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DIDÁCTICA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Dra. Celia Rizo Cabrera Dr. Luis Campistrous Pérez

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se trata la resolución de problemas enfocada como un problema didáctico. En el se resumen las raíces históricas de la situación presente y se analizan algunos resultados actuales en el campo. A partir de estas premisas se discute el concepto de problema, tal y como es entendido por la mayoría de los investigadores, y se compara con la actividad que en las clases se denomina usualmente “resolución de problemas”. Esta comparación se realiza desde una perspectiva teórica y tomando en cuenta los resultados de las observaciones e investigaciones empíricas realizadas por los autores y algunos colaboradores. En las consideraciones de los autores juega un papel fundamental el hecho de que la Didáctica de la Matemática no se limita a la psicología del aprendizaje de dicha ciencia por alumnos individuales, sino que tiene como objeto de trabajo la enseñanza-aprendizaje de la Matemática en las condiciones de trabajo de un aula (más o menos numerosa, como es usual en nuestros países) y bajo la dirección de un profesor. Lo señalado en el párrafo anterior tiene especial importancia ya que descubre el aspecto sociológico de la Didáctica de la Matemática; en este sentido se resalta como hay que tomar en cuenta este aspecto al considerar las comunidades que se relacionan con el problema: los alumnos, por una parte, y los profesores, por la otra. Al mismo tiempo se destaca la interrelación entre ambas en una comunidad de importancia central en el proceso: la comunidad de la clase de Matemática. En relación con estos aspectos cobra importancia el aspecto social del aprendizaje y se dedica alguna atención a la fundamentación de la Didáctica en el enfoque sociocultural de la psicología que se remonta a L. Vigotsky, en el campo de la resolución de problemas todo lo dicho avala una de las formas de trabajo que más fuerza tiene en la actualidad y que se relaciona con algunas ideas que tratará el autor: la resolución de problemas en grupo. Sentadas estas bases se analiza por qué la resolución de problemas es un problema actual de la Didáctica de la Matemática y se precisa el reto que plantea a los investigadores en Matemática Educativa:

Finalmente se discute el valor de las estrategias enseñadas y su contraposición con procedimientos generalizados que el escolar construye, a veces como consecuencia del proceso de enseñanza aprendizaje y otras veces a pesar de dicho proceso.

Lograr que en las aulas se planteen verdaderos problemas y que los profesores conviertan la resolución de problemas en objeto de enseñanza y no que lo utilicen como un medio para “fijar” el contenido de enseñanza.

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En este contexto s e consideran algunas técnicas que pueden facilitar el aprendizaje y la formación de estrategias, así como de un procedimiento generalizado para enfrentar la resolución de problemas, en las condiciones de enseñanza masiva.

RAÍCES HISTÓRICAS DE LA SITUACIÓN PRESENTE La Enseñanza de la Matemática posee una larga historia, desde tiempos remotos se le considera como una asignatura necesaria para la preparación de las nuevas generaciones, básicamente para contribuir al desarrollo del pensamiento. Así es como Platón exigía el conocimiento de la Geometría como requisito para ingresar en la Academia, no porque fueran a utilizar los conocimientos geométricos, sino porque consideraba que la geometría era indispensable para la formación del pensamiento de un filósofo. En el mismo sentido, algunos historiadores han señalado que los Elementos de Euclides estaban destinados a servir de texto en la preparación de filósofos y que esa es la razón por la cual su organización destaca básicamente la estructura deductiva de la Geometría; según estos autores la elaboración durante cientos de años de manuales escolares al estilo de los Elementos constituye un error no sólo pedagógico sino histórico. Esta situación se mantuvo cuando las disciplinas matemáticas formaron parte de las siete artes liberales en la época medieval y continúa en la escuela moderna en la que entre los objetivos de la Matemática aparece en primer lugar el desarrollo del pensamiento lógico. Dado este objetivo central, se entiende el papel especial que han desempeñado los problemas en la clase de Matemática ya que se comprende la resolución de problemas como una de las actividades básicas del pensamiento. Este peso de la resolución de problemas en la enseñanza de la Matemática puede seguirse hasta los primeros documentos matemáticos que se conservan, ya que algunos autores consideran que los problemas contenidos en las tablillas mesopotámicas y los papiros egipcios son problemas escolares. Esta conclusión se avala a partir del análisis de algunos de esos problemas; en efecto, en ellos aparecen características que difícilmente aparecen en problemas reales, características que lamentablemente perduran aún en los manuales escolares. Un ejemplo de ello lo encontramos en los Papiros del Rhind donde aparecen problemas como el siguiente: En una casa hay 7 cuartos, en cada cuarto 7 gatos, cada gato come 7 ratones, cada ratón come 7 espigas de trigo y cada espiga tiene 7 granos. ¿Cuántos hay entre casas, cuartos, gatos, ratones, espigas y granos? La solución de este problema conduce a una suma de potencias de 7, pero como se puede apreciar no tiene ningún sentido práctico la situación que ahí se plantea, y obviamente solo tiene como función ejercitar el cálculo, en este caso de esa suma de potencias:

54310 777777 +++++

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En todo este período histórico las razones para considerar los problemas dentro de la enseñanza han sido muy semejantes: ♦ Desarrollar el pensamiento, en particular la capacidad de resolución de

problemas. ♦ Justificar la importancia de la Matemática y del tema que se desarrolla

mostrando su aplicación a diferentes situaciones de la vida o de la técnica. ♦ Motivar el estudio de un tema sobre la base de presentar problemas que sean

capaces de atraer la atención de los alumnos. ♦ Introducir nuevos contenidos, en particular aquellos que pueden ilustrarse con

ciertos "problemas tipo". ♦ Fijar algunos procedimientos matemáticos que han sido explicados en el aula,

preferentemente procedimientos de cálculo. Como puede apreciarse en esta apretada síntesis de razones, el aprender a resolver problemas no ha figurado como una de esas razones durante un largo período de tiempo. Realmente hay que decir que la creencia predominante durante siglos fue el que se aprende a resolver problemas por imitación, es decir, viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el proceder del que resuelve. No puede negarse que esta vía y también la de ensayo y error puede servir a algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha para que algunos aprendan, sino para que todos aprendan y, obviamente, con estos procedimientos no puede lograrse que todos aprendan. Realmente a lo largo de la historia no ha habido preocupación no sólo por enseñar a resolver problemas, sino ni siquiera por analizar los procedimientos de resolución. Esta regla general tiene muy pocas excepciones, las más ilustres de las cuales son referencia obligada de cualquier recuento de este tipo: Arquímedes, Pappus, Descartes. Si bien desde la época del pensamiento clásico griego se encuentran referencias sobre la metodología para resolver problemas, no es hasta principios de este siglo que se encuentran las primeras recomendaciones a los alumnos, los primeros intentos por "enseñar" a resolver problemas. Estos primeros intentos consisten básicamente en una serie de recomendaciones formales que intentan fijar la atención del alumno sobre la pregunta, leer cuidadosamente, encontrar datos, meditar la respuesta. Este tipo de recomendación se hace tan fuerte que en algunos de nuestros países se convierten en un esquema formal exigido para resolver problemas y sin ninguna consecuencia sobre el pensamiento. Se trata del esquema: datos, planteo, cálculo, respuesta. Este estado de cosas es responsable de que el tratamiento de los problemas en la escuela produzca efectos quizás contrarios a los que se espera y que se ilustran muy bien con el resultado obtenido en Suiza al proponer a un grupo de alumnos de cuarto grado, el problema siguiente: Un pastor tiene 125 ovejas y 5 perros, ¿qué edad tiene el pastor? Excepto uno que dijo que no se podía hacer, todos los alumnos "resolvieron" el problema. Dentro de estos alumnos se profundizó mediante entrevistas, cuál había sido la estrategia utilizada por una alumna que estaba convencida que había actuado correctamente. La alumna en cuestión "probó todas las posibles operaciones con los datos y escogió la respuesta más racional para ella":

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125x5=625 ¡No!. Son muchos años. 125+5=130 ¡No!. Son muchos años. 125-5=120 ¡No!. Son muchos años. 125:5 =25 ¡Sí!. Esa sí puede ser la edad del pastor. Un hito fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas lo marca el año 1945 con la publicación de la obra How to solve it? de George Polya. Con la publicación de esta obra maduran las ideas de este autor que había venido desarrollándolas durante un cuarto de siglo y en ella, por primera vez se ilustra un camino didáctico hacia la enseñanza de la resolución de problemas. El camino propuesto por Polya redescubre y desarrolla la Heurística, que se puede hacer remontar hasta Pappus, y precisa una serie de estrategias que deben constituir una herramienta fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas. No obstante su relevancia y el vacío que viene a llenar este trabajo, sus ideas no comenzaron a tener una influencia generalizada hasta la década de los años 80, una vez que se fijó la atención en la resolución de problemas como una actividad esencial en la enseñanza de la Matemática. A partir de este momento algunas de las estrategias básicas propuestas por Polya adquirieron gran popularidad en la investigación en Matemática Educativa y en algunos textos de Matemática escolar, lo que creó la imagen de que jugaban un papel fundamental en la clase. A pesar de esto la situación real cambió muy poco y los resultados obtenidos en la investigación no fueron tan espectaculares como se esperaba. Consideradas aisladamente las estrategias de Polya que fueron popularizadas, son realmente fundamentales y funcionan al resolver problemas. Entre ellas podemos encontrar las siguientes: ♦ Analizar lo que se da y lo que se busca. ♦ Dibujar una figura. ♦ Separar una condición en partes. ♦ Considerar casos especiales. ♦ Pensar en un problema más simple. ♦ Considerar el problema resuelto. Se impone entonces una reflexión sobre el porqué no transforman radicalmente la situación en la escuela, y la popularidad no llega realmente al salón de clases. Retomemos en primer lugar un hecho destacado por A. Schöenfeld 1al referirse a las estrategias: son claramente reconocibles por aquellas personas que se han apropiado de ellas y pueden percibir cómo las usan; esto explica el entusiasmo de los Matemáticos. No obstante, estas estrategias no son fáciles de enseñar y requieren para ello una preparación especializada en el campo de la Matemática lo que hace que la mayor parte de los maestros (que no poseen la formación de un matemático) no las reconozcan con facilidad y, lo que es más grave aún, no puedan enseñarlas a sus alumnos. Estos hechos constituyen una de las causas fundamentales para explicar la falta de éxito en la introducción de las estrategias en la escuela.

