( 2 J ßarJ (x-:)) lP(y-1]) d1J 0

166 A


ax

1 1 1 IJ-V -(})(y) --(})(y-ax) + 2 ~ (2- ~)

36 u"+auv+ß <p(v) a a a ax-'f} 'fJ 0

a>O X ] 1 ( 2 J ßa'TJ (X- ~ ) ) (j) (y -17) d7]

ax

1 IJ ß• u (})(y-ax)--

37 u• + auv + ß <p(v) a a(x- ~)

0

a>O X]1(2Jßa'TJ (x- ~))(})(y-7])d7]

ax

u+av (})(y)-I J !'TJ (x- ~) 38

u• + auv + ß <p(v) 0

a>o X ] 1 (2 J ßa'TJ (X- ~ ) ) (})(y -17) d7]

ax 1

I J x"~": J,( •P: (x-:)) Ol(y- ~) <hj u(u"+auv+ß) <p(v} 39

a> 0 0

ax 1 !_I J " " ],(2 P: (x- :) ) Ol(y-~) <hj (u + av) (u" + auv + ß) <p(v) 40

a>O a aß(x- ~)

0

1 41 vv <p(u+vv) x(x,y) (})(x)

1 -Vv <p(u+v+ avv)

{ x( a x,y- x) (})(x) für y>x 42

:rr; 0 für y<x larc al ~4

A 167

2 Eindimensional -+ Zweidimensional

43 ~ cp(u + _!_) Vv v

cos {2VxY) (})(x} VnY

--

44 ~cp(u-_!_) Vv v

cosh{2Vxy) (})(x} Vny

--00

v1 cp(Vu +v'V) 45 I x($,x} x($,y) (})($) d$ uv 0

00 1

46 u+Vv

cp(Vv) I VJ(X + $,y} (})( $) d$ 0

1 1 fo (V Y2- x2) (})(x} für y>x

47 Vv2 +1 cp(u+~) 0 für y<x

cp(v} (})(y)- (})(y) ~ [ vy• :x2xy ]1 ( av y2 + 2xy}] 48 u-v + yv2 + a2

e(ß-:Jx (})(y-(c-a}x)

y

q:>(v) f J y' (•-·'''-).--" " a2 --xe 2c2 2c2

u-av-ß +Vc2 v2 +yv + a• 4c2

49 V('fJ + ax)2 - c2 x2

(c-a)x c>O,c-a~O

x ], ( J ··~ :~ v'(n + ax)'- ,, x') <ll(y- n) d>j

(ß + 2.__)" e 2 c (})(y- (a- c} x}

y

q:>(v) f J ' y' (P+ ;'.) '-,".• u + av-ß-vc•v• + yv +a"

a --xe c c 4c2

50 + V('fJ- ax)2 - c2 x2

c>O,a-c~O (a- c)>

I x ],( J··~ :~ v'(n- ax)'- c'x') <ll(y- n) d>J

168 A


1 (11-...!_)_Y ( y ) --e 2c c-a f1J x---c-a c-a

cp(u) _Y_ c-a

u-av-ß + Vc2v2 + yv + a8 -J Ja'- ::.' ,(P- ;~)•- ,';. • 51

c>O, c-a>O V(y + a?J)s- cz?Js

0

x],(J··~ :~ y'(y+a~)'-<'~')<ü{x-~).bj

1 Y Y+2ax 211 y-(c-a)x ( ( ) ) ----- y- c-a x --- e 2c c+a c+a fP c+a c+a

q:> (gl(v)) y-(c-a)x

u~g2(v) c+a

fJ ' ' mit g1,a(v) as- :es (x+ ;) e -~[y+a(x-m-211;

52 V'[y + a(x- ;)]2- c2 (x+ W = av +ß ±vczvs +rv+ as 0

c>O, c+a>O, c-a~O x],(J··~ :~ y'[y+a(x-<)J'-<'(xH)')

X f!J(~) d~

53 ~q;(u+_!_) VVV V

sin(2~) f!J(x) Vnx

--

54 ~q;(u-_!_) vVv v

sinh(2Vxy) f!J(x) y;-;

--

cp(v:V) 00

1(; I x< a(x+ ~),y) f!J( ~) d~ 55 vv(u + av'v)

iarcal <4 0

A 169

2 Eindimensional-+ Zweidimensional

y-(c-a)x c+a

q;(gx(v)) I e- :c (x+~-211~ l/>(;) Jg

0 v(u- ga(v)) y-(c-a)x y- (c + a)Ö- (c -a)x

mit Cx. s(v) c+a c

56 I I J r· --'-<·+<+,,_,,. = av + ß±Vc2 v 2 +yv + a• as- -. (x + ~) e 2 c _ d~ 4c

c > 0, c + a > 0, c - a ;;. 0 VTJ 2 + 2TJ (x + ~) 0 0

X ] 1(J a8 - ;;. V?J2 + 21] (x+ ;)) l/>(;) d?]

~f ,- •'-' ],(J··~::. y'y'-<'(xH)')<P(<)J<

q;(V c•v•+yv+a2 )

v'c2v 2 +yv+a2 (u+v'c2v 2 +yv+a•)

57 c>O 0

y-(c-a)x c+a

q;(gx(v)) f_!_e - _!_.[y+a(x-m +ll(x-~

(g1(v)- Cz(v)) (u- Ca(v)) 2 c•

2c mit Cx. 2(v) 0

58

xj,(J··~ :~ v'Lr+•(x-0)]'-<'(xH)') = av + ß ±V c8 v 2 + yv + a2

c>O, c+a>O, c-a;;.O X l/>( g) dg

_Y_ c-a

f (11-_!._).; - e 2c l/>(y-(c-a);)dg

q;(v) " g(v) (u- g(v)) _Y_

c-a y

mit g(v) I I J. y' ---'.<H•O+" 59 a --~e 2c = av + ß- Vc2 v 2 + yv + a 2 + d; 4c8

V(TJ + a~)2 - c• ~~ c>O, c-a>O " (c-a).;

X J. (Ja'~ ::. y'(~ + a 0)'- <' 0') <l>(y-~) .bj

170 A


y c-a

J _ __!__ y+2ao _ 2 ß y-(c-a)o

--c~a e 2c c+a c+a rJ>(y-(c-aH)d~ c+a

X

_Y_ y-(c-a)o c-a c+a g2(v) (u- g2(v))

f fj 2 y 2 Y --, [y+a(0-'1)]-2ß'1 a--2 (~+1))e 2c

+ d~ 4c V[y+ a(~-1J)] 2 -c2 (~ +17) 2

X 0

60 mit gb 2(v) =

a V + ß ± V c2 v 2 + y v + a 2

.::>0, c+a>O, c-a>O

x J,( Ja•~ {~ y'[y+a(' -nl]' -c'(xH)')

X fJ>( 1J) dr;

--------------·------------------

61

62

63

g 2(v) (g1(v) - g 2(v)) (u- g 2(v))

mit g1 , 2(v)

= a V + ß ±V c2 v 2 + y v + a•

c>O, c+a>O, c-a>O

y y-(c-a)o c-a c+a

J J 1 __ Y_[y+a(0-'1)]-2ß'1 - d~ -e 2c'

2c

X 0

X J,( Ja·~ b VlY+ a(' -nll" -c'($+ nl")

X fP( 1J) dr;

x'

e 4y ( x ) n+I n Hen+I • 1- fJ>(x) -- -+I v2y

2 A ~- 2 2 vny

A 171

2 Eindimensional -+Zweidimensional

n

n-1 (2y)- 2 x(x,y) Hen ( ~:;-)

64 v-2-. r( u + V V+ l)

X [@(x) -lj1(~)@(Vx2-~2)J~] --

00 I <·+<·· v• ----

tp( V.;-) 2 e Sy x+~ 65 u+Vv J n (2y)•+1 D2-+1(V2y)@(~)d~ 0

--

v•l+ 1 r( u + ~) • -66 ( ~ r ]. c 2 v x y) ([> ( x)

!nv > -1

--

-bv

_e_ tp(u + av) I @(x) für y>ax+b 67 V

a,b>O 0 für y<ax+b

-au e tp(v) { _,,,_,, .. y

68 u + bv + y e @(y-b(x-a)) fur a<x< b+a

a,b>O 0 sonst

-au -av e - e tp(u) I - @( x + y- a) für a-x<y<a 69 u-v

a>O 0 sonst

l [ -bv J I 0 für y>ax+b - tp(u)-e tp(u+av) I 70 V

a,b>O @( x) für y<ax+b

71 h(v) tp(u + g(v)) K(x,y) @(x)

--

72 h(u) tp(u + g(u) + v) K(y, X-y) @(y)

172 A


00

73 h1(u) h2(v) cp(g1(u) + g2(v)) f K 1(g,x) K 2(g,y) cf>(g) dg 0

--h(v)

00

74 u + g(v) cp(g(v)) J K(x + g,y) cf>( g) dg 0

00

75 h(u,v) cp(g(u,v)) J K( r, x,y) cf>( r) dr 0

mit K ( ) -'<g(u,v) ( 7:, x,y) o~• h u, V e

76 cpl(u) cp2(v) cf>l(x) cf>2(y)

77 cp1 (u + av) cp2(v) a~O cf>1(x) cf>2(y- ax) --

78 crl(u+ ~) cp2(v) a - y

cf>l(x) ay Uo(2V ß xy) * cf>2(y)]

--

79 ~ cr1(u+ ~) cr2(v) cf>l(x) Uo(2Vßxy) .ft cf>2(y)]

1 h(v) 00

80 f K(g,y) dg -;; g(v) 0

--h(v)

00

1 f K(g,y) dg 81 g(v) u + g(v) X

--

82 cp(v)

1Jl(x,y) ~ cf>(y) u+Vv

1 cp(u) x(x,y) ; cf>(x) 83 vv u+vv

--1 cp(v)

x(x,y) ~ cf>(y) 84 v:V u+vv --

85 1

(u + v)2 + 1 cp(u) cf>(x- y) siny

86 u+v (u + v)2 + 1 cp(u) cf>(x- y) easy

3

Nr.

--

1

2

3

4

5

---

6

7

8

9

f(u,v)

tp(u) - tp(v) u-v

tp(u) - tp(au + bv + y) u-(au+bv+y)

a, b>O

tp(au + ß)- tp(cv + 6) au + ß- (cv + o)

a,c>O

tp(u)- tp(v + :)

u-(v+:)

tp( ~) - tp( ~) u-v

tp(u) - tp(V.;-)

u-vv

A Eindimensional -+Zweidimensional

Differenzenquotienten

F(x,y)

- W(x+y)

f 0 für

t y

1 - -y ( Y) - h e b (I) x+ (1- a) h für

ß 6 1 --;;X--;: y (X Y) --e W-+-ac a c

y

173

b y>-x a

b y<-x a

-w(x+y)+J J arJ ] 1(2van(y-n))w(x+n)dn y-1'} 0

0000

J fio(2 V x~) fo(2 V YrJ) W(~ + n) d~ drJ 0 0

00

- J 7p(~,y) W(x+ ~) d~ 0

( yjb b tp(au +bv+y)- tp(aV;+bv+y) j-J7p(a~-x,y-b;)e-Y 0 W(~)d~ für y>-x a

u-vv x/a

l für b

a,b>O 0 y<-x a

0000

tp(V;) - tp(V;-) - J J 7p( ~' x) VJ(rJ,y) W( ~ + n) d~ dn

Vu -vv 0 0

y

tp(u) - tp(V v2 + 1) f ~ -----u- Vv2 + 1

I

- W(x+ y) + vy•- e 11( V y2- ~2) W(x+ ~) d~ 0

174 A


rp(u) -rp(av + ß + Vyv + a") T y-a; l - ß ~- a' -- a ~ 10

u-(av+ß+vrv+a") -Y e Y 1F(~,Y~ )@(x+~)d~ 0

--

__ l_e-(ß+ ;J a!c @(x+-Y-) a+c a+c

rp(u)- rp(g(v)) y

a+c u- g(v) I J . • ( ''-)· mit a• - ___!____ ~ e-~ Y- ß- 2 c'

4c2 11 + g(v) =av+ß+Vc'v"+yv+a" v(y- a ~)"- c" e c>O, a+c>O

0

x ], ( J··~ :; y'(y a f)' ,, I') <l>(x I I) di

- _l_e-(ß- 2YJ a~c @(x+_L) a-c a-c y

rp(u)- rp(g(v)) a-c u- g(v) I J . • ( .• )· a 2 - ___!____ e e- 2 c' Y - ß-~

12 mit 4c2 '

g(v) =av+ ß- Vc2 V 2 +rv+a" V(y-a~)2 - c2 ~ 2

0

c>O, a-c>O

X ], (Ja'~ :; y'(y af)'-c' e) <l>(xH) dl

I

13 u rp(u) - v rp(v)

I - @'(x+ y) u-v

rp(u) <p(v) X +y ----- -I@(~) d~ 14 u V

I u-v 0

3

15

--

16

--

17

--

18

19

20

--

21

--

22

A 175 Eindimensional -+ Zweidimensional


e- bu rp(u) - e- b v rp(v) u-v - <l>(x+ y-b)

b~O

rp(u) - rp( ~) 00

l -JJ0(2Vy~) <l>(x+ ~) d~ l V u-- 0 V

rp(u)-rp(v+ :) y l - JJ0(2Va~(x-~))<l>(x+~)d~ -

u-(v+ :) V

0

r· l rp(au+bv+;v)-rp(avV+hv+;v) -Ie-Y~ erfc ( ~) <!>(~) d~ für y> !!__ x -u-vv 2 y-bf; a V

x/a

a,b>O I b ö für y< -x

I a

l rp(u)- rp(av + ß + V;vv + a") .!!__ y-a~ a y

V u-(av + ß +V;vv + a") -J d~ Je- a''fl- ß~ -tp( ~' 1j) <l>(x + ~) d1j a>O 0 0

y y '1

-I <l>(x+~)d~+ I dni V?J"r;-e 1 q;(u)-rp(vv• + i) -V u-Vv"+ l 0 0 0

x Jlv~) <t>(x+ ~) d~

l urp(u)-vrp(v) <l>(x) - <l>(x + y) -

V u~v

r

Y+'"

- ! I <l>( ~) d~ für y>x

l rp(u) - rp(v) y-x --

1 u+v u-v x+y

- ! I</>(~) d~ für y<x

x-y

176 A


x+y

23 _I_ tp(u) - tp(v) - ! f qJ(~) d~ mit q,( -x) = - qJ(x)

u+v u-v x-y

(andere Form für Nr. 22)

24: _I_ utp(u)-vtp(v) I

u+v u-v 2 [qJ(jx-yj)- qJ(x+ y)]

25 I v tp(u)- u tp(v) I

-- -2 [qJ(x+ y) + q,(lx-Yl )] u+v u-v

--y+x z

tp(u) _ tp(v) f dr f q,(C) dC für y>x

26 I I y-x 0

u V -- -2 x+y u+v

z u-v f d1_ f q,(C) dC für y<x x-y 0

27 u tp(u)- q:>(v) _ -'-(<l>(r+y)+ <l>(y- r) für y>x

--u+v u-v 2 qJ(x+y) -qJ(x-y) für y<x

I

28 u tp(u)- q:>(v) -2 [qJ(x + y) + qJ(y- x)] mit qJ( -x)= -qJ(x)

--u+v u-v

(andere Form für Nr. 27)

