diccionario matemático

Libro de Distribucion Gratuita

A B

CD

M

N

25 = 32Base

Exponente

Potencia

25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸5 factores

= 32

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

cion

Matematicas Lenguaje Ciencias

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

xX

f (x)Yf

Funcion

Dominio Contradominio

Valores que ledamos a la funcion

Valores que nosdevuelve la funcion

A B

A∩B

x

y

y = f (x)

ba

x

y

FF′

P(x, y)

LR

VV′

B

B′

Ox

y

y = sin x

λ

(Version para Bachillerato)Libro de distribucion gratuita

DiccionarioIlustrado

deConceptos

Matematicospor

Efraın Soto Apolinar

Terminos de uso

Derechos Reservados © 2011.

Todos los derechos reservados a favor de Efraın Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraın.Diccionario ilustrado de conceptos matematicos.Tercera edicion.Mexico. 2011.

Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la informacion que se encuentra en estematerial, bajo las siguientes condiciones:

Atribucion: Debe dar credito al autor del libro, independientemente del medio que se utilicepara su divulgacion (impresa, electronica, en lınea, etc.)

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No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material.Usted tiene permiso para utilizarlo como esta y es. No se permite ni agregar, ni elimi-nar, ni modificar: palabras, u oraciones, o parrafos, o paginas, o subsecciones, o secciones,o capıtulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro.

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Version Electronica de distribucion gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

iii

Prefacio

En Mexico la ensenanza de las matematicas esta tomando cada vez mayor importancia por partede autoridades educativas, profesores y padres de familia.

El uso de las matematicas por parte de todos los ciudadanos esta muy ligado a la forma como seaprendieron en primaria y secundaria, de manera que un nino que entendio bien los conceptosbasicos, asegura un aprendizaje mas efectivo en cursos futuros.

Sin embargo, muchas de las fuentes de informacion actuales no se escribieron pensando en losestudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de manera que los entiendenlos matematicos solamente. Esto es contraproducente en el aprendizaje efectivo de los estudian-tes.

Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeno diccionario para quenuestros estudiantes del nivel basico tengan al alcance de su madurez intelectual los conceptosbasicos de las matematicas y ası apoyar la educacion publica de calidad en nuestro paıs.

Este diccionario ilustrado de conceptos matematicos de distribucion gratuita incluye mas de mildefiniciones y mas de trescientas ilustraciones para que el lector pueda crear una idea mas claradel concepto para entenderlo de una manera mas sencilla y amena.

Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matematicas, sino unafuente de inspiracion para entender de verdad las ciencias exactas.

Este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matematicos esta en continua mejora. Usted puededescargar la ultima version de este material desde el siguiente sitio de Internet:

http://www.aprendematematicas.org.mx/

Version aumentada

para Bachillerato

Efraın Soto Apolinary revisores del diccionario

Monterrey, N.L., Mexico.Abril de 2 011.

www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

iv

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


INDICE v

Indice

Terminos de uso ii

Prefacio iii

a 1

b 11

c 15

d 33

e 49

f 61

g 69

h 73

i 77

j 85

k 87

l 89

m 93

n 101

o 109

p 113

r 129

s 139

t 147


vi

u 157

v 159

Lista de sımbolos 162

Referencias 165

Agradecimientos a revisores 166

Creditos 167

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

AEfrain Soto Apolinar

Abierto, conjunto Conjunto cuyo comple-mento es cerrado. En otras palabras, unconjunto es abierto cuando sus valoreslımite (en frontera) no son elementos delconjunto mismo.Vea la definicion de Abierto, intervalo.

Abierto, intervalo Intervalo que no incluyesus valores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son a y b, entonces, sedenota por: (a, b).Geometricamente, el intervalo incluye atodos los puntos de la recta numericaentre a y b, pero excluyendo a estos dosvalores.La siguiente figura muestra el intervaloabierto (a, b):

xa bO

Aceleracion (1.) Vector cuya magnitud indicacuanto cambia la velocidad por cadaunidad de tiempo y su direccion indicala direccion del movimiento.(2.) En Calculo, la aceleracion se definecomo la segunda derivada de la posicionrespecto del tiempo, que equivale a laprimera derivada de la rapidez (veloci-dad) respecto del tiempo.

A posteriori Declaraciones o afirmaciones quetienen su base en evidencia empırica,es decir, que se basan en observaciones,experimentaciones, etc., que dan soportede su veracidad.

A priori Declaraciones o afirmaciones que sedan sin evidencia que apoye su veracidad,pero que pueden demostrarse a partir derazonamientos logicos.

Abaco Calculadora que se utiliza para contar.El abaco tiene dispuestas barras de fichasque se utilizan para formar numeroscon ellas. A cada ficha de diferen-tes barras se le asignan unidades, de-cenas, centenas, etc., y de esta manerase pueden usar para realizar calculosfacilmente.

UnidadesDecenas

Centenas

...

Abaco

El abaco fue inventado en China.

Abscisa Para indicar un punto del plano serequieren de dos coordenadas: P(x, y). Laprimera coordenada (x) se conoce comoabscisa. La segunda coordenada (y) seconoce como ordenada.

2

A

Absoluto, valor–Altura

Absoluto, valor El valor absoluto de unnumero x, denotado por |x| se definecomo su valor numerico sin considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geometricamente, el valor absolutorepresenta la distancia del origen de larecta numerica al punto que le corres-ponde el numero:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| − 3| |2|

Acre Unidad de superficie igual a 4 047 m2.

Adicion Sinonimo de suma.

Aleatorio Decimos que un evento o unproceso es aleatorio si no es posi-ble predecir el siguiente resultado o elsiguiente paso del proceso.Por ejemplo, una caminata aleatoriaconsiste en caminar a la misma velocidaden un plano, cambiando la direccion cadavez que se desee.

Alfabeto griego Vea la definicion Griego,alfabeto.

Algebra Es la rama de las matematicas queestudia las propiedades de los numerosreales a traves de su abstraccion en formade polinomios y funciones.

Algebraica, expresion Representacionmatematica de una cantidad utilizandoliterales y operaciones entre las mismas.Por ejemplo, 2 x2 + 5 y, es una expresionalgebraica.

Algoritmo Procedimiento definido para lasolucion de un problema, paso a paso, enun numero finito de pasos.

Algoritmo de Euclides Algoritmo paracalcular el maximo comun divisor de dosnumeros MCD(m, n) donde m > n, quese puede resumir como sigue:

1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.

(Fin)3. Si r , 0, entonces MCD(m, n) =

MCD(n, r).4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir al

paso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12× 2 + 312 = 3× 4 + 0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.

Algoritmo de la division Dados los numerosenteros a, b, con b , 0, existen numerosenteros unicos q, r, con 0 ≤ r < b, talesque: a = bq + r.Por ejemplo, considerando a = 17, b = 3,se tiene:

17 = (3)(5) + 2

En este caso, q = 5, y r = 2.

Altura En un triangulo, la altura es igual ala distancia medida perpendicularmentedesde la base del triangulo hasta elvertice opuesto. La altura se denota conla literal h.

h

En un triangulo las tres alturas se inter-sectan en un punto que se llama ortocen-tro.En un trapecio o en un paralelogramo, laaltura es el segmento de recta perpendi-cular a la base que va desde la base a suotro lado paralelo.

h


Amortizacion–Angulos adyacentes

A

3

Amortizacion En negocios, la amortizacion serefiere al pago de una deuda por mediode pagos iguales distribuidos en variosperiodos (a plazos). El importe del abonoA periodico calculado a partir del montoM y la tasa de interes compuesto r, es:

A = M · r (1 + r)n

(1 + r)n − 1

donde el valor de r ha sido dividido entrecien antes de hacer la sustitucion.

Amplitud En una onda sinusoidal, laamplitud es la distancia que hay desdeel eje de la onda hasta cualquiera de suscimas.

x

y

y = sin x

1

-1

A

Analisis matematico Rama de lasmatematicas que se encarga del estu-dio de las funciones, los lımites y suspropiedades.

Analisis numerico Conjunto de reglas ymetodos para la resolucion de ecuacionesy problemas a traves de metodos iterati-vos. Estos metodos generalmente se real-izan a traves de la programacion de com-putadoras.Vea la definicion de Iteracion.

Analıtica, geometrıa Es el estudio de lageometrıa utilizando un sistema deejes coordenados para aplicar principiosalgebraicos en la solucion de problemas.

Angulo Figura plana formada por dossegmentos de recta que se cortan enun punto. El punto donde se cortanse llama vertice. Los segmentos sonlos lados del angulo. La medida de unangulo indica la abertura entre sus lados.

Lado

LadoVertice

α

En la figura, α representa la medida delangulo.Un angulo tambien se puede denotarusando tres letras, como se indica en lasiguiente figura:

C

ABα

El angulo α tambien se puede denotarcomo ∠ABC, donde el punto B es elvertice del angulo.Normalmente el angulo en el plano espositivo cuando se mide en el sentidocontrario al giro de las manecillas del relojy negativo cuando se mide en el mismosentido de giro de las manecillas.

Angulo agudo Angulo cuya medida esmenor a la de un angulo recto. En ladefinicion de Angulo, el angulo mostrado(ambas figuras) es agudo.

Angulos adyacentes Dos angulos sonadyacentes cuando tienen el mismovertice y comparten un lado comun ubi-cado entre ellos.En la siguiente figura los dos angulos sonadyacentes:

αβ


4

A

Angulos alternos–Angulos correspondientes

Los angulos α y β tienen un mismo puntopor vertice y tienen un lado en comun,por eso son adyacentes.

Angulos alternos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante,se forman 8 angulos. Si dos angulosse encuentran en diferente lado respectode la secante y no comparten el vertice,entonces los angulos son alternos.En la figura mostrada en la definicionde Angulos correspondientes, los pares deangulos (α, ζ) y (δ, ε) son alternos.

Angulo central En una circunferencia, elangulo central es aquel que tiene suvertice en el centro de la circunferenciay cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el angulo central αmide 60:

α

El angulo central se define de maneraequivalente para el cırculo.

Angulos complementarios Dos angulos soncomplementarios si la suma de susmedidas es igual a la medida de unangulo recto. En otras palabras, si lasuma de dos angulos es igual a 90,entonces los angulos son complementa-rios.

αβ

En la figura anterior, los angulos α y β soncomplementarios.

Angulos congruentes Dos angulos soncongruentes si tienen la misma medida.

Angulos conjugados Dos angulos son conju-gados si la suma de sus medidas es iguala la medida de un angulo perigonal. Enotras palabras, dos angulos son conjuga-dos si la suma de sus medidas es igual a360.

Angulos consecutivos En un polıgono, dosangulos son consecutivos si tienen unlado comun.En el siguiente pentagono, los angulos Ay B son consecutivos.

A

B

Angulos correspondientes Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 angulos. Si dosangulos no adyacentes se encuentran delmismo lado respecto de la secante, siendouno interno y el otro externo, entonces losangulos son correspondientes.En la figura se muestran los pares deangulos correspondientes: (α, ε), (β, ζ),(γ, η) y (δ, θ).

α

ε

γ

η

β

ζ

δ

θ

`2

`1

`1 ‖ `2


Angulo de depresion–Angulo inscrito

A

5

Angulo de depresion Angulo formado por lahorizontal y la lınea que une a un obser-vador con un objeto situado por debajodel nivel de observacion.En la siguiente figura, el angulo α corres-ponde al de depresion de la persona queobserva la bicicleta desde el punto dondela mano apunta.

®

Zα

Angulo de elevacion Angulo formado por lahorizontal y la lınea que une a un obser-vador con un objeto situado por encimadel nivel de observacion.En la siguiente figura, el angulo α corres-ponde al de elevacion de la persona queobserva el balon desde el punto donde lamano apunta.

o

Zα

Angulo de rotacion Angulo que se rota unafigura o que cambia en su orientacionrespecto de un eje fijo.En la siguiente figura se muestra un planoque se ha rotado 30, es decir, el angulode rotacion en este caso es de 30.

x

y

x′

y′

θ = 30

Angulo entrante Angulo que mide mas queun angulo llano, pero menos que un

angulo perigonal. En otras palabras, elangulo entrante mide mas de 180, peromenos que 360.En la figura, el angulo α es entrante:

α

Angulo externo En un polıgono, un anguloexterno es el que se forma por uno desus lados y la prolongacion de un ladoadyacente.En la siguiente figura se muestra unangulo α externo del pentagonomostrado:

D

E

A B

Cα

Angulos externos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante, seforman 8 angulos. Los cuatro angulos quequedan fuera de entre las rectas paralelasson los angulos externos.En la siguiente figura los cuatro angulosmarcados (α, β, γ, δ) son externos.

α β

γ δ

E

F

A B

C D

AB ‖ CD

Angulo inscrito Angulo que tiene su verticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.


6

A

Angulos internos– Angulo recto

α

Angulo inscrito

Angulos internos (1.) Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 angulos. Loscuatro angulos que quedan entre las rec-tas paralelas son los angulos internos.En la figura mostrada en la definicionde Angulos correspondientes, los cuatroangulos: γ, δ, ε y ζ son internos.(2.) En un polıgono, un angulo internoes el angulo que se forma por dos ladosconsecutivos del polıgono.

i

La medida del angulo interno de unpolıgono regular se denota por la literali.Vea la definicion de Polıgono regular.

Angulo llano Angulo que mide exactamentelo mismo que dos rectos. En otras pala-bras, un angulo llano mide 180.

α

En la figura anterior, el angulo α es llano.Como puedes ver, los lados del angulollano estan sobre la misma recta.

Angulo obtuso Angulo que mide mas queun angulo recto, pero menos que unangulo llano. En otras palabras, unangulo obtuso mide mas de 90, peromenos que 180.

α

En la figura anterior, el angulo α esobtuso.

Angulos opuestos por el vertice Dos angulosson opuestos por el vertice si la prolon-gacion de los lados de uno son los ladosdel otro.En la siguiente figura, los angulos α y βson opuestos por el vertice:

αβ

Angulos opuestos por el vertice

Los angulos opuestos por el vertice tienenla misma medida.

Angulo perigonal Angulo que mide lo mismoque cuatro angulos rectos.En otras palabras, el angulo perigonalmide 360.

α

En la figura anterior, el angulo α esperigonal.

Angulo recto Angulo que se forma cuandodos rectas se cortan formando cuatroangulos iguales. En otras palabras, elangulo recto mide 90.

α


Angulos suplementarios –Arco de curva

A

7

En la figura anterior, el angulo α es unangulo recto.

Angulos suplementarios Dos angulos sonsuplementarios si la suma de sus medi-das es igual a la medida de un angulollano. En otras palabras, si la suma dedos angulos es igual a 180, entonces losangulos son suplementarios.

αβ

En la figura anterior, los angulos α y β sonsuplementarios.

Antecedente En una razon, el primertermino se llama antecedente, el segundose llama consecuente.Por ejemplo, en la razon 5 : 7, el numero 5es el antecedente y el 7 es el consecuente.

Antiderivada Una funcion F(x) es una antide-rivada de f (x), si la derivada de F(x) esigual a f (x). Matematicamente:∫

f (x)dx = F(x) ⇒ F′(x) = f (x)

Observe que la antiderivada de f (x) sedenota por: F(x) =

∫f (x).

Si y = F(x) es una antiderivada dela funcion y = f (x), tambien lo esy = F(x) + C, donde C es una constantecualquiera.

Antilogaritmo Si ax = y, entonces, decimosque y es el antilogaritmo del numero x enla base a.Por ejemplo, dado que 23 = 8, se tieneque 8 es el antilogaritmo de 3 en la base2.Observa que las funciones logaritmo yantilogaritmo son funciones inversas.

Ano Un ano es el tiempo que tarda la tierradar una vuelta alrededor del sol en su

movimiento de traslacion y es aproxi-madamente igual a 365 dıas.El ano se divide en 12 meses.

Ano bisiesto Cada cuatro anos, un ano tiene366 dıas. Este dıa extra se agrega al mesde febrero, por lo que en un ano bisiestofebrero tiene 29 dıas.El ano 2012 es un ano bisiesto.

Apotema En un polıgono regular, el apotemaes el segmento que va desde el centro delpolıgono al punto medio de uno de suslados.

Apotem

a

Aproximar Dar un valor cercano a otro. Porejemplo, podemos aproximar el valor delnumero π = 3.141592654 · · · como 3.1416El sımbolo matematico que denotaaproximacion es: ≈.En el caso del ejemplo dado antes,tenemos π ≈ 3.1416.

Arco Segmento de circunferencia delimitadopor dos de sus puntos.

Arco

A

B

El arco cuyos extremos son los puntos Ay B se denota por: AB

_

Arco de curva Cualquier curva delimitadapor dos de sus puntos.


8

A

Arcocoseno–Arroba

P

Q

Arco de curva

La longitud del arco de una curva seconoce como su longitud de arco.

Arcocoseno La funcion arcocoseno delangulo x, denotada por arccos x, es lafuncion inversa de la funcion coseno.

Arcoseno La funcion arcoseno del angulo x,denotada por arcsin x, es la funcion in-versa de la funcion seno.

Arcotangente La funcion arcotangente delangulo x, denotada por arctan x, es lafuncion inversa de la funcion tangente.

Area Medida de la superficie que cubre uncuerpo o figura geometrica. Sus unidadesse miden en unidades cuadradas, tambiendenominadas de superficie, como centı-metros cuadrados (cm2), metros cuadra-dos (m2), hectareas (ha), etc.

Area superficial Medida del tamano de unasuperficie.

Argumento El argumento de una funcion esel valor en el que esta se usara para eval-uarla.Por ejemplo, si el argumento de la funcioncoseno es π2 + 1, entonces escribimos:cos(π2 + 1).

Arista Lınea recta donde se intersectan doscaras de un cuerpo geometrico.

Arista

Aritmetica Es la rama de las matematicas quese dedica al estudio de los numeros ysus propiedades bajo las operaciones desuma, resta, multiplicacion y division.

Aritmetica, sucesion Lista de numeros quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer termino de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−esimo termino ande la sucesion usando la formula:

an = a1 + d (n− 1)

Y la suma Sn de los primeros n terminoscon:

Sn =n (a1 + an)

2A la sucesion aritmetica tambien se leconoce como progresion aritmetica.

Arquımedes de Siracusa (287 AC – 212 AC)Matematico de la antigua Grecia.Realizo importantes contribuciones engeometrıa y mecanica. En particular,encontro la base de lo que actualmentese conoce como el Calculo Infinitesi-mal, inventado de manera independienteen el siglo XVIII por Isaac Newton yGottfried Wilhelm Leibniz.

Arreglo Dado un conjunto con n elementos,el numero de arreglos es igual al numerode formas de elegir k objetos, en donde seconsidera importante el orden de los ob-jetos.Por ejemplo, suponga que desea crearbanderas de tres colores usando 10diferentes colores. Evidentemente, elorden de los colores importa. El numerode banderas diferentes que podemoscrear es igual al numero de arreglos de3 colores de entre los diez disponibles.Arreglo es sinonimo de combinacion.Vea las definiciones Permutacion y Combi-nacion.

Arroba Unidad de peso que equivale a 11.4kg, o bien a 25 libras.


Asimetrico– Azar

A

9

Asimetrico Una figura geometrica esasimetrica cuando no presenta algun tipode simetrıa.La siguiente figura es asimetrica:

Figura asimetrica

Asıntota 1. Se dice que una curva tieneuna asıntota si se acerca mucho a unarecta, pero sin llegar a tocarla. La rectarepresenta la asıntota de la curva.

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

Asıntota

y =1x+ 1

2. En una hiperbola, las asıntotas sonlas rectas que pasan por el centro dela hiperbola y que son diagonales delrectangulo con lados de longitud igual aleje transverso y al eje conjugado.Ver definicion de Ecuacion de la Hiperbola.

Asociativa La propiedad asociativa para lasuma es la siguiente:

(a + b) + c = a + (b + c)

y para la multiplicacion:

(a · b) · c = a · (b · c)En la definicion de Propiedades de losnumeros puede encontrar las demaspropiedades de los numeros reales.

Aurea, proporcion Numero irracionaldenotado por la letra griega φ, e iguala:

φ =1 +√

52

Este numero aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto estetico.Se dice que un rectangulo esta en pro-porcion aurea cuando al multiplicar lalongitud de un lado por φ obtenemoscomo resultado la longitud del otro lado.

A B

CD

M

N

Si dividimos:∣∣AB

∣∣ entre∣∣BC

∣∣ obtenemosel mismo resultado que dividir

∣∣BC∣∣ entre∣∣BM

∣∣:

φ =

∣∣AB∣∣

∣∣BC∣∣ =

∣∣BC∣∣

∣∣BM∣∣ =

1 +√

52

Las dimensiones de los rectangulosABCD y MBCN estan en proporcionaurea.

Axioma Una verdad tan evidente que norequiere demostrarse.Por ejemplo, la suma de dos numeros realeses otro numero real, es un axioma.

Axioma de existencia Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatematicos.

Axiomatico, sistema Una forma secuencial ysistematica de organizar una teorıa de lasciencias exactas.

Azar Decimos que un experimento o eventotiene azar cuando no es posible predecirsu resultado. Por ejemplo, el hecho deque el dıa en que el equipo de futbolsoccer de la escuela tendra su proximojuego llovera, no se puede predecir, asıque es un evento que tiene azar. Al lanzaruna moneda el resultado tambien tieneazar, pues puede ser sol o aguila.


10

ALi

bro

dedi

strib

ucio

ngr

atui

ta


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

BEfrain Soto Apolinar

Baricentro El baricentro de un triangulo esel punto donde se intersectan sus tresmedianas.

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedad deltriangulo.

Base (Algebra) La base es el numero que semultiplicara el numero de veces indicadopor el exponente.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸

5 factores

= 32

(Aritmetica) 1. La base de un sistemade numeracion es el numero que se uti-liza para formar los numeros. Los mayasusaban la base 20, es decir, contaban de20 en 20. Nosotros usamos la base 10, por

eso decimos que usamos una base deci-mal.

2 375 = 2× 103 + 3× 102 + 7× 10 + 5

El numero 10 es la base de nuestro sistema denumeracion.2. La base de un logaritmo es el numeroque se utiliza para su calculo.Por ejemplo, en log5 125 = 3, la base es 5.Podemos cambiar la base de unlogaritmo utilizando la siguienteformula:

loga M =logb Mlogb a

Por ejemplo, para calcular, log5 10 puedesusar la formula anterior y escribir en lacalculadora cientıfica: log 10 ÷ log 5 conlo que obtendras: 1.430676558.En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.(Geometrıa) 1. La base de un polıgono esel lado sobre el cual este descansa.

Base

2. La base de un triangulo es uno de suslados a partir del cual se puede medir laaltura.

12

B

Bayes, teorema de–Binomio de Newton

Base

h

3. La base de un poliedro es la cara desdela cual se medira la altura del mismo.

Bayes, teorema de Sean A y B dos even-tos cualesquiera con probabilidad deocurrencia diferente de cero. Entonces,

P(B|A) =P(A|B) · P(B)

P(A)

En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocurrioel evento A es igual al producto de laprobabilidad de que ocurra el evento Adado que ya ocurrio B por la probabilidadde ocurrencia del evento B, dividido entrela probabilidad de ocurrencia del eventoA.

Bi- Prefijo que se utiliza para indicar el doblede algo.Por ejemplo, bicolor, indica un lapiz dedos colores.

Bicentenario Unidad de tiempo equivalente adoscientos anos.

Bidimensional Decimos que una figura o unobjeto es bidimensional cuando es de dosdimensiones. Esto es, cuando una figurase encuentra en el plano, decimos que esbidimensional.

Billon Un billon es igual a un millon de millo-nes, es decir,

1 000 000× 1 000 000 = 1 000 000 000 000

El billon se escribe con un 1 seguido de12 ceros.

Bimodal Cuando el diagrama de frecuenciasde una poblacion presenta dos clases conla misma frecuencia, decimos que es bi-modal, es decir, los dos valores son losmas frecuentes, y por tanto, ambos son lamoda de la poblacion. De ahı el prefijo Bi.

A B C D E Fx

f

En el histograma mostrado, las clases Cy E tienen la misma frecuencia, y ambasson la mas alta. Por esto, esta distribuciones bimodal.

Binaria, operacion Operacion definida condos numeros o expresiones algebraicas.Por ejemplo, la suma es una operacionbinaria, porque se requiere de dosnumeros para hacer la suma.

Binario Se refiere a un sistema que utilizados dıgitos, el 1 y el 0. El sistema bina-rio tambien se conoce como el sistema denumeracion en base 2.Este sistema se utiliza en el disenode componentes electronicos, como porejemplo, de circuitos electronicos confines computacionales.El numero 8 (ocho) en sistema binario es:10002,y el 100 (cien) en este sistema se es-cribe como: 11001002.El subındice 2 indica que el numero estaescrito en el sistema de numeracion debase 2.

Binomio Polinomio que tiene dos terminos(no semejantes). Por ejemplo, 2 x2 + x,a x2y + b xy2, y 7 x3 − a4 son binomios.

Binomio de Newton Producto notable quesirve para calcular cualquier potencia (en-


Bisectriz–Brujula

B

13

tera o racional) de un binomio de formadirecta, cuya formula es:

(x+ y)n = xn +nxn−1y+ · · ·+nxyn−1 + yn

El binomio de Newton tambien se conocecomo teorema del binomio.Los coeficientes del polinomio de elevar elbinomio a la potencia n pueden calcularseusando el triangulo de Pascal o usando laformula de combinaciones:

(x + y)n =n

∑k=0

(nk

)xn−kyk

Vea la definicion de combinacion.

Bisectriz Recta que divide a un angulo en dosangulos de la misma medida. En otraspalabras, la bisectriz es el eje de simetrıade un angulo.

αα

Bisectriz

A

BC

La bisectriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista de loslados del angulo.En un triangulo, sus tres bisectrices secortan en un punto que se llama incentro.

Incentro

Como el incentro equidista de los treslados del triangulo, es el centro de lacircunferencia que es tangente a los treslados del triangulo.

Brujula Instrumento utilizado para determi-nar el norte geografico. Utiliza una agujaimantada que se alinea con el campomagnetico terrestre.La siguiente figura muestra una brujula:

E

N

O

S


14

BLi

bro

dedi

strib

ucio

ngr

atui

ta


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

CEfrain Soto Apolinar

C Sımbolo que representa el conjunto de losnumeros complejos.

Cabrı Geometre Software para realizarconstrucciones geometricas y resolverproblemas de geometrıa plana.

Cadena Unidad de longitud utilizada en laantiguedad equivalente a 22 yardas, obien a 20.1168 metros.

Calculadora Dispositivo o aparato que se usapara realizar calculos.

Calcular Obtener o encontrar el resultado deuna operacion.

Calculo Rama de las matematicas que seencarga del estudio de las cantidadesque varıan continuamente y las relacionesentre ellas.En el Calculo se estudian los conceptos delımite, continuidad, derivada e integral ysus aplicaciones.El Calculo tambien se denomina Calculoinfinitesimal.

Cancelacion Decimos que hemos canceladoun numero o una expresion algebraicacuando aplicamos una de las siguientespropiedades de los numeros reales:

a + (−a) = 0

a · 1a

= 1

Por ejemplo, cuando simplificamos lafraccion:

1221

=(3)(4)(3)(7)

=47

decimos que hemos cancelado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Canonico Estandar o usual. Se utiliza general-mente para indicar que vamos a tomar elcaso convencional.Por ejemplo, al decir que usamosun sistema de coordenadas canonico,entendemos que usamos un sistema decoordenadas donde los ejes son mutua-mente perpendiculares y ambos tienen lamisma unidad de medida.

Capacidad En matematicas la palabra capaci-dad nos indica el valor del volumen queocupa un solido.Por ejemplo, un cubo con una capacidadde un litro, indica que el cubo ocupa unvolumen de un litro.

Cara En un poliedro, una cara es cada uno delos polıgonos que lo delimitan.En el cubo cada uno de los cuadrados quelo delimita es una cara del poliedro.

16

C

Caracterıstica–Centro

Car

a

Caracterıstica La parte entera de unlogaritmo, es decir, la parte que esta ala izquierda del punto decimal. Por ejem-plo, sabiendo que ln(π) ≈ 1.1447, su car-acterıstica es 1.

Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto,denotado por el sımbolo ν, es el numerode elementos que este contiene. Porejemplo, la cardinalidad del conjunto0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 es 10.

Cartesiano, plano Sistema de coordenadas enel cual los ejes son mutuamente perpendi-culares y ambos utilizan la misma unidadde medida.La siguiente figura muestra un planocartesiano:

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

Cartesiano, producto El producto cartesianode los conjuntos A y B denotado porA×B es el conjunto formado por todoslos pares ordenados (a, b) donde a ∈ A yb ∈ B.Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =

4, 5, 6. Entonces,

A×B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),(2, 6)

Centesimo (1.) Un centesimo es equivalentea una de las partes de un entero que hasido dividido en cien partes del mismotamano.(2.) En un numero con decimales, eldıgito de los centesimos es el dıgito quese encuentra en la segunda posicion a laderecha del punto decimal.Por ejemplo, en el numero 3.1416, eldıgito 4 corresponde a los centesimos.

Centi- Prefijo que denota centesima parte. Porejemplo, centımetro indica la centesimaparte de un metro.

Central, angulo En una circunferencia, elangulo central es aquel que tiene suvertice en el centro de la circunferenciay cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el angulo central αmide 60:

α

Centro El centro de una figura es el punto desimetrıa de la misma.

CC

En las figuras mostradas, C es el centro.


Centro de gravedad–Cilindro

C

17

Centro de gravedad Punto en donde se puedeconsiderar concentrada la masa de unobjeto fısico para su estudio.El centro de masa se usa cuando la dis-tribucion espacial de la masa del objetono es importante para la discusion.

Centroide El centro de gravedad de unpolıgono plano.El centroide del triangulo es el puntodonde se intersectan las tres medianas delmismo:

Baricentro

El centroide de un triangulo tambien seconoce como el baricentro.

Cerrado, intervalo Intervalo que sı incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geometricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:

xa bO

Cerradura Un conjunto A presenta lapropiedad de cerradura bajo una opera-cion cuando al realizar esa operaciona cualesquiera dos de sus elementos elresultado es otro elemento del conjuntoA.Por ejemplo, el conjunto de los numerospares es cerrado bajo la suma, porquecuando sumamos dos numeros pares, elresultado es otro numero par.Por el contrario, los numeros imparesno son cerrados bajo la suma, porque

cuando sumamos dos numeros imparesno obtenemos un numero impar, sinopar.

Cientıfica, notacion Forma abreviada deescribir numeros muy grandes o muypequenos. Para esto, se escribe el primerdıgito del numero, el punto decimal ydespues los siguientes dıgitos del numero(si se desea mayor precision) y final-mente el numero 10 elevado a la poten-cia n, donde n es el numero de cifras secorrio el punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el numero 120 000 escrito ennotacion cientıfica es:

120 000 = 1.2× 105

Observa que el punto decimal se corriocinco cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 5 al numero 10.Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el numero 0.00035 escrito ennotacion cientıfica es:

0.00035 = 3.5× 10−4

Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.

Cifra significativa Cuando redondeamos unnumero, el numero de dıgitos queconsideramos corresponde al numero decifras significativas del redondeo.Por ejemplo, si a π = 3.141592654 · · · ,lo consideramos como 3.1416, estamosusando 4 cifras significativas.

Cilindro Cuerpo geometrico con bases parale-las circulares y paredes perpendiculares asus bases.


18

C

Cilindro elıptico–Circunferencia

r

h

Cilindro

Area = 2 πr2 + 2 πr hVolumen = πr2h

Cilindro elıptico Cilindro cuyas bases sonelipses.

Cima En una curva sinusoidal, la cima es cadauno de los puntos mas altos en su trayec-toria.Por el contrario, la sima (con s) corres-ponde a cada uno de los puntos mas bajosde su trayectoria.

Cima Sima

Cırculo Area que queda delimitada por unacircunferencia. Es decir, la circunferenciaes el perımetro del cırculo.

Cir

cunferencia

Cırculo

Podemos calcular el area del cırculousando la formula:

Area = π r2

donde r es el radio de la circunferencia.Podemos decir que el cırculo es elconjunto de puntos que estan a unamenor distancia r de un punto fijo C,llamado centro. La distancia r se llamaradio del cırculo.

Circuncentro Es el punto donde se intersectanlas tres mediatrices de un triangulo.

Circuncentro

Circuncırculo El circuncırculo de un polıgonoes la circunferencia que pasa por cadauno de sus vertices.En la definicion de Circuncentro, lacircunferencia mostrada es el cir-cuncırculo del octagono de la figura.

Circunferencia La circunferencia es elconjunto de puntos del plano que estan ala misma distancia de un punto fijo C quees el centro de la circunferencia.La distancia del centro de la circunferen-cia a cualquiera de sus puntos se llamaradio (r)

Cir

cunferencia

Cr

En la figura anterior, el punto C es elcentro de la circunferencia y r es su radio.La ecuacion de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:

(x− h)2 + (y− k)2 = r2


Circunscrito, polıgono–Compas

C

19

A la circunferencia no le podemos medirel area, pues es un segmento de lıneacurva, pero sı podemos calcular su lon-gitud o perımetro (C):

C = 2 π r

Circunscrito, polıgono Se dice que unpolıgono es circunscrito cuando todossus lados son tangentes a una mismacircunferencia.

Hexagono circunscrito

Cociente Resultado de la division de dosnumeros.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, elcociente es el numero 2, el dividendo esel numero 10 y el divisor es el numero 5.

Coeficiente Es un numero que multiplica auna literal. Es decir, es el factor numericode un termino.Por ejemplo, en 2 x, el numero 2 es elcoeficiente.

Cofuncion Para cada una de las funcionestrigonometricas basicas, seno, secante ytangente, se define una cofuncion:

Funcion Cofuncion

Seno (sin x) Coseno (cos x)Secante (sec x) Cosecante (csc x)

Tangente (tan x) Cotangente (cot x)

Colineal Se dice que varios puntos soncolineales cuando estan sobre una mismarecta.

`

PQ

RS

En la figura anterior, los puntos P, Q, Ry S son colineales, pues todos estan sobrela misma recta `.

Columna En una matriz, una columna es unalınea vertical de sus elementos.En la siguiente matriz A, la primeracolumna esta formada por los elementosa, d y g:

A =

a b cd e fg h i

Combinacion Una combinacion C(n, r) es unaseleccion de r (uno o mas) objetos deun conjunto de n objetos, independiente-mente del orden.C(n, r) se lee: una combinacion de n elemen-tos, tomando r a la vez, y se calcula con laformula:

C(n, r) =P(n, r)

r!=

n!r! (n− r)!

donde P(n, r) son las permutaciones de ntomando r a la vez y n! es el factorial delnumero n.Vea la definicion de Permutacion.

Compas Instrumento utilizado en geometrıapara dibujar circunferencias y para com-parar longitudes de segmentos.La siguiente figura muestra un compas:


20

C

Complejo, numero–Composicion

Complejo, numero Numero que tiene unaparte real y una parte imaginaria:

z = a + i b

En el numero complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3− 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.Algunas ecuaciones tienen por raıcesnumeros complejos.

Complejo, plano Plano que asigna el ejehorizontal a los numeros reales y eleje vertical a los numeros imaginar-ios de manera que podamos representargraficamente los numeros complejos.

R

I

z = 3 + 2 i

El plano complejo tambien se conocecomo el Plano de Gauss.

Complementarios, angulos Dos angulos soncomplementarios si la suma de sus medi-das es igual a la medida de un angulorecto. En otras palabras, si la suma dedos angulos es igual a 90, entonces losangulos son complementarios.

αβ

En la figura, los angulos α y β soncomplementarios.

Complemento de un conjunto El comple-mento del conjunto A, denotado por A′,o bien por Ac, respecto del conjunto uni-verso U esta definido por: U−A.En palabras, el complemento del conjuntoA es el conjunto formado por los elemen-tos que estan en el universo U que noestan en A.

