Departamento de Artes Plásticas

y Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 6. SISTEMA DIÉDRICO

TEMA 5. CURVAS.

TEMA 6. EL SISTEMA DIÉDRICO.

1º BACH.

CONCEPTOS.

1.Proyectividad y sistemas de representación

Del espacio al plano

Proyección y sus clases

Sistemas de representación

Variantes e invariantes proyectivas

2. Sistema diédrico

Fundamentos y elementos básicos

Los planos de proyección

El punto, la recta y el plano. Sus representaciones diédricas.

Relaciones y transformaciones de elementos básicos.

Pertenencias

Intersecciones

Figuras geométricas planas

Sólidos geométricos

2º BACH.

CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS

? Elementos del espacio que forman parte en un sistema diédrico.

? Proyecciones del punto. Cota y alejamiento. Posiciones del punto.

? Proyecciones de la recta. Trazas de la recta. Partes vistas y ocultas.

? Condiciones para que un punto pertenezca a una recta, y esta a un plano.

? Trazas de un plano.

? Intersección de dos planos.

? Intersección de una recta con un plano.

? Condición de paralelismo entre recta-plano, entre plano-plano.

? Condición de perpendicularidad.

? Verdadera magnitud de la mínima distancia entre dos puntos.

? Abatimientos.

? Cambio de plano.

? Giros.

? Ángulos.

? Representación del punto.

? Representación de la recta.

? Representación del plano.

? Intersecciones.

? Paralelismo.

? Perpendicularidad.

? Distancias.

? Abatimientos y figuras planas.

? Cambios de plano.

? Giros.

? Ángulos.

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

P LANO V ER T ICA L ( P

V )

Plano Vertical (PV)

Plano Horizontal (PH)

Línea de Tierra (LT)L Í N EA D E T I

E R RA ( L T) )

P L A N O H O R I Z O N T A L ( P H )

SISTEMA DIEDRICODel espacio al plano

PROYECTAR: Cuando un rayo de proyección procedente de un foco incide en un punto P, la “sombra” de ese punto sobre un plano de proyección P´, será la proyección de P. El rayo proyectante será una recta de proyección. La intersección de la recta de proyección que pasa por el punto e intersecciona con un plano será la proyección.

Diferentes tipos de proyección:-Proyección oblicua.-Proyección ortogonal.

-Proyección cónica.-Proyección cilíndria.

-Proyección cilíndrica ortogonal.

PLANOS DE PROYECCIÓN: Son los planos donde se proyecta: El Plano Vertical (PV) y el Plano Horizontal (PH) se cortan entre sí perpendicularmente. Esta intersección se llama Línea de Tierra (LT). Los dos planos dividen el espacio en 4 cuadrantes iguales. El espectador solo ve lo que ocurre en el 1er. Cuadrante .

ABATIMIEMTO: El PH se abate sobre el PV mediante un giro que tiene como eje la LT. A este eje se le llama Charnela. En el sistema diédrico por tanto representamos las características de los objetos en el espacio (3 dimensiones) en un solo plano (2 dimensiones).

P

P´

Foco

recta proyectante

Proyección

Plano proyectante

P´

A

Proyección Oblicuade una recta

B

A´B´

P

P´

Proyección Oblicua

P

P´

Proyección Ortogonal (90º)

A

Proyección Cónica

B

A´B´

A

Proyección CilíndricaOblicua

B

A´B´

A

Proyección CilíndricaOrtogonal.

B

A´B´

Abatimiento de los planos de proyección

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2º BACHILLERATO

PROYECCIONES DE PUNTOS: Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A,B, C, P, M, N... En el espacio son solamente las letras, en el sistema diédrico son sus representaciones como proyecciones horizontal y vertical: A1 y A2. A1 la proyección en el plano horizontal y A2 en el plano vertical. (Si existe un tercer plano de proyección como por ejemplo el de perfil sería A3).

