D I E A U S G L E I C H U N G U N D G E N A U I G K E I T EINES P O L Y G O N Z U G E S

N A C H DER M E T H O D E DER V E R S C H I E B U N G S E L L I P S E N

EMANUEL PROCH,~.Z KA

Lehrstuhl fiir spezielle GeodF~sie an tier Fakultdt fiir Bauwesen ~ VUT, Praha*)

I. EINLEITUNG

Die Methode dcr Verschiebungsellipsen [1] ist sowohl in der Statik, als auch in der Ausglei- chungsrechnung sehr vorteilhaft. Nebst der graphischen erm6glicht sie n'Ztmlich auch die rechne- rische Lgsung und stellt dadurch ein far die Berecknung mit Rechenautomaten geeignetes Ver- fahren dar.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der rechnerischen Applikafion dieser Methode bei der L6sung der Polygonzfige, und zwar was den einseitig sowie auch den beiderseitig angeschlossenen Polygonzug betrifft. Im ersten Falle, bei dem einseitig angeschlossenen Polygonzug, wird anhand dieser Methode die Fehlerellipse in Polygonpunkten und zwar auch dana bestimmt, wenn der Punkt, an den der Polygonzug angeschlossen ist, mit einem durch die Fe'.fierellipse ausgedr/ickten Lagefehler festgelegt ist. Im zweiten Falle, bei dem beiderseitig angeschlossenen Polygonzug, wird die Methode der Verschiebungsellipsen sowohl bei der Ausgleichung des Polygonzuges, als auch bei dcr Bestimmung der Fehlerellipsen in einzetnen Polygonpunkten angewendet.

2. EINSEITIG ANGESCHLOSSENER POLYGONZUG

Der Polygonzug (Abb. l) ist im Punkte PI an ein Netz yon festen Punkten ange-

schlossen. Der Anfangspunkt PI wird mit dem durch die FehlereIlipse charakterisier-

ten Lagefehler bestimmt. Diese Ellipse hat die

Halbachsen m a, mb und ist vom Koord ina t en - y

system X, Yum den Winkel z 1 teilweise umgedreht . ~

s3 O,Ix ' /

/ 116 / /

Po l " M

*) Anschrift: Husova 5, Praha l - Star~ M~sto.

studia geoph, et geod. IZ {[968) I[

E. ProchtJzka

Den Polygonzug k6nnen wir aIs eine Konsole betrachten, die aus streckbarea

jedoch unbie~amen StS.ben vonder Liinge s zusammengesetzt ist. welche miteinander und mit nachgiebigem Widerlager duxch elastische Gelenke verbunden sind.

Die Starrheiten der StS, be sind durch die Gewichte p der L/ingen yon Polygon- seiten s gegeben, die Starrheiten der Gelenke gleichen den Gewichten p,,, der Bre-

chungswinkel co und die Stm'rheiten des Widerlagers im Punkte P, in Richtung der Achsen der Verschiebungsellipse werden durch die Gewichte p~, Pb gegeben.

Die Beziehung zwischen den Gewichten und mittlerea Fehlern ist dutch die aus der Ausgleichungsrechnung bekannte GI. p m z = p , ~ m ~ = p,m~ = p d n g = m o ge- geben, w o m die mittleren Fehler yon Uangen der Polygonseiten, ;n~ die mittleren Fehler der Winkel in Radianten bedeutet, m~, mb bezeichnen die mittleren Fehler in

der kage des Puaktes Px in Richtung der Achsen der Fehlerellipse tmd mo bedeutet den mittleren Gewichtseinheitsfehler. Wenn wir den mittleren Fehler mo aus dem mittleren Fehler m " in Sekunden ausdriicken, dann gilt

(1) = p , d n ,:o" = p d n ~ = p b m = m~,

wo L) = 206 265. Wenn wir den L~ngenfehler m aus der Beziehm',~_ m = _.a-c ,~"s zum Ausdruck bringen, wo s die LS.nge der Polygonseiten bedeutet, erhaiten wit die

Beziehung zwischen den Gewichten p, Po,, P, und Pb, die durch folgende G1. gegebert ist

(2) P : P,, : P~ " Pb = c-2s-1 " m"-a~ " m2 2 " mb -2 �9

Wenn wir die Fehlerellipse im Endpunkt P, des Polygonzuges konstruieren sollen, lassen wir in diesem Punkte sukzessiv die Kraft Q.~ = 1 und Qy = 1 wirken tmd er- mitteln die Verschiebungen des Punktes P,., die durch diese Belastung entstehen

werden. Die durch die Kraft Q_~ = 1 in Richtung der Koordinatenachsen abgeleitetert Verschiebungen werden wit als 6~, 6yx and die durch die Kraft Qy = 1 verursachten Verschiebungen in Richtung dieser Achsen a[s 6~, ,5, bezeichnen. Die Werte dieser Verschiebungen ergeben sich aus dem Prinzip der virtuellen Form/inderungsarbeit. Die Kraft Q.~ = 1 ruft im Stab i die Stabkr~t Sxl = cos ~i, im Gelenk i das Moment

M~,i = 3', - Y l und im Widerlager PI die Widerlagerdriicke hervor, und zwar: irt der c~-Achse den Druck S~ = cos e t und in der r/-Achse den Druck Sxb = -- sin el. Ahnlich entstehen dm'ch die Kraft Q s -- 1 die Stabkraft S:.~ = sin :G das Moment Myl = x~ -- x, und die Widerlagerdriicke Sy. = sin el und S~+ = cos g~.