--

y+x y-x

tp(u) _ tp(v) f qJ(t)dz+ Jq,(?.)Jr für y>x I 0 0

29 u u V -- 2 x+y u+v u-v x-y

f qJ(t) dz- f qJ(?_) dr für y<x 0 0

vq:>(~) -utp(~) 00

30 I - JJo(2y(x+ y) ~)q,(~)d~ -uv u-v 0

3

31

32

33

--

34

--

35

--

36

--

37

--

38

X

1

Vv

X

A Eindimensional ~ Zweidimensional


00

(yv2+ a2 -v) I[)'~;~ ;2(av.Y+2y;) 0

177

tp(u)- tp(V v2 + a 2 - v) u-(Vv2 +a2 -v) -V a ] 1 (ayy2+2y;)] lP(x+;)d~

y+2y~

yjb (aö-x)'

J e -y;- 4(U-bö)

n-1 2 n n+1

- -V

22 y:;(y-H) 2 xfa

tp(au+hv+y)-tp(aVv+hv+y)

x Hen(v2a(~-=-:~)) l/J(;)d; h u-Vv für y>-x a

a, b>O h

0 für y<-.'1: a

tp(u)-tp(V;;;) 00

1 -I x(;,y) lP(x+ ;) d; Vv u-Vv

0

yjb

tp(au+hv+y)- tp(aVv+hv+y) -Ie-";x(a;-x,y-b;)l/J(;)d; für y>4x u-Vv x/a

a,b>O h 0 für y< -x a

1 tp(u)- tp(av + ß +Vyv + a") yfa

Vyv+a" u-(av+ß+Vyv+a") -f ~ e -ßö- a' y~.a~ x( ;, y~a~) lP(x+ ;) d;

a>O, y:;t=O 0

q;(u)- tp(V;;;) 00

1 ~ !rx(x+ ;,y)- x(x- ;,y)] lP(;)d; u+Vv u-Vv

0

Vv tp(u) -uq;(Vv) 00

1 - ! I[tp(x+ ;,y) + tp(/x- ;/,y)] l/J(;) d; u+Vv u-Vv

0

00

u q;(u) - q;( v'v) ~ I[tp(x- ;,y)- tp(x+ ;,y)] l/J(;)d; u+Vv u-Vv

0

12 Voelker, Doetsch

178 A


39

40

41

Vv fP(u)-q{Vv)

u+Vv u-Vv

1 91(Vu)- 91(Vv)

v;;v Vu-Vv

1 91{u)-91(~) Vv2 + a 2 u-Vv2 + a 2

1

42 X fP(u)-97(av+ß+Vc2 v 2 +yv+a2 )

u- (av+ß+Vc2 v 2 +yv+a2)

c::;i=O, a+c~O

1

43 X 97(u)-97(Vc2 v 2 +yv+a") u-Vc2 v 2 + yv + a 2

c>O

1

vV"iJ

44 X 97(au + hv + y)- fP(aVv + hv + y)

u-vv a,b>O

45 ---,::=----1__ v"iJ fP(u) - u 97( Vv) Vv(u+Vv) u-Vv

00

! I [1p(x+ ~,y) -1p( lx- ~l,y)] r;P(~) d~ 0

0000

- IIx(~,x)x(n,y)r;P(~+n)d~dn 0 0

y

- IJo( av Y- ~2) r;P(x+ ~) d~ 0

y

a+c

f -ß~-_y__(y-a!;) 1 2c'

- -e c

0

X lo( ~ J a2- :;2 V (y- a ~)2 - c2 e ) x r;P(x+ ~) d~

X V y- c2(x- ~) 2) r;P(~) d~

mit C/>(- ~) = - C/>(~)

1-J:-r"[ 2 (y- h~>x<a ~ -x,y-H> + (a~ -x> x/a l X erf~(2~~~0:~)] C/>(~) d~ für y> ! x

fiu .. r h y<-x a

00

- ! I [x(x + ~,y) + x(x- ~,y)] r;P( ~) d~ 0

3

46

47

--

48

--

49

50

A 179

Eindimensional ---*Zweidimensional

Differenzenquotienten -

y- (c-a)x c+a

_1_ f e- 2:, [y+a(x-m+ß(x-<J

2c 0

1 rp(u)- rp(g1(v)) X ] 0 ( ~ J a2 - ::. y[y+ a(x-~)]2-c2(x+ ~)2)

u-g2(v) u-g1(v) X @(;) d~

mit g" 2(v) = av+ß±vc"v"+rv+a" x+-y-c+a

c ::;icO, c+a>O, c-a>O 1 f ---f, [Y+a(x-g)]+ß(x-<) -- e ~c

2c y

x-~

c-a

X ] 0 ( ~ J a2 -- :c: V[y+ a(x-~)J2-c2(x- ;)2)

X (j) (;) d~

x+ }!_ c

1 g(v) rp(u) -urp(g(v)) __ 1 e-2:,Y fJo(~Ja•-I_ 2c c 4~

g(v) [u+g(v)] u-g(v) y x--

c

mit g(v) = Vc2 v 2 + yv + a 2, c>O X V y2- c2(x- ~)2) @( ~) d~

mit @(- ~) = @( ~)

00

h(v) rp(u)- rp(g(v)) - J K( ;,y) @(x + ;) d; u-g(v)

0 -

r

yjb

h(v) --J e-yg K(a;- x,y- h ~) @(;) d~

rp(a u + hv +y)- rp(ag(v) +hv +y) x/a h

X u-g(v)

1 für y>-x a

a,h>O für

h 0 y<-x a

00

h(v) u rp(u)- g(v) rp(g(v)) - J K( ;,y) @'(x + ;) d; u-g(v)

0

180 A


tp(u) - tp(g(v)) 00 ~

-J K($- x,y) d$ J C/>(-r) d-r 51 h(v) u g(v) u-g(v) " 0

--h(v) yfb II

-J e-Y~cf>($) d$ J K(a $- x,y- 'I)) d'l) V

x;a b~ h tp(au+hv+y)- tp(ag(v) +hv+y) für y>-x 52 X u-g(v) a

a,h>O für h

0 y<-x a

00

53 h(v) g(v)tp(u}-utp(g(v)) f[f K(O -x, ~) d~ -I]d(x+ $) d$ 54 V u-g(v)

0

0000

55 h ( ) h ( ) tp{gt(u))- tp(g2(v)) -J JK1($,x)K2('1),y)cf>($+'1))d$d'IJ 1 u 2 v gt(u)-ga(v)

0 0

00 T

56 h(v) tp(u)- tp(g(v))

- J d-rJ K(-r,y) cf>(x+ $) d$ g(v) u-g(v)

0 0

00

57 h(v) g(v) tp(u)- u tp(g(v)) -! j[K(x+$,y)+K(Ix-$l,y)]cf>($)d$ u + g(v) u-g(v)

0

00

uh(v) tp(u)- tp(g(v)) ~ j[K(x-$,y)-K(x+$,y)]cf>($)d$ 58

u + g(v) u-g(v) 0

mit K( -x,y) = - K(x,y)

3

59

--

60

61

()2

63

A 181

Eindimensional ~Zweidimensional


00

g(v) h(v) cp(u)- cp(g(v)) ~ I [K(x+ .;,y)- K( lx- .;j,y)] ctJ( .;) d.; u+g(v) u-g(v) 0

cp(u)- cp(g,(v)) y

u-g,(v) a-c

u-g2(v) I f -(ß-2a:,)<-2:,Y - e

cp(g2(v))- cp(g,(v)) 2c y

g 2(v)- g,(v) a+c -

u-g2(v)

x J,( Ja'~ ::. y'(y- a<)'-c' e)<ll(xH)dl mit g,,2(v) = av+ß±vc"v"+yv+a"

c>O, a + c>O, a-c>O

u cp(u)- g,(v) cp(g,(v)) y

u-g,(v) a-c

I f -(ß-.!'..I_)<-_}'_y u-g2(v) 2 c2 2 c2 - e g 2(v) cp(g2(v))- g,(v) cp(g,(v)) 2c

y g 2(v) -g,(v) a+c

-u-g2(v)

xJ,( J ··~ ~· y'(y-a<l'- ,, e)<ll'(xH)d< mit g"2(v) = av+ß±v'c"v2 +yv+a"

c>O, a+c>O, a-c>O

h1(v) h2(v) 0000

'F(u)- cp(g,(v)) -

cp(g2(v))- cp(g,(v)) I I K 1 ( .;,y) ! K 2 (rJ,y) ctJ(x + .; + 'Y)) d.; d1J u-g,(v) g.(v)- g,(v) 0 0

X u-g2(v)

- _I_e -(ß+ 2YJ a!c cp'(x+ ____,r__) a+c a+c

u IP(u)- g(v) cp(g(v)) yj(a+c)

f J . y' --"-," -•0-P' u-g(v) .; a _ -e 2c 4c2

+ v(y- an• -c·~·

mit g(v) = av + ß + Vc2 V 2 + yv + a• 0

c'l"=O, a+c>O xJ,(J··~ ::. y'(y- al)'-c'<')

X ctJ'(x+ .;)d.;

182 A


Nr. f(u,v) F(x,y)

1 f(au,v) a>O ! F(; 'y)

2 f(u-a,v) eax F(x,y)

3 f(v, u) F(y,x)

4 f(u+v,v) F(x,y-x)

5 f(u,u+v) F(x-y,y)

f(au+bv+y,v) 1' 1 --x (X h ) 6 -e a F _,y--x

a>O, b;;;. 0 a a a

7 f(u+ ~'V) () -v- y oy Uo(2 ßxy) * F(x,y)]

X

8 f(u+: 'V) F(x,y)-J J xa_!_l; J1(2ya.;(x- .;))F(.;,y)d.; 0

00

9 f(y;;,v) I tp( .;, x) F( .;,y) d.; 0

X

10 f(yu2 +a2, v) F(x,y)-f ~ ]1 ( ay x 2- .;2)F(.;,y) d.; x2-f;2

0

X

f(u+av;;,v) :n; I tp( a .;, x- .;) F( .;,y) d.; 11 larcal,;;;;; 4

0

f(u+ßv;;;,v) :n;

tp(ß x,y) ~ F(x,y) 12 larcßl ,;;:;;4

A 183

4 Zweidimensional-+ Zweidimensional

X

1 f -!_~ ( ~) ( h ) -;; e a 1px-~,-;; Fx-~,y--;;~ d~

0

f(u+yau+bv+y, v) h a

für y> -x 13 a

by a>O, b~o

1 f _I_~ ( ~) ( h ) -;; e a 1p x-~,-;; F x-~,y--;;~ d~ 0 h

für y<-x a

y

14 f( u + V c2 v2 + a2 ' v) f J,(: v'."-<'x')

c~O F(x,y-cx)-ax v• • 2 F(x,y-n)drJ

'TJ -c x

cx

X

15 j(u + lgua, v) f(x-~t~-1 r(a ~) F( ~,y) d~

0

00

J(lgua, v) f a~-1 16 ;(a~) F(~,y)d~

ao;i=O 0

X

1 f -!_~ ( ~) ( h ) -;; e a K x- ~'-;; F x- ~,y--;;~ d~

h(au+bv +y) 0 h

X f(u+g(au+hv+y),v) a für y> -x 17 a

by

a>O, b~O 1J y~ . ~) ( h) -;; e --;; K(x- ~'-;; F x- ~,y--;;~ d~

0 h für y< -x a

18 j(au, bv) a,b>O _1 F(~' Y) ah a h

19 j(u+y, v+e) e-Yx-Qy F(x,y)

184 A


f(au+ß, cv+b) ß ~

1 --x--y

F(:' ~) 20 a c -e a,c>O ac

f(bv+y, pu+e) e y

21 1 --x-by (Y X) -e P F->-b,p>O hp h p

f(au + bv + y, pu + qv + e)

22 a, b,p, q ~ 0 1 -!t[(be-qY)x+(py-ae~y] ( qx-py ay-hx)

TJTe F d ' d d=aq-bpcftO

--

23 f(u+ ~' v+:) a:~y Uo(2yaxy); F(x,y) 4 lo(2Vßxy)]

X y

F(x,y) +I I J aß f;1J (x-!;) (y-1))

0 0

f(u +: 'v+ ~) x ] 1 (2 ya;(x- ;))]1 (2V ßr;(y- r;)) F(;, r;) d; dr;

24 X

-I J xa.!_!; ] 1(2ya;(x- ;))F(;,y)d; 0

y

-I J ß1J J1(2Vßr;(y-r;))F(x,r;)dr; y-1)

0

0000

25 ICv~,v;) J J 1p(;,x) VJ(r;,y) F(;,r;) d;dr; 0 0

f(u+ßVv,v+aV~)

26 a,ß cftO 1p( ay, x) ; F(x,y) ~ VJ(ß x,y) n

larc al ~4 n

larcßl ~ 4

A 185

4 Zweidimensional-+ Zweidimensional

.f(u+av;-, v+ ßv:;) xy

27 a,ß #0 f f 1fJ( a ;, x- ;) 1fJ(ßn,y-n) F(;, rJ) d;dYJ :n;

\arc a\ ~ 4 I I :n; arcßt ~ 4 0 0

X

F(x,y)- ] 1(a x 2 -;2)F(;,y)d; J a~ V-v!x•-e

0

y

-J V ~rJ • 11(ß~)F(x,n)drJ .f( Vu2 +a2, vv2+ ß2) 28

y -1} 0

X y

+I I aß~11 j ( V~) V(x"-~")(y"-11") 1 a x-

0 0

X ]1(ß~) F(;, rJ) d;drJ

.f(lg ua, lg vß) 0000

I I~(:-~:~(~~: F(;,rJ) d;drJ 29 a, ß #- 0

0 0

X y 30 I I ( ~t~-1 ( /TJ-1 .f(u + a lg u, v + ßlgv) x- y-7} F(; r]) d;dr]

F( a ~) F(ß rJ) ' 0 0

31 L1y,uf(u,v) (e-Yx_1)F(x,y)

32 L1ß,u L1r,vf(u,v) (e-ßx -1) (e-YY -1) F(x,y) --

33 11;, u .f(u, v) (e-Yx -1)" F(x,y)

34 L1ß, u 11;, v .f(u, v) (e-ßx -l)m (e- YY -1)" F(x,y)

X

I fF(;,y)d; 35 - f(u, v)

u 0

186 A


00

36 ~ f(~ 'v) IJo(2~) F(~,y) d~ 0

00

37 1 I e- a~ F( ~,y) d~ - f(a,v) u 0

" 38 ~ f(u+: 'v) IJo(2ya~(x- ~)) F(~,y) d~

0

39 ~ f(u+!' v) fo(2yßxy) ~F(x,y}

--00

40 ~ fCn' v) n~l I e 2 n-1 ~xn) F -,-,. · · ,--d· -- F(~ y}d~ 0 n n n n ' nn '

0

--00

1 I a~ 41 - f(lgua, v) r(:~+I) F(~,y) d~ u 0

! " I F(x- ~,y- ~) d~ für y>x

1 0 42 -+-f(u,v)

U V

l y

I F(x- ~,y- ~) d~ für y<x 0

1 • 43 --J(u v) I F(x- ~,y+ ~) d~ u-v '

