didaktik der analysis und der analytischen geometrie...

Didaktik der Analysis und der AnalytischenGeometrie/ Linearen Algebra

7. Analytische Geometrie I:Parameterdarstellungen, affine Geometrie

A. FillerHumboldt-Universitt zu Berlin, Institut fr Mathematik

Sommersemester 2016

Internetseite zur Vorlesung: http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/index.php?article_id=331

oder ber: http://www.mathematik.hu-berlin.de/filler/

A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 5 Folie 1 /43

Analytische Geometrie I: Parameterdarst., affine Geometrie

Analytische Geometrie I:Parameterdarstellungen, affine Geometrie

Kernideen zur (analytischen) Raumgeometrie

Koordinatisieren

ParameterdarstellungenParameterdarstellungen und Gleichungen von GeradenParameterdarstellungen und Gleichungen von Ebenen

Funktionales Denken im Zusammenhang mitParameterdarstellungen

Ausgangspunkt: Geraden Variationen der Parameterdarstellung des Einheitskreises


Kernideen zur (analytischen) Raumgeometrie1

1. Drei Dimensionen in zwei einzupacken, ist eine Kunst.

Schattenbilder eines Wrfels:Wann sieht der Wrfel realistisch oder gerade nicht realistisch aus?

1Leuders, T. (2004): Raumgeometrie: Ein Unterricht mit Kernideen. In: Der Mathematikunterricht, 50 (1-2), S. 5-28.



2. Mit Zahlen kann man Orte finden.

(Geographische Koordinaten, Planquadrate auf Landkarten (Grundrissvon Mannheim), Schach, Schiffe versenken, . . . )

Alle Probleme der Geometrie knnen leicht auf einen solchenAusdruck gebracht werden, dass es nachher nur der Kenntnisder Lnge gewisser gerader Linien bedarf, um diese Proble-me zu konstruieren.

Ren Descartes (1637)



3. Der Raum ist erfllt von Bewegungsspuren.

I zeitliche AbhngigkeitI dynamische AspekteI OrtslinienI Computernutzung




I zeitliche Struktur einer BewegungI rumliche Struktur der durchlaufenen OrteI gleichzeitige Kodierung der rumlichen und zeitlichen Struktur




Was kann man mit einem Spirographen zeichnen?




Koordinatisieren





Koordinatisieren

I Erfahrungen mit Koordinatendarstellungen schon in der Sek. II Geraden als Graphen linearer (bzw. affin-linearer) FunktionenI Beschreibung von Geraden durch implizite Gleichungen (bei der

Behandlung der LGS)I ABER: i. Allg. sind Gleichungen vorgegeben, nicht geom. Objekte

Grundlegende Strategie:Wahl eines problemadquaten Koordinatensystems

a) Aufgabe:Gib eine Gleichung von g an.

b) 1. Lsung:. y = 0.5x + 1

c) 2. Lsung:. y = 0




Koordinatisieren





Parameterdarstellungen

Problematisch:

Zwei unterschiedliche Auffassungen des Begriffs Parameter (alsvernderbare Konstante und als Variable)



Beschreibungen von Geraden

I Graphen linearer Funktionen in der Sekundarstufe II In der Ebene: Lsungsmengen linearer Gleichungen ax+ by = c

mit zwei Lsungsvariablen x und y sowie Koeffizienten a, b, cI Im Raum ist das komplizierter (zwei Gleichungen mit drei

Variablen)I Parameterdarstellungen sind in der Ebene und im Raum gleich:

g = {X | X = A + t~m, t R} oder kurz g : X = A + t~m, t RI Wird der Parameter voll durchlaufen, so erhlt man die Gerade;

dynamischer Aspekt der ParameterdarstellungI Parameter als Variable im Einsetzungsaspekt



Beschreibungen von Ebenen

I Ebene als Lsungsmenge eines LGS mit einer Gleichung und dreiLsungsvariablen

I Parameterdarstellung:E = {X | X = P + s~u + t~v, s, t R}

oder kurzE : X = P + s~u + t~v

mit den reellen Parametern s und tI Umwandlung Parameterdarstellung Gleichung



Veranschaulichung der Parameterdarstellungen von Ebenen

Ebene durch drei Punkte Ebene mit Spannvektoren


Geraden und Ebenen im Raum

Zweidimensionale Veranschaulichung von Geraden und Ebenen imRaum: Spurpunkte und Spurgeraden

Gerade:g : ~x = (3 | 6 | 9) + t

(649

)Spurpunkte:(3 |2 |0),(6 |0 |4,5),(0 |4 |4,5)

EbeneE : 30 x1+ 35 x2+ 42 x3 = 210Achsenschnittpunkte:(7 | 0 | 0),(0 | 6 | 0),(0 | 0 | 5)


Affine Geometrie

Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Geraden, Ebenen,Geraden und Ebenen

I Lsen von LGS

I Lineare Abhngigkeit (Kollinearitt und Komplanaritt) vonRichtungs- und Verbindungsvektoren