Completar el cuadrado Proceso de factoriza-cion para expresar un trinomio cuadradono perfecto como la suma de un binomioal cuadrado mas un termino constante.Para completar el cuadrado de un tri-nomio cuadrado se calcula la mitad delcoeficiente del termino lineal y se suma yresta el cuadrado de ese numero.Por ejemplo, para completar el cuadradode: x2 + 6 x + 10, sacamos la mitad de6, (que es 3) y sumamos y restamos sucuadrado (que es 9):

x2 + 6 x + 10 = x2 + 6 x + 10+9− 9= (x2 + 6 x + 9) + 10− 9= (x + 3)2 + 1

Componente Las componentes de un vector~v = (v1, v2, · · · , vn), son cada uno de losnumeros v1, v2, · · · , vn. La primera com-ponente es v1, la segunda componente esv2, y ası sucesivamente.

Composicion Dadas las funciones: y = f (x)y y = g(x), la composicion de f en g,denotado por f g, significa sustituir g(x)en la funcion y = f (x):

f g = f (g(x))

Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, yg(x) = 2 x− 3, entonces,

f g = f (g(x))= (2 x− 3)2

= 4 x2 − 12 x + 9


Compuesto, numero–Condicion suficiente

C

21

Compuesto, numero Un numero natural quetiene mas de dos divisores.Por ejemplo, el numero 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.El numero 5 no es un numero compuesto,pues solamente tiene dos divisores.El unico numero natural par que no escompuesto es el numero 2.Importante: No solamente los numerospares son compuestos.

Computadora Maquina electronica capaz deaceptar y procesar informacion, aplicarprocesos a esta y devolver resultados.La computadora esta conformada pordispositivos de entrada (teclado, raton,escaner, etc.), de procesamiento, calculoaritmetico y control, de almacenamiento(disco duro, etc.) y de salida (monitor, im-presora, etc.)

Computadora, programa de Conjunto deinstrucciones que indican a una computa-dora el procedimiento para resolver unproblema.

Concavo Un polıgono es concavo si al menosuno de sus angulos internos es entrante.El siguiente polıgono es concavo:

Si es posible dibujar un segmento de rectacon extremos dentro del polıgono, peroparte del segmento fuera de la figura,entonces el polıgono es concavo.Una curva es concava cuando su cur-vatura esta dirigida hacia el punto desdedonde se observa. En la siguiente figurase muestra una curva concava:

ConcavoConvexo

Concentrico Se dice que dos o mas objetosgeometricos son concentricos cuando elcentro de cada uno de ellos es el mismopunto para todos.Por ejemplo, en la siguiente figura,el hexagono y la circunferencia sonconcentricos, pues ambos tienen porcentro al punto C:

C

Conclusion Es el resultado de una implicacionlogica.Por ejemplo, considerando las premisas:Todos los hombres son mortales, y Luis eshombre, la conclusion es: Luis es mortal,pues es el resultado de la implicacionlogica de las premisas iniciales.

Condicion necesaria En la implicacion:p→ q, q es la condicion necesaria.Por ejemplo, una condicion necesariapara que un cuadrilatero sea cuadrado esque todos sus angulos midan lo mismo.Sin embargo, esta condicion no es sufi-ciente.

Condicion suficiente Condicion que requierecumplir un objeto matematico para satis-facer una implicacion en ambos sentidos.

p↔ q

Por ejemplo, una condicion suficientepara que un cuadrilatero sea cuadrado es


22

C

Congruencia–Conjugado

que sea regular: si es cuadrado es uncuadrilatero regular, y si es regular, elcuadrilatero es un cuadrado.

Congruencia (Geometrıa) 1. Dos segmen-tos de recta son congruentes si tienen lamisma medida.2. Dos angulos son congruentes si tienenla misma medida.3. Dos triangulos son congruentes si lasmedidas de sus lados son iguales.4. Dos polıgonos son congruentes si esposible superponer uno sobre otro.(Teorıa de numeros) Dados los numerosenteros a, b, k, decimos que el numero a escongruente con k modulo b, y se denotapor: a ≡ k mod b, si es posible escribir:

a = b m + k

donde m ∈ Z.En otras palabras, si el numero a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k modulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:

14 = 5× 2 + 4

Es decir, 14− 4 es divisible por 5.

Conica Figura geometrica que se encuentrana partir de la interseccion de un cono conun plano.A las conicas tambien se les llama sec-ciones conicas.Las conicas son las siguientes:

3 Circunferencia

EjeO

3 Elipse

EjeO

3 Parabola

EjeO

3 Hiperbola

EjeO

La lınea recta y el punto son casosparticulares de conicas.

Conica de Fermat La grafica de una funciondel tipo y = xn es una conica de Fermat.Cuando n > 0, la curva se llama parabolade Fermat y cuando n < 0 la curva sellama hiperbola de Fermat.

Conjetura Afirmacion de un resultado,sin ofrecer suficiente evidencia que lademuestre o la refute. Una conjetura secrea a partir de observaciones.Por ejemplo, hay un numero infinito denumeros primos gemelos, es una conjeturaque aun no se demuestra ni se refuta.(Vea la definicion de numeros primos geme-los).

Conjugado El conjugado del numerocomplejo z = a + i b es el numerocomplejo que se obtiene al cambiar designo su parte imaginaria, y se denotapor z:

z = a− i b


Conjugados, angulos–Conmensurable

C

23

Geometricamente el conjugado de zrepresenta la reflexion de z respecto deleje real (horizontal):

R

Iz = a + i b

z = a− i b

a

b

−b

Conjugados, angulos Dos angulos son con-jugados si la suma de sus medidas esigual a la medida de un angulo perig-onal. En otras palabras, si la suma dedos angulos es igual a 360, entonces losangulos son conjugados.

Conjugado, eje En una hiperbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso que pasapor el punto medio de este.

Conjuncion Aseveracion formada por dospremisas unidas por la palabra y.Por ejemplo, el numero 2 es par y es primoes una conjuncion.El sımbolo matematico utilizado para ladisyuncion es ∧.Vea la definicion de Disyuncion.

Conjunto Una coleccion de objetos biendefinida. Por bien definida se entiendeque siempre es posible decidir si unobjeto esta o no en el conjunto.Por ejemplo, el conjunto de los numerosenteros mayores a cero, pero menores a10, denotado por A, es el siguiente:

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Cuando no se puede determinar si unelemento esta o no en el conjunto,decimos que el conjunto no esta biendefinido.

Conjunto abierto Conjunto cuyo comple-mento es cerrado.

Un ejemplo de un conjunto abierto es unintervalo abierto.Vea la definicion de Abierto, intervalo.

Conjunto cerrado Conjunto que contienetodos sus puntos frontera.En geometrıa plana, un punto e quepertenece al conjunto A, (e ∈ A) esun punto frontera si al dibujar unacircunferencia de radio r con centro ene, siempre algunos puntos dentro de lacircunferencia no estan en el conjunto A,no importa cuan pequeno sea r.En la siguiente figura, el punto p es unpunto frontera del conjunto A:

p

A

Conjunto ordenado (Algebra) Un conjunto A

es ordenado si sus elementos satisfacen latricotomıa.Vea la definicion de tricotomıa.(Teorıa de conjuntos) Un conjunto devalores que tienen un orden preestable-cido.Por ejemplo, las coordenadas de un puntoen tres dimensiones deben darse en elorden (x, y, z).

Conjunto unitario Conjunto que tiene exacta-mente un elemento. En otras palabras, elconjunto unitario es aquel conjunto cuyacardinalidad vale 1.

Conjunto vacıo Conjunto que contiene ceroelementos. Se denota con el sımbolo ∅.

Conmensurable Decimos que los numeros a, bdiferentes de cero, son conmensurables siexiste un numero racional p , 0 tal quea = pb.Por ejemplo, los numeros 7

√5 y 3

√5

son conmensurables, porque:

7√

5 =73· 3√

5


24

C

Conmutativa–Constante de proporcionalidad

Los numeros irracionales no son conmen-surables con los numeros racionales.

Conmutativa La propiedad conmutativa parala suma es la siguiente:

a + b = b + a

y para la multiplicacion:

a · b = b · aEn la definicion de Propiedades de losnumeros puede encontrar las demaspropiedades de los numeros reales.

Cono Figura geometrica que se obtiene alhacer girar una recta respecto de unpunto fijo y alrededor de otra recta fijaque pasa por el punto fijo. La recta quegira se llama generatriz, el punto fijo es elvertice del cono y la recta fija es el eje delcono.

EjeGeneratriz

O

Cono truncado Solido que se obtiene cuandose corta a un cono en dos puntos de sueje, con planos perpendiculares a este.

hr

R

El volumen V y el area superficial S delcono truncado se calculan con las siguien-tes formulas:

V =π

3(r2 + rR + R2)

A = π(r2 + R2 + s(r + R)

)

donde: s =√(R− r)2 + h2.

Consecuente El consecuente de la razon a : bes b.Por ejemplo, en la razon 5 : 7, el numero 5es el antecedente y el 7 es el consecuente.

Consecutivo El consecutivo del numeronatural n es n + 1.Por ejemplo, el consecutivo del numero 9es 10.

Consecutivos, angulos En un polıgono, dosangulos son consecutivos si tienen unlado comun.En el siguiente pentagono, los angulos Ay B son consecutivos.

A

B

Consecutivos, vertices En un polıgono, dosvertices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto Con-secutivos, angulos, los vertices A y B sonconsecutivos.

Consistente Un conjunto de axiomas es con-sistente cuando no es posible demostraruna proposicion y su negativo.

Constante Una expresion matematica que nocambia de valor. Por ejemplo, el numeroπ ≈ 3.14159265 es constante.

Constante de proporcionalidad Una constantede proporcionalidad k es el numero quehace que se cumpla una relacion de igual-dad entre dos cantidades que varıan demanera proporcional.Por ejemplo, si un balon cuesta $35.00pesos, x es la cantidad de balones que


Construccion–Converger

C

25

queremos comprar y M es el importe quedebemos pagar, entonces,

M = 35 x

La constante de proporcionalidad en estecaso es k = 35.Este ejemplo muestra una proporcionali-dad directa, aunque tambien puede serinversa.

Construccion Metodo para construir unafigura utilizando solamente regla ycompas.

Continuidad Se dice que una funcion f escontinua en un intervalo dado [a, b] sitoma todos los valores entre f (a) y f (b)y se puede dibujar en ese intervalo sindespegar la punta del lapiz del papelsobre el cual se le dibuja.En la siguiente figura, la funcion y = f (x)es continua en el intervalo [a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

f (b)

f (a)

Mas formalmente, se dice que unafuncion y = f (x) es continua en el puntox = a si el lımite de la funcion cuando xtiende a a es igual al valor de la funcionevaluada en x = a. Esto es,

si limx→a

f (x) = f (a),

entonces la funcion f es continua en x =a.

Continuo Una variable es continua en unintervalo cuando puede tomar cualquiervalor real dentro de ese intervalo.Cuando la variable no puede tomar todos

los posibles valores dentro del intervalo,sino que toma valores en forma de saltos,decimos que la variable es discreta.

Contorno Lınea o curva cerrada que delimitauna figura.El perımetro de una figura geometricaplana representa la medida de su con-torno.Vea la definicion de Perımetro.

Contradiccion Sentencia que resulta falsa.Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una con-tradiccion.

Contradiccion, demostracion por Demostra-cion en la cual se supone falsa la premisainicial y se llega a una contradiccion o auna premisa falsa, concluyendo, entonces,que la suposicion es falsa, haciendo lapremisa inicial verdadera.La demostracion por contradicciontambien se llama demostracion por re-duccion al absurdo.

Contradominio El contradominio de unafuncion es el conjunto formado por todoslos valores que la funcion puede tomar.Vea la definicion de Funcion.

Contraejemplo Argumento que sirve paradescartar una hipotesis.Por ejemplo, si suponemos que todos losnumeros impartes son primos, el numero21 es un contraejemplo, pues el 21 portener 4 divisores (1, 3, 7 y 21), y por tanto,no es primo.

Converger Acercarse cada vez mas a un valor.Por ejemplo, si damos valores a x cadavez mas grandes y los sustituimos en1/x, la sucesion de valores que vamosobteniendo se acercan cada vez mas acero; decimos entonces que la sucesion esconvergente y que converge a cero.

11

,12

,13

,14

,15

, · · · converge a 0


26

C

Convexo–Coordenadas polares

Convexo Un polıgono es convexo cuandotodos sus angulos internos miden menosque un angulo llano (ninguno de susangulos internos es entrante).El siguiente polıgono es convexo:

Es decir, un polıgono es convexo si todossus angulos internos miden menos de180.Mas formalmente, se dice que una figurageometrica es convexa si todo segmentocon extremos dentro de la figura, todo (elsegmento) esta dentro de la figura.Cuando un polıgono no es convexo sedice que es concavo.El siguiente polıgono es concavo:

Una curva es convexa cuando su cur-vatura esta dirigida hacia afuera delpunto desde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvaconvexa:

ConcavoConvexo

Coordenada Una coordenada es el numero alcual al cual le corresponde un punto deuna recta numerica.En otras palabras, las coordenadas sonnumeros que indican la ubicacion de unpunto en el plano: P(x, y).

x1 2 3 4

1

2

3

y

P(3, 2)

En la figura, la primera coordenada delpunto P es: x = 3 y la segunda: y = 2.A cada punto del plano le correspondeun par de coordenadas y a cada par decoordenadas le corresponde un punto delplano.

Coordenadas rectangulares Las coordenadasrectangulares se refieren a un sistema deejes coordenados mutuamente perpendi-culares que comparten la misma unidadde medida en todos sus ejes.En la figura mostrada en la definicionde Coordenada se encuentra un sistema decoordenadas rectangulares con dos ejes.

Coordenadas polares Las coordenadaspolares del punto P del plano se definen apartir de la distancia al origen y el anguloque forma la recta que pasa por el origeny el punto P con el eje horizontal:

P(r, θ)r

θ

Las coordenadas polares de unpunto P(r, θ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P(x, y), atraves de las siguientes formulas:

x = r · cos θ

y = r · sin θ


Coplanar–Cosenos, ley de

C

27

A su vez, las coordenadas rectangularesde un punto P(x, y) del plano puedentransformarse en coordenadas polaresP(r, θ), usando:

r =√

x2 + y2

θ = arctan(y

x

)

Coplanar Cuando varios objetos estan sobre elmismo plano, se dice que son coplanares.Por ejemplo, en la siguiente figura lospuntos P, Q, R y S son coplanares porquetodos estan en el mismo plano:

PQ

R

S

Corolario Proposicion que es una consecuen-cia inmediata de otra, y cuya demostra-cion requiere poco o ningun razona-miento.

Coseno La funcion coseno se define paracualquier angulo α. Dado un angulo conun lado horizontal y vertice en el origen,su coseno, denotado por cos α se definecomo la coordenada sobre el eje x delpunto de interseccion del otro lado (nohorizontal) del angulo con la circunferen-cia de radio 1.

x

y

1

1

sin

α

cos α

α

En un triangulo rectangulo, el coseno deun angulo α positivo menor a 90 puedecalcularse con el cociente:

cos α =cateto adyacente

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

La grafica de la funcion coseno es lasiguiente:

x

y

y = cos x

1

-1

Coseno hiperbolico La funcion cosenohiperbolico del numero x se denota por:cosh x y esta definida por:

cosh x =ex + e−x

2

Cosenos, ley de Para todo triangulo que seencuentra en el plano, se cumple:

C2 = A2 + B2 − 2AB cos α

donde A, B y C son las longitudes delos lados del triangulo, y α es el anguloformado por los lados A y B.La ley de senos es una generalizaciondel famoso teorema de Pitagoras, puescuando α = 90, tenemos el caso particu-lar: C2 = A2 + B2, que corresponde al teo-rema de Pitagoras.


28

C

Cosecante–Criterios de divisibilidad

Cosecante La funcion cosecante se definecomo el recıproco de la funcion seno. Esdecir,

csc α =1

sin α

En el triangulo rectangulo mostrado en ladefinicion de Coseno la funcion cosecantese puede escribir como:

csc α =hipotenusa

cateto opuesto

Observa que se supone que la medida delcateto opuesto es diferente de cero.

Cotangente La funcion cotangente se definecomo el recıproco de la funcion tangente.Es decir,

cot α =1

tan α

Usando el triangulo rectangulo mostradoen la definicion de Coseno podemosdescribir la funcion cotangente como:

cot α =cateto adyacentecateto opuesto

Observa que se supone que la medida delcateto opuesto es diferente de cero.

Creciente Decimos que una funcion f escreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que esten en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la funcion y = x2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Crecie

nte

x0 0.5 1 1.5

f (x)

1

2

y = x2

Al ver la grafica de una funcion, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala grafica de la funcion va hacia arriba.

Crecimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuacion del tipo:

y = Mert

donde M y r son constantes positivas, ees el numero de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos lımites, el crecimientode una poblacion presenta crecimientoexponencial.

Criba de Eratostenes Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista detodos los numeros primos menores a unnumero natural dado n.El procedimiento consiste en ir elimi-nando los multiplos de 2, 3, etc., ex-cepto el primer multiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de numeros que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener mas de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratostenes para encontrar los numerosprimos menores a 25:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratostenes

Criterios de divisibilidad Regla que nosayuda a determinar si un numero se di-vide entre otro sin hacer la division direc-tamente.Un numero se divide,

3 entre 2 si la ultima cifra del numeroes par.

3 entre 3 si la suma de sus cifras es unmultiplo de 3.


Crıtico, punto–Cuadrado magico

C

29

3 entre 4 si el numero formado por susultimas dos cifras es un multiplo de4.

3 entre 5 si termina en 5 o en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3.

3 entre 8 si el numero formado por sustres ultimas cifras es un multiplo de8.


3 entre 10 si termina en cero.

Vea la definicion de Divisibilidad.

Crıtico, punto En una curva, el punto crıticoes el punto donde una recta tangente a lacurva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crıtico de la funcion y = f (x)

x

y

y = f (x)

P1

-1

Cuadrado (Aritmetica) El cuadrado de unnumero es el resultado de multiplicarlopor sı mismo.Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9, porque3× 3 = 9.Importante: elevar al cuadrado no significamultiplicar por dos, sino por sı mismo.(Geometrıa) Polıgono regular de cuatrolados. El cuadrado es un rectangulo quetiene la propiedad de que sus 4 ladosmiden lo mismo.

Cuadrado

El cuadrado es un rectangulo y un romboa la vez.

Cuadrado latino Arreglo rectangular de n× nsımbolos de manera que en cada renglony en cada columna aparezca cada sımboloexactamente una vez.El siguiente arreglo rectangular es uncuadrado latino:

α β γ δ

β γ δ α

γ δ α β

δ α β γ

Cuadrado magico Arreglo rectangular denumeros naturales de manera que entodas sus columnas y todos sus renglonessumen lo mismo.Un cuadrado magico de 3× 3 es:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

La suma de cada renglon, cada columnay las diagonales es 15.Un cuadrado magico de 4 × 4 es elsiguiente:

15 10 3 6

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

La suma de cada renglon, cada columnay cada diagonal en este cuadrado magico


30

C

Cuadrante–Cubico

es 34.Ademas observa que:

8 + 13 + 10 + 3 = 344 + 14 + 9 + 7 = 34

11 + 2 + 5 + 16 = 341 + 12 + 15 + 6 = 34

Cuadrante En un sistema de coordenadasrectangulares, el plano queda dividido en4 regiones. Cada una de esas regiones esun cuadrante.

x

y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

Cuadratico De grado dos o elevado alcuadrado.Por ejemplo, una ecuacion cuadratica esuna ecuacion de grado dos:

ax2 + bx + c = 0

donde a , 0.

Cuadrilatero Polıgono de cuatro lados.La siguiente figura geometrica es uncuadrilatero porque tiene 4 lados.

Cuartil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cuatro partes iguales.

Para hacer el calculo de los cuartiles serequiere que los datos esten ordenados demanera creciente.El primer cuartil es el valor que es mayoral 25% y menor al 75% de todos losvalores; el segundo cuartil es mayor al50% de la poblacion y menor al otro50% de todos los datos; el tercer cuartiles mayor al 75% de todos los valores ymenor al 25% estrato mas alto de todoslos datos y el cuarto cuartil es el mayorde todos los valores.

Cuarto Cuando dividimos un entero en cuatropartes iguales, cada una de ellas es uncuarto, o bien, una cuarta parte delentero.

14

14

14

14

Cubo (Aritmetica) El cubo de un numero esel resultado de multiplicarlo por sı mismotres veces.Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque2× 2× 2 = 8.(Geometrıa) Solido geometrico regularcuyas 6 caras son cuadrados.

Cubo

Cubo unitario Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.

Cubico Unidad de volumen que se denotaescribiendo el numero 3 como su-perındice de la unidad considerada.Por ejemplo, un litro equivale a un


Cuerda–Curvatura

C

31

decımetro cubico, que se denota como 1dm3. Es decir, una caja de un decımetrode arista, contiene un volumen de unlitro.

Cuerda Segmento de recta que tienesus puntos extremos sobre la mismacircunferencia.

Cuerda

Cuerpo geometrico Objetos (reales o ideales)que ocupan un volumen y que tienen tresdimensiones: alto, largo y ancho.Tambien lea la definicion de Solido.

Curva Una lınea trazada en un plano o en elespacio. En algebra y analisis matematicotambien se llama curva a una ecuacion re-firiendose a que cualquier punto sobre sugrafica satisface a la ecuacion.En matematicas, frecuentemente uti-lizamos la palabra curva para referirnosa una funcion.

Curvas, familia de Conjunto de curvas quetienen un mismo patron de construcciono que se obtienen al variar un parametrode su ecuacion.

Curvatura Una medida del cambio de di-reccion de una curva en un punto.Una lınea recta tiene curvatura cero,pues nunca cambia su direccion. Unacircunferencia tiene curvatura constante,pues cambia de direccion una mismacantidad siempre que avanzamos lamisma distancia.Una circunferencia con un radiopequeno tiene mayor curvatura que unacircunferencia con radio mas grande.


32

C

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

DEfrain Soto Apolinar

Dato (Algebra) En un problema, un dato esinformacion que se extrae del texto delproblema que se utilizara en su solucion.(Estadıstica) Informacion que se extraede una poblacion o una muestra a partirde los cuales se calcularan o estimaranparametros que la describen.

Deca- Prefijo que indica diez veces usado enlos multiplos de las unidades del SistemaInternacional de Medidas. Por ejem-plo, un decametro es equivalente a diezmetros.

Decada Unidad de tiempo que equivale a diezanos.

Decagono Polıgono de diez lados y diezangulos. El decagono regular tiene todossus lados y angulos iguales.

Decagono

Decaimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuacion del tipo:

y = Me−rt

donde M y r son constantes positivas, ees el numero de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta de-caimiento exponencial.

Deci- Prefijo que indica la decima parte usadoen los submultiplos de las unidades delSistema Internacional de Medidas. Porejemplo, decımetro indica la decima partede un metro. Decilitro indica la decimaparte de un litro.

Decil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en diez partes iguales.Para hacer el calculo de los deciles serequiere que los datos esten ordenados demanera creciente.El d decil es el valor que tiene 10 × p%de todos los valores por debajo de el y el(100− 10× p)% por encima.Por ejemplo, el tercer decil es mayor al30% de todos los valores y es menor al70% de todos los valores.

Decibel Unidad de medida de la intensidaddel sonido. Se abrevia como dB.Un sonido de un decibel tiene la inten-sidad mınima que el oıdo humano sanopuede percibir.

Decimal Se refiere a un sistema basado en elnumero diez.

Decimal, fraccion Una fraccion es decimalcuando en su denominador hay una

34

D

Decimal, punto–Decimosegundo

potencia de 10.Por ejemplo, 0.25 puede expresarsecomo:

0.25 =25100

=25102

Por otra parte, el numero 3.06 puedeescribirse como:

3.06 = 3 + 0.06 = 3 +6

100= 3 +

6102

Decimal, punto Signo matematico que sirvepara separar la parte entera de un numerode su parte decimal.Por ejemplo, en el numero: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.En algunos paıses se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.

Decimal, sistema metrico El sistema metricodecimal es el que utiliza los prefijos paraindicar multiplos y submultiplos de lasunidades.Los prefijos de los multiplos usados eneste sistema y sus significados son:

Prefijo Sımbolo Multiplo

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hecto h 102

deca da 10

Los prefijos de los submultiplos y sussignificados son:

Prefijo Sımbolo Submultiplo

deci d 10−1

centi c 10−2

mili m 10−3

micro µ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

Los prefijos de los multiplos ysubmultiplos de utilizan con cualquierade las unidades de las magnitudes fısicas.Por ejemplo, kilogramo es equivalente amil gramos y un nanometro equivale auna mil millonesima parte de un metro.

Decimo (1.) Un decimo es equivalente auna de las partes de un entero que hasido dividido en diez partes del mismotamano.

110

110

110

110

110

110

110

110

110

110

(2.) En un numero con decimales, eldıgito de los decimos es el dıgito que seencuentra a la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el numero 1.73205, eldıgito 7 corresponde a los decimos.

Decimoprimero Numero ordinal correspon-diente al lugar numero once.Por ejemplo, en un maraton, el corredorque llega en el lugar numero once, tieneel decimoprimer lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente) on-ceavo refiriendose al numero ordinaldecimoprimero.Onceavo es una fraccion, no un numeroordinal.Undecimo es sinonimo de decimo-primero.Vea la definicion de Numero ordinal.

Decimosegundo Numero ordinal correspon-diente al lugar numero doce.Por ejemplo, en un maraton, el corredorque llega en el lugar numero doce, tieneel decimosegundo lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente) do-ceavo refiriendose al numero ordinal


Declinacion–Densidad

D

35

decimosegundo.Doceavo es una fraccion, no un numeroordinal.Vea la definicion de Numero ordinal.

Declinacion Diferencia entre el norte ge-ografico y el norte magnetico.

Decreciente Decimos que una funcion f esdecreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que esten en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la funcion y = 2 − x2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):

Decreciente

x0 0.5 1

f (x)

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiense cumple que: 0.5 ≤ 1.0.

Deduccion Proceso de derivar una conclusiona partir de las propiedades de los objetosmatematicos con los que se trabaja o deun principio general.

Deficiente, numero Numero que tiene lapropiedad que sus divisores propiossuman menos que el.Por ejemplo, el numero 32 es deficiente,porque sus divisores propios suman 31:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 < 32

Definicion Sentencia que enlista laspropiedades de un objeto matematico.Descripcion de las caracterısticas queidentifican de manera exacta a un objeto

matematico en cuanto a su naturaleza osignificado.

Demostracion Justificacion de una afirmacion,premisa o sentencia de una manera es-tructurada, logica e irrefutable a partir deotras sentencias verdaderas.El proceso de demostracion enmatematicas es muy importante, puescada nuevo teorema debe demostrarseen base a los axiomas conocidos y a otrosteoremas ya demostrados.

Demostracion indirecta Demostracion atraves de probar que lo contrario guiaa una contradiccion. Tambien se conocecomo reduccion al absurdo.

Demostracion por contradiccion Demostra-cion en la cual se supone falsa la premisainicial y se llega a una contradiccion o auna premisa falsa, concluyendo, entonces,que la suposicion es falsa, haciendo lapremisa inicial verdadera.La demostracion por contradicciontambien se llama demostracion por re-duccion al absurdo.

Denominador En una fraccion, el denomina-dor indica en cuantas partes se dividiraun entero y el numerador indica cuantasde esas partes vamos a tomar.

Fraccion =numerador

denominador

En una fraccion el numerador se escribearriba y el denominador abajo.

Denominador comun Sinonimo de Mınimocomun denominador.Vea la definicion de Mınimo comundenominador.

Densidad (Analisis) Decimos que unconjunto de numeros es denso, si paracada par de numeros dentro de eseconjunto existe otro numero del mismoconjunto entre ellos.Por ejemplo, los numeros racionales sondensos, porque no importa que tan cerca


36

D

Dependencia funcional–Desarrollo

se encuentren dos numeros, siemprepodemos encontrar uno entre ellos (enparticular, el promedio de los dos cumplecon eso). Los numeros reales tambien sondensos.(Fısica) El resultado de dividir la masa deun objeto entre su volumen.Por ejemplo, un litro (1 dm3) de mercu-rio tiene una masa de 13.7 kilogramos,entonces su densidad δ es:

δ =13.7 kg

1 L= 13.7 kg/L

Dependencia funcional Se dice que la varia-ble y depende funcionalmente de la varia-ble x si es posible escribir la relacion queexiste entre ellas en forma de ecuacion.En ese caso, y es la variable dependiente(depende de x) y x es la variable indepen-diente.Si la ecuacion que relaciona a las varia-bles x, y no es una funcion decimos quetenemos una funcion implıcita de y en x.

Dependiente, variable Una variable esdependiente si su valor depende del valorde otra u otras variables.Por ejemplo, en la funcion: y = x2, lavariable dependiente es y, pues su valordepende del valor que tome la variablex.

Dependientes, eventos Dos eventos son de-pendientes cuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.

Derivacion Proceso por el cual se calcula laderivada de una funcion.El proceso mas comun consiste en aplicardirectamente una regla o formula dederivacion aplicable a la funcion que sedesea derivar.Las reglas de derivacion se deducen apartir de la regla de los cuatro pasos.Vea la definicion Regla de los cuatro pasos.

Derivada En Calculo, la derivada es la mejoraproximacion lineal a una funcion en un

punto.Por ejemplo, para la grafica de la funciony = x2, en el punto P(1, 1) que esta sobreesta curva, la mejor aproximacion lineales la recta: y = 2 x − 1. La siguientegrafica muestra la funcion y su derivadaen el punto P(1, 1):

x

y

1 2

1

2

3

y=

2x−

1

y = x2

La derivada de una funcion evaluada enun punto siempre es la pendiente de larecta tangente a la grafica de la funcionen ese punto.Formalmente, la derivada se define comoel siguiente lımite:

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

La derivada se interpreta como una razonde cambio instantanea con respecto ala variable independiente, es decir, laderivada nos dice como crece la funcionen un punto.

Derivable, funcion Una funcion y = f (x) esderivable en un punto x0 de su dominio sila derivada de la funcion y′(x0) = f ′(x0)esta definida en ese punto.Decimos que una funcion es derivable enun intervalo (a, b) si es derivable en cadapunto de ese intervalo.

Desarrollo (Algebra) Un desarrollo se refierea la realizacion de las operaciones queestan indicadas en una expresionalgebraica.Por ejemplo, el desarrollo de (a + b)3, es:

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3


Descomposicion en factores–Desigualdad del triangulo

D

37

(Geometrıa) El desarrollo de un solidogeometrico se refiere a un dibujo que nospermite construir el solido.La siguiente figura corresponde aldesarrollo de un dodecaedro:

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

Descomposicion en factores (Aritmetica)Cuando un numero natural se expresacomo el producto de numeros primosse dice que se ha descompuesto en susfactores primos.Por ejemplo, la descomposicion enfactores primos del numero 30 es:

30 = 2× 3× 5

Observa que cada uno de los numerosque aparecen a la derecha de la igualdadson primos.(Algebra) Cuando una expresionalgebraica se expresa en forma de la mul-tiplicacion de otras, se dice que se hadescompuesto en factores.Por ejemplo:

x2 − y2 = (x + y)(x− y)

Descuento Reduccion que se hace a una canti-dad o a un precio o valor de algo.Generalmente, el descuento se determinaen base a un porcentaje fijo determinado.

Desigual Condicion que indica que dos canti-dades no son iguales. Para denotar quedos cantidades son desiguales usamos ensımbolo ,. Por ejemplo,

10 + 2 , 100

En matematicas frecuentemente usamoslas palabras distinto y diferente comosinonimos de desigual.

Desigualdad Una desigualdad es una relacionmatematica que compara el valor de dosnumeros o expresiones algebraicas (deltipo mayor o menor).Por ejemplo, 2 < 5 es una desigualdad.Algunas veces es conveniente indicar queun numero debe ser mayor o igual, o bienque es menor o igual.Las desigualdades usan la siguientenotacion:

Desigualdad Significado

> mayor que< menor que≥ mayor o igual que≤ menor o igual que

Decimos que a es mayor que b, si ladiferencia a− b es positiva. Si la diferen-cia es negativa, entonces decimos que aes menor que b. Evidentemente, si ladiferencia es cero, entonces, a = b.

Desigualdad del triangulo En un trianguloque se encuentra en un plano, la suma delas longitudes de dos de sus lados siem-pre mas grande que la longitud de su ter-cer lado.Algebraicamente, si A, B y C son laslongitudes de los lados de un triangulocualquiera que se encuentre en el plano,entonces se cumplen las siguientes tresdesigualdades:


38

D

Desigualdad doble–Determinante

C

AB

A + B > CB + C > AA + C > B

Desigualdad doble Expresion matematicaque incluye dos desigualdades.Por ejemplo, la siguiente es una desigual-dad doble:

0 ≤ x < 10

Desplazamiento Magnitud vectorial quecorresponde a una distancia indicandouna direccion.

Despejar En matematicas el despeje serefiere al proceso de aislar una variablede una expresion matematica utilizandooperaciones algebraicas de manera que laexpresion final sea equivalente a la inicial.Por ejemplo, al despejar y de la ecuacion:2 x + 3 y = 12, obtenemos:

y =12− 2 x

3= 4− 2

3x

Desviacion (Estadıstica) La desviacion δ deuna medicion xi se define como ladiferencia de la media x de la muestra alvalor medido:

δ = xi − x

La desviacion absoluta es igual al valorabsoluto de la desviacion.Algunos autores llaman discrepancia a ladesviacion.

Desviacion media La desviacion mediade una muestra, o desviacion mediamuestral, es el promedio de las desvia-ciones absolutas de todos los datos de lamuestra.Por ejemplo, considerando al conjunto dedatos: 2, 3, 6, 9, la media de la muestra

es x = 20/4 = 5. Las desviaciones decada dato se muestran en la siguientetabla:

Medicion Desviacionxi δ

2 −33 −26 19 4

y la desviacion media es el promedio desus valores absolutos. En este caso, ladesviacion media es 2.5, porque la sumade todas las desviaciones absolutas es 10y a este valor lo dividimos entre 4.Este estadıstico mide en promedio cuantose aleja cada dato de la media aritmetica.

Desviacion estandar La desviacion estandar odesviacion tıpica, denotada por s, parauna muestra de n datos x1, x2, · · · , xn,esta definida por:

s =

√∑ (xi − x)2

n

donde x es la media de la muestra.

Determinante El determinante de 2 × 2 sedefine como:

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc

Y el determinante de 3× 3 se define por:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= aei + cdh + b f g−ceg− a f h− bdi

Un sistema de ecuaciones lineales sepuede resolver utilizando determinantes.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

a x + b y = mc x + d y = n


Determinıstico–Diagrama

D

39

se puede resolver a traves del metodo dedeterminantes como sigue:

x =

∣∣∣∣m bn d

∣∣∣∣∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣=

dm− bnad− bc

y =

∣∣∣∣a mc n

∣∣∣∣∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣=

an− cmad− bc

siempre que ad − bc , 0. Si ocurreque ad − bc = 0, entonces el sistema deecuaciones, bien no tiene solucion, bientiene un numero infinito de soluciones.Los determinantes tambien se definenpara matrices cuadradas de mayor orden(4× 4, 5× 5, etc.)

Determinıstico Un evento es determinısticocuando es predecible. Generalmente uti-lizamos una formula matematica paraconocer su comportamiento.Por ejemplo, para conocer si una vigasoportara un peso, existen formulaspara poder elaborar el calculo correspon-diente.

Dıa Intervalo de tiempo que equivale a 24 ho-ras.

Diada Un par ordenado de valores. En elplano, las coordenadas de cada punto sonuna diada.Por ejemplo, (3, 4) es una diada.

Diagonal La diagonal de un polıgono esel segmento de recta que tiene sus ex-tremos en dos vertices no consecutivosdel polıgono. Si el segmento de rectatiene sus extremos en dos vertices consec-utivos del polıgono, entonces se trata deuno de sus lados.