1 Schöenfeld, Allan (1985), Mathematical Problem Solving. New York. Academic Press.

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Otro aspecto a considerar es que las estrategias, en principio, se ofrecen a los maestros como una forma de ayuda a sus alumnos; es decir, no se elabora un procedimiento para que los alumnos elaboren estrategias o se apropien de algunas, sino que se utilizan de manera externa, como algo que existe y que el profesor utiliza en apoyo a su trabajo. Pueden señalarse muchas razones, solo queremos referirnos a una más que desempeña, desde nuestro punto de vista, un papel fundamental y es que por su misma naturaleza las estrategias tienen un carácter heurístico, no algorítmico, no se trata de formar patrones de conducta para utilizar una u otra estrategia a partir de ciertas señales sino de dotar a los alumnos de "herramientas" que pueden utilizar cuando lo entienden necesario, sobre todo cuando no existe un "camino natural" para resolverlo. Sin embargo, en la escuela es más simple y existe una larga tradición en formar procedimientos algorítmicos pero no resulta sencillo formar los recursos de pensamiento necesarios para utilizar la heurística como herramienta. Por otra parte, a pesar de las declaraciones y de los enfoque de la enseñanza basados en la resolución de problemas del cual hablaremos más adelante, en el aula no se ha llegado a convertir la resolución de problemas en objeto de enseñanza, predominan las formas de trabajo con problemas y los alumnos crean sus propios significantes para la resolución de problemas, desarrollan creencias que limitan sus posibilidades y forman estrategias de trabajo que no son exitosas, lo que analizaremos posteriormente en este trabajo. Para continuar nos detendremos en analizar a qué nos estamos refiriendo cuando hablamos de problema en este trabajo y el sentido de este término en el trabajo en la escuela.

CONCEPTO DE PROBLEMA. PROBLEMAS ESCOLARES. Entre los conceptos esenciales que se incluyeron en el estudio se encuentra el de problema. En este sentido en la literatura existen diversas acepciones atendiendo a diferentes puntos de vista. En las investigaciones que hemos realizado al respecto se asumió como concepto el que se consideró se ajusta mejor a las concepciones actuales y que responde a nuestras propias concepciones, por lo que aparece recogido en el libro “Aprende a resolver problemas aritméticos” del cual somos autores: Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer hacer la transformación. Desde el punto de vista didáctico, la anterior definición es muy importante, pues en la selección de los problemas a proponer a un grupo de alumnos hay que tener en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla. En ambos casos, lo antes planteado significa que lo que puede ser un problema para una persona puede no serlo para otra, o bien porque ya conozca la vía de solución o porque no esté interesado en resolverlo.

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Los rasgos generales del concepto de problema que se asume en este trabajo, en realidad no se hacen muy visibles en los materiales y libros para alumnos y docentes, pues en ellos se utiliza más el concepto clásico de problemas escolares y no al de problema en su acepción más amplia. Estos problemas escolares tienen características específicas en cuanto a que por lo general son situaciones didácticas que asumen, en mayor o menor grado, una forma problémica cuyo objetivo principal es la fijación o aplicación de los contenidos de una asignatura dada (conceptos, relaciones y procedimientos), y que aparecen regularmente en el contexto de los programas que se quieren trabajar. Estos problemas escolares son tipificados, en mayor o menor medida, y para cuya solución se desarrollan procedimientos más o menos rutinarios. Los procedimientos de solución y, por extensión, los problemas se consideran rutinarios cuando en el proceso de resolución se pueden encontrar las vías de solución de una manera directa en el propio contenido de la asignatura que se aborda en la escuela, y en ellos se emplean procedimientos que no llegan a ser propiamente algorítmicos, pero tampoco llegan a ser procedimientos heurísticos de búsqueda abierta, sino de una determinación o selección entre dos o más rutinas ya preestablecidas que sí son, por lo general, procedimientos algorítmicos o cuasi algorítmicos. Schöenfeld 2 , referido por Santos Trigo3, ubica este tipo de procedimiento a un nivel táctico y lo separa de las habilidades a nivel estratégico. Para él, los de carácter estratégico incluyen decisiones acerca de un plan para resolver un problema y la evolución de éste durante el proceso de solución. Así, cuando el estudiante tiene acceso a un procedimiento rutinario generalmente no incluye decisiones estratégicas y el monitoreo o control del proceso se vuelve importante solo cuando hay un error en la implantación de estos procedimientos rutinarios. Así podríamos citar como ejemplos los clásicos problemas de fracciones o de tanto por ciento, los problemas de demostraciones geométricas de igualdad y semejanza de triángulos o de cálculo de áreas y volúmenes, que se resuelven utilizando el contenido recién tratado en el aula, y que se enfrentan con las armas de que ya se dispone. Para tales "problemas" no se requieren estrategias al estilo de Polya, basta con algunos esquemas de actuación aprendidos en la escuela, muchas veces por ensayo y error, o por imitación de la conducta del profesor. Si revisamos los libros de texto para los alumnos nos encontramos que la inmensa mayoría de los problemas que se consideran son rutinarios, así tenemos los problemas clásicos de fracciones y tanto por ciento en la escuela primaria, que los alumnos los resuelven desplegando un proceder aprendido casi en forma algorítmica y donde prácticamente no es necesario ningún procedimiento de búsqueda. Otros ejemplos los encontramos en los problemas de demostración de igualdad y semejanza de triángulos, en los que aparentemente hay una exigencia intelectual elevada pues se trata de "demostraciones" pero que en la práctica sólo

2 Schöenfeld, A. (1985) Mathematical Problem Solving. New York. Academic Press. 3 Santos Trigo, Luz Manuel. (1996) Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.

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es un proceso de búsqueda entre parejas de elementos iguales y arribar a una conclusión completamente estereotipada. La solución de los problemas que conducen a ecuaciones o a fórmulas son otro ejemplo típico de este proceder rutinario, y lo más lamentable es que después que adquieren estas herramientas tan poderosas las utilizan indiscriminadamente en situaciones que requieren recursos menos potentes para resolverlas. Un ejemplo de lo que estamos planteando se presenta a diario en problemas como el siguiente que apareció en una prueba de ingreso a la Universidad en nuestro país y que dice lo siguiente: En un cierto país para pasar un telegrama hay que pagar una cantidad fija por las 10 primeras palabras y una cantidad adicional por cada palabra por encima de las 10. Si por 15 palabras se pagaron $11.65 y por 19 palabras se pagó $14.57, ¿cuál es el precio fijo y cuál es el precio de cada palabra adicional? La respuesta esperada es el planteo de un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son el precio de las palabras fijas (x) y el precio de cada palabra adicional (y): x + 5y = 11.65 ; x + 9y = 14.57 En este caso el recurso algebraico es completamente innecesario pues tiene una solución aritmética trivial: 14.57 - 11.65 = 2.92 2.92: 4= 0.73 (costo de cada palabra adicional) 14.57 - 9(0.73)= 8 (costo de las 10 palabras iniciales). En relación con estas exigencias que solo conducen a hacer más rutinario el procedimiento de solución de los problemas, en un libro de un autor francés muy reconocido aparece el siguiente problema: Un número de 3 cifras es divisible por 9 y si se invierte el nuevo número es 36 del número original. ¿Cuál es el número? 47 En este caso en ese libro se presenta como solución la siguiente:

++=++

=++

xyzzyx

zyx

10100)10100(4736

9

=−−=++

046641103553

9

zyx

zyx

8

=−=++

990455436639

zx

zyx

46s4 x 3663

891990+=

++=

zzx

szt

tz 373 891

999914 +=

−+−=

st 91+= De donde se tienen las soluciones siguientes:

2y 3z 4 ===x

Como se puede apreciar utiliza todo una serie de recursos algebraicos que son muy reconocidos por su potencia pero que su uso indiscriminado ha propiciado procederes completamente rutinarios. En este caso el problema tiene una solución aritmética trivial: El número de tres cifras invertido tiene que ser divisible por 9 (la suma de las cifras es la misma si el número se invierte) y múltiplo de 36, pero a la vez divisible por 47. El primer número posible es 36 •• 9 =423, el segundo 423•• 2= 826, y ya no hay más porque el próximo múltiplo sería 423••3= 1269 y ese ya es de cuatro cifras. De los dos números posibles el único divisible por 47 es 423, luego el número buscado es 324. Se puede comprobar fácilmente esa solución. Los procedimientos de solución no rutinarios son entonces aquellos en los que se exige un proceso de búsqueda propiamente heurístico. Quizás no sea fácil encontrar problemas escolares con esas características, pero esa es una tarea importante de la Didáctica de la Matemática. Aunque estos conceptos de rutinarios y no rutinarios también pueden ser relativos, en dependencia del campo de experiencia del sujeto al cual se le plantea una situación dada, se pueden encontrar ejemplos como los siguientes, aún dentro de un contexto donde históricamente los problemas son rutinarios como es el caso del trabajo con fracciones y el tanto por ciento: 1. Un padre al morir reparte su herencia entre sus cinco hijos de la manera

siguiente: Al mayor le da el 20% de la herencia. Al que le sigue le da el 25% del resto. Al que le sigue le da el 331/

3 % del nuevo resto. A los dos más pequeños le da a cada uno la mitad de lo que queda después que le repartió a los otros tres. ¿Fue justo el padre?

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2. Un cierto tipo de arroz crece al cocinarse un 30%. El cocinero decide entonces reducir al 70% la cantidad de arroz que va a cocinar. ¿Alcanza la comida?