Aus dem Prinzip der virtuellen Formfinderungsarbeit erfolgt

n - I .-- 1

(3) = [ S;dp,] + [ + s;~ + i = 1 i = l

. - 1 . - 1

= [ cos 2 ~,/P,] + [ (Y . - Yi)'-/Po.i] + cos ' el/Pa + s in z et/p~. i = l i = l

12 Studia geoph, e t geod. IZ (t968)

Die Ausg le i ch tm9 und G e n a M g k e i t eines Pol l -qonzuges . . .

n - I n - I

~,..~ = ~,, = [ s , s , , / p , ~ + [ M . y , , / p o , ] + s , s , ~ + s . .osSp~ = i=I i = l

n - I . - 1

= [ ~i~ ~ ,co~ ~ip,] + [ (y,.- y3 (x , - x.)/p~,] + i = 1 i = l

+ sin ~t cos e~;'p, - sin ct c o s ~l/Pb, - - 1 . - 1

S ~ ; " ; 9 i 2 l &y,. = [ ;~,.'P~] + [ ,%l~,,/p~o,] + S; , /p , + Syo. p, = i = 1 i=i

n--I .--i

= [" sin z c~:/p,] + [ (x, - x.)Z/po~] + sin'- a,/t,, + cos 2 z , /pb . i = 1 i = 1

Die Gleichungen werden vereinfacht, wenn alle Brechungswinke[ c,) mit dem glei- chen Gewicht P,o = 1 abgemessen werden.

Von den Verschiebungen 6x~, @, = ~ r und 6yy werden wit auf die Richtung und GriSsse der Halbachsen der Verschiebungsel.lipse in der schon fr0,her abgeleitetcn Weise ['7] iibergehen. Die resultierenden Verschiebungen in Richtung der Achsen X, Y kann man nfimlich symbolisch schreiben

(4) a = BQ,

wo B die symmetrische Matrix (0.v = dye) darstellt

6,1s &y

und 0, Q die Spattcnvektoren bezeichnen.

,=(,,) 6~ Qy

Wenn man das Koordinatensystem am den Winkel e in die Eage X', Y' teilweise umdreht, werden die Verschiebungskomponenten cS2, 6'y und Krf.ftekomponenten Q'=, Q~, die diesen Achsen angeh6ren durch die G1.

(5),(6) ~ '= C6, Q ' = CQ,

gegeben'sein, wo C die Matrix

- s i n ~ cos

vorstellt und 6', Q' die Spaltenvektoren bedeuten.

\Q',}

Studia geoph, eL geod. IZ (1968) ]3

E. Proch6zka

Setzen wir in GI. (5) fiir 6 aus GI. (4) und ftir Q aus GI. (6) ein, e rhahen wit

(7) t~' = CBC-XQ' = D Q ' ,

wo D die symmetrische Matrix bedeutet

D = (3.~x cosZe + 6.~, sin 2~ + 6yysin2 e 3xy cos 2, - 1/2. (3x~ - 6yy)sin 2e'~

\6~ v cos 2e - 1/2. (6~x - 6yy) sin 2z 6.~ sin 2 e ~Sy sin 2e + dyy COS2S /"

Dreht man das Koordinatensystem um den Winkel eo teilweise urn, bis die Achsen Xo, Yo mit den Achsen der Verschiebungsellipse identisch werden, geht die Matrix D auf die Fo rm

oor o) ftber, wo 6~, 6 b die Halbachsen der Verschiebungsellipse bezeichnen. Was den Winkel eo anbe lang , wird in diesem Falle gehen

(8) tg 2co = 26,,r/(6.,~ - 6 ; , )

und die Hatbachsen ~5,, 6 b der VerschiebtmgselIipse werden dutch die Elemente der HauptdiagonMe der Matrix D fiir e = e o gegeben werden, so dass gilt

(9) 6, = 6.~ cos" ~o + 6~y sin 2e o + 6yy s inZco,

8b = 6.,x sin-" e o - ~5. v sin 2e o + 6yy cos 2 ~o �9

Von der Verschiebungsellipse werden wir leicht attf die Fehlerellipse iibergehen [6]. Die Achsenlage beider Ellipsen ist identisch und die Halbachsen der Fehler- ellipse sind dutch die folgenden G1. gegeben

(10) rn,, = +_mo/,v/p, , = +_mo v ' 6 , , , tn b = +_-mo/.x/'pb = +_mo ,~./6b,

wo der mittlere Gewichtseinheitsfehler ,no v o n d e r Wahl tier Gewichte nach G1. ( l) abhangt.

Fails der Polygonzug an einen festen Punkt angeschlossen ist, entfallen in den G1. (3) die letzten zwei Glieder, die die Verschiebung des Punktes PI ausdri.icken; sonst / inder t sich der l=ortgang bel der L6sung nicht. Die angeffihrte Methode kann man auch zur Festsetzung der Genauigkei t bei der Punktbest immung durch Polarkoordinaten benutzen; der Polygonzug wird in diesem Falle auf eine einzige Seite reduziert.

3. BEIDERSEITIG A N G E S C H L O S S E N E R P O L Y G O N Z U G

Ein Fall dieser Art wurde schon unter Anwendung der Methode der Verschiebungs- eltipsen, jedoch graphisch, gel6st [5]; im vorliegenden Fa/ie verwendet m a n die nu-

merische LOsung.

14 Studia geoph, et geod. 12 (1968)

Die Ausgleichung und Genauigkeit eines Polygonz'4ges...

3.1 Die A u s g l e i c h u n g

Den Polygonzug kann man fiir eine Stabkonstruktion halten, die aus unbiegsamen aber streckbaren St/iben zusammengesetzt ist, welche miteinander und mit den Wider- lagern durch elastische Gelenke verbunden sind. Die Starrheiten einzelner EIemente werden wieder durch die G[. (2) gegeben.

Die beschrieberte Stabkonstruktion ersetzen wir durch die Konsole PtP5 nach [2] (Abb. 2). Den Endarm P~P5 denken wir uns dutch ein elastisches Gelenk mit dem

~3

'~k

\ ~ f f Abb. 2. I

Stab PsP verbunden, der die Richtung vorstellt, an die der Polygonzug wmkelm/issig angeschlossen ist. Setzen wit weiter voraus, dass der Stab P5 P mit dem steifen Arm PsO lest verbunden ist.