0

" 1 1 I _.'!'._~ h h

au+hv+y f(u,v) --;; e a F(x-~,y---;;~)d~ für y>-x a 0

44 h y

->0 I y h 1 --'1 a b e b F(x- ~ rJ,y-1}) drJ für y<-x a 0

A 187

4 Zweidimensional~ Zweidimensional

1 yfc 45

-+- [f(u,v) + f(cv,v)] J F( ix- .;i,y- c .;) d.; u cv

c>O 0

-'-yfc

1 J F(x- .;,y- c .;) d.; 46 -+- [f(u, v)-f(cv, v)] mit F(- x,y) = -F(x,y) u cv 0

X

F(x,y)-J Fy(x- .;,y- .;) d.; für y>x u 0

47 -+-f(u,v) U V y

J F,.(x- .;,y- .;) d.; für y<x 0

" y 1 f f F(.;,'YJ)d.;d'YJ 48 -f(u,v) uv

0 0

0000

49 1 uv f(a, ß) f Je-a<-ß11F(.;,'Yj)d.;d'Yj

0 0

0000

50 1 c 1) J JJo(2V x.;) Jo(2 V Y'YJ) F(.;, 'YJ) d.;d'Yj -J-,-UV U V

0 0

0000 f f ( 1 2 m- 1 ;xm ) F -,-, •.. ,--,1·---1 ( 1 1 )

Omm m m ' mm 51 -;;;;; f -;;m' vn m,n~l 0 0

( 1 2 n-1 17Yn) x F -, -, ... ,--,I·-- F(.; n)dc;dn o n n n n ' nn ' --

X y 52 1 ( a ß) J J lo(2V ac;(x- c;))Jo(2 V ßn(y-n)) F(.;,'YJ) d.;d'YJ -f u+-,v+-

UV U V 0 0

53 1 ( ß a) -Ju+-,v+-

UV V U ] 0(2Vaxy);. F(x,y) ~ ] 0(2Vßxy)

a, ß =I= 0

188 A


0000

1 J J a< ßq 54 -J(!gua, Igvß) r(a~~1)~(ß1J+1) F(~,n)d~dn uv

0 0

--00

55 _!__ !(_!__, v) u 2 u2 J; J (2 x~~)'l• Jo, •;, ( 3 ~ x: ~) F( ~,y) d~

0

--

X

56 l ( a ß) -J u+-,v+-u2 u u ] 0(2yßxy) ~ IJo(2ya~(x-~))F(~,y)d~

0

1 X < 57

u2 + a u v + ß f ( u, v) I d~ Ilo(2vßn(x- ~)) F(~ -n,y-a'f}) dn

a;?O 0 0

X

u"+a:v+ßf(u,v) I F(x-n,y-an) dn 0

58 X I;

a;?O -J d~ J j :~~ Jl(2vßn(x-~))F(~-n,y-an)dn 0 0

--

X X

~ J F(~,y) d~- ~ J F(x-n,y-an) dn

u• + a:v + ß f(u, v) 0 0

59 X <

a>O + ~Jd~JJ:~~ [1- x~~]ll(2vßn(x-~)) 0 0

x F(~-n,y-an)dn

X X < u+av J F(~,y) d~- J d~ J j ß x~ ~ J1(2 V ßn(x- ~))

60 u2 + a u V + ß f ( u, V)

0 0 0

a;?O x F(~-n,y-an)dn

A 189

4 Zweidimensional -.'>Zweidimensional

u(u"+Lv+ß) f(u, v) X ö

61 f d~ f J xß~~ J1(2y ß'YJ(x~ ~)) F(~~'Yj,y~ a'Yj) d'Yj a~O 0 0

-

1 X ö

(u + av)(u" + auv + ß) f(u, v) f d~ f J ß(x~ ~) J1(2y ß'YJ(x~ ~))F(~~'Yj,y~a'Yj) d'Yj 62

a~O 0 0

JJ ( JOT) ( J-. ) n xy B ..!:____ , 3 B y 'rJ 1 c 1) 2 (4x•y•~'rJ)'I• Jo, •;, 3 4 Jo, f, 4 63 u•v• f ---;;-'V" 0 0

X F(~,'Yj)d~d'Yj

64 y; f(u,v) 1 F(O,y)+ ,,,/ ~F,(x,y) vnx nx

65 yuv f(u,v) -- --=-* * (x,y a• [ 1 x y F )] axay nvxy

-00

66 ~I(_!_, v) Vu u f cos~::~) F(~,y) d~ 0

-

00 1 ~

J x( ~' x) F( ~' y) d~ 67 y;;f(yu, v) 0

-

1 ~ X

68 y-;; f(u + ayu, v) J x(a ~' x~ ~) F(~,y) d~ 9\a~O 0

1 ~

69 viv f(u+ßyv, v) x(ßx,y) ~ F(x,y)

9\ß~ 0 -

70 J ~ f(u, v) a[ 1 xy ] a v- * *F(x y) x n xy '

00

71 1v f(y:;;,v) J 1p(x+ ~,y) ~ F(~,y) d~ u+ v

0

190 A


0000

72 l !(_!_, _!_) VuV U V J J n~ cos(2Vx~)cos(2VyYJ)F(~,rJ)d~drJ

0 0

~f(y;;,y;) 0000

73 J J x( $, x) x(n, y) F( ~, n) d~ dn uv 0 0

l - -v-f(u +avu, v+ßvv) X y

74 uv J J x(a ~' x- $) x(ßn,y-n) F($, 17) d$drJ I arc a I < : , I arc ß I < : 0 0

l - -V- f(u+ßvv, v+ avu)

x(ay, x); F(x,y) ~ x(ßx,y) 75 uv n n

larcal ~4' larcßl <4

X

l --flo(av x2- ~2) F(~,y) d$ 76 V f( V u2 + a2' v)

u2 +a2

0

f(u+vc• v"+a", v) y

77 Vc2 V 2 + a2 J ~ lo (: V172 -c2 x 2) F(x,y-n) drJ c>O CX

l x x y ax ( V ) 78 V f(u, v) F(x,y) * 1-F(x,y) **V ] 1 a y+2xy

u-v+ v 2 +a" y"+2xy

_Y_ c-a

J (ß-2._)1; e 2 c F(x-$,y-(c-a)$)d$

0

1J f(u, v) y c-a

u- av -ß +Vc2 V2 +yv+ a2 I I ( "') , J 2 ß-- 1;--tJ y 2 c' 2 c' 79 a2 - -$e 4c2

- dn c >0, c-a >0 V(1)+a.;)"-c"$" ·

0 0

x j, (Ja'~ :~ ;/(q+ a i)'- c' i') F(x- i,y-q)di

A 191

4 Zweidimensional -+Zweidimensional

f(u, v)

80 u+av-ß-Vc2 v 2 +yv+a2

81

82

83

c >0, a-c ~ 0

mit g" 2(v)

=av+ß±Wv2 +yv+a2

c > O, c + a > O, c- a ~ 0

u~f(~ 'v)

l -

Vv (u+Vv)f(yv,v)

y a-c

f (ß+ __!_) 0 e 2 c F(x-~,y-(a-c)~)d$

0

'1 y a-c

f f J 2 y2 (ß+ ;:,)o- 2~,n a--2~e

+ d~ 4c V(n -a .;)"- c2 ~2

0 0

y- (c- a)x c+a

- 2<x + ö)-2ßo f y

e c F ( ~, y- ( c + a) $ - ( c - a) x) d~ 0

y- (c- a)x c+a y

f fJ 2 e- 2~,[y+a(x-O)J-2ßl;

- d~ a2-4(x+$)~======= 4c V[y+a(x-~)]2 -c2(x+~) 2

0 (c+a)l;+(c-a)x

X],( Ja'~-{;. ;l[y+a(x- <)]'-,'(xH)')

X F(~,y-~)d~

= f sin (2Vx"f) F( Vn~ ~,y)d$

0

= fx(x+$,y) ~ F($,y)d$ 0

192 A


I xy

84 vu"+a" vv"+ß" J fio(av x2- ~2)lo(ß~) F(~, n) d~drJ --v-X f(yu2+a2, v2+ß2) 0 0

y --x

I c

g(v)[u+g(v)] f(g(v), v)

J[-;-,- ,: .. jJ··~ ::. VY-<'(xHl')] 85 mit g(v) = yc2v2+yv+a2,

0

c>O i F(~,y)d~

y-(c-a)x

f(g1(v), v) c+a

HL' ,:.r•+•H>J-m ;,(J··~ ::. [g1(v)- g,(v)] [ u-g2(v)]

86 mit gi> 2 (v)

0 = a v + ß ±V c2 v• + y v + a•,

x y'fy+ a(x- <)]'- a'(x H)') l~ F( l,y) di c + a > O, c- a ~ O, c > 0

y c-a y f f -~ H2a!___ 2 ß '1-(c-a)o

__ I_ d~ e 2c c+a c+a c+a

x (c-a)e

x FC-(c-a)~ ,y-n)dn c+a

I g.(v)[u-g.(v)] f(gl(v), v) y y-(c-a)e

c-a c+a y

mit g1 , 21v) + f d ~ f d C f J a•- :c•• ( ~ + ') 87

= av + ß±vc•v• + yv + a• X 0 (c+a)"+:c-a)o

c >O, c+a>O, c-a>O - __:;. [y + a("- ")]'- 2ß' e 2c X

V[y + a(~ -C)]"- c"(~ + C) 2

X }, (Ja'~ :; y'[y+a(l'-0]' -<'(1'+ 0')

x F(,,y- 11 ) dn

A 193


0000

88 1 IC 1) uvVWU ---;;' v f f n~h sin(2yx~)sin(2yy17)F(~,1])d~d1J

0 0

00

n , r:: ( , ) 89 u2 f(v~v) n+1 .!:_ . e Hen+1 ~ F(~,y)d~

2 2 ,y; x2 +1 2x 0

00

90 u•f(~v) v'2 -s; ~ f ~· vn(2x)•+ 1 e D2v+ 1(~)F(~,y)d~

0

0000 ff . ,. I -~-4;

m+n+2 m n e m n -- 2+1 2+1

91 u2 v2 f(Vu, v~) 2 2 nx y 0 0

x Hem+1( vh) Hen+1( v:y) F(~,1J)d~d1J --

0000 f I e• ~· 2 -s;--s; D ~

92 u~'v• f(V~Vv) n(2xt+1 (2y)•+1 e 21'+1( ~)

0 0

X D2v+1( J:y) F{~, 1]) d~ d1]

V 00

vv f(av~,v) _ f [ _ a'(xHl' u+a v 2 e By a(x+~) y 93 J-; (2y)•+l D2•+1( v 2y ) ] * F(~,y) d~ a:;t=O \arca\ ~: 0

94 ~· f(u+ ~' v) [([J •;l fv-1(2yßxy)] fF(x,y) 91v>0

00

95 I c ) -;:f---;;'v 91v>O J(~)•;l }v-1(2y-;;[)F(~,)')d~ 0

13 Voelker, Doetsch

194 A


96 1 ( {J a) --J u+-,v+-uPvV V U

[L~(;1 fp- 1(2yaxy)]: F(x,y)

a, ß =I= 0, 9i,u, V >0 J: [(fx) v;l }v-1(2vr;;)]

0000

1 c 1) f f (;)P;l (~)v;l fp-1(2yx~)Jv(2Vy1l)

97 -J -,- 9l,u v>O u~<vv u v ' 0 0

x F(~, 11 ) J~ Jn

98 e- au f(u, v) a~O F(x-a,y)

99 e-au-bvf(u, v) a,h~ 0 F(x-a,y-h)

-au -av a e -e 100 u-v f(u, v)

- JF(x-~,y+~-a)d' 0

a;;;.O

a F(x,y)- [J .: ]1(2~)]: F(x,y) 101 --

e "f(u,v)

F(x,y)- [J ;]1 (2yax)]: F(x,y)

a {J -[J: ]1(2yßy)] l F(x,y) 102 e u ".f(u, v)

+ [J:~]1(2yax)]1(2wY)] :I: F(x,y)

-byu'+a'J( ) " 103

e u,v F(x-h,y)-J y't;:~h2 ]1(a~)F(x-~,y)d~

h;;;.o b

104 b(u-vu'+a') f( ) e u,v F(x,y)- [ v ha ] 1(ay x-2+ 2hx)]: F(x,y) x 2 + 2hx

A 195

4 Zweidimensional ~Zweidimensional

X --"- f J ··- _"._ '- ,:. "+•) 2c 4c2

e F(x+a-c,y) -au- V c2 u2 +Yu+a2 J( ) V(~+a)2 -c2

105 e u,v

c-a

c>O, c-aßO

x ],( J··~ :~ y'(Ha)'-<') F(x-l;,y)dl;

F(x-h,y-d) X

J ah -- ve-h• Jl(ay~2-!J2)F(x-~,y-d)d~ b

-bVu'+a'-dVv'+ß' j( ) y e u,v J dß -106 - VTJ"-d" ] 1(ßvrl-d2)F(x-h,y-'YJ)d'YJ

h,dß 0 d

X y

JJ aßhd V- V-+ v~"-h"vTJ•-J• Jl(a ~2-!J2)fl(ß 'YJ2-J2) b d

X F(x-~,y-'Yj)d~d'YJ

/(u- Vu'+ a')+d(v- V v' + ß') F(x,y) [1-; V ah j 1(ayx2+2hx)]

x• + 2hx 107

X f(u, v) X [1- 4 V ßd Jl(ßyy2+2dy)] y• +2dy

00 00

108 : If(Ä,v)dÄ I F(~y) d~ 0 0

--

109 q;(u) f(u, v) t/J(x); F(x,y)

00

llO h(u) f(g(u), v) I K(~, x) F(~,y) d~ 0

196 A


X

111 h(u) f(u+ g(u), v) I K(~, x- ~) F(~,y) d~ 0

112 h(v) f(u + g(v), v) K(x,y): F(x,y)

X

113 lp(au+h:-'+y) f(u,v) f I - ~; (;) ( h ) --;; e a t1> --;; F x- ~' y---;; ~ d~

a >0, h~O 0

X

lp(au+hv+y) I y Q I --~--(x-~) -e a P

x f(pu+qv+e, v) ap

114 0

a > O, h ~ 0, p > 0 (;) ( x-; h q ) X tf>--;; F --,y--~--(x-~) d~ p a p

X b' b' f ,, q(x-ö;-p(y-7 ;) a(y ---;;;-ö)- b(x- ~)

--~-y d

-p d I I a'

lp(a' u + h' v + y') TJT -;z-e

x f(au+hv+y,pu+qv+e) 0

< . ( q(x-<)-p(y- :: <) 115 h', a, h,p, q ~ 0, a'>O x t1>(7)F d '

d=aq-hp*O 6' . ) a(y-7;J-h(x-;) d~

~ ~

116 Ulp(u)f(u,v) 0 X

ox [tf>(x) * F(x,y)]

117 vh(v) f(u+ g(v), v) 0 y ] oy [K(x,y) * F(x,y)

118 lp1(u) lp2{v) f(u, v) tf>1(x) ~ F(x,y): t1>2(y)

0000

119 h1 (u) h2(v) f(g1 (u),g2(v)) I I K1(~, x) K 2(rJ,y) F:(,J, 'f/) d~ drJ 0 0

A 197


120 h1(u) h2(v)

K 1(y,x); F(x,y) ~ K 2(x,y) X f(u+ g/v), v+g1(u))

h1(u) h2(v) X y

121 f f K1(~, x- ~) K 2(1],y-1)) F(~, 1J) d~ d1J X f(u+&(u), v+g2(v))

0 0

(X) (X)

h1(au+ bv+ y)h2(pu+ qv + e) I I a1q e

- !..;-~'1 K (x-~-L1J L) a q

1 q ' a X f(u+ g1(au+ bv+y), 0 0

122 v+g2(pu+qv+~)) X K 2(y-1]-! ~' ;)

a,q >0 b,p~O x F(x-~- ~ 1),y-1)-! ~)d~d1)

h1(v) h2(v) y '1

I d1) I K1(x, 1)- n K2(~, y-1]) F(x, ~) d~ 123 X f(u+g1(v), v+g2(v))

0 0 --

U V h1 ( U) h2 (V) ~ X y 124

X f(u+g2 ('u), v+g1(u)) axay [K1(y,x) * F(x,y) * K 2(x,y)]

X y X-"' y-'11

hn {u) h12 ( v) h21 {u) h22 ( v) I d~1 I dn1 I d~2 I Kn (x- ~1- ~2, ~2) 125 X f(u+& 1(u) +g12 (v), 0 0 0 0

v+g21{u)+g22{v)) x K12{x- ~1- ~2, 1J2) K21 (y-1)1 -172, ~1)

x K22(y -171 -1)2, 1J1) F(x- ~1- ~2, y-171 -1)2) dn2

(X)

126 h(v) .

u+g(v) j(g(v), v) JK(x+~,y) ~ F(~,y)d~ 0

127 fr (u, v) ,h(u, v) X y F1(x,y) * * F2(x,y)

128 ufr(u, v) ,h(u, v) a x y

a; [F1 (x, y) * * F2(x, y)]

129 U V j~ ( u, V) h ( u, V) a• x y

oxoy [F1(x,y) * * F2(x,y)]

198 A


0000

130 k(u, v) f(g(u, v), h(u, v)) I I K(~, 'Yj, x,y) F(~, 'Y)) d~ d'Yj 00

mit K(~, 'YJ, x,y) o-• k(u, v) e-~g(u,v)-'lh(u,v>

131 I f(u,v) X y

Vv u+Vv x(x,y) * * F(x,y)

--I f(Vv,v)

00

132 Vv u+Vv

Ix(x+~,y) 4 F(~,y)d~ 0

" I 133 (u+v)2+I f(u,v) IF(x-~,y-~)sin~ d~

0

X

134 u+v

(u+v)2+I f(u,v) I F(x- ~,y- ~) cos~ d~ 0

5

Nr.