3. La gasolina subió un 10%. El Sr. Alvarez decidió reducir su kilometraje al 90% para equilibrar sus gastos. ¿Gasta más, menos o lo mismo en gasolina?

En el marco de las situaciones escolares, si se quiere uno acercar a una situación didáctica que pueda ser utilizada como vía para enseñar a resolver problemas, sí es necesario incluir problemas con procedimientos de solución no rutinarios, que se acerquen lo más posible a los rasgos generales antes establecidos para la definición del concepto problema en sentido amplio. En sentido general, somos del criterio de que para lograr que los alumnos aprendan a resolver problemas, es necesario plantear problemas no rutinarios, aunque para no provocar una ruptura entre los hábitos ya establecidos en la escuela que se acercan mucho a la solución de problemas rutinarios, en las diferentes investigaciones que hemos realizado se han utilizado problemas escolares rutinarios y algunos no rutinarios que den mayores posibilidades para el desarrollo de estrategias de solución reflexivas mediante el empleo de técnicas que deben ser objeto de estudio. Los tres problemas antes planteados, han sido utilizados en las investigaciones que hemos realizado para determinar las estrategias que utilizan los alumnos al resolver problemas y a las que haremos referencia más adelante.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO OBJETO DE ENSEÑANZA

En varias partes de este trabajo hemos utilizado expresiones relacionadas con la enseñanza por problemas que pueden representar varias cosas diferentes, que en la práctica se entremezclan y no siempre hay claridad de que se está utilizando. Por esa razón a continuación esclareceremos en qué sentido se están utilizando esos términos que actualmente se mueven como las tendencias más importantes en la llamada enseñanza por problemas: ; Enseñanza problémica consiste en problematizar el contenido de

enseñanza, de tal forma que la adquisición del conocimiento se convierte en la resolución de un problema en el curso de la cuál se elaboran los conceptos, algoritmos o procedimientos requeridos. Está muy elaborada desde el punto de vista didáctico y tiene un cuerpo categorial muy estructurado. En esta forma de enseñanza poco se deja a la improvisación, a mí se me parece más a la mayeútica socrática que a la heurística de Polya aunque tome la forma de heurística en algunas presentaciones. Se supone la forma en que debe proceder el alumno y es como si el hilo conductor del pensamiento del maestro determinara la actividad del alumno.

En general la referencia básica es el texto de Majmutov "Enseñanza problémica" y en Cuba los representantes principales son la Dra. Marta Martínez Llantada en la

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teoría general y el Dr. Paúl Torres en lo que a su aplicación en Matemática se refiere. ; La enseñanza por problemas que consiste en el planteamiento de

problemas complejos en el curso de cuya solución se requieren conceptos y procedimientos matemáticos que deben ser elaborados. Este procedimiento se asemeja a la enseñanza por proyectos y resulta complejo de realizar, en la mayor parte de las veces los problemas se limitan a una función motivacional y a aportar un contexto en el que adquiere sentido los conceptos y procedimientos matemáticos que se pretende estudiar.

Esta es una de las vertientes del Problem Solving generado en los EEUU a partir del momento en que se comienzan a considerar los problemas como centro de la enseñanza de la Matemática. ; La enseñanza basada en problemas que consiste en el planteo y

resolución de problemas en cuya resolución se produce el aprendizaje. En este caso no se trata de problematizar el objeto de enseñanza ni de plantear problemas complejos que requieran de nuevos conocimientos matemáticos, más bien se trata de resolver problemas matemáticos relacionados con el objeto de enseñanza, sin confundirse con él, y que van conformando hitos en el nuevo aprendizaje. Este tipo de enseñanza no está didácticamente estructurado, no se dispone de categorías y formas de acción previstas y queda mucho a la creatividad del docente y a la independencia y capacidad de los alumnos. En este caso es una tarea de la didáctica la conformación de una teoría y procedimientos generales que apoyen la labor del maestro y contribuyan a la generalización de este método en aquellos casos en que es posible utilizarlo.

Esta es también una de las líneas que se desarrolla con el Problem solving en los EEUU con el papel central de los problemas en la enseñanza de la Matemática, un ejemplo pudiera ser el tratamiento del problema siguiente: clasificar el triángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm. La construcción del triángulo mencionado hace surgir la hipótesis de que es rectángulo y para comprobarla se formula y demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras. ; La enseñanza de la resolución de problemas es otra de las formas que

adopta el Problem solving en los EEUU, que debe ser bien diferenciada de las anteriores, y que se ha difundido mucho mediante los textos que enuncian y practican "estrategias" para resolver problemas y después plantean problemas para aplicarlas. Esta nueva forma es otra tarea urgente, independiente de las anteriores y que, en rigor, debe precederlas. Incluso se han elaborado textos sobre "estrategias" con este enfoque, que a veces resulta bien alejado del espíritu de lo que Polya preconizaba, aunque supuestamente se basan en él.

Este enfoque es el que se asume, además de los trabajos pioneros de Polya, en los trabajos de Schöenfeld, que lo ha desarrollado mucho. En el caso de Schöenfeld, su aporte más significativo es que a partir de reconocer las ideas de Polya, las desarrolla y considera cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:

♦ Dominio del conocimiento o recursos: Representan un inventario de lo que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento.

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Aquí incluye, entre otras cosas, los conocimientos informales e intuitivos de la disciplina en cuestión, hechos y definiciones, los procedimientos rutinarios, y otros recursos útiles para la solución.

♦ Los métodos heurísticos: En esta dimensión se ubican las estrategias generales que pueden ser útiles en la resolución de un problema, como, por ejemplo, las aisladas por Polya.

♦ Las estrategias metacognitivas o el monitoreo o autoevaluación del proceso utilizado al resolver un problema.

♦ El sistema de creencias en la cual se ubica la concepción que tenga el individuo acerca de las matemáticas. Según Schöenfeld, las creencias establecen el contexto dentro del cual funcionan las restantes tres dimensiones.

Otras figuras importantes dentro de esta tendencia de enseñar a resolver problemas es la de Miguel de Guzmán, presidente del ICMI y en Cuba podemos mencionar, entre otros, a Alberto Labarrere y a los autores de este trabajo (Campistrous y Rizo), que han complementado el concepto de estrategia con la noción de técnicas, elaborado algunas para el nivel inicial y trabajado en la precisión de un procedimiento generalizado de resolución de problemas. Dentro de este último enfoque es que se concibe este trabajo que se presenta en este curso. No obstante estas referencias a las tendencias actuales en la enseñanza de basadas en la resolución de problemas, en las aulas no se ha llegado a convertir la resolución de problemas en objeto de enseñanza, predominan las formas tradicionales de trabajo con problemas y los alumnos crean sus propios significantes para la resolución de problemas, desarrollan creencias que limitan sus posibilidades y forman estrategias de trabajo que no son exitosas.

LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LAS CONDICIONES DE TRABAJO DE UN AULA

En esta parte del trabajo nos referiremos solamente a un conjunto de investigaciones que los autores han estado desarrollando en México y en Cuba, con el objetivo de aislar las estrategias que utilizan los alumnos al resolver problemas y que las han ido adquiriendo en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática que se desarrolla en el aula, a partir de algunas de las dificultades que hemos estado analizando en los puntos anteriores de este trabajo. Estas investigaciones tienen relevancia, desde nuestro punto de vista, pues para lograr el éxito en el entrenamiento de los alumnos en la resolución de problemas, puede ser muy útil el estudio y descripción de las estrategias intuitivas elaboradas por los alumnos espontáneamente o como un subproducto no deseado del aprendizaje escolar. El conocimiento de estas estrategias y la inferencia de los modos por los cuales los alumnos llegan a incorporarlas, puede servir a los educadores para influir n la formación de algunas estrategias reflexivas elementales, que sin tener la profundidad y belleza de las aisladas por Polya, estén más cerca de las que

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intuitivamente elaboran los alumnos y que pueden ser asimiladas por ellos más fácilmente, permitiéndoles asegurar el éxito en la solución de problemas en la mayoría de las situaciones. Permite, además, trabajar en la eliminación de aquellas conductas irreflexivas sobre la base de un mayor conocimiento de cómo estas se manifiestan. El trabajo que se presenta es una investigación que está en desarrollo y que tiene como objetivo “aislar”, mediante estudio de casos, algunas de las estrategias que utilizan los alumnos en la solución de problemas. Estas estrategias en muchos casos se adquieren de forma espontánea al no ser objeto de enseñanza las técnicas de solución de problemas. En este trabajo estamos utilizando el término “estrategia” en el sentido de Bruner4…”una estrategia hace referencia a un patrón de decisiones en la adquisición, retención y utilización de la información que sirve para lograr ciertos objetivos, es decir, para asegurarse que se den ciertos resultados y no se produzcan otros”. Hemos considerado, además, que las estrategias pueden ser más o menos reflexivas conduciendo a los alumnos a soluciones correctas o no. Hemos considerado que una estrategia es irreflexiva, cuando responde a un proceder prácticamente automatizado, sin que pase por un análisis previo de análisis u orientación en el problema. En estos casos se asocia la vía de solución a factores puramente externos. En el caso contrario, o sea, cuando para su uso se requiere necesariamente un proceso de análisis previo que permite asociar la vía de solución a factores estructurales y no a factores puramente externos, las hemos denominado estrategias reflexivas. El tipo de investigaciones que en forma resumida se presenta aquí está enmarcada en el paradigma cualitativo, aunque se hace uso de elementos cuantitativos si se considera necesario para formular determinadas hipótesis que pueden ser útiles en futuras investigaciones en este campo.