Den Effekt des rechten Widerlagers ersetzen wit durch drei im Punkte O wirkende statisch Unlc;estimmten, d. h. dutch die Kr~ifte X~, X 2 und das Moment X3. Nach dem Superpositionsgesetz gleichen die resultierenden Komponenten 65t, 65,, der Ver- schiebung des Punktes O und der Teilumdrehung 3 3 des Armes OPs der Summe yon Verschiebungen oder Teilumdrehungen, die durch Einfliisse der statisch Unbestimm- ten X1,X2 und X3 verursacht wurden. Wenn 5ik die durch die GrSsse Xk = 1 (k = 1, 2, 3) in Richtung j - I, 2, 3 hervorgerufeae Ver/inderung bedeutet, wird der Effekt der GrSsse X k 4= 1 durch das Produkt 65jkXk und die resultierenden Ver~in- derungen dutch die folgertden GI. gegeben werden

(11) 65~ --" 8 t t X t + 651:,Xz + ~13X3, 3: = 821X t -t- 322X 2 -~- ()23X3 ,

r = 8 3 t X I + 832X2 + 6533X3 �9

Man kann daher die Verschiebtmgen 5 i dutch die symbolische GI. 6 = AX aus- driicken, wo 6 und X die Spaltenvektoren und A die Matrix bedeutet:

= 652 , X = X 2 , A =

83 3 ~31 832

Studia geoph et geod. 12 (1968) 1 5

E. Prochdzka

Die Werte von Elementen bjk dieser Matrix folgen aus dem Prinzip der virtuellen

Form~inderungsarbeit

n--1

("4 = [ s, is i/pi] + i i=l i=l

In GI. (12) bedeuten Sji und Ski die Stabkr,~fte, die durch die im Punk t O wirkende Belastung Xj = l, bzw. Xk = 1 in den Sdiben sl abgeleitet wurden, ~VIj~ und Mk~

bedeuten die Momente, die du rch dieselbe Tabelle 1. Belastung in Gelenken Pi hervorgerufen

wurden und pz, p~,~ bezeichnen die Starr- y = k Sjl = &a Mji = M~i heiten der St'abe und Gelenke. Die Stab-

kr~itte S;~, Ski and Momente M;i, Mki sind in Tab. 1 eingetragen. Die Koord ina t en

1 cos ~i -Y} 2 sin ~i ~ x~ x'i, Y~ werden zum Punkte O als neuem 3 - i Koordinatenanfang bezogen, so dass gilt

I x ' i = x i - x o , Y ' i = Y l - Y o , wo Xo, Yo die Koordinaten des Punktes O bedeuten.

Wenn wlr in die G1. (12) die Werte atts Tab. 1 einsetzen, erhalten wir

n--1 i n--1 i ,2 / --= X l ~,,2/_ q 322 [ s in2 'Y.i/Pi] + x i /P,oi] (13) 3~ [ cos2" t /P, ] + . , /v~,,J, =

i = l i=l ;=1 i= I

n - I i i , ,/ 333 = 1/p,~i], 312 = 3 2 1 = [ sin~icoscti/P~]- xiyl/P~,,],

i=l i = I i=l

~513 = 631 ---- - - } i /Pc, i] , 323 = ~32 = xi/P~oi]" i = l i = 1

Wenn wit den Punkt O im Schwerpunkt der Punkte Pi mit den Massen 1/p,~i

wfihlen, so werden die Summen i Y'/P,oi], i x'/p~oi] Null gleichen und infolgedessen i = l i=l

werden attcll die Koeffizienten 3,3 = 331 = 3,_3 = 332 = 0 sein. Die Matr ix A geht

dadurch auf die Form

/ 3 1 1 3 1 2 0 0 ) A=k;2~ 3:2 , , 0 333 ,

fiber, die wir Tensor des gegebenen Polygonzuges nennen werden.

Es hS, ngen daher die Verschiebungen 61, 6, des Punktes O bloss yon den Kr~iften XI, X2 ab und die Teilumdrehung 3 a ist nut eine Funkt ion des Momentes X 3. Die

G1. (11) gehen dadurch auf folgende Form tiber

(14. I - 3 ) 31 --~ 311X 1 + 312X 2 , 62 = ~21XI '}- 322X2 , 33 = 333X3 �9

16 Studia geoph, et geod. 12 (19S8)

Die Ausg le ichung und Genau igke i t e ines Po lygonzuges . . .

Die GI. (14.1) und (t4.2) kann man symbolisch schreiben

wo a und X die Spal tenvektoren bedeutcn

und A die symmetr ische Matr ix (512 = 621) darstellt.

\621 6:z/ Wenn sich die Kraft X = 1 um den Punkt O herumdrehen wird und wenn ihr Strahl mit der

X-Achse den Winkel ~ schliesst, dann haben ihre Achsenkomponenten die Wcrte cos e, sin ~. Aus der G1. (15) ergibt sich, dass der Endpunkt des Vektors ~ in diesem Falle eine Ellipse be- schreibt, welche wit die Verschiebungsellipse E a nennen.

Die G1. (15) ist es m6glich in der F o r m

(16) = -la,

umzuschreiben, wo ~,-1 die inverse Matrix zur Matr ix A darstellt

\ A I ~ ,422// - -021 6 1 1 / ! '

wobei .4 die Determinante und "4"s~ die algebradschen Komplcmen tc der Matr ix bezeichnen. Es ist dies wiederum eine symmetr ische Matrix, dean A:I = "~2-

Wird sich um den Punkt O der Vektor 6 = 1 herumdrehen, und wird sein Strahl mit der X-Achse den Winkel fl schliessen, dann haben seine Achsenkomponenten die Werte cos fl, sin ft. Aus G1. (16) folgt, dass der Endpunkt des Kraftvektors ~ eine Ellipse beschreibt, die wir als die Verschiebungsellipse Eq bczeichnen.