La distancia del punto al plano vertical se llama ALEJAMIENTO y la distancia al plano horizontal COTA (altura). Por lo tanto un punto representado en el sistema diédrico se puede colocar exactamente en su posición espacial según las coordenadas de altura (Cota) y distancia (Alejamiento) A (X, Y) A( alejamiento X y cota Y) Para saber qué posición tiene un punto en el espacio (3D) se toma una tercera referencia, llamada Distancia, y es la medida con respecto a un punto 0 en la Línea de Tierra.:

A

Co

ta

0Dist

anciaX

z

A2A

1A

( P V )

( P H )Y

Alejamiento

2A

1A

2A

1AAlejamiento (10)

Cota

(30)

Distancia 20

A (20, 10, 30) Coordenadas del punto

0

A2

1A

A 2

1A

A

RESUMEN PROYECCION DE UN PUNTO

2A

1A

A (X, Y, Z) X=Distanciay= Alejamientoz = Cota.2A

1A

A1, A2 y A3 es la representaciónen el plano del punto A en elespacio (3D)

A2

1A

A

TERCERA PROYECCIÓN DE UN PUNTO (VISTA DE PERFIL)

A 3

2

1A

AA 3

2A

1A

2

1A

A

A 3

A 3

PROYECCIÓN DE UN RECTA (UNIMOS LAS PROYECCIONES DE DOS PUNTOS)

A2

1A

A

B2B

1B

r2

r1

r

2

1A

A

2B

1B

r2

r1

2

1A

A

2B

1B

r2

r1

B

2A

1A

2

1B

r2

r1

Las coordenadas de una recta están definidas por las coordenadasde dos puntos. Por ejem. r = A (20, 10, 30) y B (5, 5, 10)

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2º BACHILLERATO

SISTEMA DIÉDRICO.

En Sistema Diédrico Ortogonal se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diédro rectángulo . Fig. 1

Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 2). De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.

Primer diedroCuadrante I

Cuarto diedroCuadrante IV

Segundo diedroCuadrante II

Tercer diedroCuadrante III

PV

PH

Figura 1 Figura 2

LT

PV

PH

La intersección de estos dos planos es una recta denominada LÍNEA DE TIERRA (LT). Se representa por una líne continua con dos trazos pequeños paralelos situados en la parte inferior y en los extremos.Al ser los planos de proyección ilimitados, es espacio queda dividido en cuatro diedros o cuadrantes; el orden y la situación son la indicada y se denominan primer, segundo, tercero y cuarto cuadrante. El observador se ubica siempre en el primer cuadrante, por esto consideramos opacos los dos planos de proyección.

CONVENCIONALISMOS.- Línea de tierra: se representa con trazo continuo y fino- Líneas de referencia: trazo muy fino.- Partes ocultas: trazos discontínuos.- Resultados: Líneas gruesas (líneas más oscuras o con diferente color para nosotros.)- Puntos: Letras en Mayúsculas. La vertical con subíndice 2 y la horizontal con subíndice 1. A1 y A2.

- Rectas: Con letras en minúscula e igual que con los puntos en cuanto a los subíndices. r1, r2.

- Planos: Se representan por medio de sus trazas (intersección del plano con los los planos de proyección. Se designan con letras griegas y los subíndices como los puntos y las rectas.- Existe otro plano de proyección que es perpendicular a los dos diedros y se llama plano de perfil. En el se proyectan los puntos y rectas como la tercera proyección o proyección de perfil. Los subíndices son con el número 3.

A2

A1

A2

A1

A2

A1

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2º BACHILLERATO

EL PUNTOUn punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio queda representado por sus proyecciones A1 sobre el plano Horizontal, y A2 sobre el plano Vertical.

Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones A1-A2 quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra. Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.

Conceptos de cota y alejamiento

La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra

A2

A1

A2

A1

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.

Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima

Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará sobre la línea de tierra.

Alfabeto del punto

El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los planos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes.

Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son del mismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son de distinto signo, éstas quedarán superpuestas

Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico, podemos ayudarnos del esquema de la fig. , donde se puede observar claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el punto A(A1-A2) tiene alejamiento positivo (A 1 por debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula (A2 en LT) por encontrarse en el horizontal.

Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones

Un punto puede ser representado por coordenadas, para ello se actúa de la siguiente manera:

- El origen de este sistema será el punto O, intersección de los planos vertical, horizontal y otro de perfil PP tomado de apoyo.

- El eje X setá determinado por la recta de intersección de los planos vertical y horizontal.

- El eje Y por la recta de intersección de los planos horizontal y de perfil.

- El sentido positivo de los citados ejes está representado por las direcciones que marcan las flechas de la fiura siguiente.

