diapositivas de teoria de probabilidades

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE MEDICINA HUMANA

V CURSO TEÓRICO PRÁCTICO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS

CIENCIAS DE LA SALUD

Probabilidad

El concepto de probabilidad se encuentra con bastante frecuenciaen la comunicación en el área de salud.

Ejemplos

Un médico afirma que un paciente X tiene una oportunidad de 50% de sobrevivir a una operación; o que un paciente Y tiene 80% de posibilidades de tener una enfermedad particular;

Una fuente autorizada del Ministerio de Salud; declara a la prensa de que este verano hay 1% de posibilidades de que se desate una epidemia de cólera en la Capital.

¿Por qué es necesario aprender a calcular probabilidades ?

La medicina es una ciencia inexacta por lo que el médico raras veces puede predecir un resultado con absoluta certeza.

Para formular el diagnóstico el médico debe contar con toda la información posible acerca del paciente

Por ejemplo debe :

Revisar la historia clínicaRealizar un examen físico del pacienteSolicitar estudios de laboratorioResultados de rayos X, etc.


Aunque el resultado de ninguna prueba es absolutamente exacto, eso no afecta la probabilidad de la presencia o ausencia de una enfermedad.

Para cuantificar la incerteza inherente al proceso de toma de decisiones, el médico se apoya en la teoría de las probabilidades

Por lo tanto :

Entender las probabilidades es fundamental para el proceso de toma de decisiones en el área de salud.


La teoría de probabilidades también permite al médico extraer conclusiones acerca de una población de pacientes basado en la información acerca de un una muestra de los mismos extraída de esa población.

Este proceso se denomina inferencia estadística.

Historia de la probabilidad.

Jacob Berooulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad.

La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales.

Nuestra necesidad de tratar con la incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar decisiones más sólidas.

Conceptos básicos sobre probabilidad.

La probabilidad es la posibilidad de que algo ocurra.

Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre uno y cero.

Tener una probabilidad de cero significa que algo nuncava

a suceder. Una probabilidad de uno indica que algo va a sucedersiempre.

Conceptos básicos sobre probabilidad

Un experimento aleatorio es aquel en que se conocen todos los posibles resultados, pero no se sabe cual va a ocurrir

Ejemplo :El nacimiento de un niño es un experimento aleatorio, se sabe que el niño puede ser varón o mujer , pero no se sabe cual será el resultado.

Un evento es uno o más de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo : Los eventos del experimento aleatorio son : varón, mujer

Conceptos básicos sobre probabilidad

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento.

Ejemplo : Espacio muestral

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.

Cuando en una lista de los posibles eventos que pueden resultar de un experimento se incluyen todos los resultados posibles, se dice que la lista es colectivamente exhaustiva.

{ }varón, mujer

Definición de probabilidad

Existen tres maneras básicas de definir la probabilidad. Estas tres definiciones presentan planteamientos conceptuales bastante diferentes:

Definición clásica. Frecuencia relativa de ocurrencia. Probabilidad subjetiva.

Probabilidad clásica

Se define la probabilidad de que un evento ocurra como:

Número de resultados en los que se presenta el eventoProbabilidad =Número total de posibles resultados

Cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible.

Ejemplo :

Probabilidad de que nazca una niña= 1/2

Probabilidad clásica

La probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que si utilizamos ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones.Este planteamiento de la probabilidad tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de toma de decisiones menos previsibles. La probabilidad clásica supone también una especie de simetría en el mundo

Frecuencia relativa de ocurrencia

En el siglo XIX, los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de ocurrencia de un evento.


Se define la probabilidad como:

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos, o La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.

Este método utiliza la frecuencia relativa de las ocurrencias pasadas de un evento como una probabilidad. Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.


Ejemplo:

La prevalencia (probabilidad de ocurrencia) de una enfermedad es calculada como:

Número de casosPrevalencia=Población en riesgo

Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones

Probabilidades subjetivas

Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados o puede tratarse simplemente de una creencia meditada.