Bei der Ausgleichung des Polygonzuges werden wit also derar t vorgehen, dass wir den Polygonzug als eine unbelastete Kons t ruk t ion berechnen werden, deren F o r m du tch die abgemessenen L~ngen der Sciten

und Winkel gegeben ist. Wir erhalten dadurch I X, ~ p,:, , J P die Punkte P I , P i . . . . . P ; - l , P: (Abb. 3). Der 0 L Z2 X\ ~ , / / , / E n d p u n k t P; hat die Koord ina ten x;, y" und ,Z . ]~x> . . cfo *X \. " / , , ~ . , - d,er letzte Sichtstrahl hat den Richtungswinkel ~"i' f3"..r ~ 4 " " "" ~ r " a ~,~;" / / .y.~ ":- c% Der Winkelwiderspruch ist also 5~ -- as = ~ " . \ / - ' - . . . . \ fz . / = ~, - ~'.. U m den Arm OP'~ um den Winkel ~ " x " \ " - . ~ / . / - " \ ~, .

6 3 teilweise umzudrehen, ist es notwendig, \ . "\ P/'./ ~'-, " ~ r . ) l I

dass im Punkte O das folgende durch die \ . . [ ro GI. (14:3)gegebene Moment - X3 wirke ~ [ \ . . . p.

(17) - X a = 63/633 �9 Abb. 3. 4

studia geoph, et geod. 12 (1968) 17

E . P r o c h d z k a

Die Verformungen A ~ der elastischen Gelenke an der linken Seite des Polygonzuges tragen das entgegengesetzte Vorzeichen als das Moment X3, so dass gilt

(!.8) /1 i = - - X 3 / p ~ i = (~3/Pmi~33 .

Wenn die Starrheiten p~ aller etastischen Gelenke gleich sind, werden wir sie gleich Eins setzen. Aus G1. (13) geht dann 333 = ,2 auf und durch Einsetzen in G1. (18) erhalten wit A~ = 33/n.

Die Deformationen A~ stellen die dutch das Moment X 3 verursachten VerS.nderun- gender elastischen Gelenke vor. Dutch den Anschluss der Verbesserungen A i an die abgemessenen Werte der Brechungswinkel wird eine Ausgleichung durchgefiihrt, welche man in der Ausgleichungsrechnung die Winkelausgleichung nennt. Mit Riicksicht darauf, dass nach den G1. (14) die Kr~ifte X1, X z die Teitumdrehung 33 nicht verursachen, istes m6glich den Effekt des Momentes X3 vom Effekt der Krtifte X1, X2 zu trennen. Durch den Einftuss der Wirkung des Momentes X3 dreht sich der A r m OPt, (Abb. 3) in die Lage OP~ teilweise um. Wenn wir die Koordinaten des Punktes P;~ als x~, y~ bezeichnen, erwerben die Koordinatenwiderspriiche die Werte 6.~ = 61 = x, - x~, 3y = (52 = y, - y~. Dutch den Einfluss der im Punkte O wirkenden und aus G[. (16) folgenden Kr~ifte Xt, Xz wird der Arm OP'~ in die Lage O'P,, gebracht, wobei OP'~ 11 O 'P , .

Aus den Kr/iftekomponenten X~, X, und aus dem Moment X 3 berechnen wit die durch die Ausgleichung entstaadenen Verbesserungen der L/ingen und Winkel. Die Verbesserungen v~ der L/i, ngen s~ werden durch den Quotienten der Stabkr~iftc S~ und der Starrheiten der Stftbe p~ gegeben, so dass gilt

(19) vi = S, /pi = (Xt cos :~i + Xz sin ~i) /Pi .

Die Verbesserungen w i der Winke[ co i sind mit den durch die Kr~ifte Xl, X2 und d ~ Moment X 3 hervorgerufenen Verformungen der elastischen Gelenke gegeben. Die Verbesserungen w~ gibt der Quotient des mit negativem Vorzeichen genommenen Gesamtmomentes M; und der Starrheit P,o~ des entsprechenden Gelenkes an. Nach der r auf die Sekunden erhalten wir

(20) wi = -QMJpo~ i = o~(Xly'~ - Xzx' i - X3)/Po~, = Q(XlY'i - X2x; ) /p , , , + d , ,

wo A [die dutch GI. (18) gegebene Winketverbesserung nach der Ausdriickung in Se- ktmden darsteUt. Die positivert Verbesserungen w s bedeuten den Zuwachs der links- seitigen Brechungswinkel co~.

Zu analogen Gleichungen ist auch Eggert [4] durch die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate bei bedingten Beobachtungen gelangt. Die GI. (14.1), (14.2) entsprechen den Normal- gleichtmgen (14) des zitierten Artikels und die Kr~iftekomponenten X 1 , X 2 stellen die Korrelaten k z , k i dar. Eine Gerade, in der die Resultante der KrS.fte Xt, X 2 liegt, nennt Eggert die Aus- gleichungsgerade.

]8 Studia geoph, et geod. 12 (1968)

Die Ausgleichun9 und Genauiqkeit eines Polygonzu#es . . �9

Aus den Verbesserungen v und w kann man den mittteren Gewichtseinheitsfehler mo nach der folgenden G1. berechnen

n--[ n

, , ,0 = _ + , , ( [ + [ /=t i=i

Durch den Nermer des unter dem Wurzelzeichen stehenden Ausdrucks wird klar- geleg, dass das System drei tiberschiissige Beobachtungen enth/ilt.