1

2

3

4

5

6

7

f(u,v)

f(u,v)-f(v,v) u-v

f(u, v)- f(a v + {1, v) u-(av+fl)

a>O

f(u, u)- f(v, v) u-v

f(u, v)- f(v, u) u-v

f(u, v)-!(: • v)

a u--V

f(u, v) -f(aVv, v)

u-avv

9ta>O

f(u,v)- f(g(v),v) _ u- g(v)

mit

A Zweidimensional~ Zweidimensional


F(x,y)

y

-I F(x+n,y-n)d1J 0

y/a

- Ie-P" F(x+n,y-an) d1J 0

x+y

- IF(x+y-;, ;) d; 0

X X

I F(x- ;,y+ ;) d;- I F(y+ ;, x- ;) d; 0 0

00

J[J ~ } 1 (2ya;y) ]lF(x+;,y) d; 0

00 -f F(x+ ;,y) d; 0

00

-I 1p(a;,y) l F(x+;,y) d; 0

y '1/a -P~-a• '1-a~

-JdnJ~e " (; 1}-a;) 1p ' y

g(v)=av+ß+vrv+a2 0 0

a>O, y:;i=O x F(x+ ;,y -n) d;

199

A 200


8

f(u, v)- f(g(v), v) u- g(v)

mit

g(v) =av+ß+v'c2v2+ yv+a2

9

10

11

12

c>ü, a+c>O

{(u, v)-f(g(v), v) . u- g(v)

mit

c>O, a- c>O

f(u,v) _ j(cv,v) u cv

u-cv

c>O

uf(u,v)-vf(v,v) u-v

1 j(u,v)-f(-;.,v)

V a u-

v

0 0

(j-;.- :; V<n-a/f)'-,'f" )F(xH,y-n)di x.J" c

1 JY -(ß+ :J a:c F(x+ _TJ_,y-'fj) d1J -- .. e a+c

a+c 0

0 0

y ( y )-t} ) 1 .J - ß-~ a- c F(x+-1) >)'-'fj d1J ___ e a-c

a-c . 0

y/c x+fJ

- J d1JJ F(~,y-c'f}) d~ 0 0

y

-f Fx(x+'f},y-'f}) d1J 0

00

-JJo(2y' ay~) 1ft F(x+ ~,y) d~ 0

5

13

14

15

A 201 Zweidimensional -->-Zweidimensional


!!__!; X C

Jd~JF(x+n-~,y-cn-c~)d1J füry>cx

1 f(u,v)- f(cv,v) 0 0

u+cv u-cv !!_ !!_ - !; c c

c>O J d~ J F(x+n- ~,y-cn -c ~) dn für y< cx 0 0

Y f/{C

1 f(u, v)-f(c v, v) u+cv u-cv

- 21c Jdnf[F(x+~,'l']-c~)+F(x-~,'1']-c~)]d~

0 0

c>O mit F( -x,y) = -F(x,y)

y-b/;

xfa c

J d~ J F(x+n~a ~,y-cn- b~) dn für b

1 f(u, v)-f(cv, v) y>-x a au+bv u-cv 0 0

-y-b/; --

yfb a, b, c > 0 c

f d~ f F(x+n- a ~,y-cn -b ~) dn für b

y<-x a 0 0

1 cvf(u,v)-uf(cv,v) y/c

16 u+cv u-cv - ~ J[F(x+~,y-c~) +F([x-ny-cn]J~ c>O 0

!!__t; x c x-/;+fl

f(u, v) _ f(cv, v) 1 u cv

Jd~JdnJF(p,y-c~-cn)dp für y>cx 0 0 0

17 u+cv u-cv !!_ -!;

y/c c x-~+'1

c>O Jd~JdnJF(p,y-c~-cn)dp für y<cx 0 0 0

202 A


!!.... -!; X c

J d~ jF(x-~ +n,y-c~- cn) drJ + j(u, v) _ f(cv, v) 0 0

y --x

u u cv c 11 --

+ jdnjF(~,y-cx-cn)d~ für 18 u+cv u-cv - y>cx 0 0

c>O !!.... -!;

yfc c

J d~ jF(x-~ +n,y-c~ -cn)drJ für y<cx 0 0

yfc

V f(u,v)-f(cv,v) --1 j[F(x+ ~,y-c~)+F(x-~,y-c~)] d~ --

19 u+cv u-cv 2c 0

c>O mit F( -x,y) =- F(x,y)

X y-f; y-!;-q

J d~ J dqjF(x- ~+q,p)dp für y>x

1 f(u, v)-f(v, v) 0 0 0 20 -

v(u+v) u-v y y-f; y-!;-q

J d~ J dqj F(x- ~+q,p)dp für y<x 0 0 0

1 f(u, v)-f(a v;; v) 00

21 .y;;- u-aVv - J x(a~,y) .i F(x+ ~,y) d~

n [arca[ <4 0

00

1 f(u, v)-f(y;; v) 1 J y 22 u+Vv u-Vv 2 [x(x+~,y)-x(x-~,y)] * F(~,y)d~

0

1 f(u,v) -f(Vv+b,v) 00

23 u+Vv+h u-Vv+b J [e- by x(x+.;,y)~x(x-.;,y)] .i F(~,y)d~

h~O 0

00

24 1 Vvf(u, v)-uf(v;; v)

- ~ j[1J!([x-~[,y)+1J!(x+~,y)] .i F(~,y)d~ u+Vv u-Vv

0

5

25

26

27

28

29

A 203

Zweidimensional -+ Zweidimensional Differenzenquotienten

00

u f(u, v)-f(Vv, v) ; j[tp(x-~,y)-tp(x+~,y)] l F(~,y)d~

u+Vv u-Vv 0

00

Vv f(u, v)-f(Vv, v) ; J[tp(x+~,y)-VJ(Ix-ny)] l F(~,y)d~

u+Vv u-Vv 0

'1 1 y a+c

Vczvz+yv+az f f _.,- _"_,, -·· 1 2c' f(u, v) -f(g(v), v) - d'fJ -e

c X 0 0 u-g(v)

X j,( Ja•~ :~ v'(~-a0)'-<'0') mit g(v)

= av+ ß +Vc2 v2 +yv+a2

c>O, a+c>O x F(x+~,y-'f})d~

'1

1 y a-c

Vc1 v 1 +yv+a" f f _., _ _",,,- .. 1 2c f(u, v)-f(g(v), v) - d'fj -e

c X u-g(v) 0 0

mit g(v)

X j,( Ja•~ :~ v'(~-a0)' -<'<') = av + ß-Vc1 V 1 +yv +a•

c>O, a-c>O X F(x+~,y-'f})d~

00

j[H(x+~,y)-H(Ix-ny)] l F(~,y)d~ 1 f(u, v)-f(g(v), v) 0

u+g(v) u-g(v) mit H(x,y) =

mit g(v) = Vc1 v2 +yv+a1 (J y' ) Y a~----y 4c2

c>O _!_e 2c' Jo V y-c2x2 für y>cx 2c c

0 füry<cx

204:

5

30

31

32

33

34:

A

Korrespondenzen von allgemeinen Operationen

1

Vv(u+Vv)

Vvj(u,v)-uflvV,v) X

u-Vv

1

g(v) [u+g(v)]

g(v)f(u, v)- uf(g(v), v) X -"'-'--'-"-'---'-u--'-_-g--;( v"-;-)-=..;_-'-'---'-

mit

g(v = Vc2 v 2 + yv + a2

c>O

1 f(u, v)-f(g,(v), v) u-g2(v) u-g1(v)

mit g., 2(v)

= av +ß±Vc2 v 2 +yv + a 2

c>O, c+a>O, c-a>O

h( v) f(u, v)-f(g(v), v) u-g(v)

h(u) f(g(u), v) -f(v, v) g(u)-v

00

-! J[x(x+;,y)+x(x-;,y)]lF(;,y)d; 0

00

- j[H(x+;,y)+H(Ix-;i,y)] l F(;,y)d; 0

H(x,y) siehe Nr. 29

y-(c-a)x c+a

J e2 1Jx H(x+ ;,y+2ax) l F(;,y) J; 0

x+-Yc-a

" __ Y_ c-a

mit H(x,y) =

(J ~ ) " a2 __ 1 -{Jx--(y-ax) 4 2

-e 2c' Jo c y(y-ax)2-c2x2 2c c

0

00

für y>(c+a)x

für y< (c+ a) x

- JK(;,y)lF(x+;,y)d; 0

00 y

- JK(;,x)d;fF(;+1J,y-1J)d1J 0 0

5

35

36

37

--

38

39

40

A 205 Zweidimensional -+Zweidimensional


h1(u) h2(v) 0000

X f(g1(u), v)-f(g2(v), v) - J JK1($,x)K2(1J,y) ~ F($+1J,y)d$d1J g1(u)-g2(v) 0 0

00

h(v) uf(u,v)-g(v)f(g(v),v) - J K($,y) ~ Fx(x+ $,y) d$ u-g(v)

0

h(v) 00

u+g(v) 1 J y -2 [K(x+ $,y)+K(Ix-$l,y)] * F($,y)d$

g(v)f(u, v)- uf(g(v), v) X 0

u-g(v)

00

g(v) h(v) f(u, v)-f(g(v), v) 1 J y u+g(v) u-g(v) 2 [K(x+~,y) -K(Ix- $l,y)] * F($,y)d$

0

f(u, v)-f(g1(v), v) 'I

u-g1(v) y a-c

u-g2(v) f f I - " - -".<• - "" f(g2(v), v)-f(g1(v), v) d1] -e 2c X

g2(v)- g1(v) 2c

0 'I -u-g2(v) a+c

mit g1, 2 (v) ],(Ja'~ ::. y'("- a<)'- <' <') F(xH,y-") d< = av+ß±Vc"v"+yv+a"

c>O, a+c>O, a-c>O

uf(u,v)- g1(v)f(g1(v), v) 'I

u-g1(v) y a-c

u~g2(v) - f f _,. _ _,_,,_," 1 2 c'

g2(v)f(g2(v), v)-g1(v)f(g1(v),v) d1] -e X 2c

g2(v)- g1(v) 0 'I

u-g2(v) a+c

mit gh 2 (v) (J··-L ) = av+ß±vc"v"+rv+a" 4c2

fo c V(1J- a $) 2 - c2 ~2 Fx (x+ ~,y-1]) d~ c>O, a+c>O, a-c>O

206

5

41

A

Korrespondenzen von allgemeinen Operationen

(f(u, v) -f(g1(v), V)

h (v)h (v) u-g1(v) 1 2 u-g.(v)

f(g.(v), v) -f(g1(v), v) ) g.(v) -g1(v)

u-g2(v)

0000

f fK1 (;,y) i K2('YJ,y) 4 F(x+;+'YJ,y)d!;d'YJ 0 0

A 207

6 Zweidimensional -+Eindimensional

Nr. q; (u) tP(x) -

00

1 f(u, 0) I F(x, 'f}) drJ 0

" 2 f(u, cu) ~ IF(x-~, !)d~

0

f(au+ß, cu+!5) " f p d 3 1 --;;-<x-<>--;;-< (x-; ;) - e F-,- d~

a,c>O ac a c 0

00

4 J(v;;,u) I tp(~, x):. F(~, x) d~ 0

0000

5 f(v;;, Vu) I I tp(~ +'YJ, x) F(~, 'f}) d~ d'YJ 00

00

6 f(:' u) I :x [J0(2yax~);.F(~,x)]d~ 0

00

7 : f(: 'u) IJ0(2~);. F(~,x)d~ 0

0000

8 ~ Icv;;, -Vu) f ferfc(:~ )F(~,'f})d~d'YJ 0 0

00

9 J; f(v;;,u) I x(~, x) :. F(~, x) d~ 0

-0000

10 J; J(Vu, v~) I I x(~ +'f}, x) F(~, 'f}) d~ d'YJ 0 0

208 B

1 Korrespondenzen von speziellen Funktionen

Nr. f(u, v) F(x,y) --

I 1 - 1 uv

--

I eax 2 (u-a) v

--I eax+ßy 3 (u-a) (v-ß)

I { 0 für y>O 4 u(u+v-ß) eßu für y<x

--

I { 0 für y>x 5 (u-a) (u+v-a) eax für y<x

I ] 0(2yaxy) 6 ---

uv+a

I 10(2~) 7 ---

uv-a

I eßx+ay } 0(2y(y-aß)xy) 8 uv-au-ßv+y

I

{ 0 für y>ax

9 u"+auv+ß : fo(: V ßy(ax-y)) für y<ax

a>O

ßy-Px ax-y I - ---Q----e a-p a-p

I a-p (u+av+ß) (u+pv+e)+y

x]0c:p yy(y-px)(ax-y)) für px<y<ax 10

O~p<a

0 sonst

B 209

1 Rationale Funktionen

1 1 - D' [(be-cd)x-(bd-ae)y] -e 2D

1 x fo(~. y(cx2 -2bxy+ay2 )

11 au"+2huv+cv"+2du+2ev+f X y(acf +2bde-b2f -ae2 -cd2 ))

b2 >ac für (b-D)x<ay<(b+D)x

0 sonst

mit D=yb2 -ac

1 { eY sinhx für y>x 12 (u+v) (u-1) (v-1) exsinhy für y<x

1 { eY(eX-1) für y>x 13 (u-1) (v-1) (u+ v-1) eX(eY -1) für y<x

1 { 0 für y>x 14 (u-1) (u+v-1) (u+v-2) eX(eY-1) für y<x

--

1

j 1-e-ax

für y>x uv(u+v+a) a

15 1- e-ay

a:;t=O für y<x a

X( 4 r ( ~ax"y) 1 y;;2 ax"y Jo,•t, 3 a -4-

16 u2 v+a

a:;t=O · ( 3 . ax"y)