Antecedentes de la investigación Los antecedentes de esta investigación se encuentran en la propia práctica pedagógica de muchos docentes, y en investigaciones realizadas en otros países que aparecen en la literatura y donde aparecen algunos indicios de estrategias (Carpenter et al: Resultados del Tercer NAEP en Matemática Educativa. Mathematics Teachers 76 (9). 1983, Sowder. L. “La selección de operaciones en la solución de problemas rutinarios con texto en la enseñanza y valoración de la solución de problemas. National Council of Teachers Mathematics.Vol.3. USA.1984, Bazán Zurita y Chalini Herrera. “Estrategias utilizadas por estudiantes egresados de secundaria en la resolución de problemas matemáticos”. Revista especializada en Educación. Vol. 10 Núm. 5. México 1995). Otro antecedente importante en este trabajo de aislar estrategias aparece recogido en el artículo de Larry Sowder denominado “ La enseñanza y valoración de la solución de problemas matemáticos” que aparece en los resúmenes del Concilio Nacional de la Enseñanza de la Matemática (USA 1989). En este artículo Sowder presenta una lista no extensa, sin embargo representativa de la variedad de caminos que los estudiantes, o eventualmente un simple estudiante, pueden 4 Bruner, Jerome. Acción, Pensamiento y Lenguaje. Compilación de José Luis Bernaza. Pag. I28.

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tomar. Este trabajo lo realizó en entrevistas en séptimo y octavo grados (primero y segundo de la secundaria) y se resumen a continuación las estrategias aisladas por él y una breve caracterización de cada una de ellas:

1. Encuentra los números y suma (o resta o multiplica o divide). La selección está determinada por lo que se ha hecho más recientemente en la clase o por la operación para la cual el estudiante tiene más competencia al realizarla.

2. Adivina qué operación debe ser utilizada. 3. Mira los números y ellos te dicen qué operación debes usar. Por

ejemplo, 78 y 54 probablemente te indiquen suma o producto, pero 78 y 3, luce como una división por el tamaño de los números.

4. Trata con todas las operaciones y selecciona la respuesta más razonable. Esta estrategia es la que se ha ejemplificado antes con la investigación suiza.

5. Busca las palabras claves y ellas te dicen qué operación usar. Por ejemplo “todos juntos” significa adicionar.

6. Decide si la operación debe ser grande o pequeña según los números dados. En este caso, si es grande trabaja o trata con la adición y la multiplicación y selecciona la respuesta más razonable. Si es pequeña, trata con la sustracción y la división y escoge la respuesta más razonable.

7. Selecciona la operación cuyo significado es apropiado al texto. Sowder considera que las primeras cuatro estrategias no son enseñadas en la escuela y que pudieran resultar simpáticas sino fuera por el hecho de que los estudiantes las utilizan frecuentemente y eso es lamentable. Incluso plantea que aunque de manera excepcional, hay estudiantes de éxito en matemática que también las emplean. Estas primeras cuatro estrategias son ejemplos de estrategias irreflexivas. Las estrategias 5 y 6, según Sowder, envuelven por lo menos un mínimo de sentido numérico, un mínimo de procesamiento semántico y una muy mínima comprensión del significado de las operaciones. La estrategia de palabras claves lamentablemente es enseñada ocasionalmente por maestros bien intencionados que no tienen un sentido de sus límites. Sobre esto, Sowder recoge en su artículo investigaciones en este sentido y plantea que Sherril en 1993 notó un uso diseminado de la estrategia de “palabras claves” en una encuesta con estudiantes, y Nesher y Tenbalen en 1975, encontraron que prácticamente todos los alumnos de la escuela primaria estaban usando palabras claves. Todas las estrategias aisladas por Sowder, excepto la última que lamentablemente es muy poco utilizada, son difíciles de aplicar en problemas de varios pasos. Con relación a la estrategia basada en significados, en investigaciones realizadas posteriormente por el propio Sowder, se pudo comprobar que los libros no siempre adoptan una posición clara en cuanto a darle sentido a las operaciones aritméticas de modo que tengan un significado claro para los alumnos. Otros investigadores como Kilpatrick y Webb, citados por el artículo de Arturo Bazán Zurita antes mencionado, coinciden en que las estrategias más comúnmente utilizadas son: ensayo y error, dibujar un diagrama, usar ecuaciones,

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adivinar y probar, resaltar la información relevante, inferencia deductiva e inferencia inductiva. Todos estos antecedentes fueron útiles en el trabajo que hemos realizado y que a continuación referiremos. Los resultados que se presentan a continuación corresponden a un grupo de trabajos de maestría dirigidos por los autores en la Facultad de Matemática de la Universidad Autónoma de Guerrero en 1995, y se incluyen elementos preliminares de un trabajo similar que se está realizando en Cuba. La metodología utilizada en todos los casos se resume a continuación: ♦ Búsqueda bibliográfica para decidir los tests que se iban a utilizar. ♦ Validación de los tests y del mecanismo de entrevistas que se iba a utilizar con

los alumnos.Estas validaciones, en algunos casos , se realizaron en dos ocasiones sucesivas.

♦ Aplicación de los tests definitivos y análisis exhaustivo de las respuestas escritas de los alumnos.

♦ Primera propuesta de estrategias utilizadas por los alumnos. ♦ Entrevista grabada a los alumnos para precisar lo que realizaron en su trabajo

escrito. ♦ Transcripción de las grabaciones de las respuestas para concluir con más

aproximación cual fue la estrategia utilizada. En total se ha concluido el trabajo de aislar estrategias en 198 casos. De ellos hay 90 estudiantes mexicanos de los grados primero y segundo de la primaria (30 casos) , quinto y sexto de la primaria (30 casos) , y los tres grados de la secundaria (30 casos). Hay también 108 estudiantes cubanos de los grados cuarto y sexto de la escuela primaria. En el próximo punto se describen los resultados alcanzados en las investigaciones realizadas.

Primero y segundo grados de la escuela primaria.

En estos dos grados, las estrategias están muy asociadas a los procedimientos de cálculo que los alumnos aprenden y los problemas, al ser tan simples, no permiten profundizar en ellos. Las estrategias que se aislaron se resumen a continuación. t Conteo directo de un modelo dado o previa modelación. El modelo puede ser construido por los propios alumnos, pueden ser los dedos que operan como un modelo o puede ser la sucesión de los primeros números naturales que la han memorizado y opera como un modelo mental. La estrategia consiste que el alumno observa la representación que le dan, o la que construye y sobre ella opera mediante conteo. Por ejemplo, en el siguiente problema, se muestra la solución dada por la alumna Inaudith de primer grado: Lucía se comió 7 chocolates de la caja (Está dado un gráfico de una caja y Ana se comió 4. ¿Cuántos chocolates con 20 chocolates) quedaron en la caja? La niña numeró cada chocolate de la caja como se indica a continuación y contó sobre el modelo gráfico y respondió que quedaron 9 chocolates.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t Opera con los datos de manera irreflexiva. Esta estrategia se manifestó de varias maneras. La más común fue la de formar nuevos números con los números dados y operar con ellos. Siempre se presentó asociado a problemas de adición. Se presentó también sin la formación previa de nuevos números y en casos aislados con la descomposición previa de números de dos lugares en números de un lugar. Un ejemplo de esta estrategia se presentó en la solución que dio Casandra (primer grado) al problema siguiente: En el corral hay 5 pollos, 7 conejos, 3 cochinos y 4 borregos. ¿Cuántos animales hay en total? 57 + 43 7+3-----10 y 5+4----9 910 Es obvio que esta alumna no ha comprendido el algoritmo convencional de la suma ni el principio de formación de los números. Por otra parte no tiene idea del “tamaño” aproximado que debe tener la respuesta. t Escribe números sin análisis previo. Consiste simplemente en una estrategia de “adivinar” cuál debe ser la solución. t Selecciona la operación cuyo significado es apropiado al texto. En este caso el alumno identifica el significado mediante el análisis del texto del problema, pero en la mayoría de los casos no pueden explicar la selección que hicieron de la operación. En las conclusiones del trabajo realizado en estos grados se expresó que algunas de las estrategias aisladas evidencian una postura bastante reflexiva de estos niños, aunque en algunos esa reflexión está aún en un nivel concreto del desarrollo del pensamiento que es característico de estas edades. Se planteó, además, que están surgiendo estrategias muy irreflexivas que pueden conformar formas de actuación muy inadecuadas y que pueden comprometer seriamente su desarrollo posterior. En el mismo sentido anterior se pronunció la Tercera Valoración Nacional del Progreso Educativo (USA)5…”los estudiantes pueden no entender los problemas que resuelven. La mayor parte de los `problemas rutinarios pueden ser resueltos mecánicamente aplicando un algoritmo de cálculo de rutina. En tales problemas los alumnos pueden no tener necesidad de entender la situación problema, porque ese cálculo particular es apropiado, o si la respuesta es razonable. Los errores cometidos en algunos de los problemas indican que los alumnos generalmente tratan de usar todos los números dados en una situación problémica.

5 Carpenter et al: Resultados del Tercer NAEP en Matemática Educativa. Secundaria (1983). Mathematics Teacher 76 (9). Pag. 652-659. Citado en A.H. Schöenfeld: Cuando la buena enseñanza conduce a malos resultados. El desastre de los cursos de Matemática.

Observen que con el 5 y el 7 forma el 57 y con el 4 y el 3 el 43. Después al sumar no tiene en cuenta el sobrepaso y forma el número 910 que da como respuesta.

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Cuarto a sexto grado de la primaria y secundaria básica El trabajo que se realizó en estos grados incluyó en los tests preguntas rutinarias y otras no tan rutinarias que constituyeron verdaderos problemas para los alumnos y enriqueció las estrategias que surgieron. Las estrategias aisladas hasta ahora se resumen y ejemplifican a continuación. Algunas de ellas han sido aisladas ya antes como se expresó en la parte de los antecedentes. ♦ Busca las palabras claves y ellas te dicen qué operación utilizar. Ya antes

hemos explicado que esta estrategia se caracteriza por asociar el significado de las operaciones a determinadas palabras claves que han sido utilizadas muchas veces en el propio proceso docente al trabajar con problemas, como significados por “sinonimia” de las diferentes operaciones de cálculo. Por la frecuencia con que apareció en la investigación, una hipótesis de nuestro trabajo es que esta estrategia sí es enseñada en la escuela.