- Los valores de las coordenadas de un punto en el espacio siempre se expresan del modo siguiente A(X,Y,Z), donde X es la distancia del punto O sobre la LT, Y es el alejamiento y Z la cota.o

o-X +X

-Y +Z

+Y -Z

A (X,Y,Z)

A (distancia, alejamiento, cota)

o

A (+2,+5,+10)

A2

A1

o

B (-3,-5,+10)

A2

A1

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2º BACHILLERATO

Sistema Diédrico. Las Vistas

Para representar en el plano las tres dimensiones de un objeto tridimensional, se utilizan las proyecciones diédricashorizontal, vertical y si es necesario, la de perfil de dicho objeto. Estas proyecciones de todos los vértices, aristasy caras del objeto en los tres planos de proyección se denominas vistas. La proyección horizontal se llama PLANTA,la proyección vertical: ALZADO y la tercera proyección PERFIL.

PLANTA

ALZADO

PERFIL IZQUIERDO

SISTEMA EUROPEO: Es el denominado para representarlos objetos con las proyecciones de esta manera.

ejemplo de represetación de las vistas de una pieza

PLANTA

ALZADOPERFIL derecho Hay que tener en cuenta la posiciónen la que nos encontramos para verla pieza y cual es el alzado.Cuidado con el perfil. Observar bienen qué lugar está situado.TODOS LOS PUNTOS Y VISTASDEBEN DE COINCIDIR EN SUS REPRESENTACIONESHORIZONTALES, VERTICALES YDE PERFIL.

ejemplo de represetación de las vistas de una silla realizada por alumnos.

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Nombre de Alumno

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

Situar los siguientes puntos dados por sus coordenadas, decir el cuadrante a que pertenecen.

A(-40,13,20)B(-30,19,-10)C(-20,0,18)D(0,-15,-18)E(-10,-15,-14)F(10,15,-15)G(20,-10,5)H(30,-17,17)J(50,0,0)K(40,12,-22)M(60,-18,0)

A 1

A 2

B 2

B1

A 1

A 2

A 1

A 2

B 2

B1

A 2

A1

B 2

B1

Dado un punto A (40, 20, 13), hallar las proyecciones de los puntos(x, 20, 25) que disten 30 mm del punto A.

0 0

Dadas las proyecciones de la recta r, situar sobre ella los puntosA (x, 23, y) B (x, -5, y) y C (x,-21, y). Decir en qué cuadrantes están.Hallar las trazas de r.

r

2

1

r

Dibujar las proyecciones de las rectas que pasan por los pares de puntos dados determinando sus trazas,partes vistas y ocultas y los puntos de intersección con los planos bisectores.

0

A 1

A 2 B 2

B1

B 2 B1

A 2

A1

B 2

B1

Fecha

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

Situar los siguientes puntos dados por sus coordenadas, decir el cuadrante a que pertenecen.

A(-40,13,20)B(-30,19,-10)C(-20,0,18)D(0,-15,-18)E(-10,-15,-14)F(10,15,-15)G(20,-10,5)H(30,-17,17)J(50,0,0)K(40,12,-22)M(60,-18,0)

Dibujar las proyecciones de las rectas que pasan por los pares de puntos dados determinando sus trazas,partes vistas y ocultas y los puntos de intersección con los planos bisectores.

A 1

A 2

B 2

B1 A 1

A 2 B 2

B1

A 1

A 2

B 2 B1

A 1

A 2

B 2

B1

A 2

A1

B 2

B1

A 2

A1

B 2

B1

0

Dado un punto A (40, 20, 13), hallar las proyecciones de los puntos(x, 20, 25) que disten 30 mm del punto A.

0 0

r

r

2

1

Dadas las proyecciones de la recta r, situar sobre ella los puntosA (x, 23, y) B (x, -5, y) y C (x,-21, y). Decir en qué cuadrantes están.Hallar las trazas de r.

A 2

A 1

A 1

A 2

B 1 C 1

B 2 C 2

A 1

A 2 B 2

B 1

C 1

C 2

1

B 2

B

2

C

C

1

2D

E 1

2E F1 F2

D 1

2

1G

G

1H 2H

1J 2J

2

1K

K

2

1M

M

Vr

r2

HrIII IV

r2

r1

r1

r2

r1I

VrHr

I IV III

r1

r2

Hr Vr

I III IIIIIIV Vr

Hr

B 3

A 3

Vr

Hr

Hr

Vr

I

II

IV

r2

r1

r3

r1

r2

I II

Vr

CAMBIAR LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS

Fecha

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Curso

NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

Dadas las siguientes lineas de tierra, se pide que representes las siguientes rectas, con sus trazas, partes vistasy ocultas. Pon al menos Un Punto en cada una de ellas.