= x oF2 1,2'- -4-

1

- _!_~ fo(2y;;;ry) = J x J1(2y;;;ry) 17 u(uv+a) a:;t=O

a oy ay

14 Voclker, Doetsch

210 B


y-Px ax-y J 18 1 -ß---Q-- y-px a-p a-p l a-P e y(ax- y)

(u+av+ß)[(u+av+ß)(u+pv+e) +y] X J (-2-yy(y-px)(ax-y)) für px<y<ax

1 a-p O~p<a

0 sonst

y-Px ax-y J 19 1 -ß---e-- . ax-y a-p a-p l a- p e y(y-px)

(u+ pv+e)[(u+av+ß)(u+ pv+e) +y] x ] 1 (-2-yy(y-px) (ax-y)) für px<y<ax a-p

O~p<a

0 sonst

I l

für x<y<2x --2 V

20 u(u+v) (u+2v) l

- für O<y<x 2

--

y;(a:•yr lo, -•;, ( 3 ~ a~y) u

21 u2 v+a

( 1 ax•y) =oF2 2' 1; --4-

( ex für y>x u+v 22 uv(u+v-1) eY für y<x

( eY für y>x u+v-2 23 (u-l)(v-l)(u+v-l) ex für y<x

--

I a bu+av ehY( 2 eax- 1) für y>t;x

(u-a) (v-b) (b u+a v-ab) 24

a a ea'(2 ehY -1) für y<t;x ----o b~

l

( x(y-ax) für y>ax 25 v"(u+av)2

0 für y<ax aßO

B 211


26 1 "(4)" (~-·) 2 ( ) x " ax y x 3 ax2y

u(u"v+a) Yn4 ax•y 1'/,,l 3s -4- =2ToF2 2'2;--4-----

27 1 1 V-u•v• + a2 -;bei (2 axy)

28 1 u•v•- a2 2

1a [I0(2Vaxy)-1o(2V-;;xy )]

29 1 a~ Uo(2vßxy) ~: bei(2vaxy)] (uv+ß) 2 +a2

1 1 30 (uv+ß) 2 -a2 2-; [Jo(2V{ß-a) xy)-1o(2V(ß+a)xy )]

1 ~ a :x [Jo(V2axy); bei (V2V3 axy)] 31 u"v"+auv+a2

~

32 1 a~v 1 2 (2 vaxy) u"(uv +a)

-

33 1 ~ ( 4 5 . ax"y) u"v+a 2 oFa1'3'3'-~

34 1 a [ ( ~ x x• ( 4 5 ßx" )]

u"v+au"+ß a; 1o 2 axy) * 2 0F3 1, 3 , 3 ;- 2/

1 X y

35 J f1o(2 va~(x- ~)) 1o(2 V ß'YJ(y-'Y})) 10 (2 V y ~ 'Y}) d~ d'YJ {u2 + a) { v 2 + ß) + y u v 0 0

X " .· J d~ J 1o(2 j(ß- ~)y{x-~))1o(2var{~-r)}" 1 36 (u•+a)(uv+ß)-y 0 0

x1o(2J~yr)dr

1 2 I x: für y>x

7 +----v"(u + v)" v(u + v)" für y<x 3

8 I

u :x [J(ß!a)x1l(2V(ß-a)xy);1o(2Vaxy) J (uv+a) (uv+ß) 3

212 B


39 u ] 0(2yp;y) i. [ber(2Vaxy)- ~ bei(2Vaxy)] (uv+ß)"+a"

u 2~ [J(ß+a}~]1(2V(ß+a}xy) 40 (uv+ß)"-a"

- J(ß-a} ~ ] 1(2V(ß-a}xy)]

y

fJo~2VßrJ(y-rJ})fo(2~)drJ 0

u X y 41 (u"+ a) (v" +ß)+yuv -f f J xa!!; J1(2Va~(x-~))Jo(2VßrJ(y-rJ})

0 0

X ] 0 (2 ~) d~ drj

u fo(V2axy) 4 [her (V2v'3 axy)

42 u"v"+auv+ a• - ~ bei(V2v'3axy)]

u : a~ bei(2~)

43 u"v"+ a• = J y [bei1(2Vaxy)-ber1 (2Vaxy)] 2ax

u ~ J :x [f1(2Vaxy)+l1(2~)] 44." u•v•- a•

45 u (2 4. ax"y) u3 v+a x oFa 3' 1,3' -~

46 u a [ ~ x (2 4 ßxBy)] u"v+au"+ß ox fo(2 axy) * xoFa 3' 1,3;-~

47 u+v· sin (x+y) · (u"+l)(v"+l)

B 213


48 u+v sinh (x+y)

(u2 -1)(v2 -1)

49 u+v x+y V-uv(uv+a) -=11(2 axy)

Vaxy

50 uv

u•v• + a• ber(2yaxy) --

51 uv ~ [Jo(2yaxy)+10 (2yaxy)] u•v•- a2

52 uv

:x [1o(2yßxy)! (ber(2Vary)-! bei (2~))] (uv+ß)"+a"

:x [1o(V2axy); {her (V2Va axy) 53 uv

u2 v2 +auv+a2

-.Ja-bei (V2Vaaxy)]

" 1o(2yyxy)-J J xa:_!;11(2ya~(x-~))10(2VY.i[)d~

0 y

uv -f J ::rJ11(2Vß'fJ(y-'f}))10 (2yyx'f})d'fJ 54 (u"+a) (v"+ß)+yuv 0

" y f f J aß/;t) V + (x-!;)(y-n) 11(2 a~(x-~))11(2Vß'fJ(y-'f})) 0 0

X10(2~)d~d'f}

55 u•

u"v+a e 2 ax"y) oFa 3' 3' I;- --z:1

56 u• (} [ ( ~)" e 2 ßx"y)]

u"v+au"+ß ox 1o 2 axy * 0F3 3' 3' I;- --z:;

57 uv-1

(u"+1)(v2 +1) cos (x+y)

--58

uv+1 cosh (x+y)

(u2 -1)(v2 -1)

214 B


59 uv+ß :x [Jo(2V/0); ber(2~)] (uv+ß) 2 +a2

uv+ß 1 . 60 2[Jo(2y(ß+a)xy)+ ] 0(2y(ß-a)xy)] (uv+ß)"-a2

:x {lo(V2axy); [ber(V2yaaxy) 61 uv+a

u2 v 2 +auv+ a2

+ }.bei(y2y'3axy)]}

0 { -v- X

62 uv-a ox fo( 2axy) * (ber(y2yaaxy) u2 v"+auv+a"

-Vabei(y2yaaxy)]}

63 (u+v)"-ßu-av { eax für y>x

uv(u+v- a) (u+v- ß) eßu für y<x

64 (u +v)"- (2a+ß)u- (2ß+a)v+a"+ß2 { eflu für y>x

~-~~-~~+v-~~+v-~ eax für y<x

{ ~ für 1

x2y-- y>x 65

1 3

u2 v 2(u+v) 2 3

xy2-~ für y<x

--1 0

1 - ~ oy ber ( 2 y;;-ry)

66 u(u"v"+a2 )

1 J X ~-= ---;_;-- 2ay (ber1(2'\ axy)+bei1 (2Va";;,)]

67 1 1 Jx V-

u(u•v•- a") ~ ay (11 (2 axy)-J 1 (2y;;-ry)]

1 1 ~ ] 0 (2Vß;;); bei(2~) 68 u (uv+ß)"+a"

B 215


69 1 x•y (3 4 5 ax3 y 2 )

u"v"+a -2- °F4 2' 1' 3' 3;- 33 22

70 1 x" F ( 5 6 7. ax4y) u'v+a 3fo 4 1,4'4'4'-~

1 x3 (4 5 . ax"y) 71 u(u"v+a) 3T oFa 3' 3' 2,- ----z:;-

72 1 v; x" ( 4 t ( V ax2y) x3 ( 5 ax"y)

u"(u"v+a) 2" ax"y ]1,'/, 33 -4- =3foF2 2,2;--4-

L{ bei(2Vury)+ ~ (ber1(2Vury) 73 u ax 2axy

v(u"v"+a") + bei1(2Vury)J} =- ~ bei2 (2Vury)

74 u 2~x [l2(2Vury)+12(2~)] v(u"v"- a2 )

75 u (3 2 4. ax"y") u"v"+a xyoF4 2'3' 1,3' -~

76 u x" F ( 3 5 6 . ax'y) u4 v+a 2fo 4 4' 1,4'4'-~

77 V x 2 (1 4 5 ax•y•·. u"v"+a 2fOF4 2' 1,3'3;-~)

78 uv c 2 4. ax"y") u"v"+a xoF4 2'3' 1,3,-~

79 u•

u"v"+a (3 1 2 ax"y")

YoF4 2'3'3' 1;-~

u• ( 2 3 5 . ax4y) 80 u'v+a xoF4 4'4' 1,4' -~

uv+a -J2 x ber1(2Vaxy) 81 u(u"v"+a") ay

216 B


uv-a J 2x bei1(2yaxy) 82 u(u"v" + a 2) ay

l uv-a ] 0(2yaxy) ~ (ber(V2V3 axy)- y3 bei (y2V3axy)] 83 -

v u"v"+auv+a"

84 l uv+ß

fo(2yßxy); ber(2~) -u (uv+ß)"+a"

--

85 _!._ ß u v + ß" - a 2

~ [j(ß+a)~]1 (2j(ß+a)~) v (uv+ß)"-a"

+ j(ß- a) ~ J1( 2 j(ß- a)~)]

86 l au"+ß a• [ .y- " (l 2 ßx"y)] -v u"v+au"+ß - ax• fo(2 axy) * oFg 3' 3' I;- 27

--u•v (l l 2 ax"y") 87 u3 v2 +a OF4 2' 3' 3' I;- 3322

88 u" e 2 3 ax4y)

u4 v+a oF4 4' 4' 4' 1; -~

l 1[ .y- a -

3a. lo(2 axy)- ax {lo(v2axy): (ber(v2V3axy) 89 u"v"+a"

- y3 bei (V 2 V3 a x y))}]

l 2~. [Jo(2yaxy) -ber(2yaxy) +bei(2yaxy)] 90 u"v"+a u"v"+a"uv+a"

.YY[ l . .y- l -

l l -.- .y- be11(2 axy)- .y- ber1(2 yaxy)

91 a x 2ax 2ax

-v• u2 v"+a"

-yyber0 (2~)] = Jx ber2 (2yaxy)

l l 2:. X [I2(2Yary)-]2(2Yary)] 92 -v• u•v•-a•

B 217


1 1 x' ( 5 6 7 • ax3y) 93 7 u3 v+a 4! oF.~ 3'3'3' - ----z:l

u 31a {Io(~) ~ (ber(V2v3axy)

94 u3 v 3 +a3

+y3bei(V2V3axy)]- J :XJ1(2yaxy)}

95 u

u8 v8 + au•v• + a• uv+ a• - 21a J :x [JI(2~)+v'2ber1(2~)]

u 21a J;:. (11(2~)-y'2bei1(2~)] 96 u3 v 3 - au"v"+a"uv- a3

)x• [2yber0 (2yaxy)+(2-axy)J2:x ber1 (2yaxy)

97 u

-(2+axy)J2:x bei1 (2~)] v"( u• v• + a")

= ~ ( ;:)"' (ber3 (2yaxy) +hei3 (2yaxy)]

--

98 u 1 ( y )"'

v 2(u2 v 2 -a2) 2---;;; (Ja(2~)+13(2~)]

31a { 0~ [Io(~);; (ber(V2Vaaxy) 99

uv u"v3 +a8

+ Vshei ( y2ya axy )) ] - ] 0 (2 ~)}

100 uv 1

u•v• + a u•v• + a• u v+ a3 2;; [-]0(2~) +her(2~) +bei (2~)]

u• ~ [:xf2(2~) 101 u8 v"+a8

+ { 2 J :~ 11 ( ~)} ~ her (V 2 Va axy)]

218 B


2y [12(2~)+ / 2 ber1 (2yaxy) ax "' axy

ua +her0 (2yaxy) +hei0 (2~)]] 102 u"vB+ au"v"+ a•u v+ a•

= 2~x [12(2yaxy)-ber2(2~)-bei2(2~)]

103 uv-a u"v"+a" 3

2a [:x {/o(~); her(V2vfaaxy)}-10(2~)]

u2 v ~ [J :x1I(2~)+210(~,)~ber(y2Vaaxy)] 104 u"v"+a"

105 u•v

u•v• + a u2 v 2 + a2 u v+ a• ! J ~ [11(2~)+ v'2bei1(2~)]

uv-2a J ~10(2~)- .::a-10(~) ~ bei(V2vfaaxy) 106 u 1l8 v"+a"

u2 v+v"+ u 1 2ni

-107 (u"- I) (v3 - I) 3 [c+u + se•x+•'u + e2 e•'x+•u] e = e 3

108 u2 v 2

u"v"+a" ~ [1o(2~)+2 0°x {/0(~)! her(V2vfaaxy)}]

109 u•v•

u•v• + au• v• + a• uv+ a• ! [10(2~)+her(2yaxy)-bei(2~)] u2 v 2 +2a2

1o(2~)+ .::S :x [Io(~)!bei(V2vfaaxy)] llO u"v"+a"

u2 v2 +2 a2 v'- 2 iJ v'-lll u"vB- a3 10 (2 axy)- Va ilx [10 ( 2axy)! bei(V2vfaaxy)]

uv-2a 1o(2~)- .::S 0~ [Io(~)! bei(V2vfaaxy)] ll2 uv u"v"+a"

u2 v 2 +uv+I ~ [e~+Y+eex+•'Y+e•'x+•u]

2ni ll3 (u3 -I) (v" -I)

-s=e 3

B 219


2u"v2 - auv- a2

2 a~ [lo(~): ber(v2V3axy)J 114 u•v•- a"

a~ [lo(~): {ber(v2V3axy) 115

u2 v 2 +auv- 2a2

u•v•- a8

+V3hei (V2V3 axy)}]

.~ l x•y x5

für xlly2--+- y>x 1 2 10

116 u8 v 3 (u+v) xy• y" x2Y--+- für y<x 2 10

117 1 x5 ( 7 8 . ax3y)

u"(u8 v+a) 5ToFa 2,3'3' -~

1 2u2 v 2 - auv- a2

118 2]0(~); ber(V2V3axy) - u•v• -a• u

1 [ sinhVV2axysinVV2axy 2V2 na" Vx

" coshV2V2 axy+cosV2V2 axy *

1 Vx 119

u•v•+ a• _ coshVV2axy cosVv'2axy Vx

" coshV2V2axy-cosV2V2axy] * • Vx

1 4~. [I0(2yaxy)- ] 0(2yaxy)- 2bei (2 yaxy)] 120 u•v•- a2

2~. bei(V2V2axy) ~ [I0(V2V2 axy)- ] 0 (V2V2axy)] u

121 u•v•+a'

J-1 y - -

122 u 4 a• ~[f1(2yaxy)+11(2yaxy)

u•v•- a• +v'2{ber1(2yaxy)-bei1(2~)}]

220 B

1 Korrespondenzen von speziellen Fnnktionen

1 sinhV'\12axysinVV2axy --

uv 2na2 Vx 123 u4 v'+ a4

x coshV2'\12axy- cosV2'\12axy * Vx

124 uv 4~. []0(2~)+10(2~) -2ber(2 yaxy)] u4 v4 - a4

125 uv 41a Jx: [11(2~)-]1(2~)] (u•v•- a2) 2

~ [ber(V2'\12axy) 2 2a

~ JV:: {11(V2'\12axy)-]1(V2'\12axy)} 126

u• u'v'+a2

+hei(V2'\12axy)