3.2 Die F e h l e r e l l i p s e

In einem Polygonzug (Abb. 4) ist die Fehlere[lipse im Punkte/0 3 ~ /04 Ztt ermitteln. Wir werden in diesem Punkte die Kdifte Q~ = 1, Qr. = 1 abgesondert wirken la.ssert

4,(:,, x s~

p, A b b . 4.

und die entsprechenden Verschiebungskomponenten 3j~, 6j-y in Richtung j = 1, 2, 3 ermitteln. Diese Komponenten ergeben sich aus dem Prinzip der virtuellen Formfin- derungsarbeit

n - 1 . - 1

(22) 6j., = [ S;,S.,Jpi] + i MiuTvI~i/P~,], 6;,. = [ S;,S,,i/p,] + i MiiM,,/".~,]. i = 1 i=l i=1 i=I

In diesen GI. bedeuten Si~ , S~, Sy~ die StabkrMte ia dea St~bcn si und zwar: Sj~, die dutch die im Punkt O wirkende Bclastung X i = 1 trod S.~, Syi, die durch die im Punkte pq wirkende Kraft Qx = 1 bzw. Qy --- 1 verursacht wurden; Mii , M~, Mri bezeichrten die Momente in den Gelenken Pi und zwar: M;~, die durch die im Punkt O wirkende Belastung X i = 1 und Mxi, Myl, die dutch die im Purtkte Pq wirkende Kraft Q~ = 1 bzw. Q~ = 1 hervorgerufen wurden.

Die Kr/ifte Qx und Qy leiten Stabkr/ifte und Momente bbss in der linken Seite der Konsole ab. lhre Werte sind durch folgende GI., und zwar fiir den Belastungsfall. Qx = 1

r (23) Sxi = cos ~i, M.~i = y~ - y'i,

S t u d i a g e o p h , e t g e o d . 12 (1968) 1 9

E. Prochcizka

und fiir den Belastungsfall Qy = 1

t (24) Syi = sin z i , My, = .x'i - xq,

gegeben. Die Indexe i beziehen sich nur auf den linken, belasteten Teil tier Konsole, so dass yon ihnen gilt: i = 1, 2 . . . . . q - 1.

Wenn wir in die G1. (22)fiir Sj~ und M~.~ aus Tab. 1 und ffi.r S~, M~ , S:,i, Mj, i aus den GI. (23) und (24) einsetzen, erhalten wir

(25)

/~lx =

~3X

t) ly =

C')2y :

03y

[ co~ ~ ~,/p,] - [y ' , (y ' , - y',)/po,] = [co~-" ~,ip,] + [ y ' ? / p ~ ; ] - y ; [ y ' / p . , ] .

[ ~ i n ~ , c o ~ , / p , l + .~, ,' ' ,: r~, ,, , , , [ . " , ( : , - y,. p~,,] = [s in z~ i cos e , /p , ] - L- iY~/P~d +Y, [x i /p~ , ] .

[ ( y ; - y~)/po,] = y'~D/p,o,] - [y ' , /p~,] ,

[s in .z~, cos ~ , /p , ] - [ y ' i ( x ; - x ' q ) Ip~ . , ] = [s in 7, cos ~,/p,] - [x'iy',/p,o, ] +x'~[y',/p~,].

[ ~ i ~ ~- ~,/p,] + [~ ' , ( .~ ; - .~;)/vo,] = [ ~ i n ~ ~,/p,] + [.~'?/po,,] - .~'~[x',/p,.~,],

[(x', - x ; ) / p o , ] = - x ' ~ [ l / p o , ] + [x ' , / p~ , ] ; (~ = 1, 2 . . . . . q - 1 ) .

Um eine Verschiebung des Endpunktes P, und die VerLinderung der Richtung P,P zu vermeiden, daft es weder zu Verschiebungen des Punktes O noch zu einer Teilum- drehung des Armes OP, kommen. Bei der Belastung mit der Kraft Q~ = 1 wird es daher notwendig sein dass im Punkt O einerseits die Kr/ifte X~, X2, wirken, die die Verschiebungen - 5 ~ , - 6 2 ~ hervorrufen werden, anderseits das Moment X3~ einwirke, das die Teilumdrehung - 5 3 , ableiten wird..g, hrflich bei der Belastung mit der Kraft~ Qy = 1 mfissen im Punkt O die KrLtfte Xty, X2r, weiche die Verschiebun- gen -6~y, -cS2y verursachen werden, sowie das Moment X3r, das die Teilumdre- hung -63y hervorbringen wird, wirken.

Die Kr/ifte XI~, X2~ folgen aus GI. (16)

(26) ~ = ~ - a~ . ,

wo X~ und/ix die Spaltenvektoren vorsteUen.

\ X z ~ ] ' " \ - 6 2 ~ /

Analog erhalten wir aus GI. (16) auch die Kr/ifte Xly, Xzy

.(27) X,, = A - ' ~ , ,

wo durch~Xy und Sy die Spaltenvektoren dargestellt werden.

x , = \ x , _ , / ' , , - a ~ , / "

: ~0 S t u d i a g e o p h , e t g e o d . 12 (19681

Die Ausgleichung und Genauigkeit eines Polygonzuges. . .

Die Momente X3, und X3y effolgen aus GI. (14.3)

(28.) X 3 ~ = - d 3 . ~ / d ~ a , X3~=-O3y, :oa3.

Die durch die Belastung mit der Kraft Q.~ = 1 bzw. Qy = 1 verursachten Stab- l~ingeS.nderungen und Gelenkeverformungen des Polygonzuges werden wir anhand de, den G1. (19) und (a0) analogen Gleichungen berechnen. Es sind daher die dutch die Kraft Q.~ = 1 in den Elementea zwischen den Punkten Pq bis P, abgeleiteten De- formationen v~ und w~ {in Radianten) dutch die folgenden G1. gegeben

v9~ = (X,~ cos ce~ _ = (XI.~Y'i - X2~r162 - Xa_,')/P~i (- , v~i + X,.~ sin ar Wxi . .

Ahnlich werden die durch die Kraft Qy = 1 in den Elementen zwischen den Punkten Pq bis P, hervorgerufenen Verformungen v~,, wy durch die folgenden G1. gegeben

(30) ~., = ( x . co~ ~ + x . ~i~ ~ , ) / p , , w.~ = ( X . y ; - x. , .~', - x . ) / p o ~ , .