Diagonal

Lado

El numero de diagonales D que pode-mos trazar a un polıgono regular de nlados puede calcularse con la siguienteformula:

D =n (n− 3)

2

Diagonal principal En una matrız cuadrada,la diagonal principal es la que empieza enla esquina superior izquierda y terminaen la esquina inferior derecha.Por ejemplo, en la matriz:

a b cd e fg h i

La diagonal principal es la que incluye lasentradas: a, e, i.

Diagonal secundaria En una matrızcuadrada, la diagonal secundaria es laque empieza en la esquina superiorderecha y termina en la esquina inferiorizquierda.Por ejemplo, en la matriz:

a b cd e fg h i

La diagonal secundaria es la que incluyelas entradas: c, e, g.

Diagrama En matematicas un diagrama esuna representacion grafica de la relacionentre varios objetos matematicos.Por ejemplo, el siguiente diagramaexplica la relacion entre una funcion, sudominio y su contradominio:


40

D

Diagrama de arbol–Diagrama de sectores

xX

f (x)Yf

Funcion




Generalmente, los diagramas no se dibu-jan a escala.

Diagrama de arbol Grafica en la que semuestra la relacion entre varios compo-nentes.El siguiente es un diagrama de arbol:

Raız

Padre Madre

Hijo Hija

Diagrama de barras Forma de graficar datosque facilita la comparacion entre distin-tos grupos de datos.La siguiente grafica es un diagrama debarras vertical:

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

cion

Matematicas Lenguaje Historia

El diagrama de barras muestra cuantita-tivamente a traves de barras horizontaleso verticales de mismo grosor con alturasproporcionales a las cantidades que seestan representando.

Diagrama de dispersion Diagrama quemuestra datos de dos variables en el

plano para identificar tendencias en losmismos.La siguiente grafica es un diagrama dedispersion:

−4 −2 0 2 4

−0.5

0

0.5

Diagrama de lıneas Diagrama que se utilizapara describir graficamente el comporta-miento de una cantidad para distintosvalores de una variable independiente,como por ejemplo, el tiempo.Este tipo de diagramas es el que se utilizamuy frecuentemente en los pronosticos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagrama de sectores El diagrama de sectoressirve para comparar datos en base a untotal. Generalmente se le dibuja en formade pastel.El siguiente grafico corresponde a undiagrama de sectores:


Diagrama de Venn–Diferencia de una progresion aritmetica

D

41

Diagrama de Venn Diagrama que se utilizapara denotar conjuntos y las operacionesentre ellos.El siguiente diagrama de Venn muestra lainterseccion de los conjuntos A y B:

A B

A∩B

Diamante Cuadrilatero que tiene dos angulosobtusos y dos angulos agudos.El siguiente polıgono es un diamante:

Diamante

Diametro El diametro de una circunferenciaes la cuerda mas larga que se le puededibujar. En otras palabras, el diametroes el segmento de recta que tiene sus ex-tremos sobre la circunferencia y pasa porsu centro C.

Dia

met

ro

C

La longitud del diametro de unacircunferencia es igual al doble de suradio.

Diferencia La diferencia entre los numeros ay b es el numero b− a.En otras palabras, la diferencia de dosnumeros es el resultado de restarlos.

9 876− 5 324

4 552

minuendosustraendodiferencia

Diferencia de conjuntos La diferencia de losconjuntos A y B, denotada por A − B,es el conjunto de todos los elementos queestan en A, pero que no estan en B.El siguiente diagrama de Venn muestraesta definicion:

A B

A∩BA−B

Diferencia de una progresion aritmetica Da-dos dos terminos consecutivos cuales-quiera de una progresion aritmetica,ai, ai+1, la diferencia de la progresion es:d = ai+1 − ai.En realidad, se define la diferencia de laprogresion para calcular los terminos dela misma y no al reves.Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los terminos de la sucesion aritmetica son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.


42

D

Diferencia de vectores–Direccion

Diferencia de vectores Sean ~u = (ux, uy) y~v = (vx, vy) dos vectores en el plano. Sudiferencia es:

~w = ~u−~v = (ux − vx, uy − vy)

Geometricamente, la diferencia de losvectores es el vector que tiene su puntoinicial en el punto terminal de ~v y supunto terminal en el punto terminal de~u:

x

y

~u

~v

~w = ~u−~v

Del diagrama anterior es facil observarque ~v + ~w = ~u. Es decir, ~w = ~u−~v.

Diferenciable Una funcion es diferenciable enun punto o en un intervalo si es posiblecalcular su derivada en ese punto o encada uno de los puntos del intervalo con-siderado.

Diferencial Vea las definiciones dx y dy.

Dıgito Uno de los diez sımbolos que uti-lizamos para escribir numeros en elsistema de numeracion en base 10:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

El termino digital se refiere al sistema denumeracion en base 2. No se refiere a losdıgitos.

Dilatacion Transformacion del plano queconsiste en un cambio de la posicion detodos los puntos del plano, respecto deuno o varios ejes, tomando un valor kcomo escala. La distancia de cada puntoP del plano se multiplica por el valor k yse ubica con la recta paralela al eje consid-erado y que pase por el punto P. Cuandok > 1, los puntos estaran mas alejados deleje, cuando k < 1 estaran mas cerca.

Dimension (Algebra) La dimension de unamatrız de m renglones y n columnas esm× n.(Geometrıa) La dimension de un espaciose define como el numero de coordena-das que hay que indicar para determinarde manera unica cada uno de sus puntos.El plano tiene dimension dos, porque serequieren de dos coordenadas para de-terminar de manera unica uno de suspuntos.En matematicas se pueden definir espa-cios de 3, 4, 5, etc., dimensiones sinproblema conceptual, aunque no es posi-ble representarlos geometricamente a par-tir de 4 dimensiones.El estudio de los espacios de mas detres dimensiones se elabora con el uso devectores en el algebra lineal.La siguiente figura muestra un espacio detres dimensiones:

y

z

x

Dina Unidad de fuerza equivalente a 10−5

newtons.

Dinamica Rama de la fısica que se encargade estudiar el movimiento de los cuerposbajo la accion de fuerzas.

Direccion La direccion de un vector se definecomo el angulo que este forma con el ejehorizontal.El siguiente diagrama muestra la di-reccion θ del vector ~v:


Direccion, vector–Discriminante

D

43

~v

x

y

θ

Direccion, vector Vector de longitud unitariaque sirve para definir una direccion es-pecıfica.

Directa, proporcion Proporcion en la cual alaumentar una cantidad la otra tambienaumenta.Por ejemplo, cuando aumenta el numerode refrescos que vamos a comprar, au-menta tambien el importe que debemospagar, por eso decimos que el importe esdirectamente proporcional al numero derefrescos.

Directa, variacion Las dos variables x, ypresentan variacion directa si estan enproporcion directa. En este caso, sedenomina la constante de variacion di-recta k al numero que satisface y = kxpara cualesquiera dos valores x, y de lavariacion.Por ejemplo, considerando el ejemplodado en la definicion de Proporcion directa,si el precio de cada refresco es de $7.00pesos, entonces k = 7, porque esta esla constante que satisface y = kx, paracualesquiera x, y, donde y es el importea pagar y x es el numero de refrescos quese compraron.

Directriz En una conica, la directriz es unalınea recta fija que junto con uno o dospuntos fijos llamados focos sirven paramedir proporciones de distancias paradeterminar los puntos de la conica deacuerdo con su definicion.Las conicas son:

3 Circunferencia

3 Parabola

3 Elipse3 Hiperbola

Vea la definicion de Conica.

Dirigido, segmento Segmento con una di-reccion definida, donde uno de suspuntos extremos se define como el puntoinicial y el otro extremo como su puntofinal.Por ejemplo, el segmento dirigido

−→AB, se

muestra en la siguiente figura:

xA BO

Discontinuidad Se dice que una funcion esdiscontinua en un punto de su dominiocuando no es continua en el.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna funcion que presenta una dis-contınuidad en el intervalo [a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

La funcion no es continua porque no se lepuede dibujar sin despegar la punta dellapiz del papel sobre el cual se le dibuja.

Discrepancia Sinonimo de Desviacion.Vea a la definicion de Desviacion.

Discreto Se dice que una variable tomavalores discretos cuando solamentepuede tomar valores de manera enterao en forma de saltos.Lo contrario de discreto es continuo.

Discriminante En la formula general pararesolver ecuaciones de segundo grado,a x2 + b x + c = 0:

x =−b±

√b2 − 4 ac

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Estrictamente prohibido el uso comercial de este material

44

D

Discusion–Distribucion binomial

el discriminante D se define como elargumento del radical:

D = b2 − 4 ac

El signo del discriminante nos indica eltipo de raıces que tendra la ecuacioncuadratica:

Discriminante Raıces

positivo reales diferentescero reales repetidas

negativo complejas

Discusion En matematicas una discusionse refiere al proceso de analisis confin de investigar un concepto u objetomatematico a traves del razonamientoy la argumentacion aplicando laspropiedades conocidas del objeto en es-tudio.

Disjunto Dos conjuntos son disjuntos si suinterseccion es igual al conjunto vacıo.En otras palabras, si dos conjuntos notienen elementos comunes, entonces sonconjuntos disjuntos.La figura muestra dos conjuntos disjun-tos:

A B

A∩B = ∅

Dispersion Numero que indica el grado deseparacion (carencia de agrupacion) delos datos medidos en torno de la mediade la muestra o poblacion.

Distancia Numero que sirve de medida deseparacion entre dos objetos geometricos.La distancia D entre dos puntos P(xp, yp)y Q(xq, yq) del plano cartesiano se puedecalcular con la formula:

D(P, Q) =√(xq − xp)2 + (yq − yp)2

La distancia (euclideana) satisface lassiguientes propiedades:

3 D(P, Q) ≥ 0, es decir, la distanciaentre dos puntos es un numero nonegativo.

3 D(P, P) = 0, es decir, la distancia deun punto a sı mismo es cero.

3 D(P, Q) ≤ D(P, R) + D(R, Q), esdecir, en un triangulo, la suma de laslongitudes de dos lados siempre esal menos tan grande como el tercero.

Distancia de un punto a una recta La distan-cia D del punto P(xp, yp) a la recta:A x + B y + C = 0 se puede calcular conla formula:

D =|A xp + B yp + C|√

A2 + B2

Para calcular la distancia entre dos rec-tas paralelas puedes encontrar un puntosobre cualquiera de las dos y calcular ladistancia de este punto a la otra recta.

Distinto Dos cantidades son distintas cuandono son iguales. En otras palabras, distintoes sinonimo de desigual.Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis-tintas. Matematicamente esto lo expre-samos: 3 , 4.

Distribucion La forma como los valoresde una variable aleatoria aparecen enlos datos medidos en una muestra opoblacion.La distribucion indica que valores tienenmayor probabilidad de aparecer y cualesaparecen con menor frecuencia.

Distribucion binomial Distribucion quepresentan los eventos que tienen dos posi-bles resultados mutuamente excluyentes.Por ejemplo, el lanzamiento de unamoneda diez veces presenta distribucionde probabilidad binomial, porque o caeaguila o cae sol.Para el calculo de la distribucion bino-mial se utiliza el binomio de Newton o eltriangulo de Pascal.


Distribucion de frecuencias–Disyuncion

D

45

Distribucion de frecuencias Tabla odiagrama que muestra graficamente lasfrecuencias de los valores de una variablealeatoria.

0 1 2 3 4

2.5

3

3.5

4

Distribucion normal Distribucion de probabi-lidad continua que presentan muchosfenomenos donde cada dato puedeninterpretarse como el promedio de variasmediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un error demedicion que tiene distribucion normal.El error de la medicion es simetricorespecto del valor verdadero de la distan-cia. En este ejemplo, cada medicionpuede considerarse como el promedio devarias mediciones separadas.La distribucion normal se utilizafrecuentemente como una aproximaciona la distribucion binomial.La distribucion normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ2.Si la media de la distribucion es cero ysu varianza 1, la distribucion se conocecomo distribucion normal estandar.Esta distribucion es muy importante enprobabilidad y estadıstica.La funcion de densidad de la distribucionnormal es:

f (x) =1

σ√

2πexp

(−(x− µ)2

2 σ2

)

con σ > 0, y su grafica es:

xµ

La grafica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un maximo en x = µ (lamedia).

3 La curva es simetrica respecto de lamedia.

3 La media, la mediana y la modacoinciden en el maximo de lafuncion.

3 El eje horizontal es una asıntota dela curva.

3 El area total bajo la curva es 1.

Distributiva (propiedad) Propiedad de losnumeros reales que involucra a la sumacomo a la multiplicacion de la siguientemanera:

a · (b + c) = a b + a c

Geometricamente, la propiedad distribu-tiva se interpreta como el calculo del areade un rectangulo:

a b a ca

b c

b + c

Disyuncion Aseveracion formada por dospremisas unidas por la palabra o.Por ejemplo, dado que es mayor a la unidad,este numero es primo o es compuesto es unadisyuncion.El sımbolo matematico utilizado para ladisyuncion es ∨.Vea la definicion de Conjuncion.


46

D

Dividendo–Division de monomios

Dividendo En una division, el dividendo es elnumero que se esta dividiendo. Por ejem-plo, al dividir 10÷ 5 = 2, el dividendo esel numero 10, el divisor es el numero 5 yel cociente es el numero 2.El dividendo puede ser cualquier numerodiferente de cero.

Dividir Operacion que consiste en calcular elnumero de veces que una cantidad con-tiene (cabe en) otra.Por ejemplo, cuando dividimos 36 entre4, obtenemos 9. Esto nos indica que elnumero 4 cabe 9 veces en el 36.No es posible dividir entre cero.

Divisibilidad Decimos que el numero enterob divide al numero entero a, y loescribimos como: b|a, si existe un numeroentero k tal que: a = b · k.En otras palabras, si a es un multiplo deb, entonces decimos que el numero b esdivisible por a.

Divisibilidad, criterios de Regla que nosayuda a determinar si un numero sedivide entre otro sin hacer la division di-rectamente.Un numero se divide,

3 entre 2 si la ultima cifra del numeroes par. (0, 2, 4, 6, 8)


3 entre 4 si el numero formado por susultimas dos cifras es un multiplo de4.

3 entre 5 si termina en 5 o en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3.

3 entre 8 si el numero formado por sustres ultimas cifras es un multiplo de8.


3 entre 10 si termina en cero.

Division Operacion matematica que consisteen repartir una cantidad fija en otra dada.

La division se denota con el sımbolo ÷ ocon /.Por ejemplo, para indicar la division delos numeros a y b, escribimos: a ÷ b, obien, a/b.La division de dos numeros tambien seacostumbra escribir como una fraccion:

r =ab

donde r es el resultado de la division y sellama cociente, a es el dividendo, b es eldivisor que debe ser distinto de cero.En primaria y secundaria acostum-bramos acomodar las partes de ladivision como se muestra en el siguientediagrama:

CocienteDivisor Dividendo

. . .Residuo

Los puntos. . . indican que posiblemente

existan algunos numeros en el procedi-miento. El ultimo numero que se escribe,siendo menor que el divisor, es el residuode la division.

Division de fracciones El resultado de dividira/b entre c/d es:

ab÷ c

d=

a · db · c

supuesto que: b · c , 0.Por ejemplo:

35÷ 7

8=

3× 85× 7

=2435

Division de monomios La division demonomios se define siempre que eldivisor sea distinto de cero. La divisionentre monomios se realiza aplicando lasleyes de los exponentes. En particular,la ley: xm ÷ xn = xm−n, que en palabrasdice que al dividir dos bases iguales sus


Division de polinomios–Doceavo

D

47

exponentes se restan.Por ejemplo,

x7

x4 = x7−4 = x3

Division de polinomios La division depolinomios se realiza utilizando el mismoprocedimiento que la division entrenumeros.En la siguiente division:

Cm−n+k(x)Dm(x) Pn(n)

rk(x)

Cm−n(x) es el cociente, que resulta ser unpolinomio de grado m−n+ k, Dm(x) es eldivisor, un polinomio de grado m, Pn(x)es el dividendo, un polinomio de gradon y rk(x) es el residuo de la division, unpolinomio de grado k ≤ 2.

Division de un angulo Dado un angulo,dividirlo en n partes significa dibujar oconstruir esa cantidad de angulos exacta-mente iguales entre sus lados.Por ejemplo, al dividir el angulo α = 60

en 5 partes iguales, obtenemos:

Division de un segmento Dado un segmentocon extremos en los puntos A y B, di-vidir el segmento en n partes igualessignifica encontrar n − 1 puntos igual-mente espaciados entre sus extremos.Por ejemplo, al dividir el segmento AB en5 partes iguales obtenemos:

A B

Divisor Dados los numeros enteros a, b, c quecumplen a = b · c, decimos que losnumeros b y c son divisores del numeroa.Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisores delnumero 10, porque 10 = 2× 5.

Divisor propio Un divisor d de un numero kes un divisor propio si d < k. Por ejem-plo, los divisores de 10 son: 1, 2, 5 y 10.Sus divisores propios son: 1, 2 y 5, porquecada uno de ellos es menor a 10.

Doble El doble de un numero es el resultadode multiplicarlo por 2. Por ejemplo, eldoble de 5 es 10, porque 5× 2 = 10.

Doble, raız En un polinomio, cuando este sepuede factorizar con un factor elevado alcuadrado, el polinomio presenta una raızdoble.En otras palabras, una raız r de un polino-mio es doble si despues de dividirlo entre(x− r) dos veces consecutivas, el residuoes cero.

Doceavo Un doceavo es equivalente a unade las partes de un entero que hasido dividido en doce partes del mismotamano.

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112

112


48

D

Docena–dy

Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente) do-ceavo refiriendose al numero ordinaldecimosegundo.Por ejemplo, en un maraton, quienllego en el lugar numero doce, tiene eldecimosegundo lugar, no el doceavo. Do-ceavo es una fraccion, no un numero or-dinal.

Docena Un grupo de doce cosas.Por ejemplo una docena de rosas es unconjunto de doce rosas.

Dodecaedro Solido regular que tiene 12 caras.Cada una de sus caras es un pentagonoregular:

Dodecagono Polıgono que tiene 12 lados.

Dodecagono

Dominio El dominio D de una funciones el conjunto formado por todos losvalores que la funcion puede aceptar paradevolver un unico valor por cada uno deellos.

Un elemento del dominio generalmentese denota con la literal x. Ası, x ∈ D fse lee: x esta en el dominio de la funcion f .Por ejemplo, el dominio de la funcion y =x2 es el conjunto de los numeros reales,porque podemos calcular el cuadrado decualquier numero real.Por otra parte, el dominio de la funciony =

√x es el conjunto de todos los

numeros reales no negativos, pues solopodemos calcular la raız cuadrada denumeros no negativos.

Duplicar Calcular el doble de un numero ocantidad.Por ejemplo, al duplicar 10 obtenemos20.

Duplicacion del cubo Uno de los tres proble-mas de la antiguedad. El problema con-sistıa en construir un cubo con el doblede volumen de un cubo dado, utilizandosolamente regla y compas.

dx En calculo, dx se llama la diferencial de x,y representa a una cantidad infinitamentepequena.Generalmente, cuando el incremento en x(∆x) tiende a cero, lo llamamos dx.

dy En calculo, si y = f (x), dy se llamala diferencial de y, y se define como elproducto de la derivada de la funcionf (x) y la diferencial de x:

dy =dydx· dx = f ′(x) · dx

El diferencial de una funcion indica comose comporta la funcion en la cercanıa deun punto.Considerando que dx es infinitamentepequeno, podemos decir que el diferen-cial indica como se comporta la funcionen lo infinitamente pequeno.


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

EEfrain Soto Apolinar

e Numero irracional que sirve de base para loslogaritmos naturales. Su valor es aproxi-madamente e = 2.718281828459.El numero e es una de las constantes masimportantes en matematicas.La letra e de esta constante viene delapellido del matematico que contribuyo ala comprension de esta constante: Euler.

Ecuacion Es una igualdad entre dos expre-siones algebraicas.Por ejemplo,

xn + yn = zn

es una ecuacion.

Ecuacion algebraica Es una ecuacion que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, division, multiplicacion) depolinomios.Por ejemplo, la ecuacion:

1x + 2

− (x− 1)(x + 3)x + 5

= 1

es algebraica.

Ecuacion binomial Una ecuacion de la forma:

xn − a = 0

y su solucion es: x = n√

a.

Ecuacion cuadratica Una ecuacion escuadratica si tiene la forma:

a x2 + b x + c = 0

donde a , 0.

Ecuacion de la circunferencia La circunferen-cia es el conjunto de puntos del plano queestan a la misma distancia de un puntofijo C que es el centro de la circunferen-cia.La distancia del centro de la circunferen-cia a cualquiera de sus puntos se llamaradio (r).La ecuacion de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:

(x− h)2 + (y− k)2 = r2

xO h

y

k

r

C(h, k)

P(x, y)

Ecuacion de la elipse La elipse es el conjuntode puntos del plano que satisfacen que lasuma de sus distancias a dos puntos fijosdel plano llamados focos es una constante2 a mayor que la distancia entre los focos.La ecuacion de la elipse horizontal concentro en el punto C(h, k), longitud deleje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:

(x− h)2

a2 +(y− k)2

b2 = 1

50

E

Ecuacion de la hiperbola–Ecuacion de la parabola

x

y

h

kC(h, k)a

b

La ecuacion de la elipse vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:

(x− h)2

b2 +(y− k)2

a2 = 1

La distancia del foco al centro de la elipsees c y la relacion que hay entre a, b y c es:

a2 = b2 + c2

Ecuacion de la hiperbola La hiperbola es elconjunto de puntos del plano que satisfa-cen que la diferencia de sus distancias ados puntos fijos del plano llamados focoses una constante 2 a menor que la distan-cia entre los focos (2 c).La ecuacion de la hiperbola horizontalcon centro en el punto C(h, k), longituddel eje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:

(x− h)2

a2 − (y− k)2

b2 = 1

La ecuacion de la hiperbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:

− (x− h)2

a2 +(y− k)2

b2 = 1

x

y

F(0, c)F′(0,−c)

y=

b ax

y=−

ba x

Eje transverso

Ejeconjugado

La distancia del centro de la hiperbola acualquiera de los focos es c, y la relacionentre a, b y c es:

c2 = a2 + b2

Las diagonales que pasan por el centrode la hiperbola se llaman asıntotas de lahiperbola y sus ecuaciones son:

y =ba

x y = −ba

x

Ecuacion de la parabola La parabola es elconjunto de puntos del plano que satisfa-cen que su distancia a un punto fijo delplano llamado foco es igual a la de unarecta fija sobre el plano llamada directriz,que no pasa por el foco.La ecuacion de la parabola vertical convertice en el punto V(h, k) y distancia delvertice a su foco ρ, es:

(x− h)2 = 4 ρ (y− k)

La parabola horizontal con vertice en elpunto V(h, k) y distancia del vertice a sufoco ρ, es:

(y− k)2 = 4 ρ (x− h)

La parabola vertical puede abrir haciaarriba o hacia abajo, y la horizontalhacia la derecha o hacia la izquierda, deacuerdo al signo del parametro ρ.


Ecuacion de la recta–Ecuacion lineal

E

51

x

y

x2 = +4 |ρ|y

x

yx2 = −4 |ρ|y

x

y

y2 = +4 |ρ|x

x

y

y2 = −4 |ρ|x

Ecuacion de la recta La ecuacion general de larecta es:

A x + B y + C = 0

La ecuacion de la recta en su formapendiente-ordenada al origen es:

y = m x + b

La ecuacion de la recta en su formapunto-pendiente es:

y− y1 = m (x− x1)

La ecuacion de la recta en su formasimetrica es:

xa+

yb= 1

La ecuacion de la recta en su formanormal es:

A x + B y + C√A2 + B2

= 0

Ecuacion equivalente Dos ecuaciones sonequivalentes si tienen exactamente lasmismas soluciones.Por ejemplo, las ecuaciones:

2 x + 1 = 9 y 2 x = 8

tienen solucion unica: x = 4, y por tantoson equivalentes.

Ecuacion exponencial Una ecuacion exponen-cial tiene la forma:

r akx = c

Ecuacion fraccionaria Es una ecuacion quetiene contiene fracciones algebraicas.Por ejemplo, la ecuacion:

32x + 1

+2

3x + 1= 7

es fraccionaria.

Ecuacion lineal Es una ecuacion en la cual lasincognitas tienen exponente uno.Por ejemplo, la ecuacion:

7 x + 1 = 50

es lineal, pues la unica incognita queaparece (x) tiene exponente igual a 1.


52

E

Ecuacion literal–Elemento identidad

Ecuacion literal Ecuacion en la cual loscoeficientes constantes son escritos comoliterales porque se desconoce su valor.Por ejemplo, en la ecuacion a x2 + b x +c = 0, los coeficientes a, b, c son literales,porque no se conoce su valor.

Ecuacion logarıtmica Ecuacion en la queaparecen logaritmos de la incognita.Por ejemplo, la ecuacion:

ln(x + 1)− 5 = 0

es logarıtmica.

Ecuacion radical Ecuacion en la que aparecenradicales.Por ejemplo,

√x + 1 =

√x− 4 + 1

La solucion de esta ecuacion es: x = 8.

Ecuacion redundante En un sistema deecuaciones, una ecuacion redundante esuna ecuacion que si no se considera enel sistema, se obtienen las mismas solu-ciones.Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

x + y = 102x + 3 y = 203 x + 4 y = 30

la ecuacion 3 x + 4 y = 30 es redundante,pues si resolvemos el sistema de ecuacio-nes lineales sin ella, obtenemos las mis-mas soluciones.

Eje Lınea recta que sirve de referencia paraconstruir un sistema coordenado.Generalmente los ejes se dibujanperpendiculares. El eje horizontal usual-mente se etiqueta con la literal x y el ver-tical con la literal y.

x1 2 3 4

1

2

3

y

Eje x

Eje

y

En algunas figuras, se define uno o variosejes para utilizarlos como referencia. Porejemplo, en las conicas.

Eje conjugado En una hiperbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso que pasapor el punto medio de este.Vea la definicion de Ecuacion de lahiperbola.

Eje de simetrıa La recta que divide a unafigura geometrica en dos partes igualesque se pueden superponer una sobre laotra doblando la figura sobre esta recta.Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro ejesde simetrıa. La siguiente figura muestrauno de ellos:

Ejede sim

etrıa

Elemento Se refiere a un objeto particular deun conjunto.Cuando x es un elemento del conjunto A,esto se indica con la notacion: x ∈ A, y selee: x es un elemento del conjunto A.Si x no es un elemento del conjunto A,entonces escribimos: x <A.

Elemento identidad El elemento identidad enel algebra es el numero 1.


Elemento inverso–Elipse

E

53

Elemento inverso Para la suma, el elementoinverso de a es −a, porque a + (−a) = 0,para todo a ∈ R.Para la multiplicacion, el elemento in-verso de a , 0 es 1/a, porque a · (1/a) =1, para todo a , 0, a ∈ R.

Elemento neutro Para la suma, el elementoneutro es el cero, porque a + 0 = a, paratodo a ∈ R.Para la multiplicacion, el elemento neu-tro es el uno, porque a · 1 = a, para todoa ∈ R.

Elemento opuesto El opuesto del numero a esel numero −a.El adjetivo opuesto viene del hecho de queen la recta numerica, los numeros a y −aestan a la misma distancia del origen, soloque en lados opuestos.

Elemento simetrico El elemento simetrico delnumero a es el numero −a.En otras palabras, elemento simetrico essinonimo de elemento opuesto.

Elevacion La distancia desde el suelo hasta laposicion de un objeto.

Elevacion, angulo de Angulo que se formaconsiderando la horizontal, el puntodesde donde se observa (vertice delangulo de elevacion) y la posicion delobjeto observado.En la siguiente figura, el angulo αmostrado, corresponde al de elevacion delobjeto (:

α

(

En este caso, el punto desde donde seobserva al avion es el vertice del angulomostrado.

Eliminar En el proceso de simplificacion deuna expresion algebraica, decimos quehemos eliminado un termino o factorcuando hemos aplicado alguna de lassiguientes propiedades de los numeros:

a + (−a) = 0

a · 1a

= 1

Por ejemplo, cuando simplificamos lafraccion:

621

=2× 33× 7

=27

decimos que hemos eliminado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Elipse Figura geometrica cerrada que tienela propiedad que la suma de las distan-cias desde cualquiera de sus puntos ados puntos fijos llamados focos, es unaconstante.El siguiente diagrama muestra una elipsecon centro en el origen y mostrandoalgunos de sus elementos:

x

y

FF′

P(x, y)

LR

VV ′

B

B′

O

Los elementos de la elipse son:

3 Eje mayor: es el segmento con ex-tremos en los puntos V y V ′.

3 Eje menor: es el segmento con ex-tremos en los puntos B y B′.

3 Vertices: son los puntos V y V ′

3 Focos: son los puntos F y F′

3 Lado recto: Es el segmentoperpendicular al eje mayor que pasapor un foco y sus extremos estansobre la elipse.


54

E

Eneagono–Equivalencia

Algunas distancias importantes en laelipse son:

3 a es la distancia del centro de laelipse a cualquiera de sus vertices.

3 b es la distancia del centro de laelipse a un extremo del eje menor.

3 c es la distancia de cualquiera de losfocos al centro de la elipse.

Entre a, b y c se cumple la relacion:

a2 = b2 + c2

Eneagono Polıgono de 9 lados.

Eneagonoregular

Entero El conjunto de los numeros enteros,que se denota con la literal Z es elsiguiente:

Z = · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · Observa que todos los numeros natura-les tambien son numeros enteros. Sin em-bargo, no todos los numeros enteros sonnaturales.

Equiangulo Un polıgono es equiangulo sitodos sus angulos tienen la mismamedida.El siguiente polıgono es equiangulo:

pues cada uno de sus angulos mide 120.Observa que un polıgono equiangulo noes necesariamente regular.

Equidistante Se dice que dos o mas objetosson equidistantes de otro objeto P si todosestan a la misma distancia de este (P).Por ejemplo, en una circunferencia, todossus puntos son equidistantes del centro,porque estan a la misma distancia de el.

PM

N

R

ST

En la figura anterior, los puntos M, N, R, Sy T son equidistantes del punto P.

Equilatero Un polıgono es equilatero si todossus lados tienen la misma medida.El siguiente polıgono es equilatero:

puesto todos sus lados tienen la mismamedida.Observa que un polıgono equilatero no esnecesariamente regular.

Equivalencia Propiedad que presentan doscantidades de tener el mismo valor.Entonces, decimos que dos cantidadesson equivalentes si son iguales.


Equivalencia, relacion de–Escaleno, triangulo

E

55

Equivalencia, relacion de La relacionde equivalencia es una estructuramatematica que presenta las siguienespropiedades:

3 Reflexiva: a ∼ a

3 Simetrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.

3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, entoncesa ∼ c.

Decimos que los objetos a y b estan rela-cionados si cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.

Eratostenes, criba de Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista detodos los numeros primos menores a unnumero natural dado n.El procedimiento consiste en ir elimi-nando los multiplos de 2, 3, etc., ex-cepto el primer multiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de numeros que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener mas de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratostenes para encontrar los numerosprimos menores a 25:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratostenes

Error (1.) Diferencia entre el valor aproximadoy el valor real de una cantidad.(2.) En algebra, un estudiante comete unerror cuando aplica incorrectamente unapropiedad de los numeros u omite uncalculo para la solucion del problema.

Error absoluto El error absoluto de unamedicion se define como el valor absolutode la diferencia entre el valor medido y elvalor real:

εabs = |valor real− valor medido|

Error relativo El error relativo de unamedicion se define como:

ε =error

valor verdadero

Escala (1.) Conjunto de marcas sobre uninstrumento para hacer mediciones.La siguiente figura muestra parte de unaregla con escala en centımetros:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 cm

(2.) Numero o razon que indica elnumero de veces que se ha magnificado larepresentacion grafica de una figura parasu manejo mas comodo.

Escala nominal Decimos que una variable semide en escala nominal cuando cada unode los valores que puede tomar tiene unnombre.Por ejemplo: Catolico, Presbiteriano,Mormon, etc.Esta escala es de uso frecuente en encues-tas.

Escala ordinal Decimos que una variablese mide en escala ordinal cuandopuede tomar diferentes valores que estanordenados de acuerdo a una escala.Por ejemplo, leve, moderado, grave.Esta escala es de uso frecuente en encues-tas.

Escaleno, triangulo Triangulo que tiene 3lados con medida distinta.


56

E

Escolio–Estimacion

T. escaleno

Escolio Se refiere a la observacion de una car-acterıstica particular de una proposiciondada.

Escuadra Conjunto de instrumentos pararealizar trazos en geometrıa plana. El setde escuadras esta formado por dos es-cuadras triangulares, una con angulos de90 − 60 − 30 y otra con 90 − 45 − 45

.

La palabra escuadra en el lenguaje colo-quial se refiere a un angulo de 90, esdecir, a un angulo recto.

Esfera Solido geometrico que tiene lapropiedad que todos sus puntos equidis-tan de su centro.

Esfera

La superficie S y el volumen V encerradopor una esfera de radio r son:

S = 4π r2

V =4π

3r3

respectivamente.

Estadıstica Rama de las matematicas que seencarga de la recoleccion, representacion,analisis, interpretacion y aplicaciones de

datos numericos a traves de un conjuntode tecnicas con rigor cientıfico.La estadıstica se divide en inferencial ydescriptiva.

Estadıstica descriptiva Rama de la estadısticaque se dedica a encontrar formas derepresentar informacion numerica de unaforma comprensible y util en forma detablas, graficas y diagramas para extraerde ellas informacion sobre los datos.

Estadıstica inferencial Rama de la estadısticaque se dedica a estimar valores descripti-vos de la poblacion a partir de lainformacion que se tiene de una muestrade la misma usando algunos parame-tros conocidos como estadısticos (media,desviacion estandar, etc.)

Estatica Rama de la mecanica que se encargadel estudio de las fuerzas que actuansobre los cuerpos que se encuentran enequilibrio (mecanico).

Estimacion Aproximacion a un valor pormedio de un metodo matematico.

Espacio Conjunto de objetos matematicos quese delimitan para su estudio.Un espacio matematico no es necesaria-mente un espacio fısico.

Espacio muestral El espacio muestral de unevento aleatorio consiste en el conjuntode todos los posibles resultados de eseevento, de tal forma que a cada resultadole corresponda un elemento o puntodel espacio muestral y a cada elementodel espacio muestral le corresponda unresultado.Por ejemplo, el espacio muestral delexperimento que consiste en lanzar unamoneda al aire, es aguila, sol, porqueestos son los posibles resultados de esteevento.

Estimacion Aproximacion de un valor a partirde un calculo.


Estocastico–Eventos independientes

E

57

Estocastico Una variable es estocastica si esaleatoria.Vea la definicion de Aleatorio.

Euclides de Alejandrıa (325 AC – 265 AC)Matematico de la antigua Grecia. Fundouna escuela en Alejandrıa. Escribio variasobras, de las cuales la que mas se le re-conoce es Los elementos, en la cual recopilatodo lo que se conocıa de geometrıa hastasu epoca.Su tratado Los elementos, ha sido una delas obras que ha tenido la mayor influen-cia en el desarrollo de las matematicas enla historia de la humanidad.

Euclides, algoritmo de Algoritmo paracalcular el maximo comun divisor de dosnumeros MCD(m, n) donde m > n, quese puede resumir como sigue:

1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.

2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.(Fin)

3. Si r , 0, entonces MCD(m, n) =MCD(n, r).

4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir alpaso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12× 2 + 312 = 3× 4 + 0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.

Euler, Leonhard (1 707 – 1 783) Matematicosuizo que destaco por la originalidad desus ideas. Hizo contribuciones impor-tantes a la teorıa de numeros, analisis(Calculo infinitesimal) y al Calculo devariaciones.Escribio mas de 380 obras escritas, en di-versos temas (analisis, calculo de orbitas,analisis, Calculo diferencial, etc.)Introdujo los metodos analıticos en lateorıa de numeros. Siempre estuvo muyinteresado en las aplicaciones de las

matematicas. Se considera como el mejormatematico de su epoca.Nota: Euler se pronuncia oiler.