0

Dibujar la siguiente recta por coordenadas:recta r = M (O, 40, 10) y N (60, 10, 30)

horizontal frontal

perfil que solo incide en el PVy en el PH en el 2º cuadrante

perfil que incide en el PV y enel PH

Paralela a la LT

De punta Vertical Que pasa por la LT

0

Dibuja dos rectas que se CRUZAN y otras dos que se CORTEN.

oblícua

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NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

Dadas las siguientes lineas de tierra, se pide que representes las siguientes rectas, con sus trazas, partes vistasy ocultas. Pon al menos Un Punto en cada una de ellas.

0

Dibujar la siguiente recta por coordenadas:recta r = M (O, 40, 10) y N (60, 10, 30)

horizontal frontal oblícua

perfil que solo incide en el PVy en el PH en el 2º cuadrante

perfil que incide en el PV y enel PH

Paralela a la LT

De punta Vertical Que pasa por la LT

0

Dibuja dos rectas que se CRUZAN y otras dos que se CORTEN.

VrA 2

A 1

A 2

A 1 Hr

Hr

Vr

A 2

A 1

VrHr

r2

r1

r2

r1

r2

r1

r2

r1

Hrr3

Vr

Hr

r3

Hr

r2

r1

r2

r1

A 2

A 1

A 3

A 2A 3

A 1

A 2

A 1

A 3 r3

A 2 r 2

r 1

A 3 r 3

A 1

A 2

r 2

r 1

A 3 r 3

A 1

r 2

r 1A 1

A 2

Vr

Hr

Hr

Vr

A 2

r 2

r 1

t 2

t 1

A 1

t 2

t 1

r 1

r 2

se cruzan, sin puntos en común se cortan. A intersección

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NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

1. Dibuja un puntoM situado en el segundo cuadrante que tenga de alejamiento 40 mm. y de cota 25 mm.

2. Dibuja un punto N situado en el cuarto cuadrante que tenga de alejamiento 15 mm. y cota 35 mm.

3. primer cuadrante, por el segundo cuadrante y por el tercer cuadrante. Señala partes vistas, ocultas y las trazas horizontal y vertical. Señala los cuadrantes por los que pasa la recta t. Halla un punto K que esté en el tercer cuadrante de dicha recta e indica sus coordenadas.

Dibuja una recta t oblicua que pase por el

2b

1b

A 2

A1

8. ¿Pertenece el punto A al plano b?________ Demuéstralo gráficamente.

9. Halla un punto P que pertenezca al plano a y que tenga de cota 25 mm. y alejamiento 15 mm. 2a

1a

4. Dibujar una recta PARALELA a r y que pase por el punto A.

r 2

r 1

A 2

A1

5. ¿Se cortan las rectas r y t?. Demostrarlográficamente.

r 2

r 1t 1

t 2

6. Dibujar una recta s que se corte en elespacio con la recta r.

r 2

r 1

2d

1d

7. Dibuja una recta u que pertenezca a d y quetenga de cota 20 mm.

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

1. Dibuja un puntoM situado en el segundo cuadrante que tenga de alejamiento 40 mm. y de cota 25 mm.

2. Dibuja un punto N situado en el cuarto cuadrante que tenga de alejamiento 15 mm. y cota 35 mm.

3. primer cuadrante, por el segundo cuadrante y por el tercer cuadrante. Señala partes vistas, ocultas y las trazas horizontal y vertical. Señala los cuadrantes por los que pasa la recta t. Halla un punto K que esté en el tercer cuadrante de dicha recta e indica sus coordenadas.

Dibuja una recta t oblicua que pase por el

2b

1b

A 2

A1

8. ¿Pertenece el punto A al plano b?__NO Demuéstralo gráficamente.