Die durch die Belastung mit der Kraft Q~ = 1 bezw. Qy = 1 verursachtert Ver- schiebungen des Punktes Pq werdert wit aus dem Prinzip der virtuellen Form/inde- rungsarbeit der Konsole PqP, attsdriicken, die im Punktc P. elastisch eingespannt und im Punkte Pq mit der Kraft Q~ = 1 bzw. Qy = 1 belastet ist, f'ar den Fall, dass die StablS.nge/inderungen vxi, vyi und die Gelenkeverformungen wxi , wy/ durch die G1. (29) und (30) gegeben sind.

Die durch die Kraft Q.~ = 1 in Richtung der X-Achse hervorgcrufenen Verschie- bungen lasst uns mit 3x~, in Richtung der Y-Achse mit 6y~ und analog die dutch die Kraft Qy = 1 abgeleitetea Vcrschiebungen mit 6~y, 6yy bezeichnen. Die virtueUe Form/inderungsarbeit der Momente ist negativ, denn die positiven Momente verrin- gern die linksscitigen Brechungswinkel e2. Es gilt also

v v p , ! (31) 6. . = [ S..iv~i ] - M. ,w . , ] . 6,., = [ Sy i v . i ] - M, ov.,] , i=q i=q+ 1 i = q / = q + i

. ~ P ! , , ~ = [ s ; : . , ] - M ; , w . , ] , ~,. [ S : . , ] - M . , ~ . � 9 1 i=q i = q + l i=q i = q + l

Die Verformungen vx;, vy~ und w~, wy~ werden dutch die GI. (29) und (30) gegeben. t Weiter kommen in den G1. (131) die Stabkr~.fte S'xi, Ss, i in den St/iben Sq bis s._t und

die Momente M'~, M'yl in den Gelenken q + I bis n d e r Konsole PqP, vor, die im Punkte Pq mit der Kraft Qx = 1 bzw. Qy = 1 belastet ist. Ihre Werte sind dutch die folgenden G[. gegeben

(32) S . . . . . . . ~i = - c o s 71, Syi = - s i n ~ , M' = Yi yq , My~ = x~ - x i x i - -

S t t ; d i a g e o p h e t g e o d . 12 (1968} 2 1 .

E. Prochdzka

D u t c h Einsetzen aus den GI. (29), (30) und (32 ) in die GI. (31) und nach Einfi ihren

der Ausdr i icke

I t t t 2 ! (33) R, = [ cos 2 ~;..'p,] - ),, yJpo , , ] + y , / p ~ J , i=q i = q + L i = q + I

p tl t ~I Rz = [ sin cq cos ~t~/p~] + y , xi/p,o~] - x~y,/po, i ] ,

imq i = q + l i = q + l

R3 = Y, 1/P~,i] -- YffPo~i], i=q+ 1 i = q + i

r tl t ,t t

i = q i = q + I i = q + l

n - - I i t / i , 2 i R s = [ sin z ~, /p ,] - x ; x, lp~,i] + x i / p ~ , ] , i=q i = q + l i=q ' t - I

R 6 = - x q 1/p.~i] + x~/po~i], i=q'l" l i = q + l

erha l ten wir

(34) cSx.~ = - - X t x R t - X 2 x R 2 - X3xR3 , 6yx = - X t x R 4 - X z x R 5 - - X 3 x R 6 ,

6.~y = - X I y R t - X2yR 2 - X z y R 3 , Osy = - X l y R 4 - X 2 y R 5 - - X3yR6"

Die Ausdr i icke R werden vereinfacht , wenn alle Brechungswinket o) m i t ~e i c he m

Gewicht p~, = 1 gemessen werden. Als Kont ro l l e der Berechnungsr icht igkei t gilt die

Gle ichhei t ~5y x = gxy.

Aus den De fo rma t ionen ~5 .... 6yx = 6x~. und 6.~y berechnen wir mit Hitfe von G1. (8)

und (9) den Neigungswinkel eo und Halbachsen 6~, 6 b der Ver sch iebun~e l l i p se und

yon dieser Ell ipse werden wir anhand der G1. (10) auf die Fehlere l l ipse O.bergehen.

Der mit t lere Gewichtseinhei tsfehler mo ist dabei durch die GI. (21) gegeben.

4. EIN BEISPIEL

Ein beiderseitig angeschlossener Polygonzug soil ausgeglichen werden und im Punkte P5 soil man die Fehlerellipse bestimmten. Zum Vergleich mit den durch andere Methoden erworbenen Ergebnissen der Ausgleichung hat man dasselbe Beispiel wie in [3--5] angewendet.

Wenn wir die Starrheiten p der Stiibe aus der G1. (2) ausdracken p = p,~m"2/(ceoZs) und mit Eggert [4] iibereinstimmend p~,----1, c = 0,015 [mt;2], m " = • einffihren, erhalten wir p = 302/(O, O15ZO2s) -'- 1Is. 10 -'~ [m-2], wo die L~ngen s der Polygonseiten in Meter ausgedrfickt sind.

4.1 D i e A u s g l e i c h u n g

In Tab. 3 wurde die Winkelausgleichung durchgefi~hrt und unter Anwendung von ausgeglichenen Brechungswinkeln wurden die Summen der ann~hernden Koordinatenunterschiede [Ax'] und [Ay'] berechnet.

22 S t u d i a g e o p h , e t g e o d . lZ (1968)

Die Ausg l e i chung u n d Genau igke i t eines P o l y g o n z u g e s . . .

Aus den numerischen Werten in Tab. 2 und 3 erfolgen die Koordinatenwiderspr t iche 6x, ,52

des Polygonzuges nach der Winkelausgteichung 6 t = [ & x ] - [Ax'] = - - 6 8 8 , 8 9 - - 6 8 8 , 4 7 =

= --0,42 m, 62 ---- [Ay] -- [Ay'] = --775,65 -a- 775,38 = --0,27 m.