Probabilidades subjetivas

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten mayor flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones puede hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación.Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducido de veces.Como casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones específicas y únicas, los responsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva

Cálculo de probabilidades

Probabilidad se define mejor en cuanto a frecuencia relativa. Así, la probabilidad (P) de un fenómeno A está dada por P(A):

Ejemplo: En una epidemia de intoxicación alimentaría, hubo 99 casos de la enfermedad (A) entre las 158 personas que acudieron al banquete. La probabilidad de enfermar para una persona seleccionada al azar es :

Número de veces que ocurre A( )Número total de veces que puede ocurrir A

P A =

99( ) 0.6266158

P A = =

Probabilidad condicional

En el ejemplo de intoxicación alimentaría, la probabilidad de que enfermara una persona dada fue de 0.6266. Sin embargo, la probabilidad de enfermedad (A) tendría que modificarse si se supiera que alimento comió (B) la persona. Esto introduce la idea de probabilidad condicional o, la probabilidad de que A ocurra dado que B ha ocurrido. La probabilidad condicional para A dado B se define como

número de veces que A y B ocurren juntas( / )número de veces que ocurre B

P A B =

Ejemplo: Suponga que 133 personas comieron pavo (B) en el banquete y de estas; 95 enfermaron (A). Se desea determinar la probabilidad deenfermedad para personas que comieron pavo en el banquete. Expresado como una probabilidad condicional, esto es:

Número de personas que comieron pavo y enfermaron( / )Número de personas que comieron pavo

P A B =

95( / ) 0.71133

P A B = =

Fenómenos complejos

Los fenómenos que es expresan como combinaciones especificadas ( A y B ocurren) y los que se expresan como alternativas especificadas (A o B ocurren) se denominan fenómenos complejos.

P(A y B) : probabilidad de que A y B ocurran juntos.Si A y B no pueden ocurrir juntos, se denominan mutuamente exclusivos, entonces P (A y B)=0

P (A o B) : probabilidad de que A ocurra o de que B ocurra o que ambasocurran.

En otras palabras, P (A o B) expresa la probabilidad que al menos una de los eventos A o B ocurra

Regla de multiplicaciónDados dos eventos A y B. La probabilidad de que A y B ocurran se define como:

P(A y B) = P(A/B) P(B)Cuando los eventos A y B son independientes, se tiene

P(A y B)= P(A) P(B)

Ejemplo: Los efectos colaterales de un cierto fármaco sobrevienen en un 10% de los pacientes que lo toman. Un médico tiene dos enfermos que están tomando el medicamento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos experimentan efectos colaterales?La aparición de efectos colaterales en un paciente no afecta las probabilidades de haya dichos efectos en el otro (Independencia) .

P(ambos experimentan efectos colaterales)= 0.1 x 0.1 = 0.01 (1% )

Regla de la adición

Dados dos eventos A y B se define la probabilida de A o B ocurran como :P(A o B)= P(A) + P(B)- P(A y B)

Cuando A y B son mutuamente exclusivas

P(A o B)= P(A) + P(B)

Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los pacientes del médico presente efectos colaterales?Uno de los pacientes A o B o ambos pueden presentar efectos colaterales (los eventos no son excluyentes P(A y B)=0.01))

P(A o B) = 0.1 + 0.1 – 0.01 = 0.19

Ejemplo : Daño de órganos en hipertensos

Se efectuó un estudio de daño de órgano terminal (Entwisle y colaboradores, 1977) en hipertensos atendidos en un hospital Universitario. Los datos del cuadro se compilaron a partir de 306 casos de hipertensión recién identificados, y muestra datos de daño de órgano terminal clasificados por gravedad de la hipertensión.Responda a las preguntas siguientes

1. Cuál es la probabilidad de que un paciente nuevo con hipertensión que acude a la clínica tenga antecedentes de angina?

2. Dado que el enfermo presenta hipertensión grave ¿cuál es la probabilidad de que haya antecedentes de angina?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el electrocardiograma resulte normalen un paciente nuevo que acude a la clínica?

30645261Total22823205782256Anormalidad

electrocardiográfica

30645261Total30144257

514Enferm. Cerebrovasc.

30645261Total2813824325718

Angina

TotalGraveLeve/Mod.Gravedad de hipertensión

Antecedentes

Cuadro 1. Daño de órganos terminal en hipertensos

Variable aleatoria

Es una variable que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio o se puede decir también que es una variable que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio.

Si la variable aleatoria puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces se dice que es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.

Ejemplo

X : Número de casos de fiebre amarilla (Variable aleatoria discreta)

Y : Mediciones de glucosa en sangre (variable aleatoria continua).

Variables aleatorias y Distribución de probabilidad .

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un sujeto a otro, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio.Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se lleva a cabo.La distribución de probabilidad de una variable aleatoria

proporciona una probabilidad para cada valor posible, y estas probabilidades deben sumar 1.

INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de frecuencias.

Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los resultados.

Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Definiciones

• Distribución de probabilidades (X, P(x))• Modelo teórico que describe la forma en que varían los

resultados de un experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

• Función de probabilidad (X, F(x)) :• Función que asigna probabilidades a cada uno de los valores

de una variable aleatoria discreta.