Por ejemplo, en el cuarto grado (también en otras investigaciones relacionadas con esta se le planteó a los maestros) se propuso la siguiente pregunta: Juanito recogió 48 canicas entre dos días. A lo que recogió el primer día le agregó 12 canicas. ¿Cuántas canicas recogió el primer día? Una respuesta típica fue la siguiente: 48 : 2 = 24 (responde a la palabra clave entre 2) 24 + 12 = 36 (responde a la palabra clave le agregó ) Respuesta: Juanito recogió 36 canicas el primer día. Otra respuesta también típica fue la siguiente: 48 + 12 = 60 (responde a la palabra clave agregó ) Respuesta: Juanito recogió 60 canicas el primer día. Como pueden ver, es un problema simple de sustracción en el que se da el todo (48 canicas) y una parte (12 canicas) y lo que se desea es hallar la otra parte. Se resuelve calculando 48 - 12. La única dificultad que tiene es de orden lingüístico y se hizo con el objetivo de poder comprobar cómo opera esta estrategia. Esta conducta fue ampliamente investigada en la tesis de maestría, también dirigida por los autores en la Universidad Autónoma de Guerrero, realizada por el profesor José de Jesús Alanís Musito y defendida en el mes de enero de 1996 en la Ciudad de Chilpancingo. Se manifestó tanto en alumnos como en maestros de la primaria, lo que refuerza la hipótesis de que es enseñada en la escuela. ♦ Procedimiento rutinario asociado a un indicador textual. Consiste en

reconocer ciertos indicadores en el texto que permiten asociarlo a la clase de problemas en la que se usa un determinado procedimiento, digamos en el cálculo con fracciones o de porcentajes. En este caso el indicador textual es el % y el procedimiento rutinario es el de calcular por cientos. La estrategia se activa cuando el alumno reconoce el “indicador” que les recuerda el tipo de

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procedimiento rutinario aritmético o algebraico que está relacionado a ese indicador.

En nuestro trabajo una hipótesis es que esta estrategia también se enseña en la escuela. Para ilustrar el comportamiento de esta estrategia es conveniente decir que en la primera versión de los tests que se aplicaron en la secundaria, se incluyeron problemas rutinarios donde se utilizaba el cálculo del tanto por ciento y no hubo grandes dificultades con los alumnos. Al entrevistar a los alumnos manifestaron claramente que no les resultaba difícil y explicaban detalladamente el procedimiento de calcular porcentajes. Para indagar qué sucedía cuando los alumnos se enfrentaban a una situación análoga en un problema no rutinario, en la versión definitiva de los tests se incluyó la pregunta siguiente, a la que ya hicimos referencia con anterioridad: La gasolina subió un 10% y el Sr. Alvarez decidió reducir su kilometraje al 90% para equilibrar sus gastos. ¿Gasta más, menos o lo mismo en gasolina? Una alumna aplicó mecánicamente el procedimiento de calcular el 10% de 90, respondiendo al indicador textual que representa el % y responde algo completamente carente de sentido. Otros alumnos responden que gastó lo mismo pues el 10% y el 90% suman el 100% y se equilibran. Esta conducta también es bastante irreflexiva y también es consecuencia de las formas en que se trabaja el tanto por ciento, muchas veces como un conjunto de procedimientos carentes de significados para los alumnos. Es una manifestación de una conducta muy generalizada en los alumnos y que en la literatura se denomina “tendencia ejecutora”, y que consiste en comenzar a ejecutar sin realizar un análisis previo y analítico de lo que se espera que realicen a partir de las condiciones que se exigen en la actividad. En la primaria también se manifestó esta estrategia de operar según un indicador textual como se ilustra a continuación. Se está imprimiendo un libro de texto de matemática. Se han terminado de imprimir 112 páginas que representan el 80% del total. ¿Cuántas páginas tendrá el libro? Respuesta escrita Entrevista 80% de 112 - Yo ahora estoy dando el tanto por ciento. 80 : 112 - Puse el 80% de 112 porque no sé cuantas 100 páginas tiene el libro. = 100 x 112 ¡Observen que opera 80 según un indicador - Puse 80 : 112 , le busqué recíproco y que es el %! 100 = 120 Posee un mecanismo para puse 100 x 112 , le taché los ceros y sim- resolver el problema que es 80

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el procedimiento rutinario plifiqué. de calcular por cientos, pero ni siquiera lo utiliza bien. ♦ Tanteo. Esta estrategia consiste en buscar la solución al problema probando

sistemáticamente con distintos valores hasta encontrar la solución. Esta estrategia descansa en la búsqueda de soluciones por “ensayo y error”. En la literatura se describen diferentes formas de utilizarla, desde la búsqueda “inteligente” de los valores con los que hay que probar, hasta el uso de valores escogidos arbitrariamente pero de alguna manera relacionados con el problema que se quiere resolver y analizando si satisfacen o no las condiciones que se imponen. Una variante del tanteo es la comprobación exhaustiva de todos los valores posibles en el dominio de un problema dado, seleccionando aquellos que satisfacen las condiciones adicionales que se imponen a dichos valores en el contexto del problema.

A continuación se ilustra el uso de esta estrategia por un alumno de la primaria, en el problema siguiente: Oscar compró sellos por los que pagó 41 centavos en monedas de 20, 5 y 2 centavos. ¿Cuántas monedas de cada una utilizó? Respuesta:

20 5 2 1 3 3

20 35 + 15 + 6 35 41 Utilizó una moneda de 20, 3 de 5 y 3 de 2 . En la entrevista se pudo comprobar que fue haciéndolo por ensayo y error, pero al no trabajar de una manera sistemática, le faltó la solución 1 de 20, 1 de 5 y 8 de 2. ♦ Operar con los números dados en el texto . Esta estrategia se asocia a la

“tendencia ejecutora” descrita en la Literatura y a una “creencia” aislada en esta propia investigación: Un problema siempre debe conducir a resolver operaciones. Consiste en identificar números en el problema y operar con ellos, por lo general de una manera muy irreflexiva tal como se ha manifestado en este estudio.

Esta estrategia se utiliza con bastante frecuencia y en el estudio se apreció en todos los grados. En el siguiente problema que se les planteó a los alumnos de la primaria, y que no se podía resolver pues le faltaba información, se puede ver su uso: Margarita coloca 9 fotografías en cada página de su álbum. Si aún le faltan por colocar 45 fotos, ¿cuántas fotografías tiene Margarita? Respuesta: 9 +45 54 Tiene 54 fotografías. En la entrevista esta alumna no puede explicar qué pensó, solo que tenía que dar una respuesta.

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Esta estrategia puede estar estimulada por la forma en que se produce el aprendizaje, si en el proceso de enseñanza el alumno no comprende por qué se utilizan determinadas operaciones al resolver un problema, y solo fija que se calcula con los números que aparecen en él. De este modo, al presentársele uno donde lo tenga que resolver independientemente prueban varias formas sin poder decidir, o simplemente como creen que siempre tienen que dar una respuesta (por lo general no se le presentan situaciones en las que no se puede responder) trabajan sin razonar la situación que se les está presentando. ♦ Usar números cómodos (o razonables). Consiste en la adivinación del

resultado infiriendo un número que razonablemente puede ser la solución y prueban si lo es. No debe confundirse con la estrategia de tanteo, ya que no se trata de ensayo y error, sino de comprobar si el número es o no la solución. Si lo es el problema queda resuelto, si no lo es se abandona el problema.

En una de las soluciones dadas al siguiente problema que se puso en uno de los tests de secundaria, se pone de manifiesto esta estrategia. Tres alcancías contienen igual cantidad de dinero, pero la primera solo tiene billetes de $50, la segunda de $20 y la tercera de $10. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que puede haber en cada alcancía? Respuesta: Cuatro A continuación se resume la entrevista que se le realizó a la alumna. Entrevistador Alumna 4 billetes. Explícame cómo salió ese 4 Yo supuse que cada alcancía tenía $200 ¿Por qué? Porque eso es lo que yo supuse. Yo pensé

una cantidad determinada para cada alcancía.

¿Y por qué no pensaste en $100? Pues porque en 20 solo serían 5 billetes que habría…pero a mi me gustó el $200.

Observen que de todas maneras, la respuesta de 4 no tiene ningún sentido, aunque parece ser que esa era la cantidad de billetes de 50 que había, bajo el supuesto de que la cantidad era de $200, y no dice nada sobre las restantes alcancías. ♦ Identificar los significados de las operaciones en el texto del problema.

Como antes hemos planteado, esta estrategia consiste en analizar la situación reflejada en el problema e identificar los significados de las operaciones que están presentes y utilizar precisamente esas operaciones cuyos significados corresponden a la situación descrita. Es la estrategia más reflexiva de las que se aislaron pero, lamentablemente, en el estudio realizado la utilizaron muy pocos.

En la respuesta dada por un alumno de la primaria al siguiente problema se puede apreciar el uso de esta estrategia

Un ómnibus escolar ha recorrido 128km . Si la distancia al lugar donde debe ir es de 432 km, ¿cuántos kilómetros más debe recorrer? Respuesta: 432

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- 128 304 Debe recorrer 304 kilómetros. En la entrevista el alumno planteó que él para entenderlo reformuló la pregunta de la forma siguiente: ¿Cuánto le falta por recorrer? Entonces comprendió lo que tenía que hacer. Observen que tal como estaba planteada la pregunta, si el alumno se deja llevar por la palabra clave “más”, como hicieron otros, no hubiera resuelto correctamente el problema. Al analizar el problema y replantearse la pregunta puede distinguir con más claridad uno de los significados de la sustracción: hallar una parte cuando se conoce el todo y la otra parte. Para concluir este punto quisiéramos reiterar que el objetivo de este estudio es aislar estrategias, y nos interesa cualquiera aunque aparezca en un solo alumno. Con esto queremos decir que no pretendemos mostrar en este material un caos en cuanto a la situación de la solución de problemas en los alumnos mexicanos o cubanos, sino simplemente ilustrar cómo se manifiestan cada una de las estrategias aisladas, ya sean reflexivas o no, o se arriben a soluciones correctas o no.