Die Koordina ten x, y der Brechungspunkte hat man nach der Abrundung auf ganze m in die

Tab. 3 eingetragen und aus den Sum m en [x] und [y] die Koord ina ten des Schwerpunktes berechnet

x 0 -= Ix]In ~ 54 487 m, Yo = [yl /n -'-: 7 463 m. Durch Einsetzen der numeriscl-ten Werte aus Tab. 4 und 5 in die GI. (13) erhalten wir

J t t = 0,9150. 107 x. 0,0668. 10 v = 0,9818. 107 m 2 ,

d22 = 0,5390. 107 -~- 0,0420. 107 = 0,5810. 107 m 2 ,

at2 = az t = 0,1385 . 107 -- 0,0393 . 107 = 0,0992 107 m 2 .

Tabelle 2.

i x y Punkt i

J m m

P1 i 54 686,79 7 853,19

P9 I 53 997,90 7 077,54

[ a x l , [ a y l i - - 688,89 - -775 ,65 1

Tabelle 3.

co c~ s ~ x ' = s cos ~ Ay' = s sin Punkt

o �9 ITI m ITI

+ 17 5 44 39 t6 08 14

+17 201 53 10 159,60 --148,09 261 52 20

+17 283 45 47 135,72 - - 32,29 196 47 10

+27 300 33 14 66,45 - - 33,78 189 1400

+17 309 47 31 117,33 - - 75,09 98 05 00

+17 227 52 48 253,83 --170,24 251 01 40

§ 298 54 45 131,t3 - - 63,40 74 36 35

+17 193 31 37 365,22 --355,08 178 50 55

+ l s 192 22 49 224,85 --219,62 86 32 40

98 55 47

-- 59,49

--131,82

-- 57,22

-- 90,15

--188,27

114,79

- - 85,43

- - 48,21

688,47 - - 775,38

S t u d i a g e o ~ h , e t g o o d . 12 (1968) 2 3

E. Proch6zka

Tabetle 4.

slrl ~ COS c~ sin 2 =/p cos z c~/p sin ~ COS ~:/p

m2/lO 4 m2/lO 4 m2/lO "* m2/lO 4

--0,37276 --0,92793 160 --0,97129 4-0,23791 136 --0,86115 +0,50835 66 --0,76837 +0 ,64000 117 --0,74174 --0,67069 254 --0,87536 +0 ,48347 131 --0,23393 --0,97226 365

1 --0,21440 --0,97675 225

22,232 128,302 48,944 69,076

139,746 t00,380

19,973 10,343

137,768 7,698

17,056 47,923

114,257 30,620

345,031 214,659

+ 55,344 - - 31,427 - - 28,893 - - 57,536 + 126,360 - - 55,441 -r- 83,016 + 47,120

i] 538,996 915,012 +138,543 t = l

i ] 268,554 210,445 - - 62,512 t=1

i ] 270,442 704,567 + 201.055 , = i 5

Tabelle 5.

x y x'= x-- x Oy'= y-- YO x'2 /2 x'y"

m m 1"t1 121 m 2 n l 2

54 687 7 853 54 539 7 794 54 571 7 662 54 605 7605 54 680 7 515 54 510 7 326 54 573 7 211 54 218 7 126 53 998 7 078

-4:-200 4- 390 7- 52 -r- 331

84 + 199 4 1 1 8 + 142 .4:.193 + 52 -r- 23 -- 137 + 86 -- 252 - -269 -- 337 - -489 - - 385

40 000 2 704 7 056

13 924 37 249

529 7 396

72 361 239 121

m 2

152 I00 + 78 000 109 561 -r 17 212

39 601 + 16 716 20 164 + 16 756

2 704 + 10 O36 18 769 - - 3 151 63 504 - - 21 672

113569 + 90 653 148 225 + 188 265

i i 490 381 67 170 - - 2 -4:- 3 420 340 668 197 -4:-392 815 ;.=

i ] -4:-454 -4:-1 062 63 684 321 426 _a 128 684

i ] - -649 - -1 111 319407 344067 + 2 5 4 0 9 5 i=6

24 StudJa geoph, et geod. 12 (1968)

Die Ausgleichun 9 und Genauigkeit eines Polvgonzuges . . .

Tabelle 6.

X 1 cos ct/p X 1 sin ~/P v - - (1) -7- (2) pv 2 108

(1) (2) m

1 + 0,058 2 --0,013 3 --0,013 4 --0,029 5 +0 ,066 6 --0,025 " +0,138 8 +0,085

+ 0,024 .-4- 0.082 0,420 +0 ,053 + 0,040 0,118 +0,023 +0,010 0,015 + 0,036 + 0,007 0,004 +0,075 +0,141 0,783 + 0,046 + 0,021 0,034 +0 ,034 4-0.172 0,811 +0 ,019 +0,104 0.481

[ ] 2.665

Tabelle 7.

XlytQ --X2X" o ~ w = (1) + (2) + (3) w 2 i

(1) (2) (3) # ,z

1 --3,1 - -2 ,6 - -1 ,6 --1,1 - -0 ,4 +1 ,1 + 2 , 0 + 2 , 7 +3 ,1

+ 1 , 6 + 0 , 4 + 0 , 7 + 1 , 0 + 1 , 6 + 0 , 2 + 0 , 7 - - 2,2 - -4 ,0

+ 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 8

+15 ,5 +14 ,8 +16,1 +16 ,9 +18 ,2 +18 ,3 +19 ,7 +17 ,5 +17,1

240,25 219,04 259,21 285,61 331,24 334,89 388,09 306,25 292,41

[ ] 154 154,1 2 656,99

f

Die der MatrLx A angeh6rende Determinante A hat den Wert A = ~t I t ~ 2 2 - - 61122 = 560 585 ,

�9 ]0 a m'* und die Kr/iftr X1, X 2 folgen aus der GI. (16) X t = (322fi t - - 3 ~ z ~ 2 ) / A ~ - - 3 , 8 8 . �9 10 - 8 m - I , X 2 = (~11fi2 -- 621~1)/A = - - 3 , 9 9 . 10 - 8 m -1 .