Modelo Probabilistico

Un modelo es una simplificación de la realidad. Un modelo probabilístico es un modelo matemático que describe el comportamiento de una variable aleatoria. Es una función que depende de los valores de la variable aleatoria, y de otras cantidades que caracterizan a una población en particular y que se denominan parámetros del modelo.

En el proceso de modelación, es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Seleccionar el modelo más apropiado. 2. Ajustar el modelo (calcular el valor de sus parámetros). 3. Verificar el modelo. 4. Decidir su aceptación o volver al paso 1.

Modelo Probabilistico

Para ejecutar el paso 1, podemos optar por una amplia gama de modelos de probabilidad, desarrollados para representar distintos tipos de variables y diferentes fenómenos aleatorios. Por lo tanto, el problema se reduce a elegir el modelo más apropiado para el caso en estudio.

Para ejecutar el paso 2, es necesario recopilar una muestra representativa de la población en estudio y calcular las cantidades necesarias como para evaluar los parámetros del modelo.

En el proceso de modelación, es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Seleccionar el modelo más apropiado. 2. Ajustar el modelo (calcular el valor de sus parámetros). 3. Verificar el modelo. 4. Decidir su aceptación o volver al paso 1.

La distribución Binomial

Esta distribución describe una variedad de procesos de interés para los administradores y describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli.

Proceso de Bernoulli.

1. Cada repetición del experimento tiene sólo dos resultados posibles (éxito/ fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier repetición permanece

fijo con respecto al tiempo (P(éxito)= p ; P(fracaso) = 1-p = q 3. Los intentos son estadísticamente independientes.

Distribución BinomialEjemplo :

El experimento consiste en seleccionar aleatoriamente 3 pacientes y determinar si tienen fiebre amarilla (éxito).

1. Sólo dos posibles resultados (tiene o no tiene la enfermedad)2. La probabilidad de que un paciente tenga fiebre amarilla es p

( tasa de prevalencia). 3. La presencia de la enfermedad en un paciente es independiente

de la presencia en otro paciente

La variable aleatoria es :

X: Número de pacientes con fiebre amarilla

Distribución BinomialFórmula binomial:

Donde : p = Probabilidad de exito1 - p = probabilidad de fracasox = número de éxitos deseadosn = número de repeticiones del experimento

( ) (1 ) ; x=0,1,2,...nn x n xP x p px

⎛ ⎞ −= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta distribución es utilizada para modelar prevalencias

La distribución de Poisson.

La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, como por ejemplo:

El número de bacterias en un medio de cultivo, Número de casos nuevos de una enfermedad en una ciudad (incidencias), La demanda (necesidades) de los pacientes que requieren servicio en una institución de salud, El número de accidentes registrados en una cierta intersecciónde calles entre las 6 y 7 de la noche, etc.

Estos ejemplos tienen elementos en común :

Pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que tomavalores enteros (0, 1, 2...), El evento ocurre en un periodo de tiempo, un área, un volumen.

La distribución de Poisson.

Fórmula binomial:

e( ) ; x=0,1,2,...!

xP x

x

λ λ=

: Número medio de ocurrencias del eventoλ

e : exponencial (su valor es 2.71828

X : Número de éxitos

Esta distribución se utiliza para modelar incidencias

Distribución PoissonEjemplo :El número de suicidios en la Lima sigue una distribución Poisson. Además se ha calculado que en promedio ocurren dos suicidios por semana.

X: Número de suicidiosEl modelo de probabilidad del número de suicidios será

2 1 2e 2 e( ) = = 0.1353 1! 1

P x− −

=

La probabilidad de que la próxima semana ocurra1 suicidio se calcula como:

2e 2( ) ; x=0,1,2,...!

xP x

x

−=

FUENTES DE SESGOS EN LA SELECCIÓN DE MUESTRAS

FUENTES DE SESGOS EN LA SELECCIÓN DE MUESTRAS

Por otro lado, cuando se toma una decisión en base a la información de una muestra siempre existe el riesgo de cometer un error denominado error de muestreo, No es posible eliminar este tipo de error a menos que el tamaño de la muestra sea igual a la población (N=n), lo más que se puede hacer es tratar de medirlo.

Este riesgo de conclusiones erradas debido a los errores de muestreo puede ser medido siempre que las muestras sean probabilísticas (muestras aleatorias).

COMPARACIÓN DE TIPOS DE MUESTRAS

Muestra aleatoria

Cada persona (paciente) tiene igual chance (probabilidad) de se ser seleccionado para la muestra. Dado que la probabilidad de seleccionar cada elemento de la población es conocida, el investigador puede usar las diversas reglas y leyes de la probabilidad para evaluar la confiabilidad de las conclusiones que se obtengan a partir de muestras aleatorias.