~ JV:: {/1(V2'\12axy)+ ] 1(V2'\12axy)}]

127 u• 4 :.x [12(2~)-]2(2~)+2her2(2~)] u•v•- a•

1

2'\12a 128 u•v

(ber(V2V2axy) ~ {/0(V2'\12axy)- fo(V2'\12axy)} u4 v4 +a'

+hei(V2V2axy)~ {/0(V2'\12axy)+ ] 0(V2'\12axy)]}

u•v L J :X [11(2~)-J1(2v;;;;;) 129 u'v'- a•

- y'2{ber1 (2 ~) + bei1 (2 ~) }]

B 221


1 u"

~ ber(V2v'2axy) 2a 130 u'v'+a'

! ~ (J2(V2v'2axy)+l2(V2v'2axy))

1(yf' V- ~ u" 4 ---;;-; [13 (2 axy) +13 (2 axy) 131 u'v'- a'

+ y2 her3 (2 ~) + y2 bei3 (2 ~)]

1 [ coshVv'2axy cosVv'2axy 2v'2an Vx

x coshV2v'2axy -cosV2v'2axy * u•v• Vx

132 u'v'+ a4 + sinh V v'2axy sinV v'2axy

Vx X coshV2V2axy+ cosV2v'2axy] * Vx

133 u•v•

41a [10(2Vaxy)-]0(2Yary)+2hei(2~)] u'v'-a'

~ ber(V2v'2axy) u"v 134

u'v'+a' ! J v'2y [f1(V2v'2axy) +11 (V2v'2axy)]

ax

135 u"v 4~x [J2(2~)+12(2Yary)-2bei2(2~)) u'v'- a•

1 sinh V v'2axy sin V v'2axy --u2 v"+ a2 v'2an Vx

136 u•v• + a' f--

x coshV2v'2axy + cosV2v'2axy * Vx

222 B


1 coshVV2axy cosVv'2axy u2v2- a2 v'2an Vx

137 u'v'+a' x coshV2V2axy- cosV2v'2axy * Vx

138 u2v2+a2 ! J x: [J1(2~)+11(2Vary)] (u2v2 _ aa)a

1 2u2 v 2 -auv-a2

{2 J !;J1(V2axy)}; ber(V2v'3axy) 139 -ua uava- aa

uav2 ! ber(V2v'2axy) _: [Jo(V2v'2axy)+l0 (V2'\1'2axy)] 140 u'v'+a'

uav2 ! J :x (J1(2Vaxy)+l1(2~) 141 u•v•- a•

- 0{her1(2 vaxy) -bei1(2 vaxy)}]

1 coshVv'2axy cosVV2axy -

uava 2n Vx 142 u'v'+a'

x coshV2v'2axy+cosV2V2axy * Vx

uava ! [fo(2~)+10(2Vaxy)+2her(2~)] 143 u•v•- a•

144 1

unv+a n>O xn-1 ( 1 2 n-1 axny)

F 1 1+->1+-,···d+--; ---(n-1)! 0 n ' n n n nn

145 un-1

unv+a n>O F -,-, ... ,--,!·---( 1 2 n- 1 a xny) 0 n n n n ' nn

un-m

146 unv+a m,n>O xm-,-1 (m m+ 1 m+n-1 . axny) F-,--, ... , ,---

(m- 1)! 0 n n n n nn

B 223


147 I

un-2(u3 v+a) ~ F.(n+I, n+2, n+3; _ ax3y) n! 0 3 n n n 27

xn+! ( 4 ~ ( J-2 )

I Vn 2n+I ax•) 6 ]%;, n;l 3 3 a: Y 148 u"(u"v+a)

= xn+l F. (n+2 n+3. _ ax"y) (n+ I)! 0 2 2 ' 2 ' 4

149 I

u4n (u2 v• + a2)

(-I)" ( X rn -a- ay bei4n (2Vary)

150 uv

( X rn u4n(u2 v 2 + a2)

(-1)" ay ber4n(2Vaxy)

151 I (-I)n+l ( x fn+j _ _

u4n+I (u2 v 2 + a2) aV2 --;y [ber4n+I (2Vaxy) +bei4n+l (2Vaxy)]

152 uv ( -I)n+l ( X fn+! -- --

u4n+l (u2 v2 + a2) -v2 ay [ber4n+l (2 v/axy) -bei4n+I(2v/axy)]

153 uv+a ( )n+l -v-( X rn +t Vary

u4n+I(u2 v2 +a2) -1 2 --;;y ber4n+l (2 a xy)

154 uv-a -v-( X rn+j

u4n+I(u2 v 2 +a2) ( -1)" 2 ay bei4n+I (2 ~)

155 I (-I)" ( x rn+! -

u4n+2 (u2 v 2 + a2) -a- ay ber4n+2(2Vaxy)

156 uv

(X r+! u4n+ 2 (u2 v 2 +a2)

( -l)n+l ay bei4n+2 (2 Vary) -·

157 I (-I)n+l(xtn+_!l_ -

u4n+3(u"v"+a") aV2 --;y 2 [ber4n+3(2Vary)-bei4n+3(2yaxy)J

--

158 uv (-I)"(xtn+_!l_[ V- _

u4 n+3(u2 v2 +a2) v2 ay 2 ber4n+3(2 axy)+bei4n+3(2yaxy)]

159 uv+a

( -l)"y2{u:)2 "+fbei4 n+3 (2 yaxy) u4n+3(u2 v 2 +a2)

224 B


I 160

uv-a ( -1)"y2( a: )2 n+fher4n+a (2-VaV) u4n+3(u"v"+a")

n-1 :ni

161 I I 2 l 0 (2sk+!v'axy) - n (uv)"+a" nan-1 6(n-1)(2k+1) s=e

k=O

n-1 :ni uv I 2 l 0(2sk+!v'axy)

162 -

(uv)"+a" n

n an-2 6(n-2) (2k+1) s=e k=O

(u v)n-m n-1 :ni

163 (uv)" +an I .2 l 0 (2sk+! Vaxy) -

n am-1 6(m-1) (2k+1) E = e n

O<m~n k=O

(u v)n-m n-1 2ni

(uv)n-an __ I_) l 0(2sk12 v'axy) -

164 E=e n nam-1 L....t 6(m-1)k

O<m~n k=O

---

(u v)n-1 n-1

165 ~ 210(2sk+!yaxy) :n;

-

(uv)"+an E = e n k=O

n

2 ( -1)k(~) k=O

166 k Ln(x+y)

2 I X . . u•+1 vk-z+l i=O

--

xm-1 yn-1

167 I (m-I)! (n-I)!

umv"+a ( I I I I xm n ) X 1Fm+n 1;1,1+-, ... ,2--,1,1+-,···'2--; -a--Y-m m n n mmnn

B 225


00 _.__, :L ( "- "- )' xn an xn Y ek-n+l I- e2n(k-n+l)

168 I

nam(1--;-) k=O k!r(: {k+I)) I- e2(k-n+1)

umvn+am ni --n e=e

--00

~-, 2 ( .. )' xn a--;;- x-;;-y I- 8n(k-n+1)

169 I

nam(1--;-) k=O ktr(: {k+I)) I k-n+1 -8

umvn- am

2:ni -e=en

---00

m 2 (ax: y)' --1 xn I- en(k-n+l)

I 170

nan-1 k=O k!r(:{k+I))

I k-n+1 umvn-an

-e

2:Jri --n e=e

um-Pvn-q p-l q-1

x Y F ( p p+I p+m-I

171 umvn+a

{p-I)!{q-I)!1m+n1;-;;'--;;;-'···' m '

p,q ganz und >0 q q+I q+n-I ; _ axmyn) -,--, ... , n n n mmnn

00 . 2 ( .. )' um-Pvn-q p-1--(q-1) - - k- +l

umvn+am x n anxny 8 q I- 82n(k-q+1)

172 ~(q-l) 1 m I- e2(k-q+1) nan k.r(--;;-(k-q+I)+p)

p, q ganz und > 0 k=O

ni - n e=e

00 . 2 ( .. )' P-1--(q-1) - -um-Pvn-q X n an Xn Y I n(k-q+l) -e

173 umvn-am ~(q-1) m I k-q+l na n k! r(--;;-(k-q+I)+p) -8

p,q ganz und >0 k-0 2ni --n

e=e

15 Voelker, Doetsch

226

1

174

175

176

177

B

Korrespondenzen von speziellen Funktionen

m,n>O

um-1vn-1

g(uv) h(uv)

g, h Polynome in uv

Grad von g < Grad von h

l p(uv) -

l

lk ganze Zahlen > 0

00

~ ~---'('-s_a_:_x_:_,Y:_.:)_k_ 1- e2nk

L k!r(: k+l) l-e2k

l nk -8

~

ni n e=e

2ni

n e=e

ak(k = 1, 2, ... , n) die als einfach vorausgesetzten

Nullstellen von h(z)

n i-1

L L (i:k~)! ( d:) 2 1;-1 (2Vakxy)

k~1 i~l

l f ({'- ak)v-1 akv = 2 n i p({') d[, erstreckt über einen Kreis

um ak, der die übrigen a ausschließt; v = 1, 2, ... , lk •

B 227

2 Irrationale Funktionen

Nr. f(u,v) F(x,y)

Vu 1 1 --- .y-cos(2~)

uv+a nx

--1 1

2 --vuv nvry

--1 1

3 vuv+a

VxY cos(2~) n y

--1

u+avv 0 sx2

4 ax --

1jJ(ax,y) = 2..;;;-y3/2 e 4y

n \arca\ ~ 4' a =FO

--1 1 ~(x,:-x) für y>x

5 u+Vv+v für y<x

1

l 1 y-ax

-a-- ( y- ax) u+av+vcv+a -e c für y>ax 1px---

6 c ' c

a~O, c>O 0 für y<ax

7 1 1 Jx 1

Vu(Vu +Vv) n y x+y --

v-Vv"+1 X V. 1 8 u-v+vv"+1 y+2x 12( y2+2xy)- Vy"+2xy Jlv y+2xy)

--

9 1 1

-- ..rny uvv --

1 1 1 10 u(Vu +Vv) ..rny- .vn(x+y)

228 B


I I 11 Vu"V(Vz; +vv) Vn(x+y)

I X 12 Vu(Vu +Vv)2 yl;(x+y)ll/2

I alxl

vv(u+aVv) --13 e 4y

x(ax,y) = n Vny

\arca\ ~4

--

I 1 j x(x,y-x) für y>x 14

Vv u+VV+v 0 für y<x

I I I V -y+Vx"+y" 15 -Vu u+V2uv+v y; Vx"+y"

1 I Vu u+V2cuv+v I V- (c-I)x-y+Vx"+2(c-I)xy+y" 16

Vn(2-c) V x"+2(c-I) xy+ y• c~O

17 I

u(v+Vu) erfcC~)

18 I ! [J; -arctgj;] u(u+Vuv)

--

J-19 1 2 y

v(u+Vuv) -arctg -n x

I _I_ sin ( 2 a V:~:Y) 20 uVuv+a" nay

I I ~VxY 21 Vuv (Vu + Vv )2 n x+y

B 229


I ea'x+ayerfc ( aVx + ~) 22

VuC\Iu+a) (Vu+v) 2v/x --

y 1

1-I V x ] 1 (V'fJ2+2x'fJ) d'YJ 23 v(u-v+Vv'+1) 1J2 +2x1)

0

--1

24 fo(Vx2+2xy) u2 +1+(v-u)W+!

f y-(c-a)x

1 I c -

1-I V ax Jl(aV"'2+2x'fJ)d'fJ 25 v u- av+Vc"v"+a" für y>(c-a)x 1J 2 +2x1)

0

c~a 0 für y< (c-a) x

r y-(a+c)x c

f ' Y -~(1J+x)

1 I -~x • y• e -

e -Ja-4?"x \/1J"+2x1) V u+av+Vc"v"+yv+a" 26 0

a+c~O xf1(j(a•- ::.)("12 +2x'fj))d'YJ für y>(a+c)x

0 für y<(a+c)x

1 Vv"+1 J fo(~) für y>x

27 1 1 0 für y<x

X u +Vv2 +1

I

Vc2 v 2 +a"

{ -ßx

1 ~ JoC V(y-ax) 2 -c2 x 2) für y>(a+c)x 28 X

u+ av+ ß +Vc'v2 + a 2

0 für y<(a+c)x

c>O, a+c~O

230 B


1

f '- ~·' Jo( Ja•~ ::. V y'- h') Vc 2 v 2 +yv+a2

l l für y>cx 29 X

u +Vc2 v"+yv+a2

0 für y<cx c>O

30 l ( -ß•--'-r,+u) ( Ja•- L ) Vc2 v 2 +yv+a2 I 22 42 e Jo y(y+ax)2-c2x2

l

1

c c X

(u- av+ß+Vc2 v 2 +yv+a") für y>(c-a)x

c>O, c-a>O l 0 für y<(c-a)x

l Vv l l Vx+vx"+y" 31 - -----u u+V2uv+v Vny y; vx"+y"

l y;-+V2v l Vx+vx"+y" 32 --v'uv u+~+v y; vx"+y2

Vu Vv l nx +--33 l 2 -

2 [ n(x + y)]312

v'uv (v;-+vv)2 yn(x+y)

l v-vv"+l - Vy":2xy Jl(v y2+2xy) 34 -

u u-v+vv"+i

35 Jvu"v"+I+ 1 u2 v"+ I

~ [ cosh y'2 xy cos y2 xy + sinh v'2ry sin ~] nVxy

36 Jvu"v"+I-I ~ [ cosh -yf2ry cosy2 xy- sinh y2 xy sin ~] u"v"+ I nVxy

--

jvu"v"-I+i I -37 V- cosh2yxy

u2 v 2 - 1 n xy --

Jvu•v•-I-i l -38 V-cos2yxy

u2 v2 -I n xy

B 231


39 jvu"v"+1+uv 1j2 v- v-- -cosh 2xy cos 2xy u2v2 + 1 :rr; xy

40 jvu•v•+ I- uv 2._ J 2 sinh~sin~ u2 v2 + 1 :rr; xy

41 jvu"v"-1+uv vh-v [ cosh 2 V xy + cos 2 yry] u2v2 -1 :rr; y

42 jvu•v•-1- uv ~ [ cosh 2 V xy- cos 2 y;::y] u2 v2 - 1 :rr; y --

1 1. ~ 43 Vu(uv+a) ~sm2 axy a:ny

1 1 ~;;-[vx+y-yy] 44 --

uv'uv Vu+Vv

1 1 erf( 2 ~) 45 --

uVv u+Vv

1 1 y --

46 uv'v v+aVv f x(a'Yj,y-'Y}) drj

9ta>0 0

1 1 J;; h/ y+Vx"+y2 - v'2y] 47 --uV-;; u+~+v

1 1 2 48 -- y; [v'y -VVx"+y"-x] uv'v u+V2uv+v

l f y

v(u+v) (v+aYv) ~- yy=-;_2._ fx[a('Y}-x),y-'YJ]d'YJ für y>x 49 i a :rr; a

" 9ta>0 l 0 für y<x

232 B


l f y

Vv (u+v) (v+avv) ~ fx(a(n-:,y-n)<hJ für y>x 50

9\a>O für y<x

l l 2 [ x+2y vr] 51 u-v-;; (Vu +vv)2

-- -2 y v;; vx+y

l l 2j Y [1- I Y J 52 uvv (Vu + Vv )2 n A./ x+y

--

l l l xy 53 --

(Vu + vv)3 v;; (x+y)3/2 VuV

l 2 --54 (uv+a)3/2 Vasin(2yaxy)

n a

55 l xy2 x(y,x)+(x+ ~·) erfc( 2~) u2(v+Vu)