Koordinatisieren





Intentionen

I Funktionales Denken im Zusammenhang mitParameterdarstellungen

I Vernetzungen Analytische Geometrie Analysis(zumindest ansatzweise)

I Anknpfen an Sekundarstufe I:Elementargeometrie, Trigonometrie

I Formenvielfalt, sthetischer Reiz


Parameterdarstellungen als Funktionen

I Notwendig fr das Erfassen funktionaler Aspekte bei Par.darst.:Auffassung geometrischer Objekte als Punktmengen3

I Zuordnung t 7 P(t) ; bei Ebenen: (u; v) 7 P(u, v)I Aspekt nderungsverhalten korrespondiert mit einer dynamischen

Sicht: Geraden / Kurven als Bahnkurven, Parameter Zeit

2VOLLRATH, H.-J.: Funktionales Denken. In: JMD 10 (1989), S. 3-37.

3Bereits hierbei bestehen erhebliche Defizite, vgl. WITTMANN, G.: Schlerkonzepte zur Analytischen Geometrie (2003).


Aspekte funktionalen Denkens2

Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhngezwischen Gren: einer Gre ist eine andere zugeordnet . . .

Durch Funktionen erfasst man, wie nderungen einer Gre sichauf eine abhngige Gre auswirken.

Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugtenZusammenhang als Ganzes.


I Manipulierender Umgang:5 Objekt (z. B. Gerade) wird eingekap-selt als Ganzes betrachtet und durch Aufpunkt und Richtungs-vektor manipuliert.

I Reflektierender Umgang: Herstellung von Beziehungen zwischendem Objekt als Ganzem und der zugrunde liegenden Zuordnung.

4VOLLRATH, H.-J.: Funktionales Denken. In: JMD 10 (1989), S. 3-37.

5VOM HOFE, R.: ber den manipulierenden und reflektierenden Umgang mit Funktionen. In: MU 50 (2004), 6, S. 47-56.


Aspekte funktionalen Denkens4

Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhngezwischen Gren: einer Gre ist eine andere zugeordnet . . .

Durch Funktionen erfasst man, wie nderungen einer Gre sichauf eine abhngige Gre auswirken.

Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugtenZusammenhang als Ganzes.


Anstze, um den Punktmengengedanken und den Aspekt funktionalerZusammenhnge bei Parameterdarstellungen strker einzubeziehen:

(1) Konstruktion von durch Parameterdarstellungen gegebenenGeraden als Punktmengen;

I Umkehrberlegungen: welchen Parameterwerten sind bestimmtePunkte zugeordnet

I Vergleiche verschiedener Parametrisierungen derselben Objekte

(2) Betonung der dynamischen Sicht auf Geraden (und andereKurven) als Bahnkurven;

I Interpretation des Parameters als Zeit: Bezge zur Beschreibung von Bewegungen in der Physik Computeranimationen


Animationen Interpretation des Parameters als Zeit

I Animationen erfordern zeitabhngige Beschreibungen vonPositionen oder anderen Eigenschaften von Objekten.

I Interpretation des Parameters als Zeit in der Parameterdarstellungeiner Geraden

P = P0 + t ~a



I Parameterdarstellungen erhalten einen Aspekt, der diegeometrische Gestalt der durch sie beschriebenen Objekte nichtbeeinflusst:

Geschwindigkeit von Bewegungen.

Beispiel:a) P(t) = P0 + t ~a (t R+) undb) P(t) = P0 + t2 ~a (t R+)



I Zusammensetzung (Addition) von geradlinigen Bewegungen kannzu nichtlinearen Bahnkurven fhren.

Beispiel: Schrger Wurf

P(t) = P0 +~v0 t +12~g t2



Koordinatisieren





Kurven durch Variation des Einheitskreises

I Sinus und Kosinus am Einheitskreis(Sekundarstufe I):

sin = y cos = xI Verallgemeinerungen:

x() = r cosy() = r sin [0; 2)

x() = xM + r cosy() = yM + r sin

[0; 2)

I Parameterdarstellung eines Kreises mit dem Mittelpunkt imKoordinatenursprung nach Ersetzen des Parameters:

x(t) = r cos(2 t)y(t) = r sin(2 t)

t [0; 1)

Die Substitution des Parameters mittels = 2 t ist sinnvoll, wenn nochandere Gren durch den Parameter ausgedrckt werden sollen.


Kurven durch Variation des Einheitskreises

Fragen zur Modifikation des Einheitskreises

1. Welche Kurve beschreibt ein Punkt, der sich um ein Zentrumbewegt und sich dabei gleichzeitig von dem Zentrum entfernt?

2. Welche Kurve beschreibt ein Punkt im Raum, der sich um einZentrum bewegt und simultan dazu seine Hhe (beschriebenz. B. durch die z-Koordinate) verndert?