Anhand der G1. (19) und (20) hat man in Tab. 6 und 7 die Verbesserungen v, w und Ausdr~cke [pv 2] und [po,w 2] zahlenm~.ssig festgelegt. Wenn wir in die GI. (21) f~ir [po 2] = 2,665. 10-8 und fi.ir [pcow2]/O 2 = 6,245. 10-8 einsetzen, dann erhalten wir den mittleren Gewichtseinheitsfehler m o = • 10 - 4 .

Studia geoph, et geod, 1Z (196a) 25

E. Prochdzka

4.2 Die Fehlerel l ipse im Punkte P5

D u r c h Einsetzen der numer i schen Wer te aus Tab . 4 u n d 5 in die GI. (25) e r h a l t e n wit

a a x = ( 2 1 0 , 5 + 3 2 , 1 - - 5 2 . 0 , 1 1 ) 1 0 4 = 2 3 6 , 9 . 1 0 ' ~ m 2 ,

~z~ = ( - 62,5 - - 1 2 , 9 + 5 2 . 0 , 0 5 ) 1 0 4 = - 7 2 , 8 . 1 0 "~m ~-,

~ 3 x = 5 2 . 4 - - 1 0 6 2 = - - 8 5 4 m ,

a l ; , = ( - 6 2 , 5 - - 12,9 + 193 . 0,11) 104" = - - 5 4 , 2 . 1 0 4 m z ,

6 2 ) , = ( 2 6 8 , 6 + 6 , 4 - - 1 9 3 . 0 , 0 5 ) 1 0 4 = 2 6 5 , 3 . 1 0 4 m 2 ,

a 3 y = - - 1 9 3 . 4 + 4 5 4 = - - - 3 1 8 m .

Die Kraf te X l x , X2x ,

X l x = ( a l 2 a 2 x - a 2 2 0 1 x ) / A

x , y = (at=a,_,-- az2a,y)/A

Welter werden wir mit Hilfe der Koeff iz ienten R zahlenm~issig festlegen

R 1 =

R 2 =-

R 3

)~4 :=

R s =

R6

Selzen wit in die GI. e rha l ten wit

~ = 0,258

Xly, X2y und M o m e n t e )t3x, X3~ erfolgen aus den GI. (26) bis (28)

= - - 0 , 2 5 8 , X,~, = ( a z l a l y - a l l o 2 y ) / A = - - 0 , 4 7 4 ,

= 0 ,169 , X3x = - - a a x / J 3 3 = 94,8 m ,

= 0,103 , X3y = - a 3 y / a 3 3 = 35,3 m.

Werte aus Tab . 4 und 5 die du rch die GI. (33) gegebenen

(705 i- 5 2 . 0 , 1 1 + 34) 10"*= 7 4 5 . 1 0 4 m 2,

(201 - - 5 2 . 0 , 0 6 - - 25) 10 z = 1 7 3 . 1 0 4 m 2,

5 2 . 4 - ~ - 1111 = 1 3 1 9 m ,

(201 - - 193 .0 ,11 - - 25) I 0 4 = 155. 104 m 2,

(270 § 1 9 3 . 0 , 0 6 -Y 32) 104~= 3 1 4 . 1 0 4 m 2,

= - - 1 9 3 . 4 - - 649 - - - - 1 4 2 1 m.

(34) ein u n d runden wir a u f das n~.chstc Vielfache 0,5. I0 ~" m 2 ab, d a n n

745 . 104 - - 0 ,169�9 173 . 104 - - 94 ,8 . 1 319 -'- 150,5 . 10 a" m 2 ,

6rx = 0 ,258 . 155 . 104 - - 0 ,169 . 314 . 104 + 94,8 . 1 421 -- . : 0 , 5 . 104 m 2 ,

6xy = - - 0 , 1 0 3 . 745 . 104" + 0 ,474 . 173 . 104 - - 35 ,3 . 1 319 - - 0 , 5 . 10 a" m 2 ,

3>.y = - -0 ,103 . 1 5 5 . 1 0 4 + 0 ,474 . 314 . 104 + 35 ,5 . 1 421 --'- 138,0 . 104 m 2 .

Der Ne igungswinke l e o d e r Verschiebungsel l ipse wird durch die GI. (8) gegeben , so dass gilt

tg 2e o = 2 . 0 , 5 / ( 1 5 0 , 5 - - 138,0) - - 0,08, d. h. e o - - 2~ ' und die H a l b a c h s e n a s, at, dieser Ellipse werdert durch GI. (9) bes t immt

a a = (150,5 . 0,998 + 0 , 5 . 0 , 0 8 + 1 3 8 , 0 . 0 , 0 0 2 ) 104 = 150,52. 104 m 2 ,

65 = (150 ,5 .0 ,002 - - 0 , 5 . 0 , 0 8 + 138 ,0 .0 ,998 ) 104. =: 137,99. 104 m z .

Mit Hilfe von GI. (10) berechnen wit d a n n die H a l b a c h s e n der Fehlerel l ipse

m a = _+__mo # a a = 4--1,724. 10 - 2 4 1 5 0 , 5 2 = I 0 , 2 1 2 m ,

m b = + m o .~/a 5 = + 1 , 7 2 4 . 10 - 2 3/137,99 = ~ 0 , 2 0 2 m .

E ingegangen a m 13.4 . 1967 Rezensent : J. Kadpar

2 6 Studia geoph, et geod. 12 (1968)

Die Aus9leichun9 und Genauiqkeit eines Polyyonzuges. . .

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P e 3 1 o M e

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EMANUEL PROCH,%ZKA

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l'Ioc73'ilm-m 13.4. 1967

Studia geoph, et geod. 12 (1968) 27