9. Halla un punto P que pertenezca al plano a y que tenga de cota 25 mm. y alejamiento 15 mm. 2a

1a

4. Dibujar una recta PARALELA a r y que pase por el punto A.

r 2

r 1

A 2

A1

5. ¿Se cortan las rectas r y t?. Demostrarlográficamente.

r 2

r 1t 1

t 2

6. Dibujar una recta s que se corte en elespacio con la recta r.

r 2

r 1

2d

1d

7. Dibuja una recta u que pertenezca a d y quetenga de cota 20 mm.

M2

M1

N 2

N1

t2

t1

VrHr

IIIIII

A 1

A 2

A(X, 18, 6)

t 2

t1

se cruzan, no tienen puntos en común ,

t 2

t 1

1A

2A

u2

u1

P 2

P 1

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Curso

NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

1. Dados los puntos A, B y C, dibujar el planoque lo determina.

A 2

A1

B1

B2

C 2

C 1

2. Dada la recta r y el punto A, dibujar el planoque lo determina.

A 2

A1

r 2

r 1

3. Dadas las rectas r y s por sus trazas, se pide: dibuja las rectas y halla el plano quelas contiene.

Hr

Vr

Hs

Vs

4. Dadas las rectas r y s, dibujar el plano quelas contiene.

r 2

r 1

s2

s1

5. Dibujar un plano vertical. (proyectantehorizontal). Dibujar una recta que pertenezcaal plano y un punto que pertenezca a la recta.

6. Dibujar un plano de canto. (proyectantevertical). Dibujar una recta que pertenezcaal plano y un punto que pertenezca a la recta.

6. Dibujar un plano horizontal. Dibujar unarecta que pertenezca al plano y un punto que pertenezca a la recta.

7. Dibujar un plano frontal. Dibujar unrecta que pertenezca al plano y un punto que pertenezca a la recta.

8. Dibujar un plano paralelo a la LT. Dibujaruna recta que pertenezca al plano y un puntoque pertenezca a la recta.

9. Dibujar un plano de perfil . Dibujaruna recta que pertenezca al plano y un puntoque pertenezca a la recta.

10. Dibujar la recta de MÁXIMA PENDIENTEdel plano dado.

10. Dibujar la recta de MÁXIMA INCLINACIÓNdel plano dado.

2a

1a

2a

1a

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Curso

NotaSISTEMA DIÉDRICO. INICIAL

2º BACHILLERATO

2. Dada la recta r y el punto A, dibujar el planoque lo determina.

A 2

A1

r 2

r 1

3. Dadas las rectas r y s por sus trazas, se pide: dibuja las rectas y halla el plano quelas contiene.

Hr

Vr

Hs

Vs

5. Dibujar un plano vertical. (proyectantehorizontal). Dibujar una recta que pertenezcaal plano y un punto que pertenezca a la recta.

6. Dibujar un plano de canto. (proyectantevertical). Dibujar una recta que pertenezcaal plano y un punto que pertenezca a la recta.

6. Dibujar un plano horizontal. Dibujar unarecta que pertenezca al plano y un punto que pertenezca a la recta.

7. Dibujar un plano frontal. Dibujar unrecta que pertenezca al plano y un punto que pertenezca a la recta.

8. Dibujar un plano paralelo a la LT. Dibujaruna recta que pertenezca al plano y un puntoque pertenezca a la recta.

9. Dibujar un plano de perfil . Dibujaruna recta que pertenezca al plano y un puntoque pertenezca a la recta.

10. Dibujar la recta de MÁXIMA PENDIENTEdel plano dado.

10. Dibujar la recta de MÁXIMA INCLINACIÓNdel plano dado.

2a

1a

1. Dados los puntos A, B y C, dibujar el planoque lo determina.

A 2

A1

B1

B2

C 2

C 1

1a

4. Dadas las rectas r y s, dibujar el plano quelas contiene.

Vr

Hs

r2

r1

s2

s1

Hr

Vs

Hr

Vr

2a

1a

2a

1a

Vs r 2

r 1

s2

s1

Hs

2a

Hr

Hs

2a

1a

r 2

1r

A 2

A1

2a

1a

r 2

1r

A 2

A1

Vs

Hs Hs

Vs

2a 2r Vr

1r A1

A 2

1r A1

A 2

1a

Hr

1a

2a

A 2

3a

3rA 2

A 11r

2r

1a

2a

Hr

Vr3a

Hr

A 3

A 2

A 1

r 3r 2

r 1

r2

r1

r2

r1