diagramas semánticos

34
Formalización y diagramas semánticos

Upload: rociobe

Post on 10-Dec-2015

20 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

Una fórmula tautológica es, como se vio, aquella que posee todos los valores de verdad en su matriz principal. Una fórmula tautológica es considerada como lógicamente válida. Además, una condicional con resultado tautológico es una implicancia lógica, mientras no resulte en tautología simplemente será condicional.

TRANSCRIPT

Page 1: Diagramas Semánticos

Formalización y diagramas semánticos

Page 2: Diagramas Semánticos

Fórmulas tautológicas, consistentes y contradictorias

• Una fórmula tautológica es, como se vio, aquella que posee todos los valores de verdad en su matriz principal. Una fórmula tautológica es considerada como lógicamente válida. Además, una condicional con resultado tautológico es una implicancia lógica, mientras no resulte en tautología simplemente será condicional.

• Una fórmula consistente es aquella que posee de modo mixto, valores de verdad y falsedad en su matriz principal.

• Por último, una fórmula contradictoria contiene valores de falsedad en todos sus valores.

Page 3: Diagramas Semánticos

Principios lógicos clásicos• Los principios lógicos clásicos son los mismos que descubrió

Aristóteles y los que aún se usan en el presente para la lógica proposicional:

1.- Principios de Identidad2.- Principio de no contradicción3.- Principio de tercio excluido• La formalización correspondiente es como sigue,

respectivamente:1.- p ↔ p2.- ~(p^~p)3.- p v ~p• Si uno aplica la tabla de verdad a cada principio se dará

cuenta que son tautologías, son lógicamente válidas.

Page 4: Diagramas Semánticos

• Los lógicos tradicionales, al ver que estos tres principios lógicos se cumplían para toda circunstancia, consideraron que eran los fundamentos últimos de la realidad, fundamentos ontológicos.

• Actualmente se sabe que no son los fundamentos de al realidad, simplemente son principios que funcionan dentro de determinado lenguaje lógico. En otras lógicas, como la del polaco Lukasiewics se tiene la llamada lógica polivalente, para diferenciarla de la lógica bivalente. En esta lógica se da más de dos valores, no solamente verdadero o falso, como indica el principio de tercio excluido.

Page 5: Diagramas Semánticos

Formalización del lenguaje natural• El lenguaje natural es el empleado en el día a

día, todo el mundo está familiarizado con él. Para poder formalizar el lenguaje natural se necesitarán de los símbolos lógicos explicados anteriormente (p, q, r, s, →, v , ^, ~, etc.)

• La formalización lógica implica sacar la estructura lógica del lenguaje para poder determinar su validez o invalidez mediante la tabla de verdad , demostrar con argumentos y una serie de pasos cómo se llega a la conclusión, ejecutar prueba indirecta, realizar diagramas de Venn, entre otras operaciones.

Page 6: Diagramas Semánticos

• La formalización del lenguaje natural al lenguaje lógico proposicional es importante porque permite analizar la lógica dentro del lenguaje natural. Sin embargo, éste no es el mayor objetivo que tiene la lógica formal.

• La lógica de predicados, o lógica de segundo orden, es la que posee mejores herramientas lógicas para poder analizar teorías científicas. Si la lógica formal se limitase a examinar textos en lenguaje natural entonces su aporte no sería demasiado. En cambio, con la lógica de segundo orden sí es posible examinar modelos, estructura y dinámica de teorías científicas.

Page 7: Diagramas Semánticos

• En todo argumento se tienen premisas y conclusiones. Para poder comprender mejor cómo funciona esto es preciso familiarizarse con el concepto de postulación. Cuando uno postula una proposición determinada está asumiendo que es verdadera:

• “Consecuentemente, el que postula la verdad de una proposición no afirma que esa proposición es efectivamente verdadera sino que él adopta la estrategia de suponer o ponerse en el caso de que sea verdadera. Si la proposición postulada resulta falsa entonces sólo caber retirarla y postular otra en su lugar” (Piscoya, 2007, p. 129)

• Actualmente se suele equivaler el concepto de postulado con el de axioma, pensando no en verdades por sí mismas sino en verdades que se asumen como tal.