Euler, formula de (Analisis) La formula:

eiθ = cos θ + i sin θ

se conoce como la formula de Euler.(Geometrıa) En un poliedro simple, si Ves el numero de vertices, A es el numerode aristas y C es el numero de caras, secumple:

V + C− A = 2

Esta relacion tambien se conoce como laformula de Euler.

Euler, numero de Numero irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos natura-les y cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459

Euler, recta de Es la recta que pasa por circun-centro, baricentro y el ortocentro de untriangulo.

Evaluar Calcular el valor numerico de unaexpresion para un (o varios) valor(es)dado(s) de su(s) variable(s).

Evento En un experimento aleatorio, unevento es un conjunto de resultados posi-bles; en otras palabras, un evento es unsubconjunto del espacio muestral.Vea la definicion de Espacio muestral.

Eventos dependientes Dos eventos son de-pendientes cuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.

Eventos independientes Dos eventos son in-dependientes cuando el resultado de unono afecta el resultado del otro.Cuando dos eventos son independientes,se cumple cualquiera de las siguientestres condiciones:

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)P(A ∩ B) = P(A) · P(B)


58

E

Eventos mutuamente excluyentes–Exponente

En palabras, la primera ecuacion nos diceque la probabilidad de que ocurra elevento A no depende del evento B; la se-gunda ecuacion indica que la probabili-dad de que ocurra el evento B no dependedel evento A y la tercera nos dice que laprobabilidad de que ocurran los eventosA y B juntos es igual al producto de lasprobabilidades de que ocurra cada eventopor separado.Si al menos una de las tres condiciones(ecuaciones) no se cumple, decimos quelos eventos son dependientes.

Eventos mutuamente excluyentes Dos even-tos A y B son mutuamente excluyentessi el hecho de que ocurra uno hace im-posible la ocurrencia del otro. En otraspalabras, si la ocurrencia simultanea deambos eventos es imposible, los eventosson mutuamente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la variablealeatoria X que consiste en el resultadode un volado (aguila, sol), A correspondeal evento cayo sol y B al evento cayo aguila,entonces los eventos A y B son mutua-mente excluyentes, porque no podemostener en un solo experimento ambos re-sultados: o cae aguila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentes nonecesariamente abarcan todo el espaciomuestral.

Exactitud Se refiere a la aproximacion que sehace de un valor.

Excentricidad La excentricidad e de unaconica se define a partir de los parame-tros a, b y c que la determinan de maneraunica, y es igual a:

e =ca

La excentricidad varıa de acuerdo a cadaconica:

3 Parabola: e = 1

3 Elipse: e < 1

3 Hiperbola: e > 1

La excentricidad no esta definida en lacircunferencia.

Exhaucion, metodo de Metodo utilizado parael calculo del area de una figura, constru-yendo polıgonos en esta y calculando lasuma de las areas de estos.

Existencia, axioma de Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatematicos.

Experimento En estadıstica, un experimentoes el proceso que se lleva a cabo con elfin de obtener un dato para formar unacoleccion de estos y a partir de ella haceranalisis estadısticos para conocer algunacaracterıstica de la poblacion de la cual seextrajo esta informacion.

Exponencial, crecimiento Proceso que semodela con una ecuacion del tipo:

y = Mert

donde M y r son constantes positivas, ees el numero de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos lımites, el crecimientode una poblacion presenta crecimientoexponencial.

Exponencial, decaimiento Proceso que semodela con una ecuacion del tipo:

y = Me−rt

donde M y r son constantes positivas, ees el numero de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta de-caimiento exponencial.

Exponente Es el numero que indica cuantasveces se multiplicara la base.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸

5 factores

= 32


Expresion algebraica–Extrapolacion

E

59

Expresion algebraica Una expresionalgebraica es una combinacion desımbolos matematicos (literales, numeros,operaciones, etc.) que tenga sentido.Por ejemplo,

3

√7 x2 − 10

π

es una expresion algebraica.

Expresion racional Una expresion racional esuna fraccion en donde el numerador y eldenominador son expresiones algebraicassiendo el denominador distinta de cero.La siguiente es una expresion racional:

a x2 + b x + cx3 − 1

Extrapolacion Estimacion de una variabledependiente para valores (de la variabledependiente) que estan localizados fueradel conjunto de observaciones.Por ejemplo, suponga que conocemoslos valores de la presion para temper-aturas entre 0°C y 100°C; si deseamoshacer una estimacion de la presion para110°C, entonces usaremos un metodo deextrapolacion, porque 110°C no esta den-tro del intervalo de observaciones de latemperatura.


60

E

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

FEfrain Soto Apolinar

Factor Numero o expresion algebraica que seesta multiplicando.Por ejemplo, en la expresion:

2 x y2

hay tres factores: y2, x, y 2.

Factor primo Un numero primo p es factorprimo de N, si N es divisible entre p.Por ejemplo, 5 es un factor primo de 30,porque 30 es divisible entre 5.

Factorial El factorial del numero natural n,que se denota como: n!, se define comoel producto de todos los numeros natura-les desde 1 hasta n:

n! = (1)(2)(3) · · · (n)

Por ejemplo, el factorial de 4 es:

4! = (1)(2)(3)(4) = 24

El factorial del numero cero es 1.

Factorizacion Proceso de escribir un numeroo una expresion algebraica en forma deproducto de factores.Por ejemplo,

x2 + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Los casos de factorizacion que masfrecuentemente se encuentran en elalgebra son:

3 Diferencia de cuadrados:

x2 − y2 = (x + y)(x− y)

3 Trinomio cuadrado perfecto:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

3 Polinomio cubico perfecto:

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3

3 Trinomio cuadrado no perfecto:

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Familia de curvas Conjunto de curvas quetienen un mismo patron de construcciono que se obtienen al variar un parametrode su ecuacion.

Fibonacci, sucesion de La sucesion:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cadatermino se obtiene como la suma de losdos terminos anteriores se conoce comola sucesion de Fibonacci.

Figura Forma geometrica (dibujo, grafico,etc.), que sirve para representar un con-cepto abstracto de las matematicas.Cuando la figura esta dibujada sobre unplano, decimos que se trata de una figuraplana.Si la figura tiene volumen, decimos quees una figura en tres dimensiones o tridi-mensional.

62

F

Finito–Fraccion algebraica

Finito Expresion que indica que algo tienefin o lımites de manera que se puedendeterminar sus dimensiones o el numerode sus elementos a traves de mediciones,conteo u otro similar.Es lo contrario de infinito.

Focal, radio Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una conica ysu punto final en algun punto cualquierade la misma.

x

y

FF′

P(x, y)Radio focal

O

Foco En una conica, el foco es el punto quese tomo como referencia para hacer medi-ciones. Para saber cuales son las conicasvea la definicion de Conica.

Forma ordinaria La ecuacion de una conica ensu forma ordinaria se refiere a la ecuacionde esa conica de manera factorizada.Algunos autores le llaman forma base a laforma ordinaria de una ecuacion.

Forma general La ecuacion de una conica ensu forma ordinaria se refiere a la ecuacionde la forma:

A x2 + B y2 + C xy + D x + E y + F = 0

Cuando los ejes de la conica son paralelosa los ejes coordenados C = 0, y el terminoC xy, no aparece en la forma general.

Formula Igualdad que sirve para calcular unvalor a partir de otros valores conocidos.Por ejemplo, la formula general paracalcular las raıces de una ecuacion desegundo grado: a x2 + b x + c = 0, es:

x =−b±

√b2 − 4 ac

2a

Y la formula para calcular el numero dediagonales D que se pueden dibujar a unpolıgono regular de n lados es:

D =n (n− 3)

2

Formula de Euler (Analisis) La formula:

eiθ = cos θ + i sin θ

se conoce como la formula de Euler.(Geometrıa) En un poliedro simple, si Ves el numero de vertices, A es el numerode aristas y C es el numero de caras, secumple:

V + C− A = 2

Esta relacion tambien se conoce como laformula de Euler.Nota: Euler se pronuncia oiler.

Formula general La formula general para re-solver ecuaciones de segundo grado es:

x =−b±

√b2 − 4 ac

2adonde a, b y c son los coeficientes de laecuacion cuadratica: ax2 + bx + c = 0.

Fraccion Representacion de una division atraves de la siguiente notacion:

r =ab

donde a es el dividendo, llamadonumerador en la fraccion, b es el divisor,llamado denominador en la fraccion y res el cociente.Debido a que la division entre cero noesta permitida, en la fraccion no tiene sen-tido definir: b = 0.A las fracciones tambien se les llamafraccion comun o fraccion simple.

Fraccion algebraica Fraccion en la cual almenos uno de los elementos de la fraccion(numerador o denominador) es una ex-presion algebraica.Por ejemplo,

x + 2x2 − 1


Fraccion equivalente–Frecuencia absoluta

F

63

Fraccion equivalente se dice que dos fraccio-nes son equivalentes si tienen exacta-mente el mismo valor.Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 6/9 sonequivalentes.

Fraccion impropia Cuando el numerador deuna fraccion es mayor al denominador dela misma, decimos que la fraccion es im-propia.En otras palabras, si el cociente r de lafraccion es mayor a 1, entonces la fracciones impropia.Por ejemplo, 9/4 es una fraccion im-propia porque 9 > 4.

Fraccion irreducible Aquella fraccion quecumple que sus elementos (numera-dor y denominador) no tienen factorescomunes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fraccion son primosrelativos cuando la fraccion es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fraccion irreduci-ble.

Fraccion mixta Numero que se escribe conuna parte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.

Fraccion propia Cuando el numerador de unafraccion es menor al denominador de lamisma, decimos que la fraccion es propia.En otras palabras, si el cociente r de lafraccion es menor a 1, entonces la fracciones propia.Por ejemplo, 2/7 es una fraccion propiaporque 2 < 7.

Fraccion reducible Aquella fraccion quecumple que sus elementos (numeradory denominador) tienen factores comunes.En otras palabras, si es posible encontraruna fraccion equivalente con el numera-dor y el denominador menores a los de lafraccion dada, la fraccion es reducible.Por ejemplo,

69=

2× 33× 3

=23

Fraccion simple Aquella fraccion que no tieneuna parte entera en su escritura.

Fracion unitaria Una fraccion es unitaria si sunumerador es 1 y su denominador es unnumero entero positivo.Por ejemplo, 1/7, es una fraccion unitaria.

Fractal Curva irregular que tiene la propiedadque cuando se elige una parte de ella,siempre es posible encontrar una parteidentica en la misma curva, bien mag-nificandola, bien reduciendola en escala.La siguiente figura muestra una pequenaparte de un fractal que se conoce como elhelado de Koch:

El fractal se obtiene al aplicar la operacionmostrada a cada segmento de recta, unacantidad infinita de veces.

Frecuencia (Analisis) Numero de veces queuna funcion periodica repite una sucesionde valores para un intervalo dado.(Estadıstica) Numero de veces queaparece un valor en un intervalo dado enuna una tabla de datos. A esta definicionde frecuencia se le conoce tambien comofrecuencia absoluta. Con las frecuenciasabsoluta de los diferentes intervalos delos datos se elabora la tabla de frecuen-cias.

Frecuencia absoluta Numero de veces queaparece un valor en un intervalo dado enuna una tabla de datos.


64

F

Frecuencia relativa–Funcion compuesta

Frecuencia relativa Para cada una clases, lafrecuencia relativa se calcula dividiendola frecuencia absoluta entre el numero to-tal de datos (tamano de la muestra).La suma de todas las frecuencias relativasde una tabla de frecuencias es igual a 1.La frecuencia relativa representa lafraccion del total de datos que esta en esaclase en particular.

Funcion Relacion entre dos conjuntos, llama-dos el dominio y el contradominio, de talmanera que a cada elemento del dominiole corresponde a lo mas un elemento delcontradominio.Una funcion puede verse como unamaquina que transforma a los numerosque le vamos dando, de manera que nosdevuelve un numero cada vez que ledamos un valor.

xX

f (x)Yf

Funcion




El conjunto X formado por todos losvalores que nosotros le damos a lafuncion, para los cuales nos devuelve unvalor, es su dominio, denotado por D f . Elconjunto Y formado por todos los valoresque la funcion nos devuelve es el contra-dominio de la misma.Por ejemplo, para la funcion y =

√x,

su dominio es el conjunto X = x|x ≥0, pues solamente podemos calcular raızcuadrada de numeros no negativos.El contradominio de esta funcion es: Y =y|y ≥ 0, pues el resultado de calcularla raız cuadrada de un numero siemprees un numero no negativo.En este caso, se dice que y es la variabledependiente, porque sus valores depen-den del valor que le demos a la variablex. Se dice que x es la variable indepen-diente de la funcion. Decimos que y esta

en funcion de x, y matematicamente loescribimos como: y = f (x). El conceptode funcion es uno de los mas importantesen matematicas.De manera informal, podemos decir queuna funcion es la relacion que existe entredos cantidades variables.Vea la definicion de Relacion funcional.

Funcion acotada Funcion que nunca tomavalores mayores a un valor M especıfico.Por ejemplo, la funcion: y = 1/(x2 + 1) esacotada, pues los valores de y nunca sonmayores a 1.

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1 y =1

x2 + 1

Funcion algebraica Es una funcion que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, division, multiplicacion) depolinomios.Por ejemplo, la funcion:

y =x + 1x + 2

− (x− 3)2

x− 5+ 4 x3 + 7

es algebraica.

Funcion biyectiva Una funcion es biyectiva sies inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva(sobre) a la vez.

Funcion cero La funcion cero se define como:f (x) = 0 para toda x ∈ R. Su dominio esel conjunto de todos los numeros reales ysu contradominio es el conjunto 0.De manera informal, cuando le damosun valor real a la funcion cero, esta nosdevuelve siempre 0.

Funcion compuesta Dadas las funciones: y =f (x) y y = g(x), la composicion de f en g,denotado por f g significa sustituir g(x)en la funcion y = f (x):

f g = f (g(x))


Funcion continua–Funcion decreciente

F

65

Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, yg(x) = 2 x− 3, entonces,

f g = f (g(x))= (2 x− 3)2

= 4 x2 − 12 x + 9

Funcion continua Se dice que una funcion fes continua en un intervalo dado [a, b]si toma todos los valores entre f (a) yf (b) y se puede dibujar en ese intervalosin despegar la punta del lapiz del papelsobre el cual se le dibuja.En la siguiente figura, la funcion y = f (x)es continua en el intervalo [a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

f (b)

f (a)

Funcion creciente Decimos que una funcion fes creciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que esten en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la funcion y = x2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Crecie

nte

x0 0.5 1 1.5

f (x)

1

2

y = x2

Al ver la grafica de una funcion, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala grafica de la funcion va hacia arriba.

Funcion cuadratica Una funcion de la forma:y = a x2 + b x + c, donde a , 0.La grafica de una ecuacion cuadratica esuna parabola vertical.Vea la definicion de Ecuacion de laparabola.

Funcion cubica Una funcion de la forma:

y = a x3 + b x2 + c x + d

donde a , 0.La siguiente grafica corresponde a la deuna funcion cubica:

x−3 −2 −1 0 1 2

y

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 y = x3

Funcion decreciente Decimos que unafuncion f es decreciente en un intervalo[a, b] si para cualesquiera valores u, v queesten en ese intervalo y que cumplan con:u ≤ v, se cumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la funcion y = 2 − x2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):


66

F

Funcion discontinua–Funcion inversa

Decreciente

x0 0.5 1

f (x)

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiense cumple que: 0.5 ≤ 1.0.

Funcion discontinua Se dice que una funciones discontinua cuando no es continua.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna funcion discontinua en el intervalo[a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

La funcion no es continua porque no se lepuede dibujar sin despegar la punta dellapiz del papel sobre el cual se le dibuja.

Funcion exponencial Funcion de la forma:

y = a (b)rx

La siguiente funcion es exponencial:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8y = 2x

Funcion impar Funcion que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una funcion impar essimetrica respecto del origen.Por ejemplo, la funcion y = x3 es impar(Vea la figura dada en la definicion deFuncion cubica).

Funcion inversa Sea f una funcion condominio X f y contradominio Y f . Si existeuna funcion g con dominio Xg y contra-dominio Yg tal que:

i. f (g(x)) = x para toda x ∈ Xg

ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X f

entonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f−1 denota la funcion inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x3, entonces,f−1(x) = 3

√x.

Geometricamente, la funcion f (x) y su in-versa f−1(x) son la reflexion una de laotra respecto de la recta y = x.


Funcion inyectiva–Funcion polinomial

F

67

x−2 −1 1 2 3

y

−2

−1

1

2

3

f (x)

=x3

f−1 (x) =3√ x

y =x

Funcion inyectiva Una funcion es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la funcion y = f (x), si a , b,entonces, f (a) , f (b).A las funciones inyectivas tambien se lesconoce como funciones uno a uno.

Funcion irracional Funcion en la queaparece una expresion algebraica comoargumento de un radical.Por ejemplo, la funcion: y =

√x es

irracional.

Funcion lineal Funcion que puede reducirse ala forma:

y = m x + b

La grafica de una funcion lineal es unalınea recta.

Funcion par Funcion que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la funcion: y = x2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x2

Funcion periodica Si existe un valor k tal quepara todo x que este en el dominio de lafuncion f se cumpla: f (x) = f (x + k),entonces decimos que la funcion es perio-dica.El periodo de una funcion periodica f esel mınimo valor k que cumple: f (x) =f (x + k).Por ejemplo, la funcion seno es periodica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la funcion seno es 2π.

Funcion polinomial La funcion polinomial degrado n es una funcion de la forma:

y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·+ an xn

donde a0, a1, a2, a3, · · · , an, son numerosreales, y an , 0.El dominio de toda funcion polinomial esel conjunto de los numeros reales (R).el rango (contradominio) de la funcionpolinomial de grado n impar es R. Paradeterminar el rango de la funcion poli-nomial de grado n par con frecuencia serequiere graficarla.


68

F

Funcion racional–Funcion trigonometrica

Funcion racional Funcion de la forma:

y =Pm(x)Qn(x)

donde Pm(x) y Qn(x) son polinomios degrado m y n respectivamente.Por ejemplo,

y =1 + x + 2 x2 + 3 x3

1− x4

En este ejemplo, P3(x) = 1 + x + 2 x2 +3 x3, y Q4(x) = 1− x4.

Funcion simetrica Una funcion puede sersimetrica respecto al eje y si al sustituir−x en lugar de x y al simplificar obtene-mos la misma ecuacion.Por ejemplo, la parabola vertical convertice en el origen: y = x2 es simetricarespecto al eje y.Una funcion puede ser simetrica respectoal origen si cumple: f (−x) = − f (x). Esdecir, si es impar.Por ejemplo, la funcion: y = x3 essimetrica respecto del origen.

Funcion sobreyectiva Una funcion es so-breyectiva cuando a cada elemento de sucontradominio le corresponde a lo menosun elemento de su dominio.A una funcion sobreyectiva tambien se leconoce como funcion sobre.

Funcion trigonometrica Son las funciones:

3 seno (sin)

3 coseno (cos)

3 tangente (tan)

3 secante (sec)

3 cosecante (csc)

3 cotangente (cot)

Las funciones trigonometricas inversasson:

3 arcoseno (arcsin)

3 arcocoseno (arccos)

3 arcotangente (arctan)


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

GEfrain Soto Apolinar

Galon Unidad de volumen usada en elsistema Ingles, equivalente a 3.785 litrosen EE.UU. y 4.546 litros en Inglaterra.

Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matematicoaleman. Considerado como el ultimomatematico que supo todo de lasmatematicas que se conocıa hasta suepoca y los nuevos descubrimientos erandesarrollados principalmente por el.Resolvio problemas que se creıanirresolubles como la construccion (conregla y compas) del polıgono regular de17 lados, que no se habıa podıdo resolveren mas de 2 000 anos.

Gauss, campana de La campana de Gausses la forma que tiene una distribucionnormal.

x

y

µ

La distribucion normal estandar tienemedia cero y varianza 1.

Gauss, metodo de Metodo para resolver siste-mas de ecuaciones, tambien conocidocomo el metodo de eliminacion o elmetodo de suma y resta.Gauss ideo este metodo basandose en lassiguientes propiedades de la igualdad:

3 Si a = b, y c = d, entonces, a± c =b± d.

3 Si a = b, entonces, a · k = b · k.

La idea del metodo es reducir el sistemade ecuaciones eliminando variables hastaobtener un sistema de una ecuacioncon una incognita y a partir de estevalor calcular los valores de las demasincognitas.

Generalizar Derivacion de una afirmacion deun caso particular a todos los casos quesea aplicable.Por ejemplo, al sumar 1 + 2 + 3 + · · · +100, se puede encontrar que la suma sepuede calcular por medio de:

1 + 2 + 3 + · · ·+ 100 =(100)(101)

2

Al generalizar, se reconoce que:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

La generalizacion debe justificarse demanera irrefutable para que sea valida.

Generatriz Un punto, lınea o superficie cuyomovimiento genera una curva, superficieo solido.

Geometrıa Rama de las matematicas que seencarga del estudio de las propiedades delos puntos, las lıneas, angulos, superficiesy solidos.

70

G

Geometrıa Analıtica–Griego, alfabeto

Geometrıa Analıtica Geometrıa que utiliza unsistema de coordenadas cartesianas paraidentificar de manera unica puntos en elespacio estudiado.

Geometrıa plana Geometrıa que estudia obje-tos en el plano: puntos, rectas, triangulos,cuadrilateros, etc.

Geometrıa solida Geometrıa que estudia losobjetos en tres dimensiones, como lospoliedros.

Geoplano Tablero cuadrado que contieneclavos en los vertices de una cuadrıculadibujada sobre el tablero.Con auxilio de los clavos y ligas o estam-bre se pueden hacer trazos y ası estudiaralgunos temas de geometrıa.

Geoplano

Giga- Prefijo que denota 109. Por ejemplo, unGigalitro equivale a mil millones de litros,esto es, 1 GL = 109 L.

Googol Numero natural que se escribe conun 1 seguido de cien ceros. Es decir, unGoogol es igual a 10100.

Grado Centıgrado Unidad de temperaturaigual a una centesima parte de la diferen-cia de temperaturas entre la solidificaciony fusion del agua a presion de 1 atm.El grado centıgrado se denota por C.

Grado Fahrenheit Unidad de temperatura enla cual 32 corresponden a la temperaturaa la cual el agua se congela y 212 el aguase convierte en vapor a una presion de 1atm.El grado Fahrenheit se denota por F.

Grado sexagesimal Unidad de medida deangulo equivalente a 1/360 parte de lavuelta completa.Un grado sexagesimal se denota con el

sımbolo: , y generalmente se le llama di-ciendo solamente grado.

Grado de una ecuacion El grado de unaecuacion polinomial es el mayorexponente al cual aparece elevada suincognita.

Grado de un polinomio Exponente de mayorvalor que tiene la variable del polinomio.Por ejemplo, el polinomio:

1 + 2 x2 − 4 x3 + 7 x8 − x13

es de grado 13.

Grafica La grafica de una ecuacion o de unafuncion es el conjunto de todos los puntosdel plano que la satisfacen.Un diagrama que representa el comporta-miento de una variable dependienterespecto de otra variable independiente.La siguiente grafica corresponde a lafuncion: y =

√x

x

y

1 2 3 40

1

2y =√

x

Frecuentemente se utiliza la palabradiagrama como sinonimo de la palabragrafica.

Grafica circular Sinonimo de diagrama desectores.Vea la definicion de Diagrama de sectores.

Gramo Unidad de masa del Sistema Interna-cional de Unidadess.Vea la definicion de Sistema Internacionalde unidades.

Griego, alfabeto El alfabeto griego es elsiguiente:


Griego, alfabeto

G

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Mayuscula Minuscula Nombre

A α AlphaB β BetaΓ γ Gama∆ δ DeltaE ε EpsilonZ ζ ZetaH η EtaΘ θ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ MuN ν NuΞ ξ XiO o OmicronΠ π PiP ρ RhoΣ σ SigmaT τ TauΥ υ UpsilonΦ φ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

Algunas letras griegas aparecen enalgunos libros con diferente estilo ti-pografico, por ejemplo: ϕ (phi), ε (ep-silon), v (pi), ϑ (theta), $ (rho) y ς(sigma).


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HEfrain Soto Apolinar

Hardware Parte fısica de un equipo decomputo.Por ejemplo, el teclado, raton, impresora,pantalla, etc., forman el hardware de unequipo de computo.La parte no fısica, es decir, los progra-mas y la informacion contenida en lacomputadora, se denomina software.

Hectarea Unidad de area equivalente a uncuadrado de cien metros de lado.El sımbolo utilizado para la hectarea es hay es igual a 10 000 metros cuadrados.

100 m

100 m 1 ha

Hecto- Prefijo que indica cien. Se abrevia conla letra h (minuscula).Por ejemplo, un hectometro es igual a cienmetros.

Hepta- Prefijo que significa siete.Por ejemplo, un heptagono tiene sietelados.

Heptagono Polıgono de 7 lados y 7 angulos.

Heptagono

El heptagono mostrado en la figuraanterior tiene sus 7 lados y sus 7angulos iguales, es decir, es un heptagonoregular.

Hexa- Prefijo que significa seis.Por ejemplo, un hexagono tiene seislados.

Hexaedro Solido geometrico formado por seiscaras cuadrilateras.El cubo es un hexaedro.

Cubo

Otro ejemplo de hexaedro es el Paralele-pıpedo.

Hexagono Polıgono de 6 lados y 6 angulos.

74

H

Hiperbola–Hiperbolica, tangente

Hexagono

El hexagono mostrado en la figuraanterior tiene sus 6 lados y sus 6 angulosiguales, es decir, es un hexagono regular.

Hiperbola Conjunto de puntos del plano quesatisfacen que la diferencia de sus distan-cias a dos puntos fijos del plano llamadosfocos es una constante 2 a menor que ladistancia entre los focos. La ecuacion dela hiperbola horizontal con centro en elpunto C(h, k), longitud del eje transverso2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es:

(x− h)2

a2 − (y− k)2

b2 = 1

La ecuacion de la hiperbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:

− (x− h)2

b2 +(y− k)2

a2 = 1

La siguiente figura corresponde a la deuna hiperbola horizontal:

x

y

FF′

P(x, y)

2 a

aa

La distancia del centro de la hiperbola acualquiera de los focos es c, y la relacionentre a, b y c es:

c2 = a2 + b2

Hiperbola de Fermat La grafica de unafuncion del tipo y = xn, donde n esun numero entero negativo, se llamahiperbola de Fermat.

Hiperbolico, coseno La funcion cosenohiperbolico del numero x se denota por:cosh x y esta definida por:

cosh x =ex + e−x

2

Hiperbolico, seno La funcion senohiperbolico del numero x se denota por:sinh x y esta definida por:

sinh x =ex − e−x

2

Hiperbolica, tangente La funcion tangentehiperbolica del numero x se denota por:tanh x y esta definida por:

tanh x =ex − e−x

ex + e−x


Hipotenusa–Hora

H

75

Hipotenusa En un triangulo rectangulo, lahipotenusa es el lado opuesto al angulorecto.

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

La hipotenusa siempre es el lado masgrande de un triangulo rectangulo.

Hipotesis Suposicion hecha para resolver unproblema.

Histograma Representacion grafica de ladistribucion de datos de una muestra opoblacion.Para dibujar un histograma se acostum-bra primero generar una tabla con losdatos.Por ejemplo, supongamos que las fraccio-nes de la poblacion en los siguien-tes rangos de edades de un pueblo sereparten como sigue:

Rango Cantidad Fraccion

0 – 10 250 0.03310 – 20 1 200 0.16020 – 30 2 500 0.33330 – 40 1 225 0.16340 – 50 850 0.11350 – 60 750 0.10060 – 70 425 0.05770 – 80 250 0.03380 – 90 37 0.005

90 – 100 13 0.002

Y a partir de estos datos generamosel histograma dibujando una barra paracada intervalo con una altura propor-cional a su valor de frecuencia en la tabla.

0 20 40 60 80 100

0

1,000

2,000

Edad

Hora Una hora equivale a 60 minutos y esigual a 1/24 de la duracion del dıa. Esdecir, un dıa tiene 24 horas.


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IEfrain Soto Apolinar

Icosaedro Solido regular cuyas caras sonveinte triangulos equilateros:

Icosagono Polıgono de 20 lados.El siguiente polıgono es un icosagonoregular:

Identidad Es una igualdad que se cumplepara cualesquiera valores de las variablesque contiene.Por ejemplo, las siguientes igualdadesson identidades:

(x + y)2 = x2 + y2 + 2 xy1 = sin2 x + cos2 x

Identidades pitagoricas Identidades trigonometricasque se obtuvieron usando el teorema dePitagoras:

sin2 α + cos2 α = 1tan2 α + 1 = sec2 α

cot2 α + 1 = csc2 α

Igual (Algebra) Decimos que dos cantidadeso dos expresiones algebraicas son igualescuando tienen el mismo valor. Para indi-carlo se utiliza el sımbolo = entre ambascantidades. Por ejemplo, 5 = 2 + 3.(Geometrıa) Dos figuras geometricas soniguales si una puede superponerse en laotra de manera que ambas coincidan entodos sus puntos.(Teorıa de conjuntos) Dos conjuntos soniguales si tienen los mismos elementosexactamente.

Igualdad Relacion definida para dos cantida-des que indica que ambas tienen el mismovalor.La relacion de igualdad se expresa con elsımbolo =.Las propiedades de la igualdad son lassiguientes:

3 a = a (reflexiva)

3 Si a = b, entonces b = a (simetrica)

3 Si a = b y b = c entonces a = c (tran-sitiva)

78

I

Imagen–Incognita

Otras propiedades utiles de la igualdadson:

3 Si a = b, entonces a + k = b + k

3 Si a = b, entonces a− k = b− k

3 Si a = b, entonces a · k = b · k

3 Si a = b, entoncesak=

bk

; (k , 0)

3 Si a = b, entonces ak = bk

Imagen Dada una funcion f , la imagen delvalor k bajo esa funcion, es el resultadode evaluar la funcion en el valor k.Por ejemplo, si la funcion es: y = x2, yk = 3, entonces, la imagen de 3 bajo lafuncion y = x2 es 9:

y = (3)2 = 9

Observa que la imagen corresponde a unsolo valor del dominio. A menos queel dominio de la funcion tenga un soloelemento, el rango (o contradominio) dela funcion no sera igual a la imagen deun valor (que este en el dominio de lafuncion considerada).

Imaginario, numero Numero que esta multi-plicado por la unidad imaginaria.Por ejemplo, el numero 2 i es un numeroimaginario.La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i, es el numero que tienela propiedad de que cuando se multi-plica por sı mismo obtenemos −1 comoresultado. Es decir, i2 = −1.Los numeros complejos se llamannumeros imaginarios puros cuando suparte real es cero.

Impar, numero Numero que al dividir entredos obtenemos como residuo 1.Los primeros numeros impares son: 1, 3,5, 7 y 9.

Impar, funcion Funcion que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una funcion impar essimetrica respecto del origen.

Por ejemplo, la funcion y = x3 es impar(Vea la figura dada en la definicion deFuncion cubica).

Implicacion Dadas dos afirmaciones A y B,decimos que A implica B, si al ser ver-dadera A, necesariamente B tambien debeser verdadera.Por ejemplo, considerando que p y q sonnumeros enteros, sea A = el producto de ppor q es cero, y B = bien, p es cero, bien q escero, o quizas ambos sean cero, En este casoA implica B. Esto se denota por A⇒ B.

Incentro Es el punto donde se intersectan lastres bisectrices de un triangulo.

Incentro

Inclinacion La inclinacion de una lınea rectaen el plano es la medida del angulo quela grafica de la ecuacion de la lınea rectaforma con el sentido positivo del eje x.

α x

y

y =m

x+b

La inclinacion α de la recta cuya ecuaciones: y = m x + b, puede calcularse con:α = arctan(m).

Incognita Sımbolo literal cuyo valor sedesconoce. Las variables generalmente


Inconmensurable–Integracion

I

79

se denotan usando las ultimas letrasdel alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc., mientrasque las constantes se denotan con lasprimeras: a, b, c, etc.

Inconmensurable Decimos que dos numerosa, b son inconmensurables si no son con-mensurables.Vea la definicion de conmensurable.

Independiente, variable La variable indepen-diente de una funcion es el valor quenosotros le damos para calcular la varia-ble dependiente. Generalmente la varia-ble independiente de una funcion sedenota con la literal x.Por ejemplo, en la funcion y = x2,la variable independiente es x, puesnosotros asignamos el valor que estavariable tomara.

Induccion matematica Metodo de de-mostracion en el cual se prueba una conje-tura que depende de un numero entero k.La demostracion se elabora, primero parak = 1, luego se supone que la conjeturaes verdadera para k = n y se prueba quepara k = n + 1 tambien se cumple. Asıse demuestra que la conjetura se cumplepara todos los numeros naturales.Vea la definicion de Principio de induccionmatematica.

Inecuacion Sinonimo de desigualdad.

Inercia Tendencia de un cuerpo de mantenersu estado de movimiento.

Inferencia Proceso que permite alcanzar unaconclusion a partir de premisas. Una in-ferencia puede ser deductiva o inductiva.

infinitesimal Un infinitesimal o un in-finitesimo, es una cantidad infinitamentepequena.Puedes construir un infinitesimal con-siderando el intervalo (0, 1) en el eje real.Divide este intervalo en n partes iguales.Cuando el valor de n es finito, cada unode los subintervalos tiene una longitud

finita. Pero si dividimos el intervalo enun numero infinito de particiones, cadaintervalo tiene una longitud infinitamentepequena, es decir, infinitesimal.

infinito Expresion que indica que algo notiene fin. Se denota con el sımbolo ∞.Tambien puede indicar que no tiene fron-teras.

Infimo La cantidad mas grande que esmenor o igual que las cantidades de otroconjunto.Lo opuesto de ınfimo es supremo.

Inscrito, angulo Angulo que tiene su verticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.

α

Inscrito, polıgono Se dice que un polıgono esinscrito cuando todos sus lados son cuer-das de una misma circunferencia.

Hexagono inscrito

Integracion La integracion de una funcionf (x) consiste en encontrar una funciondiferenciable y = F(x) que cumpla:F′(x) = f (x) para toda x en el dominiode f .


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I

Integracion numerica–Interpolacion

Integracion numerica Procedimiento de inte-gracion en los que se aproxima el valorde una integral definida por medio demetodos iterativos.Vea la definicion de Iteracion.

Integral En Calculo, una integral es elresultado de la integracion de unafuncion.El sımbolo de integral es:

∫, y la ex-

presion:∫

f (x)dx = F(x) + C

se lee: La integral de la funcion f (x) respectode x es igual a la funcion F(x) mas unaconstante.La funcion f (x) se llama integrando, dxindica que se va a integrar la funcionrespecto de la variable x, F(x) + C es elresultado de la integracion.Observa que la integral de una funcion esuna familia de funciones.Algunos autores llaman a la integralcomo antiderivada, o primitiva de lafuncion y = f (x).Vea la definicion de antiderivada.

Integral definida La integral definida de unafuncion y = f (x) es un escalar, definidopor:

b∫

a

f (x)dx = F(b)− F(a)

donde, a y b son los lımites de inte-gracion, y y = F(x) es una primitiva dey = f (x).Geometricamente, la integral definida,cuando y = f (x) es positiva en el inter-valo (a, b) representa el area debajo de lagrafica de y = f (x) y sobre el eje x desdex = a hasta x = b.Formalmente, la integral definida sedefine por el lımite:

b∫

a

f (x)dx = limn→∞

n

∑i=0

f (xi)

(b− a

n

)

Interes Renta que se cobra por el uso deldinero ajeno. El interes pagado se denotacon la literal I.