Variationen an Parameterdarstellungen von Kreisen

I Radius als Funktion des Parameters

I Archimedische Spirale

x(t) = r t cos (4 t)y(t) = r t sin (4 t) t [0; 1] ; r = const



I Hhe (bisher konstante Koordinate) als Funktion des Parameters

I Schraubenlinie (Helix, zylindrische Spirale)

x(t) = r cos (6 t)y(t) = r sin (6 t)z(t) = h t

t [0; 1] ; r, h = const



I Kombination beider Variationen

I Konische Spirale

x(t) = r t cos (6 t)y(t) = r t sin (6 t)z(t) = h t

t [0; 1] ; r, h = const


Arbeiten von Schlern (Kl. 11-12, Spezialklassen)

Halbquadratische Schnecke*

Die halbquadratischeSchnecke ist eine Va-riation der Archimedi-schen Schnecke.Eine der Koordinaten(hier x) hngt vom Qua-drat des Parameters tab.

x(t) = t2 cos(2t)y(t) = t sin(2t)

* Die Bezeichnungen in Anfhrungsstrichen wurden den Kurven von denTeilnehmerinnen und Teilnehmern des Kurses gegeben.



Sinuskreis

Diese Kurve entsteht durchAbhngigkeit des Radius vonsin(t).

r(t) = sin(t)

x(t) = r(t) cos(2t)y(t) = r(t) sin(2t)



Blumenkurve

hnlich wie beim Sinuskreisergibt sich hier fr r(t) dieWertemenge {1;3}. Dadurchentsteht die Bltenform derKurve.

r(t) = 2 + sin(20t)

x(t) = r(t) cos(2t)y(t) = r(t) sin(2t)



Ausgewhlte 3D-Kurven

Raumhelix

Eine der einfachsten dreidimensiona-len Kurven ist die Raumhelix (Schrau-benlinie). Betrachtet man nur x(t), y(t)ergibt sich ein Kreis. Dieser wird vonz(t) = t schraubenfrmig auseinander-gezogen.

x(t) = r cos (2 t)y(t) = r sin (2 t)z(t) = t



Hyperbelschnecke

Die Hyperbelschnecke basiert auf einer Raumhelix, die sich aufgrundeiner Hyperbel als Hllkurve um ein Hyperboloid windet.

r = h(t)

h(t) =

t2 + 1

x(t) = r cos(6t)y(t) = r sin(6t)z(t) = t

Hllkurve:

x(t) = h(t)y(t) = 0

z(t) = t



Kugelschnecke

Anders als bei der Hyperbelschnecke wurde hier ein Kreis alsHllkurve verwendet.

r = h(t)

h(t) =

1 t2

x(t) = r cos(14t)y(t) = r sin(14t)z(t) = t

Hllkurve:

x(t) = h(t)y(t) = 0

z(t) = t



Ballkurve

Eine weitere Kugel ergibtsich, wenn man den Sinus-kreis in der dritten Dimensi-on von cos(t) abhngen lsst.

r(t) = sin(t)

x(t) = r(t) cos(2t)y(t) = r(t) sin(2t)z(t) = cos(t)



KronleuchterDer Kronleuchter ergibtsich aus einer Raum-helix mit Radiusfunktionr(t) = t sin(t).

r(t) = t sin(t)x(t) = r(t) cos(20t)y(t) = r(t) sin(20t)z(t) = t


Arbeiten von Schlern (Kl. 11-12, Spezialklassen)BlumenkurveDurch gezieltes Ausprobie-ren entstand eine Kurve,die hnlichkeiten zu einerBlte aufweist. Zu Grun-de lag die zweidimensiona-le Blumenkurve.

r = 5

s(t) = 1 + r t + 0.7 sin (t 20 )x(t) = s(t) cos (2 t )y(t) = s(t) sin (2 t )z(t) = 0.01 r2 (1 + sin (20 t )) t2


Zykloiden

Welche Kurve beschreibt ein Fahrradventil,wenn das zugehrige Fahrrad fhrt?

Der betrachtete Punkt muss nicht genau den Radius als Abstand zum Mittelpunkt haben,

sondern kann auch auer- oder innerhalb des Rades liegen.


Zykloiden

Schlertext: Um auf die Parameterdarstellung der Zykloide zu kommen,muss man wissen, um welchen Winkel sich das Rad dreht, wenn derMittelpunkt des Rades sich um t nach rechts verschiebt. Bewegt sich derMittelpunkt um t, so muss sich auch der Umfang U = 2 r um t abwickeln.

t =(t)2

2 r (t) = tr

Die Parameterdarstellung der Zykloide setzt sich aus einer Kreisbewegungund einer linearen Bewegung zusammen. . . .

. . . einige Fallstricke gibt es aber noch:I DrehrichtungI Startpunkt


Zykloiden

Epizykloide


Zykloiden

Hypozykloide


Kernideen zur (analytischen) RaumgeometrieKoordinatisierenParameterdarstellungenParameterdarstellungen und Gleichungen von GeradenParameterdarstellungen und Gleichungen von Ebenen

Funktionales Denken im Zusammenhang mit Parameterdarstellungen Ausgangspunkt: Geraden Variationen der Parameterdarstellung des Einheitskreises

didaktik der analysis und der analytischen geometrie...

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