Estado actual de la investigación Actualmente los autores están trabajando en Cuba, asesorando a tres profesores que están terminando sus estudios de maestría y van a concluirla con una tesis sobre esta misma temática. Uno de ellos está trabajando con niños de segundo y tercer grado de la primaria, otro con alumnos de los tres grados de la secundaria que son muy destacados en matemática y se entrenan para concursos, y el último lo está haciendo con alumnos del último año de preuniversitario y dentro del contenido geométrico. Por otra parte, los autores y sus colaboradores están realizando directamente esta investigación, dentro de sus líneas de investigación en el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas de Cuba, con alumnos de cuarto y sexto grado de la primaria. En este trabajo se están, además, aislando algunas creencias que tienen los alumnos y los maestros acerca de la solución de problemas y que resultan muy interesantes, e importantes, por las barreras que pueden representar en el aprendizaje y en la enseñanza de la solución de problemas. Aunque en estos estudios no se incluye el componente de “las creencias” reconocida por Schöenfeld dentro de la conducta ante la solución de problemas, en el proceso de las entrevistas a los alumnos empezaron a surgir un grupo de ellas que por su interés las incluimos a continuación:

1. No se puede resolver un problema si no se ha visto antes otro parecido. 2. Siempre se busca la manera de dar un resultado (en los tests había

situaciones que no eran problemas pues carecían de pregunta, pero de todos modos calculaban y daban una respuesta).

3. Un problema siempre debe conducir a resolver operaciones.

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4. Los problemas son siempre de lo último que se está dando (en el sexto grado estaban estudiando el tanto por ciento y utilizaron estos procedimientos en situaciones que no tenían nada que ver con eso).

Otros planteamientos interesantes que se hicieron en las entrevistas es que algunos alumnos confiesan que no pueden explicar lo que hicieron pues no saben lo que hicieron o que lo hicieron sin pensar y otros dicen que ellos siempre tratan de recordar lo que hizo la maestra para tratar de hacerlo igual. Algunas de estas estrategias son realmente espontáneas pero otras, sin duda, son generadas por la forma de trabajo de la escuela, por ejemplo el uso de palabras claves o de procedimientos rutinarios, y la menos usual es la que corresponde al uso de los significados de las operaciones. Otra de las dificultades generadas por la escuela se asocia al uso del modelo algebraico ya que el planteo de las ecuaciones se convierte en el estereotipo para resolver "problemas" asociados a la escuela, de forma tal que se utilizan sin discriminar la conveniencia del modelo ni atender a la necesidad real de su utilización. Esto hace que los textos contengan cientos de "problemas algebraicos" que se resuelven de una forma más simple y rápida sin el uso del modelo algebraico. Como consecuencia de esa forma de actuación los alumnos universalizan el planteamiento de ecuaciones, sin elaborar estrategias que le permitan utilizar esta herramienta fuera del marco escolar, dado por las "tiras de problemas" para utilizar ecuaciones. Una de las peores consecuencias de este uso tradicional de los problemas es lo que ha sido llamado "tendencia ejecutora"6, esto es, la tendencia de los alumnos a iniciar la resolución de un problema sin realizar una lectura detallada y sin analizar qué estrategia de resolución puede utilizar. Esta tendencia se percibe en el hecho de que los alumnos "buscan" en el texto del problema los números para realizar con ellos cualquier operación, es tan notoria esta forma de actuación que, en ocasiones, combinan los números contenidos en el problema de cualquier forma para obtener una solución. Esta tendencia ejecutora está íntimamente relacionada con la creencia que ha sido aislada en numerosas investigaciones y que se debe a las mismas causas: todo problema debe resolverse en 10 min. o es demasiado difícil. Resumiendo lo dicho anteriormente podemos decir que a pesar del desarrollo de las investigaciones sobre resolución de problemas, en la escuela sobreviven las formas tradicionales de trabajo y continúan generando graves dificultades en los alumnos que cursan los cursos de matemática escolar. Desde nuestro punto de vista esta situación debe ser enfrentada conscientemente para tratar de revertirla, pero esto requiere trabajar muy cerca de la escuela y tener en cuenta las condiciones reales de alumnos y profesores. En otras palabras se hace necesario utilizar un paradigma de investigación que permita no sólo conocer sino transformar la situación escolar; en primer lugar esto significa que es necesario conocer las necesidades de los maestros y satisfacerlas antes de poder actuar en la escuela con lo que se abre un campo de investigación muy rico y prometedor: estudiar las formas de actuación, las

6 Labarrere Sarduy, Alberto(1987). Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la escuela Primaria. Pueblo y Educación. La Habana, Cuba.

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creencias y los conocimientos de los maestros, así como llegar a precisar cuáles son las formas idóneas para actuar sobre ellos y lograr modificar las creencias, dotarlos de estrategias de resolución y de procedimientos didácticos para dirigir la elaboración (construcción) de estrategias adecuadas en los alumnos. Otra de las acciones necesarias es el estudio del proceso de formación de las estrategias en los alumnos así como aislar las estrategias que se forman desde edades tempranas7 y la influencia del proceder de los maestros en la formación de esas estrategias; un estudio como el que acabamos de presentar es importante para cada comunidad pues las investigaciones locales van poniendo de relieve cómo las acciones educativas influyen en la formación de estrategias. Incluso es notable que acciones encaminadas a la introducción de estrategias probadas pueden dar lugar al surgimiento de estrategias que, aunque derivadas de las acciones de un proyecto, poco tienen que ver con las intenciones de los autores.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GRUPO

En diferentes investigaciones realizadas en el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas8 se ha puesto en evidencia que en la actualidad, las confrontaciones en el campo pedagógico sobre la escuela, se dirigen a un análisis crítico y de transformación, teniendo en cuenta el papel relevante que la misma ocupa en la formación integral del individuo. En estos debates se muestran diferentes tendencias pedagógicas, de acuerdo a la concepción que se tiene del desarrollo del individuo y en función de ello se derivan diferentes formas de interpretar cómo debe ser el proceso de enseñanza aprendizaje. Las concepciones teóricas que se asumen en este material, que como antes se planteó han sido comprobadas en investigaciones realizadas por el ICCP, se ha seguido el enfoque histórico-cultural de L.S. Vigotski y sus colaboradores el cual se centra en el desarrollo integral de la personalidad, que sin desconocer el componente biológico del individuo, lo concibe como un ser social cuyo desarrollo va a estar determinado por la asimilación de la cultura material y espiritual creada por las generaciones precedentes. El desarrollo de la personalidad del escolar se concibe mediante la actividad y la comunicación en sus relaciones interpersonales, constituyendo ambos (actividad y comunicación) los agentes mediadores entre el niño y la experiencia cultural que va a asimilar. ¿Qué significa para el proceso de enseñanza aprendizaje en general, y en especial para el de la resolución de problemas? La respuesta inmediata es que es necesario propiciar en el aprendizaje o en otras actividades extraclases, la oportunidad de interrelación entre los escolares para ejecutar tareas, porque con ello intercambian y a partir de esa interrelación social van asimilando

7 Ver, por ejemplo, Gómez O. Enrique. Caracterización de algunas estrategias para resolver problemas aritméticos en primero y segundo grados de la escuela primaria. Un estudio de casos. (Tesis de Grado) Universidad Autónoma de Guerrero. México. 8 Ver Modelo Teórico del Proyecto Escuela Primaria(1998). ICCP. Ministerio de Educación de Cuba.

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procedimientos de trabajo, conocimientos, normas de conducta, actuando con los compañeros y el maestro, como mediadores de la cultura a asimilar. Cuando el estudiante avanza en el plano de estas actividades, consideradas sociales por las interrelaciones que se producen entre los compañeros y con el maestro, incorpora, hace suyos estos conocimientos, normas, habilidades, y los aplica con posterioridad de forma independiente en las tareas que realiza, lo que da muestra de su desarrollo individual. Estas consideraciones llevan a un aspecto de gran importancia en el trabajo del docente y es el relacionado con el conocimiento que debe de tener de lo que el estudiante puede hacer con la ayuda de él o de otros escolares, es decir, en una actividad social de interrelación, y lo que el estudiante ya asimiló y puede realizar sólo de forma independiente, porque ya constituye un logro en su desarrollo (por ejemplo, un conocimiento, una habilidad, una norma de comportamiento, el desarrollo de procesos del pensamiento como el análisis, la síntesis, la generalización, entre otros, así como la de resolver problemas). Al primer nivel de trabajo -con ayuda- se le ha llamado nivel de desarrollo potencial, este revela las potencialidades del estudiante para aprender y al otro nivel señalado, es decir, cuando puede trabajar por sí solo se le ha llamado nivel de desarrollo real, es el desarrollo ya alcanzado, ya logrado por el escolar. A la distancia entre estos dos niveles evolutivos de desarrollo se le denominó por Vigotski "Zona de desarrollo próximo", que de ser tenido en cuenta por el maestro permitirá que lo que es potencial en un momento se convierta, con su acción pedagógica o la de otro estudiante, en el desarrollo real del escolar. Desde el punto de vista de la actividad de resolver problemas, y en correspondencia con nuestra posición teórica acerca del desarrollo antes expuesta, está reconocido el papel que juega la formación de pequeños grupos de trabajo para lograr más efectividad9. En este sentido Guzmán plantea que: § Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento al permitir percibir las

distintas formas de afrontar una misma situación-problema. § Se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el

papel de moderador del grupo, otras veces como observador de su dinámica. § El grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera

puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere. § El trabajo con otros da la posibilidad de contrastar los progresos que el

método es capaz de producir en uno mismo y en los otros. § Proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a los estudiantes

en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas.