Interes compuesto Interes que se calcula cadaintervalo de tiempo convenido (mensual,trimestral, semestreal, anual, etc.) dondeel interes que se genero en el ultimo inter-valo de tiempo formara parte del capitalpara el calculo del interes del siguientemes.Si n es el numero de intervalos de tiempoque se uso el dinero, i es la tasa de in-teres y C es el capital inicial, el interes Ise calcula con la formula:

I = M− C= C [(1 + i)n − 1]

Y el monto M a pagar es:

M = C (1 + i)n

Interes simple Interes que se calcula a partirdel capital inicial.Si n es el numero de intervalos de tiempoque se uso el dinero, i es la tasa de in-teres y C es el capital inicial, el interes Ise calcula con la formula:

I = niC

Y el monto M a pagar en ese mismoperido es:

M = C (1 + ni)

Interpolacion Estimar el valor de una funcionf entre dos valores P(xp, yp) y Q(xq, yq)que se conocen.La formula para interpolar un valor yr,dada su abscisa xr es:

yr =

(yp − yq

xp − xq

)(xr − xp) + yp

Geometricamente, la interpolacionconsiste en una aproximacion lineal a la


Interseccion–Intervalo cerrado

I

81

funcion f .En realidad estamos encontrando elpunto sobre la recta que pasa por lospuntos dados P(xp, yp) y Q(xq, yq) yevaluamos esta en x = xr para calcularyr.Si los valores estan suficientemente cerca,y la grafica de la funcion es continua ysuave, es decir, si no cambia de direccionbruscamente, la estimacion generalmentesera bastante buena.Mientras los valores de xp y xq esten mascercanos, la estimacion sera mejor.La siguiente figura muestra la inter-pretacion geometrica de la interpolacion:

x

y

y = f (x)

xqxp

yq

yp

xr

yr

Interseccion (Geometrıa) Conjunto de puntosdonde se intersectan dos cuerpos o fig-uras geometricas. Por ejemplo, dos rec-tas no paralelas se intersectan en un solopunto. Dos planos no paralelos se cortanen una recta.(Teorıa de conjuntos) La interseccion dedos conjuntos es el conjunto que contienea todos los elementos que pertenecen alos conjuntos simultaneamente.Por ejemplo, considerando los conjuntos:

A = 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9B = 2, 3, 5, 7

Su interseccion es: A∩B = 2, 3, 5.

Intervalo Subconjunto de los numeros realescon extremos en a y b. Es decir, un inter-valo es el conjunto que satisface:

x | a < x < b

donde a < b.Geometricamente, el intervalo se puederepresentar en una recta numerica.Por ejemplo, la siguiente figura muestrael intervalo (2, 4) con extremos en 2 y 4:

x−1 0 1 2 3 4 5

(2, 4)

El intervalo es abierto si los valores a yb no estan incluidos y se denota como:(a, b).Si tanto a como b estan incluidos en elintervalo, este es cerrado y se denota por:[a, b].Cuando se incluye solamente a, el inter-valo se denota por: [a, b), y cuando besta incluido y a no lo esta, la forma deescribirlo es: (a, b].Geometricamente el intervalo abierto sedenota con cırculos vacıos (sin relleno)en sus extremos. Cuando un extremo seincluye en el intervalo el cırculo que lerepresenta se rellena.En la siguiente figura se muestra un inter-valo cerrado, es decir, que incluye a am-bos extremos:

x−1 0 1 2 3 4 5

[2, 4]

Intervalo abierto Intervalo que no incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son los puntos a y b, sedenota por (a, b).Geometricamente, el intervalo abierto(a, b) se indica como muestra la siguientefigura:

xa bO

Intervalo cerrado Intervalo que sı incluye susvalores extremos. Si los extremos del


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I

Inversa, funcion–Isosceles

intervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geometricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:

xa bO

Inversa, funcion Sea f una funcion condominio X f y contradominio Y f . Si existeuna funcion g con dominio Xg y contra-dominio Yg tal que:

i. f (g(x)) = x para toda x ∈ Xg

ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X f

entonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f−1 denota la funcion inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x2, entonces,f−1(x) =

√x.

Inverso Operacion que cancela una operacionprevia.Por ejemplo la operacion inversa de lasuma es la resta y la operacion inversa dela multiplicacion es la division.En aritmetica, frecuentemente se dice: elinverso de este numero, cuando deberıa de-cirse: el recıproco de este numero. Vea ladefinicion de Recıproco.

Inyectiva, funcion Una funcion es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la funcion y = f (x), si a , b,entonces, f (a) , f (b).A las funciones inyectivas tambien se lesconoce como funciones uno a uno.

Irracional, numero numero que no se puedeexpresar como el cociente de dosnumeros enteros, donde el denominadores distinto de cero.Ningun numero racional es irracional yningun numero irracional es racional.

Los numeros π y e son ejemplos denumeros irracionales.

Irreducible, fraccion Aquella fraccion quecumple que sus elementos (numera-dor y denominador) no tienen factorescomunes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fraccion son primosrelativos cuando la fraccion es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fraccion irreduci-ble.

Irregular, polıgono Polıgono que no esequilatero, o no es equiangulo o ambas.El siguiente polıgono es irregular:

Irregular, poliedro Poliedro que no es regular.Es decir, aquel que no tiene todas suscaras iguales.

Isoclina Dos rectas isoclinas son aquellas quetienen la misma pendiente.

Isosceles Un triangulo es isosceles si dos desus lados miden lo mismo.

Triangulo isosceles

Un trapecio es isosceles si sus dos ladosno paralelos miden lo mismo.


Iteracion

I

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Trapecio isosceles

Iteracion Metodo de resolucion de unaecuacion a traves de aproximacionessucesivas a la solucion buscada. Estosmetodos se utilizan generalmente a travesde la programacion de computadorasporque requiere de muchos calculos suce-sivos, tarea que la computadora puede re-alizar facilmente.


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JEfrain Soto Apolinar

Jerarquıa de las operaciones Vea la definicion de Prioridad de las operaciones

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KEfrain Soto Apolinar

Kelvin Unidad de temperatura utilizado enel Sistema Internacional de Unidades. Elsımbolo utilizado para el Kelvin es K.Un grado centıgrado es equivalente a unKelvin. La diferencia consiste en que 0 Kequivalen a −273.15 C.Observa el sımbolo K no requiere delsımbolo de grados () para indicar que setrata de una temperatura.

Kilo Prefijo que indica mil. Se abrevia con laletra k (minuscula).Por ejemplo, kilogramo indica milgramos.

Kilogramo Mil gramos

Kilometro Mil metros.

Kepler, leyes de Las leyes de Kepler se re-fieren a las leyes del movimiento de losplanetas previa a la ley de gravitacionuniversal propuesta por Isaac Newton.Las tres leyes de Kepler son:

¬ Los planetas recorren orbitaselıpticas, con el sol en uno de susfocos.

El segmento recto que une el sol conel planeta (radio vector) barre areasiguales en tiempos iguales.

® Para cualquier planeta, el cuadradodel tiempo que tarda en recorrer unaorbita alrededor del sol es propor-cional al cubo de la longitud del ejemayor de su orbita.

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LEfrain Soto Apolinar

Lado En un polıgono, un lado es un segmentode recta cuyos extremos estan en dosvertices consecutivos del polıgono.

Lado

Los lados del polıgono delimitan su area.

Lamina Objeto plano de grosor infinitamentepequeno, que puede considerarse para laresolucion de un problema de Calculo.Generalmente se consideran sus dimen-siones de area, pero el grosor de la laminase considera como un diferencial.

Lamina

Latitud Angulo con vertices en un puntosobre la superficie de la tierra, el centro deesta y el ecuador a lo largo del meridianode ese mismo punto angular. La latitudse abrevia como lat.Cuando el punto sobre la superficie de latierra se encuentra al norte del ecuador,el angulo se considera positivo; cuando

se encuentra al sur se considera negativo.Sobre el ecuador la latitud vale cero.

lat

Legua Unidad de distancia usada en elsistema Espanol, equivalente a 4 827metros.

Lema Proposicion que requiere demostraciony permite demostrar un teorema.

Lenguaje algebraico Lenguaje que se utilizapara describir las relaciones entre lascantidades expresadas en una expresionalgebraica.Por ejemplo, semi significa mitad, ycociente indica el resultado de una di-vision.

Ley de cosenos Para todo triangulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

C2 = A2 + B2 − 2AB cos α

donde A, B y C son las longitudes de loslados del triangulo, y α es la medida delangulo formado por los lados A y B.

90

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Ley de grandes numeros–Leyes de Newton

α

B

A

C

La ley de cosenos es una generalizaciondel teorema de Pitagoras, pues cuandoα = 90, tenemos: C2 = A2 + B2, el casoparticular que corresponde al teorema dePitagoras.

Ley de grandes numeros Teorema deprobabilidad que indica que si la probabi-lidad de ocurrencia de un evento E esp, si N(E) es el numero de veces queocurre el evento E, y se hicieron n experi-mentos, entonces, al aumentar el numerode experimentos (n tiende a infinito), elcociente N(E)/n tiende a p.Por ejemplo, si tomamos una moneday hacemos algunos experimentos queconsista en lanzarla para observar elresultado (aguila o sol), esperamos quela mitad caiga aguila y la otra mitad sol.Sea N(A) el numero de veces que cayoaguila y n el numero de veces que lan-zamos la moneda. Mientras mas crezca n,es decir, mientras mas veces lancemos lamoneda, el valor de N(A)/n se acercaracada vez mas a 0.5, que es la probabilidadde que caiga aguila.

Ley de multiplicacion de probabilidades Laprobabilidad de que ocurran los dos even-tos A y B a la vez, es:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

= P(B) · P(A|B)Si A y B son independientes,

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Vea la definicion de Eventos independien-tes.

Ley de suma de probabilidades La probabili-dad de que ocurra el evento A o el eventoB, es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Para el caso en que los eventos A y B sonmutuamente excluyentes, se tiene:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Vea la definicion de Eventos mutuamenteexcluyentes.

Ley de senos Para todo triangulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

sin α

A=

sin β

B=

sin γ

C

donde A es el lado opuesto al angulo α,B es el lado opuesto al angulo β y C es ellado opuesto al angulo γ.

γ

α

β

B

A

C

Leyes de Kepler Las leyes de Kepler se re-fieren a las leyes del movimiento de losplanetas previa a la ley de gravitacionuniversal propuesta por Isaac Newton.Las tres leyes de Kepler son:

1. Los planetas recorren orbitaselıpticas, con el sol en uno de susfocos.

2. El segmento recto que une el sol conel planeta (radio vector) barre areasiguales en tiempos iguales.

3. Para cualquier planeta, el cuadradodel tiempo que tarda en recorrer unaorbita alrededor del sol es propor-cional al cubo de la longitud del ejemayor de su orbita.

Leyes de los exponentes Vea la definicionReglas de los exponentes.

Leyes de Newton Las tres leyes delmovimiento propuestas por Sir. IsaacNewton son las que han permitido unavance en las ciencias y en la tecnologıa:


Libra–Logaritmo

L

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1. (Ley de inercia) Todo cuerpomantiene su estado de movimientorectilıneo uniforme, a menos queuna fuerza externa lo obligue a cam-biar dicho estado.

2. (Ley de fuerza) El cambio en la canti-dad de movimiento de un cuerpoes proporcional a la fuerza ejercidasobre el cuerpo, y ocurre sobre lalınea recta sobre la cual se aplica lafuerza.

3. (Ley de accion y reaccion) Paratoda fuerza ejercida sobre un cuerpo,existe otra fuerza contraria de mismamagnitud y direccion, pero con sen-tido opuesto.

Libra Unidad de peso equivalente a 0.454 kg,o bien a 16 onzas.

Lımite (Algebra) En un intervalo, los lımitesson los valores extremos del mismo.Por ejemplo, en el intervalo [a, b], loslımites son los valores a (lımite inferior)y b (lımite superior).(Analisis) El lımite de la funcion fcuando la variable independiente tiendea un valor constante k se denota por:

limx→k

f (x) = M

y M representa el valor al cual se acercaconforme los valores de x se aproximanmas al valor k, en caso de que el lımiteexista.

Lınea Objeto geometrico que tiene solamenteuna dimension: longitud. La lınea notiene espesor ni anchura.la siguiente figura es una lınea:

Usualmente en geometrıa cuando deci-mos lınea nos referimos a cualquier tipode lınea, aunque muchos entienden sola-mente una lınea recta.La lınea recta es un caso particular muyespecial de lınea.

Literal Letra que representa una cantidad enalgebra. Las literales tambien pueden serletras del alfabeto griego.Por ejemplo, en la formula:

A =b× h

2

la literal A representa el area de untriangulo, la literal b representa la base deese triangulo y la literal h representa laaltura del mismo.

h

b

Litro Unidad de volumen equivalente a 1 dm3.Frecuentemente se utilizan los siguientesmultiplos y submultiplos del litro:

Nombre Sımbolo Equivalencia

Mirialitro ML 10 000 LKilolitro KL 1 000 L

Hectolitro HL 100 LDecalitro daL 10 LDecilitro dL 0.1 LCentilitro cL 0.01 LMililitro mL 0.001 L

Un metro cubico equivale a 1 000 litros, esdecir,

(1 m)3 = (10 dm)3

1 m3 = 1 000 dm3

porque un metro equivale a 10 decıme-tros.

Logaritmo Exponente al cual debe elevarsela base para obtener como resultado unnumero dado.Si y = ax, donde a > 0 y a , 1, entonces,se define:

loga y = x


92

L

Logaritmo natural–Lustro

y se lee: el logaritmo del numero y en la basea es igual a x.Por ejemplo, dado que 23 = 8, entonces,log2 8 = 3, y se lee: el logaritmo de 8 en base2 es 3.

Logaritmo natural Logaritmo cuya base es elnumero de Euler, e ≈ 2.7182818.El logaritmo natural del numero x sedenota por ln x, y se entiende que esequivalente a escribir:

ln x = loge x

donde e ≈ 2.718281828.

Logaritmo vulgar Logaritmo en base 10. Ellogaritmo vulgar del numero x se denotapor log x, y se entiende que es equivalentea escribir:

log x = log10 x

Es decir, cuando la base del logaritmo nose especifıca, se entiende que es 10.Al logaritmo vulgar tambien se le conocecomo logaritmo comun.Por ejemplo, dado que 10 000 = 104,

log(10 000) = log10(10 000) = 4

Logica Rama de la filosofıa que se encarga delestudio de los metodos y principios uti-lizados en la validacion de argumentos enel razonamiento.Las matematicas utilizan a la logica paraque sus demostraciones sean irrefuta-bles.

Longitud (Geometrıa) Dimension mayor deun objeto.Distancia mas corta entre dos puntos.Medida de una distancia.Por ejemplo, la longitud de un arbol es 35metros.(Cartografıa) Angulo con vertices en unpunto sobre la superficie de la tierra, elcentro de esta y el meridiano de referen-cia. El meridiano de referencia mundial

es el meridiano de Greenwich. La longi-tud se abrevia como long.Cuando el punto sobre la superficie de latierra se encuentra al este del meridianode referencia, se considera positivo.En navegacion marıtima la longitud sedenota con la letra griega ω.

Lugar Geometrico Es el conjunto de puntosque satisfacen un conjunto de condicionesdadas.Por ejemplo, la parabola es el lugargeometrico de los puntos que equidistande un punto fijo F (foco) como de unarecta fija (directriz) que no pasa por elfoco.

F

Directrız

Eje

Lunula Region del plano delimitada por dosarcos de circunferencia de radios diferen-tes.

Lunula

Lustro Unidad de tiempo equivalente a cincoanos.


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

MEfrain Soto Apolinar

Magnitud (Aritmetica) Numero que indica lamedida de una cualidad. Por ejemplo, lamagnitud del area de un cuadrado es unnumero que indica la cuantificacion delarea.(Geometrıa) La magnitud de un vector esigual a su longitud.Por ejemplo, considerando el vector ~v =(3, 4),

x

y~v = (3, 4)

su magnitud ‖~v‖, se calcula aplicando elteorema de Pitagoras, como se muestraenseguida:

‖~v‖ =√

32 + 42 =√

25 = 5

En general, para el vector ~v = (vx, vy),su magnitud puede calcularse con laformula:

‖~v‖ =√(vx)

2 +(vy)2

Observa que la magnitud de un vector nopuede ser negativa.

Mantisa La parte de un logaritmo que esta ala derecha del punto decimal.Por ejemplo, sabiendo que ln(π) ≈1.144729886, su mantisa es 0.144729886.

Mapeo Sinonimo de funcion.Vea la definicion de Funcion.

Marca de clase Cuando se agrupan datos deuna muestra, se definen clases a partir deintervalos. La marca de clase es igual alpromedio de los extremos (valores lımite)de los intervalos.Por ejemplo, supongamos que las fraccio-nes de la poblacion en los siguien-tes rangos de edades de un pueblo sereparten como sigue:

Rango Cantidad Marca de clase

0 – 10 250 510 – 20 1 200 1520 – 30 2 500 2530 – 40 1 225 3540 – 50 850 4550 – 60 750 5560 – 70 425 6570 – 80 250 7580 – 90 37 85

90 – 100 13 95

La marca de clase de cada una de lasclases definidas, son, 5, 15, 25, 35, 45, 55,65, 75, 85 y 95, respectivamente.

94

M

Matematicas aplicadas–Maximo absoluto de una funcion

Matematicas Es la ciencia que estudia lascantidades, estructuras, espacios y elcambio. La matematica deduce demanera irrefutable cada conjetura acep-tada basandose en axiomas y teoremas yademostrados.Las matematicas tiene muchas ramas. Al-gunas de ellas son:

3 Teorıa de conjuntos3 Aritmetica3 Algebra3 Geometrıa3 Analisis matematico3 Topologıa

A su vez, cada una de estas ramastiene otras subramas que hacen un es-tudio mas particular en cada caso. Porejemplo, la geometrıa se subclasifica engeometrıa plana, geometrıa analıtica, etc.

Matematicas aplicadas El estudio de lastecnicas y metodos de las matematicaspara la resolucion de problemas quese presentan en los sistemas creadospor la sociedad y en el estudio dela naturaleza (economicos, industriales,ecologicos, etc.)

Matematicas puras Estudio de lasmatematicas, su teorıa, estructura,metodos y procedimientos, con el fin deincrementar el conocimiento matematico.En este caso, las aplicaciones de lasmatematicas no se tienen en cuenta,aunque generalmente lo que se descubreen las matematicas puras puede ser uti-lizado en otras ramas de la ciencia comola fısica.

Matrız En matematicas, una matrız es unarreglo rectangular de numeros.Por ejemplo,

[2 −1 71 4 −3

]

es una matrız 2× 3, que indica que es dedos renglones por tres columnas.

Matrız cuadrada Aquella matrız que tiene elmismo numero de renglones como decolumnas.Por ejemplo, la siguiente es una matrızcuadrada de 3× 3:

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Matrız identidad Matrız cuadrada que tieneceros en todos sus elementos, exceptoen la diagonal principal, cuyos elementosson unos.La siguiente matrız es una matrız identi-dad:

1 0 00 1 00 0 1

Matrız inversa La inversa de la matrızcuadrada M se denota por M−1 y es otramatrız del mismo tamano que M y tienela propiedad de que al multiplicarla porM obtenemos la matrız identidad.Una matrız cuadrada tiene inversa si y so-lamente si, su determinante es distinto decero.

Maximo Valor mas grande que toma o puedetomar una variable.

Maximo absoluto de una funcion El maximoabsoluto de una funcion f es el valor xMde la variable independiente que hace quef (xM) cumpla:

f (xM) ≥ f (x)∀x ∈ D f

En palabras, si al evaluar la funciony = f (x) en el punto xM obtenemos elmaximo valor que puede tomar la funcionen todo su dominio, entonces f tiene unmaximo absoluto en xM, y su maximo esf (xM).


Maximo comun divisor–Media geometrica

M

95

Maximo comun divisor El maximo comundivisor de varios numeros es el numeroentero mas grande por el cual todos losnumeros son divisibles.El maximo comun divisor de los numerosa y b se denota por: M.C.D.(a, b).Por ejemplo, el M.C.D.(4, 12, 20) es 4.Para calcular el M.C.D.(4, 12, 20) vamossimplificando sacando mitad, terceraparte, etc., hasta que no se puedansimplificar mas. Multiplicamos losnumeros entre los que se dividen losnumeros 4, 12 y 20 simultaneamente:

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.D.(4, 12, 20) es:

2× 2 = 4

Observa que no multiplicamos ni por 3ni por 5 porque no dividen a los tresnumeros 4, 12 y 20 simultaneamente.

Maximo relativo de una funcion El maximorelativo de una funcion f en el intervalo[a, b] es el valor xM de la variable indepen-diente que hace que f (xM) cumpla:

f (xM) ≥ f (x)∀x ∈ [a, b]

En palabras, si xM esta en intervalo [a, b],es decir, cumple con a ≤ xM ≤ b, yal evaluar la funcion f en xM obtene-mos el maximo valor que la funcion tomeen ese intervalo, entonces f tiene unmaximo en xM y su valor es f (xM).La siguiente grafica muestra una funcioncon un un maximo relativo en x = q y unmınimo relativo en x = p:

x

y

y = f (x)

qp ba

f (q)

f (p)

Mayor que Decimos que a es mayor que b sila diferencia a− b es positiva y lo denota-mos por a > b.Por ejemplo, 10 es mayor que 6, porque10− 6 = 4, y 4 es un numero positivo.Vea la definicion de Desigualdad.

Mecanica Rama de la fısica que se encarga deestudiar el movimiento de los cuerpos de-bido a la accion de fuerzas sobre estos.

Media armonica La media armonica de unamuestra de n datos x1, x2, · · · , xn sedefine como

Mh =1

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

La media aritmetica x de un conjunto devalores siempre es mayor que la mediaarmonica Mh de ese mismo conjunto.

Media aritmetica La media, o media ar-itmetica x de una muestra de n datosx1, x2, · · · , xn se define como:

x =x1 + x2 + · · ·+ xn

n

En otras palabras, la media aritmetica deuna muestra es igual al promedio de losdatos.

Media geometrica La media geometrica xg dedos numeros p, q (no negativos) se definecomo la raız cuadrada de su producto:

xg =√

p · q


96

M

Media ponderada–Mediatriz

La media geometrica de n datosx1, x2, · · · , xn se define como la enesimaraız del producto de todos los datos:

xg = n√

x1 · x2 · · · · · xn

donde se supone que el calculo de la raızindicada es posible.

Media ponderada Dados los valoresx1, x2, · · · , xn, cada uno con pesow1, w2, · · · , wn, respectivamente, la mediaponderada se define como:

xp =w1x1 + w2x2 + · · ·+ wnxn

w1 + w2 + · · ·+ wn

Por ejemplo, considera que se compran3 kg de tomate, cada kilogramo a $12.00pesos, 7 kg de cebolla, cada kilogramoa $8.00 pesos y 5 kg de papa, cada kilo-gramo a $14.00 pesos. El precio promediode lo que se ha comprado se calcula con lamedia ponderada, y en este caso es iguala:

xp =(3)(12) + (7)(8) + (5)(14)

3 + 7 + 5

=16215

= 10.8

Observa que, como estamos prome-diando el precio, sumamos en eldenominador los kilogramos que com-pramos de cada producto.Si en el denominador ponemos la sumade los precios estaremos calculando lamedia ponderada del numero de kilo-gramos que se compro de todos los pro-ductos adquiridos.

Media proporcional La media proporcional xde los numeros p y q es:

x =√

pq

La media proporcional coincide con lamedia geometrica de dos numeros.

Mediana La mediana de un triangulo es larecta que pasa por el punto medio de unlado y por el vertice opuesto.

Mediana M

Las tres medianas de un triangulo secortan en un punto que se llama baricen-tro.

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedad deltriangulo.

Mediatriz La mediatriz de un segmento es larecta perpendicular al segmento que pasapor su punto medio.La siguiente figura muestra la mediatrizdel segmento AB:

A

BMediatriz

M

El punto M mostrado en la figura es elpunto medio del segmento AB.La mediatriz tiene la propiedad de quecualquiera de sus puntos equidista de losextremos del segmento sobre la cual se leconstruyo.


Medida–Metro

M

97

En un triangulo, las tres mediatrices secortan en un punto que se llama circun-centro.

Circuncentro

Como el circuncentro equidista de lostres vertices del triangulo, es el centrode la circunferencia que pasa por los tresvertices del mismo.

Medida Dimension o capacidad de algunobjeto.Por ejemplo, la medida de los lados delsiguiente triangulo son 4 cm, 3 cm y 5 cmrespectivamente:

4 cm

3cm5 cm

Medidas de dispersion Valor que indica lavariabilidad de los valores de un conjuntode datos.Las medidas de dispersion mas frecuente-mente utilizadas son el rango, el rangointercuartılico, la desviacion media, ladesviacion media absoluta, la desviacionestandar, siendo esta ultima la mas us-ada.

Medidas de tendencia central Constante lla-mada valor central, alrededor de la cualse concentran los valores de un conjuntode datos observados.

Las medidas de tendencia central son lamedia (aritmetica), la moda y la mediana.La medida de tendencia central masfrecuentemente utilizada es la media.

Medio Cuando dividimos un entero en dospartes iguales, cada una de ellas es unmedio, o bien, una mitad del entero.

12

12

Mega- Prefijo que indica 106. Se abrevia conla letra M. Por ejemplo, un Megalitroequivale a un millon de litros, es decir,1 ML = 106 L.Observa que Mega- se abrevia con M(mayuscula), mientras que mili- con m(minuscula).

Menor que Decimos que a es menor que b sila diferencia a− b es negativa y lo deno-tamos por a < b.Por ejemplo, 6 es menor que 8, porque6− 8 = −2, y −2 es un numero negativo.Vea la definicion de Desigualdad.

Mes Un mes es la unidad de tiempo que seutiliza para dividir el ano y es aproxi-madamente igual a 30 dıas.Diferentes meses tienen diferente du-racion.Para el calculo de interes y amortiza-ciones se supone que el mes tiene 30 dıas.

Metodo de exhaucion Metodo utilizado parael calculo del area de una figura, constru-yendo polıgonos en esta y calculando lasuma de las areas de estos.

Metro Unidad de medida de la distanciausado en el Sistema Internacional deUnidades. El sımbolo utilizado para elmetro es m.


98

M

Metro cuadrado–Mınimo absoluto de una funcion

Metro cuadrado Unidad de area que consisteen un cuadrado cuyos lados miden unmetro de longitud. El sımbolo para de-notar al metro cuadrado es m2.

1 m2

1 m

1 m

Metro cubico Unidad de volumen queconsiste en un cubo cuyas aristas midenun metro de longitud. El sımbolo paradenotar al metro cubico es m3.

1 m

1 m

1 m

1 m3

Micro- Prefijo que indica 10−6. Se abrevia conla letra griega µ.Por ejemplo, un micrometro es una mil-lonesima parte de un metro, y se denotapor 1 µm = 10−6 m.

Miembro En una igualdad, las expresionesque se encuentran a la derecha y a laizquierda del signo de igual son losmiembros.

x2y2 − 2 x + 3 y︸︷︷︸miembro izquierdo

= x2 − 10 xy + 5 y2︸︷︷︸miembro derecho

(Teorıa de conjuntos) Decimos que unelemento es miembro de un conjunto sipertenece al conjunto.Por ejemplo, 2 es miembro del conjunto0, 1, 2, 3, 4. En este sentido, la palabramiembro es sinonimo de elemento.

Milesimo (1.) Un milesimo es equivalente auna de las partes de un entero que ha sidodividido en mil partes del mismo tamano.(2.) En un numero con decimales, eldıgito de los milesimos es el dıgito quese encuentra en la tercera posicion a laderecha del punto decimal.Por ejemplo, en el numero 1.23456, eldıgito 4 corresponde a los milesimos.

mili- Prefijo que indica 10−3. Se abrevia conm.Por ejemplo, un mililitro representa 10−3

litros. Es decir, 1 mL = 10−3 L.Observa que la abreviacion debe hacersecon una m minuscula. Cuando la abre-viacion corresponde a una M (mayuscula)se trata del prefijo Mega-.

Milla Unidad de distancia en el sistemaIngles que es equivalente a 1 609 metros(milla terrestre). Una milla tambien esigual a 1 760 yardas.

Milla marina Unidad de distancia en elsistema Ingles que es equivalente a 1 852metros.

Millon Numero equivalente a 1 000 000. Esdecir, el millon se escribe con un 1seguido de 6 ceros.

Mınimo Valor mas pequeno que acepta opuede tomar una variable.

Mınimo absoluto de una funcion Si elnumero k, tiene la propiedad de quef (k) ≤ f (x) para cualquier x que esteen el dominio de f , entonces decimos quela funcion f tiene un mınimo absoluto enx = k, y su valor mınimo es f (k).Matematicamente esto se escribe:

Si ∃ k| f (k) ≤ f (x)∀x ∈ D f

Entonces, f tiene un mınimo absoluto enx = k, y su valor es f (k).


Mınimo comun denominador–Moda

M

99

Mınimo comun denominador Numeroentero que es el mınimo comun multiplode los denominadores de dos o masfracciones.Por ejemplo, considerando las fracciones2/3 y 3/5, el mınimo comun denomina-dor es el mınimo comun multiplo de 3y 5, que son los denomimadores de lasfracciones. Es decir, el mınimo comundenominador de las fracciones 2/3 y 3/5 es15.

Mınimo comun multiplo Dados variosnumeros enteros, su mınimo comunmultiplo (M.C.M.) es el menor numeroentero positivo que es multiplo de todosellos.Por ejemplo, el M.C.M. de 4, 12 y 20 es60.Para calcular el M.C.M. de estos numerosvamos simplificando sacando mitad,tercera parte, etc., hasta que no sepuedan simplificar mas. Multiplicamoslos numeros entre los cuales dividimos yese resultado es el M.C.M.

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.M. de (4, 12, 20) es:

2× 2× 3× 5 = 60

Mınimo relativo de una funcion Dado elintervalo [a, b], si el numero k, tiene lapropiedad de que f (k) ≤ f (x) paracualquier x que este dentro del intervalo[a, b], entonces decimos que la funcion ftiene un mınimo relativo en x = k, y suvalor mınimo es f (k).La siguiente grafica muestra una funcioncon un mınimo relativo en x = p y unmaximo relativo en x = q:

x

y

y = f (x)

qp ba

f (q)

f (p)

Minuendo En una resta, el minuendo es elnumero del cual se esta restando otracantidad.

9 876− 5 324

4 552


Minuto (angulo) un 1/60 de un grado sexa-gesimal. Es decir, 60 minutos forman ungrado sexagesimal.(tiempo) un 1/60 de una hora. Es decir,60 minutos forman una hora.Un minuto esta formado por sesentasegundos, tanto en el caso de unidad demedida de angulos como de tiempo.

Moda En una muestra, la moda es el valor queaparece con mayor frecuencia.Para el caso de datos agrupados, la modaesta representada por la marca de clase dela clase con mayor frecuencia.

A B C D E Fx

f

En el histograma mostrado, la marca declase de la clase C es la moda por tener lamayor frecuencia.


100

M

Modelo–Mutuamente excluyentes, eventos

Modelo Representacion teorica de unasituacion real a traves de sımbolosmatematicos que sirve para explicar y/opronosticar el comportamiento de unfenomeno.

Modulo (Teorıa de numeros) Dados losnumeros enteros a, b, k, decimos que elnumero a es congruente con k modulo b,y se denota por: a ≡ k mod b, si es posi-ble escribir:

a = b m + k

donde m ∈ Z.En otras palabras, si el numero a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k modulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:

14 = 5× 2 + 4

Es decir, 14− 4 es divisible por 5.(Geometrıa) El modulo de un vector esigual a su longitud. Si el vector es ~v =(a, b), su modulo se calcula usando laformula:

‖~v‖ =√

a2 + b2

El modulo del vector tambien se conocecomo su magnitud.(Variable compleja) El modulo de unnumero complejo z = a + ib, se denotapor |z| y es igual a:

|z| =√

a2 + b2

Observa que: a2 + b2 = z · z.

Monomio Polinomio que tiene exactamenteun termino.Por ejemplo, 7 x2y4 es un monomio.Cuando hablamos de polinomios,monomio es sinonimo de termino.

Muestra Parte de una poblacion que se elijealeatoriamente para que la represente enun estudio estadıstico.

Muestreo Seleccion de una muestra de unapoblacion para que la represente en un es-tudio estadıstico.

Multiplicacion Operacion binaria queconsiste en una abreviacion de la sumarepetida de un mismo numero variasveces.Por ejemplo, la multiplicacion de 7 por 4se denota por: 7× 4 y significa sumar elnumero 7 cuatro veces.Cuando se trata de otros objetosmatematicos (fracciones, convectores,etc.) la multiplicacion se realiza dediferente manera.

Multiplicacion de fracciones Vea ladefinicion Producto de fracciones.

Multiplicacion de numeros compleos Vea ladefinicion Producto de numeros complejos.

Multiplicidad Una raız r de una ecuacionpolinomial es de multiplicidad k si pode-mos factorizar el binomio x− r, k veces enla ecuacion.Por ejemplo, en la ecuacion:

(x− 3)7(x + 2) = 0

la raız x = 3 es de multiplicidad 7.

Multiplo El numero entero m es multiplodel numero entero a si puede expresarsecomo: m = a · k, donde k es otro numeroentero.Por ejemplo, el numero 12 es multiplo de3, porque 12 = 3× 4.

Mutuamente excluyentes, eventos Dos even-tos A y B son mutuamente excluyentes siel hecho de que ocurra uno hace imposi-ble la ocurrencia del otro. En otras pala-bras, si la ocurrencia simultanea de am-bos eventos es imposible, los eventos sonmutuamente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la variablealeatoria X que consiste en el resultadode un volado (aguila, sol), A correspondeal evento cayo sol y B al evento cayo aguila,entonces los eventos A y B son mutua-mente excluyentes, porque no podemostener en un solo experimento ambos re-sultados: o cae aguila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentes nonecesariamente abarcan todo el espaciomuestral.www.aprendematematicas.org.mx

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apre

ndem

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x

NEfrain Soto Apolinar

N Sımbolo que representa el conjunto de losnumeros naturales.

N = 1, 2, 3, 4, · · ·

Vea la definicion: Numero natural.

Natural, logaritmo Logaritmo calculado en labase e.Vea la definicion de logaritmo.

Negativo En la recta numerica, al origen se leasigna el cero, a la derecha se encuentranlos numeros positivos y a su izquierda losnumeros negativos.Un numero es negativo cuando es menorque 0.Vea la definicion de recta real.En matematicas indicamos que una canti-dad es negativa anteponiendo el sımbolo−.

Negativo, angulo Angulo cuya medida se daa favor del giro de las manecillas del reloj.

−α

Neperiano, logaritmo Los logaritmos natura-les tambien se llaman logaritmos neperi-anos.Vea la definicion de Logaritmo natural.

Newton, binomio de Producto notable quesirve para calcular cualquier potenciade un binomio de forma directa, cuyaformula es:

(x+ y)n = xn +nxn−1y+ · · ·+nxyn−1 + yn

El binomio de Newton tambien se conocecomo teorema del binomio.Los coeficientes del polinomio de elevar elbinomio a la potencia n pueden calcularseusando el triangulo de Pascal o usando laformula de combinaciones:

(x + y)n =n

∑k=0

(nk

)xn−kyk

Vea la definicion de combinacion.

Norma Longitud de un vector. La norma deun vector tambien se llama magnitud delvector.Vea la definicion de Magnitud.

Normal Sinonimo de perpendicular.Vea la definicion de Perpendicular.

Normal, distribucion Distribucion deprobabilidad continua que presentanmuchos fenomenos donde cada datopueden interpretarse como el promediode varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un error demedicion que tiene distribucion normal.La distribucion del error de la mediciones simetrica respecto del valor verdaderode la distancia. En este ejemplo, cada

102

N

Normal, recta–Notacion cientıfica

medicion puede considerarse como elpromedio de varias mediciones sepa-radas.La distribuion normal se utilizafrecuentemente como una aproximaciona la distribucion binomial.La distribucion normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ2.Si la media de la distribucion es cero ysu varianza 1, la distribucion se conocecomo distribucion normal estandar.Esta distribucion es muy importante enprobabilidad y estadıstica.La forma de la grafica de la distribucionnormal es la de una campana, por esofrecuentemente se le llama la campana deGauss

x

y

µ

La grafica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un maximo en x = µ (media).