Page 8: Diagramas Semánticos

Inferencias• La inferencia o deducción, el procedimiento lógico por

el cual se llega a una conclusión, tiene como modelo clásico el siguiente:

• Juan es buen alumno o buen hijo• Juan no es buen alumno• Por lo tanto, Juan es buen hijo

• Aquí se tiene que se tiene que asumir que las proposiciones presentadas aquí deben ser asumidas como ciertas para que puedan tener sentido. De otro modo no tendrían interés para el punto de vista lógico.

Page 9: Diagramas Semánticos

• Llegado este punto es momento de formalizar las proposiciones presentadas en el ejemplo anterior:

• p v q• ~ p• Por lo tanto, q

• También se puede formalizar de la siguiente forma: (p v q) ^ ~p → q• A continuación formule la tabla de verdad, el

resultado es una tautología, por lo que la inferencia es válida.

Page 10: Diagramas Semánticos

• ((p v q) ^ ~p) → q

• p q ( (p v q) ^ ~p) → q• V V V F F V• V F V F F V• F V V V V V• F F F F V V

Page 11: Diagramas Semánticos

• Lo mismo se puede hacer con la siguiente inferencia:

• Si estoy viendo una película entonces estoy en el cine

• Estoy viendo una película• Por tanto, en el cine

• Formalizar y mostrar la tabla de verdad.

Page 12: Diagramas Semánticos

Reglas para formalizar argumentos• A continuación se darán las reglas necesarias para poder

formalizar argumentos con el fin de probar su validez o invalidez lógica.

• 1.- Cuando se tienen varias premisas sin ningún indicador lógico que señale unirlas, lo que se hará es enlazarlas mediante la conjunción “ ^ ”, teniendo la forma que sigue:

• (…) ^ (…) → (…)• En caso de haber tres premisas, se hará lo siguiente:• ( (…)^(…)^(…) )→(…)• En este caso no hay paréntesis que separen las

conjunciones, de modo que la matriz final de ese segmento puede tomarse de una de las dos para poder confrontarla con la conclusión

Page 13: Diagramas Semánticos

• 2.- Las conjunciones en las proposiciones son conmutativas, es decir, pueden cambiar de lugar sin afectar el resultado:

• p ^ q con q ^ p

• Son lógicamente equivalentes.

• 3.- Las negaciones como “no es posible cantar y beber agua al mismo tiempo” en lenguaje lógico no se traduce como ~p ^ ~q, sino como la negación de todo el conjunto:

• ~(p ^ q)

Page 14: Diagramas Semánticos

• 4.- La conclusión, como se dijo, antes, no siempre está al final, por lo que puede aparecer al medio o al comienzo de un argumento, esto sucede porque no suelen estar lógicamente ordenados.

Page 15: Diagramas Semánticos

Aplicación de reglas

• “Habrá un concierto si y solamente si hay una conferencia. Si no hay un baile entonces no habrá conferencia. Sin embargo, no es el caso que haya baile y concierto pero habrá uno de los dos. Consecuentemente, no habrá conferencia”

• Simbolizar y averiguar si es un argumento lógicamente válido usando las tablas de verdad.

Page 16: Diagramas Semánticos

• Se convierten las proposiciones del lenguaje natural a variables proposicionales.

• p = habrá un concierto• q = hay una conferencia• r = hay un baile

• Primera premisa: Habrá concierto si y solamente si hay una conferencia

• p ↔ q

Page 17: Diagramas Semánticos

• Segunda premisa: Si no hay un baile entonces no habrá conferencia

• ~r → ~q

• Existen dos premisas más antes de “consecuentemente”, pero la última premisa es implícita, entonces hay que hacerla explícita. Sobre la antepenúltima premisa: No es el caso que haya baile y concierto.

• ~( r ^ p )• Y la última premisa que significa lo mismo que O hay

baile o hay concierto”• r v p

Page 18: Diagramas Semánticos

• Luego de “consecuentemente” está la conclusión. No habrá conferencia.