Como se puede apreciar, salvando las diferencias que podamos tener con Guzmán en cuanto a las posiciones sobre el desarrollo, es obvio que ahí se resumen una serie de posibilidades que ofrece el trabajo en grupos que confirman las ventajas que esta forma ofrece de jalonar el desarrollo de sus integrantes, mediante el papel que cada uno juega sobre los otros mediante la actividad y la comunicación, y donde cada estudiante tiene la oportunidad de relacionar sus

9 Ver de Guzmán, Miguel (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. Olimpiada Matemática Argentina.

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recursos matemáticos a situaciones realistas y presentar varias estrategias en sus intentos de solución. En este sentido Santos Trigo plantea que 10cuando los estudiantes encuentran un ambiente en el aula que les permita pensar y razonar acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros sobre la base de un argumento, se enfrentan a la necesidad de organizar y presentar sus ideas en forma convincente, y que trabajando en parejas o en pequeños grupos los estudiantes tienen oportunidad de validar sus razonamientos y sus conjeturas. En la experiencia que hemos acumulado acerca de esta forma de trabajo en grupos, hemos podido comprobar que lo más difícil es lograr que la organización no sea solo externa, o sea no solo que se ubiquen o dispongan en grupos dentro del salón de clases, sino que la organización de esa actividad propicie realmente el trabajo en colectivo con intercambio de ideas tal como se ha planteado en los párrafos anteriores. En este campo, que cae ampliamente dentro de los problemas de la didáctica de la solución de problemas, también hay mucho trabajo por hacer e investigar para poder diseñar claramente cómo llevar a cabo la "enseñanza mediante problemas", en cualquiera de las formas establecidas, y en donde el papel de los grupos de trabajo es determinante.

TÉCNICAS QUE PUEDEN FACILITAR EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN DE ESTRATEGIAS, ASÍ COMO DE UN PROCEDIMIENTO GENERALIZADO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Para finali zar quisiéramos a referirnos en este trabajo que venimos desarrollando acerca de la situación con la enseñanza de la resolución de problemas, a la necesidad de descomponer las estrategias generales que eventualmente se utilizan para enseñar a resolver problemas, en técnicas más simples asociadas a etapas escolares que permitan entrenar a los alumnos en la actividad de resolución de problemas en forma gradual, sin exigir de inicio el dominio de estrategias complejas pero de manera tal que se vayan apropiando (construyendo) de formas de actuación que conducen la desarrollo de la capacidad de resolver problemas a más largo plazo. De esta forma en los primeros grados las técnicas estarían asociadas a los problemas aritméticos, como se ilustrarán en este último punto del trabajo, pero no se limitarían a ellos ya que desde el principio tienen que aparecer problemas que los obliguen a utilizar técnicas en situaciones nuevas (un campo de aplicación pueden ser los llamados problemas de proceso). En etapas posteriores puede ser necesario desarrollar técnicas vinculadas a determinadas ramas de la Matemática, pero sin olvidar los necesarios vínculos entre las diferentes ramas de modo que se creen técnicas de aplicación general y se contribuya al desarrollo de la capacidad general de resolver problemas11. 10 Santos Trigo, Luz Manuel (1996)Principios y Métodos de la Resolución de problemas en el aprendizaje de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica. 11 Ver Campistrous, Luis (1994). Técnicas de resolución de problemas en Geometría Elemental. Olimpiada Matemática Argentina. Rosario. Argentina.

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Esta parte del trabajo que se presenta a continuación está hecha con ese espíritu de que los alumnos aprendan técnicas simples desde pequeños, y forma parte de un conjunto de investigaciones que se han realizado por el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas de Cuba, con el objetivo de desarrollar técnicas de estimulación intelectual en las que no pueden faltar aquellas encaminadas a desarrollar la capacidad de resolución de problemas. La referida investigación se realizó durante los años 1990 a 1996 y fue defendida con éxito en el Consejo Científico del mencionado Instituto. Sus resultados se han presentado en varios eventos internacionales entre los que se encuentran Pedagogía 93, Pedagogía 95 y Pedagogía 97, todos ellos celebrados en Cuba, y Relme 8 (Costa Rica), Relme 9 (Cuba), Relme 10 (Puerto Rico) y Relme 11 (México).

Posiciones básicas de partida

Esta investigación está enmarcada dentro de la Didáctica aplicada a la Enseñanza de la Matemática. El objetivo y la acción central de la investigación están fundamentalmente en el proceso de enseñanza-aprendizaje. En el trabajo se parte de los resultados teóricos que sobre la resolución de problemas han sido obtenidos en investigaciones anteriores: Labarrere (Cuba), Müller (Alemania), Polya (USA) y Schöenfeld (USA), entre otros, utilizándolos convenientemente sin posiciones dogmáticas, cada vez que son útiles. Desde el punto de vista de los fundamentos, aceptamos (sin una dependencia rígida):

• Las implicaciones de la teoría de la actividad, en particular lo que significa para la resolución de problemas y muy en especial la necesidad de la motivación (interés), la orientación y el control (Vigotski, Leontiev).

• La interiorización de las acciones mentales y sus implicaciones didácticas (Galperin).

• La importancia de la formación de procedimientos generalizados y, en particular, la trascendencia de este reconocimiento para la resolución de problemas (Talizina).

• La posibilidad de aprender (interiorizar) procedimientos generalizados y, por tanto, la necesidad de enseñarlos (Talizina).

• Las funciones generalmente reconocidas al trabajo con problemas en la escuela: instructiva, educativa y de desarrollo.

• Las fases en la resolución de un problema: comprender el problema, búsqueda de la vía de solución, resolución y control y vista y perspectiva, y su relación con los momentos de la actividad (Polya, Müller, Labarrere).

• La caracterización del comportamiento de solución de problemas y lo que en ella interviene: los recursos, la heurística, el control y el sistema de creencias (Schöenfeld).

En la medida que sea necesario, iremos precisando en este trabajo otras posiciones específicas que desde el punto de vista teórico fueron consideradas en esta investigación.

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El problema de los significados de las operaciones en la solución de problemas aritméticos

Las investigaciones demuestran, y la práctica pedagógica cotidiana también, que existen muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general, pero muy en especial cuando la vía de solución es aritmética. En este sentido se ha comprobado, al menos en México y Cuba donde hemos podido profundizar en ello a partir de trabajos de maestría que hemos dirigido, que los significados de las operaciones aritméticas que tienen tanto los alumnos como los maestros son por sinonimia, es decir, conocen una serie de palabras que se utilizan como sinónimos de las acciones de sumar, restar, multiplicar y dividir y que cuando aparecen en el texto de un problema inmediatamente operan como señal para resolverlo utilizando la o las operaciones que les corresponden. Esta conducta la hemos aislado en estudios que estamos realizando sobre las estrategias que usan los alumnos al resolver problemas y que la hemos denominado “estrategia de usar palabras claves”. La conducta antes descrita la podemos ejemplificar con el comportamiento, bastante generalizado, que tuvieron alumnos y maestros en una investigación realizada en Chilpancingo, Guerrero12 y que también se ha manifestado en Cuba, ante el problema siguiente: Pepito logró reunir en dos días 22 canicas. A las que tenía el primer día, le agregó el segundo día 6 canicas. ¿Cuántas tenía el primer día? Una buena parte respondió de la forma siguiente: 22 : 2 = 11 (responden a la palabra clave “entre dos”) 11 + 6 = 17 (responden a la palabra clave “le agregó”) Respuesta: El primer día tenía 17 canicas. Como han podido apreciar, el problema es un problema simple de sustracción donde se da el todo (22 canicas) y una de las partes (6 canicas) y lo que se quiere es hallar la otra parte ( 22 - 6 = 16 canicas). En las entrevistas realizadas después de aplicársele los tests, se confirmaron estas formas de actuar y su relación con las mencionadas palabras claves que operan como desencadenantes de su conducta de una manera muy irreflexiva. En el trabajo desarrollado para esta investigación, se tuvo en cuenta el resultado de los estudios realizados por Schöenfeld, en relación con las cuatro dimensiones que intervienen en la resolución de problemas. La primera de estas dimensiones incluye el conocimiento informal o intuitivo del dominio (la disciplina) o del problema a resolver, y aquí se presenta este problema de los significados por sinonimia de las operaciones aritméticas elementales. A esto se une la importancia que tiene en el proceso de aprendizaje de los alumnos el significado de lo que aprende en el sentido en que lo reconoce Ausubel13 con respecto a lo que el denomina aprendizaje significativo:… “Como ya vimos, la

12 Alanís Musito, José de Jesús. El papel de los significados en la solución de problemas aritméticos en la escuela primaria. Tesis de maestría. Chilpancingo, Guerrero. México. Enero de 1996. 13 Ausubel, David P. Psicología educativa. Pag. 56. Editoral Trillas. México 1982.

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esencia del aprendizaje significativo reside en que ideas expresadas psicológicamente son relacionadas de modo no arbitrario sino sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno ya sabe, señaladamente algún aspecto esencial de su estructura de conocimiento (por ejemplo: una imagen, un símbolo ya con significado, un contexto o una proposición)…”. Ante estas posiciones, y a partir de lo que en Cuba se hace en la educación preescolar que tiene sus antecedentes en algunas de nuestras tradiciones pedagógicas, reconsideramos esta manera de establecer los significados y que tantos problemas nos están trayendo en la práctica, a favor de significados prácticos de las operaciones aritméticas, donde el hilo conductor de todos ellos fuera la relación “Parte-Todo”. Esta relación es muy intuitiva, pues el niño realiza muchas actividades en donde compone y descompone, y de una manera muy elemental se puede lograr que interiorice sus propiedades fundamentales:

• La descomposición del todo da lugar a dos o más partes. • La reunión de todas las partes da como resultado el todo. • Cada parte e menor que el todo.