3 La curva es simetrica respecto de lamedia.

3 La media, la mediana y la modacoinciden en el maximo de lafuncion.

3 El eje horizontal es una asıntota dela curva.

3 El area total bajo la curva es 1.

Normal, recta Una recta es normal a otra rectasi son perpendiculares.En otras palabras, normal es sinonimo deperpendicular.

Normalizacion Transformacion de una varia-ble aleatoria que presenta distribucionnormal para que presente una dis-tribucion normal estandar.Si X es una variable aleatoria que pre-senta distribucion normal N(µ, σ2), su

normalizacion consiste en transformarlaen la variable Z, que se obtiene con:

Z =X− µ

σ

donde µ es la media de la poblacion y σes la desviacion estandar de la misma.La variable Z presenta una distribucionnormal con media µ = 0 y desviacionestandar σ = 1.

Norte Uno de los cuatro puntos cardinales queindica la direccion al polo norte terrestre.

Norte geografico Direccion al Norte indicadaen un mapa geografico que indica la di-reccion al polo norte terrestre.

Norte magnetico Direccion Norte indicadapor una brujula. El Norte geograficono necesariamente debe coincidir conel Norte magnetico. Depende del lu-gar del planeta desde donde se hagala medicion. Generalmente existe unapequena diferencia de manera que elnorte magnetico sirve como una buenaaproximacion al norte geografico.

Notacion Simbologıa utilizada en las ciencias(no solamente en matematicas) pararepresentar objetos abstractos de unaforma comprensible para su estudio yanalisis.

Notacion cientıfica Forma de escribirnumeros muy grandes o muy pequenos.La forma de escribir un numero ennotacion cientıfica se basa en la primeracifra del numero, inmediatamentedespues el punto decimal y algunas otrascifras del numero complementando con elnumero 10 elevado a una potencia igualal numero de cifras que queda recorridoel punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el numero 1 537 000, en no-tacion cientıfica se escribe como:

1 537 000 = 1.537× 106

Observa que el punto decimal serecorrio seis cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 6 al numero 10.


Notacion sigma–Numero algebraico

N

103

Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el numero 0.00035 escrito ennotacion cientıfica es:

0.00035 = 3.5× 10−4

Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.

Notacion sigma Notacion matematica quepermite indicar la suma de variosterminos de una sucesion.Si x1, x2, · · · , xn son los terminos de unasucesion que deben sumarse, esta op-eracion se puede indicar con la notacionsigma de la siguiente manera:

n

∑i=1

xi = x1 + x2 + · · ·+ xn

Y se lee: La suma de todos los terminos xidonde el ındice i va desde 1 hasta n.Por ejemplo, consideremos la sucesionde los primeros 100 numeros naturales.Entonces, usando notacion sigma pode-mos indicar la suma de estos terminoscomo sigue:

100

∑i=1

i = 1 + 2 + · · ·+ 100

Esta notacion es muy utilizada en CalculoIntegral cuando se define la integraldefinida como una suma de Riemann.

Noveno Cuando dividimos un entero ennueve partes iguales, cada una de ellas esun noveno, o bien, una novena parte delentero.

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Nulo Se dice que algo es nulo cuando valecero.Por ejemplo, un angulo nulo mide cerogrados.

Nulo, conjunto Conjunto que tiene ceroelementos. Es decir, el conjunto nulo esel conjunto vacıo (∅).

Numerador En una fraccion, el numeradorindica cuantas partes vamos a tomar delas que fue dividido el entero.

Fraccion =numerador

denominador

En la fraccion el numerador se escribearriba y el denominador abajo.

Numeral Palabra o sımbolo que denota unnumero.Por ejemplo, 1, 2, 3 son numerales en nue-stro sistema de numeracion (arabicos).En el sistema de numeracion romano seencuentran I, II, III.

Numero Sımbolo matematico que denota unacantidad. En matematicas los numeros sehan clasificado como:

3 naturales

3 enteros

3 racionales

3 irracionales

3 reales

3 complejos

Numero abundante Un numero natural talque la suma de sus divisores propios esmayor a el.Por ejemplo, el numero 24 es un numeroabundate, porque sus divisores propios(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es mayorque 24.A los numeros abundantes tambien se lesconoce como numeros excesivos.

Numero algebraico El numero z es unnumero algebraico si satisface unaecuacion polinomial,

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn = 0

con coeficientes a0, a1, a2, a3, · · · , anracionales.


104

N

Numero amigable–Numero excesivo

Por ejemplo, el numero√

2 sı es unnumero algebraico, porque satisface laecuacion polinomial:

−2 + x2 = 0

Observa que los coeficientes sonracionales, porque todos los numeros en-teros son numeros racionales.Algunos numeros que no son algebraicosson e y π.

Numero amigable Dos numeros naturales sonamigables si la suma de los divisores pro-pios de cada uno es igual a otro.Por ejemplo, los numeros 220 y 284 sonamigables, porque los divisores propiosde 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55,110) suman 284, y los divisores propiosde 284 (1, 2, 4, 71, 142) suman 220.

Numero capicua Un numero es capicua si alleerse de derecha a izquierda se obtiene elmismo numero que si se lee de izquierdaa derecha.Por ejemplo, los numeros 111, 34543, 909son numeros capicua.A los numeros capicua tambien se lesconoce como palındromos.Vea la definicion de Palındromo.

Numero cardinal Numeros que utilizamospara indicar cantidades.Los numeros cardinales son 1, 2, 3, etc.Vea la definicion de Numero ordinal.

Numero complejo Numero que tiene unaparte real y una parte imaginaria:

z = a + i b

En el numero complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3− 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.

Numero compuesto Un numero natural quetiene mas de dos divisores.Por ejemplo, el numero 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.

Numero de Euler Numero irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos natura-les y cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459

Numero de Fermat Un numero de la forma:

Fn = 22n+ 1

donde n es un numero entero no nega-tivo.Por ejemplo,

F4 = 224+ 1 = 216 + 1 = 65537

Numero deficiente Un numero natural tal quela suma de sus divisores propios es menora el.Por ejemplo, el numero 5 es deficiente,pues su unico divisor propio es el 1.Otro numero que es deficiente es el 8,pues sus divisores propios (1, 2, 4) suman7, que es menor a 8.

Numero e Numero irracional que sirve debase para los logaritmos naturales.Su valor es aproximadamente e ≈2.718281828459.El numero e tambien se conoce como elnumero de Euler.

Numero entero El conjunto de los numerosenteros se define como los numerosnaturales, el cero, y los naturales dotadosdel signo negativo:

Z = · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

Un numero entero es cualquiera de loselementos del conjunto de los numerosenteros. Todos los numeros naturales sontambien numeros enteros.

Numero excesivo Un numero natural tal quela suma de sus divisores propios es mayora el.Por ejemplo, el numero 24 es un numeroexcesivo, porque sus divisores propios (1,


Numero imaginario–Numero ordinal

N

105

2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es mayorque 24.A los numeros excesivos tambien se lesconoce como numeros abundantes.

Numero imaginario Numero que es multiplode la unidad imaginaria.Por ejemplo, el numero 2 i es un numeroimaginario.La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i, es el numero que tienela propiedad de que cuando se multi-plica por sı mismo obtenemos −1 comoresultado. Es decir, i2 = −1.Los numeros complejos se llamannumeros imaginarios puros cuando suparte real es cero.

Numero imaginario puro Un numero esimaginario puro si al elevarse al cuadradoobtenemos un numero real negativo.Un numero complejo esta formado poruna parte real y una parte imaginaria. Laparte imaginaria siempre aparece multi-plicada por la unidad imaginaria que sedenota con la literal i:

z = a + i b

Del numero complejo z, la parte real estarepresentada por la literal a, y la parteimaginaria por b.

Numero impar Numero que al dividirse entredos deja resıduo 1.Por ejemplo, los numeros 1, 3, 5, 7, · · · sonimpares.

Numero imperfecto Numero que no es per-fecto. Es decir, un numero es imperfectosi la suma de sus divisores propios esdiferente al numero.Por ejemplo, 8 es un numero imperfecto,porque la suma de sus divisores propios:1 + 2 + 4 = 7, no es igual a 8.

Numero irracional Es el conjunto de todoslos numeros que no se pueden expre-sar como el cociente de dos numeros en-teros, donde el denominador es distinto

de cero.

Q′ =

x∣∣∣∣x ,

pq

, p, q ∈ Z; q , 0

Un numero irracional es cualquierelemento del conjunto de los numerosracionales.Ningun numero racional es irracional yningun numero irracional es racional.Algunos numeros irracionales muy cono-cidos son π ≈ 3.141592654 · · · y e ≈2.7182818 · · ·

Numero mixto Numero formado por unaparte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.

Numero natural El conjunto de los numerosnaturales es el conjunto de numeros queusamos para contar:

N = 1, 2, 3, 4, 5, · · · Observa que el cero no es un elemento deeste conjunto.Un numero natural es cualquiera de loselementos del conjunto de los numerosnaturales.

Numero opuesto El numero opuesto delnumero a es el numero −a.Geometricamente el opuesto de unnumero esta a la misma distancia delorigen, pero del lado opuesto.Al numero opuesto de un numerotambien se le llama simetrico.Un numero y su opuesto tienen el mismovalor absoluto.Vea la definicion de Valor absoluto.

Numero ordinal Numeros que indican laposicion ordenada de un conjunto de ob-jetos.Los primeros 20 numeros ordinales son:

3 primero3 segundo3 tercero3 cuarto3 quinto3 sexto


106

N

Numero par–Numeros primos gemelos

3 septimo3 octavo3 noveno3 decimo3 decimoprimero3 decimosegundo3 decimotercero3 decimocuarto3 decimoquinto3 decimosexto3 decimoseptimo3 decimoctavo3 decimonoveno3 vigesimo

Los siguientes numeros ordinales se nom-bran anteponiendo la raız grecolatina delas decenas del numero (tri, tetra, penta,etc.) seguido de -gesimo y el numeroordinal correspondiente entre primero ynoveno.Por ejemplo, el numero ordinal 35 senombra: trigesimo-quinto.Vea la definicion de Numero cardinal.

Numero par Numero que es divisible entredos. Es decir, un numero par tiene aldos como factor al menos una vez en sudescomposicion en factores primos.Por ejemplo, los numeros 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son numeros pares.

Numero perfecto Un numero natural tal quela suma de sus divisores propios es iguala el.Por ejemplo, el numero 6 es un numeroperfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.

Numeros pitagoricos Una tercia de numerosentero a, b, c que satisfacen:

a2 + b2 = c2

Por ejemplo, los numeros 3, 4, 5 son unatercia de numeros pitagoricos porque:

32 + 42 = 52

Hay un numero infinito de tercias denumeros pitagoricos.

Numero primo Numero natural que tieneexactamente dos divisores.Por ejemplo, el numero 2 es primo, puessus unicos divisores son 1 y 2.El numero 9 no es un numero primo, puestiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 numeros primos son lossiguientes:

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71

Observa que un numero impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo, el 21no es primo, pues tiene 4 divisores (1, 3,7, 21).

Numero simetrico Sinonimo de numeroopuesto.Vea la definicion de Numero opuesto.

Numero trascendental Numero irracional queno puede ser raız de una ecuacion polino-mial con coeficientes racionales.Por ejemplo, el numero e es un numerotrascendental.

Numeros cardinales Numeros que indican lacantidad de elementos de un conjunto.Los numeros 1, 2, 3, etc., son los numeroscardinales.

Numeros ordinales Numeros que denotanun orden. Los numeros ordinales sonprimero, segundo, tercero, etc.

Numeros primos gemelos Se dice que dosnumeros primos son primos gemelos si ladiferencia entre ellos es igual a 2.Por ejemplo, los numeros 11 y 13 sonprimos gemelos, ası como 29 y 31.


Numeros primos relativos–Numeros triangulares

N

107

Numeros primos relativos Decimos que dosnumeros son primos relativos si el maxi-mo comun divisor entre ambos es 1.En otras palabras, dos numeros sonprimos relativos, si al formar una fraccioncon ellos, esta no se puede simplificar.Por ejemplo, 8 y 7 son primos relativos.Observa que no se requiere que los dosnumeros considerados a, b sean primos,sino que satisfagan que M.C.D.(a, b) = 1.

Numeros racionales Es el conjunto de todoslos numeros que se pueden expresarcomo el cociente de dos numeros en-teros, donde el denominador es distintode cero.

Q =

x∣∣∣∣x =

pq

, p, q ∈ Z; q , 0

Un numero racional es cualquierelemento del conjunto de los numerosracionales.Todos los numeros enteros y todos losnumeros naturales tambien son numerosracionales.Por ejemplo, los numeros:

12

,37

, −25

, −187

son numeros racionales.

Numeros reales Conjunto de numeros que seobtiene como la union de los conjuntos delos numeros racionales y de los numeros

irracionales:

R = Q∪Q′

Numeros romanos Sistema de numeraciondecimal, no posicional, utilizado por losantiguos romanos. En este sistema el Irepresenta al 1, V al 5, X al 10, L al 50, Cal 100, D al 500 y M al 1 000.No tenıan un sımbolo para el cero.

Numeros triangulares El conjunto de losnumeros generados a partir de arreglostriangulares de puntos: 1, 3, 6, 10, · · · .En la siguiente figura se muestra el quintonumero triangular (15):

Los numeros triangulares se obtienensumando los puntos que estan contenidosen el triangulo. Es decir, podemoscalcular el enesimo numero triangularutilizando la formula de la suma deGauss:

S =n · (n + 1)

2Por ejemplo, el quinto numero triangular(n = 5) es: S = (5)(6)/2 = 30/2 = 15.


108

N

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

OEfrain Soto Apolinar

Observacion Resultado de la obtencion deinformacion de una variable estadısticaen un estudio cientıfico relativo a unapoblacion especıfica.Por ejemplo, cuando se mide la alturade los estudiantes de un grupo, cadamedicion realizada es una observacion.

Obtuso, angulo Angulo que mide mas que unangulo recto, pero menos que un angulollano. En otras palabras, un anguloobtuso mide mas de 90, pero menos que180.

α

En la figura el angulo α es obtuso.

Octaedro Solido geometrico cuyas 8 caras sontriangulos equilateros.El siguiente solido es un octaedro:

Octagono Polıgono de 8 lados y 8 angulos.

Octagono

Octante El espacio tridimensional quedadividido en 8 partes que se tocan en elorigen de coordenadas. Cada una de esas8 partes se llama octante.

y

z

x

Un octante es cada una de las 8 divi-siones que se muestran en la figura (es-pacio tridimiensional) anterior.

110

O

Onceavo–Orden de las operaciones

Octavo Cuando dividimos un entero en ochopartes iguales, cada una de ellas es un oc-tavo, o bien, una octava parte del entero.

18

18

18

18

18

18

18

18

Onceavo Un onceavo es equivalente a unade las partes de un entero que hasido dividido en once partes del mismotamano.

111

111

111

111

111

111

111

111

111

111

111

Frecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) onceavo re-firiendose al numero ordinal undecimo.Por ejemplo, en un maraton, quienllego en el lugar numero once, tiene elundecimo lugar, no el onceavo. Onceavoes una fraccion, no un numero ordinal.

Onza Unidad de peso usada en el sistemaIngles, equivalente a 28.38 gramos.

Operacion Proceso definido por medio delcual se obtiene un valor a partir de otros.Las operaciones mas frecuentementeusadas con los numeros son: suma, resta,multiplicacion, division, potenciacion yradicacion.

Operacion algebraica En algebra elemental,las operaciones de suma, resta, multi-plicacion, division, potenciacion y ex-traccion de raız son las operacionesalgebraicas.

Optimizacion Un problema es de optimiza-cion cuando se requiere maximizar o min-imizar una cantidad.

Opuesto El opuesto del numero x es elnumero −x.Por ejemplo, el opuesto del numero 3 esel numero −3, y el opuesto del numero−10 es el numero 10.

Orden (Algebra) Se dice que los numerosreales son ordenados porque satisfacen latricotomıa, es decir, dados dos numerosreales a, b cualesquiera, se cumple una ysolamente una de las siguientes condi-ciones:

3 a > b

3 a = b

3 a < b

(Teorıa de conjuntos) Es igual al numerode elementos que tiene un conjunto. Esdecir, orden es un sinonimo de cardinali-dad.(Calculo) El orden de una derivada esigual al numero de veces que se derivola funcion.Por ejemplo, la derivada de orden dos ode segundo orden de la funcion y = x2,es y′′ = 2.

Orden de las operaciones El orden de lasoperaciones es el conjunto de reglas queindican que operaciones deben realizarseprimero en una expresion que incluyevarias operaciones.En resumen, el orden de las operacioneses:

1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupacion (parentesis)

2. Calcular potencias y raıces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas

Por ejemplo, al evaluar:

3× 52 + 7

empezamos elevando al cuadrado 5(prioridad mas alta), luego ese resultado


Ordenada–Ortogonal

O

111

lo multiplicamos por 3 (siguienteprioridad) y finalmente sumamos 7,obteniendo:

3× 52︸︷︷︸1ro

+ 7 = 3× 25︸︷︷︸2do

+ 7 = 75 + 7︸︷︷︸3ro

= 82

Ordenada Dadas las coordenadas de un puntoen el plano, P(x, y), la primera coorde-nada (x) se llama abscisa y la segundacoordenada (y) se llama ordenada.

x1 2 3 4

1

2

3

y

P(3, 2)

En la figura, la ordenada del punto P(3, 2)es y = 2, y su abscisa es x = 3.

Ortocentro Es el punto donde se intersectanlas tres alturas de un triangulo.

Ortocentro

Ortogonal Sinonimo de perpendicular. Porejemplo, dos vectores son ortogonales sison perpendiculares.Vea la definicion de Perpendicular.


112

O

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

PEfrain Soto Apolinar

Palındromo Un numero o una frase es unpalındromo si al leerse de derecha aizquierda se obtiene lo mismo que si selee de izquierda a derecha.Por ejemplo, los numeros 111, 34543, 909son palındromos.Una frase palındromo es: La ruta nosaporto otro paso natural.

Par Decimos que un numero es par si es di-visible entre dos. Es decir, un numero partiene al dos como factor al menos una vezen su descomposicion en factores primos.Por ejemplo, los numeros 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son numeros pares.

Par ordenado Un par ordenado se refiere aun par de valores (x, y) que determinanun objeto matematico que, en general,satisfacen: (a, b) , (b, a), es decir, los mis-mos valores en distinto orden correspon-den a dos objetos diferentes.Por ejemplo, las coordenadas de un puntoson un par ordenado, porque en el planocartesiano, (2, 3) , (3, 2).

Par, funcion Funcion que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la funcion: y = x2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x2

Parabola Curva plana generada por un puntoque se mueve de manera que se mantienea la misma distancia de un punto fijollamado foco y de una recta fija llamadadirectriz.

F

Directrız

Eje

La parabola es una de las conicas.Vea la definicion de Conica.

114

P

Parabola de Fermat–Parametro

Parabola de Fermat La grafica de una funciondel tipo y = xn, donde n es un numeronatural, se llama parabola de Fermat.La siguiente grafica es una parabola deFermat cubica:

x−3 −2 −1 0 1 2

y

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1y = x3

Parabola cubica Curva que resultade graficar una funcion cubica:y = ax3 + bx2 + cx + d.

Paradoja Una proposicion que puede pro-barse cierta y falsa sin error logicoaparente.

Paralelo Dos rectas que se encuentran en unmismo plano son paralelas si no se cortanpor mas que se prolonguen. En otraspalabras, dos rectas son paralelas cuandola distancia entre ellas no cambia con-forme se extienden (en el plano).En la siguiente figura, las rectas `1 y`2 son paralelas. Esto se denota como:`1 ‖ `2.

` 1 ` 2`1 ‖ `2

En geometrıa analıtica, sabemos que dosrectas son paralelas si tienen la mismapendiente.

Paralelogramo Cuadrilatero que tiene dospares de lados opuestos paralelos.

h

bParalelogramo

El area del paralelogramo es igual alproducto de su base por su altura.

A = b× h

Paralelepıpedo Poliedro de cuyas 6 carasson paralelogramos que son paralelas enpares.Por ejemplo, el cubo es un paralelepıpe-do.

Paralelepıpedo

Parametro (1.) Variable que sirve para carac-terizar la evolucion de un sistema.(2.) Valor constante que sirve para carac-terizar a una poblacion.Por ejemplo, la media es un parametro deuna poblacion.(3.) Conjunto de valores que determinande manera unica una figura geometrica.Por ejemplo, los parametros a y c de-terminan de manera unica a una elipsehorizontal.


Pascal, Blaise–Pendiente

P

115

Pascal, Blaise (1 623 – 1 662) Matematico,filosofo y teologo frances. Enmatematicas hizo aportaciones impor-tantes en geometrıa analıtica y enprobabilidad. Tambien trabajo en fısica,especıficamente en hidrostatica. Sus prin-cipales obras fueron: Ensayo en seccionesconicas (1 640), Nuevos experimentos rela-cionados con el vacıo (1 647), Tratado sobreel equilibrio de los lıquidos (1 654), La gen-eracion de secciones conicas (1 654), Tratadoen el triangulo aritmetico (1 654).

Pascal, triangulo de Triangulo que sirve paracalcular los coeficientes de la enesimapotencia de un binomio.El siguiente diagrama indica como calcu-larlo:

1

11 +

11 2 ++

11 33

11 44 6

11 55 1010

Suma los dos numeros que estan indica-dos para obtener el que esta en medio deellos en el siguiente renglon.Para calcular: (x + y)5 calculamos losprimeros 6 renglones del triangulo dePascal y escribimos los coeficientes, ydespues las literales con los exponentesque le corresponden:

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3

+5xy4 + y5

Observa que los exponentes de x vandecreciendo, empezando desde 5 yterminando en 0, los de y van creciendo,empezando desde 0 y terminando en 5.Observa tambien que la suma de losexponentes de las literales de cadatermino es 5.

Patron Decimos que una sucesion, una figurao un objeto matematico presenta unpatron cuando es posible encontrar ciertaregularidad en el objeto.Por ejemplo, para la construccion dealgunos fractales se sigue un patron deconstruccion. En la siguiente figura semuestra una iteracion de la construcciondel fractal de Koch, junto con el patronque se encuentra regularmente en el:

Patron

Podemos decir que para la construccionde una sucesion tambien existe unpatron, que consiste en la regla que nosayuda a generar los numeros que formanla sucesion, uno tras otro.Por ejemplo, en a sucesion, 3, 10, 24, 52,etc., el patron o la regla para ir generandolos terminos de la sucesion es: suma dosal ultimo termino y multiplica por dos alresultado.

Pendiente La pendiente m de una recta quepasa por los puntos P(xp, yp) y Q(xq, yq),se define como el cociente:

m =yp − yq

xp − xq=

∆y∆x

Geometricamente, la pendiente indicacuantas unidades avanza verticalmente lagrafica por cada unidad avanzada en elsentido del eje x.La pendiente de una recta es igual a latangente del angulo que esta forma con eleje horizontal:


116

P

Pentacontagono–Perımetro

x

y

`

α

m = tan α

La literal m para la pendiente viene delLatın mutatis que significa cambio.

Pentacontagono Polıgono de 50 lados.

Pentacontaedro Poliedro de 50 caras.

Pentadecagono Polıgono de 15 lados.

Pentadecagono

Pentagono Polıgono de cinco lados.

Pentagono

En la figura anterior se muestra unpentagono no regular.

Pentaedro Poliedro de 5 caras.Una piramide con base cuadrada es unejemplo de pentaedro.

Percentil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cien partes iguales.Para hacer el calculo de los percentiles serequiere que los datos esten ordenados demanera creciente.El p percentil es el valor que tiene p%de todos los valores por debajo de el yel (100− p)% por encima.Por ejemplo, el 35 percentil es mayor al35% de todos los valores y es menor al65% de todos los valores.

Perfecto, cuadrado Un numero es cuadradoperfecto si su raız cuadrada es un numeroentero.Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto,porque su raız cuadrada es 5.5 no es un cuadrado perfecto, porque suraız cuadrada no es un entero.

Perfecto, numero Un numero natural tal quela suma de sus divisores propios es iguala el.Por ejemplo, el numero 6 es un numeroperfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.

Perigonal, angulo Angulo cuya medida esigual a 360.

α

En la figura anterior, el angulo α esperigonal.

Perımetro El perımetro de un polıgono esigual a la suma de las longitudes de suslados.El perımetro de una figura geometricacerrada (como la circunferencia) es iguala la longitud de la lınea que la delimita.El perımetro es la longitud del contornode una figura plana.Vea la definicion de Contorno.


Periodo–Pictograma

P

117

Periodo Si existe un valor k tal que para todox, f (x) = f (x + k), entonces decimos quela funcion es periodica. El periodo de unafuncion periodica f es el mınimo valor kque cumple: f (x) = f (x + k).Por ejemplo, la funcion seno es periodica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la funcion seno es 2π.

Permutacion Una permutacion P(n, r) es unasecuencia ordenada de r objetos de unconjunto de cardinalidad n.P(n, r) se lee: el numero de permutaciones den objetos tomando r a la vez, y se calcula conla formula:

P(n, r) =n!

(n− r)!

donde n! es el factorial del numero n.

Perpendicular Dos rectas son perpendicula-res si al cortarse forman cuatro angulosiguales. Es decir, si dos rectas formancuatro angulos rectos cuando se intersec-tan, entonces son perpendiculares.En la siguiente figura las rectas `1 y `2son perpendiculares. Esto se denota como`1 ⊥ `2.

`1

`2

`1 ⊥ `2

Pertenencia Decimos que x pertenece alconjunto A si x es uno de sus elementos,

y se denota como: x ∈ A.Si x no es un elemento del conjunto A,entonces decimos que x no pertenece alconjunto y lo denotamos como: x <A.Por ejemplo, 3 ∈ N, pero π < Z. Observaque el concepto de pertenencia se aplica alos elementos del conjunto, no a sus sub-conjuntos. En ese caso usamos el con-cepto de inclusion de conjuntos. (Vea ladefinicion de Subconjunto)

Peso El peso de un cuerpo es igual a la fuerzacon que la tierra lo atrae.En matematicas frecuentemente se utilizala palabra peso para referirse a la masadel mismo. Cuando decimos que lasunidades de peso son los gramos (gr) ylos kilogramos (kg), nos referimos a lamasa, no al peso. En matematicas esteuso de la palabra peso se ha extendido,sin embargo, no coincide con la definicionde peso dada en fısica.

π (Pi) El numero π se define como elresultado de dividir la longitud de unacircunferencia entre su diametro.Este numero es irracional, y es aproxi-madamente igual a:

π ≈ 3.141592653589793

Generalmente utilizamos la aproxima-cion: π ≈ 3.1416 para realizar calculoscon el.

Pictograma Diagrama que representa datosestadısticos y que es util para la com-paracion de conjuntos de datos.

200250

300

175

La altura de cada una de las colum-nas es proporcional a la cantidad que


118

P

Pie–Plano

representa. La figura utilizada paraformar la columna debe indicar al objetoa la cual se refiere.

Pie Unidad de distancia usada en el sistemaIngles, equivalente a 12 pulgadas. Un pieequivale a 30.48 centımetros, o bien 0.3048metros.

Pie cuadrado Unidad de area utilizada enel sistema Ingles, equivalente a 0.093metros cuadrados, o bien, a 144 pulgadascuadradas.

Pie cubico Unidad de volumen utlizada enel sistema Ingles, equivalente a 0.02832metros cubicos.

Piramide Solido geometrico con un polıgonocomo base y triangulos isosceles con unvertice comun como las demas caras delsolido.

Piramide triangular

Pitagoras (569 AC – 475 AC) Matematicode la antigua Grecia. Alumno de Talesde Mileto, de quien aprendio geometrıa.Fundo una escuela en Samos, a la quellamo Semicırculo, donde se ensenabaetica, filosofıa y matematicas.Implemento el uso de formulas yteoremas basado en las relacionesmatematicas. En su ensenanza diomucha importancia a los numeros. Se leatribuyen varios descubrimientos, prin-cipalmente en geometrıa, como el hechode que la suma de los tres angulos in-ternos de un triangulo que se encuentraen el plano suman 180, y el teorema dePitagoras.Su escuela crecio de manera que influyo

en otros pensadores posteriores, comoEuclides de Alejandrıa.

Pitagoras, teorema de En todo triangulorectangulo que se encuentra en un plano,la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los catetos es igual al cuadradode la longitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las lon-gitudes de los catetos del triangulorectangulo y c es la longitud de suhipotenusa, entonces se cumple:

c2 = a2 + b2

c b

a

Plana, geometrıa Geometrıa que estudia obje-tos en el plano: puntos, rectas, triangulos,cuadrilateros, etc.

Plano Superficie tal que al considerar unarecta que pase por cualesquiera dospuntos sobre la superficie, todos lospuntos de la recta se encuentra en lamisma superficie.La siguiente figura es de un plano en tresdimensiones:

π

En matematicas se denota con la letra π aun plano.


Plano cartesiano–Poliedro

P

119

Plano cartesiano Plano que utiliza un sistemade coordenadas cartesianas (rectangula-res) para determinar las coordenadas delos puntos.Al plano cartesiano tambien se le llamaplano coordenado.

Plano complejo Plano que asigna el ejehorizontal a los numeros reales y eleje vertical a los numeros imaginar-ios de manera que podamos representargraficamente los numeros complejos.

R

I

z = 3 + 2 i

El plano complejo tambien se conocecomo el plano de Gauss.

Platonico, solido Cada uno de los cincosolidos regulares: tetraedro, cubo, octae-dro, dodecaedro e icosaedro.

Poblacion En estadıstica, la poblacion serefiere al universo de donde se elige unamuestra para su estudio.Los parametros de la poblacion son loscalculados a partir de datos coleccionadossobre todos los elementos de la poblacion.Los parametros muestrales son los que secalculan a partir de los observados en lamuestra.

Polar, coordenada Las coordenadas polaresdel punto P del plano se definen a partirde la distancia al origen y el angulo queforma la recta que pasa por el origen y elpunto P con el eje horizontal:

P(r, θ)r

θ

Las coordenadas polares de unpunto P(r, θ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P(x, y), atraves de las siguientes formulas:

x = r · cos θ

y = r · sin θ

Polar, forma La forma polar del numerocomplejo z = a + ib, es:

z = r (cos θ + i sin θ)

donde θ = arctan(

ba

).

Poliedro Solido geometrico formado por carasplanas.Si todas sus caras son el mismo polıgonoregular se llaman poliedros regulares.Los poliedros regulares son: tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Cubo


120

P

Polıgono–Polıgono regular

Polıgono Figura plana cerrada delimitada porsegmentos de recta que no se cortan entreellos, salvo en sus extremos.Cada uno de los segmentos de recta esun lado del polıgono y el punto dondese intersectan dos lados consecutivos delpolıgono se llama vertice.La siguiente figura muestra un polıgono:

Vertice

Lado

Polıgono circunscrito Se dice que unpolıgono es circunscrito cuando todossus lados son tangentes a una mismacircunferencia.

Hexagono circunscrito

Polıgono inscrito Se dice que un polıgono esinscrito cuando todos sus lados son cuer-das de una misma circunferencia.

Hexagono inscrito

Polıgono de frecuencias Grafica de una dis-tribucion de frecuencias que se elaborauniendo los puntos medios de la base su-perior de cada rectangulo en un histo-grama.La siguiente figura muestra un polıgonode frecuencias:

Clases

f

A B C D E0

1

2

3

Polıgono regular Cuando un polıgono tienetodos sus lados y todos sus angulosiguales se llama polıgono regular. Esdecir, un polıgono es regular si esequilatero y equiangulo a la vez.

αn

i

Los elementos de los polıgonos regularesson:

3 Angulo central

αn =360

n

3 Suma de angulos internos

Sint = 180 (n− 2)


Polinomio–Potencia

P

121

3 Angulo interno

i =180 (n− 2)

n3 Numero de diagonales

D =n (n− 3)

2

3 Suma de angulos externos:

Sext = 360

Polinomio Expresion algebraica de la forma:

a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn

donde n es un numero entero, que seconoce como el grado del polinomio. Loscoeficientes a0, a1, a2, · · · , an, son numerosreales y an , 0.El nombre particular que recibe cadapolinomio depende del numero determinos que lo formen.

Terminos Nombre Ejemplo

1 Monomio 3 x2

2 Binomio 2 + x3

3 Trinomio 1 + 2 x + 3 x2

Frecuentemente se les llama simplementepolinomio cuando tienen mas de tresterminos.

Porcentaje Fraccion de una cantidad que setoma por cada cien contenida en ella yque se denota con el sımbolo %.Es decir, un porcentaje es una proporcionque compara un numero con el cien.Por ejemplo, el 10% de 500 es 50, porquede cada cien de los 500 tomamos 10, comohay 5 grupos de cien, obtenemos 5× 10 =50.El calculo del p porcentaje de la cantidadM se realiza facilmente usando:

R =p ·M100

Por ejemplo, el 5% de 250 es:

R =5× 250

100= 12.5

Positivo Un numero o expresion algebraica espositivo(a) si su valor es mayor a cero.Para indicar que una cantidad es posi-tiva se le antepone el signo +. Cuandono aparece sımbolo alguno, se entiendeque el signo positivo esta considerado demanera implıcita.

Postulado Proposicion que se acepta comoverdadera, por no existir algun principiodel que se pueda deducir.Postulado no es sinonimo de axioma. Elaxioma es evidente; el postulado no lo es.

Postulados de Euclides Lista de cinco postu-lados que utilizo Euclides al estudiar lageometrıa Plana en su obra titulada LosElementos.

¬ Por cualesquiera dos puntos delplano pasa una recta exactamente.

Una lınea recta puede extenderse enambos sentidos infinitamente.

® Dado un radio y un punto, siem-pre es posible dibujar un cırculo concentro en el punto dado y con elradio dado.

¯ Todos los angulos rectos son iguales.

° Dada una recta y un punto fuera deella, hay exactamente una lınea rectaparalela a la recta dada.

Vea la definicion Euclides.

Potencia Es el resultado de multiplicar unnumero (la base) por sı mismo variasveces.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸

5 factores

= 32


122

P

Precision–Prioridad de las operaciones

Precision (Computacion) Numero de cifrassignificativas que presenta una cantidad.Por ejemplo, el valor de π con una pre-cision de 4 cifras es: 3.1416.

Premisa En logica, las proposiciones a partirde las cuales se obtiene una conclusion,se llaman premisas.Vea la definicion Conclusion.

Primero Numero ordinal que corresponde al1.

Primo, factor Un numero primo p es factor deotro n si este ultimo es divisible entre elnumero primo p.Por ejemplo 3 es factor primo de 21,porque 21 puede dividirse exactamenteentre 3 y porque 3 es un numero primo.

Primo, numero Numero natural que tieneexactamente dos divisores.Por ejemplo, el numero 2 es primo, puessus unicos divisores son 1 y 2.El numero 9 no es un numero primo, puestiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 numeros primos son lossiguientes:

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71

Observa que un numero impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo, el 21no es primo, pues tiene 4 divisores (1, 3,7, 21).

Primos gemelos Dos numeros primos p, q sonprimos gemelos si la diferencia entre elloses 2.Por ejemplo, los numeros 29 y 31 sonprimos gemelos, pues la diferencia 31 −29 = 2.

Primos relativos Dos numeros naturales sonprimos relativos si el maximo comundivisor entre ellos es el numero uno.Por ejemplo, 7 y 9 son primos relativos.

Observa que no se requiere que losnumeros sean primos para que seanprimos relativos.

Primos triates Tres numeros primos p, q, r sontriates si la diferencia entre dos consecu-tivos es 2.La unica terna de primos triates es: 3, 5, 7.Observa que 7 − 5 = 2, y tambien secumple: 5− 3 = 2.

Principio Una verdad que ha sido de-mostrada. Sinonimo de ley.

Principio de induccion Asociamos un enteron a una proposicion P(n). Si se cumplela proposicion para n = 1, es decir, P(1)se satisface, y tambien se satisface P(2); alsuponer que se satisface P(k), si se puedemostrar que P(k + 1), entonces, P(n) sesatisface para todos los numeros natura-les n ∈N.