• ~q

• Esto se simboliza, en conjunto, del siguiente modo:p ↔ q~r → ~q~(r ^ p)r v p~q

Page 19: Diagramas Semánticos

Probar la validez lógica

• Para probar la validez lógica de este argumento se hará lo siguiente:

• {[(p↔q) ^ (~r→~q)] ^ [~(r ^ p) ^ (r v p)]} →~q

Page 20: Diagramas Semánticos

Método indirecto• Hay una manera más fácil y rápida de saber si una

inferencia es lógicamente válido, en vez de realizar la tabla de verdad.

• Especialmente cuando se trata de emplear más de tres variables proposicionales, ya que hacer realizar los valores de más de tres variables proposicionales puede ser tedioso.

• Es un método ideal para fórmulas que incluyen el condicional, ya que en ella hay un valor verdadero y otro falso, antecedente y consecuente respectivamente, que indica la falsedad de la fórmula.

• La idea consiste en asumir que toda fórmula lógica es una tautología, contra la hipótesis, llámese H.

Page 21: Diagramas Semánticos

• H será la hipótesis para indicar que hay al menos un valor falso en la matriz principal, por lo que la fórmula no sería una tautología.

• Si en el desarrollo de los valores de H no existe contradicción, entonces se aceptará la fórmula como no válida lógicamente. Por el contrario, si se ve alguna contradicción en los valores de las variables proposicionales, entonces H será rechazada, por lo que la fórmula será una tautología.

• Esta manera de proceder se llama Reducción al Absurdo, o RAA, en donde se rechaza toda hipótesis por desembocar en una contradicción.

• RAA en lenguaje formal es como sigue:• A→(B^~B)• Por lo tanto: ~A

Page 22: Diagramas Semánticos

Pasos para emplear el método indirecto

• Paso 1.- Se asume la fórmula condicional, llámese W, teniendo el antecedente verdadero y el consecuente falso. De lo que se trata es de probar si H (que la fórmula tenga al menos un valor falso) es verdadera o falsa.

• Paso 2.- Una vez dado el valor de verdad y falsedad, se procederá a repetir los mismos valores dados inicialmente, ahora con relación a las premisas de la fórmula. Por ejemplo, si la conclusión del condicional es p (falso) y dentro de las premisas está otra vez p, lo que se hará es darle el valor de falsedad. En caso sea ~p, entonces el valor será verdadero porque está negando p (que es falso). Si el consecuente tiene la forma A v B entonces el resultado es falso, por lo que ambas variables deben ser falsas. En el caso de p→q, el antecedente debe ser V y el consecuente F. No hay que olvidar que siempre se debe presuponer la falsedad del consecuente.

Page 23: Diagramas Semánticos

• Paso 3.- Una vez dado el determinado valor correspondiente a cada variable, si resulta que p tiene como valor falso en un momento y luego tiene como valor verdadero en la misma fórmula, eso significará que H es falsa, por lo que W sería una tautología. La contradicción de valores es sinónimo de tautología. El caso contrario, que no haya contradicción en la asignación de valores, será sinónimo de que hay al menos un valor falso en la matriz principal, por lo que no sería tautología.

• Consejo: Para ahorrar tiempo, se debe tener en cuenta que.• p↔q es F solamente cuando uno de sus valores es F.• p→q es falso cuando el antecedente es V y el consecuente F.• p v q es F cuando ambos son F• p ^ q es verdadero solamente cuando ambos son V

Page 24: Diagramas Semánticos

Ejemplo

• Determinar si la siguiente fórmula es lógicamente válida:

(p ^ q)→(p v q)

Se asume H, es decir, que no es una tautología, para lo cual se agrega F al costado de toda la fórmula.