] X

56 uv(u +aVu) ~- Vx ~__!__ Jx(a~,x-~)d~ a n a 9\a>O 0

r

X

JJo(~)d~ für y>x l 0

57 uvv(u+v)2 +1 I y

jJo('fJ) d'f} für y<x 0

l X

l jJo(~) d~ für y>x 58 v(u+v)V(u+v)2 +1 0

0 für y<x

B 233


59 u+v

W+l V V 2 +I ( Vu2 +I+ V V 2 +I) Jo(x+y)

--

60 I V-;;+ y/2;

)-;; v'vx•+ y•-x ---

vvuv u+ V2uv+v --

61 I V-;;+ V2v

)-;; [v'vx"+y•+x-vY] ----

uvuv u +v2uv+v --

62 Vu+ vv

I 2 X

uvuv (vu + vv) 2 Vn(x+y)

u v- u V v 2 +I- I l v ~Y .J1(~) für 63

y>x

(u+v)Vv 2 +I (u+ ~) y -X

0 für y<x --

64 I V- xy

uv(u+2vuv+v+ I)3i2 _!_ _____2_ e ~ n x+y

65 u+v

W+l V V 2 + I (uv V 2 + I+ vvu• + I) ]1(x+y)

66 I [v2v+ uVu ] 2

uvvuv u+ V2uv+v y; Vx+vx"+y"

u+2~ { yf,(v' :x') 67

V für y>x (v2 + I)3/2 (u+Vv2 +I) 2

für y<x

V x' V --

68 u+vv )! e Sy ( X )

9{vx

69 u• (u+v) 9{y>0 (x-y)•-1 F(v) für y<x

234 B


I V -uv(uv+a) 70 C~J 2 ].(2Vaxy)

9lv>-1 --

1 V

u•(u2 v 2 +a2 ) 1 ( x y2r 3vn V~) 3vn (V-)] 71 ---;; ay Lcos-4-bei.(2 axy -sin-4-ber. 2 axy 9lv >- 2

--1 V

72 uv(u2 v 2 - a 2 ) 2~ (~)2 [I.(2Vaxy) -]v(2 Vaxy)] 9lv > -2

uv V

u• (u 2 v 2 + a2) ( x )2 [ 3vn V~) 3vn . ( y'ary)] 73 -;ry- cos-4-ber.(2 axy +sin-4-bet. 2 axy 9lv > -1

uv V

74 uv (u2 v 2 - a2) ~ ( a~ )2 [J.(2Vaxy) +1.(2y'ary)] 9lv > -1

--3vn 3vn

uv sin-4- + a cos-4- V

75 u• (u2 v 2 + a 2) C~)2 bei.(2Vaxy)

9lv > -1 --

3vn 3vn uvcos-4-- a sin-4- V

-

76 u" (u2 V 2 + a2 ) ( a~) 2 ber.(2 Vaxy)

9lv >- 1 --

l v-1

77 (uv+a)v l ( xy) -2-

}v-1(2y'ary) F(v) a 9lv>0

l x+y v-1 [(u+ l) (v+ l) + buv]• 1 b+1

( x{) -2-

J (2Yhy) 78 e

9lv>O, lbl <1 F(v) b+l v-1 b+ l

I

B 235


79

I

be-cd bd-ae 2 •-1 I I -~x-~y[ cx"-2hxy+ay ]-2-

F(v) 2• D e 2hde+acf- h"f- cd2 - ae• X

(au"+2huv+cv2+2du+2ev+ f)• ]._1 (~.V(cx2 _ 2bxy+ ay2) (2bde+ acf- b2J- cd2- ae2))

80

81

82

83

84

85

b>O, a,c>O für (b-D)x<ay<(b+D)x

I

v(u+v)•

9lv>O

1

uv(u+v)•

9lv > -1

uv(u+v+y)•

9lv>O

I

I u•(uv+ I)•

9lv>O

1 u• (uv + I)•+l

9lv> -t

0 sonst

mitD=~

1 x•-1

für r(v) y>x

0 für y<x

1

x• für r(v+l) y>x

y• für y<x l r(v+ 1)

X' f ~·-1 für e-Y~--dt; y>x F(v) 0

y f 1]•-1 für y<x e-'YrJ--dn r(v)

0

•+n-1 y•-1 ( X )-2- ~ ~) r(v) ay ]v+n-1(2-v axy

236 B

2 Korrespondenzen von speziellen Funkt" Ionen

l u•+n(uv+ 1)•+1

n 86 9tv>

r(:: l) (;) 2 ]2v+n(2 yry) (- 1 für n = 1 2 3 ' ' ' ... -i für n = 0

-- -l

---87 u~-'v•

xl-'-1 y•-1

9t,u,v > 0 F(p,) F(v)

-----

l

88 (u-a)~-'(v-ß)• eax+ßy xJ-t-1 y•-1

9t,u,v>0 F(p,) F(v)

~

I -uv

l y•

89 [ l l l F(v+l)

für y>x

X 7- (u+v)• + --;.-] x•

9tv> -1 F(v+ I)

für y<x

--

u• + v•

90 (uv)•+ 1 x"+ y•

9lv>-1 F(v+l)

--u• 1

91 (uv+ a)• y•-1 --

9tv>O r(v) lo(2yaxy)

----

uv- vv

92 u•v•(u- v) (x+y)•-1

9tv>0 r(v)

~-

(u v+ I)• + (uv- l)" •-1 -93 (u2 v 2 - l)" 2 (xy)

[Jv-1(2yry) +1._ 1(2 yry)J

9tv>O F(v)

2

94

--,

95 I I i --I

96

I --

97

(uv+ I)•- (uv- I)" (u2 v 2 -I)•

9{v>0

(u+vu•-v)"- (u-vu•-v)" Vu2 -V

19{vl<1

(u+vu• -v•Y- (u- vu•- v•Y v•vu•- V 2

19{1'1<1

[I+(v-I)u]n u•-a(uv+ I)n+a+l

9{v,a> -1

i

B

Irrationale Funktionen

(xy)

v-1 2

F(v)

sin v n 2•n

x' --x•e 4y

y•+l

r "":· (y+Vy2 - x•)• + (y- Vy2 - x 2)"

x"Vy2 -x2

0

V

237

für y>x

für y<x

n!yn ( xy V- (a) F(n+a+I) Y ].(2 xy) Ln (y)

238 B


Nr. f(u, v) F(x,y) --

f 1

für ~ log (1 +:)

- y>x 1

1 y

0 für y<x

1 { F'(1) -logx für y>x 2 -log(u+v) uv F'(1) -Iogy für y<x

--

1 { -Ei( -x) für y>x

3 -log(u+v+1) uv -Ei( -y) für y<x

1 4 -loguv 2F'(1) -logxy uv

1 2Jio(2 vaxy) +loga 5 -log(uv+a) uv

6 1 -;v log [(u+ 1) (v+ 1)) -Ei( -x) -Ei( -y)

1 I (u+1)(v+l) { -Ei( -y) für y>x 7 -;v og u+v+l -Ei( -x) für y<x

1 I (u+l)(v+1) { Ei( -x)-Ei( -y) für y>x 8 -;v og (u+v+1) 2 Ei(-y) -Ei( -x) für y<x

log (u+ v) { F'(1)-logx für y>x 9

v(u+ v) 0 für y<x ---

10 vlogu- ulogv

log(x+y)- F'(l) uv(u-v)

u n

log)l+(:f 11 ulog- + -v

V 2 v(u2 +v2)

B 239

3 Logarithmische Funktionen

v n vlog-+-u

arctg y 12 u 2 v(u"+v") X

u n 13 F'(l)-logu ulog-+-v

log#+? V 2 + v(u"+v") uv

1 log

u+v+vu"+v" 1 14:

vu"+v" u+v-vu"+v" v:;o+.y•

1 log

u+v+c+vu"+v"-c" 1 e-c vx'+y' 15 Vu2 +v2 -c2 u + v + c- V u2 + v 2 - c" Vx"+y"

--

1 log

uv-cvu"+v"- c2

~ sinh(cyxll+y) 16 vu"+v"- c2 uv+cvu"+v"- c2 y

1 u"+uv+v"+(u+ v) Vu2 + v•- c2 - c• V 2 cosh(c#+?) 17

vu"+v"- c2 log

u"+uv+v"- (u+ v) Vu2 + v•- c2 - c2 x"+y"

1 log

u+v+vu"+v" ar sinh .!!__ 18

uvu"+v" u+v- vu"+v" y

00

1 1 J (xy)<-1 19 -;; loguv X T(~)T(~+I) d~ 0

00

1 1 J (xy)<-1 20 --- xn T(;)T(~+n) d~ un loguv 0

1 1 y 21 -

T(x+ I) v u+logv

1 1 yx+1 22 -v• u+logv r(x+2)

1 1 yx+n 23 vn+1 u+logv T(x+n+l)

240 B

3 Korrespondenzen von speziellen f unktionen

l xyx-1 24 {u+logv) 2 T(x)

1 1 __L 25 -

v (u+logv)" T(x)

] 1 x"yx 26 -

v (u+logv)n+l n! T(x+ l)

1 1 xmyx+n 27 --vn+l (u+logv)m+l m!T(x+n+1)

B 241

4 Exponentialfunktionen

Nr. f(u,v) F(x,y)

1

1

1 - e u+v für y>x

V für y<x

1 1

2 u-v

-----------------------1------------------------------------------

3

4

5

6

7

8

9

l -e uv

1 u+v

l uv -e uv

_l_ e uv

uv

----u u-v

----------u u- v

1 e-<u-a) _ e-<v-ß)

u-u (u-a)-(v-ß)

UV ll- V

16 Voelkcr, Doetsch

(

1

X

y

f fo(2V;)

1 fo(2yy)

für y>x

für y<x

]o,o( -3yry)

für l-x<y<1

sonst

- ea<+ßy für 1-x<y<1

0 sonst

für y>1 und

für y>1 und

für y1

x<1

x>l

x<1

242 B


I ve-au_ue-av --- ( ~1 für y>a~x

10 uv u-v

a;?oO 0 für y<a~x

11 l e-u -- e-v ( 1--x~y für 1~x<y<1 ----~

u• u-v 0 sonst

1 1 -~ -~

12 I ue V u Jo(2Vx+y) -ve

-uv u-v

13 e-nnu_ ( -I)"e-nnv ( siny für nn~x<y<nn

u[(u-v)2+I] 0 sonst

14 v-u e-nnu_ ( -l)ne-nnv ( cosy für nn~x<y<nn --

u (u- v)"+ I 0 sonst --

15 v-2u (- I)"e-nnu_ e-nnv ( smx für nn~x<y<nn ---

u2 + I (u- v) 2 + I 0 sonst

16 I+uv- u2 ( -l)ne-nnu_e-nnv ( cosx für nn~x<y<nn

u2 +I (u- v)"+ l 0 sonst

17 2_ e-(n+! )nu _ (_I)" (v _ u) e-(n+t)nv ( siny für (n+f)n~x<y< (n+ f)n

u (u- v) 2 + 1 0 sonst

18 (v- u) e-(n+!)nu+ (-I)" e-(n+!)nv easyfür (n+f)n-x<y< (n+t)n

u[(u-v)~+I] 0 sonst

19 ( -l)n(l+uv- u2 )e-(n+!)nu_ (v- 2u)e-(n-H)nv tnx für (n+f)n-x<y< (n+f)n

(u"+ I) [(u- v) 2 + I] 0 sonst --

20 - ( -I)"(v-2u)e-(n+i)nu+(l+uv-u2)e-(n+!)nv rosxfür (n+f)n-x<y<(n+f)n

(u"+ l)[(u- v)" +I] 0 sonst

B 243

4 Exponenti lf k · a un uonen

I

21 e- yuv l

2 - für y>-1-

vuv

nv4xy-l 4x

0 für y<-1-4x

---

22 e_,y-;;;; I

1 y>-1-2v,;y3;2

für

uv;

4x

0 für y<-1 __ 4x

e_,y-;;;; { 1

23 ~ --- für

1

Vnx y>~

vvu

4x

l 0 für l

y< 4x

-

24 e_,y-;;;; I (x-+-r-f

.Y

9tv>.l 2vnr(v-i)yB:z für

1

uv I y> -

2 4x

0 für 1

y< 4x

-

25 e-vuv l

1 ( 1 )v-1 F(v) Vny X- 4y

für 1

u•vv 9tv>0

y> -4x

0 für 1

y< 4x

---

1 2v-1

26 I e yuv

Vu (uv)• 9tv>O (4xy) 4

vny J2v-1(2 (4xy)114)

- - ~

27 I e-u

1 yx-1

~

v u+logv r(x) für x>l

0 für x<l

28 I v-e-u f

0 für ---

x>l

vn+ 1 u+logv n>O l

yx+n-1

r(x+;;} für x<l

244

5

Nr.

1

--

2

--

3

4

5

--

6

7

B Korrespondenzen von speziellen Funktionen

Hyperbelfunktionen -------

f(u,v) F(x,y)

l Vu2 +V2 l artgh

2vx•+y• vu•+v• u+v

V 1 sinh ( v ar cosh ~) I sin vn cosh(v arcosh ~) für u 2 - v• V Vy2 -X2 n

J9ivJ<1 0 für

V -

v 2 ( u )

x' -Vz7=V sinh v ar cosh vv

--sinvn xve 4y

---n (2y)•+ 1

J9ivJ <1

e-(u+v) . { !ea~x-1) für 2-x<y<2 ( )( ) smh(u-v-a) u-a u-v- a sonst

y>x

y<x

e-(u+v) { ! ea(y-1) für 2-x<y<2

sinh (u-v + a) u(u- v+a) 0 sonst

f für I

0 y>-e-v;;

! X

sinhyuv uvv I I

2-Vn:Y für y<-X

l [ u Vv] no(:,y)=n3(x~l 'Y) vv (u"- v) sinh Vv - sinh u

B

6 Integralfunktionen

Nr. f(u, v)

l 1 ----;;-S(n,uv) n>O

u

1 9iv>0 2 -.-1 S(v, uv) u-

l --;;-S(v, uv) 9iv>0

3

9t,u>-1 --

4 euv Ei( -uv)

5 eu'v Ei (- u2 v)

6 u eu'v Ei (- u2 v)

I I V

7 I -

l u ( V) --;; e Ei ---;;

I

I I I

245

F(x,y)

l P(xy, n) (n- l)! yn

x•-1 --e-XY F(v)

.u-1 xy y-2-

e -2

.u+1 W .u+1 .u (xy) ( -l}•-.u-1 F(v) x2 •--2-, 2

-e-xy

sinxv.Y -

vY

-cosxv.Y

X ---~e Y

y

-1-----------------------V X

8 l -;;E'( V) ---e .t -- e y

-1 u• u --

9 sin (u v) ci(uv)- cos(uv) si(uv) cosxy --

10 cos(uVv) ci(uy:;-) + sin(uVv) si(uVv) -xe-x'y

11 )u-[sin(uVv) ci(uv;) -cos(uv~ si(uv;j] e-x'y

246 B


Nr. f(u,v) F(x,y) --

1 eu'v erfc(uVv) cosxVy nVy

--

2 I • -v- sinxYy y;v - u eu v erfc ( u v) n

--

3 I • -v- sinxYy -; eu v erfc(u v) ny

u' l für x•

X y>2 4 _I eT;D (-u )