Principio del buen ordenamiento El princi-pio del buen ordenamiento dice queun subconjunto (de cardinalidad finita)de un conjunto ordenado contiene unelemento que es el menor de todos.Por ejemplo, el conjunto 0, 2, 4, 6, 8 tieneun elemento que es el menor de todos,(0).

Prioridad de las operaciones La prioridad delas operaciones es el conjunto de reglasque indican que operaciones debenrealizarse primero en una expresion queincluye varias operaciones.En resumen, la prioridad de las operacio-nes es:

1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupacion (parentesis)

2. Calcular potencias y raıces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas

Por ejemplo, al evaluar: 3 × 52 + 7,empezamos elevando al cuadrado 5


Prisma–Producto de numeros complejos

P

123

(prioridad mas alta), luego ese resultadolo multiplicamos por 3 (siguienteprioridad) y finalmente sumamos 7,obteniendo:

3× 52︸︷︷︸1ro

+ 7 = 3× 25︸︷︷︸2do

+ 7 = 75 + 7︸︷︷︸3ro

= 82

Prisma Poliedro con dos caras poligonalesidenticas y paralelas, y las demas carassiendo paralelogramos.

Prisma pentagonal

Prisma recto Prisma con bases perpendicula-res a sus caras laterales.Por ejemplo, el prisma pentagonalmostrado en la definicion de Prisma, es unprisma recto.

Probabilidad En matematicas, la probabilidades una forma de medir la posibilidad deque un evento ocurra.El valor de la probabilidad P(A) de unevento A satisface: 0 ≤ P(A) ≤ 1.Cuando un evento A tiene n diferen-tes posibles resultados, todos igualmenteprobables, la probabilidad de que ocurrauno de esos eventos P(A) es:

P(A) =1n

Y mas generalmente, cuando hay kcasos favorables de obtener un resultadoparticular de un experimento de entre ncasos posibles, la probabilidad del eventoes:

P(A) =casos favorablescasos posibles

=kn

Si a un evento se asigna la probabili-dad de cero (0), entonces ese evento es

practicamente imposible de que ocurra.Si a un evento se asigna la probabilidadde uno (1), entonces ese evento ocurre concerteza.

Probabilidad empırica Probabilidad de unevento calculada a partir de la repeticiondel evento un gran numero de veces.

Problema Una proposicion o pregunta querequiere de un procedimiento o metodopara encontrar su solucion.En matematicas no todos los problemastienen por solucion un numero o unaexpresion algebraica. Algunas veces lasolucion del problema consiste en decirque ese problema no tiene solucion.Por ejemplo, la solucion de encontrar elnumero x que cumpla: x + 2 = x, es: Talnumero x no existe.

Producto Es el resultado de la multiplicacionde dos numeros o expresiones algebrai-cas.

Producto cartesiano El producto cartesiano delos conjuntos A y B denotado por A ×B es el conjunto formado por todos lospares ordenados (a, b) donde a ∈ A yb ∈ B.Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =4, 5, 6. Entonces,

A×B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Producto de fracciones El producto de lasfracciones a/b y c/b esta definido por:

( ab

) ( cd

)=

a · cb · d

Producto de numeros complejos El productode los numeros complejos z1 = a1 + i b1 yz2 = a2 + i b2, esta definido por:

z1 · z2 = (a1 · a2− b1 · b2)+ i (a1 · b2 + a2 · b1)


124

P

Productos notables–Propia, fraccion

Productos notables Los productos notablesreciben su nombre debido a que apare-cen frecuentemente en algebra; se han es-tablecido sus reglas para no tener que cal-cularlos cada vez que se requiera conocersu resultado.Algunos productos notables de frecuenteuso son:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a + b)(a− b) = a2 − b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Programa Listado de instrucciones que per-mite la solucion de un problema a travesde la computadora. Generalmente losprogramas se escriben en algun lenguajede programacion para que la computa-dora pueda entender las instrucciones.

Programacion lineal Estudio de las tecnicaspara la optimizacion de sistemas deecuaciones lineales bajo un conjuntode condiciones sobre las variables delproblema.La optimizacion permite la planeacion deldesarrollo de actividades de manera quelos recursos se aprovechen de la mejormanera posible.

Progresion aritmetica Lista de numeros quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer termino de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−esimo termino ande la progresion usando la formula:

an = a1 + d (n− 1)

Y la suma de los primeros n terminos Sncon:

Sn =n (a1 + an)

2A la progresion aritmetica tambien se leconoce como sucesion aritmetica.

Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los terminos de la sucesion aritmetica son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.

Progresion geometrica Lista de numeros quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razon constante.Es decir, si dividimos ai+1 ÷ ai = r paracualesquiera dos terminos consecutivosde la progresion.El primer termino de la lista se denota pora1 y la razon constante por r.Podemos calcular el n−esimo termino ande la progresion usando la formula:

an = a1 · rn−1


Sn =a1(1− rn+1)

1− rA la progresion geometrica tambien se leconoce como sucesion geometrica.Por ejemplo, si definimos a1 = 2 y r = 3,los terminos de la sucesion geometricason: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18, a4 = 54,etc.

Promedio El promedio de n datosx1, x2, x3, · · · , xn, es igual a la suma detodos ellos entre n:

x =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

n=

∑ xi

nNota: el sımbolo ∑ indica la suma de losvalores xi.Vea la definicion Sigma, notacion.

Pronostico Un pronostico es una estimaciondel comportamiento de una variable es-tadıstica en eventos futuros.Para elaborar un pronostico se utilizandatos estadısticos, teorıa economica ycondiciones del problema.Existen muchos metodos para hacerpronosticos.

Propia, fraccion Fraccion en la que el numera-dor es menor que el denominador.Por ejemplo, la fraccion 3/7 es propia,porque 3 < 7.


Propiedad–Proporcion inversa

P

125

Propiedad Decimos que un objeto(matematico) tiene una propiedad si pre-senta una caracterıstica especıfica.

Propiedades de los numeros Los numerosreales presentan las siguientespropiedades:Para la suma:

3 Cerradura: a + b ∈ R

3 Conmutativa: a + b = b + a

3 Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

3 Neutro: a + 0 = a

3 Inverso: a + (−a) = 0

Para la Multiplicacion:

3 Cerradura: a · b ∈ R

3 Conmutativa: a · b = b · a3 Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)3 Neutro: a · 1 = a

3 Inverso: a · (1/a) = 1, a , 0.

Y la propiedad distributiva, que es launica que involucra a las dos operacionesde suma y multiplicacion:

a (b + c) = a b + a c

Al conjunto de numeros que satisfacetodas estas propiedades se le llama campo.Los numeros racionales tambien formanun campo, es decir, ellos tambien tienenlas mismas propiedades.El conjunto de los numeros complejostambien forman un campo.

Proporcion Igualdad entre dos razones.Por ejemplo,

x7=

72

es una proporcion.

Proporcion aurea Numero irracionaldenotado por la letra griega φ, e iguala:

φ =1 +√

52

Este numero aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto estetico.Se dice que un rectangulo esta en pro-porcion aurea cuando al multiplicar lalongitud de un lado por φ obtenemoscomo resultado la longitud del otro lado.

A B

CD

M

N

Si dividimos:∣∣AB

∣∣ entre∣∣BC

∣∣ obtenemosel mismo resultado que dividir

∣∣BC∣∣ entre∣∣BM

∣∣:

φ =

∣∣AB∣∣

∣∣BC∣∣ =

∣∣BC∣∣

∣∣BM∣∣ =

1 +√

52

Los rectangulos ABCD y MBCN estan enproporcion aurea.

Proporcion directa Cuando dos cantidadesestan en proporcion de manera que alcrecer una de las cantidades, la otra crecela misma cantidad de veces, entonces lascantidades estan en proporcion directa.Por ejemplo, cuando aumenta el numerode horas trabajadas, aumenta el numerode minutos trabajados.

Proporcion inversa Cuando dos cantidadesestan en proporcion de manera que alcrecer una de las cantidades, la otradecrece la misma cantidad de veces,entonces las cantidades estan en pro-porcion inversa.Por ejemplo, cuando varias personas vana pintar una pared, si las personas traba-jan al mismo ritmo y no se estorban,al aumentar el numero de personas, eltiempo que requieren para pintar la pareddisminuye.


126

P

Proporcion por alteracion–Punto de tangencia

Proporcion por alteracion Dada la proporciona/b = c/d, se cumple:

ac=

bd

Proporcion por inversion Dada la proporciona/b = c/d, se cumple:

ba=

dc

Proporcion por resta Dada la proporciona/b = c/d, se cumple:

a− bb

=c− d

d

Proporcion por suma Dada la proporciona/b = c/d, se cumple:

a + bb

=c + d

d

Proporcion por suma y resta Dada la pro-porcion a/b = c/d, se cumple:

a + ba− b

=c + dc− d

Proposicion Enunciado de una ley o un prin-cipio. Tambien puede ser una cuestionque se requiere resolver o demostrar.En matematicas las proposiciones masusadas son: el axioma, el postulado, elteorema, el corolario y el problema.

Prueba Sinonimo de demostracion.Vea la definicion de Demostracion.

Pseudoprimo Un numero entero n es pseudo-primo si n es divisor de 2n − 2.Por ejemplo, el numero 5 es pseudo-primo, porque es divisor de 30, y30 = 25 − 2.

Pulgada Unidad de distancia usada en elsistema Ingles, equivalente a 2.54 cm, obien a un doceavo de un pie. Es decir, 12pulgadas equivalen a 1 pie.

Punto Objeto geometrico que carece de lon-gitud, ancho y fondo y se utiliza paraindicar una ubicacion en el espacio.En otras palabras, el punto tiene una lon-gitud, un area y un volumen de cerounidades en cada uno.Euclides definio el punto como: aquelloque no tiene partes.El punto se considera el objetogeometrico mas fundamental.

Punto de inflexion En la grafica de una curva,el punto de inflexion corresponde alpunto donde la concavidad de la graficacambia.El punto de inflexion se puede calcularcon la segunda derivada de la funcion,porque precisamente donde la segundaderivada se hace cero la grafica de lafuncion cambia de concavidad.En la grafica de la funcion seno, lospuntos de inflexion se encuentran sobre eleje x, esto es, cuando sin x = 0, la graficacambia de concavidad.

x

y

y = sin x

1

-1

Punto de tangencia Punto en el cual una rectatoca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:


Punto decimal–Puntos notables

P

127

C

P

Punto decimal Signo matematico que sirvepara separar la parte entera de un numerode su parte decimal.Por ejemplo, en el numero: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.En algunos paıses se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.

Punto crıtico En una curva, el punto crıticoes el punto donde una recta tangente ala curva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crıtico de la funcion y = f (x)

x

y

y = f (x)

P1

-1

Punto medio El punto medio del segmentoAB es el punto M del segmento que estaa la misma distancia de sus extremos.En otras palabras, el punto medio de unsegmento es el punto que lo divide en dossegmentos de la misma longitud.En la figura se muestra un segmento ABy su punto medio M:

A

B

M

Puntos homologos En un par de figurassimetricas respecto de un eje, se llamanpuntos homologos a cada par de puntoscorrespondientes entre las dos figuras.Por ejemplo, en la siguiente figurase muestran los triangulos 4ABC y4A′B′C′

A

B

C

A′

B′

C′

Los pares de puntos A y A′, B y B′, C yC′ son puntos homologos.Observa que los puntos homologos seencuentran a la misma distancia de larecta (eje) de simetrıa.

Puntos notables En un triangulo que se en-cuentra en un plano, los puntos notablesson los siguientes:

3 Baricentro: es el punto donde seintersectan sus tres medianas.

3 Circuncentro: es el punto donde seintersectan sus tres mediatrices.

3 Incentro: es el punto donde se inter-sectan sus tres bisectrices.

3 Ortocentro: es el punto donde seintersectan sus tres alturas.


128

Q

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

REfrain Soto Apolinar

R Sımbolo que representa el conjunto de losnumeros reales.

Racionalizacion Proceso que consiste enconvertir una fraccion con un denomina-dor irracional a una fraccion equivalentecon denominador racional.Por ejemplo,

1√2=

1√2·√

2√2=

√2

2

Racionalizar Desarrollar una razionalizacion.Vea la definicion de Racionalizacion.

Radian Unidad de medida de angulo que esigual al angulo subtendido por un arcode longitud igual al radio.En la siguiente figura se muestra elangulo α que mide un radian:

αr

r r

Un radian se denota por 1 rad.π rad = 180.

Radical Sımbolo que se utiliza en matematicaspara indicar la raız: n

√ .

El ındice n nos dice del orden de la raız(cuadrada, cubica, cuarta, etc.)Por ejemplo, para indicar raız quintausamos el ındice 5:

5√32 = 2

Radicando El numero o la expresion quesirven de argumento a un radical.Por ejemplo, en la expresion 3√x + 5, elradicando es x + 5.

Radio Distancia del centro de una circunferen-cia a cualquiera de sus puntos.

rC

Radio de un polıgono regular Segmento queva del centro del polıgono a cualquiera delos vertices del polıgono.

130

R

Radio focal–Rama

radio

Radio focal Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una conica ysu punto final en algun punto cualquierade la misma.

x

y

FF′

P(x, y)Radio focal

O

Raız Numero que multiplicado un numero deveces indicado, resulta igual a otro valordado.Por ejemplo, la raız cubica (el ındice es 3)de 27 es 3, porque 33 = 27.La raız quinta de 32 es 2, porque 25 = 32.La raız cuadrada se denota con el signode radical:

√k, y las raıces de mayor

orden con un ındice: n√k indica la raızenesima.

Raız cubica La raız cubica del numero x es elnumero r que tiene la propiedad que almultiplicarse por sı mismo tres veces dax.En otras palabras, la raız cuadrada de xes el numero r que cumple: r3 = x.Por ejemplo, la raız cuadrada de 1000 es10, porque:

103 = 10 · 10 · 10 = 1000

La raız cubica de los numeros enteros nosiempre es un numero entero.

Raız cuadrada La raız cuadrada del numero xes el numero r que tiene la propiedad queal multiplicarse por sı mismo da x.En otras palabras, la raız cuadrada de xes el numero r que cumple: r2 = x.Por ejemplo, la raız cuadrada de 100 es10, porque:

102 = 10 · 10 = 100

La raız cuadrada de un numero negativono es un numero real.

Raız de una ecuacion La raız de una ecuaciones el valor de su variable que hace que(la ecuacion) se reduzca a una igualdadvalida.Por ejemplo, las raıces de la ecuacion:x2 − 1 = 0, son x = 1 y x = −1, puescuando sustituimos cualquiera de estosvalores en la ecuacion, obtenemos cero.Geometricamente la raız de una ecuacionrepresenta el punto en que la grafica dela ecuacion corta al eje de las abscisas (ejex).La siguiente figura muestra dos raıces dela ecuacion: sin x = 0

x1 2 3 4

y

−1

1y = sin x

Raıces

Rama Una grafica tiene ramas cuando es dis-continua. A cada una de las partes de lagrafica se le llama rama de la grafica.En la siguiente figura se muestran las dosramas de una hiperbola.


Rango–Razon de division

R

131

x

yRama

izquierdaRama

derecha

Rango (Analisis) Al contradominio de unafuncion tambien se le conoce como elrango de la funcion.(Estadıstica) El rango de un conjunto dedatos se define como la diferencia entre elmayor y el menor de todos los datos. Enotras palabras, el rango de un conjunto dedatos es el intervalo mas pequeno que loscontiene a todos.El rango es una medida de dispersionde los datos, pues indica que tan dis-tantes estan los datos mas alejados de lamuestra.

Rango intercuartılico Medida de dispersiondefinida por la diferencia entre los per-centiles 75 y 25 de una distribucion.Vea la definicion de percentil.

Rapidez (1.) Numero que indica en cuantocambia de la posicion de un objeto porcada unidad de tiempo.La rapidez nunca es negativa.La rapidez se calcula dividiendo ladistancia recorrida entre el tiempo quetomo recorrer esa distancia.(2.) Magnitud de la velocidad, sin consid-erar direccion.(3.) En Calculo, la rapidez es igual a laprimera derivada de la posicion respectodel tiempo.

Rayo Una parte de una recta que tiene unpunto inicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra el rayo

−→AB:

−→AB

A

B

Para denotar al rayo siempre indicamosprimero el punto inicial y despues otropunto cualquiera por el cual tambienpase.

Razon (1.) La razon de dos numeros a, b es elresultado que se obtiene al dividirlos:

ab

es la razon de los numeros a y b.

(2.) En una sucesion geometrica, la razonr de la sucesion es el cociente de dosterminos consecutivos cualesquiera:

r =an+1

an

De manera que podemos calcular untermino de la sucesion a partir delanterior como sigue: an+1 = r · an.

Razon de cambio Razon a la cual una canti-dad varıa con respecto de otra.Si el valor de y depende de x de acuerdoa y = f (x), la razon de cambio de y conrespecto a x corresponde a la derivada dey respecto de x.Vea la definicion de Derivada.

Razon de division Dado el segmento AB yun punto P en el, la razon de divisiondel segmento AB por el punto P es elcociente: |AP|/|PB|.Por ejemplo, si |AB| = 10, y el punto Pesta a 6 unidades del punto A, entonces,|AP| = 6 y |PB| = 4, y la razon de di-vision del segmento AB por el punto P


132

R

Recıproco–Rectangulo

es:

r =|AP||PB| =

64=

32= 1.5

Recıproco El recıproco del numero x , 0 es elresultado de dividir uno entre x:

1x

es el recıproco de x.

Por ejemplo, el recıproco de 2 es12

.Frecuentemente al recıproco se le llama(equivocadamente) el inverso del numero.Los numeros no tienen inverso, las fun-ciones y las operaciones sı.

Recta Lınea que no cambia de direccion y sedenota por `.

`

Frecuentemente se utiliza la palabra lıneacomo sinonimo de recta.Una lınea tambien puede ser curva. Porejemplo, una circunferencia tambien esuna lınea, pero no es recta, pues cambiaconstantemente de direccion.

Recta de Euler Es la recta que pasa por elcircuncentro, el baricentro y el ortocentrode un mismo triangulo.

Rectas concurrentes Rectas que se cortan enun solo punto.

Rectas notables del triangulo Las rectas nota-bles en un triangulo son:

3 Altura

3 Bisectriz

3 Mediatriz

3 Mediana

Vea cada definicion para mas detalles.

Recta numerica Sinonimo de Recta real.Vea la definicion de Recta real.

Recta real Recta en la cual se elige un puntofijo al cual se llama origen y al quese le asigna el cero, y utilizando unaunidad de medida se marcan puntoscon esa unidad de distancia entre ellospara marcar los numeros enteros posi-tivos hacia la derecha y los negativos a laizquierda del origen:

(+)−2 −1 0 1 2 3 4

(−)

Origen

A cada numero real se le puede asig-nar un punto de la recta real y a cadapunto de la recta numerica le correspondeexactamente un numero real.Recta numerica es sinonimo de recta real.

Rectangulo Cuadrilatero que tiene cuatroangulos internos iguales.Tambien se puede definir como unparalelogramo que tiene sus 4 angulos in-ternos iguales a un recto.

Rectangulo

bh

A = b× hP = 2 (b + h)

El cuadrado es un caso particular delrectangulo, que tiene sus cuatro lados dela misma medida. Es decir, el cuadrado esun rectangulo que tambien es un rombo.


Rectilıneo–Regla de la recta vertical

R

133

Rectilıneo Objeto caracterizado por una ovarias lıneas rectas.Por ejemplo, el movimiento rectilıneo serealiza sobre una lınea recta.

Redondeo Proceso de aproximar un valor auna cantidad considerando algunas desus primeras cifras decimales.Por ejemplo, al redondear el valor de π adiezmilesimos obtenemos: π = 3.1416.

Reduccion En matematicas, la palabra re-duccion es sinonimo de simplificacion.Por ejemplo, cuando reducimos una ex-presion, la expresamos de una maneraequivalente, pero mas sencilla de inter-pretar.Por ejemplo,

x2 − 6 x + 9 = (x− 3)2

Reduccion al absurdo Demostracion a travesde probar que lo contrario guıa a una con-tradiccion. Sinonimo de demostracion porcontradiccion.

Reduccion de una fraccion Decimos quehemos reducido una fraccion cuando lahemos simplificado.Por ejemplo, al reducir la fraccion 12/20,obtenemos:

1220

=3 · 45 · 4 =

35

Reduccion, metodo de Metodo para resolversistemas de ecuaciones lineales queconsiste en sumar multiplos de unaecuacion a otra para reducir el numero devariables y de ecuaciones en el sistema.Este metodo tambien se conoce comometodo suma y resta o como el metodo deeliminacion.

Reflexiva, propiedad La propiedad reflexivade la igualdad dice que todo numero esigual a sı mismo.Matematicamente, a = a.

Vea la definicion de igualdad para verotras propiedades de la igualdad.

Region Subconjunto del plano cartesiano.Una region puede ser, por ejemplo, lasolucion de un sistema de desigualdades:

x2 4 6 8 10

y

2

4

6

8

10

x+y=

10

x + y > 10

Regla Instrumento usado en geometrıa paradibujar rectas.En geometrıa plana la regla se consid-era sin escala (acotacion), de manera queno podemos medir distancias, sino sola-mente trazar lıneas rectas con ella.Una parte de una regla con acotacion esla siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7

1 cm

Regla de la recta vertical Regla que permitemostrar si una grafica pertenece a la deuna funcion. Para esto, se trazan rectasverticales a lo largo de la grafica. Si almenos una recta vertical corta a la graficaen dos o mas puntos, entonces la graficano corresponde a la de una funcion.

x

y


134

R

Reglas de los exponentes–Regletas de Cuisenaire

Como la grafica mostrada nunca es cor-tada por una recta vertical en dos o maspuntos, corresponde a la grafica de unafuncion.

Reglas de los exponentes Las reglas de losexponentes son las siguientes:

3 am · an = am+n

3am

an = am−n

3( a

b

)m=

am

bm

31

am = a−m

3 a0 = 1 (a , 0)

3 (am)n = amn

3 (a · b)m = ambm

Reglas de los signos Las reglas de los signosson las siguientes:

+ ·+ = +

+ · − = −− ·+ = −− · − = +

En resumen, al multiplicar dos signosiguales obtenemos + y cuando multipli-camos dos signos diferentes obtenemos−.Estas mismas reglas se aplican a la di-vision:

+÷+ = +

+÷− = −−÷+ = −−÷− = +

Regla de los cuatro pasos La regla de loscuatro pasos sirve para calcular laderivada de una funcion y = f (x).

Paso 1: Dar un incremento a x y calcularel correspondiente incremento en y.

y + ∆y = f (x + ∆x)

Paso 2: Restar la funcion original:

∆y = f (x + ∆x)− f (x)

Paso 3: Dividir entre el incremento en x:

∆y∆x

=f (x + ∆x)− f (x)

∆x

Paso 4: Calcular el lımite cuando el incre-mento en x tiende a cero:

dydx

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Regla de tres Metodo que sirve para calcularun valor desconocido de una proporciondirecta, dados los otros tres.Por ejemplo, para calcular el valor de xen:

x7=

321

hacemos:

x =3× 7

21= 1

Regletas de Cuisenaire Juego de diez regletasde colores que se utilizan para ensenar yaprender diferentes temas matematicos.Las regletas tienen diferente tamano ycolor, como se indica enseguida:

¬ Regleta Blanca, mide 1 cm.

Regleta Roja, mide 2 cm.

® Regleta Verde claro, mide 3 cm.

¯ Regleta Carmın, mide 4 cm.

° Regleta Amarilla, mide 5 cm.

± Regleta Verde Oscuro, mide 6 cm.

² Regleta Negra, mide 7 cm.

³ Regleta Cafe, mide 8 cm.

´ Regleta Azul, mide 9 cm.

µ Regleta Naranja, mide 10 cm.


Regular, poliedro–Relacion de equivalencia

R

135

Regletas de Cuisenaire

Regular, poliedro Poliedro que tiene todassus caras iguales. En total hay cincopoliedros regulares: tetraedro, cubo,octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro


Cubo

Regular, polıgono Cuando un polıgono tienetodos sus lados y todos sus angulosiguales se llama polıgono regular. Esdecir, un polıgono es regular si esequilatero y equiangulo a la vez.

αn

i

Pentagono regular

Los elementos de los polıgonos regularesson:

3 Angulo central

αn =360

n

3 Suma de angulos internos

Sint = 180 (n− 2)

3 Angulo interno

i =180 (n− 2)

n

3 Numero de diagonales

D =n (n− 3)

2

3 Suma de angulos externos:

Sext = 360

Relacion (1.) Una relacion R define correspon-dencias entre los elementos de dos con-juntos A y B. Si a ∈ A y b ∈ B, entonces,a R b indica que a y b estan relacionados.(2.) Forma de comparar dos elementos deun mismo conjunto.Por ejemplo, las desigualdades son rela-ciones que se definen para los numerosreales.Otros ejemplos de relaciones entre dosnumeros son: a = b, x ≡ 3 mod 7, a|b,etc.

Relacion de equivalencia La relacionde equivalencia es una estructuramatematica que presenta las siguienespropiedades:


136

R

Relacion de recurrencia–Rotacion

3 Reflexiva: a ∼ a3 Simetrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.

3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, entoncesa ∼ c.

Decimos que los objetos a y b estan rela-cionados si cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.

Relacion de recurrencia Funcion con dominioen los numeros naturales y rango en losterminos de una sucesion.Por ejemplo, la sucesion de Fibonaccipuede encontrarse usando la siguienterelacion de recurrencia:

an = an−1 + an−2

que en palabras dice: el termino actual esigual a la suma de los ultimos dos terminos.

Relacion funcional Regla de correspondenciaentre dos cantidades que dependen unade la otra.Por ejemplo, si el precio de un jugo demanzana es de $7.00 pesos, el importe apagar y se relaciona funcionalmente conla cantidad de jugos a comprar (x) de lasiguiente manera: y = 7 x.

Renglon En una matriz, un renglon es unalınea horizontal de sus elementos.En la siguiente matriz A, el primerrenglon esta formado por los elementosa, b y c:

A =

a b cd e fg h i

Residuo En una division, el numero quesobra, es el residuo.Por ejemplo, en la division:

2 512 3 0 7

6 77

el residuo es 7.

Resta Operacion matematica binaria denotadacon el sımbolo −.La resta de los numeros a y b es el numeroque hay que sumar a a para obtener b y sedenota por: b− a.Por ejemplo, 5− 3 = 2, porque 3 + 2 = 5.La resta tambien se conoce como diferen-cia.Vea la definicion de Diferencia.

Resultante Vector que resulta de sumar dosvectores.En la siguiente figura se muestran losvectores ~u y ~v y la resultante ~u +~v:

x

y

~u

~v

~u+~v

Rombo Cuadrilatero que tiene sus 4 lados dela misma medida.

Rombo

Romboide Paralelogramo que no esrectangulo.

Romboide

Rotacion Movimiento rıgido del plano alrede-dor de un punto fijo, el cual es llamado


Rotacion

R

137

eje de rotacion.En la siguiente figura se muestra unarotacion de los ejes en un angulo de 30:

x

y

x′

y′

θ = 30


138

R

Libr

ode

dist

ribuc

ion

grat

uita


apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

SEfrain Soto Apolinar

Satisfacer Decimos que un valor satisface auna ecuacion o a una funcion cuandoal sustituir este valor en la ecuacion ofuncion esta se reduce a una igualdadvalida. De manera semejante, cuando sedan un conjunto de condiciones y algunobjeto matematico cumpla con todas esascondiciones, decimos que las satisface.Por ejemplo, si imponemos comocondicion para una figura geometrica quela suma de sus angulos internos no seamayor a 200, cualquier triangulo en elplano satisface esa condicion.

Secante (Geometrıa) La secante a una curva ofigura es una recta que la corta.

Secante

En la figura previa se muestra unacircunferencia y una secante que la corta.(Trigonometrıa) La funcion secante sedefine como el recıproco de la funcioncoseno:

sec α =1

cos α

En el triangulo rectangulo mostrado en ladefinicion de Seno la funcion secante delangulo α menor a 90 se puede escribircomo:

sec α =hipotenusa

cateto opuesto

Seccion Interseccion de dos objetosgeometricos.Por ejemplo, de la interseccion de unplano con un cono podemos obtener unaparabola, que es una seccion conica.

Sector circular Un sector circular es unaparte de la circunferencia limitada pordos radios y un arco, como se muestraenseguida:

α

El area del sector circular de α se calculacon la siguiente formula:

A =απr2

360

140

S

Segmento–Seno

Segmento Intervalo de recta delimitado pordos puntos fijos sobre la misma. Elsegmento que inicia el el punto A yfinaliza en el punto B se denota por AB.En la siguiente figura se muestra unsegmento:

`

AB

A

B

Semejanza Se dice que dos triangulos sonsemejantes si uno esta dibujado a escaladel otro.Para verificar si dos triangulos sonsemejantes podemos usar cualquiera delos siguientes criterios:

3 Dos lados son proporcionales y elangulo formado entre ellos esta encada triangulo.

3 Dos angulos iguales.

3 Los tres lados son proporcionales.

Los siguientes triangulos son semejantes:

En palabras, dos figuras son semejantes sitienen la misma forma, pero no necesaria-mente el mismo tamano.

Semi- Prefijo usado en matematicas quesignifica mitad de.Por ejemplo, semiperımetro significa lamitad del perımetro.

Semicircunferencia Arco de circunferenciaque une dos extremos de un diametro.

Sem

icircunferencia

Semicırculo Mitad de un cırculo.

Semicırculo

Semirrecta Una parte de una recta que tieneun punto inicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra la semirrecta−→AB:

−→AB

A

B

A la semirrecta tambien se le conoce comorayo.

Seno La funcion seno se define para cualquierangulo α. Dado un angulo con un ladohorizontal y vertice en el origen, su seno,denotado por sin α se define como lacoordenada sobre el eje y del punto deinterseccion del otro lado (no horizontal)del angulo con la circunferencia de radio1.

x

y

1

sin

α

cos α

α


Seno hiperbolico–Serie

S

141

En un triangulo rectangulo, el seno deun angulo positivo menor a 90 puedeencontrarse con el cociente:

sin α =cateto opuesto

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

La grafica de la funcion seno es lasiguiente:

x

y

y = sin x

1

-1

Seno hiperbolico La funcion seno hiperbolicodel numero x se denota por: sinh x y estadefinida por:

sinh x =ex − e−x

2

Senos, ley de Para todo triangulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

sin α

A=

sin β

B=

sin γ

C

donde A es el lado opuesto al angulo α,B es el lado opuesto al angulo β y C es ellado opuesto al angulo γ.

A

BCα

β γ

Sentido Sinonimo de orientacion.

Sentido positivo En un eje de coordenadas,el sentido positivo indica hacia donde losvalores de la recta van creciendo.En el plano, el eje horizontal es x y elsentido positivo de este eje es hacia laderecha. Para el eje vertical (y) el sentidopositivo es hacia arriba.

Sentido positivo →

Sent

ido

posi

tivo→

x

y

Observa que las flechas de los ejes indicanel sentido positivo de cada uno de ellos.

Septimo Cuando dividimos un entero en sietepartes iguales, cada una de ellas es unseptimo, o bien, una septima parte delentero.

17

17

17

17

17

17

17

Serie La suma de los terminos de unasucesion.Cuando la sucesion es aritmetica, se llamaserie aritmetica.La formula para calcular la serie aritmeti-ca de los primeros n terminos es:

Sn =n (a1 + an)

2

Donde a1 es el primer termino y an es elenesimo termino de la sucesion.Cuando los terminos que se estan


142

S

Serie divergente–Simetrıa axial

sumando forman una sucesion geometri-ca, la serie es geometrica, y se calculacon:

Sn =a1 (1− rn)

1− r

Donde a1 es el primer termino y r es larazon de la sucesion.

Serie divergente Serie que crece indefinida-mente conforme se consideran mayorcantidad de terminos.

Sesgo Caracterıstica de la distribucion de losdatos de una poblacion que indican queesta no es simetrica.Cuando se dice que una muestra tiene unsesgo, indica que esta no es representativade la poblacion.

Sexto Cuando dividimos un entero en seispartes iguales, cada una de ellas es unsexto, o bien, una sexta parte del entero.

16

16

16

16

16

16

Siglo Un siglo equivale a cien anos.

Sigma, notacion Notacion matematica quepermite indicar la suma de variosterminos de una sucesion.Si x1, x2, · · · , xn son los terminos deuna sucesion que deben sumarse, estaoperacion se puede indicar con la no-tacion sigma de la siguiente manera:

n

∑i=1

xi = x1 + x2 + · · ·+ xn

Y se lee: La suma de todos los terminos xidonde el ındice i va desde 1 hasta n.Por ejemplo, consideremos la sucesionde los primeros 100 numeros naturales.

Entonces, usando notacion sigma pode-mos indicar la suma de estos terminoscomo sigue:

100

∑i=1

i = 1 + 2 + · · ·+ 100

Esta notacion es muy utilizada en CalculoIntegral cuando se define la integraldefinida como una suma de Riemann.

Signo Sımbolo que indica una caracterısticade un objeto. En matematicas, los sig-nos pueden, ademas, indicar operaciones(+, −, ×,÷, ∩, ∪, etc.), la naturaleza deun objeto matematico (positivo, negativo,∅, etc.), pueden indicar el tipo de obje-tos matematicos (4, ∠, AB

_, etc.), relacion

entre objetos de la misma naturaleza (≤,≥, ,, ⊥, etc.), entre otras cosas (∞, %, π,~u, R+, etc.)

Sima En una curva sinusoidal, la sima es cadauno de los puntos mas bajos en su trayec-toria.Por el contrario, la cima (con c) corres-ponde a cada uno de los puntos mas altosde su trayectoria.

Cima Sima

Simetrıa Propiedad que presentan algunasfiguras geometricas que consiste en unacorrespondencia en la forma, el tamano yla secuencia de las partes que la compo-nen respecto de una lınea o punto.Vea Eje de simetrıa.

Simetrıa axial Un objeto geometrico presentasimetrıa axial cuando tiene una recta desimetrıa. Esa recta se dice que es el eje desimetrıa de la figura.Por ejemplo, el triangulo isosceles pre-senta simetrıa axial.


Simetrıa radial–Sistema de numeracion

S

143

Eje

desi

met

rıa

Simetrıa radial Un objeto geometrico pre-senta simetrıa radial cuando su centrosirve de centro de simetrıa.Por ejemplo, un polıgono regular pre-senta simetrıa radial.

C

Un hexagono regular presenta simetrıaradial. Su centro de simetrıa es el puntoC.

Simetrica, propiedad La propiedad simetricade la igualdad dice que si un numero esigual a otro, el segundo numero es igualal primero. Matematicamente,

Si a = b, entonces, b = a.

Vea la definicion de igualdad para verotras propiedades de la igualdad.

Sistema coordenado Conjunto de ejes quesirven para indicar coordenadas depuntos. Cuando los ejes son mutuamenteperpendiculares y todos utilizan la mismaunidad de medida en cada eje, se dice quees un sistema de coordenadas cartesiano.

Sistema decimal Sistema de numeracion queutiliza el 10 como base y que utilizamosactualmente para contar.Por ejemplo, el numero 2 745, se puedeescribir como:

2745 = 2 000 + 700 + 40 + 5

= 2× 1 000 + 7× 100 + 4× 10 + 5

= 2× 103 + 7× 102 + 4× 101 + 5× 100

En nuestro sistema de numeracion, cadacifra tiene un valor que depende de suposicion respecto del punto decimal. Estose hace evidente al escribir el numero enterminos de potencias de 10.

Sistema de ecuaciones Conjunto de variasecuaciones que deben resolverse si-multaneamente. La solucion del sistemade ecuaciones es el conjunto de valoresque las reducen a todas las ecuaciones aigualdades verdaderas.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

x + y = 10x− y = 2

tiene por solucion x = 6, y = 4, porque alsustituir estos valores en las ecuaciones,cada una se reduce a una igualdad ver-dadera.Los sistemas de ecuaciones se clasificande acuerdo al tipo de ecuaciones que lacomponen. En el ejemplo dado, el sistemade ecuaciones es lineal, pues todas lasecuaciones que lo componen son lin-eales.