F ( (p ^ q)→(p v q) )

Page 25: Diagramas Semánticos

• Para que la fórmula sea H se supone que el condicional sea falso, y solamente hay una forma por la que el condicional es falso V→F. Esto quedaría graficado de al siguiente forma:

• F ( V (p ^ q)→ F (p v q) )

• El siguiente paso es determinar el valor de las variables dentro de la fórmula. Se tiene la conjunción V (p ^ q) que solo puede ser verdadera cuando ambas variables son V, de modo que p y q son V.

• F ( V (V (p) ^ V (q) )→ F (p v q) )

Page 26: Diagramas Semánticos

• Lo que sigue es completar la asignación de valores ahora que se sabe p y q:

• F ( V (V (p) ^ V (q) )→ F ( V(p) v V(q) )

• Sin embargo aquí hay un inconveniente ya que en una disyunción donde ambas variables son V el resultado es que sea Válido, pero no es el caso. Debería ser F puesto que se está asumiendo que la disyunción en total es F. Para que una disyunción sea Falsa se necesita que ambas variables sean Falsas, así:

• F ( V (V (p) ^ V (q) )→ F ( F(p) v F(q) )

Page 27: Diagramas Semánticos

• De inmediato uno puede apreciar que hay valores contradictorios, puesto que p y q son ambos V en el antecedente pero F en el consecuente.

• Resultado: H es rechazada, ya que H presupone que toda la fórmula es falsa en al menos un arreglo (de ahí la F inicial). Suponiendo que la fórmula en un arreglo sea falsa se tiene que hay valores contradictorios, de modo que la fórmula es una tautología.

• Si uno ejecuta la tabla de verdad sobre esta fórmula se dará cuenta de que, en efecto, se trata de una tautología.

Page 28: Diagramas Semánticos

• Otro ejemplo mostrará un caso en el que H es admisible, por lo que la fórmula tendría un valor falso en al menos una de sus combinaciones:

• (p → q) → (p ^ q)

• Se admite H:

• F ( (p → q) → (p ^ q) )

Page 29: Diagramas Semánticos

• Luego se asume que el antecedente es V y el consecuente F:

V (p → q) → F (p ^ q)

Después se asume que q es falsa ya que la conjunción necesita ser falsa en una de sus variables:

V(p → F(q) ) → F(p ^ F(q) )

Luego, para poder obtener V en el antecedente, p necesita ser F, porque de ser V la condicional sería F. Por extrapolación se le añade el mismo valor a la otra p.

F ( V( F (p) → F(q) ) → F( F (p) ^ F(q) ) )

Se tiene que no hay ninguna contradicción en la asignación de valores, por lo que H es admitida, de modo que la fórmula no es tautología, tiene F en uno de los resultados de su matriz principal.

Page 30: Diagramas Semánticos

Formalice los siguientes argumentos a lenguaje lógico

• 1.- Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; por consiguiente, iremos mañana al concierto.

• 2.- Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis; cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto.

• 3.- O el amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.

• 4.- Cuando viajo me mareo. Siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me entra un hambre atroz, viajo.

Page 31: Diagramas Semánticos

Demostrar la validez lógica mediante la tabla de verdad

• Las siguientes son las reglas de deducción natural que son muy empleadas en lógica proposicional para estudiantes. Demuestre la validez lógica de las siguientes reglas de deducción natural.

• p → q Modus Ponens (MP)• p• q

• ((p → q) ^ p )→ q

Page 32: Diagramas Semánticos

• p → q , p → ~q Modus Tollens (MT)• ~q q• ~p ~p

• p v q , p v q Silogismo Disyuntivo (SD)• ~p ~q• q p

• p → q Silogismo Hipotético (SH)• q → r• p → r

Page 33: Diagramas Semánticos

• p Adición (Ad.)• p v q

• p ^ q , p ^ q Simplificación (Simp.)

• p q

Page 34: Diagramas Semánticos

Ejercicios

• Determinar por método indirecto si las siguientes fórmulas son lógicamente válidas:

• 1.- ( (p ^ q) ^ r) → (s → q) .• 2.- ( (p v q) v r) → (p ^ s)• 3.- ( (p → q) ^ (r → s)) → (~s → ~p) )• 4.- (p → q) → (r v (p → q) ).