Establecido este punto de vista, los significados de las cuatro operaciones fundamentales con números naturales se pueden establecer mediante esta relación, la cual admite modelos lineales simples (hablaremos detalladamente de ellos más adelante) que son un magnífico apoyo para la solución de problemas aritméticos. Esta relación opera entonces como una proposición o un modelo con significado para el niño y que le sirve de soporte para tener una idea mental clara de lo que significa cada una de las operaciones aritméticas. Observen que, además, opera como una noción generalizadora que le sirve para cada una de las operaciones, lo que representa una gran economía de pensamiento y contribuye a formar un pensamiento más generalizador en el niño. La forma en que hemos caracterizado cada uno de los significados que normalmente se trabajan en la escuela aparecen en el libro "Aprende a resolver problemas aritméticos". El lenguaje utilizado puede ser tal como aquí se plantea o adaptado al lenguaje propio de los niños acorde a su edad. Para hacer más ilustrativo lo que se quieres trasmitir en el referido libro se utiliza en algunos momentos una representación mediante variables que, como es obvio, no es el que se utiliza con los escolares de primaria, aunque puede ser empleado con alumnos de otros niveles de enseñanza.

Las técnicas de resolución de problemas aritméticos. Un procedimiento generalizado para la solución de problemas. Las técnicas que se han introducido, considerando como técnica a "un conjunto de acciones que permiten proceder ante una determinada acción de aprendizaje y que opera como un recurso de la actividad mental para actuar (herramienta) y a la vez como recurso de regulación (recurso metacognitivo)", se resumen a continuación14: § Técnica de la formulación.

14 Ver Campistrous, Luis y Rizo, Celia. (1997). Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba.

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§ Técnica de la modelación. § Técnicas de la lectura analítica y la reformulación. § Técnica de la determinación de problemas auxiliares. § Técnica del tanteo inteligente. § Técnica de la comprobación.

Cada técnica está descrita mediante un conjunto de acciones que se formulan en forma aseverativa e incluyen una serie de preguntas metacognitivas, en el lenguaje de los alumnos, que recorren el proceso mental que se realiza y constituye, a la vez, un importante recurso de control de este proceso. Estas técnicas, excepto la de la formulación que es de un gran valor previo cuando se está tratando de que el alumno adquiera el concepto de "problema", se insertan dentro de un procedimiento generalizado para la solución de problemas que en forma resumida se muestra a continuación: ¿Qué dice? ¿Puedo decirlo de otro modo? ¿Cómo lo puedo resolver? ¿Es correcto lo que hice? ¿Existe otra vía? ¿Para qué otra cosa me sirve? Este procedimiento está íntimamente relacionado con los tres momentos reconocidos para toda actividad: Orientación, Ejecución y Control, como se ilustra a continuación:

§ Leo Lectura global § Releo

Lectura analítica

§ Reformulo Lectura analítica y reformulación

§ Busco la vía de solución 1. Lectura analítica y reformulación 2. Modelación 3. Determinación de problemas auxiliares 4. Tanteo inteligente 5. Analogía § Resuelvo

§ Hago consideraciones (incluye la comprobación, análisis de la solución y del procedimiento) Técnicas de la comprobación

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¿Qué dice? ORIENTACIÓN ¿Puedo decirlo de otro modo? ¿Cómo lo puedo resolver? EJECUCIÓN ¿Es correcto lo que hice? ¿Existe otra vía? ¿Para qué otra cosa me sirve? CONTROL Una manera en que pueden organizarse los pasos y que estos sean motivantes para los alumnos puede ser utilizando un modelo guía como el siguiente: ¿Qué dice? ¿Puedo decirlo de otro modo?

¿Cómo lo puedo resolver?

LEO RELEO REFORMULO BUSCO LA RESUELVO VÍA DE SO- LUCIÓN TEDI HAGO CONSIDERACIONES

PARA RESOLVER

PROBLEMAS

§ Hago consideraciones

§ Leo

§ Reformulo

§ Busco la vía de solución

§ Releo

§ Resuelvo

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¿Es correcto ¿Para qué otra lo que hice? cosa me sirve? ¿Existen otras vías? La explicación detallada y la ejemplificación del uso de las técnicas consideradas y del empleo del modelo guía aparece en el libro Aprende a Resolver Problemas Aritméticos ya antes referido. La introducción de técnicas simples representa una alternativa para la implementación de las estrategias en la escuela, pero no es la única ni está desarrollada en todo su alcance, realmente este aspecto de la implementación de las estrategias es uno de los campos más fértiles para el trabajo y la investigación muy cerca de la escuela y los maestros. Como se puede apreciar, hemos tratado de tocar algunos aspectos fundamentales con la esperanza de contribuir a despertar la preocupación por este problema de tanta trascendencia para la enseñanza de la matemática y que tan necesitado está del aporte de las mejores inteligencias de maestros e investigadores. Esperamos haber puesto de manifiesto que, además de la investigación de punta que se realiza en numerosos lugares y que aumenta día a día nuestro conocimiento teórico sobre el fenómeno de la resolución de problemas en sí mismo, existe un vasto campo menos teórico pero igualmente interesante que tiende un puente entre la teoría elaborada y la realidad del aula, por lo que nos daremos por satisfechos si al menos algunos de ustedes comienzan a dedicar su interés a este problema.

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aritméticos en la escuela primaria. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Noviembre de 1995.

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3. Ballester, Sergio y otros, Metodología de la enseñanza de la Matemática, México 1995; 4. Cabañas, Ma. Guadalupe. La técnica de la modelación como un recurso para aprender a

resolver problemas. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Julio de 1995.

5. Campistrous, L. y Celia Rizo. Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. 1997.

6. -------------------- Concepción de la enseñanza de la Matemática, Mined, Cuba .1987. 7. -------------------- Orientaciones metodológicas para los grados 6º, 10º y 12º, Pueblo y

Educación. Cuba 1990 8. --------------------- Los significados y la modelación en la resolución de problemas

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innovaciones. Madrid. Popular. 1993. 10. ---------------------- Para pensar mejor. Editorial Labor. Barcelona 11. Gómez Otero, Enrique Javier. Caracterización de algunas estrategias para resolver

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16. Mónaco, Bárbara. S. Aguirre, Ma. Isabel. Caracterización de algunas estrategias para resolver problemas aritméticos y algebraicos en el nivel medio: un estudio de casos. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Diciembre de 1995

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20. ------------ Descubrimientos matemáticos, URSS 1975 21. ------------- Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las

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Matemática a debate. Ministerio de Educación y Ciencias. Madrid. 1985- 27. --------------Aprendiendo a pensar matemáticamente. Libro para investigaciones sobre la

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CINVESTAV-IPN 1994. 29. Sowder, L. La selección de operaciones en la solución de problemas rutinarios con

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30. Valenzuela, G.R. Resolución de problemas matemáticos: un enfoque psicológico. Educación matemática. México. D.F. Vol. 4. No.3. Diciembre de 1992.

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PROBLEMAS PARA TRABAJAR EN EL CURSO 1. Entre Elena y su hermana pesan 87 kg. Si la hermanita pesa la mitad de lo que pesa

Elena, ¿cuánto pesa cada una? 2. La edad de un padre y su hijo suman 47 años. Dentro de 14 años el padre tendrá el

duplo de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del hijo? ¿Cuál es la edad del padre? 3. Por $4.80 se compran un cinto y su hebilla. El cinto va le $4 más que la hebilla. ¿Cuánto

vale cada objeto por separado? 4. Tengo una vasija llena de miel que pesa 500 g. Esa misma vasija llena de kerosene pesa

350 kg. El kerosene es dos veces más ligero que la miel. ¿Cuánto pesa la vasija? 5. Tres niñas tienen blusas blanca, rosa y violeta. La que tiene la del color violeta le dice a

una señora, nuestros nombres son Blanca, Rosa y Violeta. La otra niña dice, yo me llamo Blanca, como pueden ver nuestros nombres son iguales a los colores de las blusas, pero ninguna lleva blusa con el color de su nombre. ¿Cómo identificar a cada una?

6. Un estudiante de vacaciones observó que llovió 7 veces por la mañana o por la tarde. Cuando llovía por la tarde, la mañana estaba clara. Hubo 5 tardes claras y 6 mañanas claras. ¿Cuántos días estuvo de vacaciones?

7. En u cierto pueblo 2/3 de los hombres y 3/5 de las mujeres son casado. ¿Qué parte de la población es soltera?

8. A un sirviente lo contratan por un año de trabajo. Le ofrecen una capa y 10 monedas de oro. Al cabo de 7 meses lo despiden y le dan la capa y 2 monedas de oro. ¿Cuánto vale la capa?

9. (Problema de Diofanto) "Viajero, aquí reposan los restos de Diofanto y los números demostraron cuán larga fue su vida, cuya sexta parte la constituyó su infancia, su juventud la doceava parte, la séptima parte su matrimonio estéril, cuando pasaron 5 años más tuvo su primer hijo, este murió a la mitad de la edad total del padre. Cuatro años después sobrevino la muerte de Diofanto. ¿Cuántos años vivió Diofanto?"

10. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos apretones de mano se dieron en total?

11. En una caja contadora hay 100 pesos en ás de 20 billetes de a 3, 5 y 10 pesos. Si hay más billetes de 5 que de 3, ¿cuántos billetes de cada tipo hay en la caja?

12. El minutero señala un número exacto de minutos y el horario está 2 divisiones detrás. ¿Qué hora es?

13. Dos hermanos, Juan y Pedro viven a 36 km uno del otro y salen al mismo tiempo a encontrarse. Juan camina 7 km/h y Pedro 5 km/h. Con Juan sale su perro que camina 9 km/h; cuando llega a donde está Pedro, regresa a buscar a Juan y vuelve a buscar a Pedro y sigue así hasta que los dos hermanos se encuentran. ¿Cuántos kilómetros caminó el perro?

14. Cuatro niñas alquilaron un bote por $60. La primera pagó la mitad de la suma de lo que pagaron las otras tres. La segunda pagó un tercio de la suma de lo que pagaron las otras tres. La tercera pagó un cuarto de la suma de lo que pagaron las otras tres. ¿Cuánto pagó la cuarta?

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15. Pasan volando un grupo de palomas, un gavilán que las vio les dijo "adiós cientos de palomas", y la última paloma se detiene y le dice: "se equivoca usted, nosotras no somos cientos de palomas, nosotras, más otras tanto como nosotras, más la mitad de nosotras, más la cuarta parte de nosotras, más usted señor Gavilán suman 100". ¿Cuántas palomas son?