COMPARACIÓN DE TIPOS DE MUESTRAS

Muestra no aleatoria

Las personas (pacientes) no son seleccionados de acuerdo a un esquema de selección aleatoria (muestra no probabilística). Este tipo de muestras pueden ser muy útiles para ciertos estudios; en los cuales no es indispensable que las muestras sean aleatorias (probabilísticas) de la población, sino que reúnan ciertas características previamente especificadas

TIPOS DE MUESTRAS

a) Muestras aleatorias1. Muestrea simple al azar2. Muestra sistemática3. Muestra estratificada4. Muestra de conglomerados5. Muestra secuencial

b) Muestras no aleatorias1 Muestra de conveniencia2. Muestras dirigidas3. Muestra de voluntarios4. Muestra de cuotas

Muestreo secuencial

(1) El número unidades seleccionadas (muestra) NO es fijado

antes el comenzar el proyecto.(2) Cada unidad de análisis (elemento de la muestra) es

seleccionada y observada antes de seleccionar lasiguiente unidad.

(3) Cada unidad seleccionada es evaluada con respecto a

algún criterio, y tan pronto como se logra un determinado

nivel de este criterio se suspende el muestreo.

TIPOS DE MUESTRAS

TIPOS DE MUESTRAS

Muestreo secuencial

Ejemplo: Se selecciona dos grupos de pacientes y se suministra una droga a un grupo y un placebo o un tratamiento alternativo al otro. Las personas seleccionadas para el estudio son asignadas aleatoriamente a cada grupo. El estudio es descontinuado cuando la droga muestra una proporción significativamente mayor sujetos que muestran mejoría comparado con el grupo placebo u otro tratamiento.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS DISEÑOS MUESTRALES ALEATORIOS Y NO

ALEATORIOS

No garantiza que las muestras sean representativas..La generalización de los resultados obtenidos en la muestra es cuestionable.Aumenta la posibilidad de que ocurran sesgos en la selección.

Menos costosoAdministrativamente más fácilConsume menos tiempoNo

aleatoria

VentajasVentajasDiseños muestrales

Costoso y consume tiempo.Requiere el uso de mecánismosaleatorios para la selección de la muestra.NO se garantiza que la muestra sea representativa de la población especialmente si la muestra es pequeña.

Minimiza la influencia del sesgo en la selección de la muestra. Las pruebas de hipótesis estadísticas asumen este tipo de muestreo.La generalización de los resultados hacia la población objetivo es más simple.

Aleatoria

EL TAMAÑO DE MUESTRA

Cuando decidimos realizar una investigación, deinmediato surgen dos preguntas :

1. ¿Cuántos pacientes son necesarios para que la muestra

represente a la población y se puedan realizar inferencias

válidas? 2. ¿Cómo se debe seleccionar los individuos que

conformaránla muestra de modo que se eviten sesgos de

selección(método de selección)?.


Determinación del tamaño de nuestra depende de aspectos prácticos como:

§ ¿Cuánto dinero tenemos para realizar el estudio?§ ¿De cuánto tiempo disponemos para realizar el estudio y

presentar resultados?.§ ¿Qué tan grande es la población sobre la cual queremos

hacer las inferencias?§ ¿Qué tan accesible es la población ?


Depende de aspectos estadísticos como:

§ ¿Qué tan rara es la característica que pretendemosinvestigar?

§ ¿Qué tanta confianza queremos estamos dispuestos adepositar en los resultados de la muestra?

§ ¿Cuál es el grado de variabilidad de la característicaprincipal de nuestro estudio?.

EL TAMAÑO DE MUESTRARelación entre el error y el tamaño de muestra

Pequeño Grande

TAMAÑO DE MUESTRA (n )

grandeERROR

Pequeño


El nivel de significación (α ) y la potencia (1- β).

El parámetro poblacional que se está investigando es desconocido por lo que el error sólo puede ser establecido en términos probabilísticos :.

- La potencia de una teste es su habilidad para detectar unadiferencia especificada cuando ella realmente está presente.Cuanto mayor es la potencia del teste mayor será sihabilidad para rechazar una hipótesis nula falsa.

- El nivel de significación es la probabilidad de detectar unadiferencia cuando este no está presente.


2

E : Margen de errorZ : Valor de la variable normal estándar para una probabilidad (1- )

: medida de variabilidad de la varible principalN : Tamaño de la población

ασ

2

2

ZnEασ=

2 2

2 2 2

Z NnZ E N

α

α

σσ

=+

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