2 -2 Vv V V x• 0 für y<-

2 --

u 5 _I ez,; W (~)

_!!__

UV -l,! V X

e

--

I I 6 VV eu' V erfc ( U Vv) .y-;;fo(xyy)

u

7 v:v e-; erfc(J ~) I

_!!__ X

nvxy e

v' l I

für y>2Vx I ~ ( V )

--

8 Vu e erfc ----= v'nx

v u v'u 0 für y<2V;

u' l I

für x•

9 I ~ ( u ) y-;; y>4

.y- e erfc --= V V VV 0 für

x• y<4

u' l J. ~y- :')

x•

10 1 ~ ~(u) für y>4

V- e er c ----= v• v v'v x•

für y<4

B 2!7

7 Konfluente hypergeometrische Funktionen

u•-1 euv Q(uv, 1- v) y•-1 11 F(v) e-xy

9iv>0

u'

I x•-1 x• _1 4;; D (-u) F(v) für y>2 e -• -

12 -i-+1 vv V x•

9iv>0 0 für y<2

1 1 -~ M (-1) 2><-1 --e F(2p, + 1) (xv) l><+p-Jz, 21" (3~) 13 (uv)" x,p. uV 3

F(u+p,+!) V

9t(x+,u)> -i

248

8

Nr. --

I

--

2

3

4

5

6

7

8

9

IO

f(u,v}

B Korrespondenzen von speziellen Funktionen

Sonstige Funktionen

F(x,y}

1 ( • ~) VuV 10 2Vuv uv k 1o(2Jxy)

I 1

für 1 p

(2x)P+l y>-- 4x (~r Kp(v'uv) 1

0 für y<-4x

l J 2: ]pq(~)Jn 1(v -2ixy) ,y;; Qp(uv}

9lv> -1

_!__p (~) I ·-· _ sinvn (y2 -x2) 2 pl-p(Y) für y>x ~ "V 1t X P X

-I <9lv<0 0 für y<x

u1v K( u1v) 1 J.(2VxY) " 10(2'\lxy) - * 2 Vx vx

1 K( 1 ) l ] 0(2Vf;y) x / 0 (2'\lixy) * vu"v"+1 vu"v"+I 2 vx Vx

l ] 0(2Vf;y} x f 0 (2Vf;y} - *

1 s( 1 ) 4 Vx Vx

vu"v"+ l vu"v"+ 1 1 ]2(2 Vf;y) " 1,(2 Vf;y) + * 4 Vx vx

1 ] 0(2'\lixy) x 10(2'\lixy) - *

vu":"+1 n( vu":"+I) 4 vx vx

1 ] 2(2Vf;y) x 12(2'\lixy) -- *

4 Vx Vx

1 c( 1 ) 1 ] 2(2'\lixy) x 1,(2'\lixy)

-- * (u"v"+ 1)312 Vu2 v2 + 1 2 Vx Vx 1 1 .

- mFn( a 10 ••• , am; ßt>···, ßn; -) mFn+2(aw··• am; ßt>···• ßn, I, I; xy} uv uv

n?>m-3 I

arccosx

arcctgx

arcsinx

arctgx

arcoshx

arctghx

arsinhx

artghx

B(k)

B(x,y)

bei.(x)

c Funktionenliste

1 ~/-;log (x+v x-2-1) Arcus-Cosinus (zyklometrische Funktion)

. . l X-l

2 log x+f Arcus-Cotangens (zyklometrische Funktion)

Arcus-Sinus (zyklometrische Funktion)

i 1- ix 2 log 1 + i x Arcus-Tangens (zyklometrische Funktion)

log (x+V x2 -1) Area-Cesinus

l I x+l 2 og x-1 Area-Cetangens

log(x+Vx-2+1) Area-Sinus

1 I l+x 2 og 1-x Area-Tangens

vollständiges elliptisches Integral

1

J~x-1(1- ~)Y-1J~ = r(x) r(y) Eulersche Betafunktion · r(x+y)

0

'J ].(i yix) Kelvinsehe Funktion 00

. . . . "" ( -l)k (X )4k+2 bet0(x)=het(x)='J]0 (z.yix) = ~[(2k+ 1)!]2 2

k=O

9t ].(i .yi x) Kelvinsehe Funktion 00

. . "" ( -l)k (x)4k ber0(x) = ber(x) = 9t]0(zVix) = ~[(2 k)!]2 2

k=O

249

250

c

C(k)

C(x)

cn+t (x) m-n

ch(x)

chi (x)

x(x,y)

Ci(x)

ci(x)

cosx

coshx

D(k)

c Funktionen-Liste mit Definitionen

- T'(I) =- P(l) = y = 0,577215. .. Eulersche Konstante

n/2

I sin2 cp cos2 cp J, (1- k" sin2 cp)3/2 rp vollständiges elliptisches Integral

0

X

I :ne cos-2-d$ F resnelsches Cosinus-Integral

0

Gegenbauersches Polynom 1. 3 ... (2n- 3) (2n-1)

= cosh x hyperbolischer Cosinus (Hyperbelfunktion)

X

C 1 I cosh ~ - 1 Jt + ogx+ ~ a" 0

x' 4y

e

hyperbolischer Integralcosinus

Quellenfunktion (Wärmeleitung)

00 X

-I co;~ d$ = C+Iogx+ Icos~- 1 d$ = ci(x) Integralcosinus X 0

Ci(x) (siehe dieses)

2 =eh (x) Cosinus (Kreisfunktion)

=eh (x) hyperbolischer Cosinus (Hyperbelfunktion)

n/2

J sin2 cp J,

V1- k2 sin2 cp rp vollständiges elliptisches Integral 0

Dn(x)

D.(x)

LJ ß, xf(x, y)

E(k)

E(k,rp)

E.(x)

Ei(x)

erf(x)

c Funktionenliste

V 1 --:,-+-

2- 4 X 2

V- w. 1 1 h-) X -+-, ±-

2 4 4

Webersches Polynom

Webersehe Funktion (konfluente

hypergeometrische Funktion)

f(x+ ß, y)- f(x, y) Differenzenbildung in einer Variablen

f(x+ß,y+y)- f(x+ ß,y)-f(x,y+y) + f(x,y)

Differenzenbildung in beiden Variablen

251

m

L( -J)k('k)J(x+(m-k)ß,y) m-malige Differenzenbildung

in einer Variablen k~O

n m L L ( -l)k+i(7) (~)f(x+ (m-i) ß,y+ (n-k) y) k~Oi~O

mehrmalige Differenzenbildung in beiden Variablen

n/2

J yl-k2sin2 rpdrp 0

cp

J yl- k2 sin2 "P d1jJ 0

"

vollständiges

elliptisches Normalintegral 2. Gattung

elliptisches Normalintegral 2. Gattung

~ J sin ( v rp- x sin rp) drp Webersehe Funktion 0

Exponentialintegral

X _2_J -~· y;; e d~ = tP(x) Fehler-Integral oder Krampsche Funktion 0

252

erfc(x)

F(k, rp)

y

y(v,x)

T(x)

H.(x)

Hen(x)


00 _2_J -o' y; e d~ = 1-erf(x) komplementäres Fehlerintegral X

"' I d'P elliptisches Normalintegral 1. Gattung Vl- k" sin" 'P

0

00

""" (a, k) (ß, k) xk L..., (y,k) k! k~O

mit ( k) = T(a+k) a, T(a)

Gaußsehe (hypergeometrische) Reihe

( k) = T(a+k) , (ß k) = T(ß+k) a, T(a) ' T(ß)

verallgemeinerte hypergeometrische Reihe

-F'(1) = -P(1) = C=0,577215... Eulersche Konstante

X

J e-1; ;v- 1 d~ = P(x, v) 0

00

unvollständige Gammafunktion oder

Prymsche P-Funktion

Je-"e- 1 d~ =Il(x-1) Eulersche Gammafunktion 0

00 ( x)•+2k+l

) (-l)k,2

Struvesche Funktion

]v(x) + iN.(x) Hankeische Funktion oder Besselfunktion 3. Art

].(x)- iN.(x) Hankeische Funktion oder Besselfunktion 3. Art

x2 x2 - Jn --

( -1 )" e 2 -- e 2 Hermitesches Polynom dx"

I.(x)

J.(x)

].(x)

]i.(x)

K(k)

K.(x)

K i.(x)

kei.(x)

= f fv ~~) d!; X

n

c Funktionenliste

= (;r+2k = 2: k! F(v+k+ 1)

k=O

modifizierte Besselfunktion

__!__ J cos ( v tp- x sin tp) dtp :n;

Angersehe Funktion 0

Besselfunktion (1. Art)

253

x.u+• ( x 3 )

3.u+•r(,u+l)F(v+l) 0F2 ,u+I,v+l;-27 Besselfunktion3.0rdnung

n

: J (2 cos tp)m cos (n tp- xsin tp) dtp 0

f= ]v ~ ~) Jc I I B lfi k . " a<,; ntegra- esse un twn

X

n/2

Bourgetsche Funktion

(verallgemeinerte Besselfunktion)

~ dq;

J Vl- k" sin2 q; 0

vollständiges elliptisches Normalintegral 1. Gattung

= f x.~m d!; X

254

ker.(x)

L.(x)

L.(x)

li(x)


I A ;-

9\ ;_; K.(v i x)

modifizierte

Struvesche Funktion

Laguerresches Polynom

X

2

~ M•+h 0 (x) = 1F1(- v; 1; x) Laguerresche Funktion

mit (a+1)n = (a+ 1) (a+2) ... (a+n)

verallgemeinertes Laguerresches Polynom

a+l x F(a+v+I) x--2-e2Ma+l a(x)

F(a+I) F(v+I) _ 2-+v, 2

F(a+v+I) F(a+I)T(v+I) 1 F1(-v;a+ 1;x)

verallgemeinerte Laguerresche Funktion

X

J 1::$ = Ei(logx) 0

Integrallogarithmus

] X

•+- -- F (I ) x 2 e 2 1 J 2 +v-,u;2v+1;x

konfluente hypergeometrische Funktion

I -.-- [cos v n ].(x)- j _ .(x)] = Y. (x) smv:n

Besselfunktion 2. Art oder

Neumannsehe Funktion

Ni.(x)

w(x)

P(x, v)

II(x)

cf>(x)

P(x)

'ijJ(x,y)

P.(x)

c Funktionenliste

x•-! F(2v+1) Mß,.(x)

00

J N.~w d~ = Yi.(x) X

konfluente hypergeometrische Funktion

Besselsche Integralfunktion 2. Art

(Neumannsche Integralfunktion)

log F(x)- (x- ~) logx+x-log.y2n Einetsehe Funktion

00

~ J e-x~ [(~+V~2+I)n+(~-y~2+I)n]J~ (9ix>O) 0

[ni2J

1 """ n(n-k-1)! = 4 L_. k! (xl2)n-2k+l

k=O

X

Je-~ ~·-l d~ == y( v, x) 0

Neumannsches Polynom

Prymsche P-Funktion oder

unvollständige Gammafunktion

255

F(x+ 1) Gaußsehe Bezeichnung der Fakultät bzw. F-Funktion

(Pi-Funktion)

X

. 7- Je-~' d~ = erf(x) Fehler-Integral oder Krampsche Funktion vn 0

d r'(x) dx log F(x) = r(x) Logarithmische Ableitung der Gammafunktion

x' X 4y

2Vny3/2 e Doppelquellenfunktion ( Wärmeleitung)

1 Jn -2n I -d n (x2 -I)n Legendresches Polynom 1. Art n. x

( 1- X) 2 F1 -v,v+l;l;-2- II-xl <2 Legendresche Funktion 1. Art

256

P~(x)

Q(x,v)

Qn(x)

Qv(x)

Q~(x)

S(x)


m 2 2 Jm

/x/ ~1 zugeordnete ( Legendresche)

Kugelfunktion 1. Art (x -1) dxm Pv(x) /x/>1

/x-1/ <2

zugeordnete (Legendresche) Kugelfunktion 1. Art

00

J e- < ~v-l d~ Prymsche Q-Funktion oder unvollständige Gammafunktion X

J-1 x+1 x+1 -n- [(x2 -1)nlog--]-log --Pn(x) 2n! x-1 x-1

/x/>1

Legendresches Polynom 2. Art

- _Vn_n_r_('---v_+_l_:_)_ -v-J F ( v v+ 1 . 3 . 1 ) 3 x 2 1 2+1, -2-, v+2' 7

2v+1 r(v +2 ) /x/>1

Legendresche Funktion 2. Art

/x/~1 zugeordnete ( Legendresche)

Kugelfunktion 2. Art /x/>1

F ( ,u+v+2 ,u+v+1. 3. 1) x 2 1 2 ' 2 'v+2' 7 /x/>1

zugeordnete (Legendresche) Kugelfunktion 2. Art

Jx ne sin-2-d~ F resnelsches Sinus-Integral

0

Sv(x)

S( v, x)

sh (x)

shi (x)

si (x)

Si (x)

sinx

sinhx

17 Voelker, Doetsch

c

Funktionenliste

= Hv(x)

00

Struvesche Funktion

Schlömilchs Funktion

Schläflisches

Polynom

x.u+1 ( p,-v+3 p,+v+3 x") F I· , ; --(p, +V+ I) (p,- V+ I) 1 2 ' 2 2 4

257

r( ft + v + I ) r( ft - V+ I ) 2 2 [ (f!- V ) (f! + V ) ] + 2,u~1 sinvn cos -2-n f-v(x)-cos -2-n ]v(x)

Lammeische Funktion

2 = sinh x hyperbolischer Sinus (Hyperbelfunktion)

X

I sinh ~ d.'t h b 1· h I I . s- yper o 1sc er ntegra smus 0 ~

00

-J si~~d..': I 1 . " ; ntegra smus X

X

J sin~ n . --d~ =- +s1(x)

~ 2 Integralsinus

0

2i Sinus (Kreisfunktion)

2 = sh ( x) hyperbolischer Sinus (Hyperbelfunktion)

258

stei.(x)

ster.(x)

tgx

tghx

Tn(x)


1 eix_ e-ix

i eix+e-ix

(Hv = Struvesche Funktion)

(Hv = Struvesche Funktion)

Tangens (Kreisfunktion)

hyperbolischer Tangens (Hyperbelfunktion)

cos(narccosx) = ~ [(x+Vx2 -l)"+(x-yx2 -l)n]

( l ] -X) =2Fl n, -n;2;-2- Tschebyscheffsches Polynom 1. Art

(-1)" Da)( ) F(a+n+ l) n X

Soninesches Polynom

Thetafunktion

Thetafunktion

Thetafunktion

Thetafunktion

[x]

Y.(x)

Yi.(x)

c 259

Funktionenliste

sin(narccosx) = ;i [(x+v x2 -J)n- (x-'\1' .x-2-l)n]

Tschebyscheffsches Polynom 2. Art

F( -2v) M ( ) F(2v) 1 ) 11,.x+ (l )M11,_,.(x) r(2-p-v r 2-.u+v

Whittakersche Funktion (konfluente hypergeometrische Funktion)

n für n<x<n+l

l -.- [cos vn].(1C)- j_.(x)] = N.(x) smvn

Besselfunktion 2. Art oder

Neumannsehe Funktion

00

J Y.;m dt; = Ni.(x) X

Besselsche Integralfunktion 2. Art

(Neumannsche Integralfunktion)

die zweidimensionale laplace-transformation: eine einf¼hrung in ihre anwendung zur l¶sung von...

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