Sistema de numeracion Reglas que se definenpara escribir y realizar operaciones connumeros.Nosotros utilizamos un sistema denumeracion decimal y posicional.Decimos que es decimal porque conta-mos usando potencias de 10, y que esposicional porque el valor de cada cifradepende de su posicion relativa a losdemas numeros usados al escribir elnumero.La base de nuestro sistema es el 10. Deaquı viene la palabra decimal.Los romanos utilizaban un sistema denumeracion decimal que no era posicio-nal. Los mayas utilizaban un sistema denumeracion vigesimal (base 20) que sı eraposicional.A un sistema de numeracion tambien sele llama sistema numerico.


144

S

Sistema de referencia–Solucion trivial

Cuando se escribe un numero en unsistema de numeracion de base diferentea la 10, se indica la base con un subındicea la derecha. Por ejemplo, 1002 indicaque es el numero cuatro (en base 10, estoes 410). Dado que utilizamos la base 10,siempre que escribimos numeros en base10 solamente, no se requiere indicar labase, pero cuando utilizas varias basesse sugiere indicar siempre la base, auncuando este escrito en base 10 para evitarconfusion.

Sistema de referencia Conjunto de ejes quesirven para indicar coordenadas depuntos. El sistema de referencia estambien llamado sistema coordenado.

Sistema Internacional de Unidades Conjuntode unidades de medida para utilizar entodo estudio y reporte cientıfico y tec-nologico (abreviado como S.I.)Las unidades basicas del S.I. son:

Magnitud Unidad Sımbolo

Distancia metro mMasa kilogramo kg

Tiempo segundo sCorriente electrica amperio A

Temperatura kelvin KIntensidad luminosa candela cd

Sistema Pie-libra-segundo Sistema deunidades que tiene por unidades basicasal pie (longitud), la libra (masa) y elsegundo (tiempo).

Software Programas e informacion utilizadapor la computadora.

Solido Figura geometrica que tiene tres di-mensiones.La siguiente figura muestra los solidoscubo y esfera:

EsferaCubo

Los solidos tambien se conocen comocuerpos.

Solido rombico Solido cuyas caras son rom-bos congruentes.

Solidos platonicos Nombre que se les da alos cinco poliedros regulares: tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro


Cubo

Solucion (1.) Respuesta de un problema(2.) Proceso o metodo para resolver unproblema.(3.) Conjunto de valores que al susti-tuir en una ecuacion o en un sistemade ecuaciones, se reduzcan a igualdadesverdaderas.(4.) En quımica, frecuentemente se uti-liza la palabra solucion para referirse altermino disolucion.

Solucion trivial Solucion a un problemaque no requiere de algun procedimientoporque es muy evidente.Por ejemplo, para la ecuacion:

xn + yn = zn


Suave–Sucesion de Fibonacci

S

145

con cualquier valor n, las soluciones triv-iales son x = 0, y = 0, z = 0.

Suave Se dice que una funcion y = f (x) essuave en un intervalo (a, b) si su derivadaesta definida en todo punto del intervalo.La funcion y = x2 es una funcion suave,pues su grafica es una parabola, que nopresenta cambios bruscos de direccion.Por otra parte, la funcion valor absoluto(y = |x|) no es suave, pues su derivada noesta definida en el origen. En este punto,tiene un cambio brusco de direccion.

Subconjunto Un conjunto A es subconjuntode otro conjunto B si todos los elementosde A estan tambien en B.Si existe algun elemento de A que no esteen B, entonces A no es un subconjuntode B.Si A es un subconjunto de B, entoncesdecimos que el conjunto A esta incluidoen B, lo cual se denota por: A ⊂ B,o bien, que el conjunto B incluye alconjunto A, lo cual se denota por: B ⊃ A.El siguiente diagrama muestra alconjunto A, que es un subconjunto delconjunto B:

B

A

A ⊂ B

El conjunto vacıo ∅ es un subconjuntode cualquier conjunto, pues no hay unelemento de ∅ que no pertenezca alsegundo (por vacuidad).Todo conjunto es subconjunto de sımismo.

Subındice Numero que se escribe en laparte inferior derecha de una literal oun sımbolo para identificarlo de manera

particular de entre un conjunto deelementos.Por ejemplo, cuando se define un vector,~v = (v1, v2), el subındice de cada compo-nente denotada con la literal v indica si esla primera (v1) o la segunda (v2) compo-nente.

Sucesion Lista de numeros que siguen una de-terminada regla para calcular el siguientetermino.Por ejemplo, la sucesion: 3, 8, 18, 38, 78, · · ·sigue la siguiente regla: suma 1 al ultimotermino de la sucesion y al resultado mul-tiplıcalo por dos.

Sucesion aritmetica Lista de numeros quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer termino de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el enesimo termino ande la sucesion usando la formula:

an = a1 + d (n− 1)


Sn =n (a1 + an)

2A la sucesion aritmetica tambien se leconoce como progresion aritmetica.Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los terminos de la sucesion aritmetica son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.

Sucesion convergente Una sucesion tal quesus terminos sucesivos estan cada vezmas cerca de un valor fijo.Por ejemplo, la sucesion:

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · ·

converge a cero.

Sucesion de Fibonacci La sucesion:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cadatermino se obtiene como la suma de losdos terminos anteriores se conoce comola sucesion de Fibonacci.


146

S

Sucesion geometrica–Sustraendo

Sucesion geometrica Lista de numeros quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razon constante.Es decir, si dividimos ai+1 ÷ ai = r paracualesquiera dos terminos consecutivosde la sucesion.El primer termino de la lista se denota pora1 y la razon constante por r.Podemos calcular el enesimo termino ande la sucesion usando la formula:

an = a1 · rn−1


Sn =a1(1− rn+1)

1− rA la sucesion geometrica tambien se leconoce como progresion geometrica.Por ejemplo, si definimos a1 = 2 y r = 3,los terminos de la sucesion aritmetica son:a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18, a4 = 54, etc.

Suceso Evento del cual se registra el resultadocon el fin de estudiar el comportamientoestadıstico del mismo.Por ejemplo, si observamos los resulta-dos de lanzar una pelota a una canastapara saber la proporcion de puntos quelogra un estudiante, cada lanzamiento esun evento.

Suma (Aritmetica) (1.) Operacion entrenumeros que expresa la relacion entre elnumero de elementos de la union de ellos.(2.) Resultado de sumar dos numeros.

1234+ 5678

6912sumandosumando

suma

(Algebra) Operacion binaria entreexpresiones algebraicas.

Sumando Numero o expresion algebraica quese utiliza para realizar la operacion desuma junto con otro(a) u otros(as).

1234+ 5678

6912sumandosumando

suma

Podemos tener varios sumandos en unaexpresion, no solamente dos.

Superficie (1.) Conjunto de puntos del planoo de dos dimensiones (tiene largo yancho). Las unidades de medicion de lasuperficie son metros cuadrados (m2). Engeometrıa se utiliza la palabra area comosinonimo de superficie.(2.) Frontera de un solido.

Suplementario, angulo Dos angulos sonsuplementarios si su suma es 180.Vea la definicion de angulo suplementario.

Supremo La menor cantidad que es mayor oigual a cada una de las cantidades de unconjunto dado.Lo opuesto de supremo es ınfimo.

Sustitucion Procedimiento algebraico usadopara reducir un sistema de n ecuacio-nes en un sistema equivalente (es decir,que tiene el exactamente las mismas solu-ciones) de n− 1 ecuaciones.

Sustraccion Sinonimo de resta.Vea la definicion de resta.

Sustraendo En una resta, el sustraendo es elnumero que se esta restando a otra canti-dad (el minuendo).

9 876− 5 324

4 552



apre

ndem

atem

atic

as.o

rg.m

x

TEfrain Soto Apolinar

Tabla Arreglo de datos en forma de renglonesy columnas para identificar patrones enlos mismos.Por ejemplo, la siguiente tabla recopila lainformacion relacionada con las edadesde la poblacion de un pueblo:

Rango Cantidad

0 – 10 25010 – 20 1 20020 – 30 2 50030 – 40 1 22540 – 50 85050 – 60 75060 – 70 42570 – 80 25080 – 90 37

90 – 100 13

En estadıstica el uso de las tablas es muyfrecuente ası como el uso de graficas.

Tangencia, punto de Punto en el cual unarecta toca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:

C

P

Tangente (Geometrıa plana) La tangente auna curva es una lınea recta que toca a lacurva en solo uno de sus puntos.La siguiente figura muestra unacircunferencia con una tangente:

r

Tangente

T

C

El punto T donde la recta tangente toca ala circunferencia se llama punto de tangen-cia.(Trigonometrıa) La tangente del angulo αse define como:

tan α =sin α

cos α

148

T

Tangente hiperbolica–Teorema de De Moivre

En un triangulo rectangulo, la tangentede un angulo positivo menor a 90 puedeencontrarse con el cociente:

tan α =cateto opuesto

cateto adyacente

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

En geometrıa analıtica, la pendiente m dela recta que pasa por los puntos P(xp, yp)y Q(xq, yq) es igual a la tangente delangulo que esta forma con el eje de lasabscisas:

m =∆y∆x

=yq − yp

xq − xp

Tangente hiperbolica La funcion tangentehiperbolica del numero x se denota por:tanh x y esta definida por:

tanh x =ex − e−x

ex + e−x

Tangram Rompecabezas inventado por loschinos que consiste en ocho piezasde carton: seis triangulos rectos, uncuadrado y un paralelogramo.La siguiente figura se muestra las piezasdel Tangram:

Tendencia central Un numero que describe aun conjunto de datos, es una medida dela tendencia central de ese conjunto.Las medidas de tendencia central masfrecuentemente utilizadas son la mediaaritmetica, la mediana y la moda.Hay otras medidas de tendencia centralcomo la media armonica y la media pon-derada.

Teorema Proposicion que requiere dedemostracion.Por ejemplo, Existe exactamente unacircunferencia que pasa por tres puntosno colineales, es un teorema degeometrıa.

Teorema binomial Para cualesquiera dosnumeros enteros no negativos, secumple:

(x + y)n =n

∑k=0

(k

n− k

)xkyn−k

El teorema del binomio tambien se conocecomo el binomio de Newton.Vea la definicion Newton, teorema de

Teorema de Bayes Sean A y B dos even-tos cualesquiera con probabilidad deocurrencia diferente de cero. Entonces,

P(B|A) =P(A|B) · P(B)

P(A)

En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocurrioel evento A es igual al producto de laprobabilidad de que ocurra el evento Adado que ya ocurrio B por la probabilidadde ocurrencia del evento B, dividido entrela probabilidad de ocurrencia del eventoA.

Teorema de De Moivre El teorema de DeMoivre es una generalizacion de laformula de Euler, para cualquier nentero:

(cos θ + i cos θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)


Teorema de Pitagoras–Teorema del valor medio del Calculo Integral

T

149

Al Teorema de De Moivre tambien se leconoce como la formula de De Moivre.Vea la definicion de Formula de Euler.

Teorema de Pitagoras En todo triangulorectangulo que se encuentra en un plano,la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los catetos es igual al cuadradode la longitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las lon-gitudes de los catetos del triangulorectangulo y c es la longitud de suhipotenusa, entonces se cumple:

c2 = a2 + b2

c b

a

Teorema de Thales Si varias paralelas son cor-tadas por dos secantes, los segmentos de-terminados en una secante son propor-cionales a los determinados en la otrasecante.Por ejemplo, en la siguiente figura semuestran varias paralelas (verticales) cor-tadas por dos secantes:

A

B

C

D

E

F

G

H

P Q

RS

AB ‖ CD CD ‖ EF EF ‖ GH

a

a′

b

b′

c

c′

Se cumple entonces,

aa′

=bb′

=cc′

Teorema del factor Dada la ecuacion polino-mial:

a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn = 0

Si el numero k es una de sus raıces,entonces, el polinomio es divisible entrex− k.Por ejemplo, una de las raıces de laecuacion:

6 + 5 x + x2 = 0

es x = 3. Entonces, 6 + 5 x + x2 es divisi-ble entre x− 3. En efecto,

6 + 5 x + x2 = (x− 3)(x− 2)

Lo cual indica que la otra raız de laecuacion es x = 2.

Teorema del valor medio del Calculo DiferencialSi la funcion y = f (x) es continuay diferenciable en el intervalo [a, b],entonces, existe al menos un valor c enel intervalo (c ∈ [a, b]) tal que:

f ′(c) =f (b)− f (a)

b− a

En palabras, esto nos dice que la funciontiene en al menos un punto del inter-valo la pendiente de la recta tangente a lacurva igual a la pendiente de la recta quepasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).

Teorema del valor medio del Calculo IntegralSi la funcion y = f (x) es positiva, con-tinua e integrable en el intervalo [a, b],entonces, existe un valor h > 0 tal que:

b∫

a

f (x)dx = h · (b− a)

Geometricamente, esto nos indica queel valor del area bajo la grafica de lafuncion y = f (x) puede expresarse demanera equivalente como el area de unrectangulo de base b− a y altura h:


150

T

Teorema fundamental de la aritmetica–Termino

x

y

y = f (x)

ba

h

f (b)

f (a)

h · (b− a) =b∫

a

f (x)dx

En la figura anterior, h representa el valormedio (promedio) de f (x) en el intervalo(a, b).

Teorema fundamental de la aritmetica Todonumero natural n > 1 puede expresarsecomo producto de numeros primos, demanera unica, salvo el orden.

Teorema fundamental del algebra Todaecuacion polinomial de grado n tieneexactamente n raıces (algunas de lascuales pueden ser complejas).

Teorema fundamental del Calculo Si lafuncion y = f (x) es continua en el inter-valo [a, b] y y = F(x) es cualquier antide-rivada de f , entonces,

3d

dx

x∫

a

f (t)dt = f (x)

3

b∫

a

f (x)dx = F(b)− F(a).

Teorema fundamental del Calculo IntegralSi y = f (x) es una funcion continua enel intervalo [a, b] y y = F(x) es cualquierantiderivada de f , entonces,

b∫

a

f (x)dx = F(b)− F(a)

Teorıa Conocimiento organizado sis-tematicamente que es aplicable en lasolucion de problemas y para explicarla naturaleza o el comportamiento de unagran variedad de fenomenos.

Teorıa de conjuntos Rama de las matematicasque estudia los conjuntos, suspropiedades y sus aplicaciones.

Teorıa de ecuaciones Rama de lasmatematicas que estudia las ecuacionespolinomiales:

a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn = 0

La teorıa de ecuaciones estudia principal-mente los metodos de solucion de estetipo de ecuaciones.

Teorıa de numeros Rama de las matematicasque estudia los numeros, sus propiedadesy de sus operaciones.

Tera- Prefijo que indica 1012. Se abrevia con laletra mayuscula T.Por ejemplo, un teralitro equivale a unbillon de litros (un millon de millones delitros), esto es: 1 TL = 1012 L.

Tercio Cuando dividimos un entero en trespartes iguales, cada una de ellas es un ter-cio, o bien, una tercera parte del entero.

13

13

13

Termino Expresion algebraica que consistede una constante que multiplica a una ovarias variables cada una de ellas elevadaa alguna potencia entera no negativa.Por ejemplo, 3 x2y5 es un termino.Los polinomios son un suma de uno ovarios terminos. Monomio se entiendecomo sinonimo de termino.


Termino general–Transitiva, propiedad

T

151

Termino general En un polinomio o en unaecuacion, el termino general se representapor medio de una expresion algebraicaque indique la forma que tiene cada unode sus terminos.Por ejemplo, en un polinomio, el terminogeneral es aixi. Esta expresion indica quehay un coeficiente ai que multiplica a lai−esima potencia del numero x.

Termino irracional Termino que tiene unexponente irracional en alguno de susfactores.Por ejemplo, el termino 3 x

√2, es un

termino irracional.

Terna pitagorica Es una terna de numeros(a, b, c) que cumplen con:

a2 + b2 = c2

Por ejemplo, (3, 4, 5), (5, 12, 13) y(20, 21, 29) satisfacen la condicion, portanto, son tercias pitagoricas.Esto quiere decir que si construimos untriangulo con medidas iguales a cadauno de los valores de la terna pitagorica,el triangulo resultante sera un triangulorectangulo.

3

4

5

Teselado Cobertura del plano por polıgonosde manera que cada punto delplano este cubierto por solamente unpolıgono y que dos polıgonos se toquensolamente en sus lados.

Teselado

Tetraedro Solido geometrico cuyas caras soncuatro triangulos equilateros:

Tetraedro

Tonelada Unidad de peso equivalente a 1 000kilogramos.

Toro Superficie curva cerrada que tiene unhoyo en medio, con la forma de una dona.

Toro

Transitiva, propiedad Propiedad que consisteen que si a ∼ b, y tambien b ∼ c, entonces,a ∼ c.Por ejemplo, la igualdad presenta lapropiedad transitiva, pues si a = b, ytambien b = c, entonces, a = c.Vea la definicion de igualdad para verotras propiedades de la igualdad.


152

T

Translacion–Triangulo

Translacion Movimiento de un objetogeometrico de manera que cada uno desus puntos se mueve en la misma di-reccion, la misma distancia, sin rotacion,reflexion o cambio en su tamano.En la siguiente figura, el triangulo 4ABCse ha trasladado hacia la derecha paraobtener el triangulo congruente 4A′B′C′:

AB

C

A′B′

C′

Transportador Instrumento utilizado paramedir angulos.

0

10

20

30

4050

60708090100110

120130

140

150

160

170

180

Transportador

Trapecio Cuadrilatero con un par de ladosparalelos.

h

b

B

El lado paralelo con mayor longitud sellama base mayor (B) y el lado paralelocon menor longitud se llama base menor(b). La altura del trapecio (h) es la distan-cia entre las dos bases.El area del trapecio se calcula con lasiguiente formula:

A =(b + B) · h

2y su perımetro sumando las longitudes desus lados.

Trapecio isosceles Trapecio que tiene suslados no paralelos de la misma medida.

Trapecio isosceles

Trapezoide Cuadrilatero sin lados (opuestos)paralelos.

Trapezoide

Trascendental, numero Numero irracionalque no puede ser raız de una ecuacionpolinomial con coeficientes racionales.Por ejemplo, el numero e es un numerotrascendental.

Trayectoria Camino o ruta que sigue uncuerpo en movimiento.

Triada Un trio ordenado de valores.Por ejemplo, (2, 3, 4) es una triada.

Triangular (1.) Caracterizado por el triangulo.(2.) Dividir una region del plano entriangulos para facilitar el calculo de suarea.

Triangulo Polıgono de tres lados.La siguiente figura es un triangulo conbase b, altura h y lados a y c:

b

ac h


Triangulo acutangulo–Triangulo obtusangulo

T

153

P = Perımetro = a + b + c

A = Area =bh2

Un triangulo se clasifica de acuerdo a lamedida de sus lados como:

3 Escaleno: si todos sus lados tienendistinta medida.

3 Isosceles: si dos de sus lados tienenla misma medida.

3 Equilatero: si sus tres lados tienen lamisma medida.

Y de acuerdo a sus angulos como:

3 Acutangulo: si todos sus angulosson agudos.

3 Rectangulo: si tiene un angulo recto.

3 Obtusangulo: si tiene un anguloobtuso.

La suma de los angulos internos de untriangulo es igual a 180.Debido a esto, un triangulo no puedetener dos angulos rectos, mucho menosdos angulos obtusos.

Triangulo acutangulo Un triangulo esacutangulo si todos sus angulos son agu-dos.

T. acutangulo

Triangulo aritmetico Arreglo triangular denumeros que se utiliza para calcularlos coeficientes del binomio (a + b)n.Tambien se conoce como el Triangulo dePascal.Vea la definicion de Triangulo de Pascal.

Triangulo, desigualdad de Para todotriangulo que se encuentra en un plano,la suma de las longitudes de cualesquierados lados es mayor al tercer lado.Por ejemplo, en el triangulo:

ba

c

Se cumplen las siguientes tres desigual-dades:

a + b > ca + c > bb + c > a

que es lo que dice el principio.

Triangulo equilatero Un triangulo esequilatero si sus tres lados tienen lamisma medida.

T. equilatero

Triangulo escaleno Un triangulo es escalenosi todos sus lados tienen distinta medida.

T. escaleno

Triangulo isosceles Un triangulo es isoscelessi dos de sus lados tienen la mismamedida.

T. isosceles

Triangulo obtusangulo Un triangulo es ob-tusangulo si tiene un angulo obtuso.

T. obtusangulo


154

T

Triangulo rectangulo–Trigonometrıa

Triangulo rectangulo Un triangulo esrectangulo si tiene un angulo recto.

T. rectangulo

Triangulo de Pascal Triangulo que sirve paracalcular los coeficientes de la enesimapotencia de un binomio.El siguiente diagrama indica como calcu-larlo:

1

11 +

11 2 ++

11 33

11 44 6

11 55 1010

Suma los dos numeros que estan indica-dos para obtener el que esta en medio deellos en el siguiente renglon.Para calcular: (x + y)5 calculamos losprimeros 6 renglones del triangulo dePascal y escribimos los coeficientes, ydespues las literales con los exponentesque le corresponden:

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3

+5xy4 + y5

Observa que los exponentes de x vandecreciendo, empezando desde 5 yterminando en 0, los de y van creciendo,empezando desde 0 y terminando en 5.Observa tambien que la suma de losexponentes de las literales de cadatermino es 5.

Triangulo pitagorico Triangulo rectangulocon longitudes de lados enteros.

Tricotomıa Propiedad de los numeros reales.Dados dos numeros reales a, b cuales-quiera, se satisface una y solamente unade las siguiente condiciones:

i. a < b

ii. a = b

iii. a > b

Tridecagono Polıgono de 13 lados.

Tridecagono

Trigonometrıa Rama de la matematica quese encarga del estudio de los triangulos,las proporciones entre sus lados yangulos, las funciones trigonometricas,sus propiedades y sus aplicaciones.Las funciones trigonometricas son lassiguientes:

3 seno (sin)

3 coseno (cos)

3 tangente (tan)

3 secante (sec)

3 cosecante (csc)

3 cotangente (cot)

Las funciones trigonometricas inversasson:

3 arcoseno (arcsin)

3 arcocoseno (arccos)

3 arcotangente (arctan)


Trillon–Truncar

T

155

Trillon En Espanol, trillon es el numeroformado por un 1 seguido de 18 ceros. Esdecir, un trillon es igual a un millon debillones.En Estados Unidos y en Canada, untrillon (En Ingles) es el numero formadopor un 1 seguido de 12 ceros. Es decir, enestos paıses un trillon equivale a un billon(1012). Algo curioso es que en Inglaterra,que tambien usan el idioma Ingles, eltrillon para ellos es 1018, al igual que paranosotros.

Trinomio Polinomio que tiene 3 terminos.Por ejemplo,

1 + x5 − x11

Observa que un trinomio no debe ser

necesariamente de grado dos.

Triseccion del angulo Problema que consisteen la construccion de un angulo conmedida igual a un tercio de un angulodado.Este problema no se puede resolver uti-lizando solamente regla y compas.

Trivial Muy facil de resolver o sencillo.

Truncar Aproximacion de a un valor omi-tiendo decimales a partir de uno es-pecıfico.Por ejemplo, al truncar el valor de π adiezmilesimos obtenemos: π = 3.1415.Observa que se han omitido los dıgitosdecimales despues de los diezmilesi-mos.


156

T

Libr

ode

dist

ribuc

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grat

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ndem

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rg.m

x

UEfrain Soto Apolinar

Ultimo Teorema de Fermat Uno de losproblemas que ocasiono un gran avanceen las matematicas. El teorema dice: noexisten numeros enteros x, y, z diferentesde cero que satisfagan:

xn + yn = zn

para n > 2.

Undecimo Numero ordinal correspondienteal lugar numero once.Por ejemplo, en un maraton, el corredorque llega en el lugar numero once, tieneel undecimo lugar.Frecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) onceavo re-firiendose al numero ordinal undecimo.Onceavo es una fraccion, no un numeroordinal.Decimoprimero es sinonimo deundecimo.

Unicidad Condicion de ser unica.Cuando se dice que se requiere demostrar la unicidad de una solucion,significa que debemos probar que no exis-ten otras soluciones diferentes a la dada.

Unidad El numero 1 se llama unidad.

Unidad cubica Unidad de volumen formadapor un cubo con aristas de medida iguala la unidad.

Unidad cuadratica Unidad de area formadapor un cuadrado con lados de medidaigual a la unidad.

Unidad de medida Cantidad establecida pararealizar mediciones de alguna naturalezafısica.Por ejemplo, el kilogramo es la unidadde medida establecida por el SistemaInternacional de Medidas para la masa.

Unidad imaginaria El numero i que tiene lapropiedad de que: i2 = −1, se llamaunidad imaginaria.

Union La union de los conjuntos A y B es elconjunto que esta formado por todos loselementos que estan en A como los queestan en B.El siguiente diagrama de Venn muestra launion de los conjuntos A y B:

A B

A∪B

Unitario, cubo Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.

Unitario, vector Vector con magnitud igual ala unidad.

158

U

Universo–Uno a uno, funcion

Universo El conjunto que contiene todos loselementos que son relevantes para unadiscusion o en la solucion de un problemaparticular.El universo se denota por U.Por ejemplo, si se esta resolviendo unproblema relacionado con los alumnos deuna escuela, el universo es el conjunto detodos los alumnos de la escuela.

Uno Menor numero natural, que se denotapor 1.Este numero tiene la propiedad de quecualquier numero x multiplicado por el,da el mismo numero x.

Uno a uno, funcion Sinonimo de funcion in-yectiva.Vea la definicion de Funcion Inyectiva


apre

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x

VEfrain Soto Apolinar

Vacuidad Condicion de estar vacıo.Cuando se demuestra algo referente alconjunto vacıo, que se sigue por el hechode estar vacıo, se dice que se demostropor vacuidad.Por ejemplo, el conjunto ∅ es subcon-junto de cualquier otro conjunto A, porvacuidad, pues no hay algun elementodel conjunto vacıo que no este en elconjunto A.Vea la definicion de Subconjunto.

Valor absoluto El valor absoluto de unnumero x, denotado por |x| se definecomo su valor numerico sin considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geometricamente el valor absolutorepresenta la distancia del origen de larecta numerica al punto que le corres-ponde el numero:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| − 3| |2|

Vara Unidad de distancia usada en el sistemaEspanol, equivalente a 0.84 metros.Una vara es equivalente a 2.76 pies.

Vara cuadrada Unidad de superficie usada enel sistema Espanol, equivalente a 0.7 m2.

Variable Una cantidad que cambia de valor.En Matematicas las cantidades variablesse representan por medio de literales,generalmente las ultimas del abecedario.En la funcion y = f (x), la variableindependiente es la variable en la cualsustituimos los valores, generalmente x.Por otra parte, la variable dependiente esel valor que la funcion toma, usualmentey. En matematicas las variables se deno-tan usando las ultimas letras del alfabeto:t, u, v, x, y, z, etc.

Variable cualitativa En estadıstica, una varia-ble es cualitativa si solamente indicaalguna cualidad sin indicar un numero.Por ejemplo, cuando se indica un gradode afectacion de un huracan a un domi-cilio, en la encuesta se podrıa incluir unaescala ordinal: nulo, leve, moderado,grave, perdida total.Tambien es posible que se incluya unaescala nominal para medir otro aspecto,como el tipo de construccion: barro,madera, concreto.

Variable estadıstica Una caracterıstica de unapoblacion que puede tomar diferentesvalores.Por ejemplo, el peso promedio de losadultos de un paıs es de interes paraconocer los niveles de salud de estapoblacion.

Variacion Cambio que sufre una variable.Usualmente se denota anteponiendo a la

160

V

Varianza–Vertice

variable el sımbolo ∆. Ası, la variacionque sufre la variable x se denota como ∆xy se lee: delta x. La variacion que sufriouna variable cuando cambio del valor x1al valor x2 es: ∆x = x2 − x1.Por ejemplo, si x cambio de x1 = 3 a x2 =5, la variacion de x es: ∆x = 5− 3 = 2.A la variacion tambien se le llama cambioo incremento.

Varianza La varianza mide la dispersion delos valores que presenta la variable x. Secalcula como el promedio de las desvia-ciones cuadradas respecto de la media.La varianza poblacional σ2 se calculacon:

σ2 =

n∑

i=1(xi − x)2

ndonde x es la media aritmetica de los ndatos x1, x2, · · · , xn.La varianza de una muestra s2 se calculacon:

s2 =

n∑

i=1(xi − x)2

n− 1donde n es el tamano de la muestra.

Vector Una diada de valores ordenados.

~v = (vx, vy)

Geometricamente el vector se representacon una flecha que va del origen al puntoindicado por sus coordenadas:

θ x

y

vx

vy

~v(vx, v

y)

El punto inicial del vector esta en elorigen y el punto final esta en lascoordenadas (vx, xy). La longitud del vec-tor se denomina como su magnitud o su

modulo, denotada por ‖~v‖, y se calculaaplicando el teorema de Pitagoras:

‖~v‖ =√

v2x + v2

y

La direccion del vector se puede definirpara cualquier vector no nulo, como elangulo que este forma con el eje horizon-tal y se calcula con:

θ = arctan(

vy

vx

)

El vector nulo~0 = (0, 0) no tiene definidauna direccion y su magnitud es cero.Algunos autores definen al vector comoun segmento de recta dirigido.

Vector libre Vector cuyo punto inicial puedeestar en cualquier punto.

Vector tangente Vector que tiene la mismadireccion que una recta tangente a unacurva y que tiene su punto inicial en elpunto de tangencia de la recta tangentecon la curva.

Vector unitario Vector con magnitud igual ala unidad.

Vectorial Referente a vectores.Por ejemplo, cuando en fısica se hablaa un campo vectorial se refieren a unconjunto de vectores que sirven como ladescripcion de la magnitud de algunacantidad variable que se mide para expli-car algun fenonemo.

Velocidad Vector cuya magnitud es igual a larapidez de un objeto y la direccion indicahacia donde se realiza el movimiento.Vea la definicion de rapidez.

Vertice Punto caracterıstico de una figurageometrica donde se intersectan doslados o varias (dos o mas) aristas.Algunas figuras que tienen vertices sonlos polıgonos, algunas de las conicas(elipse, parabola e hiperbola), los solidos,etc.


Vertices consecutivos–Volumen

V

161

Vertices consecutivos En un polıgono, dosvertices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la siguiente figura, los vertices A y Bson consecutivos.

A

B

Volumen Espacio que ocupa un cuerpo. Susunidades se miden en litros, o unidadesde longitud cubicas, como metro cubico(m3).


162

Lista de sımbolos matematicos

La siguiente lista contiene los sımbolos matematicos que mas frecuentemente se utilizan en lasmatematicas de primaria y secundaria.

3 + → suma

3 − → resta, diferencia

3 × → multiplicacion

3 ÷ → division

3 / → division

3 ≡ → equivalente a

3 ≡ → por definicion

3 ≡ → congruente con

3 = → igual a

3 , → desigual a

3 > → mayor a

3 < → menor a

3 ≥ → mayor o igual a

3 ≤ → menor o igual a

3 → mucho mayor a

3 → mucho menor a

3 ≈ → aproximadamente igual a

3 ∝ → proporcional

3 % → porciento

3 ± → mas, menos

3√ → raız cuadrada

3 3√ → raız cubica

3 n√ → raız enesima

3 ∞ → infinito

3 | → divisible por

3 - → no es divisible por

3 ∴ → por lo tanto

3 ∵ → porque

3 ∀ → para toda

3 ∃ → existe

3 ∃! → existe un unico

3 ∃ → no existe

3 j → tal que

3 : → tal que

3 ⇒ → implica, se sigue

3 ⇔ → si y solo si

3 N → numeros naturales

3 Z → numeros enteros

3 Q → numeros racionales

3 Q′ → numeros irracionales

3 R → numeros reales

3 C → numeros complejos

3 ∈ → pertenece

3 < → no pertenece

3 ∅ → conjunto vacıo

3 ⊂ → esta incluido

3 ⊃ → incluye

3 ⊂ → no esta incluido

3 ⊃ → no incluye

3 ⊆ → incluido estrictamente

3 ∪ → union

3 ∩ → interseccion

3 U → universo

3 ν → cardinalidad


163

3 ∨ → o (disyuncion)

3 ∧ → y (conjuncion)

3 7→ → se mapea a

3 mod → modulo

3 lim → lımite

3 max → maximo

3 min → mınimo

3 ∑ → sumatoria

3 loga → logaritmo en base a

3 log → logaritmo vulgar

3 ln → logaritmo natural

3 det → determinante

3 ∆ → incremento

3 δ → desviacion

3 d → diferencia

3 r → razon

3 r → radio

3 ai → i−esimo termino

3 Sn → serie (primeros n terminos)

3 x → media aritmetica, promedio

3 ⊥ → perpendicular

3 ‖ → paralelo

3 ∼ → es semejante a

3 / → no es semejante a

3 ~u → vector (tambien u)

3 ‖~u‖ → magnitud de ~u

3 AB_ → arco AB

3 → grados sexagesimales

3 ′ → minutos

3 ′′ → segundos

3 C → grados centıgrados

3 F → grados Fahrenheit

3 ∠ABC → angulo ABC

3 ]α → angulo α

3 4ABC → triangulo ABC

3 C(n, r) → combinaciones de n en r

3 P(n, r) → permutaciones de n en r

3

(nr

)→ combinaciones de n en r

3 σ → desviacion estandar

3 σ2 → varianza

3 π → 3.141592654 · · ·


164

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165

Referencias

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3 Stillwell, JohnMathematics and its HistoryEd. SpringerEE.UU. 2010. 660 pp.


166

Agradecimientos a revisores

Las siguientes personas (que aparecen en orden alfabetico) han apoyado de manera voluntariaen la revision de este diccionario.

Se agradece infinitamente su colaboracion.

3 Aedo, Marıa Elena (Mexico).

3 Arroyo H., Evangelina (EE.UU.)

3 Brito, Franco (Venezuela).

3 Castillo, Mario (Mexico).

3 Cuiza, S., Panfilo (Republica de Bolivia).

3 Gutierrez, Henry (EE.UU.)

3 Miraya, A., Luis Alberto (Peru).

3 Motilla, Guillermo (Mexico).

3 Romero, Jorge (Mexico).

3 Sobrevilla S., Ana (Mexico).

3 Sobrevilla T., Ana I. (Mexico).

3 Torres, J. Orlando (Venezuela).

3 Tunez S., Noelia (Espana).

3 Viruena, S., Eduardo (Mexico).

Los revisores han colaborado con sugerencias de conceptos por agregar, correcciones de todotipo (ortograficas, gramaticales, de diseno, etc.), correccion en las definiciones, etc.

Sin su colaboracion, este material no tendrıa la calidad que ahora tiene.

Estimado lector, si usted encuentra un error o tiene alguna sugerencia, por favor, envıela con sunombre completo a la siguiente direccion de correo electronico:

[email protected]

Usted tambien aparecera en esta lista de revisores y colaboradores.

Gracias por su apoyo en nombre de todos los profesores y estudiantes que actualmente utilizaneste material de distribucion gratuita.

Efraın Soto Apolinar.(Autor)


Creditos 167

CreditosDebo agradecer el precioso apoyo que todo este tiempo me ha estado brindando mi esposa, Ana Gloria.Sin su comprension, animo y entusiasmo hubiera tardado cien veces mas en elaborar este material.

Autor: Efraın Soto Apolinar

Productor general: Efraın Soto Apolinar

Direccion y coordinacion editorial: Efraın Soto Apolinar

Edicion: Efraın Soto Apolinar

Composicion tipografica: Efraın Soto Apolinar

Diseno de portada: Efraın Soto Apolinar

Diseno de figuras: Efraın Soto Apolinar

Revision tecnica: Vea la seccion Agradecimientos a revisores.

Ano de edicion: 2 009

Ano de publicacion: 2 010

Ultima revision: 20 de julio de 2015.

Ultima modificacion: 20 de julio de 2015.

Total de figuras: 338.

Total de definiciones: